2.2.2
直线方程的几种形式
课后训练
1．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a的图象正确的是( )．
2．下列命题中：
①表示过定点P(x0，y0)且斜率为k的直线；
②直线y＝kx＋b和y轴交于点B，O是原点，那么b＝|OB|；
③一条直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，那么该直线的方程为；
④方程(x1－x2)(y－y1)＋(y2－y1)(x－x1)＝0表示过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点的直线．
其中错误命题的个数是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )．
A．b＞0，d＜0，a＜c
B．b＞0，d＜0，a＞c
C．b＜0，d＞0，a＞c
D．b＜0，d＞0，a＜c
4．过点P(3,2)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线有( )．
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
5．一条直线经过点M(2,1)，且在两坐标轴上的截距和是6，则该直线的方程为_________．
6．直线y＝x＋1上一点P的横坐标是3，把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90°后所得的直线方程是__________．
7．设A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，直线x＝m将△ABC面积两等分，则m的值为__________．
8．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)经过定点P(2，－1)；(2)在y轴上截距为6；(3)与y轴平行；(4)与x轴平行．
9．某公司要将一批不易存放的蔬菜从A地运到B地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下表：
运输工具
途中速度(km/h)
途中费用(元/km)
装卸时间(h)
装卸费用(元)
汽车
50
8
2
1
000
火车
100
4
4
2
000
若这批蔬菜在运输过程(含装卸时间)中损耗为300元/h，设A，B两地距离为x
km.
(1)设采用汽车与火车运输的总费用分别为f(x)与g(x)，求f(x)与g(x)；
(2)试根据A，B两地距离大小比较采用哪种运输工具比较好(即运输总费用最小)．
(注：总费用＝途中费用＋装卸费用＋损耗费用)
参考答案
1.
答案：C 结合四个图象，a在两方程中分别表示斜率和纵截距，它们的符号应一致．逐一判断知A，B，D项均错，只有C项正确．
2.
答案：D ①不是点斜式，因为它不包含点(x0，y0)；②b≠|OB|，b是点B的纵坐标，可正、可负、可零；③当a＝b＝0时，直线方程不能写成；④正确，这是两点式的变形形式，其可以表示过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的所有直线．
3.
答案：C 由已知直线表达式，得l1：，l2：，由图象知
4.
答案：B 画图分析此题会比较简单，符合条件的直线有如图所示两种情况．若直线经过第一、二、四象限，此时三角形面积一定大于长与宽分别为3与2的矩形的面积，即大于6，不符合条件．
5.
答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0 由题意，设直线在x轴上的截距为a，则其在y轴上的截距为6－a.于是我们可列出此直线的截距式方程为，代入点M的坐标(2,1)，得到关于a的一元二次方程，解得a＝3或a＝4，从而得到直线的方程为或，化为一般式方程即为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
6.
答案：x＋y－7＝0 可先求出点P的坐标再求出旋转后直线的倾斜角和斜率．
把x＝3代入方程y＝x＋1中得y＝4，即P(3,4)，因为直线y＝x＋1的倾斜角为45°，再将其绕点P按逆时针方向旋转90°后得直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率为－1.由点斜式得直线方程y－4＝－(x－3)，即x＋y－7＝0.
7.
答案： 设直线x＝m交AB和AC分别于D，E两点，由得，又AC的方程是，E在AC上，可求得，则|DE|＝＞0，所以，解得.
8.
答案：解：(1)点P在直线l上，即P(2，－1)适合方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，把点P的坐标(2，－1)代入，得2(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得.
(2)令x＝0，得，由题意知，解得或0.
(3)与y轴平行，则有
解得.
(4)与x轴平行，则有
解得m＝3.
9.
答案：解：(1)由题意可知，用汽车运输的总费用为
f(x)＝8x＋1
000＋·300
＝14x＋1
600(x＞0)，
用火车运输的总费用为g(x)＝4x＋2
000＋·300＝7x＋3
200(x＞0)．
(2)由f(x)＜g(x)得；
由f(x)＝g(x)得；
由f(x)＞g(x)得.
因此，当A，B两地距离小于km时，采用汽车运输好；
当A，B两地距离等于km时，采用汽车或火车运输一样；
当A，B两地距离大于km时，采用火车运输好．2.2.1
直线方程的概念与直线的斜率
课后训练
1．直线l的倾斜角α的范围是( )．
A．0°＜α＜180°
B．0°＜α≤180°
C．0°≤α＜180°
D．0°≤α＜180°且α≠90°
2．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为( )．
A．0°
B．90°
C．135°
D．180°
3．直线l过点A(2,1)，B(3，m2)(m∈R)，则直线l的斜率的范围为( )．
A．[－1，＋∞)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－1]
4．已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是( )．
5．油槽储油20
m3，从一管道等速流出，50分钟流完．关于油槽剩余油量Q(m3)和流出时间t(分)之间的关系用图可表示为( )．
6．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，如图所示，则k1，k2，k3的大小关系是__________(由小到大写出)．
7．直线x－y＋1＝0的倾斜角是______．
8．若经过A(－1，－1)，B(－4，y)，C(x,3)三点的直线的斜率为－2，则实数x＝__________，y＝__________.
9．求坐标轴的两条角平分线所在直线的斜率．
10．(1)已知直线l经过原点，且与以A(1,1)，B(3，－1)为端点的线段相交，试通过作图探索出直线l的斜率范围．
(2)已知直线l经过原点，且与以A(1,1)，B(－3，－1)为端点的线段相交，试通过作图探索出直线l的斜率范围．
试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同，你能从中总结出什么规律来吗？
参考答案
1.
答案：C 正确理解倾斜角的取值范围，对于0°与180°，取0°而不取180°；另外倾斜角应包含90°.
2.
答案：B 因为l1的斜率为0，其倾斜角为0°，所以l2的倾斜角为90°，可作图后利用“数形结合”的思想解决．
3.
答案：A 由斜率公式求出斜率k＝m2－1，故k≥－1.
4.
答案：B 直线l1的斜率为a，在y轴上的截距是－b；直线l2的斜率为b，在y轴上的截距是a.对于A项中的图，由直线l1知斜率a＜0，在y轴上的截距－b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＞0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾．对于B项中的图，由直线l1知斜率a＞0，在y轴上的截距－b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件相容．对于C项中的图，由直线l1知斜率a＜0，在y轴上的截距－b＞0，即b＜0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾．对于D项中的图，由直线l1知斜率a＞0，在y轴上的截距－b＜0，即b＞0；由直线l2知斜率b＜0，在y轴上的截距a＞0，条件矛盾．
5.
答案：B 由题意，得Q＝20－t,0≤t≤50，它表示一条线段，排除A，C项，又因为斜率为，而D项中的图所表示的线段的斜率为，不合题意．故选B.
6.
答案：k1＜k3＜k2 由图中直线倾斜角的大小可知l1的倾斜角为钝角，所以k1＜0；l2，l3的倾斜角均为锐角，且l2的倾斜角较大，所以k2＞k3＞0.
所以k1＜k3＜k2.
7.
答案：45°
8.
答案：－3 5 利用两点斜率公式，由，解得x＝－3；由，解得y＝5.
9.
答案：解：设直线l1为一、三象限的角平分线，直线l2为二、四象限的角平分线；在直线l1上取两点O(0,0)，A(1,1)，可得l1的斜率；在直线l2上取两点O(0,0)，B(1，－1)，可得l2的斜率.所以两条直线的斜率分别为1和－1.
10.
答案：解：(1)如图，当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时，即从OB旋转到OA的过程中斜率由负(kOB)到正(kOA)连续增大，因为，，所以直线l的斜率k的范围是≤k≤1.
(2)如图，当直线l绕着原点旋转和线段AB相交时，即从OA旋转到OB的过程中斜率从kOA开始逐渐增加到正无穷大，这时l与y轴重合，当l再旋转下去时，斜率从负无穷逐渐增加到kOB，因为，，所以直线l的斜率k的范围是或k≥1.
