平面与圆锥面的截线
练面π与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是( )
A．1
B．2
C．
D．无法确定
2平面π与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60°，则平面与圆锥交线的离心率是( )
A．2
B．
C．
D．
3已知双曲线两个焦点的距离为10，双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6，则双曲线的离心率为( )
A．
B．
C．1
D．
4线段AB是抛物线的焦点弦．若A，B在抛物线准线上的正射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
5已知F1，F2是双曲线的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于F1F2的弦．如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
6设圆锥面V是由直线l′绕直线l旋转而得，l′与l交点为V，l′与l的夹角为α(0°＜α＜90°)，不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面V相交，设轴l与平面π所成的角为β，则
当________时，平面π与圆锥面的交线为圆；
当________时，平面π与圆锥面的交线为椭圆；
当________时，平面π与圆锥面的交线为双曲线；
当________时，平面π与圆锥面的交线为抛物线．
7已知椭圆两条准线间的距离为20，长轴长为10，则短轴长为__________．
8(能力拔高题)已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是__________．
9如图，抛物线的焦点为F，顶点为A，准线为l，过F作PF⊥AF，求证：AF＝PF.
10如图，已知圆锥母线与轴的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin球的半径分别为R，r，且α＜β，R＞r，求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.
参考答案
1
答案：A 由题意，知交线为抛物线，故其离心率为1.
2
答案：A 设平面与轴线夹角为β，母线与轴线夹角为α，由题意，知β＝0°，α＝60°，故e＝＝2.
3
答案：D 设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c.由题意知，2c＝10，2a＝6，故.
4答案：C 如图所示，由抛物线定义，知AA1＝AF，
∴∠AA1F＝∠AFA1.
又AA1∥EF，
∴∠AA1F＝∠A1FE，
∴∠AFA1＝∠A1FE，
∴FA1是∠AFE的平分线.
同理，FB1是∠BFE的平分线，
∴∠A1FB1＝∠AFE＋∠BFE
＝(∠AFE＋∠BFE)＝90°.
5
答案：B 如图，由对称性，知△F1F2P是等腰直角三角形，
∴F1F2=PF1.
设双曲线的焦距为2c，实轴为2a，则PF1=2c，
∴PF2=c.
由双曲线结构特点，知PF2－PF1=2a，即c－2c=2a，
∴.∴e=+1.
6
答案：β＝90° α＜β＜90° β＜α β＝α
7
答案： 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.
由得a＝5，，
则.
8答案： ∵PF1⊥PF2，
∴P在以F1F2为直径的圆上.
∴点P(x，y)满足
解得y2＝.
∵|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|y|，
∴4ab＝2c·，解得.
9答案：证明：过P作PB⊥l于B.
由抛物线的结构特点，知PB＝PF，AH＝AF，
又HF＝BP，
故AF＝HF＝BP＝PF.
10答案：分析：由β＞α知截线为椭圆，通过数形结合转化到相应平面中求解.
解：连接O1F1，O2F2，O1O2交F1F2于O点，
在Rt△O1F1O中，.
在Rt△O2F2O中，.
则F1F2=OF1+OF2=.
同理，O1O2=.连接O1A1，O2A2，过O1作O1H⊥O2A2.在Rt△O1O2H中，
O1H=O1O2·cos
α=·cos
α.
又O1H＝A1A2，由切线定理，容易验证G1G2＝A1A2，
故G1G2＝·cos
α.二
平面与圆柱面的截线
课堂探究
探究一椭圆的度量性质
圆柱形物体的斜截口是椭圆，因此，椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关．
【典型例题1】已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为12，求截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间距离和截面与母线所夹的角．
思路分析：根据题意可知长轴长及短轴长，进而求出离心率，从而得出截面与母线的夹角．
解：易知长半轴长a＝＝6，短半轴长b＝r＝3，两焦点间距离2c＝2＝2＝6.
椭圆离心率e＝＝.
设截面与母线的夹角为φ，
则cos
φ＝.∴φ＝.
综上，截面截圆柱面所得的椭圆的长轴长为12，短轴长为6，两焦点间距离为6，截面与母线所夹的角为.
