第5章 二次根式
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
1.了解二次根式的概念.
2.理解并掌握二次根式的性质：()2＝a(a≥0)和＝a(a≥0).(重点)
自学指导：阅读教材P155～157，完成下列问题.
(一)知识探究
1.形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.
2.二次根式的性质：(1)()2＝a(a≥0)；(2)＝|a|＝
(二)自学反馈
1.下列各式中，一定是二次根式的是(C)
A.
B.
C.
D.
二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.
2.代数式有意义，则x的取值范围是(A)
A.x≥－1
B.x≠1
C.x≥1
D.x≤－1
二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于零.
活动1 小组讨论
例1 当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？
解：由x－1≥0，解得x≥1.
因此，当x≥1时，在实数范围内有意义.
例2 计算：
(1)()2；(2)(2)2.
解：(1)()2＝5.
(2)(2)2＝22×()2＝4×2＝8.
例3 计算：
(1)；(2).
解：(1)＝＝2.
(2)＝＝1.2.
活动2 跟踪训练
1.若＝a－3，则a的取值范围是(D)
A.a<3
B.a≤3
C.a>3
D.a≥3
2.把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：
(1)5＝()2；(2)3.4＝()2；
(3)＝()2；(4)x＝()2(x≥0).
3.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1)；(2)；(3).
解：(1)由－x≥0，得x≤0.因此，当x≤0时，有意义.
(2)由5－2x≥0，得x≤.因此，当x≤时，有意义.
(3)由x2＋1≥0，得x为任意实数.因此，当x为任意实数时，都有意义.
4.计算：
(1)()2；(2)；(3)(－2)2；(4)－2.
解：(1)11.(2)6.(3)20.(4)－.
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获？
第2课时 二次根式的化简
1.了解最简二次根式的概念.
2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.(重点)
自学指导：阅读教材P157～159，完成下列问题.
(一)知识探究
1.积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0).化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数).
2.最简二次根式应有如下两个特点：(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或因式)；(2)被开方数不含分母.
(二)自学反馈
1.下列各式正确的是(D)
A.＝×
B.＝×
C.＝×
D.＝×
运用积的算术平方根的性质＝·化简时，注意a≥0，b≥0这一条件.
2.把化成最简二次根式是10.
活动1 小组讨论
例1 化简下列二次根式：
(1)；(2)；(3)；
解：(1)＝＝×＝3.
(2)＝＝×＝2.
(3)＝＝＝2×3＝6.
例2 化简下列二次根式：
(1)；(2).
解：(1)＝＝＝.
(2)＝＝＝.
活动2 跟踪训练
1.下列二次根式中是最简二次根式的是(A)
A.
B.
C.
D.
2.实数0.5的算术平方根等于(C)
A.2
B.
C.
D.
3.化简二次根式得(B)
A.－3
B.3
C.18
D.6
4.化简下列二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)2.(2)3.(3)6.(4).
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获？
5.2 二次根式的乘法和除法
第1课时 二次根式的乘法
会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P161～162，完成下列问题.
(一)知识探究
积的算术平方根的性质：＝·(a≥0，b≥0)，反过来，·＝(a≥0，b≥0)，利用这一公式，可以进行二次根式的乘法运算.
(二)自学反馈
计算：
(1)×；(2)×；(3)×.
解：(1).(2).(3)9.
(1)这里要用到公式：·＝(a≥0，b≥0)；(2)计算×时，将27写成9×3，方便开平方.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)×；(2)×.
解：(1)×＝＝＝3.
(2)×＝＝＝＝2.
例2 计算：
(1)2×5；(2)3×(－).
解：(1)2×5＝2×5×＝10＝30.
(2)3×(－)＝3×(－)××＝－＝－.
例3 已知一张长方形图片的长和宽分别是3
cm和
cm，求这张长方形图片的面积.
解：3×＝3×7＝21(cm)2.
答：这张长方形图片的面积为21
cm2.
活动2 跟踪训练
1.计算×的结果是(B)
A.
B.
C.2
D.3
2.下列各等式成立的是(D)
A.4×2＝8
B.5×4＝20
C.4×3＝7
D.5×4＝20
3.·的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)
A.1
B.2
C.3
D.5
4.一个直角三角形的两条直角边分别为a＝2
cm，b＝3
cm，那么这个直角三角形的面积为9cm2.
5.计算下列各题：
(1)×；(2)×；(3)×；
(4)3×2；(5)××；(6)6×(－3).
解：(1).(2)6.(3)2.(4)6.(5)30.(6)－72.
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获？
第2课时 二次根式的除法
1.理解商的算术平方根的性质＝(a≥0，b＞0)，并能运用于二次根式的化简.(重点)
2.能熟练运用二次根式的除法法则＝(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P163～164，完成下列问题.
(一)知识探究
1.商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，可以利用它进行二次根式的化简.
2.二次根式的除法规定：＝(a＞0，b≥0).
(二)自学反馈
1.下列各式成立的是(A)
A.＝＝
B.＝
C.＝
D.＝＋＝3
2.计算÷的结果正确的是(B)
A.
B.
C.5
D.
3.化简下列二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1).(2).(3).(4).
活动1 小组讨论
例1 化简下列二次根式：
(1)；(2).
解：(1)＝＝.
(2)＝＝＝＝.
例2 计算：
(1)÷；(2)；(3).
解：(1)÷＝＝＝.
(2)＝＝.
(3)＝＝＝＝.
例3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足r＝(其中R是地球半径).现有两座高分别为h1＝400
m，h2＝450
m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？
解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2.
因为r＝，400
m＝0.4
km，450
m＝0.45
km，
所以＝＝＝＝＝＝.
活动2 跟踪训练
1.下列运算正确的是(D)
A.÷＝10
B.÷2＝2
C.＝3＋4＝7
D.÷＝3
2.计算：＝2.
3.如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这边上的高为2.
4.计算：
(1)÷；(2)；(3)；(4)÷.
解：(1)2.(2)4.(3).(4).
活动3 课堂小结
1.商的算术平方根的性质.
2.二次根式的除法法则.
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加法和减法
1.理解二次根式的加、减运算法则.
2.会进行简单的二次根式的加、减运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P167～168，完成下列问题.
(一)知识探究
在进行二次根式的加减运算时，应先将每个二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式相加减.
(二)自学反馈
计算：
(1)－；(2)＋；(3)－＋；(4)(＋)－(－).
解：(1).(2).(3)0.(4)8＋.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)5－2＋；(2)2－＋.
解：(1)原式＝10－6＋3＝13－6.
(2)原式＝6－5＋＝＋.
二次根式的加减与合并同类项类似，进行二次根式的加减运算时，必须先将各个二次根式化简，再合并被开方数相同的二次根式.
例2 如图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02
m2和150.72
m2，求圆环的宽度d(π取3.14).
解：设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为S1，S2，由S1＝πR2，S2＝πr2可知R＝，r＝，则
d＝R－r
＝－
＝－
＝－
＝9－4
＝5.
答：圆环的宽度d为5
m.
活动2 跟踪训练
1.下列二次根式中，不能与合并的是(C)
A.
B.
C.
D.
2.下列计算是否正确？为什么？
(1)－＝；(2)＋＝；
(3)3－＝2.
解：(1)不正确.此式结果为2－.
(2)不正确.此式结果为5.
(3)正确.
3.计算：
(1)＋；(2)2＋；(3)－＋；
(4)＋(－)；(5)(－)－(－).
解：(1)5.(2)7.(3)3.(4)10－3.(5)－.
活动3 课堂小结
怎样进行二次根式的加减计算？
第2课时 二次根式的混合运算
会正确快速地进行二次根式的混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P169～171，完成下列问题.
(一)知识探究
1.二次根式的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外面的.
2.与二次根式相关的乘法公式：(＋)(－)＝a－b，(＋)2＝a＋2＋b，(－)2＝a－2＋b.
(二)自学反馈
计算：
(1)(＋1)2；(2)(＋3)(－3)；(3)(－)×；(4).
解：(1)(＋1)2＝()2＋2＋1＝5＋2＋1＝6＋2.
(2)(＋3)(－3)＝()2－32＝13－9＝4.
(3)(－)×＝×－×＝－＝6－1＝5.
(4)＝＋＝＋＝2＋3＝5.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)(－)×；(2)(2＋)(1－).
解：(1)(－)×＝×－×＝－＝2－＝.
(2)(2＋)(1－)＝2－2＋－×＝2－2＋－2＝－.
例2 计算：
(1)(＋1)(－1)；(2)(－)2.
解：(1)(＋1)(－1)＝()2－12＝1.
(2)(－)2＝()2－2×＋()2＝2－2＋3＝5－2.
例3 计算：
(1)(＋)÷；(2)＋.
解：(1)(＋)÷＝(4＋)÷＝5÷＝5.
(2)＋＝＋＝＝＝4.
活动2 跟踪训练
1.化简－(－2)的结果是(D)
A.－2
B.－2
C.2
D.4－2
2.估计×＋的运算结果应在(C)
A.1到2之间
B.2到3之间
C.3到4之间
D.4到5之间
3.计算：(－)×＝8.
4.计算：
(1)(＋)(－)；(2)(＋)2.
解：(1)－2.(2)8＋2.
5.计算：
(1)(－)－－；(2)÷×－.
解：(1)原式＝－3－2＋－3＝－6.
