3.2
导数的概念及其几何意义
3.3
计算导数（1）
学习目标：1、认清平均变化率与瞬时变化率的区别和联系。
2、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
3、掌握在物理学中，瞬时变化率的应用：瞬时速度和瞬时加速度。
重点、难点：理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
例2、设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设秒时的速度为，求秒时轿车的加速度。
例3、物体作直线运动的方程为
求物体在2秒到4秒时的平均速度；
求物体在2秒时的瞬时速度；
求物体在秒时的瞬时速度。
练习反馈
1、一质点的运动方程为（位移单位：米，时间单位：秒）试求该质点在秒的瞬时速度。
2、自由落体运动的位移与时间的关系为（为常数）
求秒时的瞬时速度。
分别求、、2秒时的瞬时速度。
瞬时变化
关系
直径
面积
瞵时变化率:3.1
变化的快慢与变化率
学习目标：1、通过大量实例，了解平均变化率的计算，并能掌握求一个函数在某一区间内的平均变化率。
2、理解平均变化率的几何意义。
重点、难点：平均变化率的几何意义。
自主学习
例2水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，秒后容器甲中的水的体积（单位），计算第一个内的平均变化率。
例3已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：
（1）
（2）
（3）
（4）
例4已知函数，分别计算在区间，上及的平均变化率。
练习反馈
1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
2、国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（其中，分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果。
中
3、已知f(x)=3x+1,求f(x)在区间[a,b]上的平均变化率:
b=2(
b=-0.9
4、求经过函数y=x图像上两点A,B的直线的斜率:
3)
0.9993.1
变化的快慢与变化率
学习目标 1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.
知识点一 函数的平均变化率
观察图形，回答下列问题：
思考1 函数f(x)在区间[x1，x2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？
答案 (1)y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然.
思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
答案 (1)自变量的增量：用Δx表示，即Δx＝x2－x1，表示自变量相对于x1的“增加量”.
(2)函数值的增量：用Δy表示，即Δy＝f(x2)－f(x1)，也表示为f(x1＋Δx)－f(x1)，表示函数值在x1的“增加量”.
(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0.
梳理 平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)图像上的两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率.
知识点二 瞬时变化率
思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？
答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.
思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.
梳理 要求物体在t0时刻的瞬时速度，设运动方程为s＝s(t)，可先求物体在(t0，t0＋Δt)内的平均速度＝，然后Δt趋于0，得到物体在t0时刻的瞬时速度.
类型一 函数的平均变化率
命题角度1 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1反思与感悟 求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝
.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为
；函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为
.
答案 (1)Δx (2)
解析 (1)＝
＝
＝Δx.
(2)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为
＝＝.
由函数f(x)的图像知，f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为
＝＝.
命题角度2 平均变化率的几何意义
例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1，0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值.
解 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率.
∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，
∴割线PQ的斜率k＝＝1＋Δx.
又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.
反思与感悟 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y＝f(x)图像上两点P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))连线P1P2的斜率，即＝＝.
跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A.v甲>v乙
B.v甲C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
(2)过曲线y＝f(x)＝图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作割线，则当Δx＝0.5时割线的斜率为
.
答案 (1)B (2)
解析 (1)设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.
因为kAC(2)当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，
故－2＋Δy＝＝－，故kPQ＝＝.
类型二 求函数的瞬时变化率
例3 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度.
解 因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤
①求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
②求平均速度v＝；
③当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度.
(2)求当Δx无限趋近于0时的值
①在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算；
②求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可.
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
当Δt趋于0时，趋于4a，∴4a＝8，得a＝2.
1.已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( )
A.在x0处的变化率
B.在区间[x0，x1]上的平均变化率
C.在x1处的变化率
D.以上结论都不对
答案 B
解析 ＝，由平均变化率的定义可知，故选B.
2.一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A.0.4
B.2
C.0.3
D.0.2
答案 B
解析 ＝＝2.
3.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( )
A.t＝1
B.t＝2
C.t＝3
D.t＝4
答案 B
解析 设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，
＝＝－8t0＋16－4Δt，
当Δt趋于0时，趋于－8t0＋16，
令－8t0＋16＝0，解得t0＝2.
