[学业水平训练]
1．已知a＝(3，－1)，b＝(－1，2)，若ma＋nb＝(10，0)(m，n∈R)，则m＝________，n＝________．
解析：∵ma＋nb＝m(3，－1)＋n(－1，2)
＝(3m－n，－m＋2n)＝(10，0)，
∴∴m＝4，n＝2.
答案：4 2
若A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)三点共线，则x＝________．
解析：∵A、B、C三点共线，
∴∥，又＝(2，4)，＝(x＋1，6)，
∴2×6－4(x＋1)＝0，解得x＝2.
答案：2
3．若向量＝(1，2)，＝(3，4)，则＝________．
解析：∵＝＋，
∴＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．
答案：(4，6)
4．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝__________．
解析：＝(4－k，－7)，＝(－2k，－2)，又A，B，C三点共线，所以∥.所以(－2)×(4－k)－(－7)×(－2k)＝0，所以k＝－.
答案：－
5．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
解析：∵a＝(1，2)，b＝(2，3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.∴λ＝2.
答案：2
6．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2的形式为__________．
解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，
则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)
＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
∴解得
∴a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
7．已知平面向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c(4，1)．
(1)若(a＋kc)∥(b－2a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
解：(1)∵a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，
b－2a＝(－7，－2)，
∵(a＋kc)∥(b－2a)，
∴－2×(3＋4k)－(－7)(2＋k)＝0，∴k＝8.
(2)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，
由题意得，
即，
消去y整理得x2－8x＋15＝0，解得x＝3或x＝5.
∴或.∴d＝(3，－1)或(5，3)．
8．已知平面上三点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求D点的坐标，使得这四个点构成的四边形为平行四边形．
解：以AC为对角线作平行四边形AD1CB，设顶点D1的坐标为(x1，y1)．因为＝(1，2)，＝(3－x1，4－y1)，由＝，得(1，2)＝(3－x1，4－y1)，所以所以所以顶点D1的坐标为(2，2)．
以BC为对角线作平行四边形ACD2B，设顶点D2的坐标为(x2，y2)．因为＝(5，3)，＝(x2＋1，y2－3)，由＝，得(5，3)＝(x2＋1，y2－3)，所以所以所以顶点D2的坐标为(4，6)．
以AB为对角线作平行四边形D3ACB，设顶点D3的坐标为(x3，y3)．因为＝(5，3)，＝(－1－x3，3－y3)，由＝，得(5，3)＝(－1－x3，3－y3)，所以所以所以顶点D3的坐标为(－6，0)．
综上，所求点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．
[高考水平训练]
(2014·盐城质检)设a＝(1，sin
α)，b＝(，cos
α)，且a∥b，则锐角α的值为________．
解析：因为a∥b，所以＝，即tan
α＝，
又因为α为锐角，所以α＝30°.
答案：30°
点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为__________．
解析：不妨设5秒后移动到点P′.据题意有：＝tv＝t(4，－3)＝(4t，－3t)．由于点P的运动方向与v同向且速度为每秒|v|＝5个单位，故5秒运动25个单位，即：|PP′|＝25，∴25t2＝252，∴t＝±5，
又∵与v同向，∴t＝5，
∴＝5(4，－3)＝(20，－15)，∴P′(10，－5)．
即5秒后点P的坐标为(10，－5)．
答案：(10，－5)
已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解：(1)设B(x1，y1)．
∵＝(4，3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
∴解得
∴B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴M(－，－1)．
(2)∵＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
＝λ，∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)，
∴解得
4．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限内？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解：(1)由已知得：＝(1，2)，＝(3，3)，
则＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)．
若P在x轴上，只需2＋3t＝0，则t＝－；
若P在y轴上，只需1＋3t＝0，则t＝－；
若P在第二象限内，只需1＋3t＜0，且2＋3t＞0，
解得－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(4，5)，＝(1＋3t，2＋3t)，
则＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，只需＝，
即此方程组无解，
故四边形OABP不能组成平行四边形．(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．
解析：原式＝cos
[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos
60°＝.
答案：
2．计算2cos2－1的值为________．
解析：2cos2－1＝cos(2×)＝cos＝.
答案：
已知tan
α＝－，则tan(α＋π)的值是________．
解析：tan(α＋π)＝＝
＝－.
答案：－
函数y＝sin
x·(cos
x＋sin
x)的最小正周期T＝________．
解析：y＝sin
x(cos
x＋sin
x)＝sin
xcos
x＋sin2x
＝sin
2x＋＝(sin
2x－cos
2x)＋
＝sin(2x－)＋，
∴最小正周期T＝π.
答案：π
5．tan
18°＋tan
42°＋tan
18°tan
42°＝________．
解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan
18°tan
42°)＋tan
18°·tan
42°＝(1－tan
18°tan
42°)＋tan
18°tan
42°＝.
答案：
已知α是第二象限角，且cos
α＝－，则tan
2α＝________．
解析：由α是第二象限角，且cos
α＝－，得sin
α＝；
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，cos
2α＝cos2α－sin2α＝；
∴tan
2α＝＝－.
答案：－
已知sin
2α＝，则tan
α＋＝________．
解析：tan
α＋＝＋＝
＝＝6.
答案：6
若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________．
解析：由已知得：sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，
sin
αcos
β－cos
αsin
β＝，
∴sin
αcos
β＝，cos
αsin
β＝－，
∴＝＝－5.
答案：－5
＝________．
解析：原式＝＝＝2.
答案：2
若α是第三象限角，且sin
α＝－，则tan等于________．
解析：∵α是第三象限角，且sin
α＝－，
∴cos
α＝－＝－，
∴tan＝＝＝－.
答案：－
已知cos
α＝－，则＝________．
解析：＝
＝＝＝－.
答案：－
计算＝________．
解析：原式＝
＝＝1.
答案：1
函数f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x的最大值为________．
解析：∵f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x＝1＋cos
2x＋sin
2x＝1＋sin(2x＋)，
∴当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值1＋.
答案：1＋
已知B是△ABC的一个内角，设f(B)＝4sin
B·cos2＋cos
2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f(B)＝4sin
Bcos2＋cos
2B
＝4sin
B＋cos
2B
＝2sin
B(1＋sin
B)＋(1－2sin2B)
＝2sin
B＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，
∴m>2sin
B－1恒成立．
∵0
B≤1.
∴－1<2sin
B－1≤1，故m>1.
答案：(1，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝，sin
α＝，且α∈(0，)，β∈(－，0)，求sin
β的值．
解：由已知得：－β∈(0，)，又α∈(0，)，
∴α－β∈(0，π)；
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝；
由α∈(0，)及sin
α＝得cos
α＝；
∴sin
β＝sin
[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
＝×－×＝＝－.
(本小题满分14分)已知α∈(0，)，sin
α＝，求tan
2α和sin(2α＋)的值．
解：由已知得cos
α＝，∴tan
α＝，
∴tan
2α＝＝＝.
∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π)，
∵tan
2α＝>0，∴2α∈(0，)，
∴sin
2α＝，cos
2α＝.
∴sin(2α＋)＝sin
2α·cos＋cos
2α·sin＝×＋×＝.
(本小题满分14分)如图，A、B是单位圆O上的点，C是圆O与x轴正半轴的交点，点A的坐标为(，)，△AOB为正三角形．求sin
∠COA
和cos
∠COB的值．
解：∵点A的坐标为(，)，根据三角函数定义可知：x＝，y＝，r＝1；
∴sin
∠COA＝＝，
cos
∠COA＝＝.
∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，
∴cos
∠COB＝cos(∠COA＋60°)
＝cos
∠COAcos
60°－sin
∠COAsin
60°
＝×－×＝.
(本小题满分16分)设cos＝－，sin＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)．
解：∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<.
故由cos＝－，
得sin＝，
由sin＝，得cos＝.
∴cos＝cos
[(α－)－(－β)]
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
(本小题满分16分)已知函数f(x)＝sin
2x＋sin2x－cos2x，
(1)求f(x)的最大值及相应的x的值；
(2)若f(θ)＝，求cos
2(－2θ)的值．
解：(1)f(x)＝sin
2x＋sin2x－cos2x＝sin
2x－cos
2x
＝sin
(2x－)，
∴当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋π(k∈Z)时，f(x)取得最大值
；
(2)由f(θ)＝sin
2θ－cos
2θ，及f(θ)＝得：
sin
2θ－cos
2θ＝，
两边平方得1－sin
4θ＝，即sin
4θ＝，
∴cos
2(－2θ)＝cos(－4θ)＝sin
4θ＝.
(本小题满分16分)已知函数f(x)＝sincos＋cos2，
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的值域；
(3)求当x∈[π，2π]时，f(x)的零点．
解：(1)∵f(x)＝sincos＋cos2
＝sin
x＋(1＋cos
x)＝sin(x＋)＋，
∴最小正周期T＝2π.
(2)由f(x)＝sin(x＋)＋，得
f(x)的值域为[－1，＋1]．
(3)令f(x)＝0，即sin(x＋)＋＝0，
也就是sin(x＋)＝－；
∵x∈[π，2π]，∴x＝π或x＝π，
∴当x∈[π，2π]时，f(x)的零点为x＝π与x＝π.[学业水平训练]
1．函数y＝3＋3cos(2x＋)的值域是________．
解析：－1≤cos(2x＋)≤1，∴0≤y≤6.
答案：[0，6]
2．函数y＝sin
|x|的图象是________(填正确序号)．
解析：y＝sin
|x|＝，
作出y＝sin
x在[0，2π]上的图象后作关于y轴对称的图象．
答案：②
3．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)
①函数f(x)的最小正周期为2π；
②函数f(x)在区间[0，]上是增函数；
③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；
④函数f(x)是奇函数．
解析：∵y＝sin(x－)＝－cos
x，∴T＝2π，即①正确．y＝cos
x在[0，]上是减函数，则y＝－cos
x在[0，]上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cos
x的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cos
x为偶函数，即④不正确．
答案：④
4．函数y＝的定义域为________．
解析：由题知2sin
x＋1≥0，即sin
x≥－，结合正弦函数的性质可知，此时2kπ－≤x≤2kπ＋π，(k∈Z)，所以该函数的定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z}．
答案：{x|2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
5．已知四个函数的部分图象，其中，函数y＝－xcos
x的图象是________．
解析：因为函数y＝－xcos
x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除①③，当x∈(0，)时，y＝－xcos
x<0，故排除②.
答案：④
6．下列关系式中正确的是________．
①sin
11°＜cos
10°＜sin
168°；
②sin
168°＜sin
11°＜cos
10°；
③sin
11°＜sin
168°＜cos
10°；
④sin
168°＜cos
10°＜sin
11°.
解析：sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，
cos
10°＝sin(90°－10°)＝sin
80°，
又y＝sin
x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin
11°＜sin
12°＜sin
80°，即sin
11°＜sin
168°＜cos
10°.
答案：③
7．利用“五点法”作出y＝sin(x－)(x∈[，])的图象．
解：y＝sin(x－)＝－cos
x.
列表如下：
x
π
2π
cos
x
0
－1
0
1
0
－cos
x
0
1
0
－1
0
描点连线，如图：
8．求函数y＝sin(－2x)的单调减区间．
解：y＝sin(－2x)＝－sin(2x－)，
2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴y＝sin(－2x)的单调减区间是[kπ－，kπ＋]，
(k∈Z)．
[高考水平训练]
1．已知ω是正实数，函数f(x)＝2sin
ωx在[－，]上是增函数，则ω的取值范围为________．
解析：函数f(x)在[－，]上是增函数，则函数f(x)在[－，]上应为增函数，所以T≥2×，则T≥.又因为T＝，所以ω≤＝，即ω∈(0，]．
答案：(0，]
2．函数y＝2sin
x的图象与y＝2围成的封闭的平面图形的面积为________．
解析：如图，图形S1与S2，S3与S4都是对称图形，有S1＝S2，S3＝S4.
因此，函数y＝2sin
x的图象与y＝2围成的图形面积可以等积转化为矩形ABCD的面积．
∵AD＝2，AB＝2π，∴S矩形＝2×2π＝4π.
答案：4π
3．已知函数f(x)＝asin(x－)＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a＜0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2，3]，求a，b的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝sin(x－)＋1＋b.
∵y＝sin
x的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，
∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋，即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)f(x)＝asin(x－)＋a＋b，
∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤，
∴－≤sin(x－)≤1.
又∵a＜0，∴a≤asin(x－)≤－a.
∴a＋a＋b≤f(x)≤b，
∵f(x)的值域是[2，3]，
∴a＋a＋b＝2且b＝3，
解得a＝1－，b＝3.
