高中数学第1讲坐标系同步精练(打包5套)北师大版选修4_4

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名称 高中数学第1讲坐标系同步精练(打包5套)北师大版选修4_4
格式 zip
文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2017-10-28 13:41:35

文档简介

极坐标系的概念、点的极坐标与直角坐标的互化
1点P的直角坐标为,那么它的极坐标可表示为(  ).
A.
B.
C.
D.
2在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是(  ).
A.
B.
C.
D.
3在极坐标系中,若等边△ABC的两个顶点是A,B,那么可能是顶点C的坐标的是(  ).
A.
B.
C.
D.(3,π)
4在极坐标系中,极坐标化为直角坐标为(  ).
A.(1,1)
B.(-1,1)
C.(1,-1)
D.(-1,-1)
5直线l过点A,B,则直线l与极轴所在直线的夹角等于________.
6点A在条件:
(1)ρ>0,θ∈(-2π,0)下的极坐标是__________;
(2)ρ<0,θ∈(2π,4π)下的极坐标是__________.
7将下列极坐标化成直角坐标.
(1);
(2);
(3)(5,π).
8已知极点在点(2,-2)处,极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中,点M的极坐标为,求点M在直角坐标系中的坐标.
参考答案
1
答案:B ρ==2,tan
θ==-1,
∵点P在第二象限,∴最小正角.
2
答案:A 点(ρ,θ)关于极点对称的点为(ρ,π+θ),
故关于极点对称的点的一个坐标为,即.
3答案:B 如图,由题设,可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.
又|AB|=4,△ABC为正三角形,
∴|OC|=,∠AOC=,点C的极角或,
即点C的极坐标为或.
4答案:D x=ρcos
θ=,
y=ρsin
θ=,
故所求直角坐标为(-1,-1).
5答案: 如图所示,先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角),然后根据点A,B的位置分析夹角大小.
因为|AO|=|BO|=7,∠AOB=,
所以.
所以.
6
答案:(1) (2) (1)当ρ>0时,点A的极坐标形式为(k∈Z),
∵θ∈(-2π,0).令k=-1,点A的极坐标为,符合题意.
(2)当ρ<0时,的极坐标的一般形式是(k∈Z).
∵θ∈(2π,4π),当k=1时,点A的极坐标为,符合题意.
7
答案:解:(1),,
所以点的直角坐标为(1,1).
(2)x=6·=3,
y=6·.
所以点的直角坐标为(3,).
(3)x=5·cos
π=-5,y=5·sinπ=0,
所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).
8
答案:解:设M(x,y),则x-2=ρcos
θ=,
∴x=2+,y-(-2)=ρsin
θ==2.
∴y=2-2=0.
∴点M的直角坐标为(2+,0).平面直角坐标系与曲线方程
1已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x),满足,则x的值为(  ).
A.3
B.6
C.7
D.9
2已知△ABC的底边BC长为12,且底边固定,顶点A是动点,且sin
B-sin
C=,若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系,则点A的轨迹方程是(  ).
A.
B.(x<-3)
C.
D.(x<-3)
3(2011·济宁高三模拟)椭圆的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为(  ).
A.
B.
C.
D.
4平面内有一条固定线段AB,|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB的中点,则|OP|的最小值是(  ).
A.
B.
C.2
D.3
5平面直角坐标系中,O为原点,已知两点A(4,1),B(-1,3),若点C满足=m+n,其中m,n∈[0,1],且m+n=1,则点C轨迹方程为__________.
6在平面直角坐标系中,设点P(x,y),定义|OP|=|x|+|y|,其中O为坐标原点,对以下结论:①符合|OP|=1的点P的轨迹围成图形面积为2;②设P为直线+2y-2=0上任意一点,则|OP|的最小值为1;③设P为直线y=kx+b(k,b∈R)上任意一点,则“使|OP|最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k=±1”.其中正确的结论有__________.(填序号)
7设有半径为3
km的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进.A出村后不久,改变前进方向,沿着切于村落边界的方向前进,后来恰好与B相遇.设A,B两人的速度都一定,其比为3:1,问两人在何处相遇?
8在△ABC中,底边BC=12,其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30,建立适当的坐标系,求此三角形重心G的轨迹方程.
参考答案
1答案:C ∵=(1,-1),=(5,x-2),
又⊥,∴·=0,即5-(x-2)=0.
∴x=7.
2答案:B 由题意知,B(-6,0),C(6,0),
由sin
B-sin
C=sin
A得b-c=a=6,
即|AC|-|AB|=6.
所以,点A的轨迹是以B(-6,0),C(6,0)为焦点,2a=6的双曲线的左支且y≠0.
其方程为(x<-3).
3答案:A 设F1为右焦点,则F1(3,0),
设P(x0,y0),PF1的中点M(0,yM),
则,得x0=-3,
把(-3,y0)代入椭圆方程,得.
∴.
当F1为左焦点时,F1(-3,0),解法同上,所得答案相同.
4答案:A 以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,则点P的轨迹是以A,
B为焦点的双曲线的一部分.2c=4,c=2,2a=3,
∴.∴b2=c2-a2=4-.
