课堂检测
1.下列变量之间的关系是函数关系的有（
）
（1）圆的面积与它的半径；
（2）三角形面积与它的底边长；
（3）x-y=3中的x与y；
（4）速度一定的条件下，路程和时间。
A．1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下图是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的变化关系图.根据图象，回答问题：
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？
（2）根据图象填表：
所挂物体质量x(kg）
5
10
15
20
弹簧长度y（cm）
（3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值时，
弹簧的长度y能确定吗？
（4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？【课
题】北师版八年级上第四章第一节
函数
【教材分析】
本节课是北师大版初中数学教材八年级上册第四章《函数》第1节。
在此之前，学生已在七年级下册中学习了《变量之间的关系》,这个基础为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在函数这一章中，是认识函数的开始，为接下去学习一次函数等和其它学科利用图象、表格等内容打好基础，有较为重要的作用。
由于函数的概念和判断两个变量的关系能否看成函数是学生认识生活实例是否具有函数关系的基本工具，因此函数的概念和判断两个变量的关系能否看成函数是本节课教学重点。由于学生年龄小，解决实际问题能力弱，对理论联系实际的问题的理解难度大，因此函数概念的理解是本节课教学的难点。(共31张PPT)
北师版
八年级上册第四章第一节
函
数
根据图4-1填表：
对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
3
10
36
45
36
10
任务A
有且只有一个
（唯一的）
罐头盒等圆柱形的物体常常如
下图那样堆放.
填写下表：
1
3
6
10
15
对于给定的层数n，相应的物体总数y确定吗？
任务B
输入x
输出
乘6
减3
y
6x-3
“数值转换机”
y=
对于给定的输入值x，相应的输出
值y确定吗？试举例说明.
任务C
发
现
1
3
6
10
15
输入x
输出
乘6
减3
y
6x-3
y=
三个实例的共同特点是什么？你能根据这一特点，
描述一下什么是函数吗？
在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量
x
的每一个值，变量
y
都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
发
现
有且只有一个
（唯一的）
在这个变化过程中，自变量是
，因变量是
，对于每一个
,
都有唯一的值与它对应，所以，
是
的函数.
模仿秀
时间t
高度h
时间t
t
高度h
h
3
11
36
45
36
11
罐头盒等圆柱形的物体常常如
下图那样堆放.
1
3
6
10
15
模仿秀
在这个变化过程中，自变量是
，因变量是
，对于每一个
,
都有唯一的值与它对应，所以，
是
的函数.
层数n
物体总数y
n
y
层数n
物体总数y
输入x
输出
乘6
减3
y
“数值转换机”
6x-3
y=
模仿秀
在这个变化过程中，自变量是
，因变量是
，对于每一个
,
都有唯一的值与它对应，所以，
是
的函数.
输入值x
输出值y
x
y
输出值y
输入值x
发
现
1
3
6
10
15
输入x
输出
乘6
减3
y
6x-3
y=
t≥0
x为任意实数
n为正整数
发
现
1
3
6
10
15
输入x
输出
乘6
减3
y
6x-3
y=
图象法
关系式法
列表法
（解析式法、表达式法）
追根溯源
在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。
对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这里的“函”是包含的意思。
今之说法
函：信函
追根溯源
杭州外国语学校初二（20）班
×××同学（收）
×××同学（收）
济南外国语学校初二（20）班
函：信函
每个信封上只能写一个邮寄地址
学以致用
梨子
香蕉
草莓
桔子
苹果
西瓜
桃子
杨梅
学以致用
梨子题
确定下列函数中自变量x的取值范围，并求出当x=7时，y的值.
（1）y=40-6x
（2）
解：（1）x为任意实数
（2）x≠3
当x=7时，
y=40-6×7
=-2
1
7-3
当x=7时，
y=
=
1
4
代数式
求值问题
函数值
草莓题
图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？若能，请指出自变量的取值范围.
温度T是时间t的函数
0≤t≤24
苹果题
桃子题
下题中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？若能，请指出自变量的取值范围.
在国内投寄到外埠质量为100g以内的普
通信函应付邮资如下表：
信件质量m/克
0＜m≤20
20＜m≤40
40＜m≤60
60＜m≤80
80＜m≤100
邮资y/元
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
例如：
当m=10时，y=
元；当m=15时，y=
元；
当m=45时，y=
元；当m=90时，y=
元.
