(共64张PPT)
3.3.2
函数的极值
【答案】 ③
答案：D
答案：C
答案：B3.3.3导数的应用
[学习目标]
1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．
3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．
【情境引入】
当你喝完一罐饮料时，你是否留意过手中的易拉罐？你是否思考过：容积一定的圆柱体易拉罐，怎样设计半径与高之比能使用料最少？在我们的生活中处处存在数学知识，只要留意，你会发现经常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利润最大”等问题，在数学上就是求函数的最大值、最小值问题．
那么，我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢？
【新知探究】
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得
和
，并且函数的最值必在
或
取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的
；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与
的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是
，最小的一个是
【例题讲解】
例1
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
【思路启迪】 先求出函数f(x)在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值．
【解】 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
取导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
当a>0时，列表如下：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
??
b
??
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3
∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取极小值，也就是函数在(－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝－29，即b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
点评:(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值．(2)含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件需要对a进行分类讨论，以便确定函数f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．
例2
已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1，若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
【思路启迪】 求出导函数f′(x)，转化为函数的最值问题．
【解】 f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，
故xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a.
令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1，令g′(x)＝0，得x＝1.
当00；当x>1时，g′(x)<0，故x＝1是g(x)的极大值点，且是最大值点，则g(x)≤g(1)＝－1.
综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．
点评：由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数知识求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min即可求出参数m的取值范围．
例3
已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c.
(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；
(2)当f(x)在x＝1处取得极值时，证明对[－1,2]内的任意两个值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤.
解：(1)∵f(x)＝x3－x2＋bx＋c，
∴f′(x)＝3x2－x＋b，要使f(x)有极值，
则3x2－x＋b＝0有实数解，
从而Δ＝1－12b≥0，
∴b≤.而当b＝时，函数在R上单调递增，不符合题意．
∴b<.
(2)证明：∵f(x)在x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝3－1＋b＝2＋b＝0.
∴b＝－2.∴f′(x)＝3x2－x－2.
令f′(x)＝0，
解得x＝1或x＝－.
由上可知，当x＝1时，f(x)有极小值－＋c；
当x＝－时，f(x)有极大值＋c.
又f(2)＝2＋c>＋c，f(－1)＝＋c>－＋c.
∴x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为－＋c，最大值为2＋c.
∴|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝.
故结论成立．
【课堂小结】
1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
2．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求
f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值．
[当堂检测]
1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在此区间上可能没有极值点
D．f(x)在此区间上可能没有最值点
解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确．
2．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，有最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
解析：f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，
∴f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，
∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.
答案：B
3．函数f(x)＝x＋2sinx在区间[－π，0]上的最小值是( )
A．－
B．2
C.＋
D．－－
解析：f′(x)＝1＋2cosx，令f′(x)＝0得x＝－，又
f(－π)＝－π，f(－)＝－－，f(0)＝0，故最小值为－－.
答案：D
4．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________．
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，
则x＝－1或x＝1(舍去)，
f(－1)＝3，f(0)＝1，f(－3)＝－17，
∴f(x)max＝f(－1)＝3，
f(x)min＝f(－3)＝－17.3.3.1
导数与单调性
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域[－4,6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )
A．[－，1]∪[，6]
B．[－3,0]∪[，5]
C．[－4，－]∪[1，]
D．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]
解析：不等式f′(x)≤0的解集即函数y＝f(x)的减区间，由图知y＝f(x)的减区间为[－，1]，[，6]，故
f′(x)≤0的解集为[－，1]∪[，6]
答案：A
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是( )
解析：f′(x)＝2x＋b，由于函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，∴x＝－>0，∴b<0，故选A.
答案：A
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由f′(x)>0，得x>2.
∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数．
答案：D
4．[2014·北京卷]
下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝
B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x
D．y＝log0.5(x＋1)
答案：A
5．函数f(x)＝x－2lnx的单调递减区间为( )
A．(－∞，0)
B．(2，＋∞)
C．(0,2)
D．(－∞，0)和(2，＋∞)
解析：函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－，令1－<0，解得0答案：C
6．已知函数f(x)＝＋lnx，则有( )
A．f(e)B．f(3)C．f(e)D．f(2)解析：f′(x)＝＋，
∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
又2答案：D
7．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1
B．a＝1
C．a≤1
D．0解析：f′(x)＝3x2－2ax－1.∵f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1<0在(0,1)内恒成立．
∴f′(0)≤0，f′(1)≤0.
