学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知点P1(0,0)，P2(2,1)，P3，则在3x－5y－1≥0表示的平面区域内的点是__________．
【解析】 将P1，P2，P3坐标代入检验，3×0－5×0－1＝－1<0,3×2－5×1－1＝0,3×－5×0－1>0，故P2，P3在区域内．
【答案】 P2，P3
2．满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点P(x，y)所在的平面区域是________．
图3 3 6
【解析】 原不等式等价于
或表示的区域是对顶区域．
【答案】 ②
3．设P(x，y)，其中x，y∈N，则满足2x＋y≤6的点的个数为________．
【解析】 由题意知，即求的整数解，
作出平面区域如图所示，只有7＋5＋3＋1＝16个点．
【答案】 16
4．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意可知
(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
∴－1
【答案】 (－1,6)
5．不等式组表示的平面区域的形状为________．
【解析】 如图所示的阴影部分，
不等式组表示的平面区域是边长为的正方形．
【答案】 正方形
6．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组表示为________．
【解析】
画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示．
取原点(0,0)，将x＝0，y＝0代入x＋y＋2，得2>0，代入x＋2y＋1，得1>0；代入2x＋y＋1，得1>0.
结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为
【答案】
7．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
【解析】 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内，则无解；
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则
∴－1综上所述，－1【答案】 (－1,0]
8．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________.
【导学号：91730061】
【解析】 由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去，综上，m＝－3.
【答案】 －3
二、解答题
9．画出不等式组所表示的平面区域，并求其面积．
【解】 如图所示，其中的阴影部分便是要表示的平面区域．
由
得A(1,3)，同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
所以|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝，
所以S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
10．利用平面区域求不等式组的整数解．
【解】 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，
又∵y≥2，∴整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(4,2)，(4,3)；
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个，分别为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
[能力提升]
1．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
【解析】 如图，直线y＝a只能在阴影区域上下移动，最高到虚线(但不包括)，最低到y＝5，∴5≤a<7.
【答案】 [5,7)
2．不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
【解析】 满足约束条件的平面区域如图所示：
因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0)．
所以当y＝a(x＋1)过点B(0,4)时，对应a＝4，
当y＝a(x＋1)过点A(1,1)时，对应a＝.又因为直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，所以≤a≤4.
【答案】
3．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________.
【导学号：91730062】
【解析】 由图可知，不等式组所表示的平面区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋恰过点C，y＝kx＋将区域平均分成面积相等的两部分，故过AB的中点D，＝k×＋，k＝.
【答案】
4．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P，Q两点，且P，Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
【解】 根据题意知直线y＝kx＋1与直线x＋y＝0垂直，故k＝1，又据圆的几何性质可知圆心在直线x＋y＝0上，解得m＝－1，故线性约束条件即为
画出线性可行域，如图易求得三角形面积
S＝×1×＝.学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．将正整数的前5个数排列如下：
①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.
那么可以称为数列的有________．
【解析】 由数列定义，①②③④均为按一定次序排列的一列数，故均为数列．
【答案】 ①②③④
2．数列1,3,6,10，x,21,28，…中x的值是________．
【解析】 观察数列的特点可知，从第2项起，每一项与前一项的差分别为2,3,4，…，依次增加1，故x为15.
【答案】 15
3．下列各式能成为数列1,3,6,10，…的一个通项公式的是________．
①an＝n2－n＋1；②an＝；③an＝；④an＝n2＋1.
【解析】 令n＝1,2,3,4，分别代入①②③④检验即可．排除①②④，从而确定答案为③.
【答案】 ③
4．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于________．
【解析】 由an＝
得a2＝2，a3＝10，所以a2·a3＝20.
【答案】 20
5．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的第________项.
【导学号：91730023】
【解析】 数列的通项为an＝.
∵2＝＝，
∴2是数列的第7项．
【答案】 7
6．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有________个点．
(1) (2)
(3) (4)
图2 1 2
【解析】 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为an＝n2，
故第n个图形中的点数为n2.
【答案】 n2
7．若数列{an}的通项公式an＝3－2n，则a2n＝______，＝________.
【解析】 ∵an＝3－2n，∴a2n＝3－22n，
＝＝.
【答案】 3－22n
8．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N
)，则数列{an}的前30项中，最大项和最小项分别是________．
①a10，a9；②a1，a9；③a1，a30；④a9，a30.
【解析】 通项公式变形为：
an＝＝1＋，
显然当n＝10和n＝9时，an分别取最大值和最小值．
【答案】 ①
二、解答题
9．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，通项an相应的函数是一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式，并求出a2
017；
(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成，试归纳{bn}的一个通项公式．
【解】 (1)由题意可设an＝kn＋b，
又a1＝3，a10＝21，
∴解得
∴an＝2n＋1(n∈N
)，
a2
017＝2×2
017＋1＝4
035.
(2)∵{bn}是由{an}的偶数项组成，
∴bn＝a2n＝2×2n＋1＝4n＋1(n∈N
)．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．
【解】 (1)an＝＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，故不是该数列中的项．
(3)证明：因为an＝＝＝1－，
又n∈N
，所以0<<1.
所以0所以数列中的各项都在区间(0,1)内．
[能力提升]
1．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N
都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5的值为______.
【导学号：91730024】
【解析】 由a1·a2·a3·…·an＝n2，
∴a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝，
同理a5＝，
∴a3＋a5＝.
【答案】
图2 1 3
2．如图2 1 3，五角星魅力无穷，一动点由A处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2
016应在________处．
【解析】 设a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝1分别对应点A，B，C，D，E，A，故动点运动的周期为5，
∵a2
016＝a2
015＋1＝a5×403＋1＝a1＝1，故应在A处．
【答案】 A
3．已知数列{an}满足am·n＝am·an(m，n∈N
)，且a2＝3，则a8＝________.
【解析】 由am·n＝am·an，得a4＝a2·2＝a2·a2＝9，
a8＝a2·4＝a2·a4＝3×9＝27.
【答案】 27
4．设函数f(x)＝log2x－logx2(0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{an}的单调性．
【解】 (1)由f(x)＝log2x－logx2，
可得f(2an)＝an－＝2n，
所以a－2nan－1＝0，解得an＝n±.
因为0故an＝n－.
(2)法一：(作商比较)
＝
＝<1.
因为an<0，所以an＋1>an.故数列{an}是递增数列．
法二：(作差比较)
an＋1－an＝n＋1－－n＋＝＋1－＝>0.
所以数列{an}是递增数列．学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为________．
【解析】 由方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，知函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2，－1，
又∵a<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，
∴不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}．
【答案】 {x|－1≤x≤2}
2．不等式组的解集为________．
【解析】 ∵x2－1<0的解集为{x|－1x2－3x<0的解集为{x|0∴的解集为{x|0【答案】 {x|03．不等式≤0的解集为________．
【解析】 不等式≤0等价于
解得≤x<2.
【答案】
4．下列不等式中解集为实数集R的是__________．(填序号)
①x2＋4x＋4>0；②>0；③x2－x＋1≥0；
④－1<.
【解析】 ①不等式可化为(x＋2)2>0，∴解集为{x|x≠－2}；②不等式解集为{x|x≠0}；③由Δ＝1－4<0，∴不等式解集为R；④由定义域要求x≠0，∴解集为{x|x≠0}．
【答案】 ③
5．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．
【解析】 由题意知，－，－是方程ax2－bx－1＝0的两实根，
∴
解得a＝－6，b＝5，
∴x2－bx－a<0 x2－5x＋6<0 2【答案】 (2,3)
6．不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，那么a的值为________.
【导学号：91730055】
【解析】 <1化为－1<0，
即<0，
等价于[(a－1)x＋1](x－1)<0，
∴(a－1)x2－(a－2)x－1<0，
∴1,2是方程(a－1)x2－(a－2)x－1＝0的两个根．
∴解得a＝.
【答案】
7．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于__________．
【解析】 由题意知x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，所以x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，则(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又x2－x1＝15，可得36a2＝152，又a>0，则a＝.
【答案】
8．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是__________．
【解析】 f(1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为
f(x)>3.
①当x≥0时，不等式即为
解得
即x>3或0≤x<1；
②当x<0时，
不等式即为
解得－3综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
【答案】 (－3,1)∪(3，＋∞)
二、解答题
9．解不等式x2－3|x|＋2≤0.
【解】 x2－3|x|＋2≤0 |x|2－3|x|＋2≤0
(|x|－1)·(|x|－2)≤0 1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；
当x<0时，－2≤x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1，或1≤x≤2}．
10．已知函数f(x)
＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)【解】 由函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，可知对于x2＋ax＋b＝0，有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，所以f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2，由f(x)＝2又不等式f(x)所以－＝2＝6，解得c＝9.
[能力提升]
1．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为________．
【解析】 由题知，一元二次不等式f(x)>0的解集为，即－1<10x< x<－lg
2.
【答案】 {x|x<－lg
2}
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________.
【导学号：91730056】
【解析】 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－x2－4x，又f(0)＝0，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－4x>x，解得x>5；当x<0时，由－x2－4x>x，解得－5x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞).
【答案】 (－5,0)∪(5，＋∞)
3．若不等式ax2＋bx＋1>0的解集是
，则≥0的解集为__________．
【解析】 由题知－，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根．
∴－×＝，－＋＝－，∴a＝－6，b＝1.
把a＝－6，b＝1代入≥0得
≥0，∴解集为.
【答案】
4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A RB，求实数m的取值范围．
【解】 由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，
(1)∵A∩B＝[0,3]，
∴
∴
∴m＝2.
(2) RB＝{x|xm＋2}．
∵A RB，∴m－2>3或m＋2<－1，
∴m>5或m<－3.
故m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·镇江高二检测)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于________．
【解析】 由余弦定理得cos
A＝＝，
∴sin
A＝，
∴S△ABC＝bcsin
A＝×3×8×＝6.
【答案】 6
2．有一长为10
m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________
m.
