3.1.2
两角和与差的正弦
自我小测
1．sin
10°cos
35°－sin
260°sin
145°的值是( )
A．
B．－
C．sin
25°
D．－sin
25°
2．的值等于( )
A．2＋
B．
C．2－
D．
3．已知α∈，sin
α＝－，β∈，cos
β＝，则α＋β为( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log
等于( )
A．2
B．3
C．4
D．6
5．已知向量a＝(cos
x，sin
x)，b＝(，)，a·b＝，则cos＝__________．
6．已知sin
α＝，sin
β＝，则sin(α＋β)sin(α－β)＝__________．
7．要使sin
α－cos
α＝有意义，则m的取值范围是________．
8．已知cos＝，sin＝，其中＜α＜，0＜β＜，求sin(α＋β)的值．
9．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
参考答案
1．答案：A
2．解析：原式＝
＝＝＝＝2－．
答案：C
3．答案：C
4．答案：C
5．答案：
6．答案：
7．答案：
8．解：因为α＋β＋＝＋β－，
所以sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin．
又因为＜α＜，0＜β＜，
所以－＜－α＜0，＜＋β＜π．
所以sin＝－，cos＝－．
所以sin(α＋β)＝－×－×＝．
9．解：(1)因为函数f(x)的最大值为1，所以A＝1．
因为f(x)的图象经过点M，
所以sin＝．
因为0<φ<π，所以<＋φ<．
所以＋φ＝．所以φ＝．
所以f(x)＝sin＝cos
x．
(2)因为f(α)＝cos
α＝，f(β)＝cos
β＝，
且α，β∈，所以sin
α＝，sin
β＝．
所以f(α－β)＝cos(α－β)
＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝．
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12.1.1
向量的概念
自我小测
1．下列命题中：
①两个单位向量是相等向量；②若非零向量与是平行向量，则A，B，C，D四点共线；③向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反．其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．如图所示，在⊙O中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量
B．有公共点的向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．等腰梯形
4．如右图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，则下列关系中不一定成立的是( )
A．与共线
B．＝
C．||＝||
D．与共线
5．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行
km到达丁地，则丁地在甲地的__________方向，丁地距甲地的距离为__________
km．
6．如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形．设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，在这些向量中：
(1)与向量相等的向量有________；
(2)与向量平行的向量有________．
7．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，求的模．
8．如下图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图中马可以从A跳到A1，也可以跳到A2，用向量，表示马走了“一步”，试在图中画出B，C处走了“一步”的所有情况．
9．如图所示，在 ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}．试求集合T中元素的个数．
参考答案
1．答案：A
2．答案：C
3．解析：因为＝，所以四边形ABCD是平行四边形．
又因为||＝||，所以四边形ABCD是菱形．
答案：B
4．答案：B
5．解析：如图，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地．
由题意，知△ABC是正三角形，
所以AC=2
000
km．
又因为∠ACD=45°，
CD=1
000km，
所以△ACD是直角三角形．
所以AD=1
000
km，∠CAD=45°．
所以丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地1
000
km．
答案：东南 1
000
6．答案：(1)， (2)，，，，
7．解：在 ABCD和 ABDE中，
因为＝，＝，
所以＝，
所以E，D，C三点共线．
所以||＝||＋||＝2||＝6．
8．解：
9．解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，
即，，，；，，，；，，，；，，，；，，，．
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，又集合中元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
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11.3.2
余弦函数、正切函数的图象与性质
自我小测
1．要得到y＝tan
2x的图象，只需将y＝tan的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．函数y＝3tan的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
3．函数y＝的值域是( )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
4．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
5．若将函数y＝tan
(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知f(x)＝atan－bsin
x＋4(其中a，b为常数，且ab≠0)，若f(3)＝5，则f(2
014π－3)＝__________．
7．下面五个命题中，正确命题的序号是__________．
①y＝的最小正周期是；
②终边在坐标轴上的角的集合是；
③y＝4tan的图象向右平移个单位长度，可得y＝4tan
2x的图象；
④函数f(x)＝3tan在区间内是增函数．
8．已知函数f(x)＝3tan．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
9．若函数f(x)＝tan2x－atan
x的最小值为－6，求实数a的值．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．解析：因为－
所以－1x<1．
所以∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：B
4．答案：D
5．解析：将函数y＝tan
(ω>0)的图象向右平移个单位，得y＝tan．
又因为平移后函数的图象与y＝tan的图象重合，
所以－－＝kπ(k∈Z)，
即－＝kπ(k∈Z)．
所以
当k＝0时，ωπ＝，即ω的最小值为．故选D．
答案：D
6．解析：f(3)＝atan－bsin
3＋4＝5，
所以atan－bsin
3＝1．
f(2
014π－3)＝atan－bsin(2
014π－3)＋4＝atan－bsin(－3)＋4＝－atan＋bsin
3＋4＝－＋4＝－1＋4＝3．
故f(2
014π－3)＝3．
答案：3
7．答案：②③④
8．解：(1)由x－≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋2kπ，k∈Z．
所以定义域为，值域为R．
(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π．f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)为非奇非偶函数．
由－＋kπ解得－＋2kπ所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．
9．解：设t＝tan
x，因为|x|≤，所以t∈[－1,1]，
则原函数化为y＝t2－at＝－，对称轴为t＝．
①若－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
则当t＝时，ymin＝－＝－6，
所以a2＝24(舍去)；
②若<－1，即a<－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增，当t＝－1时，ymin＝1＋a＝－6，所以a＝－7；
③若>1，即a>2时，二次函数在[－1,1]上单调递减，当t＝1时，ymin＝1－a＝－6，所以a＝7．
综上所述，a＝－7或a＝7．
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11.3.1
正弦函数的图象与性质
自我小测
1．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于点对称，则|φ|的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
2．函数y＝2sin的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．
(k∈Z)
C．
(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为(
)
A．y＝2sin－1
B．y＝2sin－1
C．y＝3sin－1
D．y＝3sin－1
4．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k是( )
A．60
B．61
C．62
D．63
5．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
6．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过(0,1)点，则这个函数解析式是__________．
7．关于函数f(x)＝4sin
(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中真命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
8．已知函数f(x)＝2sin．
(1)求f(x)的最大值M，最小值N和最小正周期T．
(2)由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到y＝f(x)的图象？
(3)写出函数的对称轴和对称中心．
参考答案
1．解析：将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数为
y＝2sin＝2sin，由3x＋＝kπ，得x＝＋(k∈Z)．
令＋＝．
所以φ＝kπ－
(k∈Z)，|φ|的最小值为．
答案：A
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：因为k≠0，
所以函数f(x)＝sin的周期T＝．
又T≤1，所以|k|≥20π>62．8．
所以最小的正整数k＝63．
答案：D
5．解析：结合y＝sin
ωx的图象可知y＝sin
ωx在内单调递减，而y＝sin
＝sin，可知y＝sin
ωx的图象向左平移个单位长度之后可得y＝sin的图象，故y＝sin在内单调递减，故应有 ，解得≤ω≤．
答案：
6．答案：y＝2sin
7．解析：如图所示为y=4sin的图象．