∴a≥1.故选A.
答案：A
8．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且f(－1)＝0，则f(x)g(x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－1,0)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
解析：令F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，
且当x<0时，F′(x)<0，
即F(x)在(－∞，0)上为减函数．
又∵f(－1)＝0，即F(－1)＝0.
∴F(x)＝f(x)g(x)<0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
答案：A
二、填空题
9．函数f(x)＝sinx－2x在(－∞，＋∞)上是________(填增、减)函数．
解析：∵f′(x)＝cosx－2<0，∴f(x)在R上为减函数．
答案：减
10．函数y＝ex＋1－x的单调递减区间是________．
解析：定义域为R，且y′＝ex＋1－1，令y′<0，即ex＋1－1<0，∴x＋1<0，x<－1，故递减区间是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
11．函数f(x)＝2lnx－x2的单调递增区间是________．
解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－2x，令－2x>0，
解得x<－1，或0又∵x>0，故函数的递增区间是(0,1)．
答案：(0,1)
12．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－x＋，
∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．
又x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)>－1，
∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
三、解答题
13．[2014·山东卷]
设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.718
28…是自然对数的底数)．当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
13.解：(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－k
＝－
＝.
由k≤0可得ex－kx>0，
所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
14．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R，若f(x)在区间(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．
解：由于f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)，
分以下两种情况讨论．
(1)若a<1，则当x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0.
因此函数f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上是增函数．
显然，当0≤a<1时，f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
(2)若a≥1，则当x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0.
因此函数f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上是增函数．
显然，此时f(x)在区间(－∞，0)上一定为增函数．
故当a∈[0，＋∞)时，f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
15．已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f′(x)＝ex－a，令f′(x)≥0，得ex≥a，
当a≤0时，有f′(x)≥0在R上恒成立；
当a>0时，有x≥lna.
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间是[lna，＋∞)，递减区间是(－∞，lna]．
(2)f′(x)＝ex－a.
若f(x)在(－∞，0]上单调递减，
则ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立，即a≥ex，
而当x∈(－∞，0]时，ex≤1，∴a≥1；
若f(x)在[0，＋∞)上递增，
∴ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立．
即a≤ex，而当x∈[0，＋∞)时，ex≥1.∴a≤1.
综上可得a＝1，故存在a＝1满足条件．
[拓展延伸]
16．求证：x>1时，x>ln(1＋x)．
证明：设f(x)＝x－ln(1＋x)，
则f′(x)＝1－＝，
∵x≥1时，f′(x)>0，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x>1时，
f(x)＝x－ln(1＋x)>f(1)＝1－ln2>1－lne＝0，
∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)(x>1)．(共62张PPT)
3.3
导数在研究函数中的应用
3.3.3
导数的应用
答案：A
答案：C
答案：B
答案：D
答案：3，－173.3.2
函数的极值
一、选择题
1．下列关于函数的极值的说法正确的是( )
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析：由极值的概念可知只有D正确．
答案：D
2．若函数y＝f(x)可导，则“f′(x)＝0有实根”是“f(x)有极值”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：f′(x)＝0有实根，f(x)不一定有极值；但若f(x)有极值，则必有导数为0的点，即方程f′(x)＝0有根．
答案：A
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：函数在极小值点附近的图象应有先减后增的特点，因此根据导函数的图象，应该在导函数的图象上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数只有1个极小值点，故选A项．
答案：A
4．若函数f(x)＝ax－lnx在x＝处取得极值，则实数a的值为( )
A.
B.
C．2
D.
解析：f′(x)＝a－，令f′()＝0，
即a－＝0，解得a＝.