探究二探讨椭圆的性质
探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质，要熟知Dandelin双球与圆柱及其截平面的关系，综合应用切线长定理、三角形的相似与全等，解直角三角形，以及平行射影的性质．
【典型例题2】如图所示，已知球O1，O2分别切平面β于点F1，F2，P1P2为⊙O1的一条直径，Q1，Q2分别为P1，P2在平面β内的平行射影，G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与Q1Q2垂
直平分，求证：F1F2＝2.
证明：如图，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，
则四边形ABHG1是矩形．
∴G1H＝AB.
∵Q1，Q2分别是P1，P2的平行射影，
∴P1Q1P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形．
∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直径．
∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.
又由切线长定理，知G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，
∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.
又G1A＝BH，∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.
∴F1F2＝G2H.
在Rt△G1G2H中，G2H＝＝＝2，
故F1F2＝2.平行射影
练习
1直线l在平面α上的正射影是( )
A．点
B．线段
C．直线
D．点或直线
2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是( )
A．四边形ABCD
B．线段AB
C．△ABC
D．线段A1B1
3两条相交直线的平行射影是( )
A．两条相交直线
B．一条直线
C．一条折线
D．两条相交直线或一条直线
4下列结论中正确的是( )
①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的平行射影不可能是圆；②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形；③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比；④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
5(能力拔高题)Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是( )
A．一条线段
B．一个锐角三角形或一条线段
C．一个钝角三角形或一条线段
D．一条线段或一个钝角三角形
6用平面α截圆柱OO′，当OO′与平面α所成的角等于__________时，截面是一个圆．
7如图所示，设C是线段AB上任意一点，C′，A′，B′分别是C，A，B沿直线l的方向在平面α上的平行射影．若AC＝4，CB＝6，则__________.
8设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心．
9如图所示，已知A，B，C三点在平面α上沿直线l的平行射影分别为A′，B′，C′，且C是AB的中点．求证：C′是线段A′B′的中点．
10如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，点A′是点A在平面BCD上的正射影，求证：点A′不可能是△BCD的垂心．
参考答案
1
答案：D 当l⊥α时，正射影是一个点，否则是一条直线.
2答案：B 由于平面A1ABB1⊥平面ABCD，则四边形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是线段AB.
3答案：D 两条相交直线确定一个平面，若这个平面与投影方向不平行，则两条相交直线的平行射影为两条相交直线.若这个平面与投影方向平行，则两条相交直线的平行射影为一条直线.
4答案：C 由于平面图形的平行射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了，因而①是错误的，④是正确的.当平行四边形所在平面平行于投影方向时，平行四边形的平行射影是一条线段，故②错误.很明显③正确.
5答案：D (1)当顶点A在平面α内的正射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α内的正射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段，如图(1).
(2)当顶点A在平面α内的正射影A′不在BC所在直线上时，如图(2).
∵AA′⊥α，∴AA′⊥A′B，AA′⊥A′C.
∴A′B＜AB，A′C＜AC.在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＞A′B2＋A′C2.
∴A′B2＋A′C2－BC2＜0.∴∠BA′C为钝角，
∴△A′BC为钝角三角形.
6
答案：90°
7答案： ∵AA′∥l，BB′∥l，CC′∥l，∴AA′∥BB′∥CC′.
由平行线分线段成比例定理，得.
8答案：外 连接AO，BO，CO，则AO，BO，CO分别为PA，PB，PC在平面ABC内的正射影.
又PA=PB=PC，由射影长定理，则OA=OB=OC，
故O为△ABC的外心.
9答案：证明：∵AA′∥l，BB′∥l，CC′∥l，
∴AA′∥BB′∥CC′.∵C是AB的中点，
∴由平行线等分线段定理，得C′是A′B′的中点.
10答案：分析：直接证明有困难，利用反证法证明.
证明：假设点A′是△BCD的垂心，则A′B⊥CD.因为AA′⊥平面BCD于点A′，则AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC，则AB⊥AC，这与△ABC是斜三角形的条件矛盾，故点A′不可能是△BCD的垂心.三
平面与圆锥面的截线
更上一层楼
基础·巩固
1平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是_____________
思路解析:联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况.
答案:圆，圆或椭圆
2用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的布点，则会出现三种情况：_____________、_____________、_____________.
思路解析:如下图.