函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不是真命题；因为与x轴的每一个交点都是函数图象的一个对称中心，所以③是真命题；因为函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线x＝－不是对称轴，故④不是真命题；最后由诱导公式可知cos＝sin＝sin，所以命题②是真命题．所以应填②③．
答案：②③
8．解：(1)M＝2，N＝－2，T＝＝π．
(2)变换步骤是：
①把y＝sin
x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得函数y＝sin的图象；
②把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图象；
③把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得函数f(x)＝2sin的图象．
(3)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋
(k∈Z)，即对称轴是直线x＝＋
(k∈Z)．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－
(k∈Z)，
即对称中心是
(k∈Z)．
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11.2.1
三角函数的定义
自我小测
1．若角α的终边经过点P(－b,4)，且cos
α＝－，则b的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．5
2．若角α的终边在直线y＝2x上，则sin
α等于( )
A．±
B．±
C．±
D．±
3．下列各式为正号的是( )
A．cos2－sin
2
B．cos
2·sin
2
C．tan
2·cos
2
D．sin
2·tan
2
4．已知cos
α＝m,0<|m|<1，且tan
α＝，则角α的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第三或第四象限
C．第一或第四象限
D．第二或第三象限
5．若α是第二象限的角，则sin
2α，sin，tan
2α，tan
中必取正数的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则a的取值范围是__________．
7．已知点P(3，y)在角α的终边上，且满足y<0，cos
α＝，则tan
α的值为__________．
8．函数y＝的定义域是__________．
9．已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sin
θ＝m，求cos
θ与tan
θ的值．
10．根据任意角的三角函数的定义证明：＝．
参考答案
1．解析：因为r＝，所以＝－．
所以b＝3．
答案：A
2．解析：由角α的终边在直线y＝2x上得tan
α＝2，
故sin
α＝±．故选C．
答案：C
3．解析：因为cos
2<0，sin
2>0，tan
2<0，所以tan
2·cos
2>0．
答案：C
4．解析：因为cos
α＝m,0<|m|<1，所以角α的终边不会落在坐标轴上．又因为>0，所以cos
α与tan
α同号，所以角α的终边在第一或第二象限．
答案：A
5．答案：B
6．解析：因为≤0，
>0，所以x≤0，y>0，
即所以－2答案：(－2,3]
7．解析：因为＝，y<0，
所以y＝－4．所以tan
α＝－．
答案：－
8．解析：函数定义域为
即
解得x≠kπ＋，k∈Z．
答案：
9．解：由已知，得m＝，解得m＝0，或m＝±．
(1)当m＝0时，cos
θ＝－1，tan
θ＝0；
(2)当m＝时，cos
θ＝－，tan
θ＝－；
(3)当m＝－时，cos
θ＝－，tan
θ＝．
10．解：由三角函数定义，有
左边＝＝
＝
＝
＝
＝＝；
右边＝＝．左边＝右边．
所以原式成立．
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12.3.3
向量数量积的坐标运算与度量公式
自我小测
1．设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数为( )
①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；
③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0)
B．(2,0) C．(3,0)
D．(4,0)
4．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈的概率为( )
A．
B．
C．
D．
5．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．
7．定义一种新运算 ：a b＝|a|·|b|sin
θ，其中θ为a与b的夹角，已知a＝(－，1)，b＝，则a b＝__________．
8．已知a＝(5,12)，|a－b|＝3，则|b|的取值范围是__________．
9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值．
10．已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ．
参考答案
1．解析：①②显然正确；对③④两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是正确的，故选D．
答案：D
2．解析：设c＝(x，y)，
则由(a＋b)·c＝，得x＋2y＝－．
又cos〈a，c〉＝＝＝－，
即〈a，c〉＝120°．
答案：C
3．解析：设点P的坐标为(x,0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1．
当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)．故选C．
答案：C
4．解析：由已知，a与b的夹角为α，且α∈，
所以α<1．
又cos
α＝＝，
所以<<1，
即2m2>m2＋n2．所以m2>n2．
又因为m，n为正整数，所以m>n．
由题意，知所有的a的个数为36，满足m>n的向量的个数为15，故所求的概率为＝．
答案：B
5．解析：设b＝(x，y)，由已知条件，
知|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos
45°．
所以
解得或
因为向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，所以x>0，y>0．
所以b＝，故选B．
答案：B
6．答案：－
7．解析：据定义a b＝2××sin
θ，
又cos
θ＝＝－，
所以sin
θ＝，即a b＝．
答案：
8．解析：∵a＝(5,12)，∴|a|＝13．
∵|b|＝|a－(a－b)|，且|a|－|a－b|≤|a－(a－b)|≤|a|＋|a－b|，∴10≤|b|≤16．
答案：[10,16]
9．解：(1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
所以＝(1,1)，＝(－3,3)．
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，即AB⊥AD．
(2)因为四边形ABCD为矩形，
所以⊥，＝．
设C点的坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
所以解得
所以C点的坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2),
所以||＝，||＝，·＝8＋8＝16．
设与的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
所以矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为．
10．解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
所以k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2．
所以(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．
因为|a|＝1，|b|＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
所以a·b＝＝．
(2)由(1)，得a·b＝＝，由函数的单调性的定义，易知f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
所以当k＝1时，a·b的最小值为f(1)＝×(1＋1)＝．
此时a，b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，所以θ＝60°．
PAGE
12.3.1
向量数量积的物理背景与定义
自我小测
1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A．3
B．
C．2
D．
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
3．下列命题中真命题的个数有( )
①|a·b|＝|a|·|b|；②a·b＝0 a＝0或b＝0；③|λa|＝|λ|·|a|；④λa＝0 λ＝0或a＝0．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
5．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中，最大的是( )
A．·
B．·
C．·
D．·
6．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为__________．
7．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则△ABC的形状为________．
8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为__________．
9．若四边形ABCD满足＋＝0，且·＝0，试判断四边形ABCD的形状．
10．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ．
(1)试用m，n，θ表示S△ABC；
(2)若c·b＜0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？
参考答案
1．答案：B
2．答案：D
3．答案：B
4．解析：如图所示．因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△OAB是正三角形．所以〈a，b〉＝120°．
答案：B
5．解析：设正六边形的边长为a，则·＝，·＝a2，·＝0，·＝－．
答案：A
6．解析：(3a)·＝|a||b|cos〈a，b〉
＝×10×12cos〈a，b〉＝－36，
所以cos〈a，b〉＝－．
因为〈a，b〉∈[0°，180°]，所以a与b的夹角为120°．
答案：120°
7．答案：等边三角形
8．答案：
9．解：因为＋＝0，
所以＝，即AB∥DC，且AB＝DC，
所以四边形ABCD为平行四边形．
又因为·＝0，所以⊥，即AB⊥BC．
所以四边形ABCD为矩形．
10．解：(1)S△ABC＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsin
θ．
(2)因为S△ABC＝＝|b||c|sin
θ，
所以＝×3×5sin
θ．所以sin
θ＝．因为c·b＜0，所以θ为钝角．所以θ＝150°，即〈c，b〉＝150°．
PAGE
11.2.2
单位圆与三角函数线
自我小测
1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第一、二象限的角
C．第三象限的角
D．第一、三象限的角