答案：A
5．已知函数y＝x－ln(1＋x)，则y的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：y′＝1－＝，
令y′＝0，解得x＝0，
当－1当x>0时，y′>0，函数单调递增．
∴x＝0为极小值点，函数有极小值．
答案：A
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )
A．－1B．－3C．a<－3或a>6
D．a<－1或a>2
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，若函数f(x)有极大值和极小值，则f′(x)有两个零点．令f′(x)＝0，则由Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.
答案：C
7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)，则极小值为( )
A．0
B．－
C．－
D．1
解析：f′(x)＝3x2－2px－q，
由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.
又f(1)＝1－p－q＝0，
联立方程组，解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，
解得x＝1或x＝，
经检验知x＝1是函数的极小值点，
∴f(x)极小值＝f(1)＝0.
答案：A
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a<－1
B．a>－1
C．a>－
D．a<－
解析：y′＝ex＋a，令y′＝0，得x＝ln(－a)，易知
x＝ln(－a)为函数的极值点，∴ln(－a)>0，∴a<－1.
答案：A
二、填空题
9．函数f(x)＝x2＋x＋2的极小值是________．
解析：f′(x)＝2x＋1，令f′(x)＝0，解得x＝－，当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，因此x＝－是函数的极小值点，极小值为f(－)＝.
答案：
10．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
11．若函数f(x)＝x3－3x－k在R上只有一个零点，则常数k的取值范围为________．
解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
∴f(x)极大值＝f(－1)＝2－k，
f(x)极小值＝f(1)＝－2－k，
∵函数f(x)在R上只有一个零点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即2－k<0或－2－k>0.
∴k>2或k<－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________(把所有正确的说法序号都填上)．
①当x＝时函数取得极小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：从图象上可以看到：当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
答案：②③④
三、解答题
13．求函数f(x)＝x2e－x的极值．
解：函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·()′
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
??
0
??
4e－2
??
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.
14．[2014·福建卷]
已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.求a的值及函数f(x)的极值；
解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f
′(x)＝ex－a.
又f
′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f
′(x)＝ex－2.
令f
′(x)＝0，得x＝ln
2.
当x2时，f
′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>ln
2时，f
′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln
2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln
2)＝eln
2－2ln
2＝2－ln
4，
f(x)无极大值．
15．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解：(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由题意可知，f′(1)＝f′(2)＝0，即
解方程组得
∴f(x)＝－lnx－x2＋x.
(2)f′(x)＝－x－1－x＋1.
原函数定义域为(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；
当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，
在x＝2处函数取得极大值－ln2.
16.[2014·四川卷]
已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718
28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
解析：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.3.3.2
函数的极值与最值
【课标学习目标】
1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．掌握函数极值的判定及求法．
3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
4．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．
[目标解读]
1．重点是函数极值的判定与求法．
2．难点是函数极值的综合应用．
【情境引入】
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．那么，在数学上，这种现象如何来刻画呢？
【课前预习】
1．设函数f(x)在点a，b及其附近有定义，如果，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝________；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)________，右侧f′(x)________．类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝________；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)________，右侧f′(x)________．
我们把点a叫做函数y＝f(x)的________，f(a)叫做函数y＝f(x)的________；点b叫做函数y＝f(x)的________，f(b)叫做函数y＝f(x)的________．极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________．
2．求函数y＝f(x)的极值的方法是：
(1)解方程________．
(2)当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．
3．一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
(1)__________________________________________；
(2)__________________________________________．
【题型探究】
【例1】求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝－2.
【分析】按照求极值的基本方法，首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
??
极大值f(－2)＝16
?
极小值f(2)＝－16
?
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且
f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.
当x＝2时，函数有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－2＝－3，
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
【评析】理解极值的定义是正确解决本题的关键点．应明确f′(x0)＝0只是函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要条件，必须加上该点左右两侧导数符号相反，方能判定在x0处取得极值．
【例2】设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.
(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．
【分析】由f′(3)＝0得关于a的方程求出a的值，但需要检验；(2)先求f(x)的增区间与(－∞，0)进行分析讨论得出a的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a
＝6(x－a)(x－1)．
因为f(x)在x＝3处取得极值，
所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.
经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．
(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，
得x1＝a，x2＝1.
