(共12张PPT)
1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,________相等;
3.
____________对应相等的两个三角形全等;
（SAS）
4.
____________对应相等的两个三角形全等;
（ASA）
5.
_____对应相等的两个三角形全等;
（SSS）
你能证明下面的推论吗？
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
基本事实:
同位角
同位角
两边及其夹角
两角及其夹边
三边
用心想一想，马到功成
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
F
E
D
C
B
A
议一议,
做一做
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗 尽可能回忆出来.
(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗
如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
→
→
D
C
B
A
D
C
B
A
D
(C)
B
A
定理:
等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
已知：如图,
在△ABC中,
AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：取BC的中点D,
连接AD.
在△ABD和△ACD中
∵
AB=AC,
BD=CD,
AD=AD
∴
△ABD≌△ACD
(SSS)
∴
∠B=∠C
（全等三角形的对应角相等）
C
B
A
D
证法一:
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
已知：如图,
在△ABC中,
AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵
AB=AC,
∠BAD=∠CAD,
AD=AD
∴
△ABD≌△ACD
(SAS)
∴
∠B=∠C
（全等三角形的对应角相等）
C
B
A
D
证法二:
定理:
等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
等腰三角形的性质
已知：如图,
在△ABC中,
AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：在△ABC和△ACB中
∵
AB=AC,
∠A=∠A,
AC=AB,
∴
△ABC≌△ACB
(SAS)
∴
∠B=∠C
（全等三角形的对应角相等）
C
B
A
证法三:
点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。
定理:
等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
想一想
C
B
A
D
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质 为什么 由此你能得到什么结论
推论:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
(三线合一)
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；
等腰三角形的性质
2.
如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证：
△ABD是等腰三角形;
（2）求∠BAD的度数.
1.
通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。
2.
体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。
课堂小结,
畅谈收获：利用等腰三角形的对称性解题
已知:在△ABC中,BA=BC,∠ABC=80°,点P在△ABC内,并且∠PAC=40°,∠PCA=30°．求∠BPC的度数。
这道题的条件与结论均不复杂,但解决它却决非一件轻而易举的事．读者不妨先试一试．
如果你能解出这道难题,值得高兴．
如果你的解法简单自然,更值得高兴．
如果解不出来,也不必沮丧．因为这道题确实很难,解法不易想到．不过,想到了却也不难．关键不过两步．
首先,画一个图,AC是等腰三角形的底边,所以将它放在水平位置,顶点B放在中间位置,这样便于利用等腰三角形的对称性（画图大有讲究,如果按照平常习惯,将A画在中间,不是不可以,但没有上面的画法清晰）．
作高BD（也就是△ABC的对称轴）,交PC于E,连EA．易知
EA=EC,∠EAC=∠ECA=30°,
所以
∠PAE=40°－30°=10°=∠BAP．
又易知
∠PEA=∠EAC+∠ECA=60°
=40°＋20°=∠PEB．
因此,AP、PE是△ABE的角平分线,P是△ABE的内心．从而PB平分∠ABE,于是
∠BPC=∠BAC＋∠ABP
＋∠PCA
=50°＋20°+30°=100°．
总结：本题有两个关键:作出△ABC的对称轴,充分利用对称性；发现P是△ABE的内心．(共13张PPT)
想一想,
做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗
你能证明你的结论吗
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
例1.
证明:
等腰三角形两底角的平分线相等.
用心想一想，马到功成
2
1
E
D
C
B
A
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1=
∠ABC，∠2=
∠ACB，∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
例1.
证明:
等腰三角形两底角的平分线相等.
用心想一想，马到功成
4
3
E
D
C
B
A
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=
∠ABC，∠4=
∠ACB，
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．
1.
证明:
等腰三角形两腰上的高相等.
求证：BD=CE．
E
D
C
B
A
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
2.
证明:
等腰三角形两腰上的中线相等.
求证：BD=CE．
E
D
C
B
A
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗 你能从上述证明的过程中得到什么启示
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢
想一想,
做一做
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD=
∠ABC，∠ACE=
∠ACB，那么BD=CE吗 如果∠ABD=
∠ABC，∠ACE=
∠ACB呢 由此，你能得到一个什么结论
(2)如果AD=
AC，AE=
AB，那么BD=CE吗 如果AD=
AC，AE=
AB呢 由此你得到什么结论
小结
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=
∠ABC，∠ACE=
∠ACB，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=
AC，
AE=
AB，那么BD=CE.