(2)原式＝－＝－＝0.
活动3 课堂小结
如何进行二次根式的混合运算？第4章 一元一次不等式(组)
4.1 不等式
1.通过对具体不等关系的分析，使学生感受到不等式是刻画数量之间关系的有效模型.
2.会根据实际问题建立不等式模型.(重难点)
自学指导：阅读教材P130～131，完成下列问题.
(一)知识探究
我们把用不等号(>，<，≥，≤，≠)连接而成的式子叫作不等式.
(二)自学反馈
1.下列数学表达式中是不等式的是(C)
A.5x＝4
B.2x＋5y
C.6＜2x
D.0
2.根据下列语句，列出不等式：
(1)a是负数；
(2)a与b的和小于5；
(3)x的4倍大于7.
解：(1)a＜0.(2)a＋b＜5.(3)4x＞7.
活动1 小组讨论
例 用不等式表示下列数量关系：
(1)x的5倍大于－7；
(2)a与b的和的一半小于－1；
(3)长、宽分别为x
cm，y
cm的长方形的面积小于边长为a
cm的正方形的面积.
解：(1)5x>－7.
(2)<－1.
(3)xy
活动2 跟踪训练
1.某市今年5月份的最低气温是10
℃，最高气温为27
℃，已知该月某一天的气温为t
℃，则下面表示t的范围，正确的是(C)
A.10＜t＜27
B.10≤t＜27
C.10≤t≤27
D.10＜t≤27
2.高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指(B)
A.每100克内含钙150毫克
B.每100克内含钙不低于150毫克
C.每100克内含钙高于150毫克
D.每100克内含钙不超过150毫克
3.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答一题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，可列不等式为(D)
A.10x－3(30－x)＞70
B.10x－3(30－x)≤70
C.10x－3x≥70
D.10x－3(30－x)≥70
4.用适当的符号表示下列关系：
(1)y的一半不小于3；
(2)x的与x的2倍的和是正数；
(3)m除以4的商加上3至多为5；
解：(1)y≥3.(2)x＋2x＞0.(3)＋3≤5.
活动3 课堂小结
本节课你学到了什么？
4.2 不等式的基本性质
第1课时 不等式基本性质1
1.经历不等式基本性质1的探索过程，能利用它对不等式进行简单变形.(重点)
2.能理解什么是“移项”，并能熟练地使用“移项”解决问题.
3.在学习过程通过与等式基本性质1的比较，体会类比学习的思想.
自学指导：阅读教材P133～134，完成下列问题.
(一)知识探究
1.不等式基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式)，不等号的方向不变.即，如果a＞b，那么a±c＞b±c.
2.把不等式一边的某一项变号后移到另一边，这种变形称为移项.
(二)自学反馈
按下列条件写出仍成立的不等式：
(1)已知－2＜1，两边都减去1：－3＜0；
(2)已知3x－2y＞3x－8，两边都减去3x：－2y＞－8.
活动1 小组讨论
例1 用“>”或“<”填空：
(1)已知a>b，则a＋3________b＋3；
(2)已知a解：(1)因为a>b，两边都加上3，由不等式基本性质1，得a＋3>b＋3.
(2)因为a例2 把下列不等式化为x>a或x(1)x＋6>5；(2)3x<2x－2.
解：(1)不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得x＋6－6>5－6，即x>－1.
(2)不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得3x－2x<2x－2－2x，即x<－2.
例3 三角形中任意两边之差与第三边有怎样的大小关系？
解：如图，设a，b，c为任意一个三角形的三条边的长，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.
由式子a＋b＞c移项可得a＞c－b，b＞c－a.
类似地，由式子b＋c＞a及c＋a＞b移项可得c＞a－b，b＞a－c及c＞b－a，a＞b－c.
结论：三角形中任意两边之差小于第三边.
活动2 跟踪训练
1.已知m＞n，下面四个不等式中，不正确的是(D)
A.m＋1＞n＋1
B.m－1＞n－1
C.m＞n－1
D.m－1＞n＋1
2.若2x＋3y－1＞3x＋2y，则x，y的大小关系为(A)
A.x＜y
B.x＞y
C.x＝y
D.不能确定
3.如果a－3＞－3，那么a＞0，其变形依据是不等式基本性质1.
4.把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：
(1)－2x－1＞－3x＋1；
(2)2x－1≤x＋1；
(3)2(x－1)≥3x.
解：(1)x＞2.
(2)x≤2.
(3)x≤－2.
活动3 课堂小结
本节课你有哪些收获？
第2课时 不等式基本性质2、3
1.经历不等式基本性质2、3的探索过程，理解不等式基本性质2、3，并会利用不等式基本性质2、3将不等式进行简单变形.(重难点)
2.在学习过程中进一步通过与等式的基本性质的比较，体会类比思想.
自学指导：阅读教材P135～136，完成下列问题.
(一)知识探究
1.不等式基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.即，如果a>b，c>0，那么ac>bc，且>.
2.不等式基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数.不等号的方向改变.即，如果a>b，c<0，那么ac(二)自学反馈
已知a>b，那么.
(1)3a＞3b；(不等式基本性质2)
(2)－a＜－b；(不等式基本性质3)
(3)－a＋2＜－b＋2；(不等式基本性质3)
(4)－1＞－1.(不等式基本性质2)
不等式两边同乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变.
活动1 小组讨论
例 用“>”或“<”填空：
(1)已知a>b，则3a________3b；
(2)已知a>b，则－a________－b；
(3)已知a解：(1)因为a>b，两边都乘3，由不等式基本性质2，得3a>3b.
(2)因为a>b，两边都乘－1，由不等式基本性质3，得－a<－b.
(3)因为a－.
因为－>－，两边都加上2，由不等式基本性质1，得－＋2>－＋2.
活动2 跟踪训练
1.若xay的条件是(B)
A.a>0
B.a<0
C.a≥0
D.a≤0
2.用“＜”“＞”填空：
(1)若3x＞3y，则x＞y；
(2)若－2x＜－2y，则x＞y；
(3)若5x＋1＜5y＋1，则x＜y.
3.判断下列各题的结论是否正确？并说明理由.
(1)若ax＞b，且a＞0，则x＞；
(2)若ax＞b，且a＜0，则x＞；
(3)若a＞b，则ac2＞bc2；
(4)若ac2＞bc2，则a＞b.
解：(1)正确.
(2)错误，不等式两边除以一个负数时，不等号方向要改变.
(3)错误，如果c＝0，那么不成立.
(4)正确.
4.把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式：
(1)2x＋5＞3；(2)－3x＋2＞4.
解：(1)x＞－1.(2)x＜－.
活动3 课堂小结
本节课你有哪些收获？
4.3 一元一次不等式的解法
第1课时 一元一次不等式的解法
1.理解一元一次不等式、不等式的解与解集的概念，会正确判断一元一次不等式.
2.掌握解一元一次不等式的基本方法，并会熟练地解一元一次不等式.(重点)
自学指导：阅读教材P139～141，完成下列问题.
(一)知识探究
1.含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
2.满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
(二)自学反馈
1.下列各式中，是一元一次不等式的是(D)
A.x≥
B.2x＞1－x2
C.x＋2y＜1
D.2x＋1≤3x
2.解下列不等式：
(1)5x＋15＞0；(2)x－1＞2x.
解：(1)移项，得5x＞－15.
两边同时除以5，得x＞－3.
(2)移项，得x－2x＞1.
合并同类项，得－x＞1.
两边都乘－2，得x＜－2.
活动1 小组讨论
例 解下列一元一次不等式：
(1)2－5x<8－6x；(2)＋1≤x.
解：(1)移项，得－5x＋6x<8－2，
即x<6.
(2)去分母，得2(x－5)＋1×6≤9x.
去括号，得2x－10＋6≤9x.
移项，得2x－9x≤10－6.
合并同类项，得－7x≤4.
两边都除以－7，得x≥－.
解一元一次不等式与解一元一次方程类似，有分母要去分母，有括号要去括号.
活动2 跟踪训练
1.不等式1－2x＞3的解集是(D)
A.x＞1
B.x＞－1
C.x＜1
D.x＜－1
2.下列解不等式>的步骤中，错误的是(D)
A.去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1)
B.去括号，得10＋5x＞6x－3
C.移项、合并同类项，得－x＞－13
D.系数化为1，得x＞13
3.若3x2a＋3－9＞6是关于x的一元一次不等式，则a＝－1.
4.解下列不等式：
(1)5x－1＞3(x＋1)；(2)≤.
解：(1)去括号，得5x－1>3x＋3.
移项，得5x－3x>3＋1.
合并同类项，得2x>4.
两边都除以2，得x＞2.
(2)去分母，得2(2x－1)≤3x－4.
去括号，得4x－2≤3x－4.
移项，得4x－3x≤－4＋2.
合并同类项，得x≤－2.
活动3 课堂小结
本节课你学到了什么？
第2课时 在数轴上表示不等式的解集
通过探索与交流，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法，能正确地在数轴上表示不等式的解集.
自学指导：阅读教材P141～142，完成下列问题.
(一)知识探究
一个不等式的解集可以借助数轴直观地表示出来.大于向右画线，小于向左画线；不等式中的“等于”画实心圆点，不等式中没有等于画空心圆圈.
