3.4
函数的应用（Ⅱ）
同步测控
我夯基,我达标
1.某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价…(
)
A.10%
B.1%
C.
D.
解析：设原价为P0，降价后价格为P1，则有P0(1-10%)=P1，即，再设提价x可恢复原价，即P1(1+x)=P0,得x==.
答案：D
2.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(
)
A.增加7.84%
B.减少7.84%
C.减少9.5%
D.不增不减
解析：将实际问题中的递增和递减转化为指数式进行计算.设原价格为A,则两年后的价格为A（1+20%）2，在此基础上又过两年后的价格为A（1+20%）2（1-20%）2，即为四年后的价格，求得为0.921
6A，比原价格A减少了，减了多少呢？根据式子=7.84%，得比原来减少了7.84%.故选B.
答案：B
3.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957
6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，则y关于x的函数关系是(
)
A.y=0.9576
B.y=()x
C.y=0.9576100x
D.y=1-0.0424
解析：首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x、y的函数应该是指数函数，就可得正确答案.
设镭一年放射掉其质量的t%，则有0.957
6=1·（1-t%）100.
∴t%=1-（0.957
6）.
∴y=（1-t%）x=0.957
6.
答案：A
4.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(
)
A.10天
B.15天
C.19天
D.2天
解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y=2x，
当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.故选C.
答案：C
5.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3
150元（其中工资性收入为1
800元，其他收入为1
350元），预计该地区自2004年起的2年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2005年该地区农民人均收入介于…(
)
A.3
200元-3
400元
B.3
400元-3
600元
C.3
600元-3
800元
D.3
800元-4
000元
解析：设2005年该地区农民人均收入为y元，
则y=1
800×（1+6%）2+1
350+160×2≈3
686（元）.
答案：C
6.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：
十进制
1
2
3
4
5
6
7
8
…
二进制
1
10
11
100
101
110
111
1
000
…
观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数；当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是__________.
解析：此题考查观察、归纳总结能力.通过观察图表：
二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1；
二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1；
二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1.
依次类比，二进制为6位数时，十进制的最大数为26-1.
答案：26-1
7.据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景思路》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%.那么，到2020年，我国的GDP可望为2000年的________倍.
解析：如果把我国2000年的GDP看成是1个单位，2001年为第1年，那么1年后，即2001年的GDP为2000年的（1+7.3%）1倍.
同理，2002年的GDP为2000年的（1+7.3%）2倍.依次类比，2020年的GDP为2000年的（1+7.3%）20倍.
答案：（1+7.3%）20
8.我们常说的里氏震级M，其计算公式是：M=lgA-lgA0，其中A是被测地震最大的震幅，A0是“标准地震”的振幅，之所以使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中距离造成的偏差.一般来讲,5级地震给人的震感已比较明显，但是在2005年3月28日引发印度洋大海啸给人类带来空前灾难的地震，据美国地质勘探局测定为里氏9.0级.你能据里氏震级的计算公式得出那次地震是5级地震振幅的多少倍吗？
分析:设里氏5级地震和里氏9级地震的最大振幅分别为A5和A9,则只需要计算.
解：由题意,得
可得4=lgA9-lgA5.故lg=4,即=104.所以里氏9级地震是里氏5级地震最大振幅的1万倍.由此可见引发印度洋大海啸的地震有多可怕.
我综合,我发展
9.如图3-4-3所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱桶中，开始时漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是(
)
图3-4-3
图3-4-4
解析：当时间到一半时，漏斗中液面下落的距离不到一半.
答案：B
10.图3-4-5所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y=at，有以下叙述，其中正确的是(
)
图3-4-5
①这个指数函数的底数为2
②第5个月时，浮萍面积就会超过30
m2
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到2
m2、3
m2、6
m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3
A.①②
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②⑤
解析：由图形得函数解析式应为y=2x（x≥0）.
答案：D
11.如图3-4-6，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt，那么桶2中水就是y2=a-ae-nt.假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，则再过_______分钟桶1中的水只有.
图3-4-6)
解析：根据“过5分钟时桶1和桶2的水相等”得出e-n＝，再根据ae-nx＝,求x.
答案：15
12.有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是____________.
解析：本题考查指数函数的应用.
第一次加满水时，瓶中酒精的浓度为（1）·a%，
第二次加满水时，瓶中酒精的浓度为（1）（1）a%=（1）2·a%，
依次可得第n次加满水时，瓶中酒精的浓度为（1）n·a%.
答案：（1）10·a%
13.某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f（t）.
（1）写出函数y=f（t）的定义域和值域；
（2）画出y=f（t）（0≤t＜6）的图象；
（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z）时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）.
分析:要注意实际问题与数学模型的各量间的相互对应.
解：（1）y=f（t）定义域为t∈［0，+∞），值域为{y|y=2n，n∈N
}.
（2）0≤t＜6时，为一分段函数
y=
图象如下图.
（3）n为偶数时，y=2；
n为奇数时，y=2.
∴
14.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T-Tα=（T0-Tα）·（），其中Tα是环境温度.使上式成立所需要的时间h称为半衰期.
现有一杯用195
?热水冲的速溶咖啡放置在75
?的房间中，如果咖啡降温到105
?需20
min，问欲降温到95
?需多少时间？
分析:由所给公式知它是时间t与温度T的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h值.再将T=95代入已求得的T=f（t）中求得t.
解：由题意，知T=Tα+（T0-Tα）（）.
将有关数据代入，得T=75+（195-75）·（）.
这里h是以分钟为单位的半衰期，为了确定它的值，将t=20时，T=105代入，此时，105=75+（195-75）·（），解得h=10.
∴T=75+（195-75）·（）.（
）
欲使T=95，代入（
）式，得95=75+（195-75）·（），即（）=.
两边取对数，查表得=2.6，即t=26（min）.
因此，在咖啡冲好26
min之后降温至95
?.
我创新,我超越
15.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下规定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).
(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；
(2)试根据假定写出函数f(x)应满足的条件和具有的性质;
(3)设f(x)=,现有a(a>0)个单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问哪种方案清洗后的蔬菜上残留的农药量比较少？并说明理由.
分析:（1）（2）两小题根据生活常识即可解决；（3）需要对两种情况分别计算后比较，另外,比较两个分式的大小可以考虑使用作差法.
解：（1）f(0)=1表示没有用清水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样.
（2）函数f(x)应该满足的条件和具体的性质是：f(0)=1,f(1)=
,在［0,+∞)上f(x)单调递减，且0
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为f1=.清洗两次后，残留的农药量为f2=［］2=,
则f1-f2==.
于是，当a>2时f1>f2；
当a=2时f1=f2；当0答：当a>2时洗两次后残留的农药量较少；当a=2时两种清洗方法具有相同的效果；当0对数及其运算
同步测控
我夯基,我达标
1.式子2的值为(
)
A.2+
B.2
C.2+
D.1+
解析：原式==2=25.
答案：B
2.下列各式中成立的是(
)
A.logax2=2logax
B.loga|xy|=loga|x|+loga|y|
C.loga3＞loga2
D.loga=logax-logay
解析：A、D的错误在于不能保证真数为正，C的错误在于a值不定.
答案：B
3.已知f（x5）=lgx，则f（2）等于(
)
A.lg2
B.lg32
C.lg
D.lg2
解析：令x5=t，则x==t.
∴f（t）=lgt=lgt.
∴f（2）=lg2.
答案：D
4.下列四个命题中，真命题是(
)
A.lg2lg3=lg5
B.lg23=lg9
C.若logaM+N=b，则M+N=ab
D.若log2M+log3N=log2N+log3M，则M=N
解析：本题易错选A或B或C.主要问题是对函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与A类似的一个错误的等式是lg2+lg3=lg5；B中的lg23表示（lg3）2，它与lg32＝lg9意义不同；C中的logaM+N表示（logaM）+N，它与loga（M+N）意义不同；D中等式可化为log2M-log2N=log3M-log3N，即log2=log3，所以M＝N.
答案：D
5.求下列各式的值:
(1)设logbx-logby＝a，则logb5x3-logb5y3＝____________;
(2)设loga(x＋y)＝，logax＝1，则logay＝____________;
(3)3=_____________.
解析：(1)∵logbx-logby＝a,
∴logb＝a.
∴logb5x3-logb5y3＝logb
＝logb()3＝3logb＝3a.
(2)∵loga(x＋y)＝,
∴a3＝x＋y.
又logax＝1,∴x＝a.
∴y＝a-a.
从而logay＝loga(a-a).
(3)3＝3
=3＝32＝9.
答案：(1)3a
(2)loga(a-a)
(3)9
6.已知函数f（x）=则f（log23）的值为__________.
解析：∵14.
∴f(3+log23)=()
=()=()=.
又∵当x<4时，f(x+1)=f(x),
∴f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)=.
答案：
7.求下列各式中的x：
（1）logx＝；
（2）logx5＝；
（3）log（x-1）（x2-8x＋7）＝1.
分析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.
解：（1）原式转化为（）=x，所以x=.
（2）原式转化为x=5，所以x=.
（3）由对数性质,得解得x＝8.
8.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg.
分析:解本题的关键是设法将的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算.
解：lg=lg45=lg
=(lg9+lg10-lg2)
=(2lg3+1-lg2)
=lg3+lg2
=0.477
1+0.5-0.150
5
=0.826
6.
我综合,我发展
9.对于a>0，a≠1，下列说法中正确的是(
)
①若M=N，则logaM=logaN
②若logaM=logaN，则M=N
③若logaM2=logaN2，则M=N
④若M=N，则logaM2=logaN2
A.①③
B.②④
C.②
D.①②③④
解析：在①中，当M=N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM=logaN不成立.
在②中，当logaM=logaN时，必有M＞0，N＞0，且M=N，因此M=N成立.
在③中，当logaM2=logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2=N2，即|M|=|N|，但未必有M=N，例如，M=2，N=-2时，也有logaM2=logaN2，但M≠N.
在④中，若M=N=0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2=logaN2不成立.
∴只有②正确.
答案：C
10.设logac、logbc是方程x2-3x+1=0的两根，则logc=__________.
解析：依题意,得
即即
∴(logca-logcb)2=(logca+logcb)2-4logca·logcb=32-4=5.
∴logca-logcb=±.
故log=.
答案：±
11.已知log189=a，18b=5，则log3645=_______.（用a,b表示）
解析：∵log189=a，∴log18=1-log182=a.
∴log182=1-a.
又∵18b=5,∴log185=b.
∴log3645=.
答案：
12.若26x=33y=62z，求证:3xy-2xz-yz=0.
分析:由已知条件到结论，本质就是把指数式化为对数式，要把指数位置上的字母拿下来，唯一的方法就是取对数，通常我们两边同时取常用对数，也可以根据题目的具体情况取其他数字（条件中已有的底数）为底数，总之要同底，然后利用对数的性质和运算法则化简计算.
证法一:设t=26x=33y=62z,两边取常用对数,
则x=,y=,z=.
∴3xy-2xz-yz=
=
=
=0.
证法二：∵26x=33y=62z，∴两边取以3为底的对数，有6xlog32=3y=2zlog36，
由前面的等式,得yz=2xzlog32,
由后面的等式,得3xy=2xzlog36.
∴3xy-2xz-yz=2xzlog36-2xz-2xzlog32=2xz(log36-1-log32)=2xz（log36-log33-log32)=0.
科学是实事求是的学问。——郭沫若
13.设x、y、z∈（0，＋∞）且3x＝4y＝6z.
(1)不管x、y、z取何正值，等式＋＝一定成立吗？请说明理由.
(2)比较3x，4y，6z的大小.
分析:设3x＝4y＝6z=k,再分别取常用对数，即可把x、y、z均用lgk表示.从而达到消元的目的,这种多元化为一元的思路是处理方程（组）、比值、恒等式和不等式证明等问题的基本思路，务必认真领悟和熟练掌握.
解：(1)设3x＝4y＝6z＝k，
∵x、y、z∈（0，＋∞）,∴k＞1.
取对数,得x＝,y=,z=.
∴+
=
∴不论x、y、z取何正值，等式＋＝一定成立.
(2)3x-4y＝()lgk=lgk
=<0,
∴3x<4y.
又∵4y-6z＝（)lgk=lgk=<0,
∴4y<6z.
∴3x＜4y＜6z.
14.(1)若log3［log4(log5x)］=0,求x.
(2)已知logax=logac+b，求x.
(3)若lga、lgb是方程2x2-4x+1=0的两根，求(lg)2.
分析:对于第(1)题，要逐层去掉对数符号；在第(2)题中，由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式.对于第(3)题，可用根与系数的关系求解.
解：(1)∵log3［log4(log5x)］=0,
∴log4(log5x)=30=1.
∴log5x=4.∴x=54=625.
(2)解法一：由对数定义,可知x===c·ab.
解法二：由已知移项,可得logax-logac=b，即loga=b,
由对数定义,知=ab.∴x=c·ab.
解法三：∵b=logaab,
∴logax=logac+logaab=loga(c·ab).
∴x=c·ab.
(3)由根与系数的关系,得
∴(lg)2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb
=22-4×=2.
我创新,我超越
15.已知2ylogy4-2y-1=0,(logx)=-logx5.
试问：是否存在一个正整数P，使P= 如果存在，求出此数;如果不存在，请说明理由.
分析:我们在处理解方程的题型时，特别要注意挖掘隐含条件，确定定义域.如本题容易忽视(logx)=-logx5中隐含的条件logx5<0,从而一错而全局皆失.本题可通过先探求x、y是满足什么样规律的值,然后运用方程求出x、y即可.
