第二讲 第二节 第四课时
双曲线的参数方程、抛物线的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．参数方程(θ为参数)表示的曲线为( )
解析： x2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋2y，
∴y＝x2－，
且x＝sinθ＋cosθ＝sin∈[－，]．
答案： C
2．参数方程(α为参数)的普通方程为( )
A．y2－x2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(|x|≤)
D．x2－y2＝1(|x|≤)
解析： x2＝2＝1＋sinα.
y2＝2＋sinα，∴y2－x2＝1.
又x＝sin＋cos
＝sin∈[－，]．
即|x|≤.
答案： C
3．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是( )
A．(0，－4)，(0,4)
B．(－4，0)(4，0)
C．(0，－)，(0，)
D．(－，0)，(，0)
解析： 双曲线(α为参数)的标准方程为－＝1，焦点在y轴上，c2＝a2＋b2＝48.
答案： A
4．参数方程(0≤θ<2π)表示轨迹( )
A．双曲线的一支，过点
B．抛物线的一部分，过点
C．双曲线的一支，过点
D．抛物线的一部分，过点
解析： 因为x2＝1＋sin
θ，所以x2＝2y表示抛物线，
又因为x＝＝
∴x∈[0，]，
是抛物线的一部分．且当θ＝π时，有x＝1，y＝，
即曲线过点.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．曲线(t为参数)的焦点坐标为________.
解析： 将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
答案： (0,1)
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过顶点的两弦OA⊥OB，则分别以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹是________.
解析： 设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，
则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，
以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0，
即t1，t2为方程2pxt2＋2pyt－x2－y2＝0的两根，
∴t1t2＝.又OA⊥OB，
∴t1t2＝－1，即x2＋y2－2px＝0，
∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．
答案： 以(p,0)为圆心，p为半径的圆
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.
如图所示，直线l经过双曲线－y2＝1的右焦点F2，且与双曲线的右支交于A，B两点．将A，B分别与双曲线的左焦点F1连接起来，求|F1A|·|F1B|的最小值．
解析： 如图所示，由已知得右焦点F2(，0)．
设直线l的参数方程为(t为参数)，
代入－y2＝1，化简得(5cos2
θ－4)t2＋2tcos
θ＋1＝0.
则|t1－t2|＝＝，t1t2＝.
由双曲线定义，知|F1A|－|F2A|＝4，故|F1A|＝4＋|F2A|.
同理，|F1B|＝4＋|F2B|.
故|F1A|·|F1B|＝(4＋|F2A|)(4＋|F2B|)
＝16＋4(|F2A|＋|F2B|)＋|F2A|·|F2B|
＝16＋4|t1－t2|＋|t1t2|
＝16＋≥16＋＝.
当且仅当cos
θ＝0时，等号成立．
所以|F1A|·|F1B|的最小值为.
8．已知抛物线C：(参数为s)，过抛物线C的焦点F作倾斜角为α的直线l，交抛物线C于A，B.
(1)将抛物线化为普通方程，并写出直线l以t为参数的参数方程；
(2)若＝3，求倾角α.
解析： (1)x＝2＝2，所以抛物线y2＝4x，
l的参数方程
(2)t2sin2α＝4＋4tcos
α，
即t2sin2α－4tcos
α－4＝0.
记A(t1)，B(t2)则
消去t1，t2，得32＝，
tan2α＝3，故tan
α＝，
所以α＝.
??☆☆☆
9．(10分)水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法消除水流的部分功能，以保护水库坝基及下游堤坝的安全．
如右图，已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坝角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．
解析： 建立如图所示的直角坐标系．
设轨迹上任意一点为P(x，y)．
由题意鼻坝出口处的水流速度为v＝＝.
取时间t为参数，
则有x＝vtcos
30°＝t，
y＝vtsin
30°－gt2＝t－gt2.
所以挑出水流的轨迹的参数方程为
消去参数t，得y＝－x2＋x.
