2.2.2
二次函数的性质与图象
自我小测
1．函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )
A.(－∞，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－2，＋∞)
2．函数f(x)＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是( )
A.4
B．－4
C．与m的取值有关
D．不存在
3．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )
A.
B.
C．{9}
D．(－∞，9)
4．已知一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
5．已知定义在R上的二次函数f(x)，对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，且函数在区间(2，＋∞)上是增函数，则( )
A.f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(－25)＜f(80)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A.(0,4]
B.
C.
D.
7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__________．
8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上是减函数，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是__________．
9．若二次函数f(x)满足下列性质：
(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；
(2)图象关于x＝2对称；
(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．
请写出函数f(x)的一个解析式__________(只要写出一个即可)．
10．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.
(1)当k＝1时，写出函数图象的对称轴方程、单调区间；
(2)当实数k为何值时，图象经过原点？
(3)当实数k在什么范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
11．定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.
(1)当x＜0时，求f(x)的解析式．
(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．
参考答案
1.
解析：此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞)．
答案：B
2.
解析：∵函数f(x)的图象开口向上，且对称轴x＝＞0，
∴f(x)在(－∞，0]上为减函数，
∴f(x)min＝f(0)＝4.
答案：A
3.
解析：由题意，得Δ＝36－4×2m＜0，则m＞.
答案：B
4.
答案：D
5.
解析：因为对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，所以二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.因为函数在(2，＋∞)上是增函数，所以抛物线开口向上．
又因为11离2最近，80离2最远，所以f(11)最小，f(80)最大．
所以f(11)＜f(－25)＜f(80)．
答案：C
6.
解析：函数y＝x2－3x－4＝2－，作出图象如图所示：
由图象知对称轴为x＝，f(0)＝－4，f＝－，f(3)＝－4，
若函数在[0，m]上有最小值－，
所以m≥.
若函数在[0，m]上有最大值－4，
因为f(0)＝f(3)＝－4，
所以m≤3.
综上可知，≤m≤3.
答案：C
7.
解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，
所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，
所以S△ABC＝×4×4＝8.
答案：8
8.
解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.
由f(x)在[0,1]上是减函数，可知a＞0，
所以f(m)≤f(0)可化为am2－2am＋c≤c，
即m2－2m≤0，得0≤m≤2.
答案：[0,2]
9.
解析：二次函数的最小值为1，图象关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，所以f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．
答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)
10.
解：(1)当k＝1时，函数y＝x2－2x，函数图象的对称轴方程为x＝1，函数的单调减区间为(－∞，1]，单调增区间为[1，＋∞)．
(2)当k2＋k－2＝0，即k＝－2或k＝1时，函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2的图象经过原点．
(3)因为函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2图象的顶点坐标为(k，k－2)，若函数图象的顶点在第四象限内，则解得0＜k＜2.
11.
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3，
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴x＜0时，f(x)＝－4x2－8x－3.
(2)由(1)知f(x)＝
∴y＝f(x)有最大值f(1)＝f(－1)＝1.
函数y＝f(x)的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]；
单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)．3.2.2
对数函数
自我小测
1．给定函数：①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上是减函数的序号有( )
A.①②
B．②③
C．③④
D．①④
2．已知函数f(x)＝1－2x，若a＝f(log30.8)，b＝f，c＝f（2－），则( )
A.a
B．bC．cD．a3．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是( )
4．已知函数f(x)＝(2x2＋x)，则f(x)的单调增区间为( )
A.
B.
C．(0，＋∞)
D.
5．方程a－x＝logax(a>0，且a≠1)的实数解的个数为( )
A.0
B．1
C．2
D．3
6．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为( )
A.2
B.
C.
D．1
7．若a>0，且a≠1，则函数f(x)＝loga(5x－10)＋2恒过定点P的坐标是__________．
8．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为__________．
9．已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为________．
10．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝(－1≤x≤0)的值域为B.
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B C，求a的取值范围．
11．作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
12．已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)的值域．
参考答案
1．解析：y＝在(0,1)上为增函数；y＝(x＋1)在(0,1)上为减函数；y＝|x－1|在(0,1)上为减函数；y＝2x＋1在(0,1)上为增函数．故选B.
答案：B
2．解析：f(x)＝1－2x在定义域上为减函数，由>＝2－，得b答案：B
3．解析：因为f(x)＝2|log2x|＝故选C.
答案：C
4．解析：结合二次函数y＝2x2＋x的图象(如图)、复合函数的单调性以及对数函数的定义域可知f(x)的单调增区间为.
答案：B
5．解析：本例可用数形结合的方法画出y＝a－x与y＝logax的图象，观察交点个数，要注意对a分a>1与0当a>1时，在同一平面直角坐标系中画出y＝logax的图象和y＝a－x的图象，如图(1)，由图象知两个函数图象只有一个交点；同理，当0图(1)
图(2)
答案：B
6．解析：由题知函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，当f(x)＝0时，x＝1；当f(x)＝1时，x＝3或x＝.
所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[x,3]，也可以为(1≤x≤3)，所以b－a的最小值为.故选B.
答案：B
7．解析：令5x－10＝1，解得x＝，
所以函数f(x)恒过定点.
答案：
8．解析：当0当a>1时，y＝ax和y＝loga(x＋1)在[0,1]上都是增函数．
所以f(x)在[0,1]上的最大值与最小值之和为f(0)＋f(1)．
而f(0)＋f(1)＝(a0＋loga1)＋(a1＋loga2)＝a，
即1＋loga2＝0，故a＝.
答案：
9．解析：由函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值可知a>1，
所以x－1>1，即x>2.
答案：(2，＋∞)
10．解：(1)由题意知，解得x≥2.
∴A＝{x|x≥2}．易知B＝{y|1≤y≤2}，
∴A∩B＝{2}．
(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，若要使B C，则有a－1≥2.∴a≥3.
11．解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①.
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图②.
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③.
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④.
12．解：(1)由题知即
∴－1∴函数f(x)的定义域为{x|－1(2)∵函数定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)∵f(x)＝lg(1－x2)，令t＝1－x2，
∵－1∴y＝lg
t，t∈(0,1]．∴y∈(－∞，0]．
∴函数f(x)的值域为(－∞，0]．1.2.2
集合的运算
自我小测
1．若集合A＝{x|－2A．{x|－1B．{x|－2C．{x|－2D．{x|02．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞4}，则M∪N等于( )
A．{x|x＜－5或x＞－3}
B．{x|－5＜x＜4}
C．{x|－3＜x＜4}
D．{x|x＜－3或x＞5}
3．设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1,0,2}，则实数m等于( )
A．－1
B．1
C．0
D．2
4．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N M
B．M∪N＝M
C．M∩N＝N
D．M∩N＝{2}
5．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的维恩(Venn)图，如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷个
6．设A＝{x
|
2x2－px＋q＝0}，B＝{x
|
6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则A∪B等于( )
A．
B.
C.
D.
7．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m等于________．
8．设S＝{(x，y)|x<0，且y
<0}，T＝{(x，y)|x＞0，且y＞0}，则S∩T＝______，S∪T＝_______.
9．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
10．求满足集合A∪B＝{a，b}的集合A，B.
11．设方程x2－mx＋m2－19＝0的解集为A，x2－5x＋6＝0的解集为B，x2＋2x－8＝0
的解集为C，且A∩B≠ ，A∩C＝ ，试求m的值．
参考答案
1.
解析：在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，
由数轴可知，A∩B＝{x|0答案：D
2.
解析：在数轴上分别表示出集合M，N，如图所示，
由数轴可知，M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
答案：A
3.
解析：由于
A∪B＝{－1,0,2}，则－1∈A或－1∈B.因为A＝{0}，所以－1 A.所以必有－1∈B.又B＝{2，m}，则m＝－1.
答案：A
4.
答案：D
5.
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
答案：B
6.
解析：∵A∩B＝，∴∈A，∈B.
将分别代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0，联立得
解得
所以A＝{x
|
2x2＋7x－4＝0}＝，
B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝.
故A∪B＝.
答案：A
7.
解析：在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，
由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，则m＝6.