解：∵2ylogy4-2y-1=0,
∴2y(logy4)=0.而2y>0,
∴logy4=.∴y=16.
由(logx)=-logx5>0，
得logx=(logx5)2,且logx5<0,
∴logx(5x)=(logx5)2,
即2(logx5)2-logx5-1=0.
∴(2logx5+1)(logx5-1)=0.
解之,得logx5=或logx5=1>0(舍去).
∴logx5=.∴x=5,即x=.
故P===3.
即存在符合条件的正整数P，P的值是3.
16.设a、b、c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1,求证:
log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a.
分析:在直角三角形中，有a2+b2=c2.再观察所求证的式子的结构特征，左边两式的真数相同，底数不同，我们可以用换底公式化为底数相同的式子，就可使用对数的运算性质了.
证明:由勾股定理得a2+b2=c2.
log(c+b)a+log(c-b)a=
=
=
==2log(c+b)alog(c-b)a.
∴原等式成立.2.4
函数与方程
同步测控
我夯基,我达标
1.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是(
)
A.a<-1
B.a>1
C.-1D.0≤a<1
解析：令f(x)=2ax2-x-1,
∵f(x)在(0,1)内恰有一解,
∴f(0)·f(1)<0,即-1·(2a-2)<0.
∴a>1.
答案：B
2.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程f(x)=x的解的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由已知得
∴f(x)=
当x≤0时,方程为x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,
∴x=-1或x=-2.
当x>0时,方程为x=2.
∴方程f(x)=x有3个解.
答案：C
3.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是(
)
A.(0,1］
B.(0,1)
C.(-∞,1)
D.(-∞,1］
解析：思路一:取m=0有f(x)=-3x+1的根x=>0,即m=0应符合题设,所以排除A、B.当m=1时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,它的根是x=1,符合要求,排除C,故选D.
思路二:直接法.
∵f(0)=1,
∴①当m<0时,必成立,排除A、B.
②当m>0时,要使与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,
则∴0③当m=0时,根为x=>0符合题意.
答案：D
4.已知二次函数f(x)=x2-2x-3,
(1)在区间［-2,1］上有零点________;f(-2)=________,f(1)=________,f(-2)f(1)0(<或>).
(2)在区间［2,4］上有零点________;f(2)f(4)________0(<或>).
解析：求出二次函数f(x)=x2-2x-3与x轴的交点为(-1,0)、(3,0),即可易知在区间［-2,1］、［2,4］上的零点值.
答案：(1)-1
5
-4
<
(2)3
<
5.已知函数f(x)=x2-1,则函数f(x-1)的零点是________.
解析：由已知得f(x-1)=(x-1)2-1.令f(x-1)=0,可得x=0,2.
答案：0或2
6.方程x3-2x-5=0在区间［2,3］内有实根,取区间中点x0=2.5,那么下一个有根区间是________.
解析：验证f(2)·f(2.5)<0还是f(2.5)·f(3)<0.
答案：［2,2.5］
7.判断方程x3-x-1=0在区间［1,1.5］内有无实数解 如果有,求出一个近似解(精确到0.1).
分析：验证f(a)·f(b),若小于零,则有解;若大于零,再根据函数增长差异,判断方程解的情况.
解：设函数f(x)=x3-x-1,因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数f(x)=x3-x-1的图象是连续的曲线,所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内有实数解.
取区间［1,1.5］的中点x1=1.25,用计算器可算得f(1.25)=-0.30<0.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈［1.25,1.5］.
再取［1.25,1.5］的中点x2=1.375,用计算器可算得f(1.375)≈0.22>0.
因为f(1.25)·f(1.375)<0,所以x0∈［1.25,1.375］.
同理,可得x0∈［1.312
5,1.375］,x0∈［1.312
5,1.343
75］.
由于|1.343
75-1.312
5|<0.1,
此时区间［1.312
5,1.343
75］的两个端点精确到0.1的近似值都是1.3,
所以方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.
我综合,我发展
8.借助计算器或计算机,用二分法求方程2x3-4x2-3x+3=0在［0,1］内的近似解(精确到0.01).
分析：按照二分法的算法步骤计算.
解：令f(x)=2x3-4x2-3x+3,
因为f(0)=3>0,f(1)=-2<0,说明方程f(x)=0在区间［0,1］内有一个零点.
取区间［0,1］的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=0.75>0.
因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈［0.5,1］.
再取［0.5,1］的中点x=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈-0.66<0.
因为f(0.5)·f(0.75)<0,
所以x0∈［0.5,0.75］.
同理,可得x0∈［0.625,0.75］,x0∈［0.625,0.682
5］,x0∈［0.625,0.653
75］,x0∈［0.625,0.639
375］,x0∈［0.632
187
5,0.639
375］,x0∈［0.632
187
5,0.633
984
375］.
由于|0.633
984
375-0.632
187
5|<0.01,
此时区间［0.632
187
5,0.633
984
375］的两个端点精确到0.01的近似值都是0.63,
所以方程2x3-4x2-3x+3=0精确到0.01的近似解为0.63.
9.已知函数y=2x2+bx+c在(-∞,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数,且两个零点是x1、x2,满足|x1-x2|=2,求这个二次函数的解析式.
分析：由题意,知x=为对称轴,x1、x2是方程2x2+bx+c=0的两个根,可以利用根与系数的关系求解.
解：由题意,知x==,
∴b=6.故y=2x2+6x+c.
又x1+x2=-3,x1x2=.
∴|x1-x2|==2.∴c=.
经检验Δ=62-4×2×>0,符合题意.
∴所求二次函数为y=2x2+6x+.
10.使用计算器或计算机,用二分法求函数f(x)=x5-x3-5x2+5的无理零点.(精确到0.01)
分析：求函数的无理零点或求方程的无理根问题可以通过因式分解,发现其有理根,然后转化为求另一函数的无理零点的问题,再利用二分法求其零点的近似值.
解：因为x5-x3-5x2+5=x3(x2-1)-5(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-5),
所以已知函数的零点是-1,1,3[]5,其中x=3[]5是它的一个无理零点.
不妨设g(x)=x3-5,由于g(1)=-4<0,g(2)=3>0,可取区间［1,2］作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
端点(中点)横坐标[]计算端点或
中点的函数值[]取区间
a0=1,b0=2
G(1)<0,g(2)>0
［1,2］
x1==1.5
G(x1)=-1.625<0
［1.5,2］
x
2==1.75
g(x
2)=0.359
4>0
［1.5,1.75］
x
3==1.625
g(x
3)=-0.709
0<0
［1.625,1.75］
x
4==1.687
5
g(x
4)=-0.194
6<0
［1.687
5,1.75］
x
5==1.718
8
g(x
5)=0.077
4>0
［1.687
5,1.718
8］
x
6==1.703
2
g(x
6)=-0.059
6<0
［1.703
2,1.718
8］
x7==1.711
g(x7)=0.010>0
［1.703
2,1.711］
x8==1.707
1
g(x
8)=-0.048
21<0
［1.707
1,1.711］
由上表计算可知,区间［1.707
1,1.711］的长度小于0.01,所以该区间的中点x9≈1.71即为函数f(x)=x5-x3-5x2+5的一个无理零点近似值.
11.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点.(精确到0.1)
分析：由于要求的是一个正数的零点,因此可以考虑首先确定一个包含正数的区间(m,n),且f(m)f(n)<0.计算f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,所以可以取区间［1,2］作为计算的初始区间,当然选取［0,2］也是可以的.
解：∵f(1)=-6<0,f(2)=4>0,
∴存在x1∈［1,2］,使f(x1)=0.
用二分法逐次计算,列表如下:
端点(中点)横坐标[]端点或中点函数值[]取区间
a0=1,b0=2
f(1)=-6<0,f(2)=4>0
［1,2］
x1==1.5
f(1.5)=-2.625<0
［1.5,2］
x2==1.75
f(1.75)=0.234
4>0
［1.5,1.75］
x3==1.625
f(1.625)=-1.302
7<0
［1.625,1.75］
x4==1.687
5
f(1.687
5)=-0.561
8<0
［1.687
5,1.75］
x5==1.718
75
f(1.718
75)=-0.177<0
［1.718
75,1.75］
x6==1.734
375
f(1.734
375)=0.303
8>0
［1.718
75,1.734
375］
∵最后一个区间两个端点精确到0.1的近似值都是1.7,
∴所求的正数零点为1.7.
我创新,我超越
12.某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5
000元,并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%,但却实现了纯利润50%的高效率.求
(1)2000年每台电脑的生产成本;
(2)以1996年的生产成本为基数,用二分法求1996年～2000年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01)
分析：这是一个降低成本提高效率的问题.注意:这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%.成本+利润=出厂价;利润=成本×利润率.
解：(1)设2000年每台电脑的成本为p元,根据题意,
得p(1+50%)=5
000×(1+20%)×80%,
解得p=3
200(元).
(2)设1996年～2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x,根据题意,得5
000(1-x)4=3
200(0令f(x)=5
000(1-x)4-3
200,作出x、f(x)的对应值表,如下表:
x
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
f(x)
1
800
-590
-2
000
-2
742
-3
072
-3
180
-3
200
-3
200
观察上表,可知f(0)·f(0.15)<0,说明此函数在区间［0,0.15］内有零点x0.
取区间［0,0.15］的中点x1=0.075,
用计算器可算得f(0.075)≈460.
因为f(0.075)·f(0.15)<0,
所以x0∈［0.075,0.15］.
再取（0.075,0.15）的中点x2=0.112
5,
用计算器可算得f(0.112
5)≈-98.
因为f(0.075)·f(0.112
5)<0,
所以x0∈［0.075,0.112
5］.
同理,可得x0∈［0.093
75,0.112
5］,x0∈［0.103
125,0.112
5］,
x0∈［0.103
125,0.107
812
5］,
x0∈［0.105
468
75,0.107
812
5］.
由于区间［0.105
468
75,0.107
812
5］的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11,所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.3.3
幂函数
同步测控
我夯基,我达标
1.下列命题中,正确的是(
)
A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限
解析：当α=0时，函数y=xα定义域为{x|x≠0,x∈R}，其图象为两条射线，故A不正确；
当α<0时，函数y=xα的图象不过（0，0）点，故B不正确；
幂函数y=x-1的图象关于原点对称，但在其定义域内不是增函数，故C不正确；
幂函数的图象都不在第四象限，故D正确.
答案：D
2.下列函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为(
)
A.y=x
B.y=x
C.y=x
D.y=x3
解析：先把指数式化为根式，再求定义域.
答案：B
3.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是(
)
A.y=x
B.y=x2
C.y=x3
D.y=x-2
解析：由幂函数的性质,可知y=x2在(-∞,0)上为减函数.
答案：B
4.下列函数中不是幂函数的是(
)
A.y=
B.y=x3
C.y=2x
D.y=x-1
解析：根据幂函数的定义：形如y=xα的函数称为幂函数，可知C不是幂函数.
答案：C
5.已知函数f(x)＝(a-1)·,
当a＝__________时，f(x)为正比例函数；
当a＝__________时，f(x)为反比例函数；
当a＝__________时，f(x)为二次函数；
当a＝__________时，f(x)为幂函数.
解析：当f(x)为正比例函数时，即a＝-2；
当f(x)为反比例函数时，即a＝0或a＝-1；
当f(x)为二次函数时，即a＝；
当f(x)为幂函数时，a-1＝1，即a＝2.
答案：-2
0或-1
2
6.求下列函数的定义域：
(1)y=(3x-2)+(2-3x);
(2)y=().
分析:注意开方次数的奇偶和分式是否出现.
解：(1)
由此得,函数y=(3x-2)
+(2-3x)
的定义域为(,+∞).
(2)>0x+1<0x<-1,由此得,函数y=()的定义域为(-∞,-1).
7.幂函数y=f(x)的图象过点(4,)，求f(8)的值.
分析:本题要想求得f(8)的值，必须要先求得幂函数的解析式.
解：设f(x)=xa,则=4a，a=.
∴f(x)=x.
∴f(8)=8=.
8.求满足a>a的字母a的取值范围.
分析:根据已知条件可知a，a分别对应幂函数y=x,y=x的函数值.要想求满足条件的a的范围,只要判断出x为何值时曲线y=x在曲线y=x上方即可.
解：在同一坐标中，分别作出y1=x，y2=x的图象(如图所示),由图象可知要使y1>y2，只需x>1.
∴当a>1时,a>a不等式恒成立.
我综合,我发展
9.函数y=x的图象是(
)
图3-3-4
解析：函数y=x的定义域为(0,+∞)，且过（0，0）、（1，1）点.
答案：C
10.设函数f(x)=若f(a)>a,则实数a的取值范围是___________.
解析：根据题意,得或解得a<0.
答案：(-∞,0)
11.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=____________.
解析：当x∈(0,+∞)时,-x<0,f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4=f(x).
答案：-x-x4
12.讨论函数y=x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.
分析:按幂函数的性质求解.
解：（1）要使y＝x＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R.
（2）∵x∈R，∴x2≥0.
∴y≥0.故函数值域为［0,+∞).
（3）f（-x）＝＝＝f（x），
∴函数y＝x是偶函数.
（4）∵n＝＞0，∴幂函数y＝x在［0，+∞）上单调递增.
由于幂函数y=x是偶函数，
∴幂函数y＝x在（-∞，0）上单调递减.
（5）其图象如图所示:
13.若(a＋1)
＜(3-2a)
，试求a的取值范围.
分析:根据幂函数的性质求解,分成三种情况讨论.
解：有三种可能情况：或或
解得a∈(-∞，-1)∪(，).