4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
解：(1)若x∈，则－x∈.
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin
x.
若x∈，则π＋x∈.
∵f(x)是最小正周期为π的周期函数，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin
x，
∴x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin
x.
(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：
(3)x∈[0，π]，sin
x≥，可得≤x≤，函数周期为π，
∴x的取值范围是，k∈Z.[学业水平训练]
1．已知a＝，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
解析：∵a＝＝＝－，
b＝cos＝cos＝，
c＝sin＝－sin＝－，
∴b>a>c.
答案：b>a>c
2．若f(sin
x)＝3－cos
2x，则f(cos
x)＝________．
解析：f(cos
x)＝f[sin(－x)]＝3－cos
[2(－x)]＝3－cos(π－2x)＝3＋cos
2x.
答案：3＋cos
2x
3．化简＝________．
解析：原式＝＝－tan
α.
答案：－tan
α
4．若cos(π＋α)＝－，那么sin(－α)等于________．
解析：∵cos(π＋α)＝－，∴cos
α＝，
又sin(－α)＝－cos
α，∴sin(－α)＝－.
答案：－
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．
①cos(A＋B)＝cos
C；②sin(A＋B)＝－sin
C；
③cos(＋C)＝cos
B；④sin＝cos.
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C，所以①②都不正确；
同理B＋C＝π－A，所以sin＝sin(－)＝cos，所以④是正确的．
答案：④
6．sin
95°＋cos
175°的值为________．
解析：sin
95°＋cos
175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos
5°－cos
5°＝0.
答案：0
7．化简：.
解：原式＝
＝
＝＝－sin
θ.
8．已知<α<，cos(α＋)＝m(m≠0)，
求tan(－α)的值．
解：因为－α＝π－(α＋)，
所以cos(－α)＝cos
[π－(α＋)]＝－cos(α＋)＝－m.
由于<α<，所以0<－α<.
于是sin(－α)＝＝.
所以tan(－α)＝＝－.
[高考水平训练]
1．已知sin(α－)＝，则cos(＋α)的值等于________．
解析：∵(＋α)－(α－)＝，∴＋α＝＋(α－)，∴cos(＋α)＝cos
[＋(α－)]＝－sin(α－)＝－.
答案：－
2．已知cos
α＝，且－＜α＜0，
则＝________．
解析：原式＝＝tan
α，
∵cos
α＝，－＜α＜0，
∴sin
α＝－＝－，∴tan
α＝＝－2.
答案：－2
3．已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，求的值．
解：由于方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，
所以sin
α＝－，
再由sin2α＋cos2α＝1，得cos
α＝±＝±，
所以tan
α＝±，所以原式＝
＝tan
α＝±.
4．已知sin(3π－α)＝cos(＋β)，cos(－α)＝－·cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．
解：因为sin(3π－α)＝cos(＋β)，所以sin
α＝sin
β ①.因为cos(－α)＝－cos(π＋β)，所以
cos
α＝cos
β ②.①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)，所以cos2α＝，cos
α＝±.又0＜α＜π，所以α＝或α＝.当α＝时，β＝；当α＝时，β＝.所以α＝，β＝或α＝，β＝.[学业水平训练]
计算sin
105°cos
75°的值为__________．
解析：sin
105°cos
75°＝sin(180°－75°)cos
75°＝sin
75°cos
75°＝sin
150°＝sin
30°＝.
答案：
已知sin
θ＝－，3π＜θ＜，则tan
2θ＝__________．
解析：因为sin
θ＝－，3π＜θ＜，所以cos
θ＝－，tan
2θ＝＝＝.
答案：
若tan(α＋)＝3＋2，则＝__________．
解析：由tan(α＋)＝＝3＋2，得tan
α＝，
∴＝＝tan
α＝.
答案：
化简
的结果是________．
解析：＝
＝cos
1.
答案：cos
1
＋2的化简结果是________．
解析：原式＝＋2
＝2|cos
4|＋2|sin
4－cos
4|.
∵π<4<π，∴cos
4<0，且sin
44.
∴原式＝－2cos
4－2(sin
4－cos
4)＝－2sin
4.
答案：－2sin
4
已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan
α＝__________．
解析：由tan(π＋2α)＝－得tan
2α＝－，又tan
2α＝＝－，解得tan
α＝－或tan
α＝2，又α是第二象限的角，∴tan
α＝－.
答案：－
已知0(cos
xtan
x＋1－2sin2)＋
lg
[cos(x－)]－lg
(1＋sin
2x)．
解：原式＝lg(sin
x＋cos
x)＋lg(sin
x＋cos
x)－lg(1＋sin
2x)
＝lg
＝lg＝0.
已知sin22α＋sin
2αcos
α－cos
2α＝1，α∈(0，)，求sin
α及tan
α的值．
解：由题意得sin22α＋sin
2αcos
α＝1＋cos
2α＝2cos2α，
∴2sin2αcos2α＋sin
αcos2α－cos2α＝0.
∵α∈(0，)，∴cos
α≠0，
∴2sin2α＋sin
α－1＝0，即(2sin
α－1)(sin
α＋1)＝0.
∵sin
α＋1≠0，∴2sin
α－1＝0，
∴sin
α＝.
∵0＜α＜，∴α＝，∴tan
α＝.
[高考水平训练]
已知tan＝3，则＝__________．
解析：∵tan＝3，∴原式＝
＝
＝＝＝.
答案：
若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为________．
解析：∵－α＋＋α＝，
∴cos(＋α)＝sin(－α)＝.
∴cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1
＝2×()2－1＝－.
答案：－
求函数y＝sin4x＋2sin
xcos
x－cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
解：y＝sin4x＋2sin
xcos
x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＋sin
2x
＝sin
2x－cos
2x
＝2(sin
2x·－cos
2x·)
＝2sin(2x－)．
故函数的最小正周期T＝＝π；
当且仅当2x－＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，y有最小值－2；
函数在[0，π]上的单调增区间为[0，]和[π，π]．
4．已知cos(＋x)＝，＜x＜，求的值．
解：法一：因为＝
＝＝
＝sin
2x·＝sin
2xtan(＋x)．
又因为＜x＜，所以＜x＋＜2π.
而cos(＋x)＝＞0，
所以＜x＋＜2π，所以sin(＋x)＝－，
所以tan(＋x)＝－.
又因为sin
2x＝－cos(＋2x)
＝－cos＝－2cos2(＋x)＋1
＝－＋1＝.
所以原式＝sin
2xtan(＋x)
＝×(－)＝－.
法二：因为＜x＜，所以＜x＋＜2π.
又因为cos(＋x)＝＞0，
所以＜x＋＜2π，所以sin(＋x)＝－，
所以所以
所以
所以tan
x＝7，sin
2x＝2sin
xcos
x＝2×(－)×(－)＝.
由法一知，原式＝sin
2x·
＝×＝－.[学业水平训练]
1．函数y＝sin
4x的周期是________．
解析：T＝＝.
答案：
2．函数y＝2cos(－ωx)(ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝________．
解析：T＝＝4π，∴|ω|＝，∵ω<0，∴ω＝－.
答案：－
3．函数f(x)＝cos
2x＋|cos
2x|的最小正周期为________．
解析：由f(x)＝cos
2x＋|cos
2x|
＝
故所求最小正周期T＝＝π.
答案：π
4．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝________．
解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，所以f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝2，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋4)＝－f(x)，且f(4)＝5，则：f(－20)＝________，f(2
012)＝________．
解析：由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x)＝－f(x＋4)＝－[－f(x＋4＋4)]＝f(x＋8)，所以T＝8，f(－20)＝f(－24＋4)＝f(4)＝5，f(2
012)＝f(251×8＋4)＝f(4)＝5.
答案：5 5
6．已知函数f(x)＝sin(＋)，其中k≠0，当自变量x在任何两整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k为________．
解析：由正弦函数的周期公式，得T＝＝，
由题意知：0<≤1.
解得k≥20π≈62.8.
∴正整数k的最小值为63.
答案：63
7．设f(x)是定义在R上的最小正周期为的函数，且在[－，π]上f(x)＝求f(－)的值．
解：因为f(x)的最小正周期为，所以f(x＋)＝f(x)，f(－π)＝f(－＋)＝f(－)＝f(－＋)＝f(－)＝f(－＋)＝f(－)，
又－∈[－，0)，
所以f(－)＝sin(－)＝－sin＝－，
所以f(－π)＝－.
8．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin
x，求f()的值．
解：由题意，得f(π)＝f(π＋)＝f(π)
＝f(π－)＝f(－)＝－f()．
因为当x∈[0，]时，f(x)＝sin
x，
所以f(π)＝－sin＝－.
[高考水平训练]
1．已知函数f(x)＝sin(x＋)(k为正整数)，要使f(x)的周期在(，)内，则正整数k的最小值为________，最大值为________．
解析：由周期公式，得T＝＝，由题意知＜＜.因为k＞0，所以＜＜，即＜k＜9π，所以kmin＝15，kmax＝28.
答案：15 28
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(x＋2)，f(1)＝2，则f(2)＋f(7)＝________．
解析：由f(x－2)＝f(x＋2)得T＝4，由f(x－2)＝f(x＋2)得f(－2)＝f(2)，即－f(2)＝f(2)，所以f(2)＝0，f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故f(2)＋f(7)＝0＋(－2)＝－2.
答案：－2
3．已知f(k)＝sin，k∈Z.
(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2
014)的值．
解：(1)证明：∵sin＝sin＝sinπ(k∈Z)，
∴f(k)＝f(k＋8)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．
(2)∵f(k)是以8为一个周期的周期函数，
而2
014＝251×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
014)＝251[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)．
又∵f(1)＋f(2)＋…＋f(8)
＝sin＋sin＋…＋sin＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
013)＋f(2
014)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)
＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝.
4．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝3x＋.求f(log5)．
解：∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x＋2)＝f(x)，
∴y＝f(x)是周期为2的函数．
∵log5∈(－2，－1)，
∴log5＋2＝log∈(0，1)，
又∵f(x)为偶函数，
且x∈[－1，0]，f(x)＝3x＋，
∴当x∈[0，1]时，f(x)＝3－x＋，
∴f(log5)＝f(log)
＝3－log＋
＝3log3＋＝＋＝1.[学业水平训练]
已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|为________．
解析：∵F1＋F2＝－F3，(F1＋F2)2＝(－F3)2.
即F＋F＋2F1·F2＝F，∴F1·F2＝－.
∴|F1－F2|＝
＝eq
\r(F－2F1·F2＋F)＝.
答案：
在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于__________．
解析：因为M是BC的中点，所以＋＝2，
所以·(＋)＝－·＝－.
答案：－
在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形的形状为__________．
解析：∵＋＝0，∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵·＝0，∴⊥，
∴对角线垂直，∴四边形为菱形．
答案：菱形
在△ABC中，若·(2－)＝0，则△ABC一定是________三角形．
解析：∵·(2－)＝0，
∴·(－)＝0，
即BA垂直于BA边上的中线．
∴△ABC为等腰三角形．
答案：等腰
一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
解析：F＝F＋F＋2|F1||F2|cos
60°＝28，所以|F3|＝2.
答案：2
若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
解析：如图，向量α与β在单位圆O内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，故以向量α，β为边的三角形的面积为，故β的终点在如图的线段AB(α∥AB且圆心O到AB的距离为)上，因此夹角θ取值范围为.
答案：
已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，
则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，
∵＝－，∴(x，y－b)＝－(a－x，－y)，
∴a＝，b＝－，即A，Q，
＝，＝，
∵·＝0，∴3x－y2＝0，
即所求轨迹方程为y2＝4x(x>0)．
已知两恒力F1＝i＋2j，F2＝4i－5j(其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力对质点所做的功．(力的单位：N，位移的单位：m)
解：(1)由已知得F1＝(1，2)，F2＝(4，－5)，
设F1，F2对质点所做的功分别为W1，W2.
∵＝(7－20，0－15)＝(－13，－15)，
∴W1＝F1·＝(1，2)·(－13，－15)＝1×(－13)＋2×(－15)＝－43(J)，
W2＝F2·＝(4，－5)·(－13，－15)＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．
(2)F1，F2的合力为F1＋F2＝(1，2)＋(4，－5)＝(5，－3)．
设F1，F2的合力对质点所做的功为W，
则W＝(F1＋F2)·＝(5，－3)·(－13，－15)＝5×(－13)＋(－3)×(－15)＝－20(J)．
[高考水平训练]
若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________．
解析：∵－＝＝－，
＋－2＝(－)＋(－)＝＋，
由已知(－)·(＋－2)＝0，
得(－)·(＋)＝0，即(－)⊥(＋)．
根据平行四边形法则和三角形法则，可知以AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线垂直，即以AB、AC为邻边的平行四边形为菱形，所以||＝||，因此△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
函数f(x)＝＋
取最大值时，x＝________．
解析：令a＝(，1)，b＝(，)，
则f(x)＝a·b≤|a||b|＝×＝6.
