4.2 怎样分解力
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道力的分解的概念，知道力的分解是力的合成的逆运算.(重点)2.了解力的分解的一般方法，知道平行四边形定则和三角形定则都是矢量运算法则.(重点)3.会应用平行四边形定则或三角形定则进行矢量运算.(难点)
力的效果与力的分解
1.力的效果
沿着某个方向的力，能产生其它方向的作用效果，这些效果可以看成是由这个力的分力产生的.
2.力的分解：求一个已知力的分力，叫做力的分解.
3.分解法则：平行四边形定则——把已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2.如图4 2 1所示.
图4 2 1
4.分解依据：依据平行四边形定则，如果没有限制，一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力.实际问题中，应把力沿实际作用效果方向来分解.
(1)将一个力F分解为两个力F1和F2，那么物体同时受到F1、F2和F三个力的作用.(×)
(2)某个分力的大小可能大于合力.(√)
(3)力的分解是力的合成的逆运算.(√)
为了行车方便和安全，高大的桥往往有很长的引桥，在引桥上，汽车重力有什么作用效果？从力的分解的角度分析，引桥很长有什么好处？
图4 2 2
【提示】 汽车重力的两个作用效果是垂直桥面向下使汽车压斜面和沿桥面向下使汽车下滑或阻碍汽车上行.高大的桥建造很长的引桥可以减小汽车重力沿斜面向下的分力，使行车更安全.
探讨：将某个力进行分解时，两分力的方向如何确定？
【提示】 两分力的方向要根据力的实际作用效果来确定.
按实际效果分解的几个实例
实例
分析
地面上物体受斜向上的拉力F，其效果为一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcos
α，F2＝Fsin
α
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsin
α，F2＝mgcos
α
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtan
α，F2＝
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan
α，F2＝
质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，重力产生两个效果：对OA的拉力F1和对OB的拉力F2.F1＝mgtan
α，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan
α，F2＝
1.如图4 2 3所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O为圆心.则对圆弧面的压力最小的是( )
图4 2 3
A.a球
B.b球
C.c球
D.d球
【解析】 小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面的分力mgsin
θ，显然a球对圆弧面的压力最小.A对.
【答案】 A
2.在图4 2 4中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°角.如果把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
图4 2 4
A.G，G
B.G,
G
C.G，G
D.G，G
【解析】 对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin
60°＝G，F2＝Gsin
30°＝G，A正确.
【答案】 A
3.压榨机的结构原理图如图4 2 5所示，B为固定铰链，A为活动铰链.在A处作用一水平力F，物块C就以比水平力F大得多的力压物块D.已知L＝0.5
m，h＝0.1
m，F＝200
N，物块C的质量不计，且与左壁接触面光滑，求物块D受到的压力.
图4 2 5
【解析】 根据水平力F产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，如图甲所示，则F1＝F2＝.而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：使物块C压紧左壁的水平力F3和使物块C压紧物块D的竖直力F4，如图乙所示，则F4＝F1sin
α＝.
由tan
α＝得F4＝·
N＝500
N.
【答案】 500
N
力的效果分解法的“四步走”解题思路
力的分解的讨论
1.力的分解的特点：同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形；同一个力，若没有其他限制，可以分解为无数对大小、方向不同的力，如图4 2 6.
图4 2 6
2.分解方法
(1)效果分解法：根据力的实际作用效果确定两个分力的方向.
(2)条件分析法：根据问题的要求确定两个分力的方向.
(1)分力总是小于合力.(×)
(2)一个力只能分解为一组分力.(×)
(3)将5
N的力进行分解，可以得到50
N的分力.(√)
两分力一定时合力是唯一的，而合力一定时，两分力也是唯一的吗？
【提示】 不是.
探讨1：求分力的方法也是平行四边形定则吗？依据是什么？
【提示】 根据力的作用效果可以应用平行四边形定则.从逻辑角度讲，这两个分力的合力就是原来被分解的那个力，所以力的分解是力的合成的逆运算.因为力的合成遵循平行四边形定则，所以力的分解也应该遵循平行四边形定则.
探讨2：根据平行四边形定则，要分解一个力，我们应该把这个力当成什么？
【提示】 我们要把这个力当成平行四边形的对角线.
力的分解讨论
1.一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力
将某个力进行分解，如果没有条件约束，从理论上讲有无数组解，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图4 2 7所示)，这样分解是没有实际意义的.实际分解时，一个力按力的作用效果可分解为一组确定的分力.
图4 2 7
2.一个合力可分解为唯一的一组分力的条件
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解.
甲 乙
图4 2 8
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解.
甲 乙
图4 2 9
(3)已知合力F以及一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小时，若F与F1的夹角为α，有下面几种可能：
图4 2 10
①当Fsin
α＜F2＜F时，有两解，如图甲所示
②当F2＝Fsin
α时，有唯一解，如图乙所示
③当F2＜Fsin
α时，无解，如图丙所示
④当F2＞F时，有唯一解，如图丁所示
4.(多选)在一个已知力的分解中，下列情况具有唯一解的是
( )
A.已知两个分力的方向，并且不在一条直线上
B.已知一个分力的大小和方向
C.已知一个分力的大小和另一个分力的方向
D.已知两个分力的大小
【解析】 已知两分力的方向，或已知一个分力的大小和方向，根据平行四边形定则，只有唯一解，A、B正确；已知一个分力的大小和另一个分力的方向，可能有一个解，可能有两个解，也可能无解，C错误；已知两个分力的大小时，若两分力大小之和小于合力则无解，若两分力大小之和大于合力，则有两个解，如图甲、乙所示，D错误.
