小专题(六) 线段等积式、比例式的证明
方法1 三点定型法
要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形．
1．已知：如图，∠ABC＝∠ADE.求证：AB·AE＝AC·AD.
证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
即AB·AE＝AC·AD.
2．如图，已知△ABC中，点D在AC上，且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD·AC.
证明：∵∠ABD＝∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB.
∴＝.
∴AB2＝AD·AC.
3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠A＋∠B＝90°，CD＝AD.
∴∠A＝∠DCE.
又∵DF垂直平分AB，
∴∠BDF＝90°.
∴∠B＋∠F＝90°.
∴∠DCE＝∠F.
又∵∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC.
∴＝，即CD2＝DE·DF.
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B.求证：BD·CD＝BE·CF.
证明：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，
∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠DEB.
∴△BDE∽△CFD.
∴＝，
即BD·CD＝BE·CF.
方法2 等线段代换法
从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定型法”找相似三角形．
5．已知：如图，在 ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F.求证：AD·AB＝AF·CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC.
∴∠ADF＝∠E.
∴△ADF∽△CED.
∴＝.
∴＝，即AD·AB＝AF·CE.
6．如图，在△ABC中，点D，E在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC＝120°，求证：DE2＝BD·CE.
证明：∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°.
∴∠ADB＝∠AEC＝120°，
∠B＋∠BAD＝60°.
又∵∠BAC＝120°，
∴∠B＋∠C＝60°.
∴∠BAD＝∠C.
∴△ABD∽△CAE.
∴＝.
∴＝，
即DE2＝BD·CE.
7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点．求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC.
在△ABC中，∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC.
∴PB＝PC.
∴∠PBC＝∠PCB.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，
即∠ABP＝∠ACP.
∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F.
∴∠ACP＝∠F.
又∵∠EPC＝∠CPF，∴△PCE∽△PFC.
∴＝.
∵PC＝PB，
∴＝，即PB2＝PE·PF.
方法3 等比代换法(找中间比)
要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡．
8．如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：＝.
证明：在△ABQ中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.
∴DP∶BQ＝AP∶AQ.
同理△AEP∽△ACQ，
∴PE∶QC＝AP∶AQ.
∴DP∶BQ＝PE∶QC，即＝.
9．如图，在 ABCD的对角线BD上任取一点P，过P点引一直线分别与BA、DC两边的延长线交于E、G，又与BC、AD两边交于F、H，求证：＝.
证明：在 ABCD中，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴＝，＝.
∴＝.
10．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)＝.
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠DCE＋∠ACD＝∠ACB＋∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝ED，∠ABC＝∠DCE＝60°.
∴＝，AB∥DC.
∴∠ABG＝∠CDG，∠BAG＝∠DCG.
∴△ABG∽△CDG.
∴＝.同理＝，∴＝.
方法4 等积代换法(找中间积)
常用到基本图形的结论找中间积．
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AE·AB＝AF·AC.
证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AED＝90°.
又∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD.
∴＝，即AE·AB＝AD2.
同理，△ADF∽△ACD，
∴AF·AC＝AD2.
∴AE·AB＝AF·AC.
12．(崇明中考)如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AG.求证：＝.
证明：∵∠BGD＝∠C，∠DBG＝∠EBC，
∴△BGD∽△BCE.
∴＝，
即BG·BE＝BC·BD.
又∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA.
∴＝，即BC·BD＝AB2.
∴BG·BE＝AB2，即＝.
13．如图，在△ABC中，AD、BF分别是BC、AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC的延长线于H，求证：DE2＝EG·EH.
证明：∵AD、BF分别是BC、AC边上高，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BED＝90°.
∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.
∴∠EBD＝∠EDA.
∴△AED∽△DEB.
∴DE2＝AE·BE.
又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，
∴∠EBG＝∠H.
∵∠BEG＝∠HEA＝90°，
∴△BEG∽△HEA.
∴＝，即EG·EH＝AE·BE.
∴DE2＝EG·EH.章末复习(三) 图形的相似
01 基础题
知识点1 比例及比例线段
1．下列各线段的长度成比例的是(D)
A．2
cm，5
cm，6
cm，8
cm
B．1
cm，2
cm，3
cm，4
cm
C．3
cm，6
cm，7
cm，9
cm
D．3
cm，6
cm，9
cm，18
cm
2．已知5x－8y＝0，则x∶y＝8∶5．
知识点2 平行线分线段成比例
3．如图，已知AB∥CD∥EF，BD∶DF＝2∶5，那么下列结论正确的是(D)
A．AC∶AE＝2∶5
B．AB∶CD＝2∶5
C．CD∶EF＝2∶5
D．CE∶EA＝5∶7
知识点3 相似图形和位似图形
4．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为(A)
A．(3，2)
B．(3，1)
C．(2，2)
D．(4，2)
5．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝125°，m＝12.
