1.2.2组合的综合应用
考试要求
明确排列与组合的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；能运用所学的排列组合知识，正确地解决的实际问题.
基础训练
一、选择题
1．下列问题中是组合问题的个数是
( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（
）
（A）种
（
B）种
（C）种
（D）
种
3．某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（
）
（A）5种
（B）6种
（C）63种
（D）64种
4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一
台，则不同的取法共有
( )
A．140种
B．84种
C．70种
D．35种
5．设凸n
(n≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)＝( )
A．n－1
B．n
C．n＋1
D．n＋2
6．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入
选的不同选法的种数为
( )
A．85
B．56
C．49
D．28
二、填空题
7．10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有________种．
8．若C>6，则m的取值范围是__________．
9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相
除，有n个不同的商，则m∶n＝________.
三、解答题
10．判断下列问题是否为组合问题？并求出相应结果．
(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
11．求值：C＋C.
12.要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？
(1)A，B，C,3人都参加；
(2)A，B，C,3人都不参加；
(3)A，B，C,3人中只有一个参加．
四、探究与拓展
13．5个球放入3个盒子,在下列不同条件下,各有多少种投放方法？
各有多少不同的放法
小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有
②小球不同，盒子不同，盒子可空
解：种
③小球不同，盒子相同，盒子不空
解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有=25种
④小球不同，盒子相同，盒子可空
解：本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有种
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空
解：（隔板法）。0
\
00
\
00
，有种方法
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
解：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于
相应的3个不同盒子。故有=21
练后反思
答案：
1．B 2．A 3．C
4．C
5．C
6．C 7．120
8．{2,3,4}
9．1∶2
10．解 (1)(2)(3)都是组合问题．
(1)C＝252，即共有252种分法．
(2)C＝84，即这样的三位数共有84个．
11．解 由，解得≤n≤.
又n∈N
，∴n＝6，故原式＝C＋C＝C＋C＝31.
12．解 (1)只需再从A，B，C之外的9人中选择2人，
所以有方法C＝36(种)．
(2)由于A，B，C三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C＝126(种)．
(3)可分两步：先从A，B，C三人中选出一人，有C种选法；再从其余的9人中选择4人，有C种选法．
所以共有选法CC＝378(种)．
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11.3.1
二项式定理
考试要求
掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
基础训练
一、选择题
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( )
A．2n
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
B
2．在(x－)10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27C
B．27C
C．－9C
D．9C
D
∵Tr＋1＝Cx10－r(－)r.令10－r＝6，
解得r＝4.∴系数为(－)4C＝9C.
3．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－2
C．2
D．4
C
(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，
故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.
4．在n(n∈N
)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是( )
A．3
B．5
C．8
D．10
B
Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·Cx3n－5r.
令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.
∴n的最小值为5.
5．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( )
A．－297
B．－252
C．297
D．207
D
x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
6．(2009·北京)在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
D
通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且C＝15，验证n＝6时，
r＝4合题意，故选D.
7．(2010·陕西理，4)(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )
A．－1
B.
C．1
D．2
D
C·xr()5－r＝C·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，
由C·a＝10，得a＝2.
8．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是( )
A.＜x＜
B.＜x＜
C.＜x＜
D.＜x＜
A
由得∴＜x＜.
二、填空题
9．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．
－162
10．(1＋x)2(1－x)
5的展开式中x3的系数为________．
5
解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3·(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)·C(－1)＝5；
解法二：C(－1)3＋C·C(－1)2＋CC(－1)＝5.
11．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
－5
(1＋x＋x2)6
＝6＋x6＋x26，
∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C＋C＝－5.
三、解答题
12．m、n∈N
，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
由题设m＋n＝19，∵m，n∈N
.
∴，，…，.
x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
＝(－)r·C·x.
13．若展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．
通项为：Tr＋1＝C·()n－r·
由已知条件知：C＋C·＝2C·，解得：n＝8.
记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：
tk≥tk＋1且tk≥tk－1.
又tr＝C·2－r＋1，于是有：
即
∴解得3≤k≤4.
∴系数最大项为第3项T3＝和第4项T4＝.
练后反思
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11.2.3
组合与组合数公式
考试要求
1.
理解组合的意义；
2.
掌握组合数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
基础训练
一、选择题
1.组合数恒等于（
D
）
A.
B.
C.
D.
2.
的值为（
C
）
A.6
B.101
C.
D.
3.假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（
B
）
A.
种
B.
种
C.
种
D.
种
4.
式子的值的个数为（
A
）
A.1
B.2
C.3
D.
4
5.异面直线上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（
B
）
A.
20
B.9
C.
D.
6.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任何两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有（
D
）
A.
36个
B.72个
C.63个
D.126个
解析：转化为圆上9个点可组成多少个四边形，有个.
二、填空题
7.若，则
190
.
8化简
0
.
9.
的值等于
7315
.
解析：原式.
10.（易错题）某班有一个7人小组，现任选3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有
70
种.
解析：从7人中选出3人有种情况，再对确定的3人相互调整座位，有2种情况，故共有种不同的调整方案.
三、解答题
11.要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
（1）甲当选且乙不当选；
（2）至少有1女且至多有3男当选.
解析：（1）共有种不同的选法.（2）分三类：3男2女，2男3女，1男4女.
共有种不同选法.
12.（1）已知，求的值.
（2）已知求的值.
解析：（1）原方程化为，
解得或（舍去）.
（2）∵，∴，由，∴，，由，得将代入得，则.
练后反思
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11．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
考试要求
1.
掌握二项式系数的四个性质.
2.
培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.
基础训练
一、选择题
1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于
( )
A．180
B．－180
C．45
D．－45
解析：a8＝C·22＝180.
