2.4.2
求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
5分钟训练
1.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈______________,第二次应计算______________.以上横线上应填的内容为(
)
A.(0,0.5)
f(0.25)
B.(0,1)
f(0.25)
C.(0.5,1)
f(0.75)
D.(0,0.5)
f(0.125)
答案：A
解析：∵f(0)<0,f(0.5)>0,
∴函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5).
第二次计算f()=f(0.25).
2.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(
)
A.ε越大，零点的精确度越高
B.ε越大，零点的精确度越低
C.重复计算次数就是ε
D.重复计算次数与ε无关
答案：B
解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低.
3.函数f(x)=x3-2x2-x+2的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
解析：考虑分解因式降次.
∵f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x+1)(x-1),
∴f(x)有三个零点.
4.电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内（如15秒）猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了或低了，以猜对或到时为游戏结束.如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是_________________（只写出一个正确答案）.
答案：二分法(或综合法等)
10分钟训练
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(
)
答案：C
解析：只有函数的变号零点才能用二分法求.
2.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是(
)
A.1
B.2
C.0
D.无法确定
答案：B
解析：分析条件a·c<0,a是二次项系数,确定抛物线的开口方向;c=f(0).
∴a·c=af(0)<0,由此得解.
∵c=f(0),
∴ac=af(0)<0,即a与f(0)异号,即
∴函数必有两个零点.
3.已知连续函数y=f(x),有f(a)·f(b)<0(a
)
A.在区间［a,b］上可能没有零点
B.在区间［a,b］上至少有一个零点
C.在区间［a,b］上零点个数为奇数个
D.在区间［a,b］上零点个数为偶数个
答案：B
4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间［2,3］内的实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是______________.
答案：［2,2.5］
解析：由计算器计算得f(2)=23-2×2-5=-1,f(2.5)=15.625>0,
∴f(2)·f(2.5)<0,∴下一个有根区间是［2,2.5］.
5.如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积在数值上等于S,且V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确到0.01)约为______________.
答案：6.05
解析：设立方体的边长为x,则V=x3,S=6x2.
∵V=S+1,
∴x3=6x2+1.
不妨设f(x)=x3-6x2-1,应用二分法得方程的根约为6.05.
6.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
函数f(x)在哪几个区间内有零点 为什么
解：由x、f(x)的对应值表,可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,
又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”,可知函数f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点.
30分钟训练
1.(创新题)在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只有一台天平,请问:最多需要称几次就可以发现这枚假币(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：B
解析：可利用二分法的思想方法去解决.
2.若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24),(0,12),(0,6),(0,3)内,则下列命题正确的是(
)
A.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
B.函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点
C.函数f(x)在区间(3,24)内无零点
D.函数f(x)在区间(2,24)内无零点
答案：C
3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是(
)
A.a<-1
B.a>1
C.-1D.0≤a<1
答案：B
解析：令f(x)=2ax2-x-1,a=0时显然不适合，a≠0时，则有f(0)f(1)=-1×(2a-2)<0,
∴a>1.
4.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是(
)
A.（0,1］
B.（0,1）
C.（-∞,1）
D.（-∞,1］
答案：D
解法一：取m=0有f(x)=-3x+1的根x=>0，即m=0应符合题设，所以排除?A、B.?当m=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，它的根是x=1,符合要求，排除?C，故选D.
解法二：直接法.
∵f(0)=1，
∴（1）当m<0时，必成立，排除?A、B.
（2）当m>0时，要使与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则
∴0（3）当m=0时根为x=>0.故选D.
5.(探究题)已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则函数f(x)：①当x<-1时,恰有一零点(有一零点且仅有一零点);②当-11时,恰有一零点.
其中正确命题的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.4
答案：B
解析：∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,
f(-1)=0.01>0,即f(-2)·f(-1)<0,
∴在(-2,-1)内有一零点.
结合函数图象,函数在(-∞,-1)上,恰有一个零点,
∴①正确.
又∵f(0)=0.01>0,结合图象,知函数f(x)在(-1,0)上没有零点,
∴②不正确.
又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,
f(1)=0.01>0,即f(0.5)·f(1)<0,
∴函数f(x)在(0.5,1)上必有一个零点,且f(0)·f(0.5)<0.
∴函数f(x)在(0,0.5)上也有一个零点.
∴函数f(x)在(0,1)上有两个零点,③不正确.
由f(1)>0,结合图象，知函数f(x)在(1,+∞)上没有零点,
∴④不正确.
6.定义在R上的偶函数y=f(x),当x>0时,y=f(x)是单调递增的,f(1)·f(2)<0,则函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数是______________.
答案：2
解析：∵f(1)·f(2)<0,
∴在(1,2)上函数y=f(x)有零点.
又∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,
∴函数y=f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
由函数为偶函数可知,函数在(-∞,0)上也有一个零点.
7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点（精确到0.000
1）的近似值，那么将区间（a,b)等分的次数至多是_______________.
答案：10
8.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点（精确到0.1）.
解：∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0,
∴存在x1∈(1,2)，使f(x1)=0.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标
端点或中点函数值
取区间
f(1)=-6<0,f(2)=4>0
（1，2）
x1==1.5
f(1.5)=-2.625<0
（1.5，2）
x2==1.75
f(1.75)=0.234
4>0
（1.5，1.75）
x3==1.625
f(1.625)=-1.302
7<0
（1.625，1.75）
x4==1.687
5
f(1.687
5)=-0.561
8<0
（1.687
5，1.75）
x5==1.718
75
f(1.718
75)=-0.177<0
（1.718
75，1.75）
x6==1.734
375
f(1.734
375)=0.303
8>0
（1.718
75，1.734
375）
∵最后一个区间端点精确到0.1的近似值都是1.7，∴所求的正数零点为1.7.
9.某方程有一无理根在区间D内,若用二分法求此根的近似值,那么:
(1)区间D=(1,3)时,将D等分n次后,所得近似解可精确到多少
(2)一般情况,是否有必要尽可能多地将区间D等分
解：(1)设无理根为x0,将D等分n次后的长度为dn.
包含x0的区间为(a,b),于是d1=1,d2=,d3=,d4=,…,dn=.
所以|x0-a|≤dn=,
即近似值可精确到.
(2)由于随n的增大而不断地趋向于0,故对于事先给定的精确度ε,总有自然数n,使得≤ε.
所以,只需将区间D等分n次就可以达到事先给定的精确度ε.
所以,一般情况下,不需尽可能多地将区间D等分.
10.设函数f(x)=-x2-3x-2.
(1)若g(x)=2-［f(x)］2,求g(x)的解析式;
(2)借助计算器或计算机,画出函数g(x)的图象;
(3)求出函数g(x)的零点(精确到0.1).
解：(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.
(2)函数图象如下图所示.
(3)由图象可知,函数g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点.
取区间(-3,-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187
5.
因为g(-3)·g(-2.5)<0,
所以x0∈(-3,-2.5).
再取(-3,-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.
因为g(-3)·g(-2.75)<0,
所以x0∈(-3,-2.75).
同理可得x0∈(-2.875,-2.75),x0∈(-2.812
5,-2.75).
由于|-2.75-(-2.812
5)|=0.062
5<0.1,
此时区间(-2.812
5,-2.75)的两个端点精确到0.1的近似值都是-2.8,所以函数在区间(-4,-3)内精确到0.1的零点约为-3.5.
同样可求得函数在区间(-1,0)内精确到0.1的零点约为-0.2.
所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-3.5或-0.2.2.1.2
函数的表示方法
5分钟训练
1.一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(
)
A.y=50x(x＞0)
B.y=100x(x＞0)
C.y=(x＞0)
D.y=(x＞0)
答案：C
解析：由·y=100,得2xy=100.
∴y=(x＞0).
2.小明离家去学校,由于怕迟到,一开始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程(跑步的速度与步行的速度均为定值).若以纵轴表示离家的路程,路程用d表示;横轴表示出发后的时间,时间用t表示,则下列图形中能反映小明运动规律的是(
)
答案：D
解析：因为跑步的速度与步行的速度均为定值,且前者大,故选D.
3.设一个函数的解析式为f(x)=2x+1,它的值域为{-1,2,3},则该函数的定义域为_____________.
答案：{-1,,1}
解析：f(x)=2x+1是单调函数,令2x+1=-1,2,3,得x=-1,,1.
4.已知函数f(x)=
则f［f(-1)］的值是______________.
答案：π
解析：分段函数是一个函数而不是几个函数，求函数值时,首要的是确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选取相应的对应法则.f(-1)=0,f(0)=π，由此可得结果.
10分钟训练
1.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰长x的函数,则y=f(x)等于(
)
A.20-2x(0B.20-2x(0C.20-2x(5≤x≤10)
D.20-2x(5答案：D
解析：函数的定义域易写成得020-2x,得x>5.
所以函数的定义域为{x|52.如图,在△ABC中,底BC=a,高AD=h,MNPQ为一边在底边上的内接矩形,设MN=x,矩形周长为y,把y表示成x的函数应为(
)
A.y=2(a+x)(0B.y=(a+x)(x>0)
C.y=2(a+x)(0D.y=(a+x)(0答案：A
解析：由平行线分线段成比例定理,得,
即.解得MQ=.
∴y=2［x+］=2(a+x).
由MQ>0,得x又∵x>0,∴03.设M=｛x｜-2≤x≤2｝，N=｛y｜0≤y≤2｝，如图给出4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是(
)
答案：B
解析：要构成函数必须是定义域中的每一个自变量值对应唯一一个函数值.A中，当0＜x≤2时，N中没有元素与x对应，不符合函数概念.C中每个x值有两个y值与之对应，也不符.D中的对应是映射，值域与要求不符.故选B.
4.已知函数f(x)的图象如右图所示,则f(x)的函数解析式是____________.
答案：f(x)=
解析：f(x)的图象由两条线段组成，
∴该函数是一分段函数,特别要注意端点值是否可以取到.
5.已知函数f(x)=
(1)画出函数的图象;
(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.
解：(1)分别作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的图象,如图,作法略.
(2)f(1)=12=1,
f(-1)==1,
f［f(-1)］=f(1)=1.
6.某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地,到达B地并停留1.5小时后,再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s表示为时间t的函数.
解：从A地到B地,路上的时间为=5(小时);从B地回到A地,路上的时间为=4(小时).所以走过的路程s(千米)与t(小时)的关系为
30分钟训练
1.如图所示的图形中，不可能是函数y=f(x)的图象的是(
)
答案：D
解析：因为D中的一个变量x对应两个y值，所以它不表示函数.
2.由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过部分每吨增收3元.则某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间的函数关系式为(
)
A.y=6x
B.y=
C.y=
D.y=9x-12
答案：B
解析：当用水量0≤x≤4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×（x-4）=9x-12.故选B.
3.已知函数f（x）=（x≠），满足f［f（x）］=x，则c的值是(
)
A.3
B.-3
C.3或-3
D.不存在
答案：B
解析：f［f（x）］=x（2c+6）=c2-9对任何x（x≠）成立，所以2c+6=c2-9=0，即c=-3.而≠，故所求c=-3.
4.(创新题)某地2006年的降雨量p(x)与时间x的图象如图所示,定义“落量差函数”q(x)为时间段［0,x］内的最大降雨量与最小降雨量的差,则q(x)的图象可能是(
)
答案：B
解析：观察p(x)与时间x的图象可知,当x∈［0,6］时,q(x)随x增大而增大;当x∈(6,9)时,q(x)是常函数;当x∈［9,12］时,q(x)又随x增大而增大.
5.如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是______________，这个函数的定义域为__________.
答案：V=x（a-2x）2
｛x|0＜x＜｝
解析：据长方体的体积公式，易得V=x（a-2x）2，其中0＜x＜.
6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f［f(5)］=___________.
答案：
解析：由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,则f［f(5)］=f(-5)=f(-1)==.
7.(探究题)设［x］是大于或等于x的最小正整数(即数x的整数部分),例如［4.25］=4,［0,82］=0,那么函数y=［］-［］(x∈N)的值域为_____________.
答案：{0,1}
解析：当x=2k(k∈N)时,
y==［k+］-［k］=k-k=0;
当x=2k+1(k∈N)时,
y==［k+1］-［k+］=(k+1)-k=1.
所以所求函数的值域为{0,1}.
8.如图,用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.
解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB=2x，宽为a,则有2x+2a+πx=l，即a=，半圆的直径为2x，半径为x.所以y=·2x=-()x2+lx.
根据实际意义知＞0，
又∵x＞0，∴0＜x＜，即函数y=-(2+)x2+lx的定义域是{x|0＜x＜}.
9.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A.设x表示P点的行程，f（x）表示PA的长，g（x）表示△ABP的面积，求f（x）和g（x），并作出g（x）的简图.
解：(1)如图，当P在AB上运动时，PA=x；当P点在BC上运动时，由Rt△ABP可得PA=；当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA=；当P点在DA上运动时，PA=4-x.故f（x）的表达式为f（x）=
（2）由于P点在折线ABCD上的位置不同，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P点的位置进行分类求解.
如图，当P在线段AB上时，△ABP的面积S=0；当P在BC上时，即1＜x≤2时，S△ABP=AB·BP=（x-1）；当P在CD上时，即2＜x≤3时，S△ABP=·1·1=；当P在DA上，即3＜x≤4时，S△ABP=（4-x）.
故g（x）=g(x)的简图如下图.2.1.3
函数的单调性
5分钟训练
1.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则(
)
A.k>
B.k<
C.k>
D.k<
答案：D
解析：一次函数的单调性取决于一次项系数的正负.当2k+1<0时,函数为减函数,解得k<.
2.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上是(
)
A.递减函数
B.递增函数
C.先递减再递增
D.先递增再递减
答案：C
解析：该函数的对称轴为x=3,根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的.
3.一个函数的图象过点(1,2),且在R上是递增的,则这个函数的解析式可以为_____________.
答案：y=2x(不唯一)
4.下图表示某市2006年6月份某一天的气温随时间变化的情况,请观察此图回答下列问题:
(1)这天的最高气温是____________;
(2)这天共有____________个小时的气温在31
℃以上;
(3)这天在____________(时间)范围内温度在上升;
(4)请你预测一下,次日凌晨1点的气温大约是____________.
答案：(1)37
℃
(2)9
(3)3点-15点
(4)23
℃-26
℃
提示：只要抓住图象提供的最高点、单调性以及计时的基本常识,便易知答案.
10分钟训练
1.若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则点(k,b)在直角坐标平面的(
)
A.上半平面
B.下半平面
C.左半平面
D.右半平面
答案：C
提示：k<0,b∈R.
2.已知函数f(x)=2mx+4,若在［-2,1］上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是(
)
A.［,4］
B.(-∞,-2］∪［1,+∞)
C.［-1,2］
D.［-2,1］
答案：B
解析：由一次函数的单调性可知:当且仅当f(-2)与f(1)异号,即f(-2)·f(1)≤0时,存在x0,使f(x0)=0,解得m≥1或m≤-2.
3.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a、b,总有>0成立,则必有(
)
A.函数f(x)是先增加后减少
B.函数f(x)是先减少后增加
C.f(x)在R上是增函数
D.f(x)在R上是减函数
答案：C
解析：由题意可知f(a)-f(b)与a-b同号,故f(x)在R上是增函数.
4.函数y=(
)
A.在(-1,+∞)内单调递增
B.在(-1,+∞)内单调递减
C.在(1,+∞)内单调递增
D.在(1,+∞)内单调递减
答案：C
提示：函数y=的图象可以看作是由函数y=的图象向右平移一个单位得到的.