(二)自学反馈
在数轴上表示不等式x＞－2的解集，正确的是(A)
活动1 小组讨论
例1 解不等式12－6x≥2(1－2x)，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去括号，得12－6x≥2－4x.
移项，得－6x＋4x≥2－12.
合并同类项，得－2x≥－10.
两边都除以－2，得x≤5.
原不等式的解集数轴上表示如图所示.
解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
例2 当x取什么值时，代数式－x＋2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.
解：根据题意，得－x＋2≥0.
解这个不等式，得x≤6.
所以，当x≤6时，代数式－x＋2的值大于或等于0.
x≤6在数轴上表示如图所示.
由图可知，满足条件的正整数有1，2，3，4，5，6.
活动2 跟踪训练
1.一元一次不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示为(A)
2.若代数式x－的值小于0，则x的取值范围是(D)
A.x<－
B.x>－
C.x>
D.x<
3.不等式2x＜4x－6的最小整数解为4.
4.解不等式2x－1>，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：4x－2>3x－1，
x>1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获？
4.4 一元一次不等式的应用
能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，并解决问题.(重难点)
自学指导：阅读教材P144～145，完成下列问题.
(一)知识探究
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤为：
实际问题→设未知数→找出不等关系→列不等式→解不等式→结合实际确定答案.
(二)自学反馈
1.篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分.某队预计在2017～2018赛季全部32场比赛中至少得到48分，才有希望进入季后赛.假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是(B)
A.2x＋(32－x)≥48
B.2x－(32－x)≥48
C.2x＋(32－x)≤48
D.2x≥48
2.在一次社会实践活动中，八年级二班可筹集到的活动经费不超过900元，此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费为20元，则参加这次活动的学生人数最多为30人.
活动1 小组讨论
例1 某童装店按每套90元的价格购进40套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于900元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
分析：本题涉及的数量关系是：销售额－成本－税费≥纯利润(900元).
解：设每套童装的售价是x元.则
40×x－90×40－40×x×10%≥900.
解这个不等式，得x≥125.
答：每套童装的售价至少是125元.
例2 当一个人坐下时，不宜提举超过4.5
kg的重物，以免受伤.小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2
kg的画册和一批每本重0.4
kg的记事本.如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本.问他最多只应搬动多少本记事本？
分析：本题的数量关系是：画册的总重＋记事本的总重≤4.5
kg.
解：设小明可搬动x本记事本，则
1.2×2＋0.4x≤4.5.
解这个不等式，得x≤5.25.
由于记事本的数目必须是整数，所以x的最大值为5.
答：小明最多只应搬动5本记事本.
活动2 跟踪训练
1.用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：
原料种类
甲种原料
乙种原料
维生素C含量(单位/千克)
500
200
现配制这种饮料10
kg，要求至少含有4
100单位的维生素C.若所需甲种原料的质量为x
kg，则x应满足的不等式为(A)
A.500x＋200(10－x)≥4
100
B.200x＋500(100－x)≤4
100
C.500x＋200(10－x)≤4
100
D.200x＋500(100－x)≥4
100
2.小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本的数量为(C)
A.7本
B.6本
C.5本
D.4本
3.水果店进了某种水果1吨，进价7元/千克，出售价为11元/千克，销去一半后为尽快销完，准备打折出售，如果要使总利润不低于3
450元，那么余下水果可按原定价打________折出售(D)
A.7折
B.8折
C.8.5折
D.9折
4.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160
cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30
cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为多少厘米？
解：设长为3x，宽为2x，由题意，得5x＋30≤160，
解得x≤26.
故行李箱的长的最大值为3x＝78.
答：行李箱的长的最大值为78厘米.
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获？
4.5 一元一次不等式组
1.了解一元一次不等式组的概念.
2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，会用数轴确定解集.(重难点)
自学指导：阅读教材P147～149，完成下列问题.
(一)知识探究
1.把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组.
2.把几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫作解不等式组.
(二)自学反馈
解下列不等式组：
(1)(2)
解：(1)解不等式x＋1≤5，得x≤4.
解不等式7－4x＜1，得x＞.
∴原不等式组的解集为＜x≤4.
(2)解不等式2(x＋1.5)≥5，得x≥1.
解不等式x＜x＋3，得x＜2.
故不等式组的解集为1≤x＜2.
活动1 小组讨论
例1 解不等式组：
解：解不等式①，得x≤3.
解不等式②，得x<－3.
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示.
所以不等式组的解集为x<－3.
例2 解不等式组：
解：解不等式①，得x>－2.
解不等式②，得x>6.
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示.
所以不等式组无解.
由图可知，不等式①、②的解集的公共部分是x>6，所以这个不等式组的解集是x>6.
例3 解不等式组：
解：解不等式①，得x<－2.
解不等式②，得x>3.
把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图所示.
所以不等式组无解.
活动2 跟踪训练
1.如图，将某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，则这个不等式组可能是(B)
A.
B.
C.
D.
2.把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(B)
3.不等式组的整数解是－1，0，1.
4.解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
(1) (2)
解：(1)解不等式x＋3＜4，得x＜1.
解不等式3(2－x)－9＞6，得x＜－3.
∴不等式组的解集为x＜－3.
将不等式组的解集表示在数轴上表示如下：
(2)解不等式2x＋5≤3(x＋2)，得x≥－1.
解不等式2x－＜1，得x＜3.
∴原不等式组的解集是－1≤x＜3.
将不等式组的解集在数轴上表示如下：
活动3 课堂小结
本节课你学到了什么？第1章 分式
1.1 分式
第1课时 分式
1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)
自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.
(一)知识探究
1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.
2.(1)分式存在的条件是g≠0；(2)分式不存在的条件是g＝0；(3)分式的值为0的条件是f＝0，g≠0.
(二)自学反馈
1.下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤；⑥2x2＋；⑦；⑧－5；⑨3x2－1；⑩； 5x－7.
解：分式有①②④⑦⑩.
判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.
2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0
(1)；(2).
解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式的值不存在.当x＝3时，分式的值等于0.
(2)当3－2x＝0时，即x＝时，分式的值不存在.当x＝－5时，分式的值等于0.
分母是否为0决定分式的值是否存在.
活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；
(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；
(3)x与y的差除以4的商是多少.
解：(1)；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)；整式.
例2 当x取何值时，分式的值存在？当x取何值时，分式的值为零？
解：当的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；
当的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.
分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.
活动2 跟踪训练
1.下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤x2.
解：①③是分式.
2.当x取何值时，分式的值存在？
解：3x－2≠0，即x≠时，存在.
3.求下列条件下分式的值.
(1)x＝1；(2)x＝－1.
解：(1)当x＝1时，＝－.
(2)当x＝－1时，＝－.
活动3 课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.
第2课时 分式的基本性质
1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为＝(h≠0).
2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
(二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)＝(c≠0)；(2)＝.
解：(1)由c≠0，知＝＝.
(2)由x≠0，知＝＝.
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.
2.填空，使等式成立：
(1)＝(其中x＋y≠0)；(2)＝.
在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.
3.约分：
(1)；(2).
解：(1)公因式为ab，所以＝ac.
(2)公因式为8a2b2，所以＝－.
活动1 小组讨论
例1 约分：
(1)；(2)；(3).
解：(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝＝.
约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.
例2 先约分，再求值：，其中x＝3，y＝1.
解：＝＝.
当x＝3，y＝1时，＝.
活动2 跟踪训练
1.约分：
(1)；(2).
解：(1)＝.
(2)＝＝－.
2.先约分，再求值：
(1)，其中m＝1，n＝2；
(2)，其中x＝2，y＝4.
解：(1)＝＝＝1.
(2)＝＝＝＝－.
活动3 课堂小结
1.分数的基本性质.
2.约分、化简求值.
1.2 分式的乘法和除法
第1课时 分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘、除法运算法则：
(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为·＝.
(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定÷＝·＝.
(二)自学反馈
1.计算·的结果是.
2.化简÷的结果是m.
3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)·＝1；(2)÷a＝b；
(3)·＝；(4)÷＝.
解：(1)对.(2)错.正确的是.(3)错.正确的是－.(4)错.正确的是.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)·；(2)÷.
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝·＝－＝－.
例2 计算：
(1)·；(2)÷.
解：(1)原式＝·＝＝.
(2)原式＝·＝·＝＝－.
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)·；(2)÷8x2y；(3)－3xy÷.
解：(1)原式＝＝.
(2)原式＝·＝＝.
(3)原式＝－3xy·＝－＝－.
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.
2.计算：
(1)÷；
(2)÷(x＋3)·.
解：(1)原式＝·＝·＝＝.
(2)原式＝··＝··＝－.
分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.
活动3 课堂小结
1.分式的乘、除运算法则.
2.分式的乘、除法法则的运用.
第2课时 分式的乘方
1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为()n＝.(其中n为正整数)
(二)自学反馈
1.计算：
(1)()2；(2)(－)3.
解：(1)()2＝.
(2)(－)3＝－.
2.计算：
(1)(－)2·；(2)(3a2b)2÷(－)2.
解：(1)原式＝·＝b.
(2)原式＝9a4b2÷＝9a4b2·＝36a6.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)()3；(2)()3.
解：(1)()3＝.
(2)()3＝＝.
分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.
例2 计算：
(1)m3n2÷()3；(2)(－)2÷()3·()3.
解：(1)m3n2÷()3＝m3n2÷＝m3n2·＝n5.
