2.4 匀变速直线运动规律的应用
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.熟练运用匀变直线运动的公式.(重点)2.图像和追及问题的综合运用.(重点)3.匀变速直线运动规律的实际应用.(难点)4.分析追及和相遇问题.(难点)
生活中的匀变速直线运动
1.理想化模型的建立：匀变速直线运动是一种理想化的运动模型.生活中的许多运动由于受到多种因素的影响，运动规律往往比较复杂，但当我们忽略某些次要因素后，有时也可以把它们看成是匀变速直线运动.
2.汽车行驶的安全距离
(1)反应距离
司机从发现情况到操纵机械使汽车开始制动这段时间，汽车前进的距离.这段时间称为司机的反应时间，这段时间内汽车做匀速运动.
(2)刹车距离
从开始减速到停止行驶汽车前进的距离，这段时间内汽车做匀减速直线运动.
(3)安全距离
同车道同向行驶的机动车之间的安全距离应为刹车距离与反应距离的和.
3.基本公式的比较
一般形式
v0＝0
速度公式
vt＝v0＋at
vt＝at
位移公式
s＝v0t＋at2
s＝at2
位移、速度关系公式
v－v＝2as
v＝2as
(1)一个物体较复杂的运动过程可分解成几个较简单的运动阶段，分别求解.(√)
(2)安全距离与司机的反应时间以及行驶速度有关.(√)
(3)酒后驾驶的安全隐患主要是增大了刹车距离.(×)
生活中有哪些实际物体的运动可用匀变速直线运动描述.
【提示】 小球沿斜面滚上或滚下的运动；自行车自动的冲上斜坡或自动从斜坡上下滑的过程；滑冰时自动滑行的过程等.
探讨1：回忆前面几节讲过的匀变速直线运动的基本规律公式.
【提示】 (1)加速度定义式a＝
(2)速度公式v＝v0＋at①
(3)位移公式s＝v0t＋at
2②
(4)由①、②两式消去t，即得v2－v＝2as.
探讨2：物体做初速度为v0，加速度为a的匀加速直线运动，取初速度的方向为正方向，应用公式v2－v＝2as求解运动位移s时的速度v，v有一正一负两解，两解都有意义吗？为什么？
【提示】 物体做单一方向的加速直线运动，速度不可能是负值，故正值有意义，负值无意义应舍掉.
1.“刹车类”问题特点：对于汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等这类交通工具的匀减速直线运动，当速度减到零后，加速度也为零，物体不可能倒过来做反向的运动，所以其运动的最长时间t＝.
2.“刹车类”问题的处理方法：首先计算速度减到零所需时间，然后再与题中所给的时间比较，看在所给的时间内是否早已停止，如果是，则不能用题目所给的时间计算，这就是所谓的“时间过量”问题；如果没有停止，则可以应用题目所给的时间直接求解.
1.汽车正在以12
m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方15
m处有一障碍物，汽车立即刹车做匀减速运动，加速度大小为6
m/s2，刹车后3
s末汽车和障碍物之间的距离为( )
A.3
m
B.6
m
C.12
m
D.9
m
【解析】 汽车从刹车到静止用时t＝＝2
s，刹车后3
s末汽车已静止，此过程汽车前进的距离s＝＝
m＝12
m，故刹车后3
s末汽车和障碍物之间的距离为15
m－12
m＝3
m，A正确.
【答案】 A
2.一辆汽车刹车前速度为90
km/h，刹车时获得的加速度大小为
10
m/s2，求：
(1)汽车开始刹车后10
s内滑行的距离s0；
(2)从开始刹车到汽车位移为30
m所经历的时间t；
(3)汽车静止前1
s内滑行的距离s′.
【解析】 (1)先算出汽车刹车经历的总时间.
由题意可知，初速度v0＝90
km/h＝25
m/s，
末速度vt＝0
根据vt＝v0＋at0及a＝－10
m/s2得
t0＝＝
s＝2.5
s<10
s
汽车刹车后经过2.5
s停下来，因此汽车刹车后10
s内的位移等于刹车后2.5
s内的位移.
根据v－v＝2as0得
s0＝＝
m＝31.25
m
(2)根据s＝v0t＋at2得
t＝＝
s
解得t1＝2
s，t2＝3
s
t2表示汽车经t1后继续前进到达最远点后，再反向加速运动重新到达位移为30
m处时所经历的时间，由于汽车刹车是单向运动，很显然，t2不合题意，应舍去.