答案：A
2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项
B．第16项
C．第17项
D．第18项
解析：第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．
答案：B
3．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64
B．32
C．63
D．31
解析：C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
答案：B
4．已知关于x的二项式(＋)n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1
B．＋1
C．2
D．±2
解析：由题意知2n＝32，n＝5，
Tr＋1＝C()5－rar·＝Car，
令－r＝0，得r＝3，
∴a3C＝80，解得a＝2.
答案：C
5．在(1＋2x)7的展开式中，C是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．
解析：由二项式系数的定义知C为第k＋1项的系数，
∴C为第3项的二项式系数．
∵T2＋1＝C·(2x)2＝22·Cx2，
∴第3项的系数为22·C＝84.
答案：
3 84
6．若(＋2)5的展开式第二项的值大于1
000，则实数x的取值范围为________．
解析：∵T2＝C·()4·21＝10x2>1
000，且x≥0，
∴x>10.
答案：(10，＋∞)
7．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
－5
(1＋x＋x2)6
＝6＋x6＋x26，
∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C＋C＝－5.
8.
(1＋x)2(1－x)
5的展开式中x3的系数为________．
5
解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3·(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)·C(－1)＝5；
解法二：C(－1)3＋C·C(－1)2＋CC(－1)＝5.
9.
已知n(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含的项．
解：由题意知第五项的系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则＝，
解得n＝8(n＝－3舍去)．
所以通项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C(－2)r·.
令＝，得r＝1.
∴展开式中含的项为T2＝－16.
10.
已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，求：
(1)各项系数之和；
(2)所有奇数项系数之和；
(3)系数绝对值的和；
(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．
解：(1)令x＝1，y＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(2)由(1)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1.
令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59.
将两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝.
(3)法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项的系数和，令x＝1，y＝1，得
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.
(4)奇数项的二项式系数之和为
C＋C＋…＋C＝28.
偶数项的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝28.
练后反思
PAGE
11.2.1.2
排列与排列数公式
【学习目标】
1.熟练掌握排列数公式；
2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
【问题导学】
1.预习教材P14-P20，找出疑惑之处.
2.
复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是
取元素
和
排顺序
；两个排列相同的条件是元素
相同，元素的排列顺序
也相同
复习2：排列数公式：
=
（）
全排列数
＝
＝
.
复习3
从5个不同元素中任取2个元素的排列数是
，全部取出的排列数是
.
【合作探究】
探究任务一：排列数公式应用的条件
问题1：
⑴
从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
⑵
从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解析：（1）
（2）
新知：排列数公式只能用在从n个不同元素中取出m个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.
探究任务二：解决排列问题的基本方法
问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数（写出表达式即可）？
解析：法一（直接法）：按无0和有0分两类，共有个.（2）间接法：个.
问题3：7位同学按照不同的要求站成一排，求不同排队方案有多少种？
（1）甲必须站中间；
（2）甲、乙只能站两端；
（3）甲不站左端，乙不站右端；
（4）甲、乙两人必须相邻；
（5）甲、乙两人不能相邻.
解析：（1）看作余下6个元素的全排列，种.（2）根据分布乘法计数原理，第一步，甲、乙站在两端有种，第二步，余下的5位同学进行全排列有种，所以共有种.（3）甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置.
法一（特殊元素法）：甲在最右边时，其他的可全排列，有种，甲不在最右边时，可从余下的5个位置中任选一个，有种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的5个中的一个上，有种，其余人全排列，故共有种；由分类计数原理种.
法二（特殊位置法）：先排最左边，除甲外，有
种
，余下6个位置全排列有种，但应剔
除乙在最右边的排法种，故共有
法三（间接法）：7个人全排有种，其中，不合条件的有甲在最左边时种，乙在最右边时种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情况，有种.故共有=3720.
(4)(捆绑法)把甲、乙两人捆绑后看成一个元素.有种.
（5）法一（插空法）：先让其余的5人全排列再让甲、乙在6个位置插入排列，共有种.法二（间接法）：不考虑限制条件共有种.除去甲、乙相邻的排法，所以共有种.
变式：（1）6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？
（2）6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？
（3）4男4女排成一排，同性别者相邻，有多少种不同的站法？
（4）4男4女排成一排，同性别者不能相邻，有多少种不同的站法？
（5）4男4女排成一排，甲、乙之间必须有2人.
有多少种不同的站法？
解析：（1）先将女生捆绑在一起.
=10080（2）先排男生再插入女生.
.（3）.（4）先排男（女）生，再插入女（男）生，.（5）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下4人全排列，故有
.
新知：（1）位置分析法；以位置为主，特殊（受限）的位置优先考虑.
有两个以上的约束条件时，往往根据其中一个条件分类处理.
（2）元素分析法：以元素为主，先满足特殊（受限）的要求，再处理其他元素，有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素.
（3）间接法：也叫排异法，直接考虑情况较多.但其对立面情况较少，比较容易解决.可考虑用间接法.
（4）插空法：“不相邻”问题可以用插空法.但要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数.
(5)
捆绑法：把要求在一起的“小集团”看成一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列.
此法适用于“相邻”问题的排列.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
●当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）：
1.用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有
（
C
）
A.
48
B.
64
C.
72
D.90
2.
5人排成一排，其中甲、乙至少一人在两端的排法种数为
（
B
）
A.6
B.
84
C.24
D.
48
B组（你坚信你能行）：
3.
甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有
（
A
）
A.20
B.
30
C.40
D.
60
解析：分甲在周一、周二、周三三类讨论或总数乘以三分之一.
4.
安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和10月2日，不同的安排方法共有
2400
种.
5（★★）.五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为
36
.
解析：分两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有种；另一类是乙、丙相邻但不与甲相邻，此类方法有种（先把除甲、乙、丙外的另两人排好，有种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选2个作为甲和乙、丙的位置），故共有种.
