二
平面与圆柱面的截线
自我小测
1．已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为，则平面β与圆柱母线的夹角是( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．90°
2．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( )
A．9倍
B．4倍
C．12倍
D．18倍
3．在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
4．已知圆柱的底面半径为r，平面α与圆柱母线的夹角为60°，则它们截口椭圆的焦距是( )
A．2r
B．4r
C．r
D．3r
5．如图所示，已知A为左顶点，F是左焦点，l交OA的延长线于点B，P，Q在椭圆上，有PD⊥l于D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①； ②； ③； ④； ⑤.
其中正确的是( )
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①②③④⑤
6．已知平面π截圆柱体，截口是一条封闭曲线，且截面与底面所成的角为45°，此曲线是__________，它的离心率为__________．
7．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为，则Dandelin球的半径是__________．
8．已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线的夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是__________．
9．如图所示，已知PF1∶PF2＝1∶3，AB＝12，G1G2＝20，求PQ.
参考答案
1．解析：设平面β与圆柱母线的夹角为φ，则cos
φ＝，
故φ＝30°.
答案：A
2．解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，
由已知，得＝2c，即a＝3c，
故两条准线间的距离为＝＝18c.
答案：A
3．B
4．解析：如图，过点G2作G2H⊥AD，H为垂足，则G2H＝2r.
在Rt△G1G2H中，
G1G2＝＝2r×2＝4r，
∴长轴2a＝G1G2＝4r，短轴2b＝2r.
∴焦距2c＝2＝2×r＝2r.
答案：A
5．解析：①符合离心率定义；②过点Q作QC⊥l于C，
∵QC＝FB，∴＝符合离心率定义；
③∵AO＝a，BO＝，
∴＝＝，故也是离心率；
④∵AF＝a－c，AB＝－a，
∴＝＝，∴是离心率；
⑤∵FO＝c，AO＝a，
∴＝是离心率．
答案：D
6．答案：椭圆
7．解析：由题意知解得
∴b＝＝.
∴Dandelin球的半径为.
答案：
8．解析：由题意知，椭圆短轴为2b，长轴长2a＝＝4b，
∴c＝＝b.
∴e＝＝或e＝cos
30°＝.
设P到F1的距离为d，
则＝，∴d＝b.
又PF1＋PF2＝2a＝4b，
∴PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.
答案：b
9．解：设椭圆长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，
由已知可得a＝10，b＝6，c＝＝8，e＝＝.
由椭圆定义，知PF1＋PF2＝G1G2＝20，
又PF1∶PF2＝1∶3，则PF1＝5，PF2＝15.
由离心率定义，得＝，∴PQ＝.三
相似三角形的判定及性质
自我小测
1．在△ABC中，D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有( )个．
A．0
B．1
C．2
D．无数
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD的中点E处，则折痕FG的长为( )
A．13
B．
C．
D．
3．以下列条件为依据，能判定△ABC和△A′B′C′相似的一组是( )
A．∠A＝45°，AB＝12
cm，AC＝15
cm；∠A′＝45°，A′B′＝16
cm，A′C′＝25
cm
B．AB＝12
cm，BC＝15
cm，AC＝24
cm；A′B′＝20
cm，B′C′＝25
cm，A′C′＝32
cm
C．AB＝2
cm，BC＝15
cm，∠B＝36°；A′B′＝4
cm，B′C′＝5
cm，∠A′＝36°
D．∠A＝68°，∠B＝40°；∠A′＝68°，∠B′＝40°
4．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
5．如图，D，E分别在AB，AC上，下列条件能判定△ADE与△ABC相似的有( )
①∠AED＝∠B，②＝，③＝，④DE∥BC.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，已知AC⊥BD，DE⊥AB，AC，ED交于点F，BC＝3，FC＝1，BD＝5，则AC＝__________.
7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3，则AB＝__________.
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________.
9．如图，已知∠ACB＝∠E，AC＝6，AD＝4，求AE的长．
10．如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
求证：△ABC∽△FCD.
11．如图所示，在△ABC中，AD，CE是两条高，连接DE，如果BE＝2，EA＝3，CE＝4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论(要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等)，并对其中一个结论予以证明．
参考答案
1．解析：如图所示，DE1∥BC，则△ADE1∽△ABC；在AC上存在点E2，使∠AE2D＝∠B.
又∠A＝∠A，则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有2个．
答案：C
2．解析：过点A作AH∥FG交CD于点H，则四边形AFGH是平行四边形，所以AH＝FG.
因为FG⊥BE，所以AH⊥BE.
所以∠ABE＋∠BAH＝90°.
因为∠BAH＋∠DAH＝90°，
所以∠ABE＝∠DAH.
因为∠BAE＝∠ADH＝90°，
所以△ABE∽△DAH，
所以＝.
因为AB＝12，AE＝AD＝×10＝5，AD＝10，所以BE＝＝13.
所以＝.所以AH＝，即FG＝.
答案：C
3．解析：选项A中，∠A＝∠A′，但≠，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项B中，＝≠，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项C中，∠B与∠B′不一定相等，则△ABC与△A′B′C′不一定相似；选项D中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC∽△A′B′C′.
答案：D
4．解析：与△ODB相似的三角形有△AEB，△OEC，△ADC，共有3个．
答案：B
5．解析：由相似三角形的判定定理1可知①可以判定△ADE与△ABC相似；由判定定理2知②也可以判定△ADE与△ABC相似；由预备定理知④同样可以判定△ADE与△ABC相似．所以共有①②④三个条件可以判定△ADE与△ABC相似．
答案：C
6．解析：由BC＝3，BD＝5可得CD＝BD－BC＝2.
易证△CDF∽△CAB，
所以＝，即＝，AC＝6.
答案：6
7．解析：在△ACD和△ABC中，
∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC.
∴＝.∴＝，∴AB＝12.
答案：12
8．解析：∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＋∠BCD＝90°.
而∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCD.
又∠BAD＝∠BDC＝90°，
∴Rt△ABD∽Rt△DCB.
∴＝.∴BD2＝AD·BC.
答案：△DCB AD·BC
9．解：因为∠ACB＝∠E，
∠DAC＝∠CAE，
所以△DAC∽△CAE.
所以＝.
所以AE＝＝＝9.
