3.3
几何概型
自我检测
基础达标
一、选择题
1．圆内有一内接正方形，今投射1镖，则落入正方形内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
2．在线段［0，3］上任取一点，则此点坐标不小于2的概率是（ ）
A．?
B．
C．?
D．
答案：A
3．两根相距6
m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为（ ）
A．?
B．
C．?
D．
答案：A
4．有1杯10升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ）
A．0.1?B．0.01
C．0.001?D．0
答案：B
二、填空题
5．公交车30
min一班，在车站停2min，某乘客到达站台立即乘上车的概率是________.
答案：
6．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10min的概率为__________.
答案：
解析：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的概率公式得，P（A）==．
三、解答题
7．现向如右图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率.
解：由
得A（，-1）.
∵B(1,-1),∴|AB|=1-=．
同理，由得y=.
∴C(1,
),
∴|BC|=-(-1)=
.?
∴S△ABC=××=．
而正方形面积为2×2=4．
因此所求概率为．
8．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，求弦长超过半径的概率.
解：如右图所示，|AB|=?|AC|?=OB（半径），则弦长超过半径，相当于动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上.由几何概型的概率计算公式，得P=.
答：弦长超过半径的概率为.
9．设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字.旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］上的概率.
解析：如右图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5,1.5］，由几何概型求概率公式得
P=
更上一层
1．一个服务窗口每次只能接待一名顾客，两名顾客将在8小时内随机到达.顾客甲需要1小时服务时间，顾客乙需2小时.求两人都不需要等待的概率.
解：设顾客甲到达的时间为x，顾客乙到达的时间为y.则
0≤x≤8 0≤y≤8
无人需要等待所包含的基本事件为
y-x≥1 x-y≥2
试验的每个结果都是等可能的，由几何概型的条件知，只要在阴影部分就表示无人需要等待.
∴P==66.4%．
2．把长度为a的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.
分析：要构成三角形，则必须满足三角形中任意两边之和大于第三边，关键在于确定它所包含的基本事件.
解：设其中两段的长为x、y，则所有基本事件：
x>0,y>0 x+y
而构成三角形所包含的基本事件：
x<,y<,x+y>.
P==0.25．
答：可构成三角形的概率是0.25．
3．从甲地到乙地有一班车在9：30到10：00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9：45到10：15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？
思路分析：到达乙地的时间是9.5时到10时之间的任一时刻，汽车从乙地出发的时间是9.75时到10.25时之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系内以x轴表示到达乙地的时间，y轴表示汽车从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和汽车从乙地出发的时间是随机的，则随机试验的所有结果（x,y)是正方形内等可能的任一点，事件A（他能赶上车）发生的充要条件是x≤y，即对应正方形内阴影部分，事件A发生的概率只与阴影部分的面积有关，适用于几何概型.
解析：在平面直角坐标系内，以x和y分别表示到达乙地和汽车从乙地出发的时间，则能赶上汽车的充要条件是x≤y.而（x,y）的所有可能结果是边长为0.5的正方形，而可能赶上车的时间由上图中的阴影所表示.这是一个几何概率问题.
由公式得
P（A）==0.875．
答案：能赶上车的概率为0.875．
PAGE
11.4
算法案例
自我检测
基础达标
1．下面一段伪代码的目的是（ ）
10
Read
x,y
20
m←x
30
n←y
40
If
m/n=int(m/n)Then
Goto
90
50
c←m-int(m/n)
n
60
m←n
70
n←c
80
Goto
40
90
Print
n
A．求x,y的最小公倍数
B．求x,y的最大公约数
C．求x被y整除的商
D．求y除以x的余数
答案：B
2．数2
004与1
992的最大公约数为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
答案：C
3．下面一段伪代码的目的是（ ）
10
Read“a=,b=”；a,b
20
r←mod
(a,b)
30
a←b
40
b←r
50
If
r<
>0
then
20
60
Print
a
70
End
A．求a,b的最小公倍数
B．求a,b的最大公约数
C．求x被y整除的商
D．求y除以x的余数
答案：B
4．流程图填空：
输入x的值，通过函数求出y的值．其算法流程图如下：
答案：①y←x ②x<10 ③y←3x-11
5．求三个数390，455，546的最大公约数．
解：用“辗转相除法”
先求390和455的最大公约数，
455=390×1+65
390=65×6
所以390和455的最大公约数为65
再求65与546的最大公约数
546=65×8+26
65=26×2+13
26=13×2
所以65与546的最大公约数为13．
∴390,455,546的最大公约数为13．
6．区间二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步骤为
S1 取［a,b］的中点x0=(a+b)/2；
S2 若f(x0)=0，则x0就是方程的根，
否则
若f(a)f(x0)>0，则a←x0；
否则b←x0；
S3 若|a-b|写出用区间二分法求方程x3+x2-1=0在?［0，1］?上的近似解的伪代码．精确度为0．01．
解：10
Read“输入初值a,b和误差c”；a,b,c
20
x0←(a+b)/2
30
f(a)←a∧3+a∧2-1
40
f(x0)←x0∧3+x0∧2-1
50
If
f(x0)=0
then
Goto
120
60
If
f(a)
f(x0)>0
then
70
a←x0
80
Else
90
b←x0
100
End
if
110
If
ABS
(a-b)>=c
then
Goto
20
120
Print
x0
7．根据下面流程图写出其算法的伪代码．
解：伪代码如下：
10
a1←1
20
i←9
30
a0←2×(a1+1)
40
a1←a0
50
i←i-1
60
If
i>=1
then
Goto
30
70
Print
a0
End
8．写出计算=1+++…+的算法的伪代码和流程图（用当型循环写出）．
解：流程图如图：
伪代码：
Read“请输入n的值”；n
S←1
t←1
i←1
While
i<=n
t←t/i
S←S+t
i←i+t
End
While
Print“e?=”；S
End
9．用秦九韶算法求多项式f(x)=1+x+0．5x2+0．166
67x3+0．041
67x4+0．008
33x5在x=-0．2的值．
解：f(x)=1+x+0．5x2+0．166
67x3+0．041
67x4+0．008
33x5
=((((0．008
33x+0．041
67)x+0．166
67)x+0．5)x+1)x+1
而x=-0．2，所以有：
v0=a5=0．008
33,v1=v0x+a4=0．04
v2=v1x+a3=0．158
67,v3=v2x+a2+0．468
27
v4=v3x+a1=0．906
35,v5=v4x+a0=0．818
73
即f(-0．2)=0．818
73．
更上一层
1．马克思曾描述了这样一个问题：有30个人在一家小餐馆吃饭，其中有男人、女人和小孩．每个男人花了3先令，每个女人花了2先令，每个小孩花了1先令，他们总共花了50先令．问男人、女人、小孩各多少？用伪代码表示该算法．
解：x←1
y←1
While
x<=10
While
y<=20
If
2
x+y=20
then
z←30-x-y
Print“男人、女人、小孩的个数分别为：”x,y,z．
End
if
y←y+1
End
while
x←x+1
y←1
End
while
End
2．未知数的个数多于方程个数的方程（组）叫做不定方程．最早提出不定方程的是我国的《九章算术》．
实际生活中有很多不定方程的例子，例如“百鸡问题”：公元五世纪末，我国古代数学家张丘建在《算经》中提出了“百鸡问题”：“鸡母一，值钱三；鸡翁一，值钱二；鸡雏二，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”
算法设计：
（1）设母鸡、公鸡、小鸡数分别为I、J、K，则应满足如下条件：
I+J+K=100；
3I+2J+1/2K=100．
（2）先分析一下三个变量的可能值．①I的最小值可能为零，若全部钱用来买母鸡，最多只能买33只，故I的值为0～33中的整数．?②J的最小值为零，最大值为50．③K的最小值为零，最大值为100．
（3）对I、J、K三个未知数来说，I取值范围最少．为提高程序的效率，先考虑对I的值进行一一列举．
（4）在固定一个I的值的前提下，再对J值进行一一列举．
（5）对于每个I，J，怎样去寻找满足百钱买百鸡条件的K．由于I，J值已设定，便可由下式得到：K=100-I-J．
（6）这时的I，J，K是一组可能解，它只满足“百鸡”条件，还未满足“百钱”条件．是否真实解，还要看它们是否满足3I+2J+1/2K=100，满足即为所求解．
根据上述算法思想，画出流程图并用伪代码表示．
解：这是一个循环结构的嵌套，可以用循环语句实现．
伪代码：
For
I
from
0
to
32
For
J
from
0
to
49
K←100-I-J
If
3I+2J+0．5K=100
then
Print
I,J,K
End
for
End
for
流程图：
PAGE
12.2.1
频率分布表
自我检测
基础达标
一、选择题
1．某人从湖中打了一网鱼共m条，做上记号放入湖中，数日后又打了一网共n条，其中有k条有记号，则湖中有鱼__________条（ ）
A．
?
B．m·
C．m·
?D．无法估计
答案：B
2．有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下，
［12．5,15.5）
3
［24.5,27.5）
10
［15.5,18.5）
8
［27.5,30.5）
5
［18.5,21．5）
9 ［30.5,33．5）
4
［21．5,24.5）
11
则数据落在［15.5,24.5）的频率约是（ ）
A．0.44
B．0.51
C．0.52
D．0.56
答案：D
3．一单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的频率为（ ）
A．1/80?
B．1/24
C．1/10?
D．1/8
答案：D
4．已知样本10，8，6，10，8，13，11，10，12，7，8，9，10，11，12，9，10，11，9，12，那么频率为0.2
的范围是（ ）
A．5.5～7.5?
B．7.5～9.5
C．9.5～11．5?
D．11．5～13．5
答案：D
二、填空题
5.一个容量为20的样本，分组后，组距与频率如下：（10，20］，2；（20，30］，3；（30，40］，4；（40，50］，5；（50，60］，4；（60，70］，2．则样本在区间（50，+∞）上的频率为___________.
答案：0.3
6.下列是100户居民用水量（单位：吨）分布情况:（0.5,1］10户，（1,1.5］16户，（1.5,2］22户，（2,2.5］26户，（2.5,3］14户，（3,3.5］8户，（3.5,4］4户，
用水量在（1．5,3］范围内的频率为________.
答案：0.62
更上一层
1．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三有280人，以每人被抽取的频率为0.2，向该中学抽取一个样本容量为n的样本，则n=__________.
答案：200
2．某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4,3.7,3.0,3.1，试估算该商场4月份的总营业额，大约是__________万元.
答案：96
3．在边长为a的正方形中随意撒一把豆子，落在阴影部分的豆子数为N,落在阴影外的豆子数为M,则可估计阴影部分的面积为.
答案：a2
4.某班有50名学生，在学校组织的一次数学质量抽测中，如果按照抽测成绩的分数段［60，65），［65，70），…，［95，100）进行分组，得到的分布情况如下图所示.求
（1）该班抽测成绩在［70，85）之间的人数；
（2）该班抽测成绩不低于85分的人数占全班总人数的百分比.
解析：从分布图可以看出，抽测成绩各分数段的人数依次为：
［60，65）1人；［65，70）2人；［70，75）10人；［75，80）16人；［80，85）12人；［85，90）6人；［90，95）2人；［95，100）1人.
（1）该班抽测成绩在［70，85）之间的人数为38人.
（2）该班抽测成绩不低于85分的占总人数的18%.
PAGE
11.3.2
输入、输出语句
自我检测
基础达标
1．写出下列程序的运行结果．
（1）a←5
b←3
c←a
b
?
Print
c
?
End
输出结果为
15
．
（2）a←1
b←2
c←a-b
b←a+c-b
Print
a,b,c
End
输出结果为 1，-2，-1 ．
（3）Read
a,b
?
Print
a,b
t←a
a←b
b←t
?
Print
a,b
?
End
若输入3，4，则输出结果为 3，4；4，3 ．
（4）Read
a,b,c
?
Print
a,b,c
a←a+b+c
b←a+b-c
c←-a+b+c
?
Print
a,b,c
?