(3)把汽车减速到速度为零的过程可反过来看做初速度为零的匀加速运动，求出汽车以10
m/s2的加速度从静止开始运动经过1
s的位移，即
s′＝at′2＝×10×12
m＝5
m.
【答案】 (1)31.25
m (2)2
s (3)5
m
追及相遇问题
1.追及问题
(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置.
(2)追及问题满足的两个关系：
①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等.
②位移关系：s2＝s0＋s1，其中s0为开始追赶时两物体之间的距离，s1表示前面被追赶物体的位移，s2表示后面追赶物体的位移.
(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.
2.相遇问题
(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置.
(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇.
(3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零.
3.(多选)甲与乙两个质点向同一方向运动，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀速直线运动.开始计时时甲、乙位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时，下列判断正确的是( )
A.两质点速度相等
B.甲与乙在这段时间内的平均速度相等
C.乙的瞬时速度是甲的2倍
D.甲与乙的位移相同
【解析】 由题意可知，二者位移相同，所用的时间也相同，则平均速度相同，再由＝＝v乙，所以甲的瞬时速度是乙的2倍，故选B、D.
【答案】 BD
4.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标，在描述两车运动的v t图像中(如图2 4 1所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20
s的运动情况，关于两辆车之间的位置关系，下列说法正确的是( )
图2 4 1
A.在0～10
s内两车逐渐靠近
B.在10～20
s内两车逐渐远离
C.在5～15
s内两车的位移相等
D.在t＝10
s时两车在公路上相遇
【解析】 由v t图像知，0～10
s内，v乙>v甲，两车逐渐远离，10～20
s内，v乙s内，两图线与t轴包围的面积相等，故两车的位移相等，故C对.在t＝10
s时，两车的位移不相等，说明两车不相遇，故D错.
【答案】 C
5.摩托车先由静止开始以
m/s2的加速度做匀加速运动，之后以最大行驶速度25
m/s做匀速运动，追赶前方以15
m/s的速度同向匀速行驶的卡车.已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1000
m，则：
(1)追上卡车前两车相隔的最大距离是多少？
(2)摩托车经过多少时间才能追上卡车？
【解析】 (1)由题意得，摩托车做匀加速运动的最长时间t1＝＝16
s.
位移s1＝＝200
mm，
所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车，则追上卡车前两车速度相等时间距最大.
设从开始经过t2时间速度相等，最大间距为sm，
于是有：at2＝v，
所以t2＝＝9.6
s，
最大间距sm＝s0＋v·t2－at
＝1000
m＋15×9.6
m－××9.62
m＝1
072
m.
(2)设从开始经过t时间摩托车追上卡车，
则有：s1＋vm(t－t1)＝s＋v·t，
解得：t＝120
s.
【答案】 (1)1
072
m (2)120
s
解决追及与相遇问题的常用方法
1.物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系.
2.图像法：将两者的速度—时间图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解.
3.数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰.2.1 伽利略对落体运动的研究
2.2 自由落体运动的规律
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1.知道物体做自由落体运动的条件.
2.通过实验探究自由落体运动加速度的特点，建立重力加速度的概念.知道重力加速度的大小、方向.(重点)3.掌握自由落体运动的规律，并能解决相关实际问题.(难点)4.了解伽利略对自由落体运动的研究方法，领会伽利略的科学思想.(难点)
伽利略对落体运动的研究
1.影响落体运动快慢的因素
(1)亚里士多德的错误观点：重的物体比轻的物体下落得快.
(2)伽利略佯谬：把轻重不同的两个物体连在一起下落，a.它们应以某个中间大小的速度下落.b.连在一起更重了，下落速度应更大.显然两个推论矛盾，由此伽利略推翻了亚里士多德的错误观点.
(3)排除空气阻力的影响，物体下落速度的变化与物体质量的大小无关.
2.伽利略探究之路
(1)猜想：下落物体的速度是随着时间均匀增加的，即v∝t，且推知s∝t2.
(2)实验：用“冲淡重力“的斜面实验.
结果：＝＝＝…＝常数，即小铜球滚下的位移总是与运动时间的平方成正比.
(3)推理：在“冲淡重力”实验中，当倾角等于90°时，即物体做竖直下落运动，(＝＝＝…＝常数)成立，并且此时的的数值最大.
(4)结论：下落物体的速度是随着时间均匀增加的.
(5)用频闪照相的方法可得做落体运动的小球：h∝t2.