10．
证明：因为BD＝DC，DE⊥BC，
所以△BEC为等腰三角形．
所以∠B＝∠1.
又因为AD＝AC，
所以∠2＝∠ACB.
所以△ABC∽△FCD.
11．分析：题图中有高，所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度．由AE＝3，CE＝4，可知CA＝5，这样可知AC＝AB，△ABC是一个等腰三角形，再寻找条件就比较容易了．
解：①AB＝AC；②∠B＝∠ACB；③△CEB∽△ADC.
下面仅证明△CEB∽△ADC.
∵CE⊥AE，AE＝3，CE＝4，
∴AC＝＝5.
又∵AB＝AE＋BE＝5，
∴AC＝AB.∴∠B＝∠ACB.
又∵∠CEB＝∠ADC＝90°，
∴△CEB∽△ADC.三
平面与圆锥面的截线
自我小测
1．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
2．设截面和圆锥的轴的夹角为β，圆锥的母线和轴所成角为α，当截面是椭圆时，其离心率等于( )
A．
B．
C．
D．
3．线段AB是抛物线的焦点弦．若A，B在抛物线准线上的正射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
4．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是__________，该曲线的形状是__________．
6．已知椭圆两条准线间的距离为20，长轴长为10，则短轴长为__________．
7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是__________．
8．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．
9．如图，已知圆锥母线与轴的夹角为α，平面π与轴线夹角为β，Dandelin球的半径分别为R，r，且α＜β，R＞r，求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.
10．P是椭圆上的任意一点，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，椭圆离心率为e.
求证：e＝，并写出在双曲线中类似的结论．
参考答案
1．解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
答案：D
2．B
3．解析：如图所示，由抛物线定义，知AA1＝AF，
∴∠AA1F＝∠AFA1.
又AA1∥EF，
∴∠AA1F＝∠A1FE，
∴∠AFA1＝∠A1FE，
∴FA1是∠AFE的平分线．
同理，FB1是∠BFE的平分线，
∴∠A1FB1＝∠AFE＋∠BFE
＝(∠AFE＋∠BFE)＝90°.
答案：C
4．解析：椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.
又因为四边形AF1BF2为矩形，
所以∠F1AF2＝90°.
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以|AF1|＝2－，|AF2|＝2＋.
所以在双曲线C2中，2c＝2，2a＝|AF2|－|AF1|＝2，故e＝＝＝，故选D.
答案：D
5．解析：∵e＝＝＞1，∴曲线为双曲线．
答案： 双曲线
6．解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c.
由得a＝5，c＝，
则2b＝2＝5.
答案：5
7．解析：∵PF1⊥PF2，
∴P在以F1F2为直径的圆上．
∴点P(x，y)满足
解得y2＝.
∵|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·|y|，
∴4ab＝2c·，解得e＝.
答案：
8．解：椭圆．
e＝＝＝.
设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为F1，F2，如图，MF1＋MF2＝Q1Q2＝AB.
设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2，
∵SO1＝2R1，CO1＝R1，
∴SC＝(2＋)R1＝5，即R1＝.
∵SO2＝2R2，CO2＝R2，
∴SC＝(2－)R2＝5，
即R2＝.
∵O1O2＝CO1＋CO2＝(R1＋R2)＝10，
∴AB＝O1O2cos
30°＝O1O2·＝5，
即MF1＋MF2＝5.
9．解：连接O1F1，O2F2，O1O2交F1F2于O点．
在Rt△O1F1O中，OF1＝＝.
在Rt△O2F2O中，OF2＝＝.
∴F1F2＝OF1＋OF2＝.
同理，O1O2＝.
连接O1A1，O2A2，过O1作O1H⊥O2A2.
在Rt△O1O2H中，O1H＝O1O2·cos
α＝·cos
α.
又O1H＝A1A2，由切线定理，容易验证G1G2＝A1A2，
∴G1G2＝·cos
α.
10．证明：在△PF1F2中，由正弦定理得＝＝，
∴PF1＝F1F2·，PF2＝F1F2·.
由椭圆定义，2a＝PF1＋PF2＝F1F2·＝F1F2·，
∴e＝＝＝＝
.
对于双曲线的离心率e有：e＝＝.一
平行线等分线段定理
自我小测
1．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于( )
A．2.5
B．3
C．3.5
D．不确定
2．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，且BC＝8，则DE＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
3．已知三角形的三条中位线分别为3
cm,4
cm,6
cm，则这个三角形的周长是( )
A．13
cm
B．26
cm
C．24
cm
D．6.5
cm
4．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，E，D，F分别是三边的中点，则四边形EDHF是( )
A．一般梯形
B．等腰梯形
C．直角梯形
D．一般四边形
5．如图所示，AB∥CD，AO＝OD，BC＝4
cm，则CO等于( )
A．1
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．不确定
6．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP，若AB＝9
cm，则AP＝________；若PM＝1
cm，则PC＝________.
7．如图，在正方形A′B′C′D′中，O′是两条对角线A′C′与B′D′的交点，作O′F′∥C′D′交A′D′于点F′，且正方形边长等于12，则A′F′＝________.
8．在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，BM的延长线交AC于N，AN＝4
cm，则CN＝__________cm.
9．如图，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作ACED，DC的延长线交BE于点F.求证：EF＝BF.
10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图所示，先把矩形纸ABCD对折之后展开，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图所示，想一想，为什么？
参考答案
1．解析：由梯形中位线定理，知选B.
答案：B
2．解析：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4.
答案：C
3．解析：由题知，三条中位线所对的三边的长分别为6
cm，8
cm，12
cm，故三角形的周长为6＋8＋12＝26(cm)．
答案：B
4．解析：根据题图，由E，F，D分别是三边的中点，知EF∥BC，ED∥AC，ED＝AC.
而HF是Rt△AHC斜边的中线，
所以HF＝AC，即ED＝HF，
因此四边形EDHF为等腰梯形．
答案：B
5．解析：过O作l∥AB，则l∥AB∥CD，
∵AO＝OD，∴BO＝OC，
∴CO＝BC＝2
cm.
答案：B
6．解析：由AB＝AC和AD⊥BC，结合等腰三角形的性质，可得D是BC的中点，再由DN∥CP，可得N是BP的中点，同理可得P是AN的中点，由此可得答案．根据三角形中位线性质可得PC＝4PM＝4
cm.
