小专题(二) 一元二次方程的解法
1．根据平方根的意义解下列方程：
(1)(2x＋3)2－49＝0；
解：原方程可化为(2x＋3)2＝49，
根据平方根的意义，得2x＋3＝7或2x＋3＝－7，
因此原方程的根为x1＝2，x2＝－5.
(2)64(1＋2x)2＝100；
解：原方程可化为(1＋2x)2＝，
根据平方根的意义，得1＋2x＝或1＋2x＝－，
因此原方程的根为x1＝，x2＝－.
(3)(3x－2)2＝9(2x＋1)2.
解：根据平方根的意义，得
3x－2＝3(2x＋1)或3x－2＝－3(2x＋1)，
解得x1＝－，x2＝－.
2．用配方法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0；
解：将二次项系数化为1，得x2－x－＝0.
配方，得x2－x＋()2－()2－＝0.
因此(x－)2＝.
由此得x－＝或x－＝－.
解得x1＝1，x2＝－.
(2)5x2－8x＋2＝0.
解：将二次项系数化为1，得x2－x＋＝0.
配方，得x2－x＋()2－()2＋＝0.
因此(x－)2＝.
由此得x－＝或x－＝－.
解得x1＝，x2＝.
3．用公式法解下列方程：
(1)3x2－6x＋1＝0；
解：这里a＝3，b＝－6，c＝1，
因而b2－4ac＝36－12＝24＞0，
所以x＝＝.
因此，原方程的解为x1＝，x2＝.
(2)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1)．
解：原方程可化为x2－9x＋2＝0.
这里a＝1，b＝－9，c＝2，
因而b2－4ac＝81－4×1×2＝73＞0，
所以x＝.
因此，原方程的解为x1＝，x2＝.
4．用因式分解法解下列方程：
(1)3(x－5)2＝x(x－5)；
解：原方程可化为3(x－5)2－x(x－5)＝0，
把方程左边因式分解，得(x－5)(2x－15)＝0，
由此得x－5＝0或2x－15＝0.
解得x1＝5，x2＝.
(2)x2－x＝2(2＋x)；
解：原方程可化为x2－3x－4＝0，
把方程左边因式分解，得(x－4)(x＋1)＝0，
由此得x－4＝0或x＋1＝0.
解得x1＝4，x2＝－1.
(3)(x－2)2＝(2x＋3)2.
解：原方程可化为(x－2)2－(2x＋3)2＝0，
把方程左边因式分解，得(3x＋1)(x＋5)＝0，
由此得3x＋1＝0或x＋5＝0.
解得x1＝－，x2＝－5.
5．选用合适的方法解下列方程：
(1)(x－1)2－9＝0；
解：原方程可化为(x－1)2＝9，
根据平方根的意义，得x－1＝±3，
因此原方程的根为x1＝4，x2＝－2.
(2)y2－4y－5＝0；
解：把方程左边因式分解，得(y＋1)(y－5)＝0，
由此得y＋1＝0或y－5＝0，
解得y1＝－1，y2＝5.
(3)－3x＋x2＝－2；
解：原方程可化为x2－3x＋2＝0，
这里a＝，b＝－3，c＝2，
因而b2－4ac＝(－3)2－4××2＝5，
所以x＝＝3±.
因此，原方程的解为x1＝3＋，x2＝3－.
(4)(x＋1)2＝3(x＋1)；
解：原方程可化为(x＋1)2－3(x＋1)＝0，
把方程左边因式分解，得(x＋1)(x＋1－3)＝0，
由此得x＋1＝0或x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2.
(5)2(x－3)2＝8；
解：原方程可化为(x－3)2＝4，
根据平方根的意义，得x－3＝2或x－3＝－2，
因此原方程的根为x1＝5，x2＝1.
(6)2x2－5x－3＝0.
解：将方程左边因式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.
由此得2x＋1＝0或x－3＝0.
解得x1＝－，x2＝3.
6．选用合适的方法解下列方程：
(1)(y－2)2＋(2y＋1)2＝25；
解：原方程可化为y2＋4－4y＋4y2＋1＋4y＝25，
5y2＝20，
y2＝4.
根据平方根的意义，得y＝±2，
因此原方程的根为y1＝2，y2＝－2.
