2.2 函数的简单性质
2.2.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
课时训练9 函数的单调性
1.(2016湖北枣阳白水高中高一月考)若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有( ).
A.f(x)在R上是增函数
B.f(x)在R上是减函数
C.函数f(x)是先增后减
D.函数f(x)是先减后增
答案:A
解析:由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a
b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.
2.函数y=x2-3x+2的单调减区间是( ).
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:由二次函数y=x2-3x+2的对称轴为x=且开口向上,所以单调减区间为.
3.下列函数为增函数的是( ).
A.f(x)=(x>0)
B.f(x)=-
C.f(x)=-x+
D.f(x)=1+
答案:D
解析:由题可知函数f(x)=1+的定义域为[0,+∞),所以在区间[0,+∞)上为增函数.
4.若函数y=+3在(0,+∞)上为单调减函数,则实数b的取值范围是( ).
A.b<0
B.b≤0
C.b≥0
D.b>0
答案:D
解析:由于原函数的单调性与函数y=的单调性相同,所以当b>0时,原函数在区间(0,+∞)上为减函数.
5.函数f(x)=2x,
x∈[-1,2]上的单调性为单调 函数.(填“增”或“减”)
答案:增
解析:因为原函数为一次函数,且斜率k=2>0,故在R上为增函数,所以在区间x∈[-1,2]上为增函数.
6.若函数y=f(x)为R上的单调增函数,且f(m-1)>f(-m),则实数m的取值范围是 .
答案:
解析:因为y=f(x)为R的单调增函数,且f(m-1)>f(-m),
所以m-1>-m,即2m-1>0,解得m>,
所以m的取值范围是.
7.f(x)是R上的增函数,若a+b>0,则f(a)+f(b) f(-a)+f(-b).(填“>”“<”或“=”)
(导学号51790159)
答案:>
解析:因为a+b>0,所以a>-b或b>-a.
又因为原函数为增函数,所以有f(a)>f(-b),f(b)>f(-a).
所以两式相加,得到f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
8.指出函数y=-x2+2|x|+3的单调区间.
(导学号51790160)
解当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)
2+4;
当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.作出函数的图象如图所示.
在(-∞,-1)和[0,1]上,函数为增函数;在(1,+∞)和[-1,0)上,函数为减函数.
9.求证:函数y=在区间(1,+∞)上为单调减函数.
(导学号51790161)
证明任取1因为1所以(x1-1)(x2-1)>0,x2-x1>0.
从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
故函数y=在区间(1,+∞)上为单调减函数.第2章过关检测
(满分:100分 时间:90分钟)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=3x-1,x∈[-5,2)的值域是( ).
A.(-16,5)
B.(-16,5]
C.[-16,5)
D.[-16,5]
答案:C
解析:∵-5≤x<2,∴-16≤3x-1<5.
∴函数f(x)的值域是[-16,5).
2.已知函数f(x)=8,则f(x2)=( ).
A.8
B.16
C.24
D.64
答案:A
解析:∵f(x)=8,∴f(x)是常数函数,
∴f(x2)=8.
3.已知函数f(2x+1)=3x+2,且f(a)=4,则a=( ).
A.
B.
C.
D.1
答案:C
解析:令2x+1=t,则x=.
将x=代入f(2x+1)=3x+2,
得f(t)=3·+2=t+.∴f(a)=a+.
又f(a)=4,∴a+=4,∴a=.
4.函数y=|3x+1|在[-2,2]上的最大值为( ).
A.6
B.7
C.8
D.9
答案:B
解析:y=|3x+1|=
当-2≤x≤-时,0≤-3x-1≤5;
当-5.(2015课标全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=
( ).
(导学号51790216)
A.-
B.-
C.-
D.-
答案:A
解析:∵f(a)=-3,∴当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.
当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.
∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-2=-.
6.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f的值等于( ).
(导学号51790217)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
解析:由题意,f(3)=1,∴f=f(1)=2.
7.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3≤x≤1)是偶函数,则a,b的值为( ).
A.-1,0
B.0,-1
C.-1,-1
D.0,0
答案:A
解析:∵f(x)是偶函数,∴其定义域关于原点对称,
∴-2a-3=-1,∴a=-1.
∴f(x)=-x2+bx+c.∵f(-x)=f(x),
∴-(-x)2+b(-x)+c=-x2+bx+c,
即2bx=0.
∵上式对定义域内的任意x都成立,∴b=0.
8.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为( ).
(导学号51790218)
A.2
B.4
C.6
D.10
答案:C
解析:在同一平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的图象.
根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x)的图象应为图中实线部分.解方程x+2=10-x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点为(4,6).
所以f(x)=其最大值为交点的纵坐标,所以最大值为6.
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.若一个长方体的高为80
cm,长比宽多10
cm,则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是 .
答案:y=80x2+800x(x>0)
解析:由题意,知长方体的宽为x
cm,长为(10+x)
cm,则根据长方体的体积公式,得y=(10+x)x×80=80x2+800x.所以y与x之间的表达式是y=80x2+800x(x>0).
10.点(x,y)在映射f下的对应点为(x+2y,2x-y),则点(3,1)在映射f下的对应点是 .
答案:(5,5)
解析:∵x=3,y=1时,x+2y=3+2=5,2x-y=2×3-1=5,∴点(3,1)在映射f下的对应点是(5,5).
11.(2016河南商丘夏邑高中高一月考)已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是 .
(导学号51790219)
答案:{x|-2解析:不等式<0可化为f(x)g(x)<0,
由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).
∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,
∴f(x)g(x)是奇函数,
∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).
综上,不等式<0的解集是{x|-2三、解答题(本大题共4小题,共45分)
12.(8分)画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出该函数的单调区间.
解当x≥0时,y=-x2+2x+3;
当x<0时,
y=-x2-2x+3.
∴y=
画出该函数的图象如图所示.由图象知,该函数的单调递增区间是(-∞,-1],(0,1];单调递减区间是(-1,0],(1,+∞).
13.(12分)如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30
m,问:每间笼舍的宽度x为多少时,才能使得每间笼舍面积y达到最大 每间最大面积为多少
解由题意知笼舍的宽为x
m,则笼舍的总长为(30-3x)m,每间笼舍的面积为y=x(30-3x)=-(x-5)2+37.5,x∈(0,10).当x=5时,y取得最大值37.5.即每间笼舍的宽度为5
m时,每间笼舍面积y达到最大,最大面积为37.5
m2.
14.(12分)已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(导学号51790220)
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象.
解(1)由于函数f(x)为定义域为R的奇函数,则f(0)=0.设x<0,则-x>0.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
综上,f(x)=
(2)图象如图.
15.(13分)已知函数f(x)=.
(导学号51790221)
(1)求f(2)与f(),f(3)与f的值.
(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f有什么关系 并证明你的发现.
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
012)+f+f+…+f的值.
解(1)f(2)=,f;f(3)=,f.
(2)由(1)中求得的结果,可猜测f(x)+f=1.
证明如下:
f(x)+f=1.
(3)由(2)知f(x)+f=1.
∴f(2)+f=1,f(3)+f=1,…,f(2
012)+f=1.又f(1)=,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
012)+f+f+…+f.3.1.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象及性质
课时训练14 指数函数的概念、图象及性质
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( ).
A.y=(-2)x
B.y=5x
C.y=-2x
D.y=ax+2(a>0,且a≠1)
答案:B
解析:由指数函数的定义判断可知,只有B满足条件.
2.设a=40.9,b=80.48,c=,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>c>a
D.c>b>a
答案:B
解析:因为a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c==21.5,所以由指数函数y=2x在(-∞,+∞)上为增函数,知a>c>b.
3.(2016山东淄博高一期末)已知对于任意实数a(a>0,且a≠1),函数f(x)=7+ax-1的图象恒过点P,则点P的坐标是( ).
(导学号51790175)
A.(1,8)
B.(1,7)
C.(0,8)
D.(8,0)
答案:A
解析:在函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)中,当x=1时,f(1)=7+a0=8.所以函数f(x)=7+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(1,8).故选A.
4.函数y=的定义域是( ).
A.(-∞,4)
B.(-∞,4]
C.(4,+∞)
D.[4,+∞)
答案:D
解析:由条件得2x-1-8≥0,即x-1≥3,x≥4.所求定义域为[4,+∞).
5.若0(导学号51790176)
答案:p解析:∵0∵-<-1<-,∴p6.已知集合M={-1,1},N=,则M∩N= .
答案:{-1}
解析:由<2x+1<4,得-1又x∈Z,∴x=-1或0.∴N={-1,0}.
从而M∩N={-1}.
7.设f(x)=3x,g(x)=.
(导学号51790177)
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;
(2)计算f(1)
与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论
解(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)f(1)=31=3,g(-1)==3;f(π)=3π,g(-π)==3π;f(m)=3m,g(-m)==3m.
从计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.
8.求函数y=(0≤x≤3)的值域.
解令t=x2-2x+2,则y=.
又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∵0≤x≤3,∴当x=1时,tmin=1;
当x=3时,tmax=5.故1≤t≤5.
∴≤y≤,
故所求函数的值域为.
9.已知函数f(x)=,求f+f+…+f的值.
(导学号51790178)
解f(x)+f(1-x)==1,∴原式=2.3 映射的概念
课时训练12 映射的概念
1.设f:M→N是集合M到集合N的映射,下列说法中正确的是( ).
A.M中每一个元素在N中必有元素与之对应
B.N中每一个元素在M中必有元素与之对应
C.M中的元素在N中可以有不同元素与之对应
D.N中的元素在M中若有原象,则原象必是唯一的
答案:A
解析:在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没有元素对应,所以B是错误的.又因为映射中允许集合M中不同元素对应集合N中相同的元素,就是说可以“多对一”,因此D也是错误的.M中元素的象是唯一的,故C错,∴只有A是正确的.
2.下列对应中是集合A到集合B的映射的个数为( ).
①A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},对应法则f:x→y=x+1,x∈A,y∈B;
②A={x|0°x,x∈A,y∈B;
③A={x|x∈R},B={y|y≥0},对应法则f:x→y=x2,x∈A,y∈B.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:D
解析:根据映射的定义,A中的任何一个元素在B中都有唯一元素和它对应,故①②③都是映射.
3.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表:
表1 映射f的对应法则
x
1
2
3
4
f(x)
3
4
2
1
表2 映射g的对应法则
x
1
2
3
4
g(x)
4
3
1
2
则f(g(1))=( ).
A.3
B.4
C.2
D.1
答案:D
解析:由表2可知,g(1)=4;
由表1可知,f(4)=1.
∴f(g(1))=f(4)=1.
4.设集合A={0,1},B={2,3},对A中的所有元素x,总有x+f(x)为奇数,那么从A到B的映射f的个数是( ).
(导学号51790169)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:A
解析:从A到B的映射共有4个(如图),其中满足x+f(x)为奇数的映射只有最后一个.
5.设f:A→B是从集合A到B的映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x+y,x-y),那么A中元素(-1,-3)所对应的B中的元素为 ,B中元素(1,3)在A中有 与之对应.
答案:(-4,2) (2,-1)
解析:(-1,-3)→(-1-3,-1+3),即(-4,2).
