第一讲 第二节 第三课时
直线的极坐标方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．直线x－y＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( )
A．θ＝
B．θ＝π
C．θ＝和θ＝π
D．θ＝π
解析： 由x－y＝0，得ρcos
θ－ρsin
θ＝0，
即tan
θ＝，∴θ＝和θ＝π，
又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝和θ＝π表示．
答案： C
2．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为( )
A．ρcosθ＝
B．ρsinθ＝
C．ρ＝cosθ
D．ρ＝sinθ
解析： 如图所示，设M(ρ，θ)是所求直线上任一点，
在Rt△AQO中，
由已知得|OQ|＝3cos＝.
在Rt△MQO中，得ρcosθ＝.
即为所求直线的极坐标方程．
答案： A
3．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(ρ∈R)关于( )
A．直线θ＝成轴对称
B．直线θ＝成轴对称
C．点成中心对称
D．极点成中心对称
解析： 将原方程变形为ρ＝4cos，
即ρ＝4cos，该方程表示以为圆心，以2为半径的圆，所以曲线关于直线θ＝成轴对称．
答案： B
4．直线θ＝和直线θ＝的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．不能确定
解析： 由图象知，两直线垂直．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．在极坐标系中，点A到直线ρsin
θ＝－2的距离是__________
________.
解析： 点A化为直角坐标为，
直线为y＝－2，则点A到直线的距离为2＋.
答案： 2＋
6．两条直线ρcos＝2和tan
θ＝1的夹角为__________
________.
解析： 将极坐标方程化为直角坐标方程：
由ρcos＝2得(ρcos
θ＋ρsin
θ)＝2，
即x＋y＝2；由tan
θ＝1，即θ＝或θ＝，
即直线y＝x.由于直线y＝x与x＋y＝2互相垂直，
故夹角为90°.
答案： 90°
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程．
解析： 如图，设M(ρ，θ)为所求直线上任一点，则在△AOM中，∠OAM＝，|OM|＝ρ，∠OMA＝π－－θ.|OA|＝5，
在△AOM中由正弦定理得：＝，
整理得：ρsin＝，
即为所求直线的极坐标方程．
8.
从极点引直线与已知直线l：ρcos(θ－α)＝a交于一点Q，P点内分OQ成的比．当Q点在直线l上移动时，求点P的轨迹方程．
解析： 设Q点的坐标为(ρ1，θ1)，P点的坐标为(ρ，θ)．
设点P内分OQ所成的比＝λ，
则∴
代入点Q所在直线的极坐标方程ρ1cos(θ1－α)＝a得
ρcos(θ－α)＝a，
∴ρcos(θ－α)＝a，
这就是点P的轨迹方程．
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．
解析： 取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcos
θ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
∵点A在直线ρcos
θ＝4上，
∴ρ0cos
θ0＝4.
①
∵△OPA为等腰直角三角形，
且∠OPA＝，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，
以及∠POA＝，
∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.
②
把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos＝4.
由ρcos＝4，
得ρ(cos
θ＋sin
θ)＝4，
∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，
是过点(4,0)且倾斜角为的直线．第一讲 第二节 第二课时
极坐标和直角坐标的互化
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 先把复数化为直角坐标，再化为极坐标．
答案： A
2．两点A，B的极坐标分别为，，则A，B两点间的距离为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 点A，B的极直角坐标分别为(1，)，(0,3)，
则|AB|＝
＝.
答案： D
3．在极坐标系中，两点P和Q，则PQ的中点的极坐标是( )
A．
B．
C．
D．
解析： 先化直角坐标，再化为极坐标．
∵P，∴
∴P(1，)．
∵Q，
∴∴Q(－3，)．
∴中点M的直角坐标为(－1，)．
∴ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.
∴tan
θ＝＝－，∴θ＝.
∴中点M的极坐标为.
答案： B
4．已知点M的极坐标为，则点M关于y轴对称的点的直角坐标为( )
A．(－3，－3)
B．(3，－3)
C．(－3，3)
D．(3，3)
解析： ∵点M的极坐标为，
∴x＝6cos
＝6cos
＝6×
＝3，
y＝6sin
＝6sin＝－6×＝－3，
∴点M的直角坐标为(3，－3)，
∴点M关于y轴对称的点的直角坐标为(－3，－3)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M的极坐标与直角坐标相同，则点M的直角坐标为__________
________.
解析： 点M的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x，y)，
依题意得ρ＝x，θ＝y，即x2＋y2＝x2，
故y＝θ＝0，ρ>0，所以M(ρ，0)．
答案： (ρ，0)
6．已知，极坐标系的极点在直角坐标系中的坐标为(－，1)，方向与x轴正方向一致，则直角坐标系中的点(2，10)在极坐标系中的极坐标为__________
________.
解析： 由题意可知
∴tanθ＝，∴θ＝.