【小结与反思】
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11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）
考试要求
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.会利用两个基本原理分析和解决一些简单的实际问题.
基础训练
一、选择题
1.（2012长沙高二检测）从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为（
A
）
A.
13
B.16
C.24
D.48
2.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法（
C
）
A.
8种
B.12种
C.16种
D.24种
3.某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数为（
B
）
A.
11
B.30
C.56
D.65
4.（易错题）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（
A
）
A.56
B.65
C.
D.
5.从1,2,…，9这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是（
C
）
A.
6
B.9
C.20
D.25
6.有5列火车停在某车站并列的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有（
A
）
A.
96种
B.24种
C.120种
D.12种
二、填空题
7.某单位职工举行义务献血活动，在体检合格的人中，O型血共有18人，A型血共有10人，B型血共有8人，AB型血共有3人.从四种血型的人中各选1人去献血，不同的选法有4320
人.
8从集合和中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同的点
23
个.
9.
5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共
有
32
种.
10.椭圆的焦点在轴上，且，，则满足题意的椭圆的个数为
20
.
11.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为
42
.
三、解答题
12.已知集合,,设，，,若点直线的上方，则这样的点有多少个？
解析：∵直线的上方，∴，又，,分三类讨论得，共有点9个.
13.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解析：（1）共有种不同的选法.
（2）共有种不同的选法.
（3）不同的选法.
练后反思
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11.2.1.1排列的概念及简单排列问题
考试要求
1.理解排列的概念；
2.掌握排列数公式；
3.会用排列解决一些简单的实际问题.
基础训练
一、选择题
1.
四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（
C
）
．种
．10种
．12种
．16种
2.
给出下列问题：
①有10个车站，共需要准备多少种车票？
②有10个车站，共有多少中不同的票价？
③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？
④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？
⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？
以上问题中，属于排列问题的是
①③⑤
(填写问题序号).
3.
且则用排列数符号表示为（C
）
．
．
．
．
4.
5人站成一排照相，甲不站在两端的站法有（
B
）
．24种
．72种
．96种
．120种
5.
由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个（
B）
A.9
B.21
C.24
D.
42
6.
用0，1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的三位数的个数是（
A
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.
满足不等式的的最小值为
10
.
8.
若
，，则以为坐标的点共有
63
个.
9.
某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是
12
.
10.
若S=，则S的个位数字是（
B
）
（A）0
（B）3
（C）5
（D）8
三、解答题
11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种.
解析：种出场顺序.
12．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解析：分3类：第一类用1面旗表示的信号有种；
第二类用2面旗表示的信号有种；
第三类用3面旗表示的信号有种；
由分类计数原理，所求的信号种数是：，
13.（★★★）一条铁路有个车站，为适应客运需要，新增了个车站，且知，客运车票增加了62种，问原来有多少个车站
现在有多少个车站
解析：原来个车站有车票种，新增了个车站，有车票种，有题意得
，即整理得
.∴，由从而有，∴.
又∵，解得即，当时，均不为整数，只有时，符合题意，∴，故原来有15个车站，现在有17个车站.
练后反思
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11.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】
1.
能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据杨辉三角形对二项式进行展开.
2.会利用“杨辉三角”与二项式系数分析和解决一些简单的实际问题.
3.培养观察、比较和变形能力，形成应用意识.
4.通过实际问题的解决，进一步培养学习数学的兴趣.
【重点难点】
重点：二项式系数的性质及应用.
难点：借助杨辉三角讨论二项式的性质.
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P32内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.二项式定理及其特例：.
2．二项展开式的通项公式：
3二项式系数表（杨辉三角）——见P32
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，
例如：当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
———这种方法叫赋值法﹗
【合作探究】
问题1：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和是
否相等
问题2：设，
当时，求的值
解：令得：
，
∴，
问题3：已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令，则展开式中各项系数和为，
又展开式中二项式系数和为，
∴，．
（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，，
（2）设展开式中第项系数最大，则，
∴∴，
即展开式中第项系数最大，．
【深化提高】
设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．
(1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋
a2010＝32010
②
与①式联立，①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.
(3)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r
＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1<0(k∈N
)，a2k>0(k∈N
)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，
所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010
＝32010.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为
（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
●当堂检测
A组（你一定行）：
1.
展开式中的系数为
45
，各项系数之和为
0
．
2.
在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（
D
）
A.0
B.
C.
D.
B组（你坚信你能行）：
3求的展开式中系数最大的项.
答案：
4.
将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．
2n-1 32
用不完全归纳法，猜想得出．
C组（我对你很有吸引力哟）：
5.
求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．
方法一：(1＋x－2x2)5＝5，则Tr＋1＝C·(x－2x2)r，而(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Cxr－k·(－2x2)k＝(－2)k·C·xx＋k.∴Tr＋1＝C(－2)k·Cxr＋k
令r＋k＝4，则k＝4－r.
∵0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∈N，
∴或或.
∴展开式中含x4的项为·x4＝－15x4.
方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5·(1＋2x)5，
则展开式中含x4的项为
C·C·(2x)4＋C·(－x)·C·(2x)3＋C·(－x)2·C(2x)2＋C·(－x)3·C·(2x)＋C·(－x)4·C·(2x)0＝－15x4.
【学习小结与反思】
PAGE
11.3.3函数的最大（小）值与导数
【学习目标】
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。重难点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P29-31内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.函数的闭区间上的最值
一般地，如果在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求函数在上的最值的步骤
（1）求函数在（a,b）内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是极小值.
3.
在区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，想一想，在区间上一定存在最值和极值吗？在区间(a,b)上呢？
一定有最值，不一定有极值.
如果函数是单调函数在区间(a,b)上既没有最值也没有极值.
【合作探究】
问题1：求下列函数的最值.
（1）
（2）
（1）当时，取得最小值-60，当或时，取得最大值4.
