1.1
集合与集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
1．下列集合表示法正确的是( )
A．{1,2,2}
B．{全体实数}
C．{有理数}
D．不等式x2－5>0的解集为{x2－5>0}
2．设A＝{a}，则下列各式中正确的是( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A
D．a＝A
3．集合{x∈N
|x<5}的另一种表示法是…( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
4．已知集合A＝{2,4，x2－x}，若6∈A，则x＝__________.
5．方程x2－5x＋6＝0的解集可表示为__________．
1．下列四个集合中表示空集的是( )
A．{0}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}
C．{x∈Z||x|＝5，x N}
D．{x∈N|2x2＋3x－2＝0}
2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，若对任意的a，b∈P都有a
b∈P，则运算
不可能是( )
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
3．坐标轴上的点的集合可表示为( )
A．{(x，y)|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}
B．{(x，y)|x2＋y2＝0}
C．{(x，y)|xy＝0}
D．{(x，y)|x2＋y2≠0}
4．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是__________．
5．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，集合B用列举法可表示为__________．
6．用列举法表示下列各集合：
(1)A＝{x|x＝，n∈N，n≤5}
(2)B＝{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}
(3)D＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
7．若集合A＝{x|x2＋(a＋1)x＋b＝0}中仅有一个元素a，求a，b的值．
1．下列集合中，不是方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝0的解的集合是( )
A．{－1,2,3}
B．{3，－1,2}
C．{x|(x＋1)(x－2)(x－3)＝0}
D．{(－1,2,3)}
2．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是
( )
A．1
B．0
C．－2
D．2
3．集合A＝{(x，y)|x·y≥0，x∈R，y∈R}是指…( )
A．第一象限的点集
B．第三象限的点集
C．第一、三象限的点集
D．不在第二、四象限的点集
4．设P＝{3,4,5}，Q＝{2,4,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中的元素个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．12
5．给出下列命题：
①直角坐标系中所有整点(横、纵坐标都是整数的点)可以构成一个集合；
②{y|y<0.01，y∈Z}是有限集；
③0∈Q,0∈Z,0∈N；
④{0}表示仅有一个元素零的集合．
其中所有正确命题的序号为__________．
6．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，则k＝__________.
7.含有三个实数的集合既可表示为{a，，1}，又可表示为{a2，a＋b,0}，则a2
008＋b2
009的值为__________．
8.试选择适当的方法表示下列集合：
(1)二元二次方程组的解集；
(2)二次函数y＝x2－4的因变量的取值集合；
(3)反比例函数y＝的自变量取值组成的集合；
(4)不等式3x≥4－2x的解集．
9．约定?与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a、b有a?b＝ab，ab＝b(a2＋b2＋1)，且－2
10．已知集合A＝{a|a2＋ka－k－1＝0}，A中的元素不在集合{4,7,10}中，A中只有一个元素在集合{2,3,4,7,10}中，求集合A.
答案与解析
课前预习
1．C A中不满足互异性，B重复描述；D中没有标明元素是什么．
2．C 本题考查元素和集合的关系．
3．B 理解好特征性质描述法是关键．
4．3或－2 由6∈A得x2－x＝6即x2－x－6＝0，
∴x＝3或－2.
5．{2,3} 用列举法表达时注意表达要规范．
点评：此题还可以用{x|x2－5x＋6＝0}表达．
课堂巩固
1．D {0}是含有元素0的集合；{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}含有元素(0,0)；
{x∈Z||x|＝5，x N}中含有元素－5；虽然方程2x2＋3x－2＝0的解为0.5和－2，但都不是自然数．
2．D 集合P表示偶数集，而两偶数的和、差、积仍为偶数，而商不一定为偶数．
3.C 坐标轴上的点的规律为x＝0或y＝0.
4．2或4 当a＝2时，6－a＝4∈A；
当a＝4时，6－a＝2∈A；
当a＝6时，6－a＝0 A.
故a＝2或4.
5．{3,0，－1} A＝{－2，－1,0,1,2}，将A中元素依次代入x2－1求值，再根据集合的性质得到B＝{3,0，－1}．
6．解：(1)A＝{x|x＝，n∈N，n≤5}＝{－2，－，0，，，}；
(2)由y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，知y≤6，
∴当x＝0,1,2时，y＝6,5,2符合题意．
∴B＝{2,5,6}．
(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则有
∴D＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
7．解：由题意可知，方程x2＋(a－1)x＋b＝0有相等实根x＝a.
∴
课后检测
1．D 构成该集合的元素是实数而不是点．
2．C ∵－1∈M，
∴2×(－1)∈M，即－2∈M.
3．D 坐标轴上的点不属于任何象限．
4．D 新定义集合P※Q的特征是平面上的点集，横坐标是集合P中的元素，而纵坐标是集合Q中的元素，故集合P※Q中的元素个数为3×4＝12.
5．①③④ ②是无限集．
6．0或1 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2；当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1，此时方程的解为x＝4，故k＝0或1.
7．1 由0∈{a，，1}而a≠0，≠1，
∴b＝0，从而集合变为{a,0,1}＝{a2，a,0}，
∴a2＝1.∴a＝1(舍去)或a＝－1.
∴a2
008＋b2
009＝(－1)2
008＋02
009＝1.
8．解：(1)方程组的解为
或
∴可用列举法表示其解集为{(0,0)，(1,1)}．
(2)函数y＝x2－4的因变量的取值集合即为y的值组成的集合，可用特征性质描述法表示为{y|y＝x2－4，x∈R}．
(3)用特征性质描述法表示为{x|x≠0}．
(4)用特征性质描述法表示为{x|x≥}．
点评：集合的表示一定要准确、规范．
9．解：根据运算法则：
∴x＝(a＋b)2＋1.
当a＝－1时，b＝0或b＝1；
当a＝0时b＝1，
代入上式得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
10．解：因为A中的元素不在{4,7,10}中，且A只有一个元素在{2,3,4,7,10}中，
所以2∈A或3∈A.
①当2∈A时，有
4＋2k－k－1＝0，所以k＝－3.
所以A＝{a|a2－3a＋2＝0}＝{1,2}．
②当3∈A时，有9＋3k－k－1＝0，所以k＝－4.
所以A＝{a|a2－4a＋3＝0}＝{1,3}．
综上所述，A＝{1,2}或A＝{1,3}．1.2
集合之间的关系与运算
2
1．已知M＝{x|x是平行四边形}，P＝{x|x是梯形}，则M∩P等于( )
A．M B．P
C．{x|x是平行四边形}
D．
2．设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}
，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8}
B．{5,8}
C．{3,5,7,8}
D．M＝{4,5,6,8}
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B等于( )
A．{x|0B．{x|0C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x<1}
4．集合A＝{x|x<－3或x>3}，B＝{x|x<1或x>4}，则A∩B＝__________.A∪B＝__________.
5．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数为__________．
1．若A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( )
A．{(1,2)}
B．(2,1)
C．{(2,1)}
D．
2．已知集合A＝{x|－1A．{x|0B．{x|0C．{x|0≤x<1}
D．{x|0≤x≤1}
3．设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
4．下列四个推理：
①a∈(A∪B) a∈A；
②a∈(A∩B) a∈(A∪B)；
③A B A∪B＝B；
④A∪B＝B A∩B＝B.
其中正确的命题是__________．
5．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝__________.
6．设集合A＝{x|x2－px＋15＝0}，集合B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∩B＝{3}，A∪B＝{2,3,5}，求p、q、r的值．
7．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.
1．设集合A＝{x|x＝2k，k∈N}，B＝{x|x＝3k，k∈N}，则A∩B等于( )
A．{x|x＝5k，k∈N}
B．{x|x＝6k，k∈N}
C．{x|x＝2k，k∈N}
D．{x|x＝3k，k∈N}
2．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．设I＝{1,2,3,4}，A与B是Ⅰ的子集，若A∩B＝{1,3}，则称(A，B)为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是( )[规定(A，B)与(B，A)是两个不同的配集]
A．4
B．8
C．9
D．16
4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠ ，则实数a的集合为__________．
5.已知集合A＝{2,3，x}，B＝{2，x2}，若A∪B＝{2,3，x}，则这样的x的不同值有__________个．
6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为__________．
轻轻告诉你 人靠理性无法绝对客观正确。——范氏7.已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，满足A∩B≠ ，A∩C＝ ，求实数a的值．
8．已知A＝{x|x2－3x－10＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，且A∪B＝A，求实数m的值组成的集合C.
9．集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，已知A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a、m的值．
答案与解析
课前预习
1．D 由平行四边形和梯形的定义易得．
2．A
3．C 结合数轴易得A∩B＝{x|0≤x≤1}．
4．{x|x<－3或x>4} {x|x<1或x>3} 借助数轴易得：
5．4 A可以为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．
课堂巩固
1．C A∩B＝{(x，y)|x＋y＝3且x－y＝1}，即A∩B＝{(x，y)|}＝{(2,1)}．
2．C 由题意B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝{x|0≤x<1}．
3．B 由题意M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，从而M∩N＝{－1,0,1}．
4．②③ ①中a可能不属于A，
④应为A∪B＝B A∩B＝A.
5．2 ∵A＝{x|x≤2}，且A∩B＝{2}，
∴B＝{x|x≥2}．∴a＝2.
6．解：∵A∩B＝{3}，
∴24－3p＝0.∴p＝8.
3q＋r＋9＝0， ①
当p＝8时，A＝{3,5}．而A∪B＝{2,3,5}，
∴2∈B.∴2q＋r＋4＝0.
②
由①②得q＝－5，r＝6.
故p、q、r的值分别是8、－5、6.
7．解：由A∩B＝{9}得9∈A.
∴x2＝9或2x－1＝9.
①由x2＝9得x＝±3.当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，不合题意．
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，此时A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
②由2x－1＝9得x＝5.
当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与题设矛盾．
综上所述，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
课后检测
1．B A＝{能被2整除的非负整数}，B＝{能被3整除的非负整数}，A∩B＝{能被6整除的非负整数}．
2．C 由题意得x2＝x或x2＝3，解得x＝0或1或±，又由互异性知x≠1，∴满足条件的x有3个．
3．C 要使A∩B＝{1,3}，则集合A、B中必须有1、3这两个元素，并且只能有这两个相同的元素，于是有如下的可能：
(1)A＝{1,3}，则B可以是{1,3}，{1,2,3}，{1,3,4}，{1,2,3,4}中的任意一个，共4个；
(2)A＝{1,2,3}，则B可以是{1,3}，{1,3,4}中的一个，共2个；
(3)A＝{1,3,4}，则B可以是{1,3}，{1,2,3}中的一个，共2个；
(4)A＝{1,2,3,4}，则B只能是{1,3}．
所以符合条件的“理想配集”个数是4＋2＋2＋1＝9.
4．{a|a≥－1} ∵A∩B≠ ，∴集合A、B有公共元素，借助数轴如图可得a≥－1.
5．4 ∵A∪B＝A，∴B A.又B中只有两个元素，故B?A.
∴x2＝3或x2＝x，当x2＝3时，x＝±；
当x2＝x时，x＝0或x＝1.故x＝0,1或x＝±.
6．18 解：由所给集合的运算A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，得A⊙B＝{0,6,12}，
所以A⊙B中的所有元素之和为0＋6＋12＝18.
7．解：B＝{2,3}，C＝{－4,2}，由条件可得3∈A，但2 A.将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得a＝5或a＝－2.当a＝5时，A＝{2,3}，与2 A矛盾，
∴a＝5应舍去．当a＝－2时，A＝{－5,3}，符合题意．∴a＝－2.
8．解：A＝{x|x2－3x－10＝0}＝{5，－2}，
∵A∪B＝A，∴B A.
①当B＝ 时，m＝0，
②当B≠ 时，m≠0，
∴B＝{}．∵B A＝{5，－2}，
∴＝5或＝－2.∴m＝
或－.
综上，可得m的值组成的集合C＝{0，，－}．
9．解：∵A∪B＝A，∴B A.
又∵A∩C＝C，C A，
A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}
＝{x|(x－a＋1)(x－1)＝0}，
∴B A，a－1＝2，或a－1＝1.
即a＝3或a＝2.
当a＝3时，B＝{1,2}；当a＝2时，B＝{1}．
∵C A，C有三种情况：①C＝A时m＝3；
②C只含一个元素时，由Δ＝m2－8＝0，
∴m＝±2(舍)；③C＝ 时，Δ＝m2－8<0，
∴－2综上，a＝2或a＝3，m＝3或－21．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系的图象大致是图中的( )
2．二次函数y＝－x2－2x＋1的顶点在第__________象限．( )
A．一
B．二
C．三
D．四
3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是
…
( )
A．a≤－3
B．a≥－3
C．a≤5
D．a≥3
4．若05．下列四个函数中：
A．y＝x2－3x＋2 B．y＝5－x2 C．y＝－x2＋2x D．y＝x2－4x＋4
(1)图象经过坐标原点的函数是__________；
(2)图象的顶点在x轴上的函数是__________；
(3)图象的顶点在y轴上的函数是__________．
1．函数f(x)＝的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
2．若f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．[1,2]
B．[－1,0]
C．[0,3]
D．[0,1]
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c这四个式子中，值为正数的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(m＋x)＝f(m－x)，则m等于__________．
5．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2,4)，B(8,2)，如图所示，则能使y1>y2成立的x的取值范围是__________．
6．二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同，开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x)的图象的顶点，写出函数f(x)的解析式：
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图象的顶点是(4，－7)；
(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图象的顶点是(－3,2)．
7．根据下列条件，求二次函数解析式：
(1)图象过点(2,0)，(4,0)及点(0,3)；
(2)图象顶点(1,2)且过点(0,4)；
(3)图象过点(1,1)、(0,2)、(3,5)．
1．已知函数y＝ax＋b(a≠0)和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，那么它们的图象可能是( )
2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是下列各图中的( )
3.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是( )
A．(0,4]
B．[，4]
C．[，3]
D．[，＋∞)
4．二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，又f(x)在(0,2)上是增函数，且f(a)≥f(0)，那么a的取值范围为( )
A．a≥0
B．a≤0
C．0≤a≤4
D．a≤0，a≥4
5．已知二次函数f(x)在x＝处取得最小值为－(t>0)，f(1)＝0，则f(x)的表达式为__________．
6．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值为__________．
7．已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，若f(x)在区间[m，n]上的值域是[m，n]，则m＝__________，n＝__________.
8．已知函数f(x)＝kx2－4x－8在[5,20]上是单调函数，求实数k的取值范围．
9．设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y＝f(x)的图象是经过(－2,0)，斜率为1的射线；又在y＝f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2)，且过(－1,1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并作出图象．
10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在[1,2]上的最小值．
答案与解析
课前预习
1．D 因为函数y＝ax2一定经过坐标原点，所以先排除答案A、B.再对a＞0、a＜0两种情况进行讨论、分析、验证．
2．B y＝－x2－2x＋1＝－(x＋1)2＋2，
∴顶点为(－1,2)．∴顶点在第二象限．
3．A 二次函数的对称轴为x＝1－a，
由1－a≥4得a≤－3.
4. y＝－2(x－)2＋.
∵∈(0，)，∴ymax＝.
5．C D B A：y＝(x－)2－；
C：y＝－(x－1)2＋1；
D：y＝(x－2)2，易得C、D、B分别符合①②③的条件．
课堂巩固
1．D 首先讨论分母1－x(1－x)的取值范围是1－x(1－x)＝x2－x＋1＝(x－)2＋≥，
因此≤，
所以f(x)的最大值为.
2．A 由题意得，1≤－≤2，解得1≤a≤2.
3．B ∵二次函数的图象开口向上，
∴a>0，又图象与x轴有两个交点．
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，
即Δ＝b2－4ac>0.
又－∈(0,1)，即－b<2a，b<0.
∴2a＋b>0，又f(0)＝c<0，∴abc>0.
又由图象可知f(1)＝a＋b＋c<0.
4．－ 由f(m＋x)＝f(m－x)可得x＝m为函数f(x)图象的对称轴，∴m＝－.
5．x<－2或x>8 由题图可知，当x＝－2或x＝8时有y1＝y2，故使y1>y2成立的x的取值范围为x<－2或x>8.
6．解：如果二次函数的图象与y＝ax2的图象开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标为(－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k.
(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图象开口大小相同，开口方向也相同，f(x)的图象的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.
(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图象开口大小相同，开口方向也相同，且g(x)＝－2(x＋1)2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向也相同．
又因为f(x)图象的顶点是(－3,2)，
所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.
点评：(1)二次函数的二次项系数决定了抛物线的开口方向与开口大小．
(2)若二次函数的二次项系数为a，顶点坐标为(h，k)，则此二次函数可设为y＝a(x－h)2＋k.
7．解：(1)设二次函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)，
即y＝ax2－6ax＋8a.
又∵图象过(0,3)，∴8a＝3.∴a＝.
∴函数解析式是y＝(x－2)(x－4)．
(2)设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2(a≠0)，即y＝ax2－2ax＋a＋2.
又∵图象过(0,4)，∴a＋2＝4.∴a＝2.
∴函数解析式为y＝2(x－1)2＋2.
(3)设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意知∴
∴函数的解析式为y＝x2－2x＋2.
点评：二次函数的解析式常用的有三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)项点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，要灵活选用表达式，使运算简化．
课后检测
1．C 作定性分析，即确定二次函数或一次函数图象来确定另一个函数的图象．如A：由开口向上得a>0，对称轴方程x＝－>0，∴b<0，易得一次函数图象不恰当．故A错；B、D同理可得．
2．D 由a>b>c且a＋b＋c＝0可得a>0，c<0，f(1)＝0.
∴只有D符合条件．
3．C ∵y＝(x－)2－，
∴当x＝时，ymin＝－.∴m≥.
令x2－3x－4＝－4，得x＝0或x＝3.
∴≤m≤3.
4．C 由f(2＋x)＝f(2－x)，可得二次函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在(0,2)上是增函数，∴当x∈[0,2]时，f(x)≥f(0)．由对称性，可得当x∈[2,4]时，f(x)≥f(0)也成立，
∴a∈[0,4]．
点评：若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于x＝a对称．
5．y＝x2－(t＋2)x＋t＋1 由题意可设f(x)＝a(x－)2－(a≠0)，
又f(1)＝0，即a(1－)2－＝0，得a＝1，
∴f(x)＝(x－)2－＝x2－(t＋2)x＋t＋1.
6．0或1或9 当a＝0时，y＝3x＋1，显然与x轴只有一个交点；
当a≠0时，须满足Δ＝(3－a)2－4a＝0，得a＝1或9.
点评：不要忘记讨论“a＝0”的情况．
7．0 1 由题意f(x)＝－(x－1)2＋1，且f(x)＝x有两个实根m，n，解得x1＝0，x2＝1，
又m8．解：(1)当k＝0时，f(x)＝－4x－8，显然在[5,20]上是单调递减函数．
(2)当k≠0时，要在[5,20]上单调，只须满足：区间[5,20]在对称轴的左侧或右侧即可，
即≤5或≥20.
①当k>0时，由≥20可得0由≤5可得k≥.
∴k∈(0，]∪[，＋∞)．
②当k<0时，由≥20知无解；由≤5可得k≤，∴k<0.
