学业分层测评(十一) 抛物线的几何性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为
________.
【解析】 由定义知PO＝PF，
所以xP＝，yP＝±＝±.
【答案】
2.抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于______.
【解析】 由消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根.
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】
3.(2016·济南高二检测)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.
【解析】 ∵y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)，又∵AF＝2，
∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，∴xA＝1.即AB⊥x轴，F为AB的中点，∴BF＝AF＝2.
【答案】 2
4.边长为1的等边三角形OAB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为
________.
【解析】 由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)，且A为x轴上方的点，则易求A，所以＝p，所以p＝，
所以抛物线方程为y2＝x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2＝－x.
【答案】 y2＝±x
5.设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是________.
【导学号：24830051】
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知p＝1，则·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－.
【答案】 －
6.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________.
【解析】 抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，∴＝＝1，
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
【答案】 y＝x
7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60
cm，灯深40
cm，则光源到反光镜顶点的距离是________.
【解析】 建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是y2＝2px(p>0).∵A(40,30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625
(cm).
【答案】 5.625
cm
8.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.
【解析】 圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要FM>4即可.根据抛物线定义，FM＝y0＋2.由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞).
【答案】 (2，＋∞)
二、解答题
9.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，求此抛物线的方程.
【导学号：24830052】
【解】 如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，
则OB边的方程为y＝－x.由得A点坐标为.
由得B点坐标为(8p，－4p).∵AB＝5，∴＝5.
∵p>0，解得p＝，∴所求抛物线方程为y2＝x.
10.一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a
m，求使卡车通过的a的最小整数值.
【解】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示.则点B的坐标为，设隧道所在抛物线方程为x2＝my(m≠0)，
则2＝m·，
∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有y－>3，即－>3.
解得a>12.21或a<－0.21(舍去).∴使卡车通过的a的最小整数值为13.
[能力提升]
1.已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________.
【解析】 ∵抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则＝，
＝，由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2).
【答案】 (1,2)或(1，－2)
2.(2016·苏州高二检测)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则＋＝________.
【解析】 由焦点弦性质知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a>0)，∴2p＝，p＝，
∴＋＝4a，即＋＝4a.
【答案】 4a
3.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为________.
【解析】 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F，
∵当x＝时，y＝p，∴AB＝2p＝12，∴p＝6，又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝AB·p＝×12×6＝36.
【答案】 36
4.如图2 4 4，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
图2 4 4
(1)证明直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值.
【解】 (1)证明 设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，
由解得A点的坐标为.
同理由解得B点的坐标为(2k2，－2k).
∴AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0).
(2)由于AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.
由消去x并整理得y2－2my－4＝0.∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝＝＝＝2.
S△AOB＝×OP×(|y1|＋|y2|)＝OP·|y1－y2|＝×2×2＝2.
∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.学业分层测评(十三) 平均变化率
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.在函数变化率的定义中，关于自变量的增量Δx的说法：
①Δx＜0；②Δx＞0；③Δx＝0；④Δx≠0.
其中正确的是
________(填序号).
【导学号：24830064】
【解析】 由平均变化定义知Δx≠0.
【答案】 ④
2.函数f(x)＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________.
【解析】 ＝＝－.
【答案】 －
3.(2016·徐州高二检测)函数y＝－3x2＋6在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率是________.
【解析】 函数在[1,1＋Δx]内的平均变化率是＝＝－6－3Δx.
【答案】 －6－3Δx
4.某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值.
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30～70
min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________.
【解析】 ＝＝－0.002.
【答案】 －0.002
5.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于________.
【解析】 由平均速度表示式，函数平均变化率：＝＝6＋Δt.
【答案】 6＋Δt
6.函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为______.
【解析】 函数f(x)在(－1,3)上的平均变化率为＝＝7.
【答案】 7
7.一棵树2015年1月1日高度为4.5
m,2016年1月1日高度为4.98
m，则这棵树2015年高度的月平均变化率为________.
【解析】 ＝0.04.
【答案】 0.04
8.设自变量x的增量为Δx，则函数y＝log2x的增量为________.
【解析】 函数y＝log2x的增量为log2(x＋Δx)－log2x＝log2＝log2.
