极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化
1点P的直角坐标为，那么它的极坐标可表示为( )．
A．
B．
C．
D．
2在极坐标系中，与点关于极点对称的点的一个坐标是( )．
A．
B．
C．
D．
3在极坐标系中，若等边△ABC的两个顶点是A，B，那么可能是顶点C的坐标的是( )．
A．
B．
C．
D．(3，π)
4在极坐标系中，极坐标化为直角坐标为( )．
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1，－1)
D．(－1，－1)
5直线l过点A，B，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．
6点A在条件：
(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；
(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．
7将下列极坐标化成直角坐标．
(1)；
(2)；
(3)(5，π)．
8已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐标为，求点M在直角坐标系中的坐标．
参考答案
1
答案：B ρ＝＝2，tan
θ＝＝－1，
∵点P在第二象限，∴最小正角.
2
答案：A 点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)，
故关于极点对称的点的一个坐标为，即.
3答案：B 如图，由题设，可知A，B两点关于极点O对称，即O是AB的中点．
又|AB|＝4，△ABC为正三角形，
∴|OC|＝，∠AOC＝，点C的极角或，
即点C的极坐标为或.
4答案：D x＝ρcos
θ＝，
y＝ρsin
θ＝，
故所求直角坐标为(－1，－1)．
5答案： 如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝7，∠AOB＝，
所以.
所以.
6
答案：(1) (2) (1)当ρ＞0时，点A的极坐标形式为(k∈Z)，
∵θ∈(－2π，0)．令k＝－1，点A的极坐标为，符合题意．
(2)当ρ＜0时，的极坐标的一般形式是(k∈Z)．
∵θ∈(2π，4π)，当k＝1时，点A的极坐标为，符合题意．
7
答案：解：(1)，，
所以点的直角坐标为(1,1)．
(2)x＝6·＝3，
y＝6·.
所以点的直角坐标为(3，)．
(3)x＝5·cos
π＝－5，y＝5·sinπ＝0，
所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．
8
答案：解：设M(x，y)，则x－2＝ρcos
θ＝，
∴x＝2＋，y－(－2)＝ρsin
θ＝＝2.
∴y＝2－2＝0.
∴点M的直角坐标为(2＋，0)．平面直角坐标系与曲线方程
1已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，满足，则x的值为( )．
A．3
B．6
C．7
D．9
2已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sin
B－sin
C＝，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是( )．
A．
B．(x＜－3)
C．
D．(x＜－3)
3(2011·济宁高三模拟)椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )．
A．
B．
C．
D．
4平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是( )．
A．
B．
C．2
D．3
5平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(4,1)，B(－1,3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈[0,1]，且m＋n＝1，则点C轨迹方程为__________．
6在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义|OP|＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点，对以下结论：①符合|OP|＝1的点P的轨迹围成图形面积为2；②设P为直线＋2y－2＝0上任意一点，则|OP|的最小值为1；③设P为直线y＝kx＋b(k，b∈R)上任意一点，则“使|OP|最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k＝±1”．其中正确的结论有__________．(填序号)
7设有半径为3
km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进．A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇．设A，B两人的速度都一定，其比为3:1，问两人在何处相遇？
8在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程．
参考答案
1答案：C ∵＝(1，－1)，＝(5，x－2)，
又⊥，∴·＝0，即5－(x－2)＝0.
∴x＝7.
2答案：B 由题意知，B(－6,0)，C(6,0)，
由sin
B－sin
C＝sin
A得b－c＝a＝6，
即|AC|－|AB|＝6.
所以，点A的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，2a＝6的双曲线的左支且y≠0.
其方程为(x＜－3)．
3答案：A 设F1为右焦点，则F1(3,0)，
设P(x0，y0)，PF1的中点M(0，yM)，
则，得x0＝－3，
把(－3，y0)代入椭圆方程，得.
∴.
当F1为左焦点时，F1(－3,0)，解法同上，所得答案相同．
4答案：A 以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，
B为焦点的双曲线的一部分.2c＝4，c＝2，2a＝3，
∴.∴b2＝c2－a2＝4－.
∴点P的轨迹方程为(x≥)．
由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是.