经比较可以发现：(1)中直线l的斜率介于kOA和kOB之间，而(2)中直线l的斜率处于kOA和kOB之外．一般地，如果直线l和线段AB相交，若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时，与线段AB不相交，则l斜率介于kOA和kOB之间；若直线l和x轴垂直(斜率不存在)时，与线段AB相交，则l斜率位于kOA和kOB之外．2.3.2
圆的一般方程
课后训练
1．曲线关于( )．
A．直线x＝2对称
B．直线y＝－x对称
C．点(－2,2)中心对称
D．点(－2,0)中心对称
2．若方程x2＋y2＋ax＋＋a＋1＝0表示圆，则a的取值范围是( )．
A．a＜－2或
B．
C．－2＜a＜0
D．a＞2或
3．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )．
A．
B．
C．
D．
4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．
A．36
B．18
C．
D．
5．已知A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最大值为( )．
A．
B．
C．
D．
6．设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程是__________．
7．已知直线3x＋4y－10＝0与圆x2＋y2－5y＋F＝0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O是原点)，则F＝__________.
8．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________．
9．已知过点M(－1,1)的直线l被圆C：x2＋y2－2x＋2y－14＝0所截得的弦长为，求直线l的方程．
10．已知实数x，y满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x2＋y2的最大值与最小值；
(3)求x－y的最大值与最小值．
参考答案
1.
答案：B 将圆方程化为标准方程得.圆心在直线y＝－x上，故圆关于直线y＝－x对称．故选B.
2.
答案：D
3.
答案：C 设直线方程为y＝kx(k＞0)，由圆心(－2,0)到直线kx－y＝0的距离等于圆的半径1，得，解得，所以所求直线的方程为.
4.
答案：C x2＋y2－4x－4y－10＝0
(x－2)2＋(y－2)2＝18，即圆心为(2,2)，半径为.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为，由数形结合思想可得：该圆上点到已知直线的距离的最小值为，最大值为，故所求距离之差为.
5.
答案：D 要使△ABC的面积最大，即要求点C到AB的距离最大，亦即求圆上点中到直线AB距离的最大值，应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和．由于圆心C(1,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d为，即C到AB的距离的最大值为，故△ABC的面积的最大值为.
6.
答案：x＋y－4＝0 直线AB与点P和圆心所确定的直线垂直，由点斜式可得．
7.
答案：0 易得圆x2＋y2－5y＋F＝0的圆心坐标为，它在3x＋4y－10＝0上，再由OA⊥OB，可知圆x2＋y2－5y＋F＝0过原点O，将O(0,0)代入圆的方程可求得F＝0.
8.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10
9.
答案：解：由圆的方程可求得圆心C的坐标为(1，－1)，半径为4，
∵直线l被圆C所截得的弦长为，
∴圆心C到直线l的距离为2.
(1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，此时点C到l的距离为2，可求得弦长为，符合题意．
(2)若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－1＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋1＝0，∵圆心C到直线l的距离为2，
∴，∴k2＋2k＋1＝k2＋1，
∴k＝0，∴直线l的方程为y＝1.
综上(1)(2)可得：直线l的方程为x＝－1或y＝1.
10.
答案：解：(1)设，则y＝kx，当直线y＝kx与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0，即(x－3)2＋(y－2)2＝1相切时，取得最值．
∴圆心(3,2)到y＝kx的距离等于1，
∴，∴.
∴的最大值为，最小值为.
(2)设x2＋y2＝r2，当两圆相切时，x2＋y2取得最值．∴圆心距.
∴.∴.
∴x2＋y2的最大值为，最小值为.
(3)设x－y＝m，当直线x－y＝m与圆相切时，x－y取得最值．
∴.∴.
∴x－y的最大值为，最小值为.2.3.1
圆的标准方程
课后训练
1．在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是( )．
A．(5，1)
B．(4，1)
C．(，)
D．(3，－2)
2．从点P(3，b)向圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1作切线，则切线长的最小值为( )．
A．5
B．4
C．5.5
D．
3．经过原点的直线l与圆C：x2＋(y－4)2＝4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )．
A．
B．
C．(－∞，]∪[，＋∞)
D．∪
4．三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球，若设赤道大圆的方程为x2＋y2＝R2(R为地球半径)，三颗卫星均可分布于赤道上空，则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为( )．
A．x2＋y2＝2R2
B．x2＋y2＝4R2
C．x2＋y2＝8R2
D．x2＋y2＝9R2
5．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为__________．
6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是__________．
7．已知线段AB的端点B的坐标为(4,0)，端点A在圆x2＋y2＝1上运动，则线段AB的中点的轨迹方程为__________．
8．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(x≥0)相切，试求这个圆的标准方程．
9．已知点A(0,2)和圆C：(x－6)2＋(y－4)2＝，一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：D 切线长，∴当b＝－2时，d取最小值.
3.
答案：C
4.
答案：B 由题意知卫星距地面高度为R，所以方程为x2＋y2＝4R2.故选B.
5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5 设圆心C(a，b)，
则
∴且|AC|＝|BC|＝r＝.
∴(x－2)2＋(y＋3)2＝5为所求．
6.
答案： 关于直线对称的两圆半径相等，圆心连线被直线x＋2y－3＝0垂直平分．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由题意得解得
∴所求圆的方程为.
7.
答案：(x－2)2＋y2＝
8.
答案：解：由题意可设圆的圆心为(1，b)(b＞0)．根据该圆与直线相切，得＝1或(舍去)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝1.
9.
答案：解：设反射光线与圆相切于D点，点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0，－2)，则光线从A点到切点所走的路程为|A1D|.
在Rt△A1CD中，|A1D|2＝|A1C|2－|CD|2＝(－6)2＋(－2－4)2－＝.
∴，即光线从A点到切点所经过的路程是.1.1.4
投影与直观图
课后训练
1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )．
A．平行且相等
B．平行不相等
C．相等不平行
D．既不平行也不相等
2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( )．
A．平行四边形
B．椭圆形
C．圆形
D．菱形
3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是( )．
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
4．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )．
5．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一张四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“6”，丙说他看到的是“9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )．
A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度是__________．
7．给出下列说法：
①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；
②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；
③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；
④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．
写出其中正确说法的序号__________．
8．如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为__________．
9．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1
cm,2
cm，高2
cm)．
10．在水平放置的平面α内有一边长为2的正方形A′B′C′D′(如图)，其中对角线A′C′位于水平位置．已知该正方形是某个平行四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出原平行四边形，并求其面积．
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：C 由点光源的中心投影的性质可知影子应是圆形．
3.
答案：C
4.
答案：C 根据斜二测画法的规则：平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y轴上或平行于y轴的线段的长度在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.
5.
答案：D 可以从每个人观察的角度进行分析．
6.
答案： 在直观图中，∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边AB＝5，故斜边上的中线长为.
7.
答案：④ 对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．
8.
答案： 过C′作y′轴的平行线C′D′与x′轴交于D′，
则.
又∵C′D′是原△ABC的高CD的直观图，
∴.
∴.
9.
答案：解：(1)画轴，以底面△ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴，建立空间坐标系．
(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，
在y轴上量取cm，cm.
过D作AB∥x轴，且AB＝2
cm，以D为中点，则△ABC为下底面三角形的直观图．
(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2
cm，
过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，
在y′轴上量取cm，cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1
cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．
(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC－A′B′C′即为所要画的正三棱台的直观图．
10.
答案：解：平行四边形ABCD如图所示．
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴在四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥CB.
又∵DA＝2D′A′＝4，AC＝A′C′＝，BC＝2B′C′＝4，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝.1.2.2
空间中的平行关系
1
课后训练
1．在空间中，互相平行的两直线是指( )．
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．分别在两个平面内，但没有公共点的两条直线
D．在同一平面内没有公共点的两条直线
2．下列说法正确的是( )．
A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，直线bα，则a∥α
D．若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c…，则这些交线的位置关系为( )．
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或都交于同一点
4．对于直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是( )．
A．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n∥α
B．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交
C．如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
5．a，b是两条异面直线，下列结论正确的是( )．
A．过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行
B．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交
C．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行
D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，CC1，C1D1，D1A1的中点，则四边形EFGH的形状是__________．
7．如图所示，直线a∥平面α，点B，C，D∈a，点A与a在α的异侧．线段AB，AC，AD交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG等于__________．
8．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＋BD＝a，AC·BD＝b，则EF2＋EH2＝__________.
9．如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝a，点E在棱PC上，问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明．
10．一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？并说明理由．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：D ∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，从而排除选项A.
∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，
∴a和α不一定平行，从而排除选项B.
∵直线a∥b，bα，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，从而排除选项C.
∵a∥b，bα，则aα或a∥α，
∴a可以与平面α内的无数条直线平行．故选D.
3.
答案：D 若直线l∥平面α，则过l作平面与α相交所得的直线a，b，c…都平行；若l∩α＝P，则直线a，b，c…都相交于同一点P.
4.
答案：C 如果mα，n∥α，m，n共面，根据线面平行的性质定理，则m∥n，故选项C正确．在选项A中，n与α可能相交，在选项B中，n与α可能平行．在选项D中，m与n可能相交．
5.
答案：D A项错，若点与a所确定的平面与b平行，就不能使这个平面与a平行了．
B项错，若点与a所确定的平面与b平行，就不能作一条直线与a，b相交．
C项错，假如这样的直线存在，根据基本性质4就可有a∥b，这与a，b异面矛盾．
D项正确，在a上任取一点A，过A点作直线c∥b，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．所以应选D.
6.
答案：梯形
7.
答案： ∵a∥α，EG＝α∩平面ABD，
∴a∥EG，又点B，C，D∈α，∴BD∥EG.
∴，
∴.
8.
答案： 由已知AC＋BD＝a，AC·BD＝b，
∴，，
即EF＋EH＝，EF·EH＝，
∴EF2＋EH2＝(EF＋EH)2－2EF·EH＝.
9.
答案：解：当E为PC的中点时，PA∥平面EBD.
证明：连接AC，且AC∩BD＝O，连接OE.
∵四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点．
又E为PC的中点，
∴OE为△ACP的中位线．
∴PA∥EO.
又PA平面EBD，
∴PA∥平面EBD.
10.
答案：解：在平面VAC内，经过点P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E，在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如图所示．在平面VBC内，经过点F作FG∥VB，与BC交于点G，连接GH，则EF，FG，GH，HE为截面与木块各面的交线．
证明如下：∵EH∥VB，FG∥VB，
∴EH∥FG，可知E，H，G，F四点共面．
∵VB平面EFGH，EH平面EFGH，
∴VB∥平面EFGH.
同理可证AC∥平面EFGH.2.1
平面直角坐标系中的基本公式
课后训练
1．点A(2a,1)与B(2，a)之间的距离为( )．
A．(a－1)
B．(1－a)
C．|a－1|
D．5(a－1)2
2．直线y＝2x关于x轴对称的直线方程为( )．
A．
B．
C．y＝－2x
D．y＝2x
3．已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，则第四个顶点不是( )．
A．(9，－4)
B．(1,8)
C．(－3,0)
D．(1，－3)
4．已知△ABC的三个顶点的坐标为A(，2)，B(0,1)，C(0,3)，则此三角形的形状是( )．
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
5．(2011·广东揭阳高一期中)已知A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使AP－BP取最大值时的点P的坐标是( )．
A．(4,0)
B．(13,0)
C．(5,0)
D．(1,0)
6．在直线坐标系中有点A(1)，若点A负向移动3个单位到达点B，则AB＝__________.向量与以B点为起点，终点坐标为__________的向量是相等向量．
7．已知点A(5,12)，在x轴上求一点P，使点P与点A的距离等于13，则满足条件的点为__________．
8．已知ABCD的三个顶点A(0,0)，B(x1，y1)，D(x2，y2)，则顶点C的坐标为________．
9．如图所示，等边△ABC的顶点A的坐标为(，0)，点B，C在y轴上．
(1)写出B，C两点的坐标；
(2)求△ABC的面积和周长．
10．河流的一侧有A，B两个村庄，如图所示，两村庄为了发展经济，计划在河上共建一小型水电站供两村使用．已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300
m和600
m，且两村相距500
m．问：建水电站所需的最省的电线长是多少？
参考答案
1.
答案：C 由两点间距离公式，可得A，B之间的距离为d(A，B)＝.
2.
答案：C 在直线y＝2x上选取一点(1,2)，此点关于x轴对称的点的坐标为(1，－2)．又因为直线y＝2x与x轴的交点坐标为(0,0)，此点也在对称轴上，所以所求直线上有两点(0,0)，(1，－2)，将这两点坐标代入四个选项，可知只有选项C符合．
3.
答案：D 设第四个顶点的坐标为(x，y)，然后分情况讨论．
(1)若点(3，－2)，(5,2)为平行四边形的对顶点，则有，，解得x＝9，y＝－4，即(9，－4)；
(2)若(5,2)，(－1,4)为对顶点，同理可求第四个顶点为(1,8)；
(3)若(3，－2)，(－1,4)为对顶点，同理可求第四个顶点为(－3,0)．故应选D.
4.
答案：D 判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状．按边分：等边三角形，等腰三角形；按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形．所以在判断三角形的形状时，既要考虑到边的情况，也要考虑到角的情况．根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的三条边长．
∵，
，
，
∴△ABC为等边三角形．
5.
答案：B 如图，点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连A′B交x轴于点P，即为所求．利用待定系数法可求出一次函数的表达式为：
.令y＝0，得x＝13.
所以点P的坐标为(13,0)．
6.
答案：－3 －5 由于A(1)负向移动3个单位到达B点，所以B点坐标为－2，且向量的坐标为－3，若以B点为起点，向量为－3，则终点坐标应为－5.
7.
答案：(0,0)或(10,0) 根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组)进行求解．设点P的坐标为(x,0)，根据题意，得，解得x1＝0，x2＝10.
8.
答案：(x1＋x2，y1＋y2) 由于ABCD的各顶点的顺序已经确定，因此点C的坐标是唯一确定的．根据平行四边形的性质——对角线互相平分，再根据中点坐标公式的逆向应用，即可求出点C的坐标．
设顶点C的坐标为(m，n)，AC与BD的交点为O，则O为AC和BD的中点，根据题意得点O的坐标为，
又∵点O为AC的中点，∴，，
解得m＝x2＋x1，n＝y2＋y1，
∴点C的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
9.
答案：解：(1)如题图所示，∵△ABC为等边三角形，，
∴|OC|＝1，|OB|＝1，
即B，C两点的坐标分别为B(0，－1)，C(0,1)．
(2)由(1)得|BC|＝2，
∴△ABC的周长为6，面积为.
10.
答案：解：如图所示，以河边所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,300)，B(400,600)．设A关于x轴的对称点为A′，则A′(0，－300)，且d(A′，B)＝，由三角形三边的性质及对称性，知需要的最省的电线长即为线段A′B的长，所以所需的最省的电线长为m.1.1.5
三视图
课后训练
1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，则这个几何体可能是( )．
A．圆柱
B．三棱柱
C．圆锥
D．球体
2．如图为一个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为( )．
A．圆锥
B．三棱锥
C．三棱柱
D．三棱台
3．已知一物体和它的三视图如图所示，其中错误的视图是( )．
A．主视图
B．俯视图
C．左视图
D．无错误
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为( )．
5．图中三图顺次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为( )的组合体．
A．圆柱和圆锥
B．正方体和圆锥
C．正四棱柱和圆锥
D．正方形和圆
6．下图是某个圆锥的三视图，根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．
(第6题图)
7．如图是正四棱锥P－ABCD的三视图，其中主视图是边长为1的正三角形，则这个四棱锥的侧棱长为__________．
(第7题图)
8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__________．
9．如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，请你设计一种塞子，既可以堵住圆形空洞又可以堵住方形空洞．
10．如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)，试画出它的三视图．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：C
3.
答案：A 主视图错了，主视图中看到的应该是线段BC.
4.
答案：C 由几何体的主视图、左视图，结合题意，可知选C.
5.
答案：C 直接画出符合条件的组合体可以得解，但从选项来考虑会比较简单．
6.
答案：100π 由主视图的底边可知俯视图的半径为10，则面积为100π.由主视图知圆锥的高为30，又底面半径为10，则母线长为.
7.
答案： 由条件知，正四棱锥底面边长AB＝1，高(O是底面中心)，，故侧棱长.
8.
答案： 由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．
多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，
由正方体棱长AB＝2知最长棱的长为.
9.
答案：分析：其实只要把圆形和方形视为塞子三视图中的某两个视图，就可以设计出这种塞子．
解：不妨把圆形看作是俯视图，方形看作是主视图，则可知塞子应该是一个圆柱形的几何体，只要底面直径和圆柱的高相等即可．如图：
10.