（2）当时，取得最小值-12，
当时，取得最大值2.（列表略）
问题2：已知函数在上有最大值3，最小值-29，求a,b的值.
提示：对a的正负分类讨论，或
问题3：
已知函数在上有最小值-37，求a的值并求在上的最大值.
答案：
a=3,当时，最大值是3.
【深化提高】
设函数
.
求的最小值；
若对于恒成立，求实数m的取值范围.
(1)
(2)
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
●当堂检测
A组（你一定行）：
1.函数在上
（
D
）
A.极大值一定比极小值大
B.极大值一定是最大值
C.最大值一定是极大值
D.最大值一定大于极小值
2.函数在区间上的最大值是
(
A
)
A.
10
B.-71
C.-15
D.-22
B组（你坚信你能行）：
3.函数的最大值为
.
4.函数，对任意的都有，则实数m的取值范围是.
C组（我对你很有吸引力哟）：
5.已知a为实数，，
（1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是递增的，求a的取值范围.
答案:
(1)
；
（2）最大值是，最小值是；
（3）
【小结与反思】
PAGE
1超全的排列组合解法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略----优限法
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步计数原理得
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略----捆绑法
例2.
7人站成一排
,其中甲乙相邻且丙丁相邻,
共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法
练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
20
三.不相邻问题插空策略----插空法
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
30
四.定序问题除序插空略----除序法
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(除序法)某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有
1种坐法，则共有种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗
（插空法）排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有
方法
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略----求幂法
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有
7
种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法
练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
42
2.
某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
六.环排问题线排策略-----线排公式法
例6.
8人围桌而坐,共有多少种坐法
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈
120
七.多排问题直排策略-----直排法
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有
192
种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,
排成一行陈列,要求同一
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
2.
5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种
十.元素相同问题隔板策略-----隔板法
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
练习题：
10个相同的球装5个盒中,每盒至少有1个，有多少种装法？
2
.求这个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反总体淘汰策略-----排除法
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种
十二.平均分组问题除法策略-----除以组数的阶乘
例12.
6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解:
分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法
,而这些分法仅是(AB,
CD,EF)一种分法,故共有种分法。
练习题：
1
将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,
有多少分法？（）
2.10名学生分成3组,其中一组4人,
另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法
（1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（）
十三.
合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有
种。
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座
谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2.
3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,
2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,
这3人共有多少乘船方法.
（27）
本题还有如下分类标准：
以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14.
马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
种
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,
3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种
3号盒
4号盒
5号盒
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
(9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有
72种
十六.
分解与合成策略
例16.
30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5
×
7
×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线
十七.化归策略
例17.
25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种。
再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？()
十八.数字排序问题查字典策略-----排位法
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
解:
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是
3140
十九.树图策略
例19．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
练习:
分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中号人不坐号椅（）的不同坐法有多少种？
二十.复杂分类问题表格策略-----表格法
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空
空模型处理
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中去掉不合要求的
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案
,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用
公式进行运算，树图会收到意想不到的结果
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多,
无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.
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11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）
【学习目标】
1.
能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；
2.
能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；
3.
会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用.
重点：能应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决简单的实际的问题.
难点：根据实际问题的特征，正确地区分“分类”与“分步”.
【使用说明与学法指导】
1.预习教材P5
～P10，找出疑惑之处.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？
2.
现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组.
⑴
选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？
⑵
每组选1名组长，有多少种不同的选法
3.
由1，2，3，4，5这5个数字组成无重复数字的五位数，小于50000的偶数有（C
）
A.60个
B.48个
C.36个
D.24个
解析：按个位，万位，千位，百位，十位依次考虑.由分步乘法计数原理可得.
规律总结：在运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题时，首先必须弄清楚是
分类
还是
分步
，其次，要弄清楚
分类
的标准和分步的程序.若同时用到两个计数原理解决问题时，一般先分类，后分步.分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务.
【合作探究】
问题1：（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个不同的数字组成三位数，则三位数的个数为（
D
）
A.120
B.80
C.90
D.100
解析：分三步，即百位、十位、个位；可得5×5×4=100.
(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有
14
个（用数字作答）.
解析：先不考虑数字2,3至少都出现出现一次的限制，共有24=16个，减去“2222，3333”这两个数，故共有14个.
问题2：如图所示，要给
四个区域分别涂上3种不
同颜色中的某一种，允许
同一种颜色使用多次，但
相邻区域必须涂不同的
颜色，有多少种不同的涂色方法？
点拨：第1步，涂D区域，有3种方法；
第2步，涂B区域，有2种方法；
第3步，涂C区域，有1种方法；
第4步，涂A区域，有1种。故共有3×2×1×1=6种.
问题3：
有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加.
（1）若只需一人参加，有多少种不同选法？
（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
（3）若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？
解析：1）由分类加法计数原理，有3＋8＋5=16种选法.
（2）分三步，有3×8×5=120种选法
（3）可分两类，每一类又分两步：第1类，选一名老师再选一名男同学；第2类，选一名老师再选一名女同学；共有3×8＋3×5=39种选法.
【深化提高】
如图，共有多少个不同的三角形？
解析：所有不同的三角形分三类：第1类，其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形有5个；第2类，其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形有5×4=20个；第3类，没有一条边是原五边形的边，这样的三角形有5＋5=10个；故共有35个.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
●当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.
如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（
A
）
A.72种
B.48种
C.24种
D.12种
2.用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（
B
）
（
A）265个
（B）232个
（C）128个
（D）24个
3.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有
4
种.
4.用1，2，3三个数字，可组成
15
个无重复数字的自然数.
5.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法有
12
种.
解析：第1步，选垄，有6种方法；第2步，种植两种不同的作物，有2种方法.故共有12种方法.
【小结与反思】
1.使用两个原理解题的要点：
2.