取y＝－18，得挑出的水流与坝基的水平距离为x＝18
≈31.2(m)．
所求轨迹方程为y＝－x2＋x，x∈[0,18]．第二讲 第二节 第二课时
圆的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．圆心在点(1，－3)，直径为4的圆的参数方程为( )
A．(θ为参数)
B．(θ为参数)
C．(θ为参数)
D．(θ为参数)
解析： 由圆的参数方程的形式可得A正确．
答案： A
2．直线3x－4y－9＝0与圆(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交不过圆心
解析： 圆心坐标为(0,0)，半径为2.
∴直线不经过圆心，圆心到直线的距离为：＜2.
∴相交不经过圆心．
答案： D
3．曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )
A．
B．
C．1
D．
解析： 因为方程(θ为参数)表示的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆，该圆关于x轴、y轴、原点对称，不妨设圆心角θ为第一象限角，
所以圆上的点到两坐标轴的距离之和为cosθ＋sinθ＝sin，其最大值为.
答案： D
4．参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
解析： 将参数方程进行消参，则有t＝，
把t＝代入y＝中得，
当x＞0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；
当x＜0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.
对照选项，可知D正确．
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若直线3x＋4y＋m＝0与圆(θ为参数)相切，则实数m的值是________.
解析： 由题意，知圆心(1，－2)，半径r＝1.
由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离等于半径，
所以d＝＝1，解得m＝0或m＝10.
答案： 0或10
6．坐标平面上有动点P(cost－sint，cost＋sint)，t∈(0，π)，当t变化时，P点的轨迹是________.
解析： 令x＝cost－sint，y＝cost＋sint，
平方相加得：x2＋y2＝4.
当t∈(0，π)时，y＝cost＋sint＝2sin
∴－1＜y≤2.
答案： x2＋y2＝4(－1＜y≤2)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为
rad/s.试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解析： 如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，
由图可知又θ＝t(t以s为单位)，
故参数方程为
8．圆M的参数方程为x2＋y2－4Rxcos
α－4Rysin
α＋3R2＝0(R>0)．
(1)求该圆的圆心坐标以及半径；
(2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹．
解析： (1)依题意，得圆M的方程为(x－2Rcos
α)2＋(y－2Rsin
α)2＝R2，
故圆心坐标为M(2Rcos
α，2Rsin
α)，半径为R.
(2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为
(其中α为参数)，
两式平方相加，得x2＋y2＝4R2.
所以，圆心M的轨迹是圆心在原点．半径为2R的圆．
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，求大圆被小圆截得的劣弧的长．
解析： 方法一：设O1的参数方程为(0≤θ＜2π)
将上式代入圆O的方程得
(3＋3cosθ)2＋(3sinθ)2＝9
化简得cosθ＝－，θ1＝π，θ2＝π
∠MO1N＝－＝
所以的长为3·＝π.
方法二：设圆O的参数方程为(0≤α＜2π)
将上式代入圆O1的方程得(3cosα－3)2＋(3sinα)2＝27
化简得cosα＝－，
∴α1＝，α2＝π
∴∠MON＝π－π＝π
∴∠MO1N＝∠MON＝
以下解法同方法一．
方法三 由x2＋y2＝9与(x－3)2＋y2＝27，解得x＝－
设M的坐标为(3＋3cosθ，3sinθ)，
则3＋3cosθ＝－解得cosθ＝－.
以下解法同方法一．
若设M的坐标为(3cosα，3sinα)，
则3cosα＝－∴cosα＝－
以下解法同方法二．第二讲 第四节 摆线和渐开线
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( )
A．(6,0)
B．(6,6π)
C．(6，－12π)
D．(－π，12π)
解析： 当φ＝2π时，
得，
故点(6，－12π)为所求．
答案： C
2．已知一个圆的参数方程是(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝对应的点的坐标与点之间的距离为( )
A．－1
B．
C．
D．
解析： 根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程，得，
代入距离公式，可得距离为
＝.
答案： C
3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
答案： C
4.
如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…中做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
解析： 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．给出某渐开线的参数方程(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是________.
解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知，这里的r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝分别代入x和y，可得即得对应的点的坐标．
答案： 3
6．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.