答案：3
cm 4
cm
7．解析：因为四边形A′B′C′D′是正方形，O′是A′C′与B′D′的交点，所以A′O′＝O′C′.
又因为O′F′∥C′D′，所以A′F′＝F′D′，
即A′F′＝A′D′＝×12＝6.
答案：6
8．解析：如图，过点D作DE∥BN，交AC于E.
∵D为BC的中点，∴NE＝EC.
又∵M为AD的中点，MN∥DE，
∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC.
∴CN＝2AN＝8
cm.
答案：8
9．证明：如图，连接AE交DC于点O.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥AB.
在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，
∴F是EB的中点，∴EF＝BF.
10．解：∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，∴P为EA的中点．
在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.
又∵AB⊥EF，∴AE＝AF.
∴由折叠过程可知∠1＝∠2＝30°，∠AEB＝60°.
在△AEF中，∠AEB＝60°，∠EAF＝∠1＋∠2＝60°，∴△AEF为等边三角形．三
相似三角形的判定及性质
自我小测
1．三角形的一条中位线截该三角形所得的小三角形与原三角形的周长之比等于( )
A．
B．
C．
D．不确定
2．两个相似三角形对应中线分别长6
cm和18
cm，若较大三角形的面积是36
cm2，则较小三角形的面积是( )
A．6
cm2
B．4
cm2
C．18
cm2
D．不确定
3．如图所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为( )
A．1∶3
B．1∶9
C．1∶15
D．1∶16
4．△ABC内切圆的半径r1＝4，△A′B′C′内切圆的半径r2＝6，且△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，则A′B′等于( )
A．3
B．6
C．9
D．不确定
5．有一块三角形铁片ABC，已知BC＝12
cm，高AD＝8
cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍，则加工成的铁片的面积为( )
A．18
cm2或
cm2
B．20
cm2或18
cm2
C．16
cm2
D．15
cm2
6．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12
cm，面积为6
cm2，则这块土地的实际周长是__________m，实际面积是__________m2.
7．(2014广东，理15)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.
8．(探究题)在△ABC中，如图所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝__________.
9．如图，在△ABC中，AB＝14
cm，＝，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12
cm，求△ADE的面积．
10．如图，△ABC的∠BAC的平分线交BC于点P，∠BAC邻补角的平分线交BC的延长线于点Q，M为PQ的中点，求证：
(1)MA2＝MB·MC；
(2)＝.
参考答案
1．解析：小三角形与原三角形相似，其周长之比等于相似比．
答案：C
2．解析：相似比等于＝，则＝2＝，
故S小＝S大＝×36＝4(cm2)．
答案：B
3．解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
又因为AD∶DB＝1∶3，
所以AD∶AB＝1∶4，S△ADE∶S△ABC＝1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.
答案：C
4．解析：∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝.
∴＝，∴A′B′＝3.
答案：A
5．解析：本题有图(1)和图(2)两种情况，如图(1)，矩形的长EF在BC上，G，H分别在AC，AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x
cm，则长为2x
cm.
由HG∥BC，得△AHG∽△ABC，
得AK∶AD＝HG∶BC (8－x)∶8＝2x∶12 x＝ S矩形EFGH＝2x2＝(cm2)；
如图(2)，矩形的宽MN在BC上，
类似地，可求得S矩形MNPQ＝18
cm2.
答案：A
6．解析：这块土地的实际形状与在地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为，则实际周长是12×500＝6
000(cm)＝60
m；实际面积是6×5002＝1
500
000(cm2)＝150
m2.
答案：60 150
7．解析：因为ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，且AB＝DC，于是△CDF∽△AEF，且＝＝3，因此＝2＝9.
答案：9
8．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.
又S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC，S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC.
∴2＝.∴2＝.∴DE＝m.
答案：m
9．分析：先求出S△ABC，再由DE∥BC，可得△ABC∽△ADE，由＝2，可求得S△ADE.
解：∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB·CD＝×14×12＝84(cm2)．∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，∴＝2.
又＝，∴＝.
∴＝2，∴S△ADE＝cm2.
10．证明：(1)因为M为PQ的中点，
且∠PAC＋∠CAQ＝＝＝90°，
则AM是Rt△PAQ斜边PQ的中线．
所以AM＝PM＝MQ.
又∠CAM＝∠CAQ－∠MAQ＝∠NAQ－∠Q＝∠B，∠CMA＝∠AMB，
所以△AMC∽△BMA.
所以＝，即MA2＝MB·MC.
(2)由(1)知△AMC∽△BMA，
所以＝＝.
所以·＝2，
即＝.四
弦切角的性质
自我小测
1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O于C点，∠PCD＝20°，则∠A等于( )
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
2．如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
3．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径，MN是⊙O的切线，C为切点．若∠BCM＝38°，则∠B等于( )
A．32°
B．42°
C．52°
D．48°
4．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2
B．3
C．2
D．4
5．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝__________.
6．已知AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，如果∠PAB＝30°，那么∠AOB＝________.
7．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝__________.
8．如图，AB是⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点C，AD⊥CE于D.若AD＝1，∠ABC＝30°，求⊙O的面积．
9．如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
10．如图，BC为⊙O的直径，＝，过点A的切线与CD的延长线交于点E.
(1)试猜想∠AED是否等于90°？为什么？
(2)若AD＝2，ED∶EA＝1∶2，求⊙O的半径；
(3)在(2)的条件下，求∠CAD的正弦值．
参考答案
1．A
2．解析：∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，
∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.
答案：B
3．解析：连接AC，如图所示．
∵MN切圆于C，BC是弦，∴∠BAC＝∠BCM.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠B＋∠BAC＝90°.∴∠B＋∠BCM＝90°，
∴∠B＝90°－∠BCM＝52°.
答案：C
4．解析：连接BC，如图所示．
∵EF是⊙O的切线，
∴∠ACD＝∠ABC.
又AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又AD⊥EF，
∴∠ACB＝∠ADC.
∴△ADC∽△ACB.∴＝.
∴AC2＝AD·AB＝2×6＝12，
∴AC＝2.
答案：C
5．解析：如图所示，连接BC，
则∠ACE＝∠ABC，∠ACB＝90°.
又∠ACE＝40°，则∠ABC＝40°.
所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°，∠ACP＝180°－∠ACE＝140°.