ρ2＝[2－(－)]2＋(10－1)2＝108，
∴ρ＝6.
∴点(2，10)在新的极坐标系中的极坐标为.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.如图所示，已知△ABC三个顶点的极坐标分别为A，B，C，极点O(0,0)，
(1)判断△OAB的形状；
(2)求△ABC的面积．
解析： 所给各点的直角坐标分别为A(0,2)，B(－，1)，C，O(0,0)，
(1)∵|AB|＝＝2，
|OA|＝|OB|＝2，
∴△OAB为等边三角形．
(2)∵|AC|＝
＝，
|BC|＝
＝，
|AB|＝2，∴△ABC为等腰三角形．
∵AB的中点为D，
|CD|＝
＝2，
∴S△ABC＝|AB||CD|＝×2×2＝2.
8．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P的极坐标．
解析： 设点P的直角坐标为(x，y)，
由题意得解得
∵点P的直角坐标为(3，－)，
∴ρ＝＝2，tan
θ＝，
∵0≤θ<2π，点P在第四象限，∴θ＝，
∴点P的极坐标为.
??☆☆☆
9．(10分)如果点M的极坐标为(ρ，θ)，那么点M关于极点O的对称点M′可以表示为(－ρ，θ)．
(1)试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性；
(2)已知点M的极坐标为，若限定ρ>0,0≤θ<2π，求点M的极坐标；
(3)试问(ρ，θ)，(－ρ，π＋θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)是否都表示同一点的极坐标？
解析： (1)由于点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M′(ρ，θ＋π)，根据上述表示，点(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)应为同一点．
设点M′的直角坐标为(x，y)，由点
M′(ρ，θ＋π)得x＝ρcos(θ＋π)＝－ρcos
θ，
y＝ρsin(θ＋π)＝－ρsin
θ，
由M′(－ρ，θ)，得x＝－ρcos
θ，y＝－ρsin
θ，
所以上述表示是合理的．
(2)∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，
∴与为同一点的极坐标，
故点M的极坐标为.
(3)由上述可知(ρ，θ)与(－ρ，π＋θ)为同一点，
又由于(ρ，θ)与(ρ，2π＋θ)为同一点，(－ρ，π＋θ)与(－ρ，－π＋θ)为同一点，
所以(ρ，θ)，(－ρ，θ＋π)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的极坐标．第一讲 坐标系
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．
1．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－2)的极坐标是( )
A．
B．
C．
D．
解析： 由直角坐标与极坐标互化公式：
ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝(x≠0)．
把点(－2，－2)代入即可得ρ＝4，tan
θ＝，
因为点(－2，－2)在第三象限，所以θ＝.
答案： B
2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tan
θ＝1与θ＝表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )
A．①③
B．①
C．②③
D．③
解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；
tan
θ＝1不仅表示θ＝这条射线，还表示θ＝这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．
答案： D
3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换( )
A．
B．
C．
D．
解析： 方法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，
∴2＋2＝4，
令得x′2＋y′2＝4，
即x2＋y2＝4，
∴伸缩变换为所求．
方法二：将x2＋y2＝4改写为x′2＋y′2＝4，
设满足题意的伸缩变换为
代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，
即＋＝1，
与椭圆＋＝1比较系数得
解得
∴伸缩变换为即.
答案： D
4．极坐标方程4ρsin2＝5表示的曲线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
解析： 若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究．
4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcosθ＝5，化为直角坐标方程：2－2x＝5，化简，得y2＝5x＋.
故该方程表示抛物线．
答案： D
5．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin
θ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4
B．
C．2
D．2
解析： ρ＝4sin
θ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.
答案： C
6．已知点P的坐标为(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是( )
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝－
D．ρ＝
解析： 由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x＝－1，即ρcos
θ＝－1，故选C．
答案： C
7．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为( )
A．
B．
C．2
D．2
解析： 圆ρ＝4cosθ的圆心C(2,0)，如图所示，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，
∴|CD|＝.