解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
答案： 12
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？
(2)写出平移后圆的摆线方程．
解析： (1)圆C平移后圆心为O(0,0)，
它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，
恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，
所以可得摆线方程是(φ为参数)．
8．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是
(φ为参数)．
??☆☆☆
9．(10分)已知圆C的半径为2，圆周上有一点A，当圆C沿直线l滚动时，
(1)求CA中点的轨迹方程；
(2)若在CA的延长线上取点Q，使|AQ|＝|CA|，求Q的轨迹方程．
解析： (1)以直线l为x轴，点A落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A的轨迹是平摆线，此时A点坐标为(2θ－2sinθ，2－2cosθ)，设CA中点P的坐标为(x，y)，
则
即为P点的轨迹方程．
(2)设点Q的坐标为(x，y)．
∵|AQ|＝|CA|，
∴A为CQ的中点，故有
∴，为Q点的轨迹方程．第二讲 第二节 第三课时
椭圆的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．θ取一切实数时，连接A(4sin
θ，6cos
θ)和B(－4cos
θ，6sin
θ)两点的线段的中点轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．线段
解析： 设中点M(x，y)，由中点坐标公式，
得x＝2sin
θ－2cos
θ，y＝3cos
θ＋3sin
θ，
即＝sin
θ－cos
θ，＝sin
θ＋cos
θ，
两式平方相加，得＋＝2，是椭圆．
答案： B
2．椭圆，(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的(－a,0)对应的θ＝( )
A．π
B．
C．2π
D．π
解析： ∵点(－a,0)中x＝－a，
∴－a＝acosθ，
∴cosθ＝－1，∴θ＝π.
答案： A
3．曲线上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2
B．4
C．8
D．
解析： 椭圆标准方程为＋＝1如图所示．
|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10.
∴|MF2|＝8，
∴|NO|＝|MF2|＝4.
答案： B
4．设P(x，y)为椭圆(x－1)2＋＝1上的一点，则x＋y的取值范围是( )
A．
B．R
C．
D．
解析： 设
则x＋y＝1＋cosθ＋sinθ＝1＋sin(θ＋φ)；
∴1－≤x＋y≤1＋.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设椭圆的参数方程为(0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上两点．M，N对应的参数为θ1，θ2且x1________.
解析： 因为x＝acos
θ且x1由余弦函数性质，在0≤θ≤π上单调递减，
所以θ1>θ2.
答案： θ1>θ2
6．对于任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是__________
________.
解析： 椭圆可化为＋＝1
把y＝x＋b代入得5x2＋2bx＋b2－16＝0
Δ＝4b2－20(b2－16)≥0
解之得：－2≤b≤2.
答案： [－2，2]
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：(θ为参数)．
(1)求椭圆C的两焦点F1，F2的坐标；
(2)求以F1，F2为焦点且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．
解析： (1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，
所以a2＝12，b2＝3，c2＝a2－b2＝9.
所以c＝3.故F1(－3,0)，F2(3,0)．
(2)因为2a＝|MF1|＋|MF2|，
所以只需在直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF1|＋|MF2|最小即可．
点F1(－3,0)关于直线l的对称点是F1′(－9,6)，
|MF1|＋|MF2|＝|MF1′|＋|MF2|＝|F1′F2|
＝＝6，故a＝3.
又c＝3，b2＝a2－c2＝36.
此时椭圆方程为＋＝1.
8．点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，求x＋y的最值．
解析： 因为P点在椭圆x2＋＝1上，
所以可以设P点坐标为(cosθ，2sinθ)，
即x＝cosθ，y＝2sinθ，
所以x＋y＝cosθ＋2sinθ＝sin(θ＋φ)，
其中，tanφ＝.
因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，
所以x＋y的最大值为，最小值为－.
??☆☆☆
9．(10分)如图所示，已知点M是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原来，求四边形MAOB的面积的最大值．
解析： 方法一：M是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，
由椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，
故可设M(acosφ，bsinφ)，
其中0＜φ＜，因此，
S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB
＝OA·yM＋OB·xM
＝ab(sinφ＋cosφ)
＝absin.
所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最大值为ab.