End
若输入1，2，3，则输出结果为
1，2，3；6，5，2
．
2．已知方程x2-3x+2=0，现已给出运用公式法求方程的根的程序的一部分，试在横线上填上适当的语句，把程序补充完整：
Read“a=,b=,c=”；a,b,c
①
②
Print
x1=q+p
x2=q-p
End
答案：①p=SQR(b
b-4
a
c)/(2
a)
②q=-b/(2
a)
3．指出下列语句的错误，并改正．
(1)A←B←50
(2)x←1,y←2,z←3
(3)Read“How
are
you”x
(4)Print
a+b=；x
(5)Print你好
(6)Print“a=”；
解析：（1）变量不能够连续赋值，可以改为：
B←50
A←B
（2）一个赋值语句只能给一个变量赋值，可以改为：
x←1
y←2
z←3
（3）输入语句“提示内容”后面有个分号（；）．
改为：Read“How
are
you”；x
（4）Print语句“提示内容”部分要加（“ ”）引号，可改为：Print“a+b=”；x
（5）Print语句可以没有表达式部分，但提示内容必须加引号（“ ”），可以改为：?Print“你好”
（6）Print语句可以没有表达式部分，但是此时“提示内容”后面不能加分号“；”可以改为Print“a=”
4．指出下列语句中出现的错误，并改正．
(1)p←
(2)p←
(3)c←
解析：（1）程序语言中的根号不能用符号“ ”，而应该用符号SQR（ ）．可以改为SQR(b
b-4
a
c)
（2）程序语言中的除号，不能用“÷”或“-”，而应该用“/”符号，可以改为(a+b+c)/2
（3）程序语言中根号不能用符号“”，而应该用符号SQR（ ），程序语言中的乘方，不能用“a2”的符号，而应用符号a∧2，可以改为SQR(a∧2+b∧2)
5．编写一个程序、计算底面边长为2，高为3的正三棱柱的体积．
解：程序如下：
a←2
h←3
S←SQR(3)
a∧2/4
V←S
h?
?
Print“V=”；V
?
End
6．已知函数f(x)=x3+2x+1，编写一个程序求f(4)的值．
解：程序如下：x←4
y←x∧3-2
x+1
Print“f(4)=”；y
End
7．编写一个程序，用公式法解方程组
解：程序如下：
a1←1
b1←1
c1←-1
a2←3
b2←-1
c2←13
Print“x=”；（b2
c1-b1
c2）/(a1
b2-a2
b1)
Print“y=”；(a1
c2-a2
c1)/(a1
b2-a2
b1)
End
8．编写一个程序，计算已知三边a,b，c的三角形中c边上的高线长．
解：程序如下：
?
Read“a,b,c=”；a,b,c
p←(a+b+c)/2
S←SQR(p
(p-a)
(p-b)
(p-c))
h←2
S/c
?
Print
h
?
End
9．已知我国现有人口数为P，人口的自然增长率为R，预测T年后人口总数将是多少？输入P、R、T的值，输出最后的结果．写出算法的程序．
解：程序如下：
?
Read“我国现有人口数为：”；P
?
Read“人口的自然增长率为：”；R
?
Read“预测时间为（年）：”；T
M←(1+R)∧T
N←P
M
?
Print“T年后人口总数为N=”；N
?
End
10．已知任意两点的坐标，编写一个程序，计算并输出两点的距离．
解：Read
x1,x2,x3,x4
d←SQR((x1-x2)∧2+(y1-y2)∧2)
?
Print
d
?
End
更上一层
1．说出下面程序的运行结果：
x←46
a←x＼10
b←x
MOD10
x←10
b+a
x←SQR(x)
Print“x=”；x
End
注意：a←x＼10表示取x的十位数字赋给a，即a=4，符号“＼”不能换！
答案：8
2．任意输入四个数，并在每一个累加时输出当时的累加和，请写出其程序．
解：Sum←0
?
Read“请输入第一个数x1=”；x1
?
Sum←Sum+x1
?
Print“累计：”；Sum
?
Read“请输入第二个数x2=”；x2．
?
Sum←Sum+x2
?
Print“累计：”；Sum
?
Read“请输入第三个数x3=”；x3
?
Sum←Sum+x3
?
Print“累计：”；Sum
?
Read“请输入第四个数x4=”；x4
?
Sum←Sum+x4
?
Print“累计:”；Sum
?
End
PAGE
11.2.2
选择结构
自我检测
基础达标
1．已知函数y=以下流程图表示的是给定x的值，求其相应函数值的算法，请将该流程图补充完整，其中①处应填___________,②处应填_______________．
答案：x≥0 y←x+π
2．已知函数y=2|x|，如图所示是表示给定x的值，求其相应函数值的算法，若输入,则输出结果为__________．
答案：2
解析：由于<0,∴应输出y=2
-?=()=2．
3．写出下面流程图的运行结果，若输入3．14，则输出结果为_____________．
答案：π-3．14
解析：∵3．14<π,∴y=π-3．14．
4．儿童乘坐火车时，若身高不超过1．1m，则无需购票，若身高超过1．1
m但不超过1．4
m，可买半票，若身高超过1．4
m，应买全票，请将该流程图补充完整，其中①处应填________，②处应填___________．
答案：h≤1．1 h≤1．4
5．下面是求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的流程图，请将空缺的流程图补充完整，其中（1）处填________；（2）处填_________；（3）处填________．
答案：（1）Δ<0 （2）x1=
x2=（3）输出x1、x2
6．下面的流程图表示了一个什么样的算法？
解析：第一步：是输入a，b，c三个数；
第二步：是判断a与b，a与c的大小，如果a同时大于b,c，则输出a，否则执行第三步；
第三步：判断b与c的大小，因为a已小于b或c，则只需比较b与c的大小就能看出a,b,c中谁是最大的了，如果b>c，则输出b，否则输出C．
通过上面的分析，流程图表示一个什么样的问题已经非常清楚了．
给任意三个数a,b,c，输出最大的一个数．
7．写出解方程ax+b=0(a,b为常数)的算法,并画出流程图．
解析：第一步:判断a是否为零 若a≠0,执行第二步,若a=0,执行第四步；
第二步:计算；
第三步：输出“方程的解为”；
第四步：判断b是否为零？若b=0，输出“有无数个解”的信息，若b≠0，输出“方程无解”的信息．
流程图如图所示：
8．某居民区的物业部门每月收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1．2元，设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出流程图．
解：算法步骤：
第一步：输入人数x,设收取的卫生费为m元．
第二步：判断x与3的大小．若x>3,则费用为m=5+(x-3)×1．2;若x≤3,则费用为m=5．
第三步：输出m．
流程图如图所示：
9．观察所给的流程图，说出它所表示的函数．
解析：由流程图可以看出这是一复合选择结构,可根据判断条件确定算法流向,因此所表示函数为一分段函数．
更上一层
1．设n为正整数,它被3除余数为r,当r=0时,输出2n;当r=1时,输出3；当r=2时,输出5,画出该算法的流程图．
解：流程图如图:
注意：由于正整数n被3除,其余数有3个可能的情况:r=0,r=1,r=2．当r≠0且r≠1时r一定为2,故本题不需要r是否等于2这一判断框．
2．试写出解不等式ax+b>0(a≠0)的流程图．
解：流程图如图:
3．火车站对乘客退票收取一定的费用,具体办法是:按票价每10元(不足10元按10元计算)核收2元；2元以下的票不退．试写出票价为x元的车票退掉后,返还的金额y元的算法的流程图．
解：
PAGE
13.2
古典概型
自我检测
基础达标
一、选择题
1．某班54名学生中戴眼镜的有43人，现从该班任意抽出一人，该生不戴眼境的概率是（ ）
A． ?B．
C．
?D．
答案：D
2．掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为（ ）
A．?
B．
C．?
D．
答案：C
3．从分别写有A、B、C、D、E?的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（ ）
A．?
B．
C．?
D．
答案：B
解析：从A、B、C、D、E
5张卡片中任取2张，共有5×4÷2种不同的选取方法.这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的事件中共含有：AB、BC、CD、DE这4个基本事件.故所求事件的概率为=．故应选B．
4．将一枚质地均匀的硬币先后抛三次，恰好出现一次正面朝上的概率为（ ）
A．?
B．
C．?
D．
答案：C
解析：总事件数为8个，分别是：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）.“恰好出现1次正面朝上”的事件记为事件A，包括（正，反，反），（反，正，反）和（反，反，正）3个.所以，所求事件的概率为．
5．有100张卡片（从1号到100号），从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为（ ）
A．?B．
C．?D．
答案：A
解析：从100张卡片中任取1张共含100个基本事件，其中取到的卡号是7的倍数的有7、14、21、28…98共14个数.∴所求事件的概率为=.故应选A．
二、填空题
6．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是__________.
答案：
解析：记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红1，白3），（红2，白1），（红2，白2），（红2，白3），（白1，白2），（白1，白3），（白2，白3），共10个.其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件.所以，所求事件的概率为．
7．同时抛掷两枚骰子，至少有一个5点或6点的概率为___________.
答案：
解析：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：
1
2
3
4
5
6
123456
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率为P==．
三、解答题
8．甲、乙两人做掷骰子游戏，两人各掷一次，谁掷得的点数多谁就取胜，求甲取胜的概率.
解析：甲将骰子抛掷一次，出现的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，对甲掷得的每个结果，乙又掷得点数分别为1，2，3，4，5，6这6种结果，于是共有6×6=36种不同的结果.
把甲掷得i点，乙掷得j点（1≤i,j≤6），记为(i,j）.
事件“甲取胜”包含下列15种结果：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）.
故甲取胜的概率为=.
9．从数字0，1，2，3，4这五个数字中任取两个（两次取到的数字可以相同）组成两位数，求这个两位数是奇数的概率.
解：在选取中，十位数字有4种不同的选取方法，个位数字有5种不同的选取方法，共有4×5=20种不同的结果，具体情况如下图所示，设组成奇数为事件A，则
事件A={11，21，31，41，13，23，33，43}，包含8个基本事件，
所示P（A）===0.4．
10．豌豆子粒黄色（Y）对绿色（y）是显性，圆粒（R）对皱粒（r）是显性.控制两对相对性状的非等位基因是按自由组合定律遗传的.如果黄色圆粒豌豆甲（YyRr）和绿色圆粒豌豆乙（yyRr）杂交.问后代出现基因型YyRR的概率是多少？
解：黄豆圆粒豌豆甲（YyRr)和绿色圆粒豌豆乙（yyRr）杂交，下一代的特征有?YyRR\,YyRr\,Yyrr\,yyRR\,yyRr\,yyrr如下图所示：
∴后代出现基因型YyRR的概率是．
更上一层
1．盒中有10个晶体管，其中2个是次品，每次随机地抽取1只，做不放回抽样，连续抽两次，求下列事件的概率.
（1）2个都是正品；
（2）1个正品，1个次品；
（3）第二次抽取的是次品.
解：因为是做不放回抽样，所以在连续抽两次的试验中，第一次抽取有10种不同结果，第二次抽取有9种不同结果，由于第一次抽取的每一个结果都可与第二次抽取的任一个结果配对，组成连抽两次的一个结果，因此连续抽两次的结果共有10×9=90种.
（1）连续两次都是正品，则第一次抽取有8种结果，第二次抽取有7种结果，因此共有8×7=56种不同的结果，所以，所求的概率为=．
（2）抽取1个正品，1个次品的事件包括（先正后次）（先次后正）两种情况，若“先正后次”，则“先抽正品”有8种结果，“再抽次品”有2种结果，所以有8×2=16种结果.
同理，“先抽次品，后抽正品”有2×8=16种.
所以“1个正品，1个次品”的概率为=．
（3）“第二次抽取的是次品的”事件包括（正，次）（次，次）两种不同情形，其结果共有8×2+2×1=18种，所以，所求事件的概率为=．
2．甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪子、布），求：
（1）平局的概率；
（2）甲赢的概率；
（3）乙赢的概率.
分析：（1）甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有3种不同的等可能出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，而这9种结果是等可能的，所以一次游戏（试验）是古典概型，它的基本事件总数为9．
（2）平局的含义是两人出法相同.甲赢的含义是：甲出锤且乙出剪，甲出布且乙出锤，甲出剪且乙出布这3种情况.乙赢的含义是：乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况.
解：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C，则有
事件A含3个基本事件；事件B含3个基本事件；事件C含3个基本事件.