【答案】 log2
二、解答题
9.过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率.
【解】 ∴割线PQ的斜率k＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
设当Δx＝0.1的割线的斜率为k1，则k1＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
10.求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点均变化率最大？
【解】 在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2时附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3时附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx；
若Δx＝，则k1＝2＋＝，，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1＜k2＜k3；∴在x＝3附近的平均变化率最大.
[能力提升]
1.已知A，B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速度为30
km/h,
B车向东行驶，速度为40
km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为________.
【导学号：24830065】
【解析】 设经过t
h两车间的距离为s
km，则s＝＝50t(km)，
增加的速度为＝50(km/h).
【答案】 50
km/h
2.函数y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx＞0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是________.
【解析】 ∵k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx，又∵Δx＞0，∴k1＞k2.
【答案】 k1＞k2
3.在高台跳水运动中，运动员相对于水面高度与起跳时间t的函数关系为h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)，下列说法：
①＜；②＝
；③＝0；
④运动员在0≤t≤这段时间内处于静止状态.
其中正确的是________.
【解析】 利用变化率的几何意义解决h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)的对称轴为t＝，故h＝h(0)，则＝0.
【答案】 ③
4.试比较正弦函数y＝sin
x在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大？
【解】 当自变量从0到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝；
当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝.
由于是在x＝0和x＝的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可以为正，又可以为负.
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝，
∵Δx＜0，∴Δx－＜－，
∴sin＜－，从而有sin＜－1，
sin＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.
综上可知，正弦函数y＝sin
x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率.学业分层测评(七) 椭圆的几何性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是________.
【解析】 椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，
∴椭圆的长轴长2a＝.
【答案】
2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为________.
【解析】 由题意知圆F2的半径为c，在Rt△MF1F2中，|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1⊥MF2.
所以(2a－c)2＋c2＝4c2，2＋2－2＝0，
∴e＝＝－1.
【答案】 －1
3.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________.
【解析】 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
【答案】 相交
4.(2016·常州高二检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为________.
【解析】 根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b＝，
椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0
【导学号：24830032】
【解析】 ∵b＝1，∴c2＝a2－1，又＝＝1－≤，∴≥，∴a2≤4，
又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1【答案】 (2,4]
6.(2016·广州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为________.
【解析】 因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由得由a2＝b2＋c2，得b2＝32.故椭圆的方程为：＋＝1.
【答案】 ＋＝1
7.椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________.
【解析】 如图，当直线x＝m，过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，
由解得y＝±，∴|AB|＝3.∴S＝×3×2＝3.
【答案】 3
8.(2016·宿州高二检测)已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为________.
【导学号：24830033】
【解析】 方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y－1＝k(x－1)，
由得(4＋9k2)x2－18k(k－1)x＋9k2－18k－27＝0，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝＝2，解得k＝－，则所求的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1①
＋＝1②
①－②得＝－
∴k＝＝－＝－＝－.
∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.
【答案】 4x＋9y－13＝0
二、解答题
9.(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率.
(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.
【解】 (1)由题意得：b＝c，
∴e2＝＝＝＝，∴e＝.
(2)由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2
又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，
即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·－5·2＝0，即5·2＋2·－3＝0，∴e＝＝.
10.过椭圆＋＝1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.
【解】 方法一：依题意，该直线l的斜率存在.设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，解之得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2,1)为AB的中点.
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.故所求直线方程为x＋2y－4＝0.
[能力提升]
1.点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是________.
【解析】 ∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，
∴＋＜1.∴＜.则a2＜2，∴－＜a＜.
【答案】 －＜a＜
2.(2016·宿迁高二检测)如图2 2 2，P是椭圆＋＝1在第一象限上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上的一点，且·＝0，则OM的取值范围是________.
图2 2 2
【解析】 延长
F2M交PF1于点N，由已知条件可知OM＝NF1＝(PF1－PF2)＝a－PF2，而a－c【答案】 (0,3)
3.已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为________.
【解析】 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，两式相减，
得＋＝0，
∴＝－，∴k＝＝－.
【答案】 －
4.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程.
【解】 (1)由消去y得，5x2＋2mx＋m2－1＝0，∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2).