5
答案：2x＋5y－13＝0(－1≤x≤4) 由题意知，A，B，C三点共线且C在线段AB上，点A，B所在的直线方程为2x＋5y－13＝0，且点C的轨迹为线段AB，所以，点C的轨迹方程为2x＋5y－13＝0，x∈[－1,4]．
6答案：①③ 在①中，由于|OP|＝1
其图象如图
故其面积为2×＝2.故①正确．
在②中，当P时，
|OP|＝|x|＋|y|＝＜1，
∴|OP|最小值不为1.故②错误．
在③中，∵|x|＋|y|≥|x＋y|＝|(k＋1)x＋b|，
当k＝－1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意，
即|x|＋|y|≥|x－y|＝|(k－1)x－b|，
当k＝1时，|x|＋|y|≥|b|满足题意，故③正确．
7
答案：分析：先根据题意建立平面直角坐标系．设出相应点的坐标，利用圆的关系和直角坐标系中点的关系列出式子求值．
解：以村落中心为原点，A，B开始前进方向分别为x轴正方向、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图．
由题意可设A，B两人速度分别为3v
km/h，v
km/h，设A出发x0
h后，在点P处改变前进方向，又经y0
h在点Q处与B相遇，则P，Q两点的坐标分别是(3vx0,0)，(0，v(x0＋y0))．
由于A从P到Q行走的时间是y0
h，
于是由勾股定理得，|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，
有(3vx0)2＋[v(x0＋y0)]2＝(3vy0)2.
化简整理，得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0.
又x0＋y0＞0，∴5x0＝4y0.①
又，②
①代入②，得.
由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0＋y0)的值就是问题的答案，于是问题转化为“当直线y＝＋b与圆x2＋y2＝9相切时，求纵截距b的值”．利用圆心到切线的距离等于半径，得(b＞0).
答：A和B相遇的地点在村落中心正北km处．
8答案：分析：先依据题中△ABC中底边BC的确定性建立适当的坐标系，再据“AB和AC上中线和为30”判断出G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆，最后根据椭圆方程的标准形式写出G的轨迹方程．
解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，
过原点且与BC垂直的直线为y轴，
则B(6,0)，C(－6,0)，|BD|＋|CE|＝30，
可知|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20，
∴G的轨迹是椭圆，轨迹方程为：(x≠±10)．平面直角坐标轴中的伸缩变换
1一条抛物线经过平面直角坐标系中的伸缩变换后，其图形可能是( )．
A．直线
B．圆
C．抛物线
D．双曲线
2将一个圆作伸缩变换后，所得图形不可能是( )．
A．椭圆
B．比原来大的圆
C．比原来小的圆
D．双曲线
3在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则圆x2＋y2＝1进行伸缩变换后的图形是( )．
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4在平面直角坐标系中，如果y轴上的单位长度变为x轴上单位长度的倍，则一条线段经过变换后的图形是( )．
A．直线
B．射线
C．与原来长度相同的线段
D．比原来长度短的线段
5如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍，则方程x＋y＝－1的图形是__________．
6如图，在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的两倍的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－8,0)，C(－4,0)，则△ABC的面积为__________．
7在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线的图形：
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．
参考答案
1
答案：C 抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形的形状是不会发生变化的．
2
答案：D 将圆作伸缩变换，如果保持一轴不变，另一轴压缩或伸长都会出现椭圆的形状，故选项A正确．当两轴同时放大或缩小时，会得到比原来大或小的圆，故选项B，C正确，故选D.
3
答案：B
4
答案：D 通过作图可知答案．
5
答案：直线
6
答案：8
7
答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线的图形如下：
(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线的图形如下：
(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线的图形如下：1.2
极坐标系
直线和圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆锥曲线统一的极坐标方程
1极坐标方程表示的曲线是( )．
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
2过A且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )．
A．ρsin
θ＝
B．ρsin
θ＝2
C．ρcos
θ＝
D．ρcos
θ＝2
3化极坐标方程ρ2cos
θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )．
A．x2＋y2＝0或y＝1
B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1
D．y＝1
4圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程是( )．
A．ρ＝2(sin
θ－cos
θ)
B．ρ＝2(cos
θ－sin
θ)
C．ρ＝2sin
θ
D．ρ＝2cos
θ
5过极点O作圆C：ρ＝8cos
θ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是__________．
6已知双曲线的极坐标方程为，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6，求直线AB的极坐标方程．
7已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，当∠A变化时，求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹方程．
参考答案
1答案：D ，∴ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，即x2＋y2＝.
化简整理，得，表示圆．
2答案：A 如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，过M作MH⊥x轴于H，
∵A，
∴|MH|＝.
在Rt△OMH中，|MH|＝|OM|sin
θ，即ρsin
θ＝，
∴过A且平行于极轴的直线方程为ρsin
θ＝.
