2.4
函数与方程
课堂探究
探究一
求函数的零点
1．函数零点的求法：解方程f(x)＝0，所得实数解就是f(x)的零点．解三次以上的高次方程时，一般需要因式分解．
2．对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
【典型例题1】
求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
思路分析：解对应的方程的根，即为函数的零点．
解：(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.
故函数的零点是－3,1.
(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1.
探究二
判断函数的零点个数
1．对于函数零点的个数的判断通常的做法有：①直接求出零点；②结合函数图象分析；③对函数解析式确定的二次函数，用判别式Δ即可，若Δ表达式中含有字母，需对字母进行讨论．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数 抛物线f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的个数．
【典型例题2】
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足ac＜0，则函数的零点个数为( )
A.0
B．1
C．2
D．不确定
(2)判断下列函数的零点个数：
①f(x)＝x2－7x＋12； ②f(x)＝x2－.
(1)解析：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点即方程ax2＋bx＋c＝0的根，因为Δ＝b2－4ac＞0(因ac＜0)，所以函数有2个零点．
答案：C
(2)解：①因为由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1＞0，
所以方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.
所以函数f(x)有两个零点．
②方法一：由x2－＝0，得x2＝.
令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝.
在同一直角坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两个图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
方法二：令f(x)＝0，即x2－＝0，
因为x≠0，所以x3－1＝0.所以(x－1)(x2＋x＋1)＝0.
所以x＝1或x2＋x＋1＝0.
因为方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，
所以方程x2＋x＋1＝0无实数根．
所以函数f(x)只有1个零点．
探究三
零点性质的应用
解决根的分布问题的一般步骤为：
1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
2．结合草图考虑三个方面：(1)Δ与零的大小关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系．
3．写出由题意得到的不等式(组)．
4．由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意．
这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式(组)时，要注意条件的完备性．
【典型例题3】
当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内？
思路分析：对a分a＝0，a＞0，a＜0三种情况讨论，并利用零点的特征性质来解决．
解：当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，
不符合题意．
当a＞0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程ax2－2x＋1＝0的根，即函数f(x)的零点分别在区间(0,1)，(1,2)内，∴即
解得＜a＜1.
当a＜0时，设方程ax2－2x＋1＝0的两根为x1，x2，
则x1·x2＝＜0，即x1，x2一正一负，不符合题意．
综上，a的取值范围为.
点评对于根的分布问题常常借助函数零点的有关性质进行讨论．在解本题时，易出现的情况，导致此种错误的原因是没有对a进行分类讨论．
探究四
利用二分法求函数零点的近似值
1．二分法求函数零点近似值的一般步骤
2．二分法应用时的注意事项
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
(2)在求解过程中，可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度．
(3)根据给定的精确度，及时检验所取区间长度是否达到要求，以及时终止计算．
【典型例题4】
借助计算器，用二分法求函数f(x)＝2x2－3x－1的一个正零点(精确到0.1)．
思路分析：本题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成．
解：令2x2－3x－1＝0，得x＝.
其中1＜＜2，由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0，
可取区间[1,2]作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
x1＝＝1.5
f(x1)＝－1＜0
[1.5,2]
x2＝＝1.75
f(x2)＝－0.125＜0
[1.75,2]
x3＝＝1.875
f(x3)＝0.406
25＞0
[1.75,1.875]
x4＝+＝1．812
5
f(x4)＝0．132
812
5＞0
[1.75,1.812
5]
由上表可知，区间[1.75,1.812
5]长度不大于0.1，因此可取1.8为所求函数的一个正零点近似值．
探究五
易错辨析
易错点 忽视函数有零点的条件而致误
【典型例题5】
若α，β是函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5的两个零点，试求α2＋β2的最大值．
错解：根据题意，可得α，β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．
由根与系数的关系，得α＋β＝k－2，α·β＝k2＋3k＋5，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(k－2)2－2(k2＋3k＋5)＝－k2－10k－6＝－(k＋5)2＋19，
所以α2＋β2的最大值为19.
错因分析：没有考虑函数有零点这一前提条件，从而导致错解．
正解：因为函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点，
所以Δ＝(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0，即3k2＋16k＋16≤0.
所以(k＋4)(3k＋4)≤0，解得－4≤k≤－.
由错解知α2＋β2＝－(k＋5)2＋19，
所以当k＝－4时，α2＋β2取最大值，最大值为18.
点评
涉及二次函数最值求解问题，大家一定要注意自变量的取值范围，再者对于二次函数有零点，就意味着Δ≥0，不要忽略Δ的情况而直接讨论其他问题，这样很容易出现错误．1.1.2
集合的表示方法
课堂探究
探究一
用列举法表示集合
1．用列举法表示集合时，一般不必考虑元素间的前后顺序，如{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
2．元素与元素之间必须用“，”隔开．
3．集合中的元素不能重复．
4．列举法也可以表示无限集．
【典型例题1】
用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数构成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点构成的集合．
思路分析：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式．
解：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}；
(3)方程y＝x－1与y＝－x＋可分别化为x－y＝1与2x＋3y＝4，则方程组的解是所求集合可表示为.
探究二
用描述法表示集合
1．使用描述法表示集合时要注意以下几点：
(1)写清元素符号；
(2)说明该集合中元素的性质；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；
(5)所有描述的内容都要写在集合符号内；
(6)用于描述的语句力求简明、准确．
2．集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}与C＝{(x，y)|y＝x2＋1}不是相同的集合．这是因为集合A的代表元素是x，且x∈R；集合B的代表元素是y，且y≥1；集合C的代表元素是(x，y)，且(x，y)表示平面直角坐标系内抛物线y＝x2＋1上的点，所以它们是互不相同的集合．
3．{三角形}实际上是{x|x是三角形}的简写，千万别理解成是由三个汉字组成的集合，三角形构成的集合不要写成{所有三角形}，因为{ }本身就有“所有”的含义．
【典型例题2】
用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有非负整数构成的集合；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(4)方程组的解构成的集合；
(5)集合{1,3,5,7，…}．
思路分析：(1)“0≤x<10，x∈Z”可作为集合的一个特征性质；
(2)要利用数轴上的距离公式来表示，即|x|>3；
(3)，(4)注意代表元素为点的坐标；
(5)“x＝2k－1，k∈N＋”可作为集合的一个特征性质．
解：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x|0≤x<10，x∈Z}；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}；
(4)方程组的解构成的集合，用描述法表示为或；
(5){1,3,5,7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
反思用描述法表示集合之前，应先通过代表元素确定集合是“点集”还是“数集”．另外，二元一次方程组的解，因为含有两个未知数，所以在表示时，可看成“点集”的形式进行描述．
探究三
含参数问题
1．对于集合的表示方法中的含参数问题一定要注意弄清集合的含义，也要清楚参数在集合中的地位．
2．含参数问题常用分类讨论思想来解决，在讨论参数时要做到不重不漏．
【典型例题3】
已知集合M＝{x|(x－a)(x2－ax＋a－1)＝0}中各元素之和等于3，求实数a的值，并用列举法表示集合M.
解：根据集合中元素的互异性知，当方程(x－a)(x2－ax＋a－1)＝0有重根时，重根只能算作集合的一个元素，又M＝{x|(x－a)(x－1)[x－(a－1)]＝0}．
当a＝1时，M＝{1,0}，不符合题意；
当a－1＝1，即a＝2时，M＝{1,2}，符合题意；
当a≠1，且a≠2时，a＋1＋a－1＝3，则a＝，M＝，符合题意．
综上所述，实数a的值为2或，
当a＝2时，M＝{1,2}；当a＝时，M＝.
探究四易错辨析
易错点1 认为集合中的a具有一致性而致误
【典型例题4】
已知集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}．若m∈A，n∈B，则有( )
A．m＋n∈A
B．m＋n∈B
C．m＋n∈C
D．m＋n不属于A，B，C中的任意一个
错解：C
错因分析：不能正确利用集合中元素的特征性质，认为三个集合中的a是一致的，从而由m∈A，得m＝2a，a∈Z.由n∈B，得n＝2a＋1，a∈Z.所以得到m＋n＝4a＋1，a∈Z.进而错误判断m＋n∈C.而实际上，三个集合中的a是不一致的．应由m∈A，设m＝2a1，a1∈Z.由n∈B，设n＝2a2＋1，a2∈Z.所以得到m＋n＝2(a1＋a2)＋1，且a1＋a2∈Z，所以m＋n∈B，故正确答案为B.
正解：B
反思在分析集合中元素的关系时，一定要注意字母各自取值的独立性，并要注意用不同的字母来区分，否则会引起错误．
易错点2 混淆集合中的代表元素而致误
【典型例题5】
判断命题＝的真假，并说明理由．
错解：此命题是真命题．理由如下：
∵x与的范围一致，
∴题中命题是真命题．
错因分析：误认为两个集合的代表元素一样而导致错误．实际上，的代表元素是x，而的代表元素是，因而构成两个集合的元素不同．
正解：此命题是假命题．理由如下：
∵x∈N，且∈Z，∴1＋x＝1,2,3,6.
∴x＝0,1,2,5.