甲 乙
【答案】 AB
5.如图4 2 11所示，人拉着旅行箱前进，拉力F与水平方向成α角，若将拉力F沿水平和竖直方向分解，则它的水平分力为( )
图4 2 11
A.Fsin
α
B.Fcos
α
C.Ftan
α
D.
【答案】 B
6.把一个80
N的力F分解成两个分力F1、F2，其中力F1与F的夹角为30°，求：
(1)当F2最小时，另一个分力F1的大小；
(2)F2＝50
N时，F1的大小.
【解析】 (1)当F2最小时，如图甲所示，F1和F2垂直，此时F1＝Fcos
30°＝80×
N＝40
N.
甲 乙
(2)根据图乙所示，Fsin
30°＝80
N×＝40
N＜F2
则F1有两个值.
F1′＝Fcos
30°－＝(40－30)
N
F1″＝(40＋30)
N.
【答案】 (1)40
N (2)(40－30)
N或(40＋30)
N
1.画矢量图是解决力的分解问题的有效途径；
2.涉及“最大”、“最小”等极值问题时，可多画几种不同情形的图，通过比较鉴别正确情景.
力的正交分解法
1.定义
把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法.
2.坐标轴的选取
原则上，坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，坐标轴的选取一般有以下两个原则：
(1)使尽量多的力处在坐标轴上.
(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零.
3.正交分解法的适用情况
适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况.
(1)正交分解法一定与力的效果分解一致.(×)
(2)正交分解法中的两个坐标轴一定是水平和竖直的.(×)
正交分解法有什么优点？
【提示】 正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算.其优点有：
(1)可借助数学中的直角坐标系对力进行描述.
(2)分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解.
探讨：当物体受到多个力的作用时，用平行四边形定则求其合力很不方便，甚至困难时，怎样求其合力？
【提示】 先将各力正交分解，然后再合成，“分”是为了更方便的进行“合”.
正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上.
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图4 2 12所示.
图4 2 12
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan
α＝.
7.(多选)如图4 2 13所示，重20
N的物体放在粗糙水平面上，用F＝8
N的力斜向下推物体.F与水平面成30°角，物体与平面间的动摩擦因数μ＝0.5，则物体( )
图4 2 13
A.对地面的压力为28
N
B.所受的摩擦力为4
N
C.所受的合力为5
N
D.所受的合力为0
【解析】 将力F分解如图，对地的压力为N＝F2＋G＝Fsin
30°＋G＝24
N，又因F1＝Fcos
30°<μN，故受到的静摩擦力为f＝Fcos
30°＝4
N，故物体合力为零，所以B、D项正确.
【答案】 BD
8.(多选)如图4 2 14所示，重物的质量为m，轻细绳AO与BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ，AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是( )
图4 2 14
A.F1＝mgcos
θ
B.F1＝
C.F2＝mgsin
θ
D.F2＝
【解析】 对结点O受力分析并建坐标系如图所示，
将F2分解到x、y轴上.因O点静止，
故：x方向：F1＝F2cos
θ，
y方向：F2sin
θ＝F3，F3＝mg
解得：F1＝mgcot
θ，F2＝，B、D正确.
【答案】 BD
9.如图4 2 15所示，水平地面上的物体重G＝100
N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60
N，支持力N＝64
N，摩擦力f＝16
N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数.
图4 2 15
【解析】 对四个共点力进行正交分解，如图所示，则x方向的合力：Fx＝Fcos
37°－f＝60×0.8
N－16
N＝32
N，y方向的合力：
Fy＝Fsin
37°＋N－G＝60×0.6
N＋64
N－100
N＝0，
所以合力大小F合＝Fx＝32
N，方向水平向右.
动摩擦因数μ＝＝＝0.25.
【答案】 32
N，方向水平向右 0.25
坐标轴方向的选取技巧
应用正交分解法时，常按以下方法建立坐标轴：
1.研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴.
2.研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴.
3.研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴.第4章
怎样求合力与分力
章末分层突破
①等效替代
②平行四边形定则
③|F1－F2|
④F1＋F2
⑤正交分解
⑥匀速直线
⑦F合＝0
⑧三角形
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力的合成与分解思维方法的应用
根据已知力分析未知力的大小，其分析步骤如下：
1.确定研究对象；
2.对研究对象进行受力分析；
3.当物体受到的力不超过三个时，一般采用力的合成和分解：
(1)确定要合成和分解的力；
(2)根据平行四边形定则作出合力或分力；
(3)根据数学知识计算合力或分力.
4.当物体受到的力超过三个时，一般采用正交分解法：
(1)建立直角坐标系，使尽可能多的力落在坐标轴上或关于坐标轴对称；
(2)将各力正交分解在坐标轴上；
(3)沿坐标轴方向根据平衡条件列方程.
