第17章一元二次方程达标检测卷
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第17章一元二次方程达标检测卷
(150分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题(每题4分，共40分)
1．下列方程中一定是一元二次方程的是( )
A．3x＋＝4
B．ax2＋bx＋c＝0
C．x2＝0
D．3x2－2xy－5y2＝0
2．将方程3(2x2－1)＝(x＋)(x－)＋3x＋5化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．5，3，5
B．5，－3，－5
C．7，，2
D．8，6，1
3．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为( )
A．(x＋4)2＝17
B．(x＋4)2＝15
C．(x－4)2＝17
D．(x－4)2＝15
4．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值范围是( )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≤1
D．a＜1
5．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则( )
A．p＞0且q＞0
B．p＞0且q＜0
C．p＜0且q＞0
D．p＜0且q＜0
6．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对
7．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A．1.4(1＋x)＝4.5
B．1.4(1＋2x)＝4.5
C．1.4(1＋x)2＝4.5
D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5
8．若α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2等于(
)
A．－8
B．32
C．16
D．40
9．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( )
A．－10
B．4
C．－4
D．10
10．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.有下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－1和2，则2a＋c＝0；③若一元二次方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题(每题5分，共20分)
11．已知关于x的方程x2－2
x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．
12．已知三角形两边长是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则三角形的第三边长c的取值范围是________．
13．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n＝__________．
(第14题)
14．如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，且标注的数或代数式的值相同的不超过2个，那么A的取值范围是________．
三、解答题(15～18题每题10分，19～21题每题12分，22题14分，共90分)
15．解方程：(1)(2x－3)2＝9(2x＋3)2. (2)3x(x－2)＝2(2－x)．
16．李老师布置了两道解方程的作业题：
(1)选用合适的方法解方程：＝6；
(2)用配方法解方程：2x2＋4x－5＝0.
以下是小明同学的作业：
(1)解：由＝6，
得x＋1＝2，x＋2＝3，
所以x1＝1，x2＝1.
(2)解：由2x2＋4x－5＝0，
得2x2＋4x＝5，
x2＋2x＝，
x2＋2x＋1＝－1，
2＝，
x＋1＝±，
x1＝－1＋，x2＝－1－.
请你帮小明检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．
17．已知方程3x2＋2x－3＝0的两根分别为x1，x2，求下列代数式的值：
(1)x12＋x22； (2)＋.
18．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是此方程的两个根，且满足＝，求m的值．
19．2013年，东营市某楼盘以每平方米6
500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5
265元．
(1)求平均每年下调的百分率；
(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)
20．中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
每天售价/(元/千克)
38
37
36
35
…
20
每天销售量/千克
50
52
54
56
…
86
设当售价从38元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克．
(1)根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法，猜测并求出y与x之间的函数表达式；
(2)如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天每千克的售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)
21．已知关于x的一元二次方程mx2－x＋2m＋2＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值；
(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x122．如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上，修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道的宽为a米．
①
②
(第22题)
(1)用含a的式子表示花圃的面积；
(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的，求此时甬道的宽；
(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(平方米)之间的函数关系如图②所示．如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道宽不少于2米且不超过10米，那么甬道的宽为多少米时，修建的甬道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？
答案
一、1.C 2.B 解析：将方程化成一般形式为5x2－3x－5＝0.
3．C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C
9．C 解析：由根与系数的关系可知m＋n＝3，mn＝a，又由(m－1)(n－1)＝mn－(m＋n)＋1＝a－3＋1＝－6，可得a＝－4.
10．D 解析：①若a＋b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1，又a≠0，所以b2－4ac≥0，①为真命题；②由－1和2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝0，两式联立消去b可得2a＋c＝0，②为真命题；③若一元二次方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则－4ac＞0，所以b2－4ac＞0，故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，③为真命题．所以真命题有3个，故选D.
二、11.－3
12．113．－2
14．A≠4 解析：本题运用方程思想．由题意得x2＝4x－4，解得x1＝x2＝2，故有两个面上的代数式的值为4，所以A不等于4.
三、15.解：(1)两边开平方，得 2x－3＝±3(2x＋3)，
∴2x－3＝3(2x＋3)或2x－3＝－3(2x＋3)．
∴x1＝－3，x2＝－.