综上可知k的范围为(－∞，]∪[，＋∞)．
点评：若二次项系数含有参数时，必须讨论二次项系数是否为零，因为它能使函数的性质不同．
9．解：当x≤－1时，设f(x)＝x＋b，
则由f(－2)＝0可得b＝2，
∴f(x)＝x＋2；
当－1则由f(－1)＝1得a＝－1，
∴f(x)＝－x2＋2.
当x≥1时，－x≤－1，
∴f(x)＝f(－x)＝－x＋2.
∴f(x)＝
图象如图所示：
10．解：f(x)＝(x－a)2＋1－a2，对称轴为直线x＝a.
(1)当a<1时，f(x)在[1,2]上是增函数，如图(1)．
∴f(x)min＝f(1)＝2－2a.
(2)当1≤a≤2时，f(x)在顶点处取得最小值，如图(2)．
∴f(x)min＝f(a)＝1－a2.
(3)当a>2时，f(x)在[1,2]上是减函数，如图(3)．
∴f(x)min＝f(2)＝5－4a.
综上所述：当a>2时，f(x)min＝5－4a；
当1≤a≤2时，f(x)min＝1－a2；
当a<1时，f(x)min＝2－2a.
点评：把对称轴x＝a看作一条动直线，分别讨论它与给定区间的三种位置关系：在区间左侧、在区间右侧和在区间内．2．4.1 函数的零点
1．函数f(x)＝2x＋7的零点为( )
A．7
B.
C．－
D．－7
2．方程x－＝0的一个实数解的存在区间为……( )
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(1,2)
D．(－1,1)
3．观察下面的四个函数图象，则在(－∞，0)内，函数y＝fi(x)(i＝1,2,3,4)有零点的是…
( )
A．①
B．①②
C．①②③
D．②④
4．已知函数y＝x2＋ax＋3有一个零点为2，则a的值为________．
5．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
1．已知函数f(x)＝2ax＋4，若在区间[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数a的取值范围是…( )
A．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
B．[－1,2]
C．[－1,4]
D．[－2,1]
2．函数f(x)＝x2－3x＋2在区间(1,2)内的函数值( )
A．大于等于0
B．小于等于0
C．大于0
D．小于0
3．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点
B．一定没有零点
C．可能有两个零点
D．至多有一个零点
4．设函数，又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是________．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．
6．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．
7．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．
1．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是方程f(x)＝0的两根，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．αB．a<α<βC．a<αD．α2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2
B．0，
C．0，－
D．2，－
3．二次函数f(x)＝x2＋px＋q的零点为1和m，且－1A．p>0且q<0
B．p>0且q>0
C．p<0且q>0
D．p<0且q<0
4．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．唯一一个
B．两个
C．至少两个
D．无法判断
5．函数f(x)＝ax2＋2ax＋m(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
6．函数f(x)＝x2＋2(a＋3)x＋2a－9的两个零点中，一个大于3，一个小于－3，则a的取值范围为________．
7．函数y＝7x2－(k＋13)x＋3k－2的图象与x轴的两个交点分别在(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围为________．
8．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y＝至少有一个零点．
9．求函数y＝x3－4x的零点，并画出它的图象．
10．函数y＝－2x2＋x＋3的自变量x在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0
答案与解析
课前预习
1．C 令f(x)＝2x＋7＝0，解得x＝－.
2．B 由x－＝0，得x＝±1，显然1∈(0,2)．
3．B 在(－∞，0)内，函数f1(x)、f2(x)的图象与x轴有交点．
4．－ 由题意x＝2为方程x2＋ax＋3＝0的根，即4＋2a＋3＝0，∴a＝－.
5．③④⑤ 由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，且f(x)的图象是连续不间断的，∴f(x)在[2,3]，[3,4]，[4,5]上有零点．
课堂巩固
1．A 依题意f(－2)·f(1)≤0 (－4a＋4)(2a＋4)≤0，解得a≤－2或a≥1.
2．D 令f(x)＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴在(1,2)内函数值同号，又二次函数图象开口向上，
∴f(x)在区间(1,2)内的函数值小于0.
3．C 如图所示．
4．1，－ 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x－2，令g(x)＝0，得x＝1；当x<0时g(x)＝x2－4－1＝x2－5，令g(x)＝0，得x＝±(正值舍去)，∴g(x)的零点为1和－.
5．{x|x<－2或x>3} 由表可知f(－2)＝f(3)＝0，且当x∈(－2,3)时，y<0，∴当x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时ax2＋bx＋c>0.
点评：只要利用表中数据，结合函数零点的性质，无须求出函数的解析式．
6．解：设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)·5＝－15<0.且二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的．
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有零点．即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．
点评：判断f(x)是否在(x1，x2)上存在零点，除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外，还须考察函数在(x1，x2)上是否连续，若要判断根的个数，还须结合函数的单调性．
7．解：(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；
(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0只有一个实根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.
综上，当a＝0或－时函数仅有一个零点．
点评：判断函数零点的个数就是判断相应方程的实根的个数．
课后检测
1．A 由题意，f(a)＝f(b)＝－2，f(α)＝f(β)＝0，且f(x)的图象开口向上，故a，b必在α，β之间．
2．C 函数f(x)＝ax＋b的零点是2，
∴2a＋b＝0，得＝－2，
而g(x)＝bx2－ax＝bx(x－)＝bx(x＋)，
∴g(x)的零点为0和－.
3．D ∵f(1)＝0，∴p＋q＋1＝0.
又f(0)<0，得q<0；f(－1)>0，
得1－p＋q>0.
又q＝－p－1，
∴－2p>0，即p<0.
4．B 由f(x)为偶函数且f(2)＝0得f(－2)＝0，画出f(x)的大致图象，可知f(x)只有两个零点．
5．－3 由题意f(1)＝a＋2a＋m＝0，即m＝－3a，
∴f(x)＝ax2＋2ax－3a＝a(x2＋2x－3)＝a(x＋3)(x－1)．
令f(x)＝0，易得x＝1或x＝－3.
6．(－，－) 由题意，函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，与x轴的交点有两个：一个在(3,0)右侧，一个在(－3,0)左侧．
∴解得a∈(－，－)．
7．(，4) 开口向上的抛物线与x轴的交点在(0,1)，(1,2)内，则解得k∈(，4)．
8．解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，－)∪(－，＋∞)．
取区间[，]，则易证：f()＝＝－<0，f()＝>0，∴f()·f()<0，
∴在区间[，]内函数f(x)至少有一个零点．∴区间[，]符合条件．
9．解：∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，
∴函数y＝x3－4x的零点为0，－2,2，这三个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这四个区间内，取x的一些值(包括零点)．
列出这个函数的对应值表：
x
…
－2.5
－2
－1
－0.5
0
0.5
1
2
2.5
…
y
…
－5.625
0
3
1.875
0
－1.875
－3
0
5.625
…
在直角坐标系中描点作图，图象如图所示．
10．解：由－2x2＋x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝，所以函数的零点是－1和，亦即当自变量x取－1和时函数值等于0.
函数的两个零点－1和将x轴分成3个区间：(－∞，－1)，(－1，)，(，＋∞)，在区间(－1，)内取特殊值x＝0，得其函数值f(0)＝3>0，依函数零点的性质，知当x∈(－1，)时有f(x)>0；当x∈(－∞，－1)和x∈(，＋∞)都有f(x)<0.
因此，当自变量x∈(－1，)时函数值大于0；当x∈(－∞，－1)∪(，＋∞)时函数值小于0；当x＝－1和时，函数值等于0.3．2.1 对数及其运算
第1课时
1．若a2＝N(a>0且a≠1)，则有( )
A．log2N＝a
B．log2a＝N
C．logNa＝2
D．logaN＝2
2．若logx＝z，则( )
A．y7＝xz
B．y＝x7z
C．y＝7xz
D．y＝z7x
3．21＋log2的值等于( )
A．2
B．7
C.
D．14
4．若log16x＝－，则x＝________；若()x＝，则x＝________.
5．若log2(x2－4x＋6)＝1，则x＝________.
1．有下列说法：
①零和负数无对数；②3log3(－5)＝－5成立；③任何一个指数式都可以化为对数式；④以10为底的对数叫做常用对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )
A．100＝1与lg1＝0
B．27－＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围为…( )
A．a>5或a<2
B．2C．2D．34．计算3log3＋log3＝________.
5．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－＝________.
6．已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
7．求alogab·logbc·logcN的值．
1．给出下列式子：①5log5＝；②πlogπ3－1＝；③4log4(－3)＝－3；④xlogx＝.其中不正确的是
( )
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④
2．下列命题正确的是( )
①对数式logaN＝b(a>0，且a≠1)和指数式ab＝N(a>0，且a≠1)是同一关系式的两种不同表达形式；
②在同底条件下，对数式logaN＝b与指数式ab＝N可以互相转化；
③若ab＝N(a>0，且a≠1)，则alogaN＝N一定成立；
④对数的底数是任意正实数．
A．①②
B．①②③④
C．①②③
D．④
3．以6为底，的对数等于( )
A.
B.
C.
D．2
4.设5lgx＝25，则x的值等于( )
A．10
B．±10
C．100
D．±100
5．log6(log4(log381))＝________.
6．log3()＝1，则x＝________.
7．(1)求对数值：log81＝________；log625＝________.
(2)求真数：log3x＝－，则x＝________；log2x＝，则x＝________.
(3)求底数：logx3＝－，则x＝________；logx2＝，则x＝________.
8．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．
9．已知logab＝logba(a>0，a≠1；b>0，且b≠1)，求证：a＝b或a＝.
10．已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实数根，求实数a，b和m的值．
答案与解析
课前预习
1．D 由对数式与指数式的互化易得．
2．B logx＝z xz＝，∴x7z＝y.
3．B 21＋log2＝2·2log2＝2·＝7.
4. －2 log16x＝－ x＝16－＝，()x＝ x＝log＝log()－2＝－2.
5．2 由log2(x2－4x＋6)＝1得x2－4x＋6＝2，即x2－4x＋4＝0，即(x－2)2＝0，∴x＝2.
课堂巩固
1．B ③错误，如(－1)2＝1就不能写成对数式．②错误，log3(－5)无意义．
2．C log39＝2的指数式应为32＝9.
3．C 由对数的定义知解得∴24. ∵3log3＝，log3＝(3log3)＝()＝.
∴原式＝＋＝.
5. 由已知得log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，则x＝23.
∴x－＝2－＝＝.
6．解：∵loga2＝m，∴am＝2.
又loga3＝n，∴an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22·3＝12.
7．解：原式＝(alogab)logbc·logcN＝blogbc·logcN＝(blogbc)logcN＝clogcN＝N.
点评：重复使用对数恒等式即可得解；对数恒等式alogaN＝N中要注意书写格式．
课后检测
1．C ③不正确，log4(－3)无意义，∵负数和零无对数；④不正确，应在条件“x>0，且x≠1”的前提下计算．
2．C ④中的底数应满足“大于0且不等于1”．
3．A ∵＝＝63－＝6，
∴log6＝log66＝.
4．C 5lgx＝25，∴lgx＝2，即102＝x.
∴x＝100.
5．0 原式＝log6[log4(log334)]
＝log6(log44)
＝log61＝0.
6．－13 由已知得＝3，∴x＝－13.
7．(1)16 3 (2) 2 (3)3－ 2
(1)()16＝34＝81，∴log81＝16；
∵()3＝625，∴log625＝3.
(2)由题意可得x＝3－＝；
由已知得x＝2.
(3)由已知得x－＝3，∴x＝3－；x＝2，
∴x＝2.
点评：对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可求另外一个，关键是指数式与对数式的互化．
8．解：∵f(x)的最大值为3，
∴
∴lga＝1(舍去)或lga＝－.
∴a＝10－.
9．证明：设logab＝logba＝k，则b＝ak，a＝bk，
从而有b＝(bk)k＝bk2.
∵b>0，b≠1，∴k2＝1，即k＝±1.
当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.
∴a＝b或a＝，命题得证．
10．解：由题意，得
由③得(lga＋2)2＝0，∴lga＝－2.
∴a＝.
代入①得lgb＝1－lga＝3，∴b＝103＝1
000.
代入②得m＝lga·lgb＝(－2)×3＝－6.
∴a＝，b＝1
000，m＝－6.1．1 集合与集合的表示方法
1．1.1 集合的概念
1．下列对象能构成集合的是( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员
②所有的钝角三角形
③2007年诺贝尔经济学奖得主
④大于等于0的整数
⑤北京大学的所有聪明学生
A．①②④ B．②⑤
C．③④⑤
D．②③④
2．由下列对象组成的全体构成有限集合的个数是( )
①不超过π的正整数
②高一数学课本中的难题
③中国的大城市
④平方后等于自身的数
⑤高一(2)班中考成绩在500分以上的学生
A．0
B．1
C．2
D．3
3．以下三个关系式中正确的个数是( )
∈R；0.3∈Q；0∈N.
A．1
B．3
C．2
D．0
4．用符号“∈”或“ ”填空：
0__N,0__ ，－__Z，π__Q，sin30°__Q，cos30°__Q，－2__N
5．方程(x－1)2(x＋2)(x－3)＝0的解集中含有__________个元素．
1．下列各组对象中不能构成集合的是( )
A．正三角形的全体
B．所有的无理数
C．不等式2x＋3>1的解
D．个子较高的人
2．下列四个命题，其中正确命题的个数是…( )
①集合N中最小的元素是1
②若a Z＋，则a∈Z－
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是1
④x2＋4＝4x的解集是由2、2组成的集合
A．0
B．1
C．2
D．3
3．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，最多含有的元素个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－3x＋2＝0的解为元素的集合中，共有元素个数为__________．
5．设L(A，B)表示直线AB上全体点组成的集合，则“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单写与P__________L(A，B)．
6．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当a，b，c满足什么条件时，解集分别为空集、含一个元素、含两个元素？
7．已知a、b、c为非零的实数，则M＝＋＋＋所组成的集合为A，求集合A中的所有元素．
1．设△ABC的边长a，b，c是集合S中的三个元素，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
2．由a2,2－a,4组成的一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1
B．－2
C．6
D．2
3．已知A是由0、m、m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m等于( )
A．2
B．0或3
C．3
D．0、2、3均可
4．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即x＝a＋b，且a、b∈Q，则下列元素中不属于集合M的元素个数是( )
①x＝0 ②x＝ ③x＝3－2π
④x＝ ⑤x＝＋
A．1
B．2
C．3
D．4
5．集合P表示所有直角三角形组成的集合，△EFG三边的长分别是EF＝6，FG＝8，EG＝10，则△EFG__________P(用“∈”或“ ”填空)．
6．对于自然数集N，若a∈N，b∈N，则a＋b__________N，ab__________N.
7．给出以下四个命题：
(1)元素0组成的集合是空集；
(2)x>8，且x<5的元素x组成的集合是空集；
(3)满足x∈N，且x2－1＝0的解组成的集合是空集；
(4)满足x<1的元素x组成的集合是空集．
其中，正确的命题有__________．
8．说出下面集合中的元素．
(1)小于12的质数构成的集合；
(2)倒数等于其本身的数组成的集合；
(3)由6的约数组成的集合；
(4)方程2x2－3x－2＝0的解组成的集合．
9．已知集合A是由2、x、x2－x三个元素组成的集合，求x应满足的条件．
10．已知集合A为方程ax2＋2x＋1＝0的解组成的集合，
(1)若A＝ ，求a的值；
(2)若A中只有一个元素，求a的值；
(3)若A中至多有一个元素，求a的值．
答案与解析
课前预习
1．D ①⑤中的对象具有不确定性，所以不能构成集合．
2．D ①中的元素为1,2,3，②③不能构成集合，④中的元素为0,1，⑤中的元素是确定的，有限的．
3．B 三个关系式均正确，一定要记准常用数集的符号．
4．∈ ∈ 集合与元素之间的关系表示符号只有∈
和 .
点评：要注意符号的规范书写．
5．3 方程的三个解为1，－2,3，故解集中含有3个元素．
课堂巩固
1．D “个子较高”不具有确定性．
2．A N表示自然数集，最小的自然数为0，故①③不正确；②中a不一定是整数；④中集合的组成元素不符合互异性．
3．A ＝|x|，＝－x，又|x|必与x和－x中的一个相同，故最多含有两个元素．
4．3 集合中的元素要符合确定性和互异性．
5．∈ 点P是集合L(A，B)中的一个元素．
6．解：当b2－4ac<0时，方程的解集为空集；
当b2－4ac＝0时，方程的解集含一个元素；
当b2－4ac>0时，方程的解集含两个元素．
7．解：(1)a、b、c其一为正数时，不妨设a>0，b<0，c<0，则M＝＋＋＋＝1－1－1＋1＝0.
(2)a、b、c其二为正数，同上，M＝0.
(3)a、b、c都为正数，M＝1＋1＋1＋1＝4.
(4)a、b、c均为负数，M＝＋＋＋＝－4.
故集合A中的所有元素为0,4，－4.
点评：分类时一定要做到标准统一，不重不漏．
课后检测
1．D 集合中的元素具有互异性，故a，b，c的大小各不相同．
2．C 将选项逐一代入验证即可．
3．C 若m＝2，则m2－3m＋2＝0不符合互异性；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，显然m＝0不符合，故m＝3.
4．A ①0＝0＋0×；②＝0＋1×；③2π Q；④＝3＋2，⑤＋＝(2－)＋(2＋)＝4＋0×.
故选A.
点评：弄清集合中元素的本质特征．
5．∈ 62＋82＝102，∴△EFG为直角三角形．
∴△EFG是集合P的一个元素．
6．∈ ∈ 两自然数之和、之积仍然为自然数．
7．(2) 同时满足x>8，且x<5的元素x是不存在的，故其组成的集合是空集．
8．解：(1)中的元素为2,3,5,7,11；
(2)中元素为1，－1；
(3)中元素为6,3,2,1，－1，－2，－3，－6；
(4)中元素为2，－.
9．解：要使集合A中有三个元素，必须满足：
即
∴x≠－1，x≠0且x≠2.
此即为x应有的条件．
点评：集合中的元素必须满足互异性．
10．解：(1)∵A＝ ，∴关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
若a＝0，此时x＝－，不合题意，舍去；
若a≠0，有Δ＝4－4a<0，即a>1.
(2)A中只有一个元素等价于关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一解．
若a＝0，x＝－，合题意；若a≠0，须有Δ＝4－4a＝0，即a＝1，此时x＝－1.
由以上，得a＝0或a＝1时，A中只有一个元素．
(3)A中至多有一个元素，等价于关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至多有一个解，因此
或a＝0，即a≥1或a＝0.
由以上可知，a≥1或a＝0为所求．
点评：当二次项系数不确定时，一定要注意讨论其是否为零．1.2
集合之间的关系与运算
1
1．设A＝{正方形}，B＝{矩形}，C＝{平行四边形}，D＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是
( )
A．A B B．B C
C．C D
D．A C
2．下列命题中正确的是( )
A．空集没有子集
B．空集是任一集合的真子集
C．空集中的元素个数为零
D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
3．集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集个数为( )
A．16
B．8
C．7
D．4
4．用恰当的符号填空(＝， ， )．
(1)已知集合M＝{1,3,5}，集合P＝{5,1,3}，则M__________P；
(2)设集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝{x|＝0}，则A__________B.
