2.1.4
椭圆的简单性质（2）
一、选择题
1.
已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A.
＋＝1
B.
＋＝1
C.
＋y2＝1
D.
＋＝1
解析：由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a a＝2.又e＝＝，c＝1.故b2＝a2－c2＝4－1＝3.故选A.
答案：A
2.
已知椭圆＋＝1(m>0)，若直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m等于( )
A.
2
B.
C.
2
D.
解析：由题意设半焦距为c，易知点M(c，c)，∵点M又在椭圆上，∴＋＝1 ①.又c2＝16－m2 ②，由①②联立解得m2＝8，∴m＝2.
答案：A
3.
把离心率等于黄金比的椭圆称为优美椭圆，设椭圆＋＝1(a>b>0)为优美椭圆，已知F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是短轴的一个端点，则∠ABF等于( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
解析：设椭圆的半焦距为c，∵e＝是方程x2＋x－1＝0的一个根，∴e2＋e－1＝0，即()2＋－1＝0，c2＋ac－a2＝0.不妨设B为上顶点，则F(－c,0)，A(a,0)，B(0，b)，∴·＝b2－ac＝a2－c2－ac＝0，∴FB⊥AB，即∠ABF＝90°.
答案：D
4.
若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A.
2
B.
3
C.
6
D.
8
解析：由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，
则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：C
二、填空题
5.
已知点A，B是椭圆＋＝1(m>0，n>0)上的两点，且＝λ，则λ＝________.
解析：由＝λ知点A，O，B共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.
答案：－1
6.
焦点在x轴上，长轴长为20，短轴长为16的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为________．
解析：由题意a＝10，b＝8，设内接矩形ABCD位于第一象限的顶点为A(x0，y0)，则有＋＝1，且S矩形ABCD＝4x0y0.
由于xy＝x(1－)×64＝x(100－x)≤2＝1600，当且仅当x＝100－x，即x＝50时“＝”成立．此时y＝32，即当x0＝5，y0＝4时，椭圆的内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为：4(x0＋y0)＝36.
答案：36
7.
横跨北京动物园上空的“隔音隧道”为半椭圆形隔音钢架结构，隧道内为双向四车道，车道总宽20米，限制通行车辆的高度不超过4米，隧道正中是一面7米高的隔板，两侧各有两个车道，根据以上信息，请你计算出隧道设计的拱宽(椭圆长轴)至少________米．(≈5.7，结果精确到分米)
解析：由题意，椭圆短半轴长b＝7，设椭圆方程为＋＝1(a>7)，易知点(10,4)在椭圆上，∴＋＝1，则a2＝，a＝，∴2a＝≈24.6.
答案：24.6
三、解答题
8.
如图，已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最大值和最小值．
解：由＋＝1得a＝5，b＝3，c＝4，点A(4,0)为椭圆的一个焦点，另一个焦点F(－4,0)，
∴|MA|＋|MF|＝2a＝10，
∴|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|，
在△BMF中，两边之差的绝对值小于第三边，
且|BF|＝2，
∴－2＝－|FB|≤|MB|－|MF|≤|FB|＝2，当M、F、B三点共线时取等号．
∴10－2≤|MA|＋|MB|≤10＋2，∴最小值为10－2，最大值为10＋2.
9.
已知F1,
F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆短轴长有关．
解：(1)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由余弦定理得
cos60°＝
＝，
∴|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
∴3|PF1|·|PF2|＝4b2，
∴|PF1|·|PF2|＝b2，
又∵|PF1|·|PF2|≤()2＝a2，(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”)
∴3a2≥4(a2－c2)，∴≥，
∴e≥.
又∵椭圆中0
(2)证明：由(1)知|PF1|·|PF2|＝b2，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin60°
＝×b2×＝b2，
∴△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．4.2.2
最大值、最小值问题
一、选择题
1．[2014·大连模拟]使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x为( )
A.
0
B.
C.
D.
解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，
sinx＝，x＝，
∴当x∈[0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈(，]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值．故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，又f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，则比较得最大值为f()＝.
答案：A
3．函数y＝x－sinx，x∈[，π]的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
解析：y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在[，π]上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
答案：C
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A.
－37
B.
－29
C.
－5
D.
以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，
在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案：A
二、填空题
5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．
解析：令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
答案：2＋2a－2ln2
6．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是__________．
解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.
∵x≤－，∴y′<0，
即y＝x2＋在(－∞，－]上单调递减．
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
答案：(－∞，－]
7．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为__________．
解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin1＋cos1)]．
答案：[，e(sin1＋cos1)]
三、解答题
8．设x>0，求lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3的最小值．
解：设f(x)＝lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3，
则f′(x)＝－－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)[－1＋2(x－1)]
＝(x－1)[＋2(x－1)]
＝(x－1)2(2－)＝(x－1)3.
令f′(x)＝0，由x>0，解得x＝1.列表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由题可知，当x＝1时，f(x)有最小值1.
9．[2014·山西省阳泉第二调研]已知函数f(x)＝的图像在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝2.
(1)求a，b的值；
(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x，f(x)<恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝
f′(x)＝，
而点(1，f(1))在直线x＋y＝2上 f(1)＝1，
又直线x＋y＝2的斜率为－1 f′(1)＝－1，
故有
(2)由(1)得f(x)＝(x>0)，
f(x)<及x>0 令g(x)＝
g′(x)＝
＝，
令h(x)＝1－x－lnx h′(x)＝－1－<0(x>0)，
故h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
故当0h(1)＝0，
当x>1时，h(x)从而当00，当x>1时，g′(x)<0
g(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
故g(x)max＝g(1)＝1,
要使1，
故m的取值范围是(1，＋∞)．4.1.2
导数与函数的单调性（2）
一、选择题
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
解析：因f(x)在(a，b)上为增函数，
∴f(x)>f(a)≥0.
答案：A
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是( )
解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图像的顶点在第四象限，∴x＝－>0，∴b<0，故选A.
答案：A
3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则( )
A．b2－4ac>0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：∵f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.
∴Δ＝4b2－12ac≤0.
∴b2－3ac≤0.
答案：D
4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：令F(x)＝，则F(x)为奇函数，
F′(x)＝，
∵当x<0时，F′(x)>0.
∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．
又F(3)＝＝0，∴F(－3)＝0.
∴当x<－3时，F(x)<0；
当－30.
又F(x)为奇函数，
∴当0当x>3时，F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
答案：D
二、填空题
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为________．
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，当a>0时，解得－答案：－6
6．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴解得a≥.
答案：[，＋∞)
7．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
答案：[1，)
三、解答题
8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
解：法一：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
设函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图像是对称轴为x＝且开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立 t≥g(－1)，即t≥5.
而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，
即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是[5，＋∞)．
法二：由题意得f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t，
则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是[5，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝(－1)2－1，
所以G(x)min＝－1，所以a>－1.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max.而G(x)＝(－1)2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈[，1]．
所以G(x)max＝－(此时x＝4)．
所以a≥－.第2章
圆锥曲线与方程习题课(4)
一、选择题
1．[2017·人大附中月考]以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A.
y2＝16x
B.
y2＝－16x
C.
y2＝8x
D.
y2＝－8x
解析：本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质．因为双曲线－＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，故选A.
答案：A
2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
解析：设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.
答案：A
3．[2014·贵州六校联考]两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b，则抛物线y2＝－x的焦点坐标为( )
A.
(－，0)
B.
(，0)
C.
(－，0)
D.
(－，0)
解析：由两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a>b可得解得抛物线的方程为y2＝－x，故焦点坐标为(－，0)．
答案：C
4.
如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A.
直线
B.
圆
C.
椭圆
D.
抛物线
解析：依题意可知PC1⊥D1C1，故P点到C1D1的距离为|PC1|，即P点到C1点的距离与P点到直线BC的距离相等，故P点的轨迹为抛物线．
答案：D
5．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )
A．2a
B.
C．4a
D.
解析：可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xp＋＝＋＝，
|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.
答案：D
6．[2014·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线y＝x2－1上一定点B(－1,0)和两个动点P，Q，当BP⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是( )
A.
(－∞，－3)∪[1，＋∞)
B.
[－3,1]
C.
[1，＋∞)
D.
(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系．设P(t，t2－1)，Q(s，s2－1)，∵BP⊥PQ，∴·＝－1，即t2＋(s－1)t－s＋1＝0，∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(s－1)2＋4(s－1)≥0，即s2＋2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1.∴点Q的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，∞)，故选D.
答案：D
二、填空题
7．抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a的值是_____．
解析：抛物线y＝ax2化为x2＝y，
由于其准线方程为y＝1，故a<0，且||＝1，
解得a＝－.
答案：－
8．[2014·四川省绵阳南山中学月考]抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
解析：本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用．抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
答案：2
9．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝__________.
解析：∵直线AF的斜率为－，
∴∠PAF＝60°.
又|PA|＝|PF|，
∴△PAF为正三角形，作FM⊥PA，则M为PA中点，MA＝p，
∴PA＝2p.