(多选)如图4 1所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的.平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ.AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是( )
图4－1
A.F1＝mgcos
θ
B.F1＝mgcot
θ
C.F2＝mgsin
θ
D.F2＝
【解析】 法一：合成法.
由平行四边形定则，作出F1、F2的合力F12，如图甲所示，又考虑到F12＝mg，解直角三角形得F1＝mgcot
θ，F2＝，故选项B、D正确.
法二：分解法.F2共产生两个作用效果，一个是水平方向沿A→O拉绳子AO，另一个是拉着竖直方向的绳子.如图乙所示，将F2分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识得：F1＝F′2＝mgcot
θ，F2＝＝，故选项B、D正确.
【答案】 BD
力的合成与分解都遵从平行四边形定则 或三角形定则 ，计算时要先根据要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或力的分解的示意图.再根据数学知识解三角形，主要是求解直角三角形.
平衡中的动态分析问题
该类问题具有一定的综合性和求解的灵活性，分析处理物体动态平衡常用的方法有：矢量图解法、函数法、整体与隔离法、相似三角形法等.一般来说，对于静力学动态问题，优先采用“矢量图解法”，将某一力据其作用效果分解，构建示意图，将各力之间的依赖、制约关系直观形象地体现出来，达到简捷迅速的判断目的.
如下图4 2所示，把球夹在竖直墙面AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为N1，球对板的压力为N2，在将木板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是( )
图4 2
A.N1和N2都增大
B.N1和N2都减小
C.N1增大，N2减小
D.N1减小，N2增大
【解析】 此为一动态平衡问题.受力情况虽有变化，但球始终处于平衡状态.
方法一：图解法
对球受力分析如如图所示，受重力G、墙对球的支持力N1′和木板对球的支持力N2′而平衡.作出N1′和N2′的合力F，它与G等大反向.当板BC逐渐放至水平的过程中，N1′的方向不变，大小逐渐减小，N2′的方向发生变化，大小也逐渐减小，如下图所示，由力的作用是相互的可知：N1＝N1′，N2＝N2′，故选项B正确.
方法二：解析法
对球受力分析如下图所示，受重力G、墙对球的支持力N′1和木板对球的支持力N′2而平衡，
而F＝G，
N1′＝F
tan
θ，
N2′＝F/cos
θ，
所以N1′＝Gtan
θ.
N2′＝G/cos
θ，当木板BC逐渐放至水平的过程中，θ逐渐减小，所以由上式可知，N1′减小，N2′也减小，由牛顿第三定律可知，N1＝N1′，N2＝N2′，故选项B正确.
【答案】 B
1.解析法是对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变量与自变量的一般函数式，然后依据自变量的变化确定因变量的变化.
2.图解法是依据某一参量的变化过程分析研究对象的受力，并作出力的平行四边形，由动态的力的平行四边形的边长(或角度)的变化，确定某一力大小与方向的变化规律，从而得到正确的结论.
用“整体法”与“隔离法”解决物体系统的平衡问题
1.整体法的含义
所谓整体法就是对物理问题的整体系统进行分析、研究的方法.
2.整体法的优点
通过整体法分析物理问题，可以弄清系统的整体变化情况，从整体上揭示事物的本质和变化规律，从而避开中间环节的繁琐推算，能灵活地解决问题.
3.隔离法的含义
所谓隔离法就是将某一物理问题的整个系统中的一部分，从系统中隔离出来进行分析、研究的方法.
4.隔离法的优点
可以弄清系统内各个物体间作用的情况，从而对系统内各个物体间的相互作用有详细的理解和掌握.
如图4 3所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱的支持力和摩擦力的大小.
图4 3
【解析】 选取A和B整体为研究对象，它受到重力(M＋m)g，地面支持力N，墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用(如图所示)而处于平衡状态.
根据平衡条件有：
N－(M＋m)g＝0
F－f＝0
可得N＝(M＋m)g，f＝F
再以B为研究对象，它受到重力mg，三棱柱对它的支持力NAB，墙壁对它的弹力F的作用(如图所示)，处于平衡状态，根据平衡条件有：
竖直方向上：NABcos
θ＝mg
水平方向上：NABsin
θ＝F
解得F＝mgtan
θ
所以f＝F＝mgtan
θ.
【答案】 (M＋m)g mgtan
θ
1.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上.用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图4 4所示.用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
图4 4
A.F逐渐变大，T逐渐变大
B.F逐渐变大，T逐渐变小
C.F逐渐变小，T逐渐变大
D.F逐渐变小，T逐渐变小
【解析】 以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，则绳OA与竖直方向的夹角变大，由共点力的平衡条件知F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确.
【答案】 A
2.如图4 5，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑.已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力.A与B的质量之比为( )
图4 5
A.
B.
C.
D.
【解析】 滑块B刚好不下滑，根据平衡条件得mBg＝μ1F；滑块A恰好不滑动，则滑块A与地面之间的摩擦力等于最大静摩擦力，把A、B看成一个整体，根据平衡条件得F＝μ2(mA＋mB)g，解得＝.选项B正确.