5．用适当的符号填空．
(1)a____{a，b，c}；
(2)0____{x|x2＝0}；
(3) ____{x|x2＋1＝0}；
(4){0,1}____N；
(5){0}____{x|x2＝x}；
(6){2,1}____{x|x2－3x＋2＝0}．
1．若集合A＝{正方形，}B＝{菱形}，C＝{矩形}，D＝{平行四边形}，则下列关系中错误的是……
( )
A．ABC
B．ABD
C．ACD
D．ACB
2．若集合M＝{(x，y)|xy>0且x＋y>0}，N＝{(x，y)|x>0，y>0}，则有( )
A．N∈M
B．NM
C．NM
D．M＝N
3．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2>1}，则下列关系中正确的是( )
A．M＝P
B．PM
C．MP
D．M∪P＝R
4．已知集合A＝{x|x2＝a2，a>0}，B＝{x|nx＝a}，若B?A，则n的取值集合为__________．
5．已知A＝{a,0，－1}，B＝{c＋b，，1}，且A＝B，则a＝__________，b＝__________，c＝__________.
6．已知a∈R，x∈R，A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}．
求：(1)使A＝{2,3,4}的x值；
(2)使2∈B，B?A的a，x的值；
(3)使B＝C的a，x的值．
7．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B A，求实数m的取值范围．
1．下列各式中，正确的是( )
A．2 {x|x≤4}
B．2∈{x|x≤4}
C．{2}?{x|x≤3}
D．{2}∈{x|x≤4}
2．与集合{x∈N|x>1，且x≤3}相等的集合是( )
A．{2}
B．{1,2,3}
C．{x|x＝3，或x＝2}
D．{x|x＝3，且x＝2}
3．设集合A＝{x|1A．a≥2
B．a>2
C．a≤1
D．a>1
4．设A＝{0,1}，B＝{x|x A}，则A与B的关系是( )
A．A?B
B．A∈B
C．B A
D．A＝B
5.A＝{1,3，a}，B＝{a2－a＋1,1}，且B A，则a＝__________.
6.已知集合A＝{(a，b)|a2＋＝2a－1，a∈R，b∈R}，B＝{(1，)}，则A____B.
7．满足{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数有__________个．
8．已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，写出所有可能的集合M.
9．同时满足①M {1,2,3,4,5}；②a∈M则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些集合．
10．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}．写出满足下列条件的一个集合C.C中各元素加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减去2后，则变为B的一个子集．
答案与解析
课前预习
1．C 四个集合之间的关系借助维恩图表示为：
显然，A B C，而C D.
2．C 空集是任意集合的子集，是任一非空集合的真子集．
3．C A＝{0,1,2}，则A的单元素子集有{0}，{1}，{2}；双元素子集有{0,1}，{0,2}，{1,2}；
还有空集，故共有7个真子集．
点评：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集．
4．(1)＝ (2) (2)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，
∴A B.
5．(1)∈ (2)∈ (3)＝ (4)? (5)? (6)＝
(1)是元素和集合的关系；
(2)是元素和集合的关系，且{x|x2＝0}＝{0}；
(3)是集合与集合的关系，且{x|x2＋1＝0}＝ ；
(4)是集合与集合的关系；
(5)是集合与集合的关系，且{x|x2＝x}＝{0,1}；
(6)是集合与集合之间的关系，且{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．
课堂巩固
1．A 正方形是特殊的菱形和矩形；菱形和矩形是特殊的平行四边形．
2．D 关键要弄清集合M、N中元素的特征性质，其中M中元素满足：xy>0且x＋y>0，即为x>0，y>0，所以与N中元素的特殊性质相同，
故M＝N.
3．C 由x2>1可得x>1或x<－1，∴M?P.
4．{0，－1,1} ∵A＝{－a，a}，当n＝0时，nx＝a无解，即B＝ ；
当n＝－1时，B＝{－a}；当n＝1时，B＝{a}，
∴n的取值集合为{0，－1,1}．
5．1 －2 2 由A＝B可得a＝1，c＋b＝0，＝－1，
∴a＝1，b＝－2，c＝2.
6．解：(1)由题意知{2,3,4}＝{2,4，x2－5x＋9}，
∴x2－5x＋9＝3.解得，x＝2或x＝3.
(2)∵2∈B，B?A，
∴
∴或
(3)∵B＝C，
∴
解得或
7．解：∵B A，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，得2m－1>m＋1，
∴m>2；
当B≠ 时，得
解之，得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为m≥－1.
点评：本题容易忽略B＝ 的情况，出现B A或B?A时，一定要讨论全面．
课后检测
1．B 弄清楚元素与集合之间，集合与集合之间的关系如何正确表达．
2．C {x∈N|x>1，且x≤3}＝{2,3}＝{x|x＝2，或x＝3}．
3．A 借助数轴：
点评：当研究数集之间的关系时，数轴是很有效的工具．
4．B 集合B中元素的特征性质是x A，
∴x是A的子集，即集合B是由集合A的全体子集所构成的．∴A∈B.
点评：B＝{ ，{0}，{1}，{0,1}}，集合A只是集合B中的一个元素．
5．－2或2 ∵B A，
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，
由a2－a＋1＝3解得a＝－1或2，
由a2－a＋1＝a解得a＝1，不合题意，
∴a＝－1或2.
6．＝ A＝{(a，b)|a2＋＝2a－1，a∈R，b∈R}＝{(a，b)|－(a－1)2＝，a∈R，b∈R}＝{(1，)}＝B.
7．2 因为{1,2,3}?A，所以A中至少含有元素1,2,3.同时A?{1,2,3,4,5}，
所以A不可能为{1,2,3,4,5}．所以符合题意的集合A只可能为{1,2,3,4}或{1,2,3,5}．
8．解：①当M中含有两个元素时，M为{1,2}；
②当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
③当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
④当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
所以满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
9．解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且M {1,2,3,4,5}，
故以M中元素的个数进行分类．
①M中含1个元素时，若3∈M，则6－3∈M，
∴M＝{3}；
②M中含2个元素时，M为{1,5}，{2,4}；
③M中含3个元素时，M为{1,3,5}，{2,3,4}；
④M中含4个元素时，M为{1,2,4,5}
⑤M中含5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
因此满足条件的集合共有7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5，}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
10.解：若A中元素减去2，得0,2,4,6,7，则C中元素必在其中，
B中元素加2得3,4,5,7,10，则C中元素必在其中，
所以C中元素只能是4或7.故C＝{4}，或C＝{7}，或C＝{4,7}．
点评：本题采用了逆向思维的方式，要体会“正难则反”的思维方法．3.2.3 指数函数与对数函数的关系
1．将函数y＝3x－2的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线y＝x对称后所得图象的函数解析式为( )
A．y＝4＋log3x
B．y＝log3(x－4)
C．y＝log3x
D．y＝2＋log3x
2．已知函数y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图象是( )
3．函数y＝logx(x>2)的反函数是( )
A．y＝2x(x<－1)
B．y＝()x(x>－1)
C．y＝2－x(x<－1)
D．y＝()－x(x>－1)
4．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a＝__________.
5．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
1．给出下列四个命题：
①函数y＝f－1(x)的反函数是y＝f(x)；
②若点M(a，b)在y＝f(x)的图象上，且其反函数存在，则点M1(b，a)一定在y＝f－1(x)的图象上；
③关于直线y＝x成轴对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数的图象；
④因为函数y＝f(x)和其反函数y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称，所以y＝f(x)与y＝f－1(x)的图象不能相交．其中错误的有…( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．函数y＝(x≠0)的反函数的图象大致是…( )
3．函数f(x)＝loga(3x－1)(a>0且a≠1)的反函数的图象过定点( )
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(0，)
D．(，0)
4．已知函数f(x)＝log3(＋2)，则方程f－1(x)＝4的解x＝________.
5．已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1,3)，其反函数f－1(x)的图象过(2,0)点，则f(x)的表达式为________．
6．已知函数f(x)＝amx(a>0，且a≠1)(m∈R，m≠0)，求f－1[f(－x)]的表达式．
7．函数f(x)与g(x)＝()x的图象关于直线y＝x对称，求f(4－x2)的单调递增区间．
1．已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)的图象如图所示，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝g(x)的解析式为( )
2．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0B．0C．0D．03．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)，若x∈(1，＋∞)时f(x)>0恒成立，则( )
A．a－b>1
B．a－b≤1
C．a－b<1
D．a－b≥1
4．已知函数f(x)＝2logx的值域是[－1,1]，则函数f－1(x)的值域是( )
A．[，]
B．[－1,1]
C．[，2]
D．(－∞，]∪[，＋∞)
5．函数y＝f(x)的图象过(0,1)点，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数图象过点________．
6．设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数f－1(x)，f(4)＝0，则f－1(4)＝________.
7．已知α是方程x＋lgx＝3的根，β是方程x＋10x＝3的根，则α＋β＝________.
8．若函数f(x)＝lg，若x∈(－∞，1]时有意义，求实数a的取值范围．
9．若a∈R，f(2x)＝，且f(x)为奇函数，求f(x)的反函数f－1(x)及其定义域．
10．已知函数f(x)＝3x2－8(m－1)x＋5在[－1，＋∞)上为增函数，
(1)求实数m的最大值M；
(2)在(1)的条件下解关于x的不等式：
(其中a>0，a≠1)．
答案与解析
课前预习
1．C 由题意，y＝3x－2的图象向左平移两个单位后，得到y＝3x的图象，再关于直线y＝x对称后得到y＝log3x的图象．
2．C 函数y＝log2x的反函数为y＝2x，
∴f(1－x)＝21－x＝()x－1，
即是由y＝()x的图象向右平移了1个单位所得到．
3．C y＝logx＝－log2x，∴log2x＝－y.
∴x＝2－y，即y＝2－x.
∵x>2时，logx<－1，
∴y＝2－x(x<－1)．
4. 由题意可知f(x)＝ax的图象经过(－1,2)，即a－1＝2，∴a＝.
5．(1,2) 由题意得或解得1课堂巩固
1．B ③和④错误，③中关于直线y＝x成轴对称的两个图形不一定是函数图象；④中若两函数为y＝()x和y＝logx，则两图象一定相交．
2．B 由y＝(x≠0)，得xy＝1－x，
∴x＝.∴反函数为y＝，其图象是由y＝的图象向左平移一个单位得到的．
3．C ∵f(x)＝loga(3x－1)的图象过定点(，0)，∴它的反函数过定点(0，)．
4．1 根据互为反函数的自变量和因变量的互换关系，得f(4)＝log3(＋2)＝log33＝1，
∴方程f－1(x)＝4的解为x＝1.
5．f(x)＝2x＋1 ∵y＝f－1(x)的图象过点(2,0)，∴y＝f(x)的图象经过(0,2)点，∴2＝a0－k.
∴k＝－1.
又∵y＝f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a＋1.
∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1.
6．解：令f(x)＝amx＝y，则mx＝logay，
∴x＝logay.
∴f－1(x)＝·logax.
又f(－x)＝a－mx，
∴f－1[f(－x)]＝·logaa－mx，
即f－1[f(－x)]＝·(－mx)＝－x.
点评：求函数y＝f(x)的反函数的步骤：(1)确定y＝f(x)的值域；(2)把函数y＝f(x)看作一个方程，用y把x表示出来；(3)把x，y互换，写出原函数的反函数，并注意反函数的定义域．
7．解：∵函数f(x)与g(x)＝()x的图象关于直线y＝x对称，
∴函数f(x)与g(x)互为反函数．
∴f(x)＝logx.
∴f(4－x2)＝log(4－x2)，它是一个复合函数，令t＝4－x2，由4－x2>0得x∈(－2,2)，又对称轴为x＝0，∴t＝4－x2在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又y＝logt为单调递减函数，由“同增异减”判断可得，函数y＝log(4－x2)在(－2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．
课后检测
1．C 由图象可知f(x)＝logax(a>0，a≠1)过点(2，－1)，∴loga2＝－1.∴a＝.
∴f(x)＝logx.∴g(x)＝()x.
2．A 令u＝2x＋b－1，y＝logau，由复合函数的单调性可判断a>1，又∵f(0)>－1，
∴logab>－1.∴b>a－1.∴03．D 由lg(ax－bx)>0可得ax－bx>1在(1，＋∞)上恒成立，又u(x)＝ax－bx(a>1>b>0)为单调递增函数，∴只需u(1)≥1即可，即a－b≥1.
4．A ∵互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，∴要求f－1(x)的值域，只需求f(x)的定义域．∵f(x)的值域为[－1,1]，
∴－1≤2logx≤1.∴x∈[，]．
5．(1,4) ∵f(x)的图象过(0,1)，∴f(－x)的图象也过点(0,1)，∴f(4－x)的图象过点(4,1)，
∴g(x)的反函数的图象经过点(1,4)．
6．－2 ∵f(x)的图象关于点(1,2)对称，且f(4)＝0，(4,0)关于点(1,2)的对称点为(－2,4)，
∴其反函数必过点(4，－2)．
7．3 方程x＋lgx＝3，即为lgx＝3－x；方程x＋10x＝3即为10x＝3－x，又y＝lgx与y＝10x的图象关于y＝x对称，作出y＝lgx，y＝10x，y＝3－x，y＝x的图象易得x＋y＝3.
8．解：∵f(x)＝lg在(－∞，1]上有意义，
∴1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立．
∵4x>0，∴a>－[()x＋()x]在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－[()x＋()x]，x∈(－∞，1]，
则由－()x与－()x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也为增函数．
因为g(1)有意义，所以g(x)因为a>－[()x＋()x]在(－∞，1]上恒成立，
所以a≥g(1)，即a≥－.
故a的取值范围为[－，＋∞)．
点评：将问题转化为1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立是解题关键，然后求变量a的取值范围，常用方法是先将其分离出来，再利用单调性求最值．
9．解：令2x＝t，∵f(2x)＝，
∴f(t)＝.
∴f(x)＝.
∵f(x)为奇函数，且f(x)的定义域为R，
∴f(0)＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝，则2x＝>0.
∴－1∴f－1(x)＝log2，－110.解：(1)由题意知≤－1，
∴m≤.
∴m的最大值M＝.
(2)不等式可化为log[(4－ax)]≤log(ax－1)2，
∴
∴1∴当a>1时，不等式的解集为{x|0当01．下列函数中不是偶函数的是( )
A．y＝－3x2
B．y＝3x2＋|x|
C．y＝
D．y＝x2－x＋1
2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
A．(a，f(－a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D．(a，f())
3．下列说法中，不正确的是( )
A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图象一定过原点
C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数
D．图象关于y轴对称的函数一定是偶函数
4．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝__________.
5．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝__________.
1．函数f(x)、g(x)的图象分别如图所示：
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是…( )
2．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)A．f(－1)B．f(0)>f(1)
C．f(－2)>f(3)
D．f(－3)3．如果函数f(x)为偶函数，且在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A．增函数且最小值为5
B．增函数且最大值为5
C．减函数且最小值为5
D．减函数且最大值为5
4．若f(x)＝x2＋2ax－b为偶函数，且g(x)＝x＋b为奇函数，则a＝__________，b＝__________.
5．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝__________.
6．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝，求函数f(x)的解析式．
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝a；
(2)f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2；
(3)f(x)＝
1．函数f(x)＝是__________；f(x)＝是__________；f(x)＝x＋1是__________；f(x)＝|x|＋1是__________；f(x)＝＋是__________．
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
2．对任意奇函数f(x)(x∈R)都有( )
A．f(x)－f(－x)>0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)>0
3．设函数f(x)为奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－1，则不等式f(x)>0的x的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0，＋∞)
4．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，且f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( )
A．0
B．1
C.
D．5
5.已知偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上是增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系为__________．
6．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x|x－2|；当x<0时，f(x)＝__________.
7．已知f(x)是R上的奇函数，若将f(x)的图象向右平移一个单位，则得到一个偶函数的图象，若f(－1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
009)＝__________.
8．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1，求f(x)的解析式．
9．已知函数f(x)、g(x)是区间D上的奇函数，求证：函数f(x)·g(x)是区间D上的偶函数．
10．已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．
答案与解析
课前预习
1．D 判断函数的奇偶性首先应判断定义域是否关于原点对称，其次再验证f(x)与f(－x)的关系，最后下结论．
2．C 由奇函数的定义可知，奇函数的图象必过点(x，f(x))与(－x，－f(x))．
3．B 如函数y＝是奇函数，但它的图象不过原点．
4．8 若一个函数具备奇偶性，则它的定义域必关于原点对称．∴3－a＝－5.∴a＝8.
5．－5 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数得f(－x)＝－f(x)，
即f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5.
课堂巩固
1．A 由题意知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)·g(x)为奇函数，可排除B.再由x＝0时，f(x)·g(x)无意义，可排除C、D.
2．A f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)，
又f(3)即f(－1)3．D 偶函数关于原点对称的两区间上单调性相反．
4．0 0 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)－f(x)＝0对任意x∈R都成立．
∴(x2－2ax－b)－(x2＋2ax－b)＝0，
即－4ax＝0恒成立．
∵x∈R，∴a＝0.
同理g(x)＝x＋b为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0对任意x∈R都成立．∴b＝0.
5．－26 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易得g(x)为奇函数，
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10.
∴g(－2)＝18.∴g(2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
6．解：∵f(x)为定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，即b＝0.
又f()＝，∴＝.
∴a＝1.∴f(x)＝.
7．解：(1)若a＝0，则满足f(－x)＝f(x)＝0且f(－x)＝－f(x)＝0，f(x)既是奇函数又是偶函数．
若a≠0，f(－x)＝f(x)＝a≠0，f(x)为偶函数．
(2)f(x)＝(x＋1)3－3(1＋x2)＋2＝x3＋3x，
∵f(－x)＝(－x)3＋3×(－x)＝－(x3＋3x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)，
当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x(1＋x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
课后检测
1．C A C B D 判断函数的奇偶性必须确定两点．
(1)定义域关于原点对称；
(2)f(－x)与f(x)的关系．
2．C 奇函数的函数图象关于原点对称，
即f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.
3．C 当x>0时，由f(x)>0，解得x>1，则当x∈(0,1)时，f(x)<0，
由对称性可得当x∈(－1,0)时，f(x)>0，
∴x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)．
4．C f(5)＝f(3＋2)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)．
当x＝－1时，由f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)可得f(2)＝2f(1)＝1，
∴f(5)＝＋2×1＝.
5．f(－3)∴f(－3)＝f(3)6．x|x＋2|(x<0) 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.
∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x·|x＋2|.
∴f(x)＝x|x＋2|(x<0)．
7．－2 由题意可构造一个如图所示的函数图象，
由图象易得f(1)＝－2，f(2)＝0，f(3)＝2，f(4)＝0，且函数的周期为4，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
009)＝f(2
009)＝f(1)＝－2.
8．解：当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1.
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－1.
当x＝0时，f(0)＝0.
∴f(x)＝
9.解：设F(x)＝f(x)·g(x)，
则F(x)的定义域为D.