2．下列不等式中，成立的是( )
A．sin>sin
B．cosC．cos
4>cos
D．tan
3．若θ∈，则sin
θ＋cos
θ的一个可能值是( )
A．
B．
C．
D．1
4．如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，我们把叫做α的正割，记作sec
α；把叫做α的余割，记作csc
α，则＝( )
A．－
B．
C．－
D．
5．已知sin
α>sin
β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cos
α>cos
β
B．若α，β是第二象限的角，则tan
α>tan
β
C．若α，β是第三象限的角，则cos
α>cos
β
D．若α，β是第四象限的角，则tan
α>tan
β
6．利用三角函数线求cos
2
040°的函数值是__________．
7．已知集合E＝{θ|cos
θθ，0≤θ<2π}，F＝{θ|tan
θθ，0≤θ<2π}，则E∩F＝__________．
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
9．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则有β－α>sin
β－sin
α．
参考答案
1．解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．
答案：D
2．答案：B
3．解析：由θ∈，知sin
θ＋cos
θ>1，四个选项中仅有>1，故选C．
答案：C
4．答案：A
5．答案：D
6．答案：－
7．答案：
8．解：(1)如图甲，
因为2cos
x－1≥0，所以cos
x≥．
所以x∈
(k∈Z)．
(2)如图乙，因为3－4sin2x>0，
所以sin2x<．
所以－x<．
所以x∈∪
(k∈Z)．
9．证明：如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过点P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别是M，N，则由三角函数定义可知：sin
α=NQ，sin
β=MP．
作QH⊥MP于点H，
则HP=MP-NQ=sin
β-sin
α．
由直观图可知HP<=-=β-α，
即β-α>sin
β-sin
α．
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12.1.3
向量的减法
自我小测
1．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A． B．
C．
D．
2．在△ABC中，||＝||＝|－|，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．以上都不正确
3．已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，＝a，＝b，＝c，则向量等于( )
A．a＋b＋c
B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
4．在边长为1的正方形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于( )
A．0
B．1
C．2
D．
5．下列说法中错误的有( )
A．若＋＝，则－＝
B．若＋＝，则＋＝
C．若＋＝，则－＝
D．若＋＝，则＋＝
6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__________．
7．长度相等的三个非零向量，，满足＋＋＝0，则由A，B，C三点构成的△ABC是________三角形．
8．如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
9．已知平面上不共线三点A，B，C，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，求证：O是△ABC的重心．
参考答案
1．解析：由图可知＝，＝，则－＝－＝．又由三角形中位线定理，知＝，故选D．
答案：D
2．解析：因为－＝，
所以||＝||＝||．
所以△ABC是等边三角形．
答案：C
3．解析：如图，有＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b．
答案：B
4．解析：因为c＝a＋b，所以|a－b＋c|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2．
答案：C
5．答案：D
6．答案：5或9
7．解析：如图，作，的和向量．
因为++=0，
所以＋＝－．
所以＝－．
又因为||＝||＝||＝||，
所以△AOD是等边三角形，四边形AOBD是菱形．
所以∠OAB＝∠OAD＝30°．
同理：∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝30°．
所以∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
即△ABC为等边三角形．
答案：等边
8．解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，
则＝a－b，＝c－d．
9．证明：如图，因为++=0，所以＝－(＋)，即＋是的相反向量．
以OB，OC为邻边作 OBPC，则＝＋，
所以＝－，
所以A，O，P共线．
又设OP与BC交BC于点D，
则D是BC的中点，
所以AD是BC边上中线，
且AD过O点；
同理可证BE，CF分别是边AC，AB边上中线，
且都过O点．
所以O是△ABC的重心．
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11.1.2
弧度制和弧度制与角度制的换算
自我小测
1．将化为角度是( )
A．225°
B．250°
C．252°
D．288°
2．下列各对角中，终边相同的是( )
A．和2kπ－
(k∈Z)
B．－和
C．－和
D．
和
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2
B．sin
2
C．
D．2sin
1
4．已知θ∈，则角θ的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第一或第二象限
D．第三或第四象限
5．某扇形的周长为6，面积为2，则其圆心角的弧度数是( )
A．1或4
B．1或2
C．2或4
D．1或5
6．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．
7．已知四边形四个角的度数的比为1∶3∶7∶9，用弧度制写出这四个角从小到大的顺序为________．
8．某时钟的秒针端点A到中心O的距离为5
cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．设秒针端点A转过的路程为d
cm，所形成的扇形面积为S
cm2，则当t∈[0,60]时d与S关于时间t(s)的函数关系式为__________．
9．把下列各角化为2kπ＋α，k∈Z,0≤α<2π的形式，并判断该角是第几象限的角：
(1)π；
(2)－1
104°．
10．已知扇形的圆心角为α，半径为R．
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？
参考答案
1．答案：C
2．答案：C
3．解析：设圆的半径为R，圆心角为α，圆心角所对的弧长为l．
因为sin
1＝，所以R＝．
又因为l＝|α|·R，所以l＝2·＝．
答案：C
4．解析：因为θ∈，
所以当k＝2m(m∈Z)时，θ＝2mπ＋，终边在第一象限；当k＝2m＋1(m∈Z)时，θ＝2mπ＋，终边在第二象限．所以θ终边在第一或第二象限．
答案：C
5．解析：设此扇形的半径为r，圆心角的弧度数是α(0<α<2π)，则有解得α＝1
或α＝4．
答案：A
6．解析：因为－<α<，－<β<，
所以－<－β<．
所以－π<α－β<π．
又α<β，所以－π<α－β<0．
答案：(－π，0)
7．解析：因为四边形四个角的度数的比为1∶3∶7∶9，
所以设这四个角的弧度数分别为x,3x,7x,9x．
根据题意得，x＋3x＋7x＋9x＝2π，
则x＝，3x＝，7x＝，9x＝．
答案：，，，
8．解析：因为秒针的旋转方向为顺时针，
所以t
s后秒针端点A转过的角α＝－
rad，
所以秒针端点A转过的路程为d＝|α|·r＝
(cm)，
所以转过的扇形面积为S＝|α|·r2＝
(cm2)．
所以d＝
(t∈[0,60])，S＝
(t∈[0,60])．
答案：d＝
(t∈[0,60])，S＝
(t∈[0,60])
9．解：(1)
＝6π＋，
因为是第二象限的角，所以是第二象限的角．
(2)－1
104°＝－1
104×＝－＝－8π＋．
因为是第四象限的角，所以－1
104°是第四象限的角．
10．解：(1)弧长l＝|α|R＝60××10＝
(cm)．
(2)由已知c＝l＋2R，得
S扇＝l·R＝
(c－2R)R＝－R2
＝－＋，
故当R＝时，S扇取最大值，
此时l＝，α＝＝＝2，
所以当α为2
rad时，该扇形的面积最大．
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11.2.4
诱导公式
自我小测
1．sin＋2sin＋3sin等于( )
A．1
B．
C．0
D．－1
2．函数f(x)＝cos(x∈Z)的值域为( )
A．
B．
C．
D．
3．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
4．已知f(cos
x)＝sin
x，设x是第一象限角，则f(sin
x)为( )
A．sec
x
B．cos
x
C．sin
x
D．1－sin
x
5．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是( )
A．
B．
C．
D．
6．已知＝1，则的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．6
7．已知f(x)＝则＋＝__________．
8．设tan(5π＋α)＝m，则的值为__________．
9．(探究题)sinsinsinsin·…·sin的值等于__________．
10．化简：(1)1＋cossintan(π＋α)；
(2)
．
11．已知tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π<α<，求cos(3π＋α)＋sin(π＋α)的值．
参考答案
1．答案：C
2．答案：B
3．解析：因为a＝－，b＝，c＝－，
所以b>a>c．
答案：A
4．解析：f(sin
x)＝f＝sin＝cos
x．
答案：B
5．解析：由已知可知－2tan
α＋3sin
β＋5＝0，tan
α－6sin
β－1＝0．
所以tan
α＝3．
又tan
α＝，所以9＝＝．
所以sin2α＝．
因为α为锐角，所以sin
α＝．
答案：C
6．解析：因为原式＝＝tan
θ＝1，
所以
＝＝1．
答案：A
7．解析：＝sin＝sin＝，
＝－1＝－2
＝sin－2＝，
所以＋＝－＝－2．
答案：－2
8．解析：由题意知tan
α＝m，原式＝＝＝．
答案：
9．解析：原式＝sin·sin·sin·…·sin＝
××××…××＝(－1)100×
＝．
答案：
10．解：(1)原式＝1＋(－sin
α)cos
αtan
α＝1－sin2α＝cos2α．
(2)原式＝
＝
＝
＝－＝－tan
α．
11．解：tan
α，是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，1＝tan
α·＝
(3k2－13)，所以k2＝．
因为3π<α<，所以tan
α>0，sin
α<0，cos
α<0．
又tan
α＋＝－＝k，所以k>0，故取k＝．
于是tan
α＋＝＋＝＝，即sin
αcos
α＝．
所以(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝．
因为sin
α＋cos
α<0，所以sin
α＋cos
α＝－．
