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课题：13.3.2等边三角形（1）
教学目标：
掌握等边三角形的定义，理解等边三角形的性质与判定．
重点：
等边三角形的性质和判定．
难点：
等边三角形的性质的应用．
教学流程：
一、知识回顾
问题：说一说你对等腰三角形都有哪些认识呢？
答案：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
性质：等边对等角；三线合一；两腰相等；轴对称图形
判定：两边相等；等角对等边
二、探究
问题：当腰和底边相等时，这个等腰三角形又叫做什么三角形呢？
答案：三条边都相等的三角形是等边三角形．
强调：等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫做正三角形
想一想：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
图形 边 角 轴对称图形
等腰三角形 两边相等（定义） 两底角相等（等边对等角） 是（三线合一）一条对称轴
等边三角形
答案：三边相等（定义）；三个内角都相等，每个角都等于60°；是（三线合一），三条对称轴
想一想：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
答案：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
追问：你能证明这个结论吗？
已知：△ABC 是等边三角形
求证：∠A =∠B =∠C=60°．
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ BC =AC，BC =AB．
∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴ ∠A =∠B =∠C ．
∵ ∠A +∠B +∠C =180°，
∴ ∠A =60°．
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
归纳：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
符号语言：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
想一想：一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
答案：三个角都相等的三角形是等边三角形.
追问：说一说你的理由？
已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ，
∴BC =AC， AC =AB．
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
想一想：一个等腰三角形的一个内角满足什么条件才是等边三角形呢？
答案：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
追问：应该如何证明这个结论呢？
已知：在△ABC 中，AB =AC且∠A =60°．
求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵AB =AC，
∴∠B =∠C ，
∵∠A =60°，
∴∠B =∠C =60°，
∴∠A =∠B =∠C，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
归纳：等边三角形的判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言：
在△ABC 中，
∵∠A=∠B =∠C ，
∴△ABC 是等边三角形．
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：
在△ABC 中，
∵AB =AC，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形．
练习：
1．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中等边三角形的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
2．如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180° B．220° C．240° D．300°
答案：C
3．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°.
答案：30
三、应用提高
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C =∠AED．
∴∠A=∠ADE =∠AED．
∴△ADE 是等边三角形．
追问：你还有其他证法吗？
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1. 等边三角形的性质是什么？
2.你能说一说等边三角形与等腰三角形的区别和联系吗？
3.如何判定一个三角形是等边三角形呢？
五、达标测评
1．如图，已知P，Q是△ABC的BC边上的两点，BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为______°.
答案：120
2．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
答案：D
3．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD，BE交于点F，则∠AFB等于( )
A．50° B．60° C．45° D．75°
答案：B
4．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)求证：AD＝CE；
(2)求∠DFC的度数．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC，
又∵BD＝AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴AD＝CE
(2)解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACF
＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°
六、布置作业
教材83页习题13.3第12题．
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
13.3.2等边三角形（1）
学校：________
教师：________
知识回顾
说一说你对等腰三角形都有哪些认识呢？
等边对等角
三线合一
有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
两腰相等
轴对称图形
两边相等
等角对等边
性
质
判
定
探究
当腰和底边相等时，这个等腰三角形又叫做什么三角形呢？
三条边都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
等边三角形
正三角形
特殊的
等腰三角形
想一想：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
探究
图形 边 角 轴对称图形
等腰 三角形 两边相等 （定义） 两底角相等 （等边对等角） 是（三线合一）
一条对称轴
等边 三角形
三边相等
（定义）
三个内角都相等
每个角都等于60°
是（三线合一）
三条对称轴
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
想一想：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
你能证明
这个结论吗？
探究
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ BC =AC，BC =AB．
∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴ ∠A =∠B =∠C ．
∵ ∠A +∠B +∠C =180°，
∴ ∠A =60°．
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
已知：△ABC 是等边三角形
求证：∠A =∠B =∠C=60°．
A
B
C
符号语言：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
A
B
C
探究
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
探究
想一想：一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ，
∴BC =AC， AC =AB．
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC 是等边三角形．
A
B
C
探究
想一想：一个等腰三角形的一个内角满足什么条件才是等边三角形呢？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
已知：在△ABC 中，AB =AC且∠A =60°．
求证：△ABC是等边三角形．
A
B
C
证明： ∵AB =AC，
∴∠B =∠C ，
∵∠A =60°，
∴∠B =∠C =60°，
∴∠A =∠B =∠C，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
探究
等边三角形的判定定理
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
符号语言：
在△ABC 中，
∵∠A=∠B =∠C ，
∴△ABC 是等边三角形．
探究
等边三角形的判定定理
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
A
B
C
符号语言：
在△ABC 中，
∵AB =AC，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形．
练习
1．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中等边三角形的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
D
练习
2．如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180°
B．220°
C．240°
D．300°
C
练习
3．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°.
30
应用提高
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，∠C =∠AED．
∴∠A=∠ADE =∠AED．
∴△ADE 是等边三角形．
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．
求证：△ADE 是等边三角形.
A
B
C
D
E
你还有其
他证法吗？
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
1. 等边三角形的性质是什么？
2.你能说一说等边三角形与等腰三角形的区别和联系吗？
3.如何判定一个三角形是等边三角形呢？
达标测评
1．如图，已知P，Q是△ABC的BC边上的两点，BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为______°.
120
达标测评
2．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的
三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有( )
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
D
达标测评
3．如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD，BE交于点F，则∠AFB等于( )
A．50°
B．60°
C．45°
D．75°
B
达标测评
4．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC，
又∵BD＝AE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴AD＝CE
(2)解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACF
＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°
布置作业
教材83页习题13.3第12题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
13.3.2等边三角形（1）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )
A.100° B.80° C.60° D.40°
第1题图 第2题图
2.如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是( )
A. 30° B. 45° C. 120° D. 15°
3.下列推理错误的是( )
A.在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形
B.在△ABC中，∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形
C.在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形
D.在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形
4.在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD，其中正确结论的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
第5题图 第6题图
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.已知等腰△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A= 度.
7.如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝________.
8.如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN.则∠BAN= _________ .
第8题图 第9题图 第10题图
9.如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于 _________ .
10.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.则∠DFC＝________°.
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.如图所示，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足是F.求证：BF＝EF.
12.已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形.求证：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC为等边三角形.
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.A
6.60
7.3
8.90°
9.60°
10.60
11. 证明：∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC.
∴∠DBE＝∠ABC＝∠ACB.
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠ACB.
∴∠DBE＝∠E.
∴DB＝DE.
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线.∴BF＝EF.
12. 证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）
∴FA=EC（等量加等量和相等）.
∵△DEF是等边三角形（已知），
∴EF=DE（等边三角形的性质）.
又∵AE=CD（已知），
∴△AEF≌△CDE（SSS）.
（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），
∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），
△DEF是等边三角形（已知），
∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），
∴∠BCA=60°（等量代换），
由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，
∵∠DEC+∠FEC=60°，
∴∠EFA+∠FEC=60°，
又∠BAC是△AEF的外角，
∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，
∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）.
∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）.
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