14.已知y=的值.
分析:根据二次根式的定义，被开方数必须非负，我们可以求出x和y的值，然后把所求x和y的值代入所要求解的代数式.
解：要使有意义，必须2
005x-1≥0，即x≥.
要使有意义，必须1-2
005x≥0，即x≤.
综合上述，必须x=，这时y=.
∴(x+y)2
006=()2006=(-1)2006=1.
我创新,我超越
15.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x(7+3t-2t2)(t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t的值.
分析:关于幂函数y=xn(n∈Q,n≠0)的奇偶性问题，
设(|p|,|q|互质),当q为偶数时，p必为奇数,y=是非奇非偶函数；当q是奇数时，y=的奇偶性与p的奇偶性对应.
解：∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1.
∴t=-1,1或0.
当t=0时,f(x)=x是奇函数;
当t=-1时,f(x)=x是偶函数;
当t=1时,f(x)=x是偶函数.
又，都大于0，在(0,+∞)上为增函数,
故t=1或t=-1.
16.已知函数f（x）=，x∈(0,+∞)，n为非零有理数，判断f（x）在(0,+∞)上是增函数还是减函数,并证明你的结论.
分析:本题通过函数单调性定义来判断时,应注意确定x1n-x2n的正负，需要对非零有理数n进行讨论,而不能误解为n>0或n为正整数.
解：设x1,x2∈(0,+∞)，且x1则f（x1）-f（x2）=
=.
∵x1,x2∈(0,+∞)，
∴x1-nx2-n>0,x1n+x1-n>0,x2n+x2-n>0,x2n+x1n>0.
于是>0.
又∵0①当n>0时,x1n-x2n<0,
∴f（x1）-f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2）.
②当n<0时,x1n-x2n>0，
∴f（x1）-f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2）.
综上讨论，可知当n>0时,f（x）=在(0,+∞)上是增函数;当n<0时,在(0,+∞)上是减函数.1.1
集合与集合的表示方法
同步测控
我夯基,我达标
1.下列各项中,不能组成集合的是(
)
A.所有正三角形
B.《数学(人教B版)》(必修1)中的所有习题
C.所有数学难题
D.2008北京奥运会的所有比赛项目
解析：A、B、D均满足集合元素的确定性,C中的“难”无法确定难的界限.
答案：C
2.给出下列关系:①∈R;②Q;③4.5∈Q;④0∈N
.其中正确命题的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：无限不循环小数均为无理数.有理数和无理数统称为实数,所以①②③正确.正整数集N
是指除了0以外的所有自然数组成的集合,所以④错.
答案：C
3.已知集合S={a,b,c}中三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析：判断三角形的形状,要考虑三角形的边和角满足的关系.一般先判断是否为等边、等腰、直角,再考虑钝角或锐角三角形.解决本题的关键是集合中元素互异性的应用,即a、b、c互不相等.
答案：D
4.下列四个集合中,表示空集的是(
)
A.{0}
B.{(x,y)|y2=-x2,x∈R,y∈R}
C.{x||x|=5,x∈Z,xN}
D.{x|2x2+3x-2=0,x∈N}
解析：空集是不含任何元素的集合.B中元素是(0,0),C中元素是-5,D中方程的解-2,都不属于N,所以D为空集.
答案：D
5.a,a,b,b,a2,b2构成集合M,则M中元素的个数最多有(
)
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
解析：由集合元素的互异性,知集合中的元素最多为a,b,a2,b2,且4个元素互不相等.
答案：C
6.集合{x∈N
|x<5}的另一种表示方法是(
)
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
解析：本题的集合表示方法是特征性质描述法,选项为列举法,关键要掌握N
表示的是正整数集.
答案：B
7.在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是_______.
解析：本题主要考查集合元素的互异性.实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x≠0且x≠3}.
答案：{x|x≠0且x≠3}
8.在条件(1)x∈N;(2)x∈Q;(3)x∈R下,分别写出方程x(x+1)·(x)·(x2-2)·(x2+2)=0的解集.
分析:本题只需先判断出方程在实数范围内的根便可迎刃而解.
解：在实数范围内,方程x(x+1)·(x)·(x2-2)·(x2+2)=0的根为0,-1,,±.
(1)当x∈N时,解集为{0};
(2)当x∈Q时,解集为{0,-1,};
(3)当x∈R时,解集为{0,-1,,,}.
9.(1)已知集合M={x∈N|∈Z},求M;
(2)已知集合C={∈Z|x∈N},求C.
分析:集合M中的元素是自然数x,满足条件是是整数;集合C中的元素是,满足条件的x是自然数.
解：(1)∵∈Z,∴1+x=±1,±2,±3,±6.
又∵x∈N,∴x=0,1,2,5.∴M={0,1,2,5}.
(2)结合(1),知=6,3,2,1.
∴C={6,3,2,1}.
10.设集合A={a|a=n2+1,n∈N},集合B={b|b=m2-2m+2,m∈N},若a∈A,试判断a与集合B的关系.
分析:注意应用等价转化的方法,达到形式统一.
解：∵a∈A,∴a=n2+1=n2-2n+2n+1=(n2+2n+1)-2(n+1)+2
=(n+1)2-2(n+1)+2.
∵n∈N,∴n+1∈N.
因此a∈B.
我综合,我发展
11．集合A={1,-3,5,-7,9,-11,…}用描述法表示正确的是(
)
①{x|x=2n±1,n∈N}
②{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N}
③{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}
④{x|x=(-1)n+1(2n-1),n∈N}
A.只有④
B.①④
C.②④
D.③④
解析：取n=0,1,2验证各选项,可知①②不符,③④正确.
答案：D
12.设P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P※Q中元素的个数为(
)
A.3
B.4
C.7
D.12
解析：集合P※Q的元素是点集,P中的元素构成a,Q中元素构成b,所以所求集合中的元素有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7).
答案：D
13.含有三个实数的某集合可表示为{a,,1},也可表示为{a2,a+b,0},则a2007+b2008=_________.
解析：根据两个相同集合元素所满足的相等关系,进行分类讨论,注意检验所得集合中元素应满足互异性.
由题意,知a≠0,所以①或②
由①得
而不符合集合元素的互异性,
由②亦有舍去.
故有
∴a2007+b2008=-1.
答案：-1
14.给出的下列5种说法中正确说法的序号是___________(填上所有正确说法的序号).
①任意一个集合的正确表示方法都是唯一的
②集合{0,-1,2,-2}与集合{-2,-1,0,2}是同一个集合
③若集合P是满足不等式0≤2x≤1的x的集合,则这一个集合是无限集
④已知a∈R,则aQ
⑤集合{x|x=2k-1,x∈Z}与集合{y|y=2s+1,s∈Z}表示的是同一个集合
解析：本题涉及集合的概念、集合的分类、集合的表示方法和元素与集合的关系等一系列问题,应注意对照所学的相应概念对各种说法进行逐一判定.
由于集合{1}可以表示为{x|x-1=0},所以①是错误的;当a为实数时,依然有可能是有理数,所以④错误;从无限集、集合的无序性来分析,可知②③是正确的;而⑤中的两个集合,它们都表示全体奇数组成的集合.
答案：②③⑤
15已知集合A={x|ax2-2x-1=0,x∈R},若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
分析:本题主要考查元素与集合之间的关系,以及集合的表示法.由描述法可知集合A是关于x的方程ax2-2x-1=0的实数解集,首先考虑方程是不是一元二次方程.
解：当a=0时,方程只有一个根,则a=0符合题意;
当a≠0时,则关于x的方程ax2-2x-1=0是一元二次方程,由于集合A中至多有一个元素,则一元二次方程ax2-2x-1=0有两个相等的实数根或没有实数根,所以Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.
综上所得,实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1}.
16.用描述法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的数组成的集合;
(2)使y=有意义的实数x的集合;
(3)如图1-1-1中阴影部分的点(含边界上的点)的集合M.
图1-1-1
分析:符号语言、文字语言、自然语言之间的转化是特征性质描述法的难点,研究问题时注意观察元素的性质,掌握好其相应的特征性质是解题的关键.(1)(2)的元素是数,(3)的元素是点,一般用坐标来表示,另外,要注意观察图象特点,准确地确定不等式.
解：(1){x|x=3n,n∈Z};
(2){x|x≤2且x≠0,x∈R};
(3){(x,y)|-2≤x≤,-1≤y≤且xy≥0}.
我创新,我超越
17.集合A={x∈R|x=a+b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x和集合A间的关系:
(1)x=0;
(2)x=;
(3)x=;
(4)x=x1+x2(其中x1∈A,x2∈A);
(5)x=x1x2(其中x1∈A,x2∈A).
分析:先把x写成a+b的形式,再观察a、b是否为整数,便可判定x是否为A中的元素.
解：(1)中,∵x=0+0×2,∴x∈A.
(2)中,∵x==+1=1+1×,
∴x∈A.
(3)中,∵x==+,而Z,
∴xA.
(4)中,∵x1∈A,x2∈A,可设x1=a1+b1,x2=a2+b2(a1、b1、a2、b2均为整数),则x=x1+x2=
(a1+a2)+(b1+b2),而a1+a2∈Z,b1+b2∈Z,∴x∈A.
(5)同(4)所设,则x=x1x2=(a1+b12)(a2+b22)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2,而a1a2+2b1b2∈Z,
a1b2+a2b1∈Z,∴x∈A.
18.一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么 ”集合是不定义的概念,数学家很难回答这位渔民.
有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在网中跳动.
数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合.”
你能理解数学家的话吗 你能有类似的现实生活中的感悟吗？
分析:通过实例了解集合含义,在了解集合含义时,要考虑集合中元素的三个性质,即确定性(给定的集合,它的元素必须是确定的)、互异性(一个给定集合中的元素是互不相同的)、无序性(集合中的元素无先后顺序之分).
解：由“许多鱼虾在网中跳动”,数学家高兴地说这就是集合,他生动地把鱼虾组成的总体称之为“集合”;“许多鱼虾在网中跳动”又恰好把每一条跳动的对象——鱼(虾)看为元素;“许多鱼虾在网中跳动”同时更重要的是符合了集合的三大特性:“许多鱼虾在网中跳动”明确了确定性——“在网中”;“许多鱼虾”但不可能有两条相同的“鱼(虾)”,满足了互异性;“跳动”恰说明了它们没有固定的顺序之分,吻合了“无序性”.数学家非常激动,因为他为集合的定义做了一个最生动的解释.
数学来源于生活又实践于生活,从现实生活中感悟,试举一例如下:
看万山红遍,层林尽染,漫江碧透,百舸争流……这是《沁园春·长沙》里的一段秋景描写,当沉浸在这种景色中时,气势宏大的景象是“山”“林”“江”“舸”等,“同一类对象汇集在一起”造就了“万山”“层林”“漫江”“百舸”的景观,在数学中我们把它们均称作集合.3.1.1
有理指数幂及其运算
同步测控
我夯基,我达标
1.把根式改写成分数指数幂的形式为(
)
A.-2(a-b)
B.-2(a-b)
C.-2(a-b)
D.-2(a-b)
解析：原式可化为-2（a-b）.
答案：A
2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是…(
)
A.=(-x)(x≠0)
B.x=
C.()=(xy≠0)
D.=y(y<0)
解析：根据根式、分数指数幂的意义，可得选项C正确.
答案：C
3.当a、b∈R，下列各式总能成立的是(
)
A.=a-b
B.=a2+b2
C.=a-b
D.=a+b
解析：取a=0,b=1,A不成立;取a=0,b=-1,C不成立;取a=-1,b=-1,D不成立;因为a2+b2≥0,
所以B正确.
答案：B
4.下列说法中正确的命题个数是(
)
(1)-2是16的四次方根
(2)正数的n次方根有两个
(3)a的n次方根就是
(4)=a(a≥0)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：从n次方根和n次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系.此题主要目的是分清n次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据.
(1)是正确的,由(-2)4=16可验证.
(2)不正确，要对n分奇偶讨论.
(3)不正确，a的n次方根可能有一个值，可能有两个值，而只表示一个确定的值,它叫根式.
(4)正确，根据根式运算的依据，当n为奇数时，=a是正确的，当n为偶数时，若a≥0，则有=a，综上，当a≥0时，无论n为何值均有=a成立.
答案：B
5.若am=2，an=3，则a=__________.
解析：先求，,=，
∴a==.
答案：
6.化简（a＞0）＝________.
解析：先将根式化成分数指数幂再运算.原式＝.
答案：
7.计算：（1）32-(2)+0.5-2；
（2）1.5×()0+80.25×+()6.
分析:指数为小数时化为分数的形式，底数为根式时，化为指数式，并根据运算法则的顺序进行计算.
解：（1）原式=(25)-()+()-2
=2-3-［()3］+22
=+4
=.
（2）原式=()×1+(23)×2+(2)6×(3)6-［()］
=()+(23×2)+22×33-()
=2+4×27=110.
我综合,我发展
8.设α、β是方程5x2+10x+1=0的两个根.则2α·2β=____________,(2α)β=_________.
解析：利用一元二次方程根与系数的关系得α+β,αβ.
由题意得α+β=-2,αβ=,则2α·2β=2α+β＝2-2=,(2α)β=2αβ=2.
答案：
2
9.已知x+x=4，求（1）x+x-1，（2）x+x的值.
分析:题中（1）x+x-1是(x)3+(x)3可以用立方和公式求解，同时知道x值是正数.求出x+x-1后再反用完全平方公式就能找到求x+x的途径.
解：（1）∵x+x=4,
∴x+x-1=(x+x)(x-1+x)
=(x+x)［(x+x)2-3］
=4(42-3)
=52.