又AB是⊙O的直径，则∠ABP＝90°.
又四边形ABPC的内角和等于360°，
所以∠P＋∠BAC＋∠ACP＋∠ABP＝360°.
所以∠P＝80°.
答案：80°
6．解析：∵弦切角∠PAB＝30°，∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°，所对的圆心角等于60°.
答案：60°
7．解析：连接OC.∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.
又BC＝CD，
∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD.
又CE为圆O的切线，则OC⊥CE.
∵∠ACE为弦切角，
∴∠ACE＝∠B.
∴∠ACE＋∠CAD＝90°.∴CE⊥AD.
又AC⊥CD，∴CD2＝ED·AD＝2×6＝12，
即CD＝2.∴BC＝2.
答案：2
8．解：∵DE是切线，
∴∠ACD＝∠ABC＝30°.
又∵AD⊥CD，∴AC＝2AD＝2.
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
又∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴OA＝AB＝2.
∴⊙O的面积S＝π·OA2＝4π.
9．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.
又由于∠PGD＝∠EGA，
故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.
于是∠BDA＝90°.故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，
故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.
于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，
所以∠DCB＝∠CBA，
故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
10．解：(1)∠AED＝90°.证明：连接AB，∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°.
又∵AE切⊙O于A，＝，
∴∠EAD＝∠ACB.
又∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝∠ABC，
∴△AED∽△CAB，
∴∠AED＝∠CAB＝90°.
(2)∵AD＝2，DE∶EA＝1∶2，∠AED＝90°，
∴ED＝2，EA＝4.
又AB＝AD＝2，△EAD∽△ACB，
∴＝.∴BC＝＝＝10.
∴⊙O的半径为5.
(3)连接AB，过D作DF⊥AC于F.
∵在△ABC中，AC＝4；
在△AEC中，CE＝8，∴CD＝6.
又△CDF∽△CBA，
∴＝.
∴DF＝＝＝.
∴sin∠CAD＝＝＝.
备选习题
分析：(1)很明显∠ABE＝∠ACD，只需证明∠BAE＝∠CAD，转化为证明∠BAE＝∠CDB，∠CDB＝∠DCN，∠DCN＝∠CAD.(2)转化为证明∠BEC＝∠ECB.
证明：(1)∵BD∥MN，
∴∠CDB＝∠DCN.
又∠BAE＝∠CDB，
∴∠BAE＝∠DCN.
又直线MN是⊙O的切线，
∴∠DCN＝∠CAD.
∴∠BAE＝∠CAD.
又∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD.
(2)∵∠EBC＝∠BCM，∠BCM＝∠BDC，
∴∠EBC＝∠BDC.
∴CB＝CD.
∵∠BEC＝∠EDC＋∠ECD，∠ECD＝∠ABE，
∴∠BEC＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.
又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ECB.
∴∠BEC＝∠ECB.
∴BE＝BC.三
相似三角形的判定及性质
自我小测
1．△ABC内切圆的半径r1＝4，△A′B′C′内切圆的半径r2＝6，且△ABC∽△A′B′C′，AB＝2，则A′B′等于( )．
A．3
B．6
C．9
D．不确定
2．如图所示，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD的中点E处，则折痕FG的长为( )．
A．13
B．
C．
D．
3．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，则∠APB等于( )．
A．60°
B．120°
C．135°
D．150°
4．在△ABC中，D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有________个．
A．0
B．1
C．2
D．无数
5．已知：图中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC＝3，FC＝1，BD＝5，则AC＝__________.
6．如图，已知ABCD中，，S△AFD＝16
cm2，则S△CEF＝__________，ABCD的面积为__________．
7．如图，已知∠ACB＝∠ADE，∠ABC＝∠AED．求证：∠ABE＝∠ACD．
8．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
求证：△ABC∽△FCD．
参考答案
1.
答案：A
解析：∵△ABC∽△A′B′C′，∴.
∴.∴A′B′＝3.
2.
答案：C
解析：过点A作AH∥FG交CD于点H，则四边形AFGH是平行四边形，所以AH＝FG.
因为FG⊥BE，所以AH⊥BE.
所以∠ABE＋∠BAH＝90°.
因为∠BAH＋∠DAH＝90°，
所以∠ABE＝∠DAH.
因为∠BAE＝∠ADH＝90°，
所以△ABE∽△DAH.
所以.
因为AB＝12，，AD＝10，
所以.
所以.所以.
3.
答案：B
解析：∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝(∠PBD＋∠DPB)＋60°＝∠CDP＋60°＝60°＋60°＝120°.
4.
答案：C
解析：如图所示，DE1∥BC，
则△ADE1∽△ABC；
在AC上若存在点E2，使∠AE2D＝∠B，又∠A＝∠A，则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有两个．
5.
答案：6
解析：由BC＝3，BD＝5可得CD＝BD－BC＝2.
易证△CDF∽△CAB，
所以，即，AC＝6.
6.
答案：4
cm2 48
cm2
解析：由题意得，△CEF∽△DAF，相似比为1∶2，
则S△CEF∶S△DAF＝1∶4.
所以S△CEF＝4
cm2.
又由题意可得，△CEF∽△BEA，相似比为1∶3，
则S△CEF∶S△BEA＝1∶9.所以S△ABE＝36
cm2.
所以S△ABE＋S△AFD－S△CEF＝36＋16－4＝48(cm2)，
即ABCD的面积为48
cm2.
7.
证明：∵∠ABC＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴△ABC∽△AED．
∴，∠BAC＝∠EAD．
∴.
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD．
∴△ABE∽△ACD．(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)∴∠ABE＝∠ACD．
8.
证明：因为BD＝DC，DE⊥BC，
所以△BEC为等腰三角形．所以∠B＝∠1.
又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB．所以△ABC∽△FCD．四
直角三角形的射影定理
自我小测
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3，则△ACD与△CBD的相似比为( )
A．
B．
C．
D．不确定
2．在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于Q，MN＝3，PN＝9，则NQ等于( )
A．1
B．3
C．9
D．27
3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
4．已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD＝p，BD＝q，则tan
A的值是( )
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝5，BD＝8，则S△CDA∶S△CDB为( )
A．5∶8
B．25∶64
C．25∶39
D．25∶89
6．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10
cm，AC＝6
cm，则此梯形的面积为__________．
7．如图，在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，垂足为C，且AB＝2，AC＝4，则PB＝__________.