5.小军在《高中同步测控优化训练》中遇到这样一道题目:请写出一个在(-∞,0)上递减,在［0,+∞)上递增的函数.请你帮小军写出满足条件的一个函数:______________.
答案：y=x2(不唯一)
解析：此题只要写出满足条件的一个函数即可,如y=x2,y=x2+2,y=|x|等.
6.证明函数y=在（1，+∞）上为增函数.
证明：设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=x1+-（x2+）=x1-x2+（）=x1-x2=（x1-x2）（）.
∵x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
∴函数y=在（1，+∞）上为增函数.
30分钟训练
1.已知m<-2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图象上,则(
)
A.y1B.y3C.y1D.y2答案：B
解析：因为函数y=x2-2x的图象的对称轴为x=1,又m<-2,所以m-1,m,m+1都小于-1,即各点都在对称轴的左侧.又函数y=x2-2x的二次项系数为1,所以其图象对称轴左侧函数是递减的,于是有y32.(创新题)在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x)〔如f(2)=3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元;g(2)=3表示两个小时内的平均价格为3元〕,下图给出的四个图象,其中实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是(
)
答案：C
解析：由开始交易时的价格与平均价格相同,可知A、D错误;当即时价格下降时,平均价格会发生变化,可知B错误.
3.函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上是增函数,则a的范围是(
)
A.a≥5
B.a≥3
C.a≤3
D.a≤-5
答案：A
解析：函数的对称轴是x=a-1,由题意知,当a-1≥4,得a≥5.
4.已知函数f(x)在区间［a,b］上具有单调性,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在区间［a,b］上(
)
A.至少有一个实数根
B.至多有一个实数根
C.没有实数根
D.有唯一的实数根
答案：D
解析：由条件知f(a)和f(b)异号,所以必存在唯一的实数c,使f(c)=0.
5.函数y=的单调递减区间为(
)
A.(-∞,-3］
B.(-∞,-1］
C.［1,+∞)
D.［-3,-1］
答案：A
解析：该函数的定义域为(-∞,-3］∪［1,+∞),函数f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1,由复合函数的单调性可知该函数在区间(-∞,-3］上为减函数.
6.已知函数f(x-2)=2x2-9x+13,则使函数f(x)是减函数的区间是___________.
答案：(-∞,］
解析：令t=x-2,则x=t+2.
∴f(t)=2(t+2)2-9(t+2)+13=2t2-t+3.
∴f(x)=2x2-x+3.
∴函数的减区间是(-∞,
］.
7.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)答案：(0,
)
解析：由题意,可得1>1-a>3a-1>-1,
即解得0所以a的取值范围是(0,).
8.二次函数y=ax2+ax+2(a≠0)在R上的最大值为f(a),写出函数f(a)的解析式,判断f(a)在［1,5］上的单调性,并画出函数的图象.
解：由题意得a<0且二次函数y=ax2+ax+2(a≠0)在R上的最大值为,所以f(a)=.因为f(a)在［1,5］上无意义,所以f(a)在［1,5］上没有单调性.其图象如图.
9.(探究题)下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器中以相同的速度注水.
下面的图象中哪个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：
对于图(1),
对于图(2),
对于图(3),
对于图(4),
解：当以相同的速度向四个容器注水时,可以大致刻画容器中的高度与时间的关系:对于图(1)是第3个图,对于图(2)是第1个图,对于图(3)是第3个图,对于图(4)是第3个图.
10.利用函数的单调性的定义证明：f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证明：在(-∞,+∞)上任取x1则f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x23+1)=x23-x13
=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)
=(x2-x1)［(x2+x1)2+］.
∵x10,
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.2.1.1
函数
5分钟训练
1.给出下列四个对应，其中构成映射的是(
)
A.(1)(2)
B.(1)(4)
C.(1)(3)
D.(3)(4)
答案：B
解析：紧扣映射的定义进行判断.
2.已知映射f:A→B,集合A中元素n在对应法则f下的象是2n-n,则121的原象是(
)
A.8
B.7
C.6
D.5
答案：B
解析：可把备选的答案代入2n-n=121中进行验证.
3.下列过程中,变量之间是否存在依赖关系 其中哪些是函数关系
(1)设一长方体盒子高为10
cm,底面是正方形,求这个长方体的体积V(cm3)与底面边长a(cm)的关系;
(2)秀水村的耕地面积是106(m2),求这个村人均占有耕地面积x(m2)与人数n的关系;
(3)设地面气温是20
℃,如果每升高1
km,气温下降6
℃,求气温t(℃)与高度h(km)的关系.
答案：(1)长方体的体积V(cm3)与边长a(cm)之间存在函数关系,其中边长是自变量,体积是因变量;反之亦行.
(2)秀水村的人均占有耕地面积x(m2)与人数n之间存在函数关系,其中人数是自变量,人均占有耕地面积是因变量;反之亦行.
(3)气温t(℃)与高度h(km)之间存在函数关系,其中气温是自变量,高度是因变量;反之亦行.
4.以下给出的同组函数中,是否表示同一函数 为什么
(1)f1：y=;f2:y=1.
(2)f1：y=|x|;f2:y=
(3)f1：y=
f2：
X
x≤1
1x≥2
y
1
2
3
(4)f1：y=2x;
f2:如图.
解：(1)不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为R.
(2)不同函数.f1(x)的定义域为R,f2(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.
(3)同一函数.x与y的对应关系完全相同,它们是同一函数的不同表示形式.
(4)同一函数.理由同(3).
10分钟训练
1.对于函数y=f(x),有以下说法:
①y是x的函数;②对于不同的x、y的值也不同;
③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量;
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.其中正确命题的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
提示：①③正确.
2.设集合A={a，b，c}，B={1，0，-1}，映射f：A→B满足f（a）-f（b）=f（c），则映射f：A→B的个数有(
)
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
答案：D
解析：f（a）-f（b）=f（c），即f（a）=f（b）+f（c），根据映射的定义，对f（a）=1、0、-1三种情况讨论.
（1）f（a）=1时，f（b）=1，f（c）=0或f（b）=0，f（c）=1两种情况；
（2）f（a）=0时，f（b）=1，f（c）=-1或f（b）=-1，f（c）=1或f（b）=f（c）=0三种情况；
（3）f（a）=-1时，f（b）=-1，f（c）=0或f（b）=0，f（c）=-1两种情况.所以共有7种情况，故选D.
3.若函数f（x）的定义域是［0，1］，则f（x+a）+f（x-a）（0＜a＜）的定义域是(
)
A.
B.［a，1-a］
C.［-a，1+a］
D.［0，1］
答案：B
解析：函数f（x+a）+f（x-a）的定义域是函数f（x+a）和f（x-a）定义域的交集，分别求出后利用数轴合并.∵
如图，得函数f（x+a）+f（x-a）（0＜a＜)的定义域［a，1-a］，故选B.
4.求下列函数的定义域：
(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=.
解：(1)∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，而x≠2时，分式有意义，∴这个函数的定义域是{x|x≠2}.
(2)∵3x+2<0，即x<时，根式无意义，而3x+2≥0，即x≥时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是{x|x≥}.
(3)∵当x+1≥0且2-x≠0，即x≥-1且x≠2时，根式和分式同时有意义，
∴这个函数的定义域是{x|x≥-1且x≠2}.
5.（1）若函数y=f（x）的定义域为［1，2］，求f（2x+1）的定义域；
（2）若函数y=f（2x+1）的定义域为［1，2］，求f（x）的定义域.
解析：（1）1≤2x+1≤20≤x≤f（2x+1）的定义域是［0，］.
（2）f（2x+1）的定义域为［1，2］是指x的取值范围是［1，2］，1≤x≤2，
∴2≤2x≤4.
∴3≤2x+1≤5.
∴f（x）的定义域为［3，5］.
30分钟训练
1.下列函数中,与y=x表示同一函数的是(
)
A.y=
B.y=
C.y=t
D.y=x0·x
答案：C
解析：y==x(x≠0),y==|x|,y=x0·x=x(x≠0).
显然A、D与y=x的定义域不同,
B与y=x的对应关系不同.
2.(创新题)设f,g都是由A到A的映射〔其中A={1,2,3}〕其对应法则如下表:
1
2
3
f
1
1
2
g
3
2
1
则f［g(3)］等于(
)
A.1
B.2
C.3
D.不存在
答案：A
解析：f［g(3)］=f(1)=1.
3.(探究题)已知函数y=f(x)的定义域为［a,b］,{(x,y)|y=f(x),a≤x≤b}∩{(x,y)|x=0}只有一个子集,则(
)
A.ab>0
B.ab≥0
C.ab<0
D.ab≤0
答案：A
解析：依题意,得{(x,y)|y=f(x),a≤x≤b}∩{(x,y)|x=0}=,
故函数y=f(x)(x∈［a,b］)与y轴不相交,
所以ab>0.
4.已知f(x-1)=2x+3,f(m)=6,则m等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：方法一:设x-1=t,则x=2t+2,
f(t)=2×(2t+2)+3=4t+7,
即f(x)=4x+7.
令4x+7=6,得x=,
即m=.
方法二:令2x+3=6,得x=.
∴m=x-1=×-1=.
5.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为(
)
A.4,6,1,7
B.7,6,1,4
C.6,4,1,7
D.1,6,4,7
答案：C
解析：由题意,可知
6.函数f(x)=的定义域是_________________.
答案：{x|x≤2,且x≠-3}
解析：要使函数有意义,当且仅当
解得x≤2且x≠-3.
7.已知g（x）=1-2x，f［g（x）］=（x≠0），则f（）等于____________.
答案：15
解析：令g（x）=，解得x=.
代入f［g（x）］=，得f［g（）］=f（）==15.
8.已知映射f:A→B中,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},其中f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).
(1)求A中元素(1,2)的象;
(2)求B中元素(1,2)的原象;
(3)是否存在这样的元素(a,b),使它的象仍是自己 若有,求出这个元素.
解：(1)由题意,得x=1,y=2,代入象的表达式,得3×1-2×2+1=0,4×1+3×2-1=9,
即(1,2)的象是(0,9).
(2)由题意,得
所以象(1,2)的原象是().
(3)假设存在以自己为象的元素(a,b),
则满足方程组
所以存在这样的元素(a,b),使它的象仍是自己,这个元素是(0,
).
9.如图,△ABC是一等腰直角三角形,AB=AC=1,EF∥BC.当E从A移向B时,写出线段EF的长度l与它到点A的距离h之间的函数关系式,并作出函数图象.
解：在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,
EF∥BC,EF=l,设A到EF的距离为h,
则l=2h,0≤h≤.图象如图所示.3.1.2
指数函数
5分钟训练
1.下列关于自变量x的函数中,是指数函数的是(
)
A.y=(a+1)x(a＞-1且a≠0)
B.y=(-3)x
C.y=-(-3)x
D.y=3x+1
答案：A
解析：∵a＞-1且a≠0,∴a+1＞0且a+1≠1,∴y=(a+1)x(a＞-1且a≠0)为指数函数.
2.函数y=a|x|(a＞1)的图象是(
)
答案：B
解析：函数f(|x|)是偶函数,应先画出x≥0时f(x)的图象,然后沿y轴翻折过去,得到x＜0时函数的图象.当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过(0,1)点,在第一象限,图象下凸,是增函数,故选B.
3.已知f（x）=3-ax+1的图象恒过定点P，则点P的坐标为(
)
A.（0，3）
B.（-1，2）
C.（-1，3）
D.（3，-1）
答案：B
解析：由y=ax的图象恒过(0，1)点，可知当本题中的x+1=0即x=-1时，y=2,与a的取值无关.由x=-1时，y=3-a0=2得定点P(-1，2)，故选B.
4.函数y=2x的图象与函数y=0.5x的图象关于____________对称;
函数y=2x的图象与函数y=-2x的图象关于____________对称.
答案：y轴
x轴
10分钟训练
1.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩余量为y，则x、y之间的函数关系式是(
)
A.y=0.957
6x
B.y=0.957
6x-1
C.y=
D.y=
答案：C
解析：依题意有:100年后质量为1的镭剩余量y1=1×95.76%，200年后质量为1的镭剩余量为y2=1×95.76%×95.76%，…，
∴x年后，y=，故选C.
2.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a、b为常数,则下列结论正确的是(
)
A.a＞1,b＜0
B.a＞1,b＞0
C.0＜a＜1,b＞0
D.0＜a＜1,b＜0
答案：D
解析：由题图可知,函数f(x)=ax-b是单调递减的,∴0＜a＜1.又由于函数图象与y轴的交点在点(0,1)的下方,即函数f(x)=ax-b的图象是由函数f(x)=ax的图象向左平移得到的,
∴-b＞0,即b＜0.
3.函数y=的定义域是(
)
A.［0,+∞)
B.(-∞,0］
C.［1,+∞)
D.(-∞,+∞)
答案：B
解析：要使函数有意义,必须1-3x≥0,即3x≤1,3x≤30,
∴x≤0,∴函数的定义域是(-∞,0］.
4.（2007山东日照实验高中《函数》过关测试,12）下列说法不正确的是(
)
A.函数y=(a＞0,a≠1)是奇函数
B.函数f(x)=(a＞0,a≠1)是偶函数
C.若f(x)=3x,则f(x+y)=f(x)f(y)
D.若f(x)=ax(a＞0,a≠1),且x1≠x2,则［f(x1)+f(x2)］＜f()
答案：D
解析：由函数的凹凸性可知D不成立.
5.已知函数y=a2x+2ax-1(a＞0,a≠1)在区间［-1,1］上的最大值是14,则a的值为____________.
答案：3或
解析：y=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2,
∵函数y=a2x+2ax-1在［-1,1］上的最大值是14,
∴(ax+1)2的最大值为16.
当a＞1,x=1时,(a+1)2=16,得a=3;
当0＜a＜1,x=-1时,(+1)2=16,得a=.
6.求下列函数的单调区间和值域.
(1)y=;
(2)y=a2x-2ax-1(a＞0,a≠1).
解：(1)设y=3u,u=-x2-x.
则y随u的增大而增大,随u的减小而减小,u的增区间即是y的增区间,u的减区间即为y的减区间.
u=-x2-x=-(x+)2+在(-∞,］上递增,在(,+∞)上递减.
∴y=的增区间为(-∞,］,减区间为(,+∞).
∵u=-x2-x≤,
∴0＜y=≤,
即函数y=的值域为(0,］.
(2)y=(ax-1)2-2(a＞0,a≠1),设u=ax.
∵y=(u-1)2-2在u∈［1,+∞)时是关于u的增函数,在u∈(-∞,1)时是关于u的减函数,
∴当ax≥1时,原函数的单调性与u=ax的单调性相同;当ax＜1时,原函数的单调性与u=ax的单调性相反.
若a＞1,ax≥1x≥0,ax＜1x＜0,
∴在［0,+∞)上,函数y=a2x-2ax-1是增函数;在(-∞,0)上,函数y=a2x-2ax-1是减函数.
∵ax＞0,
∴函数值域是［-2,+∞).
30分钟训练
1.已知＜（）b＜（）a＜1，则(
)
A.a＞b＞1
B.0＜b＜a＜1
C.b＞a＞1
D.0＜a＜b＜1
答案：D
解析：不等式＜()b＜()a＜1即为＜()b＜()a＜()0，根据指数函数的单调性即可得指数a、b、0、1的大小关系.根据指数函数y=()x在R上是减函数，得0＜a＜b＜1.选D.
