第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.1
指数函数
3.1.1
分数指数幂
(对应学生用书P41)
A级 基础巩固
1．下列各式正确的是( )
A.＝a
B.＝a
C.＝|a|
D.＝a
解析：A、B不正确，因为当a≤0时，＝－a，＝－a；C不正确，＝a(n为奇数)，故D正确．
答案：D
2．若a＜，则化简的结果是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：因为a＜，所以2a－1＜0，所以＝1－2a.
所以＝.
答案：C
3．若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R
B．x∈R且x≠
C．x＞
D．x＜
解析：因为(1－2x)－＝，
所以1－2x＞0，得x＜.
答案：D
4．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得( )
A．－b2
B.b2
C．－b
D.b
解析：原式＝＝－b2.
答案：A
5．当有意义时，化简－的结果是( )
A．2x－5
B．－2x－1
C．－1
D．5－2x
解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2.
所以－＝－＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝－1.
答案：C
6.
－＋－(＋)0的值是( )
A．0
B.
C．1
D.
解析：原式＝－＋0.5－1＝.
答案：B
7．化简＋的结果为________．
解析：原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
答案：0
8．若x＜0，则|x|－＋＝________．
解析：因为x＜0，所以原式＝－x－(－x)＋＝－x＋x＋1＝1.
答案：1
9．若
＝
，则a的取值范围是________．
解析：因为＝|2a－1|＝1－2a，
所以2a－1≤0，即a≤.
答案：
10．化简：＝________．
解析：原式＝[(x＋1)2－(x)2](x－x＋1)＝(x＋1＋x)(x－x＋1)＝(x＋1)2－(x)2＝x2＋x＋1.
答案：x2＋x＋1
11.·的结果是________．
解析：[(a)]4·[(a)]4＝a×4·a×4＝a2＋2＝a4.
答案：a4
12．若m＝(2＋)－1，n＝(2－)－1，则(m＋1)－2＋(n＋1)－2＝________．
解析：因为m＝2－，n＝2＋，
所以原式＝＋＝＋＝
(＋)＝＝＝.
答案：
B级 能力提升
13．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由x＝1＋2b，得2b＝x－1.
所以y＝1＋2－b＝1＋＝1＋＝.
答案：D
14.已知二次函数
y＝ax2＋2bx图象如图所示，则的值为( )
A．a＋b
B．－(a＋b)
C．a－b
D．b－a
解析：由图象知a＜0，－＞－1，
故b＞a，即a－b＜0，
所以＝|a－b|＝b－a.
答案：D
15．化简：(a，b>0)的结果是________．
解析：原式＝[a3b2(ab2)]÷(ab2ba－)
＝a·b×÷(ab)
＝a－·b－＝.
答案：
16．计算下列各式的值：
(1)(0.027)－＋256＋(2)－3－1＋π0；
(2)(a·b－)－·÷(a＞0，b＞0)．
解：(1)原式＝[(0.3)3]－＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝.
(2)原式＝a－b·a÷b＝a－＋·b－＝a0b0＝1.
17．化简：÷·.
解：原式＝÷·a
＝··a
＝a·a·a
＝a.
18．已知a＝(n∈N
)，求(＋a)n的值．
解：因为a＝，
所以a2＋1＝＋1
＝
＝
＝.
所以＋a＝＋.
所以(＋a)n＝2
013.章末过关检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
2．下列函数为偶函数的是( )
A．y＝x2＋x
B．y＝－x3
C．y＝ex
D．y＝ln
解析：选项A，C为非奇非偶函数，选项B为奇函数．
答案：D
3．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(9，3)，则log4f(2)的值为( )
A.
B．－
C．2
D．－2
解析：设幂函数为f(x)＝xα，则有3＝9α，得α＝，所以f(x)＝x，f(2)＝，所以log4f(2)＝log4＝log44＝.
答案：A
4．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A．(0，)
B．(0，1)
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：画f(x)＝|logx|的图象如图所示：由图象知单调增区间为[1，＋∞)．
答案：D
5．已知10m＝2，10n＝4，则10的值为( )
A．2
B.
C.
D．2
解析：10＝10÷10＝(10m)÷(10n)＝2÷4＝2－1＝.
答案：B
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：由f(0)＝0得b＝－1.
所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
答案：A
7．已知函数f(x)＝，则其图象( )
A．关于x轴对称
B．关于y＝x轴对称
C．关于原点对称
D．关于y轴对称
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝＝＝f(x)，
所以函数f(x)的偶函数，其图象关于y轴对称．
答案：D
8．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f(x)
6.1
2.9
－3.5
则函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A．(－∞，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，＋∞)
解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以f(x)在(2，3)内一定存在零点．
答案：C
9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝2－|x|
解析：选项A为奇函数，选项C，D在(0，＋∞)上是减函数．
答案：B
10．已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A．x＞y＞z
B．z＞y＞x
C．y＞x＞z
D．z＞x＞y
解析：x＝loga＋loga＝loga＝loga6，z＝loga－loga＝loga＝loga7.因为0＜a＜1，所以loga5＞loga6＞loga7.即y＞x＞z.
答案：C
11．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1
000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30
B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45
D．a＝－45，b＝－30
解析：设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1
000(x＞0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
答案：A
12．设函数f(x)＝已知f(a)＞1，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：当a≤0时，f(a)＝()a－3＞1，解得a＜－2；
当a＞0时，f(a)＝a＞1，解得a＞1.
综上a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设f(x)＝则f(f(2))＝________．
解析：因为f(2)＝log3(22－1)＝1，
所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
答案：2
14．(2014·上海卷)若f(x)＝x－x，则满足f(x)＜0的x的取值范围是________．
解析：根据幂函数的性质，由于＜，
所以当0＜x＜1时，x＜x；当x＞1时，x＞x.
因此f(x)＜0的解集为(0，1)．
答案：(0，1)
15．若定义运算f(a
b)＝则函数f(3x
3－x)的值域是________．
解析：由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y＝3x与y＝3－x＝的图象，
由图象很容易看出函数f(3x
3－x)的值域是(0，1]．
答案：(0，1]
16．(2014·福建卷)函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：当x≤0时，由x2－2＝0，得x＝－.
当x＞0时，f(x)＝2x－6＋ln
x是增函数且f(2)＝ln
2－2＜0，f(3)＝ln
3＞0.
所以f(x)在区间(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上可知f(x)的零点有2个．
答案：2
三、解答题(本题共6个小题，满分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(b≠0，a＞0)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)若f(1)＝，log3(4a－b)＝log24，求a，b的值．
解：(1)f(x)的定义域为R，
f(－x)＝＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)由f(1)＝＝，得a－2b＋1＝0.
又log3(4a－b)＝log24＝1，即4a－b＝3.
由
解得a＝1，b＝1.
18．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
解：(1)因为a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，
由f(x)＝x x2－2x－3＝0 x＝－1或x＝3，
所以f(x)的不动点为－1和3.
(2)由题设知ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，
即ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，
所以Δ＝b2－4a(b－1)>0 b2－4ab＋4a>0恒成立．
所以(－4a)2－4×4a<0 0
故a的取值范围是(0，1)．
19．(本小题满分12分)设海拔x
m处的大气压强是
y
Pa，y与
x
之间的函数关系式是
y＝cekx，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105
Pa，1
000
m高空的大气压为0.90×105
Pa，求600
m高空的大气压强(精确到0.001)．
解：将x＝0，y＝1.01×105；x＝1
000
,
y＝0.90×105,
代入
y＝cekx得：
即
将①代入②得：0.90×105＝1.01×105e1
000k k＝×ln，计算得：k＝－1.15×10－4.
所以y＝1.01×105×e－1.15×10－4x.
将
x＝600
代入，得：y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600，
计算得：y＝0.943×105(Pa)．
所以在600
m高空的大气压约为0.943×105
Pa.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)，(a＞1＞b＞0)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式．
解：(1)由ax－bx＞0，得＞1.
因为a＞1＞b＞0，所以＞1.所以x＞0.
所以f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)因为f(x)在(1，＋∞)上递增且恒为正值，
所以f(x)＞f(1)，只要f(1)＞0.
则lg(a－b)≥0，所以a－b≥1.
因此a，b满足的关系为a≥b＋1.
21．(本小题满分12分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
解析：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．
设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r为常数，
且p≠0)，y2＝g(x)＝abx＋c，根据已知有
和
解得和
所以f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以f(4)＝1.3，g(4)＝1.35.
显然g(4)更接近于1.37，故选用y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2×2x－1＝0，
解得2x＝1±.
因为2x＞0，所以x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
因此m(22t－1)≥－(24t－1)．
因为22t－1＞0，
所以m≥－(22t＋1)．
因为t∈[1，2]，
所以－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．第1章
集合
1.2
子集、全集、补集
A级 基础巩固
1．下列集合中，不是集合{0，1}的真子集的是( )
A．
B．{0}
C．{1}
D．{0，1}
解析：任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集．
答案：D
2．(2014·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则 UA＝( )
A．
B．{2}
C．{5}
D．{2，5}
解析：因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}，
所以 UA＝{x∈N|2≤x＜}，故 UA＝{2}．
答案：B
3．若集合A＝{a，b，c}，则满足B A的集合B的个数是( )
A．1
B．2
C．7
D．8
解析：把集合A的子集依次列出，可知共有8个．
答案：D
4．(2014·湖北卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则 UA＝( )
A．{1，3，5，6}
B．{2，3，7}
C．{2，4，7}
D．{2，5，7}
解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，5，6}，
所以 UA＝{2，4，7}．
答案：C
5．已知M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是( )
解析：M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，所以N
M.
答案：C
6．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a满足( )
A．a＜4
B．a≤4
C．a＞4
D．a≥4
解析：由AB，结合数轴，得a≥4.
答案：D
7．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则 AB＝________________．
解析：集合A和B的数轴表示如图所示．
由数轴可知： AB＝{x|0≤x＜2或x＝5}．
答案：{x|0≤x＜2或x＝5}
8．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A B，则实数a的值为________．
解析：由A B，得a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
9．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则 UA与 UB的包含关系是________．
解析：因为 UA＝{x|x＜0}， UB＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}，
所以 UA UB.
答案： UA UB
10．集合A＝{x|－3解析：分B＝ 和B≠ 两种情况．
答案：{a|a≤1}
11．已知 {x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：因为 {x|x2－x＋a＝0}，
所以方程x2－x＋a＝0有实根．
则Δ＝1－4a≥0，所以a≤.
答案：a≤
12．已知集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，B A，求a的值．
解：因为B A，A≠ ，所以B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，此时a≠0，B＝，
所以－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上所述，a＝0或a＝.
B级 能力提升
13．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，所以C中必须含有1，2，即求{3，4}的子集的个数，为22＝4.
答案：D
14．已知：A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，定义某种运算：A
B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A
B中最大的元素是________，集合A
B的所有子集的个数为________．
解析：A
B＝{2，3，4，5}，故最大元素为5，其子集个数为24＝16.
答案：5 16
15．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．若全集U＝R，且A ( UB)，则a的取值范围是________．
解析：因为A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，U＝R，
所以 UB＝{x|x＜a}．
要使A UB，只需a＞－2(如图所示)．
答案：{a|a＞－2}
16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
解：①若B＝ ，则应有m＋1>2m－1，即m<2.
②若B≠ ，则 2≤m≤3.
综上即得m的取值范围是{m|m≤3}．
17．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若BA，求a的值．
解：A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，
若a＝0，则B＝ ，满足BA.
若a≠0，则B＝.
由BA，可知＝－1或＝3，
即a＝－1或a＝.
综上可知a的值为0，－1，.
18．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B RA，求a的取值范围．
解：由题意得 RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝ ，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B RA.
(2)若B≠ ，则由B RA，
得2a≥－1且2a＜a＋3，即－≤a＜3.