于是cos(3π＋α)＋sin(π＋α)＝cos(π＋α)＋sin(π＋α)＝－(cos
α＋sin
α)＝．
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13.1.3
两角和与差的正切
自我小测
1．已知tan
α＝，tan
β＝，且角α，β为锐角，则α＋β的值是( )
A．
B．或
C．
D．
2．在△ABC中，已知tan
A，tan
B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan
C等于( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
3．已知α∈，tan＝，那么sin
α－cos
α的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α不可能是( )
A．
B．
C．
D．
5．在△ABC中，tan
A＝，cos
B＝，则tan
C＝( )
A．－1
B．1
C．
D．－2
6．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________．
7．在△ABC中，高AD把BC分为长2
cm和3
cm的两段，∠A＝45°，则S△ABC＝__________．
8．已知3tan
αtan(α＋β)＝4[tan(α＋β)－tan
α－tan
β]，且cos(π＋β)>0，则sin(β－3π)＝__________．
9．已知α为第二象限的角，sin
α＝，β为第一象限的角，cos
β＝，求tan(2α－β)的值．
10．已知在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，试判断△ABC的形状．
参考答案
1．答案：C
2．答案：A
3．答案：B
4．答案：B
5．解析：因为cos
B＝，且0所以sin
B＝＝．
所以tan
B＝，
所以tan
C＝－tan（Ａ+Ｂ）＝－
＝－＝－1．
故选A．
答案：A
6．答案：
7．解析：设AD＝x
cm，由已知得tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，
又∠BAD＋∠CAD＝45°，
则tan
45°＝＝＝1，
化简得x2－5x－6＝0，解得x＝6，x＝－1(舍去)．
所以S△ABC＝×AD×BC＝×6×5＝15(cm2)．
答案：15
cm2
8．答案：
9．解：因为α为第二象限的角，且sin
α＝，
所以cos
α＝－，所以tan
α＝．
又因为β为第一象限的角，且cos
β＝，
所以sin
β＝，所以tan
β＝．
所以tan(α－β)＝
＝＝．
所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
＝＝．
10．解：由tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，得
tan
B＋tan
C＝(1－tan
Btan
C)＝tan(B＋C)·(1－tan
Btan
C)．
若tan
Btan
C＝1，则tan
B＝cot
C，
故在△ABC中，B＝－C，
故B＋C＝，所以A＝，tan
A无意义，与题设矛盾．
所以tan
Btan
C≠1，所以tan(B＋C)＝，
所以B＋C＝．
同理，由tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，
得
(tan
A＋tan
B)＝－(1－tan
Atan
B)．
所以tan(A＋B)＝－，所以A＋B＝．
又由A＋B＋C＝π，
得B＝C＝，A＝．
所以△ABC为等腰三角形．
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12.1.2
向量的加法
自我小测
1．在四边形ABCD中，＋＋等于( )
A．
B．
C．
D．
2．如图在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则＋等于( )
A．
B．
C．
D．
3．设a，b为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
4．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点．下列结论正确的是( )
A．＝，＝
B．＋＝
C．＋＝＋
D．＋＋＝
5．已知下列各式：
(1)＋＋；
(2)(＋)＋＋；
(3)＋＋＋； (4)＋＋＋．
其中结果为0的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图所示，菱形ABCD的边长为1，它的一个内角∠ABC＝60°，＝a，＝b，则|a＋b|＝________．
7．若P为△ABC的外心，且P＋P＝P，则△ABC的内角∠ACB＝__________．
8．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则O＋A＋B＋C＝__________．
9．如图，已知在△ABC中，AC的中点为E，AB的中点为F，延长BE至点P，使BE＝EP，延长CF至点Q，使CF＝FQ．试用向量方法证明P，A，Q三点共线．
参考答案
1．答案：C
2．答案：D
3．答案：B
4．答案：C
5．答案：B
6．答案：1
7．解析：因为P＋P＝P，
所以四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，
所以|P|＝|P|＝|P|．
所以∠ACB＝120°．
答案：120°
8．答案：O
9．证明：因为E是AC的中点，F是AB的中点，
所以＝，＝．
又因为BE＝EP，CF＝FQ，
所以＝，＝．
所以＝＋＝＋＝．
所以＝．
而＝＋＝＋＝，
所以＝．所以＝．
又因为向量与有共同的字母A，
所以P，A，Q三点共线．
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12.2.3
用平面向量坐标表示向量共线条件
自我小测
1．以下命题错误的是( )
A．若将＝(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则终点N的坐标一定为(x0，y0)
B．＝(x0，y0)的相反向量的坐标为(－x0，－y0)
C．若＝(x0，y0)与y轴垂直，则必有y0＝0
D．若＝(x0，y0)是一个单位向量，则x0必小于1
2．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2
B．－2
C．2
D．0
3．已知＝e1＋2e2，＝(3－x)e1＋(4－y)e2，其中e1，e2的方向分别与x，y轴的正方向相同，且为单位向量．若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．2x－y－2＝0
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．x－2y＋2＝0
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，C(2，－1)，G是AD上的一点，D为BC的中点，且||＝2||，则点G的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知A，B，C三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A，B，C三点的位置关系是________．
6．已知向量a＝－(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，则tan
α＝________．
7．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________．
8．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．
(1)求证：a和b是一组基底，并用它们表示c＝(x0，y0)；
(2)若(k2＋1)a－4b与ka＋b共线，求k的值．
9．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
参考答案
1．解析：因为(x0，y0)为单位向量，所以＋＝1．
所以－1≤x0≤1．所以选项D错误．
答案：D
2．答案：B
3．解析：＝(1,2)，＝(3－x,4－y)．
又与共线，
则有(4－y)－2(3－x)＝0，即2x－y－2＝0．
答案：A
4．答案：A
5．答案：共线
6．答案：
7．解析：因为＝(1，a2＋a)，＝(2，a3＋a)，
又由题意知∥，
所以a3＋a－2(a2＋a)＝0，得a＝1＋．
答案：1＋
8．解：(1)因为≠，所以a与b不共线，
即{a，b}可作为基底．
设c＝xa＋yb，即(x0，y0)＝x(1,2)＋y(－3,2)．
所以解得
所以c＝a＋b．
(2)(k2＋1)a－4b＝(k2＋1)(1,2)－4(－3,2)＝(k2＋13，2k2－6)，
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．
由(k2＋1)a－4b与ka＋b共线知(k2＋13)·(2k＋2)＝(2k2－6)(k－3)，解得k＝－2±．
9．解：设＝s·＝(4s,4s)(s∈R)，＝(4s－4,4s－0)＝(4s－4,4s)(s∈R)，＝(2－4,6－0)＝(－2,6)．
由与共线，
可得(4s－4)×6－4s×(－2)＝0，解得s＝．
所以＝(4s,4s)＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
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13.1.1
两角和与差的余弦
自我小测
1．化简sin×cos－sin×sin的结果为( )
A．cos
B．－cos
C．sin
D．－sin
2．在△ABC中，cos
A＝，cos
B＝，则cos
C等于( )
A．－
B．
C．－
D．
3．已知cos
α＝，则cos的值为( )
A．
B．－
C．
D．或－
4．向量a＝(2cos
α，2sin
α)，b＝(3cos
β，3sin
β)，a与b的夹角为60°，则直线xcos
α－ysin
α＝与圆(x－cos
β)2＋(y＋sin
β)2＝的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．随α，β的值而定
5．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，则α－β的值为________．
6．已知sin(α－45°)＝－，0°<α<90°，则cos
α＝__________．
7．已知sin
x＋sin
y＝，则cos
x＋cos
y的取值范围是__________．
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos
2α．
9．已知α，β均为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，求角β．
参考答案
1．答案：B
2．答案：B
3．答案：D
4．答案：B
5．答案：－
6．解析：因为0°<α<90°，所以－45°<α－45°<45°，
所以cos(α－45°)＝＝，
所以cos
α＝cos[(α－45°)＋45°]
＝cos(α－45°)cos
45°－sin(α－45°)sin
45°＝．
答案：
7．解析：设t＝cos
x＋cos
y，则t2＝cos2x＋2cos
xcos
y＋cos2y，sin2x＋2sin
xsin
y＋sin2y＝，所以t2＋＝2＋2cos(x－y)，t2≤，t∈．
答案：
8．解：cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)．
因为＜α＋β＜2π，
所以sin(α＋β)＝－．
又因为＜α－β＜π，所以sin(α－β)＝．
所以cos
2α＝×－×＝－．
9．解：因为α，β均为锐角，
所以0<α<，0<β<，0<α＋β<π．
又cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝．
由cos
