动态几何问题
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD为BC边上的高，且AD＝3，将△ACD沿着箭头所示的方向平移，得到△A’CD’，A’D’交AB于E，A’C分别交AB和AD于G、F，以DD’为直径作圆O。设BD’长为x，圆O的面积为y．
求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围（不考虑端点）；
当BD’的长为多少时，圆O的面积与△ABD的面积相等？（取3，结果精确到0.1）
连接EF，求EF与圆O相切时BD’的长．
解 （1）在Rt△ABD中，AB＝5，AD＝3，
∴BD＝4。
∴D’D＝BD－BD’＝4－x。
∴圆O的半径为。
∴。
（2）S△ABD＝3×4÷2＝6。
当时，解得x1≈1.2，x2≈6.8（舍）。
即当BD’为1.2时，圆O的面积与△ABD的面积相等。
（3）当圆O与EF相切时，圆O的半径＝ED’。
由△BED’～△BAD，得ED’：AD＝BD’：BD，即ED’：3＝x：4。
∴ED’＝。
∴。
动态几何问题是近几年考试的热门，这类问题通常综合性较强，解题的关键之一是要尝试用运动变化的眼光看问题，并在解题过程中“以静制动”。因为结果未知，所以要认真分析条件，充分利用题目中的每一个条件展开联想，执因索果，另外还须挖掘隐含条件去解决问题．
备选练习
1．（2007山东青岛）⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）．C
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
2．点A的坐标为（6，8），以点A为圆心，8为半径作圆A，则圆A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？
3．已知Rt△ABC的斜边AB＝6厘米，直角边AC为3厘米。
（1）以C为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ；
（2）以C为圆心，4厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ；
（3）若以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为 ；
4．在△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，以C为圆心，以r为半径作圆，要使圆C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是什么？
第三章 圆
5．直线和圆的位置关系（一）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经了解圆的相关概念，了解了圆中的一些数量与位置关系：如点和圆的位置关系不但可以直观呈现，也可以通过数量来刻画等。
学生的活动经验基础：学生在日常生活中已经有经验，对直线和圆的位置关系有一定的感性认识。
二、教学任务分析
本节共分2个课时。这是第1课时课时，主要研究直线和圆的的三种位置关系，探索圆的切线的性质。具体地说，本节课的教学目标为：
知识与技能
1．理解理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它。
2．直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数、圆心到直线的距离与半径之间关系来判定它。
过程与方法
1．培养学生类比、归纳、观察及想象的能力以及使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩正唯物主义观点。
2．渗透从特殊到一般、数学转化的思想及运动的观点
情感态度与价值观
创设问题的情景，让学生主动地发展
教学重点：理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定
教学难点：（1）理解“切线”定义中的：“唯一”;
（2）灵活准确应用相关性质解决问题
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：创设情景引入课题；直线与圆的位置关系量化揭密；探索切线的性质；例题讲解；练习；布置作业。
第一环节 创设情境引入课题
活动内容：
1．观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
2．观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?
这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?
3．作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺
（1）直线和圆有哪几种位置关系?
（2）直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.
活动目的：
建构主义教学论原则认为：复杂的学习领域应针对学习者先前的经验和兴趣，只有这样，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能主动。这里用一个生活中的例子:生活中太阳东升西落这一自然现象引入，通过观察、动手操作、合作研究发现规律，抽象出直线与圆的三种位置关系，借助学生对日出情景的认知经验为下文的“直线与圆的位置关系”知识的认识与构建做准备。
实际教学效果：（以下是不同小组的学生的总结）
发言1：太在地平线下，刚好在地平线上，离开地平线三种关系。
发言2：我们如果把地平线看作是一条直线，把太阳看作是一个圆，那么就有三种情况，即直线穿过圆，直线贴着圆，直线离开圆。
发言3：我们可以把直线穿过圆称为相交，直线离开圆称为相离，而直线贴着圆我暂时还不能命名。
发言4：我们认为上面关系要在一个平面内。
综合上述几个同学的想法，我们可以这样命名：在同一平面内，直线与圆的位置有三种情况，相交、相切、相离。
第二环节 直线与圆的位置关系量化揭密
活动内容：
1．如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系?
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
2．你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
活动目的：通过直观的图象，让学生总结出直线与圆的位置关系的量化表示，并寻找数学与生活的关系。
第三环节 探索切线的性质
活动内容：
1．下面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?你能由此悟出点什么？
2．如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.
活动目的：设计1是为了在2中使用“对称性”证明作铺垫。
实际教学效果：
学生可以利用对称性、反证法等不同的方法解决这个问题。
第四环节 例题讲解
活动内容：
例1 已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
例2 直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围。
例3 一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少?
活动目的：巩固所学
第五环节 练习
活动内容：
1．已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系?并证明你的结论.
2．由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论?如果有,仍请你予以证明.