∴|PF|＝|AP|＝2p＝8.
答案：8
三、解答题
10．(1)求过点(－，0)(p>0)且与直线x＝相切的动圆圆心M的轨迹方程；
(2)平面上动点M到定点F(0,3)的距离比M到直线y＝－1的距离大2，求动点M满足的方程，并画出相应的草图．
解：(1)根据抛物线的定义知，
圆心M的轨迹是以点(－，0)为焦点，
直线x＝为准线的抛物线，
其方程为y2＝－2px(p>0)．
(2)因为动点M到定点F(0,3)的距离比点M到直线y＝－1的距离大2，
所以动点M到定点F(0,3)的距离等于点M到直线y＝－3的距离，
由抛物线的定义得动点M的轨迹是以定点F(0,3)为焦点，
定直线y＝－3为准线的抛物线，
故动点M的轨迹方程为x2＝12y，
草图如图所示．
11．已知点A(2,1)和抛物线C：y2＝x，F为抛物线的焦点，P是C上任意一点．
(1)求|AP|＋|PF|的最小值；
(2)点P到直线x＋2y＋4＝0的距离的最小值．
解：(1)设点P到准线x＝－的距离为d，则|AP|＋|PF|＝|AP|＋d，当PA垂直于准线时，|PA|＋d最小，最小值为2.
(2)设点P的坐标为(t2，t)，则点P到直线x＋2y＋4＝0的距离d＝＝，
∴t＝－1时，dmin＝.
12.
某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5
m时，水面宽8
m，一木船宽4
m，高2
m，载货后木船露出水面上的部分高为
m，问水面上涨到拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
解：以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py
(p>0)上，所以16＝－2p×(－5)，所以2p＝.所以抛物线方程为x2＝－y.
设水面上涨船面两侧与抛物线形拱桥接触于B，B′时，船开始不能通航，设B(2，y)，由22＝－×y，得y＝－.所以此时水面与拱顶相距|y|＋＝2(m)．
答：水面上涨到与拱顶相距2
m时，木船开始不能通航．3.4.2
导数的乘法与除法法则
一、选择题
1.
函数y＝的导数是( )
A.
B.
C.
D.
解析：y′＝()′＝
＝.
答案：C
2.
已知f()＝，则f′(x)等于( )
A.
B.
－
C.
D.
－
解析：令＝t，则f(t)＝＝，
∴f(x)＝，f′(x)＝()′＝－.
答案：D
3.
函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( )
A.
ab
B.
－a(a－b)
C.
0
D.
a－b
解析：y′＝[(x－a)(x－b)]′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)(x－b)′＝x－b＋x－a＝2x－a－b
当x＝a时，y′＝a－b.
答案：D
4．[2014·湖南模拟]曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A.
－
B.
C.
－
D.
解析：y′＝
＝，把x＝代入得导数值为.
答案：B
5.
若质点的运动方程是s＝tsint，则质点在t＝2时的瞬时速度为________．
解析：s′＝(tsint)′＝sint＋tcost，
∴s′(2)＝sin2＋2cos2.
答案：sin2＋2cos2
6.
已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝__________.
解析：f(x)＝(x2－4)(x－a)
＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4，又f′(－1)＝0，
即3×(－1)2－2a×(－1)－4＝0，
∴a＝.
答案：
7.
已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
解析：∵y＝，∴y′＝.
令ex＋1＝t，则ex＝t－1且t>1，
∴y′＝＝－.
再令＝m，则0∴y′＝4m2－4m＝4(m－)2－1,
m∈(0,1)．
容易求得－1≤y′<0.∴－1≤tanα<0，得π≤α<π.
答案：[，π)
三、解答题
8.
求下列函数的导数：
(1)y＝x2sinx＋2cosx；
(2)y＝；
(3)y＝.
解：(1)y′＝(x2sinx)′＋(2cosx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＋2(cosx)′＝2xsinx＋x2cosx－2sinx.
(2)法一：y′＝＝＝.
法二：y＝＝＝1＋，
y′＝－.
(3)y′＝()′＝
＝＝.
9.
已知函数f(x)＝的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.求函数y＝f(x)的解析式．
解：由函数f(x)的图像在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，由切点为M点得f′(－1)＝－.
∵f′(x)＝，
∴
即
解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f(x)＝.1.1
命题（1）
一、选择题
1．下列语句不是命题的是( )
A.
3是15的约数
B.
15能被5整除吗？
C.
3小于2
D.
1不是质数
解析：因为B选项中为疑问句，故不是命题．
答案：B
2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，故都不是命题．
答案：A
3．下列语句中假命题的个数是( )
①3是15的约数；
②15能被5整除吗？
③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？
④3小于2；
⑤9的平方根是3或－3；
⑥2不是质数；
⑦2既是自然数，也是偶数．
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：④⑥是假命题，②③不是命题，①⑤⑦是真命题．
答案：A
4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：B
二、填空题
5．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__________．
解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．
答案：①④
6．命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0时，且Δ＝m2－12m<0，即00恒成立，所以0当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立．
综上知0≤m<12.
答案：[0,12)
7．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
②是假命题，数0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
三、解答题
8．将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
解：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除(真命题)．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称(真命题)．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等(假命题)．
9．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，则可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，
即或
故m的取值范围是1椭圆及其标准方程（2）
一、选择题
1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
又2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案：C
2．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.
－9B.
8C.
16D.
m>8
解析：依题意，有
解得8答案：B
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，则有>0，>0，且>，即m>n>0.反之，m>n>0时，方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选C.
答案：C
4．[2014·安徽省合肥六中月考]设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
A.
5
B.
4
C.
3
D.
1
解析：本题考查椭圆定义的综合应用．由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.
答案：B
二、填空题
5．[2016·北京东城区检测]已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：本题主要考查椭圆的定义．由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案：8
6．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
解析：∵a2＝9，b2＝2，
∴c＝＝＝，
∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2.由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2 120°
7．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．
解析：由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中等号成立．
故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
答案：9
三、解答题
8．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1得
＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3，
即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，
焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，
故设所求椭圆的方程为＋＝1.
把M点的坐标代入得＋＝1，
解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
9．在直线l：x－y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．
(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；
(2)求长轴最短时的椭圆方程．
解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(－3,0)、F2(3,0)．
设点F1(－3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，当P在F2F′1与直线l的交点处时，椭圆长轴最短．
则解之得
∴F′1(－9,6)．
则过F′1和F2的直线方程为＝，
整理得x＋2y－3＝0
联立解之得
即P点坐标为(－5,4)．
(2)由(1)知2a＝|F′1F2|＝，
∴a2＝45.
∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.4.1.1
导数与函数的单调性（1）
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A.
y＝sin2x
B.
y＝xex
C.
y＝x3－x
D.
y＝－x＋ln(1＋x)
解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
答案：B
2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．
答案：A
3．函数y＝x2－lnx的单调减区间是( )
A.
(0,1)
B.
(0,1)∪(－∞，－1)
C.
(－∞，1)
D.
(－∞，＋∞)
解析：∵y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0又∵x>0，∴0答案：A
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析：由函数的图像知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
答案：D
二、填空题
5．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．
解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.
答案：(－∞，－)，(1，＋∞)
6．函数f(x)＝xlnx(x>0)的单调递增区间是________．
解析：由f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1>0，解得x>.故f(x)的单调增区间是(，＋∞)．
答案：(，＋∞)
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)
三、解答题
8．证明：函数f(x)＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
证明：函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
9．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．
(1)求a，b的值：
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0.
故有，
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)因为a＝－，b＝－1，
∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．2.3.1
双曲线及其标准方程（1）
一、选择题
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3
B．4
C．3
D．4
解析：由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4.故选D.
答案：D
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝1或－＝1
解析：因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：C
3．[2014·福建宁德一模]已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A.
B.
C.
4
D.
解析：因为椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点(±，0)，则有a2－9＝7，∴a＝4.选C.
答案：C
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.
答案：B
二、填空题
5．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝__________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
6．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为__________．
解析：由双曲线方程－＝1知，a＝8，b＝6，则c＝＝10.
∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.
答案：33
7．在△ABC中，B(－6,0)，C(6,0)，直线AB，AC的斜率乘积为，则顶点A的轨迹方程为__________．
解析：设顶点A的坐标为(x，y)，根据题意，得·＝，化简，得－＝1(x≠±6)．故填－＝1(x≠±6)．
答案：－＝1(x≠±6)
三、解答题
8．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；
(2)过点P1(3，－4)，P2(，5)．
解：(1)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)．
由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||
＝
＝＝8，即2a＝8，则a＝4.又c＝5，
所以b2＝c2－a2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，得解得故所求双曲线的标准方程为－＝1.
9．已知曲线－＝1.
