1.1.2
集合的表示方法
课堂探究
探究一
用列举法表示集合
1．用列举法表示集合时，一般不必考虑元素间的前后顺序，如{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
2．元素与元素之间必须用“，”隔开．
3．集合中的元素不能重复．
4．列举法也可以表示无限集．
【典型例题1】
用列举法表示下列集合：
(1)36与60的公约数构成的集合；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根构成的集合；
(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点构成的集合．
思路分析：(1)要明确公约数的含义；(2)注意4是重根；(3)要写成点集形式．
解：(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}；
(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合可表示为{2,4}；
(3)方程y＝x－1与y＝－x＋可分别化为x－y＝1与2x＋3y＝4，则方程组的解是所求集合可表示为.
探究二
用描述法表示集合
1．使用描述法表示集合时要注意以下几点：
(1)写清元素符号；
(2)说明该集合中元素的性质；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；
(5)所有描述的内容都要写在集合符号内；
(6)用于描述的语句力求简明、准确．
2．集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}与C＝{(x，y)|y＝x2＋1}不是相同的集合．这是因为集合A的代表元素是x，且x∈R；集合B的代表元素是y，且y≥1；集合C的代表元素是(x，y)，且(x，y)表示平面直角坐标系内抛物线y＝x2＋1上的点，所以它们是互不相同的集合．
3．{三角形}实际上是{x|x是三角形}的简写，千万别理解成是由三个汉字组成的集合，三角形构成的集合不要写成{所有三角形}，因为{ }本身就有“所有”的含义．
【典型例题2】
用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有非负整数构成的集合；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；
(4)方程组的解构成的集合；
(5)集合{1,3,5,7，…}．
思路分析：(1)“0≤x<10，x∈Z”可作为集合的一个特征性质；
(2)要利用数轴上的距离公式来表示，即|x|>3；
(3)，(4)注意代表元素为点的坐标；
(5)“x＝2k－1，k∈N＋”可作为集合的一个特征性质．
解：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x|0≤x<10，x∈Z}；
(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}；
(4)方程组的解构成的集合，用描述法表示为或；
(5){1,3,5,7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．
反思用描述法表示集合之前，应先通过代表元素确定集合是“点集”还是“数集”．另外，二元一次方程组的解，因为含有两个未知数，所以在表示时，可看成“点集”的形式进行描述．
探究三
含参数问题
1．对于集合的表示方法中的含参数问题一定要注意弄清集合的含义，也要清楚参数在集合中的地位．
2．含参数问题常用分类讨论思想来解决，在讨论参数时要做到不重不漏．
【典型例题3】
已知集合M＝{x|(x－a)(x2－ax＋a－1)＝0}中各元素之和等于3，求实数a的值，并用列举法表示集合M.
解：根据集合中元素的互异性知，当方程(x－a)(x2－ax＋a－1)＝0有重根时，重根只能算作集合的一个元素，又M＝{x|(x－a)(x－1)[x－(a－1)]＝0}．
当a＝1时，M＝{1,0}，不符合题意；
当a－1＝1，即a＝2时，M＝{1,2}，符合题意；
当a≠1，且a≠2时，a＋1＋a－1＝3，则a＝，M＝，符合题意．
综上所述，实数a的值为2或，
当a＝2时，M＝{1,2}；当a＝时，M＝.
探究四易错辨析
易错点1 认为集合中的a具有一致性而致误
【典型例题4】
已知集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}．若m∈A，n∈B，则有( )
A．m＋n∈A
B．m＋n∈B
C．m＋n∈C
D．m＋n不属于A，B，C中的任意一个
错解：C
错因分析：不能正确利用集合中元素的特征性质，认为三个集合中的a是一致的，从而由m∈A，得m＝2a，a∈Z.由n∈B，得n＝2a＋1，a∈Z.所以得到m＋n＝4a＋1，a∈Z.进而错误判断m＋n∈C.而实际上，三个集合中的a是不一致的．应由m∈A，设m＝2a1，a1∈Z.由n∈B，设n＝2a2＋1，a2∈Z.所以得到m＋n＝2(a1＋a2)＋1，且a1＋a2∈Z，所以m＋n∈B，故正确答案为B.
正解：B
反思在分析集合中元素的关系时，一定要注意字母各自取值的独立性，并要注意用不同的字母来区分，否则会引起错误．
易错点2 混淆集合中的代表元素而致误
【典型例题5】
判断命题＝的真假，并说明理由．
错解：此命题是真命题．理由如下：
∵x与的范围一致，
∴题中命题是真命题．
错因分析：误认为两个集合的代表元素一样而导致错误．实际上，的代表元素是x，而的代表元素是，因而构成两个集合的元素不同．
正解：此命题是假命题．理由如下：
∵x∈N，且∈Z，∴1＋x＝1,2,3,6.
∴x＝0,1,2,5.
∴＝{0,1,2,5}．
而＝{6,3,2,1}，
∴题中命题是假命题．
反思化简集合时一定要注意该集合的代表元素是什么，看清楚是数集、点集，还是其他形式，还要注意充分利用特征性质求解，两者相互兼顾，缺一不可．1.2.2
集合的运算
自我小测
1．若集合A＝{x|－2
A．{x|－1B．{x|－2C．{x|－2D．{x|02．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞4}，则M∪N等于( )
A．{x|x＜－5或x＞－3}
B．{x|－5＜x＜4}
C．{x|－3＜x＜4}
D．{x|x＜－3或x＞5}
3．设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且A∪B＝{－1,0,2}，则实数m等于( )
A．－1
B．1
C．0
D．2
4．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( )
A．N M
B．M∪N＝M
C．M∩N＝N
D．M∩N＝{2}
5．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的维恩(Venn)图，如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷个
6．设A＝{x
|
2x2－px＋q＝0}，B＝{x
|
6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则A∪B等于( )
A．
B.
C.
D.
7．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m等于________．
8．设S＝{(x，y)|x<0，且y
<0}，T＝{(x，y)|x＞0，且y＞0}，则S∩T＝______，S∪T＝_______.
9．已知集合A＝，集合B＝{m|3>2m－1}，求A∩B，A∪B.
10．求满足集合A∪B＝{a，b}的集合A，B.
11．设方程x2－mx＋m2－19＝0的解集为A，x2－5x＋6＝0的解集为B，x2＋2x－8＝0
的解集为C，且A∩B≠ ，A∩C＝ ，试求m的值．
参考答案
1.
解析：在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，
由数轴可知，A∩B＝{x|0答案：D
2.
解析：在数轴上分别表示出集合M，N，如图所示，
由数轴可知，M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
答案：A
3.
解析：由于
A∪B＝{－1,0,2}，则－1∈A或－1∈B.因为A＝{0}，所以－1 A.所以必有－1∈B.又B＝{2，m}，则m＝－1.
答案：A
4.
答案：D
5.
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
答案：B
6.
解析：∵A∩B＝，∴∈A，∈B.
将分别代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0，联立得
解得
所以A＝{x
|
2x2＋7x－4＝0}＝，
B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝.
故A∪B＝.
答案：A
7.
解析：在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，
由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，则m＝6.
答案：6
8.
解析：集合S是平面直角坐标系中第三象限内的所有点构成的集合，集合T是平面直角坐标系中第一象限内的所有点构成的集合，则S∩T＝ ，S∪T＝{(x，y)|x＞0，且y＞0或x<0，且y<0}＝{(x，y)|xy>0}．
答案： {(x，y)|xy>0}
9.
解：解不等式组得－2解不等式3>2m－1，得m<2，则B＝{m|m<2}，
在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，
则A∩B＝{x|－210.
解：对A的元素个数进行分类讨论．
(1)若A＝ ，则B＝{a，b}；
(2)若A＝{a}，则B＝{b}或B＝{a，b}；
若A＝{b}，则B＝{a}或B＝{a，b}；
(3)若A＝{a，b}，则B＝{a}或B＝{b}或B＝{a，b}或B＝ .
11.
解：由已知可得，B＝{2,3}，C＝{2，－4}，再由A∩B≠ 及A∩C＝ 可知，3∈A，
所以3是方程x2－mx＋m2－19＝0的根，
即9－3m＋m2－19＝0，解得m＝5或m＝－2.
但当m＝5时，A＝{2,3}与已知矛盾；
所以m＝－2，此时A＝{－5,3}．
故m＝－2.第一章 集合
测评(B卷)
【说明】
本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设S、T是两个非空集合，且S T，T S，若S∩T＝M，则S∪M等于
A．S
B．T
C．
D．M
2．集合{x|0<|x－1|<4，x∈N}的真子集的个数为
A．32
B．31
C．16
D．15
3．已知U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则
A．M∩N＝{4,6}
B．M∪N＝U
C．( UN)∪M＝U
D．( UM)∩N＝N
4．若A∪B＝ ，则
A．A＝ 或B＝
B．B＝ 或A≠
C．A＝B＝
D．A≠ 或B≠
5．若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有
A．A C
B．C A
C．A≠C
D．A＝
6．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a－2,5}， UA＝{2,4}，则a的值为
A．3
B．4
C．5
D．6
7．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是
A.
B.
C.
D.
8．设集合P＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，Q＝{y|y＝2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则
A．a∈P，b∈Q
B．a∈Q，b∈P
C．a∈P，b∈P
D．a∈Q，b＝Q
9．设集合M＝{2,3，a2＋1}，N＝{a2＋a－4,2a＋1，－1}，M∩N＝{2}，则a的取值集合为
A．{3}
B．{2，－3}
C．{－3，}
D．{－3,2，}
10．已知A∩B＝ ，M＝{A的子集}，N＝{B的子集}，则下列关系式成立的是
A．M∩N＝
B．A∪B＝M∪N
C．M∩N＝{ }
D．A∪B M∪N
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)
11．若A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝3n，n∈N}，C＝{x|x＝4n＋2，n∈N}，则(A∪C)∩B＝__________.
12．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩B＝{2}，( UA)∩( UB)＝{1,9}，( UA)∩B＝{4,6,8}，则集合A＝__________，集合B＝__________.
13．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x Q}，若P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|<2，x∈R}，则P－Q＝__________.
14．若集合A＝{x|x2＋5x－6＝0}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的可能取值为__________．
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)
15．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|mx2－2x＋3＝0}，若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．
16.(本小题满分10分)设A为实数集，满足a∈A ∈A，且1 A.
(1)若2∈A，求A；
(2)A能否为单元素集？若能，把它求出来；若不能，请说明理由；
(3)求证：若a∈A，则1－∈A.
17．(本小题满分10分)已知正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a，a，a，a}，其中a118．(本小题满分12分)已知A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}，a，x∈R.求：
(1)使2∈B，B?A的a、x的值；
(2)使B＝C的a，x的值．
19．(本小题满分12分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}．
(1)若A∩B＝B，求实数a的值；
(2)若A∪B＝B，求实数a的值．
答案与解析
1．A 依题意画出韦恩图：，可得S∪M＝S.
2．D {x∈N|0<|x－1|<4}＝{0,2,3,4}＝M，故集合M的真子集的个数为24－1＝15个．
3．B 把M、N代入验证可知只有B正确．
4．C A∪B＝ ，由并集的定义可知A＝B＝ .
5．A ∵A A∪B且C∩B C，又A∪B＝B∩C，∴A C.
6．C 由题意可知a－2＝3，∴a＝5.
7．C 根据定义，可知集合M、N的长度一定，分别为、，要使集合M∩N的“长度”最小，应取m＝0，n＝1，得M∩N＝{x|≤x≤}，其区间长度为－＝.
8．A 设x0＝2m0＋1，m0∈Z，y0＝2n0，n0∈Z，则a＝x0＋y0＝2m0＋1＋2n0＝2(m0＋n0)＋1∈P；
b＝x0·y0＝(2m0＋1)·2n0＝2(2m0n0＋n0)∈Q.
9．C 方法一：可代入验证a＝－3，a＝2，a＝是否满足M∩N＝{2}；
方法二：∵M∩N＝{2}，∴a2＋a－4＝2或2a＋1＝2.
①当a2＋a－4＝2时，a＝2或a＝－3.
若a＝2，则M＝{2,3,5}，N＝{2,5，－1}与M∩N＝{2}矛盾．
若a＝－3，则M＝{2,3,10}，N＝{2，－5，－1}满足M∩N＝{2}．
②当2a＋1＝2时，a＝，此时M＝{2,3，}，N＝{－，2，－1}，满足M∩N＝{2}．
∴a＝－3或a＝.
10．C ∵A∩B＝ ，∴A与B无公共元素．
∴A的子集与B的子集中只有 为公共元素．
∴M∩N＝{ }．
11．{x|x＝6n，n∈N} ∵A∪C＝A，∴(A∪C)∩B＝A∩B，它表示的是能被2和3整除的自然数．
∴(A∪C)∩B＝{x|x＝6n，n∈N}．
12．{2,3,5,7} {2,4,6,8} 由韦恩图易得.
13．{4} 由题意Q＝{x|0≤x＋<4}＝{x|－≤x<}，
∴P－Q＝{x|x∈P且x Q}＝{4}．
14．－1,0， ∵A＝{－6,1}，B?A，∴B＝ 或B＝{－}，当B＝ 时，a＝0；当B＝{－}时，－＝1或－＝－6，∴a＝－1或a＝.∴a＝－1，0，.
15．解：(1)当m＝0时，原方程化为－2x＋3＝0，x＝，符合题意．
(2)当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由题意Δ＝4－12m≤0，得m≥.
由(1)(2)可得m＝0或m≥.
16．解：(1)∵2∈A，∴＝－1∈A.
∴＝∈A.∴＝2∈A.
∴A＝{2，－1，}．
(2)设A＝{a}，∵∈A，∴＝a，即a2－a＋1＝0，无实数解．∴A不能为单元素集．
(3)a∈A，∴∈A.∴＝1－∈A.
17．解：∵A∩B＝{a1，a4}且a1∴a1＝a.∴a1＝1，
由a1＋a4＝10，得a4＝9，∴3∈A.