答案:抛物线
椭圆
双曲线
综合·应用
3在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β=0),则
(1)β>α,
__________________________;
(2)β=α,
__________________________;
(3)β<α,
__________________________.
答案:(1)平面π与圆锥的交线为椭圆
(2)平面π与圆锥的交线为抛物线
(3)平面π与圆锥的交线为双曲线
4已知一个定点F和定直线l，如图3-3-5，请在同一图形中分别作出离心率分别为，1，2的椭圆、抛物线、双曲线.
图3-3-5
思路分析:离心率是曲线上的点到焦点（定点F）的距离与它到准线（定直线l）的距离之比，作一部分点，用光滑的曲线顺次连接.
解:如图所示.
5判断椭圆、双曲线、抛物线内一点到焦点的距离与到准线的距离之比与1的关系.
思路解析:首先通过画图寻找规律，然后加以证明.
答案:略.二
平面与圆柱面的截线
自我小测
1．已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为，则平面β与圆柱母线的夹角是( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．90°
2．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( )
A．9倍
B．4倍
C．12倍
D．18倍
3．在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4．已知圆柱的底面半径为r，平面α与圆柱母线的夹角为60°，则它们截口椭圆的焦距是( )
A．2r
B．4r
C．r
D．3r
5．如图所示，已知A为左顶点，F是左焦点，l交OA的延长线于点B，P，Q在椭圆上，有PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①； ②； ③； ④； ⑤.
其中正确的是( )
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①②③④⑤
6．已知平面π截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为45°，此曲线是__________，它的离心率为__________．
7．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为，则Dandelin球的半径是__________．
8．已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线的夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是__________．
9．如图所示，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.
参考答案
1．解析：设平面β与圆柱母线的夹角为φ，则cos
φ＝，
故φ＝30°.
答案：A
2．解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，
由已知，得＝2c，即a＝3c，
故两条准线间的距离为＝＝18c.
答案：A
3．B
4．解析：如图，过点G2作G2H⊥AD，H为垂足，则G2H＝2r.
在Rt△G1G2H中，
G1G2＝＝2r×2＝4r，
∴长轴2a＝G1G2＝4r，短轴2b＝2r.
∴焦距2c＝2＝2×r＝2r.
答案：A
5．解析：①符合离心率定义；②过点Q作QC⊥l于C，
∵QC＝FB，∴＝符合离心率定义；
③∵AO＝a，BO＝，
∴＝＝，故也是离心率；
④∵AF＝a－c，AB＝－a，
∴＝＝，∴是离心率；
⑤∵FO＝c，AO＝a，
∴＝是离心率．
答案：D
6．答案：椭圆
7．解析：由题意知解得
∴b＝＝.
∴Dandelin球的半径为.
答案：
8．解析：由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝＝4b，
∴c＝＝b.
∴e＝＝或e＝cos
30°＝.
设P到F1的距离为d，
则＝，∴d＝b.
又PF1＋PF2＝2a＝4b，
∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.
答案：b
9．解：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
由已知可得a＝10，b＝6，c＝＝8，e＝＝.
由椭圆定义，知PF1＋PF2＝G1G2＝20，
又PF1∶PF2＝1∶3，则PF1＝5，PF2＝15.
由离心率定义，得＝，∴PQ＝.一
平行射影
课堂探究
探究一对平行射影的理解
图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面．正确地理解平行射影的有关概念，是解决平行射影问题的关键．
【典型例题1】如图，点E，F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的图的序号都填上)
解析：对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到，并且对于图形要考虑所有点的正射影，又知线段由两个端点唯一确定，故考查四边形BFD1E的射影，只需同时考查点B，F，D1，E在各个面上的正射影即可．
四边形BFD1E在平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为图(2)；四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为图(3)．
答案：(2)(3)
点评
判断平行射影的形状时，常常先确定图形中各顶点的射影，再依次连接各顶点的射影即可；同一图形在平行平面上的平行射影是相同的．
探究二平行射影的应用
对于一个图形在平面上的平行射影，要根据图形与平面的位置来决定平行射影是一个怎样的图形．
【典型例题2】在梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在平面α上的平行射影是________．
思路分析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在平面α上的平行射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的平行射影仍是平行线，不平行的线的平行射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的平行射影仍是梯形．三
平面与圆锥面的截线
课堂探究
探究一利用Dandelin双球研究圆锥曲线
讨论圆锥曲线的几何性质时，要注意结合图形进行．
【典型例题1】如图，讨论其中双曲线的离心率．其中π′是Dandelin球与圆锥交线S2所在平面，与π的交线为m.