2.若函数y=ax-（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有(
)
A.a＞1且b＜1
B.a＞1且b＞0
C.0＜a＜1且b＞0
D.0＜a＜1且b＜0
答案：B
解析：指数函数y=ax的图象如图所示.由图象可以看出a＞1，-(b+1)＜-1(向下平移一个单位)，即b＞0.
故选B.
3.函数y=(0＜a＜1)的图象的大致形状是(
)
答案：D
解析：y=
4.一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次,假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器,假设开始将两个细胞放入容器,同样充满容器时间是(
)
A.27分钟
B.30分钟
C.45分钟
D.57分钟
答案：D
解析：设要经过时间为x,由2×=220,得x=57.
5.若函数f(x)=是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是(
)
A.(1,+∞)
B.(1,8)
C.(4,8)
D.［4,8)
答案：D
解析：由f(x)在R上是单调递增函数知a＞1,4-＞0,a1≥4-+2同时成立,解不等式组得a∈［4,8).
6.(探究题)指数函数①f(x)=mx,②g(x)=nx满足不等式0＜m＜n＜1,则它们的图象是(
)
答案：C
解析：令x=1,①②对应的函数值分别为m和n,由0＜m＜n＜1,可知应选C.
7.若x1、x2为方程2x=的两个实数解,则x1+x2=_______________.
答案：-1
解析：由题意得2x=,即x=,化简得x2+x-1=0.
由韦达定理可知x1+x2=-1.
8.已知集合An={x|2n＜x＜2n+1,且x=7m+1,m、n∈N
},则A6中各元素之和为_______________.
答案：891
解析：当n=6时,64＜x＜128,A6中的各元素为:71,78,85,92,99,106,113,120,127,其和为891.
9.(创新题)已知f(x)=x(+).
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求证:f(x)>0.
答案：(1)解：由2x-1≠0,得x≠0,
∴函数定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
(2)解：在定义域内任取x,则-x在定义域内,则有
f(-x)=
=,
而f(x)=,
∴f(-x)=f(x).∴函数f(x)为偶函数.
(3)证明：当x＜0时,由指数函数的性质知0＜2x＜1,-1＜2x-1＜0.
∴＜-1.∴.
又x＜0,∴f(x)=(+)x＞0.
由f(x)为偶函数,当x＞0时,f(x)＞0.
总之,x∈R且x≠0时,函数f(x)＞0.
10.设函数f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）≠0，对于任意x1、x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）.
（1）求证：f（x1-x2）=；
（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）>4f（x）.
答案：(1)证明：∵f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)·f(x2)，
又f(x)≠0，
∴f(x1-x2)=.
(2)解：∵f(1)=2，
∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)，
4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x).
那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x)，
又因为函数f(x)是定义在R上的增函数，
由f(3x)>f(2+x)得3x>2+x，即x>1.故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.1.1
集合与集合的表示方法
1.1.1
集合的概念
1.1.2
集合的表示方法
5分钟训练
1.下列对象能构成集合的是(
)
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员
②所有的钝角三角形
③2006年诺贝尔经济学奖得主
④大于等于0的整数
⑤北京大学的所有聪明学生
A.①②④
B.②⑤
C.③④⑤
D.②③④
答案：D
解析：由集合中元素的确定性知,①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明学生”不确定,所以不能构成集合.
2.下列命题正确的是(
)
A.1是集合N中最小的数
B.x2-4x+4=0的解集为{2,2}
C.{0}不是空集
D.太湖中的鱼所组成的集合是无限集
答案：C
解析：A中N包含元素0;B不满足集合元素的互异性;D太湖中鱼是有限的而不是无穷多的.
3.给出下列5个关系:①∈R,②∈Q,③0∈{0},④0∈N,⑤π∈Q,其中正确命题的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
提示：∈Q,π∈Q不正确.
4.(1)用列举法表示集合{x∈R|(x-1)2(x+1)=0}为______________;
(2)用列举法表示集合{x∈N|∈N}为______________;
(3)用描述法表示集合{1,,,}为______________;
(4)用列举法表示集合{(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}为______________.
答案：(1){-1,1}
(2){0,3,4,5}
(3){x|x=,n≤4且n∈N
}
(4){(0,6),(1,5),(2,2)}
10分钟训练
1.已知集合A={x∈N|≤x≤},则必有(
)
A.-1∈A
B.0∈A
C.∈A
D.2∈A
答案：B
解析：依题意得A={0,1},所以0∈A.
2.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的有(
)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：A
解析：集合是一组确定对象的全体，元素具有确定性.“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，所以①②不是集合，同样，2的近似值也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以也不是一个集合，③④能构成集合.
3.已知集合S={a、b、c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案：D
解析：集合中的元素具有互异性，所以a、b、c三个数一定互不相同，因此不可能是等腰三角形的三边.
4.方程组的解集为①{2，1，3}；②（2，1，3）；③{（2，1，3）}，其中正确的表示方法是(
)
A.①②
B.①③
C.③
D.①②③
答案：C
解析：本题的计算不是难点，难点在于这个方程组的解集如何表示，首先应为集合的形式，其次分析集合中元素的形式与属性：有序实数组.
5.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解构成的集合为M,则M中元素的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
解析：方程x2-5x+6=0的解为x1=2或x2=3;
方程x2-x-2=0的解为x3=2或x4=-1.
依据集合中元素的互异性,知M={-1,2,3}.
6.已知集合A={x|x2-px+q=0}，B={y|y2+（p-1）y+q-3=0}，且A={3}，求B.
解：由根与系数关系知p=3+3=6，q=3×3=9，而集合B是由一元二次方程y2+（p-1）y+q-3=0的根构成的集合，即由方程y2+5y+6=0的解为元素的集合,即B={-2，-3}.
30分钟训练
1.已知集合M={x∈N|x=8-m,m∈N},则集合M中元素的个数为(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
答案：C
2.小华在《高中同步测控优化训练》中遇到这样一道习题,无法确定答案,请你帮他解决.题目为:
下列结论中正确的个数是(
)
①方程+|y+2|=0的解集为{2,-2}
②集合{y|y=x2-1,x∈R}与{y|y=x-1,x∈R}的公共元素所组成的集合为{0,1}
③实数集{1,a,a2-a}中元素a所满足的条件为a≠0且a≠1且a≠2
④方程(x-1)3(x+2)(x-5)=0的解集含有3个元素
⑤0∈
⑥满足1+x>x的实数的全体形成集合
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：A
解析：①中方程的解集应为{x=2,y=-2};②中两个集合的公共元素所组成的集合为{y|y≥-1};③中a2-a≠1,即a≠;⑤中空集不含有任何元素.只有④⑥正确.
3.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合A={0,1},
B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为(
)
A.0
B.6
C.12
D.18
答案：D
解析：∵A={0,1},B={2,3},∴A⊙B={0,6,12},故所有元素之和为0+6+12=18.
4.（2007山东考试说明卷,1）设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
答案：B
解析：当a=0,b=1,2,6时,a+b=1,2,6;
当a=2,b=1,2,6时,a+b=3,4,8;
当a=5,b=1,2,6时,a+b=6,7,11.
由集合中元素的互异性,知P+Q含8个元素.
5.“被9除余2的数”组成的集合可表示为____________.
答案：{x|x=9n+2,n∈Z}
6.用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________.
答案：{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}
提示：阴影部分为一矩形区域,直接表示出横、纵坐标的范围即可.
7.已知集合A={x｜ax2+2x+1=0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素.
解：对a分类讨论：①a=0时，x=；
②a≠0时，Δ=4-4a=0，所以a=1.此时x=-1.
8.(探究题)下面三个集合：①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合
(2)它们各自的含义是什么
解：(1)不是相同的集合.
(2)集合①是函数y=x2+1的自变量x所允许取到的值组成的集合,因为x可以取任意实数,所以{x|y=x2+1}=R;集合②是函数y=x2+1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合,由二次函数图象,知y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};集合③是函数y=x2+1图象上的所有点的坐标组成的集合.如图所示：
9.设S是满足下列两个条件所构成的集合.
①1S；②若a∈S，则∈S.
（1）求证：若a∈S，则∈S；
（2）若2∈S，则S中必有两个其他数，试写出这两个数.
答案：(1)证明：∵a∈S∈S，
∴∈S.
又，
∴∈S.
故a∈S时，有∈S.
（2）解：两次应用条件②，由2∈S∈S，即-1∈S；由-1∈S∈S，即∈S.故当2∈S时，S中必有-1,.
10.(创新题)已知集合A中的元素由部分实数组成,试求满足以下条件的所有有限集合A:
①集合A中的任两元素之和还是集合A中的元素;
②集合A中的任两元素之积还是集合A中的元素;
③集合A中的任一元素的n(n∈N
)次幂还是集合A中的元素.(直接写出答案即可,无需写推理过程)
答案：A={0,1}或{0,-1,1}.2.2.1
一次函数的性质与图象
5分钟训练
1.下列说法正确的是(
)
A.y=kx(k为常数)是正比例函数
B.y·x=1是一次函数
C.y=ax(a为常数)是一次函数
D.一次函数的一般式是y=kx+b
答案：C
解析：A、D中缺少条件k≠0,B中函数为反比例函数.
2.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=-2,f(-1)=0,则(
)
A.a=1,b=-1
B.a=-1,b=-1
C.a=-1,b=1
D.a=1,b=1
答案：B
解析：由
3.两条直线y1=ax+b,y2=bx+a,其中a>0,b<0,这两条直线在同一坐标系中图象的位置关系大致是(
)
答案：A
提示：同一个选项中两条直线反映出a、b的值应该一致.
10分钟训练
1.如果一次函数y=kx+b的图象过第一、二、四象限，则k、b的符号是(
)
A.k＞0，b＞0
B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0
D.k＜0，b＜0
答案：C
解析：一次函数y=kx+b中k的正负决定直线在直角坐标系中倾斜的方向，b是直线在y轴上的截距，然后画出图象确定k、b的符号.
如下图，k＜0，b＞0，故选?C.
2.已知函数f（x）是一次函数，2f（2）-3f（1）=5，f（0）-f（-1）=1，则f（x）的解析式为(
)
A.3x-2
B.3x+2
C.x+4
D.x-4
答案：D
解析：设f(x)=kx+b(k≠0),
由已知,得
解得
∴f(x)=x-4.
3.函数f(x)=x+的图象是(
)
答案：C
解析：f(x)=
4.已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则的值是(
)
A.4
B.-2
C.
D.
答案：D
解析：令ax+4=0,得x=(a≠0),
令bx-2=0,得x=(b≠0).
由题意,可知,∴.
5.(1)下列三个函数y=-2x,x=x,y=(2-3)x,共同点是①___________;②___________;
③___________.
(2)某种储蓄的月利率为0.15%,现存入1
000元,则本息和y(元)与所存月数x之间的函数关系式是___________.
(3)写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式(写出一个即可):.______________________
①y随着x的增大而减小;
②图象经过点(1,-3).
答案：(1)一次函数
斜率小于0
图象过原点
(2)y=1.5x+1
000,x∈N
(3)y=-x-2
6.已知A地在B地的正南方向3
km处,甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直线前进,他们与A地的距离s(km)与所用时间t(h)之间的函数关系的图象如图所示,当他们走了3
h的时候,他们之间的距离是多少千米
解：设AC的表达式为y=kx(k≠0),BD的表达式为y=k1x+3(k1≠0),
令P点坐标为(2,2k),
又此点坐标满足BD的表达式,
∴2k=2k1+3,∴k1=.
∴BD的表达式为y=.
当x=3时,甲距A地的距离为3k
km,乙距A地的距离为(×3+3)
km,
∴3k-(×3+3)=(km).
30分钟训练
1.下列函数①y=x;②y=2x-1;③y=;④y=2-1-3x;⑤y=x2-1中,是一次函数的有(
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：B
提示：根据一次函数的定义进行判断.
2.已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=x+2上,则y1、y2大小关系是(
)
A.y1>y2
B.y1=y2
C.y1D.不能比较
答案：A
解析：∵函数y=x+2为R上的减函数.
∴y1>y2.
3.2006年,小华的月工资(元)与劳动生产率(千元)变化的近似方程为y=500+80x,下列判断正确的是(
)
A.劳动生产率为1
000元时,工资为80元
B.劳动生产率提高1
000元时,工资平均提高80元
C.劳动生产率提高1
000元时,工资平均提高580元
D.当月工资为740元时,劳动生产率为2
000元
答案：B
4.(探究题)已知一次函数y=(p+3)x+(2-p),试确定p的范围,使得：
(1)当_____________时,y随x增大而减小;
(2)当_____________时,图象过第一、二、三象限;
(3)当_____________时,图象过原点.
答案：(1)p<-3
(2)-3(3)p=2
5.(创新题)如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题:
(1)当行驶8千米时,收费应为_____________元.
(2)从图象上你能获得哪些信息 (请写出2条)
①__________________________;②__________________________.
(3)求出收费y(元)与行驶路程x(千米)(x≥3)之间的函数关系式为_____________.
答案：(1)11
(2)①从起步到不超过3千米,收费5元
②超过3千米后,每增加1千米,出租费增加1.2元
(3)y=1.2x+1.4(x≥3)
6.2006年,在一次摇控车比赛中,电脑记录了速度的变化过程,如图所示,能否用函数关系式表示这段记录
解：观察题中图象可知,
当t在0-1
s内时,速度v与时间t是正比例函数关系,
v=7.5t(0≤t≤1);
当t在1-8
s内时,速度v保持不变,
v=7.5(1当t在8-10
s内时,速度v与时间t是一次函数关系,v=-3.75t+37.5(8即v=
7.科学家通过研究得出:一定质量的某种气体在体积不变的情况下,压强p(kPa)随温度t(℃)变化的函数关系式是p=kt+b,其图象如图所示.
(1)根据图象求出上述气体的压强p与温度t之间的函数关系式;
(2)当压强为200
kPa时,求上述气体的温度.
解：(1)观察题中图象可知,点(25,110),(50,120)在该图象上.
∴函数关系式为p=.
(2)当p=200时,有200=,
∴t=250.
∴当压强p为200
kPa时,气体的温度是250
℃.
8.某单位急需用车,但不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订合同,设汽车每月行驶x
km,应付给个体车主的月租费是y1元,应付给国营出租车公司的月租费是y2元,y1、y2分别与x之间的函数关系的图象(两条射线)如图所示,观察图象,回答下列问题.
(1)分别写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算
(3)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同
(4)如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2
300
km,那么,这个单位租哪家的车合算
解：由题图可知,
(1)设y1=k1x+b(k1、b为常数,且k1≠0),y2=k2x(k2≠0).
∴y1、y2都经过点(1
000,2
000).
∴2
000=1
000k2.∴k2=2.
∴y1=x+1
000,y2=2x(x≥0).
(2)当y2000,
∴x<1
000.
∴每月行驶的路程在0
km≤x<1
000
km时,租国营公司的车合算.
(3)当y2=y1时,有2x=x+1
000,
∴x=1
000.
∴每月行驶的路程等于1
000
km时,租两家车的费用相同.
(4)当y2>y1时,有2x>x+1
000,
∴x>1
000.
∴每月行驶的路程大于1
000
km时,租个体车比较合算.
∴当x=2
300
km时,这个单位租个体车比较合算.3.2.2
对数函数
5分钟训练
1.函数y=的定义域是(
)
A.(3,+∞)
B.［3,+∞)
C.(4,+∞)
D.［4,+∞)
答案：D
解析：由log2x-2≥0,得x≥4.