∴点P的轨迹方程为(x≥).
由图可知,点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是.
5
答案:2x+5y-13=0(-1≤x≤4) 由题意知,A,B,C三点共线且C在线段AB上,点A,B所在的直线方程为2x+5y-13=0,且点C的轨迹为线段AB,所以,点C的轨迹方程为2x+5y-13=0,x∈[-1,4].
6答案:①③ 在①中,由于|OP|=1
其图象如图
故其面积为2×=2.故①正确.
在②中,当P时,
|OP|=|x|+|y|=<1,
∴|OP|最小值不为1.故②错误.
在③中,∵|x|+|y|≥|x+y|=|(k+1)x+b|,
当k=-1时,|x|+|y|≥|b|满足题意,
即|x|+|y|≥|x-y|=|(k-1)x-b|,
当k=1时,|x|+|y|≥|b|满足题意,故③正确.
7
答案:分析:先根据题意建立平面直角坐标系.设出相应点的坐标,利用圆的关系和直角坐标系中点的关系列出式子求值.
解:以村落中心为原点,A,B开始前进方向分别为x轴正方向、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图.
由题意可设A,B两人速度分别为3v
km/h,v
km/h,设A出发x0
h后,在点P处改变前进方向,又经y0
h在点Q处与B相遇,则P,Q两点的坐标分别是(3vx0,0),(0,v(x0+y0)).
由于A从P到Q行走的时间是y0
h,
于是由勾股定理得,|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,
有(3vx0)2+[v(x0+y0)]2=(3vy0)2.
化简整理,得(x0+y0)(5x0-4y0)=0.
又x0+y0>0,∴5x0=4y0.①
又,②
①代入②,得.
由于切线PQ与y轴的交点Q对应的纵坐标v(x0+y0)的值就是问题的答案,于是问题转化为“当直线y=+b与圆x2+y2=9相切时,求纵截距b的值”.利用圆心到切线的距离等于半径,得(b>0).
答:A和B相遇的地点在村落中心正北km处.
8答案:分析:先依据题中△ABC中底边BC的确定性建立适当的坐标系,再据“AB和AC上中线和为30”判断出G的轨迹为以B,C为焦点的椭圆,最后根据椭圆方程的标准形式写出G的轨迹方程.
解:以BC所在直线为x轴,BC边中点为原点,
过原点且与BC垂直的直线为y轴,
则B(6,0),C(-6,0),|BD|+|CE|=30,
可知|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20,
∴G的轨迹是椭圆,轨迹方程为:(x≠±10).平面直角坐标轴中的伸缩变换
1一条抛物线经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是(  ).
A.直线
B.圆
C.抛物线
D.双曲线
2将一个圆作伸缩变换后,所得图形不可能是(  ).
A.椭圆
B.比原来大的圆
C.比原来小的圆
D.双曲线
3在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍,则圆x2+y2=1进行伸缩变换后的图形是(  ).
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
4在平面直角坐标系中,如果y轴上的单位长度变为x轴上单位长度的倍,则一条线段经过变换后的图形是(  ).
A.直线
B.射线
C.与原来长度相同的线段
D.比原来长度短的线段
5如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍,则方程x+y=-1的图形是__________.
6如图,在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的两倍的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-8,0),C(-4,0),则△ABC的面积为__________.
7在下列平面直角坐标系中,分别作出双曲线的图形:
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度;
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍;
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.
参考答案
1
答案:C 抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是不会发生变化的.
2
答案:D 将圆作伸缩变换,如果保持一轴不变,另一轴压缩或伸长都会出现椭圆的形状,故选项A正确.当两轴同时放大或缩小时,会得到比原来大或小的圆,故选项B,C正确,故选D.
3
答案:B
4
答案:D 通过作图可知答案.
5
答案:直线
6
答案:8
7
答案:解:(1)建立平面直角坐标系,使x轴与y轴具有相同的单位长度,双曲线的图形如下:
(2)如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,双曲线的图形如下:
(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的,双曲线的图形如下:1.2
极坐标系
直线和圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆锥曲线统一的极坐标方程
1极坐标方程表示的曲线是(  ).
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
2过A且平行于极轴的直线的极坐标方程是(  ).
A.ρsin
θ=
B.ρsin
θ=2
C.ρcos
θ=
D.ρcos
θ=2
3化极坐标方程ρ2cos
θ-ρ=0为直角坐标方程为(  ).
A.x2+y2=0或y=1
B.x=1
C.x2+y2=0或x=1
D.y=1
4圆心在点(-1,1)处,且过原点的圆的极坐标方程是(  ).
A.ρ=2(sin
θ-cos
θ)
B.ρ=2(cos
θ-sin
θ)
C.ρ=2sin
θ
D.ρ=2cos
θ
5过极点O作圆C:ρ=8cos
θ的弦ON,则ON的中点M的轨迹方程是__________.
6已知双曲线的极坐标方程为,过极点作直线与它交于A,B两点,且|AB|=6,求直线AB的极坐标方程.
7已知在△ABC中,AB=6,AC=4,当∠A变化时,求∠A的平分线与BC的中垂线的交点P的轨迹方程.