当a<1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数．
故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，
则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，
从而f
(x)在(－∞，0)上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
【评析】本题的第(1)问直接求f′(x)，令f′(x)＝0，可求解．第(2)问利用分类讨论，将a与1比较作为分类的标准，判断在(－∞，0)上，f′(x)>0是否成立，从而确定a的取值范围，本题主要考查二次函数的极值问题和利用导数来求函数的单调性．
【例3】已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．
【分析】本题是一道函数与导数综合运用问题，首先导数的运算需过关，另外讨论时分类的标准是关键．
【解析】f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]，
令f′(x)＝0，得x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0.
(1)当Δ＝a2－4a>0，即a<0或a>4时，方程有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1即此时f(x)有两个极值点．
(2)当Δ＝0，即a＝0或a＝4时，方程有两个相同实根x1＝x2，于是f′(x)＝ex(x－x1)2.
故当x>x1时，f′(x)>0；
当x0，f(x)在R上为增函数，此时f(x)无极值．
(3)当Δ<0时，即00恒成立，
所以f(x)在R上是增函数，此时f(x)无极值．
综上，a>4或a<0时，f(x)有2个极值点．
0≤a≤4时，f(x)无极值点．
【评析】本题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值，解不等式，恒成立等基本知识，考查综合分析问题和解决问题的能力，及推理能力以及分类讨论的数学思想．
【例4】求下列函数的最值：
(1)f(x)＝sin2x－x；
(2)f(x)＝ln(1＋x)－x2，x∈[0,2]．
【分析】函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，在求[a，b]上的最值时，只需求出f(x)在(a，b)内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．
【解析】(1)f′(x)＝2cos2x－1，
令f′(x)＝0，得cos2x＝.
又x∈，∴2x∈[－π，π]，
∴2x＝±，∴x＝±.
∴函数f(x)在上的两个极值分别为
f
＝－，f
＝－＋.
又f(x)在区间端点的取值为
f
＝－，f
＝.
比较以上函数值可得
f(x)max＝，f(x)min＝－.
(2)f′(x)＝－x，令－x＝0，
化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.
当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1所以f(1)＝ln2－为函数f(x)的极大值．
又f(0)＝0，f(2)＝ln3－1>0，f(1)>f(2)．
所以f(0)＝0为函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln2－为函数在[0,2]上的最大值．
【评析】不论求函数的极值，还是最值，都要先看清定义域，当定义域没有给出时，首先求定义域．
【课堂小结】
根据可导函数极值的定义，要弄清以下几点：
1．极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；
2．极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；
3．极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；
4．f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．
【当堂检测】
1．已知函数y＝|x2－3x＋2|，则( )
A．y有极小值但无极大值
B．y有极小值0，但无极大值
C．y有极小值0，极大值
D．y有极大值，但无极小值
[解析] 作出函数图象可知y有极小值0，极大值.
故应选C.
2．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
[解析] ∵y′＝3x2－6＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，y′＞0；当－＜x＜时，y′＜0.
∴函数在x＝－时取得极大值a＋4；在x＝时取得极小值a－4.(共56张PPT)
3.3.1
导数与单调性
答案：D
答案：D
答案：B3.3.3
导数的应用
一、选择题
1．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为( )
A．－1
B．0
C．－
D.
解析：g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，)
(，
1)
1
g′
(x)
－
0
＋
g(x)
0
??
极小值
??
0
所以当x＝时，g(x)有最小值g()＝－.
答案：C
2．函数f(x)＝x3－3x(－1A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
解析：f′(x)＝3x2－3，由于－1f(x)在区间(－1,1)上单调递减，函数既没有最大值，也没有最小值．
答案：C
3．设在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上可导，有以下三个命题：
①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；
②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；
③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．
其中正确的命题共有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不是真命题．
答案：A
4．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)
B．
[，＋∞)
C．(，)
D．[，]
解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增，所以
f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故选D.
答案：D
5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37
B．－29
C．－5
D．以上都不对
解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大．
∴m＝3，
从而f
(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.故选A.