8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝，AB＝5，则AD＝__________.
9．在△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，BD＝144，CD＝60，求AD，AB，AC，BC的长．
10．如图，分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M，且＝＝，AH和BM相交于点P，求证：AP＝9PH.
参考答案
1．解析：如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，即＝，
又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.
又∵AD∶BD＝2∶3，设AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，
∴CD2＝6x2.∴CD＝x，易知△ACD与△CBD的相似比为＝＝.
答案：C
2．解析：由射影定理得MN2＝NQ·NP，
∴32＝9NQ，∴NQ＝1.
答案：A
3．解析：如图，由射影定理，
得AC2＝CD·BC，
AB2＝BD·BC，
∴＝＝2，
即＝，∴＝.
答案：C
4．解析：由射影定理得CD2＝AD·BD＝pq，
∴CD＝，∴tan
A＝＝.
答案：C
5．解析：由题意知△CDA∽△BDC，
∴＝2＝.
根据射影定理，得AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，
∴＝＝＝.
答案：A
6．解析：如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，∵AB＝10
cm，AC＝6
cm，∴BC＝8
cm.
在Rt△ABC中，由射影定理易得BE＝6.4
cm，AE＝3.6
cm.
∴CE＝＝4.8(cm)．
∴AD＝4.8
cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6
cm.
∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．
答案：32.64
cm2
7．解析：∵在Rt△ABP中，∠ABP＝90°，BC⊥AP，∴AB2＝AC·AP，
即(2)2＝4AP，解得AP＝6.
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
BP＝＝＝2.
答案：2
8．解析：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD·DB.
∵CD＝，∴AD·DB＝6.又AB＝5，
∴DB＝5－AD.
∴AD(5－AD)＝6，解得AD＝2或3.
答案：2或3
9．解：由直角三角形的射影定理得CD2＝AD·BD，
即602＝144AD，解得AD＝25，AB＝AD＋BD＝169，AC2＝AD·AB＝25×169，所以AC＝65.
又BC2＝BD·AB＝144×169，所以BC＝156.
故AD＝25，AB＝169，AC＝65，BC＝156.
10．证明：在正方形ABCD中，∵＝＝，
∴＝＝，∴＝＝.
又∠ABH＝∠C＝90°，
∴△ABH∽△BCM，∠PBH＝∠BAH.
又∵∠BAH＋∠BHA＝90°，
∴∠PBH＋∠BHP＝90°，即BP⊥AH.
在Rt△ABH中，设BH＝k，
则AB＝3k，AH＝k.
∴AB2＝AP·AH，BH2＝PH·AH.
∴＝＝＝.∴AP＝9PH.一
平行射影
自我小测
1．下列说法正确的是( )
A．正射影和平行射影是两种截然不同的射影
B．投影线与投影平面有且只有一个交点
C．投影方向可以平行于投影平面
D．一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的
2．线段AB，CD在同一平面内的正射影相等，则线段AB，CD的长度关系为( )
A．AB＞CD
B．AB＜CD
C．AB＝CD
D．无法确定
3．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A．内心的平行投影还是内心
B．重心的平行投影还是重心
C．垂心的平行投影还是垂心
D．外心的平行投影还是外心
4．下列结论中正确的是( )
①圆的平行射影可以是椭圆，但椭圆的平行射影不可能是圆；②平行四边形的平行射影仍然是平行四边形；③两条平行线段之比等于它们的平行射影(不是点)之比；④圆柱与平面的截面可以看作是底面的平行射影，反之亦然．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
5．Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的正射影与斜边组成的图形只能是( )
A．一条线段
B．一个锐角三角形或一条线段
C．一个钝角三角形或一条线段
D．一条线段或一个钝角三角形
6．用平面α截圆柱OO′，当OO′与平面α所成的角等于__________时，截面是一个圆．
7．如图所示，设C是线段AB上任意一点，C′，A′，B′分别是C，A，B沿直线l的方向在平面α上的平行射影．若AC＝4，CB＝6，则＝__________.
8．设P为△ABC所在平面外一点，点O为P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心．
9．如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，点A′是点A在平面BCD上的正射影，求证：点A′不可能是△BCD的垂心．
参考答案
1．解析：正射影是平行射影的特例，本质是相同的，故选项A错误；投影线与投影平面只能相交，选项B是正确的，选项C是错误的；一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关，方向改变了，就可能得到不同的平行射影，故选项D错误．
答案：B
2．解析：由线段AB，CD与平面所成的角来确定，虽然射影相等，但线段AB，CD的长度无法确定，故它们的长度关系也无法确定．
答案：D
3．解析：如果三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心．
答案：A
4．解析：由于平面图形的平行射影具有可逆性，即当一平面图形所在平面与投影平面不垂直时，该图形与其平行射影可以相互看作为对方的平行射影，只是投影方向相反罢了，因而①是错误的，④是正确的．当平行四边形所在平面平行于投影方向时，平行四边形的平行射影是一条线段，故②错误．很明显③正确．
答案：C
5．解析：(1)当顶点A在平面α内的正射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α内的正射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段，如图(1)．
(2)当顶点A在平面α内的正射影A′不在BC所在直线上时，如图(2)．
∵AA′⊥α，∴AA′⊥A′B，AA′⊥A′C.
∴A′B＜AB，A′C＜AC.
在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＞A′B2＋A′C2.
∴A′B2＋A′C2－BC2＜0.
∴∠BA′C为钝角，
∴△A′BC为钝角三角形．
答案：D
6．90°
7．解析：∵AA′∥l，BB′∥l，CC′∥l，
∴AA′∥BB′∥CC′.
由平行线分线段成比例定理，
得＝＝＝.
答案：
8．解析：连接AO，BO，CO，则AO，BO，CO分别为PA，PB，PC在平面ABC内的正射影．
又PA＝PB＝PC，由射影长定理，则OA＝OB＝OC，
故O为△ABC的外心．
答案：外
9．分析：直接证明有困难，利用反证法证明．
证明：假设点A′是△BCD的垂心，则A′B⊥CD.