(2)(－)2÷()3·()3＝÷·＝··＝.
分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)·÷；
(2)÷·；
(3)()2÷(a－1)·.
解：(1)原式＝··＝.
(2)原式＝··＝－.
(3)原式＝··＝.
2.计算：
(1)()3；(2)()2÷·()3.
解：(1)原式＝＝－.
(2)原式＝··＝－.
3.化简求值：÷()2·，其中a＝，b＝－3.
解：化简结果是ab；求值结果为－.
化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3 课堂小结
1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.
1.3 整数指数幂
1.3.1 同底数幂的除法
1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.
(一)知识探究
同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则＝＝am－n.
(二)自学反馈
1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)
A.a5
B.－a5
C.a8
D.－a8
2.计算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)；(2).
解：(1)＝－x5－3＝－x2.
(2)＝＝－x3y3.
例2 计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).
解：原式＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)；(2).
解：(1)原式＝a3.(2)原式＝1.
2.计算：(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2.
解：原式＝(p－q)4÷[－(p－q)3]·(p－q)2＝－(p－q)·(p－q)2＝－(p－q)3.
活动3 课堂小结
同底数幂的除法的运算.
1.3.2 零次幂和负整数指数幂
1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)
自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.
(一)知识探究
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).
2.a－n＝(n是正整数，a≠0).
(二)自学反馈
1.计算：30＝1；(－2)－3＝－.
2.用科学记数法表示数0.000
201
6为2.016×10－4.
3.计算：23－()0－()－2.
解：原式＝8－1－4＝3.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)3－2；(2)(10)－3；(3)()－2.
解：(1)3－2＝＝.(2)10－3＝＝0.001.
(3)()－2＝()2＝.
例2 把下列各式写成分式的形式：
(1)3x－3；(2)2x－23y－3.
解：(1)3x－3＝.(2)2x－23y－3＝.
例3 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000
326
7；(2)－0.001
1.
解：(1)0.000
326
7＝3.267×10－4.(2)－0.001
1＝－1.10×10－3.
活动2 跟踪训练
1.计算：(－2)0＝1；3－1＝.
2.把(－100)0，(－3)－2，(－)2按从小到大的顺序排列为(－100)0>(－)2＝(－3)－2.
3.计算：(－1)2
012×(3－π)0＋()－1.
解：原式＝1×1＋2＝3.
活动3 课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.
1.3.3 整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.
(一)知识探究
1.am·an＝am＋n(a≠0，m，n都是整数).
2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数).
3.(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整数).
(二)自学反馈
计算：
(1)a3·a－5＝a－2＝；(2)a－3·a－5＝a－8＝；
(3)a0·a－5＝a－5＝；(4)am·an＝am＋n(m，n为任意整数).
am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.
解：(1)原式＝a－3b6＝.
(2)原式＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.
例2 下列等式是否正确？为什么？
(1)am÷an＝am·a－n；(2)()n＝anb－n.
解：(1)正确.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n.
(2)正确.理由：()n＝＝an·＝anb－n.
活动2 跟踪训练
1.下列式子中，正确的有(D)
①a2÷a5＝a－3＝；②a2·a－3＝a－1＝；③(a·b)－3＝＝；④(a3)－2＝a－6＝.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.计算：[x(x2－4)]－2·(x2－2x)2＝.
活动3 课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.
1.4 分式的加法和减法
第1课时 同分母分式的加减法
1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.
(一)知识探究
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，±＝.
2.＝＝－，＝.
(二)自学反馈
1.计算：＋＝；－＝.
2.计算：
(1)－；(2)－.
解：(1)－＝＝＝1.
(2)－＝＋＝＝a－b.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)＋；(2)－.
解：(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝.
例2 计算：
(1)－；(2)－.
解：(1)原式＝＋＝.
(2)原式＝－＝＋＝＝.
活动2 跟踪训练
1.化简＋的结果是(D)
A.x＋1
B.x－1
C.－x
D.x
2.化简－的结果是(A)
A.a＋b
B.a－b
C.a2－b2
D.1
3.计算：(1)－；(2)＋－.
解：(1)原式＝＝1.(2)原式＝＝0.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
第2课时 通分
1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)
自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.
(一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.
2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.
3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
(二)自学反馈
1.，的最简公分母是6xy.
2.对分式，，通分时，最简公分母是12xy2.
3.通分：
(1)与；(2)与.
解：(1)＝＝；－＝－＝－.
(2)＝，＝.
活动1 小组讨论
例1 通分：(1)与；(2)与.
解：(1)最简公分母是2a2b2c.
＝＝，
＝＝.
(2)最简公分母是(x＋5)(x－5).
＝＝，
＝＝.
例2 通分：(1)与；(2)与.
解：(1)最简公分母是4b2d.
＝，＝.
(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2).
＝＝，
＝＝＝－.
活动2 跟踪训练
1.分式，的最简公分母为(B)
A.(x＋2)(x－2)
B.2(x＋2)(x－2)
C.2(x＋2)(x－2)2
D.－(x＋2)(x－2)2
2.分式，，的最简公分母是x(x＋1)2(x－1).
3.通分：
(1)与；(2)与；(3)与.
解：(1)＝，＝.
(2)＝，＝.
(3)＝，＝.
活动3 课堂小结
1.确定最简公分母.
2.将异分母分式通分.
第3课时 异分母分式的加减法
1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)
自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.
(一)知识探究
异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.
(二)自学反馈
1.化简分式＋的结果是(C)
A.x
B.
C.
D.
2.下列计算正确的是(D)
A.＋＝
B.－＝
C.＋1＝
D.－＝
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)＋；(2)－.
解：(1)原式＝＋＝.
(2)原式＝－＝.
例2 计算：
(1)(1－)÷；(2)＋.
解：(1)原式＝·＝·＝a－b.
(2)原式＝＋＝＝.
活动2 跟踪训练
1.计算(＋)÷的结果为(A)
A.a
B.－a
C.(a＋3)2
D.1
2.化简(1＋)÷的结果是(A)
A.
B.
C.
D.
3.化简·＋的结果是.
4.化简(1－)(m＋1)的结果是m.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式加减运算的方法思路：
2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时 可化为一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的意义.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)
3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)
自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.
(二)自学反馈
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①＝；②＋＝7；③＝；④＝－1；⑤＝；⑥2x＋＝10；⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.
解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.
2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.
活动1 小组讨论
例1 解方程：＝.
解：方程两边同乘x(x－3)，得2x＝3(x－3).
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝9.
例2 解方程：－1＝.
解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.
所以x＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.
活动2 跟踪训练
解方程：
(1)＝；(2)＝＋1；(3)＝；(4)－＝0.
解：(1)方程两边同乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.化简得3x＝3.解得x＝1.
检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0.所以x＝1是方程的解.
(2)方程两边同乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.解得x＝－.
检验：当x＝－时，3x＋3≠0.
所以x＝－是方程的解.
(3)方程两边同乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.
检验：当x＝1时，x2－1＝0，所以x＝1不是方程的解.所以原方程无解.
(4)方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，得5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝.
检验：当x＝时，x(x＋1)(x－1)≠0.
所以x＝是原方程的解.
方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.
活动3 课堂小结
解分式方程的思路是：
第2课时 分式方程的应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)
自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.
(一)知识探究
列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题设未知数；
(2)找等量关系列方程；
(3)去分母，化分式方程为整式方程；
(4)解整式方程.
(5)验根是否符合实际意义；
(6)答题.
(二)自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖÷4＝，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖；两台挖土机一天共挖＋；两台一天完成另一半.所以列方程为＋＝；解得x＝，即乙单独挖需天.
认真分析题意.根据等量关系列方程.
活动1 小组讨论
例 甲、乙两人分别从相距36千米的A，B两地相向而行，甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
路程
速度
时间
甲
18＋1×2
x＋0.5
乙
18
x
等量关系：t甲＝t乙.
解：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为(x＋0.5)千米/小时.
根据题意，列方程得
＝.
解得x＝4.5.
检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.
所以x＝4.5是原方程的解.则x＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.
等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程多两个1千米.
活动2 跟踪训练
1.A、B两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度.
解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.
根据题意，列方程得＝.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，10x≠0.
所以，x＝9是原方程的解.
则2x＝18，5x＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得
＋＝1.解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
活动3 课堂小结
1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.
3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.
4.注意不要遗漏检验和写答案.第3章 实数
3.1 平方根
第1课时 平方根、算术平方根
1.能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根.(重难点)
2.理解开平方与平方两者之间的联系与区别.
3.认识非负数的平方根的特点.(重点)
自学指导：阅读教材P105～107，完成下列问题.
(一)知识探究
1.平方根：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r叫作a的一个平方根，(±r)2＝a，所以a的平方根有且只有两个：r与－r；算术平方根：把a的正平方根叫作a的算术平方根.
2.正数a的平方根表示为±；算术平方根表示为；负平方根表示为－.
3.一个正数的两个平方根的关系是互为相反数.
4.零的平方根是0，零的算术平方根是0，记作，负数没有平方根.
5.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，开平方与平方互为逆运算.
(二)自学反馈
1.25的平方根是±5，3是9的算术平方根.
2.表示3的算术平方根；如果－x2有平方根，那么x的值为0.
3.切一块面积为16
cm2的正方形钢板，它的边长是多少？
解：4
cm.