①或a2＝3，依题意有1＋3＋a3＋9＋a＋81＝124，∴a3＝5或a3＝－6(舍去)．
②若a3＝3，依题意有1＋a2＋3＋9＋a＋81＝124，∴a2＝5或a2＝－6(舍去)，此时a2＝5>a3＝3，与题意矛盾．
综上，A＝{1,3,5,9}．
18．解：(1)∵2∈B，∴x2＋ax＋a＝2.①
∵B?A，∴x2－5x＋9＝3.②
由①②，可得或
(2)若B＝C，则
解得或
19．解：(1)易得A＝{0，－4}，由A∩B＝B，得B A，
∴B＝ ，{0}，{－4}，{0，－4}．
①当B＝ 时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
∴a<－1；
②当B＝{0}时，∴a＝－1；
③当B＝{－4}时，此方程组无解，∴B≠{－4}；
④当B＝{0，－4}时，∴a＝1.
综上可知a＝1或a≤－1.
(2)∵A∪B＝B，∴A B.
又∵A＝{0，－4}，B中至多有两个元素，
∴B＝A＝{0，－4}．
由(1)知，此时a＝1.1.2
集合之间的关系与运算
2
1．已知M＝{x|x是平行四边形}，P＝{x|x是梯形}，则M∩P等于( )
A．M B．P
C．{x|x是平行四边形}
D．
2．设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}
，那么M∪N等于( )
A．{3,4,5,6,7,8}
B．{5,8}
C．{3,5,7,8}
D．M＝{4,5,6,8}
3．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B等于( )
A．{x|0B．{x|0C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x<1}
4．集合A＝{x|x<－3或x>3}，B＝{x|x<1或x>4}，则A∩B＝__________.A∪B＝__________.
5．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数为__________．
1．若A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( )
A．{(1,2)}
B．(2,1)
C．{(2,1)}
D．
2．已知集合A＝{x|－1A．{x|0B．{x|0C．{x|0≤x<1}
D．{x|0≤x≤1}
3．设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
4．下列四个推理：
①a∈(A∪B) a∈A；
②a∈(A∩B) a∈(A∪B)；
③A B A∪B＝B；
④A∪B＝B A∩B＝B.
其中正确的命题是__________．
5．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝__________.
6．设集合A＝{x|x2－px＋15＝0}，集合B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∩B＝{3}，A∪B＝{2,3,5}，求p、q、r的值．
7．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.
1．设集合A＝{x|x＝2k，k∈N}，B＝{x|x＝3k，k∈N}，则A∩B等于( )
A．{x|x＝5k，k∈N}
B．{x|x＝6k，k∈N}
C．{x|x＝2k，k∈N}
D．{x|x＝3k，k∈N}
2．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．设I＝{1,2,3,4}，A与B是Ⅰ的子集，若A∩B＝{1,3}，则称(A，B)为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是( )[规定(A，B)与(B，A)是两个不同的配集]
A．4
B．8
C．9
D．16
4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠ ，则实数a的集合为__________．
5.已知集合A＝{2,3，x}，B＝{2，x2}，若A∪B＝{2,3，x}，则这样的x的不同值有__________个．
6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为__________．
轻轻告诉你 人靠理性无法绝对客观正确。——范氏7.已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，满足A∩B≠ ，A∩C＝ ，求实数a的值．
8．已知A＝{x|x2－3x－10＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，且A∪B＝A，求实数m的值组成的集合C.
9．集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，已知A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a、m的值．
答案与解析
课前预习
1．D 由平行四边形和梯形的定义易得．
2．A
3．C 结合数轴易得A∩B＝{x|0≤x≤1}．
4．{x|x<－3或x>4} {x|x<1或x>3} 借助数轴易得：
5．4 A可以为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．
课堂巩固
1．C A∩B＝{(x，y)|x＋y＝3且x－y＝1}，即A∩B＝{(x，y)|}＝{(2,1)}．
2．C 由题意B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝{x|0≤x<1}．
3．B 由题意M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，从而M∩N＝{－1,0,1}．
4．②③ ①中a可能不属于A，
④应为A∪B＝B A∩B＝A.
5．2 ∵A＝{x|x≤2}，且A∩B＝{2}，
∴B＝{x|x≥2}．∴a＝2.
6．解：∵A∩B＝{3}，
∴24－3p＝0.∴p＝8.
3q＋r＋9＝0， ①
当p＝8时，A＝{3,5}．而A∪B＝{2,3,5}，
∴2∈B.∴2q＋r＋4＝0.
②
由①②得q＝－5，r＝6.
故p、q、r的值分别是8、－5、6.
7．解：由A∩B＝{9}得9∈A.
∴x2＝9或2x－1＝9.
①由x2＝9得x＝±3.当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，不合题意．
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，此时A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
②由2x－1＝9得x＝5.
当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与题设矛盾．
综上所述，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
课后检测
1．B A＝{能被2整除的非负整数}，B＝{能被3整除的非负整数}，A∩B＝{能被6整除的非负整数}．
2．C 由题意得x2＝x或x2＝3，解得x＝0或1或±，又由互异性知x≠1，∴满足条件的x有3个．
3．C 要使A∩B＝{1,3}，则集合A、B中必须有1、3这两个元素，并且只能有这两个相同的元素，于是有如下的可能：
(1)A＝{1,3}，则B可以是{1,3}，{1,2,3}，{1,3,4}，{1,2,3,4}中的任意一个，共4个；
(2)A＝{1,2,3}，则B可以是{1,3}，{1,3,4}中的一个，共2个；
(3)A＝{1,3,4}，则B可以是{1,3}，{1,2,3}中的一个，共2个；
(4)A＝{1,2,3,4}，则B只能是{1,3}．
所以符合条件的“理想配集”个数是4＋2＋2＋1＝9.
4．{a|a≥－1} ∵A∩B≠ ，∴集合A、B有公共元素，借助数轴如图可得a≥－1.
5．4 ∵A∪B＝A，∴B A.又B中只有两个元素，故B?A.
∴x2＝3或x2＝x，当x2＝3时，x＝±；
当x2＝x时，x＝0或x＝1.故x＝0,1或x＝±.
6．18 解：由所给集合的运算A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，得A⊙B＝{0,6,12}，
所以A⊙B中的所有元素之和为0＋6＋12＝18.
7．解：B＝{2,3}，C＝{－4,2}，由条件可得3∈A，但2 A.将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得a＝5或a＝－2.当a＝5时，A＝{2,3}，与2 A矛盾，
∴a＝5应舍去．当a＝－2时，A＝{－5,3}，符合题意．∴a＝－2.
8．解：A＝{x|x2－3x－10＝0}＝{5，－2}，
∵A∪B＝A，∴B A.
①当B＝ 时，m＝0，
②当B≠ 时，m≠0，
∴B＝{}．∵B A＝{5，－2}，
∴＝5或＝－2.∴m＝
或－.
综上，可得m的值组成的集合C＝{0，，－}．
9．解：∵A∪B＝A，∴B A.
又∵A∩C＝C，C A，
A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}
＝{x|(x－a＋1)(x－1)＝0}，
∴B A，a－1＝2，或a－1＝1.
即a＝3或a＝2.
当a＝3时，B＝{1,2}；当a＝2时，B＝{1}．
∵C A，C有三种情况：①C＝A时m＝3；
②C只含一个元素时，由Δ＝m2－8＝0，
∴m＝±2(舍)；③C＝ 时，Δ＝m2－8<0，
∴－2综上，a＝2或a＝3，m＝3或－2集合的表示方法
自我小测
1．下列语句正确的是( )
①0与{0}表示同一集合；
②第一、三象限的点集可表示为{(x，y)|xy>0}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4A.①④
B．②③
C．②
D．都不对
2．方程组的解集是( )
A．(5,4)
B．(5，－4)
C．{(－5,4)}
D．{(5，－4)}
3．集合{x|x为一条边长为2，一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为( )
A．{0,3}
B．{1,3}
C．{－1,3}
D．{1，－3}
5．定义集合运算：A
B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A
B的所有元素之和为( )
A．0
B．2
C．3
D．6
6．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1 A，则实数a的取值范围是________．
7．用描述法表示集合为______．
8．规定?与 是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b有：a b＝ab，a?b＝b(a2＋b2＋1)．若－29．用适当的方法表示下列对象构成的集合：
(1)绝对值不大于2的所有整数；
(2)方程组的解；
(3)函数y＝图象上的所有点．
10．已知A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，求集合B.
11．(信息题)定义集合A，B的一种运算：A
B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A
B中的所有元素之和为多少？
参考答案
1.
解析：只有②正确，①中0与{0}不表示同一集合，③中方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解构成的集合可表示为{1,2}，④中集合的元素不能一一列举出来，不能用列举法表示．
答案：C
2.
解析：由x2－y2＝9，得(x＋y)(x－y)＝9，将x＋y＝1代入，得x－y＝9.
由解得
故方程组的解集为{(5，－4)}．
答案：D
3.
解析：若2为底边长时，30°角可以是顶角或底角两种情形；若2为腰长时，30°角也可以是顶角或底角两种情形．故集合中有4个元素．
答案：D
4.
解析：当x>0，y>0时，m＝3；当x<0，y<0时，m＝－1；当x>0，y<0时，m＝－1；当x<0，y>0时，m＝－1.
故M＝{－1,3}．
答案：C
5.
解析：因为z＝xy，x∈A，y∈B，所以z的取值有1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A
B＝{0,2,4}，所以集合A
B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.
答案：D
6.
解析：由题意知A＝，
∵1 A，∴1≤－，即a≤－2.
答案：a≤－2
7.
答案：
8.
解析：由－2x＝2(a b)＋＝2ab＋a2＋b2＋1＝(a＋b)2＋1，(
)
将a＝－1，b＝0代入(
)式，得x＝2；
将a＝0，b＝1代入(
)式，得x＝2；
将a＝－1，b＝1代入(
)式，得x＝1，
故A＝{1,2}．
答案：{1,2}
9.
解：(1)由于|x|≤2，且x∈Z，所以x的值为－2，－1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数构成的集合，用列举法可表示为{－2，－1，0,1,2}，用描述法可表示为{x||x|≤2，x∈Z}．
(2)解方程组得
所以用列举法表示方程组的解集为{(0,1)}．
(3)函数y＝图象上的点可以用坐标(x，y)表示，其满足的条件是y＝，所以用描述法可表示为.
10.
解：由A＝{2}，得方程x2＋px＋q＝x有两个相等的实根，且x＝2.
从而有
解得
从而B＝{x|(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1}．
解方程(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1，得x＝3±.
故B＝{3－，3＋}．
11.
解：∵x1∈A，x2∈B，A
B＝{x|x＝x1＋x2}，则x1＋x2的和如下表所示：
x1＋x2
x1
x2 1,2,3
1,2,3,4
2,3,4,5
∴A
B＝{2,3,4,5}，故所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.1.2.2
集合的运算
课堂探究
探究一两个集合的交集运算
求两个集合的交集时，首先要识别所给集合，其次要简化集合，即明确集合中的元素，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果．有时要借助于Venn图或数轴写出交集．
【典型例题1】
设A＝{x|x2－7x＋6＝0}，B＝{x|4思路分析：首先明确集合A，B中的元素，集合A是一元二次方程x2－7x＋6＝0的解集，集合B是满足不等式4解：A＝{1,6}，B＝{5,6,7,8}，用Venn图表示集合A，B，如图所示，
依据交集的定义，观察可得A∩B＝{6}．
探究二两个集合的并集运算
求两个集合的并集时，若用描述法给出的集合，要先明确集合中的元素是什么性质，有时直接观察可写出并集，有时则需借助图示写出并集；若用列举法给出集合，则依据并集的定义，可直接观察或借助于Venn图写出并集．
【典型例题2】
设集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|－2思路分析：首先明确集合A中的元素，集合A是不等式x＋1>0的解集，再借助于数轴写出A∪B.
解：A＝{x|x>－1}，在数轴上分别表示集合A，B，如图所示，
由数轴可知A∪B＝{x|x>－2}．
探究三集合运算性质的运用
1．A∪B＝A B A，A∩B＝A A B，这两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当A B时，往往需要按A＝ 和A≠ 两种情况分类讨论，而这一点却很容易在解题时被忽视，因此当题目中有A B这一条件时，应有分类讨论的思想意识，以免造成漏解或增解．
2．要注重集合语言与数学文字语言之间的转化．
【典型例题3】
集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，则实数m构成的集合为________．
思路分析：解答此题，第一是先利用性质A∪B＝A B A来转化；二是要弄清楚B＝{x|mx－1＝0}≠，要注意对m是否为0进行讨论．
解析：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，A∪B＝A B A.因此集合B只能为单元素集或 .
(1)当B＝{1}时，即1∈B＝{x|mx－1＝0}，得m＝1；
同理，当B＝{2}时，得m＝.
(2)当B＝ 时，即mx－1＝0无解，得m＝0.
综上(1)(2)可知，实数m构成的集合为.
答案：
探究四
集合的交、并综合运算
集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解，有方程问题、不等式问题、点集等，把集合明确后，根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义，选取合适的方法进行运算，如：可结合数轴、Venn图或初中所学函数的图象等．
【典型例题4】
已知集合A＝{y|y＝
x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝
－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B
，A∪B.
思路分析：先利用配方法确定集合A与B，再利用数轴进行集合的交、并运算．
解：∵A＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}，
∴A＝{y|y≥－4}．
∵B＝{y|y＝
－(
x－1)2＋14，x∈R}，
∴B＝{y|y
≤14}．
将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，
∴A∩B＝{y|－4≤y≤14}，A∪B＝R.
点评本题在求A∩B时，极易出现由得y＝5，近而得出A∩B＝{5}的错误．
探究五易错辨析
易错点 忽视A不为空集的情况而致误
【典型例题5】
设集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝ ，求实数p满足的条件．
错解：由于A∩B＝ ，则A＝ ，所以关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数根，
所以Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
所以实数p满足的条件为p<1.
错因分析：当A∩B＝ 时，若B≠ ，则A＝ 或A≠ 且A与B没有公共元素，错解忽视了B≠ ，且A与B没有公共元素的情况，导致出现错误．
正解：由A∩B＝ ，且B≠ ，
得A＝ 或A≠ 且A与B没有公共元素．
当A＝ 时，Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
当A≠ 且A与B没有公共元素时，
设关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0有非正数解x1，x2，
则有所以有
解得1≤p≤2.