（2）∵x>0,∴x+x>0.
∵x+x-1=52,
∴x+x===.
10.已知a1,n∈N
,化简+.
分析:由a的n次方根的概念，对于根指数n，要区分它为正偶数和正奇数的情况，增强分类讨论的意识.特别是正偶数的情况，开方以后的结果要带有绝对值符号，再根据已知条件去掉绝对值符号.
解：当n是奇数时，原式=(a-b)+(a+b)=2a;
当n是偶数时，原式=|a-b|+|a+b|=(b-a)+(-a-b)=-2a.
所以+
=
11.已知x+x=3，求的值.
分析:已知条件x+x=3较为复杂，需要整理后再使用，同时注意对平方差（和）、立方差（和）等常用公式的识别.
解：∵x+x=3，
∴(x+x)2=9,即x+x-1=7.
∵x+x=(x+x)(x-1+x-1),
∴x+x=3×(7-1)=18.
∵x2+x-2=(x+x-1)2-2=47,
∴原式=.
我创新,我超越
12.如图3-1-1，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪出一个半径为的半圆形纸板P2，然后依次剪出一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）形纸板P3，P4，…，Pn，则Pn的半径rn是__________.
图3-1-1
解析：由已知可得r1=（）0，r2=（）1，r3=（）2，r4=（）3，依次类推rn=（）n-1.
答案：（）n-1
13.化简:
（1）;
（2）.
分析:（1）题中的小根号前是-4，化为-2得，容易找到4+2=6,4×2=8；
（2）中小的根号前没有2，变出2得=，而5+3=8,5×3=15.
解：（1）原式＝
=.
（2）原式＝
=
=
=
=
=.
14.已知2x=a+a(a＞1),求的值.
分析:思路一是直接代入求值,比较烦琐,思路二是注意观察研究规律:(x+)()=1,先从化简表达式入手.在分数指数幂的运算中,还要注意公式的变式使用,如a+b=,a+b=(a+b)(a-ab+b)等.
解法一:∵(2x)2=(a+a)2=a+2+a-1,
∴x2=a++a-1.
∴x2-1=a+a-1=(a-a)2.
∴=(a-a).
∴原式=
=.
解法二:
=
=×(a+a)(a-a)+a+a-1
=(a-a-1)+a+a-1
=.2.3
函数的应用（Ⅰ）
同步测控
我夯基,我达标
1.某商场卖甲、乙两种价格不同的商品,由于商品甲连续两次提价20%,同时商品乙连续两次季节性降价20%,结果都以每件23.04元售出.若商场同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降的情况比较,商场盈利情况是(
)
A.多赚5.92元
B.多赚28.92元
C.少赚5.92元
D.盈利不变
解析：设甲、乙原来的卖价分别为x、y,则可以列等式x(1+20%)2=23.04,y(1-20%)2=23.04,求出x+y与46.08比较就可以.
答案：C
2.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于(
)
A.12
B.15
C.25
D.50
解析：设销售价为a,进价为x,可以列出两个方程:
,
解这个方程组消去a、x就可以了.
答案：B
3.图2-3-4是某工厂8年来某种产品的年产量C与时间t(年)的函数关系,下面四种说法:
图2-3-4
①前三年中年产量增加的速度越来越快;②前三年中年产量增长速度越来越慢;③第三年后,这种产品停止生产;④第三年后年产量保持不变.
其中正确的说法是(
)
A.②③
B.②④
C.①③
D.①④
解析：仔细观察图形,前三年产量一直在增加但越来越慢,后5年则产量保持不变,并不是停止生产.
答案：B
4.如图2-3-5,向高为h的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶
图2-3-5
液深度h的大概函数图象是(
)
图2-3-6
解析：显然当h增大时V也增大,容易判断当高度h到达一半时,溶液量V还不到一半,只有A符合.
答案：A
5.某种茶杯,每个2.5元,把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数,则y=__________,其定义域为__________.
解析：定义域为非负数集.
答案：2.5x
N
6.某工人上午7点上班至11点下班,他一开始用一定时间做准备工作,接着每隔相同时间加工1个零件,已知他加工完7个零件刚好是9点,加工完11个零件时刚好是10点,上午他可加工__________个零件.
解析：根据“加工完7个零件刚好是9点,加工完11个零件时刚好是10点”,可以得出该工人一个小时加工4个零件,到10点加工了11个再加上后面一个小时的4个,共15个.
答案：15
7.某物体一天中的温度T是时间t的函数:T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是℃.t=0表示12:00,其后t取值为正,则上午8时的温度为__________.
解析：由条件可知上午8时t取-4,代入即得.
答案：8
℃
8.某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游,甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠.”若全票价为240元.
(1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费(建立解析式).
(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样
(3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠
分析：本题是一次函数模型,比较简单.
解：(1)y甲=120x+240,y乙=(x+1)×240×60%=144(x+1)(x∈N
).
(2)由120x+240=144x+144,解得x=4,即学生数为4时,两家旅行社的收费一样.
(3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时,甲旅行社更优惠.
9.某工厂计划出售一种产品,固定成本为200万元,生产每台产品的可变成本为3
000元,每台产品的售价为5
000元,求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系,并作出简要分析.
分析：(1)利润关系与总产量呈一次函数关系,为了获得较大利润,应增加产量.
(2)单位成本与总产量呈反比例的关系,为了降低成本,应增加产量,这样才能降低成本,形成规模效益.
解：总成本与总产量的关系为Q=2
000
000+3
000x;
单位成本与总产量的关系为P=+3000;
销售收入与总产量的关系为R=5
000x;
利润与总产量的关系为L=R-Q=2
000x-2
000
000.
我综合,我发展
10.某债券市场发行三种债券,A种面值为100元,一年到期本息和为103元;B种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;C种面值为100元,但买入价为97元,一年到期本息和为100元.作为购买者,分析这三种债券的收益,从小到大排列为(
)
A.B,A,C
B.A,C,B
C.A,B,C
D.C,A,B
解析：假设这个人用100元购买债券,如果购买A种,则一年后为103元;如果购买B种,则半年后为102.8元,一年后为105.678
4元;如果购买C种,则一年后为100×≈103.1元.
答案：B
11.某商人将进货单价为8元的商品按10元一个销售时,每天可卖出100个,若每个售价涨价1元,则日销量减少10个.为了获得最大利润,此商品当日售价应定为每个(
)
A.16元
B.15元
C.14元
D.13元
解析：设每个涨价x元,则售价为10+x元,销出个数为100-10x,成本为8(100-10x)元,利润为y元,则y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x),即y=-10x2+80x+200.∴当x==4时,y最大,即当日售价应定为14元.
答案：C
12.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是___________.
解析：设新价为b,依题意有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%.
化简,得b=a.
∴y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N
).
答案：y=x(x∈N
)
13.某邮局现只有0.6元、0.8元、1.1元的三种面值邮票,现有邮资为7.50元的邮件一件,为使粘贴的邮票张数最少,且资费恰为7.50元,则至少要购买______张邮票.
解析：尽量多选1.1元的邮票,若粘贴1.1元的邮票6张,邮资还差7.5-6×1.1=0.9元,还需0.6元、0.8元邮票各1张.这样情况共需8张,但这种情况总邮资超过了7.5元,所以不符合;若粘贴1.1元邮票5张,邮资还差7.5-5×1.1=2元,恰好还需0.6元邮票2张,0.8元邮票1张,共8张,符合题意.
答案：8
14.某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台.现销售给A地10台,B地8台.已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元,从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.
(1)设从乙地调运x台至A地,求总运费y关于x的函数关系式;
(2)若总运费不超过9
000元,问共有几种调运方案;
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费.
分析：由甲、乙两地调运至A、B两地的机器台数及运费如下表:
调出地
甲地
乙地
调至地
A地
B地
A地
B地
台数
10-x
12-(10-x)
x
6-x
每台运费(元)
400
800
300
500
运费合计(元)
400(10-x)
800［12-(10-x)］
300x
500(6-x)
解：(1)依题意,得
y=400(10-x)+800［12-(10-x)］+300x+500(6-x),
即y=200(x+43),0≤x≤6,x∈Z.
(2)由y≤9
000,解得x≤2.
∵x∈Z,0≤x≤6,
∴x=0,1,2.
∴共有三种调运方案.
(3)由一次函数的单调性,知当x=0时,总运费y最低,ymin=8
600(元),
即从乙地调6台给B地,甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的总运费最低,最低运费为8
600元.
15.20个劳动力种50亩地,这些地可种蔬菜、棉花、水稻.这些作物每亩地所需劳动力和预计产值如下表:
作物
劳动力/亩
产值/亩
蔬菜
0.6万元
棉花
0.5万元
水稻
0.3万元
应怎样计划才能使每亩地都能种上作物(水稻必种),所有劳动力都有工作且作物预计总产值达最高？
分析：利用蔬菜、棉花、水稻分别需要的劳动力和产值设出函数关系式,并且保证每个劳动力得到使用以及获得最大产值.
解：设种x亩水稻(0∴h=0.3x+0.5y+0.6［50-(x+y)］,且x、y满足+y+［50-(x+y)］=20,
即h=x+27,4≤x≤50,x∈N.
欲使h为最大,则x应为最小,故当x=4(亩)时,hmax=26.4万元,此时y=24(亩).
故安排1人种4亩水稻,8人种24亩棉花,11人种22亩蔬菜时农作物总产值最高且每个劳动力都有工作.
我创新,我超越
16.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,a3,…,an共n个数据,我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,a3,…,an中推出的a=__________.
解析：依题意所求.应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2最小,把a看作自变量,则y是关于a的二次函数,于是问题转化为求二次函数的最小值.因为y=na2-2(a1+a2+…+an)a+(a12+a22+…+an2),所以当a=(a1+a2+…+an)时,y有最小值.
答案：
(a1+a2+…+an)
17.有一位魔术师猜牌的过程是这样的:表演者手里持有六张扑克牌(不含王牌和牌号数相同
图2-3-7
的牌),让6位观众每人从他手里任意抽取一张,并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号数.牌号数是这样规定的:A为1,J为11,Q为12,K为13,其余的以牌上的数字为准.然后,表演者叫他们按如下方法进行计算:将自己牌号数乘2加上3后乘以5,然后再减去25,把计算的结果告诉表演者(要求数值绝对精确),表演者便能立即准确地猜出你拿的是什么牌.请你利用所学的函数知识解释这种现象.
分析：这里所抽的牌号数与计算的结果满足一次函数关系,所以可分别用两个变量来表示所抽的牌号数与计算结果,只要找到这种对应关系,即可由结果推得牌号数.
解：设牌号数为自变量x,以表演者说的计算方法为对应法则,得函数y=5(2x+3)-25,
①
即y=10x-10.由题意,得定义域为{1,2,3,…,13},
易算出该数值分别为{0,10,20,…,120}.
由①可反解出x=y+1,
②
其中y∈{0,10,20,…,120},x∈{1,2,3,…,13}.所以只要当观众告诉表演者计算结果y时,他可以很快根据这个对应关系求出x,即观众的牌号数.3.1.2
指数函数
同步测控
我夯基,我达标
1.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(
)
A.y=(-4)x
B.y=πx
C.y=-4x
D.y=ax+2（a＞0且a≠1）
解析：从指数函数的定义出发解决此题.
答案：B
2.图3-1-2是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象.则a、b、c、d与1的大小关系是(
)
图3-1-2
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为（1，a）、（1，b）、（1，c）、（1，d），由图象可知纵坐标的大小关系.
答案：B
3.当x>0时，函数f（x）=（a2-1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是(
)
A.1<|a|<
B.|a|<1
C.|a|>1
D.|a|>
解析：由指数函数的图象，可得a2-1>1，
即a2>2，∴|a|>2.
答案：D
4.若函数y=ax+b-1（a>0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有(
)
A.a>1且b<1
B.0C.00
D.a>1且b<0
解析：函数y=ax+b-1（a>0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则必有a>1；
进而可知
答案：D
5.设y1=40.9，y2=80.44，y3=（）-1.5，则(
)
A.y3>y1>y2
B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3
D.y1>y3>y2
解析：把给出的三个函数化为同底的指数式，y1=21.8，y2=21.32，y3=21.5，再根据指数函数y=2x是增函数即可得出y1＞y3＞y2.
答案：D
6.函数y=ax-3+3（a>0且a≠1）恒过定点_____________.
解析：a3-3+3=a0+3=4.
答案：（3，4）
7.已知函数f（x）=ax+a-x（a>0且a≠1），f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值为_________.
解析：f（0）=a0+a0=2，f（1）=a+a-1=3，
f（2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=9-2=7.
∴f（0）+f（1）+f（2）=12.
答案：12
8.函数y=（2m-1）x是指数函数，则m的取值范围是___________.
解析：根据指数函数的定义，y=ax中的底数a约定a＞0且a≠1.
故此2m-1＞0且2m-1≠1，所以m＞且m≠1.
答案：m＞且m≠1
9.函数y=3的值域为__________.
解析：考查指数函数的性质、函数值域的求法.
由于x2+1≥1，而y=3x在（-∞，+∞）上是增函数，
所以y=3+1≥3，即y=3+1的值域为［3，+∞）.
答案：［3，+∞）
10.求函数y=f（x）=（）x-（）x+1，x∈［-3，2］的值域.
分析:将（）x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解.
解：∵f（x）=［（）x］2-（）x+1，x∈［-3，2］，
∴（）2≤（）x≤（）-3，即≤（）x≤8.
设t=（）x，则≤t≤8.