解：P是双曲线上任意一点，连接PF2，过P作PA⊥m于A，连接AF2，过P作PB⊥平面π′于B，连接AB，过P作母线交S2于Q2.
∵PB平行于圆锥的轴，
∴∠BPA＝β，∠BPQ2＝α.
在Rt△BPA中，PA＝.
在Rt△BPQ2中，PQ2＝.
由切线长定理，得PF2＝PQ2，
∴PF2＝.
∴e＝＝.
∵0＜β＜α＜，∴cos
β＞cos
α.∴e＞1.
同理，另一分支上的点也具有同样的性质，
综上所述，双曲线的准线为m，离心率e＝.
探究二圆锥曲线几何性质应用
根据定义，结合平面截圆锥面，正确解决有关圆锥曲线几何性质应用问题．
【典型例题2】已知双曲线两个顶点间的距离为2a，焦距为2c，求两条准线间的距离．
解：如图，l1，l2是双曲线的准线，F1，F2是焦点，A1，A2是顶点，O为中心．
由离心率定义知＝，
∴A1H1＝A1F1.
又A1F1＝OF1－OA1＝c－a，
∴A1H1＝.
∴OH1＝OA1－A1H1，
∴OH1＝a－＝.
由对称性，得OH2＝，
∴H1H2＝.
点评
已知圆锥曲线的结构特点，解决有关计算等问题时，通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系，如e＝等，列出方程来解决．如本题中，由OH1＝OA1－A1H1得到了a－＝.三
平面与圆锥面的截线
自我小测
1．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
2．设截面和圆锥的轴的夹角为β，圆锥的母线和轴所成角为α，当截面是椭圆时，其离心率等于( )
A．
B．
C．
D．
3．线段AB是抛物线的焦点弦．若A，B在抛物线准线上的正射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
4．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是__________，该曲线的形状是__________．
6．已知椭圆两条准线间的距离为20，长轴长为10，则短轴长为__________．
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是__________．
8．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．
9．如图，已知圆锥母线与轴的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin球的半径分别为R，r，且α＜β，R＞r，求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.
10．P是椭圆上的任意一点，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，椭圆离心率为e.
求证：e＝，并写出在双曲线中类似的结论．
参考答案
1．解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
答案：D
2．B
3．解析：如图所示，由抛物线定义，知AA1＝AF，
∴∠AA1F＝∠AFA1.
又AA1∥EF，
∴∠AA1F＝∠A1FE，
∴∠AFA1＝∠A1FE，
∴FA1是∠AFE的平分线．
同理，FB1是∠BFE的平分线，
∴∠A1FB1＝∠AFE＋∠BFE
＝(∠AFE＋∠BFE)＝90°.
答案：C
4．解析：椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
又因为四边形AF1BF2为矩形，
所以∠F1AF2＝90°.
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以|AF1|＝2－，|AF2|＝2＋.
所以在双曲线C2中，2c＝2，2a＝|AF2|－|AF1|＝2，故e＝＝＝，故选D.
答案：D
5．解析：∵e＝＝＞1，∴曲线为双曲线．
答案： 双曲线
6．解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.
由得a＝5，c＝，
则2b＝2＝5.
答案：5
7．解析：∵PF1⊥PF2，
∴P在以F1F2为直径的圆上．
∴点P(x，y)满足
解得y2＝.
∵|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|y|，
∴4ab＝2c·，解得e＝.
答案：
8．解：椭圆．
e＝＝＝.
设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为F1，F2，如图，MF1＋MF2＝Q1Q2＝AB.
设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2，
∵SO1＝2R1，CO1＝R1，
∴SC＝(2＋)R1＝5，即R1＝.
∵SO2＝2R2，CO2＝R2，
∴SC＝(2－)R2＝5，
即R2＝.
∵O1O2＝CO1＋CO2＝(R1＋R2)＝10，
∴AB＝O1O2cos
30°＝O1O2·＝5，
即MF1＋MF2＝5.