α＝，得sin
α＝＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝．
又因为β是锐角，所以β＝．
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11.3.3
已知三角函数值求角
自我小测
1．函数y＝arctan
－
的一个值域是( )
A．
B．
C．
D．
2．点P(sin
θ，cos
θ)是角α终边上的一点，则α的值等于( )
A．－θ
B．θ
C．2kπ＋－θ(k∈Z)
D．kπ＋－θ(k∈Z)
3．若x∈，则使等式cos(πcos
x)＝0成立的x的值是( )
A．
B．或
C．或
D．或或
4．若A为△ABC的一个内角，且sin
A＋cos
A＝，则A为( )
A．arcsin
B．arcsin
C．π－arcsin
D．＋arccos
5．函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是__________．
6．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝__________．
7．若a＝arcsin，b＝arctan，c＝arccos，则a，b，c的大小关系是________．
8．已知集合A＝，集合B＝，
求A∩B．
9．设sin
θ，cos
θ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，
<θ<2π，求m和θ的值．
参考答案
1．解析：因为≥0，所以arctan∈，则arctan－∈，故选B．
答案：B
2．解析：因为tan
α＝cot
θ＝tan，所以α＝kπ＋－θ，k∈Z．
答案：D
3．答案：D
4．解析：因为sin2A＋cos2A＝1，sin
A＋cos
A＝，
所以sin
A＝，cos
A＝－，
故A＝π－arcsin．
答案：C
5．答案：
6．答案：
7．答案：c>a>b
8．解：因为A＝，
所以A＝．
因为B＝，
所以B＝
＝．
所以A∩B＝．
9．解：由根与系数的关系，得
②代入①的平方，得1＋2×＝m2，
解得m＝或m＝．
因为<θ<2π，所以sin
θcos
θ<0，
所以m<，故m＝，
则原方程变为4x2－2(1－)x－＝0．
由于sin
θ<0，cos
θ>0，
所以cos
θ＝，所以θ＝．
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12.1.5
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
自我小测
1．下面给出三个命题：
①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；
②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；
③若a＝λb，则a与b共线．
其中正确的命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1，且c与d同向
B．k＝1，且c与d反向
C．k＝－1，且c与d同向
D．k＝－1，且c与d反向
4．点P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
5．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为△ABC的( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
6．e为x轴上的单位向量，若＝－2e，且B点的坐标为3，则AB中点的坐标为________．
7．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
8．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线和AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
9．如图所示，在 ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．利用向量法证明M，N，C三点共线．
10．如图所示，已知在△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设＝a，＝b．
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
参考答案
1．解析：①a与b所在的直线有可能在同一条直线上，所以此命题错误；②若a＝0，b＝0，则λb＝0，所以λ可取任意实数，所以此命题错误；③正确．
答案：B
2．答案：A
3．答案：D
4．答案：B
5．解析：设AB的中点为M，则＋＝，
所以＝(＋2)＝＋，
即3＝＋2，
也就是＝2，
所以P，M，C三点共线，且P是CM靠近C点的一个三等分点．
答案：B
6．答案：4
7．解析：＝＋＋＝－＋＋＝－－＋
( ＋)＝－b－a＋
(a＋b)＝b－a＝
(b－a)．
答案：
(b－a)
8．解析：因为O是BC的中点，
所以＝
(＋)＝＋，
所以＝－＝＋．
又因为＝－，与共线，
所以存在实数λ，使得＝λ＝λ(－)，
即化简，得m＋n＝2．
答案：2
9．证明：设＝a，＝b，
则＝＋＝a＋
(－a＋b)＝a＋b，＝＋＝a＋b，
所以＝3．所以∥．
又因为与有公共点M，
所以M，N，C三点共线．
10．解：(1)依题意，A是BC的中点，
所以2＝＋，
即＝2－＝2a－b，
所以＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b．
(2)因为＝λ，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)·a＋b．
因为与共线，且≠0，
所以存在实数k，使＝k，
即(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝．
所以实数λ的值为．
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11.3.1
正弦函数的图象与性质
自我小测
1．函数y＝的定义域为( )
A．R
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．[－1,0)∪(0,1]
D．{x|x≠0}
2．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(－a)＝2，则f(a)的值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
3．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin
ax的图象不可能是( )
4．已知函数f(x)＝2sin
x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为( )
A．
B．
C．π
D．2π
5．y＝sin
x－|sin
x|的值域是( )
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[－1,1]
D．[－2,0]
6．比较大小：
(1)__________；
(2)__________．
7．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的周期函数，若f(x)＝则＝__________．
8．若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sin
x，则当x<0时，f(x)＝__________．
9．已知方程cos2x＋4sin
x－a＝0有解，则a的取值范围是__________．
10．用“五点法”作出函数y＝2－sin
x，x∈[0,2π]的图象．
11．若函数y＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，求函数f(x)＝－4absin
x的最值．
参考答案
1．答案：B
2．答案：B
3．解析：当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；
当0＜|a|＜1时，T＞2π，f(x)的最大值小于2，选项A符合；
当|a|＞1时，T＜2π，选项B符合．
排除选项A，B，C，故选D．
答案：D
4．解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，
不难发现f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin
x的半个周期．
因为f(x)＝2sin
x的周期为2π，
所以|x1－x2|的最小值为π．
答案：C
5．答案：D
6．解析：(1)因为＝，
又＜＜＋＜，但y＝sin
x在上是减函数，
所以＞＝，
即＞．
(2)因为－<－<－＜0，且y＝cos
x在上是增函数，所以
＞．
答案：(1)＞ (2)＞
7．解析：由题意，得＝f
＝＝sin＝sin＝sin＝．
答案：
8．解析：当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin
x．
又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－x2－sin
x．
答案：－x2－sin
x
9．答案：[－4,4]
10．解：列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
2－sin
x
2
1
2
3
2
描点，用光滑曲线连起来，图象如图所示．
11．解：①当b>0时，
由题意，得解得
所以y＝－2sin
x，此时f(x)的最大值为2，最小值为－2．
②当b<0时，由题意，得\
解得
所以y＝2sin
x，此时f(x)的最大值为2，最小值为－2．
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12.3.2
向量数量积的运算律
自我小测
1．已知|m|＝2，|n|＝1，且(m＋kn)⊥(m－3n)，m⊥n，则k等于( )
A．
B．
C．－
D．－
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2，则·(
＋)＝( )
A．
B．
C．－
D．－
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，，那么|a＋3b|等于( )
A．
B．
C．
D．4
4．如图所示，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是( )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
5．设a，b，c是平面内任意的非零向量，且相互不共线，
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2；
其中是真命题的有( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
6．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中i·j＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b＝__________．
7．已知向量a，b，c满足a－b＋2c＝0，且a⊥c，|a|＝2，|c|＝1，则|b|＝________．
8．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__________，·的最大值为__________．
9．如下图正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E．求∠DOE的余弦值．
10．设a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，k，t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求出函数k＝f(t)的最小值．