将函数化为f（t）=t2-t+1，t∈［，8］.
∵f（t）=（t）2+，
∴f（）≤f（t）≤f（8）.
∴≤f（t）≤57.
∴函数的值域为［，57］.
我综合,我发展
11.已知f（x）=x（+）.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证:f（x）>0.
分析:以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式.
（1）解：函数的定义域为{x|x≠0}.f(x)=x·,
f（-x）=-x·=-x·
=x·=f（x）.
∴函数为偶函数.
（2）证明：当x>0时，2x>1.
∴2x-1>0.∴f（x）>0.
又f（x）是偶函数，
∴当x<0时，f（x）=f（-x）>0，
即对于x≠0的任何实数x，均有f（x）>0.
12.已知f（x）=＞0，当x∈（-∞，1］时恒成立，求实数a的取值范围.
分析:利用转化的思想，原题化为1+2x+4x·a＞0，再分离参变量得a＞，最后用指数函数的单调性求最值.
解：f（x）＞0在（-∞，1］上恒成立，即1+2x+4x·a＞0在（-∞，1］上恒成立，进一步转化为a＞在（-∞，1］上恒成立.
当且仅当a大于函数g（x）=的最大值时，a＞恒成立.
而g（x）=在（-∞，1］上是增函数,
∴当x=1时，g（x）max==.
因此，所求a的取值范围为a＞.
13.关于x的方程（）x=有负根，求实数a的取值范围.
分析:灵活运用指数函数的性质解决问题.应注意当得出＞1时,不能化简成3a+2>5-a,而应化简成<0,从而求出实数a的取值范围.
解：∵方程（）x=有负根，∴x＜0.
∵x＜0，0＜＜1，
∴（）x＞1.
∴＞1，解得＜a＜5.
1.4已知a、b∈R+，且a≠b，试求函数f（x）=［a2x+（ab）x-2b2x］的定义域.
分析:求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的字母x的取值范围，因此，函数f（x）的定义域就是不等式a2x+（ab）x-2b2x＞0的解集.
解：a2x+（ab）x-2b2x＞0等价于（）2x+（）x-2＞0.
∴［（）x+2］［（）x-1］＞0.
∵（）x+2恒为正，
∴（）x-1＞0.∴（）x＞1.
①当a＞b时，＞1，∴x＞0.
∴函数f（x）的定义域为R+.
②当a＜b时，0＜＜1，∴x＜0.
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}.
15.设a是实数，f(x)=(x∈R)，求证：对于任意a,f(x)均为增函数.
分析:问题形式较为复杂，也应严格按照单调性的定义进行证明.如果只要求指出函数的单调区间则不一定用单调性定义来证明，要注意不同要求时各类问题的解答方法的差别.
证明:设x1、x2∈R,且x1f(x1)-f(x2)=
=
=.
∵指数函数y=2x在R上是增函数,x1∴2<2，即2-2<0.
∵2x>0,
∴2+1>0，2+1>0.
∴<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∵此结论与a的取值无关，
∴对于a取任意实数，f(x)均为增函数.
16.已知函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈［-1,1］,m+n≠0,>0.
(1)求证：f(x)在［-1,1］上是增函数；
(2)解不等式f(x+)(3)若f(x)≤4t-3·2t+3对所有x∈［-1,1］恒成立,求实数t的取值范围.
分析:（1）利用定义法证明单调性；（2）利用函数f(x)的单调性解不等式；（3）转化为求f(x)的最大值.
(1)证明：任取-1≤x1∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=·(x1-x2).
∵>0,x1-x2<0,
∴f(x1)∴f(x)在［-1,1］上是增函数.
(2)解：f(x+)(3)解：由（1）知f(x)在［-1,1］上是增函数，且f(1)=1，
∴x∈［-1,1］时，f(x)≤1.
∵f(x)≤4t-3·2t+3对所有x∈［-1,1］恒成立，
∴4t-3·2t+3≥1恒成立.
∴(2t)2-3·2t+2≥0，即2t≥2或2t≤1.
∴t≥1或t≤0.
我创新,我超越
1.7设f（x）=，若0（1）f（a）+f（1-a）=____________;
（2）f（）+f（）+f（）+…+f（）=__________.
解析：（1）f（a）+f（1-a）=+
=+=+
==1.
（2）f（）+f（）+f（）+…+f（）
=［f（）+f（）］+［f（）+f（）］+…+［f（）+f（）］
=500×1=500.
答案：（1）1
（2）500
18.定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证:f（0）=1；
（2）求证:对任意的x∈R，恒有f（x）>0；
（3）求证:函数y=f（x）是R上的增函数.
分析:本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x理清解答的思路和方法.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中利用“f（x2）=f［（x2-x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略.
证明:（1）取a=b=0，则f（0）=f2（0）.
∵f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）当x≥0时，f（x）≥1>0成立，
当x<0时，-x>0，f（0）=f（x-x）=f（x）·f（-x）=1，
∴f（x）=>0.
∴x∈R时，恒有f（x）>0.
（3）证法一：设x10.
∴f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）·f（x1）.
∵x2-x1>0，∴f（x2-x1）>1.
又f（x1）>0，∴f（x2-x1）·f（x1）>f（x1）,即f(x2)>f(x1).
∴f（x）是R上的增函数.
证法二：也可以设x2=x1+t（t>0），f（x2）=f（x1+t）=f（x1）·f（t）>f（x1）.
或者设x11.
又f（x1）>0，f（x2）>0，∴f（x2）>f（x1）.1.2
集合之间的关系与运算
同步测控
我夯基,我达标
1.集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是(
)
A.16
B.8
C.7
D.4
解析：根据集合A中所含元素的个数来判断.A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个,故选C.
答案：C
2.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为(
)
A.x=3,y=-1
B.(3,-1)
C.{3,-1}
D.{(3,-1)}
解析：首先搞清M、N中元素是点,M∩N首先是集合,并且其中元素也是点,即可选D项.
答案：D
3.已知集合A={0,1},B={y|x2+y2=1,x∈A},则…(
)
A.A=B
B.AB
C.BA
D.BA
解析：∵x∈A,∴x=0或x=1.
又∵x2+y2=1,∴x=0,y=±1或x=1,y=0.
∴B={-1,0,1}.∴A?B.故选B.
答案：B
4.满足条件{1,2}A{1,2,3,4}的集合A的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：∵{1,2}A{1,2,3,4},
∴A中至少有1、2两个元素,至多有1、2、3(4)三个元素.
∴集合A可能有三种情况:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.
∴集合A的个数是3.故选C.
答案：C
5.设M={x|x=a2+1,a∈N
},P={y|y=b2-4b+5,b∈N
},则下列关系正确的是(
)
A.M=P
B.MP
C.PM
D.M∩P=
解析：∵a∈N
,∴x=a2+1=2,5,10,….
∵b∈N
,∴y=b2-4b+5=(b-2)2+1=1,2,5,10,….
∴MP.故选B.
答案：B
6.下列各组中的两个集合P和Q,表示同一集合的是(
)
A.P={1,,π},Q={π,1,||}
B.P={π},Q={3.141
59}
C.P={2,3},Q={(2,3)}
D.P={x|-1解析：只要两个集合的元素完全相同,这两个集合就表示同一集合.{π,1,|-3|}={π,1,3}={1,3,π},所以A正确;由于π≠3.141
59,所以B错误;集合{2,3}中的元素是实数,而集合{(2,3)}中的元素是点,所以C错误;集合{x|-1答案：A
7.设集合A={-3,0,1},B={t2-t+1}.若A∪B=A,则t=___________.
解析：由A∪B=A,知BA,∴t2-t+1=-3,或t2-t+1=0,或t2-t+1=1,前2个方程无解;第3个解得t=0或t=1.
答案：0或1
8.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x>a},且满足A∩B=,则实数a的取值范围是__________.
解析：借助于数轴求得.画出数轴得a≥1.
答案：a≥1
9.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个？
分析:将这200个数分为满足题设条件和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,所以可考虑用扣除法.
解：如图,先画出Venn图如下,
其中2的倍数的数有100个;3的倍数的数有66个;5的倍数的数有40个;既是2的倍数,又是5的倍数的数有20个;既是2的倍数,又是3的倍数的数有33个;既是3的倍数,又是5的倍数的数有13个;既是2的倍数,又是3的倍数,还是5的倍数的数有6个.
所以不符合条件的数共有100+66+40-20-33-13+6=146.
所以,既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的数共有200-146=54(个).
10.已知集合P={a,a+d,a+2d},Q={a,aq,aq2},其中a≠0,且P=Q,求q的值.
分析:本题是以集合P=Q为载体,列方程求未知数的值的问题,而集合中的元素具有无序性,由P=Q知,第一个集合中的元素a不可能与后面元素中的任何一个元素相等,再看第一个集合中的元素a+d,其不可能与第二个集合中的元素a相等,除此以外,可能的对应情况为或解方程组,得出解后验证可得正确结论.
解：由P=Q,假设
②-①,得d=aq(q-1),
代入①得a+aq(q-1)=aq.
∵a≠0,∴方程可化为(q-1)2=0,解得q=1.
于是a=aq=aq2,与集合中元素的互异性相矛盾,故只能是解得q=或q=1.
经检验q=1不符合要求,舍去.∴q=.
我综合,我发展
11.(2006江苏高考,7)若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有(
)
A.AC
B.CA
C.A≠C
D.A=
解析：因为AA∪B且C∩BC,A∪B=C∩B,由此得AC.
答案：A
12.同时满足(1)M{1,2,3,4,5},(2)若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有(
)
A.32个
B.15个
C.7个
D.6个
解析：∵M{1,2,3,4,5},a∈M,则6-a∈M,
∴1、5应同属于M,2、4也应同属于M,3可单独出现.
∴集合M的情况有七种:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.故选C.
答案：C
13.集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=+,p∈Z},则M、N、P之间的关系是(
)
A.M=NP
B.MN=P
C.MNP
D.NP=M
解析：思路一:可简单列举集合中的元素.
思路二:从判断元素的共性和差异入手.
M={x|x=,m∈Z},
N={x|x==,n∈Z},
P={x|x=,p∈Z}.
由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,
而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P.
答案：B
14.定义集合A
B={x|x∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则
(1)A
B的子集为__________;
(2)A
(A
B)=__________.
解析：(1)A
B={1,7},其子集为,{1},{7},{1,7}.
(2)A
(A
B)={3,5}.
答案：(1),{1},{7},{1,7}
(2){3,5}
15.某车间有120人,其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人,两车都乘的18人,求:
(1)只乘电车的人数;
(2)不乘电车的人数;
(3)乘车的人数;
(4)不乘车的人数;
(5)只乘一种车的人数.
分析:解题的关键是把文字语言转化为集合语言,借助于Venn图的直观性把它表示出来,再求解.
解：根据题意,画出Venn图如图所示:
由图,可知(1)只乘电车的人数为66人;(2)不乘电车的人数为120-84=36人;(3)乘车的人数为84+14=98人;(4)不乘车的人数为120-98=22人;(5)只乘一种车的人数为66+14=80人.
16.设I={1,2,3,…,9},已知:
(1)(A)∩B={3,7},
(2)(B)∩A={2,8},
(3)(A)∩(B)={1,5,6},求集合A和B.
分析:通常的题目是首先给出集合,然后求集合的交、并、补等运算结果.本题恰恰相反,先给出了集合A、B的运算结果,然后要求求集合A、B.可以借助Venn图把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.
解：用Venn图表示集合I、A、B的关系,如图所示的有关区域分别表示集合A∩B,(A)∩B,A∩(B),(A)∩(B),并填上相应的元素,可得A={2,4,8,9},B={3,4,7,9}.
我创新,我超越
17.设集合M={x|m≤x≤m+},N={x|n≤x≤n},且M、N都是{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N的“长度”的最小值.
分析:吃透定义是解决定义型创新题目的关键,本题所谓“长度”定义就是闭区间表示在数轴上两端点数据之差的绝对值的大小,也可以看作是闭区间表示在数轴上两端点的距离大小.
解：由已知可知集合M的“长度”为,集合N的“长度”为.若使集合M∩N的“长度”最小,则集合M与N的公共部分就要最少.如图,当集合M的左端点与0重合,?螻的右端点与1重合时,使集合M与N的公共部分达到最少,即集合M∩N的“长度”的最小值是+-1=.
18.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体人数的,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的人数多3人,其余的不赞成;另外对A、B都不赞成的学生人数比对A、B都赞成的学生人数的多1人,问A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
分析:解题的关键是把文字语言转化成集合语言,借助于维恩图的直观性把它表示出来,再根据集合中元素的互异性求出问题的解.
解：如图所示,设50名学生为全集U,所以赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33人,设对A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,则赞成A不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x,所以由题意,得
(30-x)+(33-x)+x++1=50.∴x=21,+1=8.
所以对A、B都赞成的人数为21人,对A、B都不赞成的有8人.
19.已知三个集合E={x|x2-3x+2=0},F={x|x2-ax+(a-1)=0},G={x|x2-3x+b=0}.问:同时满足FE,GE的实数a和b是否存在 若存在,分别求出a、b所有值的集合;若不存在,请说明理由.
分析:将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系,从而求得a、b的值.
解：(1)由已知,得E={1,2},又∵FE,∴F=或{1}或{2}.
①当F=时,即方程x2-ax+(a-1)=0无解.
∴Δ=a2-4(a-1)<0,
即(a-2)2<0,无解.∴F不可能为,即F≠.
②当F={1}时,即方程x2-ax+(a-1)=0有两相等的实根1,
由根与系数的关系,知
∴a=2,即a=2时,FE.