由古典概型的概率计算公式，可得
（1）P（A）==.
（2）P（B）==.
（3）P（C）==.
3．某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选是等可能的.若选出的2人性别相同的概率为，求该班的男、女生人数.
解析：从36人中任选2人，按顺序（x,y）记录结果，由于每人当选是等可能的，x有36种可能，y有35种可能，但（x,y）与（y,x）是相同的，所以选取的所有结果有36×35÷2=630种.
按同样的计算方法，如果所选2人都是男生，则有n（n-1)÷2种结果.如果都是女生，则有（36-n）·（35-n）÷2种结果.记“性别相同”为事件A，则A包含的基本事件个数为n(n-1)÷2+(36-n)·（35-n)÷2.
由题意知：P（A）=
即n2-36n+315=0 得n=15或n=21满足条件.
所以该班有男生15人，女生21人或女生15人，男生21人.
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11.2.1
顺序结构
自我检测
基础达标
1．流程图中的执行框是（ ）
A．矩形框
?B．菱形框
C．平行四边形框?
D．圆形框
答案：A
2．算法的三种基本结构是（ ）
A．顺序结构、流程结构、循环结构
B．顺序结构、分支结构、嵌套结构
C．顺序结构、选择结构、循环结构
D．流程结构、分支结构、循环结构
答案：C
3．写出下列流程图的运行结果．
（1）
(2)
则x=____． 则w=____．
(3)
若a=3,b=4,则c=______．
答案：6 5 5
4．画出求1+2+3+4+5的一个算法流程图．
解：算法：第一步：取n=5；
第二步：计算S=；
第三步：输出运算结果．
流程图如图所示．
5．写出解方程组的一个算法，并用流程图表示算法过程．
解：（1）将方程组中三个方程相加，得x+y+z=6；
(2)将方程组中每个方程与x+y+z=6相减，分别得x=1,y=2,z=3．
流程图如下图所示．
更上一层
1．设计一个算法，求以v0米/秒水平抛出的物体经过t秒后的合速度（假设t秒后物体未着地，且不计空气阻力），并画出流程图．
解：（1）算出t秒后，竖直向下方向的分速度vk=gt；
(2)依据矢量的合成法则，求合速度为．
流程图如下图：
2．写出作△ABC内切圆的一个算法，并画出流程图．
解：S1：作∠BAC的角平分线L1；
?S2：作∠ABC的角平分线L2；
?S3：过L1与L2的交点O作AB边的垂线OM；
?S4：以O为圆心，以OM为半径作圆，则圆O即为所求的圆．
流程图如下图所示：
3．某学生语文、英语、数学、物理、化学成绩分别是：80,95,90,84,89．写出求平均成绩的算法，画出流程图．
解：算法如下：S1：S←80；
?S2:S←S+95；
?S3:S←S+90；
?S4:S←S+84；
?S5:S←S+89；
?S6:A←S/5；
?S7:输出A．
流程图如下图所示：
4．写出求已知三角形的三边，写出求其内切圆面积的算法，并画出流程图．
解：算法：S1：输入a、b、c．
?S2：计算P=；
?S3:计算S=；
?S4:计算r=；
?S5:计算S圆=πr2；
?S6:输出S．
流程图如下图所示：
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12.1.3
分层抽样
自我检测
基础达标
一、选择题
1．某校有高中生900人,其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级的抽取人数分别为（ ）
A．15,5,25
B．15,15,15
C．10,5,30
D．15,10,20
答案：D
2．总体数为M个，其中带标记的是N个，要从中抽取k个入样，用随机抽样方法进行抽取，则抽取的样本中带标记的应为__________个（ ）
A．kN/M?
B．kM/N
C．MN/k?
D．N
答案：A?
3．某班有男生30名，现调查平均身高，已知男女身高有明显不同，用分层抽样法恰好抽出男生3人，女生2人，问女生有___________人（ ）
A．10 B．20 C．30 D．15
答案：B
4.某运输队有货车1
200辆，客车若干辆，从中抽样调查车辆的使用保养情况，如果恰好抽取货车120辆，客车剔除三辆后，用系统抽样方法抽出80辆，则客车有___________辆（ ）
A．802 B．803
C．800 D．806
答案：B
二、填空题
5.一般地，在抽样时.将总体分成________，然后按照__________，从各层__________，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样.
答案：互不交叉的几部分 各部分在总体中所占的比例 独立的抽取一定数量的个体
6.有A、B、C三种零件分别为a个，300个，200个，采用分层抽样抽取一个样本容量为45的样本，A中零件被抽取20个，C中零件被抽取10个，则这三种零件共有_________个.
答案：900
7.某单位有职工180人，业务员120人，管理人员120人，后勤服务人员30人，为了了解职工的某些情况，要从中抽取一个容量为30的样本，各类人员应分别抽取__________人.
答案：
12，
8，
8，
2
8.一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2
048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检测，若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为__________.
答案：16
更上一层
1．某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要对这个地区的农作物产量进行调查，应当采取什么样的抽样方法？并说明理由.
答案：应采用分层抽样.因为很显然，不同类型的农田之间的产量有较大的差异，应当采用分层抽样的方法，对不同类型的农田按其占总数的比例来抽取样本.
2．某学校在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解学校机构改革意见，从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种抽样方法抽取？并写出抽样过程.
答案：总体由差异明显的几部分组成，又因机构改革关系到各种人的利益，故采用分层抽样为妥.因为160/20=8，所以可在各层人员中按8∶1的比例抽取，又因16/8=2，?112/8=14，32/8=4，所以，行政人员、教师、后勤人员分别应抽取2人、14人、4人.
因行政人员后勤人员较少，可分别按1～16号和1～32号编号，然后用抽签法抽取2人和4人.而教师较多，所以对教师112人采用000，001，…，111编号，用随机数表法抽取14人.
3．简单随机抽样、系统抽样和分层抽样各有其特点和适用范围，请对这三种抽样方法进行比较，说明它们各自的优缺点.
答案：简单随机抽样：是最基本的抽样法，其他的各种随机抽样方法中，大都会以某种形式引用它.
分层抽样：充分利用了已知的总体信息，得到的样本比简单随机抽样和系统抽样有更好的代表性，并且可得到各层的子样本，以估计各层的信息.适用于差异性比较明显的几部分组成的情况.
系统抽样：比其他随机抽样法更容易实施，可节约抽样成本，所得样本的代表性和具体的编号有关（简单随机抽样所得样本的代表性与个体的编号无关）.如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性会很差.系统抽样比简单随机抽样的应用范围广.
以上我们简单介绍了简单随机抽样和分层抽样，这两种抽样方法的共同特点是：在整个的抽样过程中每个个体被抽取的概率相等.简单随机抽样是最基本的抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成，采取分层抽样时，其中各层的抽样常采用简单随机抽样.
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13.1.2
随机事件的概率
自我检测
基础达标
一、选择题
1．事件A的概率P（A）满足（ ）
A．P（A）=0
B．P（A）=1
C．0≤P(A)≤1
D．P(A)<0或P（A）>1
答案：C
2．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8
000件产品中合格品的件数可能为（ ）
A．160件
B．7
840件
C．7
998件?
D．7
800件
答案：B
3．下列说法不正确的是（ ）
A．不可能事件的概率为0，必然事件的概率是1
B．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
C．“直线y=k(x+1)过定点（-1，0）”是必然?事件
D．先后抛掷两枚均匀硬币，两次都出现反面概率是
答案：D
解析：先后抛掷两枚均匀的硬币，两次都出现反面的概率是×=．∴?D
不正确.
4．12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ）
A．3本都是语文书
B．至少有一本是数学书
C．3本都是数学书
D．至少有一本是语文书
答案：D
5．某地气象局预报说，明天本地降雨概率为80%，则下面解释正确的是（ ）
A．明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨
B．明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨
C．明天本地下雨的机会是80%
D．以上说法均不正确
答案：C
解析：本题主要考查学生对概率意义的理解.A、B两项显然不正确，因为80%的概率是说降水的概率，而不是说80%的区域降水，更不是说有80%的时间降水，是指降水的机会是80%．
二、填空题
6．下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理?论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.
其中正确的是_______.
答案：①④⑤
7．从一个鱼池中捕鱼n尾，并标上记号放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M尾，其中有记号的有m尾，则估计鱼池中共有鱼_________尾.
答案：
三、解答题
8．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n
8
10
12
9
10
16
进球次数m
6
8
9
7
7
12
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
解：（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为=，=，=，，，=．
（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员进球的概率为．
9．已知如下两表：
表1
抛掷硬币试验结果表
试验者
抛掷次数（n）
正面向上次数（m）
正面向上频率()
棣莫佛
2
048
1
061
0.518
1
蒲 丰
4
040
2
048
0.506
9
费 勒
10
000
4
979
0.497
9
皮尔逊
12
000
6
019
0.501
6
皮尔逊
24
000
12
012
0.500
5
表2
某类种子发芽结果表
种子粒数
25
70
130
700
2
000
3
000
发芽粒数
24
60
116
639
1
806
2
713
发芽率
0.96
0.857
0.892
0.913
0.903
0.904
试根据表1、表2结果比较两个不同事件发生的可能性的大小.
解析：掷硬币正面向上的概率约是0.5，种子的发芽率约为0.9，0.9>0.5所以这类种子的发芽率比掷一枚硬币掷出正面向上的概率要大得多.
10．在乒乓球比赛中，裁判员有时也用两名运动员伸出手指数的和是单数还是双数来决定谁先发球，其具体规则是：让两名运动员背对背站立，规定一名运动员得单数胜，另一名运动员得双数胜，然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指，两个人的手指数的和为单数，则指定单数胜的运动员得到先发球权，若两个人的手指数的和为双数，则指定双数胜的运动员得到先发球权，你认为这个规则公平吗？请用概率的知识加以解释.
解析：这个规则是公平的.因为当两名运动员背对背站立时，每名队员伸出的手指数是随机的.那么手指数的和是单数与双数的结果也是随机的.也就是说，每名队员取得先发球权的概率都是0.5．所以这个规则是公平的.
更上一层
1．孟德尔豌豆试验中，用纯黄色圆粒和纯绿色皱粒作杂交，则子二代结果的性状黄色圆粒，黄色皱粒，绿色圆粒，绿色皱粒的比例约为（ ）
A．1∶1∶1∶1?
B．1∶2∶3∶2
C．9∶3∶3∶1?
D．4∶3∶3∶6
答案：C
解析：纯黄色圆粒XXYY，纯绿色皱粒xxyy，则豌豆杂交试验的子二代结果
XY
Xy
xY
xy
XY
XXYY
XXYy
XxYY
XxYy
Xy
XXYy
XXyy
XxYy
Xxyy
xY
XxYY
XxYy
xxYY
xxYy
xy
XxYy
Xxyy
xxYy
xxyy
2．某中学一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班，有人提议用如下方法：掷两个骰子得到的点数和是几（见下表），就选几班，你认为这种方法公平吗？
答案：这种方法是不公平的.
解析：
1点
2点
3点
4点
5点
6点
1点
2
3
4
5
6
7
2点
3
4
5
6
7
8
3点
4
5
6
7
8
9
4点
5
6
7
8
9
10
5点
6
7
8
9
10
11
6点
7
8
9
10
11
12
任意抛掷一枚骰子，有6种可能的结果，因此当第一个骰子出现一种结果时，第二枚骰子仍然随机地出现6种可能的结果，故掷两枚骰子共出现6×6=36种可能结果，由于是随机的，故可认为这36种结果是等可能出现的.在这36种等可能的结果中，从上表可以看出，点数和为2的只有一种可能，即出现“点数和为2”的频率约为．也就是说，选二班的可能性只有．点数和为3的有两种可能，即出现“点数和为3”的频率约为．也就是说，选三班的可能性有．分析可知，每个班被选中的可能性是不同的.七班被选中的可能性最大，约为=．其次是六班和八班，约为，可能性最小的是二班和十二班，可能性只有．
3．有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上.你认为这种想法正确吗？
解：尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都是0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次.如果每个同学都连续抛掷两次硬币，统计全班同学的试验结果，则可以发现有三种可能的结果“两次正面朝上”；“两次反面朝上”；“一次正面朝上，一次反面朝上”.这正体现了随机事件发生的随机性.