9．解：连接O1F1，O2F2，O1O2交F1F2于O点．
在Rt△O1F1O中，OF1＝＝.
在Rt△O2F2O中，OF2＝＝.
∴F1F2＝OF1＋OF2＝.
同理，O1O2＝.
连接O1A1，O2A2，过O1作O1H⊥O2A2.
在Rt△O1O2H中，O1H＝O1O2·cos
α＝·cos
α.
又O1H＝A1A2，由切线定理，容易验证G1G2＝A1A2，
∴G1G2＝·cos
α.
10．证明：在△PF1F2中，由正弦定理得＝＝，
∴PF1＝F1F2·，PF2＝F1F2·.
由椭圆定义，2a＝PF1＋PF2＝F1F2·＝F1F2·，
∴e＝＝＝＝
.
对于双曲线的离心率e有：e＝＝.一
平行射影
自我小测
1．下列说法正确的是( )
A．正射影和平行射影是两种截然不同的射影
B．投影线与投影平面有且只有一个交点
C．投影方向可以平行于投影平面
D．一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的
2．线段AB，CD在同一平面内的正射影相等，则线段AB，CD的长度关系为( )
A．AB＞CD
B．AB＜CD
C．AB＝CD
D．无法确定
3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A．内心的平行投影还是内心
B．重心的平行投影还是重心
C．垂心的平行投影还是垂心
D．外心的平行投影还是外心
4．下列结论中正确的是( )
①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的平行射影不可能是圆；②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形；③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比；④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
5．Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是( )
A．一条线段
B．一个锐角三角形或一条线段
C．一个钝角三角形或一条线段
D．一条线段或一个钝角三角形
6．用平面α截圆柱OO′，当OO′与平面α所成的角等于__________时，截面是一个圆．
7．如图所示，设C是线段AB上任意一点，C′，A′，B′分别是C，A，B沿直线l的方向在平面α上的平行射影．若AC＝4，CB＝6，则＝__________.
8．设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心．
9．如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，点A′是点A在平面BCD上的正射影，求证：点A′不可能是△BCD的垂心．
参考答案
1．解析：正射影是平行射影的特例，本质是相同的，故选项A错误；投影线与投影平面只能相交，选项B是正确的，选项C是错误的；一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关，方向改变了，就可能得到不同的平行射影，故选项D错误．
答案：B
2．解析：由线段AB，CD与平面所成的角来确定，虽然射影相等，但线段AB，CD的长度无法确定，故它们的长度关系也无法确定．
答案：D
3．解析：如果三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心．
答案：A
4．解析：由于平面图形的平行射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了，因而①是错误的，④是正确的．当平行四边形所在平面平行于投影方向时，平行四边形的平行射影是一条线段，故②错误．很明显③正确．
答案：C
5．解析：(1)当顶点A在平面α内的正射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α内的正射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段，如图(1)．
(2)当顶点A在平面α内的正射影A′不在BC所在直线上时，如图(2)．
∵AA′⊥α，∴AA′⊥A′B，AA′⊥A′C.
∴A′B＜AB，A′C＜AC.
在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＞A′B2＋A′C2.
∴A′B2＋A′C2－BC2＜0.
∴∠BA′C为钝角，
∴△A′BC为钝角三角形．
答案：D
6．90°
7．解析：∵AA′∥l，BB′∥l，CC′∥l，
∴AA′∥BB′∥CC′.
由平行线分线段成比例定理，
得＝＝＝.
答案：
8．解析：连接AO，BO，CO，则AO，BO，CO分别为PA，PB，PC在平面ABC内的正射影．
又PA＝PB＝PC，由射影长定理，则OA＝OB＝OC，
故O为△ABC的外心．
答案：外
9．分析：直接证明有困难，利用反证法证明．
证明：假设点A′是△BCD的垂心，则A′B⊥CD.
因为AA′⊥平面BCD于点A′，则AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC，则AB⊥AC，这与△ABC是斜三角形的条件矛盾，故点A′不可能是△BCD的垂心．一
平行射影
二
平面与圆柱面的截线
更上一层楼
基础·巩固
1梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内,则它在α内的射影是…(
)
A.平行四边形
B.梯形
C.一条线段
D.一条线段或梯形
思路解析:当梯形所在的平面平行于投射线时，梯形在α上的射影是一条线段；当梯形所在的平面与投射线不平行时，梯形在α上的射影是一个梯形.