设A中与(1,3)对应的元素为(x,y),
则解得
6.f:x→3x+2是集合A到集合B的映射,若A={-2,0,2},则A∩B= .
答案:{2}
解析:∵f:x→3x+2,且A中元素为-2,0,2,∴对应元素为-4,2,8.∴B={-4,2,8}.∴A∩B={2}.
7.已知集合A={0,2,3},B={0,4,m2},x∈A,y∈B,映射f:A→B使A中元素x和B中元素y=2x对应,求实数m的值.
解由对应关系f可知,集合A中元素0,2分别和集合B中的元素0,4对应,所以集合A中的元素3和集合B中的元素m2对应.于是m2=2×3,解得m=±.
8.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},在下列A到B的四种对应关系中,是否构成A到B的映射
(导学号51790170)
解(1)是A到B的映射.
(2)∵A中的元素4在B中无对应元素,故该对应不是A到B的映射.
(3)该对应是A到B的映射.
(4)A中的元素3在B中有两个元素与之对应,故不是A到B的映射.
9.若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,求自然数a,k及集合A,B.
(导学号51790171)
解∵1对应4,2对应7,
∴可以判断A中的元素3要么对应a4,要么对应a2+3a.
由a4=3×3+1=10,且a∈N知,a不存在.
∴a2+3a=10,解得a=-5(舍去),a=2.
又集合A中的元素k的对应元素3k+1=a4=16,∴k=5.
∴A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.2.2.2 函数的奇偶性
课时训练11 函数的奇偶性
1.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( ).
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12).∴m-2=0,即m=2.
2.已知f(x)是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是
( ).
A.(2,3]
B.[-3,3]
C.[-3,-2)∪(2,3]
D.[-3,-2]
答案:C
解析:由于奇函数的图象关于原点对称,且(0,2]上的图象已知,所以函数的值域是[-3,-2)∪(2,3].
3.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的有
( ).
①f(x)f(-x)是奇函数;
②f(x)|f(-x)|是奇函数;
③f(x)-f(-x)是奇函数;
④f(x)+f(-x)是偶函数.
A.①③
B.①④
C.②③
D.③④
答案:D
解析:用奇偶性定义判断.
对于①,设g(x)=f(x)f(-x),g(-x)=f(-x)f(x)=g(x),∴f(-x)f(x)是偶函数.
对于②,设g(x)=f(x)|f(-x)|,g(-x)=f(-x)|f(x)|≠g(x)≠-g(x),
∴f(x)|f(-x)|是非奇非偶函数.
对于③,设g(x)=f(x)-f(-x),g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),
∴f(x)-f(-x)是奇函数.
对于④,设g(x)=f(x)+f(-x),
则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),
∴f(x)+f(-x)是偶函数.
4.设偶函数f(x)的定义域为R,x∈[0,+∞)时f(x)是增函数,则把f(-2),f(π),f(-3.14)按从小到大的顺序排列是( ).
A.f(-2)B.f(π)C.f(-3.14)D.f(π)答案:A
解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-2)=f(2),f(-3.14)=f(3.
14).
∵0<2<3.14<π,f(x)在[0,+∞)上是增函数,
∴f(2)即f(-2)5.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)= .
答案:-1
解析:令H(x)=f(x)+x2,
则H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,
∴f(-1)=-3.
∴g(-1)=f(-1)+2=-1.
6.已知函数f(x)=x2+(a+1)x+2(a≠-1).若f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数.若函数g(x),f(x)在区间(-∞,1)上均为减函数,则实数a的取值范围是 .
(导学号51790166)
答案:a≤-3
解析:∵f(x)=x2+(a+1)x+2,
而f(x)=g(x)+h(x),g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,
∴g(x)=(a+1)x,h(x)=x2+2.
若g(x),f(x)在区间(-∞,1)上均为减函数,
则有解得a≤-3.
7.(2016湖南岳阳一中高一月考)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f
(2x-1)(导学号51790167)
A.
B.
C.
D.
答案:A
解析:∵函数f(x)是偶函数,∴f(2x-1)又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴|2x-1|<,解得8.已知函数f(x)=x+,且f(1)=3.
(1)求m的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
解(1)∵f(1)=3,即1+m=3,∴m=2.
(2)由(1)知,f(x)=x+,其定义域是{x|x≠0},关于原点对称.
又f(-x)=-x+=-=-f(x),
∴此函数是奇函数.
9.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值和最小值.
(导学号51790168)
解∵x<0时,f(x)=x2+3x+2=,
∴当x∈[-3,-1]时,f(x)min=f=-,f(x)max=f(-3)=2.
由于函数为奇函数,∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是-2,.综合检测
(满分:150分 时间:120分钟)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2015课标全国Ⅱ高考改编)已知集合A={x|-1
A.{x|-1B.{x|-1C.{x|0D.{x|2答案:A
解析:因为A={x|-12.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则m的值为( ).
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案:A
解析:∵f(x)=x2+mx+1的图象关于x=1对称,
∴-=1,∴m=-2.
3.下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求函数零点的近似值的是( ).
答案:C
解析:二分法只能求变号零点,C中函数值不变号.
4.已知正数a,b,c满足lobA.2a<2b<2c
B.2b<2a<2c
C.2c<2a<2b
D.2c<2b<2a
答案:C
解析:∵y=lox为R上的单调减函数,
∴由loba>c,又y=2x为单调增函数,∴2b>2a>2c.
5.已知函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=f-1(x),若f-1,则a=( ).
A.
B.
C.3
D.9
答案:B
解析:方法一:∵f-1,
∴f.∴.∴a=.
方法二:由题意知
f-1(x)=logax,∴f-1=loga,
∴,a=.
6.某学生在期中考试中,数学、英语两科一好一差,为了在后半学期的月考和期末两次考试中提高英语成绩,他决定重点加强英语学习,结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10%,但数学成绩每次都比上次降低了10%,这时恰好两门功课分值均为m分,则这名学生这两科的期末总成绩比期中是( ).
(导学号51790228)
A.提高了
B.降低了
C.不提不降(相同)
D.是否提高与m值有关系
答案:B
解析:设期中考试数学、英语成绩分别为a和b,依题意,得a(1-10%)2=b(1+10%)2=m.
∴a=,b=,∴a+b=≈2.
06m>2m.故总成绩比期中是降低了.
7.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x Q},如果P={x|log2x<1},Q={x|2<2x<8},则P-Q=( ).
(导学号51790229)
A.{x|0B.{x|0≤x<1}
C.{x|0D.{x|0≤x≤1}
答案:C
解析:由log2x<1=log22,得
0由2<2x<8=23,得1∴Q={x|1∴P-Q={x|08.若一次函数f(x)=ax+b有一个零点2,则函数g(x)=bx2-ax的图象可能是( ).
(导学号51790230)
答案:C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.(2015课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a= .
答案:-2
解析:由题意知f(-1)=4,则-a+2=4,∴a=-2.
10.已知函数f(x)=则f= .
答案:
解析:f=f=f(-2)=2-2=.
11.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则函数f(x)的最大值是 .
答案:3
解析:∵f(x)为偶函数,∴m=0.∴f(x)=-x2+3≤3.∴当x=0时,f(x)max=3.
12.已知f:(x,y) (x+2y,2x-y)是A到B的映射,则与集合B中的元素(3,1)相对应的A中的元素是 .
答案:(1,1)
解析:由题意,得解得
∴与(3,1)对应的A中元素为(1,1).
13.将函数y=f(x)的图象上各点向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得图象对应函数的解析式为y=2x,则f(x)= .
(导学号51790231)
答案:2x+1+2
解析:运用逆向思维,将y=2x向上平移2个单位长度得函数y=2x+2的图象,再向左平移1个单位长度得f(x)的图象,∴f(x)=2x+1+2.
14.张老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质.
甲:对于x∈R,都有f(1+x)=f(1-x);
乙:在(-∞,0]上是单调减函数;
丙:在(0,+∞)上是单调增函数;
丁:f(0)不是函数的最小值.
现已知其中恰有三个说得正确,则这个函数可能是 (只需写出一个这样的函数即可).
(导学号51790232)
答案:f(x)=(x-1)2
解析:本题为一开放性问题,答案不唯一.
三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)
15.(12分)设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}.
(导学号51790233)
(1)求a的值及A,B;
(2)设全集U=A∪B,求( UA)∪( UB);
(3)写出( UA)∪( UB)的所有子集.
解(1)∵A∩B={2},∴2∈A,且2∈B.
∴8+2a+2=0,4+6+2a=0.
∴a=-5.A={x|2x2-5x+2=0}=.B={x|x2+3x-10=0}={-5,2}.
(2)∵U=A∪B=,∴ UA={-5}, UB=.∴( UA)∪( UB)=.
(3)∵( UA)∪( UB)中含有2个元素,
∴共有22=4(个)子集,它们分别是 ,{-5},.
16.(13分)(1)已知2x+2-x=a(常数),求8x+8-x的值;
(2)设3a=5b=,求的值.
(导学号51790234)
解(1)∵4x+4-x=(2x)2+(2-x)2=(2x+2-x)2-2·2x·2-x=a2-2.
8x+8-x=(2x)3+(2-x)3=(2x+2-x)·[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2]=(2x+2-x)(4x+4-x-1)=a(a2-2-1)=a3-3a.
(2)方法一:∵3a=5b=,∴a=log3,b=log5.∴
=lo3+lo5=lo15=2.
方法二:∵3a=5b=,每个等号两边都取常用对数,得alg
3=blg
5=lg
15,∴a=,b=.
∴=2.
17.(13分)某工厂计划出售一种产品,经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格,而是通过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查.通过调查确定了关系式P=-750x+15
000,其中P为零售商进货的数量,x为零售商愿意支付的每件的价格.现估计生产这种产品每件的材料和劳动生产费用为4元,并且工厂生产这种产品的总固定成本为7
000元(固定成本是除材料和劳动费用外的其他费用),为获得最大利润,工厂应对零售商每件收取多少元
(导学号51790235)
解设总生产成本为Q元,总收入为S元,总利润为y元,则由题意,得
y=S-Q,Q=4P+7
000=4(-750x+15
000)+7
000=-3
000x+67
000,
S=Px=(-750x+15
000)x=-750x2+15
000x.
∴y=S-Q=(-750x2+15
000x)-(-3
000x+67
000)=-750x2+18
000x-67
000(x>0).
∵y=-750(x-12)2+41
000,x>0,
∴当x=12时,ymax=41
000.故工厂应对零售商每件收取12元,才能获得最大利润.
18.(14分)已知f(x)=(x∈R),若f(x)满足f(-x)=-f(x).
(导学号51790236)
(1)求实数a的值;
(2)判断函数的单调性;
(3)解不等式f(x)>2x-1.
解(1)函数f(x)的定义域为R,又f(-x)=-f(x),
∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
=0,∴a=1.
(2)设x1,x2∈R,且x1则0<,f(x1)-f(x2)
=,
∵+1>0,+1>0,<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在定义域R上为单调增函数.
(3)f(x)>2x-1,即>2x-1.