2.函数f(x)=|log2x|的图象是(
)
答案：A
解析：f(x)=
3.设a=0.3-2,b=log0.34,c=log43,则a、b、c的大小关系是(
)
A.a＜b＜c
B.a＜c＜b
C.c＜b＜a
D.b＜c＜a
答案：D
解析：利用它们与0、1的大小关系进行比较.
4.函数f（x）=log（a-1）x是减函数，则a的取值范围是______________.
答案：1＜a＜2
解析：由题意知0＜a-1＜1，
∴1＜a＜2.
10分钟训练
1.函数y=lg|x|是(
)
A.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增
B.偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减
C.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增
D.奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减
答案：B
解析：画出函数y=lg|x|的草图即见答案.在画函数y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于y轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表.
2.函数f(x)=xln|x|的图象是(
)
答案：A
解析：因为函数f(x)是奇函数,
所以C、D不成立.
当x＞1时,f(x)＞0,所以B不成立.
3.设f(x)=则f(f(2))的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：f［f(2)］=f(1)=2.
4.若定义在（-1，0）上的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是(
)
A.（0，）
B.（0，］
C.（，+∞）
D.（0，+∞）
答案：A
解析：当x∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.由此解得05.方程log3x+x=3的解所在的区间为(
)
A.(0,2)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
答案：C
解法一：在同一坐标系中作出函数y=log3x与y=3-x的图象,易知x∈(2,3).
解法二:设f(x)=log3x+x-3.
因为f(2)·f(3)＜0,可知函数的零点在(2,3)之间.
6.设a≠0，对于函数f（x）=log3（ax2-x+a），
（1）若x∈R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）∈R，求实数a的取值范围.
解：(1)f(x)的定义域为R，则ax2-x+a＞0对一切实数x恒成立，其等价条件是
解得a＞.
(2)f(x)的值域为R，则真数ax2-x+a能取遍大于0的所有实数，其等价条件是
解得0＜a≤.
30分钟训练
1.（2006天津高考,文4）设P=log23,Q=log32,R=log2(log32),则(
)
A.R＜Q＜P
B.P＜R＜Q
C.Q＜R＜P
D.R＜P＜Q
答案：A
解析：∵P＞1,0＜Q＜1,R＜0,
∴R＜Q＜P.
2.函数y=||的定义域为［a,b］,值域为［0,2］,则b-a的最小值是(
)
A.
B.3
C.
D.2
答案：C
解析：如图,令||=2,得x=或x=4.
∵y∈［0,2］,∴(b-a)min=1=.
3.下列四个函数中,图象如图所示的只能是(
)
A.y=x+lgx
B.y=x-lgx
C.y=-x+lgx
D.y=-x-lgx
答案：B
解析：因为A、D是单调函数,
所以它们不正确.不妨取x=10,
∵C中的y=-10+lg10=-9＜0,
∴C不正确.
4.已知0＜a＜1,logam＜logan＜0,则(
)
A.1＜n＜m
B.1＜m＜n
C.m＜n＜1
D.n＜m＜1
答案：A
解析：由0＜a＜1知函数f(x)=logax为减函数,由logam＜logan＜0,得m>n>1.
5.已知函数y=lg(2x-b)(b为常数),若x∈［1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则(
)
A.b≤1
B.b＜1
C.b≥1
D.b=1
答案：A
解析：由题意得,2x-b≥1,b≤2x-1,x∈［1,+∞).
此时(2x-1)min=1,从而b≤1.
6.(创新题)设函数f(x)=logax(a＞0,且a≠1),若f(x1·x2·…·x2
007)=8,则f(x12)+f(x22)+…+f(x2
0072)的值等于(
)
A.4
B.8
C.16
D.2loga8
答案：C
解析：∵f(x)=logax,f(x1·x2·…·x2
007)=8,
∴由函数的运算性质,得f(x12)+f(x22)+…+f(x2
0072)=f(x12·x22·…·x2
0072)=f［(x1·x2·…·x2
007)2］=loga(x1·x2·…·x2
007)2=2loga(x1·x2·…·x2007)=2×8=16.
7.若f(x)=则满足f(x)=的x的值为_______________.
答案：1或3
解析：当时,x=1;
当log81x=时,x==3.
所以x的值为1或3.
8.(探究题)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论：
①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);
②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);
③＞0;
④f()＜［f(x1)+f(x2)］.
当f(x)=lgx时,上述结论成立的是_________________.(填序号)
答案：②③
提示:根据对数的运算性质及函数的性质进行判断.
9.已知集合A={x|＜1},B={x|log4(x+a)＜1},若A∩B=,求实数a的取值范围.
解：由＜1,得x2-x-6＞0,解得x＜-2或x＞3,即A={x|x＜-2或x＞3}.
由log4(x+a)＜1,得0＜x+a＜4,解得-a＜x＜4-a,即B={x|-a＜x＜4-a}.
∵A∩B=,
∴解得1≤a≤2.即实数a的取值范围是［1,2］.
10.已知函数f(x)=loga(a＞0,且a≠1)的图象关于原点对称.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并根据定义证明.
解：(1)根据已知条件对于定义域内的一切x都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
∴=0.
整理得=0,
∴=1,即(m2-1)x2=0.
∴m2-1=0.∴m=1或m=-1.
若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,
∴m=-1.
(2)设1＜x1＜x2,而f(x)=loga,
∵,
∴＞0.
当a＞1时,,
即f(x)在(1,+∞)上递减；
当0＜a＜1时,,
即f(x)在(1,+∞)上递增.2.4.1
函数的零点
5分钟训练
1.观察下面的四个函数图象,则在(-∞,0)内,函数y=fi(x)(i=1,2,3,4)有零点的是(
)
A.①
B.①②
C.①②③
D.②④
答案：B
解析：在区间(-∞,0)内,函数f1(x)、f2(x)的图象与x轴有交点.
2.函数y=2x2-4x-3的零点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
答案：C
解析：∵Δ=(-4)2-4×2×(-3)=40>0,
∴方程2x2-4x-3=0有两个不相等的实根,即函数y=2x2-4x-3有2个零点.
3.函数f(x)=x3-x2-x+1在［0,2］上(
)
A.有三个零点
B.有两个零点
C.有一个零点
D.没有零点
答案：C
解析：由于f(x)=x3-x2-x+1=(x-1)2(x+1)，令f(x)=0得x=±1，因此函数在［0,2］上有一个零点.
4.若函数f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为______________.(只填序号)
①(-∞,1］;②［1,2］;③［2,3］;④［3,4］;⑤［4,5］;⑥［5,6］;⑦［6,+∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
-3.930
10.678
-50.667
-305.678
答案：③④⑤
10分钟训练
1.已知函数f（x）=2ax+4，若在区间［-2，1］上存在x0，使f（x0）=0，则实数a的取值范围是(
)
A.（-∞，-2］∪［1，+∞）
B.［-1，2］
C.［-1，4］
D.［-2，1］
答案：A
解析：f（-2）f（1）≤0（-4a+4）（2a+4）≤0a≤-2或a≥1.
2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间［-2,4］上的零点必定在内.(
)
A.［-2,1］
B.［,4］
C.［1,］
D.［,］
答案：D
解析：由于f(-2)＜0，f(4)＞0，=f(1)＜0，＞0，
＜0，
∴零点介于［］内.故选D.
3.函数y=-x2+8x-16在区间［3,5］上(
)
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
D.有无数个零点
答案：B
解析：函数y=-(x-4)2有一个二重零点4,
故在区间［3,5］上有一个零点.
4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是(
)
A.0,2
B.0,
C.0,
D.2,
答案：C
解析：∵2a+b=0,b=-2a,
∴g(x)=-2ax2-ax=-a(2x2+x)=-ax(2x+1).
∴函数g(x)的零点是0,.
5.已知y=x2+ax+3有一个零点为2,则a的值是_____________.
答案：
解析：由题意可知x=2是方程x2+ax+3=0的一个根,代入可得a=.
6.判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.
解：考虑函数f(x)=(x-2)(x-5)-1,有f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1,
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1.
又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如图),
所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一个交点,在(-∞,2)内也有一个交点.
所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.
30分钟训练
1.已知方程（m-1）x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是(
)
A.＜m＜1
B.≤m＜1
C.＜m≤1
D.m≤或m＞1
答案：B
解析：利用方程根与系数的关系求解.
2.已知f（x）=（x-a）（x-b）-2，并且α、β是方程f（x）=0的两根，则实数a、b、α、β的大小关系可能是(
)
A.α＜a＜b＜β
B.a＜α＜β＜b
C.a＜α＜b＜β
D.α＜a＜β＜b
答案：A
解析：f（a）=-2，f（b）=-2,f（α）=f（β）=0，f（x）的开口向上，所以a、b在α、β之间.
3.已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且f()>0>f(-3),则函数y=f(x)的零点的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：由于函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,因此在(-∞,0)上递增.
又因为f()>0>f()=f(),
所以函数f(x)在(,)上与x轴有一个交点,必在(,)上也有一个交点,故函数y=f(x)的零点的个数为2.
4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是________________.
答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)
解析：由于y=ax2+bx+c是二次函数，由图表联想到二次函数的有关性质，不难获得答案，函数的零点就是此函数的分水岭，所以找出函数的零点-2、3是解决本题的关键.
5.(创新题)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是__________.
答案：,
解析：由题意可得a=2+3=5,b=-6.
所以g(x)=-6x2-5x-1=-(2x+1)(3x+1),零点为,.
6.奇函数f(x)的定义域为R,在(0,+∞)上,f(x)为增函数,若-3是f(x)的一个零点,则f(x)另外的零点是______________.
答案：0,3
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0.
因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0.
所以f(x)另外的零点是0,3.
7.已知m∈R时，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，则实数a的取值范围是______________.
答案：-1≤a≤1
解析：（1）当m=0时，f(x)=x-a=0，得x=a恒有解，此时x∈R.
（2）当m≠0时，f(x)=0,即mx2+x-m-a=0恒有解，
∴Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立，即4m2+4am+1≥0恒成立.
∴Δ2=16a2-16≤0，解得-1≤a≤1.
因此对m∈R，函数恒有零点，有-1≤a≤1.
8.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a的取值范围.
解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示).
∵f(x)=0的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内,
∴
即
解得-12所求a的取值范围是-129.(探究题)试找出一个长度为1的区间,在这个区间上函数y=至少有一个零点.
解：函数f(x)=的定义域为(-∞,
)∪(,+∞).
取区间［,］.
∵f()=<0,
f()=>0,
∴在区间［,］内函数f(x)至少有一个零点.
∴［,］就是符合条件的一个区间.
10.求函数f(x)=x3-x的零点,并画出它的图象.
解：因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1),
令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0.
解得已知函数的零点为-1,0,1,这三个零点把x轴分成4个区间:(-∞,-1］,(-1,0］,(0,1］,(1,+∞),在这四个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值表：
x
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
y
…
-1.875
0
0.375
0
-0.375
0
1.875
…
在直线坐标系内描点作图,这个函数的图象如下:3.2.1
对数及其运算
5分钟训练
1.对数式x=ln2化为指数式是(
)
A.xe=2
B.ex=2
C.x2=e
D.2x=e
答案：B
2.以下说法不正确的是(
)
A.0和负数没有对数
B.对数值可以是任意实数
C.以a(a＞0,a≠1)为底1的对数等于0
D.以3为底9的对数等于±2
答案：D
3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e2.其中正确的是(
)
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
答案：C
4.log2+log212-log242=_____________.
答案：
解法一：+log212-log242
=(log27-log248)+log24+log23-log26-log27
=log216log23+2+log23-log23=.
解法二：原式=log2(.
10分钟训练
1.式子的值为(
)
A.
B.
C.2+
D.1+
答案：B
解析：原式=.
2.下列四个命题中，真命题是(
)
A.lg2lg3=lg5
B.lg23=lg9
C.若logaM+N=b，则M+N=ab
D.若log2M+log3N=log2N+log3M，则M=N
答案：D
解析：在对数运算的性质中，与A类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B中的lg23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C中的logaM+N表示(logaM)+N，它与loga(M+N)不是同一意义；D中等式可化为log2M-log2N=log3M-log3N，即log2，所以M=N.
3.已知11.2a=1
000，0.011
2b=1
000，那么等于(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：A
解法一：用指数解.由题意11.2=，0.011
2=，
∴两式相除得=1
000.
∴=1.
解法二：用对数解.由题意，得a×lg11.2=3，b×lg0.011
2=3，
∴=(lg11.2-lg0.011
2)=1.
4.若lnx-lny=a,则ln()3-ln()3等于(
)
A.
B.a
C.
D.3a
答案：D
解析：ln()3-ln()3=3(ln-ln)=3(lnx-ln2-lny+ln2)=3a.
5.已知lg6=0.778
2,则102.778
2=______________.
答案：600
解析：∵lg6=0.778
2,∴100.778
2=6.
∴102.778
2=102·100.778
2=100×6=600.
6.(1)已知3a=2,用a表示log34-log36;
(2)已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.
解：(1)∵3a=2,∴a=log32.
∴log34-log36=log3=log32-1=a-1.
(2)∵3b=5,
∴b=log35.
又∵log32=a,
∴log3=log3(2×3×5)
=(log32+log33+log35)=(a+b+1).
30分钟训练
1.已知a、b、c为非零实数，且3a=4b=6c，那么(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：设3a=4b=6c=k，则a=log3k，b=log4k，c=log6k，得=logk3，=logk4，=logk6.所以.
2.设x、y为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是(
)
①logax2=2logax
②loga3>loga2
③loga|x·y|=loga|x|·loga|y|
④logax2=2loga|x|
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：①②③不一定成立，④一定成立.
3.(探究题)已知f(x6)=log2x,那么f(8)的值为(
)
A.
B.8
C.18
D.
答案：D
解析：设t=x6,则x=,所以f(t)=log2,f(8)=log2.
4.已知函数f（x）=则f［f（）］的值是(
)
A.9
B.
C.-9
D.
答案：B
解析：f()=log3=-2，f(-2)=3-2=.
5.(创新题)已知集合M={(x,y)|xy=1,x＞1},在映射f:M→N作用下,点(x,y)与点(log2x,log2y)相对应,设u=log2x,v=log2y,则N的集合为(
)
A.{(u,v)|u+v=0}
B.{(u,v)|u+v=0,u＞0}
C.{(u,v)|u+v=1}
D.{(u,v)|u+v=1,v＞0}
答案：B
解析：∵x＞1,∴log2x＞0.
又∵xy=1,∴x=.
于是log2x=log2=-log2y,
从而log2x+log2y=0.
6.已知log23=a,log37=b,则log1456=_________________.
答案：
解析：由log23=a,log37=b,得log27=ab.log1456=.
7.式子(a＞0,a≠1)的化简结果是_______________.
答案：-n
解析：原式=logaa-nlogaa-logaa=-n-=-n.
8.已知a、b均为正实数,且a2+b2=7ab,试证明(lga+lgb).
证明：∵a2+b2=7ab,∴(a+b)2=9ab.
∵a＞0,b＞0,∴.
∴(lga+lgb).
9.已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值为3,求a的值.
解：∵二次函数f(x)有最大值,∴lga＜0.
又［f(x)］max==3,
∴4lg2a-3lga-1=0.
∴lga=1或lga=.
∵lga＜0,
∴lga=.
∴a=.
10.2005年3月28日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m可以定义为m=lgN，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度.
解：设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N1和N2，由题意得因此lgN2-lgN1=0.3，
即=0.3，∴=100.3≈2.
因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.1.2.2
集合的运算
5分钟训练
1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于(
)
A.{1,2}
B.{3,4,5}
C.{1,2,6,7}
D.{1,2,3,4,5}
答案：A
2.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(
)
A.［0,2］
B.［1,2］
C.［0,4］
D.［1,4］
答案：A
提示：在数轴上表示出两个集合,观察公共部分.