活动1 小组讨论
例1 分别求下列各数的平方根：36，，1.21.
解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±＝±6.
由于()2＝，因此的平方根是与－，即±＝±.
由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即±＝±1.1.
求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数.
例2 分别求下列各数的算术平方根：100，，0.49.
解：由于102＝100，因此＝10.
由于()2＝，因此＝.
由于0.72＝0.49，因此＝0.7.
活动2 跟踪训练
1.下列说法不正确的是(C)
A.－是2的平方根 B.是2的平方根
C.2的平方根是
D.2的算术平方根是
一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根.
2.求下列各式的值：
(1)±；(2)－；(3)；(4)±.
解：(1)±1.7.(2)－.(3).(4)±11.
活动3 课堂小结
本节课学方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算.
第2课时 无理数、用计算器求算术平方根
1.理解无理数的概念和它的本质特征.(重点)
2.正确使用计算器求一个数的算术平方根.(重点)
自学指导：阅读教材P108～110，完成下列问题.
(一)知识探究
1.无理数：无限不循环小数叫作无理数.归纳几种类型的无理数，并举例说明：(1)圆周率：π；(2)开方不尽的数：如；(3)特殊规律的数，如：0.010__010__001….
2.用计算器求正数a的平方根：按键→输入数字a→按＝键.
(二)自学反馈
1.在等式x2＝6中，下列说法中正确的是(D)
A.x可能是整数
B.x可能是分数
C.x可能是有理数
D.x是无理数
2.下列各数中，是无理数的是(B)
A.
B.
C.
D.
活动1 小组讨论
例 用计算器求下列各式的值.
(1)；
(2)(精确到小数点后面第三位).
解：(1)依次按键：
显示：32
所以，＝32.
(2)依次按键：
显示：2.828
427
125
所以，≈2.828.
活动2 跟踪训练
1.下列说法正确的是(B)
A.有理数只是有限小数
B.无理数是无限小数
C.无限小数是无理数
D.是分数
2.在，3.141
592
6，0.707
007
000
7…(每两个7之间0的个数逐次加1)，0.6，2π中，无理数有(B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.用计算器求下列各数的值(精确到0.01)：
≈2.50； ≈0.49；
≈11.11;__
≈7.54.
4.用计算器分别计算：，，，，，你能发现什么规律？
解：＝0.03，＝0.3，
＝3，＝30，＝300.
我发现：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.
活动3 课堂小结
学生概括：1.什么是无理数？
2.怎样用计算器求算术平方根？
3.2 立方根
1.通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实世界中的客观存在，了解立方根的概念.
2.会求某些数的立方根，能用计算器求一个数的立方根及其近似值.
自学指导：阅读教材P112～113，完成下列问题.
(一)知识探究
1.如果一个数b，使得b3＝a，那么b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根，a的立方根记作.每个数都有立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
2.求一个数的立方根的运算叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.
3.用计算器求正数a的立方根：按键→按键→输入被开立方数a→按键.
(二)自学反馈
－的立方根是－，64的立方根的相反数是－4.
活动1 小组讨论
例1 分别求下列各数的立方根：1，，0，－0.064.
解：由于13＝1，因此＝1；
由于()3＝，因此＝；
由于03＝0，因此＝0；
由于(－0.4)3＝－0.064，因此＝－0.4.
可根据开立方与立方互为逆运算来求立方根.
例2 用计算器求下列各数的立根：
343，－1.331.
解：按键
显示：7
所以，＝7.
按键：
显示：－1.1
所以，＝－1.1.
例3 用计算器求的近似值(精确到0.001).
解：按键：
显示：1.259
921
05
所以，≈1.260.
许多有理数的立方根都是无理数，如，，…都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们.
活动2 跟踪训练
1.下列等式成立的是(C)
A.＝±1
B.＝15
C.＝－5
D.＝－3
2.立方根等于它本身的数是±1，0.
3.求下列各数的立方根：
(1)27；(2)；(3)－63.
解：(1)3.(2).(3)－6.
4.下列各式是否有意义？为什么？
(1)－；(2)；(3)；(4).
解：(1)、(3)、(4)有意义，因为任何一个数都有立方根；(2)没有意义，因为负数没有平方根.
活动3 课堂小结
1.一个数只有一个立方根，且当a>0时，>0；a＝0时，＝0；a<0时，<0.
2.＝－.
3.立方与开立方互为逆运算，利用这种关系可以求一个数的立方根.
3.3 实数
第1课时 实数的有关概念
1.了解实数的概念，能对实数按要求进行分类.(重点)
2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.(重点)
3.了解实数和数轴上的点一一对应.
自学指导：阅读教材P116～118，完成下列问题.
(一)知识探究
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数
3.每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，且数轴上每一个点都可以表示唯一的一个实数.
即：实数和数轴上的点一一对应.
4.规定正实数都大于0，负实数都小于0.数轴上表示正实数的点在原点右边，表示负实数的点在原点左边.
5.与有理数一样，如果两个实数只有符号不同，那么其中一个叫作另一个数的相反数，也说它们互为相反数.0的相反数是0.实数a的相反数记作－a.
6.正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
(二)自学反馈
1.下列说法正确的是(D)
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
2.－的相反数是(C)
A.3
B.－3
C.
D.－
活动1 小组讨论
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，0，1.414，，π，－，，0.101
001
000
1…(相邻两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414，，－是有理数，
，π，，0.101
001
000
1…是无理数.
实数可以分为有理数和无理数，还可以分为正实数、零和负实数.
例2 求下列各数的相反数和绝对值：
－，π－3.14.
解：因为－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π，
所以－，π－3.14的相反数分别为，3.14－π.
由绝对值的意义得：|－|＝，|π－3.14|＝π－3.14.
活动2 跟踪训练
1.把下列各数填入相应的大括号内：
7.5，，4，，，，0.31，－π，0.
(1)有理数：{7.5，4，，，0.31，0.…}；
(2)无理数：{，，－π，…}；
(3)正实数：{7.5，，4，，，0.31，0.…}；
(4)负实数集合：{，－π，…}.
2.求下列各数的相反数和绝对值：
(1)；(2)；(3).
解：(1)的相反数是－，绝对值是.
(2)的相反数是2，绝对值是2.
(3)的相反数是－7，绝对值是7.
活动3 课堂小结
学生回答：本节课我们学到了哪些知识？
第2课时 实数的运算和大小比较
1.了解有理数范围内的运算法则及运算律对于实数仍然成立，会进行实数范围内的运算.(重难点)
2.会用计算器进行实数的运算，并能比较两个实数的大小.(重点)
自学指导：阅读教材P118～120，完成下列问题.
(一)知识探究
1.有理数的运算法则和运算律等对于实数仍然适用.
2.实数可以比较大小：对于实数a，b，如果a－b>0，那么a>b；如果a－b<0，那么a3.每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；在实数范围内，负实数没有平方根；每个实数a有且只有1个立方根.
4.实数也可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数都可以进行开立方运算.
(二)自学反馈
1.比较大小：<4.(填“＞”“＜”或“＝”)
2.计算：2－1－3＋5.
解：原式＝(2－3)＋(5－1)＝4－.
活动1 小组讨论
例1 计算下列各式的值：
(1)(＋)－；(2)2－3.
解：(1)(＋)－
＝＋(－)(加法结合律)
＝＋0
＝.
(2)2－3
＝(2－3)(乘法对于加法的分配律)
＝－.
例2 用计算器计算：×(精确到小数点后面第二位).
解：按键：
显示：3.162
277
66
精确到小数点后面第二位得3.16.
所以，×≈3.16.
在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
活动2 跟踪训练
1.比较下列各组数的大小，正确的是(C)
A.1.7＞
B.π＜3.14
C.－>－
D.5＜
2.计算：
(1)3－5；(2)＋＋.
解：(1)－2.(2)1.
3.用计算器计算(精确到0.01)：
(1)π－＋(精确到0.01)；(2)＋×.
解：(1)3.46.(2)4.74.
活动3 课堂小结
本节课你有什么收获？第2章 三角形
2.1 三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系
1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素.
2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类.
3.掌握三角形三条边之间的关系.(重点)
自学指导：阅读教材P42～44，完成下列各题.
(一)知识探究
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.等边三角形：三条边都相等的三角形.
3.等腰三角形：有两边相等的三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
4.不等边三角形：三条边都不相等的三角形.
5.三角形按边的相等关系分类：
三角形
6.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边.
三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b三个不等式同时成立.
(二)自学反馈
1.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来.
解：图中有5个三角形.分别是△ABE、△DEC、△BEC、△ABC、△DBC.
2.下列长度的三条线段能否组成三角形？
(1)3，4，8；(不能)
(2)2，5，6；(能)
(3)5，6，10；(能)
(4)5，6，11.(不能)
用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能.
活动1 小组讨论
例 如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小.
解：在△BDC中，有BD＋DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边).
又因为AD＝BD，
则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，
所以AC>BC.
活动2 跟踪训练
1.现有两根木棒，它们的长度分别为20
cm和30
cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)
A.10
cm的木棒
B.20
cm的木棒
C.50
cm的木棒
D.60
cm的木棒
2.看图填空，如图：
(1)如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；
(2)△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE；
(3)△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E；
(4)∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB.
3.用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.
所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米.
(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.
所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；
②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4×2＋x＝18.解得x＝10.
因为4＋4<10，所以此时不能构成三角形.