(1)当曲线是椭圆时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线是双曲线时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标．
解：(1)曲线为椭圆 m<0.即实数m的取值范围是(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x轴上，坐标为(±4,0)．
(2)曲线为双曲线 (16－m)m>0 0此时，双曲线的焦点在x轴上，坐标为(±4,0)．2.2.2
抛物线的简单性质（1）
一、选择题
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A.
(6，＋∞)
B.
[6，＋∞)
C.
(3，＋∞)
D.
[3，＋∞)
解析：∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
答案：D
2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，
∴这样的直线有且仅有两条．
答案：B
3．[2014·安徽省合肥六中月考]已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A.
2
B.
4
C.
D.
＋1
解析：本题主要考查抛物线的性质的应用．将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为
＝2，故选A.
答案：A
4．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
解析：F(1,0)，设A(，y0)，
则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4得到y0＝±2.∴A(1，±2)．
答案：B
二、填空题
5．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为__________．
解析：∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．
∴所求抛物线的方程为x2＝±16y.
答案：x2＝±16y
6．抛物线y＝x2上到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是__________．
解析：把直线2x－y－4＝0平移至与抛物线y＝x2相切时，切点即为所求．设此时直线方程为2x－y＋b＝0，联立y＝x2，得x2－2x－b＝0，由题意得Δ＝4＋4b＝0，b＝－1.即x2－2x＋1＝0，解x＝1，y＝1.
答案：(1,1)
7．[2013·江西高考]抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，∴B点坐标为(p，－)．又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
答案：6
三、解答题
8．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程及准线方程．
解：设所求抛物线的标准方程为
x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，－)，
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，∴x＋(y0＋)2＝17，
∴x＝8代入方程x＝2py0得，
8＝2p(3－)，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
准线方程为y＝－1或y＝－2.
9．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于.若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得＝，
∴t＝±1，由于－1 ，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.3.4.1
导数的加法与减法法则
一、选择题
1．下列四组函数中导数相等的是( )
A.
f(x)＝1与f(x)＝x
B.
f(x)＝sinx与f(x)＝－cosx
C.
f(x)＝1－cosx与f(x)＝－sinx
D.
f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋5
解析：D选项中的两个函数的导数都是－4x.
答案：D
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
答案：B
3．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( )
A.
甲大
B.
乙大
C.
相等
D.
无法比较
解析：v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．
答案：B
4．点P是曲线y＝－x2上任意一点，则点P到直线y＝x＋2的最小距离为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：依据题意知，当曲线y＝－x2在P点处的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的距离最小，设此时P点的坐标为(x0，y0)．
根据导数的运算法则可以求得y′＝－2x，所以曲线在P点处的切线的斜率k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以有－2x0＝1，得x0＝－.
故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的距离d＝＝.
答案：B
二、填空题
5.
已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于________．
解析：∵f′(x)＝4x3＋2ax－b，
由
∴
∴a＋b＝5＋13＝18.
答案：18
6.
函数f(x)＝x3＋4x＋5的图像在x＝1处的切线在x轴上的截距为________．
解析：f′(x)＝3x2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，
∴y－10＝7(x－1)，当y＝0时，x＝－.
答案：－
7.
设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是________．
解析：由已知f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)，又θ∈[0，]．
∴≤θ＋≤，∴≤sin(θ＋)≤1，
∴≤f′(1)≤2.
答案：[，2]
三、解答题
8.
求下列函数的导数：
(1)y＝2x5＋3x4－4x3＋5x2－6x＋7；
(2)y＝x3＋sinx；
(3)y＝ex－lnx.
解：(1)y′＝(2x5)′＋(3x4)′－(4x3)′＋(5x2)′－(6x)′＋7′＝10x4＋12x3－12x2＋10x－6.
(2)y′＝(x3)′＋(sinx)′＝3x2＋cosx.
(3)y′＝(ex)′－(lnx)′＝ex－.
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
又y′＝2ax＋b，则点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)，
所以4a＋2b＋c＝－1.
由解得
所以a，b，c的值分别为3，－11,9.1.1
命题（3）
一、选择题
1．命题“若 p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )
A．若p，则 q
B．若q，则 p
C．若 q，则p
D．若 q，则 p
解析：命题“若 p，则q”的逆否命题为“若 q，则p”．
答案：C
2．有下列四个命题：
①“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：
(1)
假
该命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题
(2)
假
该命题与其逆否命题具有相同的真假性．而该命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题
(3)
假
该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题
(4)
假
该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题
答案：A
3．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：利用四种命题真假性关系可知D正确．
答案：D
4．[2014·济南教学质量检测]下列有关命题的说法正确的是( )
A.
命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B.
“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C.
命题“任意的x∈R，都有2x2－1<0成立”为真命题
D.
命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：A不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；
B正确，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然成立；
C不正确，当x＝1时，2x2－1<0不成立；
D不正确，因为命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．
答案：B
二、填空题
5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，其逆命题为“若A∩B≠A则A∪B≠B”，
否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”，
逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”，全为真命题．
答案：4
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系，便不难判断．
答案：③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．
解析：①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD－A1B1C1D1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D1四点共面，所以①的逆命题不真；②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题．
答案：②
三、解答题
8．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
9．[2013·咸阳模拟]给出命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则a≤3”，判断其逆否命题的真假．
解：先判断原命题的真假：
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则
Δ＝(2a－1)2－4(a2－2)≥0，解得a≤.
当a≤成立时，a≤3恒成立，所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题是真命题．3.3
计算导数
一、选择题
1．下列结论正确的个数为( )
①y＝ln
2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；
④y＝log2x，则y′＝.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
2．曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标是( )
A.
B.或
C.
D.
解析：y′＝′＝－，
由－＝－4，解得x＝±.
所以P点的坐标为或，故选B.
答案：B
3．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标( )
A.
(0,0)
B.
(0,1)
C.
(1,0)
D.
以上都不是
解析：(x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案：A
4．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x( )
A.
在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快
B.
在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢
C.
在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快
D.
以上都不对
解析：函数的导数表示函数的增长速度，
由于f′(x)＝2x，g′(x)＝2.
若2x>2即x>1时f(x)增长速度比g(x)增长速度快，
若2x<2即x<1时f(x)比g(x)增长速度慢，
在x＝2时两者增长速度相同．
故选D.
答案：D
二、填空题
5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝__________.
解析：∵(10x)′＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.
答案：10ln10
6．曲线y＝x2的垂直于直线x＋y＋1＝0的切线方程为________．
解析：∵y′＝2x，直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，所以2x＝1，x＝，代入y＝x2得y＝，即与直线x＋y＋1＝0垂直的曲线y＝x2的切线的切点坐标为(，)，故所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案：4x－4y－1＝0
7．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg
xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为__________．
解析：在点(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)×1n＝n＋1，则在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.
∴an＝lg
.
∴a1＋a2＋…＋a99＝lg
＋lg
＋…＋lg
＝lg(××…×)＝lg
＝－2.
答案：－2
三、解答题
8．求抛物线y＝x2过点(，6)的切线方程．
解：设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0.
又∵此切线过点(，6)和点(x0，x)，∴＝2x0.
由此x0应满足x－5x0＋6＝0.解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)和(3,9)．
∴所求切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得4x－y－4＝0,
6x－y－9＝0.
9．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，试求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝lnx，∴y′＝，∴y′|x＝x0＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，
∴
把k＝代入①式得
y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.
∴k＝＝.第2章
圆锥曲线与方程习题课(3)
一、选择题
1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )
A.
(±1,0)
B.
(0，±1)
C.
(±，0)
D.
(0，±)
解析：本题考查椭圆的性质．由题意，椭圆的焦点在y轴上，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.
答案：D
2．[2017·唐山一中月考]若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
(，)
B.
(，＋∞)∪(－∞，)
C.
(，＋∞)
D.
(－∞，－)
解析：本题考查椭圆的范围．因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋>1，解得a>或a<，故选B.
答案：B
3．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，
又过点验证即可．
答案：D
4．若焦点在x轴上的椭圆的方程是＋＝1，则该椭圆焦距的取值范围是( )
A.
(0，)
B.
(0,6)
C.
(0,2)
D.
(0,12)
解析：本题考查椭圆的方程特征．由题意，c＝，故0答案：C
5．[2014·浙江名校联考]已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一动点，且P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设P(x0，y0)，则·＝－，化简得＋＝1，又P在椭圆上，所以＋＝1，所以a2＝2b2，故e＝.
答案：B
6．如右图所示，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A.
B．1－
C.－1
D.
解析：由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.
答案：A
二、填空题
7．[2014·河北省衡水中学月考]已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
解析：本题主要考查与椭圆有关的轨迹问题．
如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a>0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，∴c＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
答案：(x＋1)2＋y2＝16
8．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是__________，最小值是__________．
解析：设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，
因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴kmax＝4，kmin＝3.
答案：4 3
9．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为__________．
解析：由已知得∠AF1F2＝30°，故cos30°＝，从而e＝.
答案：
三、解答题
10．[2014·四川省绵阳中学月考]求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解：(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又e＝＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点可能在x轴上，也可能在y轴上
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
11．如右图，已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
解：依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.
∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵012.如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.
(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
解：∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，
即△BAP是等腰直角三角形，||＝||.
∵·＝9，
∴||||cos45°＝||2cos45°＝9，
∴||＝3.
(1)∵P(0,1)，
∴||＝1，||＝2，
即b＝2，且B(3,1)．
∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是0逻辑联结词“且”与“或”
一、选择题
1．如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有( )
A．q为真
B．q为假
C．p∨q为真
D．p∨q不一定为真
解析：∵p假，p∧q假，∴q可真可假，当q真时，p∨q为真；当q假时，p∨q为假．
答案：D
2．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A.
(0，－3)
B.
(1,2)
C.
(1，－1)
D.
(－1,1)
解析：点P(x，y)满足可验证各选项中，只有C正确．
答案：C
3．已知p：x2－1≥－1，q：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )
A．p为真命题，p∧q为假命题
B．p为假命题，q为假命题
C．q为假命题，p∨q为真命题
D．p∧q为假命题，p∨q为真命题
解析：∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q是真命题，∴A、C、D均对，B错，选B.
答案：B
4．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于(A∩B) A，(A∩B) (A∪B)，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
答案：D
二、填空题
5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是__________．
解析：x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
答案：[1,2)
6．命题“60是10与12的公倍数”是________的形式．
答案：p∧q
7．若p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a解析：因命题“p∧q”为真命题，所以p、q均为真命题，于是a>0，且a答案：0三、解答题
8．写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的；
(2)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边平行相等．
解：(1)“p∧q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
“p∨q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．
(2)“p∧q”：梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题．
“p∨q”：梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．
9．[2014·四川省绵阳中学期中考试]已知命题p：对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．
解：由于p∧q为真，则p真且q真．
当p为真时，即对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义．
即对任意x∈R，x2＋m>0恒成立，
即m>－x2恒成立，又－x2≤0，所以m>0.
当q为真时，函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，
所以有5－2m>1，解得m<2.
解不等式组得0所以实数m的取值范围是0函数的极值
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( )
A.
极大值点x＝－1
B.
极大值点x＝0
C.
极小值点x＝0
D.
极小值点x＝1
解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
答案：C
2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是( )
A.
有极小值
B.
有极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
无极值
解析：∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝，
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，∴函数无极值．
答案：D
3．函数f(x)＝－x3＋x取极小值时，x的值是( )
A．2
B．2，－1
C．－1
D．－3
解析：f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的图像如右图．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，
∴x＝－1时取极小值．
答案：C
4．[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A.
当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B.
当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C.
当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D.
当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
答案：C
二、填空题
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝__________.
解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，
且当x>1时，y′<0，
当－1≤x≤1时，y′≥0，
当x<－1时，y′<0，
故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1.
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，
∴bc＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，
∴ad＝bc＝2.
答案：2
7．已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是__________．
解析：
题号
正误
原因分析
①
?
由图像知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)递增
②
?
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数
③
?
f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点
④
?
f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值
答案：①④
三、解答题
8．[2013·重庆高考]设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.
9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，
所以(
)
(1)当a＝3时，由(
)式得
解得b＝－3，c＝12.
又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(
)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
解得a∈[1,9]．
即a的取值范围是[1,9]．1.2.2
充要条件
一、选择题
1．“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若x(y－2)＝0，则x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立，反之，
若x2＋(y－2)2＝0，则x＝0且y＝2，一定有x(y－2)＝0，
因此，“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A.
答案：A
2．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当m＝1时，y＝x1－4＋5＝x2，是二次函数；反之，若y＝xm2－4m＋5为二次函数，则m2－4m＋5＝2，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝1或m＝3，因此，“m＝1”是“y＝xm2－4m＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )
A．b≥0
B．b≤0
C．b>0
D．b<0
解析：由于函数y＝x2＋bx＋c的图像是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝－，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－≤0，即b≥0，故选A.
答案：A
4．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是( )
A．－1≤a<0
B．a>－1
C．a≥－1
D．－1≤a<0或a>0
解析：a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即
(x－1)2＝0，x＝1>0.
答案：C
二、填空题
5．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：x2－3x＋2<0 (x－1)(x－2)<0 1答案：16．设n∈N
，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
7．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)
解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．
答案：底面是平行四边形 两组相对侧面分别平行
三、解答题
8．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足 0综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．
于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，又{an}为等比数列，∴＝p，
故＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．1.2.1
充分条件与必要条件
一、选择题
1．若 p是 q的必要条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．非充分条件
D．非必要条件
解析： p是 q的必要条件，即 q p为真命题，故 q p的逆否命题p q也为真命题．
∴q是p的必要条件．
答案：B
2．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A.
“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.
“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.
“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.
“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：当a＝b时，ac＝bc，而当ac＝bc时，若c＝0，则a和b不一定相等．
答案：B
3．已知条件p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则 p是 q的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析： p：x2＋2x－3≤0，则－3≤x≤1；
q：5x－6≤x2，即x2－5x＋6≥0，
∴x≥3或x≤2.由小集合 大集合，
∴ p q，但 q p.故选A.
答案：A
4．一次函数y＝－x＋的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )
A.
m>0，n>0
B.
mn<0
C.
m<0，n<0
D.
mn>0
解析：一次函数y＝－x＋的图像同时经过第一、二、四象限，即得m>0，n>0.
由题意可得，m>0，n>0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.
答案：D
二、填空题
5．用“充分条件”和“必要条件”填空．
(1)“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的__________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__________．
解析：(1)xy＝1lgx＋lgy＝0(如x＝y＝－1)，
lgx＋lgy＝0 lg(xy)＝0 xy＝1.
(2)△ABC≌△A′B′C′ △ABC∽△A′B′C′，
△ABC∽△A′B′C′△ABC≌△A′B′C′.
答案：(1)必要条件 (2)充分条件
6．已知α、β是不同的两个平面，直线a α，直线b β，
p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．
解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．已知p：x2＋x－2>0，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是__________．
解析：将p，q分别视为集合A＝{x|x2＋x－2>0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|x>a}，已知q是p的充分不必要条件，即B?A，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a的取值范围为a≥1.
答案：a≥1
三、解答题
8．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
9．[2014·河南省郑州一中月考]已知p：关于x的不等式解：记A＝{x|B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)若A＝ ，即≥，求得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠ ，即<，求得m>0，
要使A?B，应有解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．1.3.2
全称命题与特称命题的否定
一、选择题
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．
所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．
答案：D
2．[2013·四川高考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则( )
A.
p： x∈A,2x B
B.
p： x A,2x B
C.
p： x A,2x∈B
D.
p： x∈A,2x B
解析：因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为 p： x∈A,2x B.故选D.
答案：D
3．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有理数是实数
B．有些平行四边形是菱形
C． x0∈R,2x0＋3＝0
D． x∈R，x2－2x>1
解析：根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.
答案：D
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2011”的否定是( )
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011
D．以上都不对
解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
答案：C
二、填空题
5．[2014·山东滨州二模]命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题主要考查全称命题的否定．本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
6．若关于x的函数y＝的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是__________．
解析：由题意知应满足的条件为x2＋x＋m≥0恒成立，只需Δ＝1－4m≤0，解得m≥.
答案：[，＋∞)
7．若命题p： x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对 x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．当a＋2＝0时，不符合题意；
故有解得a≥2.
答案：[2，＋∞)
三、解答题
8．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)每条直线在y轴上都有一个截距；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0；
(4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
解：(1)否定为：存在直线在y轴上没有截距．(真命题)．
因为与y轴平行的直线在y轴上没有截距，所以命题的否定为真命题．
(2)是全称命题， p：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以 p为假命题．
(3)是特称命题， p： x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以 p为假命题．
(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”， p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行， p为真命题．
9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m>－4，
使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．2.1.1
椭圆及其标准方程（1）
一、选择题
1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分且必要条件
D.
既不充分又不必要条件
解析：若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
3．[2014·西安交大附中月考]椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是( )
A.
(±3,0)
B.
(±，0)
C.
(±，0)
D.
(0，±)
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以所求焦点坐标为(0，±)．
答案：D
4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A.
(，)
B.
[，)
C.
(，)
D.
[，)
解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴8sinα>4，sinα>.
∵α为锐角，∴<α<.
答案：C
二、填空题
5．一个焦点坐标是(0,4)，过点B(1，)的椭圆的标准方程为__________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∴a2－b2＝16，①
又过点B(1，)，
∴＋＝1，②
∴由①②知，a2＝20，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．[2017·云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
7．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)并且焦距为6，则实数m的值为__________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当焦点在x轴上时，a2＝25，∴m＝16.
当焦点在y轴上时，b2＝25，∴m＝34.
答案：16或34
三、解答题
8．求经过点A(，－2)和点B(－2，1)的椭圆的标准方程．
解：法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
因为a故所求椭圆的方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
依题意有解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
9．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
解：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，又|CQ|＝4，
∴|CM|＋|MA|＝4.