∴＝{0,1,2,5}．
而＝{6,3,2,1}，
∴题中命题是假命题．
反思化简集合时一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集，还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可．1.2.2
集合的运算
课堂探究
探究一两个集合的交集运算
求两个集合的交集时，首先要识别所给集合，其次要简化集合，即明确集合中的元素，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果．有时要借助于Venn图或数轴写出交集．
【典型例题1】
设A＝{x|x2－7x＋6＝0}，B＝{x|4
思路分析：首先明确集合A，B中的元素，集合A是一元二次方程x2－7x＋6＝0的解集，集合B是满足不等式4解：A＝{1,6}，B＝{5,6,7,8}，用Venn图表示集合A，B，如图所示，
依据交集的定义，观察可得A∩B＝{6}．
探究二两个集合的并集运算
求两个集合的并集时，若用描述法给出的集合，要先明确集合中的元素是什么性质，有时直接观察可写出并集，有时则需借助图示写出并集；若用列举法给出集合，则依据并集的定义，可直接观察或借助于Venn图写出并集．
【典型例题2】
设集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|－2思路分析：首先明确集合A中的元素，集合A是不等式x＋1>0的解集，再借助于数轴写出A∪B.
解：A＝{x|x>－1}，在数轴上分别表示集合A，B，如图所示，
由数轴可知A∪B＝{x|x>－2}．
探究三集合运算性质的运用
1．A∪B＝A B A，A∩B＝A A B，这两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当A B时，往往需要按A＝ 和A≠ 两种情况分类讨论，而这一点却很容易在解题时被忽视，因此当题目中有A B这一条件时，应有分类讨论的思想意识，以免造成漏解或增解．
2．要注重集合语言与数学文字语言之间的转化．
【典型例题3】
集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，则实数m构成的集合为________．
思路分析：解答此题，第一是先利用性质A∪B＝A B A来转化；二是要弄清楚B＝{x|mx－1＝0}≠，要注意对m是否为0进行讨论．
解析：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，A∪B＝A B A.因此集合B只能为单元素集或 .
(1)当B＝{1}时，即1∈B＝{x|mx－1＝0}，得m＝1；
同理，当B＝{2}时，得m＝.
(2)当B＝ 时，即mx－1＝0无解，得m＝0.
综上(1)(2)可知，实数m构成的集合为.
答案：
探究四
集合的交、并综合运算
集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解，有方程问题、不等式问题、点集等，把集合明确后，根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义，选取合适的方法进行运算，如：可结合数轴、Venn图或初中所学函数的图象等．
【典型例题4】
已知集合A＝{y|y＝
x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝
－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B
，A∪B.
思路分析：先利用配方法确定集合A与B，再利用数轴进行集合的交、并运算．
解：∵A＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}，
∴A＝{y|y≥－4}．
∵B＝{y|y＝
－(
x－1)2＋14，x∈R}，
∴B＝{y|y
≤14}．
将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，
∴A∩B＝{y|－4≤y≤14}，A∪B＝R.
点评本题在求A∩B时，极易出现由得y＝5，近而得出A∩B＝{5}的错误．
探究五易错辨析
易错点 忽视A不为空集的情况而致误
【典型例题5】
设集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝ ，求实数p满足的条件．
错解：由于A∩B＝ ，则A＝ ，所以关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数根，
所以Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
所以实数p满足的条件为p<1.
错因分析：当A∩B＝ 时，若B≠ ，则A＝ 或A≠ 且A与B没有公共元素，错解忽视了B≠ ，且A与B没有公共元素的情况，导致出现错误．
正解：由A∩B＝ ，且B≠ ，
得A＝ 或A≠ 且A与B没有公共元素．
当A＝ 时，Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
当A≠ 且A与B没有公共元素时，
设关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0有非正数解x1，x2，
则有所以有
解得1≤p≤2.
综上所得，实数p满足条件为p<1或1≤p≤2，即p≤2.2.2.2
二次函数的性质与图象
课堂探究
探究一
二次函数的定义
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝c＝0时，函数变为y＝ax2(a≠0)，它的图象是一条以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线；另外二次函数有以下几种形式：
(1)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为其图象的顶点坐标．
(2)交点式(也称两根式)：f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是其图象与x轴交点的横坐标．
(3)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
【典型例题1】
当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？
思路分析：根据二次函数的定义，只要保证二次项系数2－m≠0且x的指数m2＋m－4＝2即可．
解：由二次函数的定义知
即解得所以m＝－3.
所以当m＝－3时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x为二次函数．
点评在求解本题时，一定要严格把握二次函数的定义，也就是说函数y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的条件下才是二次函数，同时注意二次函数的每一项都是整式形式．
探究二
二次函数的图象和性质
1．根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，二次函数图象在x轴上方部分对应的x取值范围即为不等式ax2＋bx＋c＞0的解；同样二次函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围，即为不等式ax2＋bx＋c＜0的解．
【典型例题2】
已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3.
(1)用配方法求出函数的对称轴、顶点坐标，并作出图象，指出其单调区间；
(2)由图象写出y≥0时x的取值范围．
思路分析：本题考查配方法和二次函数的图象与性质．解题的关键是配方，完成配方后再结合图象研究其性质．
解：(1)f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x－1)2＋4，则该函数的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，其图象如图所示．
其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．
(2)由图象知当y＝0时，x＝－1或x＝3；当y＞0时，－1＜x＜3，故当y≥0时x的取值范围是[－1,3]．
探究三
二次函数单调性与对称性的应用
1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法：
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于先找出函数图象的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．
2．函数的对称性：
(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a＋x)＝f(a－x)对任意x都成立，这个关系式我们也常常表示为：f(x)＝f(2a－x)，也说明函数图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数f(x)对任意x有f(a－x)＝f(b＋x)，则函数f(x)图象的对称轴为x＝.
【典型例题3】
(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋1在区间[－1,2]上是单调的，则实数m的取值范围是__________；
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，求f(1)，f(2)的值．
(1)解析：函数f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其图象的对称轴为x＝－m，若函数在[－1,2]上单调，说明对称轴不在区间[－1,2]内部，故有－m≤－1或－m≥2，得m≥1或m≤－2.
答案：m≥1或m≤－2
(2)解：由题意知，函数图象关于x＝2对称，故－＝2，得b＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋1，f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.
探究四二次函数的最值(值域)
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的最值问题，首先应采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
(1)求二次函数在定义域R上的最值；
(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型：
①顶点固定，区间也固定．
此种类型是较为简单的一种，只要找到对称轴，画出图象，将区间标出，最值一目了然．
②顶点变动，区间固定．
这种类型是比较重要的，在高考题中多次出现，主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况，然后根据不同情况写出最值．
③顶点固定，区间变动．
此种情况用的较少，在区间里含有参数，根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论．
【典型例题4】
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在区间[－5,5]上的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
思路分析：将原函数先配方，对于第(2)问还要结合图象进行分类讨论．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为1∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.
当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图象如图(1)所示，由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a；
当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
综上可得，当a≥5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27＋10a，最小值为27－10a；
当0≤a＜5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27＋10a，最小值为2－a2；
当－5＜a＜0时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27－10a，最小值为2－a2；
当a≤－5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27－10a，最小值为27＋10a.
【典型例题5】
设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
思路分析：本题属于轴定区间动的情形，分三种情况讨论f(x)的最小值．
解：∵f(x)＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，
∴当2∈[t，t＋1]，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8.
当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上可知，g(t)＝
探究五
易错辨析
易错点 缩小了参数的范围而致误
【典型例题6】
已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．
错解：结合二次函数f(x)＝x2＋ax＋3－a的图象可知，要使f(x)＞0在x∈[－2,2]上恒成立，则只需Δ＝a2－4(3－a)＜0，解得－6＜a＜2.
错因分析：原题中信息是f(x)＞0对任意x∈[－2,2]恒成立，而上面错解中误认为f(x)＞0对任意x∈R恒成立，因此使所求范围缩小了．
正解：设f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)，则只需g(a)＞0.
当－＜－2，即a＞4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a＞0，得a＜.
又a＞4，故此时a不存在．
当－2≤－≤2，即a∈[－4,4]时，
g(a)＝f＝3－a－＞0，得－6＜a＜2.
因为－4≤a≤4，所以－4≤a＜2.
当－＞2，即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a＞0，得a＞－7.
因为a＜－4，所以－7＜a＜－4.
综上所述，a的取值范围是(－7,2)．
点评解答时不能凭想当然，一定要充分利用题干中的信息，并且在化简或化归时要做到等价转化，例如错解中就不是等价转化．2.1.1
函数
课堂探究
探究一
求函数的定义域
1．求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变化．
2．求函数定义域的基本原则有：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
【典型例题1】
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
(x∈Z)．
思路分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的关系式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．
解：(1)要使有意义，x需满足x－2≠0，即x≠2，故该函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)要使有意义，x需满足3x＋2≥0，即x≥－，故该函数的定义域为.
(3)要使有意义，x需满足－x2＋2≥0，即－≤x≤，又结合x∈Z，则x等于－1,0,1，故该函数的定义域为{－1,0,1}．
探究二
用区间表示数集
用区间表示数集要首先弄清区间的含义，掌握区间的四种形式所对应的数集；其次要特别注意数集中的符号“≤”“≥”“＜”“＞”与区间中的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系．
【典型例题2】
(1)①数集{x|x≤－2}用区间表示为______________；
②数集{x|x＞7}用区间表示为______________；
③数集{x|0＜x≤3}用区间表示为______________．
(2)用区间表示数集{x|x＜－2或x≥0}．
(1)解析：①{x|x≤－2}用区间表示为(－∞，－2]；
②{x|x＞7}用区间表示为(7，＋∞)；
③数集{x|0＜x≤3}用区间表示为(0,3]．
答案：①(－∞，－2] ②(7，＋∞) ③(0,3]
(2)解：{x|x＜－2或x≥0}用区间表示为(－∞，－2)∪[0，＋∞)．
探究三
简单函数值域的求法
求函数的值域时，常用的方法有：
(1)观察法：通过对函数关系式的简单变形，利用熟知的一些函数的值域，观察求得函数的值域．
(2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
(3)换元法：通过对函数的关系式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累．
【典型例题3】
求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝2x－.