答案:D
2如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是(
)
A.内心的平行投影还是内心
B.重心的平行投影还是重心
C.垂心的平行投影还是垂心
D.外心的平行投影还是外心
思路解析:三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心.
答案:A
3如果方程x2＋ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(
)
A.(0,＋∞)
B.(0,2)
C.(1,＋∞)
D.(0,1)
思路解析:将所给方程转化为标准形式，根据焦点的位置即可获得实数k的取值范围.
将所给方程x2＋ky2=2转化为标准形式，即=1，因为焦点在y轴上，所以有>2，于是0答案:D
综合·应用
4如图3-1(2)-7,设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的射影，若PA=PB=PC，则O为△ABC的____________心.
图3-1(2)-7
思路解析:连结AO、BO、CO，则AO、BO、CO分别为PA、PB、PC在平面ABC内的射影.
又∵PA=PB=PC，由射影长定理，则OA=OB=OC，
∴O为△ABC的外心.
答案:外
5在平面解析几何中，我们学过用方程表示直线、圆等图形，将椭圆上的点满足的条件用坐标表示出来，也可以得到圆的方程，试建立适当的坐标系，求长轴为2a，短轴为2b（a>b），焦距为2c的椭圆的方程.
思路分析:以长轴所在直线为x轴建立坐标系，也可以以长轴所在直线为y轴建立坐标系.
解:以长轴所在直线为x轴建立坐标系,其方程为=1；以长轴所在直线为y轴建立坐标系，其方程为=1.平面与圆柱面的截线
练习
1如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( )
A．9倍
B．4倍
C．12倍
D．18倍
2一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截，截口椭圆具有( )
A．相同的长轴
B．相同的焦点
C．相同的准线
D．相同的离心率
3如图所示，过F1作F1Q⊥G1G2，△QF1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
4已知圆柱的底面半径为r，平面α与圆柱母线的夹角为60°，则它们截口椭圆的焦距是( )
A．
B．
C．
D．3r
5(能力拔高题)如图所示，已知A为左顶点，F是左焦点，l交OA的延长线于点B，P，Q在椭圆上，有PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①； ②； ③；
④； ⑤.
其中正确的是( )
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①②③④⑤
6已知平面π截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为45°，此曲线是__________，它的离心率为__________．
7已知椭圆两条准线间的距离为8，离心率为，则Dandelin球的半径是__________．
8已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线的夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是__________．
9如图所示，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.
参考答案
1答案：A 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，由已知，得，即a＝3c，故两条准线间的距离为＝18c.
2
答案：D 因为底面半径大小不等，所以长轴不同.
嵌入的Dandelin球不同，则焦点不同，准线也不同，
而平面与圆柱的母线夹角相同，故离心率相同.
3
答案：D 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c.
∵△QF1F2是等腰直角三角形，
∴QF1＝F1F2＝2c，QF2＝.
由椭圆的定义，得QF1＋QF2＝2a，
∴.
4答案：A 如图，过点G2作G2H⊥AD，H为垂足，则G2H=2r.
在Rt△G1G2H中，
G1G2==2r×2=4r，
∴长轴2a＝G1G2＝4r，短轴2b＝2r.
∴焦距2c＝.
5答案：D ①符合离心率定义；②过点Q作QC⊥l于C，
∵QC＝FB，∴符合离心率定义；
③∵AO＝a，BO＝，∴，故也是离心率；④∵AF＝a－c，AB＝，∴，∴是离心率；⑤∵FO＝c，AO＝a，∴是离心率.
6
答案：椭圆
7答案： 由题意知解得
∴.∴Dandelin球的半径为.
8答案： 由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝＝4b，
∴.∴或e＝cos
30°＝.
设P到F1的距离为d，
则，∴d＝b.又PF1＋PF2＝2a＝4b，
∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.
9答案：解：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
由已知可得a＝10，b＝6，c＝＝8，.
由椭圆定义，知PF1＋PF2＝G1G2＝20，
又PF1∶PF2＝1∶3，则PF1＝5，PF2＝15.
由离心率定义，得，∴PQ＝.