(2)4x2－6x－3＝0；
解：这里a＝4，b＝－6，c＝－3，
因而b2－4ac＝(－6)2－4×4×(－3)＝84，
所以x＝＝.
因此，原方程的解为x1＝，x2＝.
(3)4x2－x－1＝3x－2；
解：原方程可化为4x2－4x＋1＝0，
把方程左边因式分解，得(2x－1)2＝0，
解得x1＝x2＝.
(4)(x－2)(x－3)＝2；
解：原方程可化为x2－5x＋4＝0，
把方程左边因式分解，得(x－1)(x－4)＝0，
由此得x－1＝0或x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝4.
(5)(2x－3)2－2(2x－3)＝3；
解：原方程可化为(2x－3)2－2(2x－3)－3＝0，
把方程左边因式分解，得
(2x－3－3)(2x－3＋1)＝0，
由此得2x－6＝0或2x－2＝0，
解得x1＝3，x2＝1.
(6)(3x＋2)(x－1)＝2(x－1)(x＋1)．
解：原方程可化为
(3x＋2)(x－1)－2(x－1)(x＋1)＝0，
把方程左边因式分解，得(x－1)(3x＋2－2x－2)＝0.
由此得x－1＝0或3x＋2－2x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝0.小专题(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的综合运用
——教材P57复习题T15的变式与应用
教材母题：设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立？试说明理由．
【思路点拨】 先由一元二次方程有两个实数根，判断出Δ＝b2－4ac≥0，求出k的取值范围，再由根与系数的关系求出x1x2与x1＋x2的值，假设存在实数k满足条件，可得到关于k的一元一次不等式，进而求得不等式的解集，若不等式x1x2＞x1＋x2的解集在b2－4ac≥0得出的k的取值范围内，则存在k值，否则，不存在．
【解答】 不存在．理由如下：
由题意，得Δ＝(－4)2－4×1×(k＋1)≥0，解得k≤3.由根与系数关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1.假设存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2，则k＋1＞4，解得k＞3.这与k≤3矛盾，∴假设不成立．∴不存在实数k，使得x1x2＞x1＋x2成立．
【方法归纳】 (1)解一元二次方程的存在性问题的方法：先假设存在，再根据假设和已知条件推理得出结论，若结论与已知题意相符，则存在，反之，若与题意矛盾，则不存在；(2)一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有实数根，在利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，必须满足Δ≥0.
变式训练：
1．(湘潭中考)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求m的值；
(2)当x1＝1时，求另一个根x2的值．
解：(1)∵一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×m＝9－4m>0.
∴m<.
(2)∵x1＋x2＝3，x1＝1，
∴x2＝2.
2．已知关于x的方程kx2＋(2k＋1)x＋2＝0.
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：当k＝0时，方程变形为x＋2＝0，解得x＝－2；
当k≠0时，Δ＝(2k＋1)2－4·k·2＝(2k－1)2，
∵(2k－1)2≥0，
∴Δ≥0.
∴当k≠0时，方程有实数根．
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)存在．理由如下：
设方程两根分别为x1、x2，则
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝2，即＝2，
∴＝2，即－＝2.
解得k＝－.
故存在实数k使方程两根的倒数和为2.
3．已知关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根x1、x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．
解：(1)方程整理为x2－2(k－1)x＋k2＝0.
根据题意，得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，
解得k≤.
(2)根据题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.
∵|x1＋x2|＝x1x2－1，
∴|2(k－1)|＝k2－1.
∵k≤，
∴－2(k－1)＝k2－1.
整理得k2＋2k－3＝0，
解得k1＝－3，k2＝1(舍去)，
∴k＝－3.
4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若x1＋x2＝6－x1x2，求(x1－x2)2＋3x1x2－5的值．
解：(1)由题意，得Δ＝(2m－3)2－4m2＝4m2－12m＋9－4m2＝－12m＋9≥0，
∴m≤.
(2)由题意可得x1＋x2＝－(2m－3)＝3－2m，x1x2＝m2，
又∵x1＋x2＝6－x1x2，
∴3－2m＝6－m2.
∴m2－2m－3＝0.
∴m1＝3，m2＝－1.
