二
平行线分线段成比例定理
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基础·巩固
1△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是……（
）
A.AD=5,AB=8,AE=10,AC=16
B.BD=1,AD=3,CE=2,AE=6
C.AB=7,BD=4,AE=4,EC=3
D.AB=AC=9,AD=AE=8
思路解析:对应线段必须成比例才能断定DE和BC是平行关系，显然C中的条件不成比例.
答案：C
2如图1-2-13所示，l1∥l2∥l3，若CH=4.5
cm，AG=3
cm，BG=5
cm,EF=12.9
cm，则DH=,EK=_________.
图1-2-13
图1-2-14
思路解析:由l1∥l2∥l3可得，所以=7.5.
同理,可得EK的长度.
答案：7.5
cm
34.4
cm
3如图1-2-14,在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC=7∶3，则DB∶AB的值为________.
思路解析:由AE∶EC=7∶3,有
根据MN∥DE∥BC可得.，即得结论.
答案：
4如图1-2-15，已知AD∥BE∥CF，EG∥FH，求证:.
图1-2-15
思路分析:一般有平行的条件时可考虑平行线分线段成比例定理或其推论，也可以考虑用线段替换等方法.在本题中，的公比，问题可以据此得证.
证明：∵AD∥BE∥CF,
∴（平行线分线段成比例定理）.
又∵EG∥FH,∴
5如图1-2-16，在四边形ABCD中，延长AD、BC交于F，延长AB、DC交于E，连结EF，且BD∥EF.求证:AC的延长线必平分EF.
图1-2-16
思路分析:本题可以利用平行四边形对角线特有的性质来证明线段相等，已知一组平行线，再做一组平行线EH∥BF，然后证明出CD∥HF即可.
证明：设AC延长后交EF于G，过E作BC的平行线交AG的延长线于H，连结HF，
∵EH∥BC,∴.
又∵BD∥EF,∴.
∴CD∥FH,即EC∥HF、CF∥EH.
∴四边形ECFH是平行四边形.
∴EG=GF,即AC的延长线必平分EF.
综合·应用
6如图1-2-17（1），已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立(不要求证明),若将图1-2-17（1）中的垂直改为斜交，如图1-2-17（2），AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥AB，交BD于点F，则:
(1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.(2)请找出S△ABD、S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明.
(1)
(2)
图1-2-17
思路分析:本题一是通过阅读发现题中蕴含着类比猜想的思想方法，因而易猜想关系式仍成立；二是有一处伏笔“不要求证明”，具有一定的迷惑性，因为论证猜想是否成立，还需“同样的方法”.
（1）证明结论成立.
∵AB∥EF,∴.
∵CD∥EF,∴
∴=1.
∴.
（2）解：关系式为.
分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K.
由题设可得
∵BD·AM=S△ABD,BD·CK=S△BCD,BD·EN=S△BED,
∴.
7如图1-2-18，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、
CM的延长线分别交AC、AB于F、E.求证:EF∥BC.
图1-2-18
思路分析:要证明EF∥BC，想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的，而要利用成比例线段判定两直线平行的判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理.作平行线时，要充分考虑到中点D条件的应用.
(1)
(2)
(3)
分析一:延长AD至G，使DG=MD，连结BG、CG,如图（1），则四边形BGCM为平行四边形，可以立即将转化成中间比.
解法一:延长AD至G，使DG=MD，连结BG、CG.
∵BD=DC,MD=DG,
∴四边形BGCM为平行四边形.
∴EC∥BG,FB∥CG.
∴=,=.
∴=.∴EF∥BC.
分析二:过A作BC的平行线，与BF、CE的延长线分别交于G、H，如图（2），则
.要证明，只要证AH=AG，这是不难解决的.
解法二:过A作BC的平行线，与BF、CE的延长线分别交于G、H.
∵AH∥DC,AG∥BD,
∴∵BD=DC,∴AH=AG.
∵HG∥BC,∴.
∵AH=AG,∴.∴EF∥BC.
分析三:如图（3），过M作BC的平行线，分别与AB、AC交于G、H，
∵BD=DC,GM=MH.要证EF∥BC，只要证，这可以通过中间比立即证得.
解法三:过M作BC的平行线，分别与AB、AC交于G、H，
则.
∵BD=DC,∴GM=MH.
∵GH∥BC,∵GM=MH,∴∴EF∥BC.三
相似三角形的判定及性质
自我小测
1．在△ABC中，D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有( )个．
A．0
B．1
C．2
D．无数
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD的中点E处，则折痕FG的长为( )
A．13
B．
C．
D．
3．以下列条件为依据，能判定△ABC和△A′B′C′相似的一组是( )
A．∠A＝45°，AB＝12
cm，AC＝15
cm；∠A′＝45°，A′B′＝16
cm，A′C′＝25
cm
B．AB＝12
cm，BC＝15
cm，AC＝24
cm；A′B′＝20
cm，B′C′＝25
cm，A′C′＝32
cm
C．AB＝2
cm，BC＝15
cm，∠B＝36°；A′B′＝4
cm，B′C′＝5
cm，∠A′＝36°
D．∠A＝68°，∠B＝40°；∠A′＝68°，∠B′＝40°
4．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5．如图，D，E分别在AB，AC上，下列条件能判定△ADE与△ABC相似的有( )
①∠AED＝∠B，②＝，③＝，④DE∥BC.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，已知AC⊥BD，DE⊥AB，AC，ED交于点F，BC＝3，FC＝1，BD＝5，则AC＝__________.
7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3，则AB＝__________.
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________.
9．如图，已知∠ACB＝∠E，AC＝6，AD＝4，求AE的长．
10．如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
求证：△ABC∽△FCD.
11．如图所示，在△ABC中，AD，CE是两条高，连接DE，如果BE＝2，EA＝3，CE＝4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论(要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等)，并对其中一个结论予以证明．
参考答案
1．解析：如图所示，DE1∥BC，则△ADE1∽△ABC；在AC上存在点E2，使∠AE2D＝∠B.
又∠A＝∠A，则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有2个．
答案：C
2．解析：过点A作AH∥FG交CD于点H，则四边形AFGH是平行四边形，所以AH＝FG.
因为FG⊥BE，所以AH⊥BE.
所以∠ABE＋∠BAH＝90°.
因为∠BAH＋∠DAH＝90°，
所以∠ABE＝∠DAH.
因为∠BAE＝∠ADH＝90°，
所以△ABE∽△DAH，
所以＝.
因为AB＝12，AE＝AD＝×10＝5，AD＝10，所以BE＝＝13.
所以＝.所以AH＝，即FG＝.
答案：C
3．解析：选项A中，∠A＝∠A′，但≠，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项B中，＝≠，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项C中，∠B与∠B′不一定相等，则△ABC与△A′B′C′不一定相似；选项D中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC∽△A′B′C′.
答案：D
4．解析：与△ODB相似的三角形有△AEB，△OEC，△ADC，共有3个．
答案：B
5．解析：由相似三角形的判定定理1可知①可以判定△ADE与△ABC相似；由判定定理2知②也可以判定△ADE与△ABC相似；由预备定理知④同样可以判定△ADE与△ABC相似．所以共有①②④三个条件可以判定△ADE与△ABC相似．
答案：C
6．解析：由BC＝3，BD＝5可得CD＝BD－BC＝2.
易证△CDF∽△CAB，
所以＝，即＝，AC＝6.
答案：6
7．解析：在△ACD和△ABC中，
∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC.
∴＝.∴＝，∴AB＝12.
答案：12
8．解析：∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＋∠BCD＝90°.
而∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCD.
又∠BAD＝∠BDC＝90°，
∴Rt△ABD∽Rt△DCB.
∴＝.∴BD2＝AD·BC.
答案：△DCB AD·BC
9．解：因为∠ACB＝∠E，
∠DAC＝∠CAE，
所以△DAC∽△CAE.
所以＝.
所以AE＝＝＝9.
10．
证明：因为BD＝DC，DE⊥BC，
所以△BEC为等腰三角形．
所以∠B＝∠1.
又因为AD＝AC，
所以∠2＝∠ACB.
所以△ABC∽△FCD.
11．分析：题图中有高，所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度．由AE＝3，CE＝4，可知CA＝5，这样可知AC＝AB，△ABC是一个等腰三角形，再寻找条件就比较容易了．
解：①AB＝AC；②∠B＝∠ACB；③△CEB∽△ADC.