(1)亚里士多德认为物体下落的快慢与物体的轻重无关.(×)
(2)伽利略认为物体越重，下落得越快.(×)
(3)牛顿管实验说明没有空气阻力时，金属片和羽毛下落快慢相同.(√)
一张纸片下落和把该纸片揉成团下落快慢不同是什么原因造成的？为什么在抽成真空的钱毛管中金属片和羽毛下落的快慢相同？
【提示】 纸片受到的空气阻力较大，而纸团受到的空气阻力较小，造成二者下落快慢不同.由于抽成真空的钱毛管对金属片和羽毛均没有空气阻力，它们只在重力作用下做自由落体运动.
1.伽利略在对自由落体运动的研究过程中，开创了如图2 1 1所示的一套科学研究方法，其中方框2和4中的方法分别是( )
→→→→→
图2 1 1
A.实验检验，数学推理
B.数学推理，实验检验
C.提出假设，实验检验
D.实验检验，合理外推
【解析】 这是依据思维程序排序的问题，这一套科学研究方法，要符合逻辑顺序，即通过观察现象，提出假设，根据假设进行逻辑推理，然后对自己的逻辑推理进行实验验证，紧接着要对实验结论进行修正推广.故A、B、D错误，C正确.
【答案】 C
2.(多选)一个铁钉和一团棉花同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为( )
A.铁钉比棉花团重
B.棉花团受到的空气阻力不能忽略
C.棉花团的加速度比重力加速度小
D.铁钉的重力加速度比棉花团的重力加速度大
【解析】 铁钉受到的空气阻力与其重力相比较小，可以忽略，而棉花受到的空气阻力与其重力相比较大，不能忽略，所以铁钉的下落加速度较大，而它们的重力加速度是相同的，故只有B、C正确.
【答案】 BC
自由落体运动的规律
1.定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动.
2.自由落体的加速度
(1)定义：自由落体的加速度也叫做重力加速度，用符号g表示；
(2)方向：竖直向下.
3.自由落体的公式
(1)速度公式：vt＝gt.
(2)位移公式：h＝gt2/2.
(3)速度与位移的关系式：v＝2gh.
(1)自由落体运动加速度的大小与物体质量有关.(×)
(2)重力加速度的方向竖直向下.(√)
(3)在地球上不同的地方，g的大小不同，但方向都是竖直向下的.(√)
分析《课本》中关于重力加速度的图表，重力加速度大小随纬度怎样变化？
【提示】 在地球上的不同地方，重力加速度g的大小不同，且纬度越高重力加速度越大，赤道上重力加速度最小，但各地的重力加速度都接近9.8
m/s2，因此一般计算中g取9.8
m/s2或10
m/s2.
探讨：月球表面没有空气，在月球表面附近自由下落的物体的运动规律是否与地球上的自由落体运动规律相似？
【提示】 在月球表面附近自由下落的物体也是自由落体运动，它的运动规律与地球上的自由落体运动规律完全相同，但两者的重力加速度不同.
1.理想模型
自由落体运动是一种理想化模型，只有当下落物体所受空气阻力可以忽略时才可看做自由落体运动.
2.运动性质
物体仅受重力作用，v0＝0，a＝g.即初速度为零的匀加速直线运动.
3.运动规律
(1)速度公式：vt＝gt；
(2)位移公式：h＝gt2/2；
(3)速度与位移的关系式：v＝2gh；
在应用自由落体运动的规律解题时，通常选取竖直向下的方向为正方向.
4.由v t图像求位移
(1)匀速直线运动的v t图像如图2 1 2所示，t0时间内位移s＝v0t0，即为图中阴影部分的面积.
(2)匀变速直线运动的v t图像如图2 1 3所示.
图2 1 3
把t0时间分为若干时间间隔Δt，Δt内速度变化很小，可认为做匀速直线运动，由此可推知，图线与t轴所围“面积”即为t0时间内物体的位移.
5.关于自由落体运动的几个比例关系式
(1)第1T末，第2T末，第3T末，…，第nT末速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n；
(2)前1T内，前2T内，前3T内，…，前nT内的位移之比h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶4∶9∶…∶n2；
(3)第1T内，第2T内，第3T内，…，第nT内的位移之比hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1).
6.两个重要推论
(1)在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝.
(2)逐差相等
任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等，即Δh＝hⅡ－hⅠ＝hⅢ－hⅡ＝…＝gT2.
3.关于自由落体运动，下列说法中正确的是
( )
A.不考虑空气阻力的运动是自由落体运动
B.物体做自由落体运动时不受任何外力作用
C.被运动员推出去的铅球的运动是自由落体运动
D.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
【解析】 自由落体运动的特点是初速度为零，仅受重力.不考虑空气阻力的运动不一定是自由落体运动.故A、B错误；被运动员推出去的铅球具有水平初速度，不满足自由落体运动的条件，C错误；自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D正确.