答案：解：这个几何体是由一个长方体和一个圆柱体构成的．
三视图如下图所示．2.2.3
两条直线的位置关系
课后训练
1．l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1与l2只有一个公共点，则( )．
A．A1B1－A2B2＝0
B．A1B2－A2B1≠0
C．
D．
2．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，那么a等于( )．
A．－3
B．－6
C．
D．
3．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )．
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
4．已知A(7，－4)关于直线l的对称点为B(－5,6)，则直线l的方程是( )．
A．5x＋6y－11＝0
B．5x－6y＋1＝0
C．6x＋5y－11＝0
D．6x－5y－1＝0
5．已知l平行于直线3x＋4y－5＝0，且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24，则直线l的方程是( )．
A．3x＋4y－＝0
B．3x＋4y＋＝0
C．3x＋4y－24＝0
D．3x＋4y＋24＝0
6．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则的值等于__________．
7．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2,5)}，则a＝__________，b＝__________.
8．已知△ABC的三个顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，则BC边上的高所在的直线方程为__________．
9．直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
10．光线沿着直线x－2y＋1＝0射入，遇到直线l：3x－2y＋7＝0即发生反射，求反射光线所在的直线方程．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：B
3.
答案：B 可以先求出AB的中点坐标为，又直线AB的斜率，∴线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程，可得所求垂直平分线的方程为y－＝2(x－2)，
即4x－2y＝5.
4.
答案：D
5.
答案：C 设直线l的方程是3x＋4y－c＝0，c＞0，由题意，知，所以c＝24.
6.
答案： 由于点A在第一象限，点B在x轴上，点C在y轴上，因此三点所在的直线斜率存在，因此直线AB的斜率与直线BC的斜率相等，从而将题意转化为关于a和b的等式，再进一步整理求出的值．根据题意，得2a＝b(a－2)，整理得.
7.
答案：2 3
8.
答案：3x＋2y－9＝0 三角形BC边上的高所在的直线与BC边垂直，因为，所以BC边上高的斜率为，由直线的点斜式方程得，化成一般式得3x＋2y－9＝0.
9.
答案：解法一：联立方程：解得即直线l过点(－1,3)，
由直线l与直线3x－2y＋4＝0平行得直线l的斜率为，
∴直线l的方程为，即3x－2y＋9＝0.
解法二：∵直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，
∴可设符合条件的直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，
∵直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，
∴，解得，
∴直线l的方程为，即3x－2y＋9＝0.
10.
答案：解：设直线x－2y＋1＝0上任一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，∵PP′⊥l，∴.
∴.①
又PP′的中点在l上，
∴.②
由方程①②，可得点P的坐标为.
∴x－2y＋1＝0关于直线l的对称直线的方程为.
整理得29x－2y＋85＝0.
∴反射光线所在的直线方程为29x－2y＋85＝0.1.1.1
构成空间几何体的基本元素
课后训练
1．下列叙述中，一定是平面的是( )．
A．一条直线平行移动形成的面
B．三角形经过延展得到的面
C．组成圆锥的面
D．正方形围绕一条边旋转形成的面
2．下面空间图形的画法中错误的是( )．
3．下列说法正确的是( )．
A．四边形是平面图形
B．有三个公共点的两个平面必重合
C．两两相交的三条直线必在同一个平面内
D．三角形是平面图形
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，给出下面四个命题：
①MN∥平面APC；②B1Q∥平面ADD1A1；③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面ABCD．
其中正确的序号为( )．
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
5．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到下侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )．
A．南
B．北
C．西
D．下
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示)，和棱A1B1不相交的棱有__________条．
7．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是__________．
8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于__________．
9．如下图所示，画出(1)，(2)中直线l′围绕直线l旋转一周形成的空间几何体．
10．如图是边长为1
m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．
参考答案
1.
答案：B 直线平行移动可以形成平面或曲面，只有在方向不变的情况下才能得到平面．
2.
答案：D 被遮住的地方应该画成虚线或不画，故选项D中的图形画法有误．
3.
答案：D 空间四边形不是平面图形，故选项A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，选项B也是错误的；选项C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内，因此选D.
4.
答案：A 平面APC即为平面ACC1A1，很容易看出MN与平面ACC1A1无公共点，即MN∥平面ACC1A1；同理B1Q与平面ADD1A1也没有公共点，故B1Q∥平面ADD1A1；A，P，M三点不共线；平面MNQ与平面ABCD是相交的．故选A.
5.
答案：B 如下图所示的正方体展开成要求的平面图，可知标“△”的面的方位为北．
6.
答案：7 长方体中一共有12条棱，除去与棱A1B1相交的4条棱和它本身外，还剩下7条．
7.
答案：1或3 若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线(共点或互相平行)．
8.
答案：60° 由展开图可知，折成无盖盒子如图所示(上面无盖)．
如图△ABC，因AB，AC，BC均为正方形的对角线，故AB＝AC＝BC，故△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°.
9.
答案：解：(1)l′与l平行，旋转过程中l′上各点与l的距离均相等，产生的曲面是圆柱面，如图①所示．
(2)l′与l相交，旋转产生的曲面是以l′与l的交点为顶点的圆锥面，如图②所示．
10.
答案：分析：制作实物模型(略)．通过正方体的展开图(如下图所示)，可以发现，AB间的最短距离为A，B两点间的线段的长，为(m)．由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．
解：爬行的最短路线如图(1)～(6)所示．1.1.2
棱柱、棱锥和棱台的结构特征
课后训练
1．过正棱台两底面中心的截面一定是( )．
A．直角梯形
B．等腰梯形
C．一般梯形或等腰梯形
D．矩形
2．如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线拆叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为( )．
A．6
B．7
C．8
D．9
3．平行六面体的两个对角面都是矩形，且底面是正方形，则此平行六面体一定是( )．
A．直平行六面体
B．正四棱柱
C．长方体
D．正方体
4．正四棱台两底面边长分别为3
cm和5
cm，那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为( )．
A．2
cm2
B．16
cm2
C．25
cm2
D．4
cm2
5．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是( )．
A．(0，＋∞)
B．
C．(，＋∞)
D．
6．下列关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中真命题的序号是__________．
7．一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分之比为__________．
8．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是__________．(写出所有正确结论的序号)
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
9．已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的对角线长．
10．如图，正六棱锥的底面周长为24，O为底面中心，H是BC的中点，∠SHO＝60°.
求：(1)棱锥的高；(2)斜高；(3)侧棱长．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B 还原几何体，如图所示．由图观察知，该几何体有7个顶点．
3.
答案：B 根据两个对角面是矩形可知侧棱和底面垂直，所以首先是直四棱柱．再根据底面是正方形可知是正四棱柱．
4.
答案：B 如图所示，取A′A，B′B的中点分别为E，F，
∴EF＝×(3＋5)＝4(cm)．
∴S中截面＝42＝16(cm2)．
5.
答案：D 由正四棱锥的定义知正四棱锥S－ABCD中，S在底面ABCD内的射影O为正方形的中心，而SA＞OA＝AB，
∴，即.
6.
答案：②④ 根据直四棱柱的性质判断．
7.
答案：2∶1 如图，设棱锥为S－ABCD，截面为A′B′C′D′，则，
∴.
∴.
8.
答案：①③④ 在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD、四边形A1B1CD等都是矩形，故①正确；A1－ABD是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，故③正确；A1－BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，故④正确．因此①③④都符合条件．
9.
答案：解：设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，对角线长为l.
则有
即
由②平方，得a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝36，
∴a2＋b2＋c2＝25，即，
∴l＝5.
∴这个长方体的对角线的长为5.
10.
答案：分析：棱锥中有关量的计算主要是通过解直角三角形得到的．
解：∵正六棱锥的底面周长为24，
∴正六棱锥的底面边长为4.
在正六棱锥S－ABCDEF中，
∵H是BC的中点，
∴SH⊥BC.
(1)在Rt△SOH中，，
∵∠SHO＝60°，
∴高SO＝OH·tan
60°＝6.
(2)在Rt△SOH中，斜高SH＝2OH＝.