∵2x+1>0,∴2x-1>(2x-1)(2x+1).
∴2x(2x-1)<0.∵2x>0,∴2x<1,即0<2x<1.
∴不等式的解集为{x|x<0}.
19.(14分)如图,梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(6,0),B(4,2),C(2,2).一条与y轴平行的动直线l从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线l与x轴的交点为M,OM=x,记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y.求函数y=f(x)的解析式、定义域、值域以及f的值.
(导学号51790237)
解当0当2当4当x=6时,y=8.
于是y=f(x)=
并且函数y=f(x)的定义域是[0,6].
又当0≤x≤2时,0≤x2≤2;
当2当4所以函数y=f(x)的值域为[0,2]∪(2,6]∪(6,8],即[0,8].
由于∈(2,4],因此f=2×-2=5.
又5∈(4,6],所以f(5)=-×52+6×5-10=.所以f=f(5)=.
20.(14分)设函数f(x)=
(导学号51790238)
(1)求f与f的值;
(2)求满足f(x)=2的x的值;
(3)求f(x)的最小值.
解(1)∵log2∴f.
∵lo=lo=3>1,
∴f=f(3)=log3·log3
=log31·log33-1=0×(-1)=0.
故f与f的值分别为,0.
(2)当x≤1时,f(x)=2-x=2,解得x=-1,符合题意,当x>1时,f(x)=log3·log3=2,
即(log3x-1)(log3x-2)=2,
∴lox-3log3x=0,∴log3x=3或log3x=0.
由log3x=0,得x=1,不合题意(舍去).
由log3x=3,得x=33=27>1符合题意.
综上可知,所求x的值为-1或27.
(3)当x≤1时,f(x)=2-x=,
即f(x)min=.
当x>1时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2).
令log3x=t,则t>0,
∴y=(t-1)(t-2)=,
∴当t=>0时,ymin=-.
∴f(x)的最小值为-.3.2.2 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
课时训练17 对数函数的概念、图象及性质
1.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( ).
A.y=-2x+1
B.y=
C.y=-(x-1)2
D.y=lo(x-1)
答案:B
解析:由y==-1-可知,它在(1,+∞)上为增函数.
2.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=( ).
A.2
B.4
C.6
D.8
答案:B
解析:∵a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上是增函数,∴当x=a时,函数有最小值f(a)=1;当x=2a时,函数有最大值f(2a)=loga2a.
∴loga2a-1=,解得a=4.
3.若f(x)=则f=( ).
A.ln
B.
C.
D.
答案:C
解析:∵f=ln<0,
∴f.
4.(2016江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln
|x|的大致图象是( ).
(导学号51790186)
答案:D
解析:函数f(x)=x·ln
|x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln
|-x|=-x·ln
|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当05.函数f(x)=lg(3x-2)+2恒过定点 .
答案:(1,2)
解析:令3x-2=1,得x=1,
此时f(1)=lg
1+2=2.
即函数f(x)=lg(3x-2)+2恒过定点(1,2).
6.设函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若f(x1x2x3…x2
012)=8,则f()+f()+…+f()的值等于 .
(导学号51790187)
答案:16
解析:∵f()+f()+f()+…+f()
=loga+loga+loga+…+loga
=loga(x1x2x3…x2
012)2
=2loga(x1x2x3…x2
012)
=2f(x1x2x3…x2
012),∴原式=2×8=16.
7.求下列函数的定义域:
(1)y=log3;
(2)y=log(x-1)(3-x).
解(1)∵>0,∴x>-,
∴函数y=log3的定义域为.
(2)∵
∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3).
8.已知函数y=(log2x-2),2≤x≤8.
(导学号51790188)
(1)令t=log2x,求y关于t的函数关系式,并写出t的范围;
(2)求该函数的值域.
解(1)y=(log2x-2)
=(log2x-2),
又t=log2x,则y=(t-2)(t-1)=t2-t+1.
又2≤x≤8,∴1=log22≤log2x≤log28=3,
即1≤t≤3.
(2)由(1)得y=,又1≤t≤3,
∴当t=时,ymin=-;
当t=3时,ymax=1.
∴-≤y≤1,即函数的值域为.
9.在同一直角坐标下,画出函数f(x)
=1+log2x与g(x)=2-x+1的图象.
(导学号51790189)
解∵f(x)的图象是由y=log2x的图象向上平移1个单位长度得到的,g(x)=的图象是由y=的图象向右平移1个单位长度得到的,∴先画出函数y=log2x与y=的图象,再经平移即得f(x)与g(x)的图象,如图所示.1.2 子集、全集、补集
第1课时 子集、真子集
课时训练3 子集、真子集
1.已知集合{2x,x2-x}有且只有4个子集,则实数x的取值范围是( ).
A.{x|x≠0,x∈R}
B.{x|x≠3,x∈R}
C.{x|x∈R}
D.{x|x≠0,且x≠3,x∈R}
答案:D
解析:由题知2x≠x2-x,解得x≠0,且x≠3.
2.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的真子集的个数是( ).
A.5
B.6
C.7
D.8
答案:C
解析:由题可知集合中的元素有5,3,1三个元素,所以其真子集的个数为23-1=7.
3.设x,y∈R,A={(x,y)|y-3=x-2},B={(1,2),(4,5)},则A与B的关系是( ).
A.A∈B
B.B∈A
C.A B
D.B A
答案:D
解析:∵y-3=x-2,∴y=x+1.
∴集合A中的元素是一次函数y=x+1图象上点的集合;而集合B中的元素(1,2),(4,5)均满足一次函数y=x+1,故B A.
4.已知集合A={x|x2=2},B={x|ax=1}.若B A,则a=( ).
(导学号51790137)
A.0
B.±
C.0或±
D.不存在
答案:C
解析:当a=0时,B= 符合题意;
当a≠0时,则=-.
∴a=或-.
5.设A={x|2a},若A B,则a的取值范围是 .
答案:{a|a≤2}
解析:如图所示.若A B,则a≤2.
6.设P={x|3答案:{m|3≤m≤4}
解析:∵P Q,∴解得3≤m≤4.
7.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且A B,求a的取值集合.
解∵B A,∴a2-a+1=3或a2-a+1=a.
∴a=2或a=-1或a=1(舍去).
∴a=-1或a=2.
∴a的取值集合为{-1,2}.
8.已知集合A={x|x2-5x-6=0},集合B={x|2mx-1=0},若B A,求实数m组成的集合.
(导学号51790138)
解∵A={x|x2-5x-6=0}={-1,6},
又B A,∴B= 或B={-1}或B={6}.
当B= 时,m=0;当B={-1}时,m=-;
当B={6}时,m=.
∴实数m组成的集合为.
9.(2016贵州凯里一中高一期中)集合A={x|ax2-2x+2=0},集合B={y|y2-3y+2=0},如果A B,求实数a的取值集合.
(导学号51790139)
解化简集合B得B={1,2}.
由A B,知若a=0,则A={x|-2x+2=0}={1} B.
若a≠0,当Δ=4-8a<0,即a>时,A= B;
当Δ=4-8a=0,即a=时,A={2} B;
当Δ=4-8a>0,即a<,且a≠0时,必有A={1,2},所以1,2均为关于x的方程ax2-2x+2=0的实根,即a-2+2=0,4a-4+2=0,这是不可能的.
所以实数a的取值集合为.第2课时 函数的图象
课时训练7 函数的图象
1.下列四个图形中,不可能是函数y=f(x)的图象的是
( ).
答案:D
解析:由函数的概念可以判断.D中一个x对应两个y的值,不符合函数的定义.
2.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( ).
答案:D
解析:当a<0时,b,c异号,A图中c<0,故b>0,->0,A不符合;
B图中c>0,故b<0,-<0,B不符合;
当a>0时,b,c同号,C,D两图中c<0,故b<0,->0,D符合.
3.已知函数y=kx+1的图象如图所示,则k=( ).
A.-2
B.-
C.
D.2
答案:B
解析:由函数图象观察可知斜率为负.
4.已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,如图所示,则满足等式f(a-1)=f(5)的实数a的值为( ).
(导学号51790152)
A.-2
B.-1
C.0
D.1
答案:A
解析:由函数的对称性可知=1,∴a=-2.
5.函数的图象如图,则其定义域、值域分别为 , .
答案:(a1,a2)∪[a3,a4] [b1,b6]
解析:由函数图象观察可得.
6.某工厂八年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如下图所示,则下列四种说法中正确的是 .(填序号)
①前三年中产量增长速度越来越快;②前三年中产量增长的速度越来越慢;③第三年后,这种产品停止生产;④第三年后,年产量保持不变.
答案:②③
解析:由图形观察可知前三年对应的图象越来越平缓,故产量增长的速度越来越慢,第三年后产量没有变化,可知这种产品第三年后停止生产.
7.在同一直角坐标系中,分别作出函数y1=x+1和y2=x2-3x-4的图象,并回答:当x为何值时,y1>y2,y1=y2,y1解作出两函数的图象如图所示,
由方程组解得
所以两图象交点坐标为(-1,0)和(5,6).
从而当x∈(-1,5)时,y1>y2;
当x=-1或5时,y1=y2;
当x∈(-∞,-1)∪(5,+∞)时,y18.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点.试求由函数y=x-和直线x=10及x轴所围成的三角形内部及边上的格点的个数.
(导学号51790153)
解作出如图所示的图象,
则共有1+2+4+5+7+8+10=37(个)格点.
9.对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|2x+5|}(x∈R).
(1)求f(0),f(-3);
(2)作出f(x)的图象;
(3)若关于x的方程f(x)=m有且仅有两个不相等的解,求实数m的取值范围.
(导学号51790154)
解(1)f(0)=max{1,5}=5,f(-3)=max{2,1}=2.
(2)f(x)图象如图中实线所示.
(3)f(x)min=f(-2)=1,由f(x)图象可知,当m>1时,方程f(x)=m有且仅有两个不相等的解.第2课时 对数函数及其性质的应用
课时训练18 对数函数及其性质的应用
1.对a(a>0,a≠1)取不同的值,函数y=loga的图象恒过定点P,则点P的坐标为( ).
A.(0,0)
B.(1,0)
C.(-2,0)
D.(0,-2)
答案:C
解析:由=1,得x=-2.
2.函数y=lg(x2-2x+3)的最小值是( ).
A.lg
2
B.lg
3
C.1
D.3
答案:A
解析:设t=x2-2x+3,则t=(x-1)2+2≥2.
又y=lg
t是增函数,
∴y=lg(x2-2x+3)的最小值是lg
2.
3.(2016河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( ).
(导学号51790190)
A.a≤4
B.a≤2
C.-4D.-2≤a≤4
答案:C
解析:∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于零且单调递增,故有解得-44.已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=( ).
A.2
B.4
C.8
D.0
答案:B
解析:∵A={x|log2x≤2}=(0,4],
又A B,∴a>4,∴c=4.
5.已知y=loga(2-x)在定义域上是关于x的增函数,则a的取值范围是 .
答案:0解析:令u=2-x,则y=logau.
∵u=2-x在(-∞,2)上为减函数,
∴要满足条件,需06.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(2)=0,则不等式f(log2x)>0的解集为 .