【答案】 D
4.关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是( )
A.重的物体的g值大
B.同一地点，轻、重物体的g值一样大
C.g值在地球上任何地方都一样大
D.g值在赤道处大于在北极处
【答案】 B
5.从离地面500
m的空中自由落下一个小球，g取10
m/s2，求小球：
(1)经过多长时间落到地面；
(2)自开始下落计时，在第1
s内的位移和最后1
s内的位移为多少；
(3)下落时间为总时间的一半时的位移.
【解析】 (1)由h＝gt
2，得落地时间
t＝＝
s＝10
s.
(2)第1
s内的位移
h1＝gt＝×10×12
m＝5
m
因为从开始运动起前9
s内的位移为
h9＝gt＝×10×92
m＝405
m
所以最后1
s内的位移为
h′1＝h－h9＝500
m－405
m＝95
m.
(3)下落一半时间即t′＝5
s，其位移为h5＝gt′2＝
×10×25
m＝125
m.
【答案】 (1)10
s (2)5
m 95
m (3)125
m
重力加速度的三种测量方法
探讨：利用打点计时器测量重力加速度时，选用密度较大的重锤，这样做的目的是什么？
【提示】 重锤重而体积小，下落时所受空气阻力可以忽略，它的运动可以近似看做自由落体运动.
1.打点计时器法
(1)按如图2 1 4所示连接好实验装置，让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹.
图2 1 4
(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT
2求出重力加速度的大小.
2.频闪照相法
(1)频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置.
(2)根据匀变速运动的推论Δh＝gT
2可求出重力加速度g＝.也可以根据v＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，也可求出重力加速度g.
3.滴水法
如图2 1 6所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去.用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h，再测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启秒表开始计时，之后每落下一滴水依次数1、2、3…，当数到n时按下秒表停止计时，读出秒表时间t，则每一滴水滴下落的时间为T＝，由h＝gT
2得g＝＝.
由于h＝gT
2，则h∝T
2，因此先画出h T
2图像，利用图线的斜率来求重力加速度更准确.
6.如图所示是用照相机对一小球做自由落体运动频闪拍摄的照片，符合实际的是( )
A B C D
【解析】 因频闪拍摄的频率是固定的，因此，小球做自由落体运动，越向下运动，相邻小球之间的距离越大，故D正确.
【答案】 D
7.(多选)在一次利用滴水法测重力加速度的实验中：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子而听到声音时，后一滴恰好离开水龙头.从第1次听到水击盘声时开始数“1”并开始计时，数到“n”时听到水击盘声的总时间为T，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度.则
( )
A.每一滴水从水龙头落到盘子的时间为
B.每一滴水从水龙头落到盘子的时间为
C.重力加速度的计算式为
D.重力加速度的计算式为
【解析】 从第1次听到水击盘声开始计数为“1”，当数到“n”时，共经历了n－1个水滴下落的时间，故每一滴水从水龙头落到盘子的时间为t＝，A错误，B正确；由h＝gt
2，可得：g＝，C错误，D正确.
【答案】 BD
8.图2 1 7中甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50
Hz.
甲 乙 丙
图2 1 7
(1)甲、乙两图相比较，哪个图所示的装置更合理？
(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5…经测量，第15至第17点间的距离为11.70
cm，第1至第16点间距离为43.88
cm，则打下第16个点时，重物下落的速度大小为________m/s，测出的重力加速度值为g＝________
m/s2.(要求保留三位有效数字)
【解析】 (1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力；又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理.
(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝＝2.93
m/s
又根据2gH＝v
可得g＝9.78
m/s2.
【答案】 (1)甲图 (2)2.93 9.78±0.02
利用纸带求重力加速度的三种方法
1.逐差法：依据相等时间间隔内的位移差为定值，即Δs＝gT
2，则g＝.
2.平均值法：依据位移公式s＝gt
2，得g＝，并多次测量s、t，求多个g值，再取平均值.
3.图像法：用vn＝，求各打点时刻的瞬时速度，画出v t图像，由图像斜率求g值.