思路分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如，观察法、配方法、换元法等．
解：(1)(观察法)y＝＝2＋.
因为x≠3，所以≠0，所以y≠2.
故所求函数的值域为{y|y≠2}．
(2)(配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
因为1≤x＜5，
所以函数的值域为{y|2≤y＜11}．
(3)(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1.
所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋.
因为t≥0，所以y≥.
故函数y＝2x－的值域为.
探究四
求函数的函数关系式
1．利用换元法求函数关系式时注意新元的取值范围，即中间变量t的范围．
2．待定系数法适合于已知函数类型求函数关系式的题目．例如：已知函数为一次或二次函数时常用此法．
【典型例题4】
已知f(x－1)＝x2－2x＋7.
(1)求f(2)的值；
(2)求f(x)和f(x＋1)的函数关系式．
思路分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x＝3求得；对(2)可用“x＋1”去替换f(x－1)中的“x”即得f(x)，用“x＋2”去替换f(x－1)中的“x”即得f(x＋1)．
解：(1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10.
(2)方法一：f(x)＝f[(x＋1)－1]
＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6，
f(x＋1)＝f[(x＋2)－1]
＝(x＋2)2－2(x＋2)＋7＝x2＋2x＋7.
方法二：f(x－1)＝x2－2x＋7＝(x－1)2＋6，
∴f(x)＝x2＋6，f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
方法三：设t＝x－1(t∈R)，
则x＝t＋1(t∈R)，∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6，故f(x)＝x2＋6.
f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
点评已知类型为f(g(x))＝h(x)的函数，求f(x)的函数关系式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．
探究五易错辨析
易错点 忽视函数的定义域而致误
【典型例题5】
已知f(＋4)＝x＋8，求f(x)．
错解：令＋4＝t，则x＝(t－4)2，
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16，
∴f(x)＝x2－16.
错因分析：在换元时，未标明t的取值范围，而使f(x)缺少定义域．
正解：方法一(配凑法)：
∵f(＋4)＝x＋8＝(＋4)2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
方法二(换元法)：设＋4＝t，t≥4，则＝t－4，
即x＝(t－4)2，∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)．
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
点评在利用换元法求函数关系式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数的定义域错误．3.1.1
有理指数幂及其运算
课堂探究
探究一
简单的指数幂运算
1．对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．
2．对于计算题的结果，不强求统一用什么形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
【典型例题1】
计算：
(1)
；
(2)；
(3)；
(4)(2a＋1)0；
(5)
.
思路分析：在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时(如(1)(2)(3))，就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便．
在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m≠0时，m0才有意义；而对于形如的式子，我们一般是先变形为，然后再进行运算．
解：(1)
＝＝＝＝.
(2)＝＝0.2－2＝＝52＝25.
(3)＝＝＝＝.
(4)(2a＋1)0＝
(5)
＝
＝＝－.
探究二
利用根式的性质化简或求值
1．n次方根的个数及符号的确定
任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数，0的任何次方根都是0.
2．根式化简注意事项
(1)解决根式的化简问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意正确区分与.
【典型例题2】
(1)计算下列各式：
①;
②；
③；
④
(a>b)．
(2)化简下列各式：
①；
②；
③；
④；
⑤.
解：(1)①＝5.
②＝－2.
③＝|－2|＝2.
④∵a>b，∴＝|a－b|＝a－b.
(2)①＝＝＝＝＝.
②＝＝＝.
③＝－＝－＝－.
④＝＝x2.
⑤＝＝＝.
探究三
根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂互化的规律
1．根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
2．在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．
3．当所求根式含有多重根号时，应先由里向外用分数指数幂的形式写出，然后进行化简．
【典型例题3】
(1)5－化为根式形式为__________；
(2)
(b>0)化为分数指数幂的形式为__________；
(3)
(x≠0)化为分数指数幂的形式为__________．
解析：(1)原式＝＝.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝＝＝＝＝＝.
答案：(1)
(2)
(3)
探究四
知值求值问题
已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式之间的内在联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，对平方立方等一些常用公式要熟练应用．
【典型例题4】
已知x＋y＝12，xy＝9，且x思路分析：观察已知代数式和所求代数式的特点可知，＝x，＝y.于是联想到用完全平方公式，把公式的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就变成了用x＋y，xy表示的代数式．
解：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x∴＝＝＝＝－.
探究五
易错辨析
易错点 忽视运算法则的适用条件而致误
【典型例题5】
化简.
错解：原式＝＝＝.
错因分析：有理指数幂的运算法则必须在幂的底数为正时才能应用，否则易出错．
正解：原式＝＝＝＝＝.2.1.2
函数的表示方法
课堂探究
探究一
画函数图象
图象的画法常见的有两种：描点法、变换作图法．
1．描点法的一般步骤是：列表、描点、连线；
列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
2．变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
3．作函数图象时应特别注意：顶点、端点、图象与x轴的交点等这些特殊点．
4．作图时应首先看清函数的定义域．
【典型例题1】
作出下列函数的图象：
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；
(3)y＝|1－x|；
(4)y＝
思路分析：作函数图象，首先明确函数的定义域，其次明确函数图象的形状，体会定义域对图象的控制作用，处理好端点．如，第(4)小题x＝0时的情况．作图时，如第(2)小题，先不受定义域限制作出完整的抛物线，然后再根据定义域截取．函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．
解：(1)定义域为Z，所以图象为离散的点．图象如图(1)所示．
(2)y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x＜3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图象如图(2)所示．
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号，再写成分断函数y＝图象如图(3)所示．
(4)这个函数的图象由两部分组成．当0≤x≤1时，为抛物线y＝x2的一段；当－1≤x＜0时，为直线y＝x＋1的一段．图象如图(4)所示．
探究二
求函数解析式
1．若已知函数类型求解析式，则可用待定系数法求解．若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
2．若不清楚函数类型，可采用配凑法或换元法．
【典型例题2】
(1)已知f＝，求f(x)；
(2)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)．
思路分析：(1)利用“换元法”或“配凑法”；(2)利用待定系数法．
解：(1)方法一：令＝t，则x＝，且t≠0，
∴f(t)＝＝＝，∴f(x)＝
(x≠0)．
方法二：f＝＝，
∴f(x)＝
(x≠0)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
由题设知解得或
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
探究三
分段函数及其应用
求解分段函数问题三注意
1．求f(f(a))的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．
2．已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．
3．已知f(x)，解关于f(x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．
【典型例题3】
已知f(x)＝若f(x)＞2，求x的取值范围．
思路分析：在x≥－2时，由x＋2＞2，解得x＞0后，需与x≥－2求交集，得x＞0；当x＜－2时，由－x－2＞2，得x＜－4，与x＜－2求交集，得x＜－4.然后求x＞0与x＜－4的并集得最后结果．
解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)＞2，得x＋2＞2，解得x＞0，故x＞0；
当x＜－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)＞2，得－x－2＞2，解得x＜－4，故x＜－4.
综上可得，x＞0或x＜－4.
【典型例题4】
已知函数f(x)＝
(1)求f(－8)，f，f，f的值；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
思路分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．
(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．
(2)在不同的区间，依次画出函数图象．
解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．
(1)因为－8 [－1,2]，所以f(－8)无意义．
当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，
所以f＝－＝.
当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，所以f＝2＝.
当x∈[1,2]时，f(x)＝x，所以f＝.
(2)根据题中函数的表达式，在平面直角坐标系中作出的函数图象如图所示．
(3)由(2)中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．
探究四
易错辨析
易错点 缺乏检验意识而致误
【典型例题5】
已知f(x)＝若f(a)＝，求a的值．
错解：∵f(a)＝
∴令|a－1|－2＝，得a＝或a＝－.
再令＝，得a＝±2.
综上可知满足f(a)＝的a的值为－，，±2.
错因分析：没有对求得的a的值进行验证．
正解：∵f(a)＝
∴当|a|≤1时，令|a－1|－2＝，
解得a＝或a＝－.
又∵|a|≤1，
∴a＝和a＝－均不符合题意，舍去；
当|a|＞1时，令＝，
解得a＝±2，均符合|a|＞1.
综上，符合题意的a的值为±2.
点评对于分段函数，无论是求函数值，还是求自变量，都要看清楚每一段解析式所对应的自变量的取值范围，不能张冠李戴，也不能忘记检验．2.3
函数的应用（Ⅰ）
课堂探究
探究一
一次函数模型的应用
1．一次函数模型的实际应用：
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解：
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
【典型例题1】
(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A.2
000套
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
(2)商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠一个茶杯；
(2)按总价的92%付款．
某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？
(1)解析：因利润z＝12x－(6x＋30
000)，所以z＝6x－30
000，由z≥0解得x≥5
000，故至少日生产文具盒5
000套．
答案：D
(2)解：由优惠办法(1)可得函数解析式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．
由优惠办法(2)可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，
令y1－y2＝0，得x＝34.