综上所得，实数p满足条件为p<1或1≤p≤2，即p≤2.1.1
集合与集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
1．下列集合表示法正确的是( )
A．{1,2,2}
B．{全体实数}
C．{有理数}
D．不等式x2－5>0的解集为{x2－5>0}
2．设A＝{a}，则下列各式中正确的是( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A
D．a＝A
3．集合{x∈N
|x<5}的另一种表示法是…( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
4．已知集合A＝{2,4，x2－x}，若6∈A，则x＝__________.
5．方程x2－5x＋6＝0的解集可表示为__________．
1．下列四个集合中表示空集的是( )
A．{0}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}
C．{x∈Z||x|＝5，x N}
D．{x∈N|2x2＋3x－2＝0}
2．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，若对任意的a，b∈P都有a
b∈P，则运算
不可能是( )
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
3．坐标轴上的点的集合可表示为( )
A．{(x，y)|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0}
B．{(x，y)|x2＋y2＝0}
C．{(x，y)|xy＝0}
D．{(x，y)|x2＋y2≠0}
4．对于集合A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是__________．
5．若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，集合B用列举法可表示为__________．
6．用列举法表示下列各集合：
(1)A＝{x|x＝，n∈N，n≤5}
(2)B＝{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}
(3)D＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
7．若集合A＝{x|x2＋(a＋1)x＋b＝0}中仅有一个元素a，求a，b的值．
1．下列集合中，不是方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝0的解的集合是( )
A．{－1,2,3}
B．{3，－1,2}
C．{x|(x＋1)(x－2)(x－3)＝0}
D．{(－1,2,3)}
2．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是
( )
A．1
B．0
C．－2
D．2
3．集合A＝{(x，y)|x·y≥0，x∈R，y∈R}是指…( )
A．第一象限的点集
B．第三象限的点集
C．第一、三象限的点集
D．不在第二、四象限的点集
4．设P＝{3,4,5}，Q＝{2,4,6,7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中的元素个数为( )
A．3
B．4
C．7
D．12
5．给出下列命题：
①直角坐标系中所有整点(横、纵坐标都是整数的点)可以构成一个集合；
②{y|y<0.01，y∈Z}是有限集；
③0∈Q,0∈Z,0∈N；
④{0}表示仅有一个元素零的集合．
其中所有正确命题的序号为__________．
6．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，则k＝__________.
7.含有三个实数的集合既可表示为{a，，1}，又可表示为{a2，a＋b,0}，则a2
008＋b2
009的值为__________．
8.试选择适当的方法表示下列集合：
(1)二元二次方程组的解集；
(2)二次函数y＝x2－4的因变量的取值集合；
(3)反比例函数y＝的自变量取值组成的集合；
(4)不等式3x≥4－2x的解集．
9．约定?与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a、b有a?b＝ab，ab＝b(a2＋b2＋1)，且－210．已知集合A＝{a|a2＋ka－k－1＝0}，A中的元素不在集合{4,7,10}中，A中只有一个元素在集合{2,3,4,7,10}中，求集合A.
答案与解析
课前预习
1．C A中不满足互异性，B重复描述；D中没有标明元素是什么．
2．C 本题考查元素和集合的关系．
3．B 理解好特征性质描述法是关键．
4．3或－2 由6∈A得x2－x＝6即x2－x－6＝0，
∴x＝3或－2.
5．{2,3} 用列举法表达时注意表达要规范．
点评：此题还可以用{x|x2－5x＋6＝0}表达．
课堂巩固
1．D {0}是含有元素0的集合；{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}含有元素(0,0)；
{x∈Z||x|＝5，x N}中含有元素－5；虽然方程2x2＋3x－2＝0的解为0.5和－2，但都不是自然数．
2．D 集合P表示偶数集，而两偶数的和、差、积仍为偶数，而商不一定为偶数．
3.C 坐标轴上的点的规律为x＝0或y＝0.
4．2或4 当a＝2时，6－a＝4∈A；
当a＝4时，6－a＝2∈A；
当a＝6时，6－a＝0 A.
故a＝2或4.
5．{3,0，－1} A＝{－2，－1,0,1,2}，将A中元素依次代入x2－1求值，再根据集合的性质得到B＝{3,0，－1}．
6．解：(1)A＝{x|x＝，n∈N，n≤5}＝{－2，－，0，，，}；
(2)由y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，知y≤6，
∴当x＝0,1,2时，y＝6,5,2符合题意．
∴B＝{2,5,6}．
(3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则有
∴D＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
7．解：由题意可知，方程x2＋(a－1)x＋b＝0有相等实根x＝a.
∴
课后检测
1．D 构成该集合的元素是实数而不是点．
2．C ∵－1∈M，
∴2×(－1)∈M，即－2∈M.
3．D 坐标轴上的点不属于任何象限．
4．D 新定义集合P※Q的特征是平面上的点集，横坐标是集合P中的元素，而纵坐标是集合Q中的元素，故集合P※Q中的元素个数为3×4＝12.
5．①③④ ②是无限集．
6．0或1 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2；当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一实根，需Δ＝64－64k＝0，即k＝1，此时方程的解为x＝4，故k＝0或1.
7．1 由0∈{a，，1}而a≠0，≠1，
∴b＝0，从而集合变为{a,0,1}＝{a2，a,0}，
∴a2＝1.∴a＝1(舍去)或a＝－1.
∴a2
008＋b2
009＝(－1)2
008＋02
009＝1.
8．解：(1)方程组的解为
或
∴可用列举法表示其解集为{(0,0)，(1,1)}．
(2)函数y＝x2－4的因变量的取值集合即为y的值组成的集合，可用特征性质描述法表示为{y|y＝x2－4，x∈R}．
(3)用特征性质描述法表示为{x|x≠0}．
(4)用特征性质描述法表示为{x|x≥}．
点评：集合的表示一定要准确、规范．
9．解：根据运算法则：
∴x＝(a＋b)2＋1.
当a＝－1时，b＝0或b＝1；
当a＝0时b＝1，
代入上式得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
10．解：因为A中的元素不在{4,7,10}中，且A只有一个元素在{2,3,4,7,10}中，
所以2∈A或3∈A.
①当2∈A时，有
4＋2k－k－1＝0，所以k＝－3.
所以A＝{a|a2－3a＋2＝0}＝{1,2}．
②当3∈A时，有9＋3k－k－1＝0，所以k＝－4.
所以A＝{a|a2－4a＋3＝0}＝{1,3}．
综上所述，A＝{1,2}或A＝{1,3}．1.1
集合与集合的表示方法
1.1.1
集合的概念
1.1.2
集合的表示方法
5分钟训练
1.下列对象能构成集合的是(
)
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员
②所有的钝角三角形
③2006年诺贝尔经济学奖得主
④大于等于0的整数
⑤北京大学的所有聪明学生
A.①②④
B.②⑤
C.③④⑤
D.②③④
答案：D
解析：由集合中元素的确定性知,①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明学生”不确定,所以不能构成集合.
2.下列命题正确的是(
)
A.1是集合N中最小的数
B.x2-4x+4=0的解集为{2,2}
C.{0}不是空集
D.太湖中的鱼所组成的集合是无限集
答案：C
解析：A中N包含元素0;B不满足集合元素的互异性;D太湖中鱼是有限的而不是无穷多的.
3.给出下列5个关系:①∈R,②∈Q,③0∈{0},④0∈N,⑤π∈Q,其中正确命题的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
提示：∈Q,π∈Q不正确.
4.(1)用列举法表示集合{x∈R|(x-1)2(x+1)=0}为______________;
(2)用列举法表示集合{x∈N|∈N}为______________;
(3)用描述法表示集合{1,,,}为______________;
(4)用列举法表示集合{(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}为______________.
答案：(1){-1,1}
(2){0,3,4,5}
(3){x|x=,n≤4且n∈N
}
(4){(0,6),(1,5),(2,2)}
10分钟训练
1.已知集合A={x∈N|≤x≤},则必有(
)
A.-1∈A
B.0∈A
C.∈A
D.2∈A
答案：B
解析：依题意得A={0,1},所以0∈A.
2.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的有(
)
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：A
解析：集合是一组确定对象的全体，元素具有确定性.“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，所以①②不是集合，同样，2的近似值也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以也不是一个集合，③④能构成集合.
3.已知集合S={a、b、c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案：D
解析：集合中的元素具有互异性，所以a、b、c三个数一定互不相同，因此不可能是等腰三角形的三边.
4.方程组的解集为①{2，1，3}；②（2，1，3）；③{（2，1，3）}，其中正确的表示方法是(
)
A.①②
B.①③
C.③
D.①②③
答案：C
解析：本题的计算不是难点，难点在于这个方程组的解集如何表示，首先应为集合的形式，其次分析集合中元素的形式与属性：有序实数组.
5.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有解构成的集合为M,则M中元素的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
解析：方程x2-5x+6=0的解为x1=2或x2=3;
方程x2-x-2=0的解为x3=2或x4=-1.
依据集合中元素的互异性,知M={-1,2,3}.
6.已知集合A={x|x2-px+q=0}，B={y|y2+（p-1）y+q-3=0}，且A={3}，求B.
解：由根与系数关系知p=3+3=6，q=3×3=9，而集合B是由一元二次方程y2+（p-1）y+q-3=0的根构成的集合，即由方程y2+5y+6=0的解为元素的集合,即B={-2，-3}.
30分钟训练
1.已知集合M={x∈N|x=8-m,m∈N},则集合M中元素的个数为(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
答案：C
2.小华在《高中同步测控优化训练》中遇到这样一道习题,无法确定答案,请你帮他解决.题目为:
下列结论中正确的个数是(
)
①方程+|y+2|=0的解集为{2,-2}
②集合{y|y=x2-1,x∈R}与{y|y=x-1,x∈R}的公共元素所组成的集合为{0,1}
③实数集{1,a,a2-a}中元素a所满足的条件为a≠0且a≠1且a≠2
④方程(x-1)3(x+2)(x-5)=0的解集含有3个元素
⑤0∈
⑥满足1+x>x的实数的全体形成集合
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：A
解析：①中方程的解集应为{x=2,y=-2};②中两个集合的公共元素所组成的集合为{y|y≥-1};③中a2-a≠1,即a≠;⑤中空集不含有任何元素.只有④⑥正确.
3.定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合A={0,1},
B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为(
)
A.0
B.6
C.12
D.18
答案：D
解析：∵A={0,1},B={2,3},∴A⊙B={0,6,12},故所有元素之和为0+6+12=18.
4.（2007山东考试说明卷,1）设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
答案：B
解析：当a=0,b=1,2,6时,a+b=1,2,6;
当a=2,b=1,2,6时,a+b=3,4,8;
当a=5,b=1,2,6时,a+b=6,7,11.
由集合中元素的互异性,知P+Q含8个元素.
5.“被9除余2的数”组成的集合可表示为____________.
答案：{x|x=9n+2,n∈Z}
6.用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________.
答案：{(x,y)|-2≤x≤0,且-2≤y≤0}
提示：阴影部分为一矩形区域,直接表示出横、纵坐标的范围即可.
7.已知集合A={x｜ax2+2x+1=0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素.
解：对a分类讨论：①a=0时，x=；
②a≠0时，Δ=4-4a=0，所以a=1.此时x=-1.
8.(探究题)下面三个集合：①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.
(1)它们是不是相同的集合
(2)它们各自的含义是什么
解：(1)不是相同的集合.
(2)集合①是函数y=x2+1的自变量x所允许取到的值组成的集合,因为x可以取任意实数,所以{x|y=x2+1}=R;集合②是函数y=x2+1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合,由二次函数图象,知y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1};集合③是函数y=x2+1图象上的所有点的坐标组成的集合.如图所示：
9.设S是满足下列两个条件所构成的集合.
①1S；②若a∈S，则∈S.
（1）求证：若a∈S，则∈S；
（2）若2∈S，则S中必有两个其他数，试写出这两个数.
答案：(1)证明：∵a∈S∈S，
∴∈S.
又，
∴∈S.
故a∈S时，有∈S.
（2）解：两次应用条件②，由2∈S∈S，即-1∈S；由-1∈S∈S，即∈S.故当2∈S时，S中必有-1,.
10.(创新题)已知集合A中的元素由部分实数组成,试求满足以下条件的所有有限集合A:
①集合A中的任两元素之和还是集合A中的元素;
②集合A中的任两元素之积还是集合A中的元素;
③集合A中的任一元素的n(n∈N
)次幂还是集合A中的元素.(直接写出答案即可,无需写推理过程)
答案：A={0,1}或{0,-1,1}.1.2.1
集合之间的关系
自我小测
1．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的子集的个数是( )
A．9
B．8
C．7
D．6
2．已知P＝{0,1}，M＝{x|x P}，则P与M的关系为( )
A．P?M
B．P M
C．M?P
D．P∈M
3．设集合A＝{x∈Z|x<－1}，则( )
A． ＝A
B.
∈A
C．0∈A
D．{－2}?A
4．已知集合A＝，集合B＝{m2，m＋n,0}，若A＝B，则( )
A．m＝1，n＝0
B．m＝－1，n＝1
C．m＝－1，n＝0
D．m＝1，n＝－1
5．设集合M＝，集合N＝，则( )
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M不是N的子集，N也不是M的子集
6．若非空数集A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A B成立的所有a的集合是( )
A．{a|1≤a≤9}
B．{a|6≤a≤9}
C．{a|a≤9}
D．
7．已知A＝{y|y＝x2－2x－6，x∈R}，B＝{x|4x－7>5}，那么集合A与B的关系为________．
8．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|(m－1)x－1＝0}，且B A，则实数m构成的集合M等于__________．
9．已知集合A＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝a2－4a＋5，a∈R}，试判断这两个集合之间的关系．
10．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出相应的a值；若不存在，试说明理由；
(2)若A B成立，求出相应的实数对(a，b)．
参考答案
1.
解析：∵x∈N，n∈N，∴集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．∴其子集的个数是23＝8.
答案：B
2.
解析：M＝{x|x P}＝{ ，{0}，{1}，{0,1}}，故P∈M.
答案：D
3.
解析：A中 与集合A的关系应为 A或 ?A，B中 A，C中0 A，D正确．
答案：D
4.
解析：由A＝B，得m2＝1，且＝0，且m＝m＋n，
解得m＝±1，n＝0.
又m≠1，∴m＝－1，n＝0.
答案：C
5.
解析：集合M中的元素x＝
(k∈Z)，集合N中的元素x＝
(k∈Z)，当k∈Z时，2k＋1代表奇数，k＋2代表所有整数，故有M?N.
