平摆线和渐开线
1给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )．
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
2平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )．
A．(π－2,2)
B．(3π＋2,2)
C．(π－2,2)或(3π＋2,2)
D．(π－3,5)
3如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )．
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
4我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为( )．
A．(φ为参数)
B．(φ为参数)
C．
(φ为参数)
D．(φ为参数)
5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．
6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________．
7已知平摆线的生成圆的直径为80
mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．
8已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
参考答案
1
答案：C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
2答案：C 由y＝2得2＝2(1－cos
t)，∴cos
t＝0.
∵0≤t≤2π，∴或.
∴x1＝＝π－2，
x2＝＝3π＋2.
∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．
3答案：C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
4答案：B 关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．
5
答案：6kπ(k∈Z) ∵r＝3，∴平摆线的参数方程为(φ为参数)．
把y＝0代入，得cos
φ＝1.
∴sin
φ＝0，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
∴x＝3φ－3sin
φ＝6kπ(k∈Z)．
6
答案：(π，2) 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．
7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40
mm，∴此平摆线的参数方程为(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．
8
答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.直线的参数方程
1直线(t为参数)的倾斜角是( )．
A．20°
B．70°
C．110°
D．160°
2直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于点M，则|MM0|等于( )．
A．＋1
B．6(＋1)
C．6＋
D．6＋1
3直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )．
A．1
B．
C．10
D．
4过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长是( )．
A．16
B．3
C．
D．
5直线(t为参数)与圆x2＋y2＝1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2，－1)，则|PA|·|PB|＝__________.
6过点(6,7)，倾斜角的余弦值是的直线l的参数方程为__________．
7已知直线l经过点P(1，)，倾斜角为，求直线l与直线l′：y＝x－2的交点Q与点P的距离|PQ|.
8已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于点A和点B，求点P到A，B两点的距离之积．
参考答案
1答案：B 将代入x＝3＋tsin
20°，得x＝3＋ytan
20°，即x－ytan
20°－3＝0.
设直线的倾斜角为α，则tan
α＝＝tan
70°.
又α∈[0，π)，∴α＝70°.
2答案：B 由题意可得直线l的参数方程为
(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋－－2＝0，解得t＝－6(＋1)．
根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1)．
3
答案：B 将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点的坐标为(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式，得所求距离为.
4
答案：C 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，又倾斜角为，所以弦AB所在直线的参数方程为(t为参数)．代入抛物线方程y2＝4x得到，整理得3t2－8t－16＝0.
设方程的两个实根分别为t1，t2，则有
所以|t1－t2|＝
.
故弦AB的长为.
5答案：4 把直线的参数方程代入圆的方程，
得，
即t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，
∴A(1,0)，B(0,1)．
∴|PA|＝，|PB|＝.
∴|PA|·|PB|＝＝4.
6
答案：(t为参数) ∵，∴.
∴(t为参数)．
7答案：分析：根据题意写出l的参数方程，代入l′的方程求出t的值，再利用其几何意义求出距离．
解：∵l过点P(1，)，倾斜角为，
∴l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
代入y＝x－，得，
解得t＝4＋，
即t＝＋4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义，可知|t|＝|PQ|，
∴|PQ|＝4＋.
8
答案：分析：利用定义求出参数方程，再利用t的几何意义求出距离之积．
解：
(1)因为直线l过P(1,1)，且倾斜角，所以直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数分别为t1，t2.将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，得
(1＋)2＋(1＋)2＝4，整理，得t2＋
(＋1)t－2＝0.
因为t1，t2是方程t2＋(＋1)t－2＝0的根，
所以t1t2＝－2.故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.
所以点P到A，B两点的距离之积为2.参数方程的概念
1点P(3，b)在曲线上，则b的值为( )．
A．－5
B．3
C．5或－3
D．－
5或3
2曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是( )．
A．(1,4)
B．
C．(1，－3)
D．
3动点M做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为3
m/s和4
m/s，直角坐标系的长度单位是1
m，点M的起始位置在点M0(2,1)处，则点M的轨迹的参数方程是( )．
A．(t为参数，t≥0)
B．(t为参数，t≥0)
C．(t为参数，t≥0)
D．(t为参数，t≥0)
4参数方程(θ为参数)所表示的曲线是( )．
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线
5“由方程所确定的点P(x，y)都在曲线C上”是“方程是曲线C的参数方程”的________条件．
6点E(x，y)在曲线(θ为参数)上，则x2＋y2的最大值与最小值分别为________．
7已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
8已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求
(1)x＋y的最值；
(2)点P到直线x＋y－1＝0的距离d的最值．
参考答案
1答案：D 由点P在曲线上，得＋1＝3，∴t＝±2.
当t＝2时，y＝b＝－5，当t＝－2时，y＝b＝3.
2
答案：B 把代入x＝1＋t2，得x＝1＋，
即y2＋6y－16x＋25＝0.令y＝0，得.
∴曲线与x轴的交点为.
3答案：B 设在时刻t时，点M的坐标为M(x，
y)，则(t为参数，t≥0)．
4
答案：D y＝tan
θ－
∴平方得，
∵sin
2θ＝，∴cos
2θ＝.