(3)如图，连接OB，在Rt△SOB中，SO＝6，OB＝BC＝4，
∴侧棱长.1.2.3
空间中的垂直关系
1
课后训练
1．直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是( )．
A．垂直
B．平行
C．相交或在平面内
D．以上均有可能
2．设α表示平面，a，b，l表示直线，给出下列四个命题：
①；②；
③；④.
其中正确的命题是( )．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②
3．已知直线a，b与平面α，给出下列四个命题：
①若a∥b，bα，则a∥α；
②若a∥α，bα，则a∥b；
③若a∥α，b∥α，则a∥b；
④若a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确命题的个数是( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2和G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF和EF把这个正方形折起，使点G1，G2，G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是( )．
A．SD⊥平面EFG
B．SG⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF
D．GD⊥平面SEF
5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是( )．
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
6．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是__________．
7．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于__________．
8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是__________．
9．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC．
(1)求证：FO∥平面CDE；
(2)设，求证：EO⊥平面CDF.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
参考答案
1.
答案：D 可以借助于正方体模型，得直线a与平面α可能垂直或平行或相交或在平面内，故选D.
2.
答案：D ①中当a、b相交时才成立；③中由a∥α，b⊥a知b∥α或bα或b⊥α或b与α相交；④中当aα时，能找到满足条件的b，从而不正确．
3.
答案：A
4.
答案：B 折起后SG⊥GE，SG⊥GF，又GF与GE相交于G，
∴SG⊥平面EFG.
5.
答案：D
6.
答案：①④ 对于命题①，取BC的中点E.
连接AE，DE，则BC⊥AE，BC⊥DE，
∴BC⊥AD.对于命题④，过A向平面BCD作垂线AO，如图所示，连接BO与CD交于E，则CD⊥BE，同理CF⊥BD.
∴O为△BCD的垂心，连接DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，
∴BC⊥AD.
7.
答案：2 ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，又∵PQ⊥QD，
∴QD⊥平面PAQ.
∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，
当圆与BC相切时，点Q只有一个，
故BC＝2AB＝2.
8.
答案：36 正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．
9.
答案：证明：(1)如图，取CD的中点M，连接OM.
在矩形ABCD中，OMBC，
又EFBC，则EFOM，连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形．
∴FO∥EM.
又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，
∴FO∥平面CDE.
(2)连接FM，由(1)和已知条件，在等边△CDE中，CM＝DM，EM⊥CD且EM＝CD＝BC＝EF.
因此平行四边形EFOM为菱形，
从而EO⊥FM，
而由(1)知OM⊥CD且OM∩EM＝M，
∴CD⊥平面EOM.从而CD⊥EO.
而FM∩CD＝M，
∴EO⊥平面CDF.
10.
答案：解：(1)因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC.
由∠BCD＝90°，得BC⊥DC.
又PD∩DC＝D，PD平面PCD，
DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD.
因为PC平面PCD，所以PC⊥BC.
(2)连接AC，设点A到平面PBC的距离为h.
因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.
从而由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.
由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝S△ABC·PD＝.
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，
所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，
所以.
由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积，由V＝S△PBC·h＝，得.
因此，点A到平面PBC的距离为.1.2.1
平面的基本性质与推论
课后训练
1．经过同一直线上的三个点，可作平面的个数为( )．
A．1
B．2
C．3
D．无数
2．下列图形中，满足α∩β＝AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB的图形是( )．
3．下列四种叙述：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；
③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
其中正确说法的序号是( )．
A．②③④
B．②③
C．①②③
D．①③
4．如果平面α和平面β有三个公共点A，B，C，则平面α和β的位置关系为( )．
A．平面α和平面β只能重合
B．平面α和平面β只能交于过A，B，C三点的一条直线
C．如果点A，B，C不共线，则平面α和平面β重合；如果点A，B，C共线，则平面α和平面β重合或相交于过A，B，C的一条直线
D．以上都不对
5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )．
A．3
B．4
C．5
D．6
6．已知点A，直线a，平面α，
①A∈a，a∈αA∈α；②Aa，aαAα；③A∈a，aαAα.
以上命题中写法正确且正确的个数为__________．
7．两条异面直线在同一个平面内的正投影有可能是____________________________.
8．下列命题：①空间三点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交．其中正确的命题是__________．
9．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，对角线AC1与过A1，B，D的平面交于P点，求证：A1，P，O在同一直线上．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：C 可以根据图形的特点及直线与平面的位置关系进行判断．
3.
答案：B 四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面．
4.
答案：C 应分点A，B，C共线与不共线两种情况讨论．
5.
答案：C 与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．
6.
答案：0 ①中“a∈α”符号不对；②中A可以在α内，也可以在α外，故不正确；③中“Aα”符号不对．
7.
答案：两条相交直线或两条平行直线或一个点和一条直线
要判断两异面直线在同一平面内的正投影的情况，即判断两条异面直线在同一平面内的投影的各种情形，下图只是列举其中的一些可能情况，比如说图(1)中俯视图是两条相交直线的情形，其中bα，当然当b与平面α相交时，也有可能是两条相交直线．
8.
答案：④ 由平面的基本性质2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以命题①、②均错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)．③中空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三条直线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由平面的基本性质的推论及平面的基本性质1可知必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥BC，但AB与BC不平行，所以⑥错；AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，所以⑦错．
9.
答案：分析：四条直线两两相交且不过同一点，又可分成两种情况：一是有三条直线共点；二是任何三条直线都不共点．因而本题需分类后进行各自的证明．需要注意的是，要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明．
证明：(1)有三线共点的情况，如图．
设b，c，d三线相交于点K，
与a分别交于N，P，M且Ka.
∵Ka，∴K和a确定一个平面，设为α.
∵N∈a，aα，∴N∈α，∴NKα，即bα.
同理，cα，dα，∴a，b，c，d共面.
(2)无三线共点情况，如图．
设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.
∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α.
∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.
∴NQα，即bα.
同理，cα.∴a，b，c，d共面．
由(1)(2)知a，b，c，d共面.
10.
答案：证明：如图，连接AC，A1C1.
∵O是BD的中点，
∴O是AC的中点，
即O∈AC.
∴O∈平面ACC1A1.
∵P∈AC1，AC1平面ACC1A1，∴P∈平面ACC1A1.
∴A1，P，O都在平面ACC1A1内．
又∵A1，P，O都在平面A1BD内，∴A1，P，O都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，即A1，P，O三点共线．1.2.2
空间中的平行关系
2
课后训练
1．若平面α∥平面β，直线aα，直线bβ，那么直线a，b的位置关系是( )．
A．垂直
B．平行
C．异面
D．不相交
2．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )．
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
3．下列结论正确的是( )．
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行；
②过平面外两点不能作平面与已知平面平行；
③若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行；
④平行于同一平面的两平面平行．
A．①②④
B．②③
C．②④
D．①④
4．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥ca∥b；②a∥γ，b∥γa∥b；③c∥α，c∥βα∥β；④γ∥α，β∥αβ∥γ；⑤a∥c，c∥αa∥α；⑥a∥γ，α∥γa∥α.
其中正确的命题是( )．
A．①④
B．①④⑤
C．①②③
D．②④⑥
5．夹在两个平面间的若干条线段，它们互相平行且相等，则这两个平面的位置关系为__________．
6．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离是__________．
7．如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′交于点O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为__________．
8．如图，A，B，C为不在同一直线上的三点，AA1BB1，CC1BB1，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.
9．已知：平面α∥平面β，AB，CD是夹在这两个平面之间的线段，且AE＝EB，CG＝GD，AB与CD异面，如图所示．求证：EG∥平面α，EG∥平面β.
参考答案
1.
答案：D 直线a，b可以是平面α，β内的任意两条直线，它们可以平行，也可以异面，即只能判断出它们是不相交的，故选D.
2.
答案：D 由于α∥β，aα，B∈β，所以由直线a与点B确定一个平面，这个平面与这两个平行平面分别相交，并且这两条交线平行，故选D.
3.
答案：D ②中当平面外两点的连线与已知平面平行时，过此两点能作一个平面与已知平面平行．③中若一直线与一平面平行，那么经过这条直线的平面中只有一个与已知平面平行．
4.
答案：A ①根据平行线的传递性，可得①正确；②和同一平面平行的两直线可相交、平行或异面，故②不正确；③若α∩β＝l，c∥l，也可满足条件，故③不正确；④由平面平行的传递性知④正确；⑤也可能是aα，故⑤不正确；⑥也可能是aα，故不正确．故选A.