4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为
.
答案
解析 ∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴球的体积平均膨胀率为＝.
5.设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1，2，3附近Δx取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小.
解 函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为
k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；
当x0＝2，Δx＝时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为
k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为
k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k11.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢.
2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.
40分钟课时作业
一、选择题
1.已知函数y＝f(x)＝sin
x，当x从变到时，函数值的改变量Δy等于( )
A.－
B.
C.
D.
答案 B
解析 Δy＝f()－f()＝sin
－sin
＝.
2.一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A.－3
B.3
C.6
D.－6
答案 D
解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt趋于0时，－3Δt－6趋于－6，故该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
3.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
答案 B
解析 依题意可知Δy＝yB－yA＝1－3＝－2，
Δx＝xB－xA＝3－1＝2，
所以函数y＝f(x)在xA到xB之间的平均变化率为
＝＝－1.
4.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )
A.甲
B.乙
C.相同
D.不确定
答案 B
解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.
所以乙厂的治污效果较好.
5.函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A.k1B.k1>k2
C.k1＝k2
D.无法确定
答案 D
解析 k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1、k2大小关系不确定.
6.如果函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( )
A.a＝－3
B.a＝3
C.a＝2
D.a的值不能确定
答案 B
解析 ＝＝a＝3.
7.一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1时的瞬时速度为3，则a等于( )
A.－1
B.0
C.1
D.7
答案 A
解析 ＝
＝
＝a＋4＋2Δt，
当Δt趋于0时，a＋4＋2Δt趋于a＋4，
由题意知a＋4＝3，得a＝－1.
二、填空题
8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为
.
答案 1<2<3
解析 1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图像知，kOA9.函数f(x)＝＋2在x＝1处的瞬时变化率为
.
答案 －2
解析 ∵Δy＝＋2－(＋2)
＝－1＝，
∴＝，
当Δx趋于0时，趋于－2.
10.已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上的一点A(－1，－2)及邻近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝
.
答案 3－Δx
解析 ∵－2＋Δy＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)，
∴＝
＝3－Δx.
11.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝
.
答案 5
解析 函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去).
所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
三、解答题
12.若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围.
解 ∵函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞).
13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
解 (1)∵物体在t∈[3，5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3，5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3，5]内的平均速度为
＝＝24
(m/s).
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝
＝3Δt－18，
∴当Δt趋于0时，趋于－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为－18，
即物体的初速度为－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率.
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12.
∴当Δt趋于0时，趋于－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12.
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.3.3
导数计算
教学目标
知识与技能
1.能根据导数的定义求基本函数的的导数，掌握计算一般函数的导数的步骤。2.理解导数的概念，并熟记8个基本初等函数的倒数公式，并能用公式求简单函数的导数。
过程与方法
通过求运动物体在某一时刻的速度，抽此案概括计算函数的导数的步骤的过程以及由函数在某点的导数到所给区间的导数的过程，体会有特殊到一般的数学方法，领会他们之间的联系与不同，体会算法思想在求导过程中的使用。
研究
情感态度与价值观
在求解具体的函数的导函数的过程中，认识到数学推理的严谨细致，感受特殊与一般的数学逻辑关系。
重点难点
重点：能根据导数的定义求基本函数的的导数，掌握计算一般函数的导数的步骤。理解导数的概念，并熟记8个基本初等函数的倒数公式，并能用公式求简单函数的导数。难点：理解导数的概念，导数公式的记忆与运用
教学方法
讲练结合
学生自学反馈
教
学
过
程
新知导学
备注
【复习】1：导数的几何意义是：曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为
2：求函数的导数的一般方法：求函数的改变量
求平均变化率
（3）取极限，得导数＝
=
【新知】从求函数在处的导数的过程可以看到，当时，是一个
的数。这样，当变化时，便是的一个函数，我们称它为的导函数（简称
）。导函数有时也记作，即_______________________
注明知识要求：A“识记类”B“理解类”C“应用类”D“能力提升类”
合作探究
备注
探究任务一：函数的导数.新知：表示函数图象上每一点处的切线斜率为
.若表示路程关于时间的函数，则
，可以解释为
即一直处于静止状态.试试：
求函数的导数反思：表示函数图象上每一点处的切线斜率为
.函数导数若表示路程关于时间的函数，则
，可以解释为
探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数增（减）的快慢与什么有关？例1
求函数的导数变式：
求函数的导数结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.