下面仅证明△CEB∽△ADC.
∵CE⊥AE，AE＝3，CE＝4，
∴AC＝＝5.
又∵AB＝AE＋BE＝5，
∴AC＝AB.∴∠B＝∠ACB.
又∵∠CEB＝∠ADC＝90°，
∴△CEB∽△ADC.相似三角形的性质
练习
1三角形的一条中位线截该三角形所得的小三角形与原三角形的周长之比等于( )
A．
B．
C．
D．不确定
2两个相似三角形对应中线分别长6
cm和18
cm，若较大三角形的面积是36
cm2，则较小三角形的面积是( )
A．6
cm2
B．4
cm2
C．18
cm2
D．不确定
3△ABC内切圆的半径r1＝4，△A′B′C′内切圆的半径r2＝6，且△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，则A′B′等于( )
A．3
B．6
C．9
D．不确定
4如图所示，D是△ABC中AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为( )
A．1∶3
B．1∶9
C．1∶15
D．1∶16
5(情景题)有一块三角形铁片ABC，已知BC＝12
cm，高AD＝8
cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为( )
A．18
cm2或cm2
B．20
cm2或18
cm2
C．16
cm2
D．15
cm2
6在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12
cm，面积为6
cm2，则这块土地的实际周长是__________m，实际面积是__________m2.
7两个相似三角形对应中线之比是3∶7，周长之和为30
cm，则它们的周长分别是______cm和______cm.
8(探究题)在△ABC中，如图所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝__________.
9如图，在△ABC中，AB＝14
cm，，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12
cm，求△ADE的面积．
10如图，ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD．
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求ABCD的面积．
参考答案
1
答案：C 小三角形与原三角形相似，其周长之比等于相似比.
2
答案：B 相似比等于，则，
故S小＝S大＝×36＝4(cm2).
3
答案：A ∵△ABC∽△A′B′C′，∴.
∴，∴A′B′＝3.
4答案：C 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
又因为AD∶DB＝1∶3，
所以AD∶AB＝1∶4，S△ADE∶S△ABC＝1∶16，
则所求的两部分面积比为1∶15.
5答案：A 本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G，H分别在AC，AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x
cm，则长为2x
cm.
由HG∥BC，得△AHG∽△ABC，得AK∶AD＝HG∶BC(8－x)∶8＝2x∶12
(cm)S矩形EFGH＝2x2＝(cm2)；
如图(2)，矩形的宽MN在BC上，
类似地，可求得S矩形MNPQ＝18(cm2).
6答案：60 150 这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为，则实际周长是12×500＝6
000(cm)＝60
m；实际面积是6×5002＝1
500
000(cm2)＝150
m2.
7答案：9 21 设两个三角形的周长分别为x
cm，y
cm，
则x∶y＝3∶7，x＋y＝30，
解得x＝9，y＝21.
8答案： ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，
又S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC，S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC.
∴.∴.∴DE＝m.
9答案：分析：先求出S△ABC，再由DE∥BC，可得△ABC∽△ADE，由，可求得S△ADE.
解：∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB·CD＝×14×12＝84(cm2).∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，∴.
又，∴.
∴，∴S△ADE＝cm2.
10
答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD.
∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴，.
∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16，
∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.一
平行线等分线段定理
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基础·巩固
1等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（
）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.等腰梯形
思路解析:连结梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的邻边相等，由此可以断定此四边形必为菱形.
答案：B
2如图1-1-18，AB∥CD∥EF，AF、BE相交于O，若AO=OD=DF，BE=10
cm，则BO的长为（
）
图1-1-18
A.
cm
B.5
cm
C.cm
D.3
cm
思路解析:根据AB∥CD∥EF和AO=OD=DF，有BO=OC=CE，所以BO=BE.
答案：A
3如图1-1-19,已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG=_____,CH=_____,AE=________,CF=
__________.
图1-1-19
图1-1-20
思路解析:利用AD∥EF∥BC和E是AB的中点，根据平行线等分线段定理，可得G、H、F分别是BD、AC、DC的中点，由此即得结论.
答案：BG
AH
BE
DF
4如图1-1-20,在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD=AD，若EG=5
cm，则AC=______________；若BD=20
cm，则EF=______________.
图1-1-21
思路解析:由E是AB的中点，EF∥BD，可得F是AD的中点，结合CD=AD，可以得到F、D是AC的三等分点，又由EG∥AC，可得EF等于BD的一半，FD=EG，由此可得两个结论.
答案：15
cm
10
cm
5如图1-1-21，AB=AC,AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP.若AB=6
cm，则AP=______________;若PM=1
cm，则PC=______________.
综合·应用
思路解析:由AB=AC和AD⊥BC，结合等腰三角形的性质，有D是BC的中点；再由DN∥CP，可得N是BP的中点，P是AN的中点，由此，AP=AB,PM=PC.
答案：2
cm
4
cm
6如图1-1-22，已知AC⊥AB于A，DB⊥AB于B,OC=OD,连结OA、OB.求证:OA=OB.
图1-1-22
思路分析:作OE⊥AB于E，可得一组平行线，利用O是CD的中点，得到E是AB的中点，结合线段垂直平分线的性质就有本题的结论.
证明：作OE⊥AB于E.
∵AC⊥AB,DB⊥AB,∴AC∥OE∥DB.
∵O是DC中点,∴E是AB中点.∴OA=OB.
7如图11-2-3，已知∠ACB=90°,AC=BC,CE=CF，EM⊥AF，CN⊥AF,求证:MN=NB.
图1-1-23
思路分析:由已知易得ME与NC平行，所以要说明MN=NB，只要点C是一条线段的中点即可，由此启发我们作辅助线CD.
证明：延长ME交BC的延长线于D，由已知可得，Rt△EDC≌Rt△FAC.
∴DC=CB.又∵EM⊥AF，CN⊥AF,
∴DM∥CN.
又C是BD的中点,
∴N是MB的中点.
∴MN=NB.
8已知线段AB，求作AB的五等分点.
图1-1-24
思路分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线AM，在AM上任意截取5条相等的线段，连结最后一等分的后端点A5与点B，再过其他分点作BA5的平行线，分别交AB于C、D、E、F，则AB就被这些平行线分成五等份了.
作法：(1)如图，作射线AM；
(2)在射线AM上截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
(3)连结A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、F，那么C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.
9梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点,求证:△ECD为等边三角形.
图1-1-25
思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有:①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.
证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DC于F.
∵梯形ABCD,∴AD∥BC.
∴AD∥EF∥BC.
又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点.
（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）
∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.
∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）.
∴△EDC为等腰三角形.
∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴∠ACB=60°.
又E是AB边的中点,∴CE平分∠ACB.
∴∠1=∠2=30°.∴∠DEF=30°.∴∠DEC=60°.
又ED=EC,∴△DEC为等边三角形.
10已知直线l1∥l2∥l3，任作两直线m、n，分别交l1、l2、l3于点A、B、C、D、E、F,如图1-1-26所示.
图1-1-26
图1-1-27
图1-1-28
(1)分别量出线段AB、AC、DE、DF的长,观察结论，你有什么发现？
(2)把直线n沿DA方向平移到A点，得到直线n′，分别与直线l2、l3交于E′、F′，如图1-1-27，观察△ABE′与△ACF′，你有什么发现？说出你的猜测，并验证.
(3)如图1-1-27，若继续把直线n平移使其经过B点，分别与直线l1、l3交于D″、F″，结果如何？
(4)利用你的发现，判断图1-1-28中的相似三角形有几对？
思路分析:对于线段的关系，尤其是四条线段的关系，很有可能是成比例，但要通过验证才能确定.而两个三角形在大小不一的情况下，又有了成比例的线段，就可以联想到两个三角形相似.要判断最后一个图形中有几对相似三角形，就要设法把图形分离出（2）（3）中的基本图形.
解：（1）通过测量可得AB=1.5
cm,AC=4
cm,DE=1.15
cm,DF=3.1
cm,观察且计算可发现=0.375,≈0.371，由于作图和测量都会有一定的误差，因此可以确定有.
（2）△ABE′∽△ACF′，由于AF′是由DF平移而来的，由平移的特征可得AE′=DE,AF′=DF,所以仍然有,而通过测量同样可计算出的值也非常接近0.375，因此有==；由平行线的性质，可得∠ABE=∠ACF,∠AE′B=∠AF′C.而∠CAF′为公共角.
所以△ABE′∽△ACF′.