又|AC|＝2，∴M点轨迹为椭圆．
由椭圆的定义知：a＝2，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求轨迹方程为：＋＝1.2.3.2
双曲线及其标准方程（2）
一、选择题
1．双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为( )
A．(－，0)
B．(－，0)
C．(－，0)
D．(－，0)
解析：双曲线标准方程为－y2＝1，
∴c2＝2＋1＝3.
∴左焦点坐标为(－，0)．
答案：D
2．[2014·四川宜宾一模]已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是( )
A.
B.
C.
D.
2
解析：由已知可得c＝，a＝1，∴b＝1.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
将y＝代入，可得点P的横坐标为x＝－.
∴点P到原点的距离为
＝.
答案：A
3．方程
－＝6化简的结果是( )
A.
－＝1
B.
－＝1
C.
－＝1(x≤－3)
D.
－＝1(x≥3)
解析：方程的几何意义是动点P(x，y)到定点(4,0)，(－4，0)的距离之差为6，由于6<8，所以动点的轨迹是双曲线的左支，由定义可得方程为－＝1，x≤－3.
答案：C
4．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C．x2－＝1
D.－y2＝1
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：D
二、填空题
5．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为__________．
解析：方程化为标准形式是－＝1，
所以－－＝9，即k＝－1.
答案：－1
6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
解析：如图所示，F(－4,0)，设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，点A(1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|－|PF′|＝2a＝4，而|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝4＋5＝9.
当且仅当A，P，F′三点共线时取等号．
答案：9
7．[2013·上海静安二模]已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为________．
解析：由题意知F1(－3,0)，设M(－3，y0)，代入双曲线方程求得|y0|＝，即|MF1|＝.又|F1F2|＝6，利用直角三角形性质及数形结合得F1到直线F2M的距离为d＝＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知点P为双曲线x2－＝1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|＝24，求△PF1F2的周长．
解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
又|PF1|·|PF2|＝24，所以|PF1|＋|PF2|＝＝10.
又因为|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10＋2.
9．已知双曲线－＝1的两焦点为F1、F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解：(1)如右图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，
m－n＝2a＝8，
①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，
②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|h，
∴h＝.
∴M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.3.1
变化的快慢与变化率
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A.
0.40
B.
0.41
C.
0.43
D.
0.44
解析：∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是( )
A.＝＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比，所以＝＝，故选A.
答案：A
3．已知函数f(x)＝2x2＋3的图像上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于( )
A．4＋2Δx
B．4＋(2Δx)2
C．4x
D．4
解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2＋3－(2×12＋3)＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx，故选A.
答案：A
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1C．k1＝k2
D．不确定
解析：由定义可知k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx，因为Δx可正、可负但不可为0，所以k1与k2大小不确定．故选D.
答案：D
二、填空题
5．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________(g＝10
m/s2)．
解析：Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
答案：30＋5Δt
6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如右图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为______．
解析：由平均速度的定义结合图像知>>.
答案：>>
7．[2014·济宁高二月考]若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．
解析：ΔV＝a3－1，∴＝＝a2＋a＋1＝21.
∴a2＋a－20＝0.
∴a＝4或a＝－5(舍)．
答案：4
三、解答题
8．已知f(x)＝x2－3x＋5，求函数f(x)从1到2的平均变化率．
解：Δx＝2－1＝1，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(2)－f(1)，
＝22－3×2＋5－(12－3×1＋5)＝0.
∴＝0.
∴函数f(x)从1到2的平均变化率为0.
9．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解：从出生到第3个月的时间变化量Δt＝3－0＝3，从出生到第3个月的体重变化量ΔW＝6.5－3.5＝3，则从出生到第3个月的体重的平均变化率＝＝1.
从第6个月到第12个月的时间变化量Δt＝12－6＝6，
从第6个月到第12个月的体重变化量ΔW＝11－8.6＝2.4，
则从第6个月到第12个月的体重平均变化率
＝＝0.4.2.2.3
抛物线的简单性质（2）
一、选择题
1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，选C.
答案：C
2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有( )
A．x3＝x1＋x2
B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0
D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
解析：联立则ax2－kx－b＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－.
则－＝·，
即x1x2＝(x1＋x2)x3，选项B正确．
答案：B
3．设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为( )
A.
B．p
C．2p
D．无法确定
解析：由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，为2p.
答案：C
4．[2013·大纲全国卷]已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A.
B.
C.
D.
2
解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识．由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(
)，将上面各个量代入(
)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.
答案：D
二、填空题
5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________．
解析：由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把A，B代入抛物线方程得
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
又y1＋y2＝4，
∴＝＝1.
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
答案：y＝x
6．若直线y＝2x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________．
解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得整理得4x2－16x＋9＝0，由根与系数之间的关系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)－6＝2，所以线段AB的中点坐标为(2,1)．
答案：(2,1)
7．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为__________．
解析：由得x2－2x－2b＝0，设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，
由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，
故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．
答案：2
三、解答题
8．若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
证明：由消去y，
得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
9．已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.
(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得＝，
①
c＝1，
②
∴a＝2，c＝1，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)①若直线l的斜率不存在，
则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，
∴|AB|＝4.
又∵△MF1F2的周长等于
|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|.
∴直线l的斜率必存在．
②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，
由得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，
∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4
＝16k2＋16>0，且k≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则可得x1＋x2＝，x1x2＝1.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝，
∵△MF1F2的周长等于
|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，
∴由＝6，解得k＝±.
故所求直线l的方程为y＝±(x－1)．第1章
常用逻辑用语习题课(1)
一、选择题
1．[2017·云南师大附中阶段检测]下列命题中是假命题的是( )
A.
a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B.
若|a|＝|b|，则a＝b
C.
若ac2>bc2，则a>b
D.
若α＝60°，则cosα＝
解析：本题考查命题真假性的判断．因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，方向不一定相同，所以a＝b不一定成立，故选B.
答案：B
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析：将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题，则原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
答案：B
3．与命题“若m∈M，则n M”等价的命题是( )
A．若m∈M，则n∈M
B．若n M，则m∈M
C．若m M，则n∈M
D．若n∈M，则m M
解析：原命题与其逆否命题等价，故选D.
答案：D
4．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A.
丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.
丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.
丙是甲的充要条件
D.
丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：∵甲是乙的必要条件，
∴乙 甲．
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙 乙，但乙不能推出丙．
综上有丙 乙 甲，但乙不能推出丙，故有丙 甲，但甲不能推出丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要的条件是( )
A．a>b＋1
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a3>b3
解析：a>b＋1 a>b，a>ba>b＋1.
答案：A
6．设p：≤1,
q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是( )
A.
[0，]
B.
(0，)
C.
(－∞，0]∪[，＋∞)
D.
(－∞，0)∪(，＋∞)
解析：由p，得A＝{x|≤x≤1}．
由q，得A＝{x|a≤x≤a＋1}．
又q是p的必要而不充分条件，则A B，
∴
∴0≤a≤.
答案：A
二、填空题
7．命题“若a解析：命题“若a答案：若a≥b，则2a≥2b 若a8．命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是________(填“真”或“假”)命题．
解析：原命题的逆命题是真命题，所以原命题的否命题是真命题．
答案：真
9．“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的__________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)即为f(x)＝x2，为偶函数；若f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝(－x)2＋a(－x)＝x2－ax＝f(x)＝x2＋ax，则2ax＝0(x∈R)，解得a＝0.
综上知，“a＝0”是“函数f(x)＝x2＋ax(x∈R)为偶函数”的充要条件．
答案：充要
三、解答题
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)在同一个三角形中大角所对的边大于小角所对的边；
(2)当x2－2x＋1＝0时，x＝1.
解：(1)在同一个三角形中，若一条边是大角所对的边，则它大于小角所对的边，真命题．
(2)若x2－2x＋1＝0，则x＝1，真命题．
11．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中，p：sinA>sinB，q：tanA>tanB.
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)·(y－2)＝0.
解：(1)在△ABC中，
显然有∠A>∠B BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为x＝2且y＝6 x＋y＝8，即 q p，
但 p q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，pq，
又取∠A＝30°，∠B＝120°，qp，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A?B，所以p是q的充分不必要条件．
12．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(2)求a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解：M＝{x|x<－3或x>5}，
P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．
(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5(2)当M∩P＝{x|5逻辑联结词“非”
一、选择题
1．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断中，错误的是( )
A．p∨q为真， q为真
B．p∧q为假， p为真
C．p∧q为假， q为假
D．p∧q为假，p∨q为真
解析：由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q为真，p∧q为假， p真， q假，由此可知，A不正确，故选A.
答案：A
2．[2014·北京四中月考]若( p)∨q是假命题，则( )
A.
p∧q是假命题
B.
p∨q是假命题
C.
p是假命题
D.
q是假命题
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假性判断．由于( p)∨q是假命题，则 p与q均是假命题，所以p是真命题， q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，故选A.