因为AA′⊥平面BCD于点A′，则AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC，则AB⊥AC，这与△ABC是斜三角形的条件矛盾，故点A′不可能是△BCD的垂心．五
与圆有关的比例线段
自我小测
1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
2．如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②④
3．如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB，PCD分别为这两圆的割线，若PA＝3，PB＝6，PC＝2，则PD等于( )
A．4
B．8
C．9
D．12
4．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，PA＝7，在劣弧上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D，E，则△PDE的周长是( )
A．7
B．10
C．14
D．28
5．如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠AOB等于( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
6．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.
7．过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝__________.
8．如图，⊙O中的弦CD与直径AB相交于点E，M为AB延长线上一点，MD为⊙O的切线，D为切点，若AE＝2，DE＝4，CE＝3，DM＝4，求OB和MB的长．
9．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
10．如图，在Rt△ABC中，以BC为直径作圆，在AB上截取AE＝AD，其中AD为⊙O的切线，过E作AB的垂线交AC的延长线于F，求证：＝.
参考答案
1．解析：由切割线定理得，CD2＝CE·CB，
又在Rt△CAB中，△ACD∽△CBD，
∴CD2＝AD·DB，∴CE·CB＝AD·DB.
答案：A
2．解析：由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，
∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠DBC.
∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正确；
由切割线定理知，∴②正确；
由相交弦定理知，AE·ED＝BE·EC，∴③不正确；
∵△ABF∽△BDF，∴＝.
∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．故选D.
答案：D
3．解析：PT2＝PA·PB＝PC·PD，
则PD＝＝＝9.
答案：C
4．解析：∵DA，DC为⊙O的切线，
∴DA＝DC.同理EB＝EC.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝(PD＋DC)＋(PE＋CE)＝(PD＋DA)＋(PE＋EB)＝PA＋PB＝7＋7＝14.
答案：C
5．解析：如图，连接OO′，O′A.
∵OA为⊙O′的切线，∴∠OAO′＝90°.
又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切，∴OO′＝2O′A.
∴sin∠AOO′＝＝，
∴∠AOO′＝30°.
又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°.
答案：B
6．解析：由题意知PA＝PB.
PA切⊙O于点A，由切割线定理可得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4.∴QA＝2，∴PA＝2×2＝4＝PB.
答案：4
7．解析：如图所示：
根据切割线定理，得PA2＝PB·PC，
又因为PC＝(PB＋BC)，且PA＝6，BC＝9，
所以36＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3.
在△PAC中，根据余弦定理cos∠ACP＝，即cos∠ACP＝＝，在△ACB中，根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝82＋92－2×8×9×＝16，所以AB＝4.
答案：4
8．解：由于AB和CD是⊙O的两条相交弦，
则AE·EB＝CE·ED.
即2EB＝3×4.
所以EB＝6，故AB＝AE＋EB＝2＋6＝8.
所以OB＝AB＝4.
由于MD为⊙O的切线，
则MD2＝MB·MA＝MB·(MB＋AB)，
所以42＝MB·(MB＋8)，
解得MB＝－4±4.
由于MB＞0，则MB＝4－4.
9．分析：(1)欲证BE＝EC，由于在圆O中，可证＝，利用相等的圆周角所对的弧相等，则可证∠DAC＝∠BAD，故应由条件转化为角的关系上去寻找，我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理．对于(2)，由结论中出现AD·DE，而D是AE与BC两弦之交点，联想到相交弦定理可得AD·DE＝BD·DC.从而使问题转化为证明2PB2＝BD·DC，而P，B，D，C在一条直线上，且D又是PC的中点，而PA＝PD，PA是切线，又联想到切割线定理得PA2＝PB·PC，充分利用关系转化可得答案．
证明：(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
10．证明：在Rt△ACB和Rt△AEF中，
∠ACB＝∠AEF＝90°，∠BAC＝∠FAE，
∴Rt△ACB∽Rt△AEF.
∴＝.
又AC，AD均为⊙O的切线，且AD＝AE，
∴AE＝AC.可得AB＝AF.
∴＝.
备选习题
解：如图，设⊙O与△ABC各边的切点分别为F，G，H，则
AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，且AF＋BF＝9，BG＋CG＝8，CH＋AH＝10，
∴AF＝AH＝5.5，BF＝BG＝3.5，
CG＝CH＝4.5.
又DE是⊙O的切线，
∴DI＝DF，EI＝EH.
∴△ADE的周长＝AD＋DE＋EA＝AD＋DI＋EI＋EA＝AF＋AH＝2AF＝2×5.5＝11.二
圆内接四边形的性质与判定定理
自我小测
1．下列说法正确的有( )
①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角
②圆内接四边形的对角相等
③圆内接四边形不能是梯形
④在圆的内部的四边形叫做圆内接四边形
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．若四边形ABCD内接于圆，则∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可以是( )
A．1∶2∶3∶4
B．6∶7∶8∶9
C．4∶1∶3∶2
D．14∶3∶1∶12
3．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AH⊥CD，如果∠HAD＝30°，那么∠B＝( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )
A．120°
B．136°
C．144°
D．150°
6．圆内接平行四边形ABCD中，AB等于⊙O的半径，则∠CBD的度数为__________．
7．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为__________．
8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝70°，CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，求∠CQP的度数．
9．已知四边形ABCD内接于⊙O中，∠A＝85°，∠D＝100°，点E在AB的延长线上，求∠C与∠CBE的度数．
10．如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
(1)证明B，D，H，E四点共圆；
(2)证明CE平分∠DEF.
参考答案
1．解析：①正确，②③④都不正确．
答案：B
2．解析：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，且∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°，可知D为正确选项．
答案：D
3．解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个角均为直角，且对角线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．
答案：A
4．解析：∵AH⊥CD，∴∠AHD＝90°.
∵∠HAD＝30°，∴∠D＝90°－∠HAD＝60°.
又四边形ABCD内接于圆O，
∴∠B＝180°－∠D＝120°.
答案：B
5．解析：由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝72°，∴∠A＝72°.
又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.
答案：C
6．解析：圆内接平行四边形必为矩形，即对角线BD为直径．又因AB等于半径，故∠CBD＝30°.
答案：30°
7．解析：由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P，
则△PAD∽△PCB，∴＝＝.
又＝，＝，
∴·＝×.
∴·＝.
∴·＝.∴＝.
答案：
8．解：∵FP⊥BC，FQ⊥AC，
∴∠FPC＋∠FQC＝90°＋90°＝180°.