【解析】 如图，在△ABC中，由正弦定理可知：＝，
∴x＝10(m)．
【答案】 10
3．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，由炮台顶部测得这两条船的俯角分别为45°和60°，而且这两条船与炮台底部连线成30°角，则这两条船相距________
m.
【导学号：91730016】
【解析】 设炮台顶为A，底为D，两船分别为B，C，
由题意知∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30
m，
∴DB＝30
m，DC＝10
m，
在△BCD中，由正弦定理知，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos
30°＝300，
∴BC＝10
m，
即这两条船相距10
m.
【答案】 10
4．(2016·南京高二检测)为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，如图1 3 11所示，且B＋D＝180°，则AC的长为________
km.
图1 3 11
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝82＋52－2×8×5cos
B，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝32＋52－2×3×5cos
D，由cos
D＝－cos
B，并消去AC2得cos
B＝，所以AC＝7.
【答案】 7
5.如图1 3 12所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．
图1 3 12
【解析】 由题意知，AC＝BC，∠ABC＝120°，
由正弦定理知，
＝，
∴sin
∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，
∴∠CAD＝60°－30°＝30°.
【答案】 30°
6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦为________．
【解析】
如图，由平行四边形法则可知，
||＝G，
在△AOB中，由余弦定理可得
||2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．
∵||＝G，
∴2F2(1＋cos
θ)＝G2，
∴cos
θ＝.
【答案】
7．如图1 3 13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60
m，则河流的宽度BC等于________
m.
图1 3 13
【解析】 由题意可知，AC＝＝120.
∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin
∠ABC＝sin
105°＝sin(60°＋45°)＝sin
60°cos
45°＋cos
60°sin
45°＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
于是BC＝＝＝120(－1)(m)．
【答案】 120(－1)
8.如图1 3 14，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
图1 3 14
【解析】 ∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)
＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
【答案】
二、解答题
9．如图1 3 15所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4
km/h，4.5
km/h,3小时后两人相距多远(精确到0.1
km)
图1 3 15
【解】 经过3小时后，甲到达点P，OP＝4×3＝12(km)，乙到达点Q，OQ＝4.5×3＝13.5(km)，依余弦定理，知
PQ＝
≈16.4(km)．
10．如图1 3 16，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin
B＝，求BC边上的高AD.
图1 3 16
【解】 在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得＝，
∴sin
C＝×＝，∴C＝60°(C＝120°舍去，否则由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．
由余弦定理，得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos
60°，
∴x2－8x＋15＝0.
∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.
在△ABC中，AD＝ABsin
B＝AB，
∴AD＝12或AD＝20.
[能力提升]
1.如图1 3 17，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2
min，从D沿着DC走到C用了3
min.若此人步行的速度为每分钟50
m，则该扇形的半径为________m.
图1 3 17
【解析】 连结OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17
500，
∴OC＝50.
【答案】 50
2．如图1 3 18所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10
m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________
m.
图1 3 18
【解析】 在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan
60°＝，AB＝BCtan
60°＝10(m)．
【答案】 10
3．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________小时.
【导学号：91730017】
【解析】 设行驶x
h后甲到点C，乙到点D，两船相距y
km，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos
120°＝28x2－20x＋100
＝282－＋100，
∴当x＝时，y2有最小值，即两船相距最近．
【答案】
4．如图1 3 19，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cos
B＝，cos
∠ADC＝－.
图1 3 19
(1)求sin
∠BAD的值；
(2)求AC边的长．
【解】 (1)因为cos
B＝，所以sin
B＝.
又cos
∠ADC＝－，所以sin
∠ADC＝.
所以sin
∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin
∠ADCcos
B－cos
∠ADCsin
B＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝，解得BD＝2.
故DC＝2，从而在△ADC中，由余弦定理，得
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC
＝32＋22－2×3×2×＝16，所以AC＝4.学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于________．
【解析】 ∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∵a2＝3，
∴d＝a3－a2＝2，
∴a7＝3＋5×2＝13.
【答案】 13
2．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝________.
【解析】 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝
＝＝－15.
【答案】 －15
3．(2016·南京高二检测)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________.
【解析】 由等差数列前n项和公式知S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)，又S8＝4a3，∴4(a7＋a2)＝4a3，
∴－2＋a2＝a3，∴公差d＝－2，∴a9＝a7＋2d＝－6.
【答案】 －6
4．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为________.
【导学号：91730033】
【解析】 ∵S奇＝6a1＋×2d＝30，∴a1＋5d＝5，
S偶＝5a2＋×2d＝5(a1＋5d)＝25，
∴a中＝S奇－S偶＝5.
【答案】 5
5．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
【解析】 ∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大．
【答案】 5或6
6．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
【解析】 由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
【答案】 27
7．已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，则项数n为________．
【解析】 ∵a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63，
而a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.
∴Sn＝＝11n＝286，∴n＝26.
【答案】 26
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5【解析】 ∵an＝
∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，
得7.5【答案】 8
二、解答题
9．已知{an}为等差数列，Sn是{an}的前n项和，S7＝7，S15＝75.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Tn.
【解】 (1)证明：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得解得
则Sn＝－2n＋×1，
∴＝－2＋(n－1)．
∵－＝，
∴数列是等差数列．
(2)由(1)知数列是以－2为首项，为公差的等差数列．
∴Tn＝－2n＋×＝n2－n.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
【解】 (1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，
∵S12>0，S13<0，
∴即
∴－(2)∵S12>0，S13<0，
∴
∴
∴a6>0.
又由(1)知d<0，
∴数列前6项为正，从第7项起为负，
∴数列前6项和最大．
[能力提升]
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.
【解析】 由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，
由
得
解得
【答案】 5
2．(2016·如东高二检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且对任意正整数n都有＝，则Sn＝________.
【导学号：91730034】
【解析】 由等差数列的通项公式可得，a2n＝1＋(2n－1)d，an＝1＋(n－1)d.
∵＝，对任意n都成立，
∴＝对任意n都成立，
当n＝1时，有＝3，解得d＝2，
∴Sn＝n×1＋×2＝n2.
【答案】 n2
3．若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2
003＋a2
004>0，a2
003·a2
004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n＝________.
【解析】 由条件可知数列单调递减，
故知a2
003>0，a2
004<0，
故S4
006＝
＝2
003(a2
003＋a2
004)>0，
S4
007＝＝4
007×a2
004<0，
故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4
006.
【答案】 4
006
4．(2016·无锡高二检测)在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，求数列{|an|}的前n项和．
【解】 由已知得
得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.
∴当n≤17，n∈N
时，an>0；
当n≥18，n∈N
时，an<0.
∴当n≤17，n∈N
时，
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n；
当n≥18，n∈N
时
|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)
＝n2－n＋884.
∴当n≤17，n∈N
时，{|an|}的前n项和为－n2＋n，
当n≥18，n∈N
时，{|an|}的前n项和为n2－n＋884.学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．给出下面四个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2；
②因为x，y∈(0，＋∞)，
所以lg
x＋lg
y≥2
；
③因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
④因为x，y∈R，xy<0，所以＋
＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为________．
【解析】 ②③错误，①④正确，对于②，lg
x，lg
y不一定为正数；对于③，a∈R，也失去了应用基本不等式的前提．
【答案】 ①④
2．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
【导学号：91730067】
【解析】 ∵x>0，∴f(x)＝4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即x＝时等号成立．
由题意可知＝3，即a＝36.
【答案】 36
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．
(1)a2＋b2>2ab；(2)a＋b≥2；(3)＋>；(4)＋≥2.
【解析】 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴(1)错误．对于(2)(3)，当a<0，b<0时，明显错误．对于(4)，∵ab>0，
∴＋≥2＝2.
【答案】 (4)
4．已知函数y＝2＋3x2＋，当x＝________时，函数有最________值，为________．
【解析】 ∵x2>0，
∴y＝2＋3x2＋≥2＋2＝14，
当且仅当3x2＝，即x＝±时，取等号．
【答案】 ± 小 14
5．下列函数中最小值为4的是________．
①y＝x＋；②y＝sin
x＋(0x＋4logx
10.
【解析】 对于③，y＝3x＋4·3－x≥2＝4，当且仅当3x＝2时取等号．
【答案】 ③
6．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是________．
【解析】 ∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2＝2＝4.
当且仅当2a＝2b，即a＝b＝时等号成立．
【答案】 4
7．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是________．
【解析】 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立，故m∈[4，＋∞)，由b≠0，得b2≠0，
∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即n∈(0,4)，综上易得m＞n.
【答案】 m＞n
8．若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．
【解析】 ∵a>b>1，∴lg
a>lg
b>0，
∴<(lg
a＋lg
b)，即P又>，∴lg>lg＝(lg
a＋lg
b)，
∴R>Q，
即R>Q>P.
【答案】 R>Q>P
二、解答题
9．已知a，b是正数，试比较与的大小．
【解】 ∵a>0，b>0，∴＋≥2>0，
∴≤＝，即≤.
10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
【证明】 (1)＋＋＝＋＋＝2.
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
(2)法一 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＋＝1＋＝2＋，同理，1＋＝2＋，
∴＝·
＝5＋2≥5＋4＝9，
∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
法二 ＝1＋＋＋.
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9.
[能力提升]
1．若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是________.
【导学号：91730068】
(1)≤；(2)＋≥1；(3)≥2；
(4)≥1.
【解析】 若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)
＝≥(2＋2)＝1，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
【答案】 (2)
2．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】 x2－ax＋1≥0，x∈(0,1]恒成立 ax≤x2＋1，x∈(0,1]恒成立 a≤x＋，x∈(0,1]恒成立．
∵x∈(0,1]，x＋≥2，∴a≤2.
【答案】 (－∞，2]
3．设0【解析】 ∵0∴logab<0，logba<0，－logab>0，
∴(－logab)＋(－logba)
＝(－logab)＋≥2，
∴logab＋logba≤－2.
