高中数学第四章导数应用练习(打包5套)北师大版选修1_1

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名称 高中数学第四章导数应用练习(打包5套)北师大版选修1_1
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2017-10-30 11:48:10

文档简介

4.1.2
导数与函数的单调性(2)
一、选择题
1.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有(  )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)=0
D.不能确定
解析:因f(x)在(a,b)上为增函数,
∴f(x)>f(a)≥0.
答案:A 
2.若函数f(x)=x2+bx+c的图像的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图像是(  )
解析:f′(x)=2x+b,由于函数f(x)=x2+bx+c图像的顶点在第四象限,∴x=->0,∴b<0,故选A.
答案:A 
3.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则(  )
A.b2-4ac>0
B.b>0,c>0
C.b=0,c>0
D.b2-3ac≤0
解析:∵f(x)为增函数,
∴f′(x)=3ax2+2bx+c≥0.
∴Δ=4b2-12ac≤0.
∴b2-3ac≤0.
答案:D 
4.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(  )
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
解析:令F(x)=,则F(x)为奇函数,
F′(x)=,
∵当x<0时,F′(x)>0.
∴F(x)在(-∞,0)内为增函数.
又F(3)==0,∴F(-3)=0.
∴当x<-3时,F(x)<0;
当-30.
又F(x)为奇函数,
∴当0当x>3时,F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0),
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).
答案:D 
二、填空题
5.如果函数f(x)=2x3+ax2+1(a≠0)在区间(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,且在区间(0,2)内单调递减,则常数a的值为________.
解析:f′(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,当a>0时,解得-答案:-6
6.函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是__________.
解析:f′(x)=3ax2-2x+1.
由题意知3ax2-2x+1≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
∴解得a≥.
答案:[,+∞)
7.如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=4x-=.
由f′(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为(,+∞);
由f′(x)<0,得函数f(x)的单调递减区间为(0,),
由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,
所以解得1≤k<.
答案:[1,)
三、解答题
8.已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.
解:法一:由题意得f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f′(x)=-3x2+2x+t.
若f(x)在(-1,1)上是增函数,
则在(-1,1)上f′(x)≥0恒成立.
即t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立.
设函数g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图像是对称轴为x=且开口向上的抛物线,故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立 t≥g(-1),即t≥5.
而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,
即f(x)在(-1,1)上是增函数.
故t的取值范围是[5,+∞).
法二:由题意得f(x)=-x3+x2+tx+t,
则f′(x)=-3x2+2x+t.
若f(x)在(-1,1)上是增函数,
则在(-1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线,
∴当且仅当f′(1)=t-1≥0,且f′(-1)=t-5≥0时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.故t的取值范围是[5,+∞).
9.已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x,a≠0.
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
解:(1)h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h′(x)=-ax-2.
因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,
即a>-有解.
设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可.
而G(x)=(-1)2-1,
所以G(x)min=-1,所以a>-1.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减,
所以x∈[1,4]时,
h′(x)=-ax-2≤0恒成立,
即a≥-恒成立.
所以a≥G(x)max.而G(x)=(-1)2-1.
因为x∈[1,4],所以∈[,1].
所以G(x)max=-(此时x=4).
所以a≥-.4.2.2
最大值、最小值问题
一、选择题
1.[2014·大连模拟]使函数f(x)=x+2cosx在[0,]上取最大值的x为(  )
A.
0
B.
C.
D.
解析:∵f′(x)=1-2sinx=0,x∈[0,]时,
sinx=,x=,
∴当x∈[0,)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.
当x∈(,]时,f′(x)<0,f(x)是减函数,
即x=,f(x)取最大值.故选B.
答案:B 
2.函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:f(x)=x-x3,f′(x)=1-3x2,令f′(x)=0得x=(x=-舍去),又f(0)=0,f(1)=0,f()=,则比较得最大值为f()=.
答案:A 
3.函数y=x-sinx,x∈[,π]的最大值是(  )
A.π-1
B.-1
C.π
D.π+1
解析:y′=1-cosx≥0,所以y=x-sinx在[,π]上为增函数.当x=π时,ymax=π.
答案:C 
4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是(  )
A.
-37
B.
-29
C.
-5
D.
以上都不对
解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
又∵f(x)在(-2,0)上为增函数,
在(0,2)上为减函数,
∴当x=0时,f(x)=m最大.
∴m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.
∴最小值为-37.故选A.
答案:A 
二、填空题
5.若F(x)=x-2lnx+2a,则F(x)在(0,+∞)上的最小值是________.
解析:令F′(x)=1-==0得x=2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,F′(x)>0,
∴当x=2时F(x)min=F(2)=2-2ln2+2a.
答案:2+2a-2ln2
6.若关于x的不等式x2+≥m对任意x∈(-∞,-]恒成立,则m的取值范围是__________.
解析:设y=x2+,则y′=2x-=.
∵x≤-,∴y′<0,
即y=x2+在(-∞,-]上单调递减.
∴当x=-时,y取得最小值为-.
∵x2+≥m恒成立,∴m≤-.
答案:(-∞,-]
7.函数f(x)=ex(sinx+cosx),x∈[0,1]的值域为__________.
解析:当0≤x≤1时,f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx>0,所以f(x)在[0,1]上单调递增,则f(0)≤f(x)≤f(1),即函数f(x)的值域为[,e(sin1+cos1)].
答案:[,e(sin1+cos1)]
三、解答题
8.设x>0,求lnx+-(x-1)2+(x-1)3的最小值.
解:设f(x)=lnx+-(x-1)2+(x-1)3,
则f′(x)=--(x-1)+2(x-1)2
=(x-1)-(x-1)+2(x-1)2
=(x-1)[-1+2(x-1)]
=(x-1)[+2(x-1)]
=(x-1)2(2-)=(x-1)3.
令f′(x)=0,由x>0,解得x=1.列表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)