5.
答案：平行或相交
6.
答案：1或7 β与γ位于α的两侧时，β与γ间的距离等于7；β与γ位于α同侧时，β与γ间的距离等于1.
7.
答案： 可证明AB∥A′B′，同理BC∥B′C′，CA∥C′A′，且方向相反，∴△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC和△A′B′C′的对应内角相等．
∴.∴.
又，
∴.
8.
答案：证明：∵AA1BB1，
∴四边形ABB1A1是平行四边形．
∴A1B1∥AB.
∴A1B1∥平面ABC.同理可证B1C1∥平面ABC.
又A1B1平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，A1B1∩B1C1＝B1，∴平面ABC∥平面A1B1C1.
9.
答案：证明：过点A作AH∥CD交平面β于H，设F是AH的中点，
连接EF，FG和BH，HD.
∵E，F分别是AB，AH的中点，
∴EF∥BH，且BH平面β，
∴EF∥β.
∵平面ACDH与α，β交于AC，HD，
∴AC∥HD.
又F，G分别是AH，CD的中点，
∴FG∥HD.∴FG∥β.
∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥β.
又α∥β，∴平面EFG∥α.
∵EG平面EFG，∴EG∥α，EG∥β.2.4
空间直角坐标系
课后训练
1．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3,－4)两点的位置关系是( )．
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．关于y轴对称
2．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )．
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
3．空间一点P在xOy面上的射影为M(1,2,0)，在xOz面上的射影为N(1,0,3)，则P在yOz面上的射影Q的坐标为( )．
A．(1,2,3)
B．(0,0,3)
C．(0,2,3)
D．(0,1,3)
4．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点间距离的最小值是( )．
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，BP＝BD′，则点P的坐标为( )．
A．
B．
C．
D．
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0，－2)，B(1，－3,1)，点B关于坐标平面xOy的对称点为B1，则|AB1|＝________.
7．若半径为r的球在第Ⅲ卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是__________．
8．若点P(x，y，z)到A(1,0,1)，B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是__________，猜想它表示的图形是__________．
9．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：
(1)d(A，B)；
(2)线段AB的中点坐标；
(3)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．
10．如图所示，在长方体OABC－D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C，B′，P的坐标．
参考答案
1.
答案：D 因为P，Q两点的y坐标相同，x，z坐标分别互为相反数，它们的中点在y轴上，并且PQ与y轴垂直，故P，Q关于y轴对称．
2.
答案：D ∵，，，
∴|AC|＝|AB|＋|BC|.
∴三点构不成三角形．
3.
答案：C 由P点在xOy面上的射影，知xP＝1，yP＝2，在xOz面上的射影为N(1,0,3)，知xP＝1，zP＝3.
∴P(1,2,3)在yOz面上的射影为Q(0,2,3)．
4.
答案：C 因为
＝
＝，
所以A，B两点间距离的最小值是.
5.
答案：D 点P在坐标面xDy上的射影落在BD上．
因为BP＝BD′，所以Px＝Py＝，.故点P的坐标为.
6.
答案：
7.
答案：(－r，－r，r) 由第Ⅲ卦限内的各坐标的符号正负可得．
8.
答案：2x＋2y－2z－3＝0 线段AB的中垂面 由两点间距离公式得(x－1)2＋y2＋(z－1)2＝(x－2)2＋(y－1)2＋z2，化简得2x＋2y－2z－3＝0，由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面．
9.
答案：解：(1)由空间两点间的距离公式，得.
(2)线段AB的中点坐标为，即为.
(3)点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
则，化简得4x＋6y－8z＋7＝0，即到A，B距离相等的点P的坐标(x，y，z)满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0.
10.
答案：分析：求空间点的坐标的关键是要分别求出横坐标、纵坐标和竖坐标，在求这三个坐标的时候，要根据具体题意作出相关线段，或者找到表示坐标的向量．
解：根据题意，得点C在y轴上，因为OC＝4，所以点C的坐标为(0,4,0)；点B′的横坐标与点A的横坐标相同，因为OA＝3，所以点B′的横坐标为3，点B′的纵坐标与点C的纵坐标相同，因为OC＝4，所以点B′的纵坐标为4，点B′的竖坐标与点D′的竖坐标相同，因为OD′＝3，所以点B′的竖坐标为3，所以点B′的坐标为(3,4,3)；点P的横坐标为点A横坐标的一半，纵坐标为点C纵坐标的一半，竖坐标与点D′的竖坐标相同，因此，点P的坐标为P(1.5,2,3)．
综上所述：C(0,4,0)，B′(3,4,3)，P(1.5,2,3)．1.1.3
圆柱、圆锥、圆台和球
课后训练
1．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是( )．
A．两个圆台组合成的
B．两个圆锥组合成的
C．一个圆锥和一个圆台组合成的
D．一个圆柱和一个圆锥组合成的
2．下列判断正确的是( )．
A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )．
A．4
B．
C．
D．
4．设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的半径为( )．
A．
B．
C．
D．
5．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5
cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短路线长为( )．
A．10
cm
B．cm
C．cm
D．cm
6．圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，则这个圆锥的高为__________．
7．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．在这4个球的上面放一个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是__________．
8．在半径为25
cm的球内有一个截面，它的面积是49π
cm2，求球心到这个截面的距离．
9．圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：C 根据圆锥与圆台的定义和图形进行判断即可．
3.
答案：D 圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r、R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得，即两底面之间的距离为.
4.
答案：B 据题意可知，球的直径等于长方体的体对角线长，所以球半径.
5.
答案：B 如图(1)所示，四边形ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5
cm，设圆柱的底面圆半径为r，则cm.
∴底面圆的周长为l＝2πr＝5π(cm)．
将圆柱沿母线AD剪开后平放在一个平面内，如图(2)所示，则从A到C的最短路线长即为图中AC的长．由于cm，BC＝AD＝5
cm，
∴(cm)．
故选B.
6.
答案： 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则π·l2＝4π，且2πr＝π·l，
∴，且l＝2r，
∴.则圆锥的高.
7.
答案：3R 五个球的球心O1，O2，O3，O4，O5组成正四棱锥O5－O1O2O3O4，如图所示，过O5作O5P⊥面O1O2O3O4于P，则P是正方形O1O2O3O4的中心，连接O3P，则，则，所以小球的球心到水平桌面α的距离是2R＋R＝3R.
8.
答案：解：设球半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．
因为S＝πr2＝49π
cm2，
所以r＝7
cm，所以(cm)，
即球心到这个截面的距离为24
cm.
9.
答案：解：设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr＝·2πR，即R＝3r.①
(2r＋2R)·h＝392，
即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝.③
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，.1.1.6
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
课后训练
1．若正三棱锥的斜高是高的倍，则棱锥的侧面积是底面积的( )．
A．倍
B．2倍
C．倍
D．3倍
2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )．
A．672π
B．224π
C．100π
D．
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．
A．25π
B．50π
C．125π
D．都不对
4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )．
A．
B．
C．
D．
5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )．
A．
B．
C．4
D．8
6．正方体的表面积与其内切球表面积的比为__________．
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．
8．一个几何体的三视图如图所示，若图中圆半径为1，等腰三角形腰长为3，则该几何体的表面积为__________．
9．设计一个正四棱锥形冷水塔，高是0.85
m，底面的边长是1.5
m，制造这种水塔需要多少铁板？
10．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3
cm，求球的表面积．
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：C 首先画出圆台的轴截面，它是一个等腰梯形，再把等腰梯形问题转化为直角三角形去解．圆台的轴截面如图所示，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2，所以S圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π.
3.
答案：B 由于长方体的体对角线的长是球的直径，所以可求得这个球的直径是，然后代入球的表面积公式S＝4πR2即可．
4.
答案：A 设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，
∴S全＝2πr2＋(2πr)2＝2πr2(1＋2π)，S侧＝h2＝(2πr)2＝4π2r2.∴.
5.
答案：C
6.
答案：6∶π
7.
答案： 由题意可知，组成的棱柱是直四棱柱，且满足条件的直四棱柱只有一种，即组成新的四棱柱的表面积是由原来的正方体中的四个相同的正方形的面积和两个对角面的面积组成．四棱柱的全面积等于侧面积与两个底面面积之和，则所得的四棱柱的全面积为.