∴，整理，得x2－y2＝4.
∴曲线为双曲线．
5答案：必要不充分
6答案：30＋，30－ x2＋y2＝(1＋5cos
θ)2＋(2＋5sin
θ)2＝30＋(10cos
θ＋20sin
θ)＝30＋sin(θ＋α)，其中tan
α＝，α为锐角，故x2＋y2的最大值与最小值分别为30＋，30－.
7
答案：解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入有解得t＝0，所以点M1在曲线C上．
把点M2的坐标(5,4)代入有这个方程组无解，所以点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，
所以解得t＝2，a＝9，所以a的值为9.
8
答案：解：圆方程可化为(x－3)2＋(y－2)2＝1，
用参数方程表示为
由于点P在圆上，∴P(3＋cos
θ，2＋sinθ)．
则(1)x＋y＝3＋cos
θ＋2＋sin
θ
.
∴x＋y的最大值为，最小值为.
(2)，
显然，当时，d取最大值，
当＝－1时，d取最小值.圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程
1过点M(2,1)作曲线C：(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．
A．y－1＝－(x－2)
B．y－1＝－2(x－2)
C．y－2＝－(x－1)
D．y－2＝－2(x－1)
2曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．
A．(－4,0)
B．(0，－4)
C．(－2,0)
D．(0,2)
3圆锥曲线
(θ是参数)的焦点坐标是( )．
A．(－5,0)
B．(5,0)
C．(±5,0)
D．(0，±5)
4P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．
A．36
B．6
C．26
D．25
5点M(x，y)在椭圆上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．
6已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．
7求椭圆的参数方程．
(1)设x＝3cos
φ，φ为参数；
(2)设y＝2t，t为参数．
8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
参考答案
1答案：B 把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，又.∴弦所在直线的斜率为－2，
∴直线方程为y－1＝－2(x－2)．
2答案：
A 由得＝1，
∴左焦点的坐标为(－4,0)．
3答案：C 由得＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
4答案：A 由参数方程可知，(x－2)2＋y2＝1，圆心O(2,0)，另一定点M(5，－4)，
∴|OM|＝＝5.
∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36.
5
答案： (－3，－1) 椭圆参数方程为(θ为参数)，则点M(cos
θ，2sin
θ)到直线x＋y－4＝0的距离d＝.
当时，.
此时，点M的坐标为(－3，－1)．
6
答案： 由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cos
θ，3sin
θ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，
由重心坐标公式可知有
.
7
答案：分析：把x，y含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．
解：(1)把x＝3cos
φ代入椭圆方程，得，
∴y2＝4(1－cos2φ)＝4sin2φ，即y＝±2sin
φ.
由φ的任意性，可取y＝2sin
φ.
∴的参数方程为(φ为参数)．
(2)把y＝2t代入椭圆方程，得.
∴x2＝9(1－t2)，∴.
∴参数方程为(t为参数)或(t为参数)．
8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化．
证明：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，
因为点M在双曲线x2－y2＝1上，则可设点M的坐标为.
，，
d1·d2＝
故d1与d2的乘积是常数．参数方程化成普通方程
1方程表示的曲线为( )．
A．一条直线
B．两条射线
C．一条线段
D．抛物线的一部分
2曲线(t为参数，t≠0)的普通方程为( )．
A．(x－1)2(y－1)＝1
B．
C．y＝－1
D．y＝＋1
3参数方程(q为参数)化为普通方程是( )．
A．5x－3y＝1
B．5x－y＝1
C．5x－y＝2
D．x－5y＝2
4参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )．
A．直线
B．抛物线的一部分
C．圆的一部分
D．椭圆的一部分
5将(t为参数)化成普通方程为__________．
6点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是__________．
7设P是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值．
8将曲线C：(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
参考答案
1
答案：B x＝t＋，当t＞0时，x＝t＋≥2.
当t＜0时，x＝t＋≤－2.∴y＝2(x≥2或x≤－2)表示的曲线为两条射线．
2答案：B ∵x＝1－，∴，
∴y＝1－t2＝1－.
3答案：C ∵∴
①－②得5x－y＝2.
4
答案：B ∵y＝cos
2
θ＋1＝2cos2θ－1＋1＝2x2，
又∵x＝cos
θ，∴－1≤x≤1.
∴普通方程为y＝2x2(－1≤x≤1)，它是抛物线的一部分．
5
答案： 由x＝3t＋1得，代入y＝t3，得.
6
答案： 曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设，∴y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，
k取得最小值与最大值．∴＝1，解得.
∴的取值范围是.
7
答案：分析：把椭圆方程转化成参数方程，利用三角关系进行求值．
解：椭圆的标准方程为.
∴参数方程为(θ为参数)．
∴x＋2y＝＋4sin
θ＝sin(θ＋φ)(其中tan
φ＝)，∵sin(θ＋φ)∈[－1,1]，
∴x＋2y∈．
即x＋2y的最大值为，最小值为.
8
答案：解：∵∴x2＋(y＋1)2＝1.
∴曲线C是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆．
若圆与直线有公共点，
则圆心到直线的距离d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
∴a的取值范围为．
