二次函数的解析式——一个开放性问题
设函数，已知当自变量x分别取－5，－1，4，7这四个值时，其中只有一个x所对应的函数值y≤0．试尽可能多地写出满足条件的函数的解析式．
分析与参考答案：
题目要求：当自变量x分别取－5，－1，4，7这四个值时，其中只有一个x所对应的函数值y≤0，但是并没有明确当x取这四个值中的哪一个值时，函数值y≤0．因此可以分别考虑这四个值。例如，当x＝－5是，y≤0．由题意，这时要求当x取－1，4，7这三个值时，y＞0．
由于a≠0，故函数为二次函数。我们可以用逐步调整的方法寻找满足条件的函数。
首先，随便写一个函数，比如y＝x2，显然它不满足要求。现在我们把函数图象向左平移5个单位，得到函数y＝（x＋5）2，即可得到一个符合要求的函数．当然再将这个函数图象向下平移1个单位，得到的函数y＝（x＋5）2－1仍符合要求．但是若向下平移16个单位，得到函数y＝（x＋5）2－16，就不行了。因为此时的函数当x＝－1时，y＝0。这样我们可以得到本题的一组解：y＝（x＋5）2－c（1≤c＜16）．
同学们可以思考：
将函数y＝x2的图象向左平移6个单位再向下平移，能得到本题的解吗？
直接将函数y＝x2的图象向下平移，行吗？
至少要将函数y＝x2的图象向左平移几个单位？
学法指导
二次函数的图象是一种非常有个性的图象。它有对称性、有最高点或最低点等。通过图象来分析函数的性质，是我们经常使用的方法。
你在学习二次函数的图象时，可以思考下列问题：
你能根据图象小结一下二次函数有哪些性质吗？
其中的哪条性质使得二次函数经常用来解决单变量的最优化问题？
第二章 二次函数
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y=ax2和y=ax2+c的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
第2.4节将讨论一般形式的二次函数的图象和性质。它和学生前面几节课学习的、的图象之间有什么区别和联系？如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型？如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。具体的，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法
1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观
1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
三、教学过程分析
本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节 复习引入
活动内容：提出问题，让学生讨论交流
二次函数y=3（x－1）2+2的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？
活动目的：首先提出问题，让学生进入问题情境，并引导、启发学生和以前作过的二次函数的图象联系，使学生学会用类比的方法探究未知的知识。
实际教学效果：学生已经掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，能够类比猜想二次函数y=3（x－1）2+2的图象是一条抛物线。
第二环节 合作探究
活动内容：1、做一做：先作二次函数y=3(x-1)2的图象，再回答问题。
2、议一议
3．想一想
1．做一做
（1）完成下表，并比较3x2与3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3x2
3(x-1)2
(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
（5）想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
2．议一议
（1）在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
（2） x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？
猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状.
（4）请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.
总结二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
y=a(x-h)2 (a>0)
y=a(x-h)2 (a＜0)
顶点坐标
（h，0）
（h，0）
对称轴
直线x＝h
直线x＝h
位置
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x＝h时，最小值为0
当x＝h时，最大值为0
开口大小
|a|越大，开口越小
3．想一想
（1）在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
（2）二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数
y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
y=a(x-h)2＋k (a>0)
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x＝h
直线x＝h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x＝h时，最小值为k
当x＝h时，最大值为k
活动目的：
1、通过填表使不同函数的值在同一表格中呈现出来，便于比较。
2、通过在同一坐标系中做出两个函数的图象，使两个函数的图象特点一目了然，启发学生寻找规律，从而得到结论。
3、使学生通过讨论将总结的结论进一步加深印象，能够熟练得运用到解决问题的过程中去。
实际教学效果：大部分学生对于使用几何画板制作二次函数的图象比较熟练，能够小组合作探究抛物线的性质，但是学生的数学语言归纳还不够精炼。
第三环节 练习提高
活动内容：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
（3）对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
实际教学效果：学生都能够利用归纳的性质完成课堂练习。
第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）包括二次函数图象的制作，函数图象性质的总结归纳。
实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。
第五环节 布置作业
P48 习题2.4 1题.
四、教学反思
本节课的设计没有充分考虑学生的几何画板应用水平。对于学生的合作探究引导还不够。在时间的分配安排上要再合理一点。
课件19张PPT。第二章 二次函数 想一想函数y=ax2+bx +c的图象 二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系? 在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。 比较二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象。 ⑴完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系? 27480312312274827031231227(2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2和
y=3(x-1)2的图象． 做一做(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？ y=3(x-1)2y=3x2观察图象，回答问题图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.顶点坐标
是点(1,0).(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数
相同a>0,
开口都向上.想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置? y=3x2二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴
向右平移了1 个单位.在对称轴(直线x=1)左侧
(即x<1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而减少.顶点是最低点,函数
有最小值.当x=1时,
最小值是0。(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线x=1)右侧
(即x>1时),函数y=3(x-1)2
的值随x的增大而增大,.想一想,在同一坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象,它的增减性会是什么样? 二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的增减性类似. 议一议P471.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?
x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？ 在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和
y=3(x+1)2的图象． 做一做完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,
它们之间有什么关系? 函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质图象是轴对称图形,
对称轴是平行于
y轴的直线:x= -1.顶点坐标
是点(-1,0).1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 二次项系数相同
a>0,开口都向上.想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的图象形状
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.在对称轴(直线x=-1)左侧
(即x<-1时),函数y=3(x+1)2
的值随x的增大而减少.顶点是最低点,函数
有最小值.当x=-1时,
最小值是0.2. x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？在对称轴(直线x=-1)
右侧(即x>-1时),
函数y=3(x+1)2的值
随x的增大而增大.猜一猜:函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2
和y=-3x2的图象的位置和形状.
请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质. 二次函数y=3(x+1)2
与y=3x2的增减性类似.2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(直线x=1)的左侧(即当x<1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=1)右侧(即当x>1时), y随着x的增大而减小;当x=1时,函数y的值最大(是0).抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(直线x=-1)的左侧(即当x<-1时), y随着x的增大而增大;在对称轴(直线x=-1)右侧(即当x>-1时), y随着x的增大而减小;当x=-1时,函数y的值最大(是0).二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.x=-1x=11.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线x=-1.二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2 (a>0)y=a(x-h)2 (a<0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 我思，我进步在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象. 做一做二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 对称轴仍是平行于y轴的直
线x=1;增减性与y=3x2类似. 顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x2,
y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当
x=1时有最小
值,且最小值为2.x=1二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系一般地,由y=ax2的图象便可得到二次函数
y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. http://www.bnup.com.cn悟出真谛,练出本事1.指出下列函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标:2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
(3)对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? 随堂练习2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x= h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=a(x-h)2+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax2的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 . 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系知识的升华P48 习题2.4 1题.
祝你成功！