即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米.
活动3 课堂小结
1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.三角形的对、角、顶点及表示方法.
2.三角形的分类：按边和角分类.
3.三角形的三边关系：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边的差小于第三边.
第2课时 三角形的高、角平分线和中线
1.能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心.(重点)
2.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.(难点)
自学指导：阅读教材P44～45，完成下列问题.
(一)知识探究
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
2.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
3.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线；三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.
(二)自学反馈
1.如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(A)
2.如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是(D)
A.在△CDE中，∠C的对边是DE
B.BD是△ABC的中线
C.AD＝DC，BE＝EC
D.DE是△ABC的中线
3.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线(D)
A.△ABE
B.△ADF
C.△ABC
D.△ABC，△ADF
活动1 小组讨论
例 如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.
(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.
(2)其中哪些三角形的面积相等？
解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.
(2)因为AD是△ABC的中线，
所以BD＝DC.
因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，
又S△ABD＝BD·AE，S△ADC＝DC·AE，
所以S△ABD＝S△ADC.
活动2 跟踪训练
1.一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B)
A.高线
B.中线
C.角平分线
D.不确定
2.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，则线段AC(D)
A.是边BB′上的中线
B.是边BB′上的高
C.是∠BAB′的角平分线
D.以上都对
3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC＝4
cm2，则S△ABE的面积是1cm2.
活动3 课堂小结
三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线.
第3课时 三角形内角和定理
1.知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题.
2.知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形.
3.会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题.(重点)
自学指导：阅读教材P46～48，完成下列问题.
(一)知识探究
1.三角形的内角和等于180°.
2.三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(二)自学反馈
1.△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
2.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.
3.求下列各图中∠1的度数.
解：75°，125°.
活动1 小组讨论
例 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.
所以3x＝99，x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
活动2 跟踪训练
1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
2.如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A)
A.63°
B.83°
C.73°
D.53°
3.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为20°，∠ACD的度数为110°.
活动3 课堂小结
2.2 命题与证明
第1课时 定义与命题
1.知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题.
2.能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论.(重点)
3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题.(重难点)
自学指导：阅读教材P50～52，完成下列问题.
(一)知识探究
1.对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
2.对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题.
3.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.
4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每一个命题都有逆命题.
(二)自学反馈
1.下列语句中，属于定义的是(D)
A.两点确定一条直线
B.平行线的同位角相等
C.两点之间线段最短
D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
2.下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？
(1)负数都小于零；
(2)当a＞0时，|a|＝a；
(3)平角与周角一定不相等.
解：(1)(2)(3)都是命题.
3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
(1)对顶角相等；
解：如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.
(2)同位角相等.
解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
活动1 小组讨论
例1 判断下列语句哪些是命题？哪些不是？
(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值.
解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题.
例2 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.
(1)两直线平行，同位角相等；
解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.
可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”.
逆命题是：同位角相等，两直线平行.
(2)垂直于同一直线的两条直线平行；
解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.
可以改写成“如果有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”.
逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线.
(3)对顶角相等.
解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.
可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
逆命题是：相等的角是对顶角.
活动2 跟踪训练
1.下列语句中，是命题的是(B)
A.连接A、B两点
B.锐角小于钝角
C.作平行线
D.取线段AB的中点M
2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.
(1)能被2整除的数必能被4整除；
解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.
(2)异号两数相加得零.
解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零.
3.写出下列命题的逆命题.
(1)直角三角形的两个锐角互余；
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
(2)若a＝0，则ab＝0.
解：若ab＝0，则a＝0.
活动3 课堂小结
第2课时 真命题、假命题与定理
1.会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例.(重点)
2.知道基本事实、定理和逆定理的含义，以及它们之间的内在联系.
3.知道公理与定理的区别，认识公理是进行逻辑推理的基本依据.
自学指导：阅读教材P53～55，完成下列问题.
(一)知识探究
1.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.
2.如何判断一个命题为真命题，这个过程叫作证明.如何判断一个命题为假命题，这种方法叫作举反例.
3.由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
4.逆定理是一个定理的逆命题能被证明是真命题，而逆命题不一定是真的.
基本事实和定理的相同点：都是真命题；不同点：基本事实是不需要证明的，而定理是需要经过证明.
(二)自学反馈
1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？
(1)直角三角形的两锐角互余；
解：真命题.
(2)如果a>b，那么a2>b2.
解：假命题，例如，a＝1，b＝－2，则a>b，而a22.判断.(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)定理和公理都是真命题；(√)
(2)定理是命题，命题未必是定理；(√)
(3)公理是真命题，真命题是公理；(?)
(4)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”是互逆定理.(?)
活动1 小组讨论
例1 有下面命题：①直角三角形的两个锐角互余；②钝角三角形的两个内角互补；③两个锐角的和一定是直角；④两点之间线段最短.其中，真命题有(B)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
例2 判断下列命题的真假，举出反例.
①大于锐角的角是钝角；
②如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；
③如果AC＝BC，那么点C是线段AB的中点.
解：①②③假命题.
①的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.
②的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.
③的反例：如果AC＝BC，而点A，B，C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.
活动2 跟踪训练
1.下列命题中，真命题是(D)
A.相等的角是直角
B.不相交的两条线段平行
C.两直线平行，同位角互补
D.经过两点有且只有一条直线
2.写出你熟悉的一个定理：两直线平行，同位角相等，写出这个定理的逆定理：同位角相等，两直线平行.
3.下列命题是真命题吗？若不是请举出反例.
(1)只有锐角才有余角；
解：真命题.
(2)若x2＝4，则x＝2；
解：假命题，如x＝－2.
(3)a2＋1≥1；
解：真命题.
(4)若|a|＝－a，则a<0.
解：假命题，如a＝0.
活动3 课堂小结
第3课时 命题的证明
1.知道证明的含义及步骤，能用规范的语言进行证明.
2.会证明文字类证明题.
3.能利用反证法进行简单的证明.(重点)
自学指导：阅读教材P55～57，完成下列问题.
(一)知识探究
1.数学上证明一个命题时，常常从命题的条件出发，通过一步步推理，最后证实这个命题的结论成立，这是证明的含义.也就是说，我们在证明一个命题时，将条件作为“已知”，结论作为“求证”.
2.文字证明题的基本步骤：
第1步：根据题意画出图形；
第2步：根据命题的条件和结论，结合图形，写出已知、求证.
第3步：通过分析，找出证明的途径，写出证明的过程.
3.先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.基本思路归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
(二)自学反馈
1.证明：三角形内角和为180°.
解：已知：如图所示的△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，如图.
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.
∵∠C＋∠1＋∠2＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2.用反证法证明下题.
已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A＋∠B＝90°.
证明：假设∠A＋∠B≠90°，所以∠A＋∠B＋∠C≠180°，这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B＝90°.
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：因为∠DAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，
所以∠DAC＝2∠B.
又因为AE平分∠DAC.
所以∠DAC＝2∠DAE.
所以∠DAE＝∠B.
所以AE∥BC.
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，
即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，
则∠A＋∠B＋∠C<180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不成立.
因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
活动2 跟踪训练
1.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：∠P＝90°.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°.
∵∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，
∴∠P＝90°.
2.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1＝∠A＋∠B，
证明：假设∠1≠∠A＋∠B，
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠2，
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝180°－∠2，
∴∠1＝∠A＋∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B.
活动3 课堂小结
2.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.能用语言描述等腰三角形的性质，并会运用性质解决一些简单的实际问题.
2.能用等腰三角形的性质推导出等边三角形的性质.(重难点)
自学指导：阅读教材P61～63，完成下列问题.
(一)知识探究
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线.
4.等边三角形三边相等，三个内角相等，且都等于60°.
等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.
(二)自学反馈
1.在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上.
(1)∵AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，BD＝CD；
(2)∵AD是中线，
∴AD⊥BC，∠1＝∠2；
(3)∵AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD.
活动1 小组讨论
例 已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且AD＝AE.
求证：BD＝CE.
证明：作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.
∴BF＝CF，DF＝EF.
∴BF－DF＝CF－EF，
即BD＝CE.
利用等腰三角形三线合一的性质求证.
活动2 跟踪训练
1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为(B)
A.80°
B.50°
C.40°
D.20°
2.如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)
A.60°
B.90°
C.120°
D.180°
3.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C的度数为25°.
活动3 课堂小结
第2课时 等腰三角形的判定
1.能感知等腰三角形和等边三角形判定定理的推导过程，能复述等腰三角形和等边三角形的判定定理，会用几何语言进行描述.(重点)
2.能运用判定定理解决一些实际问题.(难点)
自学指导：阅读教材P63～65，完成下列问题.
(一)知识探究
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
2.等边三角形的判定定理：
(1)三个角都是60°的三角形是等边三角形；
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3.观察思考，并在箭头上填上相应的条件.
(二)自学反馈
1.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是等腰三角形.
要证一个三角形是等腰三角形，只需要证这个三角形中有两个内角相等即可.
2.如图，兴趣小组在一次测量池塘宽度AB的实践活动中测得∠APB＝60°，AP＝BP＝200
m，他们便得出了结论：池塘宽度AB的长为200
m.他们的结论对吗？请说明理由.
解：他们的结论对.因为AP＝BP，
所以△ABP是等腰三角形.
又∠APB＝60°，
所以△ABP是等边三角形.