【答案】 －2
4．已知x>y>0，xy＝1，求的最小值．
【解】 ∵xy＝1，
∴＝
＝＝(x－y)＋≥
2＝2.
当且仅当
即时取等号学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.
【答案】 ab a≥b
2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为________.
【导学号：91730051】
【解析】 “限重”即不超过的意思，即T≤40.
【答案】 T≤40
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是________．
【解析】 “不低于”即≥，“高于”即>，
“超过”即“>”，
∴x≥95，y>380，z>45.
【答案】
4．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2
000元，设木工x人，瓦工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．
【答案】
5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”
设身高为h(米)，请用不等式表示下表中的不等关系
文字表述
身高在1.2～1.5米之间
身高超过1.5米
身高不足1.2米
符号表示
【解析】 身高在1.2～1.5米之间可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2.
【答案】 1.2≤h≤1.5 h>1.5 h<1.2
6．若a∈R，则与的大小关系是________．
【解析】 ∵－＝＝≤0，∴≤.
【答案】 ≤
7．一辆汽车原来每天行驶x
km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．
【解析】 如果该汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2
200
km”可以用不等式8(x＋19)>2
200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为，因此，不等关系“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式>9来表示．
【答案】 8(x＋19)>2
200 >9
8．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
【解析】 ∵A＝－＝，
B＝－＝，
∵0<＋<＋，
∴A>B.
【答案】 A>B
二、解答题
9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4
000
mm的钢管截成500
mm和600
mm两种．按照生产的要求，600
mm钢管的数量不能超过500
mm钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．
【解】 假设截得500
mm的钢管x根，截得600
mm的钢管y根，根据题意需用不等式组来表示，则有
即
10．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
【解】 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
[能力提升]
1．已知a≠0，b≠0，且a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________．
【解析】 ＋－＝＋＝(a－b)
＝.
∵a＋b>0，(a－b)2≥0，a2b2>0，
∴≥0，
∴＋≥＋.
【答案】 ＋≥＋
2．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为________.
【导学号：91730052】
【解析】 当a>1时，a3＋1>a2＋1，此时，y＝loga
x为(0，＋∞)上的增函数，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；
当0此时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，
∴当a>0且a≠1时，总有M>N.
【答案】 M>N
3．如图3 1 2所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．
(1) (2)
图3 1 2
【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S1＝a2＋b2＝(a2＋b2)，(2)的面积S2＝ab，所以有(a2＋b2)>ab.
【答案】 (a2＋b2)>ab
4．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N
)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组．
【解】 依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为(k∈N
)．学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为________．
【解析】 ∵c∵cos
C＝
＝＝，
又C∈(0°，180°)．
∴C＝30°.
【答案】 30°
2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B＝________.
【解析】 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos
B＝＝＝.
【答案】
3．三角形的两边长分别为3
cm,5
cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
【解析】 ∵5x2－7x－6＝0的两根为－，2，
设已知两边夹角为C，则cos
C＝－(∵cos
C＝2>1，舍去)．
∴sin
C＝＝，∴S△ABC＝×3×5×＝6
cm2.
【答案】 6
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．
【解析】 设顶角为C，∵l＝5c，∴a＝b＝2c，
由余弦定理，得cos
C＝
＝＝.
【答案】
5．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________．
【解析】 由题可知，边长为7的边所对角为中间角，设为θ，则
cos
θ＝＝，
∴θ＝60°，∴最大角＋最小角＝120°.
【答案】 120°
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos
B＝－，则b＝________.
【解析】 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos
B，
∴b2＝22＋c2－2ac×，∴b2＝4＋(7－b)2＋(7－b)，
∴b＝4.
【答案】 4
7．在△ABC中，a＝1，b＝2，cos
C＝，则c＝______，sin
A＝________.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得cos
C＝，把a＝1，b＝2，cos
C＝代入可得c＝2.
因为cos
C＝，所以sin
C＝＝.
再由正弦定理得＝，解得sin
A＝.
【答案】 2
8．(2016·南京高二检测)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin
A＝5sin
B，则角C＝________.
【导学号：91730011】
【解析】 ∵3sin
A＝5sin
B，
∴3a＝5b，
又b＋c＝2a，∴3c＝7b，
∴a∶b∶c＝5∶3∶7.
设a＝5x，b＝3x，c＝7x，则
cos
C＝
＝－.
又C∈(0，π)，
∴C＝.
【答案】
二、解答题
9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的大小；
(2)求AB的长．
【解】 (1)cos
C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝a2＋b2－2abcos
120°
＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c＝2，acos
B－bcos
A＝.
(1)求bcos
A的值；
(2)若a＝4，求△ABC的面积．
【解】 (1)∵acos
B－bcos
A＝，根据余弦定理得，
a·－b·＝，
∴2a2－2b2＝7c，又∵c＝2，∴a2－b2＝7，
∴bcos
A＝＝－.
(2)由acos
B－bcos
A＝及bcos
A＝－，得acos
B＝.
又∵a＝4，∴cos
B＝，
∴sin
B＝＝，
∴S△ABC＝acsin
B＝.
[能力提升]
1．(2016·无锡高二检测)在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tan
B＝ac，则角B的值为________．
【解析】 由(a2＋c2－b2)tan
B＝ac得＝×，即cos
B＝×，
∴sin
B＝，又∵B为△ABC的内角，
∴B为或.
【答案】 或
2．在△ABC中，AB＝，BC＝1，cos
C＝，则·＝________.
【解析】 在
△ABC中，由余弦定理得
|A|2＝||2＋||2－2||·||cos
C，
即2＝||2＋1－2||×，
∴||2－||－1＝0，∴||＝2，
∴·＝||||cos(180°－C)
＝－||||cos
C
＝－1×2×＝－.
【答案】 －
3．若△ABC是钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．
【解析】 ∵b>a，∴A不可能为钝角．
当B为钝角时，
即
解得1当C为钝角时，
即解得5综上，x的取值范围是(1，)∪(5,7)．
【答案】 (1，)∪(5,7)
4．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，AD＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．
【解】 连结AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos
D＝62＋42－2×6×4cos
60°＝28，
在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，
可得cos
B＝＝
＝－.又0°故B＝120°.
所以四边形ABCD的面积
S＝S△ACD＋S△ABC
＝AD·CDsin
D＋AB·BCsin
B
＝×6×4sin
60°＋×2×4sin
120°
＝8.章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．若不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，那么a＋b＝________.
【解析】 因为x2－2x－3<0的解集为A＝{x|－1【答案】 －3
2．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【解析】 设生产产品A
x件，产品B
y件，则
目标函数z＝2
100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2
100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元)．
【答案】 216
000
3．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是________．
①y＝|x|2＋≥2＝4≥0；
②y＝sin
x＋≥2＝4(x为锐角)；
③已知ab≠0，＋≥2＝2；
④y＝3x＋≥2＝4.
【解析】 ①错，右侧不为定值；②错，sin
x＝，则sin
x＝2>1；③错，与为负时不成立．
【答案】 ④
4．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b.这两年的平均增长率为x，则x与的大小关系为________.
【导学号：91730075】
【解析】 由题意可知A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A2，∴x≤.
【答案】 x≤
5．(2016·南京高二检测)若0≤x≤1,0≤y≤2，且2y－x≥1，则z＝2y－2x＋4的最小值为________．
【解析】
由已知作出可行域(如图)，
由z＝2y－2x＋4，得y＝x－2＋，
当x＝1，y＝1时，zmin＝4.
【答案】 4
6．设M＝a＋(2【解析】 M＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，
此时a－2＝1，a＝3，
而24，
N＝log≤log＝4，
∴M>N.
【答案】 M>N
7．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是________．
图1
【解析】 若最优解有无数个，则y＝－x＋与其中一条边平行，而三边的斜率分别为，－1,0，与－对照可知a＝－3或1，又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.
【答案】 －3
8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．
(1)6.5
m；(2)6.8
m；(3)7
m；(4)7.2
m.
【解析】 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故答案为(3)．
【答案】 (3)
9．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
【解析】 令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，
要使f(x)＝0的两根都大于2，
则
解得
故答案为(－5，－4]．
【答案】 (－5，－4]
10．已知等比数列{an}各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是________．
【解析】 ∵{an}是等比数列，
∴a2·a9＝a4·a7，
∴≥＝.
又q≠1，∴a2≠a9，
∴>，
∴P>Q.
【答案】 P>Q
11．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
【解析】 f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1【答案】 (－1,3)
12．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
【解析】 由题意知y＝，所以＝＝＋≥＋＝＋＝3，
当且仅当x2＝9z2时等号成立，
所以的最小值为3.
【答案】 3
13．(2016·苏州高二检测)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么不等式f(x＋2)<5的解集是________.
【导学号：91730076】
【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，
则f(x＋2)<5可化为f(|x＋2|)<5，
即|x＋2|2－4|x＋2|<5，
(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)<0，
所以|x＋2|<5，解得－7【答案】 (－7,3)
14．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，把目标函数化为y＝－x＋，显然当y＝－x＋过点A时取到最大值．
此时z＝4，即y＝－x＋.
由得A.
把A代入y＝mx得，
m＝，∴m＝1.
【答案】 1
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)解关于x的不等式：<0(a∈R)．
【解】 原不等式等价于(x－a)(x－a2)<0.
(1)当a＝0时，原不等式为x2<0，
∴x∈ .
(2)当a＝1时，原不等式为(x－1)2<0，
∴x∈ .
(3)当0a2，
∴原不等式的解集为{x|a2(4)当a<0或a>1时，a2>a，
∴原不等式的解集为{x|a综上，当a＝0或a＝1时，不等式解集为 ；
当0当a<0或a>1时，不等式解集为{x|a16．(本小题满分14分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
【解】 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0.
由根与系数的关系得
解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以即
所以k<－.
即k的取值范围是.