（3）△ABD″∽△CBF″.
(4)有3对：△ADE∽△ABC,△CEF∽△CAB,△ADE∽△EFC.三
相似三角形的判定及性质
课堂探究
探究一
判定三角形相似
判定两个三角形相似时，关键是分析已知哪些边对应成比例，哪些角对应相等，根据三角形相似的判定定理，寻找推导出结论的条件．
【典型例题1】如图，已知＝＝，求证：△ABD∽△ACE.
思路分析：证明三角形相似，关键在于找到符合定理的条件．由题目所给条件，应需再找出角的相等关系．
证明：因为＝＝，所以△ABC∽△ADE.
所以∠BAC＝∠EAD，∠BAC－∠DAC＝∠EAD－∠DAC，即∠DAB＝∠EAC.
又＝，即＝，所以△ABD∽△ACE.
点评
本题中，∠DAB与∠EAC的相等关系，不易直接找到，这里用∠BAC＝∠EAD，在∠BAC和∠EAD中分别减去同一个角∠DAC，间接证明．
探究二
判定直角三角形相似
直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法判定，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中，可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法．
【典型例题2】如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
思路分析：由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明＝即可．
证明：在正方形ABCD中，
∵Q是CD的中点，∴＝2.
∵＝3，∴＝4.
又BC＝2DQ，∴＝2.
在△ADQ和△QCP中，
＝＝2，∠C＝∠D＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
规律总结
证明直角三角形相似的方法主要有除直角外的一组锐角对应相等或两边对应成比例．本题就是利用了＝两直角边对应成比例证明．
探究三
证明两直线平行
常利用引理来证明两直线平行，其关键是证明其对应线段成比例，这样就转化为证明线段成比例，其证明方法有：利用中间量，转化成线段成比例，两者结合使用证明．
【典型例题3】如图，在△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM，CM的延长线分别交AC，AB于F，E两点．求证：EF∥BC.
思路分析：要证明线段EF∥BC，则需要利用平行线分线段成比例定理．反过来思考
，结合题目作出平行线以便利用判定定理来证明平行．
证法一：延长AD至G，使DG＝MD，连接BG，CG，如图所示．
∵BD＝DC，MD＝DG，
∴四边形BGCM为平行四边形．
∴EC∥BG，FB∥CG.
∴＝，＝，
∴＝.∴EF∥BC.
证法二：过点A作BC的平行线，与BF，CE的延长线分别交于G，H两点，如图所示．
∵AH∥DC，AG∥BD，
∴＝，＝，∴＝.
∵BD＝DC，∴AH＝AG.
∵HG∥BC，∴＝，＝.
∵AH＝AG，∴＝.∴EF∥BC.
证法三：过点M作BC的平行线，分别与AB，AC交于G，H两点，如图所示．
则＝，＝，
∴＝.
∵BD＝DC，∴GM＝MH.
∵GH∥BC，∴＝，＝.
∵GM＝MH，∴＝.∴EF∥BC.
规律总结
要证明EF∥BC，想通过角之间的关系达到目的显然是不可能的，而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理，图中又没有平行条件，因此要设法作出平行线，以便利用判定定理．在作平行线时，要充分考虑到中点D的应用．
探究四
易错辨析
易错点：因对应元素不确定而引起错误
【典型例题4】在△ABC中，AB＞BC＞AC，D是AC的中点，过D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．
错解：如图，过点D作DE1∥BC，此时∠AE1D＝∠B，∠A＝∠A，所以△ABC∽△AE1D；过点D作DE2∥AB，此时∠CE2D＝∠B，∠C＝∠C，所以△ABC∽△DE2C.
答案：2
错因分析：本题为探索性题目，由于对应元素不确定，因而存在多种情况，只考虑两种情况不够全面．
正解：如图，
过点D作DE1∥BC，此时∠AE1D＝∠B，
所以△ABC∽△AE1D；
在线段AB上取一点E2，使∠ADE2＝∠B，
此时△ADE2∽△ABC.
同理过点D作DE3∥AB，使∠DE3C＝∠B；
在线段BC上取一点E4，使∠E4DC＝∠B，都能使截得的三角形与原三角形相似，因此共有4条直线符合要求．
答案：4一
平行线等分线段定理
自我小测
1．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于( )
A．2.5
B．3
C．3.5
D．不确定
2．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且BC＝8，则DE＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
3．已知三角形的三条中位线分别为3
cm,4
cm,6
cm，则这个三角形的周长是( )
A．13
cm
B．26
cm
C．24
cm
D．6.5
cm
4．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，E，D，F分别是三边的中点，则四边形EDHF是( )
A．一般梯形
B．等腰梯形
C．直角梯形
D．一般四边形
5．如图所示，AB∥CD，AO＝OD，BC＝4
cm，则CO等于( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．不确定
6．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP，若AB＝9
cm，则AP＝________；若PM＝1
cm，则PC＝________.
7．如图，在正方形A′B′C′D′中，O′是两条对角线A′C′与B′D′的交点，作O′F′∥C′D′交A′D′于点F′，且正方形边长等于12，则A′F′＝________.
8．在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，AN＝4
cm，则CN＝__________cm.
9．如图，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED，DC的延长线交BE于点F.求证：EF＝BF.
10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图所示，先把矩形纸ABCD对折之后展开，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图所示，想一想，为什么？
参考答案
1．解析：由梯形中位线定理，知选B.
答案：B
2．解析：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4.
答案：C
3．解析：由题知，三条中位线所对的三边的长分别为6
cm，8
cm，12
cm，故三角形的周长为6＋8＋12＝26(cm)．
答案：B
4．解析：根据题图，由E，F，D分别是三边的中点，知EF∥BC，ED∥AC，ED＝AC.
而HF是Rt△AHC斜边的中线，
所以HF＝AC，即ED＝HF，
因此四边形EDHF为等腰梯形．
答案：B
5．解析：过O作l∥AB，则l∥AB∥CD，
∵AO＝OD，∴BO＝OC，
∴CO＝BC＝2
cm.
答案：B
6．解析：由AB＝AC和AD⊥BC，结合等腰三角形的性质，可得D是BC的中点，再由DN∥CP，可得N是BP的中点，同理可得P是AN的中点，由此可得答案．根据三角形中位线性质可得PC＝4PM＝4
cm.
答案：3
cm 4
cm
7．解析：因为四边形A′B′C′D′是正方形，O′是A′C′与B′D′的交点，所以A′O′＝O′C′.
又因为O′F′∥C′D′，所以A′F′＝F′D′，
即A′F′＝A′D′＝×12＝6.
答案：6
8．解析：如图，过点D作DE∥BN，交AC于E.
∵D为BC的中点，∴NE＝EC.
又∵M为AD的中点，MN∥DE，
∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC.
∴CN＝2AN＝8
cm.
答案：8
9．证明：如图，连接AE交DC于点O.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥AB.
在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，
∴F是EB的中点，∴EF＝BF.
10．解：∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，∴P为EA的中点．
在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.
又∵AB⊥EF，∴AE＝AF.
∴由折叠过程可知∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°.
在△AEF中，∠AEB＝60°，∠EAF＝∠1＋∠2＝60°，∴△AEF为等边三角形．一
平行线等分线段定理
课堂探究
探究一
任意等分已知线段
将已知线段AB分成n等份的步骤：
(1)作射线AC(与AB不共线)；
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝…＝Dn－1Dn；
(3)连接DnB；
(4)分别过点D1，D2，D3，…，Dn－2，Dn－1作DnB的平行线，分别交AB于点A1，A2，…，An－2，An－1，则点A1，A2，…，An－2，An－1将线段AB分成n等份．
【典型例题1】如图所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并予以证明．
思路分析：利用平行线等分线段定理来作图．
解：(1)作射线AC；
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；
(3)连接D5B；
(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4，则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．
证明：过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，
∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.
∴点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点．
规律小结
本题是利用平行线等分线段定理求已知线段的等分点，在等分已知线段时注意这类方法的运用．
探究二
证明线段相等
平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时，要先构造线段的中点．
【典型例题2】在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.
思路分析：根据条件先证四边形BEDF是平行四边形，得出BF∥DE.再过A，C分别作直线a，b，使a∥b∥BF∥DE，利用平行线等分线段定理即可得证．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC边，AD的中点，
∴BEDF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BF∥DE.
分别过A，C作直线a，b，使a∥b∥BF∥DE.