3.设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是(
)
A.（A）∪B=I
B.（A）∪（B）=I
C.A∩（B）=
D.（A）∩（B）=B
答案：B
解析：画出韦恩图，有（A）∪（B）=（A∩B），知B错.
4.设全集为U,用集合A、B、C的交、并、补集符号表示图中的阴影部分.
(1)__________________;(2)
__________________.
答案：(1)(A)∩B
(2)(C)∩(A∩B)
10分钟训练
1.下列说法：①{0}；②xA，则x∈A的补集；③若C=A∪B，D=A∩B，则CD；④适合{a}A{a，b，c}的集合A的个数为4.其中不正确的有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
解析：①空集是任何集合的子集；②没有指明全集,若A=N,全集U=Z,则A负整数集,x=3.5,则xA且xA.故②错；③可用韦恩图验证；④分析至少含有一个元素a，最多含有三个元素a、b、c的集合的个数.
①③④都正确，所以选B.
2.已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m-1}，且B≠，若A∪B=A，则(
)
A.-3≤m≤4
B.-3＜m＜4
C.2＜m＜4
D.2＜m≤4
答案：D
解析：由题意，BA.又B≠，故解得2＜m≤4.
3.设全集I=R,M={x|x<-2或x>2}与N={x|1)
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1D.{x|x<2}
答案：C
解析：由题图可知,阴影部分表示的集合为(M)∩N.
∵M={x|x<-2或x>2},
∴M={x|-2≤x≤2}.
观察上图可知(M)∩N={x|14.某运动协会共有成员68人,其中会游泳的57人,会射击的62人,若两项都不会的有3人,则两项都会的有(
)
A.55人
B.51人
C.58人
D.54人
答案：D
解析：依据集合的运算性质,可设两项都会的有x人,则68=(57-x)+x+(62-x)+3.所以x=54.
5.已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值是(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案：A
解析：依题意,a-3=-3或2a-1=-3,
解得a=0或a=-1.
当a=0时,M={0,1,-3},N={-3,-1,1},这与M∩N={-3}矛盾,故a≠0;
当a=-1时,M={1,0,-3},N={-4,-3,2},符合题意.另外,针对此题的题型还可采用直接代入法求解.
6.已知全集U=N
,集合A={x|x=2n,n∈N
},B={x|x=4n,n∈N
},请使用含有集合A、B的集合运算表示全集U=____________.(只需写出一个即可)
答案：A∪(B)
30分钟训练
1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C等于(
)
A.{1,2,3}
B.{1,2,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
答案：D
解析：∵A∩B={1,2},C={2,3,4},
∴（A∩B）∪C={1,2,3,4}.
2.如图所示,阴影部分表示的集合是(
)
A.B∩((A∪C))
B.(A∪B)∪(B∪C)
C.(A∪C)∩(B)
D.((A∩C))∪B
答案：A
解析：阴影部分元素x∈B,但xA,xC,所以阴影部分表示的集合为B∩((A∪C)).
3.在高一(4)班的学生之中,参加语文小组的有20人,参加数学小组的有22人,两个小组都参加的有10人,两个小组都未参加的有15人,则高一(4)班共有学生(
)
A.42人
B.57人
C.52人
D.47人
答案：D
解析：依集合的运算性质,画韦恩图可得:共有人数为20+22-10+15=47.故选D.
4.(探究题)已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},M∩(N)={0,3},则满足条件的集合N共有(
)
A.4个
B.6个
C.8个
D.16个
答案：C
解析：集合N中没有元素0,3,有元素5.故集合N的个数为含元素1,2,4的集合的子集的个数23=8个.
5.集合A、B各有2个元素,A∩B中有一个元素,若集合C同时满足
①CA∪B,②CA∩B,则满足条件的集合C的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D
解析：不妨设A={a,b},B={b,c}.
由①知C{a,b,c},由②知{b}C,所以C中必有元素b.
故C的个数为含有两个元素的集合的子集的个数.
6.(创新题)定义集合M与N的新运算如下：M
N={x|x∈M或x∈N且xM∩N}.若M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M
N)
M等于(
)
A.M
B.N
C.{2,3,4,8,9,10,15}
D.{0,6,12}
答案：B
解析：方法一:
∵M∩N={0,6,12},
∴M
N={2,3,4,8,9,10,15},
∴(M
N)
M={0,3,6,9,12,15}=N.
方法二:如图所示,由定义可知M
N为图中阴影的区域,
∴(M
N)
M为图中阴影Ⅱ和空白的区域.
∴(M
N)
M=N.
7.设集合A={-3，0，1}，B={t2-t+1}.若A∪B=A，则t=_____________.
答案：0或1
解析：由A∪B=A,知BA，
∴t2-t+1=-3①或t2-t+1=0②或t2-t+1=1③.
①无解；
②无解；
③t=0或t=1.
8.设I是全集,非空集合P、Q满足PQI.若含P、Q的一个运算表达式,使运算结果为空集,则这个运算表达式可以是____________(只要求写出一个表达式).
答案：(Q)∩P=
解析：方法一:如韦恩图所示:
则(Q)∩P=.
方法二:构造满足条件的集合实例论证.
设I={1,2,3},Q={1,2},P={1},则Q={3},
显然(Q)∩P=.
9.设二次方程x2+ax+b=0和x2+cx+15=0的解集分别是A和B，又A∪B={3，5}，A∩B={3}，求a、b、c的值.
解：∵A∩B={3}，
∴3一定为方程x2+cx+15=0的根，
于是c=-8，将c=-8代回方程得方程的两根为3、5，
又∵A∪B={3，5}，A∩B={3}，
∴方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根为3.
∴3+3=-a，3×3=b.
∴a=-6，b=9，c=-8.
10.设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，A={5}，求实数a的值.
解：∵A={5}，A={|2a-1|，2}，U={2，3，a2+2a-3}，
∴
解得
∴a=2.2.3
函数的应用(Ⅰ)
5分钟训练
1.已知在x克a%的盐水中,加入y克b%的盐水,浓度变为c%,将y表示成x的函数关系式为(
)
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
答案：B
解析：因为配制前后溶质不变,有等式a%x+b%y=c%(x+y),
即ax+by=cx+cy,故y=.
2.向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(
)
答案：B
解析：观察图象,h较小时V值上升的较快说明下底大，而h较大时V值上升的较慢说明上底小.
3.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg）与其运费（元）由下图的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_______________.
答案：19
kg
解析：设y=kx+b，将点（30，330）、（40，630）代入,得y=30x-570.令y=0即可.
4.有一块长为20厘米，宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.则盒子的容积V与x的函数关系式是_____________.
答案：V=（20-2x）（12-2x）x
解析：由题意找出x与边长的关系，然后利用体积公式写出容积V与x的函数关系式.
10分钟训练
1.某自行车存车处在某天的存车量为4
000辆次,存车费为:变速车0.3元/辆次,普通车0.2元/辆次.若当天普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式为(
)
A.y=0.2x(0≤x≤4
000)
B.y=0.5x(0≤x≤4
000)
C.y=-0.1x+1
200(0≤x≤4
000)
D.y=0.1x+1
200(0≤x≤4
000)
答案：C
解析：由题意,得y=0.3(4
000-x)+0.2x(0≤x≤4
000),
即y=-0.1x+1
200(0≤x≤4
000).
2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3
000+20x-0.1x2(0x∈N
),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为(
)
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
答案：C
解析：设生产者不亏本时的最低产量为x台,
依题意,得25x-3
000-20x+0.1x2≥0,
即x2+50x-30
000≥0.
解得x≤-200(舍)或x≥150.
所以生产者不亏本时的最低产量为150台.
3.某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲:联通130网
12元
每分钟0.36元
每6秒钟0.06元
乙:移动“神州行”卡
无
每分钟0.6元
每6秒钟0.07元
(注:本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费)
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(分钟)的范围在区间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为(
)
A.甲
B.乙
C.甲、乙均一样
D.分情况确定
答案：A
解析：(1)若按甲网络计费,则需支出的费用为y1=12+5×0.36x+×0.06=2.4x+12.
当60(2)若按乙网络计费,则需支出的费用为y2=5x×0.6+60x×=3.7x.
当60由(1)(2)可知选择甲网络省钱.
4.对于每一个实数x，f（x）是y=2-x2和y=x这两个函数值中的较小者，则f（x）的最大值是(
)
A.1
B.2
C.0
D.-2
答案：A
解析：由数形结合的思想，比较两函数图象在同一坐标系下的位置关系.
5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示,则该汽车在前3小时内行驶的路程为________km,假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2
006
km,那么在t∈［1,2］时,汽车里程表读数s与时间t的函数解析式为_______________.
答案：220
s=1
976+80t(t≥0)
解析：该汽车在前3个小时内行驶的路程为50×1+80×1+90×1=220
km.
由于这辆汽车在行驶这段路程前的里程表的读数为2
006
km,
所以当t∈［1,2］时,汽车里程表的读数s与时间t的函数关系式是s=2
006+50×1+80(t-1)=1
976+80t(t≥0).
6.绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润
解：设销售价为x元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量),正好当月销售完的进货量为×40+400,即400×(9-2x)瓶.
此时所得的利润为f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27)(元),
根据函数的性质,当x=3.75时,f(x)取得最大值450,
这时进货量为400×(9-2x)=400×(9-2×3.75)=600(瓶).
获得最大利润为450元.
30分钟训练
1.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
每户每月用水量
水价
不超过12
m3的部分
3元/m3
超过12
m3但不超过18
m3的部分
6元/m3
超过18
m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元,则此户居民本月用水量(
)
A.比12
m3少
B.比12
m3多,但不超过18
m3
C.比18
m3多
D.恰为12
m3
答案：B
解析：设每户每月用水量为x,水价为y,
则y=
即
∴48=6x-36,x=14,故选B.
2.如图,是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有(
)
①这几年人民的生活水平逐年得到提高;②人民生活费收入增长最快的一年是2003年;③虽然2005年生活费收入增长最缓慢,但由于生活价格指数也略有降低,因而人民的生活仍有较大改善.
A.1项
B.2项
C.3项
D.0项
答案：C
解析：根据题图,“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收入指数”2003-2004年最“陡”，②正确.生活价格指数下降,而“生活费收入指数”的曲线呈上升趋势，故③正确.
3.(探究题)如图,△ABO为正三角形,直线x=t截三角形得△ABO左侧的阴影图形,当直线自左向右匀速移动时(0≤t≤a),阴影图形面积S关于t的函数图象大致是(
)
答案：A
解析：S=
4.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
7
价格(元/担)
68
78
67
71
72
70
则7月份该产品的市场收购价格应为(
)
A.69元
B.70元
C.71元
D.72元
答案：C
解析：f(a)=(a-71)2+(a-72)2+(a-70)2=3(a-71)2+2.
当a=71时,f(a)最小.
5.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.
则一定能确定正确的论断序号是____________.
答案：①
解析：由题中甲、乙两图可知,一个水口单位时间内的出水量是进水量的2倍.对于①,由于蓄水量持续增加,所以它是正确的;对于②,由于单位时间内的出水量同进水量一致,所以它表示同时打开一个进水口和一个出水口;对于③,也可表示同时打开两个进水口和一个出水口.
6.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4
000元的按超过800元的14%纳税；超过4
000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一书共纳税420元,这个人的稿费为____________元.
答案：3
800
解析：∵3
200×14%=448>420,
∴稿费超出800元的部分为420÷14%=3
000,即可求出.
7.用4
m长的合金条做一个“日”字形的窗户.当窗户的长和宽各为多少时,透过的光线最多
解：设“日”字形窗户的长为x
m，则宽为
m，其面积为
S==.
所以当窗户的长为1
m，宽为m时，窗户的面积最大为m2，即透过的光线最多.
8.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台.现销售给A地10台,B地8台.已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关系式.
(2)若总运费不超过9
000元,问共有几种调运方案
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的费用.
解：由甲、乙两地调运至A、B两地的机器台数及费用列表如下：
调出地
甲地
乙地
调至地
A地
B地
A地
B地
台数
10-x
12-(10-x)
x
6-x
每台运费
400
800
300
500
运费合计
400(10-x)
800［12- (10-x)］
300x
500· (6-x)
(1)依题意,得y=400(10-x)+800［12-(10-x)］+300x+500(6-x),
即y=200(x+43)(0≤x≤6,x∈Z).
(2)由y≤9
000,解得x≤2.
∵x∈Z,0≤x≤6,
∴x=0,1,2.
∴共有三种调运方案.
(3)由一次函数的单调性,知当x=0时,总运费y最低,ymin=8
600元,即从乙地调6台给B地,甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的总运费最低,最低运费为8
600元.
9.某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的单价x(元)与相应的日销量y(个)作了统计,其数据如下：
x
16
20
24
28
y
42
30
18
6
(1)能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系 若能,写出函数解析式.
(2)设经营此商品的日销售利润为P(元),求P关于x的函数解析式,并指出当此商品的销售价每个为多少元时,才能使日销售利润P取最大值 最大值是多少
解：(1)观察x、y的关系,可大体看到y与x是一次函数,令y=kx+b.
代入当x=16时,y=42;x=20时,y=30.
得
由②-①,得-12=4k,
∴k=-3.
代入②,得b=90.
所以y=-3x+90,显然当x=24时,y=18.
当x=28时,y=6.
对照数据,可以看到y=-3x+90即为所求解析式.
(2)利润P=(x-12)·(-3x+90)=-3x2+126x-1
080=-3(x-21)2+243.
∵二次函数开口向下,
∴当x=21时,P最大为243.
即每件售价为21元时,利润最大,最大值为243元.1.2.1
集合之间的关系
5分钟训练
1.设A={正方形},B={矩形},C={平行四边形},D={梯形},则下列包含关系中不正确的是(
)
A.AB
B.BC
C.CD
D.AC
答案：C
解析：四个集合之间的关系借助韦恩图表示为
显然,ABC,而CD.
2.下列四个命题：①={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;
④空集是任何一个集合的子集.
其中正确的有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
解析：只有②是正确的.
3.集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}的真子集的个数是(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
答案：C
解析：当n=0,1,2时,得到x的值分别为5,3,1.
∴集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}={1，3，5}.
∴其真子集的个数是23-1=7.
4.用恰当的符号填空(=,,).
(1)已知集合M={1,3,5},集合P={5,1,3},则M________________P;
(2)设集合A={x|(x-3)(x+2)=0},B={x|=0},则A_____B.
答案：(1)=
(2)
解析：(2)∵A={-2,3},B={3},∴AB.
10分钟训练
1.下列说法中正确的是(
)
①空集是任何集合的真子集
②若AB,BC,则AC
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
④如果不属于A的元素也不属于B,则BA
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案：D
2.集合{x∈N|-4)
A.32
B.31
C.16
D.15
答案：D
解析：∵{x∈N|-4∴它的真子集个数是24-1=15.
3.已知集合{2x，x2-x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围是(
)
A.R
B.（-∞，0）∪（0，+∞）
C.{x|x≠3，x∈R}
D.{x|x≠0且x≠3，x∈R}
答案：D
解析：由已知{2x，x2-x}有且只有4个子集，可知2x≠x2-x.解得x≠0且x≠3.
4.已知集合A={-1,3,m},集合B={3,4}.若BA,则实数m=_____________.
答案：4
解析：∵BA,∴4∈A.∴m=4.
5.图中反映的是“文学作品、散文、小说、叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空格:A为_____________;B为_____________;C为_____________;D为_____________.