③当F={2}时,即方程x2-ax+(a-1)=0有两相等的实根2.
由根与系数的关系,知
∴∴a无解,即不存在a的值使FE.
综上,a=2时,FE.
(2)当GE且E={1,2}时,G=或{1}或{2}或{1,2}.
①当G=时,即方程x2-3x+b=0无解.
∴Δ=9-4b<0.∴b>,此时GE.
②当G={1}时,即方程x2-3x+b=0有两相等的根1.
由根与系数的关系,知矛盾.
③当G={2}时,同理,矛盾.
④当G={1,2}时,即方程x2-3x+b=0有两异根为1、2.
由根与系数的关系,知∴b=2.
综上,知b=2或b>时,GE.
综合(1)(2),知同时满足FE,GE的a、b的值存在,为a=2,b=2或b>.
适合条件的a、b集合分别为{2}、{b|b=2或b>}.3.2.2
对数函数
3.2.3
指数函数与对数函数的关系
同步测控
我夯基,我达标
1.当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象是(
)
图3-2-3
解析：首先把y=a-x化为y=（）x，
∵a＞1，∴0＜＜1.
因此y=（）x，即y=a-x的图象是下降的，y=logax的图象是上升的.
答案：A
2.已知0＜x＜y＜a＜1，则有(
)
A.loga（xy）＜0
B.0＜loga（xy）＜1
C.1＜loga（xy）＜2
D.loga（xy）＞2
解析：∵0＜x＜a＜1，
∴logax＞logaa=1.又0＜y＜a＜1，
∴logay＞logaa=1.
∴logax+logay=loga（xy）＞2.
答案：D
3.若函数y=f（x）的定义域为［，2］，则函数y=f（log2x）的定义域为(
)
A.［-1,1］
B.［,2］
C.［1,2］
D.［,4］
解析：由题意得≤log2x≤2,即log2≤log2x≤log24.
解得≤x≤4.
答案：D
4.若定义在（-1，0）上的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）>0，则a的取值范围是(
)
A.(0,)
B.(0,］
C.(,+∞)
D.(0,+∞)
解析：当x∈（-1，0）时，有x+1∈（0，1），
此时要满足f（x）>0，只要0<2a<1即可.
由此解得0答案：A
5.函数y=loga（x-2）+1（a＞0且a≠1）恒过定点________.
解析：若x-2=1，则不论a为何值，只要a＞0且a≠1，都有y=1.
答案：（3，1）
6.函数f（x）=log（a-1）x是减函数，则a的取值范围是_________.
解析：注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不等式求a.
由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2.
答案：1＜a＜2
7.求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=(a>0,a≠1).
分析:解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式组，解之即可.
(1)若函数解析式中含有分母，则分母不等于0；
(2)若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；
(3)0的0次幂没有意义；
(4)若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.
求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
解：(1)由32x-1≥0,得32x-1≥3-3.
∴2x-1≥-3.
∴x≥-1.
∴函数的定义域为［-1,+∞).
(2)由0≤x<1.
∴函数的定义域为［0,1).
(3)由
得
①
当a>1时,-a<-1,由①,得x+a∴x<0.
∴定义域为(-a,0).
当0由①,得x+a>a.∴x>0.
∴定义域为(0,+∞).
故所求定义域是:当01时,x∈(-a,0).
8.已知f（x）=1+logx3，g（x）=2logx2，试比较f（x）与g（x）的大小.
分析:要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f（x）与g（x）的正负不确定，所以采取作差比较法.
解：f（x）和g（x）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞）.
f（x）-g（x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.
（1）当0＜x＜1时，0＜x＜<1.
此时logxx＞0，即0＜x＜1时，f（x）＞g（x）.
（2）当x＞1时，若x＞1，即x＞，
此时logxx＞0，
即x＞时，f（x）＞g（x）；
若x=1，即x=，此时logxx=0，
即x=时，f（x）=g（x）；
若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＜0，
即1＜x＜时，f（x）＜g（x）.
综上所述，当x∈（0，1）∪（，+∞）时，f（x）＞g（x）；
当x=时，f（x）=g（x）；当x∈（1，）时，f（x）＜g（x）.
我综合,我发展
9.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在［2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是(
)
A.（-∞，4）
B.（-4，4］
C.（-∞，-4）∪［2，+∞）
D.［-4，4）
解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.
令u（x）=x2-ax+3a，其对称轴为x=.
由题意有
解得-4答案：B
10.函数y=lg的图象大致是(
)
图3-2-4
解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点构成函数的图象，所以可取特殊点（2，0）、（，1）;②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为（1，+∞），在定义域上函数为减函数.
答案：A
11.若函数f（x）=logax（0)
A.
B.
C.
D.
解析：本题关键是利用f（x）的单调性确定f（x）在［a，2a］上的最大值与最小值.
f（x）=logax（0当x∈［a，2a］时，f（x）max=f（a）=1，f（x）min=f（2a）=loga2a.
根据题意，得3loga2a=1，即loga2a=，
所以loga2+1=，即loga2=.
故由a=2,得a=2=.
答案：A
12.(2006福建高考,理8)函数y=log2(x>1)的反函数是(
)
A.y=(x>0)
B.y=(x<0)
C.y=(x>0)
D.y=(x<0)
解析：将对数式换成指数式,得2y=(x>1)?x=>12y>1y>0，
故所求的反函数为y=(x>0).
答案：A
13.loga<1，则a的取值范围是________.
解析：当a>1时，loga<1=logaa.
∴a>.又a>1，∴a>1.
当0∴a<.又0答案：（0，）∪（1，+∞）
14.函数f（x）=loga（a>0且a≠1），f（2）=3，则f（-2）的值为__________.
解析：∵f（-x）=loga=-loga=-f(x).
∴函数为奇函数.
∴f（-2）=-f（2）=-3.
答案：-3
15.求函数f（x）=log2+log2（x-1）+log2（p-x）的值域.
分析:求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.
解：f（x）的定义域为∴
∴
∵函数定义域不能是空集，
∴p＞1，定义域为（1，p）.
而x∈（1，p）时，f（x）=log2（x+1）（p-x）=log2［-x2+（p-1）x+p］=log2［-（x）2+（）2］.
（1）当0＜≤1，即1＜p≤3时，0＜（x+1）（p-x）＜2（p-1）.
∴f（x）的值域为（-∞，log22（p-1））.
（2）当1＜＜p，即p＞3时，0＜（x+1）（p-x）≤（）2.
∴函数f（x）的值域为（-∞，2log2（p+1）-2］.
16.已知f（x）=lg（ax-bx）（a>1>b>0）.
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x轴.
分析:对于（2）的判断可借助函数图象,思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.
解：（1）由ax-bx>0，得（）x>1=（）0.
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为（0，+∞）.
（2）先证明f（x）是增函数.
对于任意x1>x2>0，
∵a>1>b>0，
∴a>a，b∴a-b>a-b.
∴lg（a-b）>lg（a-b）.
∴f（x1）>f（x2）.
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数.
假设y=f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使直线AB平行于x轴，
则x1≠x2，y1=y2，这与f（x）是增函数矛盾.
∴y=f（x）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.
我创新,我超越
17.已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)［f(x)+f(2)-1］.若y=g(x)在区间［,2］上是增函数，则实数a的取值范围是(
)
A.［2,+∞)
B.(0,1)∪(1,2)
C.［,1)
D.(0,］
解析：∵y=f(x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,
∴f(x)=logax(x>0).
g(x)=f(x)［f(x)+f(2)-1］
=f2(x)+f(x)loga.
令f(x)=t.因为g(x)在［,2］上单调递增,
①当a>1时,f(x)单调递增,t∈［loga,loga2］,g(t)=t2+loga·t,
则loga≥loga满足题意.
解得a∈.
②当0则loga≤loga满足题意.
解得a∈(0,］.
综合①②可得a∈(0,］.
答案：D
18.已知函数f(x)=()x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题：
（1）h(x)的图象关于原点对称；
（2）h(x)为偶函数；
（3）h(x)的最小值为0；
（4）h(x)在（0，1）上为减函数.
其中正确命题的序号为_______.（将你认为正确的命题的序号都填上）
解析：根据题意，得g(x)=logx,
∴h(x)=g(1-|x|)=log(1-|x|)(-1∴h(x)是偶函数，h(x)不关于原点对称.
∴（1）不正确；（2）正确.
∵h(x)=log
(1-|x|)≥log1=0，
∴（3）正确.
∵u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=logu为减函数,
∴f(x)为增函数.
∴（4）不正确.
答案：(2)(3)
19.已知函数f(x)=ln(ax-kbx)(k>0,a>1>b>0)的定义域为（0，+∞），是否存在这样的a、b,使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值，且f（3）=ln4？若存在，试求出a、b的值，若不存在，试说明理由.
分析:对于探索性问题中的存在性问题，往往是先假设存在符合题设的条件，然后综合运用已知条件和数学思想方法步步推导，直到找出与题中的条件、定理、公理相符或矛盾的结果，从而得出上述假设肯定或否定的结论.
解：∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴不等式ax-kbx>0的解集为（0，+∞），该不等式化为()x>k.
∵不等式的解集为（0，+∞），∴k=1.
从而f（x）=ln(ax-bx).
若存在满足题设的a、b，则f（3）=ln(a3-b3)=ln4.
ln(ax-bx)>0对一切x＞1恒成立，易证得f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），又f（x）＞0恰在（1，+∞）上成立，
即ln（a-b）=0，
∴a-b=1.
①
又f（3）=ln(a3-b3)=ln4，∴a3-b3=4.
②
由①②组成方程组，并注意到a>1>b>0，
解得a=,b=.
故存在满足题设中的a、b.
20.已知函数f(x)=loga［(-2)x+1］在区间［1，2］上恒为正，求实数a的取值范围.
分析:f（x）是对数函数，g（x）为一次函数，影响对数函数的单调性的参数是底数a，影响一次函数的单调性的参数是一次项系数-2，所以必须对这些量进行讨论.
解：(1)当a>1时，只需(-2)x+1>1，
即(-2)x>0，
∵1≤x≤2，
∴-2>0，即a<,与a>1矛盾.
(2)当0①当a=时，g（x）=1，f（x）=0，不合题意;
②当00，g（x）是增函数，只要g（1）＞0且g（2）＜1，解得③当综上所述，a∈(,).2.1.3
函数的单调性
同步测控
我夯基,我达标
1.函数y=3x+2的单调增区间是(
)
A.(-∞,］
B.［,］
C.［,+∞)
D.(-∞,+∞)
解析：对于a>0的一次函数,它在定义域范围内为增函数.
答案：D
2.关于函数y=x2-2x+10的单调性的表述正确的是(
)
A.在(-∞,+∞)上递增
B.在(-∞,1］上递增
C.在(-∞,1)上递减
D.在［1,+∞)上递减
解析：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),对称轴为x=,当a>0时,在区间(-∞,］上是单调递减函数,在区间［,+∞)上是单调递增函数.简称为“a>0,左减右增”;当a<0时,在区间(-∞,］上是单调递增函数,在区间［,+∞)上是单调递减函数.简称为“a<0,左增右减”.
答案：C
3.关于函数y=的单调性的表述正确的是…
(
)
A.在(-∞,0)上增加,在(0,+∞)上减少
B.在(-∞,0)∪(0,+∞)上减少
C.在［0,+∞)上减少
D.在(-∞,0)和(0,+∞)上都减少
解析：对于反比例函数y=(k≠0),当k>0时,在区间(-∞,0)上是单调递减函数,在区间(0,+∞)上也是单调递减函数,这种函数的单调区间只能分开写;当k<0时,在区间(-∞,0)上是单调递增函数,在区间(0,+∞)上也是单调递增函数.
答案：D
4.关于函数y=kx+b,下列论述错误的是(
)
A.单调性只与k有关
B.不论k>0,还是k<0,函数的单调性不变
C.在(-∞,0］上单调增加的前提是k>0
D.当k>0时,函数在(-∞,+∞)上增加
解析：根据一次函数的单调情况,它与x的系数k的符号有关,当k>0时,它在(-∞,+∞)上是单调递增函数;当k<0时,它在(-∞,+∞)上是单调递减函数.
答案：B
5.函数y=x2+ax+7在［1,+∞)上增加,则实数a的取值范围是___________.
解析：二次函数的单调区间取决于该函数的二次项系数a的符号以及它的对称轴.a>0,左减右增,所给区间为其单调增区间的一个子区间,即≤1.所以a≥-2.
答案：a≥-2
6.已知函数y=在(0,+∞)上单调增加,则实数k的取值范围是___________.
解析：反比例函数的单调区间取决于该函数的系数k的符号.当k<0时,在区间(-∞,0)上是单调递增函数,在区间(0,+∞)上也是单调递增函数.所以该函数的系数2k-1<0.
答案：k<
7.求函数f(x)=x+的单调区间.
分析：按照定义去判断单调性时,我们可以用口诀“同向则增,异向则减”帮助理解.
解：设x1、x2∈(0,1］,且x1∵00.
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x)在(0,1］上是减函数,同理可证f(x)在［1,+∞)及(-∞,-1］上是增函数,f(x)在［-1,0)上是减函数.
我综合,我发展
8.函数f(x)是［0,+∞)上的单调递减函数,f(x)≠0且f(2)=1,求函数F(x)=f(x)+在［0,2］上的单调性.
分析：函数f(x)没有给出解析式,因此对F(x)的函数值作差后,需由f(x)的单调性,确定作差后的符号.
解：任取0≤x1F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)
=f(x1)-f(x2)+
=［f(x1)-f(x2)］·［1］.