方法二：设M(xM，yM)，xM＞0，yM＞0，则
yM＝b，S四边形MAOB＝S△MAO＋S△MOB
＝OA·yM＋OB·xM
＝ab＋bxM
＝b(＋xM)
＝b
＝b
≤b
＝ab.第二讲 第二节 第一课时
直线的参数方程
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知直线(t为参数)，下列命题中错误的是( )
A．直线经过点(7，－1)
B．直线的斜率为
C．直线不过第二象限
D．|t|是定点M0(3，－4)到该直线上对应点M的距离
解析： 直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D．
答案： D
2．以t为参数的方程表示( )
A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
B．过点(－1,2)且倾斜角为的直线
C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线
D．过点(－1,2)且倾斜角为的直线
解析： 化参数方程
为普通方程得y＋2＝－(x－1)，
故直线过定点(1，－2)，
斜率为－，倾斜角为.
答案： C
3．双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是( )
A．8x－9y＝7
B．8x＋9y＝25
C．4x－9y＝6
D．不存在
解析： 设直线的参数方程为(t为参数)，
代入双曲线方程，得
4(2＋tcosα)2－9(1＋tsinα)2＝36，
整理得(4cos2α－9sin2α)t2－(16cosα－18sinα)t－29＝0.
设方程的两个实根分别为t1，t2，
则t1＋t2＝.
因为点P平分弦，
所以t1＋t2＝0，
即18sinα－16cosα＝0，tanα＝，
即k＝.
因此弦所在直线方程为y－1＝(x－2)，
即8x－9y＝7.
答案： A
4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A．(t为参数)
B．(t为参数)
C．(t为参数)
D．(t为参数)
解析： 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过点P且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB长为__________
________.
解析： 直线的参数方程为(s为参数)，
曲线(t为参数)
可以化为x2－y2＝4.
将直线的参数方程代入上式，
得s2－6s＋10＝0，
设A，B对应的参数分别为s1，s2，
∴s1＋s2＝6，s1s2＝10，
|AB|＝|s1－s2|＝＝2.
答案： 2
6．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，设l与曲线(θ为参数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为__________
________.
解析： 直线的参数方程为
则
曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
把直线代入x2＋y2＝4
得2＋2＝4，
t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，
则点P到A，B两点的距离之积为2.
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；
(3)设AB中点为M，求|PM|.
解析： (1)直线l的参数方程是
(t为参数)．
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得42＋2－16＝0.
即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.
由t的几何意义，知
|PA|·|PB|＝|t1·t2|，
故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
(3)由t的几何意义，知
中点M的参数为，
故|PM|＝|t1＋t2|＝.
8．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA|·|PB|的值为最小时直线l的方程．
解析： 设直线的倾斜角为α，
则它的方程为(t为参数)
由A、B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0，
∴0＝2＋tsinα，
即|PA|＝|t|＝，
0＝3＋tcosα，
即|PB|＝|t|＝－.
故|PA|·|PB|＝.
＝－.
∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，
即α＝135°时，
|PA|·|PB|有最小值．
∴直线方程为(t为参数)，
化为普通方程即x＋y－5＝0.
??☆☆☆
9．(10分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ＝arccos)方向300
km的海面P处，并以200
km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60
km，并以10
km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解析： 方法一：如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻t(h)台风中心(，)的坐标为
此时台风侵袭的区域是(x－)2＋(y－)2≤[r(t)]2，
其中r(t)＝10t＋60，
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，
则有(0－)2＋(0－)2≤(10t＋60)2，
即2＋2≤(10t＋60)2，即t2－36t＋288≤0，
解得12≤t≤24.
即12小时后该城市开始受到台风的侵袭
方法二：如图，设在时刻t(h)台风中心为Q，
此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km)．
若在时刻t城市O受到台风的侵袭，
则OQ≤10t＋60.
由余弦定理知OQ2＝PQ2＋OP2－2·PQ·POcos∠OPQ.
又由于OP＝300，PQ＝20t，
所以cos∠OPQ＝cos(θ－45°)
＝cosθcos45°＋sinθsin45°
＝×＋×＝，
故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×
＝202t2－9
600t＋3002.
因此202t2－9
600t＋3002≤(10t＋60)2，
即t2－36t＋288≤0，
解得12≤t≤24.