答案：小说
文学作品
叙事散文
散文
6.设集合A={a|a=n2+1,n∈N
},集合B={b|b=k2-4k+5,k∈N
},若a∈A,试判断a与集合B的关系及集合A与B的关系.
解：∵a∈A,∴a=n02+1(n0∈N
).
n02+1=n02+4n0+4-4(n0+2)+5=(n0+2)2-4(n0+2)+5.
设n0+2=k0,则k0∈N
,
∴a=k02-4k0+5(k0∈N
).∴a∈B.
又1∈B,但1A,∴AB.
30分钟训练
1.集合M={x|x=m+，m∈Z}，N={x|x=，n∈Z}，P={x=，p∈Z}，则M、N、P之间的关系是(
)
A.M=NP
B.MN=P
C.MNP
D.NP=M
答案：B
解析：可简单列举集合中的元素,也可从判断元素的共性和差异入手.M={x|x=，m∈Z}，N={x|x=，n∈Z}，P={x|x=，p∈Z}.由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P.
2.满足条件{1，2}A{1，2，3，4}的集合A的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：∵{1，2}A{1，2，3，4}，
∴A中至少有1、2两个元素，至多有1、2、3或1、2、4三个元素.
∴集合A可能有三种情况：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.
∴集合A的个数是3.故选C.
3.(创新题)设集合A={x|x=,n∈Z},B={x|x=nπ+,n∈Z},则下列图中能表示A、B关系的是(
)
答案：A
解析：∵B={x|x=,n∈Z}={x|x=,n∈Z},
A={x|x=或x=,k∈Z},
∴BA.
4.同时满足（1）M{1，2，3，4，5}，（2）若a∈M，则6-a∈M的非空集合M有(
)
A.32个
B.15个
C.7个
D.6个
答案：C
解析：∵M{1，2，3，4，5}，a∈M，则6-a∈M，∴1、5应同属于M，2、4也应同属于M，3可单独出现.
∴集合M的情况有七种：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.故选C.
5.集合M={x|x=2n+1,n∈Z}与集合N={x|x=4k±1,k∈Z}的关系是(
)
A.M真包含于N
B.M真包含N
C.M=N
D.M≠N
答案：C
解析：2n+1表示全体奇数,4k±1也是奇数,故MN.若M真包含N,即B选项对,则D选项也对,这与只有一个正确答案相悖,所以B选项不对,只有C选项对.
6.含有三个实数的集合可表示为{},也可表示为{|x|,x+y,0},以上x、y为确定常数,则x5-y5的值为(
)
A.0
B.1
C.-1
D.±1
答案：C
解析：由题意可知{x,,1}={|x|,x+y,0},
∵x≠0,∴=0,y=0.
∴{x,0,1}={|x|,x,0}.
∴x=-1.
∴x5-y5=(-1)5-0=-1.
7.在平面直角坐标系中，集合C={（x，y）|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合D={（x，y）|}表示直线2x-y=1和直线x+4y=5的交集，则集合C、D之间的关系为______________，用几何语言描述这种关系为______________.
答案：DC
点D在直线y=x上
解析：直线2x-y=1和直线x+4y=5的交点坐标为（1，1）.
8.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x、y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且P是Q的真子集,把满足上述条件的一对有序整数(x,y)作为一个点,这样的点的个数是______________.
答案：14
解析：当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9;当x取3,4,5,6,7,8,9时,∵PQ,∴y只能依次取与x相同的值.满足上述条件的点的个数是7+7=14.
9.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的五分之三，其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为，赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x.利用韦恩图即可列出方程解出结果.对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
10.(探究题)已知集合A={1,3,-a3},B={1,a+2},是否存在实数a,使得BA 若实数a存在,求集合A和B;若实数a不存在,请说明理由.
解：假设存在实数a,使得BA.
则a+2=3①或a+2=-a3②,
由①得a=1,此时A={1,3,-1},B={1,3},满足BA.
由②得a3+a+2=0,即(a+1)(a2-a+2)=0,解得a=-1.
此时,A、B中的元素重复,故不合题意.
由①②可知a=1,A={1,3,-1},B={1,3}.3.3
幂函数
5分钟训练
1.下列函数中是幂函数的是（
）
A.y=(x+2)2
B.y=
C.y=
D.y=3x
答案：C
解析：根据幂函数的定义判断.
2.下列函数图象中，表示y=的是（
）
答案：C
解析：因为<0,所以A、D错误.又因为函数是奇函数，所以B错误.
3.幂函数y=xa的图象一定经过（0，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1）中的(
)
A.一点
B.两点
C.三点
D.四点
答案：A
解析：所有幂函数的图象都过点（1，1）.
4.已知幂函数y=f(x)的图象经过点（2，），那么这个幂函数的解析式为_____________.
答案：y=
10分钟训练
1.下列命题中，不正确的是（
）
A.幂函数y=x-1是奇函数
B.幂函数y=x2是偶函数
C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D.幂函数y=既不是奇函数也不是偶函数
答案：C
解析：函数y=x是奇函数，不是偶函数.
2.幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是（
）
A.（0，+∞）
B.［0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,0)
答案：D
解析：设f(x)=xα.由2α=,得α=-2,故f(x)=x-2,其单调增区间是（-∞,0）.
3.函数y=的图象是（
）
答案：D
解析：y=的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位得到的.
4.当x>1时，函数y=xa的图象恒在直线y=x的下方，则a的取值范围是（
）
A.0B.a<0
C.a<1
D.a>1
答案：C
解析：观察幂函数的图象.
5.若幂函数y=xn对于给定的有理数n，其定义域和值域相同，则此幂函数（
）
A.一定是奇函数
B.一定是偶函数
C.一定不是奇函数
D.一定不是偶函数
答案：D
解析：可使用排除法，如y=满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A、B均不对.y=x3满足题意，它是奇函数，所以C不对.
6.已知x2>，求x的取值范围.
解：在同一坐标系中，作出函数y=x2与y=的图象，如图.
通过图象可以看出，当且仅当x>1时，x2>,
∴所求x的取值范围是x>1.
30分钟训练
1.下列命题中正确的是（
）
A.当α=0时函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C.若幂函数y=xα是奇函数，则y=xα是定义域上的增函数
D.幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案：D
解析：对于A，当α=0时，函数y=xα是y=1(x≠0),它不是直线；当幂指数α<0时图象不经过原点，所以B错；由y=x-1,可知C错.
2.已知幂函数y=，y=，y=，y=在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是(
)
A.n1>n2>1，n3B.n1>n2>1，n4C.n1>1>n2>0>n4>n3
D.n1>1>n2>0>n3>n4
答案：D
解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过（1，1）点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小.
3.下列不等式中错误的是(
)
A.0.50.3＜0.70.3
B.
C.
D.
答案：C
解析：利用幂、指、对函数的单调性进行判断.
4.(创新题)函数①y=|x|;②y=;③y=;④y=中，在（-∞,0）上是增函数的有（
）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案：C
解析：①y=|x|=在（-∞,0）上是减函数，排除A、D；②y=在（-∞,0）上为常数函数，排除B.
5.设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是（
）
A.（-1，1）
B.（-1，+∞）
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案：D
解析：由所以x<-1.
又由所以x>1.
所以x0的取值范围是（-∞,-1）∪(1,+∞).
6.幂函数y=x-1,直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ(如图所示)，那么幂函数y=的图象在第一象限中经过的“卦限”是（
）
A.Ⅳ
Ⅶ
B.Ⅳ
Ⅷ
C.Ⅲ
Ⅷ
D.Ⅲ
Ⅶ
答案：D
解析：y=，其图象为第一象限的一条双曲线，与y=x-1交叉出现.由<-1,可知它经过Ⅲ、Ⅶ“卦限”.
7.,则实数a的取值范围是__________________.
答案：a>3
解析：y=在R上是增函数，所以有a+1<2a-2.解得a>3.
8.已知函数f(x)=.
(1)画出f(x)的草图；
（2）指数f(x)的单调区间；
（3）设a,b,c>0,a+b>c,证明f(a)+f(b)>f(c).
解：(1)f(x)=.函数f(x)是由y=向左平移1个单位后，再向上平移1个单位形成的，图象如图.
（2）由图象可以看出，函数f(x)有2个单调递增区间:（-∞,-1）,(-1,+∞).
(3)f(a)=,f(b)=.
∵a,b>0,∴.
∴f(a)+f(b)>=f(a+b).
∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，a+b>c>0,
∴f(a+b)>f(c).∴f(a)+f(b)>f(c).
9.(探究题)已知函数f(x)=,求证：
（1）f(x)在其定义域上是增函数；
（2）方程f(x)=1最多有一个实根.
答案：(1)证明:f(x)的定义域为（0，+∞）.
设x1,x2∈(0,+∞)，且x1.
∵0∴f(x)为增函数.
（2）证明：f(x)的值域为R.假设存在x1,x2>0,使f(x1)=f(x2)=1.不妨设x1∵f(x)是（0，+∞）上的增函数，
∴f(x1)∴假设不成立，即f(x)=1的根只有一个.
10.已知幂函数f（x）=（m∈Z）的图象关于y轴对称且与x轴、y轴无交点.
（1）试求函数f（x）的解析式，并画出它的图象；
（2）讨论函数g（x）=的奇偶性（a、b∈R）.
解：（1）由幂函数的图象与x、y轴无公共点，
∴m2-2m-3<0，即-1又m∈Z，得m=0，1，2.
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴它是偶函数.把m=0，1，2分别代入得f（x）=x-3，f（x）=x-4，f（x）=x-3，
只有f（x）=x-4符合条件，故m只能取1.
∴f（x）=x-4.其图象如图所示.
（2）把f（x）=x-4代入g（x）的解析式，得
g（x）=（x≠0），
g（-x）=.
∴当a≠0，b≠0时，g（x）为非奇非偶函数；
当a=0，b≠0时，g（x）为奇函数；
当a≠0，b=0时，g（x）为偶函数；
当a=b=0时，g（x）既为奇函数又为偶函数.3.1.1
有理指数幂及其运算
5分钟训练
1.将化为分数指数幂,其形式是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：.
2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(
)
A.（x≠0）
B.
C.（xy≠0）
D.（y＜0）
答案：C
解析：根据根式、分数指数幂的意义和转化法则可知，选项A中负号应在括号外；选项B应等于；选项D指数不能约分成，这样值域会发生变化，左边的值域为(0，+∞)，右边的值域为(-∞，0).
3.化简的结果是(
)
A.6a
B.-a
C.-9a
D.9a
答案：C
解析：原式=-9·.
4.若10x=3,10y=4,则=______________.
答案：
解析：=10x÷=3÷.
10分钟训练
1.把根式改写成分数指数幂的形式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
2.以下各式中,成立且结果为最简根式的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
3.下列结论中,正确的个数是(
)
①当a＜0时,=a3
②=|a|(n＞0)
③函数y=-(3x-7)0的定义域是(2,+∞)
④若100a=5,10b=2,则2a+b=1
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：①中,当a＜0时,=(-a)3=-a3,∴①不正确;
②正确;③中,有即x≥2且x≠,故定义域为［2,)∪(,+∞);
④中,∵100a=5,10b=2,
∴102a=5,10b=2,102a×10b=10.
∴2a+b=1.④正确.
4.若-2x2+5x-2＞0,则+2|x-2|等于(
)
A.4x-5
B.-3
C.3
D.5-4x
答案：C
解析：由-2x2+5x-2＞0,得＜x＜2.+2|x-2|
=2x-1+2(2-x)=2x-1+4-2x=3.
5.计算下列各式：
(1)；
(2).
解：(1)原式=.
(2)原式=
.
6.求值：
(1)已知=3,求a+a-1,a2+a-2的值;
(2)已知x+y=12,xy=9,且x＜y,求的值.
解：(1)∵()2=a+2+a-1=9,
∴a+a-1=7.
又(a+a-1)2=a2+2+a-2=49,
∴a2+a-2=47.
(2).
∵x+y=12,xy=9,
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.
∵x＜y,
∴x-y=-2×.
∴原式=.
30分钟训练
1.的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：原式=.
2.的结果是(
)
A.a16
B.a8
C.a4
D.a2
答案：C
解析：原式=()4·()4=()4·(=a2·a2=a4.
3.某工厂在1997年年底制定生产计划,要使2007年年底总产值在原有基础上翻两番,则总产值的年平均增长率为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由题意m(1+x)10=4m,解得x=.
4.若a=()-1,b=()-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是(
)
A.1
B.
C.
D.
答案：D
解析：a=,b=.
(a+1)-2+(b+1)-2=
=.
5.(探究题)若S=(1+)(1+)(1+)(1+)(1+),那么S等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：原式
=…=.
6.设α、β是方程2x2+3x+1=0的两个根,则2α·2β=____________.
答案：
解析：由韦达定理,得α+β=.
2α·2β=2α+β=.
7.化简(1+)-1+(+)-1+(+2)-1+…+(+)-1的结果是_____________.
答案：-1
解析：原式=.
8.已知a=,b=,求的值.
解：a6b-6-6a3b-1+9b4=(a3b-3-3b2)2,
由a=,b=,得a3b-3＜3b2.
∴原式=
=-b2==-50.
9.若x＞0,y＞0,且,
求的值.
解：可化为.
因式分解得=0.
∵x＞0,y＞0,∴=0,即x=25y.
∴=3.
10.(创新题)已知x=,n∈N
,求(x+)n的值.
解：∵x=(),∴1+x2=1+()2=［()2+2+()2］
=［()］2.
∴.
∴(x+)n=()n=5.2.2.3
待定系数法
5分钟训练
1.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k、b的符号是(
)
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
C.k<0,b>0
D.k<0,b<0
答案：D
解析：观察图象可知k<0,b<0.
2.弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度是(
)
A.9
cm
B.10
cm
C.10.5
cm
D.11
cm
答案：B
解析：设一次函数解析式为y=kx+b,
则
解得
所以y=0.5x+10.
当x=0时,y=10.
3.f(x)是正比例函数,且f(-2)=-1,则f(x)=______________;g(x)是反比例函数,且g(-2)=-1,则g(x)=______________.
答案：x
解析：设f(x)=k1x(k1≠0),g(x)=(k2≠0),
由题意可得-1=k1×(-2),-1=.
所以k1=,k2=2.
故f(x)=x,g(x)=.
4.用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(1)一般式:
____________;
(2)零点式:
____________;(3)顶点式:____________.
答案：(1)y=ax2+bx+c(a≠0)
(2)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
(3)y=a(x+k)2+h(a≠0)
10分钟训练
1.已知一次函数y=kx+b,当x增加3时,y减小2,则k的值是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
2.已知二次函数y=ax2+bx+c,如图所示,若a<0,c>0,那么它的图象大致是(
)
答案：D
解析：∵a<0,
∴二次函数的图象开口向下,排除A、B.
又∵c>0,图象不过原点,∴排除C.
3.如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为(
)
A.6
B.4
C.3
D.1
答案：C
解析：由函数图象可知C点坐标为(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3.
所以A、B两点之间的距离为2,那么△ABC的面积为3.
4.二次函数y=x2+bx+c的图象顶点是(-1,-3),则b=____________,c=____________.
答案：2
-2
解析：顶点横坐标x==-1,得b=2.
纵坐标=-3,得c=-2.
5.已知f(x)是一次函数,若f［f(x)］=9x+3,则f(x)=
____________.
答案：3x+或-3x
解析：设f(x)=ax+b.
f［f(x)］=a2x+ab+b=9x+3,
比较系数a2=9,ab+b=3.