综上可得a≥－.第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.4
函数的应用
3.4.1
函数与方程
第2课时
用二分法求方程的近似解
A级 基础巩固
1.已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4，4
B．3，4
C．5，4
D．4，3
解析：由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
答案：D
2．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间( )
A.
B.
C.
D．(1，2)
解析：f＝－＜0，f＝－＜0，f＝－1＜0，f(1)＝1＞0，f(2)＝4＞0，
所以函数零点落在区间上．
答案：C
3．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间无零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
解析：由二分法求函数零点的原理可知选D.
答案：D
4．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或x＝b
解析：由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f＝0知，选B.
答案：B
5．方程|x2－3|＝a的实数解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图可知y＝|x2－3|与y＝a不可能是一个交点．
答案：A
6．奇函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的三个零点是x1，x2，x3，满足x1x2＋x2x3＋x3x1＝－2，则b＋c＝________．
解析：因为f(x)为奇函数，
所以b＝0.故f(x)＝x3＋cx有一个零点是0，
不妨设x1＝0，则x2，x3是x2＋c＝0的二根，故x2x3＝c，
由x1x2＋x2x3＋x3x1＝－2得c＝－2，
故b＋c＝0－2＝－2.
答案：－2
7．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12
10
－2
4
－5
－10
函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．
解析：由表知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．
答案：3
8．电视中某一娱乐性节目有一种猜价格的游戏，在限定时间内(如15秒)猜出某一种商品的售价，就把该商品奖给选手，每次选手给出报价，主持人告诉说高了低了，以猜对或到时为止游戏结束．如猜一种品牌的电风扇，过程如下：游戏参与者开始报价500元，主持人说高了，300元，高了，260元，低了，280元，低了，290元，高了，285元，低了，288元，你猜对了！恭喜！请问游戏参与者用的数学知识是________(只写出一个正确答案)．
答案：二分法
9．用二分法求方程ln
x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间为________．
解析：令f(x)＝ln
x－2＋x，
因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln
2＞0，f＝ln
－＜0，
所以下一个含根的区间为.
答案：
10．设x0是方程ax＝logax(0解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax和y＝logax的图象(如图所示)，可以看出：
x0<1，logax0<1，所以x0>a，a答案：aB级 能力提升
11．函数f(x)＝2ln
x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象交点个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝2ln
x和g(x)＝x2－4x＋5的图象(如图所示)，由图象可见它们有2个交点．
答案：B
12．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1，4]
B．[－2，1]
C.
D.
解析：由于第一次所取的区间为[－2，4]，
所以第二次所取区间为[－2，1]或[1，4]，
第三次所取区间为，，或.
答案：D
13．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确到0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________．
解析：设等分的最少次数为n，则由＜0.01，得2n＞10.
所以n的最小值为4.
答案：4
14．判断函数y＝x3－x－1在区间[1，1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确到0.1)．
解：因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1，1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点值
中点函数近似值
(1，1.5)
1.25
－0.3
(1.25，1.5)
1.375
0.22
(1.25，1.375)
1.312
5
－0.05
(1.132
5，1.375)
1.343
75
0.08
(1.312
5，1.343
75)
1.328
125
0.01
因为1.312
5.1.328
125精确到0.1的近似值都为1.3，所以函数的一个近似零点为1.3.
15．求函数y＝ln
x与函数y＝3－x的图象的交点横坐标(精确到0.1)．
解：求函数y＝ln
x与函数y＝3－x的图象交点的横坐标，
即求方程ln
x＝3－x的根．
令f(x)＝ln
x＋x－3，
因为f(2)＝ln
2－1＜0，f(3)＝ln
3＞0，
所以可取初始区间为(2，3)，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2，3)
2.5
0.416
3＞0
(2，2.5)
2.25
0.060
9＞0
(2，2.25)
2.125
－0.121
2＜0
(2.125，2.25)
2.187
5
－0.029
7＜0
(2.187
5，2.25)
2.218
75
0.015
7＞0
由于2.187
5与2.218
75精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程ln
x＋x－3＝0在(2，3)内的一个近似根可取为2.2，即2.2可作为两函数图象交点的横坐标的近似值．第2章
函数
2.1
函数的概念
2.1.1
函数的概念和图象
A级 基础巩固
1．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是( )
答案：B
2．函数y＝＋的定义域是( )
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
解析：由得0≤x≤1.
答案：D
3．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0 a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0 a＝－3，适合题意．
答案：A
4．定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A．[2a，a＋b]
B．[0，b－a]
C．[a，b]
D．[－a，a＋b]
答案：C
5．下列函数完全相同的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
B．f(x)＝|x|，g(x)＝
C．f(x)＝|x|，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x＋3
解析：A、C、D的定义域均不同．
答案：B
6．二次函数y＝x2－4x＋3在区间(1，4]上的值域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(0，3]
C．[－1，3]
D．(－1，3)
解析：
y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，再结合二次函数的图象(如右图所示)可知，－1≤y≤3.
答案：C
7．已知函数f(x)的定义域为(－3，0)，则函数y＝f(2x－1)的定义域是( )
A．(－1，1)
B.
C．(－1，0)
D.
解析：由于f(x)的定义域为(－3，0)
所以－3＜2x－1＜0，解得－1＜x＜.
故y＝f(2x－1)的定义域为.
答案：B
8．函数f(x)＝＋的定义域是__________________．
解析：要使f(x)有意义，必有
解得x＞－2且x≠.
答案：∪
9．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f(x＋2)的定义域是________，值域是________．
解析：因为f(x)的定义域为[0，1]，所以0≤x＋2≤1.
所以－2≤x≤－1，即f(x＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]．
答案：[－2，－1] [1，2]
10．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________．
解析：因为点(－1，4)在y＝f(x)的图象上，
所以4＝－a＋2.所以a＝－2.
答案：－2
11．若f(x)＝ax2－，a为正常数，且f[f()]＝－，则a＝________．
解析：因为f()＝a·()2－＝2a－，
所以f＝a·(2a－)2－＝－.
所以a·(2a－)2＝0.
又因为a为正常数，所以2a－＝0.所以a＝.
答案：
12．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0.
所以f(a＋1)＝a＋1＋.
B级 能力提升
13．若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为( )
A．[0，1]
B．[0，1)
C．[0，1)∪(1，4]
D．(0，1)
解析：因为f(x)的定义域为[0，2]，
所以g(x)＝需满足解得0≤x＜1.
所以g(x)的定义域为[0，1)．
答案：B
14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：因为汽车先启动，再加速、匀速，最后减速，s随t的变化是先慢，再快、匀速，最后慢，故A图比较适合题意．
答案：A
15．已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝______．
解析：因为f(x)＝，f＝，
所以f(x)＋f＝1.
所以f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝＋1＋1＋1＝.
答案：
16．已知函数f(x)＝2－.
(1)求f(0)，f，f；
(2)求函数的定义域．
解：(1)f(0)＝－1，f＝2＝，
f＝2－＝－＝0.
(2)要使函数有意义，则
解得所以0≤x≤.
所以函数的定义域为.
17．已知函数y＝
(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的值．
解：已知函数y＝
(a＜0且a为常数)，
因为x＋1≥0，a＜0，
所以x≤－a，即函数的定义域为(－∞，－a]．
因为函数在区间(－∞，1]上有意义，
所以(－∞，1] (－∞，－a]．
所以－a≥1，即a≤－1.
所以a的取值范围是(－∞，－1]．
18．试画出函数f(x)＝(x－2)2＋1的图象，并回答下列问题：
(1)求函数f(x)在x∈[1，4]上的值域；
(2)若x1＜x2＜2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．
解：由描点法作出函数的图象如图所示．
(1)由图象知，f(x)在x＝2时有最小值为f(2)＝1，
又f(1)＝2，f(4)＝5.
所以函数f(x)在[1，4]上的值域为[1，5]．
(2)根据图象易知，当x1＜x2＜2时，f(x1)＞f(x2)．第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.1
指数函数
3.1.2
指数函数
A级 基础巩固
1．下列一定是指数函数的是( )
A．形如y＝ax的函数
B．y＝xa(a>0，a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x
D．y＝(a－2)ax
答案：C
2．下列判断正确的是( )
A．2.52.5＞2.53
B．0.82＜0.83
C．π2＜π
D．0.90.3＞0.90.5
解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
所以0.90.3＞0.90.5.
答案：D
3．函数y＝2x＋1的图象是( )
解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
答案：A
4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1
B．ex－1
C．e－x－1
D．e－x＋1
解析：和y＝ex关于y轴对称的是y＝e－x，将其向左移一个单位即y＝e－x－1.
答案：C
5．(2014·江西卷)已知函数f(x)＝5?x?，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，则a＝( )
A．1
B．2
C．3
D．－1
解析：先求函数值，再解指数方程．
因为g(x)＝ax2－x，所以g(1)＝a－1.因为f(x)＝5|x|，
所以f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1.所以|a－1|＝0.
所以a＝1.
答案：A
6．当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A．1＜|a|＜2
B．|a|＜1
C．|a|＞1
D．|a|＞
解析：根据指数函数性质知a2－1＞1，即a2＞2.
所以|a|＞.
答案：D
7．已知>，则实数x的取值范围________．
解析：因为a2＋a＋＝＋>1，
即y＝在R上为增函数，
所以x>1－x x>.
答案：
8．函数y＝a2x＋b＋1(a＞0，且a≠1，b∈R)的图象恒过定点(1，2)，则b的值为________．
解析：因为函数y＝a2x＋b＋1的图象恒过定点(1，2)，
所以即b＝－2.
答案：－2
9．若函数f(x)＝a＋为奇函数，则a＝________．
解析：因为f(x)为奇函数且定义域为R，
所以f(0)＝0，即a＋＝0.所以a＝－.
答案：－
10．求函数y＝
的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则x应满足32x－1－≥0，
即32x－1≥3－2.
因为函数y＝3x是增函数，
所以2x－1≥－2，即x≥－.
故所求函数的定义域为.
答案：
11．求函数y＝(0≤x≤3)的值域．
解：令t＝x2－2x＋2，则y＝，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为0≤x≤3，
所以当x＝1时，tmin＝1，当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，所以≤y≤.
故所求函数的值域.
12．已知函数f(x)＝1＋.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．
(1)解：f(x)＝1＋，
因为2x－1≠0，所以x≠0.
所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)证明：任意设x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2.
f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2，
所以2x2＞2x1且2x1＜1，2x2＜1.
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，0)上为减函数．
B级 能力提升
13．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是( )
解析：函数y＝ax－过点，当a>1时，1－∈(0，1)且为增函数，排除A，B；当0答案：D
14．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)等于( )
A．2
B.
C.
D．a2
解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
所以由f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2.①
所以得f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2.②
①＋②，得g(x)＝2，
①－②，得f(x)＝ax－a－x.
又g(2)＝a，所以a＝2.所以f(x)＝2x－2－x.
所以f(2)＝22－2－2＝.
答案：B
15．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集是________．
解析：(1)当x≥0时，由f(x)≥得≥，
所以0≤x≤1.
(2)当x＜0时，不等式≥明显不成立，
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．
答案：{x|0≤x≤1}
16．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
解析：当a>1时，有a2＝4，a－1＝m a＝2，m＝，但此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0答案：
17．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，
由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，
y＝在R上是减函数，
所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1；
因此必有解得a＝1.
故当f(x)有最大值3时，a的值为1.
18．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3
mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08
mg/mL，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)
解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL，…，x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)xmg/mL，由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，≤.
采用估算法，x＝1时，＝＞.
x＝2时，＝＝＜.
由于是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2.
故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.3
幂函数
A级 基础巩固
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2
B．y＝x－1
C．y＝x2
D．y＝x－
答案：A
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：依题意，3α＝＝3－，则α＝－，所以f(x)＝x－，故f(4)＝4－＝.