F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝[－f(x)]·[－g(x)]＝f(x)·g(x)＝F(x)，
∴函数f(x)·g(x)是区间D上的偶函数．
10．解：由题意，当3≤x≤6时，设f(x)＝a(x－5)2＋3，
又f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a＝－1.
∴当3≤x≤6时，f(x)＝－(x－5)2＋3.
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.
又f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.
∴一次函数过(0,0)，(3，－1)两点．
∴f(x)＝－x(0≤x≤3)．
当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x.
∴当－3≤x≤3时，f(x)＝－x.
当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，
∴f(－x)＝－(－x－5)2＋3＝－(x＋5)2＋3.
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝(x＋5)2－3.
∴f(x)＝2.1.2 函数的表示方法
1．下列表格中的x与y能构成函数的是
…( )
A
x
非负数
非正数
y
1
－1
B
x
奇数
0
偶数
y
1
0
－1
C
x
有理数
无理数
y
1
－1
D
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
－1
2．函数f(x)＝|x＋1|的图象为下图中的
…( )
3．下列给出的函数是分段函数的是( )
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
A．①②③
B．①④
C．②④
D．④
4．若f(x)＝x2－ax＋b，f(b)＝a，f(1)＝－1，则f(－5)＝__________.
5．已知f()＝x＋2，则f(x)＝__________.
1．函数y＝x＋的图象是下图中的( )
2．以半径为R的半圆上任一点P为顶点，以直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系为( )
A．S＝Rx
B．S＝2Rx(x>0)
C．S＝Rx(0D．S＝πx2(03．已知函数f(x)＝则f{f[f(－1)]}的值等于( )
A．x2＋1
B．π2＋1
C．－π
D．0
4．已知f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝__________.
5．若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根为x＝__________.
6．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
7．设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，并且对任意实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．
1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数为
( )
A．必有一个
B．一个或两个
C．至多一个
D．可能两个以上
2．已知f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是( )
A．1
B．±
C.，1
D.
3．函数f(x)＝的图象是( )
4．已知f(x)＝g(x)＝则当x<0时，f[g(x)]为( )
A．－x
B．－x2
C．x
D．x2
5．函数f(x)＝的值域为__________．
6．若f(x)＝g(x)＝x2－x(x∈R)，则方程f[g(x)]＝x的解为__________．
7．函数y＝2|x－1|－3|x|的最大值为__________．
8．如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
9．求下列函数的解析式：
(1)若f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)；
(2)已知af(4x－3)＋bf(3－4x)＝4x，a2≠b2，求f(x)的解析式．
10．设x≥0时，f(x)＝2；x<0时，f(x)＝1，又规定g(x)＝(x>0)，试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图象．
课前预习
1．C A中：x＝0时，y＝±1；
B中：0也是偶数，
∴当x＝0时，y＝0或y＝－1；
D中：{自然数}?{整数}?{有理数}，
∴也不能构成函数．
2．C f(x)＝|x＋1|＝分段画出即可．
3．B ②中：当x≥2时的对应法则有两个；③中：x＝1时，f(x)＝1或f(x)＝5；
∴②和③不是分段函数．
4．29 由f(b)＝a，f(1)＝－1，可得解得
∴f(x)＝x2－x－1.∴f(－5)＝29.
5．x2＋2(x≥0) 令t＝≥0，∴x＝t2.
∴f(t)＝t2＋2(t≥0)．
∴f(x)＝x2＋2(x≥0)．
课堂巩固
1．C y＝x＋＝分段画出．
2．C S＝·2R·x＝Rx，
由题意可得03．C 由题意f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
∴f[f(－1)]＝f(2)＝0.
∴f{f[f(－1)]}＝f(0)＝－π.
4. 方法一：令2x＋1＝a，则x＝，
则3×＋2＝4，解得a＝.
方法二：令2x＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝3×＋2＝t＋.
∴f(a)＝a＋＝4.∴a＝.
5. 由f(4x)＝x，得＝x，
即4x2－4x＋1＝0，解得x＝.
6．解：(1)∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x－1，∴a2x＋ab＋b＝4x－1，
即∴或
∴f(x)＝2x－，或f(x)＝－2x＋1.
(2)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左端展开整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式定理知
∴f(x)＝x2－x＋1.
7．解：方法一：由f(0)＝1，f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
设x＝y，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)．
因为f(0)＝1，所以f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
即f(x)＝x2＋x＋1.
方法二：令x＝0，
得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即f(－y)＝1－y(－y＋1)．
又令－y＝x，代入上式得f(x)＝1－(－x)(x＋1)＝1＋x(x＋1)，
∴f(x)＝x2＋x＋1.
课后检测
1．C 若x＝a在函数的定义域内，则必有一个交点；若x＝a不在函数的定义域内，则无交点；而不可能为两个或两个以上的交点．
2．D 由题意：当x≤－1时，x＋2＝3，即x＝1(舍去)；
当－1当x≥2时，2x＝3，即x＝(舍去)．
∴x＝.
3．C f(x)＝＝
分段作出即可．
4．B 当x<0时，g(x)＝－x2<0，
∴f[g(x)]＝f(－x2)＝－x2.
5．[0,2]∪{3} 当0≤x≤1时，f(x)＝2x∈[0,2]；
当1当x≥2时，f(x)＝3.
∴函数的值域为[0,2]∪{3}．
点评：分段函数求值域的思路是：分段求值域，最后取各段值域的并集．
6．1，＋1 当x2－x≥2，即x≥2或x≤－1时，f[g(x)]＝x2－x－1＝x，解得x＝1＋或x＝1－(舍之)；当x2－x<2，即－17．2 f(x)＝
当x≤0时，2＋x≤2；当01时，－x－2<－3.
∴f(x)的最大值为2.或作出函数图象易得．
点评：分段函数是一个函数，求最值时要整体考虑，取整体中的最值．
8．解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即a＝－x－x，半圆的直径为2x，半径为x.所以y＝＋(－x－x)·2x＝－(2＋)x2＋lx.
根据实际意义知－x－x＞0，
又∵x＞0，∴0＜x＜，即函数y＝－(2＋)x2＋lx的定义域是{x|0＜x＜}．
9．解：(1)2f(x)＋f()＝3x①，在原式中以代替x，得2f()＋f(x)＝②，
联立①②消去f()得f(x)＝2x－.
(2)∵af(4x－3)＋bf(3－4x)＝4x，令t＝4x－3，
∴af(t)＋bf(－t)＝t＋3.①
在①式中用－t代替t，得af(－t)＋bf(t)＝3－t，②
联立①②消去f(－t)，得f(t)＝.
∴f(x)＝.
10．解：当0∴g(x)＝＝1；
当1≤x<2时，x－1≥0，x－2<0，
∴g(x)＝＝；
当x≥2时，x－1>0，x－2≥0，
∴g(x)＝＝2.
故g(x)＝其图象如图所示．
点评：(1)对于x的不同区间，讨论x－1与x－2的符号可求出g(x)；(2)分段函数的图象由几个不同的部分组成，注意端点处的虚实与衔接．3.4 函数的应用(Ⅱ)
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时后，这种细菌可由1个分裂成( )
A．511个
B．512个
C．1
023个
D．1
024个
2．为了治理沙尘暴，某市政府大力加强环境保护，其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则y＝f(x)的图象大致为( )
3．一种产品的成本今年是a元，计划使成本平均每年比上一年降低m%，则从今年算起，第四年时该产品的成本为( )
A．a(1－m%)3
B．a(1＋m%)3
C．a(1－m)3
D．a(1＋m)3
4．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可表示为v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为__________个单位．
5．某工厂从2005年到2007年新产品的成本共下降了51%，若两年下降的百分率相同，则每年下降的百分率为__________．
1．已知甲、乙两厂年产值的曲线如下图所示，则下列结论中，错误的一个是( )
A．两厂的产值有三年相同
B．甲厂产值有两年超过乙厂
C．1996年前甲厂产值低于乙厂
D．1998到2003年乙厂的产值增长最快
2．某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为( )
A．(1＋p)11
B．(1＋p)12
C．(1＋p)12－1
D．(1＋p)11－1
3．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2004年某地区农民收入3
150元(其中工资性收入1
800元，其他收入1
350元)．预计该地区自2005年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，据此，2009年该地区农民人均收入介于…( )
A．4
200元～4
400元
B．4
400元～4
600元
C．4
600元～4
800元
D．4
800元～5
000元
4．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8
100元的计算机经过15年后价格应降为__________．
5．我国国民经济计划从1990到2010年20年间将要翻两番，则每年的平均增长率为__________．(精确到0.001)
6．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度I用瓦/平方米(W/m2)来表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L1表示，它们满足以下公式：L1＝10lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12
W/m2，这是人们能听到的平均最小强度，是听觉的开端)，请回答以下问题：
树叶沙沙声的强度是1×10－12
W/m2，耳语的强度是1×10－10
W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8
W/m2，试分别求出它们的强度水平．
1．某种商品2007年提价25%，2009年要恢复成原价，则应降价( )
A．30%
B．25%
C．20%
D．15%
2．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中，甲商品因供不应求，连续两次提价10%，乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后两种电脑均以9
801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降相比，商场的盈利情况是( )
A．前后相同
B．少赚598元
C．多赚980.1元
D．多赚490.05元
3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股，可以预知一年后以每股18.96元的价格销售．已知该年银行利率为0.8%，按月计复利，为获取最大利润，某人应将钱〔注：(1＋0.8%)12＝1.100
38〕( )
A．全部购买股票
B．全部存入银行
C．部分购股票，部分存银行
D．购股票或存银行均一样
4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(lg2＝0.301
0)( )
A．6次
B．7次
C．8次
D．9次
5．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气温度是θ0，t分钟后物体温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－tln求得现有60
℃的物体放在15
℃的空气中冷却，当物体温度为35
℃时，冷却时间t＝__________分钟．
6．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30
m2；
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2
m2、3
m2、6
m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是__________．
7．如图，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－n
t，那么桶2中水就是y2＝a－ae－nt.假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过__________分钟桶1中的水只有.
8．某工厂销售甲、乙两种产品所能获得的利润P、Q与投入资金m(万元)大致有以下关系：P＝，Q＝，现投入3万元资金，其中对甲产品投入x万元．
(1)设所获利润为y(万元)，将所获利润表示为x的函数，并写出定义域．
(2)应如何分配资金，才能获得最大利润？最大利润是多少万元？
9．某商品的日需求量Q1(个)和日产量Q2(个)均为价格P的函数，且Q1＝144×()P＋12，Q2＝6×2P，日总成本C(元)关于日产量Q2的函数为C＝10＋Q2.
(1)Q1＝Q2时的价格P0称为平衡价格，求此平衡价格；
(2)当P＝P0时，求日利润的大小(利润＝营业额－成本)．
答案与解析
课前预习
1．B 由题意知此函数为y＝2t(t≥0),3个小时为9个20分钟，∴3小时后，可分裂成29＝512个．
2．D y＝a(1＋10.4%)x(a为草场绿色植被初始面积)．
3．A 第二年时该产品的成本为a(1－m%)，第三年时该产品的成本为a(1－m%)2，第四年该产品的成本为a(1－m%)3.
4．10 静止时速度为0，即v＝5
log2＝0，
∴＝1，即O＝10.
5．30% 设2005年的成本为a，每年下降的百分率为x，则2007年的成本为a(1－x)2，
∴＝51%，解得x＝30%.
课堂巩固
1．B 两图象有三个交点，在这三年显然产值相同，所以A正确．此外易观察出C、D均成立．
2．C 设年初的生产总值为a，则一年后的生产总值为a(1＋p)12，∴年平均增长率为＝(1＋p)12－1.
3．B 依题意，知2009年农民的工资性收入为1
800×(1＋6%)5，其他收入为1
350＋160×5＝2
150元，因此2009年该地区人均收入为1
800×(1＋6%)5＋2
150，经计算知介于4
400～4
600元．
4．2
400元 设经过5x年，计算机的价格为y元，则由已知得y＝8
100×(1－)x＝8
100×()x，当5x＝15，即x＝3时，y＝8
100×()3＝2
400元．
5．7.2% 设平均每年的增长率为x，则(1＋x)20＝4，∴20lg(1＋x)＝lg4，解得x≈0.072＝7.2%.
6．解：由题意，可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12
W/m2，则＝1，故LI1＝10
lg
1＝0，即树叶沙沙声的强度水平是0分贝，耳语的强度是I2＝1×10－10
W/m2，则＝102，故LI2＝10
lg
102＝20，即耳语的声音强度水平是20分贝，同理，恬静的无线电广播的强度水平是40分贝．
课后检测
1．C 设该商品原价为a,2007年提价后变为a(1＋25%)，设应该降价x%，则a(1＋25%)(1＋x%)＝a，解得x%＝20%.
2．B 设甲、乙两种电脑原来的价格分别是x元、y元，则x(1＋10%)2＝9
801，y(1－10%)2＝9
801，解得x＝8
100，y＝12
100，x＋y－2×9
801＝598.
3．B 买股票利润x＝(18.96－17.25)×10
000；
存银行利润y＝17.25×10
000×(1＋0.8%)12－17.25×10
000.
经计算，得x4．C 设至少抽x次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则(1－60%)x<0.1%，即0.4x<0.001.
∴x
lg0.4<－3.∴x>＝≈7.5，
∴至少要抽8次．
5．2 由35＝15＋(60－15)·e－tln，得e－tln＝，即()t＝，∴t＝2.
6．①②⑤ ①显然正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3.5时，y≈11.31<12，故经过1.5个月并不能使浮萍的面积达到12
m2，从而③不正确；由图象易知，经过第1个月时，面积为2－1＝1(m2)，再经过1个月时，面积为4－2＝2(m2)，故④不正确；当浮萍面积为2
m2时，t1＝1，当浮萍面积为3
m2时，t2＝log23，当面积为6
m2时，t3＝log26，而1＋log23＝log26，故⑤正确．
7．10 ∵过5分钟后桶1和桶2中的水相等，
∴a·e－5n＝a－ae－5n.∴e－5n＝.①
设过x分钟后桶1中的水只有，则＝a·e－nx，即e－nx＝.
由①知，e－nx＝＝()3＝(e－5n)3＝e－15n，
∴x＝15.
∴再过15－5＝10分钟桶1中的水只有.
8．解：(1)∵投入资金3万元，对甲产品投入x万元，则对乙产品投入(3－x)万元．由已知得y＝＋(0≤x≤3)即为所求函数式．
(2)将函数两边平方整理，得
y2＝4＋2，
＝4＋2.
当x＝2∈[0,3]时，y2有最大值8.
又y≥0，∴ymax＝2≈2.8(万元)，
即对甲产品投入2万元，乙产品投入1万元资金时，能获得最大利润为2.8万元．
9．解：(1)令Q1＝Q2，即144×()P＋12＝6×2P，整理得
(2P)2－2×2P－24＝0，即(2P－6)(2P＋4)＝0.
∵2P>0，∴2P＋4>0.∴2P＝6.∴P＝log26，
即平衡价格P0为log26元．
(2)当P＝log26时，利润w＝PQ1－C.
即w＝P[144×()P＋12]－(10＋×6×2P)
＝144P·()P＋12P－10－2P＋1
＝144×log26×()log26＋12×log26－10－2×2log26
＝144×log26×＋12log26－10－2×6
＝36log26－22(元)．1.2
集合之间的关系与运算
3
1．集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则( UA)∪( UB)为( )
A．{1,6} B．{4,5}
C．{2,3,4,5,7}
D．{1,2,3,6,7}
2．设集合S＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则( )
A．( SA) ( SB)
B．( SA)?( SB)
C．( SA) ( SB)
D．( SA)＝( SB)
3．设全集U和集合A、B、P，A＝ UB，B＝ UP，则A与P的关系是( )
A．A＝ UP
B．A＝P
C．A?P
D．A?P
4．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|05．设S＝{2,3,5}，A＝{2，|a－2|}， SA＝{5}，则a的值为__________．
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2,5}， UB＝{4,5,6}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3}
B．{4,5,6}
C．{1,2}
D．5
2．设集合U＝{x∈N|0( )
A．{1,2,4}
B．{1,2,3,4,5,7}
C．{1,2}
D．{1,2,4,5,6,8}
3．已知全集U，M、N是U的非空子集，若 UM N，则有( )
A．M UN
B．M? UN
C． UM＝ UN
D．M＝N
4．下列叙述：
① UA＝{x|x A}；
② U ＝U；
③若S＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是钝角三角形}，则 SA＝{x|x是锐角三角形}；
④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则 UA＝{1}．
其中正确的序号是__________．
5．设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表示图中的阴影部分．
(1)__________；(2)__________．
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝{1,2}， UB＝{3}，试写出满足条件的A、B.
7．已知全集U＝{x∈P|－1≤x≤2}，集合A＝{x∈p|0≤x<2}，集合B＝{x∈p|－0.1(1)若p＝R，求 UA中最大元素m与 UB中最小元素n的差m－n；
(2)若p＝Z，求 AB和 UA中所有元素之和及 U( BA)．
1．已知P为全集U的任一子集，下列关系式中正确的是( )
A． UP?
B． UP?U
C．P∩( UP)
D．P∪( UP)?U
2．设U为全集，集合A、B满足A?B?U，则下列集合中，一定为空集的是( )
A．A∩( UB)
B．B∩( UA)
C．( UA)∩( UB)
D．A∩B
3．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝{(x，y)|y≠x}，N＝{(x，y)|y≠－x}，则集合P＝{(x，y)|y2＝x2}可表示为( )
A．( UM)∩( UN)
B．( UM)∪N
C．( UM)∪( UN)
D．M∩( UN)
4．设全集U＝{a，b，c，d，e}，若A∩B＝{b}，( UA)∩B＝{d}，( UA)∩( UB)＝{a，e}，则下列结论中正确的是( )
A．C∈A∩B
B．C A且C∈B
C．C∈A且C B
D．C A且C B
5.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4,5}，N＝{1,3,6}，则[ U(M∪N)]∩(M∩N)＝__________.
6.设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝__________.
7．已知全集U＝N＋，集合A＝{x|x＝2n，n∈N＋}，B＝{x|x＝4n，n∈N＋}，请使用含有集合A、B的集合运算表示全集U＝__________.(只需写出一个即可)
8．集合S＝{x|x≤10，且x∈N
}，A?S，B?S，且A∩B＝{4,5}，( SB)∩A＝{1,2,3}，( SA)∩( SB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
9．已知全集U＝{1,2,3,4,5}．若A∪B＝U，A∩B≠ ，且A∩( UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A、B.
10．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m2－3m≤0，m∈R}．
(1)若A∩B＝[2,4]，求实数m的值；
(2)设全集为R，若A RB，求实数m的取值范围．
答案与解析
课前预习
1．D UA＝{1,3,6}， UB＝{1,2,6,7}，
∴{ UA}∪( UB)＝{1,2,3,6,7}
2．C SA＝{0,4}， SB＝{0,1}，
∴( SA) ( SB)．
3．B 利用补集的性质：A＝ UB＝ U( UP)＝P.
4．{x|0≤x≤1或x>6} U＝{x|x≥0}，A＝{x|15．－1或5 ∵( SA)∪A＝S，∴|a－2|＝3.
∴a＝－1或5.
