小专题(七) “四法”确定锐角的三角函数值
方法1 回归定义
直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可．
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.
(1)求AB的长；
(2)求sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB的值．
解：(1)AB＝＝13.
(2)sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值．
解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，
∴CD＝3.
在Rt△ACD中，
∵AD＝5，CD＝3，
∴AC＝＝＝4.
在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，
∴AB＝＝＝.
∴sinB＝＝＝.
方法2 巧设参数
若已知两边的比值，或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝(C)
A.
B.
C.
D.
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D)
A.
B.
C.
D.
5．如图，正方形ABCD中，点E为BC中点，点F在CD边上，且CF＝CD，求∠EAF的正、余弦值．
解：设正方形的边长为4a，则BE＝EC＝2a，CF＝a，AE＝2a，EF＝a，AF＝5a.
∴AE2＋EF2＝AF2.
∴△AEF是直角三角形，sin∠EAF＝＝＝，
cos∠EAF＝＝＝.
方法3 等角转换
若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值．
6．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(B)
A.
B.
C.
D.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.已知AC＝，BC＝2，那么sin∠ACD＝(A)
A.
B.
C.
D.
8．如图所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的三个三角函数值．
解：∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠DEB＝∠ACB.
又∵∠B＝∠B，
∴△ACB∽△DEB.
∴∠BDE＝∠A.
∴sin∠BDE＝sinA＝，cos∠BDE＝cosA＝，
tan∠BDE＝tanA＝.
方法4 构造直角三角形
若要求三角函数值的角不在直角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决．
9．(安顺中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(D)
A．2
B.
C.
D.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，3)和点B(7，0)，则sin∠ABO的值等于．
11．(连云港中考)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)
解：(1)过点A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC·cos30°＝4×＝2.
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝，
∴＝.
∴BC＝16－2.
(2)在CB上截取CE＝CA＝4，连接AE，
则∠CEA＝∠CAE＝∠ACD＝15°，
∴tan15°＝＝＝＝2－≈0.3.小专题(八) 构造基本图形解直角三角形的实际问题
方法归纳：
1．解直角三角形的实际应用题时，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．
2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：
类型1 构造单一直角三角形解决实际问题
1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1
m，BC边上露出部分的长为0.9
m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1
m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)
解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.
在Rt△ABC中，sinA＝，
则BC＝AB·sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．
答：CD的长约为0.8
m.
2．(湘潭中考)为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD.已知四边形ABED是正方形，∠DCE＝45°，AB＝100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？(结果保留整数，AB＝≈1.41)
解：由题意可知：DE⊥BC于E，四边形ABED是正方形，
∴AD＝DE＝BE＝AB＝100米．
∵在Rt△DEC中，∠C＝45°，
∴EC＝DE＝100米，DC＝DE≈1.41×100＝141(米)．
∴四边形ABCD的周长为100＋100＋200＋141＝541(米)．
∴小胖的速度为(5×541)÷20≈135(米/分)．
答：小胖同学该天晨跑的平均速度约为135米/分．
类型2 背靠背三角形
3．(邵阳中考)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40
cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1
cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73)．
解：在Rt△ACO中，sin75°＝＝≈0.97，
解得OC≈38.8.
在Rt△BCO中，tan30°＝＝≈，
解得BC≈67.3.
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3
cm.
4．如图，某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°方向，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离．(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈)
解：设BC＝x海里，由题意，易得
AB＝21×(14－9)＝105(海里)，
则AC＝(105－x)海里．
在Rt△BCP中，tan36.9°＝，
∴PC＝BC·tan36.9°＝x.
在Rt△ACP中，tan67.5°＝，
∴PC＝AC·tan67.5°＝(105－x)．
∴x＝(105－x)．解得x＝80.
∴PC＝x＝60海里．
∴PB＝＝100海里．
答：此时轮船所处位置B与城市P的距离约为100海里．
类型3 母子三角形
5．(张家界中考)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)
解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔船C的距离最近．设CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝60°，tan∠ACD＝，∴AD＝x.
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x.
∴AB＝AD－BD＝x－x＝(－1)x.
设渔政船从B航行到D需要t小时，则＝，
∴＝.
∴t＝＝.