答案：A
3．函数y＝x图象的大致形状是( )
解析：因为y＝x是偶函数，且在第一象限图象沿x轴递增，所以选项D正确．
答案：D
4．下列函数中与y＝
定义域相同的函数是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝xex
D．y＝
答案：D
5．下图中的曲线C1与C2分别是函数y＝xp和y＝xq在第一象限内的图象，则一定有( )
A．qB．pC．q>p>0
D．p>q>0
答案：A
6．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝x
B．y＝x－
C．y＝x
D．y＝x
解析：y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故y＝x的定义域与值域不同．
答案：D
7．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．a＜b＜c
D．b＞c＞a
解析：因为函数y＝在R上是减函数，
又＞，所以＜，即a＜b.
又因为函数y＝x在R上是增函数，且＞，
所以＞，
即c＞b，所以a＜b＜c.
答案：C
8．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0，0)(1，1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确，④正确．
答案：④
9．下列幂函数：①y＝x－1；②y＝x；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3.其中在定义域内为增函数的是________(填序号)．
解析：由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．
答案：②③⑤
10．幂函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________．
解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
所以m2－m－1＝1.所以m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1不符合题意．
综上可知m＝2.
答案：2
11．由幂函数的图象可知，使x3－x2＞0成立的x的取值范围是________．
解析：在同一坐标系中作出y＝x3及y＝x2的图象(图略)可得不等式成立的x的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
12．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A.
(1)求实数α的值；
(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．
解：(1)因为f(x)＝xα的图象经过点A，
所以＝，即2－α＝2.所以α＝－.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝x2－－x1－＝－＝＝
.
因为x2＞x1＞0，
所以x1－x2＜0，且·(＋)＞0.
于是f(x2)－f(x1)＜0，f(x2)＜f(x1)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)内是减函数.
B级 能力提升
13．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2的大小关系是( )
A．h(x)＜g(x)＜f(x)
B．g(x)＜h(x)＜f(x)
C．h(x)＜f(x)＜g(x)
D．f(x)＜g(x)＜h(x)
解析：在同一坐标系中，画出当0＜x＜1时，函数y＝x2，y＝x，y＝x－2的图象，如图所示．
所以当0＜x＜1时，有x－2＞x＞x2，
即f(x)＜g(x)＜h(x)．
答案：D
14．已和幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝________．
解析：因为函数是幂函数，所以k＝1，又因为其图象过点，所以＝，解得α＝，故k＋α＝.
答案：
15．若(a＋1)＜(2a－2)
，则实数a的取值范围是________．
解析：因为幂函数y＝x在R上为增函数，
又(a＋1)
＜(2a－2)
，
所以a＋1＜2a－2，解得a＞3.
答案：(3，＋∞)
16．已知幂函数f(x)＝xm2＋m－2(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则函数g(x)＝2x＋的最小值是________．
解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1.
又m∈Z，所以m＝－1，0.
此时均有f(x)＝x－2时图象关于y轴对称．
所以f(x)＝x－2(x≠0)．
所以g(x)＝2x＋x2＝(x＋1)2－1(x≠0)．
所以g(x)min＝－1.
答案：－1
17．已知幂函数f(x)的图象过点(25，5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg
x)，求g(x)的定义域、值域．
解：(1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
所以α＝，所以f(x)＝x.
(2)因为g(x)＝f(2－lg
x)＝，
所以要使g(x)有意义，只需2－lg
x≥0.
所以lg
x≤2，则0＜x≤100.
所以g(x)的定义域为(0.100]，
又2－lg
x≥0，
所以g(x)的值域为[0，＋∞)．
18．已知函数f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，且为奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数g(x)＝f(x)＋(f(x))2在上的值域．
解：(1)因为函数f(x)＝(a2－a＋1)xa＋1为幂函数，
所以a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.
当a＝0时，f(x)＝x是奇函数．
当a＝1时，f(x)＝x2为偶函数，不合题意(舍去)．
因此a＝0.
(2)由(1)知g(x)＝x＋x2＝－.
g(x)在上是增函数，
当x＝0时，函数取得最小值g(0)＝0；
当x＝时，函数取得最大值g＝＋＝.
故g(x)在区间
上的值域为.第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.2
对数函数
3.2.2
对数函数
A级 基础巩固
1．函数f(x)＝＋lg(x＋1)的定义域是( )
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析： x>－1且x≠1.
答案：C
2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：因为3x>0，所以3x＋1>1.故log2(3x＋1)>0.
答案：A
3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．aB．bC．aD．b解析：因为01.
答案：D
4．已知函数f(x)＝那么f的值为( )
A．27
B.
C．－27
D．－
解析：f＝log2＝log22－3＝－3，
故f＝f(－3)＝3－3＝.
答案：B
5．点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，则f＝( )
A．－2
B．2
C．－1
D．1
解析：因为函数f(x)＝logax的反函数为f－1(x)＝ax，
又点(2，4)在函数f－1(x)＝ax的图象上．
所以4＝a2，则a＝2.
所以f(x)＝log2x.故f＝log2＝－1.
答案：C
6．下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )
A．y＝log(x＋1)
B．y＝log2
C．y＝log2
D．y＝log(x2－4x＋5)
解析：选项A，C中函数为减函数，(0，2)不是选项B中函数的定义域．选项D中，函数y＝x2－4x＋5在(0，2)上为减函数，又＜1，故y＝log(x2－4x＋5)在(0，2)上为增函数．
答案：D
7．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________．
解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则－3＝loga8，
所以a＝.
所以f(x)＝logx，f(2)＝log
(2)＝－log2(2)＝－.
答案：－
8．若定义在区间(－1，0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是________．
解析：因为－1＜x＜0，所以0＜x＋1＜1.
由对数函数的性质，且f(x)＝log2a(x＋1)＞0.
所以0＜2a＜1，解得0＜a＜.
答案：
9．已知函数f(x)＝lg(2x－b)(x≥1)的值域是[0，＋∞)，则b的值为________．
解析：由于f(x)＝lg(2x－b)在[1，＋∞)上是增函数，
又f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以f(1)＝lg(2－b)＝0，所以2－b＝1，故b＝1.
答案：1
10．若a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则实数a的值为________．
解析：因为a＞1，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增函数．
所以最大值为f(2a)，最小值为f(a)．
所以f(2a)－f(a)＝loga2a－logaa＝，
即loga2＝.所以a＝4.
答案：4
11．已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，求b的值．
解：当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a＞0，且a≠1都有y＝loga1－＝－.
所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A.
若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，
则－＝3－2＋b，所以b＝－1.
12．已知函数f(x)＝log2(2＋x2)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的值域．
解：(1)易知f(x)的定义域为R，
且f(－x)＝log2[2＋(－x)2]＝log2(2＋x2)＝f(x)，
所以f(x)＝log2(2＋x2)为偶函数．
(2)对任意x∈R，t＝2＋x2≥2，
又y＝log2t在[2，＋∞)上是增函数，
所以1≤y.故f(x)的值域为[1，＋∞)．
B级 能力提升
13．若loga＜1，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪(1＋∞)
解析：由loga＜1得：loga＜logaa.
当a＞1时，有a＞，即a＞1；
当0＜a＜1时，则有0＜a＜.
综上可知，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
答案：D
14．若f(x)＝lg
x，则y＝|f(x－1)|的图象是( )
答案：A
15．已知函数y＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________．
解析：作出y＝|logx|的图象(如图所示)，由图象可知f＝f(2)＝1，
由题意结合图象知：1≤m≤2.
答案：[1，2]
16．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围．
解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：函数f(x)为单调增函数，
当0＜a＜2时，恒有f(a)＜f(2)．
所以所求a的取值范围为(0，2)．
17．已知函数f(x)＝＋的定义域为A.
(1)求集合A；
(2)若函数g(x)＝(log2x)2－2log2x－1，且x∈A，求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值．
解：(1)所以
所以≤x≤4，所以集合A＝.
(2)设t＝log2x.因为x∈，所以t∈[－1，2]．
所以y＝t2－2t－1，t∈[－1，2]．
因为y＝t2－2t－1的对称轴为t＝1∈[－1，2]，
所以当t＝1时，y有最小值－2.
所以当t＝－1时，y有最大值2.
所以当x＝2时，g(x)的最小值为－2.
当x＝时，g(x)的最大值为2.
18．已知函数f(x)＝lg(3x－3)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设函数h(x)＝f(x)－lg(3x＋3)，若不等式子h(x)＞t无解，求实数t的取值范围．
解：(1)由3x－3＞0得x＞1，所以定义域为(1，＋∞)．
因为(3x－3)∈(0，＋∞)，所以值域为R.
(2)因为h(x)＝lg(3x－3)－lg(3x＋3)＝lg＝lg的定义域为(1，＋∞)，
且在(1，＋∞)上是增函数，
所以函数h(x)的值域为(－∞，0)．
若不等式h(x)＞t无解，
则t的取值范围是t≥0.章末过关检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则( )
A．P Q
B．Q P
C．P RQ
D．Q RP
解析：因为Q＝{x|－2答案：B
2．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝( )
A．{1}
B．{2}
C．{(1，2)}
D．
解析：由于A是数集，B是点集，故A∩B＝ .
答案：D
3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A．0∈A
B．1 A
C．－1∈A
D．0 A
解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.
答案：A
4．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0}
B．{0，1}
C．{0，2}
D．{0，1，2}
解析：因为A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，2}．
答案：C
5．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为( )
A．1
B．0
C．0或1
D．以上答案都不对
解析：当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k＝1.故k＝0或k＝1.
答案：C
6．下列四句话中：① ＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：空集是任何集合的子集，故④正确，②错误；③不正确，如 只有一个子集，即它本身；结合空集的定义可知①不正确；故只有1个命题正确．
答案：B
7．(2015·山东卷)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}．则A∩B＝( )
A．(1，3)
B．(1，4)
C．(2，3)
D．(2，4)
解析：易知B＝{x|1＜x＜3}，又A＝{x|2＜x＜4}，
所以A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2，3)．
答案：C
8．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3A．{a|3B．{a|3≤a≤4}
C．{a|3D．
解析： 3≤a≤4.
答案：B
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|－1≤x≤0}，则A∪ UB等于( )
A．{x|x<－1或x>0}
B．{x|x<－1或x>1}
C．{x|x<－2或x>1}
D．{x|x<－2或x≥0}
解析： UB＝{x|x<－1或x>0}，
所以A∪ UB＝{x|x<－1或x>0}．
答案：A
10．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩ UB＝( )
A．{3}
B．{4}
C．{3，4}
D．
解析：由题意A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}．
所以 UB＝{3，4}，故A∩ UB＝{3}．
答案：A
11．已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则( UA)∪B等于( )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：因为A＝{x|x≤1}，所以 UA＝{x|x＞1}．
所以( UA)∪B＝{x|x＞0}．
答案：D
12．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若点P(2，3)∈A∩( UB)，则下列选项正确的是( )
A．m＞－1，n＜5
B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5
D．m＜－1，n＞5
解析：由P(2，3)∈A∩( UB)得P∈A且P B，
故解得
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩ UN＝{2，4}，则N＝________．
答案：{1，3，5}
14．已知集合A＝{(x，y)|ax－y2＋b＝0}，B＝{(x，y)|x2－ay＋b＝0}，且(1，2)∈A∩B，则a＋b＝________．
解析：因为(1，2)∈A∩B，
所以 a＝，b＝.
故a＋b＝4.
答案：4
15．设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合{x|x∈A，且x A∩B}＝________．
解析：A＝{x|－43或x<1}，A∩B＝{x|3所以{x|x∈A且x A∩B}＝{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
16．设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N M，则实数m的取值集合为________．
解析：集合M＝.若N M，则N＝{3}或或 .于是当N＝{3}时，m＝；当N＝时，m＝－2；当N＝ 时，m＝0.所以m的取值集合为.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)
17．(本小题满分10分)A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
解：因为A∪B＝A，所以B A.