答案：A
3．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨( q)”表示( )
A.
甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B.
甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C.
甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D.
甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的意义以及在生活中的应用． q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨( q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.
答案：B
4．已知全集U＝R，A U，B U，若命题p：a∈(A∩B)，则命题“ p”是( )
A．a∈A
B．a∈ UB
C．a∈(A∪B)
D．a∈( UA)∪( UB)
解析：∵p：a∈(A∩B)，
∴ p：a (A∩B)，即a∈ U(A∩B)．
而 U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，故选D.
答案：D
二、填空题
5．[2014·江西省临川一中月考]“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________，否命题是________．
解析：本题主要考查命题的否定与其否命题的区别．命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
答案：末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
6．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2} {1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p∨q为真；②p∨q为假；③p∧q为真；④p∧q为假；⑤ p为真；⑥ q为假．其中判断正确的序号是__________．(填上你认为正确的所有序号)
解析：由已知得p为假命题，q为真命题，所以可判断①④⑤⑥为真命题．
答案：①④⑤⑥
7．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若 p是假命题，则a的取值范围是__________．
解析： p是假命题，则p是真命题，因此问题就是求p真时a的取值范围．
要使函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上单调递减，只需对称轴1－a≥4，∴a≤－3.
答案：(－∞，－3]
三、解答题
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和 q都是假命题，求x的值．
解：由x2－x≥6得x2－x－6≥0，解之得x≥3或x≤－2，
即p：x≤－2或x≥3，q：x∈Z，
若 q假，则q真，又p∧q假，则p假．
当p假，q真时，有－2且x∈Z，∴x＝－1,0,1,2.
9．已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p且q为假， p为假，求m的取值范围．
解：p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1∵p且q为假， p为假．
∴p为真，q为假，
即解得m≥3，
∴m的取值范围为[3，＋∞)．第2章
圆锥曲线与方程习题课(5)
一、选择题
1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．
答案：D
2．方程x＝所表示的曲线是( )
A．双曲线
B．椭圆
C．双曲线的一部分
D．椭圆的一部分
解析：依题意：x≥0，方程可化为：3y2－x2＝1，所以方程表示双曲线的一部分．故选C.
答案：C
3．[2017·安徽省合肥一中月考]若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是( )
A.
－3
B.
C.
3
D.
－
解析：本题主要考查双曲线的简单性质．双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－，故选D.
答案：D
4．[2014·广东实验中学期末考试]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
2
D.
或2
解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线－＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则可知＝或＝，那么可知双曲线的离心率为e＝，所以结果为2或，故选D.
答案：D
5．[2014·课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A.
B.
m
C.
3
D.
3m
解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.
答案：A
6.
[2014·湖北高考]已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.
B.
C.
3
D.
2
解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF1F2中，4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos a2＋3m2＝4c2 ()2＋3()2＝4，则[()2＋3()2](1＋)≥(＋)2 ＋＝＋≤，当且仅当a＝3m时，等号成立，故选A.
答案：A
二、填空题
7．[2013·陕西高考]双曲线－＝1的离心率为__________．
解析：本题主要考查双曲线的离心率的求法．由已知得a2＝16，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝25，∴e2＝＝，e＝.
答案：
8．[2014·山西四校联考]已知双曲线－＝1(b>0)，过其右焦点F作圆x2＋y2＝9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED＝150°，则双曲线的离心率为________．
解析：由题可得三角形OCE为等腰三角形，且底角为75°，所以顶角∠COE＝30°，在直角三角形OCF中，|OC|＝3，易知|OF|＝2，即c＝2，所以离心率e＝＝.
答案：
9．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中命题正确的序号为__________．
解析：由解得14，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.
答案：③④
三、解答题
10．求适合下列条件的双曲线标准方程．
(1)虚轴长为16，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线－y2＝1有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
解：(1)由题意知b＝8，且为等轴双曲线，
∴双曲线标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6 λ＝，
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的方程为－＝1和－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，
将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
∵(4，－)在双曲线上，
∴n＝42－(－)2＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)∵M(3，m)在双曲线上，则M(3，±)，
即m＝±，
∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.
∴·＝0.
12．[2014·四川成都六校协作体期中考试]求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．
证明：设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，可得点P到bx＋ay＝0的距离d1＝，
点P到bx－ay＝0的距离
d2＝.
∴d1d2＝·＝.
又P在双曲线上，∴－＝1，
即b2x－a2y＝a2b2，∴d1d2＝.
故P到两条渐近线的距离之积为定值．2.2.1
抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A.
B.
C．|a|
D．－
解析：因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.
答案：B
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12
解析：由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
答案：B
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是( )
A．a＋
B．a－
C．a＋p
D．a－p
解析：由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.
答案：B
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
解析：法一：∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1 ①，y＝2px2 ②，两式相减得：y－y＝2p(x1－x2)，化简为＝，∵kAB＝1且AB中点纵坐标为2，∴1＝，∴p＝2，∴准线方程为x＝－1.
答案：B
二、填空题
5．[2013·北京高考]若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
解析：本题主要考查对抛物线标准方程的理解和应用．因为抛物线y2＝2px的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－，抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p＝2，准线方程为x＝－1.
答案：2 x＝－1
6．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．
解析：OA的垂直平分线方程为
y＝－2x＋，
令y＝0，得x＝，
∴焦点F的坐标为(，0)．
∴抛物线方程为y2＝5x，其准线方程为x＝－.
答案：x＝－
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是__________．(要求填写合适条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为(，0)，过该焦点的直线方程为y＝k(x－)，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
三、解答题
8．[2014·福建省厦门一中期中考试]已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：
动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
9．一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若AB宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立直角坐标系，如右图，
设抛物线方程为
x2＝－2py(p>0)，
则点B的坐标为(，－)．
由于点B在抛物线上，
所以()2＝－2p·(－)，p＝.
所以抛物线方程为x2＝－ay.
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，
得y＝－.
所以点E到拱底AB的距离为
－|y|＝－>3.
解得a>12.21.
因为a取整数，
所以a的最小整数值为13.1.3.1
全称量词与全称命题、存在量词与特称命题
一、选择题
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案：B
2．[2014·湖南师大附中月考]命题“ x∈R，x2>3”不可以表述为( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
解析：本题主要考查特称命题．“ ”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C.
答案：C
3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是( )
A．a<1
B．a≤1
C．－1D．－1解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使
ax＋2x0＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
答案：A
4．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4>0；② x∈{1，－1，0},2x＋1>0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，这是全称命题，由于
Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，0∴即∴
∴1答案：(－，－1)∪(1，)
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
① x∈R，f(x)≤f(x0)；
② x∈R，f(x)≥f(x0)；
③ x∈R，f(x)≤f(x0)；
④ x∈R，f(x)≥f(x0)．
解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图像的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：③
三、解答题
8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)所有的对数函数都是单调函数；
(2)对某些实数x，有2x＋1>0；
(3) x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(4) x0∈Q，x＝3.
解：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，且是真命题．
(2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题．
(3)命题中含有全称量词的符号“ ”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22都是偶数，因此，该命题是真命题．
(4)命题中含有存在量词的符号“ ”，因此是特称命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
9．若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
解：法一：由题意， x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．
又f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴ x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
因为f(x)的最小值f(x)min≥a，
∴或 －1≤a≤1或－3≤a<－1，得a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0成立．
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．3.2.2
导数的几何意义
一、选择题
1．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝( )
A.
0
B.
－3x
C.
3
D.
－3
解析：f′(x)＝
＝
＝
(－3)＝－3.
答案：D
2．已知函数y＝f(x)的图像如右图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图像易知，点A、B处的切线斜率kA、kB满足kA答案：B
3．已知曲线y＝－x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
解析：∵点P(1，－)在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，则过点P的切线斜率为f′(1)＝k＝－1.
∴点P的切线的倾斜角为135°.
答案：C
4．李华在参加一次同学聚会时，用如下图左所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由于圆口杯是“下细上粗”，则开始阶段高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B符合．
答案：B
二、填空题
5．曲线f(x)＝x2在x＝0处的切线方程为__________．
解析：f′(0)＝
＝Δx＝0，又切线过点(0,0)，故切线方程为y＝0.
答案：y＝0
6．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝____________________________________________________________.
解析：由题意，f′(4)＝－2.
f(4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7．曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝__________.
解析：因为f′(a)＝
＝3a2，所以曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．令y＝0，得切线与x轴的交点为(a,0)，由题设知三角形面积为|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.
答案：±1
三、解答题
8．利用定义求函数f(x)＝x3＋x－2的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(－1)，f′(1)．
解：由导数的定义，得
f′(x)＝
＝
＝
[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx＋1]＝3x2＋1，
∴f′(x)＝3x2＋1，则f′(－1)＝4，f′(1)＝4.
9．已知曲线y＝上点P(2，－1)．
求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
解：将P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
∴y＝.