(导学号51790191)
答案:∪(4,+∞)
解析:∵f(2)=0,且f(x)在R上是偶函数,
∴f(-2)=f(2)=0.
当log2x<0时,则f(log2x)>0=f(-2).
又f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(-∞,0]上是减函数.
∴log2x<-2,∴0当log2x>0时,则f(log2x)>0=f(2),
∴log2x>2,∴x>4.
综上可知不等式f(log2x)>0的解集为∪(4,+∞).
7.解方程:lo(x+1)-log2=1.
解原方程可化为2log2(x+1)=log22.
即
解得x=2.
8.比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32.
解(1)因为y=log3x在(0,+∞)上是增函数,所以log31.9(2)因为log23>log21=0,log0.32<0,
所以log23>log0.32.
9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=lo(x+1).
(导学号51790192)
(1)求f(0),f(-1);
(2)求函数f(x)的表达式;
(3)若f(a-1)-f(3-a)<0,求a的取值范围.
解(1)f(0)=lo1=0,f(-1)=f(1)=-
1.
(2)令x<0,则-x>0,
f(-x)=lo(-x+1)=f(x).
∴x<0时,f(x)=lo(1-x).
即f(x)=
(3)∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(x)为偶函数,
∴f(a-1)-f(3-a)<0
f(a-1) |a-1|>|3-a| a>2.第2课时 函数的最大值、最小值
课时训练10 函数的最大值、最小值
1.函数f(x)=,x∈[3,5]的最大值、最小值分别为( ).
A.2,0
B.2,1
C.,1
D.2,
答案:B
解析:设任意的x1,x2∈[3,5],且x1则f(x1)-f(x2)=
=.
∵3≤x1∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0.
∴f(x1)-f(x2)>0,即f
(x1)>f(x2).
∴f(x)在[3,5]上是减函数.
由减函数的性质可知,当x=3时,f(x)取得最大值2;当x=5时,f(x)取得最小值1.
2.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a=( ).
A.2
B.±2
C.-2
D.1
答案:B
解析:由题意a≠0,当a>0时,
有(2a+1)-(a+1)=
2,解得a=2.
当a<0时,有a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,
∴a=±2.
3.函数y=x2-3x+2的单调区间与最小值分别为( ).
A.,-
B.,-
C.,-1
D.,-1
答案:A
解析:函数的对称轴为,且开口向上,
所以单调减区间为.
y=x2-3x+2=≥-,
所以当x=时,y=-.
所以函数的最小值为ymin=-.
4.函数f(x)满足:f(x+1)=x(x+3),x∈R,则f(x)的最小值为( ).
(导学号51790162)
A.0
B.-2
C.-
D.-
答案:D
解析:由f(x+1)=x(x+3)=(x+1)2+(x+1)-2,得f(x)=x2+x-2=,所以f(x)的最小值是-.
5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3和最小值2,则m的取值范围是 .
答案:[1,2]
解析:∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
∴f(0)=f(2)=3.
又m>0,∴m∈[1,2].
6.函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,0).定义函数g(x)=(x-1)·f(x),则函数g(x)的最大值为 .
(导学号51790163)
答案:1
解析:由图象可知:
当0≤x≤1时,f(x)=2x;
当1∴g(x)=
当0≤x≤1时,g(x)=2(x2-x)
=2=2,
∴x=0或x=1时,g(x)max=0;
当1=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴x=2时,g(x)max=1.
综上,g(x)max=1.
7.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1),若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值.
解∵f(x)开口向上,对称轴x=a>1,
∴f(x)在[1,a]上是单调减函数.
∴f(x)的最大值为f(1)=6-2a;f(x)的最小值为f(a)=5-a2.
∴6-2a=a,5-a2=1.∴a=2.
8.设x∈R,求函数y=2|x-1|-3|x|的最大值.
(导学号51790164)
解解法一:去掉绝对值符号后,可得
y=
故可得如图所示的图象.
由图可知,当x=0时,ymax=2.
解法二:当x≥1时,y≤-3;
当0≤x<1时,-3当x<0时,y<2.从而可得当x=0时,ymax=2.
9.已知函数f(x)的定义域为R,对于任意a,b∈R都有f(a+b)=f
(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.试判断f(x)在[-3,3)上是否有最大值和最小值.如果有,求出最大值和最小值;如果没有,说明理由.
(导学号51790165)
解设-3≤x10.
∵x>0时,f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0.
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)
=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]
=-f(x2-x1)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在[-3,3)上是减函数.
∴f(x)在[-3,3)上有最大值f(-3),但无最小值.
由题意,令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),
∴f(0)=0;
令a=1,b=-1,得f(1-1)=f(1)+f(-1),
∴f(-1)=f(0)-f(1)=2.
∴f(-3)=f(-1)+f(-2)=3f(-1)=6.
∴f(x)max=f(-3)=6,无最小值.第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.1.1 分数指数幂
课时训练13 分数指数幂
1.下列说法中,正确的为( ).
①-2是16的四次方根;②正数的n次方根有两个;
③a的n次方根就是;④=a(a≥0).
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案:D
解析:①是正确的,由(-2)4=16可验证.
②不正确,要对n的奇偶性进行讨论.
③不正确,a的n次方根可能有一个值,也可能有两个值.
④正确.根据根式运算的依据,当n为奇数时,
=a是正确的;当n为偶数时,若a≥0,则有=a.综上,当a≥0时,无论n为何值均有=a成立.
2.下列各数中,最大的数是( ).
A.
B.
C.
D.2-1
答案:C
解析:因为=-2,,2-1=,所以最大.
3.当aA.2(a-b)
B.2(b-a)
C.0
D.0或2(a-b)
答案:C
解析:原式=|a-b|+(a-b)=0.
4.已知a+=3,则=( ).
(导学号51790172)
A.
B.
C.2
D.
答案:D
解析:∵a和的符号相同,a+=3>0,
∴a>0.∴>0.
又=a+2+a-1=a++2=3+2=5,∴.
5.若am=2,an=3,则= .
答案:
解析:a3m-n=,∴.
6.化简:(1)= ;
(2)(a>0,b>0)= .
答案:(1) (2)ab-1
解析:(1)原式==(;
(2)原式==ab-1.
7.已知a=,b=,求的值.
(导学号51790173)
解=1.
8.计算:(1)3+0.5-2;
(2)1.+80.25×+()6-.
解(1)原式=(25
=2-3-+22=+4=;
(2)原式=×1+(23+()6×()6-+(23×2+22×33-=2+4×27=110.
9.已知x+y=12,xy=9,且x(导学号51790174)
解∵
=,
又x+y=12,xy=9,
则有(x-y)2=(x+y)2-4xy=108.
而x代入化简后的式子,原式==-.3.2 对数函数
3.2.1 对数
课时训练16 对数
1.若f(10x)=x,则f(3)的值为( ).
A.3
B.1
000
C.lg
3
D.
答案:C
解析:令10x=t,则x=lg
t,
∴f(t)=lg
t,∴f(3)=lg
3.
2.(2016山东枣庄高一期末)若log23=a,则log49=( ).
A.
B.a
C.2a
D.a2
答案:B
解析:log49==log23=a,故选B.
3.计算:(lg
2)2+lg
2lg
50+lg
25=( ).
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C
解析:原式=(lg
2)2+lg
2(1+lg
5)+2lg
5
=(lg
2)2+lg
2+lg
2·lg
5+2lg
5
=lg
2(lg
2+lg
5)+lg
2+2lg
5
=2lg
2+2lg
5=2.
4.若log34·log48·log8m=log416,则m=( ).
A.6
B.9
C.8
D.16
答案:B
解析:由已知,得log34·log48·log8m==log3m=2,∴m=32=9.
5.若a>0,,则loa= .
答案:3
解析:a>0,由,知,
∴.两端取对数,得lo=lo=1,
即loa=1,∴loa=3.
6.已知f(x)=
则f(f(f(-2-)))= .
(导学号51790183)
答案:-4
解析:∵-2-<-1,
又x∈(-∞,-1]时,f(x)=-,
∴f(-2-)=-=-.
∵-∈(-1,0],而x∈(-1,0]时,
f(x)=x2,
∴f(f(-2-))=f>0,而x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,
∴f(f(f(-2-)))=f=log2=-4.
7.计算:(1)lg
14-2lg+lg
7-lg
18;
(2).
解(1)方法一:lg
14-2lg+lg
7-lg
18
=lg
(2×7)-2(lg
7-lg
3)+lg
7-lg(32×2)
=lg
2+lg
7-2lg
7+2lg
3+lg
7-2lg
3-lg
2=0.
方法二:lg
14-2lg+lg
7-lg
18
=lg
14-lg+lg
7-lg
18
=lg=lg
1=0.
(2)原式=.
8.若a,b是方程2lg2x-lg
x4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.
(导学号51790184)
解因为a,b为方程2lg2x-lg
x4+1=0即2lg2x-4lg
x+1=0的两个实根,
所以依题意,lg
a+lg
b=2,lg
a·lg
b=,
所以lg(ab)·(logab+logba)
=(lg
a+lg
b)
=2×
==12.
9.已知函数f(x)=x2+(lg
a+2)x+lg
b,满足f(-1)=-2,当x∈R时,f(x)≥2x恒成立,求实数a,b的值.(导学号51790185)
解由f(-1)=-2,得1-lg
a-2+lg
b=-2,
∴lg
b=lg
a-1.
①
由f(x)≥2x,得x2+(lg
a+2)x+lg
b≥2x,
即x2+x·lg
a+lg
b≥0.
②
把①代入②,得x2+x·lg
a+lg
a-1≥0.
∵当x∈R时,f(x)≥2x恒成立,
∴Δ=(lg
a)2-4(lg
a-1)≤0,
即(lg
a-2)2≤0,∴lg
a=2,∴a=100.
把a=100代入①,得lg
b=lg
100-1=1,
∴b=10.
综上可知,a=100,b=10.第2课时 集合的表示
课时训练2 集合的表示
1.集合{x|x∈N
,x<5}的另一种表示法是( ).
A.{1,2,3}
B.{0,1,2,3,4}
C.{1,2,3,4}
D.{1,2,3,4,5}
答案:C
解析:∵x∈N
,且x<5,∴x为1,2,3,4.
2.集合A={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N}中元素的个数是( ).
A.2
B.
3
C.4
D.5
答案:B
解析:∵x∈N,y∈N,且x+y≤1,
∴当x=0时,y=0或1;
当x=1时,y=0.
故A={(0,0),(0,1),(1,0)}.
3.(2016山东文登高一月考)已知集合M=,则M等于( ).
(导学号51790134)
A.{2,3}
B.{1,2,3,4}
C.{1,2,3,6}
D.{-1,2,3,
4}
答案:D
解析:因为集合M=,所以5-a可能为1,2,3,6,即a可能为4,3,2,-1.
所以M={-1,2,3,4},故选D.
4.已知集合A={1,2,3},B={3,x2,2},若A=B,则x的值是( ).
A.±1
B.1
C.-1
D.0
答案:A
解析:由A=B,得x2=1,∴x=±1.