0

f(x)
?
极小值
?
由题可知,当x=1时,f(x)有最小值1.
9.[2014·山西省阳泉第二调研]已知函数f(x)=的图像在点(1,f(1))处的切线方程为x+y=2.
(1)求a,b的值;
(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x,f(x)<恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由f(x)=
f′(x)=,
而点(1,f(1))在直线x+y=2上 f(1)=1,
又直线x+y=2的斜率为-1 f′(1)=-1,
故有
(2)由(1)得f(x)=(x>0),
f(x)<及x>0 令g(x)=
g′(x)=
=,
令h(x)=1-x-lnx h′(x)=-1-<0(x>0),
故h(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
故当0h(1)=0,
当x>1时,h(x)从而当00,当x>1时,g′(x)<0
g(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
故g(x)max=g(1)=1,
要使1,
故m的取值范围是(1,+∞).4.1.3
函数的极值
一、选择题
1.函数y=(x2-1)3+1的极值点是(  )
A.
极大值点x=-1
B.
极大值点x=0
C.
极小值点x=0
D.
极小值点x=1
解析:y′=6x(x2-1)2=0有三个根,x1=-1,x2=0,x3=1,由解y′>0得x>0;由解y′<0得x<0,只有x=0是极小值点,故选C.
答案:C 
2.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是(  )
A.
有极小值
B.
有极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
无极值
解析:∵y′=1-(x2+1)′=1-=,
令y′=0得x=1,当x>1时,y′>0,
当x<1时,y′>0,∴函数无极值.
答案:D 
3.函数f(x)=-x3+x取极小值时,x的值是(  )
A.2
B.2,-1
C.-1
D.-3
解析:f′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),f′(x)的图像如右图.
∵在x=-1的附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,
∴x=-1时取极小值.
答案:C 
4.[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则(  )
A.
当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.
当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.
当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.
当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
解析:当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),f′(x)=xex-1,f′(1)≠0,故A、B错;当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f′(x)=(x2-1)ex-2x+2=(x-1)[(x+1)ex-2],故f′(x)=0有一根为x1=1,另一根x2∈(0,1).当x∈(x2,1)时,f′(x)<0,f(x)递减,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增,∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C.
答案:C 
二、填空题
5.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于__________.
解析:y′=-3x2+12x,由y′=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.
答案:-19
6.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad=__________.
解析:∵y′=3-3x2,令y′=0得x=±1,
且当x>1时,y′<0,
当-1≤x≤1时,y′≥0,
当x<-1时,y′<0,
故x=1为y=3x-x3的极大值点,即b=1.
又c=3b-b3=3×1-1=2,
∴bc=2.
又∵a,b,c,d成等比数列,
∴ad=bc=2.
答案:2
7.已知函数y=xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:
①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数;
②函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增;
③函数f(x)在x=-处取得极大值;
④函数f(x)在x=1处取得极小值.
其中正确的说法是__________.
解析:
题号
正误
原因分析