课堂巩固
1．C 由题意可得B＝{1,2,3}，
∴A∩B＝{1,2}．
2．A U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴ UT＝{1,2,4,6,8}．
∴S∩( UT)＝{1,2,4}．
3．A 由维恩图可知M UN.
4．② ①应为 UA＝{x∈U|且x A}；
②正确；
③应为 SA＝{x|x是锐角或直角三角形}；
④∵A U，∴ UA无意义．
5．(1)( UA)∩B (2)( UC)∩(A∩B)
6．解：∵A∩B＝{1,2}，
∴1∈B,2∈B,1∈A，2∈A.
又∵ UB＝{3}，A∪B＝U，
∴3∈A,4∈B,5∈B.
∴A＝{1,2,3}，B＝{1,2,4,5}．
7．解：(1) UA＝{x|－1≤x<0或x＝2}．
∴m＝2.
又 UB＝{x|－1≤x≤0.1或1∴n＝－1.
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵p＝Z，∴U＝{－1,0,1,2}，A＝{0,1}，B＝{0,1}．∴ AB＝ .
∴元素之和为0；而 UA＝{－1,2}．
∴元素之和为1.
∴所求和为1.
∵ BA＝ ，
∴ U( BA)＝ U ＝U＝{－1,0,1,2}．
课后检测
1．C ∵P∩( UP)＝ ，∴P∩( UP) .
2．A 由维恩图易得．
3．C 此题关键是能弄清所给集合U、M、N、P，其中U是全集，是平面内的所有点组成的集合，M是平面内不在直线y＝x上的点构成的集合，N是平面内不在直线y＝－x上的点的集合，所以 UM表示平面上直线y＝x上的点构成的集合， UN表示平面上直线y＝－x上的点构成的集合．所以
P＝{(x，y)|y2＝x2}＝{(x，y)|y＝x或y＝－x}＝( UM)∪( UN)．
4．C C∈A∩B.显然不正确，排除A；C A且C B，则( UA)∩( UB)＝{a，c，e}，排除D；C A，C∈B，则( UA)∩B＝{c，d}，排除B.
5． ∵M∪N＝{1,2,3,4,5,6}＝U，
∴ U(M∪N)＝ .
∴[ U(M∪N)]∩(M∩N)＝ .
6．0或1 由A∪B＝A，
知B A，∴t2－t＋1＝－3， ①
或t2－t＋1＝0,
②
或t2－t＋1＝1.
③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
7．A∪ UB 解：由题意B A，由维恩图
知U＝A∪ UB.
8．解法一：(1)∵A∩B＝{4,5}，
∴4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.
(2)∵( SB)∩A＝{1,2,3}，
∴1∈A,2∈A,3∈A,1 B,2 B,3 B.
(3)∵( SA)∩( SB)＝{6,7,8}，
∴6,7,8既不属于A，也不属于B.
∵S＝{x|x≤10，且x∈N
}，
∴9,10不知所属．
由(2)(3)可知9,10均不属于 SB，
∴9∈B,10∈B.
综上，可得A＝{4,5,1,2,3}，B＝{4,5,9,10}．
解法二：如图所示，
，
∵A∩B={4,5}，
∴将4,5写在A∩B中．
∵( SB)∩A＝{1,2,3}，
∴将1,2,3写在A中．
∵( SB)∩( SA)＝{6,7,8}，
∴将6,7,8写在S中A，B之外．
∵( SA)∩A
与( SB)∩( SA)中均无9,10，
∴9,10在B中．
故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
点评：与自然数或整数有关的有限集的子、交、并、补集运算，借助韦恩图，显得既直观清晰又简便．
9．解：由A∩( UB)＝{1,2}，知1∈A,2∈A，但1 B,2 B，
∵A∩B≠ ，A∪B＝U，∴A、B可能情形有
A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,4,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}；
10．解：(1)∵A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，
A∩B＝[2,4]，
∴∴m＝5.
(2) RB＝{x|xm}．
∵A RR，∴m<－2，或m－3>4.
∴m>7或m<－2.2.1.3 函数的单调性
1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a、b，总有>0成立，则必有
…( )
A．函数f(x)是先增加后减少
B．函数f(x)是先减少后增加
C．f(x)在R上是增函数
D．f(x)在R上是减函数
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A．a≥
B．a≤
C．a>－
D．a<
3．已知函数f(x)＝，则下列区间不是递减区间的是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
4．已知函数y＝4x2－mx＋1在(－∞，－2]上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝__________.
5．若f(x)在R上是增函数且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为__________．
1．下列命题正确的是( )
A．定义在R上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)2．下列函数中只有一个单调区间的是( )
A．y＝－
B．y＝(x＋3)2
C．y＝x(－1≤x≤1)
D．y＝(2x－3)2
3．函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内递减，则a的取值范围为( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a≥－3
D．a≤－3
4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则
……
( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)5．函数y＝－的单调区间为__________，在此区间上是__________．
6．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
7．利用定义证明f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
1．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)在R上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的( )
A．上半平面
B．下半平面
C．左半平面
D．右半平面
2．二次函数y＝f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴是x＝3，则下列式子中错误的是…( )
A．f(5)>f(4)
B．f(2)C．f(2)＝f(4)
D．f(0)3．当x∈(0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为( )
A．[f(0)，f(5)]
B．[f(0)，f()]
C．[f()，f(5)]
D．[c，f(5)]
4．函数f(x)在定义域M内为增函数，且f(x)>0，则下列函数在M内不是增函数的是( )
A．y＝4＋3f(x)
B．y＝[f(x)]2
C．y＝3＋
D．y＝2－
5.y＝的单调递增区间为__________．
6．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围为__________．
7．下列命题中正确命题的序号是__________．
①函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上不是增函数
②函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数
③y＝－的单调区间是[－2，＋∞)
④已知f(x)在R上是增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
8．讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性．
9．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－1)10．已知函数f(x)＝，x∈[1,3]，证明函数的单调性并求其最大值和最小值．
答案与解析
课前预习
1．C 由题意可知f(a)－f(b)与a－b同号，故f(x)在R上是增函数．
2．D 由已知，f(x)为一次函数，且2a－1<0，
∴a<.
3．C f(x)＝的递减区间有两个(－∞，0)和(0，＋∞)．
点评：单调性是定义域上的区间概念，函数能在定义域内的某个区间上具备单调性，但在整个定义域上不一定具备单调性．
4．21 由已知－＝－2，解得m＝－16，
∴f(x)＝4x2＋16x＋1.∴f(1)＝21.
5．x1>x2 由函数的单调性的定义易得．
课堂巩固
1．D A，B不符合单调性的定义，C：单调性是一个区间概念，两个单调区间是独立的，不能用I1∪I2表示，可表示为f(x)在I1和I2上为增函数．
2．C A中，y＝－的单调区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；
B中，y＝(x＋3)2的单调区间为(－∞，－3)和(－3，＋∞)；
D中，y＝(2x－3)2的单调区间为(－∞，)和(，＋∞)．
3．D 函数f(x)的对称轴方程为x＝－2a，由题意－2a≥6，即a≤－3.
4．D ∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a.∴f(a2＋1)5．(－∞，] 单调递增函数 由1－2x≥0，得x≤，
又u(x)＝1－2x在(－∞，]上单调递减，
∴y＝－在(－∞，]上单调递增．
点评：①求函数的单调区间时，一定要先判断所求函数的定义域，②写单调区间时，区间端点若在定义域内，则可开可闭；若不在定义域内，则一定要开．
6．解：y＝－x2＋2|x|＋3＝
函数图象如图所示．
由图象可知：
函数在(-∞，-1]，[0,1]上是增函数；
函数在[-1,0]，[1，+∞)上是减函数．
∴函数的单调递增区间是(-∞，-1]，[0,1]；
单调递减区间是[-1,0]，[1，+∞)．
点评：研究函数的单调区间的一般方法有定义法、图象法及利用已知函数的单调性．数形结合始终是研究函数及其性质的重要思想．
7.证明：设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(－x＋1)－(－x＋1)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2)[(x1＋)2＋x]．
∵Δx>0且(x1＋)2＋x>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)<0恒成立．
∴f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
点评：用定义证明函数的单调性，步骤一定要严谨，要注意合理地对式子变形，以方便判断各个因式的符号，进而得出Δy的符号．
课后检测
1．C 因为一次函数y＝kx＋b在R上是减函数，所以必有k<0.而b∈R，所以点(k，b)在直角坐标平面的左半平面．
2．B 由题意可知f(x)的图象在x＝3左侧递减右侧递增，
∴A、D正确．又2,4关于x＝3对称，
∴C正确．∴只能选B.
点评：此类题目可直接判断距离对称轴的远近即可，开口向上时，离得越远，函数值越大，开口向下时，离得越远函数值越小．
3．C 函数f(x)的对称轴为x＝，且开口方向向上，所以当x∈(0，]时为减函数，当x∈[，5]时为增函数，且f(0)∴函数的值域为[f()，f(5)]．
4．C 令M＝(0，＋∞)，f(x)＝x，则C中：y＝3＋＝3＋，显然不是增函数．
5．[－3，－1] 由－x2－2x＋3>0，得－3又u(x)＝－x2－2x＋3的对称轴为x＝－1，开口向下，
∴单调递增区间为[－3，－1]．
6．0≤m≤ 当m＝0时，y＝x＋5在[－2，＋∞)上是增函数；当m≠0时，要使函数在[－2，＋∞)上是增函数，需解得0∴0≤m≤.
7．④ ①因为函数在(－，＋∞)上为增函数，所以在(0，＋∞)上也是增函数，故①错；②应该为在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上各自为减函数，故②错；③函数y＝－的定义域为[－5,1]，所以增区间为[－2,1]，故③错；④∵f(x)为R上的增函数，又a＋b>0，∴a>－b或b>－a.
∴f(a)>f(－b)或f(b)>f(－a)，两式相加得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，故④正确．
8．解：由题意，函数的对称轴方程为x＝2a＋1；
(1)当2a＋1≤－2，即a≤－时，函数在[－2,2]上为增函数．
(2)当－2<2a＋1<2，即－(3)当2a＋1≥2，即a≥时，函数在[－2,2]上是减函数．
综上所述：
当a≤－时，函数在[－2,2]上为增函数；
当－当a≥时，函数在[－2,2]上是减函数．
9．解：由题意可知f(x－1)10．解：f(x)＝＝＝1－.
设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1Δy＝f(x1)－f(x2)＝1－－1＋
＝－＝
＝.
由1≤x10，又因为Δx＝x1－x2<0，所以Δy<0.
所以，函数f(x)＝是区间[1,3]上的增函数．
因此，函数f(x)＝在区间[1,3]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x＝1时取得最小值，最小值是0，在x＝3时取得最大值，最大值是.
点评：用单调性求函数的最值是常用的求最值的方法，要注意正确判断函数的单调区间．3.2.2 对数函数
1．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞)
B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
2．函数f(x)＝|log2x|的图象是( )
3．设a＝0.3－2，b＝log0.34，c＝log43，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜b＜a
D．b＜c＜a
4．函数f(x)＝log(a－1)x是减函数，则a的取值范围是________．
5．若a>0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)－1的图象恒过点________．
1．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间( )
A．(，)
B．(，)
C．(，1)
D．(1,2)
2．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是下列选项中的( )
3．对数函数y＝logax的图象，已知a的值分别取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次是( )
4．已知loga<1，那么a的取值范围为________．
5．若不等式loga(x＋3)6．若a2>b>a>1，试比较loga，logb，logba，logab的大小．
7．若01．函数y＝的定义域为…( )
A．[0，)∪(1
000，＋∞)
B．(0，]∪[1
000，＋∞)
C．(－∞，]∪[1
000，＋∞)
D．(－∞，)∪(1
000，＋∞)
2．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于( )
A.
B．2
C．2
D．4
3．设函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(x1·x2·…·x2
007)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于( )
A．4
B．8
C．16
D．2loga8
4．下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )
A．y＝x＋lgx
B．y＝x－lgx
C．y＝－x＋lgx
D．y＝－x－lgx
5．若06．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．
7．已知logm78．求函数f(x)＝－(logx)2－logx＋5在2≤x≤4范围内的最值．
9．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
10．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)当x为何值时，函数值大于1
答案与解析
课前预习
1．D 要使函数有意义，需log2x－2≥0，即log2x≥2＝log24，∴x≥4.
2．A f(x)＝只需把函数y＝log2x的图象x轴下方的部分翻折到x轴上方即可．
3．D a＝0.3－2＝＝>1；b＝log0.34<0；c＝log43∈(0,1)，∴b4．15．(2，－1) 由函数y＝logax的图象过(1,0)点可知，当x－1＝1，即x＝2时，y＝－1.
课堂巩固
1．C 由题意可得f()＝log2＋2×－1＝－<0，f()＝log2＋2×－1＝－1<0，f(1)＝log21＋2×1－1＝1>0，
∴零点在区间(，1)内．
2．A 因为a>1，所以0<<1，而a－x＝()x，故y＝a－x为减函数，y＝logax为增函数．
3．A ∵当a>1时，图象上升；01时，a越大，图象向右越靠近于x轴；0点评：此题可在坐标系中作出直线y＝1，与各图象各有1个交点，从左往右，底数逐渐增大．
4．01 由loga<1＝logaa，得
当a>1时，a>，∴a>1；
当0综上，可得01.
5．x>2 02.
又x＋3>x－2，
而loga(x＋3)∴06．解：∵b>a>1，∴0<<1.
∴loga<0，logb∈(0,1)，logba∈(0,1)．
又a>>1，且b>1，∴logb而logab>logaa＝1，
∴loga点评：比较两个对数式的值的大小，如果是同底的对数式则可根据函数的单调性来确定，如果不是同底的对数式，一种途径是化为同底的对数式，另一种途径是利用函数的图象来确定对数式值的范围来判断．
7．解：由题意知：若a>1，则1∴a>2.
若0a＋1>2a－1>0，解集为 .
综上所述，a>2.
点评：①对数函数中的底数要分a>1和0课后检测
1．B 要使函数有意义，必须且只需解得0000.
2．D ∵a>1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，
∴loga2a－logaa＝.
∴loga2＝＝logaa.∴a＝2.∴a＝4.
3．C ∵f(x)＝logax，∴f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝2f(x1)＋2f(x2)＋…＋2f(x2
007)
＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x2
007)]
＝2f(x1·x2·…·x2
007)
＝2×8＝16.
4．B ∵A、D是单调函数，∴不正确；不妨取x＝10，∵C中的y＝－10＋lg10＝－9<0，∴C不正确．
5．(4) ∵＝()a>1，∴0.8a>0.7a.
∴(1)式不成立；由指数函数y＝ax(0∵0∴(4)成立．
6．[，4] ∵－1≤x≤1，∴≤2x≤2.
∴f(x)的定义域为[，2]．
∴≤log2x≤2，即log2≤log2x≤log24.
∴≤x≤4.
7．0∴0>log7m>log7n.
又y＝log7x在(0,1)内递增，∴08．解：f(x)＝－(logx)2－logx＋5，
令t＝logx，则－2≤t≤－1.
∴y＝g(t)＝－t2－t＋5＝－(t＋)2＋(－2≤t≤－1)．
∴ymax＝g(－1)＝，ymin＝g(－2)＝2.
9．解：令μ(x)＝ax2＋2x＋1.
(1)要使f(x)的定义域为R，只需使μ(x)＝ax2＋2x＋1的值恒为正值，
∴解得a>1.
(2)若f(x)的值域为R，则要求μ(x)＝ax2＋2x＋1的值域包括(0，＋∞)．
当a<0时，μ(x)存在最大值，不合题意；
当a＝0时，μ(x)＝2x＋1∈R成立；
当a>0时，μ(x)＝ax2＋2x＋1要包括(0，＋∞)，需
解得0综上所述，a的取值范围是{a|0≤a≤1}．
10．解：(1)ax－1>0，∴ax>1.
①当0②当a>1时，x>0，定义域为(0，＋∞)．
(2)①当01，
则0∴loga(1＋a)②当a>1时，loga(ax－1)>1，
则ax－1>a，即ax>1＋a，
∴x>loga(1＋a)．3.1.2 指数函数
1．下列函数中：①y＝3x2，②y＝4x，③y＝22x，④y＝3×2x，⑤y＝3x＋1，⑥y＝.一定为指数函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a>0且a≠1
3．已知0A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．指数函数的图象经过点(2,4)，那么f(4)·f(2)＝________.
5．函数y＝ax－1＋1(a>0且a≠1)中，无论a取何值恒经过一个定点，则这个定点的坐标为________．
1．函数f(x)＝则f(－3)的值为( )
A．2
B．8
C.
D.
2．如图所示，分别是y＝a，y＝a，y＝a，y＝a在同一坐标系下的图象，则a1、a2、a3、a4的大小关系是( )
A．0B．0C．0D．03．函数y＝(a>1)的图象的大致形状为( )
4．若a，b为不相等的正数，则aabb________abba.(填“>”“<”“≥”“≤”或“＝”)
5．比较下列各组式中两个值的大小．
①1.72.5________1.73；②0.8－1________1.250.2；③1.70.3________0.93.1.
6．求函数y＝(a>0，且a≠1)的值域．
7．函数y＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则…
( )
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
2．若方程3x＝2－x的根是a,5x＝2－x的根是b，则( )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．不能比较大小
3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．无最大值
4．在下图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可能为( )
5.已知f(x)＝2x，使[f(x)]2>f(x)的x的值的集合是________．
6．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为________．
7．已知a>0，且a≠1，f(x)＝－ax，当x∈(1，＋∞)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围为________．
8．画出函数y＝2|x－1|的图象，并根据图象指出这个函数的一些重要性质．
9．已知f(x)＝(＋)x3，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求证：f(x)>0.
10．比较am＋a－m与an＋a－n(m>n>0，a>0且a≠1)的大小．
答案与解析
课前预习
1．D 指数函数一定要符合y＝ax(a>0且a≠1)的形式，∴只有②③⑥符合；③即为y＝4x，⑥即为y＝()x.
2．C 由指数函数的定义可得解得a＝2.
3．A y＝ax＋b的图象是由y＝ax的图象向下平移了|b|个单位得到的，又04．64 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由题意，f(2)＝a2＝4，
∴a＝2.∴f(x)＝2x.
∴f(2)·f(4)＝22·24＝26＝64.
5．(1,2) 函数y＝ax的图象经过一个定点(0,1)，所以函数y＝ax－1＋1所经过的定点为：令x－1＝0，即x＝1，得y＝2，∴定点坐标为(1,2)．
课堂巩固
1．C 由题意f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(1)＝f(3)＝2－3＝.
2．B 图象在y轴右边的部分，离x轴由近到远的顺序依次为a4，a3，a2，a1，按此顺序底数由小到大，∴0点评：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)底数越大时，函数图象在y轴右侧的部分越远离x轴，这一性质可通过x＝1时函数值的大小去判断．
3．C y＝＝结合选项易判断．
4．> ＝()a·()b＝()a－b，若a>b>0，则a－b>0,0<<1，∴()a－b<1；若b>a>0，则a－b<0，>1，∴()a－b<1.综上，()a－b<1.∴aa·bb>ab·ba.