答案：B
6.
解析：∵A为非空数集，∴2a＋1≤3a－5，即a≥6.
又∵A B，∴即∴1≤a≤9.
综上可知，6≤a≤9.
答案：B
7.
解析：对于二次函数y＝x2－2x－6，x∈R，y最小＝＝－7，所以A＝{y|y≥－7}．
又B＝{x|x>3}，由图知B?A.
答案：B?A
8.
解析：A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
∵B A，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时， A，满足题意，
则m－1＝0，即m＝1.
当B≠ 时，B＝{2}或B＝{3}．
若B＝{2}，有＝2，得m＝；
若B＝{3}，有＝3，得m＝.
所以M＝.
答案：
9.
解：因为x＝1＋a2，a∈R，所以x≥1.
因为y＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1，a∈R，所以y≥1，
故A＝{x|x≥1}，B＝{y|y≥1}，所以A＝B.
10.
解：(1)不存在．理由如下：
若对任意的实数b都有A B，
则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能．
因为A＝{a－4，a＋4}，
所以或这都不可能，所以这样的实数a不存在．
(2)由(1)易知，当且仅当或或或时A B.
解得或或或
所以所求的实数对为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．1.2
集合之间的关系与运算
1
1．设A＝{正方形}，B＝{矩形}，C＝{平行四边形}，D＝{梯形}，则下列包含关系中不正确的是
( )
A．A B B．B C
C．C D
D．A C
2．下列命题中正确的是( )
A．空集没有子集
B．空集是任一集合的真子集
C．空集中的元素个数为零
D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
3．集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集个数为( )
A．16
B．8
C．7
D．4
4．用恰当的符号填空(＝， ， )．
(1)已知集合M＝{1,3,5}，集合P＝{5,1,3}，则M__________P；
(2)设集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝{x|＝0}，则A__________B.
5．用适当的符号填空．
(1)a____{a，b，c}；
(2)0____{x|x2＝0}；
(3) ____{x|x2＋1＝0}；
(4){0,1}____N；
(5){0}____{x|x2＝x}；
(6){2,1}____{x|x2－3x＋2＝0}．
1．若集合A＝{正方形，}B＝{菱形}，C＝{矩形}，D＝{平行四边形}，则下列关系中错误的是……
( )
A．ABC
B．ABD
C．ACD
D．ACB
2．若集合M＝{(x，y)|xy>0且x＋y>0}，N＝{(x，y)|x>0，y>0}，则有( )
A．N∈M
B．NM
C．NM
D．M＝N
3．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2>1}，则下列关系中正确的是( )
A．M＝P
B．PM
C．MP
D．M∪P＝R
4．已知集合A＝{x|x2＝a2，a>0}，B＝{x|nx＝a}，若B?A，则n的取值集合为__________．
5．已知A＝{a,0，－1}，B＝{c＋b，，1}，且A＝B，则a＝__________，b＝__________，c＝__________.
6．已知a∈R，x∈R，A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}．
求：(1)使A＝{2,3,4}的x值；
(2)使2∈B，B?A的a，x的值；
(3)使B＝C的a，x的值．
7．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B A，求实数m的取值范围．
1．下列各式中，正确的是( )
A．2 {x|x≤4}
B．2∈{x|x≤4}
C．{2}?{x|x≤3}
D．{2}∈{x|x≤4}
2．与集合{x∈N|x>1，且x≤3}相等的集合是( )
A．{2}
B．{1,2,3}
C．{x|x＝3，或x＝2}
D．{x|x＝3，且x＝2}
3．设集合A＝{x|1A．a≥2
B．a>2
C．a≤1
D．a>1
4．设A＝{0,1}，B＝{x|x A}，则A与B的关系是( )
A．A?B
B．A∈B
C．B A
D．A＝B
5.A＝{1,3，a}，B＝{a2－a＋1,1}，且B A，则a＝__________.
6.已知集合A＝{(a，b)|a2＋＝2a－1，a∈R，b∈R}，B＝{(1，)}，则A____B.
7．满足{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5}的集合A的个数有__________个．
8．已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，写出所有可能的集合M.
9．同时满足①M {1,2,3,4,5}；②a∈M则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些集合．
10．已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}．写出满足下列条件的一个集合C.C中各元素加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减去2后，则变为B的一个子集．
答案与解析
课前预习
1．C 四个集合之间的关系借助维恩图表示为：
显然，A B C，而C D.
2．C 空集是任意集合的子集，是任一非空集合的真子集．
3．C A＝{0,1,2}，则A的单元素子集有{0}，{1}，{2}；双元素子集有{0,1}，{0,2}，{1,2}；
还有空集，故共有7个真子集．
点评：含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集．
4．(1)＝ (2) (2)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，
∴A B.
5．(1)∈ (2)∈ (3)＝ (4)? (5)? (6)＝
(1)是元素和集合的关系；
(2)是元素和集合的关系，且{x|x2＝0}＝{0}；
(3)是集合与集合的关系，且{x|x2＋1＝0}＝ ；
(4)是集合与集合的关系；
(5)是集合与集合的关系，且{x|x2＝x}＝{0,1}；
(6)是集合与集合之间的关系，且{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．
课堂巩固
1．A 正方形是特殊的菱形和矩形；菱形和矩形是特殊的平行四边形．
2．D 关键要弄清集合M、N中元素的特征性质，其中M中元素满足：xy>0且x＋y>0，即为x>0，y>0，所以与N中元素的特殊性质相同，
故M＝N.
3．C 由x2>1可得x>1或x<－1，∴M?P.
4．{0，－1,1} ∵A＝{－a，a}，当n＝0时，nx＝a无解，即B＝ ；
当n＝－1时，B＝{－a}；当n＝1时，B＝{a}，
∴n的取值集合为{0，－1,1}．
5．1 －2 2 由A＝B可得a＝1，c＋b＝0，＝－1，
∴a＝1，b＝－2，c＝2.
6．解：(1)由题意知{2,3,4}＝{2,4，x2－5x＋9}，
∴x2－5x＋9＝3.解得，x＝2或x＝3.
(2)∵2∈B，B?A，
∴
∴或
(3)∵B＝C，
∴
解得或
7．解：∵B A，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，得2m－1>m＋1，
∴m>2；
当B≠ 时，得
解之，得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为m≥－1.
点评：本题容易忽略B＝ 的情况，出现B A或B?A时，一定要讨论全面．
课后检测
1．B 弄清楚元素与集合之间，集合与集合之间的关系如何正确表达．
2．C {x∈N|x>1，且x≤3}＝{2,3}＝{x|x＝2，或x＝3}．
3．A 借助数轴：
点评：当研究数集之间的关系时，数轴是很有效的工具．
4．B 集合B中元素的特征性质是x A，
∴x是A的子集，即集合B是由集合A的全体子集所构成的．∴A∈B.
点评：B＝{ ，{0}，{1}，{0,1}}，集合A只是集合B中的一个元素．
5．－2或2 ∵B A，
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，
由a2－a＋1＝3解得a＝－1或2，
由a2－a＋1＝a解得a＝1，不合题意，
∴a＝－1或2.
6．＝ A＝{(a，b)|a2＋＝2a－1，a∈R，b∈R}＝{(a，b)|－(a－1)2＝，a∈R，b∈R}＝{(1，)}＝B.
7．2 因为{1,2,3}?A，所以A中至少含有元素1,2,3.同时A?{1,2,3,4,5}，
所以A不可能为{1,2,3,4,5}．所以符合题意的集合A只可能为{1,2,3,4}或{1,2,3,5}．
8．解：①当M中含有两个元素时，M为{1,2}；
②当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
③当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
④当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
所以满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
9．解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且M {1,2,3,4,5}，
故以M中元素的个数进行分类．
①M中含1个元素时，若3∈M，则6－3∈M，
∴M＝{3}；
②M中含2个元素时，M为{1,5}，{2,4}；
③M中含3个元素时，M为{1,3,5}，{2,3,4}；
④M中含4个元素时，M为{1,2,4,5}
⑤M中含5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
因此满足条件的集合共有7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5，}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
10.解：若A中元素减去2，得0,2,4,6,7，则C中元素必在其中，
B中元素加2得3,4,5,7,10，则C中元素必在其中，
所以C中元素只能是4或7.故C＝{4}，或C＝{7}，或C＝{4,7}．
点评：本题采用了逆向思维的方式，要体会“正难则反”的思维方法．1．1 集合与集合的表示方法
1．1.1 集合的概念
1．下列对象能构成集合的是( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员
②所有的钝角三角形
③2007年诺贝尔经济学奖得主
④大于等于0的整数
⑤北京大学的所有聪明学生
A．①②④ B．②⑤
C．③④⑤
D．②③④
2．由下列对象组成的全体构成有限集合的个数是( )
①不超过π的正整数
②高一数学课本中的难题
③中国的大城市
④平方后等于自身的数
⑤高一(2)班中考成绩在500分以上的学生
A．0
B．1
C．2
D．3
3．以下三个关系式中正确的个数是( )
∈R；0.3∈Q；0∈N.
A．1
B．3
C．2
D．0
4．用符号“∈”或“ ”填空：
0__N,0__ ，－__Z，π__Q，sin30°__Q，cos30°__Q，－2__N
5．方程(x－1)2(x＋2)(x－3)＝0的解集中含有__________个元素．
1．下列各组对象中不能构成集合的是( )
A．正三角形的全体
B．所有的无理数
C．不等式2x＋3>1的解
D．个子较高的人
2．下列四个命题，其中正确命题的个数是…( )
①集合N中最小的元素是1
②若a Z＋，则a∈Z－
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是1
④x2＋4＝4x的解集是由2、2组成的集合
A．0
B．1
C．2
D．3
3．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，最多含有的元素个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－3x＋2＝0的解为元素的集合中，共有元素个数为__________．
5．设L(A，B)表示直线AB上全体点组成的集合，则“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单写与P__________L(A，B)．
6．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当a，b，c满足什么条件时，解集分别为空集、含一个元素、含两个元素？
7．已知a、b、c为非零的实数，则M＝＋＋＋所组成的集合为A，求集合A中的所有元素．
1．设△ABC的边长a，b，c是集合S中的三个元素，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
2．由a2,2－a,4组成的一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1
B．－2
C．6
D．2
3．已知A是由0、m、m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m等于( )
A．2
B．0或3
C．3
D．0、2、3均可
4．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即x＝a＋b，且a、b∈Q，则下列元素中不属于集合M的元素个数是( )
①x＝0 ②x＝ ③x＝3－2π
④x＝ ⑤x＝＋
A．1
B．2
C．3
D．4
5．集合P表示所有直角三角形组成的集合，△EFG三边的长分别是EF＝6，FG＝8，EG＝10，则△EFG__________P(用“∈”或“ ”填空)．
6．对于自然数集N，若a∈N，b∈N，则a＋b__________N，ab__________N.
7．给出以下四个命题：
(1)元素0组成的集合是空集；
(2)x>8，且x<5的元素x组成的集合是空集；
(3)满足x∈N，且x2－1＝0的解组成的集合是空集；
(4)满足x<1的元素x组成的集合是空集．
其中，正确的命题有__________．
8．说出下面集合中的元素．
(1)小于12的质数构成的集合；
(2)倒数等于其本身的数组成的集合；
(3)由6的约数组成的集合；
(4)方程2x2－3x－2＝0的解组成的集合．
9．已知集合A是由2、x、x2－x三个元素组成的集合，求x应满足的条件．
10．已知集合A为方程ax2＋2x＋1＝0的解组成的集合，
(1)若A＝ ，求a的值；
(2)若A中只有一个元素，求a的值；
(3)若A中至多有一个元素，求a的值．
答案与解析
课前预习
1．D ①⑤中的对象具有不确定性，所以不能构成集合．
2．D ①中的元素为1,2,3，②③不能构成集合，④中的元素为0,1，⑤中的元素是确定的，有限的．
3．B 三个关系式均正确，一定要记准常用数集的符号．
4．∈ ∈ 集合与元素之间的关系表示符号只有∈
和 .
点评：要注意符号的规范书写．
5．3 方程的三个解为1，－2,3，故解集中含有3个元素．
课堂巩固
1．D “个子较高”不具有确定性．
2．A N表示自然数集，最小的自然数为0，故①③不正确；②中a不一定是整数；④中集合的组成元素不符合互异性．
3．A ＝|x|，＝－x，又|x|必与x和－x中的一个相同，故最多含有两个元素．
4．3 集合中的元素要符合确定性和互异性．
5．∈ 点P是集合L(A，B)中的一个元素．
6．解：当b2－4ac<0时，方程的解集为空集；
当b2－4ac＝0时，方程的解集含一个元素；
当b2－4ac>0时，方程的解集含两个元素．
7．解：(1)a、b、c其一为正数时，不妨设a>0，b<0，c<0，则M＝＋＋＋＝1－1－1＋1＝0.
(2)a、b、c其二为正数，同上，M＝0.
(3)a、b、c都为正数，M＝1＋1＋1＋1＝4.
(4)a、b、c均为负数，M＝＋＋＋＝－4.
故集合A中的所有元素为0,4，－4.
点评：分类时一定要做到标准统一，不重不漏．
课后检测
1．D 集合中的元素具有互异性，故a，b，c的大小各不相同．
2．C 将选项逐一代入验证即可．
3．C 若m＝2，则m2－3m＋2＝0不符合互异性；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，显然m＝0不符合，故m＝3.
4．A ①0＝0＋0×；②＝0＋1×；③2π Q；④＝3＋2，⑤＋＝(2－)＋(2＋)＝4＋0×.
故选A.
点评：弄清集合中元素的本质特征．
5．∈ 62＋82＝102，∴△EFG为直角三角形．
∴△EFG是集合P的一个元素．
6．∈ ∈ 两自然数之和、之积仍然为自然数．
7．(2) 同时满足x>8，且x<5的元素x是不存在的，故其组成的集合是空集．
8．解：(1)中的元素为2,3,5,7,11；
(2)中元素为1，－1；
(3)中元素为6,3,2,1，－1，－2，－3，－6；
(4)中元素为2，－.
9．解：要使集合A中有三个元素，必须满足：
即
∴x≠－1，x≠0且x≠2.