第六环节 布置作业
课本P117:习题3.7 1
四、教学反思
新课程的任务是改变学生的学习方式，而学生学习方式的转变期待着教学模式的转变，教学模式的转变期待着又开始于教师角色的转变。新课程要求教师由传统的知识的传授者转变为学生的组织者。那如何有效的发挥教师的组织作用，我结合本课例做如下探讨说明：
1、关注生活，在生活中发现课程资源。在日常生活中，很多事情我们往往觉得司空见惯，没引起注意，而用新课程的观点看它们大都是可以用来开发的课程资源。只要寻找好、选择好、用好就可能是一个不错的学习素材。在本课例选用了大家熟悉的日出这一自然现象作为课程资源，为学生提供了丰富的学习素材，为直线与圆的位置关系教学提供了生活上的经验支持。让学生感受到了数学源于生活，高于生活，用于生活，体会到了数学的价值，是一次成功的选择。所以，教师要组织学生发现、寻找、搜集和利用学习资源，那就要让我们在教学中做个“有心人”。
2、感受数学美，激发学习动机。数学是美的。在数学教学中我们要尽量的让学生体验到数学的美感，以激发学生学数学的动机，培养兴趣，充分的调动学生的学习数学的积极性。在本课例中，教师利用现实生活中日出这一景观，让学生在享受美的情境中，在充分的想象中，从生活中抽象出直线与圆的位置关系，并让学生体验到数学的简洁美，体验到数学符号便于研究事物的价值，从而激发学生探求世界奥秘的兴趣，提高积极性。
3．营造良好的教学氛围。实践证明，对教师来说，是否能够为学生创造宽松、和谐、民主的成长环境，比自身的学识是否渊博更为重要。只有在一个平等、尊重、信任、理解和宽容的教学氛围里面，学生才会各抒己见，才会主动参与学习，才会有探索的热情和胆量。本课例中教师不放过任何一个鼓励学生的机会，从对日出情景的语言描绘和图画描绘的肯定，到对同学的表扬，再到对小组代表发言时的即时鼓励和启发，以及对那个没参加到讨论中去的学生的关心都体现了教师旨在要创造一个积极、安全的心理氛围，以利于学生活跃思维，提高热情，积极探索的教学理念。
4、提供合作交流的空间和时间。有人说，有没有体现新课程的思想就看学生有没有合作。此话大体上应该说是对的。教师作为学生活动的组织者任务之一就是为学生提供合作交流的机会。在这课例中教师引导学生进行小组讨论，充分的提供给了学生组内的交流空间，在代表发言后其他同学补充则提供给了学生全班级交流的空间。而让学生小组讨论并推选出一位代表，用时较多，则是给学生自主学习，互相交流提供了充足的时间。合作交流的空间和时间是重要的学习资源，在教学中我们不容忽视。
在新课程的理念下，教师应该是一个决策者、创造者，而不再是教学大纲和教材的忠实的贯彻执行者。在这种环境下，教师需要创造出班级气氛，创设和营造丰富多彩的学习环境，设计各种教学活动。教师在以平等的身份参与学生探究活动的同时，又要成为学生学习的指导者和组织者。本课例体现了以上的理念，但相信可以做的更好
五、教学反思以及需要改进的地方
教师的行为直接影响着学生的学习方式，要让学生真正成为学习的主人，积极参与课堂学习活动，因此在教学中让学生想象、观察、动手实践、发现内在的联系并利用类比归纳的方法，探索规律，指导学生合作、研究并尝试用学到的知识解决实际问题。
教师需要创造出更多的班级气氛，创设和营造丰富多彩的学习环境，设计各种教学活动。教师在以平等的身份参与学生探究活动的同时，要大胆放手，勇于发挥学生的主体能动性，而教师自己又要成为学生学习的指导者和组织者。使学生的学习兴趣更能得到充分的体现！
课件15张PPT。第三章 圆 第五节 直线和圆的位置关系(一)直线与圆的位置关系1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?a(地平线)a(地平线)直线与圆的位置关系2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?a(地平线)a(地平线)直线与圆的位置关系作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,直线和圆有哪几种位置关系?有三种位置关系:相交直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.相切相离如图,圆心O到直线l的距离d与⊙O的半径r的大小有什么关系? 你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?直线与圆的位置关系量化揭密直线和圆相交d r;d r; 直线和圆相切 直线和圆相离d r; 直线与圆的位置关系量化揭密<=>你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能画出它们的对称轴吗?由此你能悟出点什么?探索切线的性质如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由.直径AB垂直于直线CD.老师期望:
圆的对称性已经在你心中落地生根.小颖的理由是:
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°.探索切线的性质小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,老师期望:
你能看明白(或掌握)用反证法说理的过程.则OM切线的性质是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用的辅助线之一.如图
∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,
∴CD⊥OA.切线性质的应用1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?老师提示:
模型“双垂直三角形”你可曾认识？解:(1)过点C作CD⊥AB于D.∵AB=8cm,AC=4cm.∴∠A=60°.切线性质的应用1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm.(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?当r=4cm时,dr,AB与⊙C相离;切线性质的应用1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围.2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少?.老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行的一条线段,其长度等于圆的周长.挑战自我1.已知:如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A,B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系?并证明你的结论.2.由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论?如果有,仍请你予以证明.老师提示:根据这个结论写出的命题称为切线长定理及其推论.挑战自我习题3.7 1题祝你成功!