17．(本小题满分14分)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
(3)求z＝x－2y的最大值．
【解】 (1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集点，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
(3)平移直线y＝x－，所以当直线过点时z值最大．所以zmax＝3－2×(－3)＝9.
18．(本小题满分16分)(2016·江苏高考改编)在锐角三角形ABC中，若sin
A＝2sin
Bsin
C，求tan
Atan
Btan
C的最小值．
【解】 在锐角三角形ABC中，
∵sin
A＝2sin
Bsin
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bsin
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bsin
C，等号两边同除以cos
Bcos
C，得tan
B＋tan
C＝2tan
Btan
C.
∴tan
A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝.①
∵A，B，C均为锐角，
∴tan
Btan
C－1>0，∴tan
Btan
C>1.
由①得tan
Btan
C＝.
又由tan
Btan
C>1得>1，∴tan
A>2.
∴tan
Atan
Btan
C＝
＝
＝(tan
A－2)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当tan
A－2＝，即tan
A＝4时取得等号．
故tan
Atan
Btan
C的最小值为8.
19．(本小题满分16分)规定：max(a，b，c)与min(a，b，c)分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，试证：
(1)max(a，b，c)≥f(1)；
(2)min(a，b，c)≤f(1)．
【证明】 由题意知a，b，c>0，f(1)＝a＋b＋c，Δ＝b2－4ac≥0.
(1)若b≥f(1)，结论显然成立；
下面证明当b记f(1)＝a＋b＋c＝d.，由b2－4ac≥0，可知ac≤d，所以a2＋d2≥a2＋ac＝a(a＋c)>ad，
即>0，解得aa>d.若ad，c>d.
因此，必有a>f(1)或b>f(1)或
c>f(1)，于是max(a，b，c)≥f(1)．
(2)若a≤f(1)，结论显然成立；
下面证明当a>f(1)时，结论也成立．
因为b＋c＝d－acd，
所以c＋整理为<0，
解得c因此，必有a≤f(1)或c20．(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2016年1月的产值都为a万元，甲企业每个月的产值与前一个月相比增加的产值相等，乙企业每个月的产值与前一个月相比增加的百分数相等，到2017年1月两个企业的产值再次相等．
(1)试比较2016年7月甲、乙两个企业产值的大小，并说明理由．
(2)甲企业为了提高产能，决定投入3.2万元买台仪器，并且从2017年2月1日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，(n∈N
)，求前n天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最少时使用的天数？
【解】 (1)设从2016年1月到2017年1月甲企业每个月的产值分别为a1，a2，a3，…，a13，乙企业每个月的产值分别为b1，b2，…，b13，由题意{an}成等差数列，{bn}成等比数列，所以a7＝(a1＋a13)，b7＝，因为a1＝b1，a13＝b13，从而a7＝(a1＋a13)>＝＝b7，
所以到7月份甲企业的产值比乙企业的产值要大．
(2)设一共使用了n天，n天的平均耗资P(n)＝
＝
＝＋＋≥2＋＝(元)，
当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800，即日平均耗资最少时使用了800天．学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和S10＝________.
【解析】 因为3an＋1＋an＝0，所以＝－，所以数列{an}是以－为公比的等比数列．
因为a2＝－，所以a1＝4，所以S10＝＝3(1－3－10)．
【答案】 3(1－3－10)
2．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
【导学号：91730043】
【解析】 因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a3＝4，q＝2，所以S6＝＝63.
【答案】 63
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．
【解析】 易知公比q≠1.
由9S3＝S6，得9·＝，
解得q＝2.
∴是首项为1，公比为的等比数列，
∴其前5项和为＝.
【答案】
4．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝______.
【解析】 ∵Sn＝Aqn－A，∴a＝－1.
【答案】 －1
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a2＋10a1，a5＝9，
所以
解得
所以a1＝.
【答案】
6．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝，a3＝，则＋＋＋＋＝________.
【解析】 设数列{an}的公比为q，则＝a3
∴＋＋1＋q＋q2＝，
∴＋＋＋＋
＝＝31.
【答案】 31
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于________．
【解析】 每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.
【答案】 6
8．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
【解析】 由题意可知，q≠1，
∴Sn＝.
又∵Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，
∴2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2－2qn＝2－qn＋1－qn＋2，
即2＝q＋q2，
∴q＝－2(q＝1不合题意舍去)．
【答案】 －2
二、解答题
9．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
【解】 (1)证明：因为an＝×n－1＝，
Sn＝＝，
所以Sn＝.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
所以{bn}的通项公式为bn＝－.
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式．
【解】 第1年投入800万元，第2年投入800×万元，…，第n年投入800×n－1万元，所以，总投入an＝800＋800×＋…＋800×n－1＝4
000×(万元)．
同理，第1年收入400万元，第2年收入400×万元，…，第n年收入400×n－1万元．所以，总收入bn＝400＋400×＋…＋400×n－1＝1
600×.
[能力提升]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1,
则a＋a＋a＋…＋a等于________．
【解析】 ∵Sn＝，∴ ∴
∵{an}为等比数列，∴{a}也为等比数列，∴a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
【答案】 (4n－1)
2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝________.
【导学号：91730044】
【解析】 当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.即Sn＝
【答案】
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
【解析】 由已知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，
∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.
【答案】
4．已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N
)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N
)．
【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q，由－2S2，S3,4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×n－1＝(－1)n－1×.
(2)证明：Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝.
当n为偶数时，
Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝.
故对于n∈N
，有Sn＋≤.章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
【解析】 法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.
所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.
【答案】 20
2．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝________.
【解析】 法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.
法二：∵{an}是等差数列，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.
【答案】 98
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝kn2，若对所有的n∈N
，都有an＋1>an，则实数k的取值范围是________．
【解析】 由Sn＝kn2，得an＝k(2n－1)．
∵an＋1>an，∴{an}是递增数列，
∴k>0.
【答案】 (0，＋∞)
4．已知数列{an}，an≠0，若a1＝3,2an＋1－an＝0，则a6等于________．
【解析】 因为2an＋1－an＝0，an≠0，所以＝，所以数列{an}是首项为a1＝3，公比为q＝的等比数列，所以an＝a1qn－1＝3×n－1，所以a6＝3×6－1＝.
【答案】
5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.
【解析】 设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，
解得d＝－1，
∴q＝＝＝1.
【答案】 1
6．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
【解析】 当n＝1时，S1＝2a1－1，
∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N
.
【答案】 2n－1，n∈N
7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
【解析】 设三边为a，aq，aq2(q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝，
较小锐角记为θ，则sin
θ＝＝.
【答案】
8．(2016·徐州高二检测)若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则＝________.
【解析】 ＝＝＝＝＝.
【答案】
9．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．
图1
【解析】 从题图中可观察图案的构成规律：
n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；
n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；……
第n个图案比第n－1(n≥2)个图案增加了n个星星．
∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
【答案】 an＝
10．等比数列{an}的公比q<0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2
016项和等于________．
【解析】 由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，
即q2－q－2＝0，又q<0，解得q＝－1，
又a2＝1，∴a1＝－1，
S2
016＝＝0.
【答案】 0
11．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7(n∈N
)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
【解析】 ∵an＝2n－7，
∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，
a5＝3，…，a15＝23，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153.
【答案】 153
12．把正偶数按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是________．
【解析】 按照题中的分组方法，前10组共有1＋2＋…＋10＝＝55个偶数，故第10组的最后一个偶数为110，所以第11组的第2个数是114.
【答案】 114
13．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1
元/m2，顶层由于景观好价格为a2
元/m2，第二层价格为a
元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价
元/m2，则该商品房各层的平均价格为________元/m2.
【解析】 设第二层到第22层的价格构成数列{bn}，则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，故平均价格为(a1＋a2＋23.1a)元/m2.
【答案】 (a1＋a2＋23.1a)
14．给出数阵：
0 1 … 9
1 2 … 10
9
… … …
其中每行、每列均为等差数列，则此数阵所有数的和为________.
【导学号：91730049】
【解析】 设b1＝0＋1＋2＋…＋9，b2＝1＋2＋3＋…＋10，…，b10＝9＋10＋…＋18，则{bn}是首项b1＝45，公差d＝10的等差数列，∴S10＝45×10＋×10＝900.
【答案】 900
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a4－a3＝2，所以d＝2.
又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.
所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
所以q＝2，b1＝4.
所以b6＝4×26－1＝128.
由128＝2n＋2得n＝63，
所以b6与数列{an}的第63项相等．
16．(本小题满分14分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解】 (1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.
∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边乘以2得，2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得，－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
17．(本小题满分14分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N
.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
【解】 (1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n≥2，且n∈N
)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
即an＋1＝4an，n≥2.
又a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，an＝4n－1，所以bn＝log4an＋1＝n.
cn＝an＋bn＝4n－1＋n,
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋.
18．(本小题满分16分)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
【解】 (1)由已知，an＝aqn－1，因此
S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．
当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，
化简得q2－q－1＝0，
解得q＝.
(2)证明：若q＝1，则{an}的每项an＝a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然构成等差数列．
若q≠1，由Sm，Sn，Sl构成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，即＋＝，
整理得qm＋ql＝2qn，
因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k，
所以am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
19．(本小题满分16分)设{an}是正数组成的数列，其前n项和Sn，并且对于所有的n∈N
，都有8Sn＝(an＋2)2.
(1)写出数列{an}的前3项；
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；
(3)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N
都成立的最小正整数m的值．
【解】 (1)当n＝1时，8a1＝(a1＋2)2，
∴a1＝2；
当n＝2时，8(a1＋a2)＝(a2＋2)2，
∴a2＝6；
当n＝3时，8(a1＋a2＋a3)＝(a3＋2)2，
∴a3＝10.
(2)∵8Sn＝(an＋2)2，
∴8Sn－1＝(an－1＋2)2(n>1)，
两式相减得：8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，
即a－a－4an－4an－1＝0，
也即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
∵an>0，∴an－an－1＝4，
即{an}是首项为2，公差为4的等差数列，
∴an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
(3)bn＝＝＝＝.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝－<.
