1.1
命题（3）
一、选择题
1．命题“若 p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )
A．若p，则 q
B．若q，则 p
C．若 q，则p
D．若 q，则 p
解析：命题“若 p，则q”的逆否命题为“若 q，则p”．
答案：C
2．有下列四个命题：
①“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；
②“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
解析：
(1)
假
该命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，为假命题
(2)
假
该命题与其逆否命题具有相同的真假性．而该命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题
(3)
假
该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题
(4)
假
该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题
答案：A
3．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：利用四种命题真假性关系可知D正确．
答案：D
4．[2014·济南教学质量检测]下列有关命题的说法正确的是( )
A.
命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
B.
“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
C.
命题“任意的x∈R，都有2x2－1<0成立”为真命题
D.
命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：A不正确，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”；
B正确，命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然成立；
C不正确，当x＝1时，2x2－1<0不成立；
D不正确，因为命题“若cosx＝cosy，则x＝y”是假命题，所以其逆否命题也是假命题．
答案：B
二、填空题
5．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：原命题为真命题，其逆命题为“若A∩B≠A则A∪B≠B”，
否命题为“若A∪B＝B则A∩B＝A”，
逆否命题为“若A∩B＝A则A∪B＝B”，全为真命题．
答案：4
6．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有__________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系，便不难判断．
答案：③和⑥，②和④ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
7．在空间中，①若四点不共面，则这四点中的任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．
解析：①中的逆命题是若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体ABCD－A1B1C1D1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三点都不共线，但A1、B1、C1、D1四点共面，所以①的逆命题不真；②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义知，成异面直线的两条直线不会有公共点，所以②的逆命题是真命题．
答案：②
三、解答题
8．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
9．[2013·咸阳模拟]给出命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则a≤3”，判断其逆否命题的真假．
解：先判断原命题的真假：
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a－1)x＋a2－2≤0的解集不是空集，则
Δ＝(2a－1)2－4(a2－2)≥0，解得a≤.
当a≤成立时，a≤3恒成立，所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题是真命题．1.4.1
逻辑联结词“且”与“或”
一、选择题
1．如果命题“p为假”，命题“p∧q”为假，那么则有( )
A．q为真
B．q为假
C．p∨q为真
D．p∨q不一定为真
解析：∵p假，p∧q假，∴q可真可假，当q真时，p∨q为真；当q假时，p∨q为假．
答案：D
2．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A.
(0，－3)
B.
(1,2)
C.
(1，－1)
D.
(－1,1)
解析：点P(x，y)满足可验证各选项中，只有C正确．
答案：C
3．已知p：x2－1≥－1，q：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )
A．p为真命题，p∧q为假命题
B．p为假命题，q为假命题
C．q为假命题，p∨q为真命题
D．p∧q为假命题，p∨q为真命题
解析：∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q是真命题，∴A、C、D均对，B错，选B.
答案：B
4．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
由于方程x2－2x－4＝0的判别式大于0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
由于(A∩B) A，(A∩B) (A∪B)，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
答案：D
二、填空题
5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是__________．
解析：x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
答案：[1,2)
6．命题“60是10与12的公倍数”是________的形式．
答案：p∧q
7．若p：不等式ax＋b>0的解集为{x|x>－}，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a
解析：因命题“p∧q”为真命题，所以p、q均为真命题，于是a>0，且a答案：0三、解答题
8．写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的；
(2)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边平行相等．
解：(1)“p∧q”：集合中的元素是确定的且是无序的，真命题．
“p∨q”：集合中的元素是确定的或是无序的，真命题．
(2)“p∧q”：梯形有一组对边平行且有一组对边平行相等，假命题．
“p∨q”：梯形有一组对边平行或有一组对边平行相等，真命题．
9．[2014·四川省绵阳中学期中考试]已知命题p：对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义，命题q：函数f(x)＝(5－2m)x是增函数．若p∧q为真，求实数m的取值范围．
解：由于p∧q为真，则p真且q真．
当p为真时，即对任意x∈R，函数y＝lg(x2＋m)有意义．
即对任意x∈R，x2＋m>0恒成立，
即m>－x2恒成立，又－x2≤0，所以m>0.