图2 1 2
图2 1 2
图2 1 5
图2 1 6
图2 1 62.3 匀变速直线运动的规律
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1.匀变速直线运动的规律及应用.(重点)2.用运动的合成方法推导匀变速直线运动的规律公式.(难点)3.用匀变速直线运动规律解决实际问题.(难点)
匀变速直线运动的规律
初速度为零的匀变速直线运动
初速度不为零的匀变速直线运动
速度公式
vt＝at
vt＝v0＋at
位移公式
s＝at2
s＝v0t＋at2
速度与位移的关系
v＝2as
v－v＝2as
图像
图像特点
图像过原点
纵轴有截距
应用
图像斜率表示加速度大小，图线与时间轴所围成面积表示位移大小
(1)利用v t图像只能求沿正方向运动物体的位移.(×)
(2)应用公式s＝v0t＋at2计算时，s、v0、a三者方向必须相同.(×)
(3)做单向匀减速直线运动的物体，速度越来越小，位移越来越大.(√)
(4)v－v＝2as常用于不涉及时间的匀变速直线运动的求解.(√)
某物体的速度—时间图像如图2 3 1所示，试说明该物体做什么运动.
图2 3 1
【提示】 由于物体的v t图像是一条倾斜直线，故物体做匀变速直线运动；又由于它在0～t1时间段内的速度逐渐减小，即该段时间内物体做匀减速直线运动；在t1～t2时间段内的速度逐渐增大，该段时间内物体做匀加速直线运动.
探讨1：如何根据v t图像中的“面积”表示位移？推导位移公式s＝v0t＋at
2.
【提示】 如图所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)·OA.
与之对应的物体的位移
s＝(v0＋v)t.
由速度公式v＝v0＋at，
代入上式得s＝v0t＋at
2.
探讨2：利用公式s＝v0t＋at
2求出的位移大小等于物体运动的路程吗？
【提示】 不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程.
1.对vt＝v0＋at的理解
(1)在直线运动中，规定正方向(常以v0的方向为正方向)后，式中的各量
vt、v0、a的方向转化为带有“＋”“－”号的代数量，则匀加速直线运动可表示为vt＝v0＋at；匀减速直线运动可表示为vt＝v0－at.
(2)当v0＝0时，vt＝at，表示初速度为零的匀加速直线运动的速度、加速度与时间的关系.末速度为零的匀减速直线运动，在计算时可以将其看成反方向运动的初速度为零的匀加速直线运动，a去掉“负号”取“正值”，为大小不变的匀加速直线运动.
由vt＝at可知，
当初速度为零时，物体的瞬时速度跟时间成正比.
2.对s＝v0t＋at2的理解
(1)公式中，s是位移，而不是路程，s、v0、a同样有大小，有方向，由规定的正方向把各量的方向用“＋”“－”号表示，代入公式中.
(2)位移的大小是时间的二次函数，所以匀变速直线运动的s t图像是曲线.
(3)初速度等于零的匀加速直线运动，位移公式可以写成s＝at2，位移的大小与时间的平方成正比.
3.对v－v＝2as的理解
(1)公式中反映的不仅是各物理量的大小关系，同时表示了各物理量的方向关系.
(2)当初速度v0＝0时，公式又可写成v＝2as.对于匀减速到停止的物体的运动可以逆向分析，s、v0、a都取大小，则v＝2as.
(3)从公式可以看出，物体的速度不随位移均匀变化.
1.一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5
s时间，汽车的加速度为2
m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15
m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为( )
A.2
m/s
B.10
m/s
C.2.5
m/s
D.5
m/s
【解析】 由题意知v＝15
m/s，a＝2
m/s2，t＝5
s，根据v＝v0＋at得，v0＝v－at＝15
m/s－2×5
m/s＝5
m/s，故选D.
【答案】 D
2.某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是s＝4t＋2t
2，s与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A.4
m/s与2
m/s2
B.0与4
m/s2
C.4
m/s与4
m/s2
D.4
m/s与0
【解析】 对比s＝4t＋2t
2和位移公式s＝v0t＋at
2，可知其初速度v0＝4
m/s,2＝a，则加速度a＝4
m/s2.
【答案】 C
3.A、B、C三点在同一条直线上，某物体自A点从静止开始做匀加速直线运动，经过B点时速度为v，到C点时速度为2v，则AB和BC两段距离大小之比是( )
A.1∶4
B.1∶3
C.1∶2
D.1∶1
【解析】 根据公式v2－v＝2ax，可得AB两段距离为：x1＝，BC段的距离为：x2＝＝，故x1∶x2＝1∶3，B正确.
【答案】 B
运动学问题的一般求解思路
1.弄清题意.建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量.
2.弄清研究对象.明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式.
3.列方程、求解.必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合.
匀变速直线运动的常用推论
1.平均速度公式：＝v＝
即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半.