答案： B
8．在极坐标中，与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线方程为( )
A．ρsin
θ＝2
B．ρcos
θ＝2
C．ρcos
θ＝4
D．ρcos
θ＝－4
解析： 圆ρ＝4sin
θ的圆心为，半径为r＝2，
对于选项A，方程ρsin
θ＝2对应的直线y＝2，与圆相交；
对于选项B，方程ρcos
θ＝2对应的直线x＝2，与圆相切；
选项C，D对应的直线与圆相离．
答案： B
9．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r＞0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r
B．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
C．ρ(sinθ＋cosθ)＝r
D．ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
解析： 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2①
圆ρ＝－2rsin
＝－2r＝－r(sinθ＋cosθ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsinθ＋ρcosθ)，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0②
①－②整理得(x＋y)＝－r，
即为两圆公共弦所在直线的普通方程．
再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.
答案： D
10．极坐标系内曲线ρ＝2cosθ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )
A．－1
B．－1
C．1
D．
解析： 将曲线ρ＝2cosθ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)
11．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos
θ＋ρsin
θ＝1围成图形的面积是
________.
解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1.如图可知，
S△POQ＝×|OQ|×|yp|
＝×1×＝.
答案：
12．已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且|OA|＝|OB|，则点B的直角坐标
________.
解析： 依题意，点B的极坐标为，
∵cos
＝cos
＝cos
cos
－sin
sin
＝×－×
＝，
sin
＝sin
＝sin
cos
＋cos
sin
＝×＋×＝，
∴x＝ρcos
θ＝4×＝－，
y＝ρsin
θ＝4×＝＋.
∴点B的直角坐标为(－，＋)．
答案： (－，＋)
13．从极点作圆ρ＝2acos
θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为
________.
解析： 数形结合，易知所求轨迹是以为圆心，为半径的圆．求得方程是ρ＝acos
θ.
答案： ρ＝acos
θ
14．点A的直角坐标为，则它的球坐标为
________.
解析： r＝＝6.
cosφ＝＝，∴φ＝.tanθ＝＝，
∴θ＝，
∴它的球坐标为.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线l作垂线，由极轴到垂线OA的角度为α(如图所示)．求直线l的极坐标方程．
解析： 在直线l上任取一点M(ρ，θ)．
在直角三角形OMA中，
由三角知识得ρcos(α－θ)＝d，
即ρ＝.这就是直线l的极坐标方程．
16．(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程．
解析： 以圆心O为极点，x轴正半轴为轴建立坐标系，
设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．
因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP，
所以·3ρ·sinθ＋ρ·sinθ＝×3×1×sin2θ.
整理得ρ＝cosθ.
17．(12分)已知⊙C：ρ＝cos
θ＋sin
θ，直线l：ρ＝2.求⊙C上点到直线l距离的最小值．
解析： ⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，
即2＋2＝.
又直线l的极坐标方程为ρ(cos
θ－sin
θ)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
设M为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离
d＝
＝，
当θ＝时，dmin＝＝.
18．(14分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解析： (1)由ρcos＝1，
得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，得M(2,0)；
当θ＝时，ρ＝，得N.
(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为，
则P点的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈R.第一讲 第二节 第四课时
圆的极坐标方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( )
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝2cos
θ
D．ρ＝2sin
θ
解析： 由题意知圆的极坐标方程为
ρ＝2rcos
θ＝2·1·cos
θ
即ρ＝2cos
θ
故选C．
答案： C
2．极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是( )
A．2
B．
C．1
D．
解析： 直接在极坐标系中，根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是和，这两点间的距离是.
答案： D
3．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )
解析： ∵ρ＝2sin＝2sinθ·cos＋2cosθ·sin＝(sinθ＋cosθ)，
∴ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ，
∴x2＋y2＝x＋y，
∴2＋2＝1，
∴圆心.
结合题中四个图形，可知选C项．
答案： C
4．在极坐标中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为( )
A．ρcos
θ＝2
B．ρsin
θ＝2
C．ρcos
θ＝
D．ρsin
θ＝
解析： 如右图，Rt△OAC中，
OC＝＝＝2.
设直线l的任意一点为M(ρ，θ)，
则ρcos
θ＝2.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．圆ρ＝(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是________.
解析： 两边同乘ρ，则ρ2＝·ρcosθ＋ρsinθ，
则x2＋y2－x－y＝0，
从而圆心.化为极坐标为.
答案：
6．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q，使＝，则点Q的轨迹方程为________.
解析： 设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，则θ＝θ0，＝，
∴ρ0＝ρ，ρ0＝2cosθ0，
则有ρ＝2cosθ，所以ρ＝5cosθ.