例2..
试求函数的导数。总结：的导数的求法。本初等函数的导数公式表
当堂检测
备注
1．的导数是（
）A．0
B．1
C．不存在
D．不确定2.若（
）A．0
B．
C．3
D．
3．已知函数的切线的斜率等于1，则切线有（
）A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定4．下列结论不正确的是（
）A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
5．曲线在处的导数为12，则（
）A．1
B．2
C．3
D．4
6．曲线在点P处的切线斜率为1，则点P的坐标为______________________7．曲线在点Q（1，1）处的切线斜率是
_____________________8．曲线在点处的切线方程为_________________
拓展提升
备注
例3.
已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。
教（学）后反思3.3
计算导数
学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.
知识点一 导函数
思考 对于函数f(x)，如何求f′(1)、f′(x)？f′(x)与f′(1)有何关系？
答案 f′(1)＝
.
f′(x)＝
.
f′(1)可以认为把x＝1代入导数f′(x)得到的值.
梳理 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝
，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点二 导数公式表
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝xα
(α为实数)
y′＝αxα－1
y＝ax
(a>0，a≠1)
y′＝axln
a
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝
y＝ln
x
y′＝
y＝sin
x
y′＝cos
x
y＝cos
x
y′＝－sin
x
y＝tan
x
y′＝
y＝cot
x
y′＝－
类型一 利用导函数求某点处的导数
例1 求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1).
解 ∵f′(x)＝
＝
＝
(－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，
即f′(x)＝－2x＋3，
∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.
反思与感悟 f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值.计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0).
跟踪训练1 求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2).
解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝＋5－
＝，
∴＝，
∴f′(x)＝
＝
＝－.
∴f′(2)＝－.
类型二 导数公式表的应用
例2 求下列函数的导数.
(1)y＝sin
；
(2)y＝x；
(3)y＝log3x；
(4)y＝；
(5)y＝5x.
解 (1)y′＝0.
(2)因为所以
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)因为y＝＝＝tan
x，
所以y′＝(tan
x)′＝.
(5)y′＝(5x)′＝5xln
5.
反思与感悟
对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导.
跟踪训练2 求下列函数的导数.
(1)y＝(1－)(1＋)＋；
(2)y＝2cos2－1.
解 (1)∵y＝(1－)(1＋)＋
(2)∵y＝2cos2－1＝cos
x，∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
类型三 导数公式的综合应用
命题角度1 利用导数公式求解切线方程
例3 已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由.
解 因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.
设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.
所以切点为(－，).
所以所求切线方程为y－＝(－1)(x＋)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若例3条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.
解 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M(，).
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上；
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练3 过原点作曲线y＝ex的切线，那么切点的坐标为
，切线的斜率为
.
答案 (1，e) e
解析 设切点坐标为
∵(ex)′＝ex，
∴过该点的直线的斜率为
∴所求切线方程为
∵切线过原点，
解得x0＝1.
∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.
命题角度2 利用导数公式求参数
例4 已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的切线，则k的值等于( )
A.e
B.－e
C.
D.－
答案 C
解析 y′＝(ln
x)′＝.
设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y＝＋ln
x0－1.
∵直线y＝kx过原点，
∴ln
x0－1＝0，得x0＝e，∴k＝.
反思与感悟 解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝，g(x)＝aln
x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值.
解 设两曲线的交点为(x0，y0)，
由题意知，f′(x0)＝g′(x0)，即
即
①
∵点(x0，y0)为两曲线的交点，
∴＝aln
x0，
②
由①②可得x0＝e2，
将x0＝e2代入①得a＝.
1.下列结论：
①(sin
x)′＝cos
x；②
③(log3x)′＝；④(ln
x)′＝.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案 C
解析 ∵②③(log3x)′＝，
∴②③错误，故选C.