此即为x应有的条件．
点评：集合中的元素必须满足互异性．
10．解：(1)∵A＝ ，∴关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
若a＝0，此时x＝－，不合题意，舍去；
若a≠0，有Δ＝4－4a<0，即a>1.
(2)A中只有一个元素等价于关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一解．
若a＝0，x＝－，合题意；若a≠0，须有Δ＝4－4a＝0，即a＝1，此时x＝－1.
由以上，得a＝0或a＝1时，A中只有一个元素．
(3)A中至多有一个元素，等价于关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至多有一个解，因此
或a＝0，即a≥1或a＝0.
由以上可知，a≥1或a＝0为所求．
点评：当二次项系数不确定时，一定要注意讨论其是否为零．1.1
集合与集合的表示方法
同步测控
我夯基,我达标
1.下列各项中,不能组成集合的是(
)
A.所有正三角形
B.《数学(人教B版)》(必修1)中的所有习题
C.所有数学难题
D.2008北京奥运会的所有比赛项目
解析：A、B、D均满足集合元素的确定性,C中的“难”无法确定难的界限.
答案：C
2.给出下列关系:①∈R;②Q;③4.5∈Q;④0∈N
.其中正确命题的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：无限不循环小数均为无理数.有理数和无理数统称为实数,所以①②③正确.正整数集N
是指除了0以外的所有自然数组成的集合,所以④错.
答案：C
3.已知集合S={a,b,c}中三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析：判断三角形的形状,要考虑三角形的边和角满足的关系.一般先判断是否为等边、等腰、直角,再考虑钝角或锐角三角形.解决本题的关键是集合中元素互异性的应用,即a、b、c互不相等.
答案：D
4.下列四个集合中,表示空集的是(
)
A.{0}
B.{(x,y)|y2=-x2,x∈R,y∈R}
C.{x||x|=5,x∈Z,xN}
D.{x|2x2+3x-2=0,x∈N}
解析：空集是不含任何元素的集合.B中元素是(0,0),C中元素是-5,D中方程的解-2,都不属于N,所以D为空集.
答案：D
5.a,a,b,b,a2,b2构成集合M,则M中元素的个数最多有(
)
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
解析：由集合元素的互异性,知集合中的元素最多为a,b,a2,b2,且4个元素互不相等.
答案：C
6.集合{x∈N
|x<5}的另一种表示方法是(
)
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{1,2,3,4,5}
解析：本题的集合表示方法是特征性质描述法,选项为列举法,关键要掌握N
表示的是正整数集.
答案：B
7.在数集{2x,x2-x}中,实数x的取值范围是_______.
解析：本题主要考查集合元素的互异性.实数x的取值满足集合元素的互异性,则2x≠x2-x,解得x≠0且x≠3,∴实数x的取值范围是{x|x≠0且x≠3}.
答案：{x|x≠0且x≠3}
8.在条件(1)x∈N;(2)x∈Q;(3)x∈R下,分别写出方程x(x+1)·(x)·(x2-2)·(x2+2)=0的解集.
分析:本题只需先判断出方程在实数范围内的根便可迎刃而解.
解：在实数范围内,方程x(x+1)·(x)·(x2-2)·(x2+2)=0的根为0,-1,,±.
(1)当x∈N时,解集为{0};
(2)当x∈Q时,解集为{0,-1,};
(3)当x∈R时,解集为{0,-1,,,}.
9.(1)已知集合M={x∈N|∈Z},求M;
(2)已知集合C={∈Z|x∈N},求C.
分析:集合M中的元素是自然数x,满足条件是是整数;集合C中的元素是,满足条件的x是自然数.
解：(1)∵∈Z,∴1+x=±1,±2,±3,±6.
又∵x∈N,∴x=0,1,2,5.∴M={0,1,2,5}.
(2)结合(1),知=6,3,2,1.
∴C={6,3,2,1}.
10.设集合A={a|a=n2+1,n∈N},集合B={b|b=m2-2m+2,m∈N},若a∈A,试判断a与集合B的关系.
分析:注意应用等价转化的方法,达到形式统一.
解：∵a∈A,∴a=n2+1=n2-2n+2n+1=(n2+2n+1)-2(n+1)+2
=(n+1)2-2(n+1)+2.
∵n∈N,∴n+1∈N.
因此a∈B.
我综合,我发展
11．集合A={1,-3,5,-7,9,-11,…}用描述法表示正确的是(
)
①{x|x=2n±1,n∈N}
②{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N}
③{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}
④{x|x=(-1)n+1(2n-1),n∈N}
A.只有④
B.①④
C.②④
D.③④
解析：取n=0,1,2验证各选项,可知①②不符,③④正确.
答案：D
12.设P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P※Q中元素的个数为(
)
A.3
B.4
C.7
D.12
解析：集合P※Q的元素是点集,P中的元素构成a,Q中元素构成b,所以所求集合中的元素有(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7).
答案：D
13.含有三个实数的某集合可表示为{a,,1},也可表示为{a2,a+b,0},则a2007+b2008=_________.
解析：根据两个相同集合元素所满足的相等关系,进行分类讨论,注意检验所得集合中元素应满足互异性.
由题意,知a≠0,所以①或②
由①得
而不符合集合元素的互异性,
由②亦有舍去.
故有
∴a2007+b2008=-1.
答案：-1
14.给出的下列5种说法中正确说法的序号是___________(填上所有正确说法的序号).
①任意一个集合的正确表示方法都是唯一的
②集合{0,-1,2,-2}与集合{-2,-1,0,2}是同一个集合
③若集合P是满足不等式0≤2x≤1的x的集合,则这一个集合是无限集
④已知a∈R,则aQ
⑤集合{x|x=2k-1,x∈Z}与集合{y|y=2s+1,s∈Z}表示的是同一个集合
解析：本题涉及集合的概念、集合的分类、集合的表示方法和元素与集合的关系等一系列问题,应注意对照所学的相应概念对各种说法进行逐一判定.
由于集合{1}可以表示为{x|x-1=0},所以①是错误的;当a为实数时,依然有可能是有理数,所以④错误;从无限集、集合的无序性来分析,可知②③是正确的;而⑤中的两个集合,它们都表示全体奇数组成的集合.
答案：②③⑤
15已知集合A={x|ax2-2x-1=0,x∈R},若集合A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
分析:本题主要考查元素与集合之间的关系,以及集合的表示法.由描述法可知集合A是关于x的方程ax2-2x-1=0的实数解集,首先考虑方程是不是一元二次方程.
解：当a=0时,方程只有一个根,则a=0符合题意;
当a≠0时,则关于x的方程ax2-2x-1=0是一元二次方程,由于集合A中至多有一个元素,则一元二次方程ax2-2x-1=0有两个相等的实数根或没有实数根,所以Δ=4+4a≤0,解得a≤-1.
综上所得,实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1}.
16.用描述法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的数组成的集合;
(2)使y=有意义的实数x的集合;
(3)如图1-1-1中阴影部分的点(含边界上的点)的集合M.
图1-1-1
分析:符号语言、文字语言、自然语言之间的转化是特征性质描述法的难点,研究问题时注意观察元素的性质,掌握好其相应的特征性质是解题的关键.(1)(2)的元素是数,(3)的元素是点,一般用坐标来表示,另外,要注意观察图象特点,准确地确定不等式.
解：(1){x|x=3n,n∈Z};
(2){x|x≤2且x≠0,x∈R};
(3){(x,y)|-2≤x≤,-1≤y≤且xy≥0}.
我创新,我超越
17.集合A={x∈R|x=a+b,a∈Z,b∈Z},判断下列元素x和集合A间的关系:
(1)x=0;
(2)x=;
(3)x=;
(4)x=x1+x2(其中x1∈A,x2∈A);
(5)x=x1x2(其中x1∈A,x2∈A).
分析:先把x写成a+b的形式,再观察a、b是否为整数,便可判定x是否为A中的元素.
解：(1)中,∵x=0+0×2,∴x∈A.
(2)中,∵x==+1=1+1×,
∴x∈A.
(3)中,∵x==+,而Z,
∴xA.
(4)中,∵x1∈A,x2∈A,可设x1=a1+b1,x2=a2+b2(a1、b1、a2、b2均为整数),则x=x1+x2=
(a1+a2)+(b1+b2),而a1+a2∈Z,b1+b2∈Z,∴x∈A.
(5)同(4)所设,则x=x1x2=(a1+b12)(a2+b22)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2,而a1a2+2b1b2∈Z,
a1b2+a2b1∈Z,∴x∈A.
18.一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么 ”集合是不定义的概念,数学家很难回答这位渔民.
有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在网中跳动.
数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合.”
你能理解数学家的话吗 你能有类似的现实生活中的感悟吗？
分析:通过实例了解集合含义,在了解集合含义时,要考虑集合中元素的三个性质,即确定性(给定的集合,它的元素必须是确定的)、互异性(一个给定集合中的元素是互不相同的)、无序性(集合中的元素无先后顺序之分).
解：由“许多鱼虾在网中跳动”,数学家高兴地说这就是集合,他生动地把鱼虾组成的总体称之为“集合”;“许多鱼虾在网中跳动”又恰好把每一条跳动的对象——鱼(虾)看为元素;“许多鱼虾在网中跳动”同时更重要的是符合了集合的三大特性:“许多鱼虾在网中跳动”明确了确定性——“在网中”;“许多鱼虾”但不可能有两条相同的“鱼(虾)”,满足了互异性;“跳动”恰说明了它们没有固定的顺序之分,吻合了“无序性”.数学家非常激动,因为他为集合的定义做了一个最生动的解释.
数学来源于生活又实践于生活,从现实生活中感悟,试举一例如下:
看万山红遍,层林尽染,漫江碧透,百舸争流……这是《沁园春·长沙》里的一段秋景描写,当沉浸在这种景色中时,气势宏大的景象是“山”“林”“江”“舸”等,“同一类对象汇集在一起”造就了“万山”“层林”“漫江”“百舸”的景观,在数学中我们把它们均称作集合.第一章 集合
测评(A卷)
【说明】
本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共120分，考试时间90分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设P＝{－1,0,1}，Q＝{－2，－1,0,1,2}，则下列表示不正确的是
A．P Q
B．P?Q
C．P∈Q
D．P≠Q
2．设A?B，A?C，则下列表示正确的是
A．A (B∩C)
B．A?(B∩C)
C．A＝B∩C
D．A＝B∪C
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|－1≤x≤4}，那么集合( UA)∩B等于
A．{x|－2≤x≤4}
B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤3}
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，则 U(A∩B)等于
A．{3}
B．{5}
C．{1,2,4,5}
D．{1,2,3,4}
5．设A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n－2，n∈N＋}，则集合A、B之间的关系为
A．A?B
B．B?A
C．A＝B
D．A B
6．集合A、B各有12个元素，A∩B的元素个数为8，则A∪B的元素个数为
A．8
B．16
C．24
D．32
7．若{1,2,3，a}∪{3，a2}＝{1,2,3，a}，则a的取值集合为
A．{0，±1}
B．{0，－1，－}
C．{－1，－}
D．{0，－1，－，}
8．已知集合B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，若集合A满足条件A B且A C，则集合A的个数有
A．3
B．4
C．5
D．6
9．设A、B、I皆为非空集合，且满足A B I，则下列各式中错误的是
A．( IA)∪B＝I
B．( IA)∪( IB)＝I
C．A∩( IB)＝
D．( IA)∩( IB)＝ IB
10．设全集I＝{小于13的正整数}，P＝{2的倍数}，Q＝{3的倍数}，R＝{4的倍数}，把I中的全部元素填入下图的适当区域，其中全部填对的是
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)
11．设直线y＝2x＋3上的点集为P，则P＝________.点(2,7)与P的关系为(2,7)________P.
12．已知集合A＝{x|x2－2x<3}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝__________.
13．若A＝{1,2}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋b＝0}，且A＝B，那么a＝__________，b＝__________.
14．A＝{x|－5三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)
15．(本小题满分10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|01或x<－3}，求：
(1)( UA)∩( UB)；
(2)( UA)∪( UB)．
16.(本小题满分10分)已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
17．(本小题满分10分)设A是数集，其元素满足条件：若a∈A，则∈A.证明：当2∈A时，－1∈A，∈A.
18．(本小题满分12分)我们知道，如果集合A S，那么S的子集A的补集为 SA＝{x|x∈S，且x A}．类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．据此，试回答下列问题：
(1)S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，求S－A及 SA.
(2)在下列各图中用阴影表示集合A－B.
(3)如果A－B＝ ，那么集合A与B之间具有怎样的关系？
19．(本小题满分12分)已知全集U＝{|a－1|，(a－2)·(a－1),4,6}．
(1)若 U( UB)＝{0,1}，求实数a的值；
(2)若 U( UA)＝{3,4}，求实数a的值．
答案与解析
1．C ∵P Q，∴A、B、D均正确，而C中两集合之间的关系不能用“∈”表示．
2．A 显然D错，又A?B，A?C，∴A为B∩C的子集，但不一定为真子集，也不一定为B∩C.
3．D 由题意 UA＝{x|－2≤x≤3}，∴( UA)∩B＝{x|－1≤x≤3}．
4．C 由题意A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5}．
5．B 由题意知A中元素x＝2n，n∈N，B中元素x＝2(2n－1)，n∈N＋，∴A实为非负偶数集，而B为全体正奇数分别与2相乘所得的数构成的集合．
∴B?A.
6．B 由韦恩图可得A∪B的元素个数为4＋8＋4＝16个．
7．D 由题意可得a2＝1或a2＝2或a2＝a.解之得a＝±1或a＝±或a＝0.分别代入{1,2,3，a}和{3，a2}中验证，只有a＝－1，a＝±，a＝0满足条件．
8．B 由A B且A C知A必为B∩C的子集，从而可求出A的个数．又B∩C＝{0,2}，∴集合A的个数为22＝4个．
9．B 由韦恩图可知( IA)∪( IB)＝ IA≠I.
10．C 本题重在考查如何用韦恩图准确表达集合之间的关系．
11．{(x，y)|y＝2x＋3} ∈ 点集P＝{(x，y)|y＝2x＋3}．当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，
∴(2,7)∈P.
