小专题(一) 反比例函数与一次函数图象的综合题
——教材P21复习题T8的变式与应用
教材母题：已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点(2，4)，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内，画出这两个函数的图象．
【解答】 将(2，4)代入反比例函数y＝中，得k＝2×4＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.
在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象如下：
【方法归纳】 解反比例函数与一次函数的综合题，常用方法如下：
(1)已知反比例函数和一次函数的图象经过某一点，求反比例函数和一次函数的表达式，解这类题的方法常从反比例函数入手，先求出反比例函数的表达式，再求出另一个交点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数的表达式；
(2)求反比例函数与一次函数的交点坐标，解这类题的方法是将两个函数表达式联立得方程组，求得方程组的解即为交点坐标．
变式训练：
1．(常德中考)如图，直线AB与坐标轴分别交于A(－2，0)，B(0，1)两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4，n)，求一次函数和反比例函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，反比例函数的表达式为y＝.
把A(－2，0)，B(0，1)代入y＝kx＋b中，得解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋1.
把C(4，n)代入y＝x＋1中，得n＝3.
∴点C的坐标为(4，3)．
把C(4，3)代入y＝中，得m＝12.
∴反比例函数的表达式为y＝.
2．(郴州中考)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点M，作MN⊥x轴，N为垂足，且ON＝1.
(1)在第一象限内，当x取何值时，y1＞y2？(根据图象直接写出结果)
(2)求反比例函数的表达式．
解：(1)当x＞1时，y1＞y2.
(2)把x＝1代入y1＝x＋1中，得y＝2.
∴M点的坐标为(1，2)．
把M(1，2)代入y2＝中，得k＝2.
∴反比例函数的表达式为y2＝.
3．如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝x－2交于点A，且A点纵坐标为1.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当y＞1时，求x的取值范围．
解：(1)把y＝1代入y＝x－2中，
得x＝3.
∴点A的坐标为(3，1)．
把点A(3，1)代入y＝中
，得k＝3.
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵当x<0时，y<0，当x＞0时，反比例函数y＝的函数值y随x的增大而减小，把y＝1代入y＝中，得x＝3，
∴当y＞1时，x的取值范围为0＜x＜3.
4．(襄阳中考)如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点．
(1)m＝4，n＝1．若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1＞y2(填“＜”“＝”或“＞”)；
(2)若线段CD上的点P到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标．
解：∵直线y＝ax＋b经过点A(1，4)，B(4，1)，
∴解得
∴y＝－x＋5.
当x＝y时，x＝－x＋5，
解得x＝.
∴P(，)．
5．(自贡中考)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出方程kx＋b－＝0的解；
(3)求△AOB的面积．
解：(1)∵B(2，－4)在双曲线y＝上，∴m＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
∵A(－4，n)在y＝－上，∴n＝2.∴A(－4，2)．
∵直线y＝kx＋b经过A(－4，2)，B(2，－4)，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－2.
(2)x1＝－4，x2＝2.
(3)设一次函数的图象与y轴的交点为C.
∵当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)．∴OC＝2.
∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝×2×4＋×2×2＝6.
6．(威海中考)如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为(2，6)，点B的坐标为(n，1)．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
解：(1)把点A(2，6)代入y＝，得m＝12.
则反比例函数的表达式为y＝.
把点B(n，1)代入y＝，得n＝12.
则点B的坐标为(12，1)．
由直线y＝kx＋b过点A(2，6)，B(12，1)，得解得
则一次函数的表达式为y＝－x＋7.
(2)设直线AB与y轴的交点为P，点E的坐标为(0，t)，连接AE，BE，则点P的坐标为(0，7)．
∴PE＝|t－7|.
∵S△AEB＝S△BEP－S△AEP＝5，
∴×|t－7|×(12－2)＝5.
∴|t－7|＝1.
解得t1＝6，t2＝8.