简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
1.
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
C
B
A
随堂练习
及时巩固
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
A
B
C
D
E
证明:
∵
△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD
∴
△ABE≌△CBD
∴AE=CD
.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由.
A
B
C
E
F
A
B
E
C
F
A
B
C
F
E
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？
2.等边三角形有哪些性质？
3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？利用等腰三角形解决实际问题
练习1. 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC
∠BAC=120°
D为BC中点，DE⊥AB于E.
矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF展开后再折成如图所示,使点A落在EF
上的点A'处,求第二次折痕BG的长.
B
A
D
C
E
求证：
A
B
C
E
D
G
A'
F备选习题
巩固基础
填空题
1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝
度．
2．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于
．
3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝
度.
4．如图，已知AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝
．
5．等腰直角三角形中，若斜边为16，则直角边的长为
．
二、选择题
6．一个正三角形的边长为a，它的高是（
）
A．
a
B．
a
C．
a
D．
a
7．至少有两边相等的三角形是(
)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．锐角三角形
8．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则
（
）
A．l垂直AB
B．l平分AB
C．l垂直平分AB
D．l与AB的关系不能确定
9．等腰三角形的对称轴有（
）
A．1条
B．2条
C．3条
D．1条或3条
10．正三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
三、解答题
11．已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．
第11题图
12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，求此三角形的底边长．
综合运用
13．如图，若∠A＝15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于多少？
第13题图
拓展延伸
14．等腰ΔABC中，BC边上的高AD=,试求∠BAC的度数．
中考连接
15．在ΔABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过D作直线EF//BC，交AB、AC于E、F，若AB=8，AC=7，则ΔAEF的周长等于多少？
第15题图
参考答案
一、1．68；2．15；3．15；4．55；5．。
二、6．B；7．B；8．D；9．C；10．D．
三、11．提示：证明ΔADB≌ΔADC；12．分两种情况底边长为6厘米或厘米．
13．∠DEF=60°．提示：用等腰三角形的性质和外角定理等．
14．分类讨论：共三种情况（1）∠BAC=90°；（2）∠BAC=75°；（3）∠BAC=15°．
15．ΔAEF的周长等于15．
第4题图
第8题图(共13张PPT)
想一想
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题
的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等？
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
议一议
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.
作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
C
B
A
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.
几何的三种语言
A
C
B
练习1 如图，∠A
=36°，∠DBC
=36°，∠C
=72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
A
B
C
D
随堂练习
练习2：
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
随堂练习
想一想
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此
AB≠AC
你能理解他的推理过程吗
C
B
A
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.
假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，
可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°
“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，
因此△ABC中不可能有两个直角．
上面的证法有什么共同的特点呢
在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立,
原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.
隋堂练习
1
1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
活动与探究
1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
.
分析：要求△AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口．
N
M
C
B
A
D
2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数
36°
90°
108°
活动与探究
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判
定的区别和联系．
（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
课堂小结(共14张PPT)
(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗 你能证明你的结论吗 把你的证明思路与同伴交流．
想一想
分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
定理：有一个角是60°.的等腰三角形是等边
三角形．
等边三角形的判定定理：
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形．
随堂练习
C
B
A
性质
判定的条件
等腰三角形
(含等边三角形)
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的性质和判定：
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗 说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系 你能证明你的结论吗
做一做
D
(
1
)
C
B
A
(
2
)
B
C
A
D
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=
AB．
C
B
A
D
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°∴∠ACD=90°
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
∴BC=
BD=
AB．
等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高．
[例题]
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；
求：CD的长.
C
B
A
D
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD=
AC=
×2a=
a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗
例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”．
但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．
想一想
试一试
命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它．
D
C
B
A
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=
AB．
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=
BD．
又∵BC=
AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A
=30°，
∴ BC
=
AB，DE
=
AD．
又 AD
=
AB，
∴ DE
=
AD
=1.85（m）
．
∴ BC
=3.7（m）．
答：立柱BC
的长是3.7
m，DE
的长是1.85
m．
性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，
∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
等边三角形性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论⒉
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
课时小结
课时小结
1、等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法．
+底和腰相等
+有一个角是60°
等腰三角形
等边三角形
三个角相等
三角形
等边三角形
2、推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系.