随着试验次数的增加，可以发现，“正面朝上、反面朝上各一次”的频率与“两次均正面朝上”“两次均反面朝上”的频率是不一样的，而且“两次均正面朝上”的频率与“两次均反面朝上”的频率大致相等；“正面朝上、反面朝上各一次”的频率大于“两次均正面朝上”（“两次均反面朝上”）的频率.事实上，“两次均正面朝上”的概率为0.25，“两次均反面朝上”的概率也为0.25，“正面朝上、反面朝上各一次”的概率是0.5．
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13.1.1
随机现象
自我检测
基础达标
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ）
A．必然事件?
B．随机事件
C．不可能事件?
D．无法确定
答案：B
解析：正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件.故应选B．
2．从10个同类产品（其中有8个正品、2个次品）中，任取3个的必然事件是（ ）
A．3个都是正品?
B．至少有1个是次品
C．3个都是次品?
D．至少有1个是正品
答案：D
解析：由于10个同类产品中只有2个是次品，若从中任取3个，其中至少有1个是正品.故事件“至少有1个是正品”是必然事件.应选D．
3．在1，2，3，4…10这10个数中，任取3个数字，那么“这3个数字之和大于6”这一事件是（ ）
A．必然事件?
B．不可能事件
C．随机事件?
D．以上选项均不正确
答案：C
解析：当取1，2，3三个数时等于6．当取其他任意三个数字时大于6．于是“从中任取三个数字，这3个数字之和大于6”这一事件可能发生，也可能不发生.故应选C．
4．下列事件中，必然事件是（ ）
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
答案：D
5．某天一电影院的上座率为80%是（ ）
A．必然事件?
B．不可能事件
C．随机事件?
D．以上答案都不对
答案：C
6．下列事件中，不可能事件是（ ）
A．三角形的内角和为180°
B．三角形中大边对的角大，小边对的角小
C．锐角三角形中两个内角的和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
答案：C
7．下面给出四个事件，其中随机事件的个数是（ ）
①明天天晴 ②在常温下，焊锡熔化 ③自由下落的物体做匀加速直线运动 ④函数y=ax(a>0,a≠1)在定义域上为增函数
A．0?
B．1
C．2?
D．3
答案：C
解析：①“明天天晴”这一事件可能发生也可能不发生，为随机事件.②“在常温下，焊锡熔化”是不可能事件.③“自由下落的物体做匀加速直线运动”是必然事件.④y=ax可能为增函数，也可能为减函数，所以y=ax（a>0且a≠1）在定义域内是增函数，是随机事件，故应选C．
8．下面给出四个事件，其中是必然事件的是（ ）
①若x∈R,则x2<0?②没?有水分，种子发芽
③某地圣诞节下雪 ④若平面α∩平面?β=m,
n∥α,n∥β，则m∥n
A．③
?
B．①
C．①④
?D．④
答案：D
解析：①若x∈R，则x2≥0，故事件“若x∈R，则x2<0”为不可能事件.②“没有水分子，种子发芽”为不可能事件.③“某地圣诞节下雪”为随机事件.④如图过直线n作平面γ，使α∩γ=A．过n作平面δ，使δ∩β=B．由于n∥α,∴n∥A．同理n∥B．于是a∥B．∵bβ,a≠β,∴a∥β.∵a
α,α∩β=m,∴a∥m,∴n∥m.于是事件“若α∩β=m,n∥α,n∥β,则m∥n”是必然事件.故应选D．
更上一层
1.下面给出四个事件上，其中必然事件的个数为（ ）
①若a∥α,a∥β则α∥β ②若α∥β,λ∥α,则β∥λ ③若a∥α,β∥α，则a∥β ④若a∥b,?a∥α,则b∥α
A．1?
B．2
C．3?
D．4
答案：A
解析：只有②是必然事件，其余的三个事件均为随机事件.
2．在10个同类产品中，有7个正品，3个次品，从中任意抽出3个检验，据此列出一些不可能事件、必然事件、随机事件.
思路分析：由于有3个次品，故任意抽出的3个产品会出现四种结果：“抽到1个次品”“抽到2个次品”“抽到3个次品”“抽到3个正品”.
解析：“抽到的次品数等于正品数”是不可能事件，“抽到的正品数和次品数之和等于3”是必然事件，“抽到3个次品”“抽到3个正品”是随机事件.
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12.3.1
平均数及其估计
自我检测
基础达标
一、选择题
1．已知10个数据：1
203 1
201 1
194 1
200 1
204 1
201 1
199 1
204 1
195 1
199它们的平均数是（ ）
A．1
300?
B．1
200
C．1
100?
D．1
400
答案：B
2．在一次英语期末考试中，教育主管部门从某校高一、二班全体同学中随机抽取10名学生成绩如下：60，64，71，72，78，82，85，90，93，95.根据以上数据估计全体期末考试中英语平均成绩为（ ）
A．68.5?
B．80
C．79?
D．78.9
答案：C
3．若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这M+N个数的平均数是（ ）
A．?
B．
C．?
D．
答案：C
4.某篮球运动员在10场篮球比赛中进球个数为横坐标，进球相同的场数为纵坐标，依次得点（4，2），（5，0），（6，1），（7，3），（8，2），（9，1），（10，1），则该运动员进球众数与中位数分别为（ ）
A．7,5?
B．7,6
C．7,7?
D．6,7
答案：C
二、填空题
5.在频率分布直方图中，众数指_______，中位数指_______，平均数指_________.
答案：最高矩形的中点的横坐标 样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值 样本数据的算术平均数
6.某企业共有30名职工，经理1人，月薪5万，部门分管人员3名，月薪1万，技术人员8名，月薪3千，工人15名，月薪1千，实习生3名，月薪600元，则该企业工资的众数______元，中位数________元，平均数_______元.
答案：1
000 1
000 4
027
7.若两组数x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的平均数分别是和，那么一组数x1+y1,x2+y2,…,xn+yn的平均数为___________.
答案：
8.某台机床加工1
000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数
0
1
2
3
4
频率
0.5
0.2
0.05
0.2
0.05
则次品数的众数为________，中位数________，平均数为_________.
答案：0 0.5 1．1
9.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示.（单位：m）
成绩
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
则这些运动员成绩的平均数为__________.
答案：1.69
10.若样本数据x1,x2,…,xn出现的频数分别为n1,n2,…,nm（其中n＝n1＋n2＋…＋nm），则该样本的平均值_________________.
答案：
更上一层
1．有6个观测值：1
100、1
120、1
200、1
210、1
220、1
230，求它们的平均数.
答案：1
180
2．两个班级各选出20名学生参加数学竞赛，成绩如下：
甲：50 57 63 78 84 65 67 78 85 90 93 86 94 89 79 64 73 95 96
89
乙：55 94 83 78 65 69 71 79 94 96 92 87 88 78 73 80 87 67 78
68
问哪班成绩更好？若不低于90分的同学获奖，哪班的成绩更好？
思路分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可.
解：（1）用计算器分别求得两个班的平均分甲班平均分为78.75，乙班平均分为79.1，故这次竞赛乙班的成绩更好.（2）从获奖角度看，甲班有5名学生获奖，乙班有4名学生获奖，且甲班的获奖成绩较乙班的获奖成绩更高.故甲班的获奖成绩更好.
3．一个班组共有20名工人，他们的月工资情况?如下：
工资
xi（元）1
6001
4401
3201
2201
150980
人数ni 2 4 5 5 2 2
求该班组工人月工资的平均数.
解：=（1
600×2+1
440×4+1
320×5+1
220×5+1
150×2+980×2）÷20=1
296.
4.对一射击选手的跟踪观测，其环数及相应频率如下：
环数 6 7 8 9 10
频率 0.15 0.25 0.40 0.10 0.10
求该选手的平均成绩.
解：=6×0.15+7×0.25+8×0.4+9×0.1+10×0.1=7.75.
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12.1.1
简单随机
自我检测
基础达标
一、选择题
1．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）
A．总体是240
B．个体是每一个学生
C．样本是40名学生
D．样本容量是40
答案：D
2．为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（ ）
A．8
B．400
C．96
D．96名学生的成绩
答案：C
3．为了了解某次数学竞赛中1
000名学生的成绩，从中抽出一个容量为100的样本，则每个个体被抽到的可能性是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
4.用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么抽到每个个体的可能性为（ ）
A．1?
B．
C．N[]n?
D．
答案：B
二、填空题
5.简单随机抽样是指：_____________________；
（1）如果用这种方法从个体数为N的总体中取出一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性等于____________；
（2）常用的简单随机抽样方法有___________和_________.
解析：一般地，设一个总体的个体总数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取样本，且每次抽取时总体的各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
答案：（1）
（2）
抽签法 随机数表法
6.为了考察一段时间内某路口的车流量，测得每小时的平均车流量是576辆，所测时间内的总车流量是11
520辆，那么，此问题中，样本容量是____________.
答案：11
520
7.某地有2
000人参加自学考试，为了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的可能性都是0.04，则这个样本的容量是__________________.
答案：80
更上一层
1．说明在以下问题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么：
（1）为了了解某学校在一个学期里每天的缺席人数，统计了其中15天里每天的缺席人数.
（2）为了了解某地区考生（20
000名）的高考数学平均成绩，从中抽取了1
000名考生的成绩.
分析:明确总体、个体、样本、样本容量的数学意义.
解：（1）一个学期里每天的缺席人数为总体，每天的缺席人数是个体，抽取的15天里每天的缺席人数是样本，样本容量是15；
（2）某地区考生的高考数学成绩为总体，每一个该地区考生的高考数学成绩为个体，抽取的1
000名考生的成绩是样本，1
000是样本容量.
2．要从20台电视机中抽去5台进行质量检测，请用抽签法设计抽样方案.
解析：（1）将20台电视机编号，分别为1、2、3、…20.
（2）将这20个号码分别写在相同的20张纸片上.
（3）将这20张纸片放在一个盒子里搅拌均匀，抽出一张纸片记下上面的号码，然后再搅拌均匀，继续抽出第二张纸片，记下号码.重复这个过程直到取满5个号码时终止.于是，与这5个号码对应的5台电视机就构成了一个简单随机抽样.
3．欲从全班45名学生中随机抽取10名学生参加一项社区服务活动，试用随机数表法确定这10名学生.
解：第一步，现将45名学生编号，可以编为00，01，02，03，…，43，44；
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第10行第7列的数3；
第三步，从选定的数3开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下），两位、两们地读，得到一个两位数字32，由于32<44，说明号码32在总体内，将它取出；继续向右读数，又取出47、09；当读到47时，由于47>44，将它去掉，依次再取出27、17、09；当读到27时，它与前面的重复，将它去掉，再继续取下去，直到样本的10个号码全部取出.这样我们就得到一个样本容量为10的样本.
思维启示：利用随机数表法抽取样本时，从第几行的第几个数开始，按照什么方向取数都完全是任意的.
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11.3.4
循环语句
自我检测
基础达标
1．写出下列程序的运行结果：
（1）i←0
S←0
While
S<=20
S←S+i
i←i+1
End
While
Print
i
End
其运行结果为 7 ．
（2）i←0
S←0
While
S<=20
i←i+1
S←S+i
End
While
Print
i
End
其运行结果为 6 ．
2．下面是求1×2×3×4×…×n的积的伪代码，请将其补充完整．
Read
n
Mul←1
i←2
While
i<=n
①
②
End
While
Print
Mul
End
答案：①Mul←Mul
i
②i←i+1
3．计算函数f(x)=3x2-x+1当x=1,2,3,…,10时的函数值．用伪代码表示算法．
解：伪代码表示为：
x←1
?
While
x<=10
y←3
x∧2-x+1
?
Print
x,y
x←x+1
?
End
While
End
4．设计一个求n!=1×2×3×…×n的算法，用伪代码表示算法．
解：Read“n=”；n
A←1
i←1
?
While
i<=n
A←A
i
i←i+1
?
End
While
Print
A
?
End
5．设计算法，计算下面n个数的和．
,,,,…,
．用伪代码表示算法．
解：Read“n=”；n
i←1
?
Sum←0
?
While
i<=n
?