∵a∥BF∥DE，AF＝FD，∴AP＝PQ.
又∵b∥DE∥BF，CE＝EB，
∴PQ＝QC，∴AP＝PQ＝QC.
点评
本题在证出BF∥DE后利用平行线等分线段定理，也可用推论1来证明．
探究三
三角形中位线性质的应用
如果已知条件中出现了中点，往往利用三角形中位线的性质解决问题，辅助线在几何证明中起着非常重要的作用，而作不同的辅助线，可以得到不同的解题思路．
【典型例题3】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，E为AD的中点，EF∥BC，求证：BC＝2EF.
思路分析：过A作BC的平行线，交DC于点G，利用平行四边形的性质，可得AG＝BC，只需再利用三角形中位线证AG＝2EF即可．
证明：过A作BC的平行线，交DC于点G.
因为AB∥DC，AG∥BC，所以四边形ABCG为平行四边形．所以BC＝AG.
又EF∥BC，所以EF∥AG.
又E为AD的中点，所以F为DG的中点．
所以AG＝2EF，即BC＝2EF.
方法技巧
本题也可以用平行线等分线段定理来证明．
探究四
易错辨析
易错点：构建平行线的方式不合理
【典型例题4】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE.
错解：连接BD，过F作FG∥AB交BD于G.
过E作EG∥CD交BD于G.
∵GF∥BM，GE∥CD，且E，F分别为BC，AD的中点，
又∵AB＝CD，∴GF＝GE.
∴∠GEF＝∠GFE.
∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.
又∵GE∥CN，∴∠GEF＝∠CNE.
∴∠BME＝∠CNE.
错因分析：在证明过程中没有说明FG∥AB与EG∥CD的点G是同一个点，不够严谨，导致出错．
正解：连接BD，取BD的中点G，连接GE，GF.
在△ABD中，∵G，F分别是BD，DA的中点，
∴GF＝AB，GF∥BM.
同理可证：GE＝CD，GE∥CN.
∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.
∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.
∵GE∥CN，∴∠GEF＝∠CNE.
∴∠BME＝∠CNE.三
相似三角形的判定及性质
更上一层楼
基础·巩固
1如图1-3-10，D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB=2∶3，则S下标△ADE∶S下标BCED为（
）
图1-3-10
A.2∶3
B.4∶9
C.4∶5
D.4∶21
思路解析:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
又AD∶DB=2∶3，∴AD∶AB=2∶5.
其面积比为4∶25，则S△ADE∶S四边形BCED=4∶21.
答案：D
2如图1-3-11所示，铁道口的栏杆短臂长1
m，长臂长16
m，当短臂端点下降0.5
m时，长臂端点升高（
）
图1-3-11
A.11.25
m
B.6.6
m
C.8
m
D.10.5
m
思路解析:本题是一个实际问题，可抽象为如下的数学问题：如右图，等腰△AOC∽等腰
△BOD,OA=1
m,OB=16
m,高CE=0.5
m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF，即1∶16=0.5∶DF，解得DF=8
m.
答案：C
3有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC=12
cm,高AD=8
cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为（
）
A.18
cm2或cm2
B.20
cm2或18
cm2
C.16
cm2
D.15
cm2
思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x
cm,则长为2x
cm,
由HG∥BC,得△AHG∽△ABC，得
cmS矩形EFGH=2x2
=cm2；
如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ=18
cm2.
答案：A
4如图1-3-12，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，那么CD=_________.
图1-3-12
思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似，即△ABC∽△DAC.再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段.
答案：4
5如果两个相似三角形的面积比为9∶4，那么它们的相似比为_______________.
思路解析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接开平方即可.
答案：3∶2
6如图1-3-13，△ABC中∠C为直角，△DEF中∠F为直角，DE⊥AC，交AC于G，交AB于H，DF⊥AB，交AB于I，求证:△ABC∽△DEF.
图1-3-13
证明：∵HI⊥DF，EF⊥DF,
∴HI∥EF，∠DIH=∠DFE=90°.
∴∠DHI=∠DEF.∴△DHI∽△DEF.
∵∠DIH=∠AGH=90°，∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG.
∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB=90°,
∴△AGH∽△ACB.∴△ABC∽△DE
F
综合·应用
7如图1-3-14，已知∠ACB=∠ADE，∠ABC=∠AED，求证:∠ABE=∠ACD.
图1-3-14
思路分析:∠ABE和∠ACD分别位于△ABE和△ACD中，显然不可以利用全等来证明这两个角相等，但这两个角所在的两个三角形能相似吗？从已知条件中给的四个角分别在△ABC和△AED中，由它们相等不难证明△ABC∽△AED，这一对三角形的相似，沟通了我们想要证明的两个三角形的关系，沟通了两个角的关系.这里使用了“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法.
证明：∵∠ABC=∠AED，∠ACB=∠ADE,∴△ABC∽△AED.
∴,∠BAC=∠EAD.∴.
∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD.
∴△ABE∽△ACD.（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
∴∠ABE=∠ACD.
8如图1-3-15，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点.求证:BP2=PE·PF.
图1-3-15
思路分析:因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC的中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了.
证明：连结PC，在△ABC中，∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2.
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.∴∠3=∠4.
∵CF∥AB，∴∠3=∠F.∴∠4=∠F.
又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC.
∴.∴PC2=PE·PF.
∵PC=PB，∴PB2=PE·PF.（等线段代换）
9如图1-3-16，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB=2∶3∶4，
求S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF.
图1-3-16
思路分析:要求题目中的三部分的面积比，必须先求出△ADE\,△AFG和△ABC的面积，才能求出两个四边形的面积.由已知DE∥FG∥BC的条件，可以得到相似三角形，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质，可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值，故应引入参数.
解：∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4，
设AD=2k,DF=3k,FB=4k(k>0)，则AF=5k,AB=9k,
∵DE∥FG,∴△ADE∽△AFG.
∴
同理,可得.
设S△ADE=4a,则S△AFG=25a,S△ABC=81a(a>0).
∴S四边形DEGF=25a-4a=21a，
S四边形BCGF=81a-25a=56a.
∴S△ADE∶S四边形DEGF∶S四边形BCGF=4∶21∶56.
10如图1-3-17，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.
图1-3-17
(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.
思路分析:本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似.因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似以后，那么对应角相等，易求∠APB.
解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD.
从而∠ACP=∠PDB=120°.
∴当时，△ACP∽△PDB.
即当CD2=AC·BD时，△ACP∽△PDB.
（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD.
∴∠APB=∠APC＋∠CPD＋∠DPB
=∠PBD＋60°＋∠DPB
=60°＋60°=120°.三
相似三角形的判定及性质
课堂探究
探究一
相似的问题
在相似三角形中，与相似比相等的有：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比、周长的比，外接(内切)圆的半径比、直径比、周长比，常利用比相等列方程来解决问题．
【典型例题1】已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的周长为60
cm，△A′B′C′的周长为72
cm，AB＝15
cm，B′C′＝24
cm，求：
(1)BC，A′B′；
(2)AC，A′C′.
思路分析：由周长的比得到相似比，再利用相似比解决．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝＝.
(1)∵AB＝15
cm，∴＝，∴A′B′＝18
cm.
∵B′C′＝24
cm，∴＝，∴BC＝20
cm.
(2)∵AB＋BC＋AC＝60
cm，
∴AC＝60－AB－BC＝60－15－20＝25(cm)．
同理可得A′C′＝30
cm.
点评
根据题意，利用相似三角形的周长之比等于相似比来求解．
探究二
面积比问题
转化思想在数学解题中有着广泛的应用，关键是利用转化思想把三角形的面积比与相似比进行转化．
【典型例题2】如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC于点E，EF∥AB且交BC于点F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边形BFED的面积等于多少？
思路分析：由平行关系推导出△ADE∽△EFC，根据面积比得到对应边的比，再利用相似比转化解决．
解：因为AD∥EF，DE∥FC，
所以△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
所以△ADE∽△EFC.
又因为S△ADE∶S△EFC＝1∶4，
所以AE∶EC＝1∶2.所以AE∶AC＝1∶3.
所以S△ADE∶S△ABC＝1∶9.
因为S△ADE＝1，所以S△ABC＝9.
所以S四边形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝9－1－4＝4.