当B＝ 时，即a＝0时，显然满足条件．
当B≠ 时，则B＝，A＝{1，2}，
所以＝1或＝2，从而a＝1或a＝2.
故集合C＝{0，1，2}．
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集为实数集R.
(1)求A∪B，( RA)∩B；
(2)如果A∩C≠ ，求a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|1≤x＜10}，( RA)∩B＝{x|x＜1或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}．
(2)当a＞1时，满足A∩C≠ .
因此a的取值范围是{a|a＞1}．
19．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B A，求a的取值范围．
解：集合A＝{0，－4}，由于B A，则：
(1)当B＝A时，即0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入解得a＝1.
(2)当B≠A时：
①当B＝ 时，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，
解得a＜－1；
②当B＝{0}或B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件．
综上可知a＝1或a≤－1.
20．(本小题满分12分)已知A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若a＝1，求A∩B；
(2)若A∪B＝R，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，A＝{x|－3＜x＜5}，B＝{x|x＜－1或x＞5}.
所以A∩B＝{x|－3＜x＜－1}．
(2)因为A＝{x|a－4＜x＜a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，
又A∪B＝R，
所以 1＜a＜3.
所以所求实数a的取值范围是{a|1＜a＜3}.
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，求a取何值时，A∩B≠ 与A∩C＝ 同时成立．
解：因为B＝{2，3}，C＝{2，－4}，
由A∩B≠ 且A∩C＝ 知，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，
所以a2－3a－10＝0.
解得a＝－2或a＝5.
当a＝－2时，A＝{3，－5}，适合A∩B≠ 与A∩C＝ 同时成立；
当a＝5时，A＝{2，3}，A∩C＝{2}≠ ，故舍去．
所求a的值为－2.
22．(本小题满分12分)已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|1≤2x＋5≤15}．
(1)已知a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝3，所以集合P＝{x|4≤x≤7}．
所以 RP＝{x|x＜4或x＞7}，
Q＝{x|1≤2x＋5≤15}＝{x|－2≤x≤5}，
所以( RP)∩Q＝{x|－2≤x＜4}．
(2)因为P∪Q＝Q，所以P Q.
①当a＋1＞2a＋1，即a＜0时，P＝ ，
所以P Q；
②当a≥0时，因为P Q，
所以所以0≤a≤2.
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]．第2章
函数
2.1
函数的概念
2.1.2
函数的表示方法
A级 基础巩固
1．已知f(x)＝则f(f(－7))的值为( )
A．100
B．10
C．－10
D．－100
解析：因为f(x)＝所以f(－7)＝10.
f(f(－7))＝f(10)＝10×10＝100.
答案：A
2．函数f(x)＝满足f(f(x))＝x，则常数c等于( )
A．3
B．－3
C．3或－3
D．5或－3
解析：f(f(x))＝＝＝x，即x[(2c＋6)x＋9－c2]＝0，
所以解得c＝－3.
答案：B
3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
解析：由题意设f(x)＝a(x－1)2＋b(a＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是D.
答案：D
4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s，横轴表示该同学出发后的时间t，则比较符合该同学行进实际的是( )
解析：依题意：s表示该同学与学校的距离，t表示该同学出发后的时间，当t＝0时，s最远，排除A、B，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.
答案：D
5．g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f＝( )
A．1
B．3
C．15
D．30
解析：由g(x)＝得：1－2x＝ x＝，
代入得：＝15.
答案：C
6．(2015·陕西卷)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1
B.
C.
D.
解析：f(－2)＝(－2)2＝4.
所以f(f(－2))＝f(4)＝1－＝－1.
答案：A
7．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x的解的个数为________．
解析：x>0时，x＝f(x)＝2；x≤0时，x2＋3x＝x x＝0或－2.
答案：3
8.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2))＝________．
解析：由图象及已知条件知f(2)＝0，即f(f(f(2)))＝f(f(0))，
又f(0)＝4，所以f(f(0))＝f(4)＝2.
答案：2
9．若某汽车以52
km/h的速度从A地驶向260
km远处的B地，在B地停留h后，再以65
km/h的速度返回A地．则汽车离开A地后行走的路程s关于时间t的函数解析式为________________．
解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，
所以s＝
答案：s＝
10．设f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，f(a)＝a＋1＞a恒成立．
当a＜0时，f(a)＝＞a，所以a＜－1.
综上a的取值范围是a≥0或a＜－1.
答案：{a|a≥0或a＜－1}
11．已知二次函数满足f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求f(x)．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c＝9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c.
因为f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，
所以9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5.
比较两端系数，得
所以f(x)＝x2－4x＋8.
12．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0，1]．
B级 能力提升
13．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a的值为( )
A．2
B．1
C．3
D．4
解析：易知f(0)＝2，所以f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，所以a＝2.
答案：A
14．任取x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，若f＞[f(x1)＋f(x2)]，则f(x)在[a，b]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )
解析：只需在图形中任取自变量x1，x2，分别标出它们对应的函数值及对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．
答案：D
15．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝A，C为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )
A．75，25
B．75.16
C．60，25
D．60，16
解析：由条件可知，x≥A时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f(4)＝＝30 C＝60，
f(A)＝＝15 A＝16.
答案：D
16．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解：(1)因为0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
所以f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2 [0，2]，故无解．
当x0＞2时，由2x0＝8，得x0＝4.
因此f(x0)＝8时，x0的值为4.
17．某市出租车的计价标准是：4
km以内10元，超过4
km且不超过18
km的部分1.2
元/km，超过18
km的部分1.8
元/km.
(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；
(2)如果某人乘车行驶了20
km，他要付多少车费？
解：(1)设车费为y元，出租车行驶里程为x
km.
由题意知，当0＜x≤4时，y＝10；
当4＜x≤18时，y＝10＋1.2(x－4)＝1.2x＋5.2；
当x＞18时，y＝10＋1.2×14＋1.8(x－18)＝1.8x－5.6.
所以，所求函数关系式为y＝
(2)当x＝20时，y＝1.8×20－5.6＝30.4.
所以乘车行驶了20
km要付30.4元的车费．
18．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下表所示：
t/天
5
15
20
30
Q/件
35
25
20
10
(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数解析式；
(2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定一个日销售量Q与时间t的函数解析式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．
解：(1)根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数解析式为：
P＝
(2)描出实数对(t，Q)的对应点，如下图所示．
从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l：Q＝kt＋b.
由点(5，35)，(30，10)确定出l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l上．
所以日销售量Q与时间t的一个函数解析式为
Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N)．
(3)设日销售金额为y(元)，则
y＝
因此y＝
若0＜t＜25(t∈N)，则当t＝10时，ymax＝900；
若25≤t≤30(t∈N)，则当t＝25时，ymax＝1
125.
因此第25天时销售金额最大，最大值为1
125元．第2章
函数
2.2
函数的简单性质
2.2.1
函数的单调性
A级 基础巩固
1.函数f(x)的图象如图所示，则( )
A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数
D．函数f(x)在[2，4]上是增函数
解析：增函数具有“上升”趋势；减函数具有“下降”趋势，故A正确．
答案：A
2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则( )
A．f(a)＞f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a＋3)＞f(a－2)
D．f(6)＞f(a)
解析：因为a＋3＞a－2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a＋3)＞f(a－2)．
答案：C
3．y＝在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是( )
A．1，
B.，1
C.，
D.，
解析：因为函数y＝在[2，4]上是单调递减函数，
所以ymax＝＝1，ymin＝＝.
答案：A
4．函数y＝x2－6x的减区间是( )
A．(－∞.2]
B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(－∞，3]
解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，
故函数的单调减区间是(－∞，3]．
答案：D
5．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：当x1＜x2时，x1－x2＜0，由＞0知f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)，①正确；②③④均不正确．
答案：B
6．已知函数f(x)＝＋x，则它的最小值是( )
A．0
B．1
C.
D．无最小值
解析：因为函数f(x)＝＋x的定义域是，且是增函数，所以f(x)min＝f＝.
答案：C
7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________________．
解析：由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．
答案：(－∞，1]和(1，＋∞)
8．已知f(x)是R上的减函数，则满足f(2x－1)＞f(1)的实数x的取值范围是________．
解析：因为f(x)在R上是减函数，且f(2x－1)＞f(1)，所以2x－1＜1，即x＜1.
答案：(－∞，1)
9．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为直线x＝1，
所以当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1.
又因为f(0)＝3，
所以f(2)＝3.所以m≤2.
故1≤m≤2.
答案：[1，2]
10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．
解析：设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15－x)台，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，
所以当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案：120
11．讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2，2]上的单调性．
解：因为函数图象的对称轴x＝2a＋1，
所以当2a＋1≤－2，
即a≤－时，函数在[－2.2]上为增函数．
当－2＜2a＋1＜2，即－＜a＜时，
函数在[－2，2a＋1]上是减函数，在[2a＋1，2]上是增函数．
当2a＋1≥2，即a≥时，函数在[－2，2]上是减函数．
12．已知f(x)＝，x∈[3，5]．
(1)利用定义证明函数f(x)在[3，5]上是增函数；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)f(x)在区间[3，5]上是增函数，证明如下：
设x1，x2是区间[3，5]上的两个任意实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1－x2＜0，2－x1＜0，2－x2＜0.
所以f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在区间[3，5]上是增函数．
(2)因为f(x)在区间[3，5]上是增函数，
所以当x＝3时，f(x)取得最小值为－4，
当x＝5时，f(x)取得最大值为－2.
B级 能力提升
13．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是( )
A．(－∞，40)
B．[40，64]
C．(－∞，40]∪[64，＋∞)
D．[64，＋∞)
解析：对称轴为x＝，则≤5或≥8，解得k≤40或k≥64.
答案：C
14．若y＝ax与y＝－在区间(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析：本题通过一次函数、反比例函数的单调性，判断出a，b的符号．因为y＝ax与y＝－在区间(0，＋∞)上都是减函数，所以a＜0，b＜0，所以函数y＝ax2＋bx的对称轴方程为x＝－＜0，故函数y＝ax2＋bx在区间(0，＋∞)上是减函数．
答案：B
15．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如下．
所以f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.
而a＜－x2＋2x恒成立，所以a＜0.
答案：(－∞，0)
16．画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间及最小值．
解：f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
17．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈，对称轴是x＝1.
所以f(x)的最小值是f(1)＝1.
又f＝，f(3)＝5，
所以f(x)在区间上的最大值是5，最小值是1.
(2)因为g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
所以≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
18．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]
上不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
因为f(0)＝1，所以c＝1.
所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以2ax＋a＋b＝2x.
所以所以
所以f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意，得x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝－－m，
其对称轴为x＝，
所以g(x)在区间[－1，1]上是减函数．
所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m＞0.
所以m＜－1.
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)．第2章
函数
2.3
映射的概念
A级 基础巩固
1．下列对应不是映射的是( )
解析：结合映射的定义可知A、B、C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有两个元素a，b与之对应，不是映射．
答案：D
2．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图象中能表示集合A到集合B的映射的是( )
解析：因为象集为{y|1≤y≤2}，故A，B错，又根据映射的定义知C错．
答案：D
3．已知集合A中元素(x、y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为( )
A．(1，3)
B．(1，6)
C．(2，4)
D．(2，6)
解析：由题意得解得
答案：A
4．已知f：A→B是集合A到B的映射，又A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x2＋2x－3，k∈B且k在A中没有原象，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－4)
B．(－1，3)
C．[－4，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：因为y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4≥－4，即象集为[－4，＋∞)，所以当k<－4时，k就没有原象．
答案：A
5．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．
解析：由f(2)＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2.
所以f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5.
答案：5
6．已知A＝{a，b}，B＝{0，1}，则从A到B的映射共有________个．
解析：由于A中元素a在B中有两个元素与之对应，元素b在B中也有两个元素与之对应，
所以从A到B的映射共有2×2＝4(个)．
答案：4
7．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1，则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．
解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.