8.
答案：5π
9.
答案：解：如图，S表示塔的顶点，O表示底面的中心，则SO是高，设SE是斜高．
在Rt△SOE中，根据勾股定理，得
(m)．
∴S正棱锥侧＝ch′＝×(1.5×4)×1.13≈3.4(m2)．
答：制造这种水塔需要铁板约3.4
m2.
10.
答案：解：如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′，AO，AO′.
∵AB＝BC＝CA＝3
cm，∴O′为正三角形ABC的中心，
∴(cm)．
设OA＝R，则，∵OO′⊥截面ABC，
∴OO′⊥AO′，∴，∴R＝2
cm，
∴S球＝4πR2＝16π(cm2)．2.3.3
直线与圆的位置关系
课后训练
1．若圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0与x轴相切，则m的值为( )．
A．1
B．7
C．3或7
D．－3或－7
2．直线m(x＋1)＋n(y＋1)＝0(m≠n)与圆x2＋y2＝2的位置关系是( )．
A．相切
B．相离
C．相交
D．不确定
3．直线(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈R)与圆x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交点个数为( )．
A．1
B．2
C．0或2
D．1或2
4．若曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )．
A．
B．
C．
D．
5．已知实数r是常数，如果M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的一点，那么直线x0x＋y0y＝r2与圆x2＋y2＝r2的位置关系是( )．
A．相交但不经过圆心
B．相交且经过圆心
C．相切
D．相离
6．过点M(3,2)作O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线方程是________________．
7．过点(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝__________.
8．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________．
9．已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求证：不论m为何值，圆心总在同一条直线l上．
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离？
10．已知直线l被两平行直线l1：2x－5y＝－9与l2：2x－5y－7＝0所截线段AB的中点恰在直线x－4y－1＝0上，已知圆C：(x＋4)2＋(y－1)2＝25.
(1)求两平行直线l1与l2的距离；
(2)证明直线l与圆C恒有两个交点；
(3)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
参考答案
1.
答案：A 根据题意，得消去y，得x2－2x＋m＝0，因为已知圆与x轴相切，所以Δ＝4－4m＝0，所以m＝1.故选A.
2.
答案：C 直线方程可化为mx＋ny＋m＋n＝0.由于圆心(0,0)到该直线的距离为，又(m≠n)，∴圆心到直线的距离小于半径，即直线与圆相交．
3.
答案：B
4.
答案：B 如图所示，因为直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，且点C的坐标为(－2,1)，所以k的最大值为，而曲线与直线y＝k(x－2)＋4相切时，k的值为或不存在，所以k的取值范围为.故选B.
5.
答案：D
6.
答案：y＝2或5x－12y＋9＝0 由题意可知，所求切线不可能垂直于x轴，故切线斜率必定存在．设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，得，解得或k＝0，代入切线方程即可求得．
7.
答案： 由数形结合思想可知满足题设条件的直线与过圆心(2,0)和点(1，)的直线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1，)的直线的斜率为，故所求直线的斜率为.
8.
答案：x2＋y2＝4 因为∠APB＝60°，故∠APO＝30°，设P(x，y)，因为，即，所以x2＋y2＝4.
9.
答案：(1)证明：将圆的方程配方得(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25.
设圆心为(x，y)，则
消去m得l：x－3y－3＝0.
∴圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．
(2)解：设与l平行的直线是l′：x－3y＋b＝0，圆心(3m，m－1)到直线l′的距离为.
∵半径r＝5，∴当d＜r，
即时，直线与圆相交；当d＝r，即时，直线与圆相切；当d＞r时，即或时，直线与圆相离．
10.
答案：(1)解：两平行直线l1与l2的距离.
(2)证明：设线段AB的中点P的坐标为(a，b)，由P到l1，l2的距离相等，得
，
经整理，得2a－5b＋1＝0，又点P在直线x－4y－1＝0上，
所以a－4b－1＝0.
解方程组
得
即点P的坐标为(－3，－1)，
所以直线l恒过点P(－3，－1)．
将点P(－3，－1)代入圆C：(x＋4)2＋(y－1)2＝25，可得(－3＋4)2＋(－1－1)2＜25，
所以点P(－3，－1)在圆内，从而过点P的直线l与圆C恒有两个交点．
(3)解：当PC与直线l垂直时，弦长最小，kPC＝－2，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为x－2y＋1＝0.2.2.4
点到直线的距离
课后训练
1．已知点(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )．
A．
B．
C．
D．
2．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，那么它们之间的距离是( )．
A．4
B．
C．
D．
3．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是( )．
A．
B．b－a
C．
D．
4．已知x，y满足3x＋4y－10＝0，则x2＋y2的最小值为( )．
A．2
B．4
C．0
D．1
5．到两条直线3x－4y＋5＝0和5x－12y＋13＝0距离相等的点P(x，y)的坐标必满足方程( )．
A．x－4y＋4＝0
B．7x＋4y＝0
C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0
D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0
6．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________．
7．两直线l1：x＋y－2＝0与l2：7x－y＋4＝0相交成四个角，则这些角的平分线所在的直线的方程为__________．
8．两条平行线分别过点A(－2，－2)和B(1,3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕着A，B旋转并且保持平行，则d的取值范围是__________．
9．已知直线l过直线y＝－x＋1和y＝2x＋4的交点．
(1)若直线l与直线x－3y＋2＝0垂直，求直线l的方程；
(2)若原点O到直线l的距离为1，求直线l的方程．
10．两条互相平行的直线分别过A(6,2)，B(－3，－1)两点，并且各自绕着A，B点旋转(但始终保持平行关系)．如果两条平行线间的距离为d.
(1)求d的变化范围；
(2)求当d取得最大值时的两条直线的方程．
参考答案
1.
答案：C 由点到直线的距离公式，得，
∴|a＋1|＝.∴.又∵a＞0，∴.
2.
答案：D 因为两直线平行，所以3m＝12，即m＝4,6x＋my＋1＝0可化为3x＋2y＋＝0，由两平行直线的距离公式得.
3.
答案：C ∵P(a，b)是第二象限的点，∴a＜0，b＞0.∴a－b＜0.
∴点P到直线x－y＝0的距离．
4.
答案：B x2＋y2视为原点到直线上的点P(x，y)的距离的平方，所以x2＋y2的最小值为原点到直线3x＋4y－10＝0的距离的平方．因为，所以x2＋y2的最小值为4.
5.
答案：D 设所求点为P(x，y)，则.
整理，得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0.
6.
答案： 可设B(x，－x)，
所以，所以.
这时，点B的坐标为.
7.
答案：6x＋2y－3＝0或x－3y＋7＝0 设P(x，y)是角平分线上任一点，则由，可得角平分线的方程．
8.
答案：(0，] 这虽然是一个动态变化的问题，但我们在分析的时候一定要在动中找静，平行线间的距离最小也要大于0，最大为这两点间的距离，，
∴d∈(0，]．
9.
答案：解：(1)由得交点(－1,2)，
∵直线x－3y＋2＝0的斜率是，直线l与直线x－3y＋2＝0垂直，∴直线l的斜率为－3，
∴所求直线l的方程为y－2＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.
(2)如果l⊥x轴，则l的方程为x＝－1.
如果l不垂直于x轴，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋2＋k＝0，
原点O到直线l的距离，
解之，得，此时l：．
综上，直线l的方程为3x＋4y－5＝0和x＝－1.
10.
答案：解：(1)根据题意可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝最大；当两平行线重合，即都过A，B点时，距离d＝0最小．但平行线不能重合，
∴0＜d≤.
(2)当时，k＝－3，
∴两条直线的方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.1.2.3
空间中的垂直关系
2
课后训练
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，mα，m⊥γ，那么必有( )．
A．α⊥γ和l⊥m
B．α∥γ和m∥β
C．m∥β和l⊥m
D．α∥β和α⊥γ
2．已知a，b，l是不同的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：
①若a⊥β，α⊥β，则a∥α；
②若a∥α，a⊥b，则b⊥α；
③若a∥b，l⊥a，则l⊥b；
④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.