当且仅当b＝λa(λ＞0)时取等号．故＝＝λ＞0，
∴x＝5，λ＝1.所以当x＝5时，函数f(x)max＝6.
答案：5.
如图，有两条相交成60°的直线xx′，yy′，其交点为O，甲、乙两辆汽车分别在xx′，yy′上行驶，起初甲在离点O
30
km的点A处，乙在离点O
10
km的点B处，后来两车均用60
km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．求：
(1)起初两车的距离是多少？
(2)t小时后两车的距离是多少？
(3)何时两车的距离最短？
解：(1)由题意知，
||2＝(－)2
＝||2＋||2－2||||cos
60°
＝302＋102－2×30×10×＝700.
故||＝10(km)．
(2)设甲、乙两车t小时后的位置分别为P，Q，则||＝60t，||＝60t.
当0≤t≤时，||2＝(－)2＝(30－60t)2＋(10＋60t)2－2(30－60t)(10＋60t)cos
60°；
当t>时，||2＝(60t－30)2＋(10＋60t)2－2(60t－30)(10＋60t)cos
120°.
上面两式可统一为||2＝10
800t2－3
600t＋700，
即||＝10.
(3)∵108t2－36t＋7＝108＋4，
∴当t＝时，即在第10分钟末时，两车的距离最短，且最短距离为10＝20
km.
4．在日常生活中，有时要用两根同样长的绳子挂一个物体，如图所示，如果绳子的最大拉力为F，物体受到的重力为G，两绳子之间的夹角为θ(θ∈[0，π))．
(1)求绳子受到的拉力F1；
(2)当θ逐渐增大时，|F1|的大小怎样变化，为什么？
(3)θ为何值时，|F1|最小？
(4)已知|F|＝500
N，|G|＝500
N，为使绳子不会断，试求θ的取值范围？
解：(1)由题意，得|F1|cos＋|F2|·
cos＝|G|，且|F1|＝|F2|，
所以|F1|＝.
(2)由θ∈[0，π)，得∈[0，)，cos∈(0，1]，
当θ逐渐增大时，cos逐渐减小，
则逐渐增大，即|F1|增大，
所以当角度θ增大时，|F1|也增大．
(3)由(2)知，当θ最小时，|F1|最小，
故当θ＝0°时，|F1|最小，且最小值为|F1|＝.
(4)因为|F1|＝≤|F|，
所以cos≥＝＝.
又由∈[0，)，得∈[0，]，故θ∈[0，]．[学业水平训练]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是________．(填序号)
①a与λa的方向相反；
②a与λ2a的方向相同；
③|－λa|≥|a|；
④|－λa|＝|λ|·a.
解析：λ可正可负，故①不正确；而λ是非零实数，故λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，②正确；又|λ|与1的大小不确定，故③不正确；又|－λa|＝|λ|·|a|，故④不正确．
答案：②
已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，则λ等于________．
解析：因为a＝λb，所以|a|＝|λ|·|b|，即1＝2·|λ|，所以λ＝±.
答案：±
若|a|＝8，b与a反向，|b|＝7，则a＝________b.
解析：∵b与a反向，
由共线向量基本定理知，a＝－b.
答案：－
点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析：∵＝，∴点C为线段AB的5等分点，
∴＝，＝－.
答案： －
已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
解析：由原式可得解得∴x－y＝3.
答案：3
在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝__________．
解析：由＝2，
得＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
结合＝＋λ，知λ＝.
答案：
(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；
(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.
解：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.
得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.∴x＝2b－a.
(2)
由②得y＝x－b，代入①，
得3x＋4(x－b)＝a.
∴3x＋x－b－a＝0，17x＝4b＋3a.
∴x＝a＋b.
∴y＝(a＋b)－b＝a＋b－b
＝a－b.
综上可得
设两个向量a与b不共线．
(1)试证：起点相同的三个向量a，b，3a－2b的终点在同一条直线上(a≠b)；
(2)求实数k，使得ka＋b与2a＋kb共线．
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝3a－2b.
因为＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)，
＝－＝b－a，
所以＝－2，故，共线．
又，有公共起点A，所以A，B，C在同一条直线上．
(2)因为ka＋b与2a＋kb共线，所以设ka＋b＝λ(2a＋kb)，λ∈R，即ka＋b＝2λa＋kλb，又a与b不共线，所以所以k＝±.
[高考水平训练]
已知O是△ABC内的一点，且＋＋＝0，则O是△ABC的________．
解析：＋是以、为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设中点为D，则＋＝2，∴2＋＝0，同理设E、F为AC，BC中点，则满足条件的点O为△ABC三边中线的交点，故为重心．
答案：重心
已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________．
解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则
＝＝×(＋)＝(＋)，
所以有＋＝3，故m＝3.
答案：3
证明：若向量、、的终点A、B、C共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得：＝λ＋μ；反之，也成立．
证明：①如图所示，若、、的终点A、B、C共线，
则∥，故存在实数m，使得＝m，又＝－，＝－，
所以－＝m(－)，
即＝－m＋(1＋m).
令λ＝－m，μ＝1＋m，
则存在实数λ、μ且λ＋μ＝1，使得＝λ＋μ.
②若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝1，
则μ＝1－λ.故＝λ＋(1－λ)，
即－＝λ(－)，即＝λ.
所以A、B、C三点共线，
即向量、、的终点在一条直线上．
4．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
解：b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线．[学业水平训练]
1．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有________(填序号)．
①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．
解析：①正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.
②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定．
③正确．平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；
④不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2惟一确定．
答案：①③
2．e1，e2是平面内两个不共线的向量，且＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
解析：＝＋＝3e1＋2e2，
∵A、B、D共线，∴与共线，
∴＝，即k＝.
答案：
3．已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示为__________．
解析：∵＝＋，＝＋＝＋＝＋＝.∵＝b－a，∴＝b－a，∴＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案：a＋b
4．(2014·湖北天门中学期中)若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实系数x的方程x2＋x＋＝0有解，点O不在l上，则此方程的解集为_______．
解析：∵A，B，C共线，∴＝λ，
由已知可知：＝－x2－x＝－x(x＋)，
当且仅当x＝－1时，＝－，故方程的解集为{－1}．
答案：{－1}
5．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则a写成λ1b＋λ2c的形式是__________．
解析：由题可设a＝λ1b＋λ2c，即－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴
∴∴a＝－b＋c.
答案：a＝－b＋c
6．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，
＝a＋b，
又∵＝a＋b，
∴＝(＋)，即λ＝μ＝，
∴λ＋μ＝.
答案：
7．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
证明：如图所示，设D、E、F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，令＝a，＝b为基底，
则＝a－b，＝a－b，
＝－a＋b.
设AD与BE交于点G1，
且＝λ，＝μ，
则有＝λa－b，＝－a＋μb.
又有＝＋＝(1－)a＋(μ－1)b，
∴解得λ＝μ＝.∴＝.
再设AD与CF交于点G2，同理求得＝.
∴点G1、G2重合，即AD、BE、CF交于一点．
∴三角形的三条中线交于一点．
8.
如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过△ABC的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝n
b(m>0，n>0)，
试问m，n的倒数和是否为定值？
若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
解：因为＝a，＝b，＝(a＋b)，
所以＝＝(a＋b)，
由于P、G、Q三点共线，则∥ ＝λ(λ为正实数)，因为＝－＝(a＋b)－ma
＝a＋b，
＝－＝n
b－(a＋b)＝－a＋b，
所以a＋b＝λ，
可得a＋b＝0，
由于a，b不共线，
则必有－m＋λ＝－λn＋λ＝0，
消去λ，整理得3mn＝m＋n，所以＋＝3为定值．
[高考水平训练]
1．在 ABCD中，＝a，＝b，N是AC上一点且＝3，M是BC的中点，若用a，b表示，则＝________．
解析：如图所示，连结BD交AC于O点，则O为AC，BD的中点，
又∵＝3，
∴AN＝3NC，即N为OC的中点，
又M是BC的中点，∴MN綊BO，
又＝－＝b－a，
∴＝＝＝(b－a)．
答案：(b－a)
2．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．
解析：∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－，
∴2＝，即P为AB的一个三等分点，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
而＝－，∴＝＋(－1).
又＝－＝－＋，
由已知＝t可得，
＋(－1)＝t(－＋)，
所以，解得t＝.
答案：
3.
如图所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：＝4.
证明：记＝e1，＝e2，所以＝－3e2，＝－e1，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－3λe2－λe1；＝μ＝2μe1＋μe2，所以＝＋＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又＝＋＝2e1＋3e2，所以解之得所以＝，
所以AP∶PM＝4∶1，即＝4.
4.
如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面上任意一点，求证：若存在实数p，q，r使得p＋q＋r＝0，且p＋q＋r＝0，则必有p＝q＝r＝0.
证明：由题意可得r＝－(p＋q)．
又∵p＋q＋r＝0，
∴p＋q－(p＋q)＝0，
∴p(－)－q(－)＝0，
即p－q＝0.
∴p＋q＝0＝0·＋0·.
由平面向量基本定理可知，其分解是惟一的，
∴p＝0，q＝0，∴p＋q＝0，∴r＝0.故p＝q＝r＝0.[学业水平训练]
1.＝__________．
解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan
60°＝.
答案：
的值为________．
解析：原式＝
＝＝＝－＝－1.
答案：－1
设tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)的值是__________．
解析：∵α＋＝(α＋β)－(β－)，
∴tan(α＋)＝tan
[(α＋β)－(β－)]
＝＝＝.
答案：
已知tan(α＋β)＝7，tan
α＝，且β∈(0，π)，则β的值为__________．
解析：tan
β＝tan
[(α＋β)－α]＝＝＝1，又β∈(0，π)，所以β＝.
答案：
若tan
A·tan
B＝tan
A＋tan
B＋1，则cos(A＋B)＝________．
解析：由tan
A·tan
B＝tan
A＋tan
B＋1，得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝kπ＋π，k∈Z，所以cos(A＋B)＝±.
答案：±
6．tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°＝________．
解析：原式＝tan
10°tan
20°＋tan
60°(tan
20°＋tan
10°)＝tan
10°tan
20°＋×(1－tan
10°tan
20°)＝1.
答案：1
已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2.求：
(1)tan(α＋β－)；(2)tan(α＋β)．
解：(1)tan(α＋β－)＝tan
[(α＋)＋(β－)]
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
[(α＋β－)＋]
＝
＝＝2－3.
已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，α，β∈(0，π)．求2α－β.
解：tan
α＝tan
[(α－β)＋β]＝
＝＝.
又因为α∈(0，π)，所以α∈(0，)．
tan(2α－β)＝tan
[α＋(α－β)]
＝＝＝1.
因为tan
β＝－，β∈(0，π)，所以β∈(，π)．
所以α－β∈(－π，0)．由tan(α－β)＝>0，得α－β∈(－π，－)，又α∈(0，)，所以2α－β∈(－π，0)，
又tan(2α－β)＝1，所以2α－β＝－.
[高考水平训练]
如图，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为________．
解析：设正方形边长为1，
则tan
α＝，tan
β＝.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
答案：
已知tan(＋α)＝2，则的值为__________．
解析：由tan(＋α)＝＝2，得tan
α＝，所以＝＝＝＝.
答案：
已知tan
A与tan(－A＋)是关于x的方程x2＋px＋q＝0的解，若3tan
A＝2tan(－A)，求p和q的值．
解：设t＝tan
A，则tan(－A)＝＝，
由3tan
A＝2tan(－A)，得3t＝，
解得t＝或t＝－2.
当t＝时，tan(－A)＝＝，
p＝－＝－，
q＝tan
Atan(－A)＝×＝；
当t＝－2时，tan(－A)＝＝－3，
p＝－＝5，
q＝tan
Atan(－A)＝6.
所以p，q的值为或
4．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan·tan
β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解：由①得＋β＝，
∴tan(＋β)＝tan，
即＝.
把条件②代入上式，得
tan＋tan
β＝×(1－2＋)＝3－，③
由②③知，tan，tan
β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个实数根．
解这个方程，得或.
∵α是锐角，
∴0＜＜，
∴tan≠1，
故tan＝2－，tan
β＝1.
∵0＜β＜，由tan
β＝1，得β＝，
代入①，得α＝.
∴存在锐角α＝，β＝使两个条件同时成立．[学业水平训练]
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos
θ＝4×6×cos
45°＝12.