2.质点的运动方程是s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3
s时的速度为( )
A.－4×3－4
m/s
B.－3×3－4
m/s
C.－5×3－5
m/s
D.－4×3－5
m/s
答案 D
解析 ∵s′＝()′＝－4t－5，∴s′(3)＝－4×3－5.
则质点在t＝3
s时的速度为－4×3－5
m/s.
3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝
.
答案
解析 ∵f′(x)＝，又f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4.在曲线y＝上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为
.
答案 (，2)或(－，－2)
解析 设P(x0，y0)，y′＝－，则－＝－4，
得x0＝±.
当x0＝时，y0＝2.当x0＝－时，y0＝－2，
∴点P的坐标为(，2)或(－，－2).
5.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
.
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×|－e2|＝e2.
1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归.
2.有些函数可先化简再求导.
如求y＝1－2sin2的导数.
因为y＝1－2sin2＝cos
x，
所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
40分钟课时作业
一、选择题
1.下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln
2，则y′＝；②y＝f(x)＝，则f′(3)＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln
2；④y＝log2x，则y′＝.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 D
解析 ①中y＝ln
2为常数，
所以y′＝0.①错.
2.下列函数中，导函数是奇函数的是( )
A.y＝sin
x
B.y＝ex
C.y＝ln
x
D.y＝cos
x
答案 D
3.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A.1
B.－1
C.±1
D.3
答案 C
解析 ∵f′(x0)＝3x＝3，∴x0＝±1.
4.设曲线y＝ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a等于( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 C
解析 由题意知切线的斜率是－，
∵y′＝2ax，∴4a＝－，得a＝－.
5.正弦曲线y＝f(x)＝sin
x上切线的斜率等于的点为( )
A.(，)
B.(－，－)或(，)
C.(2kπ＋，)(k∈Z)
D.(2kπ＋，)或(2kπ－，－)(k∈Z)
答案 D
解析 设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵f′(x0)＝cos
x0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－.
6.下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A.f(x)＝ex
B.f(x)＝x3
C.f(x)＝ln
x
D.f(x)＝sin
x
答案 D
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln
x)′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
7.已知f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2
014等于( )
A.－
B.
C.－
D.
答案 A
解析 由已知可得f1(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，f3(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，
f4(x)＝(－cos
x)′＝sin
x，
可得fi(x)＝fi＋4(x)，i＝0，1，2，3，….
所以f2
014＝f2＝－sin
＝－.
二、填空题
8.已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝
.
答案 －4
解析 ∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，
又g′(2)＝，∴m＝－4.
9.函数y＝f(x)＝lg
x在点(1，0)处的切线方程为
.
答案 y＝xlg
e－lg
e
解析 y′＝(lg
x)′＝＝，
则f′(1)＝lg
e，∴切线方程为y＝(x－1)lg
e，
即y＝xlg
e－lg
e.
10.设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为
.
答案 (1，1)
解析 因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－
(x>0)，
曲线y＝
(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－
(m>0).
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
11.已知f(x)＝cos
x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为
.
答案 {x|x＝＋2kπ，k∈Z}
解析 ∵f′(x)＝－sin
x，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin
x＋1≤0，
即sin
x≥1，则sin
x＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为{x|x＝＋2kπ，k∈Z}.
三、解答题
12.已知曲线y＝5(x＞0)，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)过点P(0，5)，且与曲线相切的切线方程.
解 (1)设切点为(x0，y0)，
由y＝5，得曲线在x＝x0处的切线的斜率
k＝.
因为切线与直线y＝2x－4平行，所以＝2，
解得x0＝，所以y0＝.
故所求切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋25＝0.
(2)因为点P(0，5)不在曲线y＝5上，
所以设切点坐标为M(x1，y1)，
则切线斜率为(x1≠0)，
又因为切线斜率为，
所以＝＝，
解得x1＝4(x1＝0舍去).
所以切点为M(4，10)，斜率为，
故切线方程为y－10＝(x－4)，
即5x－4y＋20＝0.
13.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近.