其中正确命题的个数是( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知直线l和平面α，β，且lα，lβ，给出以下3个论断：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.从中任取两个作为条件，剩下的一个作为结论，那么( )．
A．一共可以写出6个命题，其中有2个命题正确
B．一共可以写出3个命题，其中有2个命题正确
C．一共可以写出6个命题，这6个命题都正确
D．一共可以写出3个命题，这3个命题都正确
4．下列命题正确的是( )．
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；
④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内．
A．①③
B．②③
C．②③④
D．④
5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是( )．
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
6．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，且点P到三个平面的距离分别为3,4,5，则OP的长为__________．
7．如图，PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中面面垂直的共有________对．
8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直．
其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号)．
9．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
10．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．
(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1.
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
(3)由截面MBC1⊥平面BB1C1C能得出AM＝MA1吗？请你叙述理由．
参考答案
1.
答案：A 由m⊥γ，lγ，可得m⊥l.由mα，m⊥γ，可得α⊥γ.
2.
答案：A
3.
答案：B (1)①②③；(2)②③①；(3)①③②，其中(1)(3)为真命题．
4.
答案：D 过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则aβ或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对．
5.
答案：D 在题图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°.
∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.
又∵∠BCD＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.
在题图②中，此关系仍成立．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.
∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.
∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.
∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.
6.
答案： OP可看作以3,4,5为棱长的长方体的体对角线．
7.
答案：3
8.
答案：(1)(2) (1)由面面平行的判定定理可得，该命题正确．
(2)由线面平行的判定定理可得，该命题正确．
(3)如图(举反例)，aα，α∩β＝l，a⊥l，但α与β不垂直．
9.
答案：证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，BB1∩C1B1＝B1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1.
又BM平面BCC1B1，∴A1B1⊥BM.①
由AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点，可计算出，，B1B＝2，
∴B1M2＋BM2＝B1B2，从而B1M⊥BM.②
又A1B1∩B1M＝B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M.
而BM平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M.
10.
答案：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
又∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，
∴AD⊥侧面BB1C1C.
∴AD⊥CC1.
(2)证明：延长B1A1与BM延长线交于点N，连接C1N.
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.
∵A1B1＝A1C1，
∴A1C1＝A1N＝A1B1.
∴C1N⊥C1B1.∵平面NB1C1⊥侧面BB1C1C，
∴C1N⊥侧面BB1C1C.
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C.
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
(3)解：结论是肯定的．
下面证明：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE.
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，
∴ME⊥侧面BB1C1C.又∵AD⊥侧面BB1C1C，
∴ME∥AD.∴M，E，A，D共面．
∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.
∵CC1∥AM，∴DE∥CC1.
∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．
∴AM＝DE＝CC1＝AA1.∴AM＝MA1.2.3.4
圆与圆的位置关系
课后训练
1．已知，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )．
A．外切
B．相交
C．外离
D．内含
2．内切两圆的半径长是方程x2＋px＋q＝0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q等于( )．
A．1
B．5
C．1或5
D．以上都不对
3．已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线方程为( )．
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
4．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是( )．
A．a≤1
B．a≥5
C．1≤a≤5
D．a≤5
5．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b应满足的关系式是( )．
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
6．两圆x2＋y2＝4和x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为__________．
7．两圆相交于两点(1,3)，(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为__________．
8．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．
9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
10．已知动圆M与y轴相切且与定圆A：(x－3)2＋y2＝9外切，求动圆的圆心M的轨迹方程．
参考答案
1.
答案：B 设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．两圆的圆心距离d(O，O′)＝.显然有.所以两圆相交．
2.
答案：C 由x2＋px＋q＝0，得因为有一圆半径为3，不妨设x2＝3，因为两圆内切，所以|x1－3|＝1.所以x1＝4或2.当x1＝4时，p＝－7，q＝12，p＋q＝5.当x1＝2时，p＝－5，q＝6，p＋q＝1.
3.
答案：C 由平面几何知识，知线段AB的垂直平分线即为两圆心所在的直线，把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C1(2，－3)，C2(3,0)，因为C1C2所在直线的斜率为3，所以直线方程为y－0＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
4.
答案：C 由A∩B＝B知BA，
故0≤a－1≤4，即1≤a≤5.
5.
答案：B 利用两圆的公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．把两圆分别化成一般式方程，作差可得公共弦方程为(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它经过圆心(－1，－1)，代入后有a2＋2a＋2b＋5＝0.
6.
答案：2x－4y－5＝0 由题意知，两圆的圆心分别为C1(0,0)，C2(1，－2)．
若要两圆关于直线l对称，则C1，C2关于l对称．
因为C1C2的中点为，，
所以直线l的方程为，
即2x－4y－5＝0.
7.
答案：3 由两圆的公共弦的垂直平分线为两圆心所在的直线，可得，所以m＝5.又两公共点(1,3)和(5，－1)的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上，所以c＝－2.所以m＋c＝3.
8.
答案：3或7 由题意可知，两圆相切，并且有内切或外切两种情况，分别讨论．
9.
答案：解：联立两圆方程
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
再由
联立得两圆的交点为A(－1,2)，B(5，－6)．
∵所求圆以AB为直径，
∴圆心是AB的中点M(2，－2)，
圆的半径为r＝|AB|＝5.
于是圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
10.
答案：解：设点M(x，y)，动圆的半径为r，由题意，得|MA|＝r＋3且r＝|x|，∴.
当x＞0时，两边平方化简得y2＝12x；
当x＜0时，两边平方化简得y＝0.
综上，动圆的圆心M的轨迹方程为y2＝12x(x＞0)或y＝0(x＜0)．1.1.7
柱、锥、台和球的体积
课后训练
1．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )．
A．1∶3∶4
B．1∶3∶2
C．1∶2∶4
D．1∶4∶2
2．正方体的内切球的体积为36π，则此正方体的表面积是( )．
A．216
B．72
C．108
D．648
3．三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为( )．
A．1∶1∶1
B．1∶1∶2
C．1∶2∶4
D．1∶4∶4
4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A．
B．
C．
D．
5．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，，EF与平面AC的距离为2，则该多面体的体积是( )．
A．
B．5
C．6
D．
6．某圆台的体积为52，上、下底面面积之比为1∶9，则截得该圆台的圆锥的体积为__________．
7．圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________
cm.
8．四面体ABCD中，以A为顶点的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，，3，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为__________．
9．正方形ABCD的边长为1，分别取边BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE，EF，FA为折痕，折叠这个正方形，使B，C，D重合于一点P，得到一个三棱锥如图所示，求此三棱锥的体积．
10．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为，求此旋转体的体积．
参考答案
1.
答案：B 设球的半径为R，则V圆锥＝πR2(2R)＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝πR3.
∴V锥∶V柱∶V球＝∶2∶＝1∶3∶2.
2.
答案：A
3.
答案：C 由棱锥的体积公式即可推知选项C正确．
4.
答案：C 该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体．如图所示．
由题意知，圆柱的底面半径为1，高为2.
正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，高为.
∴.
5.
答案：D 如图所示，连接EB，EC，AC，四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×32×2＝6.由于AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，
∴VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC＝·VE－ABCD＝.
∴V多面体＝6＋＝.
6.
答案：54 设圆台的上、下底面半径分别为r，R，
则r∶R＝1∶3.
设圆锥的高为h′，圆台的高为h，则，
∴.而V台＝πh(r2＋Rr＋R2)＝52，
∴.
∴.
∴πR2h′＝＝162.
∴V锥＝πR2h′＝×162＝54.
7.
答案：4 设球的半径为r，
则由3V球＋V水＝V柱，得
6r·πr2＝8πr2＋3×πr3，解得r＝4.
8.
答案：
9.
答案：解：∵∠D＝∠C＝∠B＝90°，
∴翻折后∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°.
∴Rt△PEF可以看作是三棱锥的底面，
而AP可以看作是三棱锥的高．
比较发现：AP＝1，PE⊥PF，PE＝PF＝，
∴VA－PEF＝S△PEF·AP＝.
10.
答案：解：画出旋转体的轴截面如图所示，
设BC＝a，
则DC＝a，
AE＝a，ED＝2a，AC＝3a.
S表＝πa2＋2πa·2a＋πa·a＝(5＋)π，
∴a＝1，
∴V＝πa2·2a＋a·πa2＝πa3＝π.