所以AB＝AP＝200
m.
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.
证明：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
又因为DE∥BC，
所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
所以∠ADE＝∠AED.
所以△ADE为等腰三角形.
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.
求证：△ADE为等边三角形.
证明：因为△ABC是等边三角形，
所以∠BAC＝∠B＝∠C＝60°.
所以∠EAD＝∠BAC＝60°.
又因为AD＝AE，
所以△ADE为等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形).
活动2 跟踪训练
1.已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则这个三角形一定是(B)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.不等边三角形
2.下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.其中正确的是①④(只填序号).
3.如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3，试判断△DEF的形状，并说明理由.
解：△DEF是等边三角形.
理由：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵∠FDB＝∠FDE＋∠1＝∠A＋∠2，∠1＝∠2，
∴∠FDE＝∠A＝60°.
同理：∠DEF＝60°，∠DFE＝60°.
∴∠FDE＝∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形.
活动3 课堂小结
2.4 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
1.通过作图，探究、总结、归纳垂直平分线的性质.识记并能用几何语言描述线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理.(重点)
2.会运用垂直平分线的性质定理及其逆定理解决实际问题.(难点)
自学指导：阅读教材P68～69，完成下列问题.
(一)知识探究
1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
(二)自学反馈
1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7
cm，那么ED＝7cm，如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝60°.
2.如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是(D)
A.ED＝CD
B.∠DAC＝∠B
C.∠C＞2∠B
D.∠B＋∠ADE＝90°
3.如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3
cm，△ABC的周长为20
cm，则AC的长为7cm.
活动1 小组讨论
例 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，
所以OA＝OB.
同理：OB＝OC.
∴OA＝OC.
所以点O在AC的垂直平分线上.
活动2 跟踪训练
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)
A.6
B.5
C.4
D.3
2.在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC的(D)
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
3.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝15.
4.到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？
第2课时 作线段的垂直平分线
1.知道尺规作图法及其具体要求.
2.会用尺规作线段的垂直平分线以及会写其作法，理解作图的原理.(重难点)
3.会用尺规作直线的垂线以及会写其作法，理解作图的原理.
自学指导：阅读教材P70～71，完成下列问题.
自学反馈
1.尺规作图所用的作图工具是指(B)
A.刻度尺和圆规
B.不带刻度的直尺和圆规
C.刻度尺和量角器
D.量角器和圆规
2.右图中的尺规作图是作(A)
A.线段的垂直平分线
B.一条线段等于已知线段
C.一个角等于已知角
D.角的平分线
活动1 小组讨论
例1 如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.
解：作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D；
②过点C，D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
例2 如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
解：点P与已知直线l的位置关系有两种：点P在直线l上或点P在直线l外.
(1)当点P在直线l上.作法：
①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA＝PB；
②分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
(2)当点P在直线l外.作法：
①以点P为圆心，大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
活动2 跟踪训练
1.下列作图属于尺规作图的是(D)
A.画线段MN＝3
cm
B.用量角器画出∠AOB的平分线
C.用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D.已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
2.△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有(C)
A.AB＝AC
B.AB＝BC
C.AC＝BC
D.∠B＝∠C
3.过点P作直线l的垂线.
解：略.
活动3 课堂小结
2.5 全等三角形
第1课时 全等三角形及其性质
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素.
2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等.(重难点)
自学指导：阅读教材P74～75，完成下列问题.
(一)知识探究
(1)下列图形中的全等图形是d与g、e与h.
(2)如图，△ABC与△DEF能重合，则记作：△ABC≌△DEF，读作：△ABC全等于△DEF，对应顶点是A与D、B与E、C与F；对应边是AB与DE、AC与DF、BC与EF；对应角是∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F.
通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
(二)自学反馈
1.如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，CO＝BO，AO＝DO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD.
2.△OCA≌△OBD，且OC＝3
cm，BD＝4
cm，OD＝6
cm.则△OCA的周长为13__cm.∠C＝110°，∠A＝30°，则∠BOC＝140°.
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，全等三角形的周长相等.
活动1 小组讨论
例 如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝3，DB＝4，∠A＝60°.
(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
(2)求AC，DC的长及∠D的度数.
解：(1)AB与DC、AC与DB、BC与CB是对应边；∠A与∠D、∠ABC与∠DCB、∠ACB与∠DBC是对应角.
(2)∵AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，
∴AC＝DB＝4，DC＝AB＝3.
∵∠A与∠D是全等三角形的对应角，
∴∠D＝∠A＝60°.
活动2 跟踪训练
1.如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.
解：对应边有AB与AC，AE与AD，BE与CD，对应角有∠BAE与∠CAD.
根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方
法有：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.
2.如图，△ABC≌△CDA.求证：AB∥CD.
证明：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC＝∠DCA.
∴AB∥CD.
注意对应关系.
活动3 课堂小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.
第2课时 全等三角形的判定1—SAS
1.体会从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，得出三角形全等的判定定理——边角边定理.
2.能应用边角边定理证明两个三角形全等.(重难点)
3.学会综合应用边角边定理以及几何的相关知识，进行简单的推理论证.
自学指导：阅读教材P76～78，完成下列问题.
(一)知识探究
边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
用数学语言表述：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
(二)自学反馈
1.如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是(D)
A.∠A＝∠D
B.∠E＝∠C
C.∠A＝∠C
D.∠ABD＝∠EBC
2.已知：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB.求证：∠D＝∠B.
证明：在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△COB(SAS).
∴∠D＝∠B(全等三角形的对应角相等).
要证∠D＝∠B，只要证△AOD≌△COB.
3.已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：∠B＝∠C.
证明：∵在△ABD与△ACD中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B＝∠C.
1.利用SAS证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的夹角，在书写证明过程时相等的角应写在中间；
2.证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”，“公共角、公共边”等.
活动1 小组讨论
例 已知：如图，AB和CD相交于点O，且AO＝BO，CO＝DO.求证：△ACO≌△BDO.
证明：在△ACO和△BDO中，
∴△ACO≌△BDO(SAS).
利用“SAS”证明两个三角形全等，只要找到两条边及其夹角相等即可.
活动2 跟踪训练
1.已知：如图，AB∥CD，AB＝CD.求证：AD∥BC.
证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1.
在△CDB与△ABD中，
CD＝AB，∠2＝∠1，BD＝DB，
∴△CDB≌△ABD.
∴∠4＝∠3.
∴AD∥BC.
可从问题出发，要证线段平行只需证角相等即可(∠3＝∠4)，而证角相等可证角所在的三角形全等.
2.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论.
解：结论：AE＝CD，AE⊥CD.
理由如下(提示)：可延长AE交CD于点F，先证△ABE≌△CBD，得AE＝CD，∠BAE＝∠BCD.又∠AEB＝∠CEF，可得∠CFE＝90°，即AE⊥CD.
1.注意挖掘等腰直角三角形中的隐藏条件.
2.线段的关系分数量与位置两种关系.
活动3 课堂小结
1.利用对顶角、公共角、直角用SAS证明三角形全等.
2.用“分析法”寻找命题结论也是一种推理论证的方法，即从结论出发逐步递推到题中条件，常以此作为分析寻求推理论证的途径.
第3课时 全等三角形的判定2—ASA
1.从图形的平移、轴反射、旋转变换出发，探究三角形全等的判定定理—角边角定理.
2.会应用角边角定理证明两个三角形全等.(重点)
3.学会综合应用边角边定理、角边角定理以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题.(难点)
自学指导：阅读教材P79～80，完成下列问题.
(一)知识探究
角边角定理：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为角边角(或ASA).
用教学语方表述：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
(二)自学反馈
1.如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，要根据“ASA”证明△ABC≌△DEF，还要添加一个条件是(A)
A.∠BCA＝∠F
B.AB＝DE
C.BE＝CF
D.∠B＝∠DEF
2.阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OC，∠A＝∠C.那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由.
解：△AOD≌△COB.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA).
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
应用ASA证全等三角形时应注意边是对应角的夹边.
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，点A，F，E，C，在同一条直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵AB∥DC，
∴∠A＝∠C.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF.
根据两直线平行可得出∠A＝∠C，再根据已知条件即可根据ASA判定两三角形全等.
例2 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着河AC的垂直方向走到D点，使点D，E，B恰好在一条直线上.于是小军说：“CD的长就是河的宽度.”你能说出这个道理吗？
解：在△AEB和△CED中，
∴△AEB≌△CED.
∴AB＝CD.
因此，CD的长就是河的宽度.
根据△AEB≌△CED即可得出CD的长就是河宽AB的长.
活动2 跟踪训练
1.如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，由“ASA”判定△AOB≌△DOC，则需要添加的一个条件是AO＝DO.
2.如图，在四边形ABCD中，∠BDC＝∠BDA，∠ABD＝∠CBD，若AD＝3
cm，则CD＝3__cm.
3.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB，若BD＝2，CF＝5，则AB的长为7.
4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.
证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ABC＝∠ABD.
在△ABC和△ABD中，∠1＝∠2，AB＝AB，∠ABC＝∠ABD，
∴△ABC≌△ABD.∴AC＝AD.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？
第4课时 全等三角形的判定3—AAS
1.会从全等三角形的角边角判定定理推导出角角边定理；并能区别角边角定理与角角边定理.