1.20
6.00
3.60
1.20
邮资y是信件质量m的函数，0≤m≤100
香蕉题
（3）
桔子题
（3）
拖拉机开始工作时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L.
（1）3h后，油箱中的余油量为多少？
（2）此变化过程反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是它的函数？
（3）你能写出这个函数关系式吗？其中自变量的取值可以是任意实数吗？若不是，请写出它的取值范围.
解：（1）40-3×5=25（升）
（2）两个变量：油箱中的余油量和工作时间
工作时间是自变量，余油量是它的函数.
（3）设余油量为y(单位：L），工作时间为
x(单位：h），则y=40-5x.(0≤x≤8）
西瓜题
在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式
，
其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）
汽车速度v
滑行距离s
杨梅题
下题中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
例如：
当v=30时，s=
米；当v=60时，s=
米；
当v=90时，s=
米；当v=120时，s=
米.
3
48
27
12
滑行距离s是刹车前速度v的函数
快乐·收获
本节课你收获到了
哪些知识与方法？
检测
1.下列变量之间的关系成函数关系的有（
）
（1）圆的面积与它的半径；
（2）三角形面积与它的底边长；
（3）x-y=3中的x与y；
（4）速度一定的条件下，路程和时间。
A．1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
检测
2.下图是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）
与所挂物体的质量x（千克）之间的变化关系图.
根据图象，回答问题：
（3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值
时，弹簧的长度y能确定吗？
（4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？
（2）根据图象填表：
所挂物体质量x(kg）
5
10
15
20
弹簧长度y（cm）
答：15cm
答：可以
答：确定
17.5
20
22.5
25
智慧分享
艾宾浩斯遗忘曲线
这条曲线告诉人们在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程很快，并且先快后慢。观察曲线，你会发现,学得的知识在一天后，如不抓紧复习,就只剩下原来的25%。
智慧分享
艾宾浩斯向我们充分证实了一个道理，学习要勤于复习！
艾宾浩斯遗忘曲线
作业
必做：课本P77习题4.1第1、2、4题
选做：图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
x
Ｏ
y
1
1
-1
2
3
-2
2
-3
下课啦【课
题】北师版八年级上第四章第一节
函数
【课程标准陈述】
1．结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例.
2．能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围.
【学习目标】
1.
知识目标：初步掌握函数的的概念，能判断两个变量间的关系是否可看做函数。
2.
能力目标：初步培养学生分析问题、解决实际问题、观察收集处理信息、团结协作、语言表达的能力。初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。经历具体实例的抽象过程，进一步发展学生的抽象思维能力。
3.
情感、态度与价值观目标：通过对本课的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度。
【评价活动方案】
评价等级
评价活动
A
B
C
评价活动一：经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，知道函数常见的三种表示方法，能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围.
能独立准确完成探索任务，发现三个实例的共同特点，能根据共同点描述出什么是函数；能通过比较说出函数的三种表示方法，以及自变量的取值范围.
能独立准确完成部分任务，能在交流的基础上找到共同点，能够接受与理解合作伙伴对函数的描述；能通过比较说出函数的三种表示方法，以及自变量的取值范围.
不能独立准确完成全部任务，需在同伴的帮助下完成探索发现，但难以理解函数概念；能在同伴的帮助下，说出函数的三种表示方法，以及自变量的取值范围.
评价活动二：能判断两个变量间的关系是不是函数关系并会描述.
会判定两个变量间的关系是不是函数关系并会描述.
会判定两个变量间的关系是不是函数关系但描述出错.
不能判定两个变量间的关系是不是函数关系，不会描述函数.
【教
学
过
程】
创设情境，引入新课
（一）活动设计：导入语：众所周知我们生活在一个变化的世界里，比如你的身高、体重都会随着你年龄的增长而发生变化，那么它们之间究竟有怎样的关系？数学上又是用怎样的模型描述这些关系的呢？本节课就让我们进入“函数”的世界一探究竟吧！（教师板书课题）
先请大家观看一段视频……
（二）设计目的：通过视频，激发学生的学习兴趣，复习并了解与函数相关的概念，同时感受函数普遍存在于我们生活的各个领域，体会学习函数的必要性，感受数学源于生活，又应用于生活。
二、
发现新知
（一）活动设计：学生先独立完成探索任务，然后在教师的引导下，学生理解“确定”的含义，梳理问题，发现共同点，抽象概括出函数的定义，并通过比较说出三种表示方法以及自变量范围的确定。（教师板书）
（二）设计目的：经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，体会抓住本质属性抽象数学概念的方法。
【任务A】
根据图4-1填表，并思考对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
【任务B】罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.