5.若集合A={x|x≤},a=2,则a A.
答案:∈
解析:∵2,∴a∈A.
6.下列结论中,正确的个数是 .(填序号)
(导学号51790135)
①方程x2+4=4x的解集中含有2个元素;②若a∈N
,b∈N,则a+b的最小值为2;③|-3|∈N
.
答案:1
解析:只有③正确.∵方程x2+4=4x的解集中只含有一个元素2,∴①不正确.
∵a∈N
,∴a的最小值为1.
∵b∈N,∴b的最小值为0,∴a+b的最小值为1,故②不正确.
7.用另一种方法表示下列集合:
(1){绝对值不大于2的整数};
(2){能被3整除,且小于10的正数};
(3){1,22,32,42,…}.
解(1)绝对值不大于2的整数有-2,-1,0,1,2,故可用列举法表示为{-2,-1,0,1,2};
(2)能被3整除,且小于10的正数有3,6,9,故可用列举法表示为{3,6,9};
(3)集合中元素的规律为正整数的平方,故x=n2,n∈N
,也可以写成x=(n+1)2,n∈N,故此集合可表示为{x|x=n2,n∈N
}或{x|x=(n+1)2,n∈N}.
8.用集合的形式表示不等式组
的解集.
解由不等式(x+1)(x-1)>(x-2)2,得x>.
由不等式-3<+1,得x<24,
从而原不等式组的解集为.
9.已知集合A={x∈R|m2x2-n=0},当m,n满足什么条件时,集合A是有限集、无限集、空集
(导学号51790136)
解∵m2x2-n=0,∴m2x2=n.
当m=0,n=0时,x∈R,A就是实数集,集合A是无限集.
当m≠0,n=0时,x=0,A={0},集合A是有限集.
当m≠0,n<0时,方程m2x2-n=0无实根,集合A是空集.
当m≠0,n>0时,方程m2x2-n=0有两个不等的实根,x=±,A=,集合A是有限集.
当m=0,n≠0时,方程无实根,集合A为空集.
综上所述,当m=0,n=0时,集合A是无限集;
当m≠0,n<0或m=0,n≠0时,集合A是空集;
当m≠0,n≥0时,集合A是有限集.3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点
课时训练20 函数的零点
1.(2016山东济南高一期末)函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为( ).
A.(1,2)
B.(2,3)
C.
D.
答案:A
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)单调递增,∵f(1)=log21-1=-1<0,f(2)=log22-=1->0,∴在区间(1,2)内,函数f(x)存在零点,故选A.
2.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是( ).
A.(-∞,1)
B.(
-∞,1]
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
答案:C
解析:令f(x)=2ax2-x-1,
∵方程在(0,1)内恰有一个解,
∴f(x)与x轴在(0,1)内恰有一个交点,
∴f(0)·f(1)<0,即-1·(2a-2)<0,∴a>1.
3.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是( ).
A.2,3
B.
C.-,-
D.-2,-3
答案:C
解析:由题意可知,2,3是方程x2-ax-b=0的两根,由根与系数的关系知,a=2+3=5,-b=2×3,b=-6,∴g(x)=-6x2-5x-1=-(2x+1)(3x+1).
令g(x)=0,得x=-或x=-,
∴函数g(x)的零点为-,-.
4.已知方程x2+(a-1)x+(a-2)=0的一个根比1大,另一个根比1小,则a的取值范围是( ).
(导学号51790198)
A.(-∞,1)
B.(-∞,1]
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
答案:A
解析:方程的一根比1大,一根比1小,即函数f(x)=x2+(a-1)x+(a-2)的零点一个在(1,0)点的右侧,一个在(1,0)点的左侧,画出f(x)的大致图象如图所示.由题意,得f(1)<0,即1+(a-1)·1+(a-2)<0,解得a<1.
5.函数f(x)=的零点个数为 .
答案:2
解析:由f(x)=0,得解之可得x=-3或x=e2,故零点个数为2.
6.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的端点为整数的最小区间是 .
(导学号51790199)
答案:(1,2)
解析:方法一:设f(x)=x3-,则f(0)=0-=-4<0,f(1)=13-=-1<0,f(2)=23-=7>0,f(3)=33-=26>0.
由f(1)·f(2)<0,知f(x)在(1,2)上有零点[f(x)的图象在(1,2)上连续].∴x0∈(1,2).
方法二(图象法):在同一坐标系内画出两个函数的图象如图,由图象知x0∈(1,2).
7.求下列函数的零点:
(1)f(x)=-x2+2x+3;
(2)f(x)=log3(x+2);
(3)f(x)=6x-5.
解(1)令-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,
即函数的零点是-1,3.
(2)令log3(x+2)=0,解得x=-1,
即函数的零点是-1.
(3)令6x-5=0,解得x=log65.
即函数的零点是log65.
8.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.
(导学号51790200)
解设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,
∵f(x)=0的两根中,一根在(0,1)内,
一根在(1,2)内,
∴
∴9.定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞,0]上是增函数,函数f(x)的一个零点为-,求满足f(lox)≥0的x的取值范围.
(导学号51790201)
解∵-是函数的一个零点,
∴f=0.
∵y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,
∴当lox≤0即x≥1时,lox≥-,
解得x≤2,即1≤x≤2.
由对称性可知,当lox>0时,≤x<1,
综上所述,x的取值范围是.第2课时 用二分法求方程的近似解
课时训练21 用二分法求方程的近似解
1.某方程有一个无理根在区间D=(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,所得近似值的精确度为0.1,则将D至少等分( ).
A.2次
B.3次
C.4次
D.5次
答案:D
解析:∵≤0.1,得2n≥20,n>4,
∴至少等分5次.
2.用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,若已知某根在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( ).
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:令f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f=-<0.由f·f(2)<0,可知根所在区间为.
3.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根在其中的较小区间是( ).
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
D.(1,1.5)
答案:B
解析:f(1.5)·f(1.25)<0,
∴根落在(1.25,1.5)之间.
4.(2016山东淄博高一期末)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是( ).
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
答案:C
解析:令f(x)=ex-x-2,由上表可知,f(-1)<
0,f(0)<0,
f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0.
则f(1)·f(2)<0,故选C.
5.用二分法求函数f(x)=2log5x-1的一个零点时,若取区间[2,3]作为计算的初始区间,则下一个区间应取为 .
答案:(2,2.5)
解析:易知f(2)<0,f(3)>0,f(2.5)=2log52.5-1>0.若[2,3]作为计算的初始区间,则下一个区间应取为(2,2.5).
6.设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不间断的曲线,且f(a)·f(b)<0,取x0=,若f(a)·f(x0)<0,则利用二分法求方程的根时所取的有根区间为 .
(导学号51790202)
答案:(a,x0)
解析:利用二分法求方程根时,根据求方程的近似解的一般步骤,由于f(a)·f(x0)<0,则(a,x0)为新的区间.
7.求方程x3=-2x2+3x+6的一个正的近似解.(精确到0.1)
(导学号51790203)
解设f(x)=x3+2x2-3x-6.
在同一坐标系内,作出y=x3和y=-2x2+3x+6的图象,观察图象可得:方程的近似解x0∈(1,2),且f(1)<0,f(2)>0.
用二分法逐步计算得
f(1.5)<0,f(2)>0 x0∈(1.5,2);
f(1.5)<0,f(1.75)>0 x0∈(1.5,1.75);
f(1.625)<0,f(1.75)>0 x0∈(1.625,1.75);
f(1.687
5)<0,f(1.75)>0 x0∈(1.687
5,1.75);
f(1.718
75)<0,f(1.75)>0
x0∈(1.718
75,1.75);
f(1.718
75)<0,f(1.734
375)>0
x0∈(1.718
75,1.734
375).
∵1.718
75与1.734
375精确到0.1的近似值都为1.7,∴方程的一个正的近似解为1.7.
8.在16枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(真币重量大于假币重量),现在只有一台天平,请问:如何才能发现这枚假币
(导学号51790204)
解用二分法,第一次把16枚金币分成两组,每组8枚,称重后确定出假币所在的那一组(较轻的一组),再把较轻的一组的8枚金币分成两组,每组4枚,称重后确定假币在哪一组(较轻的一组),依次下去,即可发现这枚假币.
9.已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间(-1,1)上有唯一零点.
(导学号51790205)
(1)求实数a的取值范围;
(2)若a=,用二分法求方程f(x)=0在区间(-1,1)上的根.
解(1)若a=0,则f(x)=-4,与题意不符,∴a≠0.
∴f(x)在(-1,1)上为单调函数.
∴f(-1)·f(1)=8(a-1)(a-2)<0.∴1(2)若a=,
则f(x)=x3-x+,
∴f(-1)>0,f(1)<0,f(0)=>0.
∴零点在(0,1)上.又f=0,
∴f(x)=0在区间(-1,1)上的根为.2.1.2 函数的表示方法
课时训练8 函数的表示方法
1.(2016湖北随州高一期末)下表表示y是x的函数,则函数的值域是( ).
x
05≤x<10
10≤x<15
15≤x≤20
y
2
3
4
5
A.[2,5]
B.N
C.(0,20]
D.{2,3,4,5}
答案:D
解析:由题表可知,y=
所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D.
2.设f,则f(x)=( ).
A.
B.
C.
D.
答案:B
解析:令t=,则x=,
∴f(t)=,∴f(x)=.
3.已知正方形的周长为x,它的外接圆的半径为y,则y关于x的解析式为( ).
(导学号51790155)
A.y=(x>0)
B.y=(x>0)
C.y=x(x>0)
D.y=x(x>0)
答案:C
解析:如图正方形的边长为,对角线AC为外接圆直径.
由勾股定理,得4y2=.∵x>0,y>0,∴y=x.
4.已知函数f(x)=若f(x)=2,则x=
( ).
A.
B.4
C.或4
D.0
答案:C
解析:当x≤-1时,由x+2=2,得x=0(舍去).
当-1当x≥2时,由x=2,得x=4.
5.已知函数f(x+1)=2x+3,则f(x)= .
答案:2x+1
解析:令t=x+1,∴x=t-1.
∴f(t)=2(t-1)+3=2t+1.∴f(x)=2x+1.
6.已知f(x)+2f=3x,则f(x)的解析式为 .
(导学号51790156)
答案:f(x)=-x(x≠0)
解析:因为f(x)+2f=3x,
①
将①中x换成,
则换成x,得f+2f(x)=.
②
由①②解得f(x)=-x(x≠0).
7.已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且φ=16,φ(1)=8,求φ(x)的解析式,并指出定义域.
(导学号51790157)
解由题意设f(x)=ax,g(x)=,a,b为比例常数,
∴φ(x)=ax+.
由φ=16,得φ=f+ga+3b=16.
①
由φ(1)=8,得φ(1)=f(1)+g(1)=a+b=8.
②
解①②联立的方程组,得∴φ(x)=3x+.
其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
8.已知f(x)=若f(a)=16,求a的值.
解(1)若a<0,则由f(a)=16,得2a=16,
∴a=8(舍去).
(2)若a≥0,则由f(a)=16,得a2=16,
∴a=4或a=-4
(舍去).
综上所述,若f(a)=16,则a=4.