答：渔政310船再航行小时，离渔船C的距离最近．
6．(湘西中考)测量计算是日常生活中常见的问题．如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°.(可用参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)
(1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；
(2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．
解：(1)由题意，得∠ACD＝90°，∠BDC＝45°，
∴BC＝CD＝20.
答：建筑物BC的高度约为20米．
(2)设CD＝x米，同(1)得BC＝CD＝x米，AC≈1.2x米，
∵AB＝5米，
∴x＋5＝1.2x，解得x＝25.
∴BC＝25米．
答：建筑物BC的高度约为25米．
7．(常德中考)如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为160米，400米，1
000米，钢缆AB，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．(结果精确到1米)
解：在Rt△ABD中，BD＝400－160＝240(米)，∠BAD＝30°，
则AB＝＝480(米)．
在Rt△BCB2中，CB2＝1
000－400＝600(米)，∠CBB2＝45°.
则CB＝＝600(米)．
∴AB＋BC＝480＋600≈1
329(米)．
答：钢缆AB和BC的总长度约为1
329米．章末复习(四) 锐角三角函数
01 基础题
知识点1 锐角三角函数的概念
1．分别求出图中锐角的三角函数值．
解：图1：∵AC＝1，BC＝3，
∴AB＝＝，sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝3，
sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.
图2：∵DF＝4，EF＝3，
∴DE＝＝.
∴sinD＝＝，cosD＝＝，tanD＝＝.
sinF＝＝，cosF＝＝，tanF＝＝.
知识点2 特殊角的三角函数值
2．已知，将如图的三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为(A)
A.
B.
C.
D．1
3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则α＝30°.
4．计算：
(1)cos30°·tan30°－tan45°；
解：原式＝×－1＝－1＝－.
(2)sin45°＋sin60°·cos45°.
解：原式＝×＋×＝.
知识点3 解直角三角形
5．△ABC中，∠B＝90°，AC＝，tanC＝，则BC边的长为(B)
A．2
B．
2
C.
D．4
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝2，AC＝6，求∠A，∠B，AB.
解：∵tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，
AB＝2BC＝4.
知识点4 解直角三角形的应用
7．(绵阳中考)如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝150°，沿BD方向前进，取∠BDE＝60°，测得BD＝520
m，BC＝80
m，并且AC，BD，DE在同一在平面内，那么公路CE段的长度为(C)
A．180
m
B．260
m
C．(260－80)m
D．(260－80)m
8．(枣庄中考)如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为2.9米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
02 中档题
9．下列结论错误的是(A)
A．sin60°－sin30°＝sin30°
B．sin30°＝cos60°
C．tan60°＝
D．sin245°＋cos245°＝1
10．在△ABC中，(2cosA－)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC一定是(D)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(1，0)，则sin∠AOB的值等于(A)
A.
B.
C.
D.
12．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，则BC的长为4＋4．
13．如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE＝30°，高DE＝2
m，为方便残疾人士，拟将台阶改成斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是(10－2)m.
14．如图，已知，△ABC中，∠ABC＝135°，tanA＝，BC＝2，求△ABC的周长．
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∵∠ABC＝135°，
∴∠CBD＝45°.
在Rt△BCD中，BC＝2，BD＝CD＝BC＝2，
在Rt△ADC中，tanA＝＝，
∴AD＝4，AB＝2.
根据勾股定理，得AC＝＝2.
则△ABC周长为2＋2＋2.
15．(台州中考)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30
cm.图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC.已知BC＝30
cm，AC＝22
cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
理由：过点B作BD⊥AC于点D.
在Rt△BDC中，BD＝BCsin53°≈30×0.8＝24，
CD＝BCcos53°≈30×0.6＝18，
∴AD＝AC－CD＝4.
在Rt△ABD中，
AB＝＝<30.
∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
03 综合题
16．(本溪中考)某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．(参考数据：≈1.414，≈1.732)
(1)求∠ABC的度数；
(2)A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．(结果精确到0.01小时)
解：(1)∵BD∥AE，
∴∠DBA＋∠BAE＝180°.
∴∠DBA＝180°－72°＝108°.
∴∠ABC＝108°－78°＝30°.
(2)作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠C＝180°－72°－33°－30°＝45°.
∵∠ABC＝30°，
∴AH＝AB＝12.
∵sinC＝，
∴AC＝＝＝12.
则A船到出事地点的时间为
≈≈0.57(小时)．
答：A船约0.57小时能到达出事地点．