即12小时后该城市开始受到台风的侵袭．第二讲 第一节 参数方程的概念
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．参数方程(t为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为( )
A．(1,0)，(0，－2)
B．(0,1)，(－1,0)
C．(0，－1)，(1,0)
D．(0,3)，(－3,0)
解析： 当x＝t－1＝0时，t＝1，y＝t＋2＝3；
当y＝t＋2＝0时，t＝－2，x＝t－1＝－3.
曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．
答案： D
2．若t>0，下列参数方程的曲线不过第二象限的是( )
A．
B．
C．
D．
解析： 由，t>0，得方程表示射线，且只在第一象限内，其余方程的曲线都过第二象限．
答案： B
3．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A．
B．
C．
D．
解析： 当θ＝－时，
参数方程(θ为参数)上的点A，
∴kOA＝tanα＝＝－，0≤α<π，
∴直线OA的倾斜角α＝.
答案： C
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是( )
A．一个定点
B．一个椭圆
C．一条抛物线
D．一条直线
解析： 上述方程可变形为(x－2t)2＋(y－t)2＝4，
∴这组圆的圆心坐标为(2t，t)．
令 x－2y＝0.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．曲线C的参数方程，已知点M(2，a)在曲线C上，则a＝__________
________。
解析： 将点(2，a)代入方程得：
解得：∴a＝2.
答案： 2
6．动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程是__________
________.
答案： (t为参数)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知线段AB的位置和长度都一定，点P在其上运动．在AB的同侧分别以AP、PB为边作正三角形APM与BPN，求线段MN的中点Q轨迹的参数方程．
解析： 如图建立直角坐标系，
设|AB|＝a，取AP＝t(0＜t＜a)为参数，
则B(a,0)，P(t,0)，M，
N.
设MN的中点Q(x，y)，根据中点公式得点Q的轨迹方程为
(0＜t＜a，t为参数)．
8．已知曲线C的参数方程为(t为参数)
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(9，a)在曲线上，求a的值．
解析： (1)把M1的坐标(0,1)代入方程，
得无解．
∴点M1不在曲线C上；
把M2的坐标(5,4)代入方程组得得t＝2.
∴点M2在曲线C上．
(2)∵点M3(9，a)在曲线C上，
∴
解得：t＝4，a＝16.∴a＝16
??☆☆☆
9．(10分)(1)设炮弹的发射角为α.发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程；(不计空气阻力、风向等因素)
(2)如果上题中v0＝100
m/s，α＝，当炮弹发出2秒时．
①求炮弹的高度；
②求出炮弹的射程．
解析：
(1)取炮口为原点，水平方向为x轴，建立坐标系如右图所示，设炮弹发射后的位置在点M(x，y)，又设炮弹发射后的时间t为参数．
由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得
x＝OQ＝|OP|cosα＝v0tcosα.
y＝QM＝QP－MP＝v0tsinα－gt2.
即得弹道曲线的参数方程：
(2)①将v0＝100米/秒，α＝，t＝2秒代入，
得y＝100×sin×2－×9.8×4＝80.4(米)．
②令y＝0，v0＝100米/秒，α＝代入，
得100·sin·t－×9.8×t2＝0，
t(50－4.9t)＝0，t1＝0，t2＝10.2(秒)
将t＝10.2(秒)代入，得
x＝100×cos×10.2＝510(千米)．第二讲 参数方程
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．直线、直线
解析： ∵ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x，
∴表示一个圆．由
得到直线3x＋y＝－1.
答案： A
2．直线(t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为( )
A．7
B．40
C．
D．
解析：
令t′＝t，把
代入(x－3)2＋(y＋1)2＝25.
整理，得t′2－7t′＋4＝0，
|t′1－t′2|＝
＝.