所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；
当4≤x＜34时，y1＜y2，即优惠办法(1)更省钱；
当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)更省钱．
探究二
二次函数模型的应用
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．
【典型例题2】
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路分析：本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9
600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9
600＝－3(x－60)2＋1
200，所以当x＜60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1
125元．
点评
此题中要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，解答时还要注意利用上一问的结论．
探究三
分段函数模型的应用
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
【典型例题3】
某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
思路分析：利润＝销售收入－总的成本．由于本题中的销量只能为500件，但生产的数量不确定，所以模型确定为分段函数模型．
解：(1)当0＜x≤5时，产品全部售出，
当x＞5时，产品只能售出500件．
所以f(x)
＝
即f(x)＝
(2)当0＜x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5，
所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781
25(万元)．
当x＞5时，f(x)＜12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
点评
本题易归为二次函数模型处理，即x＞5这种情况易漏掉．
探究四
易错辨析
易错点 忽视实际问题中x的范围而致误
【典型例题4】
如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a＞b)，在AB，AD，CB，CD上分别截取AE＝AH＝CF＝CG＝x(x＞0)，设四边形EFGH的面积为y.
(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式；
(2)求当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
错解：(1)由题意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF，且BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x.
∴S△AEH＝x2，S△BFE＝(a－x)(b－x)．
∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE＝ab－x2－(a－x)(b－x)＝－2x2＋(a＋b)x.
即y＝－2x2＋(a＋b)x.
(2)由(1)知，y＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋，
∴由二次函数的性质得，
当x＝时，ymax＝.
错因分析：(1)中没有注意实际问题中x的取值范围；
(2)中没有讨论对称轴与区间的关系，从根本上是由(1)中没明确定义域而造成最后的错误．
正解：(1)由题意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF，
且BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x.
∴S△AEH＝x2，S△BFE＝
(a－x)(b－x)．
∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE
＝ab－x2－(a－x)(b－x)＝－2x2＋(a＋b)x(0＜x≤b)，
即y＝－2x2＋(a＋b)x(0＜x≤b)．
(2)由(1)知，y＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋
(0＜x≤b)．
若0＜≤b，即a＞b≥时，ymax＝，
此时x＝；
若＞b，即0＜b＜时，函数y＝－2x2＋(a＋b)x在(0，b]上是增函数．
∴当x＝b时，ymax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2.
点评
对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束，看似一个细节失误，它将会造成严重问题，比如，本题就直接造成了第(2)问的错误解法，因此大家不要因小失大．2.1.1
函数
课堂探究
探究一
映射与一一映射的概念
1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：
(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；
(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
这两个条件缺一不可．
2．若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B中无对应元素或有多个对应元素即可．
【典型例题1】
(1)如图，下列对应法则：
其中是映射的个数为( )
A.3
B．4
C．5
D．6
(2)判断下列对应法则是否是从A到B的映射，若是映射，是否是一一映射？
①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
②A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝；
③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.
思路分析：(1)所谓映射，是指多对一的对应，一对一的对应，且A中的元素无剩余，以此来判断既准确又迅速；(2)判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．
(1)解析：①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．
对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．
对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
综上可知，能构成映射的个数为3.
答案：A
(2)解：①因为0∈A，在f作用下0→|0|＝0 B，
所以不是映射，更不是一一映射．
②对于任意x∈A，都有∈B，故是映射．
又因为对B中任一元素，在A中有且仅有一个原象，所以为一一映射．
③对任意的x∈A，依对应法则f有x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为x≥2，x∈Z，所以y≥2，y∈N，即y∈B，所以是映射．
因为0∈B，且(x－1)2＋1＝0无解，所以集合B中的元素0在A中无原象，所以不是一一映射．
探究二求映射中的象或原象
解决象与原象问题的关键是紧扣定义，具体地说，就是若已知A中的元素a(即原象a)，求B中与之对应的元素b(即象b)，这时只要将元素a代入对应法则f求解即可；若已知B中的元素b(即象b)，求A中与之对应的元素a(即原象a)，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．在求解过程中，要注意象和原象的区别和联系．
【典型例题2】
已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)的象；
(2)求B中元素(1,2)的原象．
思路分析：(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．
解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.
故A中元素(1,2)的象为(0,9)．
(2)令得
∴原象为.
探究三
构成映射个数问题
1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有nm个不同的映射．
2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．
【典型例题3】
(1)集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为( )
A.5
B．6
C．8
D．9
(2)集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数为( )
A.2
B．3
C．5
D．8
解析：(1)用树状图写出所有的映射为：
a→d a→e共8个．
(2)满足条件f(a)＋f(b)＝0的情形有：－1＋1＝0,1＋(－1)＝0,0＋0＝0，共3个，即满足条件的映射有3个．
答案：(1)C (2)B3.2.1
对数及其运算
课堂探究
探究一
对数式与指数式的互化
由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：
式子
名称
意义
a
x
N
指数式ax＝N
底数
指数
幂
a的x次幂等于N
对数式logaN＝x
底数
对数
真数
以a为底N的对数等于x
【典型例题1】完成下表指数式与对数式的转换．
题号
指数式
对数式
(1)
103＝1
000
(2)
log39＝2
(3)
log210＝x
(4)
e3＝x
解析：(1)103＝1
000 log101
000＝3，即lg
1
000＝3；
(2)log39＝2 32＝9；
(3)log210＝x 2x＝10；
(4)e3＝x logex＝3，即ln
x＝3.
答案：(1)lg
1
000＝3 (2)32＝9 (3)2x＝10 (4)ln
x＝3
探究二
对数基本性质的应用
1．对数恒等式alogaN＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的求值．
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
2．利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化
(1)logax＝1 x＝a(a>0，且a≠1)．
(2)logax＝0 x＝1(a>0，且a≠1)．
我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化．
【典型例题2】(1)若log3(lg
x)＝1，则x＝__________；
(2)求值：4＝__________.
解析：(1)∵log3(lg
x)＝1，∴lg
x＝3.
∴x＝103＝1
000.
(2)原式＝2(log29－log25)＝＝.
答案：(1)1
000 (2)
点评
在对数的相关运算中，除了对数的定义外，应灵活应用如loga1＝0，logaa＝1，alogaM＝M等常用性质，另外要特别注意真数与底数的取值要求，做到及时检验．
探究三
对数运算法则的应用
对数运算法则的使用技巧及注意事项：
1．“收”：同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等，然后化简求值，如log24＋log25＝log220.
2．“拆”：将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值，如log2＝log29－log25.
3．各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1，真数大于0.
4．注意“同底”这个化简的方向，因为同底的对数才可能利用对数的运算法则．
5．要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义．
【典型例题3】化简下列各式：
(1)4lg2＋3lg5－lg；
(2)；
(3)2log32－log3＋log38－5.
思路分析：利用对数的运算法则，将所给式子转化为积、商、幂的对数．
解：(1)原式＝lg
＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4；
(2)原式＝＝＝；
(3)原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3
＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.
点评
(1)注意对数运算法则的正用和逆用；
(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等．
探究四
对数换底公式的应用
1．应用换底公式表示已知对数的两个策略
2．利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式
(1)技巧：“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算．
(2)常见的三种处理方式：①借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解．
②借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
③利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率．
【典型例题4】(1)计算lg－lg＋lg12.5－log89·log98的值；
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
解：(1)原式＝lg－·＝lg10－1＝0.
(2)方法一：∵log189＝a,18b＝5，
∴log18
5＝b.
于是log36
45＝＝＝＝＝.
方法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
方法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg
9＝alg18，lg
5＝blg18.
∴log36
45＝＝＝＝＝.
点评
在解题过程中，根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式，这正是数学转化思想的具体体现，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用．
探究五
易错辨析
易错点 忽视底数的限制条件而致误
【典型例题5】已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．
错解：由对数的性质，可得x2＋3x＝x＋3，解得x＝1或x＝－3.
错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1.
正解：由对数的性质，知解得x＝1，故实数x的值为1.
点评
由对数的定义可知，对数logaN的底数a>0，且a≠1，真数N>0，因此我们在解题时一定要注意这些限制条件，如果忽视了这些条件，则很容易出错．3.4
函数的应用（Ⅱ）
课堂探究
探究一
指数函数模型
指数函数y＝ax(a>1)经复合可以得到指数型函数，指数型函数的函数值变化较快，例如，生活中接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型函数．指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同．
【典型例题1】
某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是
100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元．
探究二
对数函数模型
对数函数y＝logax(x>0，a>1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．
直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．
【典型例题2】
20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg
A－lg
A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)．
解：(1)依题意知M＝lg
20－lg
0.001＝lg
＝lg
20
000＝lg
2＋lg
104＝4＋lg
2≈4.3.
因此这是一次里氏约4.3级的地震．
(2)由M＝lg
A－lg
A0，可知M＝lg，所以＝10M.
所以A＝A0·10M.
当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6；
当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.
所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398，
所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．
探究三
幂函数模型
幂函数y＝xα(α>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快．
【典型例题3】
2014年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
真数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg
N
0.004
3
0.006
5
0.007
3
0.117
3
0.301
0
解：设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60.