参考答案
1．答案：A
2．答案：A
3．答案：C
4．答案：D
5．解析：由b，c是平面内任意向量知①错误；
由三角形的三边关系得②正确；
由[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0得③错误；④显然正确．
答案：D
6．答案：－63
7．解析：因为a－b＋2c＝0，
所以b＝a＋2c，b2＝a2＋4a·c＋4c2＝8，
所以|b|＝．
答案：
8．解析：·＝(＋)·＝(＋)·＝＋·．
因为⊥，所以·＝0．
所以·＝12＋0＝1．
·＝(＋)·
＝·＋·＝(0≤λ≤1)，
所以·的最大值为1．
答案：1 1
9．解：＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
所以·＝·
＝·＋(·＋·)＋·．
因为⊥，⊥，所以·＝0，·＝0，
因为＝，＝，
所以·＝·＝，
又＝＋
＝＋＝，
所以cos∠DOE＝＝＝＝．
10．解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0．
又x⊥y，所以x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0．
因为|a|＝2，|b|＝1，所以－4k＋t2－3t＝0，
所以k＝
(t2－3t)(t≠0)．
即k＝f(t)＝
(t2－3t)(t≠0)．
(2)由(1)，知k＝f(t)＝
(t2－3t)
＝－，
所以函数k＝f(t)的最小值为－．
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12.1.4
向量数乘
自我小测
1．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n．其中正确的命题是( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
2．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A．＝
B．＝2
C．＝3
D．2＝
3．平面上有一个△ABC和一点O，设＝a，＝b，＝c，又OA，BC的中点分别为D，E，则向量等于( )
A．
(a＋b＋c)
B．
(－a＋b＋c)
C．
(a－b＋c)
D．
(a＋b－c)
4．已知四边形ABCD为菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则A等于( )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A．
a＋b
B．
a＋b
C．
a＋b
D．
a＋b
6．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________．
7．若2－
(b－3x＋c)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量x＝__________．
8．如图所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ
＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
9．如图所示，L，M，N是△ABC三边的中点，O是△ABC所在平面内的任意一点，求证：＋＋＝＋＋．
10．如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，．
参考答案
1．答案：B
2．解析：由2＋＋＝0，可知O是底边BC上的中线AD的中点，故＝．
答案：A
3．解析：＝＋＝－＋
(＋)＝－a＋b＋c．
答案：B
4．答案：A
5．解析：如图，
=+，由题意知，DE∶BE=1∶3=DF∶AB，所以=．
又=-
=+=a+b，
=-=-b+a，
所以=a+b+=a+b．
答案：D
6．答案： －
7．解析：2x＋x＝a＋b－b＋c，
所以x＝a－b＋c．
答案：
a－b＋c
8．解析：设＝a，＝b，
那么＝a＋b，＝a＋b．
又因为＝a＋b，
所以＝(＋)，
即λ＝μ＝，
所以λ＋μ＝．
答案：
9．证明：＋＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋＋)＋(＋＋)
＝(＋＋)＋(＋＋)
＝(＋＋)＋0
＝＋＋．
所以原式成立．
10．解：因为＝＝＝
(－)
＝
(a－b)，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b．
因为＝＝，
所以＝＋＝＋＝
＝
(＋)＝
(a＋b)，
所以＝－＝
(a＋b)－a－b
＝a－b．
PAGE
13.3
三角函数的积化和差与和差化积
自我小测
1．化简的结果为( )
A．tan
α
B．tan
2α
C．cot
α
D．cot
2α
2．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝( )
A．－
B．－
C．
D．
3．化简cos＋cos＋cos的结果为( )
A．sin
B．sin C．－
D．－cos
4．sin
α＋sin
β＝(cos
β－cos
α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－
B．－
C．
D．
5．已知α－β＝，且cos
α－cos
β＝，则cos(α＋β)等于( )
A．
B．
C．
D．
6．函数y＝coscos的最大值是__________．
7．cos
72°－cos
36°的值为__________．
8．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________．
9．求证：2sin2θsin2φ＋2cos2θcos2φ＝1＋cos
2θcos
2φ．
10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－，求cos的值．
参考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：C
4．答案：D
5．答案：C
6．答案：
7．解析：cos
72°－cos
36°＝－2sin
54°sin
18°＝＝＝－．
答案：－
8．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝－
(cos
2α－cos
2β)
＝－
[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m．
答案：－m
9．证明：左边＝2··＋2··＝(1－cos
2θ－cos
2φ＋cos
2θcos
2φ)＋
(1＋cos
2θ＋cos
2φ＋cos
2θcos
2φ)＝
(2＋2cos
2θcos
2φ)＝1＋cos
2θcos
2φ＝右边．
所以原式成立．
10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，
因为＝－，所以＋＝－．
所以cos
A＋cos
C＝－2cos
Acos
C．
利用和差化积及积化和差公式得，
2coscos＝－
[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
所以cos＝－，
化简得4cos2＋2cos－3＝0，
又＝0，
因为2cos＋3≠0，所以cos＝．
PAGE
11.2.3
同角三角函数的基本关系式
自我小测
1．已知cos
θ＝，且<θ<2π，那么的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
2．化简的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3．已知tan
α＝m，则sin
α＝( )
A．m
B．±m
C．±
D．－
4．若sin
αcos
α＝，且<α<，则cos
α－sin
α的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
5．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于( )
A．2
B．－2
C．1
D．0
6．若－＝－1，则α是第__________象限的角．
7．若tan
α＝，则sin
αcos
α的值为__________．
8．若非零实数m，n满足tan
α－sin
α＝m，tan
α＋sin
α＝n，则cos
α等于__________．
9．证明：
(1)
－＝sin
α＋cos
α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
10．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)m的值；
(2)方程的两根及此时θ的值．
参考答案
1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得sin
θ＝±．
因为<θ<2π，故sin
θ<0，
所以sin
θ＝－＝－，
所以tan
θ＝＝－．
所以＝－．
答案：D
2．答案：B
3．答案：D
4．解析：(cos
α－sin
α)2＝cos2α－2sin
αcos
α＋sin2α
＝1－＝，
又因为sin
α>cos
α，所以cos
α－sin
α＝－．
答案：B
5．答案：D
6．答案：四
7．答案：
8．答案：
9．证明：(1)左边＝－
＝－
＝－
＝sin
α＋cos
α＝右边．
故原式成立．
(2)因为左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋cos2α＋2tan2α＋2sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α，
所以左边＝右边，原式成立．
10．解：由根与系数的关系，可知
(1)由①式平方得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝．
综合②得＝，所以m＝．
由③得m≤＝，而<，
所以m＝．
(2)当m＝时，原方程变为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝．
所以或
又因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝．
PAGE
13.2.1
倍角公式
自我小测
1．若coscos＝，则sin
2θ＝( )
A．
B．
C．
D．
2．
等于( )
A．
B．
C．2
D．
3．函数f(x)＝cos
2x＋2sin
x的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1
B．－2,2
C．－3，
D．－2，
4．已知tan
2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan
θ的值为( )
A．
B．－
C．2
D．或－
5．
等于( )
A．1
B．2
C．
D．
6．已知sin
α＝，则sin
2＝__________．
7．若tan
α＝，则cos
＝__________．
8．若sin＝，则cos＝__________．
9．已知α为锐角，且sin
α＝．
(1)求的值；
(2)求tan的值．
10．已知向量m＝(sin
x，－1)，向量n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m．
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值，求锐角A．
参考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：C
4．答案：B
5．答案：C
6．答案：2－
7．解析：cos＝－sin
2α＝－＝－＝－＝－．
答案：－
8．解析：观察发现＋2α＝2，而＋＝，则cos＝sin，
所以cos＝2cos2－1
＝2sin2－1＝－．
答案：－
9．解：(1)因为α为锐角，且sin
α＝，
所以cos
α＝＝．
所以＝
＝＝20．
(2)由(1)，得tan
α＝＝，
所以tan＝＝＝．