答案：12
(2014·南通调研)在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________．
解析：将·＝4，·＝－12两式相减得·(－)＝2＝16，则||＝4.
答案：4
设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝______.
解析：|a＋b|＝＝
＝＝.
答案：
若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为__________．
解析：设向量a与b的夹角为θ，由题意知(a＋b)·a＝0，
∴a2＋a·b＝0，∴|a|2＋|a||b|cos
θ＝0，∴1＋2cos
θ＝0，∴cos
θ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
答案：120°
设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝__________．
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．又∵a⊥b，
∴a·b＝0.∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.
答案：5
如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)
·；②·；③·；④·.
解析：根据正六边形的几何性质，得·＝0，·＜0，·＝||·||·cos＝||2，·＝||·2||·cos＝|P1P2|2，经比较可知·的数量积最大．
答案：①
已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为.
求：(1)(3a－2b)·(a－2b)；
(2)|a＋b|.
解：(1)(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2
＝3×32－8×3×4cos＋4×42＝91＋48.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝
.
已知a，b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，求a与b的夹角．
解：∵(a－2b)⊥a，
∴(a－2b)·a＝0，即a2－2a·b＝0.
∵(b－2a)⊥b，∴(b－2a)·b＝0，即b2－2a·b＝0.
∴a2＝b2，即|a|＝|b|.a·b＝a2，即a·b＝|a|2.
∴cos
θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.
[高考水平训练]
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上一点，DC＝2BD，则·＝________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
又∵＝－，2＝1，2＝4，且·＝2×1×cos
120°＝－1，
∴·＝(＋)·(－)＝2－2＋·＝－.
答案：－
已知非零向量，和满足(＋)·＝0，且＝，则△ABC的形状为________．
解析：∵、分别表示与、同向的单位向量，
∴以、为邻边的平行四边形为菱形．
∴表示向量＋的有向线段在∠A平分线上．
∴由(＋)·＝0知∠A的平分线垂直于BC，
∴△ABC为等腰三角形．又＝cos
C＝，
∴∠C＝，从而可知，∠A＝.
∴△ABC为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，
又|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝|a|2.
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.设a与a＋b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
又∵θ∈[0°，180°]．∴θ＝30°.
4．已知向量a，b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．
解：法一：∵a2＝9，∴|a|＝3.又a·b＝－12.
∴|a·b|＝12.
又∵|a·b|≤|a||b|.∴12≤3|b|，解得|b|≥4.
故|b|的取值范围是[4，＋∞)．
法二：∵a·b＝|a||b|cos
θ(其中θ为a与b的夹角)．
又由a2＝9，得|a|＝3，由a·b＝－12，得θ≠90°.
即cos
θ≠0.∴|b|＝＝＝.
∵－1≤cos
θ<0，∴|b|≥4.
故|b|的取值范围是[4，＋∞)．[学业水平训练]
1．化简：(1)＋＋(＋＋)＝________；
(2)－＋＋＝________．
解析：(1)＋＋(＋＋)＝(＋)＋(＋)＋＝＋(＋)＝＋0＝.
(2)－＋＋＝＋＋－＝＋－＝0－＝.
答案：(1) (2)
2．若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，则|a＋b|的取值范围是________．
解析：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
答案：[1，7]
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________．(填序号)
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
解析：a＝0，则①③⑤正确．
答案：①③⑤
4．正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|为________．
解析：|＋＋＋|＝2||＝2.
答案：2
5．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是________．(填序号)
①＝；②＋＝；
③＝＋；
④＋＝0.
解析：对于①，∵AB綊DC，∴＝，即①正确；对于②，由向量加法的平行四边形法则可判断②正确；对于④，∵与方向相反，且模相等，∴＋＝0，即④正确；对于③，＝＋，即③不正确．
答案：③
6．已知＝a，＝b，且||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析：|a－b|＝||＝＝＝13.
答案：13
7．(2014·南京高一检测)如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
证明：法一：∵b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
法二：∵c－a＝－＝－＝，＝＋＝－b，∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
8．在水流速度为4
km/h的河中，如果船以12
km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船航行速度的大小与方向．
解：
如图所示，设表示水流速度，表示船实际航行速度，连结BC，作AD綊BC，连结DC，则四边形ABCD为平行四边形，所以为所求的船的航速．因为＋＝，||＝4，||＝12，所以tan∠ACB＝＝，所以∠ACB＝30°
＝∠CAD.所以||＝||＝8，∠BAD＝120°.
所以船的航行速度大小为8
km/h，方向与水流速度方向成120°的角．
[高考水平训练]
1．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．
解析：＝－.
当与共线且方向相同时||有最小值3.
当与共线且方向相反时||有最大值13.
答案：[3，13]
2．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形的形状是__________．
解析：∵a＋c＝b＋d，∴＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
3．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
解：由已知得||＝||，以、为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且＝a＋b，＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
4．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现有甲、乙、丙三人玩此游戏．若甲、乙两人的力相同，均为a牛，试探究丙需要多大拉力，使小球静止．若甲、乙两人的力不等，则小球有可能静止吗？
解：设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a，b，c，
根据题意，可知a，b，c三个向量两两夹角为120°，
可先计算a＋b.
由于|a|＝|b|，易求|a＋b|＝|c|，且a＋b平分a，b所成的角，即方向与c相反．
要使小球不动，则c＝－(a＋b)．
若甲、乙两人的力不等，根据向量加法的平行四边形法则，
a＋b的方向不可能与c相反，也就是说a＋b与c不可能是相反向量，
所以小球不可能静止．[学业水平训练]
1．函数y＝tan(x＋)的定义域为________．
解析：x＋≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠kπ＋，k∈Z.
答案：{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
2．函数y＝3tan(x＋)的增区间为________．
解析：kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，
∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，
∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.
答案：(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
3．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan
x相交的相邻两点间的距离为________．
解析：由图象可知(图略)，直线y＝a与正切曲线y＝tan
x相交的相邻两点间的距离为一个周期．
答案：π
4．比较大小：tan
183°________tan
134°.
解析：tan
183°＝tan(180°＋3°)＝tan
3°，
tan
134°＝tan(－46°＋180°)＝tan(－46°)．
而y＝tan
x在(－，)上递增，故tan
3°>tan(－46°)，即tan
183°>tan
134°.
答案：>
5．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心是________．
解析：2x＋＝，k∈Z，∴x＝－.
答案：(－，0)，(k∈Z)
6．若tan
x＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是________．
解析：tan
x＞tan＝tan(π＋)＝tanπ，
∴π＜x＜π，考虑角的任意性，
∴2kπ＋π＜x＜2kπ＋π(k∈Z)．
答案：{x|2kπ＋π＜x＜2kπ＋π，k∈Z}
7．(1)利用正切函数的单调性比较tan与tan的大小；
(2)已知f(x)＝asin
x＋b
tan
x＋1满足f＝7，求f的值．
解：(1)因为tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan
.
显然－<－<<，
由于函数y＝tan
x在上是增函数，
所以tan(2)由已知得，f＝asin
＋btan
＋1＝7，
即asin
＋btan
＝6.
于是f＝asin
＋btan
＋1
＝asin＋btan＋1
＝－asin
－btan
＋1＝－6＋1＝－5.
8．已知函数f(x)＝3tan
(－)．
(1)求函数f(x)的周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f()的大小．
解：(1)因为f(x)＝3tan(－)＝－3tan(－)，所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递减．
故原函数的周期为4π，单调递减区间为(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan(－)＝3tan(－)＝－3tan，
f()＝3tan(－)＝3tan(－)＝－3tan，
因为＜，且y＝tan
x在(0，)上单调递增，
所以tan＜tan，所以－3tan>－3tan，所以f(π)＞f()．
[高考水平训练]
1．已知函数y＝tan
ωx在(－，)上是减函数，则ω的取值范围为________．
解析：∵tan
x在(－，)上是减函数，
∴ω<0且≥π，可得－1≤ω<0.
答案：－1≤ω<0
2．函数y＝(－≤x≤且x≠0)的值域是________．
解析：当x∈[－，0)∪(0，]时，tan
x∈[－1，0)∪(0，1]，∴y∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
3．已知正切函数y＝Atan(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)
的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(，0)和(，0)，且过点(0，－3)，求它的表达式．
解：因为(，0)和(，0)是图象与x轴相交的两相邻点，故这个函数的周期T＝－＝.
∵＝，∴ω＝.
将点(，0)代入y＝Atan(x＋φ)得：
0＝Atan(×＋φ)，
∵|φ|<，∴φ＝－，
将点(0，－3)代入y＝Atan(x－)得：
－3＝Atan(－)，∴A＝3，
故所求的函数表达式为
y＝3tan(x－)，{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}．
4．是否存在实数k，使得当x∈[，]时，k＋tan(－2x)的值总不大于零，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数k，符合题意，则k≤tan(2x－)，
∴k≤tan(2x－)min，
而当x∈[，]时，
0≤tan(2x－)≤，∴k≤0，
即存在实数k，其取值范围为(－∞，0]．[学业水平训练]
1．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．
解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α所以－k·360°－90°<180°－α<－k·360°(k∈Z)，
所以－(k＋1)·360°＋270°<180°－α<－(k＋1)·360°＋360°(k∈Z)，所以180°－α为第四象限角．
答案：四
2．角α的终边经过点P(2，－3)，则角α是第________象限角．
解析：P点在第四象限，所以α是第四象限角．
答案：四
3．若α为第二象限角，则－是第________象限角．
解析：因为α为第二象限角，所以为第一或第三象限角．又因为－与关于x轴对称，所以－是第二或第四象限角．
答案：二或四
4．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．
解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．
答案：一 二
5．(2014·南阳高一检测)与2
014°角的终边相同的最小正角是________．
解析：与2
014°角的终边相同的角为2
014°＋k·360°(k∈Z)，当k＝－5时，214°为最小正角．
答案：214°
6．(2014·杭州高一检测)设集合M＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，N＝{α|－180°＜α＜180°}，则M∩N等于________．
解析：当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°；当k＝－1时，α＝－126°.
所以M∩N＝{－36°，54°，－126°，144°}．
答案：{－36°，54°，－126°，144°}
7．在[0°，360°)范围内，找出与－1
240°角终边相同的角，并判断它是第几象限角．
解：∵－1
240°＝－4×360°＋200°，
∴在[0°，360°)范围内与－1
240°角终边相同的角是200°角．
又200°角是第三象限角，∴－1
240°角也是第三象限角．
8．已知α＝－315°.
(1)将α写成k·360°＋β(0°≤β＜360°，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1
080°＜θ＜－360°.
解：(1)∵－315°＝－360°＋45°，
∴α表示第一象限角．
(2)与－315°终边相同的角为k·360°－315°(k∈Z)．
令－1
080°＜k·360°－315°＜－360°(k∈Z)，
解得－2.125＜k＜－0.125(k∈Z)．
∵k∈Z，∴k＝－2或－1.
将k值分别代入k·360°－315°中，即得所求角为－1
035°或－675°.
[高考水平训练]
1．角α与β的始边都是x轴的正半轴，终边关于y轴对称，则用β表示角α为________．
解析：角α与β的终边关于y轴对称．则α＋β＝2kπ＋π，
k∈Z，所以α＝2kπ＋π－β，k∈Z.
答案：α＝2kπ＋π－β，k∈Z
2．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．
解析：大链轮转动一周，小链轮转＝2.4周，角度为2.4×360°＝864°.
答案：864°
3．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．
(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
(3)求A∩B.
解：(1)
(2)
(3)由(1)(2)知A∩B＝{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋55°，k∈Z}．
4.
如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1
s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2
s到达第三象限，经过14
s后又回到出发点A，求角θ并判定其终边所在的象限．
解：由题意，得
14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，则θ＝，k∈Z.
又180°<2θ＋45°<270°，
即67.5°<θ<112.5°，
则67.5°<<112.5°，k∈Z，
所以k＝3或k＝4.
故θ＝或θ＝.
易知0°<<90°，90°<<180°，
故角θ的终边在第一或第二象限．[学业水平训练]
计算sin
43°cos
13°－sin
13°cos
43°的值等于________．
解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin
30°＝.
答案：
函数y＝sin(2x＋)＋sin(2x－)的最小值为________．
解析：y＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＝sin
2xcos＋cos
2xsin＋sin
2xcos－cos
2xsin＝sin
2x，
∴y的最小值为－.
答案：－
已知α为锐角，且sin(α－)＝，则sin
α＝__________．
解析：由α为锐角，且sin(α－)＝，可求得cos(α－)＝.又sin
α＝sin＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝×＋×＝.