答案：21 6
8．集合A＝{a，b}，B＝{－1，0.1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数是________．
解析：由f(a)＝0，f(b)＝0得f(a)＋f(b)＝0；f(a)＝1，f(b)＝－1得f(a)＋f(b)＝0；由f(a)＝－1，f(b)＝1得f(a)＋f(b)＝0.共3个．
答案：3
9．若集合A＝{0，1，2}，f：x→x2－2x是从A到B的映射，则集合B中至少有________个元素．
解析：由A＝{0，1，2}，f：x→x2－2x.
令x＝0，1，2，
得x2－2x分别为0，－1，0.
又由集合中元素的互异性，
所以B中至少有元素0与－1.
答案：2
10．观察数表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f(g(3)－f(－1))＝________．
解析：由表中数据对应关系知g(3)＝－4，f(－1)＝－1，
所以f
(g(3)－f(－1))＝f(－4＋1)＝f(－3)＝4.
答案：4
11．已知映射：f：A→B，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应B中的元素为(3x－2y＋1，4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1，2)在B中对应的元素；
(2)B中元素(1，2)与A中哪个元素对应？
解：(1)A中元素(1，2)，即当x＝1，y＝2时，
3x－2y＋1＝3×1－2×2＋1＝0，
4x＋3y－1＝4×1＋3×2－1＝9，
所以B中对应的元素为(0，9)．
(2)当B中元素为(1，2)时，
则由解得
所以B中元素(1，2)与A中的对应．
12．已知A＝{a，b，c}，B＝{－1，0，1}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
解：(1)当A中元素都对应一个元素时，由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以a，b，c必须都对应元素0.(如图所示)共有1个映射．
(2)当A中元素对应两个元素时，根据f(a)＋f(b)＝f(c)，有下面4种情况．
(3)当A中元素对应三个元素时，由于f(a)＋f(b)＝f(c)，有下面两种情况．
因此，满足题设条件的映射有7个．
B级 能力提升
13．下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
①M＝N＝R；f：x→y＝，x∈M，y∈N.②M＝N＝R；f：x→y＝x2，x∈M，y∈N.③M＝N＝R；f：x→y＝，x∈M，y∈N.④M＝N＝R；f：x→y＝x3；x∈M，y∈N.
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
解析：对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．
答案：D
14．设M＝{a，b}，N＝{－2，0，2}，则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________．
解析：由f(a)≥f(b)知，f(a)＞f(b)或f(a)＝f(b)，
当f(a)＞f(b)时，
有或或共三种可能；
当f(a)＝f(b)时，也有f(a)＝f(b)＝0，2，－2三种可能．
综上所述，满足条件f(a)≥f(b)的映射有6个．
答案：6
15．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(x∈R)就是单函数．下列命题：
①函数f(x)＝x2(x∈R)就是单函数；
②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B为单函数，则对任意b∈B，它至多有一个原象．
其中正确命题是__________(写出所有正确命题的序号)．
答案：②③
16．集合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A→B的映射f：(x，y)→(x2＋y2，xy)，求B中的元素(5，2)所对应A中的元素．
解：依题意可得
①＋2×②，得(x＋y)2＝9，
所以x＋y＝±3.
于是，原方程组可化为如下的两个方程组：
或
解得
所以B中的元素(5，2)对应A中的元素是(1，2)，(2，1)，(－1，－2)，(－2，－1)．
17．已知集合A为实数集R，集合B＝{y|y≥2}，x∈A，y∈B，对应法则f：x→y＝x2－2x＋2，那么f：A→B是A到B的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射？
解：由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，
即在f下，A中的元素变换成集合{y|y≥1}中的元素，现在已知的集合B＝{y|y≥2}，
所以A中的部分元素x∈(0，2)在B中无对应元素．
所以f：A→B不是A到B的映射．
将B改为{y|y≥1}，A与f不变，
则f：A→B成为A到B的一个映射．
18．已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应关系f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．
解：①当a≥0时，由－2≤x≤2得－2a≤ax≤2a.
若能够建立从A到B的映射．
则[－2a，2a] [－1，1]，
即所以0≤a≤.
②当a＜0时，集合A中元素的象满足2a≤ax≤－2a，
若能建立从A到B的映射，
则[2a，－2a] [－1，1]，
即所以0＞a≥－.
综合①②可知－≤a≤.第1章
集合
1.1
集合的含义及其表示
A级 基础巩固
1．下列关系正确的是( )
①0∈N；②∈Q；③ R；④－2 Z.
A．③④
B．①③
C．②④
D．①
解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N；
②不正确，因为是无理数，所以 Q；
③不正确，因为是实数，所以∈R；
④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z.
答案：D
2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
答案：D
3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集
D．第二、第四象限内的点集
解析：集合M为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集．
答案：D
4．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
解析：若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0 A.
答案：B
5．方程组的解集是( )
A．{x＝1，y＝1}
B．{1}
C．{(1，1)}
D．(1，1)
解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A、B，而D不是集合的形式，排除D.
答案：C
6．下列集合中为空集的是( )
A．{x∈N|x2≤0}
B．{x∈R|x2－1＝0}
C．{x∈R|x2＋x＋1＝0}
D．{0}
答案：C
7．设集合A＝{2，1－a，a2－a＋2}，若4∈A，则a的值是( )
A．－3或－1或2
B．－3或－1
C．－3或2
D．－1或2
解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2，4，14}．当a2－a＋2＝4时，得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{2，2，4}，不满足互异性；当a＝2时，A＝{2，4，－1}．所以a＝－3或a＝2.
答案：C
8．下列各组集合中，表示同一集合的是( )
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{(3，2)}，N＝{3，2}
解析：A中集合M，N表示的都是点集，由于横、纵坐标不同，所以表示不同的集合；B中根据集合元素的互异性知表示同一集合；C中集合M表示直线x＋y＝1上的点，而集合N表示直线x＋y＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合．
答案：B
9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有( )
A．a＋b∈P
B．a＋b∈Q
C．a＋b∈M
D．a＋b不属于P，Q，M中任意一个
解析：因为a∈P，b∈Q，所以a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z.
所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z.所以a＋b∈Q.
答案：B
10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．
解析：方程x2－2x－3＝0的两根分别是－1和3.
由题意可知，a＋b＝2.
答案：2
11．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________________．
解析：由集合元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠±1.
答案：a∈R且a≠±1
12．点(2，11)与集合{(x，y)|y＝x＋9}之间的关系为__________________．
解析：因为11＝2＋9，
所以(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}．
答案：(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}
13．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A，且a∈B，则a为________．
解析：集合A，B都表示直线上点的集合，a∈A表示a是直线y＝2x＋1上的点，a∈B表示a是直线y＝x＋3上的点，所以a是直线y＝2x＋1与y＝x＋3的交点，即a为(2，5)．
答案：(2，5)
14．下列命题中正确的是________(填序号)．
①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．
解析：对于①，0表示元素与{0}不同；对于③，不满足集合中元素的互异性，故不正确；对于④，无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的．
答案：②
B级 能力提升
15．下面三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}；
B＝{y|y＝x2＋1}；
C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
问：(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解：(1)在A，B，C三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
(2)集合A的代表元素是x，满足y＝x2＋1，
故A＝{x|y＝x2＋1}＝R.
集合B的代表元素是y，满足y＝x2＋1的y≥1，
故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C的代表元素是(x，y)，满足条y＝x2＋1，表示
满足y＝x2＋1的实数对(x，y)；即满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点．因此，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}＝{(x，y)|点(x，y)是抛物线y＝x2＋1上的点}．
16．若集合A＝又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2
016＋b2
017的值．
解：由题知a≠0，故＝0，所以b＝0.所以a2＝1，
所以a＝±1.
又a≠1，故a＝－1.所以a2
016＋b2
017＝(－1)2
016＋02
017＝1.
17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解．
所以集合A不可能是单元素集合．章末知识整合
一、元素与集合的关系
[例1] 设集合B＝.
(1)试判断1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
解：(1)当x＝1时，＝2∈N，所以1∈B.
当x＝2时，＝ N，2 B.
(2)令x＝0，1，2，3，4，代入，检验∈N是否成立，可得B＝{0，1，4}．
规律方法
1．判断所给元素a是否属于给定集合时，若a在集合内，用符号“∈”；若a不在集合内，用符号“ ”．
2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．
[即时演练] 1.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来．
解：(1)A＝ ，则方程ax2－3x＋2＝0无实根，
即Δ＝9－8a<0，所以a>.
所以a的取值范围是.
(2)因为A中只有一个元素，
所以①a＝0时，A＝满足要求．
②a≠0时，则方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实根．
故Δ＝9－8a＝0，
所以a＝，此时A＝满足要求．
综上可知：a＝0或a＝.
二、集合与集合的关系
[例2] A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，当B A时，求实数p的取值范围．
分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．
解：由已知解得，B＝.
又因为因为A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B A，
利用数轴所以－≤－1.
所以p≥4，
故实数p的取值范围为{p|p≥4}．
规律方法
1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．
2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．
[即时演练] 2.设集合P＝{(x，y)|x＋y＜4，x，y∈N
}，则集合P的非空子集的个数是( )
A．2
B．3
C．7
D．8
解析：当x＝1时，y＜3，又y∈N
，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y＜2，又y∈N
，因此y＝1；当x＝3时，y＜1，又y∈N
，因此这样的y不存在；当x≥4时，y＜0，也不满足y∈N
.
综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.
答案：C
三、集合的运算
[例3] 已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，
分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．
解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，
B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．
借助数轴表示如图所示．
(1)当a－3≤5，即a≤8时，
A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．
(2)当a－3＞5，即a＞8时，
A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.
综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；
当a＞8时，A∪B＝R.
规律方法
解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．
[即时演练] 3.设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合 A(A∩B)＝________．
解析：因为A＝{x|－43}，
所以A∩B＝{x|－4所以 A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
四、利用集合的运算求参数
[例4] 设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，求实数t的取值范围．
分析：由M∪N＝M，知N M.根据子集的意义，建立关于t的不等式关系来求解．
解：由M∪N＝M得N M，
故当N＝ ，即2t＋1≤2－t，t≤时，M∪N＝M成立．
当N≠ 时，由数轴图可得解得＜t≤2.
综上可知，所求实数t的取值范围是{t|t≤2}．
规律方法
1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解，
N＝ .
2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t在－2的右侧(相等时也符合题意)．
[即时演练] 4.集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A∩B＝B，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B＝ ，求实数m的取值范围．
解：(1)A∩B＝B B A，
当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝ ，满足B A；
当m＋1≤2m－1时，要使B A.
则 2≤m≤3.
综上，m的取值范围为{m|m≤3}．
(2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝ ，满足A∩B＝ ；
当B≠ 时，要使A∩B＝ ，
则必须或 m>4.
综上，m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
五、集合的实际应用
[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
分析：
―→―→―→
解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．
答案：8
规律方法
解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．
[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．
设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．
根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.
解得x＝3.
故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.
答案：12模块综合检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则 U(A∪B)＝( )
A．{3}
B．{4}
C．{3，4}
D．{1，3，4}
解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，
所以
A∪B＝{1，2，3}．
所以 U(A∪B)＝{4}．
答案：B
2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是( )
答案：A
3．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝( )
A．
B．[－1，1]
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
所以A∩B＝[1，＋∞)．
答案：D
4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则( )
A．f(－x1)＞f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)＜f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，
又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，
所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．
答案：A
5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是( )
A．(3，8)
B．(－7，－2)
C．(－2，3)
D．(0，5)
解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.
答案：B
6．若x∈[0，1]，则函数y＝－的值域是( )
A．[－1，－1]
B．[1，
]
C．[－1，
]
D．[0，－1]
解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故ymin＝－1，ymax＝.
答案：C
7．下列不等式正确的是( )
A.＜＜
B.＜＜
C.
＜＜
D.