探究三
实际应用问题
此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意转化成数学问题，构造相似三角形求解．
【典型例题3】如图所示，已知一块直角三角形木板的三边AB＝5
m，BC＝3
m，AC＝4
m，一加工车间要把它加工成一块面积最大的正方形木板．如何设计才能使木板的面积最大，并求出最大面积．
解：如图(1)所示，设正方形DEFG的边长为x
m.
图(1)
过点C作CM⊥AB于M，交DE于N，因此S△ABC＝AC·BC＝AB·CM.
∴AC·BC＝AB·CM.
∴CM＝＝＝.
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA.
∴＝，即＝.∴x＝.
如图(2)，设正方形CDEF的边长为y
m.
图(2)
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∴＝，即＝.∴y＝.
∵x2点评
将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的应用．平行线分线段成比例定理
练习
1如图所示，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝3，，则EF等于( )
A．
B．15
C．
D．不确定
2如图所示，在△ABC中，DE∥AB，，则等于( )
A．
B．
C．
D．
3如图，已知AD∥BE∥CF，EG∥FH，则下列等式成立的是( )
A．
B．
C．
D．
4如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是( )
A．10
B．12
C．16
D．18
5如图，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．
6如图所示，AB∥CD，AC与BD相交于点E，，则__________.
(第6题图)
7如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若AE∶AC＝3∶5，BC＝10，AB＝6，则四边形DBFE的周长是__________．
(第7题图)
8如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为__________．
9(情景题)某同学的身高为1.6
m，由路灯下向前步行4
m，发现自己的影子长为2
m，求这个路灯的高．
10如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F两点，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.
参考答案
1
答案：A ∵l1∥l2∥l3，∴，∴，∴EF＝.
2
答案：D ∵，∴.
又∵DE∥AB，∴.
3
答案：C ∵AD∥BE∥CF，∴.
又∵EG∥FH，∴.
∴，∴选项C成立；
由于，∴.
∴选项A不成立；同理选项B不成立；
很明显，∴选项D不成立，故选C.
4答案：C ∵AB∥EF∥CD，∴.
∴.
∴EF＝AB＝×20＝16.
5
答案：C ∵DC∥BN，∴.
又BM∥AD，∴.
∴.
6答案： ∵AB∥CD，∴，
∴.
7答案： ∵DE∥BC，∴.
∵BC＝10，∴DE＝6.
又∵EF∥AB，∴.
由，得，∴.
∵AB＝6，∴EF＝.
又四边形DBFE是平行四边形，
故其周长为2(DE＋EF)＝2×＝.
8答案： 由于DE∥BC，则∠DBC＝∠FDE，
由于EF∥CD，则∠BDC＝∠DFE，
所以△BDC∽△DFE，所以.
又BC＝3，DE＝2，DF＝1，所以，
所以DB＝.
由于DE∥BC，所以，即.
所以，解得.
9答案：解：如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6
m，PB＝2
m，BD＝4
m，
因为AB∥CD，
所以.
所以CD＝＝＝4.8
(m)，
即路灯的高为4.8
m.
10答案：证明：延长CK，BA，设它们交于点H.
因为KO∥HB，
所以，.
所以，即.
因为KF∥HB，所以，.
所以.所以.
所以，即KO2＝KE·KF.平行线等分线段定理
练习
1梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝2
cm，则AB＋CD等于( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
2△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，且BC＝8，则DE等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
3如图所示，AB∥CD，AO＝OD，BC＝4
cm，则CO等于( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．不确定
4已知三角形的三条中位线的长分别为3
cm,4
cm,6
cm，则这个三角形的周长是( )
A．13
cm
B．26
cm
C．24
cm
D．6.5
cm
5如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的( )
A．倍
B．倍
C．倍
D．倍
6如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10
cm，则BO＝__________cm.
7如图，在正方形A′B′C′D′中，O′是两条对角线A′C′与B′D′的交点，作O′F′∥C′D′交A′D′于点F′，且正方形边长等于12，则A′F′＝__________.
8在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，AN＝4
cm，则CN＝__________cm.
9如图，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF＝BF.
10(能力拔高题)用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图所示，先把矩形纸ABCD对折之后展开，设折痕为MN；再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△AEF，如图所示．想一想，为什么？
参考答案
1答案：D
2答案：C ∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4.
3
答案：B 过O作l∥AB，则l∥AB∥CD，
∵AO＝OD，∴BO＝OC，
∴CO＝BC＝2
cm.
4答案：B 由题知，三角形三边的长分别为6
cm,8
cm，12
cm，所以，三角形的周长为6＋8＋12＝26(cm).
5
答案：A ∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.
∵E为AB的中点，由推论1知，F为BD的中点，即BF＝FD.
又∵DC＝BD，∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
6
答案： 如图，过O作l∥AB，则l∥AB∥CD∥EF.
∵AO＝OD＝DF，∴BO＝OC＝CE，
则BO＝BE＝cm.
7
答案：6 因为四边形A′B′C′D′是正方形，O′是A′C′与B′D′的交点，所以A′O′＝O′C′.
又因为O′F′∥C′D′，所以A′F′＝F′D′，
即A′F′＝A′D′＝×12＝6.
8答案：8 如图，过点D作DE∥BN，交AC于E.
∵D为BC的中点，∴NE＝EC.
又∵M为AD的中点，MN∥DE，
∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC.
∴CN＝2AN＝8
cm.
9
答案：证明：如图，连接AE交DC于O.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分).
∵四边形ABCD是梯形，
∴DC∥AB.
在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，
∴F是EB的中点.∴EF＝BF.
10答案：解：如图，∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，
∴P为EA的中点.
在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°.
在△AEF中，∠AEB＝60°，∠EAF＝∠1＋∠2＝60°.
∴△AEF为等边三角形.三
相似三角形的判定及性质
自我小测
1．三角形的一条中位线截该三角形所得的小三角形与原三角形的周长之比等于( )
A．
B．
C．
D．不确定
2．两个相似三角形对应中线分别长6
cm和18
cm，若较大三角形的面积是36
cm2，则较小三角形的面积是( )
A．6
cm2
B．4
cm2
C．18
cm2
D．不确定
3．如图所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为( )
A．1∶3
B．1∶9
C．1∶15
D．1∶16
4．△ABC内切圆的半径r1＝4，△A′B′C′内切圆的半径r2＝6，且△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，则A′B′等于( )
A．3
B．6
C．9
D．不确定
5．有一块三角形铁片ABC，已知BC＝12
cm，高AD＝8
cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为( )
A．18
cm2或
cm2
B．20
cm2或18
cm2
C．16
cm2
D．15
cm2
6．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12
cm，面积为6
cm2，则这块土地的实际周长是__________m，实际面积是__________m2.
7．(2014广东，理15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.
8．(探究题)在△ABC中，如图所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝__________.
9．如图，在△ABC中，AB＝14
cm，＝，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12
cm，求△ADE的面积．
10．如图，△ABC的∠BAC的平分线交BC于点P，∠BAC邻补角的平分线交BC的延长线于点Q，M为PQ的中点，求证：
(1)MA2＝MB·MC；
(2)＝.
参考答案
1．解析：小三角形与原三角形相似，其周长之比等于相似比．
答案：C
2．解析：相似比等于＝，则＝2＝，
故S小＝S大＝×36＝4(cm2)．
答案：B
3．解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
又因为AD∶DB＝1∶3，
所以AD∶AB＝1∶4，S△ADE∶S△ABC＝1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.
答案：C
4．解析：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝.
∴＝，∴A′B′＝3.
答案：A
5．解析：本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G，H分别在AC，AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x
cm，则长为2x
cm.
由HG∥BC，得△AHG∽△ABC，
得AK∶AD＝HG∶BC (8－x)∶8＝2x∶12 x＝ S矩形EFGH＝2x2＝(cm2)；
如图(2)，矩形的宽MN在BC上，
类似地，可求得S矩形MNPQ＝18
cm2.
答案：A
6．解析：这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为，则实际周长是12×500＝6
000(cm)＝60
m；实际面积是6×5002＝1
500
000(cm2)＝150
m2.
答案：60 150
7．解析：因为ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，且AB＝DC，于是△CDF∽△AEF，且＝＝3，因此＝2＝9.
答案：9
8．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.
又S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC，S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC.
∴2＝.∴2＝.∴DE＝m.
答案：m
9．分析：先求出S△ABC，再由DE∥BC，可得△ABC∽△ADE，由＝2，可求得S△ADE.
解：∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB·CD＝×14×12＝84(cm2)．∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，∴＝2.
又＝，∴＝.