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝－m，x1x2＝.
∴|AB|＝
＝
＝＝＝＝.
∵Δ＝4m2－20(m2－1)>0，∴－∴当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.学业分层测评(九) 双曲线的几何性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是
________.
【解析】 令x2－＝0，则y＝±x.
【答案】 y＝±x
2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________.
【解析】 双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，则有：a2＝1，b2＝－，
由题设条件知，2＝，∴m＝－.
【答案】 －
3.对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)所表示的双曲线有如下结论：
(1)有相同的顶点；
(2)有相同的焦点；
(3)有相同的离心率；
(4)有相同的渐近线.其中正确的是________.
【解析】 对于方程－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝；对于方程－y2＝λ，a′＝2，b′＝，c′＝，显然a′、b′、c′分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线.
【答案】 (3)(4)
4.已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为________.
【解析】 ∵e＝＝2，c＝4，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，且焦点在x轴上，
故标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
5.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为________.
【解析】 由e＝，得＝，∴c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，∴所求渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
6.与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________.
【解析】 椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c＝4，e＝，∴双曲线的离心率等于－＝2，
∴＝2，∴a＝2.∴b2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
7.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为________.
【导学号：24830042】
【解析】 由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，
∴双曲线方程为－＝1.∴渐近线方程为－＝0，即±＝0.
【答案】 4x±3y＝0
8.(2016·徐州高二检测)已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是________.
【解析】 如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1⊥PF2.
在Rt△PF1F2中，PF2＝F1F2·sin
60°＝2c·＝c.PF1＝F1F2·cos
60°＝2c·＝c，
∵PF2－PF1＝2a，∴a＝c.
∴e＝＝＝＋1.
【答案】 ＋1
二、解答题
9.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
【解】 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程：y＝±x＝±x.
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3).
【解】 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0).
由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为－＝1或－＝1.
(2)方法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2＜yP＝3.
∴双曲线的焦点在y轴上.从而有＝，∴b＝2a.设双曲线方程为－＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，∴－＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为－＝1.
方法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0，
∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0.设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为－y2＝－5，即－＝1.
[能力提升]
1.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________.
【解析】 由双曲线－＝1，知a＝2，b＝2，c＝4，∴焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，
渐近线方程y＝±x.由双曲线对称性知，任一焦点到任一渐近线的距离都相等.
∴d＝＝2.
【答案】 2
2.(2016·临沂高二检测)已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________.
【解析】 如图所示.由于∠F1AB＝∠F1BA，△ABF1为锐角三角形，故∠AF1B为锐角.故只需要∠AF1F2<45°即可，即<1，∴＝<1即c2－a2<2ac.
即e2－2e－1<0，解得1－1，故1【答案】 (1,1＋)
3.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为
________.
【解析】 因为双曲线的一个焦点在直线l上，所以0＝2c＋10，即c＝－5又因为渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，故有＝2，结合c2＝a2＋b2，得a2＝5，b2＝20，所以双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】
－＝1
4.双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围.
【解】 设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝.∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.∵e＝，
∴5≥2e2，∴25(e2－1)≥4e4，即4e4－25e2＋25≤0，∴≤e2≤5(e>1).
∴≤e≤，即e的取值范围为.学业分层测评(六) 椭圆的标准方程
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.圆＋＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.
【解析】 设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，
由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6.
【答案】 6
2.若a＝6，b＝，则椭圆的标准方程是________.
【解析】 椭圆的焦点在x轴上时，方程为＋＝1，在y轴上时，方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
3.(2016·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是________.
【解析】 ∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4.过(－3,2)点且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________.
【解析】 与＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6.
【答案】 ＋＝1
5.把椭圆＋＝1的每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，则所得曲线方程为________.
【导学号：24830028】
【解析】 原方程化为2＋2＝1，所得曲线为x2＋y2＝1.
【答案】 x2＋y2＝1
6.椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是________.
【解析】 椭圆化为标准形式为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝－＝，
且焦点在x轴上，故为.
【答案】
7.方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________.
【解析】 将方程化为＋＝1，由题意得解之得【答案】 8.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为________.