10．解：(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋sin
xcos
x＋
＝＋sin
2x＋
＝sin
2x－cos
2x＋2
＝sin＋2，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)由(1)，知f(x)＝sin＋2．
当x∈时，－≤2x－≤．
由正弦函数的图象可知，当2x－＝时，f(x)取得最大值3，即f(A)＝3，此时2A－
＝，
所以A＝．
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13.2.2
半角的正弦余弦和正切
自我小测
1．已知sin
θ＝，<θ<3π，那么tan＋cos的值为( )
A．－3
B．3－
C．－
D．
2．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c
B．aC．aD．b3．若＝，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．1
D．
4．若f(x)＝2tan
x－，则f的值为( )
A．4
B．
C．4
D．8
5．化简等于( )
A．tan
2θ
B．cot
4θ
C．tan
4θ
D．cot
2θ
6．已知α为三角形的内角，sin
α＝，则cot＝__________．
7．若sin(π－α)＝，α∈，则sin
2α－cos2的值等于__________．
8．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝__________．
9．设a＝(1＋cos
α，sin
α)，b＝(1－cos
β，sin
β)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝，求sin的值．
10．已知sinsin＝，α∈，求2sin2α＋tan
α－－1的值．
参考答案
1．答案：B
2．解析：因为a＝sin
24°，b＝tan
26°，c＝sin
25°，所以a答案：C
3．答案：A
4．答案：D
5．答案：C
6．答案：3或
7．答案：
8．解析：由2θ∈，得cos
2θ＝－，
所以sin
θ＝＝．
答案：
9．解：由题意得cos
θ1＝＝＝＝cos．
因为θ1∈[0，π]，∈，所以θ1＝．
同理，cos
θ2＝＝
＝sin＝cos，
因为θ2∈[0，π]，－∈，所以θ2＝－．
将θ1＝，θ2＝－代入θ1－θ2＝中，得＝－，故sin＝sin＝sin＝．
10．解：因为sinsin＝，
所以2sincos＝，
即sin＝．所以cos
4α＝．
而2sin2α＋tan
α－－1
＝－cos
2α＋＝－．
因为α∈，所以2α∈．
所以cos
2α＝－＝－，
tan
2α＝－＝－．
所以－＝－＝，
即2sin2α＋tan
α－－1的值为．
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12.2.1
平面向量基本定理
自我小测
1．在 ABCD中，与交于点M．若设＝a，＝b，则以下各选项中，与－a＋b相等的向量是( )
A．
B．
C．
D．
2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与b＝－(e2－2e1)共线，则有( )
A．λ＝0
B．λ＝－1
C．λ＝－2
D．λ＝－
3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，若＝3e1，＝e2，则等于( )
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C．
e1＋e2
D．e1＋e2
4．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)，若＝m＋n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )
A．m>0，n>0
B．m>0，n<0
C．m<0，n>0
D．m<0，n<0
5．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
6．设e1，e2为一组基底，a＝－e1＋2e2，b＝e1－e2，c＝3e1－2e2，用a，b为基底将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值分别为__________．
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(1,1)，B(－1,2)，若点C满足＝α
＋β，其中，α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为__________．
8．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，求r－s的值．
9．过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
参考答案
1．答案：D
2．答案：D
3．答案：D
4．答案：B
5．解析：因为＝＋λ，而－＝，
所以＝λ．
令＋＝，
则是以A为起点，向量与为邻边的菱形对角线对应的向量，
即在∠BAC的平分线上．
又因为＝λ，
所以，共线．
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B．
答案：B
6．解析：c＝pa＋qb，即3e1－2e2＝(－pe1＋2pe2)＋(qe1－qe2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，
所以所以
答案：1,4
7．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．
答案：x＋2y－3＝0
8．解：因为＝＋＝4，
所以＝3．
所以＝－＝＋－
＝＋－
＝＋
(－)－
＝－，
所以r＝，s＝－，r－s＝．
9．解：如图，设=a，=b，
则=
==(a+b)．
所以=-=-b，
=-=xa-yb．
因为与共线，所以=λ，
即-b=λxa-λyb，
所以消去λ得，
即+=3．
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12.4
向量的应用
自我小测
1．作用在同一物体上的两个力|F1|＝5
N，|F2|＝4
N，它们的合力不可能是( )
A．2
N
B．5
N
C．9
N
D．10
N
2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4) B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4) D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程为( )
A．(x－2)2＋(y－2)2＝2
B．x－y－1＝0 C．2x－y－1＝0
D．2x－y－2＝0
4．在△ABC中，有命题：
①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是( )
A．①②
B．①④ C．②③
D．②③④
5．设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )
A．
B．
C．2
D．3
6．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则·(＋)的最大值是__________．
7．设坐标原点为O，已知过的直线交函数y＝x2的图象于A，B两点，则·的值为__________．
8．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|．设P，Q在t＝0
s时分别在P0，Q0处，问当⊥时所需的时间是多少？
9．已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，如图所示，求证：HG∥EF．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．答案：D
4．解析：对于①，应有－＝，故①错误；对于④，由·＞0，得||||cos
A＞0，所以cos
A＞0．所以A为锐角．但B或C是否为锐角，不能确定，故④错误．②③是正确的．
答案：C
5．解析：设AC的中点为D，BC的中点为E，
则(＋)＋(2＋2)＝2＋4＝0，
所以＝－2，即O，D，E三点共线．
所以S△OCD＝2S△OCE，所以S△AOC＝2S△BOC．
答案：C
6．答案：
7．解析：设直线方程为y－＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－kx－＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
(x1x2)2＝(－1)＋×1＝－．
答案：－
8．解：e1＋e2＝(1,1),3e1＋2e2＝(3,2)，
如图，依题意，
得＝t(e1＋e2)＝(t，t)，
＝t(3e1＋2e2)＝(3t,2t)．
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)．
所以＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)．
因为⊥，所以·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2
s．
故当⊥时所需的时间是2
s．
9．证明：因为⊥，⊥，
所以∥．同理∥．
设＝λ
(λ≠0)，
则＝λ，同理＝λ．
于是＝－＝λ(－)＝λ，
所以∥，即HG∥EF．
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11.1.1
角的概念的推广
自我小测
1．下列说法正确的是( )
A．0°～90°的角是第一象限的角
B．第一象限的角都是锐角
C．平角跟周角不是象限内的角
D．钝角是大于第一象限的角
2．若α为第一象限的角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在象限为( )
A．第一象限
B．第一或第二象限
C．第一或第三象限
D．第一或第四象限
3．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限的角；②225°角是第三象限的角；③475°角是第二象限的角；④－315°角是第一象限的角．其中正确的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．若角α与45°角的终边相同，角β与－135°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
5．已知集合M＝，P＝，则集合M与P之间的关系为( )
A．MP
B．PM
C．P＝M
D．P∪M＝M
6．经过10分钟，分针转了__________度．
7．角α和β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝30°，则β＝__________．
8．表示出顶点在原点，始边重合于x轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(如图所示)．
9．已知角α的集合为{α|α＝k·75°＋15°，k∈Z}．
(1)其中有几种终边不同的角？
(2)其中有几个属于区间(－180°，180°)内的角？
(3)写出其中是第三象限的角的一般表示方法．
10．若角β的终边落在150°角终边所在的直线上，写出角β的集合；当β∈(－360°，360°)时，求β．
参考答案
1．答案：C
2．解析：若k为偶数，则k·180°＋α的终边在第一象限；若k为奇数，则k·180°＋α的终边在第三象限．
答案：C
3．解析：因为－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，所以①②③④四个命题都是正确的．故选D．
答案：D
4．解析：α＝k1·360°＋45°(k1∈Z)，β＝k2·360°－135°(k2∈Z)，α－β＝k·360°＋180°，k∈Z．
答案：D