∴四边形FPCQ内接于圆．
∴∠CQP＝∠CFP.
又∵∠A＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠B＝50°.
∴∠PFB＝90°－∠B＝40°.
又∵CF是△ABC的边AB上的高，
∴∠CFP＝90°－∠PFB＝50°，
∴∠CQP＝50°.
9．解：因为四边形ABCD内接于圆O，
所以四边形ABCD的对角互补．
所以∠C＝180°－∠A＝180°－85°＝95°，
∠ABC＝180°－∠D＝180°－100°＝80°.
所以∠CBE＝180°－∠ABC＝180°－80°＝100°.
10．证明：(1)∵在△ABC中，∠B＝60°，
∴∠BAC＋∠BCA＝120°.
∵AD，CE是角平分线，
∴∠HAC＋∠HCA＝60°.
∴∠AHC＝180°－∠HAC－∠HCA＝120°.
∴∠EHD＝∠AHC＝120°.
∴∠EBD＋∠EHD＝180°.
∴B，D，H，E四点共圆．
(2)如图，连接BH，
则BH为∠ABC的平分线，
得∠HBD＝30°.
由(1)知B，D，H，E四点共圆，
∴∠CED＝∠HBD＝30°，
∠AHE＝∠EBD＝60°.
又AE＝AF，AD平分∠BAC，
∴EF⊥AD.
∴∠CEF＝30°.
∴∠CEF＝∠CED.
∴CE平分∠DEF.二
平行线分线段成比例定理
自我小测
1．如图所示，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝3，DE＝，则EF等于( )
A．
B．15
C．
D．12
2．如图所示，在△ABC中，DE∥AB，＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
3．如图，E是ABCD的边AB的延长线上一点，且＝，则等于( )
A．
B．
C．
D．
4．如图，DE∥AB，DF∥BC，若AF∶FB＝m∶n，BC＝a，则CE＝( )
A．
B．
C．
D．
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的延长线上一点，AE分别交BD，BC于点G，F，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝，其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图所示，AB∥CD，＝，且CB＝7，则OC＝__________.
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若AE∶AC＝3∶5，BC＝10，AB＝6，则四边形DBFE的周长是__________．
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为__________．
9．如图所示，AB∥FG，AC∥EH，BG＝HC，求证：EF∥BC.
10．如图，在ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于点G，交BC于点F.
求证：(1)DG2＝GE·GF；
(2)＝.
参考答案
1．解析：∵l1∥l2∥l3，∴＝，
∴＝，∴EF＝.
答案：A
2．解析：∵＝，∴＝.
又∵DE∥AB，∴＝＝.
答案：D
3．解析：∵CD∥AB，∴＝＝.
又∵AD∥BF，∴＝.
由＝得＝，即＝.
∴＝＝.
答案：C
4．解析：∵DF∥BC，∴＝＝.
∵DE∥AB，
∴＝＝＝＝.
∴EC＝.
答案：D
5．解析：在△ADE中，CF∥AD，则有①和④正确；
又由BF∥AD，则有②正确；
由BF∥AD，有＝，故③不正确．
答案：C
6．解析：∵AB∥CD，∴＝＝.
又∵CB＝OB＋OC＝7，
∴＝，解得OC＝.
答案：
7．解析：∵DE∥BC，∴＝＝.
∵BC＝10，∴DE＝6.
又∵EF∥AB，∴＝.
由＝，得＝，∴＝.
∵AB＝6，∴EF＝.
又四边形DBFE是平行四边形，
故其周长为2(DE＋EF)＝2×＝.
答案：
8．解析：由于DE∥BC，
则∠DBC＝∠FDE.
由于EF∥CD，则∠BDC＝∠DFE，
所以△BDC∽△DFE，所以＝.
又BC＝3，DE＝2，DF＝1，所以＝，
所以DB＝.
由于DE∥BC，所以＝，即＝.
所以＝，解得AB＝.
答案：
9．分析：要证明EF∥BC，只需证明＝或＝或＝即可．
证明：因为AB∥FG，AC∥EH，
所以＝，＝.
又因为BG＝HC，所以＝.
所以EF∥BC.
10．证明：(1)∵CD∥AE，∴＝.
又∵AD∥CF，∴＝.
∴＝，即DG2＝GE·GF.
(2)∵BF∥AD，∴＝.
又∵CD∥BE，∴＝.
由此可得＝.一
圆周角定理
自我小测
1．下列结论中，正确的有( )
①顶点在圆周的角叫圆周角
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半
③90°的圆周角所对的弦是直径
④相等的圆周角所对的弧也相等
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图所示，在⊙O中，∠BAC＝60°，则∠BDC等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
3．如图，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，的度数为60°，OD⊥BC于D，OD＝10，则AB等于( )
A．20
B．10
C．40
D．20
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD为⊙O的直径，BD交AC于E，则∠AEB＝( )
A．70°
B．110°
C．90°
D．120°
5．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点P，那么等于( )
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，两个同心圆中，的度数是30°，且大圆的半径R＝4，小圆的半径r＝2，则的度数是__________．
7．AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3BD，则＝__________.
8．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝α，求∠OBC的度数．
9．足球场上有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；沿着球门跑，射点要选好．”可见踢足球是有“学问”的．如图，在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，此时是甲直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
10．如图，已知AD为锐角△ABC的外接圆O的直径，AE⊥BC于E，交外接圆于F.
(1)求证：∠1＝∠2；
(2)求证：AB·AC＝AE·AD；
(3)作OH⊥AB，垂足为H，求证：OH＝CF.
参考答案
1．A
2．解析：∠BDC＝∠BAC＝60°.
答案：C
3．解析：∵AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，
∴∠C＝90°.又∵OD⊥BC于D，∴OD∥AC.
又∵O为AB的中点，∴AC＝2OD＝20.
又∵的度数为60°，∴∠CBA＝30°.
∴AB＝2AC＝40.
答案：C
4．解析：∵∠A＝50°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠ABC)＝70°.
连接CD，则∠D＝∠A＝50°，∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝90°－∠ACB＝20°.
∴∠AEB＝∠CED＝180°－(∠D＋∠ACD)＝180°－(50°＋20°)＝110°.
答案：B
5．解析：∵∠C＝∠A，∠D＝∠B，
∴△CPD∽△APB.
∴＝＝.