答案： C
3．点集M＝，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠ ，则b满足( )
A．－3≤b≤3
B．－3＜b＜3
C．0≤b≤3
D．－3＜b≤3
解析： 用数形结合法解．
答案： D
4．已知直线(t为参数)上的两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且＝λ(λ≠－1)，则点P所对应的参数为( )
A．
B．
C．
D．
答案： C
5．已知集合A＝{(x，y)|(x－1)2＋y2＝1}，
B＝，
C＝，
D＝，
下列等式成立的是( )
A．A＝B
B．B＝D
C．A＝C
D．B＝C
解析： 集合B与D都是曲线(x－1)2＋y2＝1(x≠0，x≠2)．
答案： B
6．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )
A．π
B．3π
C．4π
D．9π
解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得
①×cosφ＋②×sinφ得r＝3，
所以基圆的面积为9π.
答案： D
7．过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )
A．
B．或
C．
D．或
解析： 将抛物线的参数方程化成普通方程为y2＝x，它的焦点为.设弦所在直线的方程为y＝k，由消去y，得64k2x2－48(k2＋2)x＋9k2＝0，
设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则|x1－x2|＝
＝＝2
解得k＝±.故倾斜角为或
答案： B
8．下列双曲线中，与双曲线(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )
A．－＝1
B．－＝－1
C．－x2＝1
D．－x2＝－1
解析： 双曲线的普通方程为－＝1
离心率为＝，渐近线为y＝±x
B中－＝－1
即－＝1其离心率为，渐近线为y＝x，
故与原双曲线的离心率及渐近线相同．
答案： B
9．已知点P在椭圆x2＋8y2＝8上，且P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，则P点坐标是( )
A．
B．
C．(0，±1)
D．(±2，0)
解析： 设(θ为参数)
取x－2y＝1＋cosθ＋4－2sinθ
＝5＋cosθ－2sinθ
＝5＋5sin(θ－φ)．
故最大值为10.
答案： B
10．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋
B．2(2＋)
C．4(2＋)
D．8＋
解析： 把直线参数方程化为(t′为参数)，
代入y2＝2x，
求得t′1＋t′2＝－4(2＋)，
t′1t′2＝16>0，知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，
则|AP1|＋|AP2|＝|t′1|＋|t′2|
＝|t′1＋t′2|＝4(2＋)．
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．如图所示，齿轮的廓线为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为225
mm，则此渐开线的参数方程为________.
答案： (t为参数)
12．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是(θ是参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________.
解析： 由题意知，曲线C：
x2＋(y－1)2＝1，
即x2＋y2－2y＝0，
所以(ρcos
θ)2＋(ρsin
θ)2－2ρsin
θ＝0，
化简得ρ＝2sin
θ.
答案： ρ＝2sin
θ
13．点M(x，y)在椭圆＋＝1上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为________，此时点M的坐标是________.
解析： 椭圆的参数方程为(θ为参数)，
则点M(2cos
θ，2sin
θ)到直线
x＋y－4＝0的距离
d＝
＝.
当θ＋＝π时，dmax＝4，
此时M(－3，－1)．
答案： 4 (－3，－1)
14．若曲线y2＝4x与直线(t为参数)相切，则＝________.
解析： ∵，
∴＝2＝2m，
其中m＝，
∴x＝2＋2my＋8m，代入y2＝4x，
得y2＝4(2＋2my＋8m)，
y2－8my－8－32m＝0.
∵直线与曲线相切，
∴Δ＝(－8m)2－4×(－8－32m)
＝64m2＋4×8(1＋4m)＝0，
2m2＋4m＋1＝0，
∴(m＋1)2＝，m＝－1±，
∴＝－1±.
答案： －1±
三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
(t是参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．
解析： (1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，
直线l的直角坐标方程为y＝x－m
(2)m＝1或m＝3
16．(12分)求椭圆4x2＋y2－8xcosθ－4ysin2θ－sin22θ＝0中心的轨迹方程(θ为参数)，并证明无论θ取何值，椭圆的大小、形状保持不变．
解析： 椭圆方程可化为4(x－cosθ)2＋(y－2sin2θ)2＝4，
即(x－cosθ)2＋＝1，
故椭圆中心的轨迹方程为，
消去θ得y＝2－2x2(|x|≤1)．
对于所给椭圆无论θ如何变化，
它的长轴长始终为4，短轴长为2，离心率.
因此椭圆的大小形状保持不变．
17．(12分)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝；
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是曲线C上的一个动点，求x＋2y的最大值．
解析： (1)曲线的极坐标方程ρ2＝，
即4ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝36，
∴4x2＋9y2＝36，
∴＋＝1.