使用两个原理解题的常用方法：
3.你的收获：
D
B
A
C
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11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）
【学习目标】
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2了解分类、分步的特征，合理分类、分步；
3.体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.
重点：归纳地得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理.能应用它们解决简单的实际的问题.
难点：正确的理解“完成一件事情”的含义.根据实际问题的特征，正确地区分“分类”与“分步”.
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P2-5内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.分类加法计数原理
（1）分类加法计数原理：如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种方法，在第2类方案中有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么，完成这件工作共有N=
种不同的方法.
（2）分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事.
2.分步乘法计数原理
（1）分步乘法计数原理：完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，完成第2步有
( http: / / www.21cnjy.com )种不同的方法，那么，完成这件工作共有N=
种不同方法。
（2）分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，其中各种方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.
3.你能否将分类加法计数原理、分步乘法计数原理.进行推广？
4.如图，从杭州到北京的途径有
种.
5.从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有
6
条.
6.
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的异同点.
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
【合作探究】
问题1：某校高三共有三个班，其各班人数如下表
班级
男生数
女生数
总数
高三（1）
30
20
50
高三（2）
30
30
60
高三（3）
35
20
55
（1）从三个班中选一名学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从1班、2班男生中或从3班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
答案：（1）共有N=50+60+55=165种（2）共有N=30+30+20=80种
问题2：某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，问可以配成多少种不同的套餐？
解析：由分步乘法计数原理，共有6×5×3=90种不同的套餐.
问题3：某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
（1）从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解析：（1）共有N=28+7+9+3=47种不同的选法.（2）共有N=28×7×9×3=5292种不同的选法.
【深化提高】
从
( http: / / www.21cnjy.com )中，任取3个不同的数作为抛物线方程
( http: / / www.21cnjy.com )的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限内，则这样的抛物线共有多少条？
解析：因为抛物线经过原点，所以
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )只有一种取值.又抛物线
( http: / / www.21cnjy.com )顶点在第一象限，所以满足
由，解得
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，∴
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴不同的抛物线共有
( http: / / www.21cnjy.com )条.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
●当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）
1.已知
( http: / / www.21cnjy.com )，则
( http: / / www.21cnjy.com )可表示不同的值的个数为（
D
）
A.2
B.3
C.6
D.9
2.
已知两条异面直线
( http: / / www.21cnjy.com )上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为（
C
）
A.40
B.16
C.13
D.10
3.乘积
( http: / / www.21cnjy.com )展开后，共有
( http: / / www.21cnjy.com )
项.
4.
要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有
6
种不同的选法.
5.
一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成
10000
个四位数号码.
【小结与反思】
火车2
…
火车1
火车5
飞机1
杭州
北京
飞机2…
飞机101.2.3
组合与组合数公式
【学习目标】
1.正确理解组合与组合数的概念；
2.弄清组合与排列之间的关系；
3.掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.
重点难点
重点：组合的概念和组合数公式
难点：组合的概念和组合数公式
【使用说明与学法指导】
预习教材P21~
P23，找出疑惑之处
复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面，分别是
取元素
和
排顺序
.
复习2：排列数的定义：
从
个不同元素中，任取
个元素的
排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号
表示
复习3：排列数公式：=
（）
【问题导学】
组合的概念：一般地，从
n
个
不同
元素中取出
m
个元素
合成
一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
组合数的概念：从个
不同
元素中取出个元素的
所有不同
组合的个数，叫做从
个不同元素中取出个元素的组合数．用符号
表示．
组合数公式及性质：
公式
展开式
阶乘式
性质
性质1
性质2
规
定
问题1：“”和“”是相同的排列还是相同的组合？
问题2：我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？
【合作探究】
问题1：判断下列问题是组合还是排列，并求出相应的组合数或排列数.
（1）若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少个？
（2）8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？
（3）8人相互握手一次，共握了多少次手？
（4）在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
解析：（1）与顺序无关，是组合问题.共有个.（2）发电子邮件有先后之分，与顺序有关是排列问题，共有个.（3）相互握手无顺序，是组合问题，共有次.（4）飞机票与起点站、终点站有关，是排列问题，共有种.机票价格只与两站的距离有关，是组合问题，共有种.
新知：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只与元素有关，与顺序无关，要区分排列与组合，可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题.
变式：判断下列问题是组合还是排列：
（1）把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
（2）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
（3）从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同选法？
问题2：（1）计算；
（2）证明.
解析：（1）=
（2）证明：左边=
右边.
新知：组合数的两个公式的应用有所区别，一般地，公式常用于为具体自然数的题目，偏向于具体组合数的计算；公式常用于为字母或含有字母的式子的题目，偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明.
变式：（1）求值：
(2)求证：.
解析：，解得.又，所以.当时，原式.当时同理得原式.
问题3：计算：（1）；
（2）.
解析：（1）原式==
（2）原式=
新知：（1）当时，通常不直接计算，而改为计算（2）注意组合数两个性质的灵活应用（凑项、拆项
、变用、逆用等）.
变式：计算：（1）；
（2）
（3）.
解析：（1）原式=5006.
（2）原式=32.
（3）原式=
==
【深化提高】
解方程：.
错解：∵，
∴，即，
解得（舍去），，∴原方程的解为.
错因：错解的原因有二：一是将组合数的方程转化为代数方程时不等价.事实上，
二是最后得出的结果没有检验，出现根的取舍错误.
正解：∵，
∴，或
，
即或
∴或或或.经检验，不合题意，舍去，故原方程的解为，或.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
●当堂检测
A组（你一定行）：
1.下列四个问题属于组合问题的是（C
）
A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作.
B.从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同的数字，组成一个三位数.
C.从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式.
D.
从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员.
2.若，则等于（
A
）
A.8
B.5或6
C.3或4
D.4
B组（你坚信你能行）：
3.