2.会应用角角边定理证明两个三角形全等.(重点)
3.会综合应用边角边、角边角、角角边定理以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题.(难点)
自学指导：阅读教材P81～82，完成下列问题.
(一)知识探究
角角边定理：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等那么这两个三角形全等，简记为角角边(或AAS).
用教学语言表述：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).
(二)自学反馈
1.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是(B)
A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
2.AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是(C)
A.DE＝DF
B.AE＝AF
C.BD＝CD
D.∠ADE＝∠ADF
应用AAS证三角形全等时应注意边是对应角的对边.
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△ADC.
证明：因为∠1＝∠2，
所以∠ACB＝∠ACD.
在△ABC和△ADC中，
所以△ABC≌△ADC(AAS).
例2 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC∥FD，∠A＝∠D，BF＝EC.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AC∥FD，
∴∠ACB＝∠DFE.
∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋FC，
即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
活动2 跟踪训练
1.已知AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则判定△ABC≌△A′B′C′的根据是(C)
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.不确定
2.如图所示，∠CAB＝∠DBA，∠C＝∠D，AC、BD相交于点E，下列结论不正确的是(B)
A.∠DAE＝∠CBE
B.△DEA与△CEB不全等
C.CE＝DE
D.EA＝EB
3.如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要根据“AAS”判定△ABF≌△DCE，需要增加的一个条件是BE＝CF或BF＝CE或AF＝DE.
4.如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2.求证：AB＝AD.
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC.
∵∠1＋∠ABC＝180°，∠2＋∠ADC＝180°，∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ADC.又AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC.
∴AB＝AD.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？
第5课时 全等三角形的判定4—SSS
1.理解边边边定理的推导过程，并联系生活说出三角形的稳定性在生产和生活中的应用.
2.会应用边边边定理证明两个三角形全等.(重点)
3.学会综合应用边角边、角边角、角角边和边边边定理以及相关的几何知识，解决较复杂的几何问题.(难点)
自学指导：阅读教材P82～84，完成下列问题.
(一)知识探究
边边边定理：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SAS”)
用数学语言表述：
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
(二)自学反馈
1.在△ABC、△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC≌△DEF.
2.若两个三角形全等，则它们的三边对应相等；反之，如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等.
3.下列命题正确的是(A)
A.有一边对应相等的两个等边三角形全等
B.有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C.有一边对应相等的两个等腰三角形全等
D.有一边对应相等的两个直角三角形全等
4.如图，通常凳子腿活动后，木工师傅会在凳腿上斜钉一根木条，这是利用了三角形的稳定性.
活动1 小组讨论
例1 已知：如图，AB＝CD，BC＝DA.求证：∠B＝∠D.
证明：在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且AD＝AE，BE＝CD.求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵BE＝CD，
∴BE－DE＝CD－DE，
即BD＝CE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SSS).
活动2 跟踪训练
1.如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定(B)
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
2.如图，工人师傅制作了一个窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，钉这两块木条的原理是三角形的稳定性.
3.如图，在△ADF和△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，当添加条件DF＝DB时，就可根据“SSS”判定△ADF≌△CBE.
4.如图，已知AB＝DC，AC＝DB.求证：∠A＝∠D.
证明：在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴∠A＝∠D.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？
第6课时 全等三角形判定方法的综合运用
1.回顾证明两个三角形全等的四种判定方法，理解判定三角形全等的条件.
2.学会根据题目条件灵活运用SAS，ASA，AAS，SSS解决问题.(重点)
3.综合应用全等三角形的性质及判定，解决较为复杂的问题.(难点)
自学指导：阅读教材P85～86，完成下列问题.
(一)知识探究
1.在教材中，请你根据P85“议一议”提供的条件，在下面空白处画图，你能画出几种情形，由此你能得出什么结论？
解：略.
2.判定三角形全等的方法有哪几种？满足怎样的三个条件不能判定三角形全等？
解：略.
(二)自学反馈
1.如图，AD＝BE，下列不能判定△ABC≌△DEF的条件是(C)
A.AC＝DF，BC＝EF
B.BC∥EF，BC＝EF
C.AC＝DF，∠C＝∠F
D.BC∥EF，∠C＝∠F
2.如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝CE，则∠BCD＋∠CBE＝60°.
3.如图，△ABC中，AB＝AC，D，E两点在BC上，且AD＝AE，若∠BAD＝30°，∠DAE＝50°，则∠BAC＝110°.
4.如图，点E在AB上，AC＝AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形.所添的条件为∠CAE＝∠DAE，你得到的一对全等三角形是△CAE≌△DAE.
活动1 小组讨论
例1 已知，如图，AC与BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB.求证：∠A＝∠D.
证明：连接BC.
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB.
∴∠A＝∠D.
例2 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.为估测这条隧道的长度，需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？
解：选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO，BO的长度.连接AO并延长至A′，使OA′＝OA；延长BO并延长至B′，使OB′＝OB，连接A′B′，这样就构造出两个三角形.
在△AOB和△A′OB′中，
∴△AOB≌△A′OB′.
∴AB＝A′B′.
因此只要测出A′B′的长度就能得到这座山A，B间的距离.
活动2 跟踪训练
1.下列条件能判定两个三角形全等的是(D)
A.有两条边对应相等的两个三角形
B.有两边及一角对应相等的两个三角形
C.有三角对应相等的两个三角形
D.有两边及其夹角对应相等的两个三角形
2.如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是(D)
A.AB＝DC，AC＝DB
B.AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C.BO＝CO，∠A＝∠D
D.AB＝DC，∠A＝∠D
3.把两根钢条A′B、B′A的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，如图，若测得AB＝5
cm，则槽宽为5__cm.
4.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：∠ABC＝∠CDA.
证明：连接AC.在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝AD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠ABC＝∠CDA.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？
2.6 用尺规作三角形
第1课时 已知三边作三角形
会利用基本作图“作线段等于已知线段”，在已知三边的条件下作三角形和已知底边及底边上的高作等腰三角形的方法步骤.(重难点)
自学指导：阅读教材P89～90，完成下列问题.
(一)知识探究
1.己知一个三角形三条边分别为a，b，c，求作这个三角形.
解：作法：先作线段BA＝c，分别以B，A为圆心，a，b为半径画弧交于C，连接AC，BC，则△ABC即为所求.
2.已知底边和底边上的高分别为a和h，作等腰三角形.
解：已知线段a，h，用直尺和圆规做等腰三角形ABC，底边BC＝a，BC边上的高为h，图略.
(二)自学反馈
1.已知三边作三角形的理论依据是(C)
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS
2.求作一个角等于已知角.(写出已知、求证、作法)
解：已知∠AOB，求作∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：
(1)作射线O′A′.
(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D.
(3)以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′.
(4)以点C′为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D′.
(5)经过点D′作射线O′B′.则∠A′O′B′为所求作的角.
活动1 小组讨论
例 如图，已知线段a和b，a>b，求作直线三角形ABC，使直角三角形的斜边AB＝a，直角边AC＝b.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)
解：如图，△ABC为所求作的直角三角形.
活动2 跟踪训练
1.在下列作图题中，可直接用“SSS”条件作出三角形的是(A)
A.已知腰和底边，作等腰三角形
B.已知两条直角边，作直角三角形
C.已知高，作等边三角形
D.已知腰长，作等腰直角三角形
2.如图，已知∠AOB，按下列语句画图：
(1)用直尺和圆规作出∠AOB的平分线OP；
(2)在射线OP上任取一点C，过点C画OA，OB的垂线，垂足分别为点D、点E；
(3)试找出线段CD、线段CE的长度关系，并说明理由.
解：(1)如图所示：OP即为所求.
(2)如图所示：CD，CE，即为所求.
(3)DC＝EC，理由：
∵OP平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴DC＝EC(角平分线上的点到角的两边距离相等).
活动3 课堂小结
本课时主要学习了已知三边作三角形以及如何做一个角的角平分线.
第2课时 已知边、角作三角形
1.掌握已知边、角作三角形的作图方法.(重点)
2.利用基本作图，掌握“已知两边和其夹角作三角形”和“已知两角及其夹边作三角形”的方法与技能.(难点)
自学指导：阅读教材P91～92，完成下列问题.
(一)知识探究
探究：已知：∠AOB.
求作：一个角，使它等于∠AOB.
步骤如下：(1)作射线O′A′；
(2)以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
(3)以O′为圆心，以OC(或OD)的长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(4)以点C′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前弧于点D′；
(5)过D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角.
(二)自学反馈
1.利用尺规不能唯一作出的三角形是(D)
A.已知三边
B.已知两边及夹角
C.已知两角及夹边
D.已知两边及其中一边的对角
2.如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，所画痕迹是(D)
A.以点B为圆心，OD为半径的弧
B.以点C为圆心，CD为半径的弧
C.以点E为圆心，OD为半径的弧
D.以点E为圆心，DC为半径的弧
活动1 小组讨论
例 已知∠α和线段a，b，如何求作△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AC＝b呢？(画出草图，写作法)
(1)作∠MCN＝∠α；
(2)在射线CM，CN上分别截取BC＝a，CA＝b；
(3)连接AB，则△ABC为所求作的三角形.图略
仿例：已知两条线段a，b.求作△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a.
解：图略.
活动2 跟踪训练
已知∠α和线段a.求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝a.
解：图略.
活动3 课堂小结
本课时主要学习了已知边、角作三角形等基本尺规作图的方法.