答案：
若cos
α＝－，sin
β＝－，α∈(，π)，β∈(，2π)，则sin(α＋β)的值为________．
解析：∵α∈(，π)，cos
α＝－，∴sin
α＝；
又β∈(，2π)，sin
β＝－，∴cos
β＝.
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋(－)×(－)
＝.
答案：
已知sin
α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于__________．
解析：由条件知cos
α＝，cos(α－β)＝(因为0<α<，－＜α－β＜)，所以sin
β＝sin
[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)＝×－×(－)＝，又β为锐角，所以β＝.
答案：
函数f(x)＝sin
2x＋cos
2x的最小正周期是__________．
解析：f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝2(sin
2xcos＋cos
2x·sin)＝2sin(2x＋)．∴最小正周期T＝＝π.
答案：π
已知sin
α＝，α∈(，π)，cos
β＝－，β∈(π，)，
求sin(α＋β)、sin(α－β)的值．
解：由sin
α＝，α∈(，π)，得
cos
α＝－＝－.
又由cos
β＝－，β∈(π，)，得
sin
β＝－＝－.
所以sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×(－)＋(－)×(－)
＝.
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×(－)－(－)×(－)
＝－.
已知：＜α＜，且cos(α－)＝，求cos
α，sin
α的值．
解：因为＜α＜，所以0＜α－＜.
因为cos(α－)＝，所以sin(α－)＝＝.所以sin
α＝sin＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝，cos
α＝cos＝cos(α－)cos－sin(α－)sin＝.
[高考水平训练]
已知8sin
α＋5cos
β＝6，sin(α＋β)＝，则8cos
α＋5sin
β＝__________.
解析：设8cos
α＋5sin
β＝x，①
又8sin
α＋5cos
β＝6，②
所以①2＋②2得64＋80sin(α＋β)＋25＝x2＋36.
又sin(α＋β)＝，所以x2＝100，所以x＝±10.
答案：±10
已知向量an＝(cos，sin)(n∈N
)，|b|＝1，则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为________．
解析：设b＝(cos
θ，sin
θ)，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝a＋b2＋2·(cos，sin)·(cos
θ，sin
θ)＋…＋a＋b2＋2·(cos，sin)·(cos
θ，sin
θ)＝282＋2cos(－θ)，所以y的最大值为284.
答案：284
求函数f(x)＝sin(x＋20°)＋sin(x＋80°)的最值．
解：f(x)＝sin(x＋20°)＋sin
[(x＋20°)＋60°]
＝sin(x＋20°)＋sin(x＋20°)cos
60°＋cos(x＋20)°sin
60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝[sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)]
＝sin(x＋50°)．
所以当sin(x＋50°)＝1时，f(x)max＝，
当sin(x＋50°)＝－1时，f(x)min＝－.
4．求[2sin
50°＋sin
10°(1＋tan
10°)]·的值．
解：原式＝·sin
80°
＝(2sin
50°＋sin
10°·)·cos
10°
＝
＝2[sin
50°cos
10°＋sin
10°cos(60°－10°)]
＝2(sin
50°cos
10°＋sin
10°cos
50°)
＝2sin(50°＋10°)＝2sin
60°＝2×＝.[学业水平训练]
1．sin
330°等于________．
解析：sin
330°＝sin(360°－30°)＝－sin
30°＝－.
答案：－
2．sin的值为________．
解析：sin＝－sin
＝－sin
＝－sin
＝－sin＝sin
＝.
答案：
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin(225°＋α)＝________．
解析：sin(225°＋α)＝sin(180°＋45°＋α)＝－sin(45°＋α)＝－.
答案：－
4．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________．
解析：由cos(α－π)＝－，易得cos
α＝，
又因为sin(－2π＋α)＝sin
α，所以只需求出sin
α即可．
∵α是第四象限角，∴sin
α＝－＝－.
答案：－
5．在△ABC中，若cos
A＝，则sin(π－A)＝________；若sin
A＝，则cos
A＝________．
解析：∵A是△ABC中的内角，
∴sin(π－A)＝sin
A＝＝，
cos
A＝±＝±.
答案： ±
6．已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为________．
解析：∵sin(π－α)＝sin
α＝log8＝－，
∴tan(2π－α)＝－tan
α＝－＝－＝.
答案：
7．求下列三角函数式的值：
(1)sin(－330°)·cos
210°；
(2)sin(－1
200°)·tan(－30°)－cos
585°·tan(－1
665°)．
解：(1)sin(－330°)·cos
210°
＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)
＝sin
30°·(－cos
30°)＝×(－)＝－.
(2)sin(－1
200°)·tan(－30°)－cos
585°·tan(－1
665°)
＝－sin
1
200°·(－)－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)
＝sin(1
080°＋120°)－cos
135°·tan(－45°)
＝－(－)×(－1)＝.
8．化简下列各式．
(1)(n∈Z)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝.
[高考水平训练]
1．已知tan(3π－α)＝2，则的值为________．
解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tan
α＝－2，
原式可化为：＝＝＝.
答案：
2．(2014·抚州质检)若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2
013)＝2，则f(2
014)＝________．
解析：∵f(2
013)＝asin(2
013π＋α)＋bcos(2
013π＋β)＝2，
∴f(2
014)＝asin(2
014π＋α)＋bcos(2
014π＋β)
＝asin
[π＋(2
013π＋α)]＋bcos
[π＋(2
013π＋β)]
＝－[asin(2
013π＋α)＋bcos(2
013π＋β)]＝－2.
答案：－2
3．化简：.
解：原式＝
＝＝
＝
＝－1.
4．已知tan(x＋π)＝a.
求证：＝.
证明：
＝
＝
＝
＝＝.[学业水平训练]
1．将5
rad化为角度是________．
解析：∵1
rad＝()°，
∴5
rad＝5·()°＝()°≈286°.
答案：286°
2．α＝－2
rad，则α的终边在第________象限．
解析：－2
rad＝－2×()°≈－57.30°×2＝－114.60°，
∴α为第三象限角．
答案：三
3．用弧度制表示终边落在第三象限的角的集合为________．
解析：若角α终边落在第三象限，
则{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}．
答案：{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}
4．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．
解析：分别取k＝－1，0，1，2，得α＝－，－，，.
答案：{－，－，，}
5．下列结论不正确的是________．(只填序号)
①
rad＝60°；②10°＝
rad；③
rad＝115°.
解析：
rad＝×()°＝112.5°，所以③错．
答案：③
6．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20
min所走的圆弧长是
m，则这座大钟分针的长度为________
m.
解析：因为分针20
min转过的角为，所以由l＝αr，
得r＝＝＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5
m.
答案：0.5
7．(2014·济南高一质检)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？
解：设弧长为l，所对圆心角为α，则l＋2r＝πr，
即l＝(π－2)r.
∵|α|＝＝π－2，∴α的弧度数是π－2，
从而S扇形＝lr＝(π－2)r2.
8．设集合A＝{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}，B＝{x|x2≤36}，试求集合A∩B.
解：由集合A＝{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}，可知A＝…∪[－，－]∪[－，－]∪[－，]∪[，]
∪[，]∪….由B＝{x|x2≤36}，可得B＝{x|－6≤x≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如下图．
可得集合A∩B＝[－6，－]∪[－，－]∪[－，]∪[，]∪[，6]．
[高考水平训练]
1．在(－4π，4π)内与－角的终边相同的角是________．
解析：首先写出与－π角的终边相同的角的集合{α|α＝2kπ－π，k∈Z}．然后再写出(－4π，4π)内的角α.
答案：－，－，，
2．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．
解析：设圆的半径为r，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为r，则r＝r·α，即α＝.
答案：
3．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示有S△OAB＝×AB×OD(D为AB中点)
＝×2×6cos
30°×3＝9.
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积是12π－9.
4．将一条绳索绕在半径为40
cm的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B的位置向上提升100
cm，那么需要多长时间才能完成？
解：如图，设将物体向上提升100
cm，需要的时间为ts.
当BB′＝100
cm时，
的长是100
cm，所对的圆心角∠AOA′＝＝(rad)．
因为轮子每分钟匀速旋转6圈，
所以每秒匀速转过＝(rad)．
于是t
s转过t
rad，
所以t＝，得t＝≈4(s)．[学业水平训练]
sin
75°＝________．
解析：sin
75°＝sin(90°－15°)＝cos
15°＝cos(60°－45°)
＝cos
60°cos
45°＋sin
60°sin
45°
＝·＋·
＝.
答案：
已知cos
α＝，α∈(，2π)，则cos(α－)＝________．
解析：∵α∈(，2π)，
∴sin
α＝－＝－，
∴cos(α－)＝cos
αcos＋sin
αsin＝×＋(－)×＝.
答案：
sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为__________．
解析：sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)＝sin(65°－x)sin
[90°－(x－20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)sin(110°－x)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos(110°－x－65°＋x)＝cos
45°＝.
答案：
cos
15°＋sin
15°的值是__________．
解析：cos
15°＋sin
15°＝2(sin
15°＋cos
15°)＝2cos(60°－15°)＝2cos
45°＝2.
答案：2
已知：cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝－，且180°＜α＜270°，则tan
α等于__________．
解析：由已知知cos
[(α＋β)－β]＝－，即cos
α＝－.
又180°＜α＜270°，所以sin
α＝－，所以tan
α＝＝.
答案：
若三角形两内角α，β满足tan
α·tan
β＞1，则这个三角形是__________．
解析：因为tan
α·tan
β＞1，所以α，β均为锐角，＞1，所以cos
αcos
β－sin
αsin
β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．
答案：锐角三角形
求下列各式的值：
(1)sin
61°sin
16°＋cos
61°cos
16°；
(2)cos
80°cos
20°＋cos
10°cos
70°.
解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos
45°＝.
(2)原式＝cos
80°cos
20°＋sin
80°sin
20°
＝cos(80°－20°)＝cos
60°＝.
已知锐角α、β满足sin
α＝，cos
β＝.
(1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．
解：(1)∵sin
α＝，α为锐角．
∴cos
α＝α＝＝；
∵cos
β＝，β为锐角．
∴sin
β＝＝＝，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝·＋·＝.
(2)cos(α＋β)＝cos
[α－(－β)]
＝cos
αcos(－β)＋sin
αsin(－β)
＝·＋·(－)＝.
∵α、β均为锐角，∴0<α＋β<π，
∴α＋β＝.
[高考水平训练]
1．1.若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)＝________．
解析：根据条件可得α＋∈(，π)，－∈(，)，所以sin(α＋)＝，sin(－)＝，
所以cos(α＋)＝cos
[(＋α)－(－)]
＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－)
＝×＋×＝.
答案：
设a＝2cos
66°，b＝cos
5°－sin
5°，c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：b＝cos
5°－sin
5°＝2(cos
5°－sin
5°)＝2cos
65°，
c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)＝2(cos
43°cos
24°－sin
24°sin
43°)＝2cos
67°.
因为函数y＝cos
x在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos
67°66°65°，所以b>a>c.
答案：b>a>c
已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f(4α＋π)＝－，f(4β－π)＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)由f()＝得Acos(＋)＝，
即A·cos＝，∴A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos(＋)．
由得
解得∵α，β∈，
∴cos
α＝＝，sin
β＝＝，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝－.
4．已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)(0＜α＜β＜π)．若ka＋b与a－kb长度相等(其中k为非零实数)，求β－α的值．
解：∵ka＋b＝(kcos
α，ksin
α)＋(cos
β，sin
β)
＝(kcos
α＋cos
β，ksin
α＋sin
β)，
a－kb＝(cos
α－kcos
β，sin
α－ksin
β)，
∴|ka＋b|2＝(kcos
α＋cos
β)2＋(ksin
α＋sin
β)2
＝k2cos2α＋2kcos
αcos
β＋cos2β＋k2sin2α＋2ksin
αsin
β＋sin2β＝k2＋2kcos(α－β)＋1.
|a－kb|2＝(cos
α－kcos
β)2＋(sin
α－ksin
β)2
＝cos2α－2kcos
αcos
β＋k2cos2β＋sin2α－2ksin
αsin
β＋k2sin2β
＝k2－2kcos(α－β)＋1.
又|ka＋b|＝|a－kb|，∴|ka＋b|2＝|a－kb|2.
∴2kcos(α－β)＝－2kcos(α－β)．
又k≠0，∴cos(α－β)＝0，即cos(β－α)＝0.
又0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π，
∴β－α＝.[学业水平训练]
已知函数f(x)＝(sin
x－cos
x)sin
x，x∈R，则f(x)的最小正周期是__________．
解析：f(x)＝sin2x－sin
xcos
x＝－sin
2x＝－cos(2x－)＋，故函数的最小正周期T＝＝π.