5．①< ②< ③> ①由于底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x在R上是增函数，∵2.5<3，
∴1.72.5<1.73.
②1.250.2＝0.8－0.2，由于0<0,8<1，∴指数函数y＝0.8x在R上为减函数．
∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<1.250.2.
③由指数函数的性质得1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1.
∴1.70.3>0.93.1.
点评：对于底数相同，指数不同的值，其大小可根据指数函数的单调性进行比较；对于指数相同，底数不同的值，其大小可根据不同指数函数图象间的关系去比较．此外，还可通过中间值“1”或“0”进行比较．
6．解：由y＝＝得(1－y)·a2x＝1＋y，显然y≠1，∴a2x＝.
∵a2x>0，∴>0.
∴－1点评：求值域的关键是抓住问题的实质，找出一条合理、简捷的解题途径，此题巧妙利用a2x>0，把a2x用y来表示，以便求出y的范围，即函数的值域．
7．解：当a>1时，y＝ax在[1,2]上是增函数，
∴ymax＝f(2)＝a2，ymin＝f(1)＝a.
∴f(2)－f(1)＝，即a2－a＝.∴a＝.
当0∴ymax＝f(1)，ymin＝f(2)，
即f(1)－f(2)＝，即a－a2＝.
∴a＝.
综上所述，a＝或a＝.
课后检测
1．D ∵y1＝40.9＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，
又y＝2x在R上是单调递增函数，
∴y1>y3>y2.
2．A 在同一坐标系下作出y＝3x，y＝5x，y＝2－x的图象即可．
3．A 当x≤0时，f(x)＝2x；当x>0时，f(x)＝－x＋1.显然f(x)的最大值为1.
4．C ∵>0，∴a与b同号．
∴－<0，淘汰B、D.
又∵y＝ax2＋bx过原点，∴A错．
5．(0，＋∞) 原不等式即为22x－2x>0，
即2x(2x－1)>0，解得x>0.
6．2 由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.在同一坐标系中作出y＝2|x|与y＝2－x的图象如图，可观察到两个函数的图象有且仅有两个交点，故方程有两个实根．
7．(，1)∪(1，＋∞) 当a>1时，若x∈(1，＋∞)，则f(x)<0，显然满足f(x)<；当08．解：y＝2|x－1|＝其图象由两部分组成，一是把y＝2x的图象向右平移1个单位，二是把y＝()x的图象向右平移1个单位，对接处的公共点为(0,1)，由图象可知，函数有三个重要性质：
①对称性：对称轴为x＝1.
②单调性：在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
③函数的值域：[1，＋∞)．
点评：作比较复杂的函数图象时，要把各部分变换而得一个整体，为了表示某部分是某个函数图象的某一部分，常画出一部分虚线进行衬托，虚线部分不是函数图象上的点，要加以区别．
9．(1)解：要使函数有意义，只需2x－1≠0，
即2x≠1，∴x≠0.
∴x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)证明：当x>0时，2x>1，∴2x－1>0.
∴＋>0.
又x3>0，∴(＋)·x3>0.
当x<0时，0<2x<1，∴－1<2x－1<0.
∴<－1.
∴＋<－<0.
又x3<0，∴(＋)·x3>0.
综上，f(x)>0.
10．解：(am＋a－m)－(an＋a－n)＝(am－an)＋(－)
＝(am－an)＋
＝(am－an)(1－)
＝(am－an)·.①
当a>1时，∵m>n>0，
∴am>an>1.
∴am－an>0，am＋n>1.
∴①式大于0.
当0n>0，
∴am∴am＋n<1，则①式大于0.
故不论a>1，还是0an＋a－n.2．2.1 一次函数的性质与图象
1．下列函数中既是一次函数，又是正比例函数的是( )
A．y＝－5x2
B．y＝
C．y＝5x＋1
D．y＝5x
2．关于函数y＝kx＋b(k·b≠0)，下列说法正确的是( )
A．y与x成正比例
B．y与kx成正比例
C．y与x＋b成正比例
D．y－b与x成正比例
3．函数y＝(k2－1)x＋3k是一次函数，则k的取值范围是( )
A．k≠－1
B．k≠1
C．k≠±1
D．k为一切实数
4．若y＋3与x成正比例，且x＝2时，y＝1，则当x＝5时，y＝__________.
5．设一次函数y＝kx＋b的图象过点M(－2,1)及直线y＝x－3和直线y＝－x－5的交点N.
(1)则该函数的解析式为__________；
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是函数y＝kx＋b图象上两相异点，则该函数从x1到x2之间的平均变化率为__________．
1．已知一次函数y＝(1＋2m)x－3，若y随x的增大而减小，而m的取值范围是( )
A．m<－
B．m>－
C．m≤－
D．m≥－
2．已知直线y＝kx＋b过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若k<0且x1…
( )
A．y1>y2
B．y1C．y1＝y2
D．不能确定
3．两条直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
4．已知点A(－4，a)，B(－2，b)都在直线y＝x＋k(k为常数)上，则a和b的大小关系为a__________b.
5．若方程kx＋b＝0(k>0)的解为正值，则y＝kx＋b经过第__________象限．
6．在同一直角坐标系中画出一次函数y＝2x＋3和y＝－2x＋3的图象．
7．已知A地在B地的正南方向3
km处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直线前进，他们与A地的距离s(km)与所用时间t(h)之间的函数关系的图象如图所示，当他们走了3
h的时候，他们之间的距离是多少千米？
1．若函数y＝(a－2)xa2－a－1是正比例函数，则a的值是( )
A．2
B．－1
C．2或－1
D．0或2
2．函数y＝mx－(4m－1)的图象在第一、二、三象限，那么m的取值范围是( )
A．m>0
B．m>
C．m<
D．03．一次函数f(x)的斜率k<0，且f[f(x)]＝9x＋1，则f(x)等于( )
A．－3x－
B．－3x＋
C．－x－
D．－x＋
4．在下列各图中，不可能是一次函数f(x)＝mx－(m－3)的图象的是( )
5．当m＝__________时，函数y＝(m＋3)x2m－1＋4x－5是一次函数．
6．若函数y＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a，b的取值范围为__________．
7．教师给出一个函数y＝f(x)，让甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数图象不经过第三象限；
乙：函数图象经过第一象限；
丙：在区间(－∞，2)上，函数y＝f(x)为减函数；
丁：当x<2时，y>0.
已知这四位同学的叙述都正确，请构造满足上述所有性质的一个函数为__________．
8．若函数f(x)＝ax＋1的定义域为[－1,1]，且f(x)的图象分布在x轴的上方和下方，求a的取值范围．
9．已知y＋5与3x＋4成正比例，当x＝1时，y＝2.
(1)求y与x的函数关系式．
(2)求当x＝－1时，y的值；y＝8时，x的值．
(3)如果y的取值范围为[0,5]，求x的取值范围．
10．设f(x)＝2－ax，若在[1,2]上f(x)>1恒成立，求a的取值范围．
答案与解析
课前预习
1．D 函数y＝kx＋b(k≠0)为一次函数，当b＝0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数一定是一次函数．∴只有y＝5x符合．
2．D y＝kx＋b可写成y－b＝kx，
∴y－b与x成正比例．
3．C ∵函数y＝(k2－1)x＋3k是一次函数，
∴k2－1≠0，即k2≠1.∴k≠±1.
4．7 令y＋3＝kx，由x＝2时y＝1，得k＝2，
∴y＝2x－3，把x＝5代入得y＝2×5－3＝7.
5．(1)y＝－5x－9 (2)－5
由解得
即N(－1，－4)，
又y＝kx＋b的图象过点M，N，
∴解得
∴函数的解析式为y＝－5x－9，函数从x1到x2之间的平均变化率即为斜率k＝－5.
课堂巩固
1．A 由题意，得1＋2m<0，∴m<－.
2．A 由k<0得函数y＝kx＋b是减函数，
又x1y2.
3．A 假设B项中直线y1＝ax＋b正确，则a>0，b>0，所以y2＝bx＋a的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限，
∴B错，同理C、D错，故A正确．
点评：此类问题的解决要“定性”的去分析，即确定其中一个，再去判断另一个．
4．< 把A、B两点坐标分别代入直线方程得
∵－2＋k<－1＋k，∴a5．一、三、四 ∵kx＋b＝0的解为x＝－，
∴－>0.
又k>0，∴b<0.
∴直线y＝kx＋b过一、三、四象限．
6．解：列表如下：
x
0
－
y＝2x＋3
3
0
x
0
y＝－2x＋3
3
0
描点、连线即得y＝2x＋3和y＝－2x＋3的图象，如图所示．
点评：画图象时能取(0，b)和(－，0)两点固然很好，这是因为这两点恰好在坐标轴上，描点较准确，但由于－多数情况下是分数，故在描点时，我们可以取x和y都是整数的情况．
7．解：设AC的表达式为y＝kx(k≠0)，BD的表达式为y＝k1x＋3(k1≠0)，
令P点坐标为(2,2k)，
又点P在直线BD上，
∴2k＝2k1＋3.∴k1＝.
∴BD的表达式为y＝x＋3.
当x＝3时，甲距A地的距离为3k
km，乙距A地的距离为(×3＋3)
km，
∴3k－(×3＋3)＝－3＝
km.
∴当他们走了3
h后，他们之间的距离为
km.
课后检测
1．B 正比例函数必须为y＝kx(k≠0)的形式，
∴须满足解得a＝－1.
2．D 函数图象过一、二、三象限，则须解得03．A 设f(x)＝kx＋b(k<0)，则f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝9x＋1，
由对应项系数得
又k<0，∴k＝－3，b＝－.
∴f(x)＝－3x－.
4．C 由y＝mx－(m－3)＝m(x－1)＋3知直线过点(1,3)，∴只有C不正确．
5．1或－3 由一定函数的定义可知y＝(m＋3)x2m－1＋4x－5是一次函数的条件是或即m＝1或－3.
6．a>0，b≤0 函数y＝a|x－b|＋2只有两个单调区间(－∞，b]和[b，＋∞)，要使函数在[0，＋∞)上为增函数，只须借助图象分析更易解决．
7．y＝－x＋2或y＝－2x＋4 只要是形如y＝kx－2k(k<0)的一次函数即可．
8．解：当a>0时，f(x)是增函数，
∴即∴a>1.
当a<0时，f(x)是减函数，
∴即∴a<－1.
综上所述：满足条件的a的范围是a>1或a<－1.
9．解：(1)由题意，设y＋5＝k(3x＋4)，把x＝1，y＝2代入得7＝k(3＋4)，
∴k＝1.∴y＋5＝3x＋4，即y＝3x－1.
(2)由题意可得：当x＝－1时，y＝3×(－1)－1＝－4；当y＝8时，8＝3x－1得x＝3.
(3)由0≤y≤5可得0≤3x－1≤5，
即1≤3x≤6，∴≤x≤2.
10．解：要使f(x)>1在[1,2]上恒成立，只需f(x)的最小值大于1.
∴当a<0时，f(x)在[1,2]上单调递增．
∴f(x)的最小值为f(1)＝2－a，
∴2－a>1，即a<1，∴a<0；
当a>0时，f(x)在[1,2]上单调递减，
∴f(x)的最小值为f(2)＝2－2a，
∴2－2a>1，解得a<.
∴0当a＝0时，f(x)＝2>1恒成立．
综上a的取值范围为(－∞，0)∪(0，)∪{0}＝(－∞，)．
点评：根据一次函数的单调性求解，对a讨论时，不要忘记a＝0的情况．2.3 函数的应用(Ⅰ)
1．以半径为R的半圆上任一点P为顶点，以直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系式是( )
A．S＝Rx
B．S＝2Rx(x>0)
C．S＝Rx(0D．S＝πx2(02．已知某种产品5
kg的价格为30元，那么这种产品7
kg的价格为( )
A．210元
B．20元
C．42元
D．35元
3．一等腰三角形的周长为20，则底边y是关于腰长x的函数，则其解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10)
B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(54．用一根长为12
m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是__________．
5．大海中的两艘船的位置如图所示，甲在A处，乙在A处正东50
km的B处，现在甲船以20
km/h的速度从A向正北方向航行，同时乙船以10
km/h的速度从B处向正西方向航行，则经过__________小时后，两船相距最近．
1．一辆匀速行驶的火车90分钟行驶了180
km，则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式为( )
A．y＝2t
B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0)
D．y＝120t(t≥0)
2．一辆汽车从甲地开往乙地，中途曾停车休息了一段时间，如果用横轴表示时间t，纵轴表示汽车行驶的路程s，那么下面四个图中，较好地反映了s与t的函数关系的是( )
3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( )
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
4．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应为__________元．
5．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为______
km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2
006
km，那么在t∈[1,2]时，汽车里程表读数s与时间t的函数解析式为__________．
6．A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台．已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．
(1)设B市运往C村机器x台，求总运费W(元)关于x的函数关系式；
(2)若要求总运费不超过9
000元，则共有几种调运方案？
(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，则该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元
B．31.2万元
C．30.4万元
D．24万元
2．如图所示，阴影部分面积S是h的函数，则该函数的图象为
…
( )
3．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
7
价格(元/担)
68
78
67
71
72
70
则7月份该产品的市场收购价格应为
…( )
A．69元
B．70元
C．71元
D．72元
4．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的前两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租n天时应收租金__________元．
5．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间的关系满足R＝a，那么广告效应为D＝a－A，则广告费为__________时取得最大广告效应．
6．物体从静止状态下落，下落的距离与开始下落所经过的时间的平方成正比，已知开始下落的最初两秒间，物体下落了19.6米，如果下落时间为3秒，则下降距离为__________．
7．旅行社为某旅游团包飞机去旅游，某中旅行社的包机费为15
000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多有75人．
(1)写出飞机票的价格与旅游团人数的函数；
(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
8．某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是f(t)＝销售量g(t)与时间t的关系是g(t)＝－＋(0≤t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值．
答案与解析
课前预习
1．C 依题意S＝·AB·x＝·2R·x＝Rx，又P点在半径为R的半圆上运动，∴02．C 依题意这种产品每千克的价格为＝6元，∴7
kg的价格为7×6＝42元．
3．D 依题意y＝20－2x且满足y>0，x>，可得54．9
m2 设弯成的矩形架的其中一边长为x
m，则另一边为(6－x)
m，矩形的面积y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，显然当x＝3
m时面积最大，最大面积为9
m2.
5．1 设t小时后，甲船到达M处，乙船到达N处，则AM＝20t，AN＝50－NB＝50－10t，这时两船相距y＝MN＝＝＝，
∴当t＝1时，y取最小值，两船相距最近．
课堂巩固
1．D 90分钟＝1.5
h，火车行驶的速度为＝120
km/h，∴y＝120t(t≥0)．
2．C 易知S随着t的增大而增大，因在中途休息了一段时间，故这段时间S不变．
3．C 设生产者不亏本时的最低产量为x台，
依题意，得25x－3
000－20x＋0.1x2≥0，
即x2＋50x－30
000≥0.
解得x≤－200(舍去)或x≥150.
所以生产者不亏本时的最低产量为150台．
4．95 设涨价x元，则利润y＝(90＋x)(400－20x)－80(400－20x)＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4
000＝－20(x－5)2＋4
500，
∴当x＝5时，y最大．
∴当售价为90＋5＝95元时，利润最大．
5．220 s＝1
976＋80t(1≤t≤2) 该汽车在前3个小时内行驶的路程为50×1＋80×1＋90×1＝220
km.
由于这辆汽车在行驶这段路程前的里程表读数为2
006
km，
∴当t∈[1,2]时，汽车里程表读数s＝2
006＋50×1＋80(t－1)＝1
976＋80t(1≤t≤2)．
6．解：依题意得
(1)W＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[8－(6－x)]＝200x＋8
600(0≤x≤6，x∈N)，
∴W与x的函数关系式为
W＝200x＋8
600(0≤x≤6，x∈N)．
(2)由W＝200x＋8
600≤9
000，得x≤2.
又∵x是整数，
∴x取0,1,2三个数，共有三种调运方案．
(3)∵W＝200x＋8
600是一次函数，且W随x的增大而增大，
∴当x＝0时，W最小值＝200×0＋8
600＝8
600(元)．
从A市调运10台给C村，调2台给D村，从B市调6台给D村时，总运费最低，最低运费是8
600元．
课后检测
1．B 对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润．
2．C 依图知S随着h的增大而增大，且随着h变化同样的高度，S变化的越来越大．即变化率增大．
3．C f(a)＝(a－71)2＋(a－72)2＋(a－70)2＝3(a－71)2＋2，当a＝71时，f(a)最小．
4. 依题意，当n≤2和n>2时，收取租金的计算方法是不同的，因此应该用分段函数的形式来表示．
5.a2 广告效应D＝a－A＝－()2＋a＝－(－a)2＋a2，
∴当＝a，即A＝a2时，Dmax＝a2，
故当广告费为a2时取得最大广告效应．
6．44.1米 设经过t秒，物体下落了y米，由已知y＝at2，
∴19.6＝a·22.∴a＝4.9.∴y＝4.9t2，
当t＝3时，y＝44.1(米)．
7．解：(1)设旅游人数为x人，飞机票价格为y元．
依题意，得当1≤x≤30时，y＝900；
当30200.
所以，所求函数为
y＝
(2)设利润函数为f(x)，
则f(x)＝y·x－15
000＝
当x∈[1,30]时，f(x)max＝f(30)＝12
000(元)；
当x∈[30,75]时，f(x)max＝f(60)＝21
000(元)>12
000元．
所以每团人数为60时，旅行社获得最大利润．
8．解：(1)0≤t≤40(t∈N
)时，
S＝(＋22)(－＋)＝－(t－)2＋＋·，
∴当t＝10或11时，Smax＝808.5.
(2)当40)时，
S＝(－＋52)(－＋)＝(t－104)(t－109)＝(t2－213t＋104×109)．
该二次函数的对称轴方程为t＝＝106.5，
∴它在(40,100]上是减函数．
∴在靠近左端t＝41处取得最大值，即当t＝41时，Smax＝714.
由①②可知日销售额的最大值为808.5.3.3 幂函数
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝3x2
B．y＝x2＋1
C．y＝－
D．y＝xπ
2．函数y＝x的图象大致是( )
3．当α∈{－1，，1,3}时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限．
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则这个函数解析式为__________．
5．(a＋1)<(2a－2)，则实数a的取值范围为__________．
1．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
2．当x>1时，函数y＝xa的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是( )
A．0B．a<0
C．a<1
D．a>1
3．如图，给出幂函数y＝xn在第一象限内的图象，n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为__________．
4．函数y＝(1＋x)0－的定义域为__________．
5．给定一组函数解析式：
①y＝x－；②y＝x－；③y＝x－；④y＝x；
⑤y＝x；⑥y＝x；⑦y＝x；⑧y＝x3；
⑨y＝x－3；⑩y＝x－.回答下列问题：
(1)图象关于y轴对称的有__________；
(2)图象关于原点对称的有__________．
6．求函数f(x)＝(x＋2)－－1的定义域，值域及单调区间．
7．已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)1．函数y＝|x|x(n∈N，n≥9)的图象可能是……( )
2．幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为( )
A．2
B．－1
C．－1或2
D．m≠
3．如图所示是函数y＝x(m，n∈N
且互质)的图象，则
…( )
A．m、n是奇数且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
4．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
5．函数f(x)＝x(m∈N
)的定义域是__________，奇偶性为__________，单调递增区间为__________．
6．已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，则实数m的取值范围为__________．
7．设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1{f2[f3(2
009)]}＝__________.