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由s＝v0t＋at
2，①
得平均速度＝＝v0＋at.②
由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a，③
由②③得＝v.④
又v＝v＋a，⑤
由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.
2.逐差相等
匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等.做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为sⅠ、sⅡ、sⅢ、…、sN，则Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT
2.
推导：s1＝v0T＋aT
2，s2＝v0·2T＋a·T
2，
s3＝v0·3T＋aT
2…，
所以sⅠ＝s1＝v0T＋aT
2；sⅡ＝s2－s1＝v0T＋aT
2；sⅢ＝s3－s2＝v0T＋aT
2…，
故sⅡ－sⅠ＝aT
2，sⅢ－sⅡ＝aT
2…，
所以，Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT
2.
3.中间位置的速度与初末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移s的初末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v2－v＝2a，对后一半位移v2－v2＝2a，即v2－v＝v2－v2，所以v＝.
4.由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例
(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1).
(4)通过前1s、前2s、前3s…位移时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(5)通过前1s、前2s、前3s…的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－).
4.(多选)汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4
s末通过C点时关闭发动机做匀减速运动，再经6
s到达B点停止，总共通过的位移是30
m，则下列说法正确的是( )
A.汽车在AC段与BC段的平均速度相同
B.汽车通过C点时的速度为3
m/s
C.汽车通过C点时的速度为6
m/s
D.AC段的长度为12
m
【解析】 设汽车通过C点时的速度为vC，由＝可知，汽车在AC段与BC段的平均速度均为＝，A正确；由t1＋t2＝xAB，t1＋t2＝10
s可得vC＝6
m/s，C正确，B错误；由sAC＝t1可得：sAC＝12
m，D正确.
【答案】 ACD
5.如图2 3 2所示，一冰壶以速度v垂直进入两个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )
图2 3 2
A.v1∶v2＝2∶1
B.v1∶v2＝∶1
C.t1∶t2＝1∶
D.t1∶t2＝(－1)∶1
【解析】 初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；
由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶(－1)，则所求的速度之比为(－1)∶1，故A、B错误；故选D.
【答案】 D
6.有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24
m和64
m，连续相等的时间为4
s，求质点的初速度和加速度大小.
【解析】 (1)常规解法：由位移公式得
s1＝vAT＋aT
2，
s2＝－.
将s1＝24
m，s2＝64
m，T＝4
s代入两式求得
vA＝1
m/s，a＝2.5
m/s2.
(2)用平均速度求解：
设物体通过A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC，
则有＝，＝，
＝，
解得vA＝1
m/s，vB＝11
m/s，
vC＝21
m/s，所以，加速度为
a＝＝
m/s2＝2.5
m/s2.
(3)用推论公式求解：
由s2－s1＝at
2得64－24＝a·42，
所以a＝2.5
m/s2，
再代入s1＝vAT＋aT
2可求得vA＝1
m/s.
【答案】 1
m/s 2.5
m/s2
解题时巧选公式的基本方法
1.如果题目中无位移s，也不需求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at；
2.如果题目中无末速度v，也不需求末速度，一般选用位移公式s＝v0t＋
at
2；
3.如果题中无运动时间t，也不需要求运动时间，一般选用导出公式v2－v＝2as；
4.如果题目中没有加速度a，也不涉及加速度的问题，用＝＝计算比较方便.第2章
研究匀变速直线运动的规律
章末分层突破
①v＝v0＋at
②s＝v0t＋at
2
③v2－v＝2as
④
⑤v
⑥Δs＝aT
2
⑦图像纵坐标
⑧图像的斜率
⑨图像与t轴围成的面积
⑩图像纵坐标
图像的斜率
等于零
只受重力
v＝gt
h＝gt
2
v2＝2gh
9.8
m/s2或10
m/s2
竖直向下
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
匀变速直线运动规律的理解与应用
1.匀变速直线运动的常用解题方法
常用方法
规律特点
一般公式法
v＝v0＋at；s＝v0t＋at
2；v2－v＝2as.使用时一般取v0方向为正方向
平均速度法
＝对任何直线运动都适用，而＝(v0＋v)只适用于匀变速直线运动
中间时刻速度法
v＝＝(v0＋v)，适用于匀变速直线运动
比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用比例法解题
图像法
应用v t图像，可把较复杂的问题转变为较简单的数学问题解决
巧用推论解题
sn＋1－sn＝aT
2，若出现相等的时间问题，应优先考虑用Δs＝aT
2求解
逆向思维法(反演法)
把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知情况
2.注意事项
(1)解题时首先选择正方向，一般以v0方向为正方向.