解得
所以f(x)=3x+或f(x)=-3x.
6.二次函数图象经过A(0,2)和B(5,7)两点,且它的顶点在直线y=-x上.求该二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y=a(x-k)2+h(a≠0).
因函数的顶点在直线y=-x上,
所以h=-k.
①
又图象经过A、B两点,
所以
②
由①②,解得k1=,k2=2.
当k1=时,h=,a=,y=(x+)2+;
当k2=2时,h=-2,a=1,y=(x-2)2-2.
所以二次函数的解析式为y=(x+)2+或y=(x-2)2-2.
30分钟训练
1.若(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,那么它的对称轴为直线(
)
A.x=
B.x=1
C.x=2
D.x=3
答案：D
解析：(2,5)与(4,5)两点关于直线x=3对称.
2.若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为(
)
A.-3
B.3
C.-2
D.2
答案：D
解析：由=0,得m=2.
3.(探究题)已知反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为(
)
答案：D
解析：由反比例函数图象,可知k<0.
所以二次函数的图象开口向下,对称轴为x=<0,故选D.
4.已知f(x)=则下列函数的图象错误的是(
)
答案：C
解析：函数f(x)的图象如图所示.
借助函数图象的平移、对称、翻折等知识求解.
5.二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,则对称轴是_____________,当函数值y<0时,对应x的取值范围是_____________.
答案：x=-1
-3解析：对称轴方程是x=-1,
当x<-3或x>1时,y>0;
当-36.(创新题)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)和B(8,2),如图所示,则能使y1>y2成立的x的取值范围是_____________.
答案：x<-2或x>8
解析：由条件可知,当x<-2或x>8时,y1的图象在y2的图象的上方,则使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.
7.(1)f(x)是一次函数,且其图象通过A(-2,0)、B(0,-4)两点,则f(x)=
_____________.
(2)f(x)是二次函数,方程f(x)=0的两根是x1=-2,x2=3,且f(0)=-3,则f(x)=
_____________.
答案：(1)-2x-4
(2)(x+2)(x-3)
解析：(1)设f(x)=kx+b(k≠0),
由题意得
解得
所以f(x)=-2x-4.
(2)设f(x)=a(x+2)(x-3)(a≠0),
由f(0)=-3=a(0+2)(0-3),得a=.
所以f(x)=(x+2)(x-3).
8.已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,则f(x)=
_____________.
答案：x2-4x+8
解析：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.
比较系数,得
∴f(x)=x2-4x+8.
9.分解因式:3x2+5xy-2y2+x+9y-4.
解：∵3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y),
∴原式分解后的因式应为(3x-y+m)(x+2y+n),
即3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+m)(x+2y+n)=3x2+5xy-2y2+(m+3n)x+(2m-n)y+mn.
比较系数,得
∴3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-1).
10.已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.
解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由条件,可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)与(7,0)两点,
将三个点的坐标代入,得
∴所求二次函数解析式为y=.
解法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0),
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-7),把顶点(4,-3)代入,得-3=a(4-1)(4-7).
解得a=.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-7),
即y=.
解法三：∵抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0).
∴设二次函数解析式为y=a(x-4)2-3.
将(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,
解得a=.
∴二次函数的解析式为y=(x-4)2-3,即y=.3.4
函数的应用（Ⅱ）
5分钟训练
1.为了治理沙尘暴，A市政府大力加强环境保护，其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则y=f(x)的图象大致为（
）
答案：D
解析：y=a(1+10.4%)x（a为草场绿色植被初始面积）.
2.已知甲、乙两厂年产值的曲线如下图所示，则下列结论中，错误的一个是（
）
A.两厂的产值有三年相同
B.甲厂产值有两年超过乙厂
C.1994年前甲厂产值低于乙厂
D.1996到2001年乙厂的产值增长最快
答案：B
解析：两图象有三个交点，在这一年显然产值相同，所以A正确.此外易观察出C、D均能成立.
3.当x→+∞时，下列函数中，增长速度最快的应该是（
）
A.y=
B.y=100lnx
C.y=x100
D.y=100·2x
答案：A
解析：指数函数增长的快慢与底数有关，当底数大于1时，底数越大，增长速度越快.
4.某工厂从t年到t+2年新产品的成本共下降了51%，若两年下降的百分率相同，则每年下降的百分率为（
）
A.30%
B.25.5%
C.24.5%
D.51%
答案：A
解析：设第t年的成本为a,每年下降的百分率为x,则第t+2年的成本为a(1-x)2,
∴=51%,解得x=30%.
10分钟训练
1.一种产品的成本今年是a元，计划使成本平均每年比上一年降低m%，则从今年算起，第四年时该产品的成本为(
)
A.a（1-m%）3
B.a（1+m%）3
C.a（1-m）3
D.a（1+m）3
答案：A
解析：第二年时该产品的成本为a(1-m%),第三年时该产品的成本为a(1-m%)2,第四年时该产品的成本为a(1-m%)3.
2.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
-2.0
-1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a,b为待定系数)（
）
A.y=a+bx
B.y=a+bx
C.y=ax2+b
D.y=
答案：B
解析：∵x=0时，无意义，∴D不成立.由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，所以A不成立.因为C是偶函数，所以x=±1的值应该相等，故C不成立.
对于B，当x=0时,y=1,∴a+1=1,a=0;当x=1时,y=b=2.02,显然它与各数据比较接近.
3.某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细菌由1个繁殖成4
096个需经过___________小时.(
)
A.12
B.4
C.3
D.2
答案：C
解析：设共分裂了x次，则有2x=4
096.
∴2x=212,即x=12.
又∵每次15分钟,
∴共15×12=180分钟，即3小时.
4.假设银行1年定期的年利率为2%.某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01）（
）
A.7.14万元
B.7.58万元
C.7.56万元
D.7.50万元
答案：B
解析：到2001年底，这个人有存款（1+2%）万元；
到2002年底，这个人有存款（1+2%）2+（1+2%）万元；
到2003年底，这个人有存款（1+2%）3+（1+2%）2+（1+2%）万元；
……
到2007年底，这个人有存款（1+2%）7+（1+2%）6+…+（1+2%）≈7.58（万元）.
5.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95
933亿元，比上一年增长7.3%.”如果“十五”期间（2001—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内生产总值约为（
）
A.115
000亿元
B.120
000亿元
C.127
000亿元
D.135
000亿元
答案：C
解析：到“十五”末我国国内生产总值约为95
933×(1+7.3%)4≈127
000(亿元).
6.某工厂2002年开发一种新型农用机械，每台成本为5
000元，并加价20%作为纯利润标价出厂.自2003年开始，工厂加强内部管理，进行技术革新，使成本降低，2006年平均出厂价尽管只有2002年的80%，但却实现了纯利润为50%的高效益.以2002年生产成本为基础，设2002年到2006年生产成本平均每年每台降低的百分数为x,试建立2006年生产成本y与x的函数关系式，并求x的值.（可能用到的近似值：≈1.414,≈1.73,≈2.24）
解：根据题意，由2002年到2006年生产成本经历了4年的降低，所以y=5
000(1-x)4.
由2002年出厂价为5
000（1+20%）=6
000元，
得2006年出厂价为6
000×80%=4
800元.
由4
800=y(1+50%)，得y=3
200元.
再由5
000(1-x)4=3
200,得x=≈11%.
所以，由2002年到2006年，生产成本平均每年降低11%.
30分钟训练
1.每次用相同体积的水清洗一件衣物，且每次能洗去污垢的,若洗x次后存留的污垢在1%以下，则x的最小值为（
）
A.3
B.2
C.5
D.1
答案：A
解析：每次洗去污垢的,就是存留了,故洗x次后，还有原来的（）x,有（）x<1%,∴5x>100.解得x的最小值为3.
2.（探究题）函数y1=2x与y2=x2,当x>0时，图象的交点个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解析：当x=2时，y1=y2;
当x=4时，y1=y2.所以，当x>0时，y1与y2有2个交点.
3.（2007山东日照实验高中《函数》过关测试,6）f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时，对三个函数增长速度进行比较，下列选项中正确的是（
）
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
答案：B
解析：可借助图象去体会指数爆炸的含义.
4.某种商品在今年1月降价10%，在此之后，由于市场供求关系的影响，价格连续三次上涨，使目前售价与1月降价前的价格相同，则这三次价格的平均增长率是_____________.
答案：
解析：设1月降价前的价格为a,这三次价格的平均增长率是x,由题意，得a(1-10%)(1+x)3=a.
则（1+x）3=,1+x=,
所以x=.
5.（创新题）如图，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt，那么桶2中水就是y2=a-ae-nt.假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过_____________分钟桶1中的水只有.
答案：10
解析：∵过5分钟后桶1和桶2的水相等，
∴a·e-5n=a-ae-5n,e-5n=.
①
设过x分钟桶1中的水只有,则=ae-nx,即e-nx=.
由①可知e-nx=（）3=（e-5n）3=e-15n,
∴x=15.
∴再过15-5=10分钟桶1中的水只有.
6.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1,空气温度是θ0,t分钟后物体温度θ可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)求得.现有60
℃的物体放在15
℃的空气中冷却，当物体温度为35
℃时，冷却时间t=_______________分钟.
答案：2
解析：由35=15+(60-15),得,即,所以t=2.
7.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y=at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30
m2；
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2
m2、3
m2、6
m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3.
其中正确的是________________.
答案：①②⑤
8.某城市2006年底人口总数为100万人，如果人口年自然增长率为1%，试解答下面的问题：
（1）写出x年后该城市人口数y（万人）与x的函数关系式;
(2)计算2008年底该城市人口总数.
解：(1)x年后该城市人口总数为y=100×(1+1%)x.
(2)2008年底该城市人口数为y=100×(1+1%)2=100×1.012=102.01(万人).
9.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0、λ是正的常数.
（1）说明函数是增函数还是减函数；
（2）把t表示为原子数N的函数；
（3）求当N=时t的值.
解：（1）由于N0>0，λ>0，函数N=N0e-λt是属于指数函数y=e-x类型的，所以它是减函数，
即原子数N的值随时间t的增大而减小.
（2）将N=N0e-λt写成e-λt=，
根据对数的定义有-λt=ln，
即t=（lnN-lnN0）=（lnN0-lnN）.
（3）把N=代入t=（lnN0-lnN），得t=（lnN0-ln分
N0[]2式）=（lnN0-lnN0+ln2）=ln2.
10.九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中a、b、c为常数)，且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
解：（1）若以f(x)=px2+qx+r(这里把1990视为第一年，即x表示“年数-1989”)作模拟函数，则依题意,得所以f(x)=.
(2)若以g(x)=a·bx+c作模拟函数，则所以g(x)=.
(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位.
∵|f(5)-16|<|g(5)-16|,故选f(x)=作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.2.2.2
二次函数的性质与图象
5分钟训练
1.抛物线y=x2-2x+1的对称轴是(
)
A.直线x=1
B.直线x=-1
C.直线x=2
D.直线x=-2
答案：A
解析一：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是y=,将已知抛物线中的a=1,b=-2代入,求得x=1.
解析二：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式,对称轴为x=h,已知抛物线可配方为y=(x-1)2,所以对称轴x=1.
2.设集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则(A∩B)等于(
)
A.R
B.{x|x∈R,x≠0}
C.{0}
D.
答案：B
解析：A=［0,2］,B=［-4,0］,
所以(A∩B)={x|x∈R,x≠0}.
3.函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=3x2+2x-1的图象关于原点对称，则a=_____________，b=_____________，c=_____________.
答案：-3
2
1
解析：设点（x，y）在y=3x2+2x-1的图象上，那么点（-x，-y）在y=ax2+bx+c的图象上.所以-y=a（-x）2+b（-x）+c，即y=-ax2+bx-c.从而a=-3，b=2，c=1.
4.下列四个函数中：
A.y=x2-3x+2
B.y=5-x2
C.y=-x2+2x
D.y=x2-4x+4
(1)图象经过坐标原点的函数是_____________;
(2)图象的顶点在x轴上的函数是_____________;
(3)图象的顶点在y轴上的函数是_____________.
答案：(1)C
(2)D
(3)B
10分钟训练
1.函数y=-ax+1与y=ax2在同一坐标系的图象大致是图中的(
)
答案：D
解析：因为函数y=ax2一定经过坐标原点，所以先排除答案A、B.对a＞0、a＜0两种情况进行讨论、分析、验证.
2.当a、b为实数，二次函数y=a（x-2）2+b有最小值-1时，则有(
)
A.a＜b
B.a=b
C.a＞b
D.a与b的大小无法确定
答案：C
解析：二次函数有最小值-1，所以a＞0，b=-1.所以a＞b.
3.已知函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是(
)
A.a≤-3
B.a≥-3
C.a≤5
D.a≥3
答案：A
解析：二次函数的对称轴x=1-a在x=4的右侧，即1-a≥4.∴a≤-3.
4.若0答案：
解析：y=-2(x)2+.
∵∈(0,
),∴ymax=.
5.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)(x∈R),且f(x)在(2,+∞)上是减函数,则f(5),f(-2),f(3)的大小关系为____________.
答案：
解析：依题意,二次函数f(x)的对称轴是x=2,且在(-∞,2)上是增函数.
∵f(5)=f(-1),且,
∴.
6.某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次,每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次,每次应拖挂多少车厢才能使运营人数最多 并求出每天最多运营人数.
解：设每日来回y次,每次挂x节车厢,
由题意,得y=kx+b.
当x=4时y=16,当x=7时y=10,得下列方程组解得k=-2,b=24.
∴y=-2x+24.
由题意,知每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运S节车厢,
则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72.
所以当x=6时,Smax=72,此时y=12.
则每日最多运营人数为110×6×12=7
920(人).
30分钟训练
1.（2006陕西高考,文2）函数f(x)=(x∈R)的值域是(
)
A.(0,1)
B.(0,1］
C.［0,1)
D.［0,1］
答案：B
解析：函数f(x)=(x∈R),
∴1+x2≥1.
∴原函数的值域是(0,1］.
2.设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下图之一,则a的值为(
)
A.1
B.-1
C.
D.
答案：B
解析：∵b>0,∴不是前两个图形,从后两个图形看>0,∴a<0.
故应是第3个图形.
∵过原点,∴a2-1=0.
结合a<0.∴a=-1.
3.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］,值域为［,-4］,则m的取值范围是(
)
A.(0,4］
B.［,4］
C.［,3］
D.［,+∞)
答案：C
解析：∵y=(x)2,
∴当x=时,ymin=.
∴m≥.
令x2-3x-4=-4,得x=0或x=3.
∴≤m≤3.
4.(探究题)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有(
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：B
解析：∵二次函数的图象开口向上,
∴a>0.
又∵图象与x轴有两个交点,
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,
即Δ=b2-4ac>0.
二次函数图象的对称轴在原点右侧、直线x=1的左侧,
故0<<1,即-b<2a,2a+b>0.
观察图象可知f(1)=a+b+c<0.
5.如图,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A(-1,0)、点B(3,0)和点C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.
(1)二次函数的解析式为______________.
(2)当自变量______________时,两函数的函数值都随x增大而增大.
(3)当自变量______________时,一次函数值大于二次函数值.
(4)当自变量______________时,两函数的函数值的积小于0.
答案：(1)y=x2-2x-3
(2)x≥1
(3)0解析：(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a>0).
∵图象过(0,-3),
∴-3=a×1×(-3),a=1.
∴函数解析式为y=x2-2x-3.
(2)函数的对称轴方程为x=1,当x≥1时,两函数的函数值都随x增大而增大.