12．{x|－113．2 2 由A＝B，知1和2为方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根，∴∴
14．2 －5 借助数轴求解．
15．解：∵A＝{x|0∴ UA＝{x|x≤0或x≥2}．
∵B＝{x|x>1或x<－3}，
∴ UB＝{x|－3≤x≤1}．
(1)( UA)∩( UB)＝{x|－3≤x≤0}．
(2)( UA)∪( UB)＝{x|x≤1或x≥2}．
16．解：∵A＝B，
∴有①或②
由①，得a＋ac2－2ac＝0，即a(c－1)2＝0.
∴a＝0或c＝1.
但当a＝0时，B中元素均为0，故舍之；
当c＝1时，B中元素均为a，故舍之．
由②，得2ac2－ac－a＝0.
∵a≠0，∴(c－1)(2c＋1)＝0.
∴c＝－或c＝1(舍去)．
∴c＝－.
17．证明：∵a∈A，则∈A，
∴当2∈A时，＝－1∈A；
当－1∈A时，＝∈A.
18．解：(1)S－A＝{x|x是高一(1)班中的男同学}， SA＝{x|x是高一(1)班中的男同学}．
(2)见下图：
(3)A B.
19．解：(1)因为 U( UB)＝B＝{0,1}，且B U，
所以|a－1|＝0，且(a－2)·(a－1)＝1，①
或|a－1|＝1，且(a－2)(a－1)＝0.②
①无解，解②，得a＝2，即所求a的值为a＝2.
(2)依题意，知|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3.
由|a－1|＝3，得a＝4或a＝－2.
若(a－2)(a－1)＝3，则a＝.
经检验，a＝4时，(4－2)(4－1)＝6，与元素的互异性矛盾，所以，所求a的值是－2或.
点评：本题的突破口在于通过条件判断得出A U，B U.1.2.2
集合的运算
5分钟训练
1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},则P∩(Q)等于(
)
A.{1,2}
B.{3,4,5}
C.{1,2,6,7}
D.{1,2,3,4,5}
答案：A
2.设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于(
)
A.［0,2］
B.［1,2］
C.［0,4］
D.［1,4］
答案：A
提示：在数轴上表示出两个集合,观察公共部分.
3.设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误的是(
)
A.（A）∪B=I
B.（A）∪（B）=I
C.A∩（B）=
D.（A）∩（B）=B
答案：B
解析：画出韦恩图，有（A）∪（B）=（A∩B），知B错.
4.设全集为U,用集合A、B、C的交、并、补集符号表示图中的阴影部分.
(1)__________________;(2)
__________________.
答案：(1)(A)∩B
(2)(C)∩(A∩B)
10分钟训练
1.下列说法：①{0}；②xA，则x∈A的补集；③若C=A∪B，D=A∩B，则CD；④适合{a}A{a，b，c}的集合A的个数为4.其中不正确的有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
解析：①空集是任何集合的子集；②没有指明全集,若A=N,全集U=Z,则A负整数集,x=3.5,则xA且xA.故②错；③可用韦恩图验证；④分析至少含有一个元素a，最多含有三个元素a、b、c的集合的个数.
①③④都正确，所以选B.
2.已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m-1}，且B≠，若A∪B=A，则(
)
A.-3≤m≤4
B.-3＜m＜4
C.2＜m＜4
D.2＜m≤4
答案：D
解析：由题意，BA.又B≠，故解得2＜m≤4.
3.设全集I=R,M={x|x<-2或x>2}与N={x|1)
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|1D.{x|x<2}
答案：C
解析：由题图可知,阴影部分表示的集合为(M)∩N.
∵M={x|x<-2或x>2},
∴M={x|-2≤x≤2}.
观察上图可知(M)∩N={x|14.某运动协会共有成员68人,其中会游泳的57人,会射击的62人,若两项都不会的有3人,则两项都会的有(
)
A.55人
B.51人
C.58人
D.54人
答案：D
解析：依据集合的运算性质,可设两项都会的有x人,则68=(57-x)+x+(62-x)+3.所以x=54.
5.已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值是(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案：A
解析：依题意,a-3=-3或2a-1=-3,
解得a=0或a=-1.
当a=0时,M={0,1,-3},N={-3,-1,1},这与M∩N={-3}矛盾,故a≠0;
当a=-1时,M={1,0,-3},N={-4,-3,2},符合题意.另外,针对此题的题型还可采用直接代入法求解.
6.已知全集U=N
,集合A={x|x=2n,n∈N
},B={x|x=4n,n∈N
},请使用含有集合A、B的集合运算表示全集U=____________.(只需写出一个即可)
答案：A∪(B)
30分钟训练
1.设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C等于(
)
A.{1,2,3}
B.{1,2,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
答案：D
解析：∵A∩B={1,2},C={2,3,4},
∴（A∩B）∪C={1,2,3,4}.
2.如图所示,阴影部分表示的集合是(
)
A.B∩((A∪C))
B.(A∪B)∪(B∪C)
C.(A∪C)∩(B)
D.((A∩C))∪B
答案：A
解析：阴影部分元素x∈B,但xA,xC,所以阴影部分表示的集合为B∩((A∪C)).
3.在高一(4)班的学生之中,参加语文小组的有20人,参加数学小组的有22人,两个小组都参加的有10人,两个小组都未参加的有15人,则高一(4)班共有学生(
)
A.42人
B.57人
C.52人
D.47人
答案：D
解析：依集合的运算性质,画韦恩图可得:共有人数为20+22-10+15=47.故选D.
4.(探究题)已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},M∩(N)={0,3},则满足条件的集合N共有(
)
A.4个
B.6个
C.8个
D.16个
答案：C
解析：集合N中没有元素0,3,有元素5.故集合N的个数为含元素1,2,4的集合的子集的个数23=8个.
5.集合A、B各有2个元素,A∩B中有一个元素,若集合C同时满足
①CA∪B,②CA∩B,则满足条件的集合C的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D
解析：不妨设A={a,b},B={b,c}.
由①知C{a,b,c},由②知{b}C,所以C中必有元素b.
故C的个数为含有两个元素的集合的子集的个数.
6.(创新题)定义集合M与N的新运算如下：M
N={x|x∈M或x∈N且xM∩N}.若M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M
N)
M等于(
)
A.M
B.N
C.{2,3,4,8,9,10,15}
D.{0,6,12}
答案：B
解析：方法一:
∵M∩N={0,6,12},
∴M
N={2,3,4,8,9,10,15},
∴(M
N)
M={0,3,6,9,12,15}=N.
方法二:如图所示,由定义可知M
N为图中阴影的区域,
∴(M
N)
M为图中阴影Ⅱ和空白的区域.
∴(M
N)
M=N.
7.设集合A={-3，0，1}，B={t2-t+1}.若A∪B=A，则t=_____________.
答案：0或1
解析：由A∪B=A,知BA，
∴t2-t+1=-3①或t2-t+1=0②或t2-t+1=1③.
①无解；
②无解；
③t=0或t=1.
8.设I是全集,非空集合P、Q满足PQI.若含P、Q的一个运算表达式,使运算结果为空集,则这个运算表达式可以是____________(只要求写出一个表达式).
答案：(Q)∩P=
解析：方法一:如韦恩图所示:
则(Q)∩P=.
方法二:构造满足条件的集合实例论证.
设I={1,2,3},Q={1,2},P={1},则Q={3},
显然(Q)∩P=.
9.设二次方程x2+ax+b=0和x2+cx+15=0的解集分别是A和B，又A∪B={3，5}，A∩B={3}，求a、b、c的值.
解：∵A∩B={3}，
∴3一定为方程x2+cx+15=0的根，
于是c=-8，将c=-8代回方程得方程的两根为3、5，
又∵A∪B={3，5}，A∩B={3}，
∴方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根为3.
∴3+3=-a，3×3=b.
∴a=-6，b=9，c=-8.
10.设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，A={5}，求实数a的值.
解：∵A={5}，A={|2a-1|，2}，U={2，3，a2+2a-3}，
∴
解得
∴a=2.1.1.1
集合的概念
课堂探究
探究一
集合中元素的确定性
集合中的元素是确定的，即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素，并且两者必居其一，因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准．若这组对象是明确的、具体的，则它们可以构成一个集合，若是模棱两可的，则不能构成一个集合．
【典型例题1】
判断下列各组对象能否构成一个集合：
(1)2014年进入世界杯决赛圈的32支球队；
(2)方程x2－1＝0的所有实根；
(3)
的近似值的全体；
(4)大于0的所有整数．
解：(1)能，2014年世界杯参加决赛的球队已经确定．
(2)能，因为x2－1＝0的所有实根为－1,1.满足集合中元素的确定性．
(3)不能，“近似值”无明确标准，故构不成集合．
(4)能，因为大于零的整数是确定的．
探究二
集合中元素的互异性
集合中的元素是互不相同的，即集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时，只能写一次，算作集合中的一个元素．
【典型例题2】
若m，m，n，n，m2，n2构成集合M，则M中的元素最多有( )
A.6个
B．5个
C．4个
D．3个
解析：由集合中的元素满足互异性，知集合M中的元素最多为m，n，m2，n2，且4个元素互不相同．
答案：C
【典型例题3】
若集合中的三个元素分别为2，x，x2－x，则元素x应满足的条件是________．
解析：由元素的互异性可知x≠2，且x2－x≠2，且x2－x≠x，
即解得x≠2，且x≠－1，且x≠0.
答案：x≠2，且x≠－1，且x≠0
探究三
元素与集合的关系
1．判断一个对象是否为某个集合的元素，就是要判断这个对象是否具有这个集合的元素所具有的特征．
2．利用元素与集合的关系求参数时要注意求解后要有代入检验的意识．
【典型例题4】
已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
思路分析：－3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．
解：由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；
当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，
当x＝－时，集合的三个元素分别为－，－3,12，满足集合中元素的互异性，故x＝－.
点评解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性．1.2
集合之间的关系与运算
3
1．集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则( UA)∪( UB)为( )
A．{1,6} B．{4,5}
C．{2,3,4,5,7}
D．{1,2,3,6,7}
2．设集合S＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则( )
A．( SA) ( SB)
B．( SA)?( SB)
C．( SA) ( SB)
D．( SA)＝( SB)
3．设全集U和集合A、B、P，A＝ UB，B＝ UP，则A与P的关系是( )
A．A＝ UP
B．A＝P
C．A?P
D．A?P
4．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|05．设S＝{2,3,5}，A＝{2，|a－2|}， SA＝{5}，则a的值为__________．
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2,5}， UB＝{4,5,6}，则A∩B等于( )
A．{1,2,3}
B．{4,5,6}
C．{1,2}
D．5
2．设集合U＝{x∈N|0( )
A．{1,2,4}
B．{1,2,3,4,5,7}
C．{1,2}
D．{1,2,4,5,6,8}
3．已知全集U，M、N是U的非空子集，若 UM N，则有( )
A．M UN
B．M? UN
C． UM＝ UN
D．M＝N
4．下列叙述：
① UA＝{x|x A}；
② U ＝U；
③若S＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是钝角三角形}，则 SA＝{x|x是锐角三角形}；
④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则 UA＝{1}．
其中正确的序号是__________．
5．设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表示图中的阴影部分．
(1)__________；(2)__________．
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∪B＝U，A∩B＝{1,2}， UB＝{3}，试写出满足条件的A、B.
7．已知全集U＝{x∈P|－1≤x≤2}，集合A＝{x∈p|0≤x<2}，集合B＝{x∈p|－0.1(1)若p＝R，求 UA中最大元素m与 UB中最小元素n的差m－n；
(2)若p＝Z，求 AB和 UA中所有元素之和及 U( BA)．
1．已知P为全集U的任一子集，下列关系式中正确的是( )
A． UP?
B． UP?U
C．P∩( UP)
D．P∪( UP)?U
2．设U为全集，集合A、B满足A?B?U，则下列集合中，一定为空集的是( )
A．A∩( UB)
B．B∩( UA)
C．( UA)∩( UB)
D．A∩B
3．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝{(x，y)|y≠x}，N＝{(x，y)|y≠－x}，则集合P＝{(x，y)|y2＝x2}可表示为( )
A．( UM)∩( UN)
B．( UM)∪N
C．( UM)∪( UN)
D．M∩( UN)
4．设全集U＝{a，b，c，d，e}，若A∩B＝{b}，( UA)∩B＝{d}，( UA)∩( UB)＝{a，e}，则下列结论中正确的是( )
A．C∈A∩B
B．C A且C∈B
C．C∈A且C B
D．C A且C B
5.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3,4,5}，N＝{1,3,6}，则[ U(M∪N)]∩(M∩N)＝__________.
6.设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝__________.
7．已知全集U＝N＋，集合A＝{x|x＝2n，n∈N＋}，B＝{x|x＝4n，n∈N＋}，请使用含有集合A、B的集合运算表示全集U＝__________.(只需写出一个即可)
8．集合S＝{x|x≤10，且x∈N
}，A?S，B?S，且A∩B＝{4,5}，( SB)∩A＝{1,2,3}，( SA)∩( SB)＝{6,7,8}，求集合A和B.
9．已知全集U＝{1,2,3,4,5}．若A∪B＝U，A∩B≠ ，且A∩( UB)＝{1,2}，试写出满足上述条件的集合A、B.
10．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－(2m－3)x＋m2－3m≤0，m∈R}．
(1)若A∩B＝[2,4]，求实数m的值；
(2)设全集为R，若A RB，求实数m的取值范围．
答案与解析
课前预习
1．D UA＝{1,3,6}， UB＝{1,2,6,7}，
∴{ UA}∪( UB)＝{1,2,3,6,7}
2．C SA＝{0,4}， SB＝{0,1}，
∴( SA) ( SB)．
3．B 利用补集的性质：A＝ UB＝ U( UP)＝P.
4．{x|0≤x≤1或x>6} U＝{x|x≥0}，A＝{x|15．－1或5 ∵( SA)∪A＝S，∴|a－2|＝3.
∴a＝－1或5.
课堂巩固
1．C 由题意可得B＝{1,2,3}，
∴A∩B＝{1,2}．
2．A U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
∴ UT＝{1,2,4,6,8}．
∴S∩( UT)＝{1,2,4}．
3．A 由维恩图可知M UN.
4．② ①应为 UA＝{x∈U|且x A}；
②正确；
③应为 SA＝{x|x是锐角或直角三角形}；
④∵A U，∴ UA无意义．
5．(1)( UA)∩B (2)( UC)∩(A∩B)
6．解：∵A∩B＝{1,2}，
∴1∈B,2∈B,1∈A，2∈A.