答案：A
6．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．0≤a<1
B．0C．－1D．0解析：f′(x)＝3(x2－a)，f(x)在(0,1)内有最小值，即
f′(x)在(0,1)上至少有一根，
∴f′(0)·f′(1)<0，即a(a－1)<0.
∴0答案：B
7．若不等式－x2＋2>0在区间[1,2]上恒成立，则a的取值范围是( )
A．a≤－1
B．a<－1
C．a≥4
D．a>4
解析：不等式－x2＋2>0，即>0在区间[1,2]上恒成立，即－x3＋2x＋a>0恒成立，∴a>x3－2x，令g(x)＝x3－2x，g′(x)＝3x2－2，令g′(x)＝0，得x＝±，又∵x∈[1,2]，所以只取x＝，又g(1)＝－1，g()＝－，g(2)＝4，故g(x)在[1,2]上最大值为4，因此a的取值范围是a>4.
答案：D
8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：MN的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，
h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
答案：D
二、填空题
9．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
解析：y′＝－1，令y′＝0，得x＝.
当x∈(0，)时y′>0，∴y＝－x在(0，)上为增函数．当x∈(，＋∞)时y′<0，
∴y＝－x在(，＋∞)上为减函数，故y＝－x在(0，＋∞)上的极大值为f()＝.
又f(0)＝0，∴y＝－x在[0，＋∞)上的最大值为.
答案：
10．f(x)＝x－lnx在区间(0，e]上的最小值为________．
解析：由f′(x)＝1－＝0，得x＝1，当0f′(x)<0；当10，所以最小值为f(1)＝1.
答案：1
11．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝2x＋2a，
f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)，说明f(x)在[0,1]上单调递减，
∴x∈[0,1]时，f′(x)≤0恒成立，
a≤－x，∴a≤－1.
答案：(－∞，－1]
12．已知函数f(x)＝2lnx＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.
令g(x)＝2x2－2x2lnx，
则g′(x)＝2x(1－2lnx)．
由g′(x)＝0得x＝e
eq
\s\up15(
)
，0(舍去)，
且0eq
\s\up15(
)
时，g′(x)>0；当x>e
eq
\s\up15(
)
时g′(x)<0，
∴x＝e
eq
\s\up15(
)
时g(x)取最大值g(e
eq
\s\up15(
)
)＝e，∴a≥e.
答案：a≥e
三、解答题
13．求函数f(x)＝在[0,2]上的最大值．
解：y′＝()′＝＝，令y′＝0，得x＝1，
而f(0)＝0，f(2)＝，f(1)＝，且>，
所以当x＝1时，函数取最大值y＝.
14．求函数f(x)＝＋lnx在[，2]上的最大值和最小值．
解：f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝1.
当x变化时，f′(x)和f(x)变化情况如下表：
x
(，1)
1
(1,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1－ln2
??
极小值0
??
－＋ln2
由上表可知，f(x)的最小值为f(1)＝0.
因为f()＝1－ln2，f(2)＝－＋ln2，f()－f(2)＝－2ln2＝(lne3－ln16)．
又因为e3>16，所以f()－f(2)>0，因此f(x)在[，2]上的最大值为f()＝1－ln2.
15．[2014·安徽卷]
设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0，1]时
，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
15．解：
(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，x1所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．
当xx2时，f′(x)<0；
当x10.
故f(x)在和
内单调递减，
在内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1.
由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，
所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值．
又f(0)＝1，f(1)＝a，
所以当0当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；
当116．[2014·福建卷]
已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x216．解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f
′(x)＝ex－a.
又f
′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f
′(x)＝ex－2.
令f
′(x)＝0，得x＝ln
2.