∴＝2，∴S△ADE＝cm2.
10．证明：(1)因为M为PQ的中点，
且∠PAC＋∠CAQ＝＝＝90°，
则AM是Rt△PAQ斜边PQ的中线．
所以AM＝PM＝MQ.
又∠CAM＝∠CAQ－∠MAQ＝∠NAQ－∠Q＝∠B，∠CMA＝∠AMB，
所以△AMC∽△BMA.
所以＝，即MA2＝MB·MC.
(2)由(1)知△AMC∽△BMA，
所以＝＝.
所以·＝2，
即＝.三
相似三角形的判定及性质
自我小测
1．△ABC内切圆的半径r1＝4，△A′B′C′内切圆的半径r2＝6，且△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，则A′B′等于( )．
A．3
B．6
C．9
D．不确定
2．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD的中点E处，则折痕FG的长为( )．
A．13
B．
C．
D．
3．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，则∠APB等于( )．
A．60°
B．120°
C．135°
D．150°
4．在△ABC中，D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有________个．
A．0
B．1
C．2
D．无数
5．已知：图中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC＝3，FC＝1，BD＝5，则AC＝__________.
6．如图，已知ABCD中，，S△AFD＝16
cm2，则S△CEF＝__________，ABCD的面积为__________．
7．如图，已知∠ACB＝∠ADE，∠ABC＝∠AED．求证：∠ABE＝∠ACD．
8．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
求证：△ABC∽△FCD．
参考答案
1.
答案：A
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，∴.
∴.∴A′B′＝3.
2.
答案：C
解析：过点A作AH∥FG交CD于点H，则四边形AFGH是平行四边形，所以AH＝FG.
因为FG⊥BE，所以AH⊥BE.
所以∠ABE＋∠BAH＝90°.
因为∠BAH＋∠DAH＝90°，
所以∠ABE＝∠DAH.
因为∠BAE＝∠ADH＝90°，
所以△ABE∽△DAH.
所以.
因为AB＝12，，AD＝10，
所以.
所以.所以.
3.
答案：B
解析：∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝(∠PBD＋∠DPB)＋60°＝∠CDP＋60°＝60°＋60°＝120°.
4.
答案：C
解析：如图所示，DE1∥BC，
则△ADE1∽△ABC；
在AC上若存在点E2，使∠AE2D＝∠B，又∠A＝∠A，则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有两个．
5.
答案：6
解析：由BC＝3，BD＝5可得CD＝BD－BC＝2.
易证△CDF∽△CAB，
所以，即，AC＝6.
6.
答案：4
cm2 48
cm2
解析：由题意得，△CEF∽△DAF，相似比为1∶2，
则S△CEF∶S△DAF＝1∶4.
所以S△CEF＝4
cm2.
又由题意可得，△CEF∽△BEA，相似比为1∶3，
则S△CEF∶S△BEA＝1∶9.所以S△ABE＝36
cm2.
所以S△ABE＋S△AFD－S△CEF＝36＋16－4＝48(cm2)，
即ABCD的面积为48
cm2.
7.
证明：∵∠ABC＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴△ABC∽△AED．
∴，∠BAC＝∠EAD．
∴.
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD．
∴△ABE∽△ACD．(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)∴∠ABE＝∠ACD．
8.
证明：因为BD＝DC，DE⊥BC，
所以△BEC为等腰三角形．所以∠B＝∠1.
又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB．所以△ABC∽△FCD．相似三角形的判定
练习
1给出下列四个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；
②一个角对应相等的两个直角三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．
其中正确的命题是( )
A．①③
B．①④
C．①②④
D．①③④
2如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
3以下列条件为依据，能判定△ABC∽△A′B′C′的一组是( )
A．∠A＝45°，AB＝12
cm，AC＝15
cm；∠A′＝45°，A′B′＝16
cm，A′C′＝25
cm
B．AB＝12
cm，BC＝15
cm，AC＝24
cm；A′B′＝20
cm，B′C′＝25
cm，A′C′＝32
cm
C．AB＝2
cm，BC＝15
cm，∠B＝36°；A′B′＝4
cm，B′C′＝5
cm，∠A′＝36°
D．∠A＝68°，∠B＝40°；∠A′＝68°，∠B′＝40°
4在△ABC中，D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
5如图，每个大正方形均由边长为1的小正方形组成，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
6如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3，则AB＝__________.
(第6题图)
7如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3.则DE＝__________，CE＝__________.
(第7题图)
8如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，AD＝3，BC＝7，则BD2＝__________.
9如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
求证：(1)△ABE∽△ADF；
(2)△EAF∽△ABC．
10(探究题)如图所示，在△ABC中，AD，CE是两条高，连接DE，如果BE＝2，EA＝3，CE＝4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论(要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等)，并对其中一个结论予以证明．
参考答案
1答案：A 很明显①和③都是判定定理，都正确；②中，若相等的角是直角，则不一定相似，则②不正确；④中，若相等的角中，在一个三角形中是顶角，在另一个三角形中是底角，则不一定相似，则④不正确，故选A.
2
答案：B 与△ODB相似的三角形有△AEB，△OEC，△ADC，共有3个．
3
答案：D 选项A中，∠A＝∠A′，但，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项B中，，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项C中，∠B与∠B′不一定相等，则△ABC与△A′B′C′不一定相似；选项D中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC∽△A′B′C′.
4
答案：C 如图所示，DE1∥BC，则△ADE1∽△ABC；在AC上若存在点E2，使∠AE2D＝∠B，又∠A＝∠A，则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有两个.
5答案：A △ABC中，∠B＝135°，tan
C＝，
tan
A＝tan(180°－∠B－∠C)＝tan(45°－∠C)
＝.
选项A中，三角形若有一个角为135°，则与∠B相等，若有一个角的正弦值为，则与∠A相等，故选项A中的三角形与△ABC相似.可以判断选项B，C，D中的三角形与△ABC均不存在两个角对应相等，即都不相似.
6答案：12 在△ACD和△ABC中，
∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC.
∴.∴，∴AB＝12.
7
答案：5 在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A是公共角，
∴△ACE∽△ADB，∴.
∴AE＝＝＝8.
则DE＝AE－AD＝8－3＝5.
在Rt△ACE中，
.
8答案：21 ∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＋∠BCD＝90°.
而∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCD.
又∠BAD＝∠BDC＝90°，
∴Rt△ABD∽Rt△DCB.
∴.∴BD2＝AD·BC＝3×7＝21.
9
答案：证明：(1)由题意可知，∠D＝∠B，∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF.
(2)由(1)知△ABE∽△ADF，
∴，∠BAE＝∠DAF，
又AD＝BC，∴.
∵AF⊥CD，CD∥AB，∴AB⊥AF.
∴∠BAE＋∠EAF＝90°.
又∵AE⊥BC，∴∠BAE＋∠B＝90°.
∴∠EAF＝∠B，∴△ABC∽△EAF.
10答案：分析：题图中有高，所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度.由AE＝3，CE＝4，可知CA＝5，这样可知AC＝AB，知△ABC是一个等腰三角形，再寻找条件就比较容易了.
解：①AB＝AC；②∠B＝∠ACB；③△CEB∽△ADC.
下面仅证明△CEB∽△ADC.
∵CE⊥AE，AE＝3，CE＝4，
∴AC＝＝5.
又∵AB＝AE＋BE＝5，
∴AC＝AB.∴∠B＝∠ACB.
又∵∠CEB＝∠ADC＝90°，∴△CEB∽△ADC.二
平行线分线段成比例定理
课堂探究
探究一
证明线段成比例
比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题，应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．
【典型例题1】如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE·KF.
思路分析：KO，KE，KF在一条直线上，要证明KO2＝KE·KF，即要证＝，显然要寻找中间比，现有图形无法将线段KO，KE，KF与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来，若延长CK，BA，设它们交于点H，则图形中出现两个基本图形，这就不难将，进行转换而找到中间比．
证明：延长CK，BA，设它们交于点H.
∵KO∥HB，∴＝，＝，
∴＝，即＝.
∵KF∥HB，∴＝，＝.
∴＝，即＝.
∴＝，即KO2＝KE·KF.
特别提醒
利用平行线来转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的．
探究二
证明线段相等
利用平行线分线段成比例定理证明线段相等，需找准对应关系，弄清线段之间的比例联系．
【典型例题2】如图，在△ABC中，E为中线AD上的一点，＝，连接BE并延长，交AC于点F，求证：AF＝CF.