(2)刹车类问题一般先求出刹车时间.
(3)对于有往返的匀变速直线运动(全过程加速度a恒定)，可对全过程应用公式v＝v0＋at、s＝v0t＋at
2、…列式求解.
(4)分析题意时要养成画运动过程示意图的习惯，特别是对多过程问题.对于多过程问题，要注意前后过程的联系——前段过程的末速度是后一过程的初速度；再要注意寻找位移关系、时间关系.
物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图2 1所示，已知物体运动到斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间.
图2 1
【解析】 解法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面.故sBC＝at，sAC＝a(t＋tBC)2
又sBC＝sAC/4
解得tBC＝t.
解法二：比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为
s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
现有sBC∶sBA＝(sAC/4)∶(3sAC/4)＝1∶3
通过sAB的时间为t，故通过sBC的时间tBC＝t.
解法三：中间时刻速度法
利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度AC＝(vA＋vC)/2＝(v0＋0)/2＝v0/2
又v＝2asAC，v＝2asBC，sBC＝sAC/4
由以上各式解得vB＝v0/2
可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是时间中点的位置，因此有tBC＝t.
解法四：图像法
利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出v t图像，如图所示，S△AOC/S△BDC＝CO2/CD2且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC
所以4/1＝(t＋tBC)2/t
解得tBC＝t.
【答案】 t
s t图像和v t图像的比较
两类运动图像对比
s t图像
v t图像
典型图像
其中④为抛物线
其中④为抛物线
意义
反映的是位移随时间的变化规律
反映的是速度随时间的变化规律
点
对应某一时刻物体所处的位置
对应某一时刻物体的速度
斜率
斜率的大小表示速度大小斜率的正负表示速度的方向
斜率的大小表示加速度的大小斜率的正负表示加速度的方向
截距
直线与纵轴截距表示物体在t＝0时刻距离原点的位移，即物体的出发点；在t轴上的截距表示物体回到原点的时间
直线与纵轴的截距表示物体在t＝0时刻的初速度；在t轴上的截距表示物体速度为0的时刻
两图线的交点
同一时刻各物体处于同一位置
同一时刻各物体运动的速度相同
如图2 2所示的位移(s)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )
图2 2
A.甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B.0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C.0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D.0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
【解析】 s t图像表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹.由x t图像可知，甲、乙两车在0～t1时间内均做单向直线运动，且在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B错误；在v t图像中，t2时刻丙、丁两车速度相同，故0～t2时间内，t2时刻两车相距最远，C正确；由图线可知，0～t2时间内丙车的位移小于丁车的位移，故丙车的平均速度小于丁车的平均速度，D错误.
【答案】 C
在图像问题的学习与应用中首先要注意区分它们的类型，其次应从图像所表达的物理意义，图像的斜率、截距、交点、拐点、面积等方面的含义加以深刻理解.
纸带问题的分析与处理
1.判断物体的运动性质
(1)根据匀速直线运动的位移公式s＝vt知，若纸带上各相邻的点的间隔相等，则可判定物体做匀速直线运动.
(2)由匀变速直线运动的推论Δs＝aT
2知，若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动.
2.求瞬时速度
根据在匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度：vn＝，即n点的瞬时速度等于(n－1)点和(n＋1)点间的平均速度.
3.求加速度
(1)逐差法
虽然用a＝可以根据纸带求加速度，但只利用一个Δs时，偶然误差太大，为此应采取逐差法.
图2 3
如图2 3所示，纸带上有六个连续相等的时间间隔T内的位移s1、s2、s3、s4、s5、s6.由Δs＝aT
2可得：
s4－s1＝(s4－s3)＋(s3－s2)＋(s2－s1)＝3aT
2
s5－s2＝(s5－s4)＋(s4－s3)＋(s3－s2)＝3aT
2
s6－s3＝(s6－s5)＋(s5－s4)＋(s4－s3)＝3aT
2
所以a＝
＝.
由此可以看出，各段位移都用上了，能有效地减少偶然误差.
(2)两段法
将如图2 3所示的纸带分为OC和CF两大段，每段时间间隔是3T，可得：s4＋s5＋s6－(s1＋s2＋s3)＝a(3T)2，显然，求得的a和用逐差法所得的结果是一样的，但该方法比逐差法简单多了.
(3)v t图像法
根据纸带，求出各时刻的瞬时速度，作出v t图像，求出该v t图像的斜率k，则k＝a.
这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，有效地减少偶然误差.
