《2.4.2 二次函数的应用》教学设计
教
学
目
标
知识
能力
1.经历探索由最大产量到最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的图像与性质，数形结合求出实际问题的最大值，发展解决问题的能力．
过程
方法
经历最大产量、最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
情感态度价值观
体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．
认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步的作用．
能学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最大值问题．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．
教学难点
1、本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系。
2、运用数形结合的方法解决实际问题.
教法
教师指导学生自主探索交流法
学法
自主探索交流法
教学
准备
多媒体课件
教学
过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、
创
设
情
境
二、
新
课
讲
解
三、
巩
固
练
习
四、课堂小结
五、
作
业
导入：三月三，桃花开。我们胶北又称“桃乡”，一年一度的桃花节吸引着八方游客。今天刘老师就将我们的课堂搬到这十里桃林之中，和同学们一起学习二次函数的应用。
知识回顾
已知二次函数y=-2x2+4x+6
（1）a=______ ,抛物线开口向______.
（2）当x=_______时，y有最___值=_______.
（3）若-2≤x≤-1，当x=______时，y有最大值=_______.
若 2≤x≤3， 当x=______时，y有最大值=_______.
（4）若y=6，则x=__________.对应坐标（___）,(____)
若y≥6,则x的取值范围______________
过渡：出示果农耕耘图片，从学生已有经验出发，解决桃树最大产量问题.
典型例题：
果园原有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子.现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个.但多种的桃树不能超过100棵.多种多少棵桃树，能获得最大产量?最大产量是多少个？
1、题目中蕴含怎样的数量关系？
2、出示表格：
3、根据分析，列出关系式，得到二次函数，教师板演，进行算法步骤指导.
解：设多种x棵桃树，总产量w个，由题意得
法（一）w= (100+x)(1000﹣2x)
=-2x2+800x+100000
=-2(x-200)2+180000
法（二）w= (100+x)(1000﹣2x)
=-2x2+800x+100000
当x==200时，
w最大=(100+200)(1000﹣2×200)=180000
探究：
（1）这180000个是实际问题中的最大产量吗？注意条件“但多种的桃树不能超过100棵”
教师归纳步骤：
∵a=-2＜0,抛物线开口向下，
对称轴:直线x=200
当x≤100时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x=100时，w取最大值，
w最大=-2(100-200)2+180000
=160000（个）
∴当增种100棵桃树时，总产量最大，最大产量是160000个。
（2）、如果该桃园要使桃子的总产量不低于135000个，增种桃树的数量应控制在什么范围内？
解：由题意知w≥135000，
令w=135000，
则-2(x-200)2+180000=135000
解这个方程得
x1=50，x2=350
∴当50 ≤x≤350时，
桃子总产量不低于135000个
又∵x ≤100
∴ 50 ≤x ≤100
∴增种桃树的数量应控制在50棵至100棵之间。
小结：二次函数的应用关键在于建立模型，发现关系式，利用数形结合思想解决问题。
过渡：出示果农丰收图片，解决销售桃子最大利润问题.
小明的父母经营一家水果超市，销售每箱进价为40元的桃子, 市场调查发现,若每箱以50元价格出售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x(元/箱)之间的函数关系式；
（3）当每箱桃子的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
（4）探究：通过调查研究，小明得出A、B两种销售方案：
方案A：每箱桃子售价高于进价但不超过55元；
方案B：每天销售量不少于45箱，且每箱桃子的利润至少为22元.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
教师引导学生将文字语言翻译成数学语言，得出思路.
教师小结：当我们求出二次函数理论最大值后，还应考虑x的取值范围
（一）若顶点在取值范围内，则取理论最大值；
（二）若顶点不在取值范围内，则根据图像，函数增减性求最大值。
这节课你有哪些收获？
教师归纳：一种解题方法：求二次函数最大值；一种数学思想：数形结合；一种生活态度：生活中处处有数学，数学让生活更美好
习题2.9
学生经历由易到难求二次函数最值的过程，为二次函数应用做好铺垫。
读题
学生讨论，分组交流题目中的数量关系，教师适时进行指导。
学生发现关系式，建立二次函数模型.