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.变化的快慢与变化率
学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度.能求出简单函数在某一点的导数(瞬时变化率)
学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解
一、自主学习
[问题1]
一般地，函数是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可以用式子
表示，我们把这个式子称为函数从到的
。习惯用
来表示，即：
。（注：上式中、的值可正、可负，但不能为0，为常数时，=0）
[问题2]
我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为，则物体在时刻t的瞬时速度v
就是物体在t到这段时间内，当_________时平均速度的极限，即=___________________
[问题3]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
。
我们称它为函数在处的___，记作或_____，即_________。
附注：
①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；
②定义的变化形式：=；
=；=；
，当时，，所以
③求函数在处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。
[问题4]求函数在处导数三步法：
①求函数的增量：
。
②求平均变化率：
。
③取极限，得导数
。
二、达标训练
1.自变量从变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（
）
A、在区间[，]上的平均变化率
B、在处的变化率
C、在处的变化量
D、在区间[，]上的导数
2、求在点x=1处的导数.
3、求函数在处的导数。
4、已知函数，下列说法错误的是（
）
A、叫函数增量
B、叫函数在[]上的平均变化率
C、在点处的导数记为
D、在点处的导数记为
5、若质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（
）
A、6
B、18
C、54
D、81
6、设函数可导，则=（
）
A、
B、
C、不存在
D、以上都不对
三、课后作业：
1、函数在处的导数是______________
2、已知自由下落物体的运动方程是，(s的单位是m,t的单位是s)，求：
（1）物体在到这段时间内的平均速度；
（2）物体在时的瞬时速度；
（3）物体在=2s到这段时间内的平均速度；
（4）物体在时的瞬时速度。3.2
导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
知识点一 导数的概念
思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？
答案 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
梳理
定义式
＝
记法
f′(x0)
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
知识点二 导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线.
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？
答案 割线PPn的斜率kn＝.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝
＝f′(x0).
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
类型一 利用定义求导数
例1 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.
解 ∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)
＝3(Δx)2＋4Δx，
∴＝＝3Δx＋4，
∴f′(1)＝
＝
(3Δx＋4)＝4.
反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝
.
跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝
，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝
＝
(－Δx－1)＝－1.
类型二 求切线方程
命题角度1 求在某点处的切线方程
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1，2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程.
解 (1)k＝
＝
＝
＝
(4＋2Δx)＝4，
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是
.
答案 －3
解析
＝
＝
(4＋Δx)＝4，
曲线y＝x2＋1在点(2，5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
命题角度2 曲线过某点的切线方程
例3 求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程.
解 设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，
∵
＝
(x0＋Δx)＝x0.
∴＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，
即切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程.
反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)；
(2)建立方程f′(x0)＝；
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.
跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程.
解
＝
＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.
设切点坐标为(x0，2x0－x).
∴切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0).
又∵切线过点(－1，－2)，
∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，
即2x＋3x＝0，∴x0＝0或x0＝－.
∴切点坐标为(0，0)或.
当切点坐标为(0，0)时，切线斜率为2，
切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
当切点坐标为时，切线斜率为－，
切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为
2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.
类型三 导数的几何意义的综合应用
例4 已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值.
解 因为f′(x0)＝
＝
(Δx＋2x0)＝2x0，
g′(x0)＝
＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]
＝3x，
k1＝2x0，k2＝3x，
因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，
即6x＝－1，解得x0＝－.
引申探究
若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？
解 由例4知，f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝3x，
k1＝2x0，k2＝3x，由题意知2x0＝3x，得x0＝0或.
反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系.
跟踪训练4 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标.
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).
∵kc＝
＝
＝3x2－4x，
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为(－，)或(2，3).
当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，a＝.
当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2，3).
1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A.f′(x)＝a
B.f′(x)＝b
C.f′(x0)＝a
D.f′(x0)＝b
答案 C
解析 f′(x0)＝
＝
(a＋b·Δx)＝a.
2.曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )
A.45°
B.60°
C.135°
D.120°
答案 C
解析 ∵f′(x)＝
＝9
＝－9
＝－，
∴f′(3)＝－＝－1，
又∵直线的倾斜角范围为[0°，180°)，∴倾斜角为135°.