＜＜
答案：A
8．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－，2＋]
B．(2－，2＋)
C．[1，3]
D．(1，3)
解析：f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝f(b)，则g(b)∈(－1，1]，即－b2＋4b－3>－1 2－答案：B
9．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，
则2a－1＝－1不成立，舍去．
当a＞1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3.
所以a＋1＝8，a＝7.
此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.
答案：A
10．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上是单调减函数，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系是( )
A．f(b－2)＝f(a＋1)
B．f(b－2)＞f(a＋1)
C．f(b－2)＜f(a＋1)
D．不能确定
解析：因为y＝loga|x＋b|是偶函数，b＝0，
所以y＝loga|x|.
又在(0，＋∞)上是单调递减函数，
所以0＜a＜1.
所以f(b－2)＝f(－2)＝f(2)，f(a＋1)中1＜a＋1＜2.
所以f(2)＜f(a＋1)，因此f(b－2)＜f(a＋1)．
答案：C
11．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0
℃的保鲜时间是192小时，在22
℃的保鲜时间是48小时，
则该食品在33
℃的保鲜时间是( )
A．16小时
B．20小时
C．24小时
D．28小时
解析：由题设得eb＝192，①
e22k＋b＝e22k·eb＝48，②
将①代入②得e22k＝，则e11k＝.
当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24.
所以该食品在33
℃的保鲜时间是24小时．
答案：C
12．已知函数f(x)＝在R上单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[4，＋∞)
D．[2，4]
解析：当x≥1时，f(x)＝1＋为减函数，
所以f(x)在R上应为单调递减函数，
要求当x＜1时，f(x)＝x2－ax＋5为减函数，
所以≥1，即a≥2，并且满足当x＝1时，f(x)＝1＋的函数值不大于x＝1时f(x)＝x2－ax＋5的函数值，即1－a＋5≥2，解得a≤4.
所以实数a的取值范围[2，4]．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．2－3，3与log25三个数中最大的数是________．
解析：因为2－3＜1，3＜2，log25＞2.
所以这三个数中最大的数为log25.
答案：log25
14．函数y＝lg
的定义域是__________．
解析：由题知所以2≤x＜4且x≠3.
答案：[2，3)∪(3，4)
15．已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
解析：因为函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.
又f(0)＝＝＝0，所以b＝1.
故a＋b＝2.
答案：2
16．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.
解析：作出g(x)＝|4x－x2|的图象，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.
答案：4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，
所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．
所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0.①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0，
因为a≠0，
所以a＝－3.
所以b＝a＋8＝5.
所以f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3＋＋18，
图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
所以f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18.
所以函数f(x)的值域是[12，18]．
18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0，
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋1，f(－1)＝0，
所以a－b＋1＝0.
又因为对任意实数x，均有f(x)≥0，
所以Δ＝b2－4a≤0.
所以(a＋1)2－4a≤0.
所以a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
所以F(x)＝
(2)因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
在[－2，2]上是单调函数，
所以≥2或≤－2，
解之得k≥6或k≤－2.
所以k的取值范围是{k|k≥6或k≤－2}．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠0}．
(1)用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；
(2)利用(1)所得到的结论，求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．
(1)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为x1＜x2，
所以x2－x1＞0.
又因为x1，x2∈(0，＋∞)，
所以x2x1＞0，f(x2)－f(x1)＞0.
故f(x)＝在区间(0，＋∞)上为增函数．
(2)解：因为f(x)＝在区间(0，＋∞)上为增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝＝1，f(x)max＝f(2)＝＝.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xm－，且f(4)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)若不等式f(x)－a＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(4)＝3，
所以4m－＝3，
所以m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－，
其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
又f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)因为y＝x，y＝－在区间[1，＋∞)上都是增函数，
所以f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(1)＝－3.
因为不等式f(x)－a＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a＜f(x)在区间[1，＋∞)上恒成立，
所以a＜－3，
故实数a的取值范围是(－∞，－3)．
21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4(尾/立方米)时，v的值为2(千克/年)；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v的值为0(千克/年)．
(1)当0＜x≤20时，求函数v(x)的表达式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．
解：(1)由题意：当0＜x≤4时，v(x)＝2；
当4＜x≤20时，设v(x)＝ax＋b，显然该函数在[4，20]是减函数，
由已知得解得
故函数v(x)＝
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0≤x≤4时，f(x)为增函数，故fmax(x)＝f(4)＝4×2＝8；
当4≤x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，
fmax(x)＝f(10)＝12.5.
所以，当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5.
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)设g(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则a2＝9.
所以a＝－3(舍去)或a＝3，
所以g(x)＝3x，f(x)＝.
又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，
则＝0，所以m＝1，所以f(x)＝.
(2)设x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1＜x2，
所以3x2－3x1＞0，
所以＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在R上单调递减．
要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，
即f(t2＋2t＋k)＞－f(－2t2＋2t－5)恒成立．
因为f(x)为奇函数，
所以f(t2＋2t＋k)＞f(2t2－2t＋5)恒成立．
又因为函数f(x)在R上单调递减，
所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，
即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．
而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.4
函数的应用
3.4.2
函数模型及其应用
A级 基础巩固
1．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N
)之间关系的是( )
A．y＝100
x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100x
解析：将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
答案：C
2．某学校开展研究性学习活动，一名同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A．y＝2x－2
B．y＝
C．y＝log2x
D．y＝(x2－1)
解析：代入点(2，1.5)，(5，12)检验知选D.
答案：D
3．某商场的某款手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为2
560元的该款手机，两年后价格可降为( )
A．1
440元
B．900元
C．1
040元
D．810元
解析：两年后的价格为2
560×＝810(元)．
答案：D
4．已知某工厂去年12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂去年产量的月平均增长率是________．
解析：设1月份的产量为a，则12月份的产量为7a，
所以a·(1＋x)11＝7a，解得x＝－1.
答案：－1
5．如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，则存x期后，y与x之间的函数关系是____________________________．
解析：1期后y＝a＋ar＝a(1＋r)；
2期后y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；
……
归纳可得x期后y＝a(1＋r)x.
答案：y＝a(1＋r)x
6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为________万元．
解析：1年后价值为：a－ab%＝a(1－b%)，2年后价值为：a(1－b%)－a(1－b%)·b%＝a(1－b%)2，
所以n年后价值为：a(1－b%)n.
答案：a(1－b%)n
7．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．若气体在半径为3
cm的管道中，流量速率为400
cm3/s，则该气体通过半径为r的管道时，其流量速度R的解析式为________．
解析：由题意可设R＝kr4(k＞0)，
由r＝3，R＝400，可得k＝＝，
则流量速率R的解析式为：
R＝r4.
答案：R＝r4
8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12
m3的部分
3元/m3
超过12
m3但不超过18
m3的部分
6元/m3
超过18
m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为________m3.
解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则
y＝
即y＝
所以48＝6x－36.所以x＝14.
答案：14
9．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫作税率为8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围．
解：(1)y＝120×m·[1＋(2x)%]×(8%－x%)＝－0.024m(x2＋42x－400)(0(2)由题可知，－0.024m(x2＋42x－400)≥120×m·8%×78%，
即x2＋42x－88≤0，(x＋44)(x－2)≤0，
解得－44≤x≤2.又因为010.如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9
m，AB＝10
m，BC＝2.4
m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4
m，宽为2
m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)
解：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5，2.5)，点C的坐标为(10，0)，
所以设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋2.5.①
把(10，0)代入①得0＝a(10－5)2＋2.5，
解得a＝－，y＝－(x－5)2＋2.5.
当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－(x－5)2＋2.5，
即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2.
显然，x2＝2不符合题意，舍去，所以x＝8.
OC－x＝10－8＝2.
故汽车应离开右壁至少2
m才不至于碰到隧道顶部．
11．为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，求k的值及f(x)的表达式．
解：设隔热层厚度为x
cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8得k＝40，
因此C(x)＝，而建造费为6x，
故f(x)＝20×C(x)＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
12．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
x/月
2
3
4
5
6
…
y/元
1.40
2.56
5.31
11.00
21.30
…
小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝更合适．
(1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由．
(2)试用你认为较好的函数模型来分析，大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？
(参考数据lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)
解：(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数y＝x及y＝的图象，如图所示．观察发现，这些点基本上落在函数y＝的图象上或附近，因此用函数模型y＝较好．
(2)当＝100时，2x＝300，
所以x＝log2300＝＝≈8.23.
故大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元．
B级 能力提升
13．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2011年的湖水量为m，从2011年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝0.9
B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9m
D．y＝(1－0.150x)m
解析：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9.
所以q%＝0.9，即x年后的湖水量为0.9m.
答案：C
14．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30
min，组装第A件产品用时15
min，那么c和A的值分别是( )
A．75，25
B．75，16
C．60，25
D．60，16
解析：由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，
故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.
将c＝60代入＝15，得A＝16.
答案：D
15．有一种树木栽植五年后可成材，在栽植后五年内，木材年增长率为20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案，栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐；
乙方案，栽植五年后砍伐重栽，过五年再砍伐一次．
则十年后，________方案可以得到较多的木材(不考虑最初的树苗的成本，只按成材的树木计算)．
解析：设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a，
乙方案在10年后木材产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
y1－y2＝4.01a－4.98a＜0，
所以乙方案能获得较多的木材．
答案：乙
16．某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a
kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h)．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式[注：收益＝实际电量×(实际电价－成本价)]；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
解：(1)设下调后的电价为x元/(kW·h)，依题意知用电量增至＋a(kW·h)．电力部门的收益为：y＝(x－0.3)，0.55≤x≤0.75.
(2)依题意有(x－0.3)≥[a(0.8－0.3)]×(1＋20%)且0.55≤x≤0.75.
整理得 0.60≤x≤0.75，即当电价最低定为0.60元/(kW·h)时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
17．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg
给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少；
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当I＝10－6W/m2时，代入公式得
Y＝10lg
＝10lg
106＝60.
即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg
＝0，所以＝1.
I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，
声强级Y＝10lg
＝10lg
(5×105)＝50＋10lg
5＞50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
18．为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数解析式；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
解：(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0，0)，(0.1，1)，
所以在t∈[0，0.1]时，表达式为y＝10t.
因为点(0.1，1)也在y＝上，
所以a＝0.1.
所以当t≥0.1时，y＝.
所以函数解析式y＝
(2)依题意，如果学生进入教室，则有y＜0.25.
所以＜，即＜.
又因为y＝是减函数，
所以2t－0.2＞1.所以t＞0.6.
因此至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.4
函数的应用
3.4.1
函数与方程
第1课时
函数的零点
A级 基础巩固
1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根
D．方程f(x)＝0可能无实数解
解析：因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1，3)上有实数解．
答案：D
2．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：x≤0时由x2＋2x－3＝0 x＝－3；x>0时由－2＋ln
x＝0 x＝e2.
答案：C
3．方程2x－x2＝0的解的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象略，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.
答案：C
4．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
解析：由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，
f(2)＝7.39－4＞0，
所以f(1)·f(2)＜0.所以f(x)在区间(1，2)上存在零点．
答案：C
5．(2014·北京卷)f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0，1)
B.
(1，2)
C.
(2，4)
D．(4，＋∞)
解析：利用零点存在性定理，验证f(x)在各区间端点处的函数值的符号．
由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0，
由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．
答案：C
6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点构成的集合是________．
解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
所以由f(x)＝0解得x＝－5或x＝1或x＝2.
答案：{－5，1，2}
7．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
解析：因为奇函数的图象关于原点对称，
所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
答案：0
8．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．
解析：由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，
故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.
答案：(－∞，1)
9．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析：因为函数f(x)＝ax－b的一个零点是3，
所以x＝3是方程ax－b＝0的根．
所以b＝3a.
于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，
令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
答案：0，－1
10．设x0是方程ln
x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________．
解析：令f(x)＝ln
x＋x－4，
且f(x)在(0，＋∞)上递增，
因为f(2)＝ln
2＋2－4＜0，
f(3)＝ln
3－1＞0，
所以f(x)在(2，3)内有解．所以k＝2.