3答案：C ρ2cos
θ－ρ＝0 ρ(ρcos
θ－1)＝0，
得ρ＝0或ρcos
θ－1＝0，即x2＋y2＝0或x＝1.
4答案：A 如图所示，圆的半径为，
∴圆的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
即x2＋y2＝－2(x－y)，化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos
θ－ρsin
θ)，即ρ＝2(sin
θ－cos
θ)．
5
答案：ρ＝4cos
θ 方法一：如图，圆C的圆心为C(4,0)，半径为|OC|＝4，连接CM.
∵M为弦ON的中点，
∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．
∴点M的轨迹方程是ρ＝4cos
θ.
方法二：设M点的坐标是(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．
∵N点在圆ρ＝8cos
θ上，∴ρ1＝8cos
θ1，①
∵M是ON的中点，∴
将它代入①式得2ρ＝8cos
θ，故点M的轨迹方程是ρ＝4cos
θ.
6
答案：解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1，A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)．则，
.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|＝
＝6，
∴＝±1.∴cos
θ1＝0或cos
θ1＝.
故直线AB的极坐标方程为或或.
7
答案：解：取A为极点，AB所在射线为极轴，建立极坐标系，
∵AP平分∠BAC，MP为BC的中垂线，∴PB＝PC.
设P(ρ，θ)，(ρ＞0，且θ≠0)，则PC2＝AP2＋AC2－2AP·AC·cos
θ＝ρ2＋16－8ρcos
θ，
PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos
θ＝ρ2＋36－12ρcos
θ，
∴ρ2＋16－8ρcos
θ＝ρ2＋36－12ρcos
θ.
即ρcos
θ＝5(ρ＞0，且θ≠0)．
∴点P的轨迹方程为ρcos
θ＝5(ρ＞0，且θ≠0)．柱坐标系和球坐标系
1设点M的直角坐标为(－1，，2)，则它的柱坐标是( )．
A．
B．
C．
D．
2设点P的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )．
A．
B．
C．
D．
3如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，，则此长方体的体积为( )．
A．100
B．120
C．160
D．240
4已知点N的球坐标为，则其直角坐标为( )．
A．(－2,2,)
B．
(2,－2,)
C．(－2,－2,)
D．(－2,2,－)
5在柱坐标系中，已知A，B及O(0,0,0)三点，则△ABO的面积为__________．
6已知点P1的球坐标是，点P2的柱坐标为，则|P1P2|2＝__________.
7在直三棱柱ABC—A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M是A1B1的中点．建立适当的坐标系，求点M的空间直角坐标和柱坐标．
8如图，在柱坐标系中，O(0,0,4)，A(3，θA,4)，B1(3，θB1，0)，其中θA－θB1＝60°，求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.
参考答案
1
答案：B 设点M的柱坐标为(r，θ，z)，则.
∵0≤θ＜2π，x＜0，
∴，r＝＝2，z＝2.
∴点M的柱坐标为.
2
答案：B 设P点的球坐标为(r，φ，θ)，则有tan
θ＝＝1.
∵0≤θ＜2π，x＜0，
∴，r＝＝2.
∴.
∵0≤φ≤π，∴.
∴P点的球坐标为.
3答案：B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，
故长方体的体积为4×5×6＝120.
4答案：A 设点N的直角坐标为(x，y，z)，则有
∴点N的直角坐标为(－2,2,)．
5
答案：1 ∵A，B，O(0,0,0)，
∴△OAB为直角三角形．
∴S△OAB＝|OA||AB|＝×1×2＝1.
6答案： 设P1的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝rsin
φcos
θ＝，
y＝rsin
φsin
θ＝，
z＝rcos
φ＝.
∴P1.
同理，点P2的直角坐标为.
∴|P1P2|2＝
.
7
答案：解：建立如图所示的坐标系，过点M作底面xCy的垂线MN.
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴N点在线段AB上．
由点N分别作x轴，y轴的垂线NE，NF，
根据已知，可得△ABC是等腰直角三角形，
∴|NE|＝|NF|＝.
故点M的空间直角坐标为.
由于点M在平面xCy上的射影为点N，
|CN|＝，∠ECN＝，
故点M的柱坐标为.
8答案：解：如图，作OB∥O1B1，交上底圆周于点B，连接AB，BB1，∠AOB＝60°，则△OAB为等边三角形．
∵BB1∥OO1，∴BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角．
又BB1⊥圆O所在的平面，
∴BB1⊥AB.
在Rt△ABB1中，tan∠AB1B＝，
∴∠AB1B＝37°，|AB1|＝＝5，即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角为37°，AB1的长为5.