?
由图像知,当x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,故f′(x)>0,f(x)递增

?
当x∈(-1,0)时,xf′(x)>0,故f′(x)<0;当x∈(0,1)时,xf′(x)<0,故f′(x)<0.综上,当x∈(-1,0)∪(0,1)时,f′(x)<0,故f(x)在区间(-1,0),(0,1)上是减函数

?
f(x)在区间(-1,0)上单调递减,故x=-不是极值点

?
f(x)在区间(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故f(x)在x=1处取得极小值
答案:①④
三、解答题
8.[2013·重庆高考]设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
解:(1)因f(x)=a(x-5)2+6lnx,
故f′(x)=2a(x-5)+.
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.
(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>0),f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当03时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.
9.设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
解:由f(x)=x3+bx2+cx+d,
得f′(x)=ax2+2bx+c.
因为f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,
所以(
)
(1)当a=3时,由(
)式得
解得b=-3,c=12.
又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0.
故f(x)=x3-3x2+12x.
(2)由于a>0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.
由(
)式得2b=9-5a,c=4a.
又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).
解得a∈[1,9].
即a的取值范围是[1,9].4.2.1
实际问题中导数的意义
一、选择题
1.做一个容积为256升的方底无盖水箱,那么用料最省时,它的底面边长为(  )
A.
5分米
B.
6分米
C.
7分米
D.
8分米
解析:设底面边长为x分米,则高为h=,其表面积S=x2+4··x=x2+,S′=2x-,令S′=0,则x=8.当08时S′>0,故x=8时S最小.
答案:D 
2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2.最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(  )
A.30元
B.60元
C.28000元
D.23000元
解析:设毛利润为L(P),由题意知
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以,L′(P)=-3P2-300P+11700.
令L′(P)=0,解得P=30,或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
答案:D 
3.[2013·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的高和宽分别为(  )
A.
d,d
B.
d,d
C.
d,d
D.
d,d
解析:如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y,
由题意知当xy2取最大值时,横梁的强度最大.
∵y2=d2-x2,∴xy2=x(d2-x2)(0令f(x)=x(d2-x2)(0解得x=d或x=-d(舍去).
当00;
当d因此,当x=d时,f(x)取得极大值,也是最大值.
综上,当矩形横断面的高为d,宽为d时,横梁的强度最大.
答案:C 
4.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为(  )
A.
B.
C.
D.2
解析:如右图,设底面边长为x(x>0)
则底面面积S=x2,
∴h==.
S表=x·×3+x2×2=+x2.
S′表=x-,令S′表=0,x=.
∵S表只有一个极值,故x=为最小值点.
答案:C 
二、填空题
5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________千米处.
解析:依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离.
于是由2=,得k1=20;由8=10k2,得k2=.
因此两项费用之和为y=+,y′=-+,令y′=-+=0得x=5(x=-5舍去),经验证,此点即为最小值点.
故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.
答案:5
6.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)=1200+x3,又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为__________件.
解析:设产品单价为a元,又产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=k,
由题知502×100=k=250000,则a2x=250000,所以a=.
总利润y=500-x3-1200(x>0),
y′=-x2,