【解析】 ∵·＝0，∴PF1⊥PF2.∴PF＋PF＝F1F且PF1＋PF2＝2a.
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2PF1·PF2＝102－64，∴PF1·PF2＝18，∴△F1PF2的面积为9.
【答案】 9
二、解答题
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴
∴故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
10.已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程.
【解】 (1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1，把M点坐标代入得＋＝1，
解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1.
[能力提升]
1.(2016·绵阳高二检测)设P是椭圆＋
＝1上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则PF1·PF2的最大值是________.
【解析】 由题意知：PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1·PF2≤2＝2＝16，当且仅当PF1＝PF2时取“＝”号，故PF1·PF2的最大值是16.
【答案】 16
2.已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么动点Q的轨迹是________.
【解析】 如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF1＋PF2＝2a为常数.又因为PQ＝PF2，所以PF1＋PQ＝2a，即QF1＝2a为常数.即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆.故Q的轨迹为圆.
【答案】 圆
3.(2016·长沙高二检测)若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________.
【解析】 如图所示，
F1F2＝2，AF1＋AF2＝6，由AF1＋AF2＝6，
得AF＋AF＋2AF1·AF2＝36.又在△AF1F2中，
AF＋AF－F1F＝2AF1·AF2cos
45°，
所以36－2AF1·AF2－8＝AF1·AF2，
所以AF1·AF2＝＝14(2－)，
所以S△AF1F2＝AF1·AF2
sin
45°＝×14(2－)×＝7(－1).
【答案】 7(－1)
4.已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0.试求
(1)椭圆的方程.
(2)求sin∠PF1F2的值.
【解】 (1)因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10,0)，F2(10,0)，所以2a＝PF1＋PF2＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝F1F2·yP＝80，
所以PF1·PF2＝160，又PF1＋PF2＝12，所以PF2＝4，所以sin∠PF1F2＝＝＝.学业分层测评(五) 圆锥曲线
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.下列说法
①坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆；
②坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆；
③坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；
④坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离相等的点的轨迹是椭圆.正确的是________(填序号).
【解析】
①
×
动点到两定点F1、F2的距离的和等于2，小于F1F2，故这样的点不存在
②
×
动点到两定点F1、F2的距离的和等于F1F2，故动点的轨迹是线段F1F2
③
√
动点到两定点F1、F2的距离的和大于F1F2，故动点的轨迹是椭圆
④
×
根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线
【答案】 ③
2.若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是________.
【导学号：24830024】
【解析】 动点P的条件满足抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线.
【答案】 抛物线
3.(2016·枣庄高二检测)过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹为________.
【解析】 由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线.
【答案】 以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线
4.设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是________.
【解析】 PF1＋PF2＝a＋≥6.∴轨迹为线段或椭圆.
【答案】 椭圆或线段
5.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹是________.
【解析】 由题意，动点P以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
【答案】 双曲线的右支
6.若点P到F(3,0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，则动点P的轨迹为________.
【解析】 由题意知P到F(3,0)的距离比它到直线x＝－4距离小1，则应有P到(3,0)的距离与它到直线x＝－3距离相等.故P的轨迹是以F(3,0)为焦点的抛物线.
【答案】 以F(3,0)为焦点的抛物线
7.动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是________.
【解析】 ∵|PM－PN|＝2＝MN，∴点P的轨迹是两条射线.
【答案】 两条射线
8.(2016·宜春高二检测)命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的________条件.
【解析】 若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件.反过来，若PA＋PB＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.
这是因为：仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件.
【答案】 必要不充分
二、解答题
9.已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹.
【解】 如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC，∴AP＝CP，∴PB＋PA＝BP＋PC＝4，
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.
10.设圆A的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切，且与已知圆A相外切的动圆圆心M的轨迹.
【解】 如图所示，圆A的方程可化为(x－5)2＋y2＝52，所以A(5,0)，设直线l的方程为x＝－5.结合已知条件，得动圆圆心M到定点A和定直线l的距离相等，所以动圆圆心M的轨迹为抛物线.
又由于圆M与y轴相切，若圆M与y轴切于原点，则必与圆A相切.根据外切的条件，得M的轨迹方程为y＝0(x＜0)，当x＞0时，圆M与圆A内切，不符合条件.