某实验小组利用打点计时器、斜面和小车分析小车的运动情况，实验装置如图2 4：
图2 4
图2 5
(1)实验中打点计时器所使用的电源为________.(填“交流电源”或“直流电源”)
(2)图2 5为某同学打出的一条纸带的一部分，描出O、A、B、C、D五个计数点(相邻两个计数点间有四个点未画出).用毫米刻度尺测量各点与O点间距离如图所示，已知所用电源的频率为50
Hz，则打B点时小车运动的速度vB＝________
m/s，小车运动的加速度a＝________
m/s2.(结果要求保留两位有效数字)
【解析】 (1)实验中打点计时器所使用的电源为交流电源.
(2)由于每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.1
s，
根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上B点时小车的瞬时速度大小.
vB＝＝
m/s＝0.62
m/s
设O到A之间的距离为s1，以后各段分别为s2、s3、s4，
根据匀变速直线运动的推论公式Δs＝at
2可以求出加速度的大小，
得：s3－s1＝2a1T
2
s4－s2＝2a2T
2
为了更加准确的求解加速度，我们对两个加速度取平均值
得：a＝
即小车运动的加速度计算表达式为：
a＝＝
m/s2
＝1.8
m/s2.
【答案】 (1)交流电源 (2)0.62 1.8
1.甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v t图像如图2 6所示.在这段时间内( )
图2 6
A.汽车甲的平均速度比乙大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【解析】 因为图像与坐标轴所夹的面积表示物体的位移，因此在0～t1时间内，甲车的位移大于乙车的位移，根据＝可知，甲车的平均速度大于乙车的平均速度，选项A正确，C错误；因为乙车做非匀变速运动，故不能用计算平均速度，选项B错误；图线切线的斜率表示物体运动的加速度，据图知，甲、乙两车的加速度均逐渐减小，选项D错误.
【答案】 A
2.
(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v
t图像如图2 7所示.已知两车在t＝3
s时并排行驶，则( )
图2 7
A.在t＝1
s时，甲车在乙车后
B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5
m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2
s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40
m
【解析】 由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10
m/s2.乙车做初速度v0＝10
m/s、加速度a乙＝5
m/s2的匀加速直线运动.3
s内甲、乙车的位移分别为：
s甲＝a甲t＝45
m
s乙＝v0t3＋a乙t＝52.5
m
由于t＝3
s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δs＝s乙－s甲＝
7.5
m，选项B正确；t＝1
s时，甲车的位移为5
m，乙车的位移为12.5
m，由于甲车的初始位置超前乙车7.5
m，则t＝1
s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5
m－12.5
m＝40
m，选项D正确.
【答案】 BD
3.某同学使用打点计时器测量当地的重力加速度.
(1)请完成以下主要实验步骤：按图2 8(a)安装实验器材并连接电源；竖直提起系有重物的纸带，使重物________(填“靠近”或“远离”)计时器下端；________，________，使重物自由下落；关闭电源，取出纸带；换新纸带重复实验.
(2)图2 8(b)和(c)是实验获得的两条纸带，应选取________(填“b”或“c”)来计算重力加速度，在实验操作和数据处理都正确的情况下，得到的结果仍小于当地重力加速度，主要原因是空气阻力和________.
(c)
图2 8
【解析】 (1)使用打点计时器进行相关实验时，拖动纸带的重物应靠近打点计时器，而且应先接通打点计时器的电源，待打点计时器打点稳定后，再释放纸带.(2)纸带在重物的作用下，做匀加速直线运动，打点距离越来越大，而(c)纸带的打点距离先增大后减小，故应选取(b)进行研究.在实验操作和数据处理都正确的情况下，得到的结果小于当地重力加速度的主要原因是空气阻力和纸带与打点计时器间的摩擦.
【答案】 (1)靠近 接通打点计时器电源 释放纸带 (2)b 纸带与打点计时器间的摩擦
4.一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v t图像如图2 9所示.求：
图2 9
(1)摩托车在0～20
s这段时间的加速度大小a；
(2)摩托车在0～75
s这段时间的平均速度大小.
【解析】 (1)加速度a＝
根据v t图像并代入数据得
a＝1.5
m/s2.
(2)设第20
s末的速度为vm,0～20
s的位移
s1＝t1
20～45
s的位移
s2＝vmt2
45～75
s的位移
s3＝t3
0～75
s这段时间的总位移
s＝s1＋s2＋s3
0～75
s这段时间的平均速度
＝
代入数据得＝20
m/s.
【答案】 (1)1.5
m/s2 (2)20
m/s
我还有这些不足：
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(2)
______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)
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(2)
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