Sum←Sum+i/(i+1)
i←i+1
?
End
While
Print“Sum=”；Sum
End
6．组合数公式可以用公式,设计一个用上述公式计算组合数的算法，用伪代码表示算法．
解：Read“请输入m和n的值”；m,n
i←1
p←1
?
While
i<=n
p←p
i
i←i+1
?
End
While
i←1
q←1
?
While
i<=m
q←q
i
i←i+1
?
End
While
i←1
S←1
?
While
i<=(n-m)
S←S
i
i←i+1
?
End
While
C1←p/(q
S)
?
Print
C1
?
End
7．1,1,2,3,5,8,13,……这一列数的规律是：第1，第2个数是1，从第3个数起，该数是其前面2个数之和．试设计一个算法计算这列数前20个数的和，用伪代码表示．
解：用伪代码表示为：
i←3
A←1
B←1
?
Sum←A+B
?
While
i<=20
C←A+B
?
Sum←Sum+C
A←B
B←C
i←i+1
?
End
While
Print“Sum=”；Sum
End
8．求1!+2!+3!+…+20!的值，用伪代码表示．
解：S←0
T←1
?
For
N
from
1
to
20
T←T
N
S←S+T
?
End
for
Print
S
?
End
9．2000年我国人口有13亿，如果人口每年的自然增长率为7‰?，那么多少年后我国人口达到15亿？设计一个算法用伪代码表示．
解：A←13
R←0．007
i←1
?
While
A<=15
A←A
(1+R)
i←i+1
?
End
While
i←i-1
?
Print“达到或超过15亿人口需要的年数为：”；i
?
End
10．一球从100m高处落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下．在第10次落地时，共经过多少路程？第10次下落多高？试用伪代码描述上述过程．
解法1：S←0
h←100
S←s+h
i←2
?
While
i<=10
h←h/2
S←S+2
h
i←i+1
?
End
while
Print“第10次落地时共经过的路程为：”；S
?
Print“第10次下落的高度为”；h
?
End
解法2：S←0
h←100
S←S+h
?
For
i
From
2
to
10
h←h/2
S←S+2
h
?
EDN
for
?
Print“第10次落地时共经过的路程为：”；S
?
Print“第10次下落的高度为”；h
更上一层
1．用近似公式e=1++++…+求自然数e的数值，取n=10（n愈大，愈接近e的真值），设计一算法，用伪代码表示．
解：e←1
T←1
?
For
n
from
1
to
10
T←T
n
?
e←e+
?
End
for
Print
n,
e
End
2．抛掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是假如硬币质量均匀，那么当抛掷次数很多时，出现正面的频率应接近于50%，试设计一个循环语句模拟抛掷硬币的过程，并计算抛掷中出现正面的频率．
解析：有一个随机函数rand( )，它能产生（0，1）之间的随机数，这样我们可以用大于0．5的随机数表示出现正面，否则表示出现反面，其流程图为：
用伪代码表示：
Read“输入次数”；n
S←0
t←1
While
tIf
rand( )>0．5
than
S←S+1
End
If
t←t+1
End
While
Print“出现正面的频率”；S/n
End
PAGE
11.1
算法的含义
自我检测
基础达标
1．下列关于算法的说法中,正确的是（ ）
A．算法就是某个问题的解题过程
B．算法执行后可以不产生确定的结果
C．解决某类问题的算法不是唯一的
D．算法可以无限地操作下去不停止
答案：C
2．算法的有穷性是指（ ）
A．算法的最后包含输出
B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C．算法的步骤必须有限
D．以上说法都不正确
答案：C
3．著名数学家华罗庚“烧水泡茶”的例子，给出下面三个算法，则最节省时间的算法是（ ）
A．洗开水壶、灌水、烧水，在等待水开的时候，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，等水开了泡茶喝
B．洗开水壶、洗茶壶茶杯、拿茶叶，一切就绪，灌水烧水，等待水开了泡茶喝
C．洗开水壶、灌水、烧水，等待水开，开了之后拿茶叶、洗茶壶茶杯、泡茶喝
答案：A
4．下列语句表达中是算法的有___________．
①2是质数 ②判断7是否为质数，应首先看7除被1和它本身整除外，是否还能被其他数整除 ③2x=x+5 ④求梯形面积应首先给出上、下底长和高，然后根据公式S=（a+b）h求解
答案：②④
5．设计一个算法，将70分解成素因数的乘积．
解：第一步：若70是素数，则分解结束；
第二步：若70不是素数，则确定70的最小素因数得70=2×35；
第三步：若35是素数，则分解结束；否则重复第二步以后的过程；
第四步：输出70=2×5×7．
6．已知直角坐标系中的两点A（1，0），B（-3，2），写出求直线AB的方程的一个算法．
解：求直线AB的斜率k==；
用点斜式写出直线AB的方程，得y=
(x-1)．
7．设计一个算法，求圆外一点到该圆的切线长．
解：第一步：求圆心与该点之间的距离d；
第二步：利用勾股定理，计算切线长l=
8．已知直角三角形的两条直角边长分别为a、b，设计一个求该三角形周长的算法．
解：由勾股定理，可求出斜边c=,从而周长l=a+b+
算法步骤如下：
第一步：计算c=；
第二步：计算l=a+b+c；
第三步：输出l．
9．写出作△ABC内切圆的一个算法．
解：第一步：作∠BAC的平分线l1；
第二步：作∠BCA的平分线l2，交直线l1于点M；
第三步：经点M向边AB作垂线，垂足为N；
第四步：以点M为圆心，MN为半径作圆，则圆M就是△ABC的内切圆．
10．写出一个能找出a、b、c、d中最大数的算法．
解：第一步：假设max=a(即令最大值max是第一个数)；
第二步：如果b>max，则max=b；否则max的值不变；
第三步：如果c>max,则max=c；否则max的值不变
第四步：如果d>max,则max=d；否则max的值不变；
第五步：max就是a、b、c、d中的最大值．
更上一层
1．写出求1至1
000内7的倍数的数的算法．
解：第一步：A=0；
第二步：将A不断加1，每加一次，就将A除以7，若余数为0，则找到一个7的倍数，将其输出；
第三步：反复做步骤二，直到A=1
000结束．
2．一个大油瓶装有8kg油，还有两个空油瓶，一个能装5
kg油，另一个能装3kg油．请设计一种算法，将这8kg油平均分成两份．
解：将8kg、5
kg和3
kg油瓶编号为1，2，3号．
第一步：将1号瓶中油倒入2号瓶，再将2号瓶中油倒入3号瓶．此时，1号、2号、3号瓶中油各为3，2，3；
第二步：将3号瓶中油倒入1号瓶，2号瓶中油倒入3号瓶．此时1号、2号、3号瓶中油各为6，0，2；
第三步：将1号瓶中油倒入2号瓶，2号瓶中油倒入3号瓶，此时1号、2号、3号瓶中油各为1，4，3；
第四步：将3号瓶油倒入1号瓶，此时1号、2号瓶中油各为4，4．
3．任意给定两个大于1的正整数a,b，设计一个算法求出a,b的最大公约数．
解：第一步：比较a,b的大小，假定a≤b；
第二步：找某一个2~a之间的素数去整除a,B．若找到，则用它去除a,b得商a1,b1；
第三步：对a1,b1重复第二步的过程，直到找不到这样的能整除an,bn的质数为止；
第四步：将以上找得的各质数相乘，积即为最大公约数．
PAGE
11.3.3
条件语句
自我检测
基础达标
1．写出下列程序的运行结果．
（1）Read
x
?
If
x>=0
then
y←x
?
Else
y←-x
?
End
if
End
若输入-3，则输出结果为 3 ．
（2）Read
x
?
If
x＞3
then
y←5+(x-3)
1．2
?
Else
y←5
?
End
if
Print
y
?
End
若输入5，则输出结果为 7．4 ．
（3）Read
x
?
If
x>0
and
x<8
then
y←x∧2
?
Else
y←x
2+3
?
End
if
Print
y
End
若输入8，则输出结果为 19 ．
2．以下给出的是用条件语句编写的一个程序，根据该程序回答：该程序是求函数________的函数值．
Read
x
If
x<-1
then
y←x
2
Else
If
x<=1
then
y←0
Else
y←(-2)
x
End
if
End
if
Print
y
End
解析：由上面的程序可知：
若x<-1时，y=2x；
若-1≤x≤1时，y=0；
若x>1时，y=-2x．
于是该程序是求函数
3．将下面程序补充完整．
Read
x
m←x
MOD
2
If__________then
Print“x是奇数”
Else
Print“x是偶数”
End
if
End
答案：m<>0
4．编写一个程序，如果考生成绩大于等于60分则输出“及格”，否则输出“不及格”．
解析：Read“请输入学生的成绩G=”；G
If
G>=60
then
?
Print“及格”
?
Else
Print“不及格”
?
End
if
End
5．输入一个数判断它是否是3的倍数．
解析：Read“输入实数”；a
r←a
MOD
3
?
If
r=0
then
Print“这个数是3的倍数”
?
Else
Print“这个数不是3的倍数”
?
End
if
End
6．编写程序求y=
解：Read
x
?
If
x<0
then
y←(π/2)
x+3
?
Else
If
x>0
then
y←x-5
?
Else
y←0
?
End
if
End
if
Print
y
?
End
7．编写一个程序判定给定角α(0°＜α＜180°)是锐角、直角还是钝角．
解：Read“请输入角α=”；α
?
If
α=90°then
Print“α是直角”
?
Else
?
If
α>90°then
Print“α是钝角”
?
Else
Print
“α是锐角”
?
End
if
End
if
End
8．期末考试，教师阅卷评分，并检查每个学生的成绩，如及格则作“升级”处理，不及格作“留级”处理．画出流程图．
解：
9．设计求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法，并用伪代码表示．
解：Read“a,b,c=”；a,b,c
Δ←b
b-4
a
c
?
If
Δ<0
then
Print“方程无实根”
?
Else
x1←(-b+SQR(Δ))/(2
a)
x2←(-b-SQR(Δ))/(2
a)
?
Print
x1
x2
?
End
If
End
10．判断给定的点P（x,y）与单位圆的位置关系，用伪代码表示．
解：Read
x,y
d←SQR(x∧2+y∧2)
?
If
d<1
then
Print“点P在单位圆内部”
?
Else
If
d>1
Then
Print“点P在单位圆外部”
?
Else
Print“点P在单位圆上”
?
End
If
End
If
End
更上一层
1．农历九月初九是中国的重阳节，某饭店自助餐厅决定在这一天进行优惠酬宾活动．80岁以上的老人，享受免费自助餐；70岁以上的老人享受5折优惠；60岁以上的老人享受6折优惠；其余的嘉宾享受9折优惠．要求输入用餐者的年龄、消费额，输出应付金额，用伪代码表示．
解：用y,x,p分别表示年龄、消费额和应付金额．
?
Read
y,x
?
If
y<80
then
If
y<70
then
If
y<60
then
p←0．9
x
?
Else
p←0．6
x
?
End
if
Else
p←0．5
x
?
End
if
Else
p←0
?
End
if
Print“p=”；p
?
End
2．基本工资大于或等于600元，增加工资20%；若小于600元大于等于400元，则增加工资15%；若小于400元，则增加工资10%．请根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资．
解：Read“x=”；x
?
If
x<=0
then
Print“error”
Else
If
x<400
then
y←x
(1+0．1)
?
Else
If
x<600
then
y←x
(1+0．15)
?
Else
y←x
(1+20%)
End
if
End
if
End
if
Print“x=”；x,y
?
End
PAGE
12.2.2
频率分布直方图与折线图
自我检测
基础达标
一、选择题
1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为（ ）
A．2
?B．4
?C．6
?D．8
答案：B
2．在100个人中，有40个学生，21个干部，29个工人，10个农民，则数29是工人这一组的（ ）
A．频数?
B．频率
C．累计频率?