∴(1＋x)40＝2，两边取对数，
则40lg(1＋x)＝lg
2，则lg(1＋x)＝≈0.007
526，
∴1＋x≈1.017，得x＝1.7%.
探究四
建立拟合函数模型
对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型．根据数据特点，可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择，总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程．
【典型例题4】
某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(万件)与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y＝abx＋c(a≠0)，如果已知4月份的产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？
思路分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式，然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量，看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近．
解：设f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)．
由f(1)＝1，f(2)＝1.2，f(3)＝1.3，得
解得p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7.
∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.∴f(4)＝1.3.
设g(x)＝abx＋c(a≠0)．
由g(1)＝1，g(2)＝1.2，g(3)＝1.3，得
解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4.
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g(4)＝1.35.
∵|1.3－1.37|＝0.07＞0.02＝|1.35－1.37|，
∴用y＝－0.8×0.5x＋1.4作模拟函数较好．1.1.1
集合的概念
课堂探究
探究一
集合中元素的确定性
集合中的元素是确定的，即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素，并且两者必居其一，因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准．若这组对象是明确的、具体的，则它们可以构成一个集合，若是模棱两可的，则不能构成一个集合．
【典型例题1】
判断下列各组对象能否构成一个集合：
(1)2014年进入世界杯决赛圈的32支球队；
(2)方程x2－1＝0的所有实根；
(3)
的近似值的全体；
(4)大于0的所有整数．
解：(1)能，2014年世界杯参加决赛的球队已经确定．
(2)能，因为x2－1＝0的所有实根为－1,1.满足集合中元素的确定性．
(3)不能，“近似值”无明确标准，故构不成集合．
(4)能，因为大于零的整数是确定的．
探究二
集合中元素的互异性
集合中的元素是互不相同的，即集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时，只能写一次，算作集合中的一个元素．
【典型例题2】
若m，m，n，n，m2，n2构成集合M，则M中的元素最多有( )
A.6个
B．5个
C．4个
D．3个
解析：由集合中的元素满足互异性，知集合M中的元素最多为m，n，m2，n2，且4个元素互不相同．
答案：C
【典型例题3】
若集合中的三个元素分别为2，x，x2－x，则元素x应满足的条件是________．
解析：由元素的互异性可知x≠2，且x2－x≠2，且x2－x≠x，
即解得x≠2，且x≠－1，且x≠0.
答案：x≠2，且x≠－1，且x≠0
探究三
元素与集合的关系
1．判断一个对象是否为某个集合的元素，就是要判断这个对象是否具有这个集合的元素所具有的特征．
2．利用元素与集合的关系求参数时要注意求解后要有代入检验的意识．
【典型例题4】
已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
思路分析：－3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．
解：由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，
当x＝－时，集合的三个元素分别为－，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－.
点评解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．2.2.1
一次函数的性质与图象
课堂探究
探究一
一次函数的概念和性质
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数是一次函数；当k≠0，b＝0时，为正比例函数；当k＞0时，函数为增函数，当k＜0时，函数为减函数；涉及直线与直线的交点问题常联立方程组求解．
【典型例题1】
已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m为何值时：
(1)这个函数为一次函数；
(2)函数值y随x的增大而减小；
(3)此函数为奇函数；
(4)此函数图象与直线y＝x＋1的交点在y轴上？
思路分析：本题主要考查一次函数的概念、奇偶性与单调性，第(1)(2)(3)问易求，对于第(4)问要重视方程组的作用．
解：(1)当2m－1≠0，即m≠时，此函数为一次函数．
(2)根据一次函数的性质，可知当2m－1＜0，即m＜时，函数值y随x的增大而减小．
(3)当2m－1≠0，且1－3m＝0，即m＝时，此函数为奇函数．
(4)设函数y＝(2m－1)x＋1－3m的图象与直线y＝x＋1的交点为(0，y0)，则解得
所以当m＝0时，两条直线的交点在y轴上．
探究二
一次函数的图象及应用
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，因此k的取值确定了直线的方向，b的取值确定了直线在y轴上的截距，同时，直线的特征也确定了k，b的取值，总之要达到“数”与“形”的统一，做到“数中含形，形中蕴数”．
【典型例题2】
若函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围．
思路分析：根据函数的单调性及截距列关系式求解．
解：因为函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，
所以所以m＞，n＞－.
【典型例题3】
画出函数y＝2x－4的图象，利用图象解决下列问题：
(1)求方程2x－4＝0的根；
(2)求不等式2x－4≥0的解集；
(3)当y≤2时，求x的取值范围；
(4)求函数图象与坐标轴的两个交点间的距离．
思路分析：通过数形结合将一次函数、一元一次方程和一元一次不等式联系在一起，解题时要充分利用图形的直观性．
解：令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝2，描点A(0，－4)，B(2,0)；连线，如图所示，直线AB就是函数y＝2x－4的图象．
(1)直线AB与x轴的交点是B(2,0)，从图象可以看出，当x＝2时，y＝0，即2×2－4＝0，所以x＝2就是方程2x－4＝0的根．
(2)由图象可以看到，射线BC在x轴上及其上方，它上面的点的纵坐标都大于或等于零，即y＝2x－4≥0.
因为射线BC上的点的横坐标满足x≥2，所以不等式2x－4≥0的解集是{x|x≥2}．
(3)过(0,2)作平行于x轴的直线D′D，交直线AB于点(3,2)，直线DD′上点的纵坐标均为2，直线AB上位于直线DD′上及其下方的点的纵坐标满足y≤2，横坐标满足x≤3，所以当y≤2时，x的取值范围为x≤3.
(4)图象与x轴的交点为B(2,0)，与y轴的交点为A(0，－4)，因此|OA|＝4，|OB|＝2.
由勾股定理得|AB|＝＝＝.
探究三易错辨析
易错点 忽视斜率的特殊情形而致误
【典型例题4】
讨论函数y＝(a－3)x＋b＋5的单调性．
错解：由一次函数的性质可知，当a－3＞0，即a＞3时，函数为增函数；当a－3＜0，即a＜3时，函数为减函数．
错因分析：忘记a－3＝0，即a＝3这一特殊情况，而误认为y＝(a－3)x＋b＋5一定是一次函数．
正解：由题意，知当a－3＞0，即a＞3时，函数为增函数；
当a－3＜0，即a＜3时，函数为减函数；
当a－3＝0，即a＝3时，函数可化为y＝b＋5，是常数函数，没有单调性．
综上可知，当a＞3时，函数为增函数；当a＜3时，函数为减函数；当a＝3时，函数无单调性．
点评
对于含参数的函数进行分类讨论时，一定要注意分类要全面，做到不重复不遗漏．3.2.2
对数函数
课堂探究
探究一
求对数函数的定义域
求对数函数定义域的步骤
【典型例题1】(1)函数f(x)＝＋ln(4－x)的定义域为( )
A.[－1,4)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,4)
D．(4，＋∞)
(2)函数y＝loga
(a>0，a≠1)的定义域为__________．
解析：(1)由题意可知解得x∈[－1,4)，故选A.
(2)由题意可得>0，又∵偶次根号下非负，∴x－1>0，即x>1.
∴函数y＝loga
(a>0，a≠1)的定义域为(1，＋∞)．
答案：(1)A (2)(1，＋∞)
探究二
对数函数的图象
对数函数图象的变化规律：
1．对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于几个底数都大于0且小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．以上规律可总结成x>1时“底大图低”．实际上，作出直线y＝1，它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小，如图所示．
2．当a>1时，图象向下无限接近于y轴；当03．牢记特殊点：对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过(1,0)，(a,1)，.
【典型例题2】
函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lg
x的图象如图所示．
(1)说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y＝，y＝，y＝的图象；
(3)从(2)的图中你发现了什么？
解：(1)①对应函数y＝lg
x，②对应函数y＝log5x，③对应函数y＝log2x．这是因为当底数全大于1时，在x＝1时右侧，底数越大的函数图象越靠近x轴．
(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y＝，y＝，y＝的图象如图所示．
(3)从(2)的图中可以发现：y＝lg
x与y＝，y＝log5x与y＝，y＝log2x与y＝分别关于x轴对称．
探究三
利用对数函数的性质比较大小
1．如果两个对数的底数相同，则由对数函数的单调性(当底数a>1时，函数为增函数；当底数02．如果两个对数的底数和真数均不相同，那么通常引入中间值进行比较．
3．如果两个对数的底数不同而真数相同，如y1＝loga1x与y2＝loga2x的大小比较(a1>0，a1≠1，a2>0，a2≠1)，
(1)当a1>a2>1时，根据对数函数图象的变化规律知当x>1时，y1y2.
(2)当01时，y1y2.
对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意根据对数的底数是否大于1进行分类讨论．
【典型例题3】比较大小：
(1)log0.27与log0.29；
(2)log35与log65；
(3)(lg
m)1.9与(lg
m)2.1(m＞1)；
(4)log85与lg
4.
解：(1)log0.27和log0.29可看作是函数y＝log0.2x，当x＝7和x＝9时对应的两个函数值，由y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，得log0.27＞log0.29.
(2)函数y＝log3x(x＞1)的图象在函数y＝log6x(x＞1)的图象的上方，故log35＞log65.