8．已知x∈[－1，＋∞)，试判断函数f(x)＝x＋2x＋4的单调性．
9．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数．
(1)求f(x)；
(2)讨论g(x)＝a－的奇偶性．
10．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N
)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
答案与解析
课前预习
1．D 幂函数必须符合y＝xα(α为常数)的形式．
2．B y＝x为奇函数，排除D，又>1，
∴图象应为B.
3．二、四 当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，且x>0时，y>0，x<0时，y<0，不经过第二、四象限．当
α＝时，y＝x，此时图象只在第一象限．
4．y＝x 设f(x)＝xα，将(2，)点代入，得＝2α，∴α＝.∴f(x)＝x.
5．a>3 y＝x在R上是增函数，所以有a＋1<2a－2，解得a>3.
课堂巩固
1．D 设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，
∴f(x)＝x－2，其单调递增区间为(－∞，0)．
2．C 观察幂函数的图象易得．
3．－2，－，，2 画出直线x＝2，结合其与图象的交点，可依次判断．
4．(－1，＋∞) 要使函数有意义，必须解得x>－1.
5．(1)②④ (2)①⑤⑧⑨ 只有②和④为偶函数；①⑤⑧⑨为奇函数，③⑥⑦⑩不具有奇偶性．
6．解：要使函数有意义，则x＋2≠0，∴x≠－2.
∴函数的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
y＝(x＋2)－－1＝－1，
∵>0，∴y>－1，
即函数值域是(－1，＋∞)．
根据指数－<0知函数在(－∞，－2)上递增，在(－2，＋∞)上递减．
7．解：∵f(x)是偶函数，∴－2m2＋m＋3应为偶数．
又f(3)∴－2m2＋m＋3>0.
∴－1当m＝0时，－2m2＋m＋3＝3为奇数舍去；
当m＝1时，－2m2＋m＋3＝2为偶数，故m＝1.
∴f(x)＝x2.
课后检测
1．C ∵y＝|x|为偶函数，∴排除A、B.又n>9，∴<1.由幂函数在(0，＋∞)内幂指数小于1的图象可知，只有C符合．
2．A 由幂函数的定义，知m2－m－1＝1，
∴m＝－1或m＝2.又当x∈(0，＋∞)时为减函数，∴m2－2m－3<0，得－13．C ∵图象关于y轴对称，∴m为偶数，n为奇数；又比较y＝x与y＝x在第一象限的图象判断可知<1.
4．B 作出两个函数在同一坐标系内的图象即可观察得出．
5．R 奇函数 (－∞，＋∞) ∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N
，其值必为正偶数，∴m2＋m＋1必为正奇数．
6．(0，＋∞) ∵0.71.3<0.70＝1,1.30.7>1.30＝1，∴0.71.3<1.30.7.∴m>0.
7. ∵f1{f2[f3(x)]}＝f1[f2(x2)]＝f1(x－2)＝(x－2)＝x－1，∴f1{f2[f3(2
009)]}＝2
009－1＝.
8．解：设y＝f(x)＝x＋2x＋4＝(x＋1)2＋3.
令t＝x＋1，则y＝t2＋3.
∵x≥－1，∴t＝x＋1在[－1，＋∞)上是增函数．
∴t∈[0，＋∞)．
又y＝t2＋3在t∈[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)＝x＋2x＋4在[－1，＋∞)上是增函数．
点评：注意要对内层函数的取值范围进行判定，否则极易导致判断复合函数的单调性出错．
9．解：(1)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－2m－3<0.∴－1又m∈Z，∴m＝0,1,2.
经验证m＝1时符合条件，即m2－2m－3＝－4.
∴f(x)＝x－4.
(2)g(x)＝a－
＝a－＝ax－2－bx3，
即g(x)＝ax－2－bx3.
g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当a≠0，b≠0时，g(x)为非奇非偶函数；
当a≠0，b＝0时，g(x)＝ax－2是偶函数；
当a＝0，b≠0时，g(x)＝－bx3是奇函数；
当a＝b＝0时，g(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
点评：①f(x)在(0，＋∞)上递减，说明指数小于0，又m∈Z，所以可确定m的值．
②含有字母的问题，解题时应据情况分类讨论．
10．解：∵幂函数y＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－2m－3<0.∴－1又m∈N
，∴m＝1,2.
当m＝1时，y＝x－4为偶函数；
当m＝2时，y＝x－3为奇函数，不合题意，
∴m＝1，y＝x－4.
∴(a＋1)－<(3－2a)－等价于(a＋1)－<(3－2a)－，
等价于或或
解得∴a的取值范围为(，)∪(－∞，－1)．2．1.1 函数
1．下列说法中，不正确的是( )
A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素
2．下列说法中，正确的个数是( )
①定义域不同，两个函数就不同 ②对应法则不同，两个函数就不同 ③定义域和值域都分别相同的函数，一定是同一函数
A．1
B．2
C．3
D．0
3．下列集合A到集合B的对应法则f是映射的是( )
A．A＝{－2,0,2}，B＝{－4,0,4}，f：A中数的平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中数的平方根
C．A＝Z，B＝Q，f：A中数的倒数
D．A＝R，B＝{x|x>0}，f：A中数的平方
4．函数y＝－＋的定义域为__________．
5．把下列集合用区间表达出来：
(1){x|x≠2，且x≠1}；
(2){x|≤x≤}；
(3){x|x≥3或x≤－3}；
(4){x|－2≤x≤2，且x≠1}．
1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝x＋2，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝
2．下列四个命题正确的有( )
①函数是定义域到值域的对应关系 ②f(x)＝＋是函数 ③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)＝5
④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列对应是集合A到集合B的一一映射的是…( )
A．A＝B＝R，f：x→y＝，x∈A，y∈B
B．A＝B＝R，f：x→y＝x2，x∈A，y∈B
C．A＝B＝R，f：x→y＝，x∈A，y∈B
D．A＝B＝R，f：x→y＝x3，x∈A，y∈B
4．已知f(x)＝x2＋ax＋b，满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝__________.
5．已知f(x)＝x2＋1，则f(3x＋2)＝__________.
6．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2.
(1)求f(2)、g(2)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f[g(x)]的解析式．
7．求下列函数的值域：
(1)y＝－1(x≥4)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}．
1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．以下各图表示的对应构成映射的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是( )
A．[－4,4]
B．[－2,2]
C．[－4，－2]
D．[2,4]
4．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A．[2a，a＋b]
B．[0，b－a]
C．[a，b]
D．[－a，a＋b]
5．若f()的定义域为[0,3]，则f(x)的定义域为__________．
6．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原象分别为3和10，则5在f作用下的象为__________．
7．已知集合M＝{a，b，c}，N＝{1,2,3,4}，则从M到N的映射有__________个，从N到M的映射有__________个．
8．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求y＝f(x)和f[f(－3)]的值．
9．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A、B.
10．求下列函数的解析式．
(1)已知f(1＋)＝，求f(x)；
(2)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x)．
答案与解析
课前预习
1．B 函数的定义域和值域只要是非空数集即可．
2．B ①和②正确，两函数相同必须满足定义域和对应法则相同，但定义域与值域都分别相同的函数，对应法则不一定相同．
3．A 集合A中每个元素的平方均有值在集合B中；B中1的平方根是±1，即1有两个象；C中0没有象；D中0的平方是0，但0 {x|x>0}．
点评：判断一个对应是否是映射，先看第一集合A：看A中元素是否都有对应元素，若有再看对应元素是否唯一；至于B中元素无任何要求．
4．{x|－≤x<2，且x≠0} 要使函数有意义，必须
∴－≤x<2，且x≠0.
5．解：(1)(－∞，1)∪(1,2)∪(2，＋∞)；
(2)[，]；
(3)(－∞，－3]∪[3，＋∞)；
(4)[－2,1)∪(1,2]．
课堂巩固
1．D A中f(x)＝x的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同；B中g(x)＝＝|x|，它与f(x)＝x的对应法则不同；C中g(x)＝的定义域为{x|x≠2}，它与f(x)＝x＋2的定义域不同；D中g(x)＝＝x，它与f(x)＝x的定义域和对应法则相同，所以是同一函数．
2．B 由函数定义可知①正确；②中函数的定义域为 ，所以不是函数；③中的函数值不随自变量的变化而变化，所以正确；④中的图象应是离散的点．
3．D A中，集合A中的元素0在f下，B中没有元素和它对应，这个对应不是映射；B中集合A中的元素±1在f下的象都是1，故排除B；C中集合B中的负数和零没有原象和它对应，故排除C；D符合一一映射的定义．
4．6 ∵f(1)＝f(2)＝0，
∴解得
∴f(x)＝x2－3x＋2.
∴f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
5．9x2＋12x＋5 f(3x＋2)＝(3x＋2)2＋1＝9x2＋12x＋5.
6．解：(1)f(2)＝＝，g(2)＝22＋2＝6.
(2)f[g(2)]＝f(6)＝＝.
(3)f[g(x)]＝f(x2＋2)＝＝.
点评：解题时要理解对应法则“f”和“g”的含义，在求f[g(x)]时，应遵循“先内后外”的原则．
7．解：(1)∵x≥4，∴≥2.
∴－1≥1.∴y≥1，
即函数的值域为[1，＋∞)．
(2)x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝7；x＝4时，y＝9；x＝5时，y＝11.
∴y∈{3,5,7,9,11}．
课后检测
1．B 由函数的定义判断可得只有②表示的是从集合M到集合N的函数关系．因为①中的函数定义域不是M；③中的函数值域为[0,3]，不是N；而④中的图象不能表示函数关系．
2．A (1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义；对于(4)(5)，左边的每一个元素在右边有2个元素与之对应，所以不是映射；对于(6)，左边的元素a3、a4在右边没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
点评：所谓映射，是指一对一、多对一的对应，且A中元素无剩余，以此判断既准确又迅速．
3．B 由得
∴－2≤x≤2.
4．C f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋a)是将y＝f(x)左右平移，因而不改变值域．
5．[1,2] ∵f()的定义域为[0,3]，
∴0≤x≤3，则1≤≤2.
故f(x)的定义域为[1,2]．
点评：已知f[φ(x)]的定义域，求f(x)的定义域的解题方法是：若f[φ(x)]的定义域为D，则φ(x)在D上的取值范围即为f(x)的定义域．
6．3 由题意解得
∴f：x→y＝x－2.
∴5在f作用下的象为5－2＝3.
7．64 81 映射是有顺序的，从A到B的映射与从B到A的映射是不一样的．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有nm个不同映射，从B→A有mn个不同映射．
8．解：∵f(2)＝1，∴＝1.
∴2a＋b＝2.①
又∵f(x)＝x有唯一解，
即＝x有唯一解，
∴x·＝0，得x1＝0，x2＝.
∵有唯一解，∴x1＝x2＝0，得b＝1.
由①知a＝.
∴f(x)＝＝.
∴f(－3)＝＝6.
∴f[f(－3)]＝f(6)＝＝.
9．解：∵1的象是4,7的原象是2，
∴可判断A中元素3的象要么是a4，要么是a2＋3a.
由a4＝10且a∈N，知不存在a.
∴a2＋3a＝10，即a1＝－5(舍去)，a2＝2.
又集合A中元素k的象只能是a4＝16，
∴3k＋1＝16.∴k＝5.
∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,16,10}．
10．解：(1)令1＋＝t(t≠1)，则x＝.
又f(1＋)＝，
∴f(t)＝＝＝.
∴f(x)＝(x≠1且x≠2)．
(2)∵f(＋4)＝x＋8＝(＋4)2－16，
令t＝＋4≥4，∴f(t)＝t2－16(t≥4)．
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
点评：换元法求f(x)是常用的方法，但要特别注意确定中间变量t的取值范围，否则不能正确确定f(x)的定义域．3．1.1 实数指数幂及其运算
1．计算[(－)2]－的结果是( )
A.
B．－
C.
D．－
2．对a>0，n、m为实数，则下列各式中正确的有( )
A．am÷an＝a
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
3．下列根式，分数指数幂的化简中正确的是( )
A．－＝(－x)(x≠0)
B．x－＝－
C．()－＝(x·y≠0)
D.＝y(y<0)
4．计算＋－()2＝________.
5．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________.
1．下列等式中一定成立的有( )
①＝2a ②＝ ③－3＝
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2·b)2·(－ab2)3＝－a7·b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3·b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6·b6
D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18·b18
3．已知x2＋x－2＝2且x>1，则x2－x－2的值为
( )
A．2或－2
B．－2
C.
D．2
4．若(|x|－1)－有意义，则x的取值范围为________．
5．当3x<5y时，＝________.
6．求下列各式的值．
(1)；
(2)2××；
(3)(－)÷；
(4)；
(5)
.
7．已知a2x＝＋1，求的值．
1．化简a＋的结果是( )
A．1
B．2a－1
C．1或2a－1
D．0
2．下列结论中，正确命题的个数为( )
①当a<0时，(a2)＝a3 ②＝|a| ③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域为(2，＋∞) ④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1
A．0
B．1
C．2
D．3
3.若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是( )
A．1
B.
C.
D.
4．计算(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)的值等于( )
A．1＋
B．1－
C．2＋
D．2－
5．已知＋＝0，则yx＝________.
6.＋＝________.
7．若5x2·5x＝25y，则y的最小值为________．
8．若x>0，y>0，且(＋)＝(＋5)，求的值．
9．已知x＋x－＝3，求的值．
10．已知x＝(5－5－)，n∈N
，求(x＋)n的值．
答案与解析
课前预习
1．C 原式＝2－＝＝.
2．D 只有D选项是按照幂的运算律进行的．A应为am－n.B应为am＋n，C应为am·n.
3．C 选项A中左边的负号应在括号外；选项B应化为；选项D中的指数不能约分为，
∵当y<0时，>0，而y<0.
4．－8 原式＝－8＋|－2|－(2－)＝－8＋2－－2＋＝－8.
5. 10x－y＝10x÷10y＝10x÷(10y)＝3÷＝.
课堂巩固
1．A ＝·a≠2a；<0，而>0；－3<0，而>0.
2．C 对于C，∵原式左边＝(－1)2·(a3)2·(－1)3·(b2)3＝a6·(－1)·b6＝－a6b6.
∴C不正确．
3．D 方法一：∵x>1，∴x2>1，由x2＋x－2＝2化为x4－2x2＋1＝0，解得x2＝＋1，
∴x2－x－2＝＋1－
＝＋1－(－1)＝2.
方法二：(x2－x－2)2＝(x2＋x－2)2－4x2·x－2＝(2)2－4×1＝4.
又x>1，∴x2>1>x－2.∴x2－x－2＝＝2.
4．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 由(|x|－1)－＝＝，得需|x|－1>0，即|x|>1，∴x>1或x<－1.
5．5y－3x
＝＝|5y－3x|.
∵3x<5y，即3x－5y<0，
∴|5y－3x|＝5y－3x.
点评：为使开偶次方后不出现符号错误，先用绝对值保留开方的结果，再去掉绝对值化简，化简要结合条件或分类讨论．
6．解：(1)＝[34×(3)]＝(34＋)＝3＝3·.
(2)2××＝2×3×()×(3×22)＝21－＋×3＋＋＝2×3＝6.
(3)原式＝(5－5)÷5＝5÷5－5÷5＝5－－5－＝5－5＝－.
(4)原式＝＝a2－－＝a＝.
(5)原式＝＝52＋－－＝5·.
点评：(1)既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算；(2)对于计算结果，不统一要求用什么形式表示，但结果不能同时含有根式与分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数幂．
7．解：＝＝a2x＋a－2x－1＝(＋1)＋－1＝＋1＋－1－1＝2－1.
点评：先化简后计算是代数运算的常用策略，要培养化简意识．
课后检测
1．C 原式＝a＋|1－a|＝
2．B 只有④正确，由100a＝102a＝5,10b＝2，得102a＋b＝5×2＝10，∴2a＋1＝1.
而①中(a2)应为－a3，②中＝③中函数的定义域由得x∈(2，)∪(，＋∞)．
3．D a＝＝2－，b＝＝2＋.
(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2
＝＋＝
＝＝＝＝.
4．D 原式×(1－)
＝(1－)(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)
＝(1－)(1＋)(1＋)(1＋)
＝(1－)(1＋)(1＋)
＝(1－)(1＋)
＝1－.
∴原式＝(1－)×2＝2－.
5．－3 ∵＋
＝|x－1|＋|y＋3|＝0，
∴|x－1|＝|y＋3|＝0.∴x＝1，y＝－3.
∴(－3)1＝－3.
6.＋ 原式＝＋＝＝＋.
7．－ 由题意，x2＋x＝2y，即y＝(x2＋x)，
∴y＝[(x＋)2－]＝(x＋)2－≥－.
8．解：由(＋)＝3·(＋5)，得()2－2－15()2＝0，
即(＋3)(－5)＝0，
∵x>0，y>0，∴＝5，
即x＝25y，
∴＝＝＝＝3.
9．解：x＋x－1＝(x＋x－)2－2＝32－2＝7，
∴＝
＝
＝＝＝2.
点评：此类题目一般不宜采用求x的值的方法，要考虑对x＋x－的整体应用．
10．解：∵x＝(5－5－)，
∴＝
＝
＝＝(5＋5－)．
∴x＋＝(5－5－)＋(5＋5－)＝5.
∴(x＋)n＝(5)n＝5×n＝5.3.2
对数与对数函数（1）
第2课时
1．对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是…
( )
①若M＝N，则logaM＝logaN；
②若logaM＝logaN，则M＝N；
③若logaM2＝logaN2，则M＝N；
④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
A．①与③
B．②与④
C．②
D．①②③④
2．log28＋log2等于( )
A.
B.
C．0
D．6
3．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是( )
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga＝logax÷logay；
④logaxy＝logax·logay.
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若a＝log32，则用a表示log38－2log36为________．
5．设log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
1．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N
,
则下列各式中：
①(logax)n＝n·logax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝loga；⑤＝·logax；⑥logax＝loga；⑦logax＝loganxn；⑧loga＝－loga.
其中成立的有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
2．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则有( )
A．y∈(0,1)
B．y∈(1,2)
C．y∈(2,3)
D．y＝1
3．已知a、b、c为非零实数，且3a＝4b＝6c，那么……( )
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
4．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，则＝________.
5．若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________.
6．已知lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1，求lg的值．
7．已知log3(x－1)＝log9(x＋5)，求x.
1．(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5的值为( )
A．4
B．1
C．6
D．3
2．若lnx－lny＝a，则ln()3－ln()3等于( )
A.
B．a
C.
D．3a
3．如果方程lg2x＋(lg2＋lg3)lgx＋lg2·lg3＝0的两根为lgx1、lgx2，那么x1·x2的值为…
( )
A．lg2·lg3
B．lg2＋lg3
C.
D．－6
4.若x·log34＝1，则4x＋4－x等于( )
A.
B．6
C.
D.