得值为（B
）
A.36
B.84
C.88
D.504
4.已知，则
1或3
.
C组（我对你很有吸引力哟）：
5.
已知成等差数列，求的值.
解析：由已知得，所以
整理得解得或，要求的值，故，所以，则
.
【小结与反思】
用后觉得难度、容量都大了。可一分为二，将组合数两个性质等放在下一课时。
PAGE
11.2.1.3
排列的综合应用
【学习目标】
1.熟练掌握排列数公式；
2.能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
重点：正确地解决几种常见的有限制条件的排列问题.
难点：综合运用分类法、捆绑法、插空法、特殊元素法、特殊位置法等解决实际问题.
【问题导学】
复习：请列举出一些带有限制条件的排列问题，并思考相应的解决方法.
【合作探究】
探究任务一：解决排列问题的几种基本方法
问题1：
某小组6个人排队照相留念．
(1)
若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？
(2)
若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？
(3)
若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？
(4)
若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？
(5)
若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？
解析：（1）捆绑法，共有种.
（2）法一：对于每一种符合条件的站法，对调甲、乙两人的位置（其余人不动），就得到一种不符合条件的站法（乙在甲的右边）；反之，对于每一个不符合条件的站法，对调甲、乙两人的位置（其余人不动），也得到一种符合条件的站法（甲在乙的右边），并且，对调前后也都是这6个人的全排列之一.因此，符合条件的站法共有种.
法二：从6个位置中选出2个位置让甲、乙站，且甲在乙的右边，有种站法，其余4个人站余下的4个位置，有种站法，由分步乘法计数原理知共有种站法.
（3）插空法：先排3名女生，再插入3名男生.共有种.
（4）法一：分两类.第1类，甲在排尾时，有种站法；第2类，甲不在排尾时，有种站法；由分类加法计数原理知共有种站法.
法二（间接法）：种站法.
（5）从6人中选2人站前排，有种站法，其余4人站后排，有种站法，故共有种站法.
问题2：从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
解析：法一（元素分析法）：优先考虑运动员甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，然后安排其他3棒，有种参赛方案.
由分类加法计数原理知共有种参赛方案.
法二（位置分析法）：优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可从除甲外的5人中选2人，有种方法，其余两棒从剩下的4人中选，有种方法.
由分步乘法计数原理知共有种参赛方案.
法三（排除法）：不考虑甲的约束，6人占4个位置，有种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有种，所以甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案共有种.
探究任务二：部分元素顺序一定的排列问题
问题3：将A，B，C，D，E这五个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻），则这样的排列有多少种？
解析：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序一定，这种问题有以下两种常见的解法.
法一（整体法）：5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上面的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排法有种.
法二（插空法）：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，这时形成4个空当，分两类将字母D，E插入.
第1类，若字母D，E相邻，则有种排法；
第2类，若字母D，E不相邻，则有种排法.
所以有种不同的排法.
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排法，因此满足条件的排法共有种.
【深化提高】
将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法有
多少种？
解析：分两步：第1步，先排，=2，有2种；=3有2种；=4有1种，共有5种；第2步，再排，共有种，故不同的排列方法种数为5×6=30.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
●当堂检测
A组（你一定行）：
1.用1，2，3组成没有重复数字的整数，可以组成整数的个数为
（
B
）
A.27个
B.
15个
C.
12个
D.
6个
2.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（
B
）
A.36种
B.42种
C.
48种
D.
54种
B组（你坚信你能行）：
3.若2n个学生排成一排的排法数为,这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为，则，的关系为（
C
）
A.
B.
C.
D.
4.在由数字0，1，2，3，4，5所组成没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有
192
个.
C组（我对你很有吸引力哟）：
5.
8张椅子排成一排，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种？
解析：把4个人先排，有,且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位当成两个不同的元素去排5个缝隙位置，有,所以共有种.
【小结与反思】
PAGE
11.2.2组合的综合应用
【学习目标】
明确排列与组合的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；能运用所学的排列组合知识，正确地解决实际问题.
【重点难点】
重点：能正确认识组合与排列的联系与区别.
难点：理解组合的意义，正确地解决实际问题..
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P26内容并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.下列问题中是组合问题的个数是（
2
）
( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长，副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
2.
求值：.
解 由，解得≤n≤.
又n∈N
，∴n＝6，故原式＝C＋C＝C＋C＝31
3.要从12人中选出5人去参加一项活动，
下列要求，有多少种不同选法？
(1)A，B，C,3人都参加；
(2)A，B，C,3人都不参加；
(3)A，B，C,3人中只有一个参加．
解
(1)只需再从A，B，C之外的9人中选择2人，
所以有方法C＝36(种)．
(2)由于A，B，C三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C＝126(种)．
(3)可分两步：先从A，B，C三人中选出一人，有C种选法；再从其余的9人中选择4人，有C种选法．
所以共有选法CC＝378(种)．
4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛．
(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
解 (1)从男生中选2人，从女生中选2人，
共有CC＝60(种)选法；
(2)男生中的甲与女生中的乙必须在内，只需从除2人外的其余7人中再选2人，有C＝21(种)选法；
(3)从反面考虑，只要9人中选4人，减去不含男生甲和女生乙的情况，有C－C＝91(种)选法；
(4)从反面考虑，只要所有情况减去全是男生和全是女生的情况，有C－C－C＝120(种)选法．
【合作探究】
问题1：四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
解：（1）根据分步计数原理：一共有
种方法；
问题2：四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？
解：（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素，有
种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有
种方法，所以，
一共有
＝144种方法
问题3：（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯．
故
所求方法总数为
种方法
【深化提高】
5.(1)
以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，直径AB上另有4个点，
共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？
(2)
在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？
解 (1)分类讨论：A、B只含有一个点时，
共有2(C＋CC)＝160(个)；
既含A又含B时，共有C＝15(个)；
既不含A也不含B时，共有C－1－CC＝185(个)．
所以共有160＋15＋185＝360(个)．
(2)含A点时，可构成CC＝20(个)三角形；
不含A点时，可构成CC＋CC＝70(个)三角形．
故
共有20＋70＝90(个)三角形．
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
●当堂检测（3选2填或2选2填1解答）
A组（你一定行）：
1.