(3)把lg
m看作指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lg
m与1的关系．
若lg
m＞1，即m＞10，则y＝(lg
m)x在R上是增函数，故(lg
m)1.9＜(lg
m)2.1；若0＜lg
m＜1，即1＜m＜10，则y＝(lg
m)x在R上是减函数，故(lg
m)1.9＞(lg
m)2.1；若lg
m＝1，即m＝10，则(lg
m)1.9＝(lg
m)2.1.
(4)因为底数8,10均大于1，且10＞8，
所以log85＞lg
5＞lg
4，即log85＞lg
4.
点评
本题代表了几个典型的题型．其中题(1)是直接利用对数函数的单调性；题(2)是对数函数的底数变化规律的应用；题(3)是指数函数的单调性及对数函数性质的综合运用；题(4)是中间量的运用．当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性．常用的中间量有0,1等，可通过估算加以选择．
探究四
求复合函数的单调区间
求复合函数的单调区间的步骤：
1．求出函数的定义域；
2．将复合函数分解为基本初等函数；
3．分别确定各个基本初等函数的单调性；
4．根据复合函数原理求出复合函数的单调区间．
【典型例题4】求下列函数的单调区间：
(1)y＝log0.2(x2－2x＋2)；
(2)y＝loga(a－ax)．
思路分析：利用复合函数法确定其单调区间即可．
解：(1)令u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1>0.
当x≥1时，u＝x2－2x＋2是增函数，
又y＝log0.2u是减函数，
所以y＝log0.2(x2－2x＋2)在[1，＋∞)上是减函数．
同理可得函数y＝log0.2(x2－2x＋2)的单调增区间为(－∞，1]．
故函数y＝log0.2(x2－2x＋2)的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．
(2)①当a>1时，y＝logat是增函数，且t＝a－ax是减函数，而a－ax>0，即ax所以y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上是减函数．
②当00，即ax所以y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上是增函数．
综上所述，当a>1时，函数y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上是减函数；当0探究五
易错辨析
易错点 忽视真数的取值范围而致误
【典型例题5】解不等式loga(2x－5)>loga(x－1)．
错解一：由2x－5>x－1，得x>4，故原不等式的解集为{x|x>4}．
错解二：由
解得x>4，
故原不等式的解集为{x|x>4}．
错解三：原不等式可等价变形为
解得x>4.
所以当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0错因分析：错解一中没考虑真数的取值范围，也没有对a进行分类讨论；错解二中没有对a进行分类讨论；错解三中出现逻辑性错误，运算变形的顺序出现了问题，即开始默认了a>1对原不等式进行了转化是不正确的，虽然后来对a又进行了讨论，看起来结果正确．
正解：当a>1时，原不等式等价于
解得x>4.
当0解得综上，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0幂函数
课堂探究
探究一
幂函数的概念
1．幂函数的判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
(2)如果函数以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
2．待定系数法求幂函数解析式的方法
若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.
【典型例题1】
(1)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x－2
C．f(x)＝
D．f(x)＝
(2)下列函数中是幂函数的为__________．
①y＝；②y＝2x2；③y＝；
④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.
解析：(1)设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝，
∴α＝－2.∴y＝x－2.
(2)①③的底数是变量，指数是常数，且系数为1，因此①③是幂函数；②中x2的系数为2，因此不是幂函数；④是由幂函数复合而成的函数，因此不是幂函数；⑤不符合幂函数中xα前的系数为1，因此不是幂函数．
答案：(1)B (2)①③
探究二
比较大小
比较幂形式的两个数大小的常用方法：
1．若能化为同指数，则用幂函数的单调性．
2．若能化为同底数，则用指数函数的单调性．
3．若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小．
【典型例题2】
比较下列各组数的大小：
(1)，..
(2)(－1.2)3，(－1.25)3.
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.
(4)0.53,30.5，log30.5.
思路分析：(1)借助函数y＝；(2)借助函数y＝x3；(3)借助函数y＝5.26x和y＝x－1；(4)利用中间值法．
解：(1)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴<.
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3.
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1.
∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2.
∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
(4)∵0<0.53<1,30.5>1，log30.5<0，
∴log30.5<0.53<30.5.
探究三
幂函数的图象
画图象时，一般先画第一象限内的图象，再结合函数性质补全图象，幂函数的图象与幂指数间有如下规律：
1．指数大于1，在第一象限的图象，类似于y＝x2的图象；
2．指数等于1，在第一象限为上升的射线；
3．指数大于0小于1，在第一象限的图象，类似于y＝的图象；
4．指数等于0，在第一象限为水平的射线；
5．指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1的图象．
【典型例题3】
如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．n<0，m>1
B．n<0C．m>n>1
D．n>m>1
解析：由幂函数的图象及性质可知，在第一象限内，若幂指数大于零，则函数为增函数；若幂指数小于零，则函数为减函数，故m>0，n<0.又由y＝xm的图象与直线y＝x比较，得0答案：B
探究四
幂函数性质的综合应用
对于与幂函数有关的综合性问题，一般涉及奇偶性与单调性问题，解决此类问题可分两步走：一是利用单调性来弄清指数的正负，二是利用奇偶性来确定幂函数的图象．
【典型例题4】
已知幂函数f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
思路分析：先利用f(x)在(0，＋∞)上为减函数求出m的范围，再用代入检验的方法来验证是否为偶函数．
解：∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，
∴m2－m－2为偶数．
又∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－m－2<0，即－1∵m∈Z，∴m＝0或m＝1.
当m＝0时，m2－m－2＝－2，－2为偶数，
当m＝1时，m2－m－2＝－2，－2为偶数．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x－2.
点评
本题要先充分利用函数为减函数的性质，这正是此问题的切入点，如果先选用偶函数这一性质，将不能准确快速地得出m的值．
探究五
易错辨析
易错点 因把函数看成定义域上的减函数而致误
【典型例题5】
若<，试求a的取值范围．
错解：∵函数y＝是减函数，
∴a＋1>3－2a.∴a>，
即a的取值范围是.
错因分析：误认为y＝是R上的减函数，实质是y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)内均是减函数，而没有整体定义域上为减函数的性质．
正解：对于<，可分三种情况讨论．
①a＋1和3－2a都在(－∞，0)内，此时方程组无解；
②a＋1和3－2a都在(0，＋∞)内，解得③若a＋1和3－2a不在同一单调区间内，则有解得a<－1.
综上可知，a的取值范围为∪(－∞，－1)．
点评
通过本题，我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象，并且还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的，不能随便取并集．3.2.3
指数函数与对数函数的关系
课堂探究
探究一
求反函数
求函数的反函数的主要步骤：
1．从y＝f(x)中解出x＝φ(y)；
2．将x，y互换；
3．标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写”．
【典型例题1】
求下列函数的反函数：
(1)y＝log2x； (2)y＝； (3)y＝5x＋1.
思路分析：按照求反函数的基本步骤求解即可．
解：(1)由y＝log2x，得x＝2y，
∴f－1(x)＝2x(x∈R)．
(2)由y＝，得x＝，且y>0，∴f－1(x)＝(x>0)．
(3)由y＝5x＋1，得x＝，∴f－1(x)＝
(x∈R)．
探究二
指数函数与对数函数图象的关系
互为反函数的图象特点：
(1)互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致．
(3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．
【典型例题2】
(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是( )
(2)将y＝2x的图象先__________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象( )
A．先向上平行移动一个单位长度
B．先向右平行移动一个单位长度
C．先向左平行移动一个单位长度
D．先向下平行移动一个单位长度
解析：(1)方法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.
其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，又可排除D.故选B.
方法二：若0若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．
方法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接选B.
(2)本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何图形直观推断．
答案：(1)B (2)D
探究三
指数函数与对数函数关系的综合应用
根据指数函数与对数函数图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题．
【典型例题3】
设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
思路分析：根据方程的特点，难以从正面下手，可转变方程形式，用数形结合的方法求解．
解：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
则A，B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.
【典型例题4】
已知函数f(x)＝3x，其反函数f－1(18)＝a＋2，函数g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)求函数g(x)的值域．
思路分析：利用反函数的性质求出a，即可得g(x)的解析式，再利用配方法求g(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝3x，∴f－1(x)＝log3x.
又∵a＋2＝f－1(18)＝log318＝2＋log32，∴a＝log32，∴g(x)＝3x·log32－4x＝2x－4x.
(2)∵g(x)＝2x－4x＝－＋，又0≤x≤1，∴2x∈[1,2]，
∴当x＝0时，g(x)max＝0，当x＝1时，g(x)min＝－2，∴函数g(x)的值域为[－2,0]．
点评
通过本题可以看出互为反函数的函数关系是一个重要的知识点，利用配方法求函数的值域是求值域的一种重要方法，有时需结合换元法来进行，要注意函数的定义域对值域的影响．
探究四
易错辨析
易错点 对反函数定义理解不清而致误
【典型例题5】
已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(x)的图象过定点(1,2
013)，则y＝f－1(x＋1)的图象过定点__________．
错解：∵g(x)的图象过定点(1,2
013)，
∴y＝f(x＋1)的图象过定点(2
013,1)．
∴y＝f－1(x＋1)的图象过定点(1,2
013)．
错因分析：误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．
正解：(0,2
014)
解析：∵g(x)的图象过定点(1,2
013)，
∴f(x＋1)的图象过定点(2
013,1)．
又∵f(x)的图象可以看作由f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到的，
∴f(x)过定点(2
014,1)．
又∵f(x)与f－1(x)互为反函数，
∴f－1(x)的图象过定点(1,2
014)．
再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，
f－1(x＋1)的图象过定点(0,2
014)．1.2.1
集合之间的关系
课堂探究
探究一
判断集合之间的关系
判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：
第一步：明确集合A，B中元素的特征．
第二步：分析集合A，B中的元素之间的关系．
(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A B.