【答案】 B
3.如图4 6，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千.某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变.木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后( )
图4 6
A.F1不变，F2变大
B.F1不变，F2变小
C.F1变大，F2变大
D.F1变小，F2变小
【解析】 根据力的合成和共点力的平衡条件解决问题.
木板静止时，木板受重力G以及两根轻绳的拉力F2，根据平衡条件，木板受到的合力F1＝0，保持不变.两根轻绳的拉力F2的合力大小等于重力G，保持不变，当两轻绳剪去一段后，两根轻绳的拉力F2的夹角变大，因合力不变F2cos
θ＝，故F2变大.选项A正确，选项B、C、D错误.
【答案】 A
4.如图4 7所示，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上.若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0).由此可求出( )
图4 7
A.物块的质量B.斜面的倾角
C.物块与斜面间的最大静摩擦力
D.物块对斜面的正压力
【解析】 当物块所受外力F为最大值F1时，具有向上的运动趋势.
由平衡条件可得：F1＝mgsin
θ＋fm；
同理：当物块所受外力F为最小值F2时，具有向下的运动趋势，即F2＋fm＝mgsin
θ.
联立解得fm＝，F1＋F2＝2mg
sin
θ，由于m或斜面的倾角θ未知，故选项C正确；选项A、B、D错误.
【答案】 C
5.如图4 8，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图4 8
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【解析】 因为物块b始终保持静止，所以绳OO′的张力不变，连接a和b的绳的张力也不变，选项A、C错误；拉力F大小变化，F的水平分量和竖直分量都发生变化，由共点力的平衡条件知，物块b受到的支持力和摩擦力在一定范围内变化，选项B、D正确.
【答案】 BD
6.如图4 9，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为( )
图4 9
A.
B.m
C.m
D.2m
【解析】 如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心.由于a、b间距等于圆弧半径，则∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°.取悬挂的小物块研究，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m.故选项C正确.
【答案】 C
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)
______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)
______________________________________________________________
(2)
_____________________________________________________________ 4.1 怎样求合力
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.知道合力、分力、力的合成、共点力的概念.2.掌握力的平行四边形定则，并知道它是矢量运算的普遍规则.(重点)3.会应用做图法和计算法求合力的大小.(难点)4.体会合力与分力在作用效果上的等效替代思想.(重点)
合力与分力
1.合力、分力
一个力代替几个力，如果它的作用效果跟那几个力的作用效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力.
2.合力与分力的关系：合力与分力的相互替代是一种等效替代，或称等效变换.
3.共点力
几个力都作用在物体上的同一点，或者它们的作用线延长后相交于同一点，这几个力叫做共点力.如图4 1 1所示的三个力F1、F2、F3均为共点力.
图4 1 1
(1)合力与分力是同时作用在物体上的力.(×)
(2)合力产生的效果与分力共同产生的效果一定相同.(√)
(3)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等方向相反，则这两力是共点力.(×)
1.六条狗可以将雪橇拉着匀速前进，一匹马也可以将该雪橇拉着匀速前进，以上情境中分力和合力分别是由什么动物施加的？
【提示】 六条狗各自的拉力是分力，是由狗施加的；马的拉力为合力，是由马施加的.
2.共点力一定作用在同一物体上吗？
【提示】 一定.共点力必须是共同作用在同一物体上的力.
探讨1：如图4 1 2甲所示，把物块挂在一个弹簧测力计的下面，稳定时弹簧测力计的示数为F；如图乙所示，用两个弹簧测力计(方向不同)拉住同一物块，稳定时弹簧测力计示数分别为F1、F2.F与F1、F2有什么关系？F1、F2两个数值相加正好等于F吗？
甲 乙
图4 1 2
【提示】 作用效果相同，可以等效替代.不等于.
探讨2：两个分力F1和F2的合力什么情况下最大？最大值为多少？
【提示】 两个分力F1和F2的方向相同时合力最大，最大值为F1F2.
1.合力与分力的三性
2.合力与分力间的大小关系
当两分力F1、F2大小一定时，
(1)最大值：两力同向时合力最大，F＝F1＋F2，方向与两力同向；
(2)最小值：两力方向相反时，合力最小，F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向；
(3)合力范围：两分力的夹角θ(0°≤θ≤180°)不确定时，合力大小随夹角θ的增大而减小，所以合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
3.三个力合力范围的确定
(1)最大值：当三个力方向相同时，合力F最大，Fmax＝F1＋F2＋F3.
(2)最小值：①若其中两个较小的分力之和(F1＋F2)≥F3时，合力的最小值为零，即Fmin＝0；②若其中两个较小的分力之和(F1＋F2)(3)合力的取值范围：Fmin≤F≤F1＋F2＋F3.
1.下列关于分力与合力的说法中，正确的是( )
A.分力与合力同时作用在物体上，所以它们都是物体受到的力
B.分力同时作用于物体时产生的效果与某一个力单独作用时产生的效果相同，那么这几个分力就是这个力
C.合力只能大于分力，不可能小于分力
D.两个分力夹角在0°～180°之间变化时，若分力大小不变，则夹角越大合力越小
【解析】 力的合成过程是合力与分力“等效替代”的过程，合力和分力是不能同时存在的.在分析物体受力情况时，如果已考虑了某个力，那么就不能再考虑它的分力(这是指在计算力时).合力与分力只是因为效果相同而进行的等效替代，并不能说“这几个分力就是这个力”，所以A、B错.