某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，
不同的选法有(
D
)
( )
A．C种
B．A种
C．A·A种
D．C·C种
2.
从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(
C
)
( )
A．300
B．216
C．180
D．162
B组（你坚信你能行）：
3.
8个人坐一排，现要调换其中3人的位置，其余5人不动，则不同的调换方式有112种．
4.
要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有91种不同的选法.
C组（我对你很有吸引力哟）：
5.
赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？
解 分三类，第一类2人只划左舷的人全不选，有CC＝100(种)；
第二类2人只划左舷的人中只选1人，
有CCC＝400(种)；
第三类2人只划左舷的人全选，有CCC＝175(种)．
所以共有CC＋CCC＋CCC＝675(种)．
【学习小结与反思】
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11.3.1二项式定理
【学习目标】
1掌握二项式定理和二项式系数的性质
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
3.培养观察、比较和变形能力，形成应用意识.
4.通过实际问题的解决，进一步培养学习数学的兴趣.
【重点难点】
重点：二项展开式、通项公式、二项式系数.
难点：如何灵活运用展开式、通项公式解题.
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P29.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.(a＋b)3和(a＋b)4展开后分别等于什么？
2.二项式定理及其特例：
(a＋b)n＝？
(a－b)n＝？
3.二项展开式的通项公式；
4.二项展开式中项的系数与二项式系数有何不同？
5.
二项展开式中的通项是展开式的第几项？如何表示？
6.
二项展开式的结构特征：
①(多少项)
②(项的次数)
③(升降幂)
④(各项二项式系数)
【合作探究】
问题1：二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式的
第n＋1项
相同吗
问题2：(1＋2x)7的二项展开式的第4项的二
项式系数与项的系数相同吗？
问题3：(1)
用二项式定理展开(2x－)5.
(2)
化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n--1＋C(x＋1)n-2－…＋(－1)rC(x＋1)n-r＋…＋(－1)nC.
【深化提高】
1
求92C＋93C＋94C＋95C＋96C的值．
2.
求C＋9C＋92C＋93C＋94C的值
.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）.
A.
很好
B.
较好
C.
一般
D.
较差
●当堂检测（3选2填或2选2填1解答）
A组（你一定行）：
(2012·天津高考)在(2x2－)5的二项展开
式中，x的系数为
( D )
A．10
B．－10
C．40
D．－40
2.
(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( B )
A．6
B．7
C．8
D．9
B组（你坚信你能行）：
3.
在(x－)20的展开式中，系数是有理数的项共有( A )
A．4项
B．5项
C．6项
D．7项
4.
二项式(a＋b)2n的展开式的项数是2n＋1
C组（我对你很有吸引力哟）：
5.
已知m，n∈N＋，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19.
又m，n∈N＋，
∴1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
6.
已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：(1)Tr＋1＝C·()n－r·(－)r
＝(－)r·C·.
∵第6项为常数项，
∴r＝5时，＝0，∴n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
∴所求的系数为C(－)2＝.
(3)根据通项公式，由题意得令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，
即r＝＝5－k.
∵0≤r≤10且r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2.
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C·(－)2·x2，C(－)5，C·(－)8·x－2，
即
x2，－，.
【学习小结与反思】
PAGE
11.2.1.2
排列与排列数公式
考试要求
1.
理解排列的意义；
2.
掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
基础训练
一、选择题
1.
（2012辽宁高考）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
（
C
）
A.
B.
C.
D.
2.一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有
（D
）
A.240种
B.
600种
C.
408种
D.480种
3.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有
（
C
）
A.34种
B.
48种
C.
96种
D.144种
4.生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排一人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排一人，则不同的安排方案共有
（
B
）
A.24种
B.
36种
C.
48种
D.72种
二、填空题
5.有四位司机、四位售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有
24
种.
6.
在1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的有
36
个.
7.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
960
种.
8.由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
36
.
9.
用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
240
个.
解析：240个.
对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个.
10.
安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有
种.（用数字作答）
解析：若没有两人去同一所学校，则有种去法；若有两人去同一所学校，则有种去法，故共有种去法.
三、解答题
11.
8人排成一排照相，分别求下列条件下的不同照相方式的种数.
（1）其中甲、乙相邻，丙、丁相邻；
（2）其中甲、乙不相邻，丙、丁不相邻；
（要求写出解答过程，并用数字作答）
解析：（1）捆绑法，共有种不同排法.
（2）间接法，先求出甲、乙不相邻的排法总数，再减去甲、乙不相邻时但丙、丁相邻的情况，此时有种，故共有种.
.
12.
用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
（3）在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为多少？
解析：（1）（直接法）（个）.（间接法）（个）.
（2）（直接法）分0在个位和0不在个位，共有（个）.
（间接法）最后一位是偶数的减去第一位是0的.共有（个）.
(3)1在首位的数有个.
2在首位且0在第二位的数有个.
2在首位且1在第二位的数有个.以上三类四位数共有84个.故第85个是2301.
练后反思
PAGE
11.2.1.3
排列的综合应用
考试要求
1.
理解排列的意义；
2.
掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
基础训练
一、选择题
1.字母排成一列，其中相邻且的前面，共有排列方法种数为（
A
）
A.
120
B.240
C.360
D.720
2.
5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（
A
）
A.
种
B.
种
C.
种
D.
种
3.若直线的系数可以从中取不同的值，这些方程表示不同直线的条数为（
B
）
A.