由y′=0,得x=25,x∈(0,25)时,y′>0,x∈(25,+∞)时,y′<0,所以x=25时,y取最大值.
答案:25
7.书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书均匀投放市场,则此书店分________次进货、每次进________册,可使所付的手续费与库存费之和最少.
解析:设每次进书x千册(0y′=-+20=.
∴当0当150.
故当x=15时,y取得最小值,
此时进货次数为=10(次).
即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.
答案:10 15000
三、解答题
8.[2013·山东聊城三模]一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20
km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需400元,火车的最高速度为100
km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?
解:设火车的速度为x
km/h,甲、乙两城距离为a
km.
由题意,令40=k·203,∴k=,
则总费用f(x)=(kx3+400)·=a(kx2+).
∴f(x)=a(x2+)(0由f′(x)==0,得x=20.
当00.
∴当x=20时,f(x)取最小值,即速度为20
km/h时,总费用最少.
9.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.
解:(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=(0≤x≤10),
再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)f′(x)=6-,
令f′(x)=0,即=6,
解得x=5,x=-(舍去).
当0当50,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=6×5+=70.
当隔热层修建5
cm厚时,总费用达到最小值70万元.4.1.1
导数与函数的单调性(1)
一、选择题
1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是(  )
A.
y=sin2x
B.
y=xex
C.
y=x3-x
D.
y=-x+ln(1+x)
解析:y=xex,则y′=ex+xex=ex(1+x)在(0,+∞)上恒大于0.
答案:B 
2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是(  )
解析:∵y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.
答案:A 
3.函数y=x2-lnx的单调减区间是(  )
A.
(0,1)
B.
(0,1)∪(-∞,-1)
C.
(-∞,1)
D.
(-∞,+∞)
解析:∵y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),∴y′=x-,令y′<0,即x-<0,解得:0又∵x>0,∴0答案:A 
4.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)可能为(  )
解析:由函数的图像知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,导数先正后负再正,对照选项,应选D.
答案:D 
二、填空题
5.函数f(x)=x3+x2-5x-5的单调递增区间是__________.
解析:令y′=3x2+2x-5>0,得x<-或x>1.
答案:(-∞,-),(1,+∞)
6.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是________.
解析:由f′(x)=lnx+x·=lnx+1>0,解得x>.故f(x)的单调增区间是(,+∞).
答案:(,+∞)
7.设函数f(x)=x(ex-1)-x2,则f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.
解析:f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,
在(-1,0)上单调递减.
答案:(-∞,-1)和(0,+∞) (-1,0)
三、解答题
8.证明:函数f(x)=lnx+x在其定义域内为单调递增函数.
证明:函数的定义域为{x|x>0},
又f′(x)=(lnx+x)′=+1,
当x>0时,f′(x)>1>0,
故y=lnx+x在其定义域内为单调递增函数.
9.已知函数f(x)=x2·ex-1+ax3+bx2,且x=-2和x=1是f′(x)=0的两根.
(1)求a,b的值:
(2)求f(x)的单调区间.
解:(1)因为f′(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx
=xex-1(x+2)+x(3ax+2b),
又x=-2和x=1为f′(x)=0的两根,
所以f′(-2)=f′(1)=0.
故有,
解方程组得a=-,b=-1.
(2)因为a=-,b=-1,
∴f′(x)=x(x+2)(ex-1-1).
令f′(x)=0得x1=-2,x2=0,x3=1.
当x∈(-2,0)∪(1,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-∞,-2)∪(0,1)时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(-2,0)和(1,+∞),单调递减区间为(-∞,-2)和(0,1).
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