(2)3x(x－2)＝2(2－x)，(3x＋2)(x－2)＝0，
∴3x＋2＝0或x－2＝0，∴x1＝－，x2＝2.
16．解：两道题均不正确．改正如下：
(1)由＝6，得x2＋3x－4＝0，
由求根公式，得x＝＝，
即x1＝1，x2＝－4.
(2)由2x2＋4x－5＝0，得2x2＋4x＝5，
x2＋2x＝，x2＋2x＋1＝＋1，
2＝，x＋1＝±，
故x1＝－1＋，x2＝－1－.
17．解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－1.
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－1)＝.
(2)＋＝＝＝.
18．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有实数根，
∴2－4×1×≥0，
即4＋4m≥0，∴m≥－1.
(2)将x＝a，x＝b分别代入一元二次方程x2－2x－m＝0，
可得a2－2a－m＝0，b2－2b－m＝0，
整理得a2－2a＝m，b2－2b＝m，
代入＝，
得＝，
化简得2m2＋3m－5＝0. 解得m＝1或m＝－.
∵m≥－1，∴m＝－舍去． ∴m＝1.
19．解：(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得：
6
500(1－x)2＝5
265.
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每年下调的百分率为10%.
(2)如果下调的百分率相同，2016年的房价为：
5
265×(1－10%)＝4
738.5(元/平方米)．
则100平方米的住房的总房款为
100×4
738.5＝473
850(元)＝47.385(万元)．
∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望能实现．
20．解：(1)在直角坐标系中描点连线略．猜测y与x是一次函数关系．设y与x之间的函数表达式是y＝kx＋b(k
≠
0)．
根据题意，得解得
所以y＝－2x＋126，将其余各对数据代入验证可知符合．
所以，所求的函数表达式是y＝－2x＋126.
(2)设这一天每千克的售价为a元.
根据题意，得(a－20)(－2a＋126)＝780.
整理，得a2－83a＋1650＝0.
解得a1＝33，a2＝50.
答：这一天每千克的售价应为33元或50元．
21．(1)证明：因为Δ＝2－4m＝m2＋4m＋4＝2>0，所以方程有两个不相等的实数根．
解mx2－x＋2m＋2＝0，得x＝1或x＝2＋，
所以方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值．
(2)解：由(1)知，方程的两个根为1，2＋.
因为方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x10，
所以x1＝1，x2＝2＋.
所以y＝7x1－mx2＝7×1－m＝－2m＋5.
y≤3m，即－2m＋5≤3m，解得m≥1.
所以当m≥1时，y≤3m.
22．解：(1)花圃的面积为(60－2a)(40－2a)平方米(或(4a2－200a＋2
400)平方米)．
(2)(60－2a)(40－2a)＝60×40×，
即a2－50a＋225＝0，解得a1＝5，a2＝45(不合题意，舍去)．
∴此时甬道的宽为5米．
(3)∵2≤a≤10，花圃面积随着甬道宽的增大而减小，
∴800≤x花圃≤2
016.
由图象可知，当x≥800时，
设y2＝k2x＋b，∵直线y2＝k2x＋b经过点(800，48
000)与(1
200，62
000)，
∴解得
∴y2＝35x＋20
000.
当x≥0时，设y1＝k1x，∵直线y1＝k1x经过点(1
200，48
000)，∴1
200k1＝48
000.解得k1＝40，∴y1＝40x.
设修建甬道、花圃的总造价为y元，依题意，得
y＝y1＋y2＝40x甬道＋35(60×40－x甬道)＋20
000＝
5x甬道＋104
000.
∵5＞0，∴y随x甬道的增大而增大．
而800≤x花圃≤2
016，∴384≤x甬道≤1
600.
∴当x甬道＝384时，y最小＝105
920.
∴当x甬道＝384时，60×40－(4a2－200a＋2
400)＝384.