∴y′＝
＝
＝
＝
＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为
y′|x＝2＝＝1；
(2)曲线在点P处的切线方程为
y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0.第1章
常用逻辑用语习题课(2)
一、选择题
1．命题p：3>2与命题 p：3≤2中( )
A．都是真命题
B．都是假命题
C．p是假命题
D． p是假命题
解析：命题p与命题 p一真一假由题意可知p真， p假．
答案：D
2．[2013·湖北高考]命题“ x0∈ RQ，x∈Q”的否定是( )
A.
x0 RQ，x∈Q
B.
x0∈ RQ，x Q
C.
x RQ，x3∈Q
D.
x∈ RQ，x3 Q
解析： x∈ RQ，x3 Q，故选D.
答案：D
3．下列结论中不正确的是( )
A．如果命题p∨q是真命题，那么命题p不一定是真命题
B．如果命题p∧q是真命题，那么命题p一定是真命题
C．如果命题p∧q是假命题，那么命题p不一定是假命题
D．如果命题p∨q是假命题，那么命题p不一定是假命题
解析：若p∨q是真命题，则p不一定是真命题，A正确；若p∧q是真命题，则p与q都是真命题，B正确；若p∧q是假命题，命题p不一定是假命题，因为q是假命题时也成立，C正确；若p∨q是假命题，则命题p与q均为假命题，D不正确．
答案：D
4．下列语句不是特称命题的是( )
A．有的无理数的平方是有理数
B．有的无理数的平方不是有理数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．存在x∈R,2x＋1是奇数
解析：A、B、D含有存在量词是特称命题，C中含有全称量词是全称命题．
答案：C
5．[2016·华中师大一附中月考]命题p：函数y＝lg(x2＋2x－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(x2＋2x－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝( )
A．
B．{x|x<－1}
C．{x|x≥－1}
D．R
解析：本题考查命题为真命题的条件及集合交集的运算．命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，求得c<－1，即A＝{x|x<－1}；令f(x)＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f(x)的值域为(0，＋∞)，即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{x|x≥－1}．于是A∩B＝ ，故选A.
答案：A
6．[2014·课标全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1： (x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2： (x，y)∈D，x＋2y≥2，p3： (x，y)∈D，x＋2y≤3，p4： (x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A.
p2，p3
B.
p1，p4
C.
p1，p2
D.
p1，p3
解析：
画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
答案：C
二、填空题
7．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为__________．
解析：方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．
答案：方向相同或相反的两个向量共线
8．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
9．[2014·江苏省金陵中学月考]若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：本题主要考查特称命题的真假及参数取值范围的求解．该命题p的否定是 p：“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1>0的解集为R，由于命题p是假命题，所以 p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1答案：(－1,3)
三、解答题
10．写出下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”以及“ p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：是有理数；q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)．
解：(1)p∨q：是有理数或是整数；
p∧q：是有理数且是整数；
p：不是有理数．
因为p假，q假，所以p∨q为假，p∧q为假， p为真．
(2)p∨q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；
p∧q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；
p：不等式x2－2x－3>0的解集不是(－∞，－1)．
因为p假，q假，所以p∨q为假，p∧q为假， p为真．
11．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图像是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图像；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图像不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图像．它是真命题．
(3) x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
12．已知命题p： m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q： x，使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题， q是真命题，求a的取值范围．
解：根据p或q是真命题， q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
因为 m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，
所以a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q： x，使不等式x2＋ax＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为－2≤a≤－1.3.2.1
导数的概念
一、选择题
1．在f′(x0)＝
中，Δx不可能( )
A.
大于0
B.
小于0
C.
等于0
D.
大于0或小于0
解析：由导数定义知Δx只是无限趋近于0，故选C.
答案：C
2．设f(x)在x＝x0处可导，则
等于( )
A．－f′(x0)
B．f′(－x0)
C．f′(x0)
D．2f′(x0)
解析：
＝－
＝－
＝－f′(x0)．
答案：A
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A.
f′(x0)＝－a
B.
f′(x0)＝－b
C.
f′(x0)＝a
D.
f′(x0)＝b
解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，
∴＝a＋bΔx.
∴
＝
(a＋bΔx)．
∴f′(x0)＝a.
故选C.
答案：C
4．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0
B．－at0
C.at0
D．2at0
解析：∵＝＝aΔt＋at0，
∴
＝at0.
答案：A
二、填空题
5．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为__________．
解析：由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
答案：1
6．已知f(x)＝，则
＝________.
解析：令x－a＝Δx，则x＝a＋Δx，
＝
＝
＝
＝－.
答案：－
7．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则f(m)＝________.
解析：∵f(x)＝，
∴f′(m)＝
＝
＝
＝－.
又f′(m)＝－，∴－＝－.
∴m＝±4.∴f(m)＝＝±.
答案：±
三、解答题
8．已知函数f(x)＝，求f′(1)·f′(－1)的值．
解：当x＝1时，＝
＝＝.
由导数的定义，得f′(1)＝
＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝
(Δx－2)＝－2.
所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
9．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝
s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解：令t0＝，Δt为增量．
则
＝
＝
＝－4.9(＋Δt)＋6.5.
∴
＝[－4.9(＋Δt)＋6.5]＝0，
即运动员在t0＝
s时的瞬时速度为0
m/s.
说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．2.3.3
双曲线的简单性质（1）
一、选择题
1．[2013·福建高考]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.
B.
C.
1
D.
解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为，故选B.
答案：B
2．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是( )
A.
－y2＝－1
B.
x2－＝1
C.
－y2＝1
D.
x2－＝－1
解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ>0)，即－＝1,22＝λ＋＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x2－＝－1，故选D.
答案：D
3．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是( )
A.
B．2
C.或
D.或
解析：若双曲线焦点在x轴上，∴＝.
∴e＝＝＝＝.
若双曲线的焦点在y轴上，
∴＝，＝.
∴e＝＝＝＝.
答案：C
4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A.
B.
C．2
D．3
解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.
∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.
答案：B
二、填空题
5．[2014·北京高考]设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
解析：∵与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线方程为－x2＝k，将点(2,2)代入，得k＝－3，∴双曲线C的方程为－＝1，其渐近线方程为－＝0，即y＝±2x.
答案：－＝1 y＝±2x
6．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2.
答案：2
7．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
解析：设椭圆C1的方程为＋＝1(a1>b1>0)，
由已知得∴
∴焦距为2c1＝10.
又∵8<10，∴曲线C2是双曲线．设其方程为
－＝1(a2>0，b2>0)，
则a2＝4，c2＝5，∴b＝52－42＝32，
∴曲线C2的方程为－＝1.
答案：－＝1
三、解答题
8．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；
(2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)．
解：(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为－＝1，∴a＝6.
又∵e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.
故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)解：法一：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，
令x＝－3，y＝±4，因2<4，故点(－3,2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴负半轴之间
∴双曲线焦点在x轴上．
设双曲线方程为－＝1，(a>0，b>0)，则
解之得
∴双曲线方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
∴－＝λ.
∴λ＝，∴双曲线方程为－＝1.
9．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
解：设直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离
d1＝，点(－1,0)到直线l的距离
d2＝.
∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
∵e＝，∴5≥2e2，
∴25(e2－1)≥4e4，
即4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5(e>1)．
∴≤e≤，
即e的取值范围为[，]．2.1.3
椭圆的简单性质（1）
一、选择题
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A.
(－1,0)，(1,0)
B.
(－6,0)，(6,0)
C.
(－，0)，(，0)
D.
(0，－)，(0，)
解析：方程化为标准形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，∴a＝.∴长轴的端点坐标为(0，±)，故选D.
答案：D
2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
解析：由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上，前者焦距2c＝2＝8，
后者焦距2c＝2＝8.
答案：D
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：由2a＝12，＝，解得a＝6，c＝2，
∴b2＝62－22＝32.
∵焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：D
4．[2014·山东省济南一中月考]已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A、B和C、D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )
A.
2
B.
4
C.
4
D.
8
解析：本题考查椭圆定义的应用．如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1为平行四边形，
∴|AF1|＝|FD|，同理|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
答案：D
二、填空题
5．若椭圆的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e＝，则其标准方程为__________．
解析：依题意，得a＝2，e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆的标准方程为：＋x2＝1.
答案：＋x2＝1
6．已知点P(3,4)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则以P为顶点的椭圆的内接矩形PABC的面积是________．
解析：由对称性知矩形PABC的长与宽分别为6,8，故S＝48.
答案：48
7．[2014·江苏省南京师大附中月考]过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为_______．
解析：本题主要考查椭圆的离心率．由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.
设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝x，又|F1F2|＝2c，所以x＝.即|PF1|＝，|PF2|＝.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以＋＝2a，即e＝＝.
答案：
三、解答题
8．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．
(2)离心率e＝，焦距为12.
解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为
＋＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为
＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
9．如右图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2 (c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B(，－)．
将B点坐标代入＋＝1，
得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3c2.
①
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝
b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.