填写下表，并思考对于给定的层数n，相应的物体总数y确定吗？
【任务C】“数值转换机”:
对于给定的输入值x，相应的输出值y确定吗？试举例说明.
三、应用新知
（一）活动设计：学生先独立完成下面的练习题，然后组内讨论自己的问题，最后通过随机抽取的方式回答问题，教师就存在的问题进行引导与点拨。
（二）设计目的：设计各种类型题目巩固学生本节课所学知识，具体如下：1.能确定简单的纯数学问题的函数中自变量的取值范围，理解自变量的取值要使含有自变量的代数式本身有意义；2.从实际问题中感受函数及能用关系式表达简单的函数；3-5题则紧扣本节重点进行函数概念的巩固。同时本环节通过趣味性答题方式激发学生的学习热情，寓教于乐。
1.确定下列函数中自变量x的取值范围，并求出当x=7时，y的值.
（1）y=40-6x
（2）
2.
拖拉机开始工作时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L
.
（1）3h后，油箱中的余油量为多少？
（2）此变化过程反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是它的函数？
（3）你能写出这个函数关系式吗？其中自变量的取值可以是任意实数吗？若不是，请写出它的取值范围.
下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？若能，请指出自变量的取值范围.
3.在国内投寄到外埠质量为100g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量m/克
0＜m≤20
20＜m≤40
40＜m≤60
60＜m≤80
80＜m≤100
邮资y/元
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
第4题：.
第5题图：
四、课堂小结
（一）活动设计：引导学生复习导学案，自己总结本节所学知识与方法
（二）设计目的：引导学生养成及时总结反思的好习惯，同时不仅要总结知识，更要注重总结方法！
知识：1.函数的概念：在某一变化过程中有
个变量x和y,并且对于变量x每一个值，变量y都有
的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中
是自变量，
是因变量，y的值也称为
值.
2.函数的三种表示形式：
、
、
.
3.自变量取值范围的确定：
（1）自变量的取值必须符合
意义.
（2）自变量的取值必须使含自变量的
有意义.
方法：抓住事物共性，抽象概念
五、课堂检测
（一）活动设计：
紧紧围绕本节课重点——函数的概念设计检测题
（二）设计目的：通过检测暴露问题，加深对知识的理解
1.下列变量之间的关系是函数关系的有（
）
（1）圆的面积与它的半径；
（2）三角形面积与它的底边长；
（3）x-y=3中的x与y；
（4）速度一定的条件下，路程和时间。
A．1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下图是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的变化关系图.根据图象，回答问题：
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？
（2）根据图象填表：
所挂物体质量x(kg）
5
10
15
20
弹簧长度y（cm）
（3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值时，弹簧的长度y能确定吗？
（4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？
六、智慧分享
（一）活动设计：与学生分享艾宾浩斯的遗忘曲线图象
（二）设计目的：一方面回扣本节主题，另一方面渗透德育教育
艾宾浩斯遗忘曲线
七、课外作业
（一）活动设计：设计必做、选做作业
（二）设计目的：根据不同层次的学生设计不同层次作业，拓展思维，因材施教
必做：课本P77习题4.1
第1、2、4题
选做：图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？【课
题】北师版八年级上第四章第一节
函数
【课后反思】
优点：为了适合学生已有的知识水平和认知规律，更好地突出重点，化解难点，在实施教学过程中，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则
教师充分利用视频、课件演示，吸引学生兴趣，使学生在丰富感性认识的基础上，体会变量之间的相依关系。从而使学生从感性认识上升到理性认识，体会知识的由来。
教师通过设疑，指明观察方向，营造探究新知识的氛围，在引导学生归纳推理等方面充分发挥了其主导作用，有目的、有计划、有层次地启迪学生的思维，充分发挥了学生的主体作用。把学生当作教学活动的主体，成为学习活动的主人，使学生在观察、比较、讨论、探究等一系列活动中参与教学全过程，从而达到掌握新知识和发展能力的目的。
教师问题设计注重不同难度的问题，提问不同层次的学生，面向全体，使不同层次的学生都有表现的机会，培养其自信心，激发其学习热情。有效地开发各层次学生的潜在智能，力求使每个学生都能在原有的基础上得到发展。
不足：实例应更丰富，节奏应更紧凑，更多的主动权与话语权交给学生。