∵0≤x1∴f(x1)>f(x2)≥f(2)=1.
∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)·f(x2)>1,<1,1>0.
∴F(x1)-F(x2)>0,F(x1)>F(x2).
∴F(x)是［0,2］上的单调递减函数.
9.已知f(x)是定义在［-1,1］上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈［-1,1］,m+n≠0,
>0.
(1)用定义证明f(x)在［-1,1］上是增函数;
(2)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈［-1,1］,a∈［-1,1］恒成立,求实数t的范围.
分析：本题给出的是抽象函数,进行适当的转化是解题的关键.
(1)证明:>0说明f(m)+f(n)与m+n同号,
①如果m+n>0,则f(m)+f(n)>0,也即m>-n时有f(m)>-f(n)=f(-n);
②如果m+n<0,则f(m)+f(n)<0,也即m<-n时有f(m)<-f(n)=f(-n);
显然只要m>-n就有f(m)>f(-n),根据m、n的任意性知函数在[-1,1]上是增函数.
(2)解：f(x)在[-1,1]上是增函数,所以f(x)≤f(1)=1,
显然t=0时f(x)≤1成立;
t≠0时,f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,
即转化为1≤t2-2at+1对所有a∈[-1,1]恒成立,
即转化为0≤t2-2at对所有a∈[-1,1]恒成立,
所以只要即可,解得t≤-2或t≥2.
所以t≤-2或t=0或t≥2.
10.设f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］,F(x)=g(x)-λf(x),问是否存在实数λ,使F(x)在区间(-∞,)上是减函数且在区间(,0)上是增函数？
分析：这是一个存在性问题,我们处理这种题型时,应当首先假设所求参数存在.
解：f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］,F(x)=g(x)-λf(x),
由f(x)=x2+1,g(x)=f［f(x)］,得g(x)=(x2+1)2+1,
∴F(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ.
不妨设存在实数λ的值,使F(x)满足题设,则任取x1-x2>0,x12>x22,
F(x1)-F(x2)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ).
(1)当x1、x2∈(-∞,)时,∵F(x)单调递减,
∴F(x1)>F(x2).
∴x12+x22+2-λ>0,
而x12+x22>+=1,所以只需λ≤3.
(2)当x1、x2∈(,0)时,
∵F(x)单调递增,
∴F(x1)而x12+x22<1,所以只需λ≥3.
综合(1)(2)知,当λ=3时,F(x)符合题意.
11.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图2-1-15(1)的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2-1-15(2)的抛物线段表示.
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t);
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大？
图2-1-15
(注:市场售价和种植成本的单位:元/102
kg,时间单位:天)
分析：本题主要考查由一次、二次函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力.(1)由函数的图象,可知函数P=f(t)是分段函数,并且每一段上均是一次函数,函数Q=g(t)是二次函数,故用待定系数法求函数关系式;(2)纯收益是上市时间的函数,这个函数也是分段函数,其最值是在每段上的最大值中的最大值.
解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)=
由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t-150)2+100,0≤t≤300.
(2)设西红柿上市t天后的纯收益为h(t),则由题意得h(t)=f(t)-g(t).
h(t)=
当0≤t≤200时,配方整理得h(t)=(t-50)2+100,
所以,当t=50时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值100;
当200所以,当t=300时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.
综上所得,由100>87.5,可知h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.
我创新,我超越
12.如图2-1-16,正方形ABCD的顶点
图2-1-16
A(0,),B(,0),顶点C、D位于第一象限.直线l:x=t(0≤t≤2)将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧部分的面积为f(t),则函数S=f(t)的图象大致是(
)
图2-1-17
解析：判断函数S=f(t)的图象可以用“观察法”,直线l在运动到点B之前,左侧的面积增大的速度是越来越快,而过了点B之后,左侧的面积增大的速度是越来越慢.而速度的快慢反映在图象上就是陡与缓.当然也可以根据题意求出函数解析式,用描点法画出函数图象.
答案：C
13.设0解析：y=,当0答案：4
14.设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x
∈(0,1),使得f(x)在［0,x
］上单调递增,在[x
,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x
为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).
求证:对任意的x1、x2∈(0,1),x1分析：因为f(x)为[0,1]上的单峰函数,故含峰区间内必含有峰点x
,若不是含峰区间,则必然单调,而单调性便于研究自变量大小与函数值大小的相关性,因此本题可采用反证法证明.
证明:设x
为f(x)的峰点,则由单峰函数定义,可知f(x)在[0,x
]上单调递增,在[x
,1]上单调递减.
当f(x1)≥f(x2)时,假设x
(0,x2),则x1,从而f(x
)>f(x2)>f(x1),
这与f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x
∈(0,x2),即(0,x2)是含峰区间.
当f(x1)≤f(x2)时,假设x
(x1,1),则x
)>f(x1)>f(x2),
这与f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x
∈(x1,1),即(x1,1)是含峰区间.2.1.4
函数的奇偶性
2.1.5
用计算机作函数的图象
同步测控
我夯基,我达标
1.已知y=f(x)是偶函数,且图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是(
)
A.4
B.2
C.1
D.0
解析：因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点,这四个交点每两个关于原点一定是对称的,故x1+x2+x3+x4=0.
答案：D
2.已知函数f(x)(x∈R),满足f(-x)=f(x),则下列各点中必在函数y=f(x)图象上的是(
)
A.(-a,f(a))
B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a))
D.(a,-f(a))
解析：∵f(-x)=f(x),∴f(-a)=f(a),即(-a,f(a))在函数f(x)的图象上.
答案：A
3.函数y=的奇偶性为(
)
A.非奇非偶函数
B.既是奇函数,又是偶函数
C.奇函数,不是偶函数
D.偶函数,不是奇函数
解析：先求函数的定义域得
∴定义域为{x|-2≤x<0或0∴f(x)=,
即f(x)=.
所以f(-x)==-f(x).
答案：C
4.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于…(
)
A.0.5
B.-0.5
C.1.5
D.-1.5
解析：由已知,可得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-［-f(3.5)］=f(3.5)=f(2+1.5)
=-f(1.5)=-f(2-0.5)=-［-f(-0.5)］=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
答案：B
5.若函数y=f(x)的定义域是［0,1］,则下列函数中,可能是偶函数的是(
)
A.y=［f(x)］2
B.y=f(2x)
C.y=f(|x|)
D.y=f(-x)
解析：y=［f(x)］2的定义域为［0,1］,y=f(2x)的定义域为［0,］,y=f(|x|)的定义域为［-1,1］,y=f(-x)的定义域为［-1,0］.只有y=f(|x|)可能是偶函数.
答案：C
6.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若a<0且a+b>0,则(
)
A.f(a)>f(b)
B.f(a)=f(b)
C.f(a)D.f(a)与f(b)的大小不确定
解析：∵a<0且a+b>0,
∴b>-a>0.
又函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴f(b)又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(b)答案：A
7.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=__________.
解析：思路一:设g(x)=x5+ax3+bx,x∈R,
∵g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.
而f(x)=g(x)-8,
又f(-2)=g(-2)-8=10,
∴g(2)=-g(-2)=-18.
∴f(2)=g(2)-8=-26.
思路二:由题设有f(x)+f(-x)=-16,
∴f(2)+f(-2)=-16.
又∵f(-2)=10,
∴f(2)=-16-10=-26.
答案：-26
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+),求f(x)的解析式.
分析：已知给定区域的解析式,求对称区域的解析式的问题,通常做法如下:(1)设所求的区域上的自变量x;(2)由自变量x的相反数为给定区域,可得f(-x)的解析式;(3)借助于函数的奇偶性,得到f(-x)与f(x)的关系,进而求得f(x)的解析式.
解：∵f(x)是奇函数,
∴f(x)=-f(-x).
当x=0时,f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=-x(1+).
∴f(x)=-f(-x)=x(1).
∴f(x)=
我综合,我发展
9.奇函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-3)和f(-4)由小到大的顺序是________.
解析：奇函数在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上也单调递增,
∵-3<-4<-2,
∴f(-3)答案：f(-3)10.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是_____________.
解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,故函数在(0,+∞)上为增函数,又由于f(2)=0,所以当x>0时,f(x)<0即f(x)答案：(-2,2)
11.已知奇函数f(x)=
图2-1-18
(1)求实数m的值,并在给出图2-1-18的直角坐标系中画出y=f(x)的图象;
(2)若函数f(x)在区间[-1,|a|-2]上单调递增,试确定a的取值范围.
分析：(1)利用奇函数的性质f(-x)=-f(x)得m的值,画函数y=f(x)的图象时要注意各段解析式的区别.(2)根据图象得函数的单调递增区间,则区间[-1,|a|-2]是函数单调递增区间的子集.
解：(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x.
∴f(x)=x2+2x.
∴m=2.
函数y=f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知f(x)=
由图象,可知f(x)在[-1,1]上单调递增,要使f(x)在[-1,|a|-2]上单调递增,则有[-1,|a|-2]?[-1,1],所以有|a|-2>-1,|a|-2≤1.
解之,得-3≤a<-1或112.判断f(x)=的奇偶性.
分析：分段函数的奇偶性的判断一定要注意全面考查定义域,要紧扣奇函数、偶函数的定义:对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,若都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数,若都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
解：函数的定义域为R,关于原点对称.
当x<-1时,f(x)=x+2,则-x>1,f(-x)=x+2,这就是说对于任意的x<-1,均有f(-x)=f(x)成立;
当x>1时,f(x)=-x+2,则-x<-1,f(-x)=-x+2,这就是说对于任意的x>1,均有f(-x)=f(x)成立;
当-1≤x≤1时,f(x)=0,f(-x)=f(x)成立,综上可知,函数f(x)是偶函数.
13.已知函数f(x)=x+,且f(1)=2.
(1)求m;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)判断函数f(x)在［1,2］上的单调性,并求函数f(x)在［1,2］上的最值.
分析：判断函数的奇偶性,首先观察函数的定义域是否关于原点对称,然后判断f(-x)与f(x)的关系;而证明在某一区间上的单调性,常用定义进行证明,由于单调函数在闭区间内肯定有最值,可根据单调性求出最值.
解：(1)f(1)=1+m=2,解得m=1.
(2)f(x)=x+,f(-x)=-x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(3)设x1、x2是［1,2］上的任意两个实数,且x1f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+()=x1-x2=(x1-x2).
当1≤x11,x1x2-1>0,从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)=+x在［1,2］上为增函数,其最小值为f(1)=2,最大值为f(2)=.
我创新,我超越
14.定义=x(x+1)(x+2)…(x+n-1),其中x∈R,n∈N
,试判断函数f(x)=的奇偶性.
分析：以新定义为信息的题目,审题时一定要理解题目所给出的新的数学定义,并与已有相关知识融合在一起来解决.
解：由题目所给的定义,可知
f(x)=
=(x-1
003)(x-1
002)(x-1
001)…(x-1)x(x+1)…(x+1
001)(x+1
002)(x+1
003)
=x(x2-12)(x2-22)…(x2-1
0012)(x2-1
0022)(x2-1
0032).
f(-x)=(-x)［(-x)2-12］［(-x)2-22］…［(-x)2-1
0012］［(-x)2-1
0022］［(-x)2-1
0032］
=-x(x2-12)(x2-22)…(x2-1
0012)(x2-1
0022)(x2-1
0032)=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.又f(x)不恒等于零,所以f(x)是奇函数不是偶函数.
15.已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在［0,+∞)上为增函数,如果f()=1,解不等式-1分析：对抽象不等式,常把常数看成某些变量的函数值,再利用函数的性质去“外层包装”,取出x,化成一元一次或二次不等式求解.
解：∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,f()=-f()=-1.
由-1又∵f(x)在［0,+∞)上是增函数,则f(x)在(-∞,0］上也是增函数.
∴<2x+1≤0,得∴不等式的解集为{x|一次函数和二次函数
同步测控
我夯基,我达标
1.二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么…(
)
A.f(2)>f(3)
B.f(2)C.f(2)=f(3)
D.f(2)与f(3)的大小关系不能确定
解析：二次函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关,结合对称轴的位置即可得到答案.
答案：C
2.已知函数y=ax+b和y=ax2+bx+c,那么它们的图象可能是(
)
图2-2-2
解析：在看每一个选项的时候,先假设其中一条曲线的位置是正确的,由此观察出a、b、c的符号,然后再去看另一个函数的图象的位置是否正确,继而得到答案.
答案：C
3.若二次函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］,值域为［,-4］,则m的取值范围是(
)
A.［0,4］
B.［,4］
C.［,3］
D.［,+∞)
解析：易知f(0)=-4,f()=,又因为对称轴为x=,故f(3)=-4,结合图形不难得到答案.
答案：C
4.设二次函数y=ax2+bx+c,对任意的实数t都有f(2+t)=f(2-t)成立,在函数值f(2)、f(1)、f(-1)、f(5)中,最小的一个不可能是(
)
A.f(2)
B.f(1)
C.f(-1)
D.f(5)
解析：由f(2+t)=f(2-t)成立,知二次函数的对称轴为x=2,易知函数在(-∞,2)上为单调函数,同时注意到开口方向不定,故f(1)不可能最小.
答案：B
5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间［1,2］上都是减函数,则a的取值范围是(
)
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(0,1］
C.(0,1)
D.(0,1］
解析：二次函数的单调区间与其对称轴有关.因为f(x)=-x2+2ax二次项系数为负,即在对称轴左侧为增函数,在对称轴右侧为减函数.即在［a,+∞)上为减函数,又在区间［1,2］上都是减函数,即［1,2］［a,+∞),可求出a≤1.又g(x)=在［1,2］上为减函数,则a>0.取两个范围的交集得0答案：D
6.如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(,1)上是增函数,则f(2)的取值范围是________.