以两个分力F1、F2为例，它们的合力范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力可能大于每个分力，可能等于每个分力，也可能小于每个分力，C错.
两个分力若大小不变，当它们的夹角在0°～180°之间变化时，夹角越大合力越小，D对.
【答案】 D
2.大小分别是30
N和25
N的两个力，同时作用在一个物体上，对于合力F大小的估计最恰当的是( )
A.F＝55
N
B.25
N≤F≤30
N
C.25
N≤F≤55
N
D.5
N≤F≤55
N
【解析】 若两个分力的大小为F1和F2，在它们的夹角不确定的情况下，合力F的大小范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以5
N≤F≤55
N，D正确.
【答案】 D
3.大小分别为5
N、7
N和9
N的三个力合成，其合力F大小的范围为( )
A.2
N≤F≤20
N
B.3
N≤F≤21
N
C.0≤F≤20
N
D.0≤F≤21
N
【解析】 最大值Fmax＝5
N＋7
N＋9
N＝21
N，由于三个力中每个力都在另外两个力的和与差之间，所以最小值Fmin＝0，选项D正确.
【答案】 D
关于合力、分力的两个注意事项
(1)在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体.
(2)合力为各分力的矢量和，合力不一定比分力大.它可能比分力大，也可能比分力小，还有可能和分力大小相等.
平行四边形定则
1.平行四边形定则
两个共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边构成的平行四边形的对角线表示，这叫做力的平行四边形定则.
2.矢量和标量
既有大小又有方向，并且按平行四边形定则合成的物理量称为矢量；只有大小没有方向的物理量称为标量.
(1)两个力的合力一定等于这两个力的代数和.
(×)
(2)两个力的合力不一定大于任意一个力的大小.(√)
(3)两个力的合力的方向可能与两个分力的方向都不同.(√)
1.假如两个学生用大小相同的作用力拎起一桶重200
N的水，每个学生对桶的作用力一定是100
N吗？
【提示】 不一定.两个学生对桶的作用力的合力大小等于200
N，其数值相加不一定等于200
N，当两个学生所施加的力成一夹角时，每个学生对桶的作用力都大于100
N.
2.在做引体向上运动时，双臂平行时省力还是双臂张开较大角度时省力？
【提示】 双臂平行时最省力.根据平行四边形定则可知，合力一定时(等于人的重力)，两臂分力的大小随双臂间夹角的增大而增大，当双臂平行时，夹角最小，两臂用力最小.
探讨1：几个力能求其合力的前提是什么？
【提示】 只有共点力才能求合力，因此几个力能求其合力的前提是它们是共点力.
探讨2：用硬纸板剪成五个宽度相同的长条，其中四个两两长度分别相等，第五个较长些，然后用螺丝钉铆住(AE与BC、CD不要铆住)，如图4 1 3所示.其中AB表示一个分力，AD表示另一个分力，AC表示合力.
图4 1 3
(1)改变∠BAD的大小，观察两分力间的夹角变化时合力如何变化？
(2)合力一定大于其中一个分力吗？
【提示】 (1)合力随着两分力间夹角的增大而减小，随着两分力间夹角的减小而增大.
(2)不一定.合力与分力的大小符合三角形三边的关系，由几何知识知，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，因此合力大小的范围|F1－F2|≤F≤F1＋F2.例如：F1＝5
N，F2＝4
N，合力1
N≤F≤9
N，合力F的最小值为1
N，比任何一个分力都小.
求合力的方法
1.作图法
根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：
2.计算法
(1)两分力共线时：
①若F1与F2方向相同，则合力大小F＝F1＋F2，方向与F1和F2的方向相同；
②若F1与F2方向相反，则合力大小F＝|F1－F2|，方向与F1和F2中较大的方向相同.
(2)两分力不共线时：可以先根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力.
以下为求合力的两种常见特殊情况：
类型
作图
合力的计算
两分力相互垂直
大小：F＝方向：tan
θ＝
两分力等大，夹角为θ
大小：F＝2F1cos方向：F与F1夹角为
4.有两个大小相等的力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力为F，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )
A.2F
B.F
C.F
D.F
【解析】 当夹角为90°时，F＝，所以F1＝F2＝F.当夹角为120°时，根据平行四边形定则，知合力与分力相等，所以F合＝F1＝F.故B正确，A、C、D错误.
【答案】 B
5.水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B.一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10
kg的重物，∠CBA＝30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10
N/kg)( )
图4 1 4
A.50
N
B.50
N
C.100
N
D.100
N
【解析】 以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力F＝mg＝100
N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是100
N.从图中看出∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE得∠CBE＝∠DBE＝60°，则△CBE是等边三角形，故F合＝100
N.