9.已知f(x)=|x|(x-4).
(导学号51790158)
(1)把f(x)写成分段函数的形式;
(2)画出函数f(x)的图象;
(3)利用图象回答:当k为何值时,方程|x|·(x-4)=k有一解 有两解 有三解
解(1)f(x)=
(2)图象如图.
(3)方程的解的个数即为函数y=|x|(x-4)与y=k的交点个数.
结合图象可知,当k>0或k<-4时,方程有一解.
当k=0或k=-4时,方程有两解.
当-42.1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
课时训练6 函数的概念
1.已知集合M={-1,2,1},N={0,1,2},下列能构成从M到N的函数的是( ).
A.x→x2
B.x→x+1
C.x→
D.x→
答案:C
解析:因为22=4 N,所以A不是M到N的函数.
因为2+1=3 N,所以B不是M到N的函数.
因为=1,=2,=1,所以C是M到N的函数,显然D不是M到N的函数.
2.下列函数中,与函数y=x是同一函数的是( ).
①y=;②y=()2+1;③y=;④y=;⑤s=t.
A.①②③
B.②③④
C.③⑤
D.①②⑤
答案:C
解析:因为y==|x|,所以①不是.
因为x-1≥0,x≥1,所以②不是.
因为y==x,所以③是.
因为x≠0,所以④不是.
因为s=t的定义域和对应法则与y=x的完全相同,所以⑤是.
3.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,则M∩N=( ).
A.M
B.N
C.
D.R
答案:A
解析:由题意,得M={x|x>0},N=R,
则M∩N={x|x>0}=M.
4.函数y=+7的值域是( ).
A.(7,
+∞)
B.[7,+∞)
C.(-∞,7)
D.(-∞,7]
答案:B
解析:因为x≥0时,≥0,所以y≥7.
5.设f(x)=,则= .
(导学号51790149)
答案:-1
解析:f(2)=,
f=-,
所以=-1.
6.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为 ;当g[f(x)]=2时,x= .
答案:1 1
解析:f[g(1)]=f(3)=1;当g[f(x)]=2时,f(x)=2,x=1.
7.求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;(2)y=-2.
解(1)由x-2≠0,得定义域为{x|x≠2}.
由y==3+≠3,
得值域为{y|y≠3}.
(2)由4-2x≥0,得定义域为{x|x≤2}.
由≥0,-2≥-2,
得值域为[-2,+∞).
8.已知f(x)=,x∈R,且x≠-1,g(x)=x2+2,x∈R.
(导学号51790150)
(1)求f(2)和g(a);
(2)求g[f(2)]和f[g(x)].
解(1)f(2)=,g(a)=a2+2.
(2)∵f(2)=,
∴g[f(2)]=
g+2=,
f[g(x)]=f(x2+2)=.
9.(1)已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.
(2)已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求f(x)的定义域.
(导学号51790151)
解(1)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4,
故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4.
∴-2≤2x≤3.
∴-1≤x≤.
∴f(2x+1)的定义域是.
(2)需要注意的是:f(2x-1)的自变量为x,而不是2x-1.
由f(2x-1)的定义域为[-3,3],
可得-3≤x≤3,即-7≤2x-1≤5.
所以f(t)(t=2x-1)的定义域为[-7,5],
即f(x)的定义域为[-7,5].第2课时 指数函数及其性质的应用
课时训练15 指数函数及其性质的应用
1.函数f(x)=ax
(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为( ).
(导学号51790179)
A.
B.1
C.
D.
答案:D
解析:∵f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上是单调的,∴|a2-a|=,∴a2-a=或a2-a=-,
∴a2-a=0或a2-=0,∴a=或a=.
2.若a>1,b<-1,则函数y=ax+b的图象不经过( ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:B
解析:作出如图所示的图象,由图可知,图象不经过第二象限.
3.函数y=的单调减区间是( ).
A.(-∞,-1]
B.(-∞,0]
C.[-1,+∞)
D.[0,+∞)
答案:D
解析:由y=3t在R上为增函数,也就是求t=2-2x2的单调减区间,即(0,+∞)(或[0,+∞)).
4.(2016重庆高一期末)已知函数f(x)=3-x,对任意的x1,x2,且x1(导学号51790180)
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
D.f
答案:B
解析:∵函数f(x)=3-x=是指数函数,且在定义域R上为减函数,∴f(x1+x2)==f(x1)·f(x2),∴选项A正确,选项B错误;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0表示函数是减函数,∴选项C正确;结合函数f(x)的图象(图略)与f表示的几何意义可知选项D正确.故选B.
5.定义运算a
b=则函数f(x)=1
2x的最大值为 .
答案:1
解析:当x≥0时,
2x≥1;当x<0时,2x<1.
∴f(x)=1
2x=
∴f(x)的最大值是1.
6.若函数f(x)=2-|x-1|-m的图象与x轴有交点,则实数m的取值范围是 .
答案:(0,1]
解析:∵-|x-1|≤0,∴0<2-|x-1|≤1.要使函数f(x)与x轴有交点,只需07.已知函数f(x)=ax在x∈[-2,2]上恒有f(x)<2,求a的取值范围.
(导学号51790181)
解当a>1时,函数f(x)=ax在[-2,2]上为增函数,此时f(x)≤f(2)=a2.
由题意可知a2<2,即a<,
所以1当0ax在[-2,2]上为减函数,此时f(x)≤f(-2)=a-2.
由题意可知a-2<2,即a>,所以综上所述,所求a的取值范围是∪(1,).
8.已知函数f(x)=.
(1)判断该函数的奇偶性;
(2)证明函数在定义域上是增函数.
(1)解因为f(-x)==-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(2)证明定义域为x∈R,任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=<0,因此f(x)在R上是增函数.
9.求下列函数的单调区间:
(导学号51790182)
(1)y=|2x-2|;
(2)
y=2-|x|.
解(1)y=|2x-2|=其图象如图所示.由图象可得函数y=|2x-2|的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(-∞,1).
(2)y=2-|x|=其图象如图所示.
由图象可得函数y=2-|x|的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为[0,+∞).第1章过关检测
(满分:100分 时间:90分钟)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2016浙江温州十校联合体高一期中)如果A={x|x>-1},那么正确的结论是( ).
A.0 A
B.{
0}∈A
C.{0} A
D. ∈A
答案:C
解析:∵0∈A,∴{0} A.
2.(2015天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩( UB)=( ).
A.{3}
B.{2,5}
C.{1,4,6}
D.{2,3,5}
答案:B
解析:∵ UB={2,5},A={2,3,5},
∴A∩( UB)={2,5}.故选B.
3.设U={x|x是小于9的正整数}, UA={4,5,6,7,8},则A=( ).
A.{1,2}
B.{2,3}
C.{1,3}
D.{1,2,3}
答案:D
解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},
∵ UA={4,5,6,7,8},∴A={1,2,3}.
4.已知集合A=[1,4),B=(-∞,a),若A B,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,4)
B.(-∞,4]
C.[4,+∞)
D.(4,+∞)
答案:C
解析:把集合A,B表示在数轴上如图所示.
观察数轴可知,A B时,a≥4.
5.已知A={y|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=( ).
A.
B.(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.R
答案:C
解析:∵A={y|y=x,x∈R}=R,
B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},
∴A∩B={y|y≥0}.
6.已知集合A={x|2x-4>0},B={x|3x+a>0},若A∩B={x|x>2},则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,-6)
B.(-∞,-6]
C.(-6,+∞)
D.[-6,+∞)
答案:D
解析:由A∩B={x|2x-4>0}∩{x|3x+a>0}=={x|x>2},得-≤2,解得a≥-6.
7.已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},则M∩( UN)={0,3},则满足条件的集合N的个数为
( ).
A.6
B.7
C.8
D.9
答案:C
解析:∵M∩( UN)={0,3},
∴集合N中没有元素0,3,有元素5.
∴集合N的个数为含元素1,2,4的集合的子集的个数,即23=8(个).
8.定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为( ).
(导学号51790210)
A.18
B.12
C.6
D.16
答案:A
解析:(1)当x=0时,无论y为何值,都有z=0;
(2)当x=1,y=2时,由题意得z=6;
(3)当x=1,y=3时,由题意得z=12,
故集合A☉B={0,6,12},元素之和为6+12=18.
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.设A={(x,y)|ax+y-3=0},B={(x,y)|x-y-b=0}.若A∩B={(2,1)},则a= ,b= .
答案:1 1
解析:由A∩B={(2,1)},可知为方程组的解,解得
10.已知全集U=A∪B中有m个元素,( UA)∪( UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为 .
(导学号51790211)
答案:m-n
解析:如图,( UA)∪( UB)= U(A∩B),所以A∩B的元素个数为m-n.
11.对任意两个正整数m、n定义某种运算 :m n=则集合P={(a,b)|a b=8,a,b∈N
}中元素的个数为 .
(导学号51790212)
答案:9
解析:由题知,有(1,7),(7,1).(1,8),(8,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共9个.
三、解答题(本大题共4小题,共45分)
12.(8分)设A={x∈Z|-6≤x≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6},
求:(1)A∪(B∩C);
(2)A∩ A(B∪C).
解A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.
(1)又B∩C={3},∴A∪(B∩C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.
(2)又B∪C={1,2,3,4,5,6},得 A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0},
∴A∩ A(B∪C)={-6,-5-4,-3,-2,-1,0}.
13.(12分)设全集为R,集合A={x|3≤x<6},B={x|2(导学号51790213)
(1)求A∩B,( RB)∪A;
(2)已知C={x|a解(1)A∩B={x|3≤x<6}.
∵ RB={x|x≤2或x≥9},
∴( RB)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}.
(2)∵C B,∴解得2≤a≤8.
∴a的取值集合为{a|2≤a≤8}.
14.(12分)已知A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(导学号51790214)
(1)若A∩B=B,求a的值;
(2)A∪B=B,求a的值.
解(1)由已知A={x|x2+4x=0}={-4,0}.
∵A∩B=B,∴B A.
①若0∈B,则a2-1=0,解得a=±1.
当a=1时,B=A,B A成立;
当a=-1时,B={0},B A.
②若-4∈B,则a2-8a+7=0,
解得a=7或a=1.
当a=7时,B={-12,-4},B A;
当a=1时,符合题意.
③若B= ,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.由①②③,得a=1或a≤-1.
(2)∵A∪B=B,∴A B.
∵A={-4,0},B至少有两个元素,
∴A=B,由(1)知a=1.
15.(
13分)(2016浙江杭州西湖高级中学月考)设A是实数集,满足若a∈A,则∈A,a≠1,且1 A.
(导学号51790215)
(1)若2∈A,则集合A中至少还有几个元素 求出这几个元素.
(2)集合A中能否只含有一个元素 请说明理由.
(3)若a∈A,证明:1-∈A.
(1)解∵2∈A,∴=-1∈A;
∴∈A;∴=2∈A.
因此,集合A中至少还有两个元素-1和.
(2)解不能.如果集合A中只含有一个元素,则a=,整理得a2-a+1=0,该方程无实数解,故在实数范围内,集合A中不可能只含有一个元素.