答案： ρ＝5cosθ
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin
θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求|PQ|的最大值．
解析： ∵ρ＝12sin
θ，∴ρ2＝12ρsin
θ，
∴x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36
又∵ρ＝12cos，
∴ρ2＝12ρ(cos
θcos
＋sin
θsin
)，
∴x2＋y2－6x－6y＝0，
∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.
∴|PQ|max＝6＋6＋
＝18.
8．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos
θ，ρ＝－sin
θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1，圆O2两个交点的直线的直角坐标方程．
解析： 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为圆O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋y＝0为圆O2的直角坐标方程．
(2)由，相减得过交点的直线的直角坐标方程为4x＋y＝0.
??☆☆☆
9．(10分)如下图所示，根据指令(r，θ)(r≥0，－180°≤θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：
先原地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转|θ|)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移到点(4,4)；
(2)机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位)．
解析： (1)求得r＝4，θ＝45°，故指令为(4，45°)．
(2)设机器人最快在点P(x,0)处截住小球，
则因为小球速度是机器人速度的2倍，
所以在相同时间内有|17－x|＝2.
即3x2＋2x－161＝0，得x＝－或x＝7，
因为要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，所以x＝7，故机器人最快可在点P(7,0)处截住小球，所给的指令为(5，－98.13°)．第一讲 第二节 第一课时
极坐标系的概念
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．点P关于极轴的对称点的极坐标为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 如右图，点p关于极轴Ox的对称点为.
答案： D
2．点M(ρ≥0)的轨迹是( )
A．点
B．射线
C．直线
D．圆
解析： 由于动点M(ρ，)的极角θ＝，ρ取一切非负实数，
故点M的轨迹是极角为的终边是一条射线，故选B．
答案： B
3．将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM
|＝4，则ρ>0，θ∈[0,2π)时点M的极坐标是( )
A．
B．
C．
D．
解析： ρ＝|OM|＝4，与OP终边相同角为－＋2kπ，k∈Z，
令k＝1，θ＝，∴M.选A．
答案： A
4．已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：
A、B在极坐标中的位置，如图，
则由图可知∠AOB＝－＝.
在△AOB中，|AO|＝|BO|＝3，
所以，由余弦定理，得
|AB|2＝|OB|2＋|OA|2－2|OB|·|OA|·cos
＝9＋9－2×9×
＝18＋9＝(4＋2)．
∴|AB|＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．点M到极轴所在直线的距离为__________
________.
解析： 依题意，点M到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin
＝3.
答案： 3
6．点A，B，O为极点，则△AOB的面积是__________
______.
解析： S△AOB＝×＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)．
解析： 如右图所示，
由题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝，
∠xOA＝，∠xOB＝，∠xOC＝，∠xOD＝.
故正方形的顶点坐标分别为A，B，C，D.
8．已知A、B两点的极坐标分别是、，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．
解析： 求两点间的距离可用如下公式：
|AB|＝
＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|
＝
＝×2×4＝4.
??☆☆☆
9．(10分)如果对点的极坐标定义如下：当M(ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M关于极点O的对称点M′(－ρ，θ)，如图所示．例如，M关于极点O的对称点M′，也就是说与表示同一点．已知点A的极坐标是，分别在下列给定条件下，写出点A的极坐标．
(1)ρ>0，－π<θ≤π；
(2)ρ<0,0≤θ<2π；
(3)ρ<0，－2π<θ≤0.
解析： 如右图所示，|OA|＝|OA′|＝6，
∠xOA′＝，∠xOA＝，即A与A′关于极点O对称，由极坐标的定义知
(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A；
(2)当ρ<0,0≤θ<2π时，A；
(3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A.第一讲 第一节
平面直角坐标系
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．点P(2,3)关于y轴的对称点是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(2，－3)
D．(－2，－3)
解析： 点(x，y)关于y轴的对称点坐标为(－x，y)．
所以点(2,3)关于y轴的对称点坐标是(－2,3)．
答案： B
2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝1，则曲线C的方程为( )
A．50x2＋72y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x2＋24y2＝1
D．x2＋y2＝1
解析： 将坐标直接代入新方程，即可得原来的曲线方程．
将直接代入2x′2＋8y′2＝1，
得2·(5x)2＋8(3y)2＝1，
则50x2＋72y2＝1即为所求曲线C的方程．
答案： A
3．函数y＝2sin，先保持横坐标不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍；再保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，则其函数为( )
A．y＝sin
B．y＝6sin
C．y＝6sin
D．y＝sin
解析： 纵坐标伸长3倍得到y＝6sin，再将横坐标缩为原来的，得到y＝6sin
答案： B
4．将曲线F(x，y)＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的曲线方程为( )
A．F＝0
B．F＝0
C．F＝0
D．F＝0
解析： 由横坐标伸长到原来的2倍知，x′＝纵坐标缩短到原来的知y′＝3y.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为__________
________.
解析： 设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，
变换后的对应点为P′(x′，y′)，
由题意知伸缩变换为∴
代入y＝log3x，得y′＝log3x′，
即y＝log3.