15
B.18
C.32
D.36
4.（2012·全国卷）将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（
A
）
A.
12种
B.18种
C.24种
D.36种
解析：先排第1列，有种，再排第2列，有2种方法，故共有种排列方法.
5.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（
D
）
A.234
B.363
C.350
D.346
二、填空题
6.某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
20
.
解析：先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有种.
7.
8人排成前后两排，每排4人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有
5760
排法.
解析：按照前排甲、乙，后排丙，其余5人的顺序考虑，共有种.
8.（★★★）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1，2相邻，这样的六位数的个数是
40
.
解析：可分三步来完成这件事：
第一步，先将3，5进行排列，有种排法.
第二步，再将4，6插空排列，有种排法.
第三步，将1，2放入3，5，4，6形成的空中，有种排法.
故共有种排法.
三、解答题
9.
某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲，
3个舞蹈，3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台；
（2）2个歌曲节目互不相邻；
（3）2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法.
10（★★★）.
用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数，满足，，，的五位数有多少个？
解析：只能是3，4，5.（1）若，则，，是1或2，这时共有个符合条件的五位数.（2）若，则，可以是1,2,3中的一个.共有个符合条件的五位数.（3）若，则，此时分别与（1）（2）情况相同，故共有个.
练后反思
PAGE
11.2.1.1排列的概念及简单排列问题
【学习目标】
1.
理解排列、排列数的概念；
2.
了解排列数公式的推导；
3.
能运用所学的排列知识，正确地解决一些简单的实际问题
重点：排列、排列数的概念
难点:
排列数公式的推导
【使用说明与学法指导】
1.课前用20分钟预习课本P14—P18内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.
2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.
【问题导学】
1.
分类加法计数原理：
.
2.
分步乘法计数原理：
3.
从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的方法？
解析：
4.上面的问题3中，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？
5.排列的概念
元素：问题中被取出的
对象
.
排列：一般地，从n个
不同
元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序
排成一排，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列.
6.相同排列的条件
元素
相同，顺序
相同.
7.
排列数的概念
从
n
个
不同
元素中取出
m
（）个元素的
所有不同排列
的个数，叫做从n个不同元素中取出m元素的排列数，用符
号
表示.
8.
排列数公式
从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数
.
9.
全排列
从n个不同元素中
全部
取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为
.
【合作探究】
问题1：如何判断一个具体的问题是不是排列问题？下列问题哪些是排列问题？说明理由.
某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一名，共有多少种可能的选举结果.
从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？
20位同学互相握一次手，问共握手多少次？
有12个车站，共需准备多少种车票？
从集合中任取相异的两个元素作为,，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆？
解析：（1）（2）（4）选取元素后还要进行排列，是排列问题.
问题2：你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？
问题3：写出下列问题的所有排列：
（1）从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
（2）由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？
问题4：填写下表：
n
2
3
4
5
6
7
n！
问题5：（1）若，则
17
，
14
．
（2）乘积用排列数符号表示
（）.
(3)计算（
答：）
（4）解方程（
答：）
【深化提高】
有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？
解析：9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S（D）=9！/9.
【学习评价】
●自我评价
你完成本节导学案的情况为（
）
A.很好
B.较好
C.一般
D.较差
●当堂检测（时量：5分钟
满分：10分）计分：
1.判断下列问题是否为排列问题：
（1）选2个小组分别去植树和种菜；
（2）选10人组成一个学习小组；
（3）10人互通一封信；
（4）从1,2,3,4,5中任取两个数相除；
2.
若，则(
B）
A.
B.
C.
D.
3.
计算：
348
.
4.
某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行
182
场比赛；
5.
2个人坐在一排4个座位上，那么共
有
12
种不同的坐法.
6.
5人站成一排照相，共有
120
种不同的站法；
【小结与反思】
PAGE
11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）
考试要求
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.会利用两个基本原理分析和解决一些简单的实际问题.
基础训练
一、选择题
1.
一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（
A
）
Ａ．8
Ｂ．15
Ｃ．16
Ｄ．30
2.
某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（D
）
A.
5
B.7
C.10
D.12
3.
李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有（
B
）种
Ａ.24
Ｂ.14
Ｃ.10
Ｄ．9
4.
3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（
B
）
A.
43种
B.34种
C.
4×3×2种
D.
1×2×3种
5.
把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（
D）
A.
120
B.
1024种
C.
625种
D.
5种
6.
三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（
C
）
A.25
B.26
C.36
D.37
二、填空题
7.
商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有
33
种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有
270
种不同的选法.
8.
十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有
12
种行车路线.
9.
我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”.则1，2，3，4四个数组成的两位数中，“和谐两位数”有
6
个.
10.
（易错题）从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为
17
.
11.
4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，可组成
168
个不同的三位数.
解析：百位有7种选法，十位有6种选法，个位有4种选法，故由乘法计数原理知共有
7×6×4=168（个）.
12.（2012湖北高考）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,
94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.
3位回文数有90个：101,111,121，…，
191,202，…，999.
（1）4位回文数有
90
个；
（2）2n＋1（n∈N+）位回文数有
9×10n个.
解析：（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，有9种填法，中间两位一样，有10填法，共计9×10=90种填法.
（2）根据回文数的定义，同（1）分析，结合分步计数乘法原理知共有9×10n种填法.
三、解答题
13
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的
（1）四位密码？
（2）四位数？
（3）四位奇数？
解析：（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）.
14．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一
颜色.
（1）若n=6,则为甲图着色时共有
多少种不同的方法；
（2）若为乙图着色时共有120种
不同方法，求n.
解析：1）对区域A,B,C,D按顺序着色，
共有6×5×4×4=480（种）
(2)
对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0
n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.
练后反思
B
A
D
C
B
A
D
C
甲
乙
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