学生回答每步计算结果，思考怎样计算简便。
学生相互交流得出x取值范围，在此基础上再求最大值
学生自我展示
结合图像，增减性分析最大值
学生整理步骤
学生分组讨论，解决问题
学生分析探究结果：建立模型得到一元二次不等式，因不会计算，转而求解一元二次方程，结合图像求桃树数量的取值范围.
学生整理步骤
读题
学生自我展示
y与x之间的关系式为：y=90-3(x-50)
并讲解；
w与x之间的关系式为：w =(x-40)y 并讲解
计算结果
学生思考，然后小组交流。
分析求取值范围，计算结果
根据计算结果，选择最优方案
学生畅所欲言，谈自己的收获
利用本地区学生熟悉的桃花节引入新课，拉近教师与学生的距离，也激起学生探索新知的好奇心。
巩固基础知识，为学习新知识做好铺垫。
引入草图解决问题的策略，强调数形结合是数学上解决问题的一种重要方法。
帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.
多种算法便于学生更好地积累解题经验，在不同的题目中选择不同的方法。
将主动权交给学生让学生在谬误中发现问题，解决问题.
巩固新学的知识技能和方法。
进一步明确二次函数最值步骤。
引导学生把所学知识加以总结.
进行迁移应用训练，进行理性反思，加深对知识的灵活把握程度。
此题x代表售价，与上题x代表增种的棵树进行区分，训练学生根据设法的不同列出正确的关系式.
通过探究问题与中考接轨，综合一元一次不等式组解决问题.
体会二次函数最优化模型.
对解题方法进行归纳，得出解题关键思路.
板书
设计
§2．4. 2 二次函数的应用
知识回顾
典型例题
巩固练习
教材分析
本节课内容位于初中数学北师大版九年级下册第二章二次函数中第9节，二次函数应用在初中数学应用问题中极具代表性，它充分体现了数学的应用价值，体现了理论联系实际，具有承前启后的作用。它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型基础。
本节课主要解决的问题就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课的关键就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能根据实际问题建立二次函数模型，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.?
评测练习
知识回顾：
已知二次函数y= -2x2+4x+6
（1）a=______ ,抛物线开口向______.
（2）当x=_______时，y有最___值=_______.
若-2≤x≤-1，当x=______时，y有最大值=_______.
若 2≤x≤3， 当x=______时，y有最大值=_______.
若y=6，则x=____________.
若y≥6,则x的取值范围______________
典型例题：
某果园原有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子.现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个.但多种的桃树不能超过100棵.多种多少棵桃树，能获得最大产量?最大产量是多少？
探究：
注意条件“但多种的桃树不能超过100棵”
（2）如果该桃园要使桃子的总产量不低于135000个，增种桃树的数量应控制在什么范围内？
三、巩固练习：
小明的父母经营一家水果超市，销售每箱进价为40元的桃子, 市场调查发现,若每箱以50元价格出售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x(元/箱)之间的函数关系式；
（3）当每箱桃子的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
（4）探究问题：
通过调查研究，小明得出A、B两种销售方案：
方案A：每箱桃子售价高于进价但不超过55元；
方案B：每天销售量不少于45箱，且每箱桃子的利润至少为22元。
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
课件22张PPT。2.4.2二次函数的应用九年级下册北师大版 已知二次函数y=-2x2+4x+6
（1）a=______ ,抛物线开口向______.
（2）当x=_______时，y有最___值=_______.
（3）若-2≤x≤-1，当x=______时，y有最大值=_______.
若 2≤x≤3， 当x=______时，y有最大值=_______.