D．概率
答案：A
3．频率分布直方图以形式反映数据落在各小组的频率的大小（ ）
A．高度?B．宽度?C．距离?D．面积
答案：D
4.10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球四个，2号球二个，3号球三个，4号球一个，数0.2是指2号球占总体分布的（ ）
A．频数?B．个数
C．频率?D．累积频率
答案：C
5.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，［a,b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m,该组上的直方图的高为h,则|a-b|等于（ ）
A．hm?B．m[]h?C．h[]m?D．h+m
答案：B
6.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8个组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
则下列结论中不正确的是（ ）
A．第3组的频率为0.14
B．总体中个体落在第3组内的可能性约为0.14
C．总体中个体落在第3组内的频率为0.14
D．总体中个体落在前3组范围内的可能性约为0.37
答案：C
7.一般地，家庭用电量y（kW）与气温x（℃）有函数关系y=f（x）.图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.试在数集A={x|5≤x≤30,x是2．5的整数倍}中确定一个最小值x1和最大值x2,使y=f（x）是［x1,x2］上的增函数，则区间［x1,x2］为（ ）
图（1）
图（2）
A．［5，25］?
B．［10，27.5］
C．［20,27.5］?
D．［15,27.5］
答案：C
二、填空题
8.一个容量为120的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为n和0.35，则n=______.
答案：42
9.条形图是用其________来表示各组的频率，直方图是用其________来表示各组的频率.
答案：高度 面积
10.有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：
［12．5,15.5）,3；［24.5,27.5）,10；［15.5,18.5）,8；［27.5,30.5）,5；
［18.5,21．5）,9；［30.5,33．5）,4；［21．5,24.5）,11．
估计总体中落在［15.5,24.5）的数据占总体数据的可能性约为_________.
答案：0.56
11．下面画出了从一个总体中抽取的一个容量为150的样本的频率分布直方图，试根据图中数据填空：
（1）样本数据落在［8，10）内的频率为____________；
（2）样本数据落在［14，16）内的频数为___________；
（3）估计总体落在［10，12）内的频率是___________.
答案：（1）0.16 （2）18 （3）0.18
三、解答题
12．在100名学生中，每人参加1个运动队，其中参加足球队的有30人，参加篮球队的有27人，参加排球队的有23人，参加乒乓球队的有20人.
（1）列出学生参加各运动队的频率分布表；
（2）画出表示频率分布的条形图.
解：（1）学生参加各种运动队的频率分布表如下：
频数
频率
足球队（1）
30
0.30
篮球队（2）
27
0.27
排球队（3）
23
0.23
乒乓球队（4）
20
0.20
合计
100
1.00
（2）所求作的频率分布条形图如图：＞
更上一层
1．以下数字是1
000名中学生的身高记录（单位：厘米）：
［157.5,159.5）,6；［159.5,161.5）,13；［161．5,163．5）,40；［163．5,165.5）,96；
［165.5,
167.5）,175；［167.5,169.5）,180；［169.5,171.5）,190；［171.5,173.5）,175；
［173．5,175.5）,70；［175.5,177.5）,40；［177.5,179.5）,10；［179.5,181.5）,5.
（1）画出频率分布直方图和频率分布折线图；
（2）求身高在［171．5,181．5）的学生的百分比.
解：（1）频率分布直方图如下图.
在直方图中取各个小长方形上端中点，并自左向右把相邻各点用线段连结，就得到了频率分布折线图.
（2）∵身高在［171．5,181．5）内的频数为175+70+40+10+5=300.
∴频率为=0.3=30%．
故身高在［171．5,181．5）的学生的百分比为30%．
2．有一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：
［6.65,6.75］,2；（7.15,7.35）,4；（6.75,6.95］,3；（7.35,7.55］,3；
（6.95,7.15］,8.
列出样本的频率分布表.
解：频率分布表：
分组
频数
频率
累计频率
［6.65,6.75）
2
0.1
0.1
［6.75,6.95）
3
0.15
0.25
［6.95,7.15）
8
0.40
0.65
［7.15,7.35）
4
0.20
0.85
［7.35,7.55］
3
0.15
1.00
合计
20
1.00
3．下表给出了从某校500名12岁的男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料（单位：厘米）：
区间界限
［122，126）
［126，
130）
［130，134）
［134，
138）
［138，
142）
人数
5
8
10
22
33
区间界限
［142，146）
［146，150）
［150，154）
［154，158）
人数
20
11
6
5
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计身高低于134厘米的人数占总人数的百分比和身高在区间［134，146）（厘米）内的人数占总人数的百分比.
解析：（1）样本频率分布表：
分组
频数
频率
［122，126）
5
0.04
［126，130）
8
0.07
［130，134）
10
0.08
［134，138）
22
0.18
［138，142）
33
0.28
［142，146）
20
0.17
［146，150）
11
0.09
［150，154）
6
0.05
［154，158）
5
0.04
合计
120
1.00
（2）样本的频率分布直方图如下图：
（3）∵样本中身高低于134厘米的男生出现的频率为==0.19.
∴由样本频率可估计该校身高低于134厘米的男生占这500名12岁男生总数的19%．
∵样本中身高在区间［134，146）（厘米）内的男生出现的频率为==0.625,
∴估计该校500个12岁男生中身高在区间［134，146）（厘米）内的有62.5%．
PAGE
11.2.3
循环结构
自我检测
基础达标
1．指出下列流程图所表示的算法（用算式表示）．
(1)
(2)
答案：(1)其算法为:1+3+5+…+99．
(2)其算法为:1×２×3×4×…×20．
2．指出下面流程图的运行结果．
答案：其运行结果为20．
3．下面是求12+22+32+…+1002的值的流程图，请将流程图补充完整：
（1）处应填______________；
（2）处应填______________．
答案：i≤100?sum=sum+i2
4．设计一个算法，求前n个自然数的和大于2
004的最小正整数n，并用流程图表示出来．
解：算法：（1）取n=1；
(2)计算；
(3)如果的值大于2
004，那么n即为所求；否则让n的值增加1后转到（2）重复操作；
（4）输出n的值．
流程图（1）
流程图（2）
5．将全班64个学生期中考试成绩不及格者的分数打印出来．
解：
更上一层
1．某高中男子体育小组的50米跑成绩（单位：s）为：6.4,6．5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5．设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8
s的成绩，并画出流程图．
解：算法步骤：
第一步：把计数变量n的初值设为1．
第二步：输入一个成绩r,判断r与6．8的大小．若r≥6．8，则执行下一步；若r<6．8，则输出r,并执行下一步；
第三步：使计数变量n的值增加1；
第四步：判断计数变量n与成绩个数9的大小．若n≤9,则返回第二步；若n>9,则结束．
2．以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60．要求将80分以上的同学的平均分求出来．写出流程图．
解：流程图如下图：
3．有120名学生．
（1）要求将他们之中成绩不低于60分者的学号打印出来，画出流程图．
（2）要求将他们之中成绩不低于60分者的学号和成绩都打印出来，画出流程图．
解：（1）用ni和gi分别表示第i个学生的学号和成绩,流程如图所示：
(2)流程图如图所示：
PAGE
12.3.2
方差与标准差
自我检测
基础达标
一、选择题
1．在统计中，样本的方差可近似的反映总体的（ ）
A．平均状态 ?B．分布规律
C．波动大小
?
D．最大值和最小值
答案：C
2．甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么（ ）
A．甲的波动比乙的波动大
B．乙的波动比甲的波动大
C．甲、乙的波动一样大
D．甲、乙的波动大小关系不能确定
答案：A
3．如果一个样本为：1，2，4，1，2，那么这个样本的方差是（ ）
A．1.4
B．0.8
C．1.2
D．6
答案：C
4．样本：8，10，12，9，11的标准差是（结果保留到小数点后一位）（ ）
A．2.0
B．1.3
C．1.4
?
D．1.5
答案：C
5．频率分布直方图中小长方形的面积等于（ ）
A．组距
B．频率
C．组数
D．平均数
答案：B
6．在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不能确定
答案：A
二、填空题
7．数据4，5，3，6，7的方差为_____________________.
答案：2
8．某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为：7，9，6，8，10，样本的平均数是_________；样本的方差是___________；样本的标准差是__________.
答案：8 2
9．某校初三年级甲乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，两个班参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数经统计和计算后结果如下表：
班级
参加人数
平均字数
中位数
方差
甲
55
135
149
191
乙
55
135
151
110
有一位同学根据上表得出如下结论,其中正确的是___________（填序号）.
①甲乙两班学生的平均水平相同
②乙班优秀人数比甲班优秀人数多
③甲班的学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大
答案：①③
10.一个样本a、3、5、7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则这个样本的方差是__________.
答案：5
三、解答题
11．请你计算样本101，98，102，100，99的极差、方差与标准差.
解：极差：102－98＝4，方差：=100,S2=2．标准差：.
12．对于下面各组数据，分别求出它们的极差、方差和标准差：（精确到0.1）
（1）－8，－4，5，6，7，7，8，9；
（2）63，70，70，81，83，86，88，91，92，96；
（3）15.1，15.3，15.6，16，16.4，16.4，16.6，16.6；
（4）78，80，82，90，90，94，98，100.
答案：（1）17，33．9，5.8；（2）33，108，10.4；?（3）1．5，0.3，0.6?；（4）22，60，7.7.
13．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出的次品数分别是：
甲 0 1 0 2 2
乙 2 3 1 1 0
已算出甲台机床数据的方差是S甲2＝0.8，求乙台机床数据的方差S乙2．
从结果看哪台机床出的次品的波动较小？
答案：S乙2＝1．04，由S甲2＜S乙2，说明甲台机床5天生产中出次品的波动较小.
14.一学期以来，甲、乙两位学生的五次数学考查的成绩如下：
甲：81 98 95 76 100
乙：88 91 86 93 92
如果本学期这个班的数学成绩的平均分是74.5分，试根据上面的数据，对甲、乙两名学生的数学学习状况作一些剖析.
答案：对两名学生的数学学习状况作一些分析.
甲=90分，乙=90，两位同学在班级里数学成绩都比较好.S甲2＝93．2，S乙2＝6.8.即S甲2＞S乙2．所以在学习数学过程中，学生乙比学生甲的成绩更加稳定些.
更上一层
1．下列对一组数据的分析，不正确的说法是（ ）
A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定
答案：B
2．对于样本数据标准差的说法正确的是（ ）
A．可正、可负、可零
B．一定大于0
C．一定不小于0
D．不大于0
答案：C
3．已知样本：x1，x2，x3，…，x100的方差S12＝0.016，则样本3x1，3x2，3x3，…，3x100的方差S22等于（ ）
A．0.166
?B．0.048
C．0.064
?D．0.144
答案：D
4．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，方差为S2，则3x1＋5，3x2＋5，…，3xn＋5的平均数和方差分别为（ ）
A．，S2
?
B．3+5,S2
C．3+5,9S2
?D．3+5,9S2+30S+25
答案：C
5．如果一个有40个数据的平均值是5，标准差为，则这个样本数据的平方和为_______.
答案：1
120
6．某样本方差的计算公式是S2＝［（x1－2）2＋（x2－2）2＋…＋（x8－2）2］，则它的容量是_________，数据的平均数是________，样本的平方和是80时，标准差是___________.
答案：8 2
7．通过计算，一组数据的方差为a，如果将这组数据中的每个数据都乘以2，那么所得到的一组新数据的方差是_______________.
答案：4a
8．若k1，k2，…，k6的方差为3，则2（k1－3），2（k2－3），…，2（k6－3）的方差为____________.
答案：12
9．求下列各数据组的极差、方差和标准差：
（1）10，11，12，13，9，10，13，11，12，10；
（2）7.5，8.5，8.2，7.7，8.1，7.8，8.3，8.2，7.8，8.0；
（3）78，84，98，92，66，77，75，80，79，81；
（4）1.62，1.58，1.69，1.63，1.65，1.65，1.68，1.55，1.52，1.63．
答案：（1）4，1．69，1．3；（2）1．0，0.085，0.30；（3）23，71，8.43；（4）0.17，0.00
3，0.052．
10.某校从甲、乙两名优秀选手中选1名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
选手甲的成绩（秒）
12.1
12.2
13
12.5
13.1
12.5
12.4
12.2
选手乙的成绩（秒）
12
12.4
12.8
13
12.2
12.8
12.3
12.5
根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识作出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？
解：∵甲=
（12．1+12．2+13+…+12．4+12．2）=12．5，
乙=
（12+12．4+12．8+…+12．3+12．5）=12．5，
又S甲2=［（12．5-12．1）2+（12．5-?12．2）2?+…+（12．5-12．2）2］=0.12，
S乙2=［（12．5-12）2+（12．5-12．4）2+…+（12．5-12．5）2］=0.10.
