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课题：13.3.2等边三角形（2）
教学目标：
掌握含30°角的直角三角形的性质与应用．
重点：
含30°角的直角三角形的性质．
难点：
含30°角的直角三角形性质的推导．
教学流程：
一、知识回顾
1.什么是等边三角形？
答案：三条边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质有哪些？
答案：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
3. 如何判定一个三角形是等边三角形呢？
答案：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
二、探究
操作：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？
答案：能，
思考：你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？
答案：
追问：你能证明这个结论吗？
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°.
求证：BC = AB．
证明：在△ABC 中，
∵∠C =90°，∠A =30°,
∴∠B =60°．
延长BC 到D,使BD =AB,连接AD,
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
追问：你还能用其他的方法证明吗？
归纳：含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言：
∵∠C =90°, ∠A=30°，
练习：
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
答案：B
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．
答案：2
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，且BM＝3，则CM＝____．
答案：6
三、应用提高
如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 m，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴BC =AB，DE =AD．
∴BC =3.7（m）．
又AD =AB，
∴DE =AD =1.85（m） ．
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
四、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？
五、达标测评
1．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AC的长是( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
答案：B
2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____ m.
答案：4
3．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元
答案：B
4.如图，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.
求证：BD＝AB.
证明：在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AB，
在Rt△BCD中，∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝BC，
∴BD＝AB.
六、布置作业
教材83页习题13.3第15题．
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【义务教育教科书人教版八年级上册】
13.3.2等边三角形（2）
学校：________
教师：________
知识回顾
1.什么是等边三角形？
2. 等边三角形的性质有哪些？
3. 如何判定一个三角形是等边三角形呢？
三条边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
探究
操作：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？
探究
操作：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？
探究
你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？
30°
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
你能证明
这个结论吗？
探究
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证明：在△ABC 中，
∵∠C =90°，∠A =30°,
∴∠B =60°．
延长BC 到D,使BD =AB,连接AD,
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知:如图,在Rt△ABC 中,∠C =90°,∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
你还能用其
他的方法证
明吗？
符号语言：
∵∠C =90°, ∠A=30°，
探究
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
含30°角的直角三角形的性质
练习
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
B
练习
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝____．
2
练习
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，且BM＝3，则CM＝____．
6
应用提高
如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = AB，DE = AD．
又 AD = AB，
∴ DE = AD =1.85（m） ．
∴ BC =3.7（m）．
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
今天我们学习了哪些知识？
体验收获
在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？
达标测评
1．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2 cm，则AC的长是( )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
B
达标测评
2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝____ m.
4
达标测评
3．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元
B．150a元
C．450a元
D．225a元
B
达标测评
4.如图，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.
求证：BD＝ AB.
证明：在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝ AB，
在Rt△BCD中，∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝ BC，
∴BD＝ AB.
布置作业
教材83页习题13.3第15题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
13.3.2等边三角形（2）
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于( )
A.2∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3
2.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=5，则CE的长为( )
A. 10 B. 8 C. 5 D. 2.5
第2题图 第3题图 第4题图
3.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6 cm，则AC等于( )
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
4.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
5.如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE.则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
第5题图 第6题图 第7题图
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为 _________ .
7.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，BD＝________，BE＝________.
8.等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为________.
9.如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= _________ .
第9题图 第10题图
10.如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D.若AC=6cm，则AD= _________ cm.
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长.
12.如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.
（1）在图）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC.
（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图2所示.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.D
5.C
6.5
7. 4 cm，2 cm
8. 1 cm
9.2
10.2
11. 解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形.
∴ED＝DC＝2.
又∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴
DF＝2DE＝4.
12. （1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）解：结论AD+AB=AC成立.
理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，
∵∠BAC=60°，
∴△CAE为等边三角形，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAC=∠AEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
∴△ADC≌△EBC，
∴DC=BC，DA=BE，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC.
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