答案：C
6．解析：的度数等于∠AOB，又的度数等于∠AOB，则的度数是30°.
答案：30°
7．解析：如图，连接AC，BC，则∠ACB＝90°.
设BD＝k，则AD＝3k.
∵CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD＝3k2.
∴CD＝k，∴＝.
答案：
8．解：由于∠A是所对的圆周角，所以由圆周角定理可求出所对的圆心角的大小．连接OC，
则∠BOC＝2∠A＝2α.
在△OBC中，
因为OB＝OC，
所以∠OBC＝(180°－∠BOC)
＝×(180°－2α)＝90°－α.
9．分析：用数学方法从两点的静止的状态来考虑．如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，容易被对方守门员拦截．
解：连接MB，MA，NA，NB，MA交圆于点C，连接NC，
则∠MBN＝∠MCN.
又∠MCN＞∠MAN，
∴∠MBN＞∠MAN.
∴甲应该传给乙，让乙射门好．
10．证明：(1)连接DF，
∵AD为直径，∴∠AFD＝90°.
又BC⊥AF，∴DF∥BC.
∴＝.∴∠1＝∠2.
(2)连接BD.
∵AD为直径，∴∠ABD＝90°.
又AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.
∴∠ABD＝∠AEC.又∠1＝∠2，
∴△ABD∽△AEC(或由∠1＝∠2，
∠ACB＝∠ADB可知△ABD∽△AEC)．
∴＝，即AB·AC＝AE·AD.
(3)连接CF.
∵AD为直径，∴∠ABD＝90°.
又OH⊥AB，∴OH∥BD.
∴H为AB中点，即OH为△ABD的中位线．
∴OH＝BD.
又＝，∴BD＝CF.∴OH＝CF.三
圆的切线的性质及判定定理
自我小测
1．直线l与⊙O相切于点P，在经过点P的所有直线中，经过点O的直线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．无数条
2．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，则cos∠APO的值为( )
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，AB与⊙O切于点B，AO＝6
cm，AB＝4
cm，则⊙O的半径r等于( )
A．4
cm
B．2
cm
C．2
cm
D.
cm
4．如图所示，AC与⊙O相切于点D，AO的延长线交⊙O于B，且BC与⊙O相切于B，AD＝DC，则等于( )
A．2
B．1
C．
D．
5．如图，PB与⊙O相切于点B，OP交⊙O于A，BC⊥OP于C，OA＝3，OP＝4，则AC等于( )
A．
B．
C．
D．不确定
6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝50°，则∠A＝__________.
7．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，D是⊙O上一点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.
8．在Rt△ABC中，AC⊥CB，AB＝12，AC＝6，以C为圆心，作与AB相切的圆C，求⊙C的半径r.
9．如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C，D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G.若小圆的半径为2，EF＝4，试求EG的长．
10．如图，⊙O内切于△ABC的边于点D，E，F，AB＝AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.
(1)求证：圆心O在AD上；
(2)求证：CD＝CG；
(3)若AH∶AF＝3∶4，CG＝10，求HF的长．
参考答案
1．解析：过P且垂直于l的直线仅有1条，此时点O在该垂线上，故选A.
答案：A
2．解析：∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA.
∴OP＝＝＝5.
在Rt△OAP中，cos∠APO＝＝.
答案：C
3．解析：如图，连接OB，则OB＝r且OB⊥AB，
故OB＝r＝
＝＝2(cm)．
答案：B
4．解析：如图所示，连接OD，OC.
∵AC，BC是切线，
∴OD⊥AC，OB⊥BC.
又AD＝DC，
∴△OAC是等腰三角形．
∴OA＝OC.∴∠A＝∠OCD.
又OC＝OC，OD＝OB，∴△OBC≌△ODC.
∴∠OCD＝∠OCB.∴∠BCA＝2∠A.
∴∠A＋∠BCA＝3∠A＝90°.
∴∠A＝30°.∴＝＝＝2.
答案：A
5．解析：如图，连接OB，则OB⊥PB，OB＝OA＝3.又BC⊥OP，
∴在Rt△OBP中，有OB2＝OC·OP.
∴OC＝＝＝.
∴AC＝OA－OC＝3－＝.
答案：A
6．解析：连接DI，FI.∵∠DEF＝50°，
∴∠DIF＝100°.
又∵AD，AF为⊙I的切线，
∴DI⊥AD，FI⊥AF.
∴∠ADI＝∠AFI＝90°.
∴在四边形ADIF中，
∠A＝360°－∠ADI－∠AFI－∠DIF＝360°－90°－90°－100°＝80°.
答案：80°
7．解析：∵AB，AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC.
∴∠ABO＋∠ACO＝180°.
∴∠BAC＋∠BOC＝180°.
又∠BAC＝80°，∴∠BOC＝100°.
∴∠BDC＝∠BOC＝50°.
答案：50°
8．解：如图，设切点为D，连接CD，
则CD⊥AB，CD＝r.
∵AC⊥CB，∴CD2＝AD·BD.
又AB＝12，AC＝6，AC2＝AD·AB，
∴AD＝＝＝3.
∴BD＝AB－AD＝12－3＝9.
∴CD2＝3×9＝27，∴CD＝3.
9．解：如图，连接GC.
∵CD为小圆的直径，∴GC⊥ED.
∵EF切小圆于C，∴EF⊥OC.
在大圆中，EC＝EF＝×4＝2.
在Rt△DEC中，ED＝
＝＝2.
∵EF⊥DC，GC⊥ED，
∴由直角三角形的射影定理可知，EC2＝EG·ED.
∴EG＝＝＝.
10．(1)证明：由题意知AE＝AF，CF＝CD，BD＝BE，
而AB＝AC，
∴CD＝CF＝BE＝BD.
∴D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴圆心O在AD上．
(2)证明：连接DF.∵O在AD上，
∴DH为直径，∴∠DFH＝90°.
∵CF＝CD，∠CFD＝∠FDC，
∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG，
∴CG＝CF，∴CG＝CD.
(3)解：∵∠AFH＝90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA，
又∠FAD为公共角，则△AHF∽△AFD.
∴＝＝.
∴在Rt△HFD中，FH∶FD∶DH＝3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF，
∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.
又∵CG＝10，∴GD＝20.
∴DF＝3×20×＝12，
∴FH＝FD＝9.