②
由①，②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.4.2.1
实际问题中导数的意义
一、选择题
1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为( )
A.
5分米
B.
6分米
C.
7分米
D.
8分米
解析：设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝8时S最小．
答案：D
2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元
B．60元
C．28000元
D．23000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11700P－166000，
所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.
令L′(P)＝0，解得P＝30，或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．
答案：D
3．[2013·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( )
A.
d，d
B.
d，d
C.
d，d
D.
d，d
解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，
由题意知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0令f(x)＝x(d2－x2)(0解得x＝d或x＝－d(舍去)．
当00；
当d因此，当x＝d时，f(x)取得极大值，也是最大值．
综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大．
答案：C
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：如右图，设底面边长为x(x>0)
则底面面积S＝x2，
∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2.
S′表＝x－，令S′表＝0，x＝.
∵S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
答案：C
二、填空题
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
6．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知502×100＝k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1200(x>0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
答案：25
7．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
解析：设每次进书x千册(0y′＝－＋20＝.
∴当0当150.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10 15000
三、解答题
8．[2013·山东聊城三模]一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20
km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100
km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解：设火车的速度为x
km/h，甲、乙两城距离为a
km.
由题意，令40＝k·203，∴k＝，
则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a(kx2＋)．
∴f(x)＝a(x2＋)(0由f′(x)＝＝0，得x＝20.
当00.
∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20
km/h时，总费用最少．
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．1.1
命题（2）
一、选择题
1．[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A.
“若xB.
“若x>y，则x2>y2”
C.
“若x≤y，则x2≤y2”
D.
“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：C
2．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
答案：A
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：命题“若p，则q”的否命题为“若 p，则 q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.
答案：B
4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析：原命题和它的逆否命题为真命题．
答案：C
二、填空题
5．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
解析：将条件、结论分别否定即可．
答案：若x≤y，则x3≤y3－1
6．[2014·江西省临川一中月考]命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．
答案：真
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1则m－1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
三、解答题
8．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数a的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
解：(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)垂直于同一个平面的两直线平行．
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；真命题．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；真命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．第3章
变化率与导数习题课(6)
一、选择题
1．函数y＝f(x)＝在x＝2和x＝3处的导数的大小关系是( )
A.
f′(2)B.
f′(2)>f′(3)
C.
f′(2)＝f′(3)
D.
大小关系不确定
解析：∵()′＝－，∴y′x＝2＝－＝－，
即f′(2)＝－，y′x＝3＝－＝－，
即f′(3)＝－.
∵－<－，
∴f′(2)答案：A
2．过曲线y＝上的点(4,2)的切线方程是( )
A.
x＋4y＋4＝0
B.
x－4y－4＝0
C.
x－4y＋4＝0
D.
x＋4y－4＝0
解析：∵y′＝()′＝，
∴y′x＝4＝＝.
∴切线的斜率k＝.
∴所求的切线方程为y－2＝(x－4)，
即x－4y＋4＝0.故选C.
答案：C
3．曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A．45°
B．60°
C．135°
D．120°
解析：y′＝－，∴f′(3)＝－＝－1，∴切线的倾斜角为135°，故选C.
答案：C
4．[2017·大纲全国卷]曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A.
2e
B.
e
C.
2
D.
1
解析：由题意可得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C.
答案：C
5．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A.
1
B.
C.
－
D.
－1
解析：y′＝2ax，k＝y′|x＝1＝2a＝2，即a＝1.故选A.
答案：A
6．已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足＝[f(x)＋2f′(1)]－ln(x＋1)，则f′(1)值为( )
A．0
B．ln2
C.
D．2
解析：由于A、B、C三点共线，于是有f(x)＋2f′(1)－ln(x＋1)＝1，
即f(x)＝ln(x＋1)－2f′(1)＋1，则f′(x)＝.于是f′(1)＝，选C.
答案：C
二、填空题
7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
答案：1
8．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由f(x)在点M(1，f(1))处的切线是y＝x＋2，得f(1)＝＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N
，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2011＝__________.
解析：∵f1′(x)＝cosx－sinx，
∴f2(x)＝cosx－sinx，f2′(x)＝－sinx－cosx.
∴f3(x)＝－sinx－cosx，f3′(x)＝－cosx＋sinx.
∴f4(x)＝－cosx＋sinx，f4′(x)＝sinx＋cosx.
∴f5(x)＝sinx＋cosx.∴f5(x)＝f1(x)．
不难得出fn(x)＝fn＋4(x)，
∴f1＋f2＋…＋f2011
＝f1＋f2＋…＋f2011＋f2012－f2012
＝503－f2012
＝503
－f4
＝－＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．(1)求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程；
(2)运动曲线方程为s＝＋2t2，求t＝3时的瞬时速度．
解：(1)y′＝＝，
y′|x＝1＝＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0，因此曲线y＝在(1,1)处的切线方程为y＝1.
(2)s′＝′＋(2t2)′＝＋4t＝－＋＋4t，
s′|t＝3＝－＋＋12＝11.
11．路灯距地平面为8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.
解：设路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB.
设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t秒，AB为人影长度，设为y，
则∵BE∥CD，∴＝.∴＝.
又84
m/min＝1.4
m/s，∴y＝x＝t(x＝1.4t)．
∴y′t＝.∴v＝
m/s.
∴人影长度的变化速率为
m/s.
12．已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同．
(1)若a＝1，求b的值；
(2)试写出b关于a的函数关系式．
解：(1)y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)．
∴
由x0＋2＝，得x0＝1或x0＝－3(舍去)．
所以b＝.
(2)y＝f(x)(x>0)，y＝g(x)(x>0)
在公共点(x0，y0)处的切线相同，
且f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
所以f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即
解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
∴b＝a2－3a2lna(a>0)．2.3.4
双曲线的简单性质（2）
一、选择题
1.
[2012·山东高考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.
＋＝1
B.
＋＝1
C.
＋＝1
D.
＋＝1
解析：由题知双曲线的渐近线为y＝±x，它与椭圆的四个交点是对称的，以这四个交点为顶点的四边形是正方形，其面积为16，可知点(2,2)在椭圆C上，即满足＋＝1
又∵e＝＝故而b2＝5，a2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：D
2.
设F1，F2是双曲线－y2＝1的左，右焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为( )
A.
0
B.
1
C.
D.
2
解析：不妨设P在第一象限，
·2c·yP＝1，
∴yP＝，
∴P(，)，
∴＝(－－，－)，
＝(－，－)，
∴·＝0，故选A.
答案：A
3.
[2014·广东高考]若实数k满足0A.
离心率相等
B.
虚半轴长相等
C.
实半轴长相等
D.
焦距相等
解析：由0答案：D
4.
如右图，已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则双曲线的离心率e的范围是( )
A.
(1＋，＋∞)
B.
(1,1＋)
C.
(1，)
D.
(，2)
解析：令x＝－c，可求得点B的纵坐标为，由双曲线的对称性可知△ABF2为等腰三角形，∴△ABF2是锐角三角形 ∠BF2A为锐角 ∠BF2F1<45° tan∠BF2F1<1 <1，即b2<2ac，∴c2－2ac－a2<0，即e2－2e－1<0，解之得1答案：B
二、填空题
5.
椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1(a>b>0)被称为一对“情侣”曲线，设C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e＋e＝________.
解析：∵a>b>0，∴e＝，e＝，
∴e＋e＝2.
答案：2
6.
设点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1|
＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．
解析：∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝a，
又∵|PF2|≥c－a，
∴a≥c－a，则e＝≤，
又e>1，∴1答案：(1，]
7.
P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是双曲线的焦点，其离心率e＝，且∠F1PF2＝90°，若△F1PF2的面积为9，则a＋b＝________.
解析：e＝＝，设a＝4k，c＝5k(k>0)，则b＝3k，由题意得，|PF1|2＋|PF2|2＝100k2 ①，|PF1||PF2|＝9 ②，(|PF1|－|PF2|)2＝64k2 ③，由①②③得100k2－36＝64k2，解得k＝1，∴a＋b＝7k＝7.
答案：7
三、解答题
8.
已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1,0)，点P在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.若直线AP的斜率为k，且|k|∈[，]，求实数m的取值范围．
解：如图，由条件得直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
因为点M到直线AP的距离为1，即＝1，
∴|m－1|＝＝.
∵|k|∈[，]，∴≤|m－1|≤2，
解得＋1≤m≤3或－1≤m≤1－，
∴实数m的取值范围是[－1,1－]∪[1＋，3]．
9.
“神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A处发现P的方位角．
解：因为|PC|＝|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上，又因为|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，以线段AB的中点为坐标
原点，AB所在直线为x轴，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
所以双曲线方程为－＝1(x>0)，BC的垂直平分线方程为x－y＋7＝0.联立两方程解得x＝8，y＝5，
所以P(8,5)，kPA＝tan∠PAx＝，所以∠PAx＝60°，所以P点在A点的北偏东30°方向．