4.1.2
导数与函数的单调性（2）
一、选择题
1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
解析：因f(x)在(a，b)上为增函数，
∴f(x)>f(a)≥0.
答案：A
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图像是( )
解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c图像的顶点在第四象限，∴x＝－>0，∴b<0，故选A.
答案：A
3．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)为增函数，则( )
A．b2－4ac>0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：∵f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0.
∴Δ＝4b2－12ac≤0.
∴b2－3ac≤0.
答案：D
4．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
解析：令F(x)＝，则F(x)为奇函数，
F′(x)＝，
∵当x<0时，F′(x)>0.
∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．
又F(3)＝＝0，∴F(－3)＝0.
∴当x<－3时，F(x)<0；
当－30.
又F(x)为奇函数，
∴当0当x>3时，F(x)>0.
而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式(g(x)恒不为0)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．
答案：D
二、填空题
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a≠0)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则常数a的值为________．
解析：f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，当a>0时，解得－答案：－6
6．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴解得a≥.
答案：[，＋∞)
7．如果函数f(x)＝2x2－lnx在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)，
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以解得1≤k<.
答案：[1，)
三、解答题
8．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)．若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
解：法一：由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
设函数g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图像是对称轴为x＝且开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立 t≥g(－1)，即t≥5.
而当t≥5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，
即f(x)在(－1,1)上是增函数．
故t的取值范围是[5，＋∞)．
法二：由题意得f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t，
则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增函数，
则在(－1,1)上f′(x)≥0.
∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增函数．故t的取值范围是[5，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，
即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．
而G(x)＝(－1)2－1，
所以G(x)min＝－1，所以a>－1.
(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，
所以x∈[1,4]时，
h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立．
所以a≥G(x)max.而G(x)＝(－1)2－1.
因为x∈[1,4]，所以∈[，1]．
所以G(x)max＝－(此时x＝4)．
所以a≥－.4.2.2
最大值、最小值问题
一、选择题
1．[2014·大连模拟]使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x为( )
A.
0
B.
C.
D.
解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，
sinx＝，x＝，
∴当x∈[0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈(，]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值．故选B.
答案：B
2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，又f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，则比较得最大值为f()＝.
答案：A
3．函数y＝x－sinx，x∈[，π]的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
解析：y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在[，π]上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.
答案：C
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A.
－37
B.
－29
C.
－5
D.
以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，
在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案：A
二、填空题
5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．
解析：令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.
答案：2＋2a－2ln2
6．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是__________．
解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.
∵x≤－，∴y′<0，
即y＝x2＋在(－∞，－]上单调递减．
∴当x＝－时，y取得最小值为－.
∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.
答案：(－∞，－]
7．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为__________．
解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin1＋cos1)]．
答案：[，e(sin1＋cos1)]
三、解答题
8．设x>0，求lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3的最小值．
解：设f(x)＝lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3，
则f′(x)＝－－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)－(x－1)＋2(x－1)2
＝(x－1)[－1＋2(x－1)]
＝(x－1)[＋2(x－1)]
＝(x－1)2(2－)＝(x－1)3.
令f′(x)＝0，由x>0，解得x＝1.列表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由题可知，当x＝1时，f(x)有最小值1.
9．[2014·山西省阳泉第二调研]已知函数f(x)＝的图像在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝2.
(1)求a，b的值；
(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x，f(x)<恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)＝
f′(x)＝，
而点(1，f(1))在直线x＋y＝2上 f(1)＝1，
又直线x＋y＝2的斜率为－1 f′(1)＝－1，
故有
(2)由(1)得f(x)＝(x>0)，
f(x)<及x>0 令g(x)＝
g′(x)＝
＝，
令h(x)＝1－x－lnx h′(x)＝－1－<0(x>0)，
故h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
故当0h(1)＝0，
当x>1时，h(x)从而当00，当x>1时，g′(x)<0
g(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
故g(x)max＝g(1)＝1,
要使1，
故m的取值范围是(1，＋∞)．4.1.3
函数的极值
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( )
A.
极大值点x＝－1
B.
极大值点x＝0
C.
极小值点x＝0
D.
极小值点x＝1
解析：y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，故选C.
答案：C
2．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是( )
A.
有极小值
B.