又∵ UB＝{3}，A∪B＝U，
∴3∈A,4∈B,5∈B.
∴A＝{1,2,3}，B＝{1,2,4,5}．
7．解：(1) UA＝{x|－1≤x<0或x＝2}．
∴m＝2.
又 UB＝{x|－1≤x≤0.1或1∴n＝－1.
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵p＝Z，∴U＝{－1,0,1,2}，A＝{0,1}，B＝{0,1}．∴ AB＝ .
∴元素之和为0；而 UA＝{－1,2}．
∴元素之和为1.
∴所求和为1.
∵ BA＝ ，
∴ U( BA)＝ U ＝U＝{－1,0,1,2}．
课后检测
1．C ∵P∩( UP)＝ ，∴P∩( UP) .
2．A 由维恩图易得．
3．C 此题关键是能弄清所给集合U、M、N、P，其中U是全集，是平面内的所有点组成的集合，M是平面内不在直线y＝x上的点构成的集合，N是平面内不在直线y＝－x上的点的集合，所以 UM表示平面上直线y＝x上的点构成的集合， UN表示平面上直线y＝－x上的点构成的集合．所以
P＝{(x，y)|y2＝x2}＝{(x，y)|y＝x或y＝－x}＝( UM)∪( UN)．
4．C C∈A∩B.显然不正确，排除A；C A且C B，则( UA)∩( UB)＝{a，c，e}，排除D；C A，C∈B，则( UA)∩B＝{c，d}，排除B.
5． ∵M∪N＝{1,2,3,4,5,6}＝U，
∴ U(M∪N)＝ .
∴[ U(M∪N)]∩(M∩N)＝ .
6．0或1 由A∪B＝A，
知B A，∴t2－t＋1＝－3， ①
或t2－t＋1＝0,
②
或t2－t＋1＝1.
③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
7．A∪ UB 解：由题意B A，由维恩图
知U＝A∪ UB.
8．解法一：(1)∵A∩B＝{4,5}，
∴4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.
(2)∵( SB)∩A＝{1,2,3}，
∴1∈A,2∈A,3∈A,1 B,2 B,3 B.
(3)∵( SA)∩( SB)＝{6,7,8}，
∴6,7,8既不属于A，也不属于B.
∵S＝{x|x≤10，且x∈N
}，
∴9,10不知所属．
由(2)(3)可知9,10均不属于 SB，
∴9∈B,10∈B.
综上，可得A＝{4,5,1,2,3}，B＝{4,5,9,10}．
解法二：如图所示，
，
∵A∩B={4,5}，
∴将4,5写在A∩B中．
∵( SB)∩A＝{1,2,3}，
∴将1,2,3写在A中．
∵( SB)∩( SA)＝{6,7,8}，
∴将6,7,8写在S中A，B之外．
∵( SA)∩A
与( SB)∩( SA)中均无9,10，
∴9,10在B中．
故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．
点评：与自然数或整数有关的有限集的子、交、并、补集运算，借助韦恩图，显得既直观清晰又简便．
9．解：由A∩( UB)＝{1,2}，知1∈A,2∈A，但1 B,2 B，
∵A∩B≠ ，A∪B＝U，∴A、B可能情形有
A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,4,5}，B＝{3,4,5}；
A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}；
10．解：(1)∵A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，
A∩B＝[2,4]，
∴∴m＝5.
(2) RB＝{x|xm}．
∵A RR，∴m<－2，或m－3>4.
∴m>7或m<－2.1.2
集合之间的关系与运算
同步测控
我夯基,我达标
1.集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是(
)
A.16
B.8
C.7
D.4
解析：根据集合A中所含元素的个数来判断.A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个,故选C.
答案：C
2.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为(
)
A.x=3,y=-1
B.(3,-1)
C.{3,-1}
D.{(3,-1)}
解析：首先搞清M、N中元素是点,M∩N首先是集合,并且其中元素也是点,即可选D项.
答案：D
3.已知集合A={0,1},B={y|x2+y2=1,x∈A},则…(
)
A.A=B
B.AB
C.BA
D.BA
解析：∵x∈A,∴x=0或x=1.
又∵x2+y2=1,∴x=0,y=±1或x=1,y=0.
∴B={-1,0,1}.∴A?B.故选B.
答案：B
4.满足条件{1,2}A{1,2,3,4}的集合A的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：∵{1,2}A{1,2,3,4},
∴A中至少有1、2两个元素,至多有1、2、3(4)三个元素.
∴集合A可能有三种情况:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.
∴集合A的个数是3.故选C.
答案：C
5.设M={x|x=a2+1,a∈N
},P={y|y=b2-4b+5,b∈N
},则下列关系正确的是(
)
A.M=P
B.MP
C.PM
D.M∩P=
解析：∵a∈N
,∴x=a2+1=2,5,10,….
∵b∈N
,∴y=b2-4b+5=(b-2)2+1=1,2,5,10,….
∴MP.故选B.
答案：B
6.下列各组中的两个集合P和Q,表示同一集合的是(
)
A.P={1,,π},Q={π,1,||}
B.P={π},Q={3.141
59}
C.P={2,3},Q={(2,3)}
D.P={x|-1解析：只要两个集合的元素完全相同,这两个集合就表示同一集合.{π,1,|-3|}={π,1,3}={1,3,π},所以A正确;由于π≠3.141
59,所以B错误;集合{2,3}中的元素是实数,而集合{(2,3)}中的元素是点,所以C错误;集合{x|-1答案：A
7.设集合A={-3,0,1},B={t2-t+1}.若A∪B=A,则t=___________.
解析：由A∪B=A,知BA,∴t2-t+1=-3,或t2-t+1=0,或t2-t+1=1,前2个方程无解;第3个解得t=0或t=1.
答案：0或1
8.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x>a},且满足A∩B=,则实数a的取值范围是__________.
解析：借助于数轴求得.画出数轴得a≥1.
答案：a≥1
9.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个？
分析:将这200个数分为满足题设条件和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,所以可考虑用扣除法.
解：如图,先画出Venn图如下,
其中2的倍数的数有100个;3的倍数的数有66个;5的倍数的数有40个;既是2的倍数,又是5的倍数的数有20个;既是2的倍数,又是3的倍数的数有33个;既是3的倍数,又是5的倍数的数有13个;既是2的倍数,又是3的倍数,还是5的倍数的数有6个.
所以不符合条件的数共有100+66+40-20-33-13+6=146.
所以,既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的数共有200-146=54(个).
10.已知集合P={a,a+d,a+2d},Q={a,aq,aq2},其中a≠0,且P=Q,求q的值.
分析:本题是以集合P=Q为载体,列方程求未知数的值的问题,而集合中的元素具有无序性,由P=Q知,第一个集合中的元素a不可能与后面元素中的任何一个元素相等,再看第一个集合中的元素a+d,其不可能与第二个集合中的元素a相等,除此以外,可能的对应情况为或解方程组,得出解后验证可得正确结论.
解：由P=Q,假设
②-①,得d=aq(q-1),
代入①得a+aq(q-1)=aq.
∵a≠0,∴方程可化为(q-1)2=0,解得q=1.
于是a=aq=aq2,与集合中元素的互异性相矛盾,故只能是解得q=或q=1.
经检验q=1不符合要求,舍去.∴q=.
我综合,我发展
11.(2006江苏高考,7)若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有(
)
A.AC
B.CA
C.A≠C
D.A=
解析：因为AA∪B且C∩BC,A∪B=C∩B,由此得AC.
答案：A
12.同时满足(1)M{1,2,3,4,5},(2)若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有(
)
A.32个
B.15个
C.7个
D.6个
解析：∵M{1,2,3,4,5},a∈M,则6-a∈M,
∴1、5应同属于M,2、4也应同属于M,3可单独出现.
∴集合M的情况有七种:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.故选C.
答案：C
13.集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=+,p∈Z},则M、N、P之间的关系是(
)
A.M=NP
B.MN=P
C.MNP
D.NP=M
解析：思路一:可简单列举集合中的元素.
思路二:从判断元素的共性和差异入手.
M={x|x=,m∈Z},
N={x|x==,n∈Z},
P={x|x=,p∈Z}.
由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,
而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P.
答案：B
14.定义集合A
B={x|x∈A且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则
(1)A
B的子集为__________;
(2)A
(A
B)=__________.
解析：(1)A
B={1,7},其子集为,{1},{7},{1,7}.
(2)A
(A
B)={3,5}.
答案：(1),{1},{7},{1,7}
(2){3,5}
15.某车间有120人,其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人,两车都乘的18人,求:
(1)只乘电车的人数;
(2)不乘电车的人数;
(3)乘车的人数;
(4)不乘车的人数;
(5)只乘一种车的人数.
分析:解题的关键是把文字语言转化为集合语言,借助于Venn图的直观性把它表示出来,再求解.
解：根据题意,画出Venn图如图所示:
由图,可知(1)只乘电车的人数为66人;(2)不乘电车的人数为120-84=36人;(3)乘车的人数为84+14=98人;(4)不乘车的人数为120-98=22人;(5)只乘一种车的人数为66+14=80人.
16.设I={1,2,3,…,9},已知:
(1)(A)∩B={3,7},
(2)(B)∩A={2,8},
(3)(A)∩(B)={1,5,6},求集合A和B.
分析:通常的题目是首先给出集合,然后求集合的交、并、补等运算结果.本题恰恰相反,先给出了集合A、B的运算结果,然后要求求集合A、B.可以借助Venn图把相关运算的结果表示出来,自然地就得出集合A、B了.
解：用Venn图表示集合I、A、B的关系,如图所示的有关区域分别表示集合A∩B,(A)∩B,A∩(B),(A)∩(B),并填上相应的元素,可得A={2,4,8,9},B={3,4,7,9}.
我创新,我超越
17.设集合M={x|m≤x≤m+},N={x|n≤x≤n},且M、N都是{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N的“长度”的最小值.
分析:吃透定义是解决定义型创新题目的关键,本题所谓“长度”定义就是闭区间表示在数轴上两端点数据之差的绝对值的大小,也可以看作是闭区间表示在数轴上两端点的距离大小.
解：由已知可知集合M的“长度”为,集合N的“长度”为.若使集合M∩N的“长度”最小,则集合M与N的公共部分就要最少.如图,当集合M的左端点与0重合,?螻的右端点与1重合时,使集合M与N的公共部分达到最少,即集合M∩N的“长度”的最小值是+-1=.
18.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体人数的,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的人数多3人,其余的不赞成;另外对A、B都不赞成的学生人数比对A、B都赞成的学生人数的多1人,问A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
分析:解题的关键是把文字语言转化成集合语言,借助于维恩图的直观性把它表示出来,再根据集合中元素的互异性求出问题的解.
解：如图所示,设50名学生为全集U,所以赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33人,设对A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,则赞成A不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x,所以由题意,得
(30-x)+(33-x)+x++1=50.∴x=21,+1=8.
所以对A、B都赞成的人数为21人,对A、B都不赞成的有8人.
19.已知三个集合E={x|x2-3x+2=0},F={x|x2-ax+(a-1)=0},G={x|x2-3x+b=0}.问:同时满足FE,GE的实数a和b是否存在 若存在,分别求出a、b所有值的集合;若不存在,请说明理由.
分析:将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系,从而求得a、b的值.
解：(1)由已知,得E={1,2},又∵FE,∴F=或{1}或{2}.
①当F=时,即方程x2-ax+(a-1)=0无解.
∴Δ=a2-4(a-1)<0,
即(a-2)2<0,无解.∴F不可能为,即F≠.
②当F={1}时,即方程x2-ax+(a-1)=0有两相等的实根1,
由根与系数的关系,知
∴a=2,即a=2时,FE.
③当F={2}时,即方程x2-ax+(a-1)=0有两相等的实根2.
由根与系数的关系,知
∴∴a无解,即不存在a的值使FE.
综上,a=2时,FE.
(2)当GE且E={1,2}时,G=或{1}或{2}或{1,2}.
①当G=时,即方程x2-3x+b=0无解.
∴Δ=9-4b<0.∴b>,此时GE.
②当G={1}时,即方程x2-3x+b=0有两相等的根1.
由根与系数的关系,知矛盾.
③当G={2}时,同理,矛盾.
④当G={1,2}时,即方程x2-3x+b=0有两异根为1、2.
由根与系数的关系,知∴b=2.
综上,知b=2或b>时,GE.
综合(1)(2),知同时满足FE,GE的a、b的值存在,为a=2,b=2或b>.
适合条件的a、b集合分别为{2}、{b|b=2或b>}.1.2.1
集合之间的关系
5分钟训练
1.设A={正方形},B={矩形},C={平行四边形},D={梯形},则下列包含关系中不正确的是(
)
A.AB
B.BC
C.CD
D.AC
答案：C
解析：四个集合之间的关系借助韦恩图表示为
显然,ABC,而CD.
2.下列四个命题：①={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;
④空集是任何一个集合的子集.
其中正确的有(
)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案：B
解析：只有②是正确的.
3.集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}的真子集的个数是(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
答案：C
解析：当n=0,1,2时,得到x的值分别为5,3,1.
∴集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}={1，3，5}.
∴其真子集的个数是23-1=7.
4.用恰当的符号填空(=,,).
(1)已知集合M={1,3,5},集合P={5,1,3},则M________________P;
(2)设集合A={x|(x-3)(x+2)=0},B={x|=0},则A_____B.
答案：(1)=
(2)
解析：(2)∵A={-2,3},B={3},∴AB.
10分钟训练
1.下列说法中正确的是(
)
①空集是任何集合的真子集
②若AB,BC,则AC
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
④如果不属于A的元素也不属于B,则BA
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
答案：D
2.集合{x∈N|-4)
A.32
B.31
C.16
D.15
答案：D
解析：∵{x∈N|-4∴它的真子集个数是24-1=15.
3.已知集合{2x，x2-x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围是(
)
A.R
B.（-∞，0）∪（0，+∞）
C.{x|x≠3，x∈R}
D.{x|x≠0且x≠3，x∈R}
答案：D
解析：由已知{2x，x2-x}有且只有4个子集，可知2x≠x2-x.解得x≠0且x≠3.
4.已知集合A={-1,3,m},集合B={3,4}.若BA,则实数m=_____________.