(3)证明a∈A ∈A ∈A,即∈A,故1-∈A.3.3 幂函数
课时训练19 幂函数
1.(2016浙江瑞安高一期中)下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ).
A.y=
B.y=x4
C.y=x-1
D.y=x3
答案:B
解析:选项A中,y=既不是奇函数又不是偶函数;选项B中,y=x4是偶函数,且过点(0,0),(1,1),满足题意;选项C中,y=x-1是奇函数;选项D中,y=x3也是奇函数,均不满足题意.故选B.
2.试比较1.70.2、log2.10.9与0.82.1的大小关系,并按照从小到大的顺序排列为( ).
(导学号51790193)
A.log2.10.9<0.82.1<1.70.2
B.log2.10.9<1.70.2<0.82.1
C.1.70.2<0.82.1D.0.82.1答案:A
解析:log2.10.90,
0.82.1>0,
∵1.70.2>1.70=1,0.82.1<0.80=1,
∴log2.10.9<0.82.1<1.70.2.
3.已知幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f=( ).
A.
B.
C.
D.
答案:C
解析:设f(x)=xα,则4α=2,
∴α=,即f(x)=,
∴f.
4.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于( ).
A.0
B.1
C.0或1
D.2
答案:B
解析:由题意知,3m-5<0,m<,
∵m∈N,∴m=0或m=1.
当m=0时,f(x)=x-5,f(-x)≠f(x),
验证m=1符合题意.
5.设函数f(x)=若f(a)>a,则实数a的取值范围是 .
答案:(-∞,-
1)
解析:原不等式可化为
解得不等式解集为 或a<-1,∴a<-1.
故a∈(-∞,-1).
6.已知g(x)的图象与f(x)=+1的图象关于直线y=x对称,则g(9)等于 .
(导学号51790194)
答案:4
解析:∵g(x)与f(x)的图象关于直线y=x对称,
∴g(9)的值即为f(x)=9中的x值.
由+1=9,解得x=4.
7.已知幂函数y=f(x)过点,试求出此函数的解析式,并作出图象,判断奇偶性、单调性.
(导学号51790195)
解设幂函数为y=xα,又过点,得=2α,
∴α=-.
∴函数解析式为y=,定义域为(0,+∞).
∴f(x)是非奇非偶函数,且f(x)在(0,+∞)上为单调减函数,图象为:
8.已知幂函数f(x)=(m∈N
).
(导学号51790196)
(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
(2)若函数还经过(2,),试确定m的值,并求满足f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
解(1)∵m∈N
,∴m2+m=m×(m+1)为偶数,令m2+m=2k,k∈N
,
则f(x)=.
∴定义域为[0,+∞),在[0,+∞)上为增函数.
(2)∵,
∴m2+m=2,解得m=1或m=-2(舍去),
∴f(x)=,
令2-a>a-1≥0,可得1≤a<.
9.(2016江苏泰州中学高一期中)已知函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,且为奇函数.
(导学号51790197)
(1)求m的值;
(2)求函数g(x)
=h(x)+在区间上的值域.
解(1)∵函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数,
∴m2-5m+1=1,
解得m=0或m=5.
∵h(x)为奇函数,∴m=0.
(2)由(1)可知,g(x)=x+,
令=t,则x=.
∵x∈,∴t∈[0,1].
∴g
(t)=-t2+t+=-(t-1)2+1,易知其值域为.第3章过关检测
(满分:100分 时间:90分钟)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.函数f(x)=x2-5x-6的零点为( ).
A.2,3
B.-2,-3
C.-6,1
D.6,-1
答案:D
解析:x2-5x-6=0,∴(x-6)(x+1)=0.
∴x=6或x=-1.
2.计算:=( ).
A.
B.-
C.
D.-
答案:D
解析:原式=
==-.
3.若函数y=(m2-m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上为减函数,则m=( ).
A.2
B.-1
C.2或-1
D.0
答案:A
解析:函数y=(m2-m-1)·是幂函数,
∴m2-m-1=1,得m=2或m=-1.
又当m=2时,m2-2m-3=-3,函数y=x-3在(0,+∞)上为减函数,符合题意;
当m=-1时,m2-2m-3=0,函数y=1不符合题意,故m=2.
4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( ).
(导学号51790222)
A.
B.
C.1
D.-1
答案:B
解析:2x=5-2x,2log2(x-1)=5-2x,
即2x-1=-x,log2(x-1)=-x.
作出y=2x-1,y=-x,y=log2(x-1)的图象(如图),y=2x-1与y=log2(x-1)的图象关于y=x-1对称,它们与y=-x的交点A,B的中点为y=-x与y=x-1的交点C,xC=,∴x1+x2=.
5.函数f(x)=的定义域为( ).
A.(-∞,3)
B.(-∞,3]
C.(3,+∞)
D.[3,+∞)
答案:D
解析:由解得x≥3,定义域为[3,+∞).
6.函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2x,那么,f=( ).
A.0
B.-1
C.-2
D.-3
答案:D
解析:函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=2x,可求得当x<0时,f(x)=-2-x,而log2<0,故f=-3.
7.已知a=30.7,b=log30.7,c=0.73,则a,b,c按从大到小的顺序排列为( ).
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.a>c>b
答案:D
解析:b=log30.7<0,a>0,c>0,30.7>30=1,1=0.70>0.73,∴a>c,得a>c>b.
8.已知二次函数y=f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则在区间(m,m+1)上函数零点的个数是( ).(导学号51790223)
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:二次函数y=f(x)=x2+x+a可化为y=f(x)=+a-,对称轴x=-.
又f(0)=a>0,f(m)<0,
∴由图象知,f(m+1)>0,
∴f(m)·f(m+1)<0.
∴f(x)在(m,m+1)上有1个零点.
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.设a>1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时,a的取值集合为 .
答案:{2}
解析:由已知得y=单调递减,
所以当x∈[a,2a]时,y∈,
所以
因为有且只有一个常数c满足题意,
所以2+loga2=3,
解得a=2,所以a的取值集合为{2}.
10.(2015湖南高考)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 .
(导学号51790224)
答案:(0,2)
解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=的图象与直线y=b的交点个数.
如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当011.老师给出一个函数,请三位同学各说出了这个函数的一条性质:
①此函数为偶函数;
②定义域为{x∈R|x≠0};
③在(0,+∞)上为增函数.
老师评价说其中有一个同学的结论错误,另两位同学的结论正确.请你写出一个(或几个)这样的函数 .
答案:y=x2或y=或y=-(答案不唯一)
解析:本题为开放型题目,答案不唯一,可结合条件来列举,可从基本初等函数中或分段函数中来找.
如:y=x2或y=或y=-.
三、解答题(本大题共4小题,共45分)
12.(10分)设函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3和2.
(1)求f(x);
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时,求函数f(x)的值域.
解(1)∵f(x)的两个零点分别是-3和2.
∴函数图象过点(-3,0),(2,0),
∴有9a-3(b-8)-a-ab=0,
①
4a+2(b-8)-a-ab=0.
②
①-②,得b=a+8,
③
③代入②,得4a+2a-a-a(a+8)=0,
即a2+3a=0.
函数有两个零点,∴a≠0,∴a=-3,
∴b=a+8=5.∴f(x)=-3x2-3x+18.
(2)由(1)得f(x)=-3x2-3x+18
=-3+18,
图象的对称轴方程是x=-,
∴函数f(x)在[0,1]上是单调减函数,
∴f(x)min=f(1)=12,f(x)max=f(0)=18,
∴函数f(x)的值域是[12,18].
13.(10分)根据市场调查,某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足关系:
f(t)=
销售量g(t)与时间t满足关系:
g(t)=-t+(0≤t≤40,t∈N),求这种商品的日销售额的最大值.
(导学号51790225)
解商品的日销售额=f(t)·g(t),而f(t)为分段函数,所以需按时间分段求.
设日销售额为F(t),当0≤t<20,t∈N时,
F(t)=
=-.
∴取t=10或11,则F(t)=176最大.
当20≤t≤40,t∈N时,
F(t)=(-t+41)(t-42)2-,
此时F(t)在区间[20,40]上为单调减函数,
∴取t=20,则F(t)=161最大.∴176>161,
∴取t=10或11时,日销售额为176最大.
答:这种商品的日销售额的最大值为176.
14.(12分)已知00,f(logax)=.
(导学号51790226)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性,并加以说明;
(3)判断f(a)与1的大小,并说明理由.
解(1)令t=logax,则x=at,∴f(logax)=f(t)=,
∴f(x)=·(ax-a-x),x∈R.
(2)任取x1,x2∈R,且x2>x1,
f(x2)-f(x1)=·()-·()=·[()-()]=.
∵0x1,∴,∴<0.
又>0,a2-1<0,
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1),
∴f(x)是增函数.
(3)f(1)=(a-a-1)==1.
∵f(x)是增函数,015.(13分)某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图(1),B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:利润与投资单位:万元)
(导学号51790227)
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式.
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元)
解(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,
由题设f(x)=k1x,g(x)=k2,
由图知f(1)=,∴k1=.
又g(4)=,∴k2=.
从而f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元.
设企业利润为y万元,
则y=f(x)+g(10-x)=,
∴0≤x≤10.令=t,
则y=t=-(0≤t≤).
当t=时,ymax=≈4,此时x=10-=3.75.
∴投资A产品3.75万元,B产品6.25万元时企业利润最大,约为4万元.第2课时 补集、全集
课时训练4 补集、全集
1.设U=R,A={x|a≤x≤b}, UA={x|x<3,或x>4},则a+b=( ).
A.6
B.7
C.8
D.9
答案:B
解析:∵ UA={x|x<3,或x>4},U=R,
∴A={x|3≤x≤4},∴a=3,b=4,a+b=7.
2.设全集I={2,3,x2+2x-3},A={5}, IA={2,y},则x,y的值为( ).
A.-4,3
B.2,3
C.-4或2,3
D.-4,2
答案:C
解析:∵A I,∴5∈I.∴I={2,3,5}.
∴x2+2x-3=5.∴x=-4或x=2.
∵y∈ IA,∴y∈I,且y A,即y≠5.
∴y=2或y=3,当y=2时不合题意,舍去.
∴y=3.
3.已知全集U(U≠ )和集合A,B,D,且A= UB,B= UD,则A与D的关系是( ).
A.A D
B.A=D
C.A= UD
D.D A
答案:B
解析:A= UB= U( UD)=D.
4.设全集U={1,3,5,7},集合M={1,a-5},M U, UM={5,7},则实数a的值为( ).
(导学号51790140)
A.8
B.7
C.6
D.5
答案:A
解析:方法一:利用补集的定义求解.
∵U={1,3,5,7}, UM={5,7},
故a-5=3,即a=8.
方法二:利用Venn图求解,Venn图如图所示.
由Venn图可知a-5=3,∴a=8.
5.已知全集U=,U的子集A=,则 UA= .
(导学号51790141)
答案:
解析:全集U是由的正整数次方构成的集合,集合A是由的正偶数次方构成的集合,故 UA是由的正奇数次方构成的集合.
6.对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A,且x B}叫做集合A与B的差集,记作A-B,若A-B= ,则集合A与B的关系是 .