3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A.－4
B.3
C.－2
D.1
答案 D
解析 由题干中的图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
4.已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝
.
答案 2
解析
＝
＝2a，
由题意知2a＝2，∴a＝1.
①
又点(1，3)在y＝ax2＋b的图像上，
∴a＋b＝3.
②
由①②可得b＝2，∴＝2.
5.求曲线y＝在点处的切线方程.
解 因为
＝
＝
＝－.
所以这条曲线在点处的切线斜率为－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
＝f′(x0).
2.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
40分钟课时作业
一、选择题
1.已知y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
答案 B
解析 由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图像可知f′(xA)2.下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )
A.(0，0)
B.(2，4)
C.(，)
D.(，)
答案 D
解析 ∵
＝2x，又切线的倾斜角为，
∴直线斜率为tan
＝1，则2x＝1，
∴x＝，y＝，则切点为(，).
3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A.a＝1，b＝1
B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1
D.a＝－1，b＝－1
答案 A
解析 由题意，知k＝
＝1，
∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
4.设f(x)为可导函数，且满足
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是( )
A.1
B.－1
C.
D.－2
答案 B
解析 ∵
＝－1，
∴
＝－1，∴f′(1)＝－1.
5.设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为( )
A.(1，0)
B.(2，8)
C.(1，0)或(－1，－4)
D.(2，8)或(－1，－4)
答案 C
解析 根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1，0)或(－1，－4)，故选C.
6.设P为曲线C：f(x)＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[，]，则点P的横坐标的取值范围为( )
A.(－∞，]
B.[－1，0]
C.[0，1]
D.[－，＋∞)
答案 D
解析 设点P的横坐标为x0，则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为
tan
α＝f′(x0)＝
＝2x0＋2.
∵α∈[，]，∴tan
α∈[1，＋∞)，
∴2x0＋2≥1，即x0≥－.
∴x0的取值范围为[－，＋∞).
二、填空题
7.已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝
.
答案 2
解析 f′(5)＝
＝2.
8.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(f(0))＝
；
＝
.(用数字作答)
答案 2 －2
解析 ∵f(0)＝4，∴f(f(0))＝f(4)＝2，
f′(1)＝
＝－2.
9.曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为
.
答案
解析 ∵k＝
＝3，
∴曲线y＝x3在点(1，1)处的切线方程为
y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0，
则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为×(2－)×4＝.
10.若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为
.
答案 4
解析 设抛物线在P点处切线的斜率为k，
k＝
＝－5，
∴切线方程为y＝－5x，
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
三、解答题
11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1，1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值.
解 因为抛物线过点P，所以a＋b＋c＝1，
①
又
＝
＝4a＋b，
由题意知4a＋b＝1，
②
又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1，
③
由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
12.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
解 f′(x0)＝
＝[3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2]
＝3x＋2ax0－9.
f′(x)＝3(x0＋)2－9－，
当x0＝－时，f′(x0)取到最小值－9－.
∵函数f(x)斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线的斜率为－12.
∴－9－＝－12，解得a＝±3，又a<0，∴a＝－3.
13.已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值.
解 由导数的定义知，f′(x0)＝
＝2x0，
g′(x0)＝
＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0.
解得x0＝或x0＝.3.2
导数的几何意义及应用
学习目标：1、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
2、会求曲线上一点处的切线方法。
重点：求曲线上一点处的切线方程。
难点：利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率
自主学习
（1）导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;②求出函数在点处的变化率
，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（2）导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,
是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（3）函数在点处的导数、导函数、导数
之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，
就是函数f(x)的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是
求函数在点处的导数的方法之一。
合作探究
练习反馈1．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.,若,则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．曲线在点处的切线方程是＿＿＿＿．
4．设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（
）
A．1
B．
C．
D．导数的几何意义
学习要求
1．理解导数的几何意义
2．会用导数的定义求曲线的切线方程
自学评价
割线的斜率：已知图像上两点，,过A,B两点割线的斜率是_________，即曲线割线的斜率就是___________.