∵S甲2>S乙2，
∴乙选手的成绩比较稳定，则应派乙选手参加比赛.
11．某服装店月销售额（单位：万元）如下：
月份 1
2 3 4 5 6
销售额 583 1
016 378 438 484 512
月份 7 8 9 10 11 12
销售额 470 465 459 517 461 508
（1）估计该商品月销售额的平均数和标准差.
（2）有几个月的销售额在平均数与标准差的和（差）范围内？
答案：（1）=524.25,S=155.70.?
（2）落入（－S，＋S）即（368.55，679.95）内的数据约为≈0.917.
PAGE
12.4
线性回归方程
自我检测
基础达标
一、选择题
1．下列有关线性回归的说法，不正确的是（ ）
A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关?关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．线性回归直线能得到具有代表意义的回归直线方程
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
答案：D
2．下列命题中正确的为（ ）
①任何两个变量都具有相关关系 ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系 ③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系 ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究
A．①③④
B．②④⑤
C．③④⑤
D．②③⑤
答案：C
3．观测两相关变量得如下数据：
x
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
y
-1
-2
-3
-3
-5
5
4
3
2
1
则两变量间的回归直线方程为（ ）
?A．=x-1
?B．=0.964x
?C．=2x+
?D．=0.964x+0.1
答案：D
4．由一组样本数据（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xn,yn）得到的回归直线方程=bx+a,那么下面说法不正确的是（ ）
A．直线=bx+a必经过点（,）
B．直线=bx+a至少经过点（x1,y1）,（x2,y2）,…，（xn,yn）中的一个点
C．直线=bx+a的斜率为
D．直线=bx+a和各点（x1,y1）,（x2,y2）,…，（xn,yn）的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的
答案：B
5．下列变量中具有相关关系的是（ ）
A．正方形的体积和边长
B．人的身高与体重
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
D．球的半径与体积
答案：B
6．一位同学对自家所开小卖部就“气温与热饮杯的销售量进行调查”，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x℃与当天销售量y（个）之间的线性回归方程=-2．352x+147.767,估计在x=2℃时，可卖出热饮杯的个数为（ ）
A．128
B．134
C．143
D．109
答案：C
7．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．正方体的体积与棱长
B．角的度数和它的正弦值
C．单产为常数时，土地面积和总产量
D．日照时间与水稻的亩产量
答案：D
8．统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，对应于变量x取值xi，变量y的观测值为yi（1≤i≤n）.若计算得相关系数r=0.8
，则对变量x
、y的相关强弱为（ ）
A．相关性很强
B．相关性一般
C．相关性很弱
D．不相关
答案：A
9．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（ ）
A．点散布特征为从左下角到右上角区域
B．点散布在某带形区域内
C．点散布在某圆形区域内
D．点散布特征为从左上角到右下角区域内
答案：D
10．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据，运用Excel软件计算得=0.577x-0.448（x为人的年龄，y为人体脂肪含量）.对年龄为37的人来说，下列说法正确的是（ ）
A．年龄为37的人体内脂肪含量为20.90%
B．年龄为37的人体内脂肪含量约为20.90%
C．年龄为37的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为20.90%
D．年龄为37的大部分人的体内脂肪含量为20.90%
答案：C
二、填空题
11．已知回归直线方程=0.50x-0.81，则当x=25时，y的估计值为_________.
答案：11.69
12．用科学计算器求回归方程的过程中，进入回归计算模式键是_________.
答案：
13．对某种产品表面进行腐蚀刻线实验，腐蚀深度y
（μm）与时间x
（s）之间有线性相关关系，回归方程为=0.304x+5.36，则回归系数b=0.304的实质意义是_____________.
答案：腐蚀时间x每增加1s，估计深度y平均增加0.304个μm（或腐蚀速度为0.304μm/s）
14．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表：
温度（x）
0
10
20
50
70
溶解度（y）
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回归直线的斜率是___________
答案：0.880
9
三、解答题
15．设对变量x,Y有如下观察数据：
x
151
152
153
154
156
157
158
160
160
162
163
164
Y
40
41
41.5
41.5
42
42.5
43
44
45
45
46
45.5
使用科学计算器求Y对x的回归直线方程.（结果保留4位小数）并写出操作过程.
解：计算得：a=－26.057
3,b=0.438
967
回归直线方程为=0.438
967x-26.057
3，操作过程略.
16．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速（x转/秒）
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数（y件）
11
9
8
5
（1）如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；
（2）求线性相关系数；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10
个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
解：（1）
计算得：a=-0.857
5,b=0.728
6
回归直线方程为=0.728
6x-0.857
5.
（2）相关系数r=0.995.
（3）x≤14.901
9.
17．在对某产品进行耐压强度试验中，运用刻线试验方法，得到凹陷深度Y与挤压冲力x个单位（N）之间相应的一组观察值，如下表：
x（N）
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
100
Y（μm）
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求Y对x的回归直线方程；
（3）试预测冲击力为100N时，凹陷深度是多少？
解：（1）散点图略.
（2）
计算得：a=4.82,b=0.329.
回归直线方程为=0.329x+4.82．
（3）38.26μm．
更上一层
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ）
A．吸烟有害健康
B．乌鸦叫,没好兆
C．粮食产量与施肥量
D．名师出高徒
答案：B
2．下列关于回归直线的命题,正确的个数是（ ）
①回归直线通过散点图的中心（,）
②回归直线必经过散点图的多个点
③对给定数据组（xi,yi）（1≤i≤n）得出的散点图,回归直线可有多条
④如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,且散点图中各点到这条直线的距离差最小,这条直线是回归直线
A．0
?B．1
C．2
?D．3
答案：C
3．改革开放以来,我国高等教育事业迅速发展.为调查某省从1990年到2000年农村18岁到24岁的青年人每年考入大学的百分比，为便于统计，把1990年到2000年的年号依次编号为0，1，…，10作为自变量x，每年考入大学的百分比作为因变量y，进行回归分析，得到回归直线=0.42x+1．80.下列对数据解释正确的是（ ）
①每年升入大学的百分比为1.80 ②升入大学的18岁到24岁的人数按大约每年0.42%的速度递增 ③1990年升入大学的百分比约为1.80%，2000年升入大学的百分比约为6%
④从1990年到2000年升入大学的人数成等距离增加
A．①②?B．①③ ?C．②④?D．②③
答案：D
4．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是（ ）
答案：A
5．对相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,（x2,y2）,…，（xn,yn），所求回归方程为=bx+a，其中回归直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
6．下列两个变量具有相关关系的是（ ）
A．三角形的面积与三角形的底和高的乘积
B．粮食单产量与光照时间
C．圆柱的体积与底面圆的半径
D．人的寿命与生辰属相
答案：B
7．在七块并排的形状、大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据.（单位：kg）
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
则由此得到的回归直线的斜率是（ ）
A．4.57?
B．4.75
C．3．94?D．5.35
答案：B
8．对相关关系的两个变量x、y，与相关强对应的相关系数r满足（ ）
A．r∈［0.5,0.9］
B．r∈［0.75,1］
C．|r|∈［0.75,1］
D．r∈［-1,-0.75］
答案：C
9．现抽取某校高一10名学生入学考试中的数学成绩x和入学后的第一次考试数学成绩y，统计计算得=107.8，∑（xi）2=116
584，=68，∑（yi）2=47
384，∑xiyi=73
796,则两次数学成绩的关系（ ）
A．相关强
B．不相关
C．没关系
D．相关一般
答案：A
10．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程=0.66x+1.562（单位：千元），若某城市居民消费水平为7.675，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（ ）
A．66%
B．72.3%
C．67.3%
D．83%
答案：D
11．回归直线方程=bx+a中，b=__________，a=___________.
答案：
12．对某种机器购置后运营年限x（1，2，3，…）与当年增加利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为=10.47-1.3x，估计这种机器使用_________年最合算.
答案：8
13．某工厂实行效益工资，工人月工资y（元）与其劳动生产率x（千元）的回归方程为=50+80x，则该回归直线的斜率b=80的含义为__________.
答案：劳动生产率提高1
000元，则工资提高80元
14．对具有线性相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,（x2,y2）,…
，（xn,yn），回归方程为=?bx+a，求Q=_________的最小值而得出回归方程的方法，叫最小二乘法.
答案：
15．5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
（1）画出散点图；
（2）确定回归方程.
解：（1）散点图略.
（2）计算得：a=40.8,b=0.36.
回归直线方程为=0.36x+40.8.
16．现对x
，y有如下观测数据：
x
18
25
30
39
41
42
49
52
y
3
5
6
7
8
8
9
10
试求y对x的线性回归方程.
解：计算得：a=-0.067,b=0.191．
回归直线方程为=0.191x-0.067.
17．某公司抽查5位职工的月收入及储蓄额（单位：元）得到如下对应数据：
x
700
800
950
1
000
1
200
y
254
281
317
331
382
（1）作散点图；
（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.
解：（1）散点图略.
（2）计算得：a=76.13,b=0.254
7.
回归直线方程为=0.254
7x+76.13．
18．某厂某产品的产量x（单位：千件）与单位成本y（单位：万元/千件）的对应数据如下：
x
29
28
28.5
29.5
30
31
30
29
y
500
510
504
494
493
485
492
498
（1）
对变量y与x作出散点图；
（2）若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）
预测产量x=25千件时的单位成本.
解：（1）散点图略.
（2）计算得：a=732,b=-8.
回归直线方程为=-8x+732．
（3）当x=25时，=-8×25+732=532万元/千件.
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13.4
互斥事件
自我检测
基础达标
一、选择题
1．从一堆产品（其中正品与次品的个数都多于2）中任取两个，下列每对事件是对立事件的是（ ）
A．恰好有2个正品与恰好有2件次品
B．至少有1件正品与至少有1件次品
C．至少1件次品与全是正品
D．至少1件正品与全是正品
答案：C
2．在所有的两位数（10到99）中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是（ ）
A． ?B．
C．
?D．
答案：C
3．随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为0.25，则两道选择题至少猜对一道以上的概率约为（ ）
A．
?
B．
C．
?
D．
答案：
A
4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为20%，两人下成和棋的概率为35%，那么甲不输的概?率是（ ）
A．20%
B．35%
C．55%
D．65%
答案：C
5．玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红，4黑，2白，1绿，从中取1球为红或黑的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：D
二、填空题
6．某篮球运动员投篮命中率为0.85，则其投不中概率是________.
解析：该篮球运动员投篮命中与未命中恰为两个对立事件.故可用P（A）+P（B）=1求之.设投篮命中为事件A，则P（A）=0.85，则未命中为事件B．
∵P（A）+P（B）=1，
∴P（B）=1-P（A）=0.15，所以该运动员投篮未中的概率为0.15．
7．今有一批球票，按票价分类如下：10元票5张，20元票3张，50元票2张，从这10张票中随机抽出3张，则票价和为70元的概率是____________.
答案：
三、解答题
8．玻璃球盒中装有大小和形状完全一样的各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：
（1）是红球或黑球的概率；
（2）是红球或黑球或白球的概率.
解析1：视为等可能事件，进而求概率.
（1）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5+4=9种不同取法，任取一球有12种取法.
∴任取1球得红球或黑球的概率为
P1==.
（2）从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为
P2=.
解析2：视其为互斥事件，进而求概率.
记事件A1：从12只球中任取1球得红球；
A2：从中任取1球得黑球；
A3：从中任取1球得白球；
A4：从中任取1球得绿球，则?
P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（A4）=.
根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率得：
（1）取出红球或黑球的概率为
P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=；
（2）取出红或黑或白球的概率为
P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=.
解析3：视为对立事件，进而求概率.
（1）由思路2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4．
∴取出红球或黑球的概率为
P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）=1--==.
（2）A1+A2+A3的对立事件为A4，
P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-=即为所求.
9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
（1）至多2人排队等候的概率是多少？
（2）至少3人排队等候的概率是多少？
解析：记事件在窗口等候的人数为0，1，2，3，4，5人及5人以上分别为A、B、C、D、E、F.