当q为真时，函数f(x)＝(5－2m)x是R上的增函数，
所以有5－2m>1，解得m<2.
解不等式组得0所以实数m的取值范围是0逻辑联结词“非”
一、选择题
1．已知p：2＋2＝5，q：3>2，则下列判断中，错误的是( )
A．p∨q为真， q为真
B．p∧q为假， p为真
C．p∧q为假， q为假
D．p∧q为假，p∨q为真
解析：由于p是假命题，q是真命题，所以p∨q为真，p∧q为假， p真， q假，由此可知，A不正确，故选A.
答案：A
2．[2014·北京四中月考]若( p)∨q是假命题，则( )
A.
p∧q是假命题
B.
p∨q是假命题
C.
p是假命题
D.
q是假命题
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的真假性判断．由于( p)∨q是假命题，则 p与q均是假命题，所以p是真命题， q是真命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，故选A.
答案：A
3．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨( q)”表示( )
A.
甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环
B.
甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环
C.
甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环
D.
甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环
解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题的意义以及在生活中的应用． q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨( q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.
答案：B
4．已知全集U＝R，A U，B U，若命题p：a∈(A∩B)，则命题“ p”是( )
A．a∈A
B．a∈ UB
C．a∈(A∪B)
D．a∈( UA)∪( UB)
解析：∵p：a∈(A∩B)，
∴ p：a (A∩B)，即a∈ U(A∩B)．
而 U(A∩B)＝( UA)∪( UB)，故选D.
答案：D
二、填空题
5．[2014·江西省临川一中月考]“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________，否命题是________．
解析：本题主要考查命题的否定与其否命题的区别．命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
答案：末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
6．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2} {1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p∨q为真；②p∨q为假；③p∧q为真；④p∧q为假；⑤ p为真；⑥ q为假．其中判断正确的序号是__________．(填上你认为正确的所有序号)
解析：由已知得p为假命题，q为真命题，所以可判断①④⑤⑥为真命题．
答案：①④⑤⑥
7．若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若 p是假命题，则a的取值范围是__________．
解析： p是假命题，则p是真命题，因此问题就是求p真时a的取值范围．
要使函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上单调递减，只需对称轴1－a≥4，∴a≤－3.
答案：(－∞，－3]
三、解答题
8．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和 q都是假命题，求x的值．
解：由x2－x≥6得x2－x－6≥0，解之得x≥3或x≤－2，
即p：x≤－2或x≥3，q：x∈Z，
若 q假，则q真，又p∧q假，则p假．
当p假，q真时，有－2且x∈Z，∴x＝－1,0,1,2.
9．已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p且q为假， p为假，求m的取值范围．
解：p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0.
解得1∵p且q为假， p为假．
∴p为真，q为假，
即解得m≥3，
∴m的取值范围为[3，＋∞)．1.2.2
充要条件
一、选择题
1．“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若x(y－2)＝0，则x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立，反之，
若x2＋(y－2)2＝0，则x＝0且y＝2，一定有x(y－2)＝0，
因此，“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0”的必要而不充分条件，故选A.
答案：A
2．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当m＝1时，y＝x1－4＋5＝x2，是二次函数；反之，若y＝xm2－4m＋5为二次函数，则m2－4m＋5＝2，即m2－4m＋3＝0，
∴m＝1或m＝3，因此，“m＝1”是“y＝xm2－4m＋5为二次函数”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( )
A．b≥0
B．b≤0
C．b>0
D．b<0
解析：由于函数y＝x2＋bx＋c的图像是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝－，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－≤0，即b≥0，故选A.
答案：A
4．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是( )
A．－1≤a<0
B．a>－1
C．a≥－1
D．－1≤a<0或a>0
解析：a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即
(x－1)2＝0，x＝1>0.