答案：2
11．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．
解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示，
函数的图象有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
12．函数f(x)＝x3－3x＋2.
(1)求f(x)的零点；
(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围．
解：f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．
(1)令f(x)＝0，函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.
(2)令f(x)＜0，得x＜－2.
所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；
满足f(x)＝0的x的取值集合是{1，－2}；
令f(x)＞0，得－2＜x＜1或x＞1，
满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2，1)∪(1，＋∞)．
B级 能力提升
13．函数y＝lg
x－的零点所在的大致区间是( )
A．(6，7)
B．(7，8)
C．(8，9)
D．(9，10)
解析：因为f(9)＝lg
9－1＜0，
f(10)＝lg
10－＝1－＞0，
所以f(9)·f(10)＜0.
所以y＝lg
x－在区间(9，10)上有零点．
答案：D
14．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则实数a的值为________．
解析：依题意可得，方程2a＝|x－a|－1只有一解，
则方程|x－a|＝2a＋1只有一解．
所以2a＋1＝0.所以a＝－.
答案：－
15．若函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，试求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
解：函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，
由函数的零点与方程的根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3.
再由根与系数的关系得a＝5，b＝－6，
所以g(x)＝－6x2－5x－1，易求得函数g(x)的零点为
－，－.
16．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2，0)内，另一个根在(1，3)内，求实数a的取值范围．
解：令f(x)＝3x2－5x＋a，由已知条件得：
即
解得－12所以a的取值范围是{a|－12＜a＜0}．
17．求证：函数f(x)＝2x－在(0，1)内有且只有一个零点．
证明：f(x)＝2x－＝2x＋1－(x≠1)．
设－1＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝2x1－－2x2＋＝2x1－2x2＋
.
因为－1＜x1＜x2，
所以2x1－2x2＜0，x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0.
所以2x1－2x2＋＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
又f(0)＝20－2＝－1<0，
f(1)＝21－＝>0，即f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在区间(0，1)内有零点且只有一个零点．
18.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？
解：
(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5]．
(2)因为函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点．
所以方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，所以0≤m＜4.
所以当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，
故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点．第2章
函数
2.2
函数的简单性质
2.2.2
函数的奇偶性
A级 基础巩固
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－x2＋5(x∈R)
B．y＝－x
C．y＝x3(x∈R)
D．y＝－(x∈R，x≠0)
解析：函数y＝－x2＋5(x∈R)既有增区间又有减区间；y＝－x是减函数；y＝－(x∈R，x≠0)不是定义域内的增函数；只有y＝x3(x∈R)满足条件．
答案：C
2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1
B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝x－1
解析：设x＜0，则－x＞0.
所以f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
所以f(－x)＝－f(x)＝x＋1.
所以f(x)＝－x－1(x＜0)．
答案：B
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A.
B.
C.
D．1
解析：因为f(－x)＝－f(x)，
所以＝－.
所以(2a－1)x＝0.
所以a＝.故选A.
答案：A
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－
B.
C.
D．－
解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)．所以b＝0.
又a－1＝－2a，所以a＝.所以a＋b＝.
答案：B
5．(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
则f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|.
所以y＝f(x)|g(x)|为奇函数．
答案：C
6．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：因为f(x)是偶函数，
则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，
又当x≥0时，f(x)是增函数，
所以f(2)＜f(3)＜f(π)，从而f(－2)＜f(－3)＜f(π)．
答案：A
7．如图所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值是________．
解析：利用f(－2)＝－f(2)或作出函数y＝f(x)在区间[－2，0]上的图象(关于原点中心对称)可知，f(－2)＝－.
答案：－
8．已知f(x)是奇函数，且x≥0时，f(x)＝x(1－x)．则当x＜0时，f(x)＝________
.
解析：当x＜0时，－x＞0，
又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．
答案：x(1＋x)
9．已知函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称，即k＝1，此时f(x)＝－x2＋3，其单调递增区间为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为________．
解析：由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
答案：0
11．已知函数f(x)和g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1.且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．
解：因为f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，所以g(－1)＝.
又因为g(x)为奇函数，
所以g(－1)＝－g(1)．
所以g(1)＝－g(－1)＝－.
所以f(1)＝2g(1)＋1＝2×＋1＝－6.
12．判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
(1)当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝
－(x3－3x2＋1)＝－f(x)；
(2)当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝
－(x3＋3x2－1)＝－f(x)，
由(1)(2)知，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
B级 能力提升
13．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)．
又g(x)是偶函数，
所以g(－1)＝g(1)．
因为f(－1)＋g(1)＝2，所以g(1)－f(1)＝2.①
又f(1)＋g(－1)＝4，所以f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
答案：B
14．已知定义域为R的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( )
A．f(6)＞f(7)
B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9)
D．f(7)＞f(10)
解析：因为函数y＝f(x＋8)为偶函数，其对称轴是y轴，所以y＝f(x)的对称轴是直线x＝8.
所以f(7)＝f(9)，
又y＝f(x)在区间(8，＋∞)上是减函数．
所以f(9)＞f(10)，故f(7)＞f(10)．
答案：D
15．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．
解析：因为函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
则(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|.
所以|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|.
所以a＝0.
答案：0
16．已知函数f(x)＝x2－2|x|.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在区间(－1，0)上的单调性并加以证明．
解：(1)函数f(x)是偶函数，定义域为R.
因为f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)f(x)在区间(－1，0)上是增函数．证明如下：
当x∈(－1，0)时，f(x)＝x2－2|x|＝x2＋2x.
设－1＜x1＜x2＜0，
则x1－x2＜0，且x1＋x2＞－2，
即x1＋x2＋2＞0.
因为f(x1)－f(x2)＝(x－x)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在区间(－1，0)上是增函数．
17．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(2a2＋a＋1)＜f(2a2－2a＋3)，求实数a的取值范围．
解：由f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f(x)在(0，＋∞)上递减．
因为2a2＋a＋1＝2＋＞0，
2a2－2a＋3＝2＋＞0，
且f(2a2＋a＋1)＜f(2a－2a＋3)，
所以2a2＋a＋1＞2a2－2a＋3，即3a－2＞0，解得a＞.
故a的取值范围是.
18．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上：f(x)＝
(2)图象如图所示．章末知识整合
一、函数的概念
[例1] (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)∪(0，1]
C．(－∞，0)∪(0，1)
D．[1，＋∞)
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
解析：(1)要使函数有意义，则
所以x≤1且x≠0.
因此函数y＝的定义域为{x|x≤1且x≠0}．
(2)设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．
又因为f(x＋1)＝2f(x)，
所以f(x)＝＝－.
答案：(1)B (2)－
规律方法
1．若已知给出函数解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．
[即时演练] 1.(1)求函数y＝(x＋1)0＋＋的定义域；
(2)求函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，求函数y＝f·f的定义域．
解：(1)要使函数有意义，需有
解之得－≤x＜2且x≠－1.
所以函数的定义域是.
(2)要使函数有意义，必须有
解得因此－≤x≤，
所以函数y＝f·f的定义域为.
二、函数的性质及其应用
[例2] 函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义法证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
(1)解：依题意可得
所以解得
所以f(x)＝.
(2)证明：设x1，x2是(－1，1)上的任意两个实数，且－1＜x1＜x2＜1，则有：
f(x1)－f(x2)＝eq
\f(x1,1＋x)－eq
\f(x2,1＋x)＝eq
\f(（x1－x2）（1－x1x2）,（1＋x）（1＋x）).
因为－1＜x1＜x2＜1，
所以x1－x2＜0，1＋x＞0，1＋x＞0，1－x1x2＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)解：因为f(t－1)＋f(t)＜0，
所以f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．
因为f(x)在(－1，1)上是增函数，
所以－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.
所以不等式的解集为.
规律方法
1．一些求参数的问题往往需要根据奇、偶函数的定义建立关于参数的恒等式，通过比较等式两边来确定关于参数的方程．
2．解题时要挖掘隐含条件，同时要求有较高的数学式子变形能力．
[即时演练] 2.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0.
(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值；
(3)要使函数f(x)在区间[－1，3]上单调递增，求b的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)是偶函数，所以b＝0.
又因为f(1)＝0，所以1＋c＝0，即c＝－1.
所以f(x)＝x2－1.
(2)结合图象(图略)得：
当x＝0时，f(x)min＝－1；
当x＝3时，f(x)max＝8.
(3)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，
要使函数f(x)在区间[－1，3]上单调递增，
则有－≤－1，所以b≥2.
因此实数b的取值范围是[2，＋∞)．
三、函数的图象及应用
[例3] 设函数f(x)＝x2－4|x|＋3.
(1)判断函数f(x)图象的对称性；
(2)画出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间和最小值．
解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3的定义域为R，且关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)2－4|－x|＋3＝x2－4|x|＋3，
所以f(－x)＝f(x)，函数y＝f(x)是偶函数．
因此函数f(x)的图象关于y轴对称．
(2)f(x)＝
画出函数y＝f(x)的图象如图所示．
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.
单调增区间是[－2，0]，[2，＋∞)，减区间是(－∞，－2]，[0，2]．
规律方法
1．描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
2．函数的图象可直观反映函数的性质．
[即时演练] 3.(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
图① 图②
(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，下图为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，下图为补充后的图象．易知f(1)＞f(3)．
四、数列结合与分类讨论思想
[例4] 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
①当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f(1)＝1.
③当t＞1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
图① 图② 图③
综上所述f(x)min＝
规律方法
1．求二次函数的最值关键在于确定函数在给定区间上的单调性，这受制于二次项系数的符号和对称轴与区间的相对位置关系．
2．对于“轴定区间变”，注意讨论二者的相对位置，借助几何直观求出最值，从而体现分类讨论与数形结合思想的应用．
[即时演练] 4.设函数f(x)＝已知f(a)＞1，求a的取值范围．[提示：由(a＋1)2＞1可得a＋1＞1或a＋1＜－1]
解：法一(分类讨论思想方法)：
①当a≤－1时，
由(a＋1)2＞1得a＞0或a＜－2，
又a≤－1，所以a＜－2；
②当－1＜a＜1时，由2a＋2＞1得a＞－，
又－1＜a＜1，
所以－＜a＜1；
③当a≥1时，由－1＞1得0＜a＜，
又a≥1，所以a不存在．
综上可知a的取值范围为(－∞，－2)∪.
法二(数形结合思想方法)：
f(x)的图象如图所示，画直线y＝1，
符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.第3章
指数函数、对数函数和幂函数
3.2
对数函数
3.2.1
对数
A级 基础巩固
1．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：由log2(log3x)＝0，得log3x＝1，则x＝3.
同理y＝4，z＝2.所以x＋y＋z＝3＋4＋2＝9.
答案：A
2．已知log2x＝3，则x－等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为log2x＝3，所以x＝23＝8.
则x－＝8－＝＝.
答案：D
3．log242＋log243＋log244等于( )
A．1
B．2
C．24
D.
解析：log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.
答案：A
4．计算log916·log881的值为( )
A．18
B.
C.
D.
解析：log916·log881＝·＝·＝.
答案：C
5．若lg
x＝a，lg
y＝b，则lg
－lg
的值为( )
A.a－2b－2
B.a－2b＋1
C.a－2b－1
D.a－2b＋2
解析：原式＝lg
x－2lg
＝lg
x－2(lg
y－1)＝a－2(b－1)＝a－2b＋2.
答案：D
6．对数式lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18的化简结果为( )
A．1
B．2
C．0
D．3
解析：lg
14－2lg
＋lg
7－lg
18＝lg
14－lg
＋lg
7－lg
18＝lg＝lg
1＝0.
答案：C
7．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________．
解析：因为log2(1－2x)＝1＝log22，
所以1－2x＝2.所以x＝－.
经检验满足1－2x＞0.