当x2时，f
′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>ln
2时，f
′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln
2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln
2)＝eln
2－2ln
2＝2－ln
4，
f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln
2)＝2－ln
4>0，
故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，
所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2导数在研究函数中的应用
【课标学习目标】
1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)
[目标解读]
1．重点是利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．
2．难点是利用导数证明一些简单不等式．
【情境引入】
中国是世界上人口最多的发展中国家．人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，统筹解决人口问题始终是中国实现经济发展、社会进步和可持续发展面临的重大而紧迫的战略任务．从20世纪70年代以来，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子，依照法律法规合理安排生育第二个子女．经过30年的努力，有效地控制了人口过快增长，实现了人口再生产类型由高出生率、低死亡率、高自然增长率向低出生率、低死亡率、低自然增长率的历史性转变．研究人口增长问题需要用到导数，从下图可以看出中国人口每增长2亿人所经历的时间越来越短．函数的单调性与导数有怎样的关系呢？
提示：导数的符号决定函数的单调性．
【新知探究】
1．在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．利用导数判别函数的单调性的法则如下：
如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)>0，则f(x)在这个区间上________；如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)<0，则f(x)在这个区间上________．
【题型探究】
题型一 判断函数的单调性
【例1】讨论下列函数的单调性：
(1)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)；
(2)f(x)＝(－1【解析】(1)函数的定义域为R.
f′(x)＝axlna－a－x·lna·(－x)′＝lna(ax＋a－x)．
当a>1时，lna>0，ax＋a－x>0，∴f′(x)>0，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
当00，∴f′(x)<0，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
(2)∵此函数为奇函数，且在(－1,1)上连续，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．
当0f′(x)＝b
·
＝－.
若b>0，则f′(x)<0，函数在(0,1)上是减函数；
若b<0，则f′(x)>0，函数在(0,1)上是增函数．
又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，
∴当b>0时，函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
当b<0时，函数f(x)在(－1,1)上是增函数．
【评析】在判断含参函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误判断，分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思维在联系知识与能力中的作用，从而提高计算能力．
变式训练
1
已知f(x)＝(a>0且a≠1)．讨论f(x)的单调性．
[解析] 函数的定义域为R，f′(x)＝.
当a>1时，lna>0，f′(x)>0；
当0∴a>1时，f(x)在R上单调递增，
0题型二 求函数的单调区间
【例2】求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3＋3x； (2)f(x)＝.(3)f(x)＝3x2－2lnx.
【解析】(1)∵f(x)＝x3＋3x，
∴f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)>0，
∴f(x)＝x3＋3x在x∈R上单调递增．
(2)要使函数y＝有意义，必须2x－x2≥0，即0≤x≤2.
∴函数的定义域为[0,2]．
f′(x)＝()′
＝(2x－x2)
·(2x－x2)′＝.
令f′(x)>0，则>0，
即 0【评析】求单调区间应先考虑函数定义域．另外，单调区间不可写成并集的形式．
题型三 函数单调性的综合应用
【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
【分析】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
【解析】(1)由已知得f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立．
∵3x2≥0，∴a≤0.
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0(只有x＝0时，f′(x)＝0)，
∴此时f(x)＝x3－1在R上仍为单调递增函数，
∴a≤0.
(2)证明：∵f(－1)＝a－2∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a上方．
【评析】f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某区间上单调的充分条件．本题应用f(x)在(a，b)上单调的充要条件f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.
变式训练2
已知函数f(x)＝x3－ax－1，是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析] 存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
假设存在，则f′(x)＝3x2－a≤0，在(－1,1)上恒成立．
即a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
∴a≥3.
【课堂小结】
1．在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
2．若f(x)在区间D上是增(或减)函数，则f′(x)在区间D上“≥0”(或“≤0”)恒成立．由不等式恒成立求参数取值范围时要根据不等式的具体特点选择合适的求解方法．
【当堂检测】
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)令f′(x)<0，得0∴函数f(x)的单调递减区间为(0,2)．
答案：D
2．函数f(x)＝xlnx的单调递增区间是( )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(0，)
D．(，＋∞)
解析：∵f(x)＝xlnx(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1.
令f′(x)>0，得x>.
∴函数f(x)的递增区间为(，＋∞)．
答案：D
3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，令3x2＋a≥0，
∴a≥－3x2，x∈(1，＋∞)．∴a≥－3.
答案：B
4．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是________．
解析：y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x在(2,8)内恒成立，∴b≤2.
答案：(－∞，2]
5．函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3ax2－2x＋1.
由题意知3ax2－2x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴解得a≥.