知识点4 相似三角形的判定
6．如图，在 ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为(B)
A．4
B．4.8
C．5.2
D．6
7．(海南中考)如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是(C)
A．∠ABD＝∠C
B．∠ADB＝∠ABC
C.＝
D.＝
知识点5 相似三角形的性质
8．(云南中考)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为(D)
A．15
B．10
C.
D．5
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，AB＝5，AC＝4，若△ABC∽△BDC，则CD＝(D)
A．2
B.
C.
D.
知识点6 相似三角形的应用
10．如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是60米．
11．如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD＝5
m，AD＝15
m，ED＝3
m，则A、B两点间的距离为20m.
02 中档题
12．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有(B)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
13．(安顺中考)如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为．
14．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数为65°或115°．
15．如图，已知四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC.
(1)请你补充一个条件，使△ABD∽△DCB，并证明你补充的条件符合要求；
(2)在(1)的条件下，如果AD＝6，BD＝4，求DC的长．
解：(1)补充条件为：∠BDC＝90°.
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC.
∵∠A＝∠BDC＝90°，
∴△ABD∽△DCB.
(2)∵△ABD∽△DCB，
∴＝，即＝.解得BC＝8.
在Rt△BDC中，DC＝＝4.
16．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步．小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)
解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN.
∴△CAD∽△MND.
∴＝.
∴＝.
∴MN＝9.6.
又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，
∴△EBF∽△MNF.∴＝.
∴＝.
∴EB≈1.75.
答：小军的身高约为1.75米．
03 综合题
17．(益阳中考改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB
于E.BE＝2，BC＝6.
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)求AE的长度；
(3)设AD与CE交于F，求△CFD的面积．
解：(1)证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE.
(2)∵△ABD∽△CBE，
∴AB∶CB＝BD∶BE.
∴AB∶6＝3∶2.解得AB＝9.
∴AE＝7.
(3)在Rt△BEC中，由勾股定理得CE＝4.
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ECB＝∠ECB，
∴△CDF∽△CEB.
∴CD∶CE＝DF∶EB.
∴3∶4＝DF∶2.解得DF＝.
∴S△CFD＝××3＝.小专题(五) 相似三角形的基本模型(教材变式型)
模型1 X字型及其变形
模型展示：(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.
教材母题(教材P102T5)：如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6.求证：AB∥DE.
证明：∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC.
∴∠A＝∠E.
∴AB∥DE.
变式训练：
1．(恩施中考)如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(D)
A．1∶4
B．1∶3
C．2∶3
D．1∶2
2．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，
即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴＝，即＝.
∴DF＝4.
模型2 A字型及其变形
模型展示：(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2、图3，公共角的对边不平行，且有一对角相等，则△ADE∽△ACB.
教材母题(教材P82T2)：如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝6，AB＝5，EC＝4，DB＝7.求证：△ABC∽△AED.
证明：∵＝，＝，
∴＝.
又∵∠CAB＝∠DAE，
∴△ABC∽△AED.
变式训练：
3．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.
证明：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABE.
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABE＝∠ACB.
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB.
∴＝.
∴＝.
∴＝.
4．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.
证明：∵AB∥EF，
∴△DEF∽△DAB.
∴＝.
又∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD.
∴＝.
∴＋＝＋＝＝1.
∴＋＝.
模型3 旋转型
模型展示：如图，若∠BAD＝∠CAE，则△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABC构成A字型的相似三角形．
教材母题(教材P89T3)：如图，∠1＝∠2，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED.
证明：∵∠1＝∠2，∠1＋∠EAC＝∠BAC，
∠2＋∠EAC＝∠EAD，
∴∠BAC＝∠EAD.
又∵AB·AD＝AC·AE，
即＝，
∴△ABC∽△AED.
变式训练：
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AD＝2AB＝6，求AE的长．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠EAD.
又∵∠C＝∠E，
∴△ABC∽△ADE.
∴＝.
∵AC＝AD＝2AB＝6，
∴AB＝3.
∴＝.
∴AE＝12.
模型4 双垂型
模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
教材母题(教材P104T12)：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：
(1)AC2＝AD·AB；
(2)CD2＝BD·AD.
证明：(1)∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°.
∴∠CDA＝∠BCA.
又∵∠BAC＝∠CAD，
∴△ACB∽△ADC.
∴＝，即AC2＝AD·AB.
(2)∵∠ACD＋∠A＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠A.
又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD.
∴＝，即CD2＝BD·AD.
变式训练：
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形有(C)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(B)
A．3
B．15
C．9
D．3＋3
模型5 M字型
模型展示：如图，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.
教材母题(教材P80T2)：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的长．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.
∵AC⊥CE，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠A＝∠ECD.
∴△ABC∽△CDE.
∴＝.
又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，
∴AB＝4.
变式训练：
8．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
又∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4.
∵CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3.
∵E是AD的中点，
∴DE＝2.
又∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF，
∴＝，即＝.
∴CG＝6.
∴BG＝BC＋CG＝10.