解析：由于f(2)=22-(a-1)×2+5=-2a+11,求f(2)的取值范围就是求一次函数y=-2a+11的值域.当然就应当先求其定义域.因为f(x)在区间(,1)上是增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,故其对称轴x=或与直线x=重合或位于直线x=的左侧,于是≤,解得a≤2,故f(2)≥-2×2+11=7,即f(2)≥7.
答案：f(2)≥7
7.已知函数y=(m-2)x+6x+2是一个二次函数,求m的值,并判断此抛物线的开口方向,并写出它是由函数y=(m-2)x通过怎样的平移得到的.
分析：根据定义确定二次函数的解析式,应注意二次函数的二次项系数不为零,且x的最高次是二次形式.
图象进行平移变换时,通常先将解析式配方为y=a(x+h)2+k(a≠0)的形式,再由y=ax2(a≠0)通过左右(或上下)平移得到.
解：由解得m=-1.
∴y=-3x2+6x+2=-3(x-1)2+5,函数开口向下.
它可由函数y=-3x2向右平移1个单位,再向上平移5个单位得到.
8.对于二次函数f(x)=x2+4x+6.
(1)指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标;
(2)画出它的图象,并说明其图象由y=x2的图象经过怎样平移得来;
(3)求函数的最大值或最小值;
(4)分析证明函数的单调性.
分析：研究二次函数通常会运用以下几点知识:(1)配方;(2)求函数图象与坐标轴的交点;(3)函数的对称性质;(4)函数的单调性.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当处.画抛物线,我们先画对称轴,再取极值点(也就是顶点),接着再多描一点,依开口方向及对称性就可画出图形.
解：(1)配方,得f(x)=(x+4)2-2,可知图象开口向上,对称轴为直线x=-4,顶点坐标为(-４,-2).
(２)列表略,作图如图所示.函数f(x)的图象可以看作是由y=x2经一系列变换得到的,具体地说:先将y=x2上每一点的纵坐标变为原来的,再将所得的图象向左移动4个单位,向下移动2个单位得到.
(3)由图,函数在定义域R内没有最大值,
ymin=f(-4)=-2.
(4)设x1f(x1)-f(x2)=(x12-x22)+4(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+8).
∵x1-x2<0,x1+x2<-8,∴x1+x2+8<0.
∴f(x1)-f(x2)>0.
∴函数f(x)在(-∞,-4］上是减函数.
同理,函数f(x)在［-4,+∞)上是增函数.
我综合,我发展
9.已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)的值是(
)
A.正数
B.负数
C.零
D.符号与a有关
解析：充分利用坐标轴的位置和函数图象与坐标轴的交点,得到f(x)与x轴的两个交点距离小于1.应用数形结合思想可得f(m+1)>0.
答案：A
10.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a)
A.αB.a<αC.a<α<βD.α解析：由函数f(x)=(x-a)(x-b)-2和f(x)=(x-a)(x-b)图象的平移关系,得到两个函数分别与x轴的交点,观察图形不难得到答案.
答案：A
11.已知当m∈［-1,2］时,函数y=mx+2m+1的值总大于0,则x的取值范围是________.
解析：可以利用变量转换的方法,原来的变量是x,可以将其变为以m为变量的函数,即y=(2+x)m+1,此时原来的不等式就变为以m为变量的不等式,其对应的函数为f(m)=(2+x)m+1.根据数形结合的思想,只需f(-1)和f(2)同时大于0即可,进而求得原不等式的解集.
答案：(,-1)
12.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈Z)为二次函数关系(如图2-2-3),则客车有营运利润的时间不超过_______年.
图2-2-3
解析：首先根据条件求出y=-(x-6)2+11,本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图象与x轴两个交点的横坐标之差.
答案：7
13.已知函数f(x)=-x2+3x+1,x∈［m,m+1］.
(1)求f(x)的最小值g(m);
(2)求g(m)的最大值.
分析：二次函数是确定的,但是区间［m,m+1］不确定,可以设想让这个动区间块沿x轴从右向左移动,从而求出f(x)的最小值g(m).
解：(1)当函数的对称轴x=≥m+,
即m≤1时,f(x)的最小值g(m)=f(m)=-m2+3m+1.
当函数的对称轴x=即m>1时,f(x)的最小值是g(m)=f(m+1)=-(m+1)2+3(m+1)+1=-m2+m+3.
(2)由g(m)=知g(m)max=g(1)=3.
14.已知二次函数的对称轴为x=,截x轴上的弦长为4,且过点(0,-1),求函数的解析式.
分析：一般情况下,由于常见函数(一次函数,二次函数等函数)的解析式的结构形式是确定的,故可用待定系数法确定其解析式.而二次函数的形式有一般式、两点式、顶点式,往往要结合题设适当选择.
解：∵二次函数的对称轴为x=,
设所求函数为f(x)=a(x+)2+b.
又∵f(x)截x轴上的弦长为4,
∴f(x)过点(-2+2,0),f(x)又过点(0,-1).
∴解得
∴f(x)=(x+)2-2.
我创新,我超越
15.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0)
A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)C.f(x1)=f(x2)
D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析：f(x1)-f(x2)=ax12+2ax1+4-(ax22+2ax2+4)=ax12-ax22+2ax1-2ax2=a(x1-x2)(x1+x2+2).
因为x1又x1+x2=1-a,0所以f(x1)-f(x2)<0.
答案：B
16.已知函数f(x)=,x∈［1,+∞).
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
分析：对于(1),将f(x)变形为f(x)=x+2+=x++2,然后利用单调性求解.对于(2),运用等价转化>0(x∈［1,+∞))恒成立,等价于x2+2x+a>0恒成立,进而解出a的范围.
解：(1)当a=时,f(x)=x++2.
可以证明f(x)在区间［1,+∞)上为增函数,
所以f(x)在区间［1,+∞)上的最小值为f(1)=.
(2)解法一:在区间［1,+∞)上,f(x)=>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,∵(x+1)2+a-1在［1,+∞)上单调递增,
∴当x=1时,ymin=3+a.
于是只需ymin=3+a>0,函数f(x)>0即恒成立,∴a>-3.
解法二:f(x)=x++2,x∈［1,+∞).
当a≥0时,函数f(x)的值恒为正;
当a<0时,函数f(x)单调递增.
故当x=1时,f(x)min=3+a.
于是只需f(x)min=3+a>0,函数f(x)>0即恒成立.故a>-3.2.1.2
函数的表示方法
同步测控
我夯基,我达标
1.下列四个图形中,不可能是函数y=f(x)的图象的是(
)
图2-1-5
解析：对函数y=f(x),x为自变量,y为函数值.在选项D中,存在一个x值对应两个y的值,所以不满足函数“多对一”或“一对一”的条件.
答案：D
2.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于(
)
A.M
B.N
C.M
D.N
解析：由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M,故选A.
答案：A
3.已知一次函数f(x)=kx+b满足f［f(x)］=9x+8,则k等于(
)
A.3
B.-3
C.±3
D.缺少条件
解析：∵f(x)=kx+b,∴f［f(x)］=k2x+kb+b=9x+8.
∴解得k=±3.
答案：C
4.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点个数是……(
)
A.1
B.0
C.0或1
D.1或2
解析：由函数的定义可知对任意自变量x,都有唯一确定的y和它对应,表现在函数图象上,即一个横坐标上最多只能有一个点.当x=1属于函数y=f(x)的定义域时,函数y=f(x)的图象与直线x=1有一个交点;当x=1不属于函数y=f(x)的定义域时,函数y=f(x)的图象与直线x=1没有交点.
答案：C
5.有一位商人从北京向上海的家中打电话,通话m分钟的电话费由函数f(m)=1.06×(0.5［m］+1)(元)决定,其中m>0,［m］是大于或等于m的最小整数.则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为…(
)
A.3.71元
B.3.97元
C.4.24元
D.4.77元
解析：∵m=5.5,∴［5.5］=6.代入函数解析式中,f(5.5)=1.06×(0.5×6+1)=1.06×4=4.24.
答案：C
6.小刚离开家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,跑累了再走余下的路程.如果用纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图象中较符合小刚走法的是(
)
图2-1-6
解析：首先审清题意,特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离,所以排除A、C,在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进,所以同一时间内,前一伪群笠欢挝恢帽浠? 所以选择D.
答案：D
7.试建立下列集合A到集合B的某种对应关系f:
(1)设A={1,2,3,4,5,6},B={3,6,9,12,15,18},则f可为________;
(2)设A={1,2,3,4,…},B={3,5,7,9,…},则f可为________.
解析：通过观察法便可求得.
答案：(1)x→y=3x
(2)x→y=2x+1
8.已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=________.
解析：本题主要考查符号f(a)的含义.先探讨f(x)+f()的值.
由题意得f(x)+f()=+=+=1,
则原式=+1+1+1=.
答案：
9.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=__________.
解析：(方程法)由题意得把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程得f(x)=3x+.
答案：3x+
10.若定义运算a⊙b=则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是__________.
解析：由题意,得f(x)=画出函数f(x)的图象,得其值域是(-∞,1］.
答案：(-∞,1］
11.A、B两地相距150
km,某汽车以每小时50
km的速度从A地到B地,在B地停留2小时之后,又以每小时60
km的速度返回A地.写出该车离开A地的距离s(km)关于时间t(小时)的函数关系,并画出图象.
分析：该车离开A地的距离s(km)关于时间t(小时)的函数为分段函数,先写出其解析式,再画出其图象.
解：汽车由A地到B地共需=3(h),
由B地返回A地共需=2.5(h).
∴s=
画出函数图象如下图所示:
我综合,我发展
12．图2-1-7是某容器的侧面图,如果以相同的速度向容器中注水,则容器中水的高度与时间的函数关系为(
)
图2-1-7
图2-1-8
解析：由容器的特点,可知水高随注水时间均匀上升,故应选C.
答案：C
13.惠民超市为了答谢新老顾客,决定在2007年“五一”黄金周期间,举办购物优惠大酬宾活动.活动规定:一次购物
(1)不超过200元,不予优惠;
(2)超过200元,但不超过500元,享受9折优惠;
(3)超过500元,其中500元按(2)中的给予优惠,超过500元的部分,给予8折优惠.
某人两次去购物,分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样的商品,则应付款额是(
)
A.472.18元
B.510.4元
C.522.8元
D.560.4元
解析：由题意知两次购物的实际价格应为168+423÷0.9=168+470=638(元).
若他只去一次买同样的商品,则应付
500×0.9+(638-500)×0.8=450+110.4=560.4(元).
答案：D
14.(2007山东淄博高三第二次摸底考试,理16)已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则
=_____.
解析：∵f(p+q)=f(p)f(q),
∴f(x+x)=f(x)f(x),即f2(x)=f(2x).
令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1),
∴=f(1)=3.
∴原式==2(3+3+3+3+3)=30.
答案：30
15.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图2-1-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图2-1-9丙所示(至少打开一个水口).
图2-1-9
给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.其中一定正确的论断是_________.
解析：由图2-2-9甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v进水=v出水;由图(丙)可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图(丙)可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由图(丙)可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述,论断仅有①正确.
答案：①
16.2006年春节长假期间,外出购物的人越来越多,这给商家提供了很大商机.嘉园超市全体员工不放假,为获取最大利润做了一番试验.若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售,每天可销售60件,现在采用提高销售价格,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件.问该商品售价定为多少时,才能获得最大利润 并求出最大利润.
分析：本题转化为二次函数在定义域上求值域的问题.定义域是由假设所得60-10(x-10)>0而得到的,为0解：设售价为x,则销售数量为60-10(x-10),
则利润为y=(x-8)［60-10(x-10)］(0=10(16-x)(x-8)
=-10x2+240x-1
280
=-10(x-12)2+160,
则知当x=12时,y最大,最大值为ymax=160.
我创新,我超越
17.(2006陕西高考,理12)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为(
)
A.7,6,1,4
B.6,4,1,7
C.4,6,1,7
D.1,6,4,7
解析：由题目的条件可以得到a+2b=14,2b+c=9,2c+3d=23,4d=28.
答案：C
18.如图2-1-10,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2
m,渠深1.8
m,边坡的倾角是45°.
图2-1-10
(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;
(2)确定函数的定义域和值域;
(3)画出函数的图象.
分析：利用等腰梯形的性质解决问题.
解：(1)由已知,横断面为等腰梯形,下底为2
m,上底为(2+2h)
m,高为h(m),
∴水的面积A==h2+2h.
(2)定义域为{h|0值域由二次函数A=h2+2h(0由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象(如图)可知,
在区间(0,1.8)上,0故值域为{A|0(3)函数图象如下确定.
由于A=(h+1)2-1,对称轴为直线h=-1,
顶点坐标为(-1,-1),
且图象过(0,0)和(-2,0),
又考虑到0∴A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分,如下图所示.
19.用长为1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图2-1-11),若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.
图2-1-11
分析：求函数的定义域,如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外,还应考虑实际问题有意义,如本题注意到矩形的长2x宽a必须满足2x>0和a>0,即1-πx-2x>0.
解：由题意,知此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,而矩形的长AB=2x,宽设为a,则有2x+2a+πx=1,即a=-x,半圆的直径为2x,半径为x.
所以y=+(-x)·2x
=-(2+)x2+x.
根据实际意义,知-x>0,
因x>0,解得0即函数y=-(2+)x2+x的定义域是{x|0