【答案】 C
6.如图4 1 5所示，登山者连同设备总重力为G.某时刻缆绳和竖直方向的夹角为α，若登山者手拉缆绳的力大小也为G，则登山者的脚对岩石的作用力( )
图4 1 5
A.方向水平向右
B.方向斜向右下方
C.大小为Gtan
α
D.大小为Gsin
α
【解析】 以登山者为研究对象，受力如图所示，岩石对登山者的作用力方向斜向左上方，其大小等于重力和缆绳的拉力的合力.根据作用力与反作用力的关系知，登山者的脚对岩石的作用力方向斜向右下方，B选项正确，A选项错误.登山者的脚对岩石的作用力大小等于重力和缆绳的拉力的合力，缆绳的拉力T＝G，则由力的合成法得N＝2Gsin
，故C、D选项错误.
【答案】 B
计算法求合力时常用到的几何知识
(1)应用直角三角形中的边角关系求解，用于平行四边形的两边垂直，或平行四边形的对角线垂直的情况.
(2)应用等边三角形的特点求解.
(3)应用相似三角形的知识求解，用于矢量三角形与实际三角形相似的情况.
验证力的平行四边形定则
1.实验原理
(1)先将橡皮筋的一端固定，另一端用两个力F1、F2使其沿某一方向伸长一定长度；再用一个力F作用于橡皮筋的同一点，使其沿同一方向伸长到同样的长度，那么，F与F1、F2的作用效果相同.
(2)若记下F1、F2的大小和方向，画出各个力的图示，就可研究F与F1、F2的关系了.
2.实验过程
(1)用图钉把白纸固定于方木板上，把橡皮筋的一端固定.
(2)在橡皮筋的另一端拉上轻质小圆环，用两个弹簧测力计通过小圆环成某一角度地把橡皮筋拉到某一点O，用铅笔记下O点的位置、两弹簧测力计的读数F1、F2和两条拉线的方向，如图4 1 6甲所示.
(3)用一个弹簧测力计将同一条橡皮筋拉到O点，记下弹簧测力计的读数F和拉线的方向.如图4 1 6乙所示.
(4)选定标度，作出力F1、F2和F的图示.
(5)以F1、F2为邻边作平行四边形，并作出对角线(如图丙所示).
图4 1 6
结论：F的图示和对角线F′在误差范围内重合.则力F对橡皮筋作用的效果与F1和F2共同作用的效果相同，所以力F就是F1和F2的合力.
3.注意事项
(1)弹簧测力计的选取方法：将两只弹簧测力计调零后互钩水平对拉，若两只弹簧在对拉过程中，读数相同，则可选；若读数不同，应另选，直至相同为止.
(2)保证分力与合力作用效果相同的方法：在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点O的位置一定要相同.
(3)橡皮条老化的检查方法：用一个弹簧测力计拉橡皮条，要反复做几次，使橡皮条拉到相同的长度看弹簧测力计读数有无变化.
(4)弹簧测力计夹角范围：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°到120°之间为宜.
(5)拉力的选取原则：在不超出弹簧测力计的量程和橡皮条形变限度的条件下，使拉力适当大些.
(6)画力的图示的注意事项：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些.
7.如图4 1 7是甲、乙两位同学在“探究求合力的方法”实验中所得到的实验结果，若用F表示两个分力F1、F2的合力，用F′表示F1和F2等效力，则可判断________(选填“甲”或“乙”)
同学的实验结果是尊重事实的.
图4 1 7
【解析】 由题设可知，F是F1和F2的合力，通过平行四边形定则所得，而F′是F1和F2的等效力，即用一只弹簧测力计拉橡皮条时的拉力，显然F′的方向与细绳应在同一条直线上，故甲同学是尊重事实的.
【答案】 甲
8.某同学用如图4 1 8所示的实验装置来验证力的平行四边形定则.弹簧测力计A悬挂于固定点P，下端用细线挂一重物M，弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置.分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板上的白纸上记录O点的位置和拉线的方向.
图4 1 8
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数________N.
(2)下列不必要的实验要求是________(请填写选项前对应的字母).
A.应测量重物M所受的重力
B.弹簧测力计应在使用前校零
C.拉线方向应与木板表面平行
D.改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
(3)某次试验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法.
【解析】 (1)弹簧测力计A的读数为3.6
N，可以不估读.
(2)验证力的平行四边形定则，需要分别测量各个力的大小和方向，所以选项A是必要的；根据仪器使用常识，弹簧测力计在使用前需校零，选项B是必要的；实验中各个力必须在与木板表面平行的同一平面内，选项C也是必要的；实验是验证三个力的关系，只要测出三个力的大小和方向就可以了，所以不需要固定O点的位置，选项D不必要.故应选D.
(3)可以改变弹簧测力计B拉力的大小；减小重物M的质量；将A更换成量程较大的弹簧测力计；改变弹簧测力计B拉力的方向等.
【答案】 (1)3.6 (2)D (3)①改变弹簧测力计B拉力的大小；②减小重物M的质量(或将A更换成量程较大的弹簧测力计；改变弹簧测力计B拉力的方向等).4.3 共点力的平衡及其应用
学
习
目
标
知
识
脉
络
1.了解生活中的平衡现象，知道什么是平衡状态.2.知道共点力的概念及共点力的平衡条件.(重点)3.会用共点力的平衡条件分析平衡问题.(难点)
平衡状态
1.平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动状态.
2.平衡状态的特征
(1)静止状态特征：v＝0、a＝0.