答案：6
8.
解析：集合S是平面直角坐标系中第三象限内的所有点构成的集合，集合T是平面直角坐标系中第一象限内的所有点构成的集合，则S∩T＝ ，S∪T＝{(x，y)|x＞0，且y＞0或x<0，且y<0}＝{(x，y)|xy>0}．
答案： {(x，y)|xy>0}
9.
解：解不等式组得－2解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}，
在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，
则A∩B＝{x|－210.
解：对A的元素个数进行分类讨论．
(1)若A＝ ，则B＝{a，b}；
(2)若A＝{a}，则B＝{b}或B＝{a，b}；
若A＝{b}，则B＝{a}或B＝{a，b}；
(3)若A＝{a，b}，则B＝{a}或B＝{b}或B＝{a，b}或B＝ .
11.
解：由已知可得，B＝{2,3}，C＝{2，－4}，再由A∩B≠ 及A∩C＝ 可知，3∈A，
所以3是方程x2－mx＋m2－19＝0的根，
即9－3m＋m2－19＝0，解得m＝5或m＝－2.
但当m＝5时，A＝{2,3}与已知矛盾；
所以m＝－2，此时A＝{－5,3}．
故m＝－2.2.2.3
待定系数法
自我小测
1．已知正比例函数f(x)、反比例函数g(x)均过点(1,5)，则h(x)＝f(x)＋g(x)等于( )
A.h(x)＝
B．h(x)＝
C．h(x)＝5
D．h(x)＝
2．函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为( )
A.2
B.
C．－2或2
D．－2
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2，－1)，与y轴的交点为(0,11)，则( )
A.a＝1，b＝－4，c＝11
B．a＝3，b＝12，c＝11
C．a＝3，b＝－6，c＝11
D．a＝3，b＝－12，c＝11
4．设函数f(x)＝若f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )
A.1
B．2
C．3
D．4
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值为2，函数图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)，则a，b，c的值为( )
A.－2,4,0
B．4，－2,0
C．－4，－2,0
D．－2，－4,0
6．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则f(m＋1)的值为( )
A.负数
B．正数
C．0
D．符号与a有关
7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为__________．
8．若f(x)＝x2－ax＋b，f(b)＝a，f(1)＝－1，则f(－5)的值是__________．
9．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，则这个二次函数的解析式为__________．
10．已知f(x)是一次函数，且满足f(x＋1)＋2f(x－1)＝6x＋7，求f(x)的解析式．
11．求满足下列条件的二次函数解析式：
(1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，－3)，C(－2,5)三点；
(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上；
(3)已知y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上．
12．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入的资金x(万元)的关系有公式：P＝x，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，设投入乙的资金为x(万元)，获得的总利润为y(万元)．
(1)用x表示y，并指出函数的定义域；
(2)x为何值时，y有最大值，并求出这个最大值．
参考答案
1.
解析：设f(x)＝k1x(k1≠0)，g(x)＝
(k2≠0)，把(1,5)代入易求k1＝5，k2＝5，故选C.
答案：C
2.
解析：由题意，得|(2k＋b)－(k＋b)|＝2，得k＝±2.
答案：C
3.
解析：由已知可设二次函数f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，
又点(0,11)在二次函数f(x)＝a(x－2)2－1的图象上，故11＝4a－1，解得a＝3，
所以f(x)＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11.
答案：D
4.
解析：由f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，
可得解得
所以f(x)＝
令f(x)＝x，得x＝2或x＝－2.
答案：B
5.
解析：由已知可设此二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋2(a＜0)．
∵图象的顶点在直线y＝x＋1上，
∴2＝h＋1，得h＝1.
又图象经过点(3，－6)，∴－6＝a(3－1)2＋2.
∴a＝－2.∴y＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.
∴a＝－2，b＝4，c＝0.
答案：A
6.
解析：∵f(x)＝x2＋x＋a＝2＋a－，且f(0)＝a＞0，∴f(x)图象的对称轴为x＝－.
∴m∈(－1,0)，∴m＋1＞0.
又∵f(x)在为增函数，
∴f(m＋1)＞f(0)＞0.
答案：B
7.
解析：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3,0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1,0)．所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.
答案：x1＝－1，x2＝3
8.
解析：由f(b)＝a，f(1)＝－1，得
即解得
所以f(x)＝x2－x－1.
所以f(－5)＝29.
答案：29
9.
解析：由题意，知抛物线的对称轴为x＝4，抛物线与x轴的两交点的坐标是(1,0)与(7,0)，如图所示．
由条件可得抛物线的顶点坐标为(4，－3)，所以设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－3(a≠0)，因为函数图象过点(1,0)，所以9a－3＝0，解得a＝.
所以y＝
(x－4)2－3＝x2－x＋.
所以所求二次函数的解析式为y＝x2－x＋.
答案：y＝x2－x＋
10.
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(x＋1)＋2f(x－1)
＝k(x＋1)＋b＋2[k(x－1)＋b]
＝kx＋k＋b＋2kx－2k＋2b
＝3kx＋3b－k＝6x＋7，
∴解得∴f(x)＝2x＋3.
11.
解：(1)设所求函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c待定，
根据已知条件得解得
因此所求函数解析式为y＝x2－2x－3.
(2)设所求函数解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，其中a待定，根据已知条件得a(2－4)2＋2＝0，解得a＝－.
因此所求函数解析式为y＝－
(x－4)2＋2＝－x2＋4x－6.
(3)y＝x2－4x＋h＝(x－2)2＋h－4，
因为顶点为A(2，h－4)，由已知得－4×2－1＝h－4，h＝－5，因此所求函数解析式为y＝x2－4x－5.
12.
解：(1)y＝
(3－x)＋
(0≤x≤3)．
(2)令t＝，则x＝t2(0≤t≤)，
所以y＝×(3－t2)＋t
＝－t2＋t＋＝－2＋.
根据二次函数的性质，当t＝时，y取得最大值.
故当x＝时，y有最大值，最大值为.1.1.2
集合的表示方法
自我小测
1．下列语句正确的是( )
①0与{0}表示同一集合；
②第一、三象限的点集可表示为{(x，y)|xy>0}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4A.①④
B．②③
C．②
D．都不对
2．方程组的解集是( )
A．(5,4)
B．(5，－4)
C．{(－5,4)}
D．{(5，－4)}
3．集合{x|x为一条边长为2，一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为( )
A．{0,3}
B．{1,3}
C．{－1,3}
D．{1，－3}
5．定义集合运算：A
B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A
B的所有元素之和为( )
A．0
B．2
C．3
D．6
6．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1 A，则实数a的取值范围是________．
7．用描述法表示集合为______．
8．规定?与 是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b有：a b＝ab，a?b＝b(a2＋b2＋1)．若－29．用适当的方法表示下列对象构成的集合：
(1)绝对值不大于2的所有整数；
(2)方程组的解；
(3)函数y＝图象上的所有点．
10．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，求集合B.
11．(信息题)定义集合A，B的一种运算：A
B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A
B中的所有元素之和为多少？
参考答案
1.
解析：只有②正确，①中0与{0}不表示同一集合，③中方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,2}，④中集合的元素不能一一列举出来，不能用列举法表示．
答案：C
2.
解析：由x2－y2＝9，得(x＋y)(x－y)＝9，将x＋y＝1代入，得x－y＝9.
由解得
故方程组的解集为{(5，－4)}．
答案：D
3.
解析：若2为底边长时，30°角可以是顶角或底角两种情形；若2为腰长时，30°角也可以是顶角或底角两种情形．故集合中有4个元素．
答案：D
4.
解析：当x>0，y>0时，m＝3；当x<0，y<0时，m＝－1；当x>0，y<0时，m＝－1；当x<0，y>0时，m＝－1.
故M＝{－1,3}．
答案：C
5.
解析：因为z＝xy，x∈A，y∈B，所以z的取值有1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A
B＝{0,2,4}，所以集合A
B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
答案：D
6.
解析：由题意知A＝，
∵1 A，∴1≤－，即a≤－2.
答案：a≤－2
7.
答案：
8.