∵Tn<
对所有n∈N
都成立，
∴≥，即m≥10，
故m的最小值是10.
20．(本小题满分16分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2
000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4
000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
【解】 (1)由题意得a1＝2
000(1＋50%)－d
＝3
000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4
500－d，
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d
＝－d
＝2an－2－d－d
＝…
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3
000－d)－2d
＝n－1(3
000－3d)＋2d.
由题意，am＝4
000，即m－1(3
000－3d)＋2d＝4
000，
解得d＝
＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4
000万元．学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，若B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
【解析】 在△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝1，BD＝2，由余弦定理得AD2＝3，故AD＝.
【答案】
2．如图1 2 3所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________
km.
图1 2 3
【解析】 ∵CA＝CB＝a，
∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
∴AB2＝AC2＋CB2－2×AC×CBcos
∠ACB，
即AB2＝a2＋a2＋a2＝3a2，
∴AB＝a.
【答案】 a
3．如图1 2 4所示，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．
图1 2 4
【解析】 由余弦定理：x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1(舍去)．
【答案】 4
4．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围为________．
【解析】 在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角．所以c2>a2＋b2＝1＋4＝5，即c>，又因c【答案】 (，3)
5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________．
【解析】 设直角三角形三边为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
【答案】 锐角三角形
6．(2016·南通高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若S△ABC＝，则角C的大小为________.
【导学号：91730014】
【解析】 ∵S△ABC＝，
∴absin
C＝×2abcos
C，
∴tan
C＝1，又C∈(0，π)，
∴C＝.
【答案】
7．(2016·扬州高二检测)在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，则A·B等于________．
【解析】 由余弦定理得cos
B＝＝＝.
∴·＝－·B＝－||·||·cos
B＝－7×5×＝－19.
【答案】 －19
8．在△ABC中，若sin2A≤sin2B＋sin2C－sin
Bsin
C，则A的取值范围是________．
【解析】 由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，
即b2＋c2－a2≥bc，
∴2bccos
A≥bc，
∴cos
A≥.
又A∈(0，π)且y＝cos
x在(0，π)上是减函数，故A∈.
【答案】
二、解答题
9．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos
A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
【解】 由cos
A＝，得sin
A＝＝.
又bcsin
A＝30，
∴bc＝156.
(1)·＝bccos
A＝156×＝144.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(c－b)2＋2bc(1－cos
A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝5.
10．(2016·苏州高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B.
(2)若a＝b，判断△ABC的形状．
【解】 (1)证明：由a2＝b(b＋c)得
a2＝b2＋bc，
又cos
B＝＝＝，
∴2sin
Acos
B＝sin
B＋sin
C
＝sin
B＋sin(A＋B)
即sin
B＝sin(A－B)，
∴B＝A－B或A－B＝π－B，
∴A＝2B或A＝π不成立，
故A＝2B.
(2)∵a＝b，∴＝.
又由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，
∴cos
B＝＝＝，
所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
[能力提升]
1．(2015·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos
A＝－，则a的值为________．
【解析】 在△ABC中，由cos
A＝－可得sin
A＝，
所以有解得
【答案】 8
2．如图1 2 5，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C＝________.
图1 2 5
【解析】 设AB＝a，则AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝，cos
A＝＝＝，∴sin
A＝＝.由正弦定理知sin
C＝·sin
A＝×＝.
【答案】
3．在△ABC中，若lg
a－lg
c＝lg
sin
A＝－lg，并且A为锐角，则△ABC为________三角形．
【解析】 ∵lg
a－lg
c＝lg
sin
A＝－lg，
∴＝sin
A＝.
∵A为锐角，∴A＝45°，∵sin
C＝sin
A＝×sin
45°＝1，∴C＝90°.
【答案】 直角
4.如图1 2 6所示，甲船以30
n
mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20
n
mile，当甲船航行20
min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10
n
mile.求乙船的航行速度．
图1 2 6
【解】 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，
∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得，B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos
45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.
∴B1B2＝10.
因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/时)．
答：乙船每小时航行30海里．学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于________．
【解析】 ∵A，B，C成等差数列，∴B是A，C的等差中项，则有A＋C＝2B，又∵A＋B＋C＝180°，
∴3B＝180°，从而B＝60°.
【答案】 60°
2．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项是________．
【解析】 因为a＝＝－，
b＝＝＋，所以＝.
【答案】
3．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
【解析】 由等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11，
∴36＝2(a5＋a8)，
故a5＋a8＝18.
【答案】 18
4．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
【导学号：91730029】
【解析】 ∵{an}，{bn}都是等差数列，∴{an＋bn}也是等差数列，其公差为＝＝7，
∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.
【答案】 35
5．(2016·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是，，，那么这个数列的第101项是________．
【解析】 由已知得2×＝＋，
解得x＝2，
∴a1＝，d＝，
∴a101＝＋100×＝8.
【答案】 8
6．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝________.
【解析】 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
【答案】 8
7．(2016·镇江高二检测)已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则＝________.
【解析】 设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝＝－1，b2＝＝－2，故知＝.
【答案】
8．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)＝________.
【解析】 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝，∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan
＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
【证明】 ∵，，成等差数列，∴＝＋，
即2ac＝b(a＋c)．
∵＋＝＝＝＝＝.
∴，，成等差数列．
10．(2016·扬州高二检测)若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
【解】 显然a－4(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，
则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
[能力提升]
1．(2016·南京高二检测)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．
【解析】 ∵a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(a6＋d)－(a6＋2d)＝a6＝×16＝8.
【答案】 8
2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
【导学号：91730030】
【解析】 设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有
即
解得
则a5＝，故第5节的容积为升．
【答案】
3．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
【解析】 第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，则其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.
【答案】 n2＋n
4．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N
)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵an＋1＝，
∴＝＝3＋，
即－＝3.
即是首项为＝1，公差为3的等差数列．
(2)由(1)得数列的通项公式为＝1＋(n－1)×3＝3n－2，
所以数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．
【解析】 由已知得
∴2b＝a＋，即a2＋b2＝2ab，
∴(a－b)2＝0，
∴a＝b≠0，
∴q＝＝1.
【答案】 1
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1a15＝________.
【解析】 ∵lg(a3a8a13)＝lg
a＝6，
∴a＝106 a8＝102＝100.
又a1a15＝a＝10
000.
【答案】 10
000
3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.
【解析】 ∵{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝－8，联立可解得或 ∴q3＝－或q3＝－2，故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
【答案】 －7
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，an＋1【导学号：91730040】
【解析】 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1∴＝＝2＝.
【答案】
5．已知数列{an}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3a5＝________.
【解析】 ∵a2a6＝2a4，
由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝a，
∴a＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.
【答案】 4
6．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，a＋3b＋c＝10，则a＝________.
【解析】 由题意知a＋c＝2b，
∴5b＝10，b＝2，
∴a＋c＝4.
∵＝，∴a2＝bc，∴a2＝2c，
∴a2＋2a－8＝0，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，a＝b＝2不合题意，∴a＝－4.
【答案】 －4
7．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q＝________.
【解析】 设等差数列为{an}，公差为d，d≠0，则a＝a2·a6，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，化简得d2＝－2a1d.∵d≠0，∴d＝－2a1，
∴a2＝－a1，a3＝－3a1，
∴q＝＝3.
【答案】 3
8．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
【解析】 设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12可得q9＝3，又an－1·anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.
【答案】 14
二、解答题
9．数列{an}是等比数列，
(1)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值；
(2)若a2＝2，a6＝16，求a10；
(3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5.
【解】 (1)∵a3a4a5＝8，∴a＝8，a4＝2.
∴a2a3a4a5a6＝(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a4＝32.
(2)∵a2·a10＝a，
∴a10＝＝＝128.
(3)∵a3·a7＝a，∴a5＝±＝±4.
又∵a5＝a3q2<0，
∴a5＝－4.
10．若a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，试判断△ABC的形状．
【解】 ∵角A，B，C成等差数列，
∴A＋C＝2B，又△ABC中，A＋B＋C＝π，∴B＝.
又∵边a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac，由余弦定理
∴cos
B＝＝＝cos＝，
∴a2＋c2－ac＝ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．若正数a，b，c成公比大于1的等比数列，则当x>1时，下列关于logax，logbx，logcx的说法正确的是________(填序号)．
①成等差数列；②成等比数列；
③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．
【解析】 a，b，c成等比数列，则＝，
即b2＝ac,2logxb＝logxa＋logxc，
即＝＋，
即，，成等差数列．
【答案】 ③
2．(2016·启东高二检测)设{an}是公比为q的等比数列，其前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0，给出下列结论：
①0其中正确的编号为________．
【解析】 根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a99a100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据<0，可知a99，a100一个大于1，一个小于1，因为a1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以01，a100<1，又a99·a101＝a<1，①③正确；T198＝a1a2…a99a100…a197·a198＝(a99a100)99>1，②不正确；T199＝a1a2…a100…a198a199＝(a100)199<1，故④正确．
【答案】 ①③④
3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【解析】 ∵bn＝an＋1，
∴an＝bn－1，
而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，
∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，
∴{an}中的连续四项为－24,36，－54,81，
∴q＝－＝－，
∴6q＝－9.
【答案】 －9
4．若{an}是公差d≠0的等差数列，{bn}是公比q≠1的等比数列，已知a1＝b1＝1，且a2＝b2，a6＝b3.
(1)求d和q；
(2)是否存在常数a，b，使对一切n∈N
都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)由题意得
解得d＝3，q＝4.
(2)假设存在常数a，b.
由(1)得an＝3n－2，bn＝4n－1，
代入an＝logabn＋b，
得3n－2＝loga4n－1＋b，
即(3－loga4)n＋(loga4－b－2)＝0对n∈N
都成立，
∴
∴
所以存在常数a＝，b＝1使等式成立．学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知等差数列{an}的通项公式是an＝3n，则其公差是________．
【解析】 an－an－1＝3n－3(n－1)＝3.