∴点E的坐标为(0，6)或(0，8)．章末复习(一) 反比例函数
01 基础题
知识点1 反比例函数的概念
1．下列函数：①y＝2x，②3xy＝1，③y＝x－1，④y＝＋1，⑤x＋y＝8.其中y是x的反比例函数的有(C)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．若y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m＝－1，此函数的表达式是y＝－．
知识点2 反比例函数的图象与性质
3．关于反比例函数y＝－的图象，下列说法正确的是(D)
A．必经过点(2，2)
B．两个分支分布在第一、三象限
C．两个分支关于x轴成轴对称
D．两个分支关于原点成中心对称
4．在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是(A)
A．－1
B．1
C．2
D．3
5．(天水中考)反比例函数y＝－的图象上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是(D)
A．y1＜y2＜0
B．y1＜0＜y2
C．y1＞y2＞0
D．y1＞0＞y2
6．已知反比例函数y＝的图象经过点P(1，2)，则这个函数的图象位于第一、三象限．
7．如图所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的表达式为y＝．
8．已知反比例函数y＝的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)请判断点B(1，6)，点C(－3，2)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
解：(1)把点A(2，3)代入y＝中，得k＝6，
∴这个函数的表达式为y＝.
(2)∵当x＝1时，y＝6，当x＝－3时，y＝－2，
∴点B在反比例函数的图象上，点C不在反比例函数的图象上．
知识点3 反比例函数与一次函数的综合
9．若一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象都经过点(－2，1)，则b的值是(B)
A．3
B．－3
C．5
D．－5
10．(宁夏中考)如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为－2，当y1＜y2时，x的取值范围是(B)
A．x＜－2或x＞2
B．x＜－2或0＜x＜2
C．－2＜x＜0或0＜x＜2
D．－2＜x＜0或x＞2
知识点4 反比例函数的应用
11．实验表明，当导线的长度一定时，导线的电阻与它的横截面积成反比例．一条长为100
cm的导线的电阻R(Ω)与它的横截面积S(cm2)的函数图象如图所示，那么，其函数表达式为R＝，当S＝2
cm2时，R＝__14.5Ω.
12．有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)是体积V(单位：m3)的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝2
m3时，气体的密度是多少kg/m3
解：设ρ＝，
由图象可知，当V＝4时，ρ＝2，
∴2＝，解得k＝8.
∴ρ＝.
当V＝2时，ρ＝＝4，
即气体的密度是4
kg/m3.
02 中档题
13．(海南中考)已知k1＞0＞k2，则函数y＝k1x和y＝的图象在同一平面直角坐标系中大致是(C)
14．已知反比例函数y＝(a＋1)x－3的图象在第二、四象限内，则a＝－2．
15．(毕节中考)一次函数y＝kx＋1的图象经过点(1，2)，则反比例函数y＝的图象经过点(2，)．
16．(永州中考)如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为1．
17．(安顺中考)如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)是反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝ax＋b的交点．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时，x的取值范围．
解：(1)由题意可知，m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)．解得m＝3.
∴A(3，4)，B(6，2)．
∴k＝4×3＝12.
∴反比例函数的表达式为y＝.
∵A点坐标为(3，4)，B点坐标为(6，2)，
∴∴
∴一次函数的表达式为y＝－x＋6.
(2)0＜x＜3或x＞6.
03 综合题
18．(贵阳中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y＝(x>0)的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为(4，2)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点F的坐标．
解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(4，2)，
∴2＝.∴k＝8.
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，
由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，
∴点C的坐标为C(8，4)，
设OB＝x，则BC＝x，BN＝8－x，
在Rt△CNB中，x2－(8－x)2＝42，解得x＝5.
∴B点的坐标为(5，0)．
设直线BC的函数表达式为y＝k1x＋b，
∵直线BC过点B(5，0)，C(8，4)，
∴解得
∴直线BC的函数表达式为y＝x－.
联立方程组
解得
∵点F在第一象限，
∴点F的坐标为(6，)．