（1）至多两人排队等候的概率是P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）=0.1+0.16+0.3=0.56．
（2）解法1：至少3个排队等候的概率是P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44．
解法2：因为至少3人排队等候与至多2人排队等候是对立事件，故由对立事件的概率公式，至少3人排队等候的概率是P（D+E+F）=1-P（A+B+C）=1-0.56=0.44．
∴至多2人排队等候的概率是0.56，至少3人排队等候的概率是0.44．
10．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图，随机选取1个成员.
（1）他至少参加2个小组的概率是多少？
（2）他参加不超过2个小组的概率是多少？
解：（1）依图可知，3个课外小组总人数为60，用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，B表示事件“至少参加2个小组”，则A、B互为对立事件.
∴P（B）=1-P（A）=1-=0.6，
∴随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6．
注：至少参加两个小组包含只参加两个小组和参加三个小组两种情况，故P（B）==0.6．
（2）用C表示事件“选取的成员参加3个小组”，D表示事件“选取的成员不超过2个小组”，则C、D互为对立事件.
∴P（D）=1-P（C）=1-==0.87．
即随机选取1个成员参加不超过2个小组的概率约为0.87．
更上一层
1．如右图，设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.
思路分析：硬币落下后与格线没有公共点的充要条件是硬币中心与格线的距离都大于半径1.在等边三角形内分别作三条与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形.当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点.所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.
解：记A={硬币落下后与格线没有公共点}.如图在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1.则等边三角形的边长为
4-2=2，由几何概率公式得，P（A）=.
2．某班指定3个男生和2个女生参与学校文艺节目：独唱和朗诵.把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生.将每个人的号分别写在5张相同的卡片上并放入一箱中充分混合，每次从中随机取出一张，取出谁的编号谁就参与表演节目.为取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取第一张卡片后又放回后再抽第二张.
求：（1）独唱和朗诵由同一个人表演的概率.
（2）取出的2人不全是男生的概率.
解：（1）有放回地抽取2张卡片，同一张卡片两次抽取的可能性与其他卡片相等，所以所有可能结果数为5×5=25，用A表示事件“独唱和朗诵由同一人表演”，则A的结果有5种
∴P（A）===0.2.
（2）用B表示事件“有放回地连续抽取2张卡片，取出的2人全是男生”，C表示“有放回地连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，则B、C互为对立事件，又事件B的结果总共有9个（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2）（3，3）
∴P（C）=1-P（B）=1-==0.64,
即有放回地连续抽取2张，取出的2人不全是男生的概率为0.64．
3．历史上有这样一个著名的概率问题：A，B两人做游戏，掷一枚钱币，若正面出现则A得1分，反面出现则B得1分，先得10分者胜，胜者获得全部赌金.现在A已得8分，B已得7分，而游戏因故中断，问赌金应如何分配才合理？
答案：A得总赌金的；B得总赌金的.
解析：若游戏继续下去，最多还需掷5次就可以结束游戏.如果在前4次中至少出现了两次正面，则A胜.于是A胜的概率为，
B胜的概率为1-=.因此，A得总赌金的，B得总赌金的比较合理.
PAGE
12.2.3
茎叶图
自我检测
基础达标
一、选择题
1．在用样本频率估计总体的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
答案：C
2．对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图与总体密度无关
B．频率分布直方图就是总体密度曲线
C．样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线
D．如果样本容量无限增大，各组的组距无限减小，那么相应的频率折线图会越来越接近一条光滑曲线，则这条光滑曲线为总体密度曲线
答案：D
3．某地一种植物一年生长的高度如下表：
高度（cm）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
棵数
20
30
80
40
30
则该植物一年生长高度在［30，40）内的频率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.8
D．0.2
答案：B
4．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）
A．相应各组的频数
B．相应各组的频率
C．组数
D．组距
答案：B
5．频率分布直方图中，小矩形的高表示（ ）
A．频率/样本容量
B．组距×频率
C．频率
D．频率/组距
答案：D
二、填空题
6.完成下面的频率分布表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
频率
答案：0.1 0.13 0.14 0.14 0.15 0.13 0.12 0.09
7.
一个容量为150的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和x，则x=______.
答案：0.2
8.作频率分布直方图时，横轴表示________，纵轴表示________，在横轴上以________为底，在纵轴上以_______为高作矩形.
答案：样本数据 频率/组距 数据各组的两端点表示的线段 频率/组距
9.条形图用_________来表示取各值的频率，直方图用_________来表示频率.
答案：高度 面积
10.总体密度曲线是指______________；它反映了_____________.
答案：样本容量取得足够大，分组的组距足够小，相应的频率折线图将趋于一条曲线；它反映了总体的变化趋势.
三、计算题
11．有一容量为100的样本，数据的分组以及各组的频数如下：［0，5）
15，［5，10）
20，［10，15）
25，［15，20）
18，［20，25）
12，［25，30）
10.
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计总体在［5，20）之内的个体约占总体的多少？
解：（1）
数据分组
频数
频率
频率/组距
［0，5）
15
0.15
0.03
［5，10）
20
0.2
0.04
［10，15）
25
0.25
0.05
［15，20）
18
0.18
0.036
［20，25）
12
0.12
0.024
［25，30）
10
0.1
0.02
（2）
（3）总体在［5，20）之内的个体约占0.2+0.25+0.18=0.63．
12．2002～2003年赛季，姚明在?NBA?某些场次的比赛所得的篮板球数为：16，6，3，5，12，8，13，6，10，3，19，14，9，7，10，10，9，11，6，11，12，14，8，6，10，5，10，11，13，9，10，7，6，11，12，17，4，12，13，8，16，写出这些数据的茎叶图.
解：由题意作如下所示茎叶图：
篮板球数
01
3
3
4
5
5
6
6
6
6
6
7
7
8
8
8
9
9
90
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
4
4
6
6
7
9
更上一层
1．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个组（如下表）：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
14
14
15
13
12
9
第3组的频率和累积频率分别为（ ）
A．0.14和0.37
B．和
C．0.14和0.36
D．和
答案：A
2．一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：［10，20）2个，［20，30）3个，［30，40）4个，［40，50）5个，［50，60）4个，［60，70）2个，则总体在区间（-∞，50）上的频率约为（ ）
A．5%??
B．25%
C．50%??
D．70%
答案：D
3．一个样本容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是50和0.2，则n?等于（ ）
A．65
B．100
C．150
D．250
答案：D
4.已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的样本的范围是（ ）
A．［5.5，7.5）
B．［7.5，9.5）
C．［9.5，11．5）
D．［11．5，13．5）
答案：D
5.
10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，数0.4是指1号球占总体分布的（ ）
A．频数
B．频率
C．频率/组距
D．累计频率
答案：B
6.某工厂生产的产品，可分为次品、二等品、一等品三类，抽查检验的记录显示：次品6个，二等品140个，一等品54个.
（1）估计产品中的次品率，一等品率，二等品率；
（2）列出样本的频率分布表；
（3）画出样本频率分布条形图.
解析：（1）次品率的估计值为3%；一等品率的估计值为27%；二等品率的估计值为70%．
（2）样本的频率分布表为：
产品
频数
频率
次品
6
0.03
一等品
54
0.27
二等品
140
0.7
合计[
200
1.00
（3）
7.为估计某产品寿命的分布，对产品进行追踪调查，记录如下：
寿命（小时）
［100，200）
［200，300）
［300，400）
［400，500）
［500，600）
个数
20
30
80
40
30
（1）画出频率分布直方图；
（2）估计产品寿命在区间［200，500）内的百分比；
（3）估计产品寿命在400小时以上的百分比.
解析：（1）由已知条件画频率分布直方图如下：
（2）在某区间百分比=此区间内的频数/样本容量.所以在区间［200，500）内的百分比为：（30+80+40）/200=75%．
（3）同（2）产品寿命在400小时以上的百分比为：（40+30）/200=35%．
8.下面一组数据是某生产车间30名工人某日加工零件的个数，请设计适当的茎叶图表示这组数据，并据图说明这个车间此日的生产情况.
134 112 117 126 128 124 122
116 113 107 116 132 127 128
126 121 120 118 108 110 133
130 124 116 117 123 122 120
112 112
解析：由题意作如下所示茎叶图
十位
个位
0123
7
80
2
2
2
3
6
6
6
7
7
80
0
1
2
2
3
4
4
6
6
7
8
80
2
3
4
从上图可以看出，该生产车间的工人加工零件数大多都在110到130之间，且分布较对称，集中程度高，说明日生产情况较稳定，工人的技术水平较接近.
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12.1.2
系统抽样
自我检测
基础达标
一、选择题
1．为了解1
200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（ ）
A．40 B．30
C．20
D．12
答案：A
2．某工厂生产的产品用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前，质检员每隔3分钟从传送带上的特定位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．随机抽样
D．抽签法
答案：B
3．下列抽样中最适宜用系统抽样方法的是（ ）
A．从某厂生产的20件零件中随机抽取5个入样
B．从某厂生产的2
000件零件中随机抽取200个入样
C．从某厂生产的2
000件零件中随机抽取5个入样
D．某校初中四个年级有2
000名学生，4个年级的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样
答案：B
4.系统抽样适用的总体应是（ ）
A．容量较少的总体
B．总体容量较多
C．个体数较多但均衡的总体
D．任何总体
答案：C
5.下列说法正确的是（ ）
A．总体的个体数不多时适宜用简单随机抽样法
B．总体均分后再对每一部分进行抽样，采用的是简单随机抽样
C．百货商场的抓奖活动是抽签法
D．整个抽样过程中，每个个体被抽到的机率相等（有剔除时除外）
答案：C
6.总体容量为524，采用系统抽样方法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体（ ）
A．4
B．5
C．6
D．10
答案：A
二、填空题
7.从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，若用系统抽样方法，则抽样间隔为________.
答案：［N/n］
8.某体校有260
名足球运动员，要从中抽出20人检查学习负担情况
，可采用的抽样方法是____________.
答案：系统抽样
9.为调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况.若用系统抽样方法，则抽样间隔和随机剔除的个数分别为__________.
答案：3，2
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1．下面给出某村委调查本村各户收入情况作的抽样，阅读并回答问题.
本村人口：1
200，户数300，每户平均人口数4人
应抽户数:30
抽样间隔：1200/30=40
确定随机数字：取一张人民币，后两位数为12
确定第一样本户：编号为12
的户为第一样本户
确定第二样本户：12+40=52，52
为第二样本户
……
（1）该村委采用了何种抽样方法？
（2）抽样过程出现了哪些问题，试修改.
（3）何处是用简单随机抽样？
解：（1）系统抽样
（2）抽样间隔：300/30=10，其他步骤应该为：确定随机数字：取一张人民币，末位数为2
（假设）；确定第一样本户：编号为02
的住户为第一样本户；确定第二样本户：2+10=12，12
为第二样本户；
（3）确定随机数字：取一张人民币，取其末位数为2．
2．要从某厂生产的1
102辆电动车中随机抽取110辆进行某项性能测试，请合理选择抽样方法进行抽样，并给出抽样过程.
思路分析：本题容量较大，样本容量也较大，可采用系统抽样方法.因为1
102=110×10+2为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体.
解：第一步：将1
102辆电动车用随机方式编号；
第二步：从总体剔除2个（剔除方法可用随机数表法），将剩下的1
100辆电动车重新进行编号，（分别为000，001，002，003，…，?1
099?）并分成110段；
第三步：在第一段000，001，…，009，这十个号中用简单随机抽样抽出一个（如003）作为起始号码；
第四步：将编号为003，013，023，…，1
093的个体抽出，组成样本.
3．某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶
5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程.
思路分析：要按1∶5的比例抽取一个样本，则需先从总体中剔除3个个体，再抽取50个作为样本.
解：（1）可用简单随机抽样先从总体中剔除3个个体，然后再将剩余的250名同学采用随机的方法编号为001～250；
（2）将这250个号码按001～005为第一组，006～010为第二组，011～015为第三组，…，246～250为第五十组；
（3）在第一组采用抽签法抽出一个（如002）作为起始号码；
（4）将编号为002，007，012，…，247的个体抽出，组成样本.
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