(3)当0(4)当x<-1时,两函数的函数值的积小于0.
6.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=
_________.
答案：
解析：由题意,得
∴f(x)=
7.(创新题)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点：
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:.______________________.
答案：y=或y=或y=,或y=.
解法一：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1则其图象与y轴两交点分别是A(x1,0),B(x2,0),与y轴交点坐标是(0,ax1x2).
∵抛物线的对称轴是直线x=4,
∴x2-4=4-x1,即x1+x2=8.
①
∵S△ABC=3,∴(x2-x1)·|ax1x2|=3,即x2-x1=.
②
①②两式相加减,可得x2=.
∵x1、x2是整数,ax1x2也是整数,
∴ax1x2是3的约数,共可取值为±1,±3.
当ax1x2=±1时,x2=7,x1=1,a=±;
当ax1x2=±3时,x2=5,x1=3,a=±.
因此,所求解析式为y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3),
即y=或y=或y=或y=.
解法二:用猜测验证法.例如:猜测与x轴交点为A(5,0),B(3,0).
再由题设条件求出a,看c是否是整数.若是,则猜测得以验证,填上即可.
8.已知二次函数的对称轴为x=,截x轴上的弦长为4,且过点(0,-1),求函数的解析式.
解：∵二次函数的对称轴为x=,
可设所求函数为f(x)=a(x+)2+b,
又∵f(x)截x轴上的弦长为4,
∴f(x)过点(+2,0)和(-2,0),f(x)又过点(0,-1).
∴
∴f(x)=(x+)2-2.
9.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系:y=-0.1x2+2.6x+43(0(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强 x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低
(2)第10分时,学生的接受能力是什么
(3)第几分时,学生的接受能力最强
解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9,
所以当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强;
当13(2)当x=10时,y=-0.1×(10-13)2+59.9=59.
第10分时,学生的接受能力为59.
(3)当x=13时,y取得最大值.
所以在第13分时,学生的接受能力最强.
10.（2006上海春季高考,21）设函数f(x)=|x2-4x-5|.
(1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)的图象;
(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明.
解：(1)
(2)方程f(x)=5的解分别是,0,4和,由于f(x)在(-∞,-1］和［2,5］上单调递减,
在［-1,2］和［5,+∞)上单调递增,
因此A=(-∞,］∪［0,4］∪［,+∞).
故BA.3.2.3
指数函数与对数函数的关系
5分钟训练
1.下表给出了函数y=ax(a＞0,a≠1)的一部分自变量与函数值,那么其反函数是
X
-2
-1
0
1
2
Y
9
3
1
A.y=log3x
B.y=logx3
C.y=
D.y=logx
答案：C
解析：由x=1时,y=,得a=,从而其反函数为y=,x＞0.
2.函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析式为(
)
A.y=log2
B.y=
C.y=log2
D.y=log2
答案：A
解析：y=+3y-3=21-x,
∴log2(y-3)=1-x,即x=1-log2(y-3).
∴x=,交换x、y知y=log2.
3.如图，当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象是(
)
答案：A
解析：首先把y=a-x化为y=()x，
∵a＞1，∴0＜＜1.因此y=()x，即y=a-x的图象是下降的，y=logax的图象是上升的.
4.若函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=_________.
答案：
解析：由互为反函数关系,知f(x)过点(-1,2),代入得a-1=2,a=.
10分钟训练
1.已知f（x）=10x-1-2，则f-1（8）的值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：根据互为反函数的两个函数的关系，f-1(8)的值就是原函数函数值为8时对应的自变量x的值.由8=10x-1-2,解得x=2，即f-1(8)=2.
2.函数y=(x≠0)的反函数的图象大致是(
)
答案：B
解析：由y=(x≠0),得xy=1-x,
∴x=.
∴反函数为y=,其图象由y=图象向左平移一个单位可得.
3.若log2［(log2x)］=log3［(log3y)］=log5［(log5z)］=0,则x、y、z的大小关系是(
)
A.z＜x＜y
B.x＜y＜z
C.y＜z＜x
D.z＜y＜x
答案：D
解析：由log5［(log5z)］=0,可知=1,log5z=,可得z=.同理可得x=,y=.
∵=25=32,=52=25,
∴＞,∴x＞y.
同理可得y＞z.综上可知x＞y＞z.
4.设函数f(x)=loga(x+b)(a＞0,a≠1)的图象过点(0,0),其反函数的图象过点(1,2),则a+b等于(
)
A.6
B.5
C.4
D.3
答案：C
解析：函数f(x)=loga(x+b)(a＞0,a≠1)的图象过点(0,0),其反函数的图象过点(1,2),则∴a=3,则a+b=4.
5.已知a＞0,且10x=lg(10a)+lga-1,则x=____________.
答案：0
解析：∵10x=1+lga-lga,∴x=0.
6.已知函数f（x）=1+a-x，其中a＞0，a≠1.
（1）求f（x）的反函数f-1（x）；
（2）判断函数f-1（x）的单调性，并加以证明.
解：(1)由y=1+a-x，得a-x=y-1.
∴-x=loga(y-1).
∴x=-loga(y-1)，即x=loga.
又由y=1+a-x知y＞1.
∴函数f(x)的反函数为f-1(x)=loga(x＞1).
(2)设1＜x1＜x2，f-1(x1)-f-1(x2)=loga.
∵1＜x1＜x2，
∴0＜x1-1＜x2-1.∴＞1.
∴当a＞1时，＞0，
即f-1(x1)-f-1(x2)＞0，f-1(x1)＞f-1(x2).∴f-1(x)为减函数.
当0＜a＜1时，＜0，f-1(x1)-f-1(x2)＜0，f-1(x1)＜f-1(x2)，
∴f-1(x)为增函数.
总之，当a＞1时，f-1(x)在(1，+∞)上单调递减；当0＜a＜1时，f-1(x)在(1，+∞)上单调递增.
30分钟训练
1.设函数f(x)=log3x的反函数为y=f-1(x),则f-1(-log92)的值是(
)
A.2
B.
C.
D.log3
答案：C
解析：因为互为反函数的定义域与值域是互相对称的,所以,
令log3x=-log92=log32=log3,得x==.
2.(创新题)若f(x)=logax(a＞0且a≠1),且反函数值f-1(2)＜1,则f(x)的图象是(
)
答案：B
解析：因为f-1(x)=ax,f-1(2)＜1,可知0＜a＜1.
3.已知3a=5b=A,=2,则A等于(
)
A.15
B.
C.±
D.225
答案：B
解析：∵3a=5b=A＞0,
∴a=log3A,b=log5A.
由=2,得A2=15,A=.
4.(探究题)今有一组数据如下：
T
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
V
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案,哪个函数最接近这组数据 (
)
A.v=log2t
B.v=
C.v=
D.v=2t-2
答案：C
解析：依据数据的变化规律,可知该函数是增函数,从而B错误.由于函数值的变化越来越快,知A、D错误.
5.如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2,)中,“好点”的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：D
解析：∵loga1=0,∴M、N一定不是“好点”.
6.图中三条对数函数图象，若＞1,则x1,x2,x3的大小关系是(
)
A.x1＞x2＞x3
B.x3＞x2＞x1
C.x3＞x1＞x2
D.x2＞x1＞x3
答案：B
解析：由图知0＜b＜a＜1>c,再根据指数函数的图象可知x1＜x2＜0,x3>0,从而x1＜x2＜x3.
7.设g(x)=则g［g()］=_________________.
答案：
解析：g［g()］=g(ln)=.
8.若0＜a＜1,则下列不等式中一定成立的是_______________.
①0.8a＜0.7a;②a0.8＜a0.9;③loga0.8＜loga0.9;④0.8lga＜0.7lga.
答案：④
解析：∵＞1,∴0.8a＞0.7a,因此①不成立.由指数函数y=ax(0＜a＜1)和对数函数y=logax(0＜a＜1)的单调性,知②③不成立.
∵0＜a＜1,∴lga＜0,＜1,
∴④成立.
9.已知函数f(x)=amx(a＞0,且a≠1)(m∈R,m≠0),
求f-1［f(-x)］的表达式.
解：令f(x)=amx=y,f(-x)=a-mx,mx=logay,
∴x=logay.∴f-1(x)=logax.
∴f-1［f(-x)］=logaa-mx=·(-mx)=-x.
10.函数f(x)与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,
求f(4-x2)的单调递增区间.
解：∵函数f(x)与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称,
∴函数f(x)与g(x)互为反函数.
∴f(x)=.
∴f(4-x2)=,这又是复合函数的单调性问题,其中内函数t=4-x2,由4-x2＞0得函数定义域为(-2,2),而t的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),与定义域的交集为(-2,0),(0,2).
由复合函数单调性的判断方法可得,所求单调递增区间为(0,2).2.1.4
函数的奇偶性
2.1.5
用计算机作函数的图象(选学)
5分钟训练
1.下列命题正确的是(
)
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数的图象一定通过原点
C.不存在既是奇函数又是偶函数的函数
D.偶函数的图象关于y轴对称
答案：D
解析：偶函数的图象不一定与y轴相交,如函数y=x2,x∈［-4,-3］∪［3,4］,排除A;奇函数的图象不一定过原点,如函数y=,排除B;函数f(x)=0(x∈R)既是奇函数又是偶函数,排除C.
2.下列函数图象中所表示的函数是奇函数的是(
)
答案：D
解析：由奇函数的图象关于原点对称,可得D项中的函数为奇函数.
3.对定义域为R的任何奇函数f(x),都有(
)
A.f(x)-f(-x)>0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)·f(-x)>0
答案：C
解析：∵函数f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0.
故A、D错误.
对于B恒有f(x)≤0,这与奇函数的图象关于原点对称相矛盾.
4.(1)一次函数y=kx+b(k≠0)是奇函数,则b=___________;
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=___________.
答案：(1)0
(2)0
解析：(1)由-kx+b=-(kx+b),得b=0.
(2)因为a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c,
所以-bx=bx,故b=0.
10分钟训练
1.函数y=x|x|的图象大致是(
)
答案：C
解析：∵y=x|x|是奇函数,
∴A、B错误.
又∵x>0时,y=x2,∴D错误.
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是(
)
A.增函数
B.减函数
C.非单调函数
D.可能是增函数,也可能是减函数
答案：A
解析：∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即(m-1)x2+2m(-x)+3=(m-1)x2+2mx+3.
∴-2mx=2mx.∴m=0.∴f(x)=-x2+3.
∴f(x)在(-5,-2)上是增函数.
3.如果奇函数f(x)在区间［-5,-3］上是增函数,且最大值是-4,那么f(x)在x∈［3,5］上是(
)
A.增函数且最大值是4
B.增函数且最小值是4
C.减函数且最大值是4
D.减函数且最小值是4
答案：B
解析：作一个符合条件的函数的简图.
观察图形,可知f(x)在［3,5］上是增函数,且最小值为4.
4.函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数.下列结论中正确的是(
)
A.f（1）＜f（）＜f（）
B.f（）＜f（1）＜f（）
C.f（）＜f（）＜f（1）
D.f（）＜f（1）＜f（）
答案：B
解析：y=f（x）的图象关于直线x=2对称，且在（0，2）上是增函数，（2，3）上是减函数，
∴.
又f（3）=f（1），∴.
5.已知奇函数f(x)在x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=____________.
答案：-x(x+1)
解析：设x>0,则-x<0.
由条件,得f(-x)=-x(-x-1).
∵函数为奇函数,f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x(-x-1).
∴f(x)=-x(x+1).
6.已知f（x）是奇函数，在（-1，1）上是减函数，且满足f（1-a）+f（1-a2）＜0，求实数a的范围.
解：由f（1-a）+f（1-a2）＜0，
得f（1-a）＜-f（1-a2）.
∵f（x）是奇函数，
∴-f（1-a2）=f（a2-1）.
于是f（1-a）＜f（a2-1）.
又由于f（x）在（-1，1）上是减函数，因此，解得0＜a＜1.
30分钟训练
1.设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则(
)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定
答案：A
解析：x2>-x1>0,f(x)是R上的偶函数,
∴f(-x1)=f(x1).
又f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f(-x2)=f(x2)2.(探究题)已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图(1)和(2):
则y=f(x)·g(x)的大致图象为(
)
答案：B
解析：由图象可知,y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数,故A、C错误.
又∵当00,g(x)<0,
∴f(x)·g(x)<0.故D错误.
3.已知函数f(x)在［-5,5］上是偶函数,f(x)在［0,5］上是单调函数,且f(-3))
A.f(-1)B.f(2)C.f(-3)D.f(0)>f(1)
答案：D
解析：∵f(-3)=f(3).
∴f(3)∴函数f(x)在x∈(0,5］上是减函数.
4.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于(
)
A.0.5
B.-0.5
C.1.5
D.-1.5
答案：B
解析：f（7.5）=f（6+1.5）=-f（1.5）=-f（2-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5.
5.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)<0}等于(
)
A.{x|x>3或-3B.{x|0C.{x|x>3或x<-3}
D.{x|0答案：D
解析：依题意,当x∈(-∞,3)∪(0,3)时,f(x)<0;
当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0.
由x·f(x)<0,知x与f(x)异号.
6.(创新题)已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,其定义域是［a-1,2a］,则a=____________,
b=____________.
答案：
0
解析：由偶函数不含奇次幂项,可得b=0.根据具有奇偶性的函数的定义域关于原点成中心对称,可得1-a=2a.
7.已知函数f(x)=,若f(x)为奇函数，则a=____________.
答案：
解析：方法一:f(x)为奇函数,则有f(-x)=-f(x),即-a.解得2a=1,a=.
方法二:定义域为R的奇函数满足f(0)=0,
即f(0)==0.∴a=.
8.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=
____________.
答案：-3
解析：依题意,得-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3,
∴f(1)+f(2)=-3.
9.设函数f（x）=（a、b、c∈Z）为奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在［1，+∞）上递增.
（1）求a、b、c的值；
（2）当x＜0时，讨论f（x）的单调性.
解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x）.
∴.
∴=0.
∵ax2+1≠0，
∴c=0.
又∵f（1）=2，f（2）＜3，
∴a+1=2b且＜3.
将2b=a+1代入上式得-1＜a＜2.
∵a∈Z，
∴a=0或a=1.
而a=0时，b=，与b∈Z矛盾,
∴a=1，b=1，c=0.
（2）由（1）f（x）=，设x1＜x2＜0，f（x2）-f（x1）=（x2-x1），当x1＜x2＜-1时，x1x2＞1，x1x2-1＞0.
又x2-x1＞0，
∴f（x2）＞f（x1）,
即当x＜-1时，f（x）为增函数.同理，当-1＜x＜0时为减函数.
10.已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在［0,+∞)上为增函数.
(1)求证:函数在(-∞,0］上也是增函数;
(2)如果f()=1,解不等式-1答案：(1)证明：设x1、x2是(-∞,0］上任意两个不相等的实数,
且x1-x2,
Δx=x2-x1>0.
Δy=f(x2)-f(x1).
∵f(x)是奇函数,且在［0,+∞)上是增函数,-x1>-x2,
∴f(-x1)>f(-x2).
又∵f(x)为奇函数,
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).
∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)即Δy=f(x2)-f(x1)>0.
∴函数f(x)在(-∞,0］上也是增函数.
(2)解：抽象不等式,常把常数看成某些变量的函数值,利用函数的性质去“外层包装”,取出x,化成一元一次或二次不等式求解.
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,f()=-f()=-1.
由-1又∵f(x)在(-∞,0］上是增函数,
∴<2x+1≤0,得∴不等式的解集为{x|