解得a1＝2，a2＝48(不合题意，舍去)．
∴甬道的宽为2米时，修建的甬道和花圃的总造价最低，最低总造价为105
920元．
解析：本题考查的是一元二次方程与函数的实际应用，需要通过实际问题的情境和函数图象列出合理的表达式，属较难题．
(150分，90分钟)
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题(每题4分，共40分)
1．下列方程中一定是一元二次方程的是( )
A．3x＋＝4
B．ax2＋bx＋c＝0
C．x2＝0
D．3x2－2xy－5y2＝0
2．将方程3(2x2－1)＝(x＋)(x－)＋3x＋5化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．5，3，5
B．5，－3，－5
C．7，，2
D．8，6，1
3．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为( )
A．(x＋4)2＝17
B．(x＋4)2＝15
C．(x－4)2＝17
D．(x－4)2＝15
4．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值范围是( )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≤1
D．a＜1
5．关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则( )
A．p＞0且q＞0
B．p＞0且q＜0
C．p＜0且q＞0
D．p＜0且q＜0
6．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对
7．我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A．1.4(1＋x)＝4.5
B．1.4(1＋2x)＝4.5
C．1.4(1＋x)2＝4.5
D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5
8．若α，β是一元二次方程x2＋2x－6＝0的两根，则α2＋β2等于(
)
A．－8
B．32
C．16
D．40
9．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为( )
A．－10
B．4
C．－4
D．10
10．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.有下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0；②若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－1和2，则2a＋c＝0；③若一元二次方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题(每题5分，共20分)
11．已知关于x的方程x2－2
x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．
12．已知三角形两边长是方程x2－5x＋6＝0的两个根，则三角形的第三边长c的取值范围是________．
13．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，则m＋n＝__________．
(第14题)
14．如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，且标注的数或代数式的值相同的不超过2个，那么A的取值范围是________．
三、解答题(15～18题每题10分，19～21题每题12分，22题14分，共90分)
15．解方程：(1)(2x－3)2＝9(2x＋3)2. (2)3x(x－2)＝2(2－x)．
16．李老师布置了两道解方程的作业题：
(1)选用合适的方法解方程：＝6；
(2)用配方法解方程：2x2＋4x－5＝0.
以下是小明同学的作业：
(1)解：由＝6，
得x＋1＝2，x＋2＝3，
所以x1＝1，x2＝1.
(2)解：由2x2＋4x－5＝0，
得2x2＋4x＝5，
x2＋2x＝，
x2＋2x＋1＝－1，
2＝，
x＋1＝±，
x1＝－1＋，x2＝－1－.
请你帮小明检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．
17．已知方程3x2＋2x－3＝0的两根分别为x1，x2，求下列代数式的值：
(1)x12＋x22； (2)＋.
18．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是此方程的两个根，且满足＝，求m的值．
19．2013年，东营市某楼盘以每平方米6
500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5
265元．
(1)求平均每年下调的百分率；
(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)
20．中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：
每天售价/(元/千克)
38
37
36
35
…
20
每天销售量/千克
50
52
54
56
…
86
设当售价从38元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克．
(1)根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法，猜测并求出y与x之间的函数表达式；
(2)如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天每千克的售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)
21．已知关于x的一元二次方程mx2－x＋2m＋2＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值；
(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1
①
②
(第22题)
(1)用含a的式子表示花圃的面积；
(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的，求此时甬道的宽；
(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(平方米)之间的函数关系如图②所示．如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道宽不少于2米且不超过10米，那么甬道的宽为多少米时，修建的甬道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？
答案
一、1.C 2.B 解析：将方程化成一般形式为5x2－3x－5＝0.
3．C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C
9．C 解析：由根与系数的关系可知m＋n＝3，mn＝a，又由(m－1)(n－1)＝mn－(m＋n)＋1＝a－3＋1＝－6，可得a＝－4.
10．D 解析：①若a＋b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1，又a≠0，所以b2－4ac≥0，①为真命题；②由－1和2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝0，两式联立消去b可得2a＋c＝0，②为真命题；③若一元二次方程ax2＋c＝0有两个不相等的实数根，则－4ac＞0，所以b2－4ac＞0，故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，③为真命题．所以真命题有3个，故选D.
二、11.－3
12．1
14．A≠4 解析：本题运用方程思想．由题意得x2＝4x－4，解得x1＝x2＝2，故有两个面上的代数式的值为4，所以A不等于4.
三、15.解：(1)两边开平方，得 2x－3＝±3(2x＋3)，
∴2x－3＝3(2x＋3)或2x－3＝－3(2x＋3)．
∴x1＝－3，x2＝－.