5．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2且f()＝4，则f(200)＝________.
6．lg25＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝________.
7．a>1，b>1，p＝，则ap＝________.
8．设3x＝4y＝36，求＋的值．
9．如果＋＋＝0，求x，y及log2(xy)的值．
10．设a>0，a≠1，x、y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求出当x为何值时，logay取得最小值．
答案与解析
课前预习
1．C 在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN无意义，故①不成立；在②中，当logaM＝logaN时，必有M＝N>0成立，故②成立；在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如：M＝2，N＝－2时，有logaM2＝logaN2，但M≠N，∴③不成立；在④中，若M＝N＝0时，logaM2与logaN2均无意义，∴④不成立．
2．C log28＋log2＝log28×＝log21＝0.
3．A
4．a－2 log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
5．9 log34·log48·log8m＝··＝，
又log416＝2，∴＝2.
∴lgm＝2lg3＝lg32＝lg9.∴m＝9.
课堂巩固
1．B 其中③⑥⑦⑧正确．①式中nlogax＝logaxn；②式中logaxn＝n·logax；④式中loga＝logax－logay；⑤式中logax＝loga.
2．B y＝····＝，
∵lg5≈0.699
0，∴y≈1.43∈(1,2)．
3．B 设3a＝4b＝6c＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，得＝logk3，＝logk4，＝logk6.所以＝＋.
4．2 由对数的定义得又由原式可得(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，
∴()2－－2＝0，
解得＝2或＝－1(舍去)．
5. log512＝＝＝＝.
6．解：方法一：lg＝lg45＝lg
＝(lg90－lg2)
＝(lg9＋lg10－lg2)
＝(2lg3＋1－lg2)
＝lg3＋－lg2
＝0.477
1＋0.5－0.150
5
＝0.826
6.
方法二：lg＝lg45＝lg(5×9)
＝(lg5＋lg9)
＝(lg5＋2lg3)＝(1－lg2＋2lg3)
＝－lg2＋lg3
＝0.826
6.
点评：运算过程中要注意对数运算法则的正确运用，体会lg2＋lg5＝1性质的灵活运用．
7．解：原方程可化为log9(x－1)2＝log9(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5.
∴x2－3x－4＝0.∴x＝－1或x＝4.
将x＝－1，x＝4分别代入方程检验知：x＝－1不合题意，舍去，∴x＝4.
点评：对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用logaN＝loganNn(N>0，n≠0)可得，计算过程中要注意等价变形，如本题中将log3(x－1)化为log9(x－1)2实质上是非等价变形，扩大了x的取值范围，因此在解对数方程后要验根．
课后检测
1．B 原式＝(lg2＋lg5)(lg22－lg2·lg5＋lg25)＋3lg2·lg5
＝lg22－lg2·lg5＋lg25＋3lg2·lg5
＝(lg2＋lg5)2－3lg2·lg5＋3lg2·lg5
＝1.
2．D ln()3－ln()3＝3(ln－ln)＝3(lnx－ln2－lny＋ln2)＝3(lnx－lny)＝3a.
3．C 由已知得lgx1＝－lg2，lgx2＝－lg3，
∴x1＝，x2＝，∴x1·x2＝.
4．A ∵x·log34＝1，∴x＝log43，则4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝.
5．0 由f()＝a·log2＋blog3＋2
＝－alog2200－blog3200＋2＝4得alog2200＋blog3200＝－2，∴f(200)＝a·log2200＋blog3200＋2＝0.
6．3 原式＝lg25＋lg8＋lg·lg(10×2)＋lg22
＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋lg22
＝lg100＋lg210－lg22＋lg22＝2＋1＝3.
点评：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．
7．logba 由对数换底公式，得＝loga(logba)，
∴p＝loga(logba)．∴ap＝logba.
8．解：由3x＝4y＝36，
得x＝log336，y＝log436，
∴＝＝log363，＝＝log364.
∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
9．解：去分母得lgy(lgx＋lgy)＋lgx(lgx＋lgy)＋[lg(x－y)]2＝0，
即(lgx＋lgy)2＋[lg(x－y)]2＝0，
∴
∴
∴x，－y是方程t2－t－1＝0的两个实根．
又x，y>0，且x≠1，y≠1，x>y，
∴x＝，y＝.
∴log2(xy)＝log21＝0.
10．解：由换底公式得logax＋3·－＝3，整理得logx＋3－logay＝3logax，∴logay＝logx－3logax＋3＝(logax－)2＋.
∴当logax＝，即x＝a时，logay取最小值.2.2.3 待定系数法
1．已知一个正比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的解析式为( )
A．y＝4x
B．y＝－4x
C．y＝x
D．y＝－x
2．若直线y＝x＋n与直线y＝mx－1相交于点(1,2)，则有( )
A．n＝－，m＝
B．n＝1，m＝
C．n＝－，m＝－1
D．n＝，m＝3
3．如果直线y＝ax＋2与y＝bx＋3的图象相交于x轴上一点，那么a，b的关系为( )
A．a＝b
B．a∶b＝2∶3
C．a＋2＝b＋3
D．a·b＝1
4．已知2x2＋x－3＝(x－1)(ax＋b)，则a＝__________，b＝__________.
5．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一点的坐标为__________．
1．已知一个一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x－
B．y＝x＋
C．y＝－x＋
D．y＝－x－
2．已知一个二次函数的顶点为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )
A．y＝x2＋1
B．y＝x2＋4
C．y＝4x2＋1
D．y＝x2＋4
3．已知一个二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( )
A．y＝x2－1
B．y＝1－x2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2－1
4．函数y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为__________．
5．已知一个二次函数y＝f(x)，f(0)＝3，又知当x＝－3或－5时，这个函数的值都为零，则这个二次函数的解析式为__________．
6．如图，一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1
m，铅球落地点距铅球刚出手时的水平距离为10
m，铅球运动的最高点M距地面3
m．已知铅球的运动轨迹是抛物线，求这个抛物线的解析式．
7．已知一次函数的图象与x轴的交点为A(6,0)，又与正比例函数图象交于B点，点B在第一象限且横坐标为4，如果△AOB(O为原点)的面积为15，求这个正比例函数和一次函数的解析式．
1．若(2,5)，(4,5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两点，那么它的对称轴为直线( )
A．x＝－
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝3
2．如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝3，则a，b，c应满足的条件为( )
A．ab＋c<0
B．2a＋b＋c>0
C．a>b>c
D．a>
3．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在[－3,1]上( )
A．单调递增
B．单调递减
C．先增后减
D．先减后增
4．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点(1,2)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据以上信息，题中的二次函数图象不具有的性质是( )
A．过点(3,0)
B．顶点为(2,2)
C．在x轴上截得的线段长为2
D．与y轴交点为(0,3)
5.已知关于抛物线y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴的两交点的横坐标满足倒数之和等于－4，则m＝__________.
6．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y＝x2－2x＋1，则b＝__________，c＝__________.
7．某抛物线与y＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，且顶点为(－1,3)，则它的解析式为__________．
8．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定二次函数的解析式．
9．已知二次函数满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的表达式．
10．已知函数f(x)＝ax2＋a2x＋2b－a3，
(1)当x∈(－2,6)时，其值为正，而当x∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负，求a，b的值及函数f(x)的表达式；
(2)设F(x)＝－f(x)＋4(k＋1)x＋2(6k－1)，问：k取何值时，函数F(x)的值恒为负？
答案与解析
课前预习
1．A 设函数为y＝kx(k≠0)，把(2,8)代入得8＝2k，即k＝4.
∴解析式为y＝4x.此题也可代入验证．
2．D 把(1,2)分别代入两直线方程可得n＝，m＝3.
3．B 设两函数图象相交于点(t,0)，代入函数解析式得a＝－，b＝－.
∴a∶b＝(－)∶(－)＝2∶3.
4．2 3 (x－1)(ax＋b)＝ax2＋(b－a)x－b＝2x2＋x－3，比较系数可得a＝2，b＝3.
5．(－，) 由题意可得4＝a·12,4＝k×1＋1，
∴a＝4，k＝3，解方程组
得或
课堂巩固
1．B 由题意设y＝kx＋b(k≠0)，把(1,3)、(3,4)代入得解得
∴y＝x＋.
点评：用待定系数法求解析式的步骤为：
(1)设出所求函数的解析式；
(2)依据条件列出方程组；
(3)解方程组，求出待定系数；
(4)得出结论．
2．D 依题意设解析式为y＝ax2＋4(a≠0)，
把(1,5)代入得a＝1，∴y＝x2＋4.
3．A 设解析式为y＝ax2＋bx＋c，
把(－1,0)，(1,0)，(2,3)代入得解得
∴y＝x2－1.
4.3 由题意，A、B、C三点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴S△ABC＝|AB|·h＝×2×3＝3.
5．y＝x2＋x＋3 由题意，可设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x＋5)，把(0,3)点代入得3＝a(0＋3)(0＋5)，∴a＝，即y＝(x＋3)(x＋5)＝x2＋x＋3.
6．解法一：设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，
则解得
∴y＝－x2＋x＋.
解法二：设抛物线解析式为y＝a(x－h)2＋3.
则解得
∴y＝－(x－4)2＋3，
即y＝－x2＋x＋.
7．解：∵点B在第一象限，且横坐标为4，
∴设B(4，m)(m>0)，如图所示：
S△AOB＝·OA·m，
∴15＝×6m，得m＝5.
设正比例函数和一次函数解析式分别为y＝k1x和y＝k2x＋b.
把B(4,5)代入y＝k1x，得k1＝，
∴y＝x.
把B(4,5)、A(6,0)代入y＝k2x＋b，得
解得
∴y＝－x＋15.
课后检测
1．D (2,5)与(4,5)两点关于直线x＝3对称．
2．A ∵抛物线的开口向上，∴a>0.
又∵对称轴为－＝3>0，∴b<0.
∴ab<0，由图象知c<0.∴ab＋c<0.
3．C ∵f(x)为偶数，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋3.
∴f(x)在[－3,1]上先增后减．
4．B 由题意可得1＋b＋c＝0且－＝2，
∴b＝－4，c＝3.
∴y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
∴抛物线的顶点为(2，－1)，不是(2,2)．
5．－3 由题意得＋＝－4，
即＝－4，
又x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴＝－4，解得m＝－3.
6．－6 6 y＝x2－2x＋1向下平移3个单位得y＝x2－2x＋1－3＝x2－2x－2，再向右平移2个单位得y＝(x－2)2－2(x－2)－2＝x2－6x＋6.
7．y＝±2(x＋1)2＋3 ∵抛物线的形状与y＝2x2的图象相同，
∴二次项系数a满足|a|＝2.
∴a＝±2.
又顶点为(－1,3)，对称轴平行于y轴，
∴y＝±2(x＋1)2＋3.
8．解法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由已知条件，得
解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：设f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以h＝.
又函数的最大值为8，
所以k＝8，故f(x)＝a(x－)2＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4.
所以f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1.
故可得f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又f(x)max＝8，所以＝8，
解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
9．解：设f(x)的表达式为f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵在y轴上的截距为1，即过(0,1)点，∴c＝1.
即f(x)＝ax2＋bx＋1.
又∵f(x－2)＝f(－x－2)，
∴对称轴为x＝－2.
即－＝－2，∴b＝4a.①
设图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
又∵|x1－x2|＝2，∴(x1－x2)2＝8.
即(x1＋x2)2－4x1x2＝8，∴－＝8.②
解①②组成的方程组，得
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
10．解：(1)依题意可得a<0且f(－2)＝0，f(6)＝0，
即解得
∴f(x)＝－4x2＋16x＋48.
(2)∵F(x)＝－(－4x2＋16x＋48)＋4(k＋1)x＋2(6k－1)＝kx2＋4x－2，
∴欲使F(x)<0恒成立，
只要使kx2＋4x－2<0恒成立，
只须解得k<－2.2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
1．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )
A．(0,0.5) f(0.25)
B．(0,1)
f(0.25)
C．(0.5,1) f(0.75)
D．(0,0.5) f(0.125)
2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算计数与ε无关
3．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必在________内．( )
A．[－2,1]
B．[，4]
C．[1，]
D．[，]
4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经过计算f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687
5)<0，即可得出方程精确到0.1的一个近似解为________．
5．下面是连续函数f(x)在[1,2]上一些点的函数值：
x
1
1.25
1.375
1.406
5
1.438
1.5
1.625
1.75
1.875
2
f(x)
－2
－0.984
－0.260
－0.052
0.165
0.625
1.982
2.645
4.35
6
由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为________．(精确到0.1)
1．右下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )
A．[-2.1，-1]
B．[1.9,2.3]
C．[4.1,5]
D．[5,6.1]
2．函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数为( )
A．1
B．2
C．0
D．无法确定
3．已知连续函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(aA．在区间[a，b]上可能没有零点
B．在区间[a，b]上至少有一个零点
C．在区间[a，b]上零点的个数为奇数
D．在区间[a，b]上零点的个数为偶数
4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
5．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且在(－2,2)上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．可正可负也可为零
6．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10
km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10
km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
7．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确到0.01)
1．若函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,24)，(0,12)，(0,6)，(0,3)内，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,2)或(2,3)内有零点
C．函数f(x)在区间(3,24)内无零点
D．函数f(x)在区间(2,24)内无零点
2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )
A．a<－1
B．a>1
C．－1D．0≤a<1
3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)＝0.162
f(1.406
25)＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
4．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则函数f(x)：
①当x<－1时，恰有一零点(有一零点且仅有一零点)；②当－11时，恰有一零点．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
5．对于函数f(x)＝x3＋x＋m，若满足f(a)<0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内至多有__________个零点．
6．若一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则a的取值范围是__________．
7．某方程有一无理根在区间D内，若用二分法求此根的近似值，那么：
(1)区间D＝(1,3)时，将D等分n次后，所得近似解可精确到多少？
(2)一般情况，是否有必要尽可能多地将区间D等分？
8．作出函数y＝x3与y＝3x－1的图象，并写出方程x3＝3x－1的近似解．(精确到0.1)
9．已知f(x)＝x5＋x－3在区间[1,2]内有零点，自己设计精确度求方程x5＋x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解．
答案与解析
1．A ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴函数f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，第二次计算f()＝f(0.25)．
2．B 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
3．D 由于f(－2)<0，f(4)>0，f()＝f(1)<0，f()＝f()>0，f()<0，
∴零点介于[，]之间．
4．0.7 ∵f(0.687
5)·f(0.75)<0，∴函数的零点在区间(0.687
5,0.75)上，由精确度可知近似解为0.7.
5．1.4 由题中表中对应的数值可得函数零点必在区间(1.406
5,1.438)上，由精确度可知近似解为1.4.
课堂巩固
1．B 由不变号零点的特征易判断得该零点在[1.9,2.3]内．
2．B ∵ac<0，∴a≠0，且b2－4ac>0，故二次函数与x轴有两个交点，即函数有两个零点．
3．B ∵f(a)·f(b)<0，∴由函数零点的性质判断得f(x)在[a，b]上至少存在一个零点．
4．B 函数f(x)的零点所在区间的长度为1，用二分法经过7次分割后区间的长度为<0.01.
5．D 设x0为函数在区间(－2,2)上的零点，
若x0 (－1,1)，则f(－1)·f(1)>0；
若x0∈(－1,1)，则f(－1)·f(1)<0；
若x0＝－1或x0＝1，则f(－1)·f(1)＝0.
6．解：可以利用二分法的原理进行查找．
如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．
这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50
m～100
m之间，即一两根电线杆附近．
7．解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算如下表：
端点或中点横坐标
计算中点函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
f(1)<0，f(2)>0
[1,2]
x0＝1.5
f(x0)>0
[1,1.5]
x1＝1.25
f(x1)<0
[1.25,1.5]
x2＝1.375
f(x2)<0
[1.375,1.5]
x3＝1.437
5
f(x3)<0
[1.437
5,1.5]
x4＝1.468
75
f(x4)>0
[1.437
5,1.468
75]
x5＝1.453
125
f(x5)>0
[1.437
5,1.453
125]
x6＝1.445
312
5
f(x6)>0
[1.437
5,1.445
312
5]
x7＝1.441
406
25
f(x7)<0
[1.441
406
25,1.445
312
5]
x8＝1.443
359
375
f(x8)>0
[1.441
406
25,1.443
359
375]
因为区间[1.441
406
25,1.443
359
375]的左、右端点精确到0.01后的近似值都是1.44，所以1.44就是所求函数一个精确到0.001的正零点的近似值．
点评：此类问题的求解，首先是大致区间的确定，要使区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，虽然此类题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性，另外在计算第n步时，区间[an，bn]的两端点近似值相等时，则该近似值就是所求零点的近似解．
课后检测
1．C 由题意可得f(x)有唯一的零点在(0,3)内，∴f(x)在区间(3,24)内无零点．
2．B 令f(x)＝2ax2－x－1，a＝0时显然不适合，a≠0时，则有f(0)·f(1)＝－1×(2a－2)<0，
∴a>1.
3．C 由零点的定义及精确到0.1知近似根为1.4.
4．B 函数f(x)的图象是由y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到的，易知f(x)：当x<－1时有一个零点；当－11时无零点．
5．1 易知该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，又f(a)<0，f(b)>0，故该函数在(a，b)内有且只有一个零点．
6．(－∞，0) 由题意知，两根之积x1·x2＝<0，∴a<0.
点评：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两正根的条件是有两负根的条件为有一正一负两根的条件为<0，即ac<0，此时不必讨论判别式，∵b2－4ac>0恒成立．
7．解：(1)设无理根为x0，将D等分n次后的长度为dn.
包含x0的区间为(a，b)，于是d1＝1，d2＝，d3＝，d4＝，…，dn＝.
所以|x0－a|≤dn＝，
即近似值可精确到.
(2)由于随n的增大而不断地趋向于0，故对于事先给定的精确度ε，总有自然数n，使得≤ε.
所以，只需将区间D等分n次就可以达到事先给定的精确度ε.所以，一般情况下，不需尽可能多地将区间D等分．
8．解：由图象可以知道，方程x3＝3x－1的解在区间(－2，－1)，(0,1)和(1,2)上，那么，对于区间(－2，－1)，(0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为x1≈－1.8，x2≈0.4，x3≈1.5.
9．解：设f(x)＝x5＋x－3，取[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：
端点(中点)坐标
计算中点函数值
取值区间
f(1)＝－1<0f(2)＝32＋2－3＝31>0
[1,2]
x1＝＝1.5
f(x1)＝6．093
75>0
[1,1.5]
x2＝＝1.25
f(x2)＝1．301
757>0
[1,1.25]
x3＝＝1.125
f(x3)＝－0.072
968<0
[1.125,1.25]
x4＝＝1.187
5
f(x4)＝0．548
892>0
[1.125,1.187
5]
x5＝＝1.156
25
f(x5)＝0．222
861>0
[1.125,1.156
25]
x6＝＝1.140
625
f(x6)＝0．071
323
4>0
[1.125,1.140
625]
x7＝＝1.132
812
5
f(x7)＝－0.001
709<0
[1.132
812
5,1.140
625]
…
…
…
若精确度设为0.1，则方程近似解为x≈1.1，
若精确度设为0.01，则方程近似解为x≈1.14.