又∵m≤，
∴m＝－1.∴x1＋x2＝5，x1x2＝1.
∴(x1－x2)2＋3x1x2－5
＝(x1＋x2)2－4x1x2＋3x1x2－5
＝(x1＋x2)2－x1x2－5
＝52－1－5
＝19.
5．已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．
(1)k取何值时，方程有两个实数根；
(2)当矩形的对角线长为时，求k的值；
(3)当k为何值时，矩形变为正方形？
解：(1)Δ＝[－(k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝2k－3.
∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0，即2k－3≥0，解得k≥.
∴当k≥时，方程有两个实数根．
(2)设方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0的两根分别为a、b，
则a＋b＝k＋1，ab＝k2＋1.
∵矩形的对角线长为，即a2＋b2＝5，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(k＋1)2－2×(k2＋1)＝5，
整理，得k2＋4k－12＝0，
解得k＝2或k＝－6(舍去)．
∴当矩形的对角线长为时，k的值为2.
(3)当矩形为正方形时，方程两根相等，
∴Δ＝2k－3＝0，解得k＝.
∴当k＝时，矩形变为正方形．小专题(四) 一元二次方程的实际应用
类型1 数字问题
1．如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和等于多少？
解：设一个偶数为x，另一个偶数为x＋2，根据题意，得
x(x＋2)＝288，
解得x＝16或x＝－18(舍去)．
∴两个偶数为16，18，和为34.
答：这两个数的和等于34.
2．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x＋2)．根据题意，得
3x(x＋2)＝10x＋(x＋2)，
整理得3x2－5x－2＝0，
解得x1＝2，x2＝－(不合题意，舍去)．
∴x＝2，x＋2＝4.
答：这个两位数是24.
3．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数，
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3.根据题意，得
x2＝10(x－3)＋x，
解得x＝5或x＝6.
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为36岁．
类型2 传播问题
4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得
1＋x＋x(1＋x)＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)7×64＝448(人)．
答：第三轮有448人被传染．
5．陶铸中学初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n的值．
解：由题意，得1＋n＋n2＝421，
解得n1＝－21(舍去)，n2＝20.
答：n的值是20.
类型3 握手问题
6．小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此(每两人之间不重复握手)．小明发现所有人握手次数总和为36次，那么合唱队有多少人？
解：设合唱队有x人，根据题意，得
＝36，
解得，x1＝9，x2＝－8(舍去)．
答：合唱队有9人．
7．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
解：设应邀请x支球队参赛，根据题意，得
x(x－1)＝28.
整理，得x2－x＋56＝0.
解得x1＝8，x2＝－7(舍去)．
答：应邀请8支球队参赛．
类型4 其他问题
8．盐城春秋旅行社为吸引市民组团去盐渎风景区旅游，推出了如图所示收费标准．某单位组织员工去盐渎风景区旅游，共支付给盐城春秋旅行社旅游费用27
000元．请问该单位这次共有多少名员工去盐渎风景区旅游？
解：设该单位这次共有x名员工去盐渎风景区旅游．
∵1
000×25＝25
000＜27
000，∴员工人数一定超过25人．则根据题意，得
[1
000－20(x－25)]x＝27
000.
整理，得x2－75x＋1
350＝0，
解得x1＝45，x2＝30.
当x＝45时，1
000－20(x－25)＝600＜700，故舍去；
当x2＝30时，1
000－20(x－25)＝900＞700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去盐渎风景区旅游．
9．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：
(1)在第n个图中，第一横行共(n＋3)块瓷砖，第一竖列共有(n＋2)块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为n2＋5n＋6(用含n的代数式表示)；
(2)上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
(3)黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需要花多少钱购买瓷砖？
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．
解：(2)根据题意，得n2＋5n＋6＝506，
解得n1＝20，n2＝－25(不符合题意，舍去)．
∴n的值为20.