答案：π
若θ是第二象限的角，且cos＜0，则的值是__________．
解析：∵θ是第二象限的角，且cos＜0，
∴2kπ＋π＜＜2kπ＋π，k∈Z，
∴
＝
＝＝－1.
答案：－1
若＝－，则cos
α＋sin
α的值为__________．
解析：原式可化为＝－，化简，
可得sin
α＋cos
α＝.
答案：
函数f(x)＝sin(2x－)－2·sin2x的最小正周期是__________．
解析：f(x)＝sin
2x－cos
2x－2·
＝sin
2x＋cos
2x－＝sin(2x＋)－.
故最小正周期为π.
答案：π
y＝cos
x＋cos(x＋)的最大值是__________．
解析：原式＝cos
x＋cos
x－sin
x
＝cos
x－sin
x
＝(cos
x－sin
x)＝cos(x＋)，
∴ymax＝.
答案：
设sin
α＝(＜α＜π)，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)的值等于__________．
解析：∵sin
α＝(＜α＜π)，
∴cos
α＝－，tan
α＝－.
∵tan(π－β)＝，∴tan
β＝－，tan
2β＝－，
∴tan(α－2β)＝＝＝.
答案：
求值：sin
40°(tan
10°－)．
解：原式＝sin
40°·
＝sin
40°·＝＝－1.
已知tan＝，求的值．
解：＝
＝＝tan
α＋，由tan＝得，tan
α＝＝，代入上式可得原式＝.
[高考水平训练]
已知cos(－α)＝，则cos(π＋α)－sin2(α－)的值是__________．
解析：∵cos(π＋α)＝cos＝
－cos(－α)＝－.而sin2(α－)＝1－cos2(α－)＝1－＝.∴原式＝－－＝－.
答案：－
已知sin
α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan
β的值是__________．
解析：∵sin
α＝，α是第二象限角，∴cos
α＝－，∴tan
α＝－.又tan(α＋β)＝1，∴tan
β＝tan
[(α＋β)－α]＝＝＝7.
答案：7
已知cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－，求sin(α＋β)的值．
解：∵cos
α－cos
β＝，∴－2sinsin＝.①
∵sin
α－sin
β＝－，∴2cossin＝－.②
①÷②，得－tan＝－.
∴tan＝.
∴sin(α＋β)＝＝＝.
4．已知函数f(x)＝sin
x＋cos
x.
(1)若f(x)＝2f(－x)，求的值；
(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．
解：(1)∵f(x)＝sin
x＋cos
x，∴f(－x)＝cos
x－sin
x.
又∵f(x)＝2f(－x)，
∴sin
x＋cos
x＝2(cos
x－sin
x)，且cos
x≠0，
∴tan
x＝，
∴＝
＝＝.
(2)由题知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin
xcos
x，
∴F(x)＝cos
2x＋sin
2x＋1，
∴F(x)＝sin(2x＋)＋1.
∴当sin(2x＋)＝1时，F(x)max＝＋1.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
故所求函数F(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．[学业水平训练]
1．为了得到函数y＝2sin(＋)，x∈R的图象，只需把函数y＝2sin
x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
解析：y＝2sin
xy＝2sin(x＋)
y＝2sin(x＋)．
答案：③
2．已知函数y＝f(x)，f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sin
x的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．
解析：y＝sin
xy＝sin(x－)y＝sin(2x－)．
答案：y＝sin(2x－)
3.
在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f(x)＝sin(2x＋)，g(x)＝sin(2x＋)，h(x)＝cos(x－)的部分图象(如图)，则a，b，c对应的函数依次是________．
解析：由于函数f(x)、g(x)、h(x)的最大值分别是、1、1，因此结合图形可知，曲线b为f(x)的图象；又g(x)、h(x)的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a、c分别是h(x)、g(x)的图象．
答案：h(x)，f(x)，g(x)
4．要得到y＝sin(＋)的图象，需将函数y＝sin至少向左平移________个单位长度．
解析：将y＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin(＋)的图象．令＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝4kπ＋，k∈Z.
∴当k＝0时，φ＝π是φ的最小正值．
答案：π
5．函数y＝3sin(－2x－)(x∈[0，π])的增区间是________．
解析：原式可化为y＝－3sin(2x＋)．
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又x∈[0，π]，则增区间为[，]．
答案：[，π]
6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ≤)，且此函数的图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析：由图可知＝π－π＝，∴T＝π.又＝T，∴ω＝2.又图象过(，0)，此点可看作“五点法”中函数的第三个点，故有2×＋φ＝π，∴φ＝.
∴点(ω，φ)的坐标是(2，)．
答案：(2，)
7．(2014·日照高一期末)作出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图，并说明它与y＝sin
x的图象之间的关系．
解：列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin(2x＋)
0
3
0
－3
0
描点画图，如图．
利用函数的周期性，可以把y＝sin
x的图象向左、右扩展，就得到y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图．
法一：y＝sin
x的图象y＝sin(x＋)的图象y＝sin(2x＋)的图象y＝3sin(2x＋)的图象．
法二：y＝sin
x的图象
y＝sin
2x的图象
y＝sin
[2(x＋)]＝sin(2x＋)的图象
y＝3sin(2x＋)的图象．
8．已知f(x)＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin
2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)变换情况如下：
y＝sin
2xy＝sin
[2(x＋)]
y＝sin(2x＋)＋.
[高考水平训练]
1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的一个最高点为(2，)，它到相邻的最低点之间的图象与x轴交于点(6，0)，则这个函数的解析式为________．
解析：由题知A＝，且有得
所以函数的解析式为y＝sin(x＋)．
答案：y＝sin(x＋)
2．若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)在x＝时取得最大值1；(3)在区间[－，]上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是________(填序号)．
①y＝sin(＋)； ②y＝cos(2x＋)；
③y＝sin(2x－)； ④y＝cos(2x－)．
解析：由(1)排除①.由(2)可知函数在x＝时取得最大值1，代入可知③满足，而且在区间[－，]上，③是增函数．
答案：③
3．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，)，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)，φ∈(－，)．
(1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
解：(1)依题意，A＝，T＝4×(－)＝4π.
∵T＝＝4π，ω>0，∴ω＝.
∴y＝sin(x＋φ)．
又曲线上的最高点为(，)，
∴sin(×＋φ)＝1，
∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z.
∵－<φ<，∴φ＝.
∴y＝sin(x＋)．
(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z.
∴4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．
令2kπ＋≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，
∴4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z)．
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图象向x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．
解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，∴ω＝.把(0，1)代入解析式f(x)＝2sin(＋φ)，得2sin
φ＝1.
又|φ|＜，解得φ＝.
∴f(x)＝2sin(＋)为所求．
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin(x＋)，再平移得g(x)＝2sin
[(x－)＋]＝2sin(x－)．
列表：
x
x－
0
π
2π
2sin(x－)
0
2
0
－2
0
图象如图：[学业水平训练]
1．已知α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α＝________．
解析：∵5，12，13为勾股数组，且α为第四象限角，
∴sin
α＝－.
答案：－
2．化简－得________．
解析：原式＝
＝＝－＝－2tan2θ.
答案：－2tan2θ
3．若sin
x＋cos
x＝，那么sin4x＋cos4x的值为________．
解析：由sin
x＋cos
x＝，得2sin
xcos
x＝1，由sin2x＋cos2x＝1，得sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1.
所以sin4x＋cos4x＝1－(2sin
xcos
x)2＝1－×1＝.
答案：
4．已知sin(α－)＝，则cos(α－)等于________．
解析：cos(α－)＝±
＝±
＝±.
答案：±
5．已知tan
α＝m(π＜α＜)，则sin
α＝________．
解析：因为tan
α＝m，所以＝m2，
又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝.
又因为π＜α＜，所以tan
α＞0，即m＞0.
因而sin
α＝－
.
答案：－
6．已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，那么tan
θ的值是________．
解析：法一：设P(x，y)是角θ终边上任一点，P到坐标原点的距离为r，则r＝>0，且sin
θ＝，cos
θ＝.由已知有＝ ①，即25(x＋y)2＝x2＋y2，整理并解得＝－或＝－ ②.因为0＜θ＜π，所以y＞0，又由②知x＜0，再由①知x＋y＞0，则|x|＜|y|.
所以－1＜＜0，＜－1.所以tan
θ＝＝－.
法二：由sin
θ＋cos
θ＝，①
得sin
θcos
θ＝－<0，
又0<θ<π，∴sin
θ>0，cos
θ<0，则sin
θ－cos
θ>0，
∴sin
θ－cos
θ＝＝
＝ ＝.②
由①②解得sin
θ＝，cos
θ＝－，
所以tan
θ＝＝－.
答案：－
7．化简：－.
解：原式＝－
＝－
＝＝sin
x＋cos
x.
8．已知tan
α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－3sin
αcos
α＋1.
解：(1)因为tan
α＝2，所以cos
α≠0.
所以＝
＝＝.
(2)因为tan
α＝2，所以cos
α≠0.
所以sin2α－3sin
αcos
α＋1＝sin2α－3sin
αcos
α＋(sin2α＋cos2α)＝2sin2α－3sin
αcos
α＋cos2α
＝
＝
＝＝.
[高考水平训练]
1．已知cos
α＝tan
α，则sin
α＝________．
解析：因为cos
α＝tan
α，所以cos
α＝，即sin
α＝cos2α≥0，可得sin
α＝1－sin2α，即sin2α＋sin
α－1＝0，
解得sin
α＝，舍去负值，得sin
α＝.
答案：
2．已知tan
θ＝2，则sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＝________．
解析：∵tan
θ＝2，∴cos
θ≠0
则原式可化为
＝
＝＝＝.
答案：
3．已知2sin
θ－cos
θ＝1，3cos
θ－2sin
θ＝a，记数a形成的集合为A，若x∈A，y∈A，则以点P(x，y)为顶点的平面图形是什么图形？
解：联立解得
或所以a＝3cos
θ－2sin
θ＝－3或，
即A＝{－3，}．
因此，点P(x，y)可以是P1(－3，－3)，
P2(－3，)，P3(，)，P4(，－3)．
经分析知，这四个点构成一个正方形．
4．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别为sin
θ和cos
θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：由根与系数的关系，可得
(1)＋＝＋
＝＝sin
θ＋cos
θ＝；
(2)由①平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝.
又由②，得＝，所以m＝，
由③，得m≤，所以m＝符合题意；
(3)当m＝时，原方程变为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或
又∵θ∈(0，2π)，∴θ＝或.[学业水平训练]
1．如图，是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
解析：不妨设函数解析式为
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
由图象知A＝2，由＝2×(0.5－0.1)得ω＝.
又2sin(×0.3＋φ)＝0，∴φ可取.
答案：y＝2sin(πx＋)
2.
若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(右图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T为________．
解析：由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．
答案：29.5天
3．一根长a
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cos(t＋)，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________．
解析：T＝＝.
答案：
4．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，某房地产介绍所对温州市一楼盘对今年的房价作了统计、预测；发现每个季度的平均单价y(每单位面积价格：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，请补充下表：
x
1
2
3
y
10
000
9
500
______
解析：由题意，得，解得.
∴y＝500sinx＋9
500，
∴当x＝3时，y＝500sin＋9
500＝9
000.
答案：9
000
5.
如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
解析：将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，∴ω＝＝，下面确定φ.将(6，0)看成函数第一特殊点，则×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴函数关系式为y＝6sin(x－π)＝－6sinx.
答案：y＝－6sinx
6.
如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3
cm，周期为3
s，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始计时．则物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系为________．
解析：设所求函数关系为x＝3sin(ωt＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)．则由T＝＝3，可得ω＝，当t＝0时，有x＝3sin
φ＝3，即sin
φ＝1；又0≤φ<2π，故可得φ＝，所以所求函数关系为x＝3sin(t＋)，即为x＝3cost.
答案：x＝3cost
7.
如图所示，有一广告气球，直径为6
m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为θ＝(若θ很小时，可取sin
θ≈θ，其中θ用弧度制表示)，试估算该气球的高BC的值约为多少？
解：∵AC＝＝＝(m)，
∴BC＝AC·sin
30°＝≈86(m)，即气球的高约为86
m.
8.
如图是某地一天从6时至14时的温度变化曲线，近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)．
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．
(2)图中从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以T＝2×(14－6)＝16，ω＝＝.又A＝＝10，b＝＝20，
所以y＝10sin(x＋φ)＋20.
当x＝6时，
又由|φ|<π知，×6＋φ＝π，
所以φ＝π，
所以所求函数解析式为y＝10sin(x＋π)＋20，
x∈[6，14]．
[高考水平训练]
1．如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则ω＝________，A＝________．
解析：由题意可知A＝3，T＝15秒，
由＝15得ω＝.