思路分析：切入点是条件＝的应用，通过作平行线，证明＝，其中x是某条线段．
证明：过点D作DH∥AC，交BF于点H，如图所示．
∵D是BC的中点，
∴＝＝.
∵＝，∴＝.
又∵DH∥AF，∴＝＝.
∴＝，∴AF＝CF.
点评
结合题中给出的“＝”这一条件，利用平行线分线段成比例定理进行证明．
探究三
计算线段长度的比值
运用平行线分线段成比例定理及推论来计算线段长度的比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截的边，并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等．
【典型例题3】如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD，AC于E，F，交CB的延长线于N，若AE＝2，AD＝6.求AF∶AC的值．
思路分析：
解：∵AD∥BC，∴＝，
∴＝，
即＝.
∵＝＝1，∴AE＝BN.
∴＝＝.
∵AE＝2，BC＝AD＝6，
∴＝＝，
即AF∶AC＝1∶5.
点评
先结合题意求得等量关系，再利用平行线分线段成比例定理来寻找所求与已知之间的联系，从而找到突破点．
探究四
易错辨析
易错点：对点落在线段上还是线段的延长线上考虑不全面
【典型例题4】在△ABC中，直线DE与直线AB，AC分别交于点D，E，且DE∥BC.若AD＝1，DB＝2，则＝__________.
错解：4 解析：D，E分别在边AB，AC上，则由DE∥BC知＝＝，故＝1＋3＝4.
错因分析：点D，E也有可能在BA，CA的延长线上，漏掉一种情况，考虑不全面致误．
正解：4或2 解析：(1)同错解；
(2)若D，E分别在BA，CA的延长线上，
则由DE∥BC知＝＝，故＝2.
综上，＝4或2.四
直角三角形的射影定理
自我小测
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为( )
A．
B．
C．
D．不确定
2．在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于Q，MN＝3，PN＝9，则NQ等于( )
A．1
B．3
C．9
D．27
3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
4．已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD＝p，BD＝q，则tan
A的值是( )
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝5，BD＝8，则S△CDA∶S△CDB为( )
A．5∶8
B．25∶64
C．25∶39
D．25∶89
6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10
cm，AC＝6
cm，则此梯形的面积为__________．
7．如图，在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，垂足为C，且AB＝2，AC＝4，则PB＝__________.
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝，AB＝5，则AD＝__________.
9．在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝144，CD＝60，求AD，AB，AC，BC的长．
10．如图，分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M，且＝＝，AH和BM相交于点P，求证：AP＝9PH.
参考答案
1．解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即＝，
又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.
又∵AD∶BD＝2∶3，设AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，
∴CD2＝6x2.∴CD＝x，易知△ACD与△CBD的相似比为＝＝.
答案：C
2．解析：由射影定理得MN2＝NQ·NP，
∴32＝9NQ，∴NQ＝1.
答案：A
3．解析：如图，由射影定理，
得AC2＝CD·BC，
AB2＝BD·BC，
∴＝＝2，
即＝，∴＝.
答案：C
4．解析：由射影定理得CD2＝AD·BD＝pq，
∴CD＝，∴tan
A＝＝.
答案：C
5．解析：由题意知△CDA∽△BDC，
∴＝2＝.
根据射影定理，得AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，
∴＝＝＝.
答案：A
6．解析：如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，∵AB＝10
cm，AC＝6
cm，∴BC＝8
cm.
在Rt△ABC中，由射影定理易得BE＝6.4
cm，AE＝3.6
cm.
∴CE＝＝4.8(cm)．
∴AD＝4.8
cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6
cm.
∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．
答案：32.64
cm2
7．解析：∵在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，∴AB2＝AC·AP，
即(2)2＝4AP，解得AP＝6.
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
BP＝＝＝2.
答案：2
8．解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·DB.
∵CD＝，∴AD·DB＝6.又AB＝5，
∴DB＝5－AD.
∴AD(5－AD)＝6，解得AD＝2或3.
答案：2或3
9．解：由直角三角形的射影定理得CD2＝AD·BD，
即602＝144AD，解得AD＝25，AB＝AD＋BD＝169，AC2＝AD·AB＝25×169，所以AC＝65.
又BC2＝BD·AB＝144×169，所以BC＝156.
故AD＝25，AB＝169，AC＝65，BC＝156.
10．证明：在正方形ABCD中，∵＝＝，
∴＝＝，∴＝＝.
又∠ABH＝∠C＝90°，
∴△ABH∽△BCM，∠PBH＝∠BAH.
又∵∠BAH＋∠BHA＝90°，
∴∠PBH＋∠BHP＝90°，即BP⊥AH.
在Rt△ABH中，设BH＝k，
则AB＝3k，AH＝k.
∴AB2＝AP·AH，BH2＝PH·AH.
∴＝＝＝.∴AP＝9PH.二
平行线分线段成比例定理
自我小测
1．如图所示，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝3，DE＝，则EF等于( )
A．
B．15
C．
D．12
2．如图所示，在△ABC中，DE∥AB，＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
3．如图，E是ABCD的边AB的延长线上一点，且＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
4．如图，DE∥AB，DF∥BC，若AF∶FB＝m∶n，BC＝a，则CE＝( )
A．
B．
C．
D．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的延长线上一点，AE分别交BD，BC于点G，F，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝，其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图所示，AB∥CD，＝，且CB＝7，则OC＝__________.
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若AE∶AC＝3∶5，BC＝10，AB＝6，则四边形DBFE的周长是__________．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为__________．
9．如图所示，AB∥FG，AC∥EH，BG＝HC，求证：EF∥BC.
10．如图，在ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于点G，交BC于点F.
求证：(1)DG2＝GE·GF；
(2)＝.
参考答案
1．解析：∵l1∥l2∥l3，∴＝，
∴＝，∴EF＝.
答案：A
2．解析：∵＝，∴＝.
又∵DE∥AB，∴＝＝.
答案：D
3．解析：∵CD∥AB，∴＝＝.
又∵AD∥BF，∴＝.
由＝得＝，即＝.
∴＝＝.
答案：C
4．解析：∵DF∥BC，∴＝＝.
∵DE∥AB，
∴＝＝＝＝.
∴EC＝.
答案：D
5．解析：在△ADE中，CF∥AD，则有①和④正确；
又由BF∥AD，则有②正确；
由BF∥AD，有＝，故③不正确．
答案：C
6．解析：∵AB∥CD，∴＝＝.
又∵CB＝OB＋OC＝7，
∴＝，解得OC＝.
答案：
7．解析：∵DE∥BC，∴＝＝.
∵BC＝10，∴DE＝6.
又∵EF∥AB，∴＝.
由＝，得＝，∴＝.
∵AB＝6，∴EF＝.
又四边形DBFE是平行四边形，
故其周长为2(DE＋EF)＝2×＝.
答案：
8．解析：由于DE∥BC，
则∠DBC＝∠FDE.
由于EF∥CD，则∠BDC＝∠DFE，
所以△BDC∽△DFE，所以＝.
又BC＝3，DE＝2，DF＝1，所以＝，
所以DB＝.
由于DE∥BC，所以＝，即＝.
所以＝，解得AB＝.
答案：
9．分析：要证明EF∥BC，只需证明＝或＝或＝即可．
证明：因为AB∥FG，AC∥EH，
所以＝，＝.
又因为BG＝HC，所以＝.
所以EF∥BC.
10．证明：(1)∵CD∥AE，∴＝.
又∵AD∥CF，∴＝.
∴＝，即DG2＝GE·GF.
(2)∵BF∥AD，∴＝.
又∵CD∥BE，∴＝.
由此可得＝.直角三角形的射影定理
练习
1如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，则线段AC在AB上的射影长等于( )
A．4
B．6
C．2
D．
2如图所示，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，若BD·DC＝16，则AD等于( )
A．2
B．4
C．16
D．不确定
3如图所示，在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于Q，MN＝3，PN＝9，则NQ等于( )
A．1
B．3
C．9
D．27
4如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，则CE·CA等于( )
A．AD·AB
B．CF·CB
C．BD·BA
D．BF·FC
5如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是( )
A．3∶2
B．9∶4
C．
D．
6如图，Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，垂足为C，且AB＝，AC＝4，则PB＝__________.
7在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝，AB＝5，则AD＝__________.