答案：－
8．若x＞0，且x2＝，则xlog＝________．
解析：由x＞0，且x2＝.所以x＝.
从而xlog
＝log
＝.
答案：
9．已知m＞0，且10x＝lg(10m)＋lg
，则x＝________．
解析：因为lg(10m)＋lg
＝lg
＝lg
10＝1，
所以10x＝1，得x＝0.
答案：0
10．若logab·log3a＝4，则b＝________．
解析：因为logab·log3a＝·log3a＝log3b，
所以log3b＝4，b＝34＝81.
答案：81
11．设loga3＝m，loga5＝n.求a2m＋n的值．
解：由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5，
所以a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
12．计算：(1)lg
25＋lg
2·lg
50＋lg22；
(2).
解：(1)原式＝2lg
5＋lg
2·(1＋lg
5)＋lg22＝2lg
5＋lg
2·(1＋lg
5＋lg
2)＝2lg
5＋2lg
2＝2.
(2)原式＝
＝
＝－.
B级 能力提升
13．有以下四个结论：①lg(lg
10)＝0；②ln(ln
e)＝0；③若10＝lg
x，则x＝10；④若e＝ln
x，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
解析：因为lg
10＝1，ln
e＝1,
所以①②正确．
由10＝lg
x得x＝1010，故③错；由e＝ln
x得x＝ee，故④错．
答案：C
14．已知2x＝3，log4
＝y，则x＋2y等于( )
A．3
B．8
C．4
D．log48
解析：由2x＝3，得x＝log23，
所以x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2×＝log23＋log2＝log2＝log28＝3.
答案：A
15．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg
E－11.4)．A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，那么A地地震的能量是B地地震能量的________倍．
解析：由R＝(lg
E－11.4)，
得R＋11.4＝lg
E，故E＝10R＋11.4.
设A地和B地地震能量分别为E1，E2，
则＝＝10＝10.
即A地地震的能量是B地地震能量的10倍．
答案：10
16．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1，求·y的值．
解：因为log2(log3(log4x))＝0，所以log3(log4x)＝1.
所以log4x＝3.所以x＝43＝64.
由于log4(log2y)＝1，知log4y＝4，所以y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
17．一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价格降低8.75%，问经过多少年这台机器的价值为8万元(lg
2≈0.301
0，lg
9.125≈0.960
2)
解：设经过x年，这台机器的价值为8万元，则8＝20(1－0.087
5)x，即0.912
5x＝0.4.
两边取以10为底的对数，
得x＝＝＝≈10(年)．
所以约经过10年这台机器的价值为8万元．
18．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得两根，；乙写错了常数c，得两根，64.求这个方程的真正根．
解：原方程变形为(log2x)2＋blog2x＋c＝0.①
由于甲写错了常数b，得到的根为和.
所以c＝log2·log2＝6.
由于乙写错了常数c，得到的根为和64，
所以b＝－＝－5.
故方程①为(log2x)2－5log2x＋6＝0，
解得log2x＝2或log2x＝3，
所以x＝22或x＝23.
所以，这个方程的真正根为x＝4或x＝8.第1章
集合
1.3
交集、并集
A级 基础巩固
1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( )
A．
B．{2}
C．{0}
D．{－2}
解析：B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，
又A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}．
答案：B
2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝( )
A．
B．{x|－3C．{x|－3D．{x|2答案：C
3．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3},
A∩ UB＝{9}，则A＝( )
A．{1，3}
B．{3，7，9}
C．{3，5，9}
D．{3，9}
答案：D
4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B为( )
A．{x＝1或y＝2}
B．{1，2}
C．{(1，2)}
D．(1，2)
解析：A∩B＝＝{(1，2)}．
答案：C
5．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：因为A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，…}
又B＝{6，8，10，12，14}，
所以A∩B＝{8，14}．故A∩B中有2个元素．
答案：D
6．(2014·辽宁卷)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0＜x＜1}
解析：易知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}．
所以 U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．
答案：D
7．已知集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．
解析：因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，
故A∪B＝{1，2，3}．
答案：{1，2，3}
8．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则( SA)∩B＝________．
解析： SA＝{x|x>1}．
答案：{x|19．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，则a的取值范围为________．
解析：如下图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.
答案：{a|1＜a≤3}
10．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解分别为M和S，且M∩S＝{3}，则＝________．
解析：因为M∩S＝{3}，所以3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p＝8，q＝6.则＝.
答案：
11．满足条件{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A的个数是________．
解析：A可以是集合{5}，{1，5}，{3，5}或{1，3，5}．
答案：4
12．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解：(1)因为B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)因为C＝，B∪C＝C B C，
所以－＜2.所以a＞－4.
B级 能力提升
13．集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B为( )
A．{x|－1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0≤x≤1}
D．
解析：因为A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，
所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．
答案：C
14．图中的阴影部分表示的集合是( )
A．A∩( UB)
B．B∩( UA)
C． U(A∩B)
D． U(A∪B)
解析：阴影部分的元素属于集合B而不属于集合A，故阴影部分可表示为B∩( UA)．
答案：B
15．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩( UA)≠ ，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意得 UA＝{x|1＜x＜3}，
又B∩ UA≠ ，故B≠ ，结合图形可知
解得0＜k＜2.
答案：0＜k＜2
16．已知集合A＝{1，3，－x3}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪( AB)＝A？实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由．
解：假设存在x，使B∪( UB)＝A.所以B
A.
(1)若x＋2＝3，则x＝1符合题意．
(2)若x＋2＝－x3，则x＝－1不符合题意．
所以存在x＝1，使B∪( UB)＝A，
此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．
17．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：因为A∪B＝A，所以B A.
若B＝ 时，2a＞a＋3，则a＞3；
若B≠ 时，解得－1≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a＞3}．
18．设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2}．
(1)若A∩B≠ ，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)A＝{x|x≤－1或x≥4}．
因为A∩B≠ ，所以或
所以a＝2或a≤－.
所以实数a的取值范围为.
(2)因为A∩B＝B，所以B A.
①B＝ 时，满足B A，则2a>a＋2 a>2.
②B≠ 时，则
或
解之得a≤－3或
a＝2.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－3或a≥2}．章末过关检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则 RM为( )
A．[－1，1]
B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由1－x2≥0，知－1≤x≤1.
所以M＝[－1，1]．
所以 RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：D
2．下列图中不能作为函数图象的是( )
解析：选项B对于给定的变量有两个值与其对应，不是函数的图象．
答案：B
3．已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是( )
A．[－1，2]
B．(－1，2)
C．(－∞，2)
D．(－1，＋∞)
解析：因为函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，即对称轴直线x＝k在此区间内，所以有－1＜k＜2.
答案：B
4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数( )
A．y＝x
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝－
解析：A、D中函数是奇函数，不是偶函数，B中y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递增，但D中，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数．
答案：B
5．函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是( )
A．R
B．[3，6]
C．[2，6]
D．[2，＋∞)
解析：画出函数的图象，如图所示，观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2，6]，所以值域是[2，6]．
答案：C
6．设f(x)＝则f(5)的值是( )
A．24
B．21
C．18
D．16
解析：f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
答案：A
7．若二次函数y＝f(x)满足f(5＋x)＝f(5－x)，且方程f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．5
B．10
C．20
D.
解析：因为f(x＋5)＝f(5－x)，
所以f(x)的对称轴为x0＝5，x1＋x2＝2x0＝10.
答案：B
8．若对于任意实数x，都有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，则( )
A．f(－2)＜f(2)
B．f(－1)＜f
C．f＜f(2)
D．f(2)＜f
解析：根据题意可知，f(x)是偶函数．
因为f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
所以f＝f＞f(2)．
答案：D
9．若奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为( )
A．10
B．－10
C．－15
D．15
解析：依题意可得，f(x)在[3，6]上是增函数，
所以f(6)＝8，f(3)＝－1.
又y＝f(x)为奇函数，
所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－15.
答案：C
10．已知函数f(x)＝，则有( )
A．f(x)是奇函数，且f＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且f＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且f＝f(x)
解析：由f(－x)＝＝＝f(x)，
得f(x)为偶函数．
又f＝＝＝－f(x)，
故C选项正确．
答案：C
11．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( )
A．a＞0，4a＋b＝0
B．a＜0，4a＋b＝0
C．a＞0，2a＋b＝0
D．a＜0，2a＋b＝0
解析：由f(0)＝f(4)，知函数图象关于直线x＝2对称，所以－＝2.所以b＋4a＝0，
由f(0)＞f(1)知函数图象开口向上，所以a＞0.
答案：A
12．若函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－2，0)
B．[－2，0)
C．(－∞，1]
D．(－∞，0)
解析：由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1，
由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0，
分段点1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，
解得a≥－2，所以－2≤a＜0.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2014·课标全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可．
因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(4－x)＝f(x)．
所以f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，
则f(1)＝3.
又y＝f(x)是偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝3.
答案：3
14.已知f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x＞0时，f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域是________．
解析：当x＞0时，f(x)的值域是(2，3]．根据奇函数的性质可得，f(x)的值域是[－3，－2)∪(2，3]．
答案：[－3，－2)∪(2，3]
15．若f(x)，g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值8，则在区间(－∞，0)上的最小值是________．
解析：因为f(x)，g(x)为奇函数，
所以F(x)－2＝af(x)＋bg(x)为奇函数．
则F(－x)－2＝－(F(x)－2)＝2－F(x)．
因为F(x)在(0，＋∞)上有最大值8.
当x＜0时，－x＞0，F(－x)≤8.
所以F(－x)－2≤6，从而－(F(x)－2)≤6.
因此F(x)≥－4，F(x)在(－∞，0)上的最小值为－4.
答案：－4
16．若定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)都有＜0，则f(1)，f(－2)，f(3)的大小关系是________．
解析：由＜0可知，f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数，所以f(1)＞f(2)＞f(3)．
又因为f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，
因此f(1)＞f(－2)＞f(3)．
答案：f(1)＞f(－2)＞f(3)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)因为f(1)＝3，即1＋m＝3，
所以m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，
其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以此函数是奇函数．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数．
解：(1)当a＝－2时，
f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
又因为x∈[－4，6]，
所以函数f(x)在[－4，2]上为减函数，
在[2，6]上为增函数．
所以f(x)max＝f(－4)＝(－4－2)2－1＝35，
f(x)min＝f(2)＝－1.
(2)因为函数f(x)＝x2＋2ax＋3的对称轴为x＝－a，且f(x)在[－4，6]上是单调函数，
所以－a≥6或－a≤－4，
即a≤－6或a≥4.
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的奇函数．如图是函数图象的一部分，当0≤x≤2时，是线段OA；当x＞2时，图象是顶点为P(3，4)的抛物线的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)在[2，＋∞)上的解析式；
(3)写出函数f(x)的单调区间．
解：(1)图象如图所示．
(2)当x≥2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4(a≠0)．
因为f(x)的图象过点A(2，2)，
所以f(2)＝a(2－3)2＋4＝2所以a＝－2.
所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.
(3)由f(x)的图象知，f(x)的单调递减区间为(－∞，－3]和[3，＋∞)，单调递增区间为[－3，3]．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
(1)证明：任取x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)．
故函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增．
(2)解：任取1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为a＞0，x1－x2＜0，
所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，
所以a≤1.
故a的取值范围是(0，1]．
21．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0
eq
\a\vs4\al()
(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式．
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
解：(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．
设它们共线于直线y＝kx＋b，
则
所以y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N
)，经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上．
所以所求函数解析式为y＝－3x＋150(0≤x≤50，且x∈N
)．
(2)依题意P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300.所以当x＝40时，P有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
22．(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f＜2.
解：(1)在f＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)因为f(6)＝1，
所以f(x＋3)－f＜2＝f(6)＋f(6)．
所以f(3x＋9)－f(6)＜f(6)，
即f＜f(6)．
因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
所以解得－3＜x＜9.
故不等式的解集为(－3，9)．