(2)3x(x－2)＝2(2－x)，(3x＋2)(x－2)＝0，
∴3x＋2＝0或x－2＝0，∴x1＝－，x2＝2.
16．解：两道题均不正确．改正如下：
(1)由＝6，得x2＋3x－4＝0，
由求根公式，得x＝＝，
即x1＝1，x2＝－4.
(2)由2x2＋4x－5＝0，得2x2＋4x＝5，
x2＋2x＝，x2＋2x＋1＝＋1，
2＝，x＋1＝±，
故x1＝－1＋，x2＝－1－.
17．解：由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－1.
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×(－1)＝.
(2)＋＝＝＝.
18．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有实数根，
∴2－4×1×≥0，
即4＋4m≥0，∴m≥－1.
(2)将x＝a，x＝b分别代入一元二次方程x2－2x－m＝0，
可得a2－2a－m＝0，b2－2b－m＝0，
整理得a2－2a＝m，b2－2b＝m，
代入＝，
得＝，
化简得2m2＋3m－5＝0. 解得m＝1或m＝－.
∵m≥－1，∴m＝－舍去． ∴m＝1.
19．解：(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得：
6
500(1－x)2＝5
265.
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每年下调的百分率为10%.
(2)如果下调的百分率相同，2016年的房价为：
5
265×(1－10%)＝4
738.5(元/平方米)．
则100平方米的住房的总房款为
100×4
738.5＝473
850(元)＝47.385(万元)．
∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望能实现．
20．解：(1)在直角坐标系中描点连线略．猜测y与x是一次函数关系．设y与x之间的函数表达式是y＝kx＋b(k
≠
0)．
根据题意，得解得
所以y＝－2x＋126，将其余各对数据代入验证可知符合．
所以，所求的函数表达式是y＝－2x＋126.
(2)设这一天每千克的售价为a元.
根据题意，得(a－20)(－2a＋126)＝780.
整理，得a2－83a＋1650＝0.
解得a1＝33，a2＝50.
答：这一天每千克的售价应为33元或50元．
21．(1)证明：因为Δ＝2－4m＝m2＋4m＋4＝2>0，所以方程有两个不相等的实数根．
解mx2－x＋2m＋2＝0，得x＝1或x＝2＋，
所以方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值．
(2)解：由(1)知，方程的两个根为1，2＋.
因为方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1
所以x1＝1，x2＝2＋.
所以y＝7x1－mx2＝7×1－m＝－2m＋5.
y≤3m，即－2m＋5≤3m，解得m≥1.
所以当m≥1时，y≤3m.
22．解：(1)花圃的面积为(60－2a)(40－2a)平方米(或(4a2－200a＋2
400)平方米)．
(2)(60－2a)(40－2a)＝60×40×，
即a2－50a＋225＝0，解得a1＝5，a2＝45(不合题意，舍去)．
∴此时甬道的宽为5米．
(3)∵2≤a≤10，花圃面积随着甬道宽的增大而减小，
∴800≤x花圃≤2
016.
由图象可知，当x≥800时，
设y2＝k2x＋b，∵直线y2＝k2x＋b经过点(800，48
000)与(1
200，62
000)，
∴解得
∴y2＝35x＋20
000.
当x≥0时，设y1＝k1x，∵直线y1＝k1x经过点(1
200，48
000)，∴1
200k1＝48
000.解得k1＝40，∴y1＝40x.
设修建甬道、花圃的总造价为y元，依题意，得
y＝y1＋y2＝40x甬道＋35(60×40－x甬道)＋20
000＝
5x甬道＋104
000.
∵5＞0，∴y随x甬道的增大而增大．
而800≤x花圃≤2
016，∴384≤x甬道≤1
600.
∴当x甬道＝384时，y最小＝105
920.
∴当x甬道＝384时，60×40－(4a2－200a＋2
400)＝384.
解得a1＝2，a2＝48(不合题意，舍去)．
∴甬道的宽为2米时，修建的甬道和花圃的总造价最低，最低总造价为105
920元．
解析：本题考查的是一元二次方程与函数的实际应用，需要通过实际问题的情境和函数图象列出合理的表达式，属较难题．