所以动圆圆心M的轨迹为抛物线或y＝0(x＜0).
[能力提升]
1.已知动点P(x，y)满足＝，则P点的轨迹是________.
【导学号：24830025】
【解析】 由题意知，动点P到定点(1,2)和定直线3x＋4y－10＝0的距离相等，又点(1,2)不在直线3x＋4y－10＝0上，所以点P的轨迹是抛物线.
【答案】 抛物线
2.如图2 1 1所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________.
图2 1 1
【解析】 在正方体ABCD A1B1C1D1中，C1D1⊥平面BB1C1C，连结PC1，则PC1⊥C1D1，所以P、C1两点间的距离PC1即为P到直线C1D1的距离.所以在平面BB1C1C内，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离.根据抛物线的定义，知点P的轨迹所在的曲线是以点C1为焦点，以直线BC为准线的抛物线.
【答案】 抛物线
3.已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1－PF2|＝2a(a＞0)，则当a＝3和a＝5时点P的轨迹为________.
【解析】 因为|PF1－PF2|＝2a，所以PF1>PF2.又因为F1F2＝10，当a＝3时，F1F2>2a，
符合双曲线的定义，但只是双曲线的右支；
当a＝5时，F1F2＝2a，轨迹为x轴上以F2为端点向右射出的一条射线.
【答案】 双曲线的一支和一条射线
4.已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.
【解】 设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，
∴FA＋CA＝2a，FB＋CB＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴FA＋CA＝FB＋CB，
∴FA－FB＝CB－CA＝2.∴FA－FB＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上.章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)
＞0”用“ ”或“ ”可表述为________.
【解析】 “有些负数”表示存在量词用“ ”来描述.
【答案】 x＜0，使不等式(1＋x)(1－9x)
＞0
2.(2016·赣州高二检测)命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p可写为________.
【解析】 因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可.
【答案】 x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
3.在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________.
【解析】 原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.
【答案】 3
4.“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件.
【解析】 x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤，因为m< m≤，反之不成立.故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件.
【答案】 充分不必要
5.(2016·合肥高二检测)下列命题：
① x∈R，sin
x＝
；② x∈R，log2x＝1；③ x∈R，x>0；④ x∈R，x2≥0.
其中假命题是________.
【解析】 因为 x∈R，sin
x≤1<，所以①是假命题；对于②， x＝2，log2x＝1；所以②是真命题对于③，根据指数函数图象可知， x∈R，x>0；所以③是真命题对于④，根据二次函数图象可知， x∈R，x2≥0，所以④是真命题.
【答案】 ①
6.设n∈N
，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
【导学号：24830020】
【解析】 由Δ＝16－4n≥0得n≤4，又∵n∈N
，故n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4，符合题意；反之，当n＝3,4时，可以推出一元二次方程有整数根.
【答案】 3或4
7.若“x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________.
【解析】 根据题意得解得1≤x＜2，故x∈[1,2).
【答案】 [1,2)
8.给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“ x∈N，x3>x2”的否定是“ x0∈N，使x>x”；
③“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.
其中真命题的序号是________.
【解析】 ①②④是假命题，③是真命题.
【答案】 ③
9.(2016·浙江高考改编)命题“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是________.
【导学号：24830021】
【解析】 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N
，使得n【答案】 x∈R， n∈N
，使得n10.(2016·昆明高二检测)若命题“ x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】 当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a<0.
综上，－8≤a≤0.
【答案】 [－8,0]
11.有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________.
【解析】 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”假命题.
②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”真命题.
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”真命题.
【答案】 ②③
12.若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
【解析】 由已知，易得{x|x2－2x－3>0}?{x|xm＋1}，
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴或∴0≤m≤2.
【答案】 [0,2]
13.(2016·南京高二检测)已知命题p： x0∈R，x0－2＞lg
x0；命题q： x∈R，x2＋x＋1＞0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈
p)∨q”是真命题；④命题“p∨(綈q)”是假命题.
其中所有正确结论的序号为________.