(2)当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A?B.
(3)当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.
(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时，有A B，且B A，即集合A，B互不包含．
【典型例题1】
(1)设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A.P N M Q
B．Q M N P
C．P M N Q
D．Q N M P
(2)有下列关系：
①0∈{0}；② ?{0}；③{0,1} {(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：(1)由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形，故集合M，N，Q均为P的子集，再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知Q M N P.
(2)①中根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；
②中由空集是任意非空集合的真子集可知 ?{0}正确；
③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；
④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误．综上，应选B.
答案：(1)B (2)B
探究二
确定集合的子集、真子集
1．(1)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：
①集合A是集合B的子集；②存在元素x∈B，但x A.
所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．
(2)若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则A是B的子集，也是真子集，用符号A B与A?B均可，但用A?B更准确．
2．与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n；
(2)A的真子集的个数为2n－1；
(3)A的非空子集的个数为2n－1；
(4)A的非空真子集的个数为2n－2.
【典型例题2】
集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16
B．8
C．7
D．4
解析：因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集的个数为23－1＝7.
答案：C
【典型例题3】
求满足条件{x|x2＋5＝0}?M {x|x2－1＝0}的集合M.
思路分析：M是集合{x|x2－1＝0}的子集，又{x|x2＋5＝0}是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此问题归结为求{x|x2－1＝0}的非空子集．
解：因为{x|x2＋5＝0}＝ ，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1,1}．
探究三
两个集合相等及其应用
1．判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同，有两种方法：(1)将两个集合的元素一一列举出来，进行比较；(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两个集合相等．
2．两个集合相等的问题一般转化为解方程(组)，但要注意最后需检验，看是否满足集合元素的互异性．
3．找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键．
【典型例题4】
已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，若A＝B，求x，y的值．
思路分析：A＝B―→列方程组―→解方程组求x，y
解：∵A＝B，∴集合A与集合B中的元素相同．
∴或解得或或
验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}，这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
∴x，y的取值为或
探究四
根据子集的关系，确定参数的值
对于两个集合A，B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法．
1．分类讨论是指：
(1)A B在未指明集合A非空时，应分A＝ 和A≠ 两种情况来讨论．
(2)因为集合中的元素是无序的，由A B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论．
2．数形结合是指对A≠ 这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)求出参数．
3．解决集合中含参数问题时，最后结果要注意验证．
验证是指：(1)分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足互异性．(2)所求参数的取值范围能否取到端点值．
【典型例题5】
已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}，满足Q?P，求a的取值．
思路分析：先明确集合P，再结合Q?P对Q中的a分两种情况讨论．
解：P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．
当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝ ，Q?P成立．
当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，
要使Q?P成立，则有－＝2或－＝－3，
即a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝.
反思本题易漏掉当a＝0时的情况，要清楚当a＝0时，ax＋1＝0是无解的，即此时Q为空集．
探究五
易错辨析
易错点 忽略B为 这一特殊情况而致误
【典型例题6】
集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B A，求实数m满足的条件；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
错解：(1)由题意并结合数轴(如下图)，
得解得2≤m≤3.
所以实数m满足的条件是2≤m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
所以A的非空真子集的个数为28－1＝255.
错因分析：(1)中忽略了B＝ 时的情形；
(2)中误认为是求A的真子集或A的非空子集的个数．
正解：(1)①当B＝ 时， A，符合题意，此时m＋1>2m－1，解得m<2.
②当B≠ 时，由题意结合数轴(如下图)．
得解得2≤m≤3.
综合①②，可知m满足的条件是m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
反思空集是一种特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B A时，B可能为 易被忽视，在条件不明确时，要注意分类讨论．1.2.2
集合的运算
课堂探究
探究一集合的补集运算
1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
2．如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意端点值能否取得．
【典型例题1】
已知全集U＝R，集合A＝{x|－3求：(1) UA， UB；
(2) U(A∩B)．
思路分析：(1)根据补集的定义，借助于数轴写出；(2)先求A∩B，再根据补集的定义写出．
解：(1)∵A＝{x|－3在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示．
∴ UA＝{x|x≤－3或x≥3}， UB＝{m|m≥1}．
(2)∵A∩B＝{x|－3∴ U(A∩B)＝{x|x≥1或x≤－3}．
探究二补集运算中的含参数问题
1．由集合补集求有关参数问题的思路流程：
2．含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决．
【典型例题2】
(1)设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}， UA＝{5}，则a等于________；
(2)已知集合A＝{x|x解析：(1)由 UA＝{5}，知a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.
当a＝－4时，U＝{2,3,5}，A＝{3,2}，满足 UA＝{5}；
当a＝2时，U＝{2,3,5}，A＝{3,2}，满足 UA＝{5}．所以a的值为－4或2.
(2) RB＝{x|x≤1或x≥2}，由于A∪ RB＝R，如图所示，
所以a≥2.
答案：(1)－4或2 (2)a≥2
探究三
补集思想的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样能化难为易，化隐为显，从而解决问题．我们把这种解决问题的方法称为“正难则反”的解题策略，也是“补集思想”的应用．
【典型例题3】
已知集合A＝{x|x<－6或x>3}，B＝{x|k－1≤x－1≤k}，若A∩B≠ ，求k的取值范围．
思路分析：A∩B≠ 时对应的k的取值范围不好直接求解，可考虑问题的反面：先求A∩B＝ 时对应的k的取值范围，然后再取其“补集”，即可得A∩B≠ 时k的取值范围．
解：由已知可得B＝{x|k≤x≤k＋1}，
若A∩B＝ ，则解得－6≤k≤2.
令P＝{k|－6≤k≤2}，则 RP＝{k|k<－6或k>2}．
所以当A∩B≠ 时，k的取值范围是k<－6或k>2.
探究四易错辨析
易错点 因变形不等价而致误
【典型例题4】
已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|x>a}，且 UA B，求实数a的取值范围．
错解：因为A＝，
所以 UA＝＝{x|x>1}．
由图可知，当a<1时， UAB；
当a=1时， UA=B.
所以实数a的取值范围是a≤1.
错因分析：错解中误认为A的补集为使≥0成立的x构成的集合，其实A的补集中的元素除了使≥0成立的x外，还有x=1这个值．
正解：因为A=={x|x<1}，
所以 UA={x|x≥1}．
由图可知，
当a<1时， UAB；
当a≥1时，B UA.
所以实数a的取值范围是a<1.
反思
求集合的补集，首先应明确该集合，最好不要急于对集合中的方程、不等式等进行对立面的转化，这样易造成转化不等价，再就是要充分利用维恩图或数轴表示集合．2.2.3
待定系数法
课堂探究
探究一用待定系数法求一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤：
(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；
(2)根据题意列出关于k和b的方程组；
(3)求出k，b的值，代入即可．
【典型例题1】
已知一次函数的图象与x轴交点的横坐标为－，并且当x＝1时，y＝5，则这个一次函数的解析式为__________．
解析：设所求的一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点和(1,5)，
则有解得
所以y＝2x＋3.
答案：y＝2x＋3
探究二
用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数解析式常见情形如下表：
已知条件
形式
要确定的系数
不同的三个点的坐标
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
a，b，c
顶点坐标(h，k)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
a
与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
a
已知对称轴x＝h
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
a，k
【典型例题2】
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试求二次函数的解析式．
解：方法1：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则解得
所以f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法2：因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为直线x＝＝，又f(x)的最大值为8.
所以可设f(x)＝a2＋8(a≠0)，
则a2＋8＝－1，所以a＝－4.
故f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法3：由f(2)＝f(－1)＝－1，知f(x)＋1＝0的两根分别为2和－1，可设f(x)＋1＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)，可得f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又f(x)max＝＝8，
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以f(x)＝－4x2＋4x＋7.
探究三
已知函数图象求函数解析式
1．由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后就在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．
2．分段函数的表达式要注意端点值．
【典型例题3】
如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
思路分析：由图象可知：
①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；
②当x≤1或x≥3时，函数解析式可设为y＝kx＋b(k≠0)；
③当1≤x≤3时，函数解析式可设为y＝a(x－2)2＋2(a＜0)或y＝ax2＋bx＋c(a＜0)．
解：设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0，x≤1)．
因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故
解得k＝－1，b＝2，
所以左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2(x≤1)．
同理可求x≥3时，函数的解析式为y＝x－2(x≥3)．
当1≤x≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．
方法一：设函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a＜0)．
由点(1,1)在抛物线上，可知a＋2＝1，所以a＝－1.
所以抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
方法二：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a＜0,1≤x≤3)．
因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，
所以有解得
所以抛物线对应的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上，函数的解析式为y＝
探究四易错辨析
易错点 没有检验而导致失误
【典型例题4】
已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，且f(x)在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f(x)的解析式．
错解：根据f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，可设f(x)＝ax(x－5)(a≠0)．
f(x)在[－1,4]上的其中一个最值为12，
则有可能出现f(－1)＝12或f＝12，
即6a＝12或－a＝12，解得a＝2或a＝－.