(3)观察图形可知，每－横行有白砖(n＋1)块，每－竖列有白砖n块，因而白砖总数是n(n＋1)块，n＝20时，白砖为20×21＝420(块)，黑砖数为506－420＝86(块)．故总钱数为420×3＋86×4＝1
260＋344＝1
604(元)．
答：共花1
604元钱购买瓷砖．
(4)根据题意，得n(n＋1)＝n2＋5n＋6－n(n＋1)，
解得n＝(不符合题意，舍去)．
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．章末复习(二) 一元二次方程
01 基础题
知识点1 一元二次方程及其相关概念
1．下列方程中，一元二次方程共有(B)
①x2－2x－1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③＋3x－5＝0；④－x2＝0；⑤(x－1)2＋y2＝2；⑥(x－1)(x－3)＝x2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．若关于x的一元二次方程x2＋(2a－1)x＋5－a＝ax＋1的一次项系数为4，则常数项为－1．
3．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是－1．
知识点2 解一元二次方程
4．用适当的方法解下列方程：
(1)25(x＋1)2＝9(x－2)2；
解：x1＝，x2＝－.
(2)x2－2x＝3；
解：x1＝2＋，x2＝2－.
(3)(x＋1)(x－3)＝5；
解：x1＝4，x2＝－2.
(4)2y(y－1)＋3＝(y＋1)2.
解：y1＝2＋，y2＝2－.
知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
5．(常德中考)一元二次方程2x2－3x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜．
6．已知x1，x2是方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，则＋＝－2．
7．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1、x2.
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，满足x＋x＝6x1x2？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，
即4－4m＋4≥0，解得m≤2.
(2)∵x1＋x2＝2，x1x2＝m－1，
且x＋x＝6x1x2，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2，
即(x1＋x2)2－8x1x2＝0.
∴22－8(m－1)＝0.∴m＝.
∵m＝<2，∴符合条件的m的值为.
知识点4 一元二次方程的实际应用
8．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2
070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为x(x－1)＝2__070．
9．某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下调的百分率是40%．
10．(百色中考)在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20
m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96
m2.
(1)求这地面矩形的长；
(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
解：(1)设矩形的长为x
m，由题意，得
x(20－x)＝96，
解得x1＝12，x2＝8(舍去)．
答：矩形的长为12
m.
(2)规格为0.80×0.80的地板砖块数：
96÷(0.8×0.8)＝150(块)，
规格为0.80×0.80的地板砖总费用：
55×150＝8
250(元)；
规格为1.00×1.00的地板砖块数：
96÷(1.0×1.0)＝96(块)，
规格为1.00×1.00的地板砖总费用：
80×96＝7
680元．
∵7
680＜8
250，
∴用规格为1.00×1.00的地板砖费用较少．
02 中档题
11．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4(k－)＝0.
(1)判断这个一元二次方程根的情况；
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
解：(1)∵b2－4ac＝(2k＋1)2－16(k－)＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0，
∴这个一元二次方程有两个实数根．
(2)若腰长为3，将x＝3代入原方程，得k＝2.
∴原方程为x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.
∴等腰三角形的三边为3，3，2.则周长为8；
若底为3，则b2－4ac＝0，解得k＝.
∴原方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2.
∴等腰三角形的三边为2，2，3，则周长为7.
综上，这个等腰三角形的周长为7或8.
12．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%，某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．
解：(1)设今年年初猪肉价格每千克为x元，根据题意，得
2．5×(1＋60%)x≥100.
解得x≥25.
答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元．
(2)设5月20日该超市猪肉的销售量为1，根据题意，得
40×(1＋a%)＋40(1－a%)×(1＋a%)＝40(1＋a%)．
令a%＝y，原方程可化为40×(1＋y)＋40(1－y)×(1＋y)＝40(1＋y)．
整理，得5y2－y＝0.
解得y1＝0，y2＝0.2.
∴a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝20.
答：a的值是20.
03 综合题
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5
cm，BC＝6
cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1
cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2
cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t
s.
(1)填空：BQ＝2t__cm，PB＝(5－t)cm(用含t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5
cm
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26
cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意，得(5－t)2＋(2t)2＝52，
解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2.
当t＝2
s时，PQ的长度等于5
cm.
(3)∵S矩形ABCD＝AB·BC＝5×6＝30(cm2)，
S五边形APQC＝26
cm2，
∴S△PBQ＝4
cm2.
∴(5－t)·2t·＝4.
解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1.
∴当t＝1
s时，五边形APQCD的面积等于26
cm2.