答案：C
二、填空题
5．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．
解析：x2－3x＋2<0 (x－1)(x－2)<0 1答案：16．设n∈N
，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
7．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)
解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．
答案：底面是平行四边形 两组相对侧面分别平行
三、解答题
8．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解：(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足 0综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
9．[2014·江苏省南京师大附中月考]已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．
于是＝＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．
(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，＝＝p，又{an}为等比数列，∴＝p，
故＝p，即p－1＝p＋q，求得q＝－1.
综上可知，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．1.2.1
充分条件与必要条件
一、选择题
1．若 p是 q的必要条件，则q是p的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．非充分条件
D．非必要条件
解析： p是 q的必要条件，即 q p为真命题，故 q p的逆否命题p q也为真命题．
∴q是p的必要条件．
答案：B
2．对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A.
“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.
“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.
“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.
“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：当a＝b时，ac＝bc，而当ac＝bc时，若c＝0，则a和b不一定相等．
答案：B
3．已知条件p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则 p是 q的( )
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
解析： p：x2＋2x－3≤0，则－3≤x≤1；
q：5x－6≤x2，即x2－5x＋6≥0，
∴x≥3或x≤2.由小集合 大集合，
∴ p q，但 q p.故选A.
答案：A
4．一次函数y＝－x＋的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( )
A.
m>0，n>0
B.
mn<0
C.
m<0，n<0
D.
mn>0
解析：一次函数y＝－x＋的图像同时经过第一、二、四象限，即得m>0，n>0.
由题意可得，m>0，n>0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.
答案：D
二、填空题
5．用“充分条件”和“必要条件”填空．
(1)“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的__________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__________．
解析：(1)xy＝1lgx＋lgy＝0(如x＝y＝－1)，
lgx＋lgy＝0 lg(xy)＝0 xy＝1.
(2)△ABC≌△A′B′C′ △ABC∽△A′B′C′，
△ABC∽△A′B′C′△ABC≌△A′B′C′.
答案：(1)必要条件 (2)充分条件
6．已知α、β是不同的两个平面，直线a α，直线b β，
p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．
解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．已知p：x2＋x－2>0，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是__________．
解析：将p，q分别视为集合A＝{x|x2＋x－2>0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|x>a}，已知q是p的充分不必要条件，即B?A，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a的取值范围为a≥1.
答案：a≥1
三、解答题
8．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
9．[2014·河南省郑州一中月考]已知p：关于x的不等式解：记A＝{x|B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)若A＝ ，即≥，求得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠ ，即<，求得m>0，
要使A?B，应有解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．1.1
命题（2）
一、选择题
1．[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A.
“若xB.
“若x>y，则x2>y2”
C.
“若x≤y，则x2≤y2”
D.
“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：C
2．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
答案：A
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：命题“若p，则q”的否命题为“若 p，则 q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.
答案：B
4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．0
解析：原命题和它的逆否命题为真命题．
答案：C
二、填空题
5．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
解析：将条件、结论分别否定即可．
答案：若x≤y，则x3≤y3－1
6．[2014·江西省临川一中月考]命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．
答案：真
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1则m－1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
三、解答题
8．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数a的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
解：(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
9．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)垂直于同一个平面的两直线平行．
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
解：(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；真命题．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；真命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．
(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．1.1
命题（1）
一、选择题
1．下列语句不是命题的是( )
A.
3是15的约数
B.
15能被5整除吗？
C.
3小于2
D.
1不是质数
解析：因为B选项中为疑问句，故不是命题．
答案：B
2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可作为命题的是( )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在中国南方”，这在唐代是事实，故本语句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，故都不是命题．
答案：A
3．下列语句中假命题的个数是( )
①3是15的约数；
②15能被5整除吗？
③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？
④3小于2；
⑤9的平方根是3或－3；
⑥2不是质数；
⑦2既是自然数，也是偶数．
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：④⑥是假命题，②③不是命题，①⑤⑦是真命题．
答案：A
4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：B
二、填空题
5．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__________．
解析：①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．
答案：①④
6．命题“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0时，且Δ＝m2－12m<0，即00恒成立，所以0当m<0时，3mx2＋mx＋1>0不恒成立．
综上知0≤m<12.