综上可知，f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x或f(x)＝－x·(x－5)＝－x2＋x.
错因分析：没有对a的值进行检验，而出现错解现象．
正解：根据f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，可设f(x)＝ax(x－5)(a≠0)．
f(x)在[－1,4]上的其中一个最值为12，
则有可能出现f(－1)＝12或f＝12，
即6a＝12或－a＝12，解得a＝2或a＝－.
当a＝2时，满足题意；当a＝－时，二次函数的图象开口向下，不符合f(x)＜0的解集是{x|0＜x＜5}，故舍去．
综上，所求解析式为f(x)＝2x2－10x.
点评在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万不要出现增解或漏解现象．3.1.2
指数函数
课堂探究
探究一
指数函数的概念
1．判断一个函数是指数函数的方法：
(1)看形式：即看是否符合y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这一结构形式．
(2)明特征：指数函数的解析式具备的三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
2．已知某个函数是指数函数求参数值的步骤
(1)列：依据指数函数解析式所具备的三个特征，列出方程(组)或不等式(组)．
(2)解：解所列的方程(组)或不等式(组)，求出参数的值或范围．
【典型例题1】
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
思路分析：只需让解析式符合y＝ax这一形式即可．
解：因为y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
所以解得所以a＝2.
探究二
求指数型函数的定义域、值域
求函数的定义域问题，即求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)；求函数的值域问题主要是借助指数函数的性质，先求出指数位置上的表达式的取值范围，再求原函数的值域．
【典型例题2】
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝.
解：(1)要使函数y＝2有意义，则有x－3≠0，即x≠3；
因为≠0，所以y＝≠1.
所以所求函数的定义域是{x|x∈R，且x≠3}，值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)因为y＝中的|x|≥0，所以0＜y≤1.
所以所求函数的定义域为R，值域为{y|0＜y≤1}．
(3)已知函数可化为y＝，由≥0，得x＞1.
又由＞0，得y＝＞1.
所以所求函数的定义域为{x|x＞1}，值域为{y|y＞1}．
探究三
利用指数函数的性质比较大小
利用指数函数的性质比较大小的方法：
1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较；
2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较；
3．当底数a的情形不确定时，要分类讨论，有些底数不相同的，需利用幂的性质化归为同底，再利用单调性得出结果．
【典型例题3】
比较下列各组数的大小：
(1)
与； (2)与1；
(3)(0.6)－2与.
思路分析：若两个数是同底指数幂，则直接利用指数函数的单调性比较大小；若不同底，一般用中间值法．
解：(1)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数，
又∵－1.8>－2.6，∴<.
(2)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数．
又∵－<0，∴>＝1，∴>1.
(3)∵0.6－2>0.60＝1，
<＝1，∴0.6－2>.
探究四
指数函数的图象问题
1．牢记指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限．
2．明确影响指数函数图象特征的关键是底数．
3．平移变换(φ>0)，如图(1)所示．
图(1)
图(2)
4．对称变换，如图(2)所示．
【典型例题4】
函数y＝ax－1＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点__________．
解析：方法一：∵指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过定点(0,1)，
∴函数y＝ax－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则y＝1＋2＝3.
∴函数图象恒过定点(1,3)．
方法二：函数可变形为y－2＝ax－1，把y－2看作x－1的指数函数，则当x－1＝0，即x＝1时，y－2＝1，即y＝3.
∴函数图象恒过定点(1,3)．
方法三：由图象变换可知：
∵指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，∴y＝ax－1的图象恒过定点(1,1)．
∴y＝ax－1＋2的图象恒过点(1,3)．
答案：(1,3)
【典型例题5】
先作出函数y＝2x的图象，再通过图象变换作出下列函数的图象：
(1)y＝2x－2，y＝2x＋1；
(2)y＝2x＋1，y＝2x－2；
(3)y＝－2x，y＝2－x，y＝－2－x.
思路分析：先作出y＝2x的图象，再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象；由y＝2x的图象作关于x轴、y轴、原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象．
解：列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝2x
…
1
2
4
8
…
根据上表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图(1)所示．
图(1)
(1)函数y＝2x－2的图象可以由y＝2x的图象向右平移2个单位长度得到，函数y＝2x＋1的图象可以由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到．图象如图(1)所示．
(2)函数y＝2x＋1的图象可以由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到，函数y＝2x－2的图象可以由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到．图象如图(2)所示．
图(2)
(3)函数y＝2－x的图象由y＝2x的图象关于y轴对称后得到；函数y＝－2x的图象由y＝2x的图象关于x轴对称后得到；函数y＝－2－x的图象由y＝2x的图象关于原点对称后得到．图象如图(3)所示．
图(3)
探究五
易错辨析
易错点 误解“左加右减”法则而致误
【典型例题6】
函数y＝2－x＋1的图象是由y＝2－x的图象怎样变化得到的？
错解：由“左加右减”法则，把y＝2－x的图象向左平移一个单位长度，得到y＝2－x＋1的图象．
错因分析：图象的左右平移是对于自变量x来说的，因此平移只对自变量x起作用，与自变量的函数无关．
正解：因为y＝2－x＋1＝2－(x－1)，所以把y＝2－x的图象向右平移一个单位长度可得到y＝2－x＋1的图象．
易错点 忽视了函数的定义域而致误
【典型例题7】
求函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域．
错解：(换元法)∵y＝(2x)2－2·2x＋3，
∴令2x＝t，则原函数化为y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.
∴当t＝1时，ymin＝2，即y≥2，
即函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域为[2，＋∞)．
错因分析：忽视了新的自变量t的取值范围，而使y的取值范围扩大．
正解：原函数即为y＝22x－2·2x＋3.
令t＝2x，x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]．
∴y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.
当t＝1时，ymin＝2；当t＝2时，ymax＝3.
∴函数的值域为[2,3]．2.1.3
函数的单调性
课堂探究
探究一用定义法证明(判断)函数的单调性
如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：
(1)取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以在证明时，不能用特殊值来代替它们)；
(2)作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；
(3)定号：判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则；
(4)判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则函数在给定区间是增函数；异号，则是减函数)．
【典型例题1】
利用单调性的定义证明函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
思路分析：解题的关键是对Δy＝f(x2)－f(x1)合理变形，最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式，以便于判号．
证明：设x1，x2是(－∞，0)内的任意两个值，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－＝
＝＝，
∵x21·x22＞0，x1＋x2＜0，－Δx＜0，∴Δy＞0.
∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
探究二
利用图象求函数的单调区间
1．由函数的图象得出单调区间是常用的一种方法，但一定要注意画图的准确性及端点处的处理．如果函数的定义域内不含端点，则要写成开区间；如果端点在其定义域内，则写成开区间和闭区间均可，但最好加上区间端点．
2．初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论，在某些题目中可以直接使用．
3．加绝对值的函数图象的处理方法
常见的加绝对值的函数有两种，一种是y＝f(|x|)，自变量上加绝对值；另一种是y＝|f(x)|，函数值上加绝对值．加绝对值的函数图象的画法也有两种：
(1)通过讨论绝对值内的式子的正负，去掉绝对值符号，把函数化为分段函数，再依次画出分段函数每一段的函数图象．
(2)利用函数图象的变换，即通过图象间的对称变换，得到已知函数的图象．
【典型例题2】
已知x∈R，函数f(x)＝x|x－2|，试画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出函数的单调区间．
思路分析：首先分类讨论，去掉绝对值号，将函数化为分段函数，然后画出图象求解即可．
解：f(x)＝x|x－2|＝图象如下图所示．
由图象可知，函数的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)；单调减区间为[1,2]．
探究三
函数单调性的简单应用
函数单调性的简单应用一般表现为以下三个方面：
(1)比较大小：利用函数的单调性可以把函数值的大小比较问题转化为自变量的大小比较问题；
(2)求函数的值域：根据函数的单调性可求出函数在定义域上的最值，进而求出值域；
(3)求解析式中的参数(或其范围)：根据函数的单调性的定义可列出参数满足的等式(或不等式)，进而可求出参数(或其范围)．
【典型例题3】
(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)已知函数g(x)在R上为增函数，且g(t)＞g(1－2t)，求t的取值范围．
思路分析：(1)先将函数解析式配方，找出对称轴，画出图形，寻找对称轴与区间的位置关系求解；(2)充分利用函数的单调性，实现函数值与自变量不等关系的互化．
解：(1)∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，∴该二次函数图象的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
(2)∵g(x)在R上为增函数，且g(t)＞g(1－2t)，
∴t＞1－2t.∴t＞，即所求t的取值范围为.
点评(1)已知函数的单调性求参数范围，要注意数形结合，画出图象，往往解题很方便，同时要采取逆向思维求解；
(2)充分利用了函数的单调性，在单调区间内，变量与函数值之间的关系，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.
探究四
易错辨析
易错点 忽视分段函数分点处的单调性而致误
【典型例题4】
若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A.(－2,0)
B．[－2,0)
C．(－∞，1]
D．(－∞，0)
错解：D
解析：由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数可知，得a＜0.
错因分析：错解只能保证函数在每段上是减函数，而不能保证在整个定义域上是减函数，因此还要对分点处的函数值进行大小比较．
正解：B
解析：由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1，由x＜1时，f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0，分段点1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，解得a≥－2，所以－2≤a＜0.
点评在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数在每一段上是单调的，而且还要求函数的特殊点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小．