解析：由－2x＝2(a b)＋＝2ab＋a2＋b2＋1＝(a＋b)2＋1，(
)
将a＝－1，b＝0代入(
)式，得x＝2；
将a＝0，b＝1代入(
)式，得x＝2；
将a＝－1，b＝1代入(
)式，得x＝1，
故A＝{1,2}．
答案：{1,2}
9.
解：(1)由于|x|≤2，且x∈Z，所以x的值为－2，－1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合，用列举法可表示为{－2，－1，0,1,2}，用描述法可表示为{x||x|≤2，x∈Z}．
(2)解方程组得
所以用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
(3)函数y＝图象上的点可以用坐标(x，y)表示，其满足的条件是y＝，所以用描述法可表示为.
10.
解：由A＝{2}，得方程x2＋px＋q＝x有两个相等的实根，且x＝2.
从而有
解得
从而B＝{x|(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1}．
解方程(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1，得x＝3±.
故B＝{3－，3＋}．
11.
解：∵x1∈A，x2∈B，A
B＝{x|x＝x1＋x2}，则x1＋x2的和如下表所示：
x1＋x2
x1
x2 1,2,3
1,2,3,4
2,3,4,5
∴A
B＝{2,3,4,5}，故所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.1.2.1
集合之间的关系
自我小测
1．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集的个数是( )
A．9
B．8
C．7
D．6
2．已知P＝{0,1}，M＝{x|x P}，则P与M的关系为( )
A．P?M
B．P M
C．M?P
D．P∈M
3．设集合A＝{x∈Z|x<－1}，则( )
A． ＝A
B.
∈A
C．0∈A
D．{－2}?A
4．已知集合A＝，集合B＝{m2，m＋n,0}，若A＝B，则( )
A．m＝1，n＝0
B．m＝－1，n＝1
C．m＝－1，n＝0
D．m＝1，n＝－1
5．设集合M＝，集合N＝，则( )
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M不是N的子集，N也不是M的子集
6．若非空数集A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A B成立的所有a的集合是( )
A．{a|1≤a≤9}
B．{a|6≤a≤9}
C．{a|a≤9}
D．
7．已知A＝{y|y＝x2－2x－6，x∈R}，B＝{x|4x－7>5}，那么集合A与B的关系为________．
8．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|(m－1)x－1＝0}，且B A，则实数m构成的集合M等于__________．
9．已知集合A＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝a2－4a＋5，a∈R}，试判断这两个集合之间的关系．
10．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出相应的a值；若不存在，试说明理由；
(2)若A B成立，求出相应的实数对(a，b)．
参考答案
1.
解析：∵x∈N，n∈N，∴集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．∴其子集的个数是23＝8.
答案：B
2.
解析：M＝{x|x P}＝{ ，{0}，{1}，{0,1}}，故P∈M.
答案：D
3.
解析：A中 与集合A的关系应为 A或 ?A，B中 A，C中0 A，D正确．
答案：D
4.
解析：由A＝B，得m2＝1，且＝0，且m＝m＋n，
解得m＝±1，n＝0.
又m≠1，∴m＝－1，n＝0.
答案：C
5.
解析：集合M中的元素x＝
(k∈Z)，集合N中的元素x＝
(k∈Z)，当k∈Z时，2k＋1代表奇数，k＋2代表所有整数，故有M?N.
答案：B
6.
解析：∵A为非空数集，∴2a＋1≤3a－5，即a≥6.
又∵A B，∴即∴1≤a≤9.
综上可知，6≤a≤9.
答案：B
7.
解析：对于二次函数y＝x2－2x－6，x∈R，y最小＝＝－7，所以A＝{y|y≥－7}．
又B＝{x|x>3}，由图知B?A.
答案：B?A
8.
解析：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
∵B A，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时， A，满足题意，
则m－1＝0，即m＝1.
当B≠ 时，B＝{2}或B＝{3}．
若B＝{2}，有＝2，得m＝；
若B＝{3}，有＝3，得m＝.
所以M＝.
答案：
9.
解：因为x＝1＋a2，a∈R，所以x≥1.
因为y＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1，a∈R，所以y≥1，
故A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.
10.
解：(1)不存在．理由如下：
若对任意的实数b都有A B，
则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能．
因为A＝{a－4，a＋4}，
所以或这都不可能，所以这样的实数a不存在．
(2)由(1)易知，当且仅当或或或时A B.
解得或或或
所以所求的实数对为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．2.2.1
一次函数的性质与图象
自我小测
1．若函数y＝ax2＋xb－1＋2表示一次函数，则a，b的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
2．一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过( )
A.第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限
D．第二、三、四象限
3．若函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率和在y轴上的截距分别为( )
A.，
B．1，－7
C．1，
D．－，
4．直线mx＋(m－2)y＝3(m≠2，m≠0)所对应的一次函数为增函数时，m应满足的条件是( )
A.m＞0
B．m＜2
C．0＜m＜2
D．无法确定
5．汽车开始行驶时，油箱中有油4
L，如果每小时耗油0.5
L，那么油箱中剩余油量y(L)与它工作的时间t(h)之间的函数关系的图象是( )
6．两条直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一直角坐标系中的图象可能是( )
7．已知关于x的一次函数y＝(m－1)x－2m＋3，则当m∈__________时，函数的图象不经过第二象限．
8．若一次函数f(x)＝(1－m)x＋2m＋3在[－2,2]上总取正值，则m满足的条件是__________．
9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．
10．求直线y＝x＋3和直线y＝－x＋5以及x轴围成的三角形的面积．
参考答案
1.
解析：若函数为一次函数，则有即
答案：C
2.
解析：由题意知k＞0，所以－k＜0，故y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限．
答案：B
3.
解析：∵x－2y＋7＝0，∴y＝x＋.
∴斜率k＝，在y轴上的截距b＝，故选A.
答案：A
4.
解析：把mx＋(m－2)y＝3整理，得y＝x＋.要使得一次函数为增函数，则＞0，解得0＜m＜2.
答案：C
5.
答案：D
6.
答案：A
解析：函数的图象不过第二象限，如图．
所以得
故m≥.
答案：
7.
解析：∵函数f(x)为一次函数，
∴m≠1，要使f(x)在[－2,2]上总取正值，
则需即
解得m＞－.
又∵m≠1，∴m满足的条件为m＞－，且m≠1.
答案：m＞－，且m≠1
9.
解：设题图中的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中y≥0.
由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，
∴得
∴函数解析式为y＝30x－570.
令y＝0，得30x－570＝0，解得x＝19.
∴乘客可免费携带行李的最大质量为19
kg.
10.
解：设两条直线的交点为A，y＝x＋3与x轴的交点为B，y＝－x＋5与x轴的交点为C，
解得即A(1,4)，
y＝x＋3与x轴的交点为B(－3,0)，
y＝－x＋5与x轴的交点为C(5,0)，
∴|BC|＝8，S△ABC＝|BC|·4＝×8×4＝16，
即两条直线与x轴围成的三角形的面积为16.2.1.1
函数
自我小测
1．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应法则不是A到B的映射的是( )
2．设f：x→x2是集合A上的函数，如果其值域为{1}，则集合A不可能是( )
A.{1}
B．{－1}
C．{－1,1}
D．
3．下列对应法则f为A到B的函数的是( )
A.A＝R，B＝{x|x＞1}，f：x→y＝|x－3|＋1
B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
4．已知集合M＝{x|0≤x≤9}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能看作从M到P的映射的是( )
A.f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
5．已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为( )
A.－1
B．0
C．1
D．±1
6．已知点C(x，y)在映射f下的象为，则点(2,0)在f作用下的原象是( )
A.(0,2)
B．(2,0)
C．(－，1)
D．(，1)
7．已知映射f：A→B，其中A＝R＝B，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是__________．
8．设M＝{a，b}，N＝{－2,0,2}，则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为__________．
9．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若8和14的原象分别是1和3，求5在f作用下的象．
10．已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)．求映射f：A→B的个数．
11．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{2,5，a3，a4－2}，且a∈N＋，x∈A，y∈B，映射f：A→B使B中元素y＝3x－1与A中元素x对应，求a和k的值及集合A，B.