8如图，已知线段a，b，求作线段c，使b是a和c的比例中项，并加以证明．
9在△ABC中，∠BAC是直角，AD是斜边BC上的高，AB＝2AC．
求证：5AD＝2BC．
参考答案
1
答案：A ∵BC⊥AB，∴AC在AB上的射影是AB.
2
答案：B 由题意知，AD2＝BD·DC＝16，故AD＝4.
3
答案：A ∵MN2＝NQ·NP，
∴32＝NQ×9.∴NQ＝1.
4答案：B ∵CD⊥AB，DE⊥AC，∴CD2＝CE·CA，
同理可得CD2＝CF·CB，
∴CE·CA＝CF·CB.
5
答案：C 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，由射影定理知，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.
又∵AD＝3，BD＝2，
∴AB＝AD＋BD＝5，
∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.
∴，即AC∶BC＝.
6答案： ∵在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，
∴AB2＝AC·AP，
即＝4AP，解得AP＝6.
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
.
7答案：2或3 ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·DB.
∵CD＝，∴AD·DB＝6.又AB＝5，
∴DB＝5－AD.
∴AD(5－AD)＝6，解得AD＝2或3.
8答案：作法：如图所示.
(1)作线段AB＝a，过B作AB的垂线l，在l上取一点C，使BC＝b；
(2)连接AC，过C作AC的垂线l′，l′交AB的延长线于D，则线段BD为所求作线段c.
证明：∵AC⊥CD，CB⊥AD，
∴CB2＝AB·BD.
∴b2＝ac，即线段c使得b是a和c的比例中项.
9
答案：证明：在Rt△ABC中，设AC＝k，则AB＝2AC＝2k，
∴，
AC2＝BC·CD＝·CD＝k2，则CD＝.
∵AD2＝CD·BD，BD＝BC－CD＝，
∴AD2＝×，∴AD＝.
∴AD∶BC＝.即5AD＝2BC.四
直角三角形的射影定理
课堂探究
探究一
与射影有关的计算问题
在利用直角三角形的射影定理求解线段的长度时，往往需要创造应用射影定理的条件，即构造垂直关系，可以构造直角三角形，也可以构造垂直关系．
【典型例题1】如图，在△ABC中，D，F分别在AC，BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.
思路分析：由题意可得，△ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形．因此，可以过D作DE⊥BC.由于DE，AF均垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.
解：在△ABC中，设AC＝x.
∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理，
得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.
再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，
即AF2＝x2－1.∴AF＝.
在△BDC中，过D作DE⊥BC于E.
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC.
又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.
∴＝.
∴DE＝＝.
在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2＝DC2，
即2＋2＝12，∴＋＝1.
整理得x6＝4.∴x＝.∴AC＝.
点评
本题在直角三角形中两次利用射影定理找到边之间的关系，最后再利用勾股定理求解．
探究二
与射影定理有关的证明问题
利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见，在解题过程中，应弄清射影定理中成比例的线段，再结合比例的基本性质加以灵活运用．
【典型例题2】如图所示，∠CAB＝90°，AD⊥BC，△ACE，△ABF是正三角形．求证：DE⊥DF.
思路分析：由于图中所给的等角比较多，则转化为证明∠FDE＝90°，即只需证∠FDA＋∠ADE＝90°.
又AD⊥BD，则只需证明∠ADE＝∠FDB，从而转化为证明△FBD∽△EAD.
证明：∵∠CAB＝90°，AD⊥BC，
∴AB2＝BD·BC，即＝.
又∠ABC＝∠ABD，
∴△ABC∽△DBA，∴＝.
又AC＝AE，AB＝BF，
∴＝，即＝.
又∠ABD＝∠CAD，∠FBD＝60°＋∠ABD，∠EAD＝60°＋∠CAD，
∴∠FBD＝∠EAD.∴△EAD∽△FBD.
∴∠BDF＝∠ADE.
∴∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF.
又∵AD⊥BD，∴∠FDA＋∠BDF＝90°.
∴∠FDE＝90°.∴DE⊥DF.
规律总结
证明与直角三角形有关的问题时，常用到射影定理来构造出比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．
探究三
易错辨析
易错点：射影定理应用有误
【典型例题3】若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，AB＝25，AC＝20，试确定DB和CD的长．
错解：∵AC⊥CB，CD⊥AB，
∴由射影定理得AD2＝AC·AB＝20×25＝500，
∴AD＝10.
∴DB＝AB－AD＝25－10，
又CD2＝DB·AD＝(25－10)×10
＝250－500＝250(－2)，
∴CD＝5.
错因分析：用错了射影定理，应该为AC2＝AD·AB.
正解：∵AC⊥CB，CD⊥AB，
由射影定理可知，AC2＝AD·AB，CD2＝AD·DB，
∴AD＝＝＝16，∴DB＝AB－AD＝25－16＝9，
∴CD＝＝＝12.四
直角三角形的射影定理
更上一层楼
基础·巩固
1下列命题正确的是（
）
A.所有的直角三角形都相似
B.所有的等腰三角形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似
D.所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似
思路解析:此题容易混淆的是D，D中所有的有一个角是30°的等腰三角形，若一个是顶角为30°,而另一个是底角为30°，那么这两个等腰三角形不相似，即条件中30°角的位置不明确.
答案：C
2如图1-4-9，已知△ABC∽△ADE，且∠ADE=∠B，则下列比例式中正确的是（
）
图1-4-9
A.
B.
C.
D.
思路解析:本题的关键是找准对应边，∠ADE=∠B，那么∠ADE的对边AE与∠B的对边AC是对应边，DE与BC是对应边，所以D正确.
答案：D
3如图1-4-10，在?ABCD中，F是BC边上的点，延长DF与AB的延长线相交于G，则相似三角形有…（
）
图1-4-10
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
思路解析:若包括全等三角形在内，有6对相似三角形，其中上、下看：△GBF∽△GAD，△EFC∽△EDA；左、右看：△GFB∽△DFC，△GAE∽△DCE，△GAD∽△DFC.又因为DC∥AG，所以△ABC≌△CDA，于是共有6对三角形相似.
答案：D
4如图1-4-11，ABCD是矩形,∠BEF=90°，①、②、③、④这四个三角形能相似的是（
）
图1-4-11
A.①与②
B.①与③
C.②与③
D.②与④
思路解析:∵∠BEC=90°，∴∠1与∠2互余.又∠3与∠2互余，∴∠1=∠3且有直角相等.∴图①与图③相似.
答案：B
5如图1-4-12,已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，求证:CD·AC=BC·AD.
图1-4-12
思路分析:分别在三个直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，有CD2=BD·AD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB.将第一个式子和第三个式子相乘，就有CD2·AC2=BD·AB·AD2，将BD·AB换成BC2，然后两边开方即得.
证明：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，
∴CD2=BD·AD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB.
∴CD2·AC2=BD·AB·AD2,CD·AC=BC·AD.
∴CD2·AC2=BC2·AD2.∴CD·AC=BC·AD.
6如图1-4-13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高.已知BD=4，AB=29，试求出图中其他未知线段的长.
图1-4-13
思路分析:本题应利用直角三角形的射影定理进行计算，根据条件直接计算可得结论.
解
由已知，BD=4，AB=29，BC2=BD·AB，
∴BC=∴AD=AB-BD=29-4=25.
∵AC2=AD·AB，∴AC=.
∵CD2=AD·BD，∴CD=.
综合·应用
7如图1-4-14，已知BC2=BD·AB，能否推出CD⊥AB？如果认为不能推出，那么试加一个条件，并推出CD⊥AB.
图1-4-14
思路分析:根据已知条件，只能得到△BCD和△BAC相似，但不能断定CD⊥AB.必须再附加其他条件.
解：根据已知条件，不能推出CD⊥AB.可以添加条件∠BCA是直角.
8暑假里，方程帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹夹鱼”，个个都长得非常相似，现有两种大小不同的“竹夹鱼”,价钱也不同，如图1-4-15所示，鱼长10
cm的每条10元；鱼长13
cm的每条15元.方程不知道买哪种更好些，你看怎么办？
图1-4-15
思路分析:由相似形可知，两个相似图形的大小的比等于相似比，两个相似图形的面积的比是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方.此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好.
解：设两条相似的鱼A、B的长分别为10
cm和13
cm，即B与A的长度之比为，则体积之比为=2.197；又B与A的价格之比为，这里B种鱼的体积是A种鱼的体积的2.197倍，而价格只是1.5倍，显然，买B种鱼比买A种鱼更划算.