答案：4
解析：∵BA,∴4∈A.∴m=4.
5.图中反映的是“文学作品、散文、小说、叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空格:A为_____________;B为_____________;C为_____________;D为_____________.
答案：小说
文学作品
叙事散文
散文
6.设集合A={a|a=n2+1,n∈N
},集合B={b|b=k2-4k+5,k∈N
},若a∈A,试判断a与集合B的关系及集合A与B的关系.
解：∵a∈A,∴a=n02+1(n0∈N
).
n02+1=n02+4n0+4-4(n0+2)+5=(n0+2)2-4(n0+2)+5.
设n0+2=k0,则k0∈N
,
∴a=k02-4k0+5(k0∈N
).∴a∈B.
又1∈B,但1A,∴AB.
30分钟训练
1.集合M={x|x=m+，m∈Z}，N={x|x=，n∈Z}，P={x=，p∈Z}，则M、N、P之间的关系是(
)
A.M=NP
B.MN=P
C.MNP
D.NP=M
答案：B
解析：可简单列举集合中的元素,也可从判断元素的共性和差异入手.M={x|x=，m∈Z}，N={x|x=，n∈Z}，P={x|x=，p∈Z}.由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P.
2.满足条件{1，2}A{1，2，3，4}的集合A的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：∵{1，2}A{1，2，3，4}，
∴A中至少有1、2两个元素，至多有1、2、3或1、2、4三个元素.
∴集合A可能有三种情况：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.
∴集合A的个数是3.故选C.
3.(创新题)设集合A={x|x=,n∈Z},B={x|x=nπ+,n∈Z},则下列图中能表示A、B关系的是(
)
答案：A
解析：∵B={x|x=,n∈Z}={x|x=,n∈Z},
A={x|x=或x=,k∈Z},
∴BA.
4.同时满足（1）M{1，2，3，4，5}，（2）若a∈M，则6-a∈M的非空集合M有(
)
A.32个
B.15个
C.7个
D.6个
答案：C
解析：∵M{1，2，3，4，5}，a∈M，则6-a∈M，∴1、5应同属于M，2、4也应同属于M，3可单独出现.
∴集合M的情况有七种：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.故选C.
5.集合M={x|x=2n+1,n∈Z}与集合N={x|x=4k±1,k∈Z}的关系是(
)
A.M真包含于N
B.M真包含N
C.M=N
D.M≠N
答案：C
解析：2n+1表示全体奇数,4k±1也是奇数,故MN.若M真包含N,即B选项对,则D选项也对,这与只有一个正确答案相悖,所以B选项不对,只有C选项对.
6.含有三个实数的集合可表示为{},也可表示为{|x|,x+y,0},以上x、y为确定常数,则x5-y5的值为(
)
A.0
B.1
C.-1
D.±1
答案：C
解析：由题意可知{x,,1}={|x|,x+y,0},
∵x≠0,∴=0,y=0.
∴{x,0,1}={|x|,x,0}.
∴x=-1.
∴x5-y5=(-1)5-0=-1.
7.在平面直角坐标系中，集合C={（x，y）|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合D={（x，y）|}表示直线2x-y=1和直线x+4y=5的交集，则集合C、D之间的关系为______________，用几何语言描述这种关系为______________.
答案：DC
点D在直线y=x上
解析：直线2x-y=1和直线x+4y=5的交点坐标为（1，1）.
8.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x、y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且P是Q的真子集,把满足上述条件的一对有序整数(x,y)作为一个点,这样的点的个数是______________.
答案：14
解析：当x=2时,y=3,4,5,6,7,8,9;当x取3,4,5,6,7,8,9时,∵PQ,∴y只能依次取与x相同的值.满足上述条件的点的个数是7+7=14.
9.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的五分之三，其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为，赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x.利用韦恩图即可列出方程解出结果.对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.
10.(探究题)已知集合A={1,3,-a3},B={1,a+2},是否存在实数a,使得BA 若实数a存在,求集合A和B;若实数a不存在,请说明理由.
解：假设存在实数a,使得BA.
则a+2=3①或a+2=-a3②,
由①得a=1,此时A={1,3,-1},B={1,3},满足BA.
由②得a3+a+2=0,即(a+1)(a2-a+2)=0,解得a=-1.
此时,A、B中的元素重复,故不合题意.
由①②可知a=1,A={1,3,-1},B={1,3}.1.2.1
集合之间的关系
课堂探究
探究一
判断集合之间的关系
判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：
第一步：明确集合A，B中元素的特征．
第二步：分析集合A，B中的元素之间的关系．
(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A B.
(2)当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A?B.
(3)当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B.
(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时，有A B，且B A，即集合A，B互不包含．
【典型例题1】
(1)设M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A.P N M Q
B．Q M N P
C．P M N Q
D．Q N M P
(2)有下列关系：
①0∈{0}；② ?{0}；③{0,1} {(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：(1)由于四边形包括正方形、菱形、平行四边形，故集合M，N，Q均为P的子集，再结合正方形、菱形、平行四边形的概念易知Q M N P.
(2)①中根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；
②中由空集是任意非空集合的真子集可知 ?{0}正确；
③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；
④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误．综上，应选B.
答案：(1)B (2)B
探究二
确定集合的子集、真子集
1．(1)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：
①集合A是集合B的子集；②存在元素x∈B，但x A.
所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．
(2)若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则A是B的子集，也是真子集，用符号A B与A?B均可，但用A?B更准确．
2．与子集、真子集个数有关的四个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数为2n；
(2)A的真子集的个数为2n－1；
(3)A的非空子集的个数为2n－1；
(4)A的非空真子集的个数为2n－2.
【典型例题2】
集合A＝{x|0≤x<3，且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16
B．8
C．7
D．4
解析：因为0≤x<3，x∈N，所以x＝0,1,2，即A＝{0,1,2}，所以A的真子集的个数为23－1＝7.
答案：C
【典型例题3】
求满足条件{x|x2＋5＝0}?M {x|x2－1＝0}的集合M.
思路分析：M是集合{x|x2－1＝0}的子集，又{x|x2＋5＝0}是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此问题归结为求{x|x2－1＝0}的非空子集．
解：因为{x|x2＋5＝0}＝ ，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，其非空子集为{－1}，{1}，{－1,1}．
探究三
两个集合相等及其应用
1．判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同，有两种方法：(1)将两个集合的元素一一列举出来，进行比较；(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两个集合相等．
2．两个集合相等的问题一般转化为解方程(组)，但要注意最后需检验，看是否满足集合元素的互异性．
3．找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键．
【典型例题4】
已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}，若A＝B，求x，y的值．
思路分析：A＝B―→列方程组―→解方程组求x，y
解：∵A＝B，∴集合A与集合B中的元素相同．
∴或解得或或
验证得，当x＝0，y＝0时，A＝{2,0,0}，这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
∴x，y的取值为或
探究四
根据子集的关系，确定参数的值
对于两个集合A，B，若A或B中含有待确定的参数(字母)，且A B或A＝B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法．
1．分类讨论是指：
(1)A B在未指明集合A非空时，应分A＝ 和A≠ 两种情况来讨论．
(2)因为集合中的元素是无序的，由A B或A＝B得出的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论．
2．数形结合是指对A≠ 这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心点，确定两个集合之间的包含关系，列不等式(组)求出参数．
3．解决集合中含参数问题时，最后结果要注意验证．
验证是指：(1)分类讨论求得的参数的值，还需要代入原集合中看是否满足互异性．(2)所求参数的取值范围能否取到端点值．
【典型例题5】
已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}，满足Q?P，求a的取值．
思路分析：先明确集合P，再结合Q?P对Q中的a分两种情况讨论．
解：P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．
当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝ ，Q?P成立．
当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，
要使Q?P成立，则有－＝2或－＝－3，
即a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝.
反思本题易漏掉当a＝0时的情况，要清楚当a＝0时，ax＋1＝0是无解的，即此时Q为空集．
探究五
易错辨析
易错点 忽略B为 这一特殊情况而致误
【典型例题6】
集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B A，求实数m满足的条件；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．
错解：(1)由题意并结合数轴(如下图)，
得解得2≤m≤3.
所以实数m满足的条件是2≤m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
所以A的非空真子集的个数为28－1＝255.
错因分析：(1)中忽略了B＝ 时的情形；
(2)中误认为是求A的真子集或A的非空子集的个数．
正解：(1)①当B＝ 时， A，符合题意，此时m＋1>2m－1，解得m<2.
②当B≠ 时，由题意结合数轴(如下图)．
得解得2≤m≤3.
综合①②，可知m满足的条件是m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
反思空集是一种特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B A时，B可能为 易被忽视，在条件不明确时，要注意分类讨论．1.2.2
集合的运算
课堂探究
探究一集合的补集运算
1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．
2．如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意端点值能否取得．
【典型例题1】
已知全集U＝R，集合A＝{x|－3求：(1) UA， UB；
(2) U(A∩B)．
思路分析：(1)根据补集的定义，借助于数轴写出；(2)先求A∩B，再根据补集的定义写出．
解：(1)∵A＝{x|－3在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示．
∴ UA＝{x|x≤－3或x≥3}， UB＝{m|m≥1}．
(2)∵A∩B＝{x|－3∴ U(A∩B)＝{x|x≥1或x≤－3}．
探究二补集运算中的含参数问题
1．由集合补集求有关参数问题的思路流程：
2．含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决．
【典型例题2】
(1)设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}， UA＝{5}，则a等于________；
(2)已知集合A＝{x|x解析：(1)由 UA＝{5}，知a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.
当a＝－4时，U＝{2,3,5}，A＝{3,2}，满足 UA＝{5}；
当a＝2时，U＝{2,3,5}，A＝{3,2}，满足 UA＝{5}．所以a的值为－4或2.
(2) RB＝{x|x≤1或x≥2}，由于A∪ RB＝R，如图所示，
所以a≥2.
答案：(1)－4或2 (2)a≥2
探究三
补集思想的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样能化难为易，化隐为显，从而解决问题．我们把这种解决问题的方法称为“正难则反”的解题策略，也是“补集思想”的应用．
【典型例题3】
已知集合A＝{x|x<－6或x>3}，B＝{x|k－1≤x－1≤k}，若A∩B≠ ，求k的取值范围．
思路分析：A∩B≠ 时对应的k的取值范围不好直接求解，可考虑问题的反面：先求A∩B＝ 时对应的k的取值范围，然后再取其“补集”，即可得A∩B≠ 时k的取值范围．
解：由已知可得B＝{x|k≤x≤k＋1}，
若A∩B＝ ，则解得－6≤k≤2.
令P＝{k|－6≤k≤2}，则 RP＝{k|k<－6或k>2}．
所以当A∩B≠ 时，k的取值范围是k<－6或k>2.
探究四易错辨析
易错点 因变形不等价而致误
【典型例题4】
已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|x>a}，且 UA B，求实数a的取值范围．
错解：因为A＝，
所以 UA＝＝{x|x>1}．
由图可知，当a<1时， UAB；
当a=1时， UA=B.
所以实数a的取值范围是a≤1.
错因分析：错解中误认为A的补集为使≥0成立的x构成的集合，其实A的补集中的元素除了使≥0成立的x外，还有x=1这个值．
正解：因为A=={x|x<1}，
所以 UA={x|x≥1}．
由图可知，
当a<1时， UAB；
当a≥1时，B UA.
所以实数a的取值范围是a<1.
反思
求集合的补集，首先应明确该集合，最好不要急于对集合中的方程、不等式等进行对立面的转化，这样易造成转化不等价，再就是要充分利用维恩图或数轴表示集合．1.1.1
集合的概念
自我小测
1．下列语句能确定一个集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
2．已知集合A为大于的数构成的集合，则下列说法正确的是( )
A．2∈A，且3∈A
B．2∈A，且3 A
C．2 A，且3∈A
D．2 A，且3 A
3．若a，b，c为集合S中的三个元素，并且它们也是△ABC的边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
5．已知集合A是无限集且集合A中的元素为12,22,32，42，…若m∈A，n∈A，则m?n∈A.其中“?”表示的运算可以是( )
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
6．对于由元素2,4,6构成的集合，若a∈A，则6－a∈A.其中a的值是__________．
7．设a，b是非零实数，那么＋可能取的值构成的集合中的元素有________．
8．若由所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数构成集合A，试判断＋2是否为集合A中的元素？请说明理由．
9．判断下列语句是否正确？并说明理由．
(1)某学校高一(8)班比较漂亮的女生能构成一个集合；
(2)由1，，，，0.5构成的集合有5个元素；
(3)将小于100的自然数，按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合．
10．已知方程ax2－2x＋1＝0的实数解构成集合A，若集合A中仅有一个元素，求实数a的值．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：C
3.
答案：D
4.
解析：由题意，知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3.
经检验，当m＝0或m＝2时，不满足集合A中元素的互异性；当m＝3时，满足题意．综上可知，m＝3.
答案：B
5.
解析：因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方，故选C.
答案：C
6.
解析：当a＝2时，6－a＝4∈A；当a＝4时，6－a＝2∈A；当a＝6时，6－a＝0 A.因此a的值为2或4.
答案：2或4
7.
解析：按a与b的正负分类讨论求解，有四种情况：
当a>0，b<0时，原式＝0；当a>0，b>0时，原式＝2；
当a<0，b>0时，原式＝0；当a<0，b<0时，原式＝－2.
答案：－2,0,2
8.
解：不是．因为＋2＝3×＋×2，虽然该数中b＝2∈Z，但a＝ Z，所以＋2 A.
9.
解：(1)错误．因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性．
(2)错误．因为＝，＝0.5，根据集合中元素的互异性知，由1，，，，0.5构成的集合只有3个元素：1，，0.5.
(3)错误．根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一个集合．
10.
分析：A中仅有一个元素，则关于x的方程ax2－2x＋1＝0仅有一个实数解，这样转化为讨论关于x的方程ax2－2x＋1＝0的实数解的个数问题．要对实数a是否为0分类讨论．
解：当a＝0时，方程化为－2x＋1＝0，
解得x＝，则a＝0符合题意；
当a≠0时，关于x的方程ax2－2x＋1＝0是一元二次方程，
由于集合A中仅有一个元素，
则一元二次方程ax2－2x＋1＝0仅有一个实数根，
所以Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上所得，a＝1或a＝0.