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
解析：在选项A，B中：集合A中的个别元素在对应法则作用下，在集合B中没有与之相对应的象；C中当x＜0时没有意义．选项D表示无论x取A中的何值，y都等于0.所以选D.
答案：D
4.
解析：首先对于四个对应关系，给一个x值都有唯一的y值与之对应，但需考查y值是否在集合P中，对于A，由0≤x≤9，得x∈[0,3] P，所以A是映射．
同理B，D都是映射，对于C，显然y＝x∈[0,9] P，所以C不是映射，故选C.
答案：C
5.
答案：C
6.
解析：由题意知解得
所以原象为(，1)，故选D.
答案：D
7.
解析：∵y＝－x2＋2x＝－x2＋2x－1＋1＝－(x－1)2＋1，
∴y≤1.
∵k∈R，且在集合A中不存在原象，∴k＞1.
答案：k＞1
8.
解析：由f(a)≥f(b)知，f(a)＞f(b)或f(a)＝f(b)，
当f(a)＞f(b)时，有或或共3种可能；
当f(a)＝f(b)时，有f(a)＝f(b)＝0,2，－2，共3种可能．
综上所述，满足条件f(a)≥f(b)的映射有6个．
答案：6
9.
解：∵8和14的原象分别为1和3，
即解得
∴f：x→y＝3x＋5.
又∵x＝5，∴y＝3×5＋5＝20.
故5在f作用下的象为20.
10.
解：当A中的三个元素都对应0时，f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，有一个映射．
当A中的三个元素对应B中的两个元素时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，它们分别是
f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1；
f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1；
f(a)＝－1，f(b)＝0，f(c)＝－1；
f(a)＝0，f(b)＝－1，f(c)＝－1.
当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射f(a)＝－1，f(b)＝1，f(c)＝0；
f(a)＝1，f(b)＝－1，f(c)＝0.
综上，满足条件的映射有7个．
11.
解：∵从集合A到B的映射为f：x→y＝3x－1，且A＝{1,2,3，k}，B＝{2,5，a3，a4－2}，
∴a3＝8或a4－2＝8.
又∵a∈N＋，∴a3＝8，即a＝2.
∴a4－2＝14，∴3k－1＝14，∴k＝5.
故a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{2,5,8,14}．2.1.1
函数
自我小测
1．函数y＝的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
2．对于函数y＝f(x)，下列命题正确的个数为( )
①y是x的函数；
②对于不同的x值，y值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示．
A.1
B．2
C．3
D．4
3．下列各组函数表示同一函数的是( )
A.y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x2＋1与s＝t2＋1
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
4．若一系列函数的关系式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数关系式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A.10个
B．9个
C．8个
D．4个
5．若函数y＝f(x)的定义域为(3,7]，则函数g(x)＝f(4x－1)的定义域为__________．
6．函数y＝的值域为__________．
7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
1
3
2
x
1
2
3
g(f(x))
则第三个表格空白处的三个数依次为：__________，__________，__________.
8．求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝.
9．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f的值；
(3)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值；
(4)求f(x2)．
10．(1)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)；
(2)已知f(3x＋1)＝3x2－x＋1，求f(x)．
参考答案
1.
答案：C
2.
解析：不同的x值可对应同一个y值，如y＝x2；f(x)不一定是函数关系式，也可以是图象、表格等形式．
答案：B
3.
解析：对于A，函数y＝与y＝x＋3的定义域不同；
对于B，函数y＝－1与y＝x－1的对应法则不同；
对于C，虽然自变量不同，但不改变意义，是同一函数；
对于D，函数y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z的对应法则不同．
综上可知故选C.
答案：C
4.
答案：B
5.
答案：(1,2]
6.
解析：∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴0＜≤.
∴值域为.
答案：
7.
答案：3 2 1
8.
解：(1)y＝＝＝3＋，
∵≠0，∴y≠3.
∴函数的值域为{y|y∈R，且y≠3}．
(2)y＝＝1－，
∵x2＋1≥1，∴0＜≤2.
∴－1≤1－＜1.
∴函数的值域为[－1,1)．
9.
解：(1)使根式有意义的实数x的取值集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的取值集合是{x|x≠－2}．
故这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}．
(2)f(－3)＝＋＝－1；
f＝＋＝＋＝＋.
(3)∵a＞0，a－1＞－1，∴f(a)，f(a－1)有意义．
∴f(a)＝＋，
f(a－1)＝＋＝＋.
(4)∵x2≥0，∴f(x2)有意义．
∴f(x2)＝＋.
10.
解：(1)凑配法：
∵f(＋1)＝x－2＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
∴f(x)＝x2－4x＋3.
又∵＋1≥1，
∴f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)换元法：
∵f(3x＋1)＝3x2－x＋1，
令3x＋1＝t，∴x＝.
∴f(t)＝32－＋1
＝＝t2－t＋.
∴f(x)＝x2－x＋.2.3
函数的应用（Ⅰ）
自我小测
1．某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
下面函数解析式中，能表达这种关系的是( )
A.y＝x2－1
B．y＝2x＋1
C．y＝2x－1
D．y＝1.5x2－2.5x＋2
2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元，记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为( )
A.110元/个
B．105元/个
C．100元/个
D．95元/个
4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A.12
B．15
C．25
D．50
5．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如，f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝__________.
7．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示，试分析图象，要使该游乐场每天的盈利额超过1
000元，那么每天至少应售出__________张门票．
8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后的温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是__________．(只填序号)
9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元．
(1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式；
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？
10．一位运动员在距篮下4
m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5
m时，达到最大高度为3.5
m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05
m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8
m，在这次投篮中，球在头顶上方0.25
m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
11．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．
(2)选择哪家比较合算？为什么？
12．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系(图象如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s元．
①求s关于x的函数表达式；
②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：B
3.
解析：设每个商品涨价x元，利润为y元，
则销售量为(400－20x)个，
根据题意，有y＝(10＋x)(400－20x)
＝－20x2＋200x＋4
000＝－20(x－5)2＋4
500.
所以当x＝5时，y取得最大值，且为4
500，
即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4
500元．
答案：D
4.
解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.
答案：B
5.
解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．
答案：C
6.
解析：日销售额＝日销售量×价格，
故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)
＝2t2＋108t＋400，t∈N.
答案：2t2＋108t＋400，t∈N
7.
解析：由图知，盈利额每天要超过1
000元时，x∈(200,300]这一区间，设y＝kx＋b(k≠0)，将(200,500)，(300,2
000)代入得即y＝15x－2
500.
由15x－2
500＞1
000，得x＞，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1
000元．
答案：234
8.
解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢，因为此段内曲线越来越“缓”，故②正确；5分钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了，故④正确．
答案：②④
9.
解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样．
(3)当x＜4时，乙旅行社更优惠；当x＞4时，甲旅行社更优惠．
10.
分析：解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口．
解：(1)由于抛物线的顶点坐标是(0,3.5)，故可设其解析式为y＝ax2＋3.5.
又由于抛物线过点(1.5,3.05)，
所以a·1.52＋3.5＝3.05，解得a＝－0.2.
故抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5.
(2)当x＝－2.5时，y＝2.25.
故球出手时，他跳离地面的高度是2.25－1.8－0.25＝0.20(m)．
11.
解：(1)由题意可知，f(x)＝5x,15≤x≤40；
g(x)＝
即g(x)＝
(2)①当15≤x≤30时，
令g(x)＝f(x)，即90＝5x，得x＝18，
因此15≤x＜18时，f(x)＜g(x)；
当x＝18时，f(x)＝g(x)；
当18＜x≤30时，f(x)＞g(x)．
②当30＜x≤40时，令f(x)＝g(x)，
即5x＝2x＋30，得x＝10，不合题意，舍去；
令f(x)＜g(x)，即5x＜2x＋30，得x＜10，不合题意，舍去；
令f(x)＞g(x)，即5x＞2x＋30，得x＞10，
所以当30＜x≤40时，f(x)＞g(x)．
综上，当开展活动时间不少于15小时，少于18小时时，选甲家合算；
当开展活动时间为18小时时，选两家均一样；
当开展活动时间多于18小时，不超过40小时时，选乙家合算．
12.