【答案】 3
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列为________(填序号)．
(1)是公差为2的等差数列；
(2)是公差为5的等差数列；
(3)是首项为5的等差数列；
(4)是公差为n的等差数列．
【解析】 ∵an＝2n＋5，
∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－2n－5＝2.
又a1＝2×1＋5＝7，
故(1)正确．
【答案】 (1)
3．等差数列3,7,11，…的第4项是________．
【解析】 由题意可知7－3＝a4－11，∴a4＝15.
【答案】 15
4．已知数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，若an＝2
017，则项的序号n等于________．
【解析】 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d得2
017＝1＋(n－1)·3，解得n＝673.
【答案】 673
5．已知数列{an}为等差数列a3＝，a7＝－，则a15＝________.
【解析】 法一 由
得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋(15－1)d
＝＋14×＝－.
法二 由a7＝a3＋(7－3)d，
即－＝＋4d，解得d＝－.
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
【答案】 －
6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
【解析】 设an＝－24＋(n－1)d，
由
解得【答案】
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按图2 2 1的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖________块．
图2 2 1
【解析】 显然构成一个等差数列，且首项a1＝6，公差d＝4，∴第n个图案中有an＝6＋4(n－1)＝4n＋2块白色地面砖．
【答案】 4n＋2
8．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则它们的公共项的个数有________．
【解析】 设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，
则a1＝11.
∵数列5,8,11…与3,7,11…的公差分别为3和4，
∴{an}的公差d＝3×4＝12，
∴an＝11＋12(n－1)＝12n－1.
又∵5,8,11，…与3,7,11…的第100项分别为302和399，
∴an＝12n－1≤302，即n≤25.5.
又n∈N
，
∴两数列有25个相同的项．
【答案】 25
二、解答题
9．若等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
【解】 由题意知
∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式an＝2n.
10．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝，
又∵b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)可知bn＝＋(n－1)×＝，
又由bn＝可知，an＝2＋＝2＋.
[能力提升]
1．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是________(填序号)．
①{an＋3}；②；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤.
【解析】 ∵{an}成等差数列，
∴an＋1－an＝d(常数)．
∴{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}均是等差数列，
{a}，未必是等差数列．
【答案】 ①③④
2．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.
【导学号：91730026】
【解析】 由题设可得－＋1＝0，
即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
【答案】 n2
3．如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________.
【解析】 因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}为21项的对称数列，所以c2＝c20＝19.
【答案】 19
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【解】 (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，
公差为d＝的等差数列．
(2)由上述可知
＝＋(n－1)d＝，∴an＝.学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
【解析】 画出可行域(如图所示)．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由解得B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
【答案】 4
2．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
【解析】 画出可行域，如图所示，
由解得A(－2,2)，
设z＝2x－y，
把z＝2x－y变形为y＝2x－z，
则直线经过点A时z取得最小值，
所以zmin＝2×(－2)－2＝－6.
【答案】 －6
3．给出平面区域如图3 3 8所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为________．
图3 3 8
【解析】 由于直线y＝－ax＋z的斜率－a<0，因此，要使z＝ax＋y取最大值的最优解有无穷多个，这些解必在线段AC上．
∴－a＝－，即a＝.
【答案】
4．若实数x，y满足则的取值范围是________.
【导学号：91730064】
【解析】 可看作可行域中的点与原点构成直线的斜率，结合图形可解，≥kOA＝.
【答案】
5．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1
600元/辆和2
400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________．
【解析】
设租A型车x辆，B型车y辆，租金为z，则
画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z＝1
600x＋2
400y在点N(5,12)处取得最小值36
800.
【答案】 36
800
6．设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝<1，
故最小距离为.
【答案】
7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
【解析】 由已知不等式组作可行域，如图阴影部分所示，
令x＋2y＝k，
则y＝－x＋，
问题由求k的最小值转化为求直线y＝－x＋的纵截距的最小值．
显然当直线y＝－x＋过原点O时，截距最小，此时kmin＝0，z＝3x＋2y的最小值为1.
【答案】 1
8．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
【解析】 画出可行域如图．
其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)．
当k＝0时，显然不符合题意；
当k>0时，最大值在点C处取得，此时12＝4k＋4，即k＝2；
当k<0时，最大值在点A处或C处取得，此时12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝>0(舍)或k＝2>0(舍)，故k＝2.
【答案】 2
二、解答题
9．已知实数x，y满足约束条件(a∈R)，目标函数z＝x＋3y只有当时取得最大值，求a的取值范围．
【解】 直线x－ay－1＝0过定点(1,0)，画出区域让直线x－ay－1＝0绕着(1,0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x＋3y＝0，观察图象知必须使直线x－ay－1＝0的斜率>0才满足要求，故a>0.
10．某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
即
目标函数为z＝3
000x＋2
000y.作出可行域如图所示：
作直线l：3
000x＋2
000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值．
由得M(100,200)．
∴zmax＝3
000×100＋2
000×200＝700
000(元)．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
[能力提升]
1．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于________．
【解析】 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点A(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝.
【答案】
2．(2014·浙江高考)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 作可行域如图所示，
设z＝ax＋y，若a≤0，平移可知不成立，故a>0，解得B(2,1)，解得A(1,0)，由a×1＋0＝1得a＝1，由a×2＋1＝4得a＝，
∴a∈.
【答案】
3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________．
【解析】 由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，
z最大，将点(，2)代入z＝x＋y得z的最大值为4.
【答案】 4
4．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
【解】 (1)法一 ∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，
∴解得
即＝(2,2)，故||＝2.
法二 ∵＋＋＝0，
则(－)＋(－)＋(－)＝0，
∴＝(＋＋)＝(2,2)，
∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，
∴
两式相减得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)
1．(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
【解析】 ∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.
【答案】 2
2．在△ABC中，已知c＝6，a＝4，B＝120°，则b＝________.
【解析】 由b2＝16＋36－2×4×6cos
120°，
得b＝2.
【答案】 2
3．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝________.
【解析】 sin
B＝＝＝.
又aA，∴B＝60°或120°.
【答案】 60°或120°
4．在△ABC中，化简bcos
C＋ccos
B＝________.
【解析】 利用余弦定理，得bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝a.
【答案】 a
5．在△ABC中，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝2∶3∶4，则cos
C＝________.
【解析】 ∵sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4.
设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则
cos
C＝＝－.
【答案】 －
6．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝220，则a＝________.
【解析】 由bcsin
A＝220，可知c＝55.
又a2＝b2＋c2－2bccos
A＝2
401，
∴a＝49.
【答案】 49
7．在△ABC中，若sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是________．
【解析】 ∵＝＝，
∴c＝sin
C，∴0【答案】
8．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是________．(填序号)
【导学号：91730018】
(1)a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
(2)b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
(3)a＝5，c＝2，A＝90°，无解；
(4)a＝30，b＝25，A＝150°，有一解．
【解析】 (1)中，∵＝，
∴sin
B＝＝1，
∴B＝90°，即只有一解；
(2)中，sin
C＝＝，且c>b，
∴C>B，故有两解；
(3)中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，即有解，故(1)(2)(3)都不正确．所以答案为(4)．
【答案】 (4)
9．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos
2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.
【解析】 化简23cos2A＋cos
2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos
A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos
A，代入数据解方程，得b＝5.
【答案】 5
10．在△ABC中，若＝＝，那么△ABC是________三角形．
【解析】 由正弦定理得，＝＝，
∴sin
＝sin
＝sin
.∵0<，，<，
∴＝＝，即A＝B＝C，∴△ABC是等边三角形．
【答案】 等边
11．如图1所示，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，的模为2，的模为3，的模为1，那么的模为________．
图1
【解析】 由三角形内角平分线的性质得
||∶||＝||∶||，
故||＝.
【答案】
12．如图2所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1
000
m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.
图2
【解析】 由题可知，∠SAB＝45°－30°＝15°，又∠SBD＝15°，∴∠ABS＝45°－15°＝30°，AS＝1
000.
由正弦定理可知＝，∴BS＝2
000sin
15°，∴BD＝BS·sin
75°＝2
000sin
15°cos
15°＝1
000sin
30°＝500，且DC＝1
000sin
30°＝500，∴BC＝DC＋BD＝1
000
m.
【答案】 1
000
13．已知角A，B，C是三角形ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝，n＝，m⊥n，且a＝2，cos
B＝，则b＝________.
【解析】 ∵m·n＝0，
∴2sin
cos－2cos2＝0，∵cos
≠0，
∴tan
＝，∴＝30°，∴A＝60°，
∵＝，sin
B＝＝，
∴b＝＝＝.
【答案】
14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cos
C，则＋的值是________．
【解析】 ∵＋＝6cos
C，
∴＝6·，
即a2＋b2＝c2，
∴＋
＝tan
C
＝
＝＝4.
【答案】 4
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及.
【解】 由b2＝ac及a2－c2＝ac－bc，得b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC中，cos
A＝＝.
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理得sin
B＝.
又∵b2＝ac，A＝60°，
∴＝＝sin
60°＝.
16．(本小题满分14分)(2016·扬州高二检测)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos
B＝.
(1)若b＝4，求sin
A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
【解】 (1)∵cos
B＝>0，且0∴sin
B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin
A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin
B＝4，
∴×2×c×＝4，∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
17．(本小题满分14分)(2016·南京高二检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
【解】 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝
＝，
所以＝，
即(cos
A－2cos
C)sin
B
＝(2sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin
C＝2sin
A.
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a，
由余弦定理及cos
B＝得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，
所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，从而a＝1，
因此b＝2.
18．(本小题满分16分)在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin
A＝(2b＋c)sin
B＋(2c＋b)sin
C.
(1)求A的大小；
(2)若sin
B＋sin
C＝1，试判断△ABC的形状.