答案:A B
解析:A-B= ,即{x|x∈A,且x B}= ,
∴A B.
7.已知全集U={2,0,3-a2},P={2,a2-a-2},且 UP={-1},求实数a的值.
解∵ UP={-1},∴-1∈U,且-1 P.
∴解得a=2.
经检验,a=2符合题意.故实数a的值为2.
8.已知集合A={x|x<-1,或x>6},B={x|m-1≤x≤2m+1},全集U=R.
(导学号51790142)
(1)当x∈N
时,求集合 UA的子集个数.
(2)若B UA,求实数m的取值范围.
解(1)∵ UA={x|-1≤x≤6}.
∴当x∈N
时, UA={1,2,3,4,5,6}.
∴集合 UA的子集个数为26=64.
(2)∵B UA,∴分B= 与B≠ 讨论.
①当B= 时,m-1>2m+1,即m<-2.
②当B≠ 时,由B UA,借助数轴(如图所示),
得解得0≤m≤.
综上所述,m的取值范围是m<-2或0≤m≤.
9.已知A={x|x<3},B={x|x(导学号51790143)
(1)若A B,问: RB RA是否成立
(2)若 RA R( R( RB)),求a的取值范围.
解(1)∵A B,如图①,∴a≥3.
而 RB={x|x≥a}, RA={x|x≥3},
∴ RB RA,即 RB RA成立.
(2)∵ RA={x|x≥3}, R( R( RB))= RB={x|x≥a},∴由题意即 RA RB,如图②,∴a≤3.
所求a的取值范围为{a|a≤3}.1.3 交集、并集
课时训练5 交集、并集
1.(2016山西大同一中高一期中)已知全集U={0,1,3,5,6,8},集合A={1,5,8},B={2},则集合( UA)∪B=( ).
A.{0,2,3,6}
B.{0,3,6}
C.
{2,1,5,8}
D.
答案:A
解析: UA={0,3,6},( UA)∪B={0,2,3,6}.
2.
(2015课标全国Ⅰ高考)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( ).
(导学号51790144)
A.5
B.4
C.3
D.2
答案:D
解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8;
当n=4时,3n+2=14.
所以A∩B={8,14}.故选D.
3.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1(导学号51790145)
A.(2,4)
B.[2,4)
C.[2,4]
D.(2,4]
答案:D
解析:∵A∪B=A,∴B A.
又B≠ ,∴解得2∴实数m的取值范围是(2,4].
4.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},若A∪B=R,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,1)
B.(-∞,1]
C.[1,+∞)
D.(1,+∞)
答案:B
解析:将A,B在数轴上表示如下.
∵A∪B=R,∴a≤1.
5.若集合A,B,
C满足A∩B=A,B∪C=C,则集合A与C之间的关系必定是 .
答案:A C
解析:∵A∩B=A,∴A B.∵B∪C=C,∴B C.
∴由子集性质知A C.
6.已知S={x|x2-px+6=0},M={x|x2-2x+q=0},且S∩M={3},则p+q= ,S∪M= .
答案:2 {-1,2,3}
解析:∵3∈S,∴32-3p+6=0,解得p=5.
由3∈M,得32-2×3+q=0,∴q=-3.
∴p+q=2.将p=5,q=-3代入原方程,得S={2,3},M={-1,3},∴S∪M={-1,2,3}.
7.若集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx-1=0},A∪B=A,求由实数m所构成的集合M,并写出M的所有子集.
(导学号51790146)
解∵A∪B=A,∴B A,而由题易得A={2,3},从而
(1)当B= 时,m=0;
(2)当B≠ 时,m≠0,
∴B=,且B为单元素集.
∵B A,A={2,3},∴B={2}或B={3}.
∴m=或m=,∴M=.
故M的所有子集为 ,{0},.
8.已知集合A={x|0≤x≤5},集合B={x|m≤x≤2m-1},且A∪B=A,试用区间符号表示实数m的取值范围.
(导学号51790147)
解∵A∪B=A,∴B A.
又A={x|0≤x≤5}≠ ,∴B= 或B≠ .
当B= 时,有m>2m-1,∴m<1.
当B≠ 时,如图.
由数轴可得解得1≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围为(-∞,3].
9.某市政府对水、电提价召开听证会,如记对水提价为事件A,对电提价为事件B.现向100名市民调查其对A,B两事件的看法,有如下结果:赞成A的人数是全体的,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人,其余不赞成;另外,对A,B都不赞成的市民人数比对A,B都赞成的市民人数的多1人.问:对A,B都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人
(导学号51790148)
解赞成A的人数为100×=60(人),赞成B的人数为60+3=63(人).
如图所示,
设对事件A,B都赞成的市民人数为x人,
则对A,B都不赞成的市民人数为人.
依题意,可得(60-x)+(63-x)+x++1=100,解得x=36,+1=13.
即对A,B两事件都赞成的市民有36人,对A,B两事件都不赞成的市民有13人.第1章 集合
1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
课时训练1 集合的含义
1.(2016山东德州高一期中)下列对象不能构成集合的是( ).
A.一年中有31天的所有月份
B.平面内到点O的距离等于1的所有点
C.满足方程x2-2x-3=0的所有x
D.某校高一(1)班所有性格开朗的女生
答案:D
解析:一年中有31天的月份,平面内到点O的距离等于1的点,满足方程x2-2x-3=0的x都是确定的,所以都能构成集合.班里性格开朗的女生的判断标准不明确,D不能构成集合.故选D.
2.给出下列6个关系:∈R,∈Q,0∈{0},tan
45°∈Z,0∈N
,π∈Q,其中正确的个数为( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:B
解析:∈R,0∈{0},tan
45°=1∈Z正确;∈Q,0∈N
,π∈Q不正确.
3.集合A中的元素为小于1的数,则下列给出的几个关系式中,正确的是( ).
A.3∈A
B.1∈A
C.0∈A
D.-3 A
答案:C
解析:由于集合A中的元素为小于1的数,所以3 A,1 A,
0∈A,-3∈A,故只有C正确.
4.集合A中的元素y满足y∈N,且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为( ).
A.0
B.1
C.0或1
D.2
答案:C
解析:∵y=-x2+1≤1,且y∈N,∴y的值为0,1.
又t∈A,则t的值为0或1.
5.已知集合A中的元素均可表示为x=a+b,a,b∈Z的形式,则 A.(填“∈”或“ ”)
答案:∈
解析:+1=1+1×,
∵1∈Z,∴∈A.
6.若集合A中含有两个元素x,x2,且1∈A,则x= .
答案:-1
解析:当x=1时,x=x2=1不合题意,故x2=1,由集合中元素的特性可知x=-1.
7.已知集合A={a-3,2a-1},若-3∈A,求实数a的值.
(导学号51790131)
解∵-3∈A,∴-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,此时A={-3,-1},符合题意.
若-3=2a-1,则a=-1,此时A={-4,-3},符合题意.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
8.设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(导学号51790132)
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
解(1)由集合元素的互异性可得x≠3,且x2-2x≠x,x2-2x≠3,解得x≠-1,且x≠0,且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x=-2.
9.已知集合A中含有四个元素:1,3,a2+a,a+1,若a∈A,求实数a的值.
(导学号51790133)
解∵a∈A,∴a=1或a=3或a=a2+a.
当a=1时,a2+a=2,a+1=2,这与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.
当a=3时,a2+a=12,a+1=4,符合题意.
当a=a2+a,即a=0时,a+1=1,
与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.
综上所述,所求实数a的值是3.3.4.2 函数模型及其应用
课时训练22 函数模型及其应用
1.一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数,它的解析式为( ).
A.y=10-x(0B.y=20-2x
C.y=20-2x(0D.y=20-2x(5答案:D
解析:由题意,得2x+y=20,∴y=20-2x.
∵y>0,∴20-2x>0.∴x<10.
又三角形两边之和大于第三边,
∴解得x>5.∴52.用一根长为12
m的铁丝折成一个矩形的铁框架,则能折成的框架的最大面积是( ).
A.8
m2
B.9
m2
C.16
m2
D.36
m2
答案:B
解析:设矩形框架一边长为x
m,
则另一边长为=(6-x)(m).
∴面积S=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9≤9(m2).
3.某物体一天中的温度T(℃)与时间t(h)的函数关系式为T(t)=t2-3t+60,t=0表示中午12:00,其后t取值为正,则下午3时的温度为( ).
A.78
℃
B.72
℃
C.66
℃
D.60
℃
答案:D
解析:当t=3时,T(3)=32-3×3+60=9-9+60=60(℃).
4.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( ).
A.45.06万元
B.45.6万元
C.
45.56万元
D.45.51万元
答案:B
解析:依题意可设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆,所以总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0,且x∈N),
所以当x=10时,Smax=45.6(万元).
5.从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水加满,再倒出1升混合溶液,再用水加满,这样继续下去,则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系为 .
(导学号51790206)
答案:y=20×
解析:第一次倒完后,y=19;
第二次倒完后,y=19×;
第三次倒完后,y=19×;
…
第x次倒完后,y==20×.
6.某航空公司规定,乘机所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由图中的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的最大重量为 .
答案:19
kg
解析:设y=kx+b,将点(30,330),(40,630)代入,得y=30x-570,令y=0,得x=19
kg.
7.假设A型进口汽车关税税率在2011年是100%,在2016年是25%,2011年A型进口车每辆价格为64万元(其中含32万元关税税款).
已知与A型车性能相近的B型国产车,2011年每辆价格为46万元,若A型车的价格只受关税降低的影响,为了保证在2016年B型车的价格不高于A型车价格的90%,B型车的价格要逐年降低,问:平均每年至少下降多少万元
(导学号51790207)
解因为2016年关税税款为2011年关税税款的,故所减少的关税税款为32×=24(万元).
所以2016年A型车价格为64-24=40(万元).
因为5年后B型车价格应不高于A型车价格的90%,所以有B型车价格≤40×90%=36(万元).
因为2011年B型车价格为46万元,故5年中至少要降10万元,所以平均每年至少降价2万元.
8.某皮鞋厂从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双,为了估测以后每个月的产量,以前三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系,则在二次函数与指数函数模型(y=abx+c,a,b,c为常数)中,选用哪个函数作模拟函数好 请说明理由.
(导学号51790208)
解设y1=f(x)=mx2+nx+p(m≠0),则由前三个月的产量得
解得
∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3(万件).
再设y2=g(x)=abx+c,
则
解得
∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35(万件).
经比较可知用y=-0.8·(0.5)x+1.4作为模拟函数较好.
9.一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
(导学号51790209)
(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2
004
km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式,并作出相应的图象.
解(1)图中横轴表示时间,纵轴表示速度,面积为路程;
由于每个时间段速度不断变化,所以汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数为分段函数.
阴影部分是由5个小矩形组成,它们的宽都等于1,它们的高可以观察得到.
阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
每个小矩形的宽表示汽车行驶的时间,高表示相应时间段内汽车行驶的速率,则每个小矩形的面积表示汽车在该段时间内行驶的路程.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360
km.
(2)根据题意,有s=
这个函数的图象如图所示.