几何变换与圆
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还是旋转对称图形（绕圆心旋转任意角度都可以和原图形重合）。事实上，借助变换的有关知识，可以研究初中阶段关于圆的几乎所有定理，而且借助几何变换，既降低了问题的难度，也提升了学生对圆的理解水平。下面举例说明。
（1）观察图1，由其轴对称性可以比较方便地探究垂径定理及其有关逆定理。
图1 图2
（2）观察图2，在直线的平移过程中，整个图形的轴对称性没有发生变化，而且对称轴也保持不变。在画出其对称轴后，可以引导学生发现切线的性质（切线与过切点的直径垂直）以及直线与圆位置关系的判别方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）。
（3）如图3，固定圆O1，在平移圆O2的过程中，整个图形是否仍然保持轴对称，其对称轴如何？通过这个问题的思考，学生可以十分自然地得到连心线（连心线所在直线就是对称轴），从而得到两圆位置关系的判别方法。
图3
（4）利用圆的轴对称性，还可以帮助学生解决一些问题。
如图4，AB∥CD，图形是否轴对称？连接A，B，C，D四点，你能得到哪些结论？
如果学生得到了AC=BD，还可以研究它的逆问题：如图5，AC=BD，图形是否对称图形？连接A，B，C，D四点，你又能得到哪些结论？
图4 图5 图6
当然，图5中弦AC、BD不交，如果它们相交，则成为图6的情形。这时是否仍有相同的结论呢？
（5）借助旋转、平移可以得到等弧所对的圆心角相等、等弦对等弧、等弧对等弦。
第三章 圆
2．圆的对称性（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。
学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。
二、教学任务分析
圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称轴是任一条过圆心的直线。具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能：
1．理解圆的轴对称性及其相关性质；
2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
过程与方法：
1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
情感态度与价值观：
培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。
第一环节 课前准备
活动内容：（提前一天布置）
每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）
预习课本P88~P92内容
活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。
实际教学效果：
学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。
预习提纲，要简明扼要，学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。
第二环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：
教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。
活动目的：通过教师与学生的互动，一方面使学生能较快进入新课的学习状态，另一方面也提高学生的学习的兴趣，让他们带着问题去学习，揭开了探究该节课内容的序幕。
实际教学效果：
由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。部分学生可能遗忘了定义，因此教师要通过一些学生熟悉的轴对称图形来引导同学正确叙述其定义，比如通过矩形。教师作出演示，学生会更容易表达。
通过几何图形去记忆或理解几何概念性质定理，是学生学好几何知识的有效途径。
第三环节 讲授新课
活动内容：
想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？
认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。
探索垂径定理。
做一做
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图
问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
讲解例题及完成随堂练习。
[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
练习：完成课本P92随堂练习：1
探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。
想一想：
如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
练习：完成课本P92随堂练习：2
活动目的：内容（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容（五）的主要目的与内容（三）相似。
实际教学效果：
对于活动（一），学生在探索圆是轴对称图形时，应该把机会留给学生，让他们相互交流，发表自己的想法；对于活动（二），要注意让学生借助图形去认识，并弄清他们之间的联系和区别，还应该注意补充一些概念，如半圆，劣弧，优弧等；对于活动（三），师生要按四个步骤共同操作，逐步引导学生通过观察，猜想到理论验证垂径定理，并帮助学生去理解和记忆垂径定理，如推理格式：如图所示
CO⊥AB，CD为⊙O 的直径
AM=BM，AD=BD，AC=BC。
另外在证明垂径定理时，学生对如何证明平分弦所对的弧
会较难表述。教师要运用轴对称性启发引导。对于活动（四），
教师要引导学生如何应用垂径定理去更好衔接上，至于这一逆
定理的探索过程与前面垂径定理的探索过程类似，在完成随堂练习
时，教师要提示学生，符合条件图形有三种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，但说理的思路都是一样。
第四环节 课堂小结
活动内容：师生互相交流总结：
本节课我们探索了圆的轴对称性；
利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。
实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，只要合理，教师都应该鼓励。
第五环节 课后作业
课本习题3.2，1，2。试一试1
预习课本P94~97内容。
四、教学反思
本教学设计会侧重学生对新知识形成过程的认识和理解，采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理。对培养学生的动手能力，直觉思维、逻辑思维有较大的帮助。
较好体现了学为主体，教为主导的教学策略，师生在该节课的教与学互动性会得到充分的展示，学生也会得到充分的发挥机会；另外通过创新探索的内容，会使学生进一步体会数学在生活中的应用，培养学生探索精神。
本教学设计在实试过程中，时间会较为紧迫，因此，相应的练习安排得较少，这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练，同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法，并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理。
课件12张PPT。第三章 圆 第二节 圆的对称性(一) 2018-10-15问题：
前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?我们是用什么方法研究轴对称图形的? I．创设问题情境，引入新课 2018-10-15Ⅱ．讲授新课 圆是轴对称图形吗?
如果是，它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
讨论：你是用什么方法解决上述问题的? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（一）想一想2018-10-15（二）认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念 2．弦：3．直径：1．圆弧：如图, AB （劣弧）、ACD （优弧）如图, 弦AB，弦CD如图,直径CD圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫直径。2018-10-15（三）探索垂径定理
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.问题：（1）右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
说一说你的理由。做一做：按下面的步骤做一做2018-10-15推理格式：如图所示
∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径
∴AM=BM，AD=BD，AC=BC.总结得出垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。⌒⌒⌒⌒2018-10-15
[例]如右图所示，一条公路的转弯处是
一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，
其中CD=600m，E为CD上一点，且
OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯
路的半径．[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.
因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，
此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.（四）讲例⌒⌒⌒2018-10-15
练一练:完成课本随堂练习第1题．
2018-10-15（五）探索垂径定理的逆定理1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．
同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
2018-10-15练一练:完成课本随堂练习第2题.2018-10-15Ⅲ．课时小结 1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、弦心距等计算问题．2018-10-15Ⅳ ．课后作业
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１.
(二) 预习课本：P94～97内容
BYE-BYE!2018-10-15