5．解析：因为M＝{x|x＝90°·k＋45°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，P＝{x|x＝45°·k＋45°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，所以M?P．
6．答案：A答案：－60
7．解析：如图，OA为角α的终边，OB为角β的终边，由α＝30°，得∠AOC＝75°．根据对称性，知∠BOC＝75°，因此∠BOx＝120°，所以β＝k·360°－120°，k∈Z．
答案：k·360°－120°，k∈Z
8．解：(1){α|k·360°－15°≤α≤k·360°＋75°，k∈Z}；
(2){β|k·360°－135°≤β≤k·360°＋135°，k∈Z}；
(3){γ1|k·360°＋30°≤γ1≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{γ2|k·360°＋210°≤γ2≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{γ1|2k·180°＋30°≤γ1≤2k·180°＋90°，k∈Z}∪{γ2|(2k＋1)·180°＋30°≤γ2≤(2k＋1)·180°＋90°，k∈Z}＝{γ|n·180°＋30°≤γ≤n·180°＋90°，n∈Z}．
9．解：(1)在给定的角的集合中，终边不同的角共有五种．
(2)由－180°又因为k∈Z，所以k＝－2，－1,0,1,2．
所以在给定的角的集合中属于区间(－180°，180°)内的角共有5个．
(3)其中是第三象限的角可表示成k·360°＋240°，k∈Z．
10．解：因为角β的终边落在150°角终边所在的直线上，
所以在0°～360°范围内的角为150°和330°．
所以β的集合A＝{β|β＝k·360°＋150°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋330°，k∈Z}＝{β|β＝(2k＋1)180°－30°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋2)180°－30°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}，即满足要求的角β的集合A＝{β|β＝n·180°－30°，n∈Z}．
令－360°得－1所以当β∈(－360°，360°)时，β＝－210°，－30°，150°，330°．
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11.3.2
余弦函数、正切函数的图象与性质
自我小测
1．下列四个函数中，既是上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )
A．y＝|sin
x|
B．y＝|sin
2x|
C．y＝|cos
x|
D．y＝cos
2x
2．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( )
A．sin>cos>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cosD．－cos3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知f(n)＝cos，n∈N＋，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝__________．
6．函数y＝lg(2sin
x－1)＋的定义域是__________．
7．关于函数f(x)＝1－cos
2x－，有下面四个结论：
①f(x)是奇函数；
②当x>2
016时，f(x)>
恒成立；
③f(x)的最大值是；
④f(x)的最小值是－．
其中正确结论的序号是__________．
8．一个大风车的半径为8
m,12
min旋转一周，它的最低点离地面2
m(如图所示)，则风车翼片的一个端点离地面的距离h(m)与时间t(min)之间(h(0)＝2)的函数关系式为____________．
9．已知函数f(x)＝2cos
ωx(ω>0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为．
(1)求的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
10．若sin2θ＋2mcos
θ－2m－2<0恒成立，试求实数m的取值范围．
参考答案
1．答案：A
2．解析：sin＝cos，－cos＝cos．
因为π>>－>π－>0，而y＝cos
x在[0，π]上单调递减，
所以cos即cos答案：C
3．答案：D
4．解析：由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，知＝0，即3cos＝0．
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝kπ＋－
(k∈Z)．
所以|φ|的最小值为|φ|min＝＝．
答案：A
5．答案：－1
6．解析：若要使函数有意义，则即
由图知，原函数的定义域为(k∈Z)．
答案：
(k∈Z)
7．解析：①显然f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，①错误；
②当x＝1
000π时，x>2
016，此时f(1
000π)＝1－cos
2
000π－＝－<，故②式错误；
③－1≤cos
2x≤1，则≤1－cos
2x≤，故1－cos
2x－<，故③错误；
④当x＝0时，cos
2x和恰好取得最大值1．
故1－cos
2x－≥1－－1＝－．故④正确．0
答案：④
8．解析：首先考虑建立平面直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
那么，风车上翼片端点所在的位置P可由函数x(t)，y(t)来刻画，而且h(t)＝y(t)＋2，所以只需要考虑y(t)的解析式．又设P的初始位置在最低点，即y(0)＝0．
在Rt△O1PQ中，cos
θ＝，
所以y(t)＝－8cos
θ＋8．而＝，所以θ＝t，
所以y(t)＝－8cost＋8，
所以h(t)＝－8cost＋10．故填h(t)＝－8cost＋10．
答案：h(t)＝－8cost＋10
9．解：(1)因为f(x)的周期T＝π，故＝π，所以ω＝2．
所以f(x)＝2cos
2x．所以＝2cos＝．
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝的图象，所以g(x)＝＝2cos＝2cos．当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
10．解：要使sin2θ＋2mcos
θ－2m－2<0，
即cos2θ－2mcos
θ＋2m＋1>0恒成立．
令cos
θ＝t，则－1≤t≤1．
设f(t)＝t2－2mt＋2m＋1，
只要f(t)>0在[－1,1]上恒成立．
由于f(t)＝(t－m)2－m2＋2m＋1(－1≤t≤1)，
所以只要f(t)的最小值大于零即可．
因为函数f(t)的图象开口向上，对称轴为直线x＝m，
所以若m<－1，则t＝－1时，f(t)取最小值2＋4m．
令2＋4m>0，得m>－，与m<－1矛盾，舍去．
若－1≤m≤1，则t＝m时，f(t)取得最小值－m2＋2m＋1．
令－m2＋2m＋1>0，则m2－2m－1<0，解得1－若m>1，则t＝1时，f(t)取最小值2，它显然大于0．所以m>1．
综上所述，可知m的取值范围是m>1－．
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12.2.2
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
自我小测
1．如图，设e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为( )
A．e1－3e2
B．－2e1－4e2
C．2e2－e1
D．3e1－e2
2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝( )
A．－a＋b
B．
a－b
C．
a－b
D．－a＋b
3．△ABC的两个顶点为A(4,8)，B(－3,6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则点C的坐标为( )
A．(－8,3)
B．(－3,4)
C．(3，－8)
D．(－4,3)
4．已知在 ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
5．设点A，B，C，D的坐标依次为(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，则四边形ABCD的形状为________．(填“平行四边形”“菱形”)
6．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
7．已知边长为1的正方形ABCD．若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量4＋－3的坐标为__________．
8．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
9．已知向量u＝(x，y)与v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标．
参考答案
1．答案：A
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：如图所示，=+=(-2,3)+(3,7)=(1,10)，
所以==．
所以错误!未定义书签。=．
答案：C
5．解析：如图所示，＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，所以＝．
又＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，
所以||＝，||＝，
所以||≠||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
6．解析：因为＝，
所以－＝
(－)，
即＝(3，－6)．
又因为＝－，
设E(x，y)，则
得
答案：
7．解析：如图，各顶点的坐标为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
所以＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．
所以4＋－3＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
8．解：(1)设P(x，y)，由＝＋t得
(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即
若P在x轴上，则yP＝0，即2＋3t＝0，所以t＝－．
若P在y轴上，则xP＝0，即1＋3t＝0，所以t＝－．
若P在第二象限，则 －(2)若四边形OABP能构成平行四边形，则
＝，即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)．
所以这是不可能的．
故不能成为平行四边形．
9．解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)，
即对于任意向量a，b及常数m，n，
恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(2)f(a)＝f((1,1))＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝f((1,0))＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x′，y′)，则f(c)＝(y′，2y′－x′)＝(p，q)，
所以解得
故向量c＝(2p－q，p)．
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