函数在点处的导数的几何意义是___________________，相应地，曲线在点处的切线方程为____________.
如果把看作是物体的运动方程，那么，导数表示_____________，这就是导数的物理意义.
【精典范例】
例1：（1）求抛物线在点（1,1）切线的斜率.
（2）求双曲线在点(2,)的切线方程.
例2：(1)求曲线在点（1，5）处的切线方程.
(2)
求曲线过点（1，5）处的切线方程.
追踪训练
1、设f
(x)为可导函数且满足=-1，则过曲线y=f
(x)上点(1,
f
(1))处的切线斜率为(
)
A．2
B.-1
C．1
D.-2
2.、y=x3在点P处的切线斜率为3,求点P的坐标____
___
3、(1)求曲线f
(x)=x3+2x+1在点(1,4)处的切线方程____________．
(2)已知曲线上的一点P(0，0)
,求过点P的切线方程_________
(3)求过点(2,0)且与曲线相切的直线方程____________
4、将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的体积增加y约等于(
)
A.
B.
C.
D.
5、（2005，浙江）函数的图象与直线相切，则（
）
6、如果曲线的一条切线与直线y=4x+3平行，那么曲线与切线相切
的切点坐标为_______
7、曲线在点(1,)处切线的倾斜角为__________
8、下列三个命题：
a若不存在，则曲线在点处没有切线；
b若曲线在点处有切线，则必存在；
c若不存在，则曲线在点处的切线的斜率不存在.
其中正确的命题是_______
9、曲线在处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由.
10、已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相平行，求的值
11、设点P是曲线上的任意一点，k是曲线在点P处的切线的斜率.(1)求k的取值范围；(2)求当k取最小值时的切线方程.3.4.1
函数的和、差、积、商的导数
学习目标：1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会建立数学理论过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展学生的思维能力。
重点、难点：利用求导法则求导
自主学习
合作探究
例1：求的导数。
例2：.求下列函数的导数
（1）
(2)
例3：求下列函数的导数（1）
（2）
例4：求曲线在处的切线方程。
练习反馈
2、求曲线在处的切线方程。
3、求曲线在处的切线方程。
①:[f(x)±g(x
②2:[f(x)·g(x)
若g(x)=c时,有[ef(x)
(g(x)≠0)
求下列函数的导数
y
x+
cosx
(2)y=24-2lx
(3)f(
(4)f(
2x+3
Sly
(5)f(x)
(6)f(x)=x2-3x+13.4
导数的四则运算法则习题
【学习目标】：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数
【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
2.导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于：
）
知识反馈
1.
函数的导数是（
）
A．
B．
C．
D．
2.
函数的导数是（
）
A．
B．
C．
D．
3.
的导数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为：
A
B
C
D
5．函数的图像与直线相切，则
A
B
C
D
1
6.设函数在点（1,1）处的切线与轴的交点横坐标为，则
A
B
C
D
1
12.
已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数在点处的切线方程.
基本初等区的导数公式表
函数
导数
y
y=f(x)=x(x∈g)
V=sinx
Vy=cosX
y=f(x=a
y=f(x=e
f(x
=log,x
f(x=ln
x
曲丝
曲纣
M(3.2
导数的概念及其几何意义
3.3
计算导数（2）
学习目标：1、理解导数的定义，并能求出一般函数的导数，理解某点处导数的几何意义；2、理解导数与瞬时速度、瞬时加速度的关系。重点、难点：理解导数的定义，并能求出一般函数的导数
自主学习
1、函数在区间上有定义，，当无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称在点处
，并称该常数A为函数点处的
，记作
。2、把上式中的看成变量时，即为的
，简称
3、函数在点处导数的几何意义就是
4、瞬时速度是运动物体位移对时间的导数，即为
。
合作探究
练习反馈
1、一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为__________。（
2、质点运动方程为（位移单位：米，时间单位：秒），分别求时的速度。
4、与的含义有什么不同？与的含义有什么不同？
求下列函数在已知点处的导数
(1)y=3x+1在x=3处的导数
(2)y=x2在x=a处的导数
(3)y=-在x=2处的导数