解：(1)由题图，可知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(600,400)，(700,300)，将其代入y＝kx＋b，
得解得
所以y＝－x＋1
000(500≤x≤800)．
(2)①由(1)，知s＝xy－500y＝(－x＋1
000)(x－500)＝－x2＋1
500x－500
000(500≤x≤800)．
②由①可知，s＝－(x－750)2＋62
500，此函数图象开口向下，对称轴为x＝750.
所以当x＝750时，smax＝62
500.
即该公司可获得的最大毛利润为62
500元，此时相应的销售单价为750元/件．2.4
函数与方程
自我小测
1．如图所示的四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数fi(x)(i＝1,2,3,4)中有零点的是( )
A.f1(x)
B．f2(x)
C．f3(x)
D．f4(x)
2．已知函数f(x)＝mx2＋8mx＋21，当f(x)＜0时，－7＜x＜－1，则实数m的值为( )
A.1
B．2
C．3
D．4
3．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间是( )
A.[－2,1]
B.
C.
D.
4．已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)－g(x)＝－x－3，根据所给数表，判断f(x)的一个零点所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
g(x)
0.37
1
2.72
7.39
20.39
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[2,3]
5．函数f(x)是[－1,1]上的增函数，且f-·f＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A.可能有3个实数根
B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
6．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )
A.a＜－1
B．a＞1
C．－1＜a＜1
D．0≤a＜1
7．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋a有二阶零点，则a的值为__________．
8．设函数f(x)＝又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是__________．
9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．
10．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0一根大于1，另一根小于1，求k的取值范围．
11．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
12．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10
km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10
km长，大约有200多根电线杆．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
参考答案
1.
解析：由函数图象可知，f2(x)在(－∞，0)上与x轴有交点，故f2(x)在(－∞，0)上有零点．
答案：B
2.
解析：由题意可知，－1和－7是函数f(x)＝mx2＋8mx＋21的两个零点，因此由根与系数的关系，有＝(－1)×(－7)＝7，
所以m＝3.
答案：C
3.
解析：由于f(－2)＜0，f(4)＞0，
f(1)＜0，f＞0，f＜0，
所以零点在区间内．
答案：D
4.
答案：C
5.
解析：∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
且f·f＜0，
∴f(x)＝0在上有唯一实根，
∴f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实根．
答案：C
6.
解析：令f(x)＝2ax2－x－1.当a＝0时，不符合题意；当a≠0时，若Δ＝0，即a＝－，此时x＝－2，不符合题意；
若Δ＞0，即a＞－，则有f(0)·f(1)＝－1×(2a－2)＜0，所以a＞1.
答案：B
7.
解析：由题意可知f(x)是二次函数，且Δ＝0，即42－4a2＝0，得a＝±2.
答案：±2
8.
解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x－2，令g(x)＝0，得x＝1；当x＜0时，g(x)＝x2－4－1＝x2－5，
令g(x)＝0，得x＝±(正值舍去)，
则x＝－.
所以g(x)的零点为1，－.
答案：1，－
9.
解析：由题表可知f(－2)＝f(3)＝0，且当x∈(－2,3)时，f(x)＜0，所以当x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，ax2＋bx＋c＞0.
答案：{x|x＜－2或x＞3}
10.
解：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵f(x)＝0的一根大于1，另一根小于1，且函数图象开口向上，
∴f(1)＜0，即3k－2＜0.∴k＜.
11.
解：(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，
函数为y＝－14x－5显然有零点，
当m＋6≠0，即m≠－6时，
∵由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－，且m≠－6时，二次函数有零点．
综上，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0符合题意，∴m的值为－3.
12.
解：可以利用二分法的原理进行查找．
如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．
这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50
m～100
m之间，即一、二根电线杆附近．3.1.2
指数函数
自我小测
1．函数y＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点( )
A.(0,1)
B．(1,1)
C．(2,1)
D．(2,2)
2．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
3．f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)的值为( )
A.3
B．4
C．－4
D．－3
4．函数y＝ax－a(a>0，a≠1)的图象可能是( )
5．，，的大小关系是( )
A.
>
>
B.
>>
C.
>
>
D.
>>
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
7．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是__________．
8．方程2|x|＋x＝2的实数根的个数为__________．
9．已知函数f(x)满足：对任意实数x110．已知0.
11．已知函数f(x)＝ax－2(x≥0)的图象经过点，其中a>0，且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
12．设a是实数，f(x)＝a－
(x∈R)．
(1)试证明对于任意a，f(x)为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
参考答案
1．答案：D
2．答案：D
3．解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即30＋b＝0，得b＝－1.
∴f(－1)＝－f(1)＝－(31＋2－1)＝－4.
答案：C
4．解析：方法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.
方法二：当a>1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位长度，且过(1,0)，排除选项A，B；
当0答案：C
5．解析：画出y=和y=的大致图象，如图所示．由图可知>>.故选A.
答案：A
6．解析：由f(x)是R上的增函数，知解此不等式组，得a∈[4,8)．
答案：D
7．解析：∵当x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，
∴a2－1>1.∴a2>2，解得a>或a<－.
答案：a<－或a>
8．解析：由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.
在同一平面直角坐标系中作出y＝2|x|与y＝2－x的图象，如图所示，两个函数图象有且仅有2个交点，故方程有2个实数根．
答案：2
9．解析：由题意知，f(x)为增函数且满足指数幂的运算性质，所以此函数可认为是指数函数f(x)＝ax(a>1)．
答案：f(x)＝2x(答案不唯一)
10．解：∵0∵>，
∴2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，∴x>1.
11．解：(1)函数图象经过点，所以a4－2＝＝，∴a＝.
(2)f(x)＝
(x≥0)，由x≥0，得x－2≥－2，∴0<≤＝9.
∴函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,9]．
12．(1)证明：设x1，x2∈R，且x10.
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝.
由于指数函数y＝2x在R上是增函数，且x10.
又由2x>0，得＋1>0,
＋1>0.所以f(x2)－f(x1)>0.
所以对于任意实数a，f(x)为增函数．
(2)解：若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－，
变形得2a＝＋＝，
解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数．3.2.3
指数函数与对数函数的关系
自我小测
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于( )
A．log2x
B．
C．
D．2x－2
2．函数y＝1＋ax(03．设a，b，c均为正数，且2a＝，＝，＝log2c，则( )
A．aB．cC．cD．b4．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图象如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤的解集
是( )
A．
B．
C．[－2,0)∪
D．[－1,0]∪
5．已知a>0，且a≠1，f(x)＝ax，g(x)＝logax，若f(1)·g(2)<0，那么f(x)与g(x)在同一平面直
角坐标系内的图象可能是( )
6．若函数f(x)＝
(0≤x<1)的反函数为f－1(x)，则( )
A．f－1(x)在定义域上是增函数，且最大值为1
B．f－1(x)在定义域上是减函数，且最小值为0
C．f－1(x)在定义域上是减函数，且最大值为1
D．f－1(x)在定义域上是增函数，且最小值为0
7．已知函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝__________，
b＝__________.
8．函数y＝的反函数是__________．
9．已知函数f(x)与函数g(x)＝x的图象关于直线y＝x对称，则函数f(x2＋2x)的单调增
区间是__________．
10．求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．
11．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．
12．已知f(x)＝2x，设f(x)的反函数为f－1(x)，关于x的方程f－1(ax)·f－1(ax2)＝f－1(16)的解都在
(0,1)内，求实数a的取值范围．
参考答案
1．解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a
＝2，故f(x)＝log2x.
答案：A
2．解析：先画出y＝1＋ax的图象，由反函数的图象与原函数的图象关于直线y＝x对称可
画出反函数的图象．
答案：A
3．解析：方法一：由函数y＝2x，y＝，y＝log2x，y＝的图象(如图)知，0故选A.
方法二：∵a>0，∴2a>1.∴>1.
∴00，∴0<<1.
∴0<<1.∴又∵c>0，∴0<<1.