(2)设P(3cosθ，2sinθ)，
则x＋2y＝3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ＋φ)，
∵θ∈R，
∴当sin(θ＋φ)＝1时，x＋2y的最大值为5.
18.
(14分)如图所示，设矩形ABCD的顶点C，坐标为(4,4)，点A在圆x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)上移动，且AB，AD两边分别平行于x轴，y轴，求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标．
解析： 设A(3cosθ，3sinθ)(0＜θ＜90°)
则|AB|＝4－3cosθ，|AD|＝4－3sinθ
S＝|AB|·|AD|＝(4－3cosθ)(4－3sinθ)
＝16－12(cosθ＋sinθ)＋9cosθ·sinθ.
令t＝cosθ＋sinθ(1≤t≤)，
则2cosθ·sinθ＝t2－1
∴S＝16－12t＋(t2－1)＝t2－12t＋
＝2＋
∴t＝时，矩形ABCD的面积S取得最小值.
此时解得
∴对应A坐标为或.第二讲 第三节 参数方程和普通方程的互化
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．曲线的中心坐标为( )
A．(－2,1)
B．(－1,2)
C．(1，－2)
D．(1,2)
解析： 曲线的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1，曲线的中心即圆心坐标为(1，－2)．
答案： C
2．已知双曲线C的参数方程为(θ为参数)，在下列直线的参数方程中①②③④⑤(以上方程中，t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是( )
A．①③⑤
B．①⑤
C．①②④
D．②④⑤
解析： 由双曲线的参数方程知，双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝±x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．
答案： A
3．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 由题意，曲线C可变形为：，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
所以曲线C是以点M(2，－1)为圆心，3为半径的圆，
又因为圆心M(2，－1)到直线l：x－3y＋2＝0的距离
d＝＝且所以曲线C上到直线l距离为的点的个数为2.
答案： B
4．参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析： 方程
即 ，
它表示以点和点为端点的线段，关于x轴对称．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知F是曲线(θ∈R)的焦点，A(1,0)，则|AF|的值等于__________
________.
解析： 曲线的参数方程，
即，曲线的普通方程为x2＝4y.
焦点F(0,1)，由于A(1,0)，则|AF|＝.
答案：
6．设圆的参数方程为(t为参数)，直线y＝kx与圆相切，则该直线的倾斜角为__________
________.
解析： 由圆的参数方程的形式知，圆心为(4,0)，半径为2.
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线距离等于半径即：
＝2，解得k＝±，
∴倾斜角为或.
答案： 或
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．曲线(θ为参数)与直线y＝a有两个公共点，求a的取值范围．
解析： ∵x＝1＋cos
θ，∴x∈[0,2]．
由x＝1＋cos
θ，可得cos
θ＝x－1代入y＝sin2θ＝1－cos2θ＝1－(x－1)2，
整理得y＝－x2＋2x(0≤x≤2)，结合函数的草图，得0≤a<1.
8．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
X解析： (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0
得ρ2－4ρcos
θ－4ρsin
θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos
α，y－2＝sin
α，
得圆的参数方程为
(α为参数)．
(2)由上述可知，
x＋y＝4＋(cos
α＋sin
α)
＝4＋2sin，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
??☆☆☆
9．(10分)已知点P(m，n)在圆x2＋y2＝2上运动，求点Q(m＋n,2mn)的轨迹方程，并判断轨迹形状．
解析： 设Q(x，y)，由于点P(m，n)在圆x2＋y2＝2上运动，故点P(m，n)即点P(cos
θ，sin
θ)．
Q(m＋n,2mn)即Q(cos
θ＋sin
θ，4cos
θsin
θ)．
依题意，得(θ为参数)
将x＝cos
θ＋sin
θ平方，得x2＝2＋4sin
θcos
θ.
∴x2＝2＋y.
又x＝sin
θ＋cos
θ＝2sin，y＝2sin
2θ，
∴－2≤x≤2，－2≤y≤2.
∴y＝x2－2(－2≤x≤2)，这是抛物线弧段．