(2)匀速直线运动状态特征：v≠0，a＝0.
(1)只要物体做直线运动物体就处于平衡状态.(×)
(2)物体处于平衡状态时，加速度一定等于零.(√)
(3)物体所受的几个力为共点力，则物体一定处于平衡状态.(×)
如图4 3 1所示，刚刚启动的汽车速度为零，汽车是否处于平衡状态？
图4 3 1
【提示】 汽车处于非平衡状态.速度为零，但加速度不为零，不满足平衡状态的条件.
探讨1：列举生活中物体处于平衡状态的实例.
【提示】 悬挂在天花板上的吊灯，静止在路边的汽车，放在地面上的讲桌以及放在讲桌上的黑板擦等.
探讨2：速度等于零时，物体一定处于平衡状态吗？
【提示】 不一定.平衡状态表现为速度始终不变，当物体某一瞬间的速度为零时，但速度要发生变化，即加速度不为零时，就不是平衡状态.
1.从运动学的角度理解平衡状态：平衡的物体处于静止或匀速直线运动状态，此种状态其加速度为零，即处于平衡状态的物体加速度为零；反过来加速度为零的物体一定处于平衡状态.
2.从动力学的角度理解平衡状态：处于平衡状态的物体所受的合外力为零，反过来物体受到的合外力为零，它一定处于平衡状态.
3.静态平衡与动态平衡：
(1)静态平衡是处于静止状态的平衡，合力为零.
(2)动态平衡是匀速直线运动状态的平衡，合力为零.
4.平衡状态与力的平衡：
1.物体受到共点力的作用，下列说法中正确的是( )
A.在某一时刻速度等于0的物体一定处于平衡状态
B.相对于另一物体保持静止的物体一定处于平衡状态
C.物体所受合力为0，就一定处于平衡状态
D.物体做匀加速运动时，一定处于平衡状态
【解析】 处于平衡状态的物体，在运动形式上是处于静止或匀速直线运动状态，从受力上来看，物体所受合力为零，C正确；某一时刻速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，A错误；物体相对于另一物体静止时，该物体不一定静止，如当另一物体做变速运动时，该物体也做变速运动，此物体处于非平衡状态，故B错误；物体做匀加速运动，所受合力不为零，故不是平衡状态，D错误.
【答案】 C
2.关于平衡状态，下列说法正确的是( )
A.做自由落体运动的物体，在最高点时处于平衡状态
B.木块放在斜面体的斜面上，随斜面体一起向右匀速运动，木块处于平衡状态
C.木块放在斜面体的斜面上，随斜面体一起向右匀加速运动，木块处于平衡状态
D.静止在匀加速运动的列车内的水平桌面上的杯子，处于平衡状态
【解析】 做自由落体运动的物体在最高点时，速度虽为零，但所受合力不为零，不是平衡状态，A错误；木块与斜面体相对静止，若整体做匀速直线运动，则木块处于平衡状态，若整体做匀加速直线运动，则木块也具有加速度，不处于平衡状态，B正确，C错误；列车、桌子与杯子整体做匀加速运动，杯子也具有加速度，不处于平衡状态，D错误.
【答案】 B
“静止”与“v＝0”的区别
(1)物体保持静止状态：说明v＝0，a＝0，物体受合外力为零，物体处于平衡状态.
(2)物体运动速度v＝0则有两种可能：
①v＝0，a≠0，物体受合外力不等于零，物体并不保持静止，处于非平衡状态，如上抛到最高点的物体.
②v＝0，a＝0，这种情况与(1)中的静止状态一致.
共点力平衡的条件
物体平衡条件的推导
1.二力平衡
如图4 3 2甲所示N、G两力大小相等，方向相反，合力为零.
2.三力平衡：如图4 3 2乙所示由平行四边形定则，可求出F1、F2的合力F，则转化为二力平衡问题，即合力为零.
图4 3 2
3.结论：物体在多个共点力作用下平衡时，合力总等于零.
(1)静止在粗糙平面上的物体处于平衡状态.(√)
(2)沿光滑斜面自由下滑的物体处于平衡状态.(×)
(3)“神舟”七号的返回舱打开降落伞后减速下降时处于平衡状态.(×)
如何判断物体是否处于平衡状态？
【提示】 物体处于平衡状态的实质是F合＝0(a＝0)与物体运动速度的大小，方向无关，如做竖直上抛运动的物体到达最高点时，速度虽然为零，但由于受重力作用，a＝g因此运动状态不断改变，只是瞬间速度为零，不能保持静止，不是平衡状态，如果物体所处的状态发生缓慢变化，物体变化过程中的任一状态都可以看成是平衡状态，以便对实际问题易于解决.
如图4 3 3所示，两个弹簧测力计通过小钢丝环(质量忽略不计)吊起三个钩码，保持静止不动.
图4 3 3
探讨1:
试分析两个测力计拉力的合力与所挂钩码的重力有什么关系？物体(钢丝环)受三个力作用下的平衡条件是什么？
【提示】 等大反向、物体所受三个力的合力为零.
探讨2：物体所受的三个力中的任意两个力的合力与第三个力有什么关系？
【提示】 等大反向.