答案：[0,12)
7．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sinA＝sinB；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．
②是假命题，数0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
三、解答题
8．将下列命题改成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
解：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除(真命题)．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称(真命题)．
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等(假命题)．
9．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，则可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，
即或
故m的取值范围是1全称量词与全称命题、存在量词与特称命题
一、选择题
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案：B
2．[2014·湖南师大附中月考]命题“ x∈R，x2>3”不可以表述为( )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
解析：本题主要考查特称命题．“ ”是存在量词符号，与“有一个”、“有些”、“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C.
答案：C
3．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是( )
A．a<1
B．a≤1
C．－1D．－1解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使
ax＋2x0＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
答案：A
4．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4>0；② x∈{1，－1，0},2x＋1>0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：对于①，这是全称命题，由于
Δ＝(－3)2－4×2×4<0，
所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，成以④为真命题．故选C.
答案：C
二、填空题
5．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．
①正方形的四条边相等；
②有些等腰三角形是正三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①③是全称命题，②④是特称命题．
答案：①③ ②④
6．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，0∴即∴
∴1答案：(－，－1)∪(1，)
7．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
① x∈R，f(x)≤f(x0)；
② x∈R，f(x)≥f(x0)；
③ x∈R，f(x)≤f(x0)；
④ x∈R，f(x)≥f(x0)．
解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图像的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：③
三、解答题
8．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)所有的对数函数都是单调函数；
(2)对某些实数x，有2x＋1>0；
(3) x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；
(4) x0∈Q，x＝3.
解：(1)命题中含有全称量词“所有的”，因此是全称命题，且是真命题．
(2)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，且是真命题．
(3)命题中含有全称量词的符号“ ”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22都是偶数，因此，该命题是真命题．
(4)命题中含有存在量词的符号“ ”，因此是特称命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
9．若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
解：法一：由题意， x∈[－1，＋∞)．令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立．
又f(x)＝(x－a)2＋2－a2，∴ x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
因为f(x)的最小值f(x)min≥a，
∴或 －1≤a≤1或－3≤a<－1，得a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0成立．
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．1.3.2
全称命题与特称命题的否定
一、选择题
1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论．
所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．
答案：D
2．[2013·四川高考]设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则( )
A.
p： x∈A,2x B
B.
p： x A,2x B
C.
p： x A,2x∈B
D.
p： x∈A,2x B
解析：因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为 p： x∈A,2x B.故选D.
答案：D
3．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有理数是实数
B．有些平行四边形是菱形
C． x0∈R,2x0＋3＝0
D． x∈R，x2－2x>1
解析：根据原命题和它的否定真假相反的法则判断．A、B、C显然正确，而D中不等式解集不是R，故选D.
答案：D
4．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2011”的否定是( )
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011
D．以上都不对
解析：特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
答案：C
二、填空题
5．[2014·山东滨州二模]命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
解析：本题主要考查全称命题的否定．本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称
6．若关于x的函数y＝的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是__________．
解析：由题意知应满足的条件为x2＋x＋m≥0恒成立，只需Δ＝1－4m≤0，解得m≥.
答案：[，＋∞)
7．若命题p： x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是__________．
解析：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对 x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立．当a＋2＝0时，不符合题意；
故有解得a≥2.
答案：[2，＋∞)
三、解答题
8．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)每条直线在y轴上都有一个截距；
(2)p：所有的正方形都是菱形；
(3)p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0；
(4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
解：(1)否定为：存在直线在y轴上没有截距．(真命题)．
因为与y轴平行的直线在y轴上没有截距，所以命题的否定为真命题．
(2)是全称命题， p：存在一个正方形不是菱形．正方形是特殊的菱形，所以 p为假命题．
(3)是特称命题， p： x∈R，x3＋1≠0.因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以 p为假命题．
(4)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”， p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行， p为真命题．
9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m>－4，
使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，
∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．