∴0∴0答案：A
4．解析：由题意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域．
当－1≤x<0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，
当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈.
故不等式－1≤f－1(x)≤的解集为[－2,0)∪.
答案：C
5．解析：由f(1)·g(2)<0，f(1)＝a1>0，得g(2)<0，即loga2<0，
∴0故选C.
答案：C
6．解析：设x1，x2是区间[0,1)内的任意两个不相等的实数，且x1则f(x2)－f(x1)＝－＝＝.
由0≤x10,1－>0.
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)所以函数f(x)在[0,1)上是增函数．
所以f－1(x)在其定义域上也是增函数，且值域为[0,1)，也就是说有最小值0.
答案：D
7．解析：由函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，得a＋b＝4；
由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
答案：3 1
8．解析：当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln
x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝
答案：y＝
9．解析：由题意得f(x)＝，f(x2＋2x)＝x2＋2x，
∵f(x)在R上是减函数，
∴由同增异减的原则知，所求函数的单调增区间即为t＝x2＋2x的单调减区间，即(－∞，
－1]．
答案：(－∞，－1]
10．解：因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.
所以1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)．
所以f－1(x)＝log2(x－1)(111．解：(1)要使函数有意义，必须ax－1>0，
当a>1时，x>0；
当0∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，设0故0∴loga(ax1－1)∴f(x1)故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
类似地，当0(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，
∴x＝loga(ay＋1)．
∴f－1(x)＝loga(ax＋1)．
由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，
∴a2x－1＝ax＋1，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，
∴x＝loga2.
12．解：因为f(x)＝2x，
所以f－1(x)＝log2x(x>0)．
原方程可化为log2(ax)·log2(ax2)＝log216，
即(log2a＋log2x)(log2a＋2log2x)＝4，
故2(log2x)2＋3log2a·log2x＋(log2a)2－4＝0.
令log2x＝t，
则原方程为2t2＋3tlog2a＋(log2a)2－4＝0，当x∈(0,1)时，t<0.
所以该方程有两个负根．所以有
解得log2a>2，所以a>4.
即实数a的取值范围是(4，＋∞)．3.1.1
有理指数幂及其运算
自我小测
1．计算的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
2．等于( )
A.a16
B．a8
C．a4
D．a2
3．已知a＋＝3，则＋等于( )
A.2
B.
C．－
D．±
4．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么y等于( )
A.
B.
C.
D.
5．有下列结论：
①当a<0时，＝a3；②＝|a|；③函数y＝－(3x－7)0的定义域为(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则
2a＋b＝1.其中正确的个数为( )
A.0
B．1
C．2
D．3
6．计算的值等于( )
A.1＋
B．1－
C．2＋
D．2－
7．当88．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝__________，(2α)β＝__________.
9．若2
014x2·2
014x＝2
0142y，则y的最小值为________．
10．求下列各式的值：
(1)(
－)÷；
(2)
(a>0)．
11．写出使下列等式成立的x的取值范围：
(1)
＝.
(2)
＝(5－x)
.
12．已知＋＝3.求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)
.
参考答案
1．答案：C
2．解析：原式＝＝a2a2＝a2＋2＝a4.
答案：C
3．解析：∵a和的符号相同，a＋＝3>0，∴a>0.∴＋>0.
又∵＝a＋＋2＝3＋2＝5，∴＋＝.
答案：B
4．解析：∵由x＝1＋2b，得2b＝x－1，∴2－b＝.
∴y＝1＋2－b＝1＋＝.
答案：D
5．解析：只有④正确，由100a＝102a＝5,10b＝2，得102a＋b＝5×2＝10，故2a＋b＝1.
而①中，应为－a3；②中，＝
③中，函数的定义域由得x∈∪.
答案：B
6．解析：∵
＝＝
＝＝1－，∴原式＝×2＝2－.
答案：D
7．答案：2
8．解析：∵α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，
∴α＋β＝－2，αβ＝.
∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2α
β＝.
答案：
9．解析：由题意，知x2＋x＝2y，即y＝
(x2＋x)，
故y＝＝－≥－.
答案：－
10．解：(1)原式＝(－)÷＝＝－＝－.
(2)原式＝＝＝.
11．解：(1)只需有意义，即x≠3，
∴x的取值范围是(－∞，3)∪(3，＋∞)．
(2)∵＝
＝|x－5|，
∴|x－5|＝(5－x)
成立的条件是x＋5＝0或
即x＝－5或即
∴x的取值范围是[－5,5]．
12．解：(1)给＋＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)给a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
(3)由于＝－，所以原式＝
＝a＋a－1＋1＝8.3.4
函数的应用（Ⅱ）
自我小测
1．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到( )
A.300只
B．400只
C．500只
D．600只
2．今有一组数据如下表所示：
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是( )
A.s＝2t－3＋1
B．s＝log2t
C．s＝t2－
D．s＝2t－2
3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买同样的商品，则应付款( )
A.413.7元
B．513.7元
C．546.6元
D．548.7元
4．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了a
km，休息了一段时间，又沿原路返回b
km(bkm，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是( )
5．一名体育爱好者为了观看2014年世界杯，从2007年开始，每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄．假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年5月10日将所有的存款和利息全部取出，则可取回的总钱数为( )
A.a(1＋p)7
B．a(1＋p)7＋a(1＋p)6＋…＋a(1＋p)
C．a(1＋p)8
D．a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)
6．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为( )
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000·ln.当燃料质量是火箭质量的__________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
8．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是__________．
9．某地政府提出全面建设小康社会的目标．国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式是：
n＝×100%.
各种家庭的恩格尔系数如下表所示：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
n
n>60%
50%40%＜n≤50%
30%n≤30%
根据某地区家庭抽样调查统计：预测2013年至2020年间每户家庭支出总额每年平均增加1
000元，其中食品消费支出总额平均增加300元．
(1)若2013年该地区家庭刚达到温饱(n＝60%)，且该年每户家庭消费支出总额为10
000元，问2018年能否达到小康？请说明理由；
(2)若2018年比2013年的消费支出总额增加了40%，而其中食品消费支出总额增加了20%，问该地区2020年能否达到小康？请说明理由．
10．已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足：P(x)＝2(1－kt)(x－b)2
，当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求k，b的值；
(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝2，当P＝Q时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．
参考答案
1．解析：当x＝1时，y＝100，得a＝100，
故当x＝7时，y＝100log28＝300.
答案：A
2．解析：画出数据点如图所示．
由上图可知该函数是增函数，但增长速度较慢，则排除选项A；此函数的图象不是直线，排除选项D；此函数的图象不符合对数函数的图象，排除选项B.
答案：C
3．答案：C
4．答案：C
5．解析：2013年存到银行的钱到期时的本利和为a(1＋p).2012年的钱到期时的本利和是a(1＋p)2.依次类推，2007年第一次存款到期时的本利和应为a(1＋p)7，相加得选项B正确．
答案：B
6．答案：C
7．解析：当v＝12
000时，2
000·ln＝12
000，
∴ln＝6.∴＝e6－1.
答案：e6－1
8．解析：本题考查指数函数的应用．
第一次加满水时，瓶中酒精的浓度为·a%，
第二次加满水时，瓶中酒精的浓度为
a%＝·a%，
依次可得第k(k∈N＋)次加满水时，瓶中酒精的浓度为·a%(k∈N＋)．
答案：·a%
9．解：(1)∵2013年该地区每户家庭食品消费支出为10
000×60%＝6
000(元)，
∴n2
018＝×100%＝50%.
∴2018年该地区能达到小康．
(2)设2013年的消费支出总额为a元，其中食品消费支出总额为b元，则
a(1＋40%)＝a＋5×1
000，b(1＋20%)＝b＋5×300，
解得a＝12
500，b＝7
500，
∴n2
020＝×100%＝×100%≈49.23%.∴2020年该地区能达到小
康．
10．解：(1)由图可知t＝时，图象过点(5,1)，(7,2)，
所以有解得
(2)当P＝Q时，得2(1－6t)(x－5)2＝2，
解得t＝＝＝.