有极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
无极值
解析：∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝，
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，∴函数无极值．
答案：D
3．函数f(x)＝－x3＋x取极小值时，x的值是( )
A．2
B．2，－1
C．－1
D．－3
解析：f′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，f′(x)的图像如右图．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，
∴x＝－1时取极小值．
答案：C
4．[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A.
当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B.
当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C.
当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D.
当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)[(x＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.
答案：C
二、填空题
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于__________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝__________.
解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，
且当x>1时，y′<0，
当－1≤x≤1时，y′≥0，
当x<－1时，y′<0，
故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1.
又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，
∴bc＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，
∴ad＝bc＝2.
答案：2
7．已知函数y＝xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：
①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上单调递增；
③函数f(x)在x＝－处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值．
其中正确的说法是__________．
解析：
题号
正误
原因分析
①
?
由图像知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，f(x)递增
②
?
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.综上，当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在区间(－1,0)，(0,1)上是减函数
③
?
f(x)在区间(－1,0)上单调递减，故x＝－不是极值点
④
?
f(x)在区间(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故f(x)在x＝1处取得极小值
答案：①④
三、解答题
8．[2013·重庆高考]设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.
9．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，
得f′(x)＝ax2＋2bx＋c.
因为f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1,4，
所以(
)
(1)当a＝3时，由(
)式得
解得b＝－3，c＝12.
又因为曲线y＝f(x)过原点，所以d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．
由(
)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．
解得a∈[1,9]．
即a的取值范围是[1,9]．4.2.1
实际问题中导数的意义
一、选择题
1．做一个容积为256升的方底无盖水箱，那么用料最省时，它的底面边长为( )
A.
5分米
B.
6分米
C.
7分米
D.
8分米
解析：设底面边长为x分米，则高为h＝，其表面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8.当08时S′>0，故x＝8时S最小．
答案：D
2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元
B．60元
C．28000元
D．23000元
解析：设毛利润为L(P)，由题意知
L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11700P－166000，
所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.
令L′(P)＝0，解得P＝30，或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．
答案：D
3．[2013·湖南株洲一模]横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( )
A.
d，d
B.
d，d
C.
d，d
D.
d，d
解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，
由题意知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．
∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0令f(x)＝x(d2－x2)(0解得x＝d或x＝－d(舍去)．
当00；
当d因此，当x＝d时，f(x)取得极大值，也是最大值．
综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大．
答案：C
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：如右图，设底面边长为x(x>0)
则底面面积S＝x2，
∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2.
S′表＝x－，令S′表＝0，x＝.
∵S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
答案：C
二、填空题
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．
于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，令y′＝－＋＝0得x＝5(x＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
6．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知502×100＝k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1200(x>0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
答案：25
7．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．
解析：设每次进书x千册(0y′＝－＋20＝.
∴当0当150.
故当x＝15时，y取得最小值，
此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
答案：10 15000
三、解答题
8．[2013·山东聊城三模]一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20
km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100
km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解：设火车的速度为x
km/h，甲、乙两城距离为a
km.
由题意，令40＝k·203，∴k＝，
则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a(kx2＋)．
∴f(x)＝a(x2＋)(0由f′(x)＝＝0，得x＝20.
当00.
∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20
km/h时，总费用最少．
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．4.1.1
导数与函数的单调性（1）
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A.
y＝sin2x
B.
y＝xex
C.
y＝x3－x
D.
y＝－x＋ln(1＋x)
解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.
答案：B
2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．
答案：A
3．函数y＝x2－lnx的单调减区间是( )
A.
(0,1)
B.
(0,1)∪(－∞，－1)
C.
(－∞，1)
D.
(－∞，＋∞)
解析：∵y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0又∵x>0，∴0答案：A
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析：由函数的图像知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
答案：D
二、填空题
5．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．
解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.
答案：(－∞，－)，(1，＋∞)
6．函数f(x)＝xlnx(x>0)的单调递增区间是________．
解析：由f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1>0，解得x>.故f(x)的单调增区间是(，＋∞)．
答案：(，＋∞)
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1,0)上单调递减．
答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)
三、解答题
8．证明：函数f(x)＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
证明：函数的定义域为{x|x>0}，
又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，
当x>0时，f′(x)>1>0，
故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．
9．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．
(1)求a，b的值：
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx
＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，
又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，
所以f′(－2)＝f′(1)＝0.
故有，
解方程组得a＝－，b＝－1.
(2)因为a＝－，b＝－1，
∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．
令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.
当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．