【导学号：91730019】
【解】 (1)由2asin
A＝(2b＋c)sin
B＋(2c＋b)sin
C，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴2bccos
A＝－bc，
∴cos
A＝－，又A∈(0，π)，
∴A＝.
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin
Bsin
C，
又sin
B＋sin
C＝1，得sin
B＝sin
C＝.
又B，C∈，故B＝C.
所以△ABC是等腰三角形．
19．(本小题满分16分)(2016·镇江高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－.
(1)求sin
A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．
【解】 (1)由cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－，得cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin
B＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos
A＝－.
又0A＝.
(2)由正弦定理，有＝，
所以sin
B＝＝.
由题知a>b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(负值舍去)．
故向量在方向上的投影为||cos
B＝.
20．(本小题满分16分)如图3，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50
m/min.在甲出发2
min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1
min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130
m/min，山路AC长为1
260
m，经测量，cos
A＝，cos
C＝.
图3
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解】 (1)在△ABC中，因为cos
A＝，cos
C＝，
所以sin
A＝，sin
C＝.
从而sin
B＝sin
＝sin(A＋C)
＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C
＝×＋×＝.
由＝，得
AB＝×sin
C＝×＝1
040(m)．
所以索道AB的长为1
040
m.
(2)设乙出发t
min后，甲、乙两游客距离为d
m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t
m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×
＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝
min时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由＝，得BC＝×sin
A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710
m才能到达C.
设乙步行的速度为v
m/min，由题意得－3≤－≤3，
解得≤v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3
min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知△ABC的面积为且b＝2，c＝2，则A＝______.
【解析】 ∵S△ABC＝bcsin
A，b＝2，c＝2，
∴×2×2sin
A＝，
∴sin
A＝.
又A∈(0，π)，
∴A＝或.
【答案】 或
2．海上有A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________
n
mile.
【解析】 如图所示，
易知C＝45°，
由正弦定理得＝，
∴BC＝＝5.
【答案】 5
3．(2016·苏州高二检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.
【导学号：91730006】
【解析】 由正弦定理知，＝，结合条件得c＝＝2.
又sin
A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝，
所以△ABC的面积S＝bcsin
A＝＋1.
【答案】 ＋1
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.
【解析】 由正弦定理得＝，∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴＝.
∵A为三角形的内角，∴sin
A≠0，∴cos
A＝.
又0＜A＜π，∴A＝，∴B＝2A＝.
∴C＝π－A－B＝，即△ABC为直角三角形，
由勾股定理得c＝＝2.
【答案】 2
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为________．
【解析】 由正弦定理得，原式＝＝22－1＝2×2－1＝.
【答案】
6．(2016·泰州高二检测)在△ABC中，a＝2bcos
C，则这个三角形一定是________三角形．
【解析】 由a＝2bcos
C可知
sin
A＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B＋C)＝2sin
Bcos
C，
∴sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
Bcos
C，
∴sin(B－C)＝0，
∴B＝C，∴b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 等腰
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin
B·cos
C＋csin
Bcos
A＝b，且a>b，则B＝________.
【解析】 根据正弦定理将边化角后约去sin
B，得sin(A＋C)＝，所以sin
B＝，又a>b，所以A>B，所以B＝.
【答案】
8．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为________．
【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α，
∴＝，
∴2sin(120°－α)＝(＋1)sin
α，
∴sin
α＝cos
α，∴α＝45°，
∴最大角为120°－45°＝75°.
【答案】 75°
二、解答题
9．一船以每小时15
km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4
h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．
【解】 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
∴∠ABC＝45°，AC＝60.根据正弦定理，
得BC＝＝＝30(km)．
10．在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，用正弦定理证明：＝.
【证明】 如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，
在△ABD中，由正弦定理得
＝，①
在△ADC中，由正弦定理得
＝，②
又sin∠1＝sin∠2，sin∠3＝sin∠4，
故得＝.
[能力提升]
1．在△ABC中，＝，则△ABC的形状一定是________．
【解析】 在△ABC中，∵＝，
∴acos
A＝bcos
B，由正弦定理，
得2Rsin
Acos
A＝2Rsin
Bcos
B，
∴sin
2A＝sin
2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，
∴A＝B或A＋B＝90°.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【答案】 等腰或直角三角形或等腰直角三角形
2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则的取值范围为________．
【解析】 在锐角三角形ABC中，A，B，C均小于90°，
即∴30°由正弦定理知：
＝＝＝2cos
B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
【答案】 (，)
3．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).
【导学号：91730007】
【解析】 在△ABC中，A＋B＋C＝π可知C＝－B.
由正弦定理得
＝＝，
∴AB＝2sin，
AC＝2sin
B，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2·＋3＝3＋6sin.
【答案】 3＋6sin
4．(2016·如东高二检测)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos
A的值；
(2)求c的值．
【解】 (1)因为a＝3，b＝2，B＝2A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，
故cos
A＝.
(2)由(1)知cos
A＝，所以sin
A＝＝.
又B＝2A，所以cos
B＝2cos2
A－1＝，
所以sin
B＝＝.
在△ABC中，sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，
所以c＝＝5.学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在等比数列{an}中，a4＝2，a7＝8，则an＝________.
【解析】 因为
所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
【答案】 2
2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________．
【解析】 由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
【答案】 －24
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________.
【解析】 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
【答案】 －3 9
4．在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.
【解析】 由a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
【答案】 2
5．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________.
【解析】 ∵{an}为等比数列，
∴＝q＝2.
又∵a1＋a2＝3，
∴a1＝1.
故a7＝1·26＝64.
【答案】 64
6．若{an}是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．
①{a}；②{a2n}；③；④{lg|an|}．
【解析】 考查等比数列的定义，验证第n＋1项与第n项的比是否为常数．
【答案】 ①②③
7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．
【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝，
∴这4个数依次为80,40,20,10.
【答案】 80,40,20,10
8．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝________.
【导学号：91730037】
【解析】 记数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1，得a1＝±1，当a1＝－1时，a5＝－16a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
【答案】 (－2)n－1
二、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项，公比．
【解】 设该数列的公比为q.
由已知，得
所以解得
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an.
【解】 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，
a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
下面证明{an－n}是等比数列：
由a2＝－4，a3＝－15可知，an≠n.
∵
＝＝
＝3(n＝1,2,3，…)．
又a1－1＝－2，∴{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1.
[能力提升]
1．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于________．
【解析】 由题意知a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，
得a1＝d，∴＝＝.
【答案】
2．已知{an}是等比数列，an>0，又知a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝________.
【解析】 ∵a2a4＝a，a4a6＝a，∴a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵an>0，∴a3＋a5＝5.
【答案】 5
3．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
【解析】 由an＝2Sn－3，得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，
∴an＝－an－1(n≥2)，＝－1(n≥2)．
故{an}是公比为－1的等比数列，
令n＝1，得a1＝2a1－3，
∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.
【答案】 an＝3·(－1)n－1
4．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．
【解】 设这3个数分别为，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.
(1)若－2为－和－2q的等差中项，
则＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，
解得q＝1，与已知矛盾，舍去；
(2)若－2q为－和－2的等差中项，
则＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；
(3)若－为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝，
∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，
∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.
故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式为an＝________.
【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n；
当n＝1时，a1＝S1＝2也适合上式，∴an＝2n(n∈N
)．
【答案】 2n(n∈N
)
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数n为________．
【解析】 ∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
【答案】 120
3．若数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，则其前9项的和S9＝________.
【解析】 S9＝(－1＋1)＋(－1＋1)＋(－1＋1)＋…＋(－1＋1)－1＝－1.
【答案】 －1
4．若{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝________.
【解析】 ∵an＝＝－，
∴S5＝1－＋－＋－＋－＋－＝1－＝.
【答案】
5．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N
)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
【解析】 由an＝2n－10(n∈N
)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
【答案】 130
6．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝________.
【导学号：91730047】
【解析】 a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(3×9－2)＋(－1)10(3×10－2)]＝3×5＝15.
【答案】 15
7．(2016·南京高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．
【解析】 由题意可知
∴a1＝1，d＝1，
∴an＝n，
∴＝＝－.
∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.
【答案】
8．6＋66＋666＋…66…6
＝________.
【解析】 设an＝66…66＝(10n－1)，
∴Sn＝(101＋102＋…＋10n)－n＝·－n＝.
【答案】
二、解答题
9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
【解】 (1)因为S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，所以Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2，
所以an＝
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝，
所以a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝1＋＝.
10．(2015·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N
)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N
)．
(1)求an与bn；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.
【解】 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N
)．
由题意知：
当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，
所以bn＝n(n∈N
)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N
)．
[能力提升]
1．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？________.(填数字)
【解析】 远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a1.
代入公式Sn＝，
即381＝，∴a1＝＝3.
∴此塔顶有3盏灯．
【答案】 3
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.
【导学号：91730048】
【解析】 ∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an
＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln
n.
又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln
2－ln
1＋ln
3－ln
2＋ln
4－ln
3＋…＋ln
n－ln(n－1)]＝2＋ln
n－ln
1＝2＋ln
n.
【答案】 2＋ln
n
3．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________．
【解析】 a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝[f(1)＋f(2)]＋[f(2)＋f(3)]＋…＋[f(100)＋f(101)]
＝(12－22)＋(－22＋32)＋(32－42)＋…＋(－1002＋1012)
＝－3＋5－7＋9－…－99＋101＝2×50＝100.
【答案】 100
4．n2(n≥4)个正数排成n行n列：
a11 a12 a13 a14 … a1n
a21 a22 a23 a24 … a2n
a31 a32 a33 a34 … a3n
…
… …
… … …
an1 an2 an3 an4 … an
n
其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24＝1，a42＝，a43＝，求a11＋a22＋a33＋…＋an
n.
【解】 设第一行的公差为d，各列公比为q，则得a1k＝a11＋(k－1)d，
a24＝a14q＝(a11＋3d)q＝1，①
a42＝a12q3＝(a11＋d)q3＝，②
a43＝a13q3＝(a11＋2d)q3＝，③
由①②③，解得a11＝d＝q＝.