答案： y＝log3
6．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是__________
________.
解析： 设则μy＝sinλx，
即y＝sinλx.
比较y＝3sin2x与y＝sinλx，则有＝3，λ＝2.
∴μ＝，λ＝2.∴
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知矩形ABCD，对于矩形所在的平面内任意一点M，求证：AM2＋CM2＝BM2＋DM2.
解析： 以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立如下图所示平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．
设B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)
则AM2＋CM2＝x2＋y2＋(x－a2)＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，
BM2＋DM2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，
∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.
8．在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解析： x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝1.
①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.
②
比较①②，可得即
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
??☆☆☆
9．(10分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图所示，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，
变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，问航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？
解析： (1)设曲线方程为y＝ax2＋，
∵点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知
得4y2－7y－36＝0.
y＝4或y＝－(舍去)，
∴y＝4.得x＝6或x＝－6(舍去)．
∴C点的坐标为(6,4)，
|AC|＝2，|BC|＝4，
所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．第一讲 第三节 柱坐标系与球坐标系
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在空间球坐标系中，方程r＝2表示( )
A．圆
B．半圆
C．球面
D．半球面
解析： 当r＝2,0≤φ≤π，0≤θ<2π时表示半径为1的球面，但由于r＝2,0≤φ≤，0≤θ<2π故此方程表示半径为1的半球面．
答案： D
2．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是( )
A．(1,0,0)
B．(0,1,0)
C．(0,0,1)
D．(1，π，0)
解析： 利用公式
进行公式转化：r＝＝1
cos
φ＝1，φ＝0；tan
θ＝＝0，
故θ＝0所以球坐标的(1,0,0)．
答案： A
3．某点的柱坐标为，则其直角坐标为( )
A．(1，，3)
B．(，1,3)
C．(1，－，3)
D．(－，1,3)
解析： 由得即直角坐标为(，1,3)．
答案： B
4．已知点P的柱坐标为(，，5)，点B的球坐标为(，，)，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A．P点(5,1,1)，B点
B．P点(1,1,5)，B点
C．P点，B点(1,1,5)
D．P点(1,1,5)，B点
解析： 球坐标与直角坐标的互化公式为
柱坐标与直角坐标的互化公式为
设P点的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝cos＝×＝1，
y＝sin＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝sincos＝××＝，
y＝sinsin＝××＝，
z＝cos＝×＝.
所以点P的直角坐标为(1,1,5)，
点B的直角坐标为.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________.
解析： 由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案： (－2,2,2) (2，，2)
6．已知球坐标中，M，N，则|MN|＝________.
解析： 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
由得
∴M的直角坐标为(1，，2)．
同理N的直角坐标为(3，，2)，
∴|MN|＝
＝2
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在柱坐标系中，求满足，的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
解析： 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如上图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
8．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R,45°，70°)，点B的坐标为(R,45°，160°)，求A、B两点的球面距离．
解析： 要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的底数，就可求球面距离．
如图，由点A、B的球坐标可知，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上，设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O，则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，
∴∠AO′B＝160°－70°＝90°.
连接AO、AB，∵OB＝R，O′B＝O′A＝R，
∴AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.
∴∠AOB＝60°，＝·2πR＝πR.
故A、B两点间的球面距离为πR.
??☆☆☆
9．(10分)一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为的圆锥面上，从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v(v>0)，盘旋的角速度为ω(ω>0)，求t时刻蚂蚁所在的位置的球坐标．
解析： 如右图所示，取圆锥的顶点O为坐标原点，建立球坐标系，设t时刻蚂蚁在点M(r，φ，θ)，
由题意，得θ＝ωt，z＝vt，φ＝，
由于＝cos
φ＝cos
＝，
于是r＝2z＝2vt，
所以t时刻蚂蚁在球坐标系中位置为M，t∈[0，＋∞)．