1.共点力的平衡条件：如果共点力的合力为零，则在两个相互垂直的方向上的合力也必然为零，即Fx合＝0，Fy合＝0.
2.平衡条件的四个常用推论
(1)二力平衡条件：这两个共点力大小相等、方向相反.
(2)三个力平衡条件：三个共点力平衡时，其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反，而且在同一条直线上.
(3)物体在n个共点力同时作用下处于平衡状态时，这些力在任何一个方向上的合力均为零.其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等值反向，作用在同一直线上.
(4)物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，各力首尾相接必构成一个封闭的多边形.
3.应用平衡条件解题的步骤
(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等).
(2)分析研究对象所处的运动状态，判定物体是否处于平衡状态.
(3)对研究对象进行受力分析并画出受力示意图.
(4)建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程.
(5)求解方程，并讨论结果.
4.处理平衡问题的两点说明
(1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单.
(2)解平衡问题建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少.物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法.
3.一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小为如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是( )
A.1
N 4
N 7
N
B.2
N 6
N 9
N
C.2
N 5
N 8
N
D.6
N 8
N 6
N
【解析】 能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可能为零，方法是两个较小力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是就可能.因为两个力的合力范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若F3在此范围内，就可能与F平衡，故D正确.
【答案】 D
4.用一轻绳将小球P系于光滑墙壁上的O点，在墙壁和球P之间夹有一长方体物块Q，如图4 3 4所示.P、Q均处于静止状态，下列说法中，正确的是( )
图4 3 4
A.P受3个力
B.Q受3个力
C.若绳子变长，绳子的拉力将变小
D.若绳子变短，Q受到的静摩擦力将增大
【解析】 小球P受重力、细绳的拉力、Q对P的支持力和Q对P的摩擦力作用；物块Q受到重力、墙对Q的支持力、P对Q的压力及摩擦力作用；对小球P及物块Q的整体，绳子的拉力T＝，若绳子变长，α减小，则绳子的拉力将变小；对物块Q而言，向下的重力等于P对Q向上的摩擦力，若绳子变短，Q受到的静摩擦力大小不变.C选项正确.
【答案】 C
5.如图4 3 5所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球被木板挡住.求：
图4 3 5
(1)当挡板竖直放置时，小球对挡板的压力大小；
(2)当挡板由竖直慢慢放至水平位置过程中，小球对挡板的压力大小怎么变化，并求出最小值.
【解析】 (1)对小球受力分析如图所示，小球静止，处于平衡状态，沿水平方向和竖直方向建立坐标系，则
N1＝N2sin
α
mg＝N2cos
α
解得N1＝mgtan
α
由牛顿第三定律得小球对挡板的压力
N′1＝N1＝mgtan
α.
(2)当挡板慢慢放至水平过程中，小球所受重力不变，斜面对小球的弹力方向不变，由图可知，小球对挡板压力N1先变小后变大，当挡板垂直于斜面时，N1有最小值，N″1＝mgsin
α.
【答案】 (1)mgtan
α (2)先变小后变大 mgsin
α
动态平衡、临界值和极值问题的求解方法
求解三个力的动态平衡问题，一般是采用图解法，即先做出两个变力的合力(应该与不变的那个力等大反向)然后过合力的末端画方向不变的那个力的平行线，另外一个变力的末端必落在该平行线上，这样就能很直观的判断两个变力是如何变化的了；如果涉及到最小值的问题，还可以采用解析法，即采用数学求极值的方法求解；临界问题，当某物理量变化时，会引起其它物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，解决这类问题可先假设研究对象处于某一平衡状态，然后根据平衡条件等知识列式解题，即假设法.
1.解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定应变参量的变化.
2.图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度变化判断各个力的变化情况.
3.假设法：运用假设法的基本步骤是：(1)明确研究对象；(2)画受力示意图；(3)假设可发生的临界现象；(4)列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解.
6.(多选)如图4 3 6所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持O点的位置和OB绳的位置不变，则在A点向上移动的过程中( )
图4 3 6
A.绳OB的拉力逐渐增大
B.绳OB的拉力逐渐减小
C.绳OA的拉力先增大后减小
D.绳OA的拉力先减小后增大
【解析】 取结点O为研究对象，受力情况如图所示.
图中T1、T2、T3分别是绳OA、绳OB、电线对结点O的拉力，T′3是T1与T2的合力，且T′3＝T3.在A点向上移动的过程中，T3的大小和方向都保持不变，T2的方向保持不变.
由图解法可知，当绳OA垂直于OB时，绳OA中的拉力最小，所以，绳OA的拉力先减小后增大，绳OB的拉力逐渐减小.
【答案】 BD
7.如图4 3 7所示，质量为m，横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙上，AB与墙之间的动摩擦因数为μ，F是垂直于斜面BC的推力，现物块刚好静止不动，求推力F的大小(认为物块与墙之间为最大静摩擦力等于滑动摩擦力).
图4 3 7
【解析】 由于物块刚好静止，物块与墙之间为最大静摩擦力，可认为是滑动摩擦力，由平衡条件得：
在x轴方向：N＝Fcos
α
在y轴方向：mg＋Fsin
α＝f，f＝μN
由以上两式得：F＝.
【答案】