∴akk＝a1kqk－1＝[a11＋(k－1)d]qk－1＝.
设Sn＝a11＋a22＋a33＋…＋an
n，
则Sn＝＋＋＋…＋，④
Sn＝＋＋＋…＋，⑤
④－⑤得，
Sn＝＋＋＋…＋－＝1－.
∴Sn＝2－，
即a11＋a22＋a33＋…＋an
n＝2－.学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．设0【解析】 ∵00，
∴y＝x(3－2x)＝2·x
≤22＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，取“＝”，
∴函数y＝x(3－2x)的最大值为.
【答案】
2．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.
【导学号：91730071】
【解析】 ∵x2＋y2＋xy＝1，
∴(x＋y)2＝1－xy≤1－2，
∴(x＋y)2≤，∴x＋y≤.
【答案】
3．设x，y满足x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)，则lg
x＋lg
y的最大值是________．
【解析】 ∵x＋4y＝40，且x，y∈(0，＋∞)，
∴4xy≤2＝(20)2＝400，当且仅当x＝4y时等号成立．
∴lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝lg
(x·4y)≤lg
＝2.
【答案】 2
4．已知x≥，则f(x)＝的最小值为________．
【解析】 f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．
【答案】 1
5．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为________．
【解析】 ∵点P(x，y)在直线AB上，
∴x＋2y＝3，
∴2x＋4y≥2＝2
＝4.
【答案】 4
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【解析】 设仓库距离车站为x千米，则y1＝，y2＝k2x.由题意可知，
2＝，8＝k2·10，
∴k1＝20，k2＝，
∴y＝＋x.
∵＋x≥2＝8，
当且仅当＝x，即x＝5时取等号．
∴x＝5千米时，y取得最小值．
【答案】 5
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
【导学号：91730072】
【解析】 因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
【答案】
8．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v(单位：km/h)之间有函数关系：g＝(v－50)2＋5(0【解析】 设每千米汽油平均消耗量为y，则y＝g·＝
＝
＝v＋－≥2－＝(当且仅当v＝，即v＝50时，取“＝”)．
∴当v＝50
km/h时，汽油的使用效率最高．
【答案】 50
二、解答题
9．设a＋b＝2，b>0，求＋的最小值．
【解】 因为＋＝＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋的最小值是.
10．某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图3 4 1所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3
000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米．
图3 4 1
(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；
(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？
【解】 (1)由已知xy＝3
000,2a＋6＝y，则y＝(6≤x≤500)，
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·＝(x－5)(y－6)＝3
030－6x－(6≤x≤500)．
(2)S＝3
030－6x－≤3
030－2
＝3
030－2×300＝2
430，
当且仅当6x＝，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50，y＝60，Smax＝2
430.
即设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2
430平方米．
[能力提升]
1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．
【解析】 由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2.
所以＝＝≤＝1，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，
此时z＝2y2，max＝1.
＋－＝＋－＝－＋
＝－2＋1≤1，当y＝1时，取等号．
【答案】 1
2．若a＞b＞0，则代数式a2＋的最小值为________．
【解析】 依题意得a－b＞0，所以代数式a2＋≥a2＋＝a2＋≥
2＝4，当且仅当即a＝，
b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4.
【答案】 4
3．设a>b>c，且＋≥恒成立，则m的取值范围是________.
【导学号：91730073】
【解析】 由a>b>c，知a－b>0，a－c>0，b－c>0，
∴原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．
∴m≤4，即m∈(－∞，4]．
【答案】 (－∞，4]
图3 4 2
4．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图3 4 2所示，要求∠ACB＝60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？
【解】 设BC＝a(a>1)，AC＝b，
则AB＝b－0.5，
∵(b－0.5)2＝b2＋a2－2abcos
60°，
∴－b＋0.25＝a2－ab，
整理得b＝.
令a－1＝t(t>0)，
∴a＝t＋1，
∴b＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝2＋
.
综上，当BC＝1＋米时AC最短，为2＋米．学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．
【解析】 原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0 (x－b)(x＋a)>0.
又a＋b<0，∴b<－a.
∴原不等式的解集为{x|x>－a或x【答案】 {x|x>－a或x2．若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在1【解析】 令f(x)＝2x2－8x－4－a＝2(x－2)2－12－a数形结合知只需f(4)>0即可，
即2×42－8×4－4－a>0，解得a<－4.
【答案】 (－∞，－4)
3．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
【解析】 令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
则x∈(0,1]时，
f(x)min＝f(1)＝12－4×1＝－3，
∴m≤－3.
【答案】 (－∞，－3]
4．若f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是________.
【导学号：91730058】
【解析】 由题意知，kx2－6kx＋8≥0对任意实数x恒成立．
当k＝0时，8≥0显然成立，
当k≠0时，需满足：
解得0【答案】
5．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集为 ，则实数a的取值范围是__________．
【解析】 ∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为 ，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，
∴a2－2a－3<0，
∴－1【答案】 (－1,3)
6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0【解析】 y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，∴x2＋50x－30
000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．
【答案】 150
7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
【解析】 因为x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，所以k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2且k≠0.
【答案】 k≥4或k≤2且k≠0
8．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x成立，则a的取值范围是__________.
【导学号：91730059】
【解析】 由题意可知，(x－a) (x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，
∴原不等式可化为(x－a)(1－x－a)<1.
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
所以只需Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)<0.
解得－【答案】
二、解答题
9．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．
【解】 ①a＝－2时，原不等式 －1≥0无解．
②当
－2由①②知－2≤a<.
10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式>0(c为常数)．
【解】 (1)由题知a>0，且1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，
即∴a＝1，b＝2，
(2)不等式等价于(x－c)(x－2)>0，
当c>2时
，其解集为{x|x>c或x<2}，
当c<2时，其解集为{x|x>2或x当c＝2时，其解集为{x|x≠2}．
[能力提升]
1．关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由已知得若不等式组有解，
∴2a＋4>a2＋1，
即a2－2a－3<0，
∴－1【答案】 (－1,3)
2．对任意a∈[－2,3]，不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0恒成立，则x的取值范围为________．
【解析】 设f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a
＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
由已知条件得
即
∴
∴x<0或x>5.
【答案】 (－∞，0)∪(5，＋∞)
3．若a＋1>0，则不等式x≥的解集为________．
【解析】 ∵x≥＝＝x－1－，
∴1≥－，
∴≥0，∴(x＋a)(x－1)≥0.
又a＋1>0，∴1>－a，
∴原不等式的解集为{x|x≥1或x≤－a}．
【答案】 {x|x≥1或x≤－a}
4．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3
000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【解】 (1)根据题意，得200≥3
000，即5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.
(2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104.故当x＝6时，ymax＝457
500，即甲厂以6千克/小时的速度生产该产品获得的利润最大，最大利润为457
500元．学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin
A∶sin
B的值是________．
【解析】 由正弦定理可知，sin
A∶sin
B＝a∶b＝5∶3.
【答案】 5∶3
2．在△ABC中，若A＝75°，B＝60°，c＝2，则b＝________.
【解析】 在△ABC中，C＝180°－A－B＝45°，
∴b＝＝＝.
【答案】
3．在△ABC中，若＝，则C的值为________．
【解析】 由正弦定理可知，＝，
又＝，
∴＝，
即tan
C＝1,0°∴C＝45°.
【答案】 45°
4．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________.
【解析】 在△ABC中，根据正弦定理＝，有＝，可得sin
B＝.因为∠A为钝角，所以∠B＝.
【答案】
5．在△ABC中，已知a＝4，b＝4，A＝60°，则c＝________.
【导学号：91730002】
【解析】 由＝，得sin
B＝sin
A＝×＝.
∵b∴B＝45°，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝a＝4×
＝2(＋)．
【答案】 2(＋)
6．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则满足条件的三角形有________个．
【解析】 A＝150°>90°，∵a>b，∴满足条件的三角形有1个．
【答案】 1
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长为________．
【解析】 易得A＝75°，∴B为最小角，即b为最短边，
∴由＝，得b＝.
【答案】
8．(2016·苏州高二检测)在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝________.
【解析】 由A∶B∶C＝1∶2∶3，可知A＝，B＝，C＝.
∴a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝∶∶1
＝1∶∶2.
【答案】 1∶∶2
二、解答题
9．在△ABC中，若a＝2，A＝30°，讨论当b为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？
【解】 当a30°，即b>4时，
无解；
当a≥b或a＝bsin
A，即b≤2或b＝4时，有一解；
当bsin
A10．在△ABC中，b＝2a，B＝A＋60°，求角A.
【解】 根据正弦定理＝，把b＝2a代入得＝，
∴sin
B＝2sin
A.
又∵B＝A＋60°，
∴sin(A＋60°)＝2sin
A，
展开得－sin
A＋cos
A＝0，
∴sin(A－30°)＝0，
解得A＝30°.
[能力提升]
1．(2016·南通高二检测)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin
B＝b，则角A等于________．
【解析】 由正弦定理可得，2asin
B＝b可化为2sin
Asin
B＝sin
B，又sin
B≠0，即sin
A＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.
【答案】
2．(2014·广东高考)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos
C＋ccos
B＝2b，则＝________.
【解析】 因为bcos
C＋ccos
B＝2b，
所以sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝2sin
B，
故sin(B＋C)＝2sin
B.
故sin
A＝2sin
B，则a＝2b，即＝2.
【答案】 2
3．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是____________.
【导学号：91730003】
【解析】 因为三角形有两解，所以asinB即x<2【答案】 (2,2)
4．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
【解】 法一 ∵acos＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理可得a·＝b·，
∴a2＝b2，
即a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二 ∵acos＝bcos，
∴asin
A＝bsin
B.
由正弦定理可得2Rsin2A＝2Rsin2B，
即sin
A＝sin
B.
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．