答案：π 3
2.
如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边△ABC，设∠AOB＝x时，S四边形OACB等于________．
解析：如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC.过点B作BD⊥MN于D，
则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sin
x.
∴S△AOB＝×2sin
x＝sin
x.
∵OD＝BOcos(π－x)＝－cos
x，
∴AB2＝BD2＋AD2
＝sin2x＋(－cos
x＋2)2＝5－4cos
x.
∴S△ABC＝AB·ABsin
60°＝－cos
x.
∴S四边形OACB＝sin
x－cos
x＋.
答案：sin
x－cos
x＋
3．(2014·西安高一期末)交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
解：(1)当t＝0时，E＝110(伏)，即开始时的电压为110
伏．
(2)T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏．
当100πt＋＝，即t＝秒时第一次取得这个最大值．
4．(2014·焦作高一检测)心脏跳动时，血压在增加或减小．心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，血压的最大值和最小值分别为收缩压和舒张压．设某人的血压满足函数关系式P(t)＝95＋Asin
ωx，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，其函数图象如图所示．
(1)根据图象写出该人的血压随时间变化的函数解析式；
(2)求出该人的收缩压，舒张压及每分钟心跳的次数．
解：(1)由图象可知，振幅A＝120－95＝25，周期T＝，由＝，知ω＝160π，于是P(t)＝95＋25sin
160πt.
(2)收缩压为95＋25＝120(mmHg)，
舒张压为95－25＝70(mmHg)，
心跳次数为f＝＝80(次)．(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝________．
解析：∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，
∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．
答案：(7，3)
在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为________．
解析：由＝可得四边形ABCD是平行四边形，由||＝||得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
答案：菱形
已知A(4，1)，B(1，－)，C(x，－)，若A、B、C共线，则x等于________．
解析：∵＝(－3，－)，＝(x－1，－1)，
又∵∥，∴(－3)·(－1)－(－)·(x－1)＝0
得－(x－1)＝3，解得x＝－1.
答案：－1
有下列命题：①＋＋＝0；②(a＋b)·c＝a·c＋b·c；③若的起点为A(2，1)，终点为B(－2，4)，则与x轴正向夹角的余弦值是.其中正确命题的序号是________．
解析：∵＋＋＝2，∴①错；②是数量积的分配律，正确；在③中，＝(4，－3)与x轴正向夹角的余弦值是，故③正确．
答案：②③
点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________．
解析：∵·＝·，∴·(－)＝0，
∴·＝0，∴OB⊥CA.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为垂心．
答案：垂心
若|a|＝|b|＝1，a⊥b且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为________．
解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，又∵(2a＋3b)⊥(ka－4b)，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，得2ka2－12b2＝0，又a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，解得k＝6.
答案：6
已知a＝(3，4)，b⊥a，且b的起点为(1，2)，终点为(x，3x)，则b等于________．
解析：b＝(x－1，3x－2)，∵a⊥b，∴a·b＝0，
即3(x－1)＋4(3x－2)＝0，
解得x＝，所以b等于(－，)．
答案：(－，)
等边△ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于________．
解析：由已知|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴a·b＋b·c＋c·a＝cos
120°＋cos
120°＋cos
120°＝－.
答案：－
若向量a、b、c是单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
解析：由3a＋λb＋7c＝0，得7c＝－3a－λb，
∴(7c)2＝(－3a－λb)2＝9a2＋6λa·b＋λ2b2，
∴λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝5或－8.
答案：－8或5
在 ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F.若＝a，＝b，则＝________．
解析：
如图．
∵△DEF∽△BEA，∴＝＝.∴DF＝AB＝DC.
∴CF＝DC.∴＝＋
＝a＋＝a＋(＋)
＝a＋＝a＋b.
答案：a＋b
已知a、b、a－b的模分别为2，3，，则a与b的夹角为________．
解析：∵(a－b)2＝7，∴a2－2a·b＋b2＝7，∴a·b＝3；
∴cos
θ＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
已知向量a、b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是________．
解析：∵a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3，
∴|a＋b|2|a－b|2＝3×7＝21，
∴|a＋b||a－b|＝.
答案：
已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－b，c⊥d，则m的值为________．
解析：a·b＝|a||b|cos
60°＝3，
∵c⊥d，∴c·d＝0，即(3a＋5b)(ma－b)＝0，
∴3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，
∴27m＋3(5m－3)－20＝0，解得m＝.
答案：
在△ABC中，D为BC边上一点，BD＝3DC，若P是AD边上一动点且AD＝2，则·(＋3)的最小值为________．
解析：因为＝＋，＝＋，且＝－3，所以＋3＝＋＋3(＋)＝4.
设||＝x(0≤x≤2)，故·(＋3)＝·4＝－4x(2－x)≥－4，
所以当x＝1时，·(＋3)的最小值为－4.
答案：－4
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N是DC、BA的中点，设＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
解：∵AB∥CD且AB＝2CD，
∴＝＝b；
又＝a，
∴＝＋＝a＋b；
又＝－，∴＝a＋b－b＝a－b；
过D作DE∥MN，则E为AN中点，∴＝b；
∴＝＝－＝b－a.
(本小题满分14分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°.求(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|a－b|.
解：a·b＝|a||b|cos
120°＝2×3×(－)＝－3，
(1)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.
(2)|a－b|＝＝＝＝.
(本小题满分14分)已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中线CD＝m，
求证：a2＋b2＝c2＋2m2.
证明：∵＝＋，＝＋，两式平方相加可得a2＋b2＝c2＋2m2＋2(·＋·)，
∵·＋·＝||||·cos
∠ADC＋||||cos
∠CDB＝0，
∴a2＋b2＝c2＋2m2.
(本小题满分16分)已知向量a＝(2，1)，b＝(m，2)，它们的夹角为θ，当m取何值时，θ为(1)直角；(2)锐角；(3)钝角？
解：由a＝(2，1)，b＝(m，2)得
|a|＝，|b|＝，a·b＝2m＋2.
(1)θ为直角 x1x2＋y1y2＝0 2m＋2＝0 m＝－1.
(2)θ为锐角 eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x2＋y1y2＞0，,x1x2＋y1y2≠
\r(x＋y)·\r(x＋y)))
m＞－1且m≠4.
(3)θ为钝角 eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x2＋y1y2＜0，,x1x2＋y1y2≠－\r(x＋y)·\r(x＋y)))
m＜－1.
故当m＝－1时，θ为直角．
当m＞－1且m≠4时，θ为锐角．
当m＜－1时，θ为钝角．
(本小题满分16分)设＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，在上是否存在点M，使⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在点M(x，y)满足条件，
则＝λ＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，
∴＝(2－6λ，5－3λ)，
＝(3－6λ，1－3λ)．
∵⊥，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.
∴＝(2，1)或，
故存在点M(2，1)或点M满足题意．
(本小题满分16分)某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳．
(1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
(2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
解：(1)如图(1)，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作 OACB，则此人的实际速度为
＋＝，
由勾股定理知||＝8，
且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时．
(2)如图(2)，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为＝－，
在Rt△AOD中，||＝4，
||＝4，||＝4，cos
∠DAO＝.故此人沿与河岸的夹角余弦为的逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为4千米/时．[学业水平训练]
1．(2014·天津高一检测)下列结论中，正确的是________．(只填序号)
①零向量只有大小而没有方向；
②对任一向量a，|a|＞0总是成立的；
③||＝||.
解析：对于①，零向量有方向且方向是任意的，故①不正确．对于②，∵|0|＝0，∴对任一向量a，|a|≥0总成立，故②不正确．对于③，||，||分别与线段AB，BA的长度相等，且AB＝BA，故③正确．
答案：③
2．下列结论中，正确的是________．(只填序号)
①向量，共线与向量∥的意义是相同的；
②若＝，则∥；
③若向量＝，则向量＝.
解析：由共线向量、相等向量的定义知①②正确．对于③，当＝时，与的模相等且方向相同，这时与的模也相等且方向相同，故③正确．
答案：①②③
3．如图所示，D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点，则图中与向量相等的向量为________．
解析：大小相等、方向相同的向量才是相等向量．
答案：与
4．有两个人，同时从同一地点按相反的方向沿直线行走，若他们的速度相同，在某一时刻这两个人的位移分别为向量a，b，则这两个向量的模________，方向________，它们的关系是________．
解析：两人从同一地点按相反的方向沿直线行走，说明位移方向相反，又他们的速度相同，故在某一时刻两个人的位移向量具有相等的模，再由定义知这两个向量互为相反向量．
答案：相等 相反 互为相反向量
5.
如图所示，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，最多可以写出________个互不相等的非零向量．
解析：互不相等的非零向量为、、、、、共6个．
答案：6
6．如图所示，四边形ABCD和BCEF都是平行四边形．
(1)写出与相等的向量：________；
(2)写出与共线的向量：________．
解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．
答案：、 、、、、
7．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与方向相同的向量；
(3)写出与，的模相等的向量；
(4)写出与相等的向量．
解：等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC，
(1)图中与共线的向量有，，，，，，，，.
(2)图中与方向相同的向量有，，，.
(3)图中与的模相等的向量为，，，与的模相等的向量为，，.
(4)图中与相等的向量为.
8．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A跳到A1或A2，用向量、表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B、C分别走了一步的所有情况．
解：如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．
[高考水平训练]
1.
如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)图中所标的向量中，与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
解析：(1)四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，根据平行四边形的性质及向量相等的定义，可知＝，＝，∴＝.
(2)由(1)中的分析可知＝＝.又E，D，C三点在同一条直线上，∴||＝||＋||＝2||＝6.
答案：(1)， (2)6
2．如图所示，O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有表示正确的序号为________．
解析：∵正方形的对角线互相平分，∴＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
答案：①②③
3．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：＝.
证明：
如图所示，连结AC.在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝AC，EF∥AC，同理HG＝AC，HG∥AC.
所以||＝||且和同向，所以＝.
4．一架飞机从A点向西北飞行200
km到达B点，再从B点向东飞行100
km到达C点，最后从C点向南偏东60°飞行50
km到达D点，求飞机从D点飞回A点的位移．
解：
如图所示，由||＝200
km，
||＝100
km，
知C在A的正北方向100
km处．
又由||＝50
km，∠ACD＝60°，知∠CDA＝90°，
所以∠DAC＝30°，所以||＝50
km.
故的方向为南偏西30°，长度为50
km.[学业水平训练]
1．若角θ的终边过点P(－3，4)则sin
θ＝________，cos
θ＝________．
解析：OP＝＝5，∴sin
θ＝，cos
θ＝－.
答案： －
2．设θ是三角形的内角且θ≠，则下列各组数中均取正值的是________．(只填序号)
①tan
θ与cos
θ；②cos
θ与sin
θ；
③sin
θ与tan
θ；④tan与sin
θ.
解析：∵θ是三角形的内角且θ≠，∴0＜θ＜π且θ≠，∴sin
θ＞0，tan＞0.
答案：④
3．若α＝，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是________．
解析：可设P点坐标为(x，y)，则
sin
α＝＝＝，
cos
α＝＝＝－.
∴
答案：(－，)
4．已知角α的终边在直线y＝－2x上，则sin
α＋cos
α的值为________．
解析：设角α的终边上任一点P(k，－2k)(k≠0)，则r＝＝＝|k|.
当k>0时，r＝|k|＝k，
所以sin
α＝＝＝－，
cos
α＝＝＝，
所以sin
α＋cos
α＝－；
当k<0时，
r＝|k|＝－k，
所以sin
α＝＝＝，
cos
α＝＝＝－，
所以sin
α＋cos
α＝.
综上所述，可得sin
α＋cos
α＝±.
答案：±
5．下列说法中，正确的个数为________．
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②终边不同的角的同名三角函数值不全相等；
③若sin
α＞0，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上的一点，则cos
α＝
.
解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是正确的；当α的终边与y轴的非负半轴重合时，sin
α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos
α＝，故④也是不正确的．因此只有2个正确．
答案：2
6．若A是第三象限角，且|sin|＝－sin，则是第________象限角．
解析：∵A是第三象限角，∴2kπ＋π＜A＜2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，
∴是第二、四象限角．又∵|sin|＝－sin，
∴sin＜0，∴是第四象限角．
答案：四
7．已知角α的终边与函数y＝x的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值．
解：函数y＝x的图象是过原点和第一、三象限的直线，
因此α的终边在第一或第三象限．
当α的终边在第一象限时，在终边上取点P(2，3)，则r＝＝，于是sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝；
当α的终边在第三象限时，在终边上取点P′(－2，－3)，则r′＝＝，于是sin
α＝－＝－，cos
α＝－＝－，tan
α＝＝.