（4）若y=6，则x=__________.对应坐标（___）,(____)
若y≥6,则x的取值范围______________知识回顾下-21-18206大0或20≤ x ≤ 20,62,6 某果园原有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子.现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个.但多种的桃树不能超过100棵.多种多少棵桃树，能获得最大产量?最大产量是多少个？典型例题1001000100 ×1000100+？1000-2 ×？（ ）×（ ）w= (100+x)(1000﹣2x) =-2(x-200)2+180000注意条件“但多种的桃树不能超过100棵”
解：设多种x棵桃树，总产量w个，由题意得 =-2x2+800x+100000
∵a=-2＜0,抛物线开口向下，∴当x=100时，w取最大值，当x≤100时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大w最大=-2(100-200)2+180000=160000（个）∴当增种100棵桃树时，总产量最大，
最大产量是160000个。对称轴:直线x=200解这个方程得
x1=50，x2=350 如果该桃园要使桃子的总产量不低于135000个，增种桃树的数量应控制在什么范围内？解：由题意知w≥135000，令w=135000，则-2(x-200)2+180000=135000100∴当50 ≤x≤350时，
桃子总产量不低于135000个又∵x ≤100∴ 50 ≤x ≤100∴增种桃树的数量应控制在50棵至100棵之间。由上题我们发现：
二次函数的应用关键在于建立模型，发现关系式，利用数形结合思想解决问题。小结 小明的父母经营一家水果超市，销售每箱进价为40元的桃子, 市场调查发现,若每箱以50元价格出售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数关系式；巩固练习（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x(元/箱)之间的函数关系式；解：（1）y=90-3(x-50)
=-3x+240
∴y与x之间的函数关系式为y=-3x+240
（2）w =(x-40)y
= (x-40)(-3x+240) = -3x2+360x-9600∴w与x的函数关系式为w =-3x2+360x-9600解：（3）w =-3x2+360x-9600
=-3(x-60)2+1200（3）当每箱桃子的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ ∵a=-3<0， w有最大值，
∴当x=60时，w最大=1200（元）∴当每箱桃子的售价为60元时，可以获得最大利润,最大利润为1200元。
通过调查研究，小明得出A、B两种销售方案：
方案A：每箱桃子售价高于进价但不超过55元；
方案B：每天销售量不少于45箱，且每箱桃子的利润至少为22元.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.探究问题：解:方案A：由题意可知40＜x≤55获得最大利润wA最大=-3(55-60)2+1200=1125(元)∵a=-3＜0,抛物线开口向下，对称轴：直线x=60当40＜x≤55时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当x=55时，w取最大值，方案B：由题意得：
-3x+240 ≥45
x-40 ≥22获得最大利润∵1188元＞1125元
∴应选方案B。解得62 ≤ x≤65在对称轴右侧，w随x的增大而减小，wB最大=-3(62-60)2+1200=1188(元)∴当x=62时，w取最大值小结由上题我们发现：
当我们求出二次函数理论最大值后，还应考虑x的取值范围——
（一）若顶点在取值范围内，则取理论最大值；
（二）若顶点不在取值范围内，则根据图像，函数增减性求最大值。收获一种解题方法：求二次函数最大值一种数学思想：数形结合一种生活态度：生活中处处有数学
数学让生活更美好谢谢！作业：
习题2.9课后反思
二次函数的应用是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，它是本章的难点。新的课程标准要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图像的性质解决简单的实际问题，而最大值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题，它生活背景丰富，学生比较感兴趣。本节课通过桃树的最大产量，销售桃子的最大利润问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想去解决和函数有关的应用问题。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的基础。 由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。 不足之处：《数学课程标准》提出：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习探讨。在本节课的教学中，教师引导学生较多，没有完全放开让学生自主探究学习，获得新知；学生在数学学习中还是有较强的依赖性，教师要有意培养学生自主学习的能力。 教师要想在开放的课堂上具有灵活驾驭的能力，就需要在备课时尽量考虑周到，既要备教材，又要备学生，更需要教师具有丰富的科学文化知识，这样才能使我们的学生在轻松活跃的课堂上找到学习的乐趣与兴趣。