令m＝，
∵x≥9，∴m∈，
在t＝
(17m2－m－2)中，
对称轴为直线m＝，且∈，且图象开口向下，
∴m＝时，t取得最小值，此时x＝9.2.1.3
函数的单调性
自我小测
1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A.f(x)＝(x－1)2
B．f(x)＝
C．f(x)＝2x2
D．f(x)＝
2．有下列说法：
①若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数．
其中正确的有( )
A.0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)＞f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C.
D.
4．定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A.f(3)＜f(－4)＜f(－π)
B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
D．f(3)＜f(－π)＜f(－4)
5．设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是__________．
6．函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
7．已知f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．
8．证明函数y＝x＋在区间(0,3]上是减函数．
9．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，求a的取值范围．
分析：由于函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(a2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a∈(－1,1)，a2－1∈(－1,1)，且1－a＞a2－1，解此关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．
10．(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(3)定义在[-4,8]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，y=f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y=f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：函数在图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(4)由以上你发现了什么结论？(不需证明)
参考答案
1.
答案：B
2.
解析：①中没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；②y＝x2在x≥0时是增函数，在x＜0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；③y＝－在整个定义域内不具有单调性，故不正确．
答案：A
3.
解析：由已知得2x＜1，解得x＜.
答案：D
4.
解析：由于f(x)在R上的图象关于y轴对称，
因此f(－4)＝f(4)，f(－π)＝f(π)．
∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴由3＜π＜4，得f(3)＜f(π)＜f(4)，
即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．
答案：D
5.
解析：由题意，知f(x)是R上的增函数，
又∵－3＞－π，∴f(－3)＞f(－π)．
答案：f(－3)＞f(－π)
6.
解析：当a＝0时，f(x)＝x，显然f(x)在[1，＋∞)上是增函数；
当a≠0时，所以0＜a≤1.
综上所述，0≤a≤1.
答案：0≤a≤1
7.
解析：设x1，x2是(－2，＋∞)上的任意两个不相等的实数，且－2＜x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，(x1＋2)(x2＋2)＞0.
∴＞0.
又∵f(x)在(－2，＋∞)上为增函数，
∴f(x2)－f(x1)＞0，∴2a－1＞0，即a＞.
即实数a的取值范围是.
答案：
8.
证明：任取0＜x1＜x2≤3，则有Δx＝x2－x1＞0，
Δy＝y2－y1＝－
＝(x2－x1)－＝(x2－x1).
∵0＜x1＜x2≤3，
∴x2－x1＞0，＞1，即1－＜0.
∴Δy＝y2－y1＜0，
∴函数y＝x＋在(0,3]上是减函数．
9.
解：由题意可得
由①，得0＜a＜2，由②，得0＜a2＜2，∴0＜|a|＜.
∴－＜a＜，且a≠0.
由③，得a2＋a－2＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，
∴或∴－2＜a＜1.
综上可知0＜a＜1，∴a的取值范围是{a|0＜a＜1}．
10.
解：(1)函数y＝x2－2x的单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)；对称轴是直线x＝1；在对称轴两侧的单调性相反．
(2)函数y＝|x|的单调减区间是(－∞，0]，单调增区间是[0，＋∞)；对称轴是y轴，即直线x＝0；在对称轴两侧的单调性相反．
(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如下图所示．
函数y＝f(x)的单调增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称，单调性相反；区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，单调性相反．
(4)可以发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧的对称区间内的单调性相反．3.3
幂函数
自我小测
1．有下列函数：
①y＝；②y＝；③y＝x4＋x－2.其中幂函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．函数y＝
(n∈N，n>9)的图象可能是( )
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )
A．cB．cC．aD．b4．幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限内的图象如图所示，则a，b，c，d的大
小关系是( )
A．bB．bC．aD．a5．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
6．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为( )
A．m＝2
B．m＝－1
C．m＝－1或m＝2
D．m≠
7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则这个函数的解析式为________．
8．函数y＝＋的定义域为__________．
9．设函数f1(x)＝，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1{f2[f3(2
014)]}＝________.
10．设幂函数y＝xa2－3a在(0，＋∞)上是减函数，指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上
是增函数，对数函数y＝log(a2－2a＋1)x在(0，＋∞)上是减函数，求a的取值范围．
11．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝x－2；(5)y＝x－3；(6)y＝.
12．已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)解析式．
参考答案
1．答案：C
2．解析：∵y＝为偶函数，∴排除选项A，B.
又∵n>9，∴<1.
由幂函数在(0，＋∞)内指数小于1的图象可知，只有选项C符合题意．
答案：C
3．解析：因为指数函数f(x)＝在其定义域上是减函数，又－>－，所以a＝>1，所以a>c.因此c答案：A
4．解析：方法一(性质法)：
由幂函数的性质可知，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b＞c＞
d＞a.
方法二(类比法)：
当x趋于正无穷时，函数y＝xa的图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴，类似于典型
幂函数y＝x－1，故a<0.
函数y＝xb在区间[0，＋∞)上是增函数，图象下凸，类似于函数y＝x2，故b>1.
同理可知y＝xc，y＝xd类似于y＝，故0方法三(特殊值法)：
作直线x＝2，由图象可知2a<2d<2c<2b，由指数函数的性质可知a答案：D
5．解析：在同一平面直角坐标系内分别作出两个函数的图象如图所示，由图象得1答案：B
6．解析：由题意可得，解得m＝2.
答案：A
7．解析：设f(x)＝xα(α∈R)，将点(2，)代入，得＝2α，所以α＝.所以f(x)＝.
答案：y＝
8．解析：依题意得解得即x>.
答案：
9．解析：∵f1{f2[f3(x)]}＝f1[f2(x2)]＝f1(x－2)＝x－1，∴f1{f2[f3(2
014)]}＝2
014－1＝.
答案：
10．解：∵幂函数y＝xa2－3a在(0，＋∞)上是减函数，∴a2－3a<0.①
又∵y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴a2－1>1，即a2>2.②
又∵y＝log(a2－2a＋1)x在(0，＋∞)上是减函数，∴0解①②③，得11．解：六个幂函数的定义域、奇偶性、单调性如下：
(1)y＝＝的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，＋∞)上是
增函数；
(2)y＝＝的定义域为R，是奇函数，在[0，＋∞)上是增函数；
(3)y＝＝的定义域为R，是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数；
(4)y＝x－2＝的定义域为{x|x≠0}，是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数；
(5)y＝x－3＝的定义域为{x|x≠0}，是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数；
(6)y＝＝的定义域为{x|x>0}，既不是奇函数也不是偶函数，在(0，＋∞)上是
减函数．
通过上面分析，可以得出(1) A，(2) F，(3) E，(4) C，(5) D，(6) B.
12．解：∵f(x)是偶函数，
∴－2m2＋m＋3应为偶数．
又∵f(3)0，解得－1又∵m∈Z，∴m＝0或m＝1.
当m＝0时，－2m2＋m＋3＝3,3为奇数(舍去)；
当m＝1时，－2m2＋m＋3＝2,2为偶数．
故m的值为1，f(x)的解析式为f(x)＝x2.1.1.1
集合的概念
自我小测
1．下列语句能确定一个集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
2．已知集合A为大于的数构成的集合，则下列说法正确的是( )
A．2∈A，且3∈A
B．2∈A，且3 A
C．2 A，且3∈A
D．2 A，且3 A
3．若a，b，c为集合S中的三个元素，并且它们也是△ABC的边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
5．已知集合A是无限集且集合A中的元素为12,22,32，42，…若m∈A，n∈A，则m?n∈A.其中“?”表示的运算可以是( )
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
6．对于由元素2,4,6构成的集合，若a∈A，则6－a∈A.其中a的值是__________．
7．设a，b是非零实数，那么＋可能取的值构成的集合中的元素有________．
8．若由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数构成集合A，试判断＋2是否为集合A中的元素？请说明理由．
9．判断下列语句是否正确？并说明理由．
(1)某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合；
(2)由1，，，，0.5构成的集合有5个元素；
(3)将小于100的自然数，按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合．
10．已知方程ax2－2x＋1＝0的实数解构成集合A，若集合A中仅有一个元素，求实数a的值．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：C
3.