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝lg(sin
2x)＋.
解：(1)要使函数有意义，则tan
x有意义且sin
x≠0.
由tan
x有意义，得x≠＋kπ(k∈Z)，①
由sin
x≠0，得x≠kπ(k∈Z),
②
由①②，得x≠(k∈Z)．
故原函数的定义域为{x|x≠，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，则sin
x·tan
x≥0，有sin
x和tan
x同号或sin
x＝0或tan
x＝0.
当sin
x与tan
x同正，则x为第一象限角，即2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)．当sin
x与tan
x同负，则x为第四象限角，即－＋2kπ＜x＜2kπ(k∈Z)．当sin
x＝0或tan
x＝0，则x＝kπ(k∈Z)．故原函数的定义域为
{x|－＋2kπ＜x＜＋2kπ或x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
(3)要使函数有意义，则
由①，得2kπ＜2x＜π＋2kπ(k∈Z)，即kπ
＜x
＜＋kπ(k∈Z)．
由②，得－3≤x≤3.
故原函数的定义域为{x|－3≤x＜－或0＜x＜}．
[高考水平训练]
1．已知MP，OM，AT分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有________．(只填序号)
①MP＜OM＜AT；②OM＜MP＜AT；
③AT＜OM＜MP；④OM＜AT＜MP.
解析：sin
60°＝，cos
60°＝，tan
60°＝.
答案：②
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析：∵点P(tan
α，cos
α)在第三象限，∴tan
α＜0，cos
α＜0，∴角α的终边在第二象限．
答案：二
3．张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos
θ＝x，问能否求出sin
θ，cos
θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．”他对此题，百思不得其解．同学们，你们能帮张明求解吗？
解：由题意，得r＝OP＝，
则cos
θ＝＝
.
∵cos
θ＝x，
∴＝x.
∵x≠0，∴x＝1或x＝－1.
当x＝1时，点P的坐标为(1，3)，角θ为第一象限角，
此时，sin
θ＝＝，cos
θ＝；
当x＝－1时，点P的坐标为(－1，3)，角θ为第二象限角，此时，sin
θ＝，cos
θ＝－.
4．若0<α<β<，试比较β－sin
β与α－sin
α的大小．
解：如图，在单位圆中，
sin
α＝MP，sin
β＝NQ，弧的长为α，弧的长为β，则弧的长为β－α.
过P作PR⊥QN于R，连结PQ，则MP＝NR.
所以RQ＝sin
β－sin
α所以β－sin
β>α－sin
α.[学业水平训练]
1．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________．
解析：由题意知，|a|＝＝5.∴x＝±4.
答案：±4
2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为________．
解析：由题意知6－m＝0，∴m＝6.
答案：6
3．若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝__________．
解析：∵a＝(1，1)，b＝(2，5)，∴8a－b＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6，3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.
答案：4
4．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
解析：∵|a＋b|＝5，∴a2＋2a·b＋b2＝50，∴b2＝25，
∴|b|＝5.
答案：5
如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·＝________.
解析：法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(，0)，E(，1)，F(x，2)．故＝(，0)，＝(x，2)，＝(，1)，＝(x－，2)，
∴·＝(，0)·(x，2)＝x.
又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)．
∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝.
法二：设＝x，则＝(x－1).
·＝·(＋)＝·(＋x)
＝x2＝2x，∴x＝.
∴＝＋＝＋(－1).
∴·＝(＋)·[＋(－1)]
＝(＋)[＋(－1)]
＝(－1)2＋＝(－1)×2＋×4＝.
答案：
6．设向量a＝(1，2)，b＝(x,
1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于__________．
解析：a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝，a·b＝(1，2)·(，1)＝1×＋2×1＝.
答案：
(2014·大连高一检测)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？
解：(1)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得：解得
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
因为λ＜0，所以ka＋b与a－3b反向．
8．已知a＝(2，－3)，求与a垂直的单位向量的坐标．
解：设单位向量为e，其坐标为(x，y)．
根据题意有
解得或，
所以e＝(，)或(－，－)．
[高考水平训练]
1．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使·有最小值，则点P的坐标是__________．
解析：设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3，0)．
答案：(3，0)
如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sin
θ.如果|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－3，则|a×b|＝________．
解析：
由于a·b＝|a||b|cos
θ＝－3，所以cos
θ＝－.
又因为θ为向量a与b的夹角，所以sin
θ＝，
所以|a×b|＝|a||b|sin
θ＝4.
答案：4
已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：由已知得|a|＝＝2，
|b|＝＝1，
a·b＝×－1×＝0.∵x⊥y，∴x·y＝0，
∴[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
化简得k＝，
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－，
即当t＝－2时，有最小值－.
4．已知c＝ma＋nb＝(－2，2)，a与c垂直，b与c的夹角为120°，且b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解：∵a与c垂直，∴a·c＝0.
又∵c＝ma＋nb，∴c·c＝ma·c＋nb·c，
∴12＋4＝－4n，∴n＝－4.
∵b·c＝|b||c|cos
120°，
∴－4＝|b|×4×(－)，∴|b|＝2.
又a·c＝ma2－4a·b，|a|＝2，∴a·b＝2m.
又b·c＝m(a·b)－4b2，
∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m＝±.
当m＝时，a·b＝2.
∴cos
θ＝＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
当m＝－时，a·b＝－2.
∴cos
θ＝－，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
因此m＝，n＝－4时，θ＝；m＝－，n＝－4时，θ＝.(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)
1．72°＝________rad.
解析：72°＝72·
rad＝.
答案：
若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan
α的值为________．
解析：由三角函数定义得tan
α＝＝－2.
答案：－2
若cos(2π－α)＝，且α∈(－，0)，则sin(π－α)＝________．
解析：cos(2π－α)＝cos
α＝，又α∈(－，0)，
∴sin
α＝－，
∴sin(π－α)＝sin
α＝－.
答案：－
某扇形的面积为1
cm，它的弧长为2
cm，那么该扇形圆心角弧度数为________．
解析：由得α＝2.
答案：2
设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，有下列图象：
其中，函数d＝f(l)的图象大致是________．
解析：令所对的圆心角为θ，由OA＝1，知l＝θ，sin＝，所以d＝2sin＝2sin，即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)．结合四个图象可知填③.
答案：③
函数y＝tan(x－)的定义域是________．
解析：由x－≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠＋kπ(k∈Z)．
答案：
将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．
解析：将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin
2(x＋)，即y＝sin(2x＋)＝cos
2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos
2x.
答案：y＝1＋cos
2x
为了使函数y＝sin
ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________．
解析：由函数图象可知，要出现50次最大值，至少需要49个周期．
∴T≤＝.
∴ω＝≥＝.
答案：
若0≤α≤2π，sin
α>cos
α，则α的取值范围是________．
解析：∵sin
α>cos
α，
∴或或
又∵0≤α≤2π，∴<α<或<α<或x＝，
即x∈(，)．
答案：(，)
已知函数f(x)＝sin的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2＋y2＝k2上，则f(x)的最小正周期为________．
解析：T＝＝2|k|.由题意知在圆上，
得＋3＝k2，
所以|k|＝2，所以T＝4.
答案：4
先将y＝sin
x的图象向右平移个单位，再变化各个点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω＞0)的图象，则ω＝________，φ＝________．
解析：因为函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为，所以ω＝3.又因为将函数y＝sin
x的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin(x－)的图象，故可判断函数y＝sin(ωx＋φ)中φ＝－.
答案：3 －
方程2sin＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
解析：∵x∈[0，π]，
∴x＋∈，
∴2sin∈[－，2]．
作出函数y＝2sin与y＝1－2a在[0，π]上的图象(图略)，当≤1－2a<2时，原方程有两个不等的实根，
故－答案：
函数f(x)＝2cos(x－)－1在区间(0，π)内的零点是________．
解析：函数f(x)＝2cos(x－)－1的零点即方程
2cos(x－)＝1的解，也就是方程cos(x－)＝的解，∴x－＝2kπ±(k∈Z)，
即x＝2kπ＋或x＝2kπ－(k∈Z)，∴在区间(0，π)内的解是x＝.
答案：
函数f(x)＝3sin(2x－)的图象为C.
①图象C关于直线x＝π对称；
②函数f(x)在区间(－，)内是增函数；
③由y＝3sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的个数是________．
解析：①f()＝3sin(π－)＝3sinπ＝－3，
∴直线x＝π为对称轴，①对；
②由－＜x＜ －＜2x－＜，
由于函数y＝3sin
x在(－，)内单调递增，
故函数f(x)在(－，)内单调递增，②对；
③∵f(x)＝3sin
2(x－)，∴由y＝3sin
2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝3sin
2(x－)的图象，得不到图象C，③错．
答案：2
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分14分)已知函数f(x)＝cos(2x＋)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)用五点法作出函数f(x)在一个周期内的图象．
解：(1)∵f(x)＝cos(2x＋)，∴T＝π.
(2)列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
cos(2x＋)
1
0
－1
0
1
描点得一个周期内的图象：
(本小题满分14分)已知－＜x＜0，sin
x＋cos
x＝.
(1)求sin
x－cos
x的值；
(2)求的值．
解：(1)法一：联立方程：
由①得sin
x＝－cos
x，将其代入②，整理得
25cos2x－5cos
x－12＝0.
∵－＜x＜0，∴
所以sin
x－cos
x＝－.
法二：∵sin
x＋cos
x＝，
∴(sin
x＋cos
x)2＝()2，
即1＋2sin
xcos
x＝，∴2sin
xcos
x＝－.
∵(sin
x－cos
x)2＝sin2x－2sin
xcos
x＋cos2x
＝1－2sin
xcos
x＝1＋＝.③
又∵－＜x＜0，∴sin
x＜0，cos
x＞0，
∴sin
x－cos
x＜0.④
由③④可知sin
x－cos
x＝－.
(2)由已知条件及(1)可知
解得
∴tan
x＝－.
∴＝＝
＝＝＝.
(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin
x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)∵f(x)＝sin＋，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)先把y＝sin
x的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin
2x的图像，再把y＝sin
2x图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到y＝sin＋的图象．
(本小题满分16分)(1)已知角α终边上一点P(－，y)且sin
α＝y，求cos
α的值．
(2)若f(x)＝sin，试求f(1)＋f(2)＋…＋f(2
015)的值．
解：(1)由＝y解得y＝±或y＝0；
当y＝±时cos
α＝－；
当y＝0时，x＝－，r＝＝，
故cos
α＝＝＝－1，
∴cos
α＝－或－1.
(2)∵f(x)＝sin的周期为T＝12，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(12)，
f(13)＋f(14)＋…f(24)，…，
f(1
993)＋f(1
994)＋…＋f(2
004)是相等的，把它们看成一个个整体，则有：
f(1)＋f(2)＋…＋f(2
015)＝167[f(1)＋f(2)＋…＋f(12)]＋f(2
005)＋…＋f(2
015)，
∵f(1)＋f(2)＋…f(12)＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
015)
＝167×0＋f(2
004＋1)＋…＋f(2
004＋11)＝f(1)＋…＋f(11)＝0.
(本小题满分16分)设函数f(x)＝cos2x＋sin
x＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．
解：f(x)＝(1－sin2x)＋sin
x＋a－1
＝－sin2x＋sin
x＋a＝－(sin
x－)2＋a＋.
∵－1≤sin
x≤1，
∴当sin
x＝时f(x)max＝a＋；
当sin
x＝－1时，f(x)min＝a－2.
∵1≤f(x)≤对一切x∈R恒成立，
∴f(x)max≤且f(x)min≥1.
即得3≤a≤4，故a的取值范围是[3，4]．
(本小题满分16分)求关于x的函数y＝2cos2x－2acos
x－(2a＋1)的最小值．
解：设cos
x＝t，则函数y＝2cos2x－2acos
x－(2a＋1)即为关于t的二次函数y＝2t2－2at－(2a＋1)(－1≤t≤1)；
该二次函数图象关于t＝对称，故分三种情况讨论：
(1)当≤－1即a≤－2时，关于t的二次函数y＝2t2－2at－(2a＋1)在区间[－1，1]上为增函数，所以t＝－1时ymin＝2＋2a－(2a＋1)＝1；
(2)当－1<<1即－2(3)当≥1即a≥2时，关于t的二次函数y＝2t2－2at－(2a＋1)在区间[－1，1]上为减函数，所以t＝1时，ymin＝2－2a－(2a＋1)＝1－4a；
综上知：原函数y＝2cos2x－2acos
x－(2a＋1)的最小值ymin＝