参考答案
1答案:D ,∴ρ2=ρcos
θ+ρsin
θ,即x2+y2=.
化简整理,得,表示圆.
2答案:A 如图所示,设M(ρ,θ)(ρ≥0)是直线上任意一点,过M作MH⊥x轴于H,
∵A,
∴|MH|=.
在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sin
θ,即ρsin
θ=,
∴过A且平行于极轴的直线方程为ρsin
θ=.
3答案:C ρ2cos
θ-ρ=0 ρ(ρcos
θ-1)=0,
得ρ=0或ρcos
θ-1=0,即x2+y2=0或x=1.
4答案:A 如图所示,圆的半径为,
∴圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2,
即x2+y2=-2(x-y),化为极坐标方程,得ρ2=-2(ρcos
θ-ρsin
θ),即ρ=2(sin
θ-cos
θ).
5
答案:ρ=4cos
θ 方法一:如图,圆C的圆心为C(4,0),半径为|OC|=4,连接CM.
∵M为弦ON的中点,
∴CM⊥ON,故M在以OC为直径的圆上.
∴点M的轨迹方程是ρ=4cos
θ.
方法二:设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).
∵N点在圆ρ=8cos
θ上,∴ρ1=8cos
θ1,①
∵M是ON的中点,∴
将它代入①式得2ρ=8cos
θ,故点M的轨迹方程是ρ=4cos
θ.
6
答案:解:设直线AB的极坐标方程为θ=θ1,A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ1+π).则,
.
|AB|=|ρ1+ρ2|=
=6,
∴=±1.∴cos
θ1=0或cos
θ1=.
故直线AB的极坐标方程为或或.
7
答案:解:取A为极点,AB所在射线为极轴,建立极坐标系,
∵AP平分∠BAC,MP为BC的中垂线,∴PB=PC.
设P(ρ,θ),(ρ>0,且θ≠0),则PC2=AP2+AC2-2AP·AC·cos
θ=ρ2+16-8ρcos
θ,
PB2=AP2+AB2-2AP·ABcos
θ=ρ2+36-12ρcos
θ,
∴ρ2+16-8ρcos
θ=ρ2+36-12ρcos
θ.
即ρcos
θ=5(ρ>0,且θ≠0).
∴点P的轨迹方程为ρcos
θ=5(ρ>0,且θ≠0).柱坐标系和球坐标系
1设点M的直角坐标为(-1,,2),则它的柱坐标是(  ).
A.
B.
C.
D.
2设点P的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为(  ).
A.
B.
C.
D.
3如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5),,则此长方体的体积为(  ).
A.100
B.120
C.160
D.240
4已知点N的球坐标为,则其直角坐标为(  ).
A.(-2,2,)
B.
(2,-2,)
C.(-2,-2,)
D.(-2,2,-)
5在柱坐标系中,已知A,B及O(0,0,0)三点,则△ABO的面积为__________.
6已知点P1的球坐标是,点P2的柱坐标为,则|P1P2|2=__________.
7在直三棱柱ABC—A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的空间直角坐标和柱坐标.
8如图,在柱坐标系中,O(0,0,4),A(3,θA,4),B1(3,θB1,0),其中θA-θB1=60°,求直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角和AB1的长.
参考答案
1
答案:B 设点M的柱坐标为(r,θ,z),则.
∵0≤θ<2π,x<0,
∴,r==2,z=2.
∴点M的柱坐标为.
2
答案:B 设P点的球坐标为(r,φ,θ),则有tan
θ==1.
∵0≤θ<2π,x<0,
∴,r==2.
∴.
∵0≤φ≤π,∴.
∴P点的球坐标为.
3答案:B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5),C1,可知|OA|=4,|OC|=6,|OO1|=5,
故长方体的体积为4×5×6=120.
4答案:A 设点N的直角坐标为(x,y,z),则有
∴点N的直角坐标为(-2,2,).
5
答案:1 ∵A,B,O(0,0,0),
∴△OAB为直角三角形.
∴S△OAB=|OA||AB|=×1×2=1.
6答案: 设P1的直角坐标为(x,y,z),
则x=rsin
φcos
θ=,
y=rsin
φsin
θ=,
z=rcos
φ=.
∴P1.
同理,点P2的直角坐标为.
∴|P1P2|2=
.
7
答案:解:建立如图所示的坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴N点在线段AB上.
由点N分别作x轴,y轴的垂线NE,NF,
根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,
∴|NE|=|NF|=.
故点M的空间直角坐标为.
由于点M在平面xCy上的射影为点N,
|CN|=,∠ECN=,
故点M的柱坐标为.
8答案:解:如图,作OB∥O1B1,交上底圆周于点B,连接AB,BB1,∠AOB=60°,则△OAB为等边三角形.
∵BB1∥OO1,∴BB1与AB1所成的角就是AB1与圆柱的轴OO1所成的角.
又BB1⊥圆O所在的平面,
∴BB1⊥AB.
在Rt△ABB1中,tan∠AB1B=,
∴∠AB1B=37°,|AB1|==5,即直线AB1与圆柱的轴OO1所成的角为37°,AB1的长为5.
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