答案：D
4.
解析：由题意，知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3.
经检验，当m＝0或m＝2时，不满足集合A中元素的互异性；当m＝3时，满足题意．综上可知，m＝3.
答案：B
5.
解析：因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方，故选C.
答案：C
6.
解析：当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0 A.因此a的值为2或4.
答案：2或4
7.
解析：按a与b的正负分类讨论求解，有四种情况：
当a>0，b<0时，原式＝0；当a>0，b>0时，原式＝2；
当a<0，b>0时，原式＝0；当a<0，b<0时，原式＝－2.
答案：－2,0,2
8.
解：不是．因为＋2＝3×＋×2，虽然该数中b＝2∈Z，但a＝ Z，所以＋2 A.
9.
解：(1)错误．因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性．
(2)错误．因为＝，＝0.5，根据集合中元素的互异性知，由1，，，，0.5构成的集合只有3个元素：1，，0.5.
(3)错误．根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一个集合．
10.
分析：A中仅有一个元素，则关于x的方程ax2－2x＋1＝0仅有一个实数解，这样转化为讨论关于x的方程ax2－2x＋1＝0的实数解的个数问题．要对实数a是否为0分类讨论．
解：当a＝0时，方程化为－2x＋1＝0，
解得x＝，则a＝0符合题意；
当a≠0时，关于x的方程ax2－2x＋1＝0是一元二次方程，
由于集合A中仅有一个元素，
则一元二次方程ax2－2x＋1＝0仅有一个实数根，
所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上所得，a＝1或a＝0.3.2.1
对数及其运算
自我小测
1．若ln
x－ln
y＝a，则ln－ln等于( )
A.
B．a
C.
D．3a
2．已知a>0，a≠1，x>y>0，n∈N＋，下列各式：
①(logax)n＝nlogax；②logax＝－loga；③＝loga；④＝logax；⑤logax＝loga；⑥logax＝loganxn；⑦loga＝－loga.
其中成立的有( )
A.3个
B．4个
C．5个
D．6个
3．已知函数f(x)＝则f的值是( )
A.8
B.
C．9
D.
4．如果关于lg
x的方程lg2x＋(lg
2＋lg
3)lg
x＋lg
2lg
3＝0的两根为lg
x1，lg
x2，那么x1x2的值为( )
A.lg
2·lg
3
B．lg
2＋lg
3
C.
D．－6
5．若x·log32
014＝1，则2
014x＋2
014－x等于( )
A.
B.
C．6
D.
6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A.
B．10
C．20
D．100
7．已知log32＝a，则2log36＋log30.5＝__________.
8．log56·log67·log78·log89·log910＝__________.
9．某地发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关，震级M＝lg
E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗原子弹爆炸时释放的能量，那么该次大地震所释放的能量相当于__________颗原子弹爆炸时释放的能量．
10．计算：log28＋lg＋ln＋2＋(lg
5)2＋lg
2lg
50.
11．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
(1)求p；
(2)证明：－＝.
12．设a>0，a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求出当x为何值时，logay取得最小值．
参考答案
1．解析：ln－ln＝3＝3(ln
x－ln
2－ln
y＋ln
2)＝3(ln
x－ln
y)＝3a.
答案：D
2．解析：其中②⑤⑥⑦正确．①式中nlogax＝logaxn；③式中loga＝logax－logay；④式中logax＝loga.
答案：B
3．解析：f＝f＝f(log22－2)＝f(－2)＝3－2＝.
答案：D
4．解析：∵由已知，得
lg
x1＋lg
x2＝－(lg
2＋lg
3)＝－lg
6＝lg，
又∵lg
x1＋lg
x2＝lg(x1x2)，
∴lg(x1x2)＝lg，
∴x1x2＝.
答案：C
5．解析：∵x·log32
014＝1，∴x＝log2
0143，
∴2
014x＝2
014log2
0143＝3.
2
014－x＝2
014－log2
0143＝.
∴原式＝3＋＝.故选D.
答案：D
6．解析：∵由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10.又m>0，∴m＝.
答案：A
7．解析：原式＝2log3(2×3)＋log3
＝2(log32＋log33)－log32
＝log32＋2＝a＋2.
答案：a＋2
8．解析：原式＝····＝＝.
答案：
9．解析：设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2，E1，则8－6＝(lg
E2－lg
E1)，即lg
＝3.
所以＝103＝1
000，
即该次大地震所释放的能量相当于1
000颗原子弹爆炸时释放的能量．
答案：1
000
10．解：原式＝3－3＋＋2÷2log23＋(lg
5)2＋lg
2(lg
5＋1)
＝＋＋(lg
5)2＋(1－lg
5)(1＋lg
5)＝＋.
11．(1)解：设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，∵2x＝py，∴2log3k＝plog4k＝p.
又∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：∵－＝－＝logk6－logk3＝logk＝logk2＝logk4＝.
∴－＝成立．
12．解：∵由换底公式，得logax＋3·－＝3，
整理得(logax)2＋3－logay＝3logax，
∴logay＝(logax)2－3logax＋3＝＋.
∴当logax＝，即x＝a时，logay取最小值.2.1.2
函数的表示方法
自我小测
1．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是( )
2．已知f＝＋，则f(x)等于( )
A.x2－x＋1，x≠0
B.
＋，x≠0
C．x2－x＋1，x≠1
D．1＋＋，x≠1
3．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，a＝f(－1.01)，b＝f(－1)，c＝f(1.5)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＜b＜c
B．b＜a＝c
C．a＝b＜c
D．a＜b＝c
4．已知f(x)＝则f的值为( )
A.2
B．4
C．6
D．8
5．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．若纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个选项中较符合该学生到校的图象的是( )
6．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是( )
A.0
B.
C.
D．3
7．已知一个函数的部分对应关系由下表给出：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)
－4
－3
－2
－1
0
1
2
则此函数的解析式可能为__________．
8．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是__________．
9．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为__________．
10．已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图象；
(2)求f(1)，f(－1)的值．
分析：分别作出f(x)在x＞0，x＝0，x＜0上的图象，合在一起即得函数f(x)的图象．
11．某市住宅电话通话费为前3分钟0.20元(不足3分钟按3分钟计)，以后每分钟0.10元(不足1分钟按1分钟计)．
(1)在平面直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数图象；
(2)如果一次通话t分钟(t＞0)，写出通话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用＜t＞表示不小于t的最小整数)．
参考答案
1.
答案：B
2.
解析：设＝t，则x＝，t≠1，
则f(t)＝＋t－1＝t2－t＋1，t≠1.
所以f(x)＝x2－x＋1，x≠1.
答案：C
3.
解析：a＝[－1.01]＝－2，b＝[－1]＝－1，c＝[1.5]＝1，
所以a＜b＜c.
答案：A
4.
解析：由已知，得f＝f＋1＝f＋1＝f＋2＝f＋2＝3×＋2＋2＝2.
答案：A
5.
解析：由题意知学生离学校越来越近，故排除选项A，C；又由于开始跑步，后来步行，所以体现在图象上是先“陡”后“缓”，故选D.
答案：D
6.
解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示(实线部分)，由图象可得，其最小值为.因此选C.
答案：C
7.
答案：f(x)＝x－1(答案不唯一)
8.
解析：由题意，得f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
由图象得函数f(x)的值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9.
解析：当a＞0时，f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1.
∵f(1－a)＝f(1＋a)，
∴2－a＝－3a－1，解得a＝－
(舍去)．
当a＜0时，f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－a－1，
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
∵f(1－a)＝f(1＋a)，∴－a－1＝2＋3a，解得a＝－.
综上，a的值为－.
答案：－
10.
解：(1)f(x)的图象如图所示．
(2)f(1)＝12＝1，f(－1)＝－＝1.
11.
解：(1)函数图象如图所示．
(2)由(1)知，话费与时间t的关系是分段函数．
当0＜t≤3时，话费为0.20元；当t＞3时，话费应为(0.20＋＜t－3＞×0.10)元．
故y＝