【解析】 对于命题p，取x0＝10，则有10－2＞lg
10，即8＞1，故命题p为真命题；对于命题q，方程x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即 x∈R，x2＋x＋1＞0，所以命题q为真命题.综上“p∧q”是真命题，“p∧(綈q)”是假命题，“(綈p)∨q”是真命题，“p∨(綈q)”是真命题，即正确的结论为①②③.
【答案】 ①②③
14.下列结论：
①若命题p： x0∈R，tan
x0＝2；命题q： x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”.
其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】 在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的.在②中l1⊥l2 a＋3b＝0，所以②不正确.在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确.
【答案】 ①③
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)写出命题“若a≥0，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
【解】 逆命题：“若方程x2＋x－a＝0有实根，则a≥0”.
否命题：“若a＜0，则方程x2＋x－a＝0无实根.”
逆否命题：“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a＜0”.
其中，原命题的逆命题和否命题是假命题，逆否命题是真命题.
16.(本小题满分14分)判断下列语句是全称命题还是存在性命题，并判断真假.
(1)有一个实数α，tan
α无意义；
(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；
(3)圆内接四边形，其对角互补；
(4)指数函数都是单调函数.
【解】 (1)存在性命题.α＝，tan
α不存在，所以存在性命题“有一个实数α，tan
α无意义”是真命题.
(2)含有全称量词，所以该命题是全称命题.又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题.
(3)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题.
(4)虽然不含全称量词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题.
17.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋|x＋a|＋b(x∈R)，求证：函数f(x)是偶函数的充要条件为a＝0.
【证明】 充分性：定义域关于原点对称.
∵a＝0，∴f(x)＝x2＋|x|＋b，∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋b＝x2＋|x|＋b，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
必要性：因为f(x)是偶函数，则对任意x有f(－x)＝f(x)，
得(－x)2＋|－x＋a|＋b＝x2＋|x＋a|＋b，即|x－a|＝|x＋a|，所以a＝0.
综上所述，原命题得证.
18.(本小题满分16分)(2016·淄博高二检测)已知两个命题r(x)：sin
x＋cos
x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对 x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围.
【解】 因为sin
x＋cos
x＝sin≥－，所以当r(x)是真命题时，m＜－.
又因为对 x∈R，当s(x)为真命题时，即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，
所以－2＜m＜2.所以当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－，
同时m≤－2或m≥2，即m≤－2.
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2＜m＜2，
即－≤m＜2.
综上，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m＜2.
19.(本小题满分16分)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数.若p或q是真命题，p且q是假命题，求实数a的取值范围.
【解】 命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.
由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假.
若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.
故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4).
20.(本小题满分16分)(2016·兰州高二检测)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围.
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解】 由x2－4ax＋3a2＜0，a＞0得a＜x＜3a，即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得即2＜x≤3，即q为真命题时2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：1则得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3).
(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，由题意知p是q的必要不充分条件，
所以B?A，有∴1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2].学业分层测评(八) 双曲线的标准方程
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是________.
【解析】 验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点.
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.
【答案】 ±1
2.已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为________.
【导学号：24830036】
【解析】 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
3.(2016·通州高二检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(3，)在双曲线上，则双曲线方程为________.
【解析】 PF1＝＝4，PF2＝＝2，
PF1|－PF2＝2＝2a，所以a＝，又c＝2，故b2＝c2－a2＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
4.若双曲线2x2－y2＝k的半焦距为3，则k的值为______.
【解析】 若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
∴－k＋＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
【答案】 6或－6
5.若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________.
【解析】 由题意，方程可化为－＝3，
∴解得m<－2.
【答案】 (－∞，－2)
6.(2016·聊城高二检测)设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，若PF1＝10，则PF2＝________.
【解析】 由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2－PF1|＝6，所以PF2＝PF1＋6＝10＋6＝16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1－PF2|＝6，所以PF2＝PF1－6＝10－6＝4.故PF2＝4或PF2＝16.
【答案】 4或16
7.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程是________.
【解析】 设PF1＝m，PF2＝n，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义，知(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
8.F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且MF1·MF2＝32，则△F1MF2的面积为________.
【解析】 由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0,5)，由双曲线定义得，
|MF1－MF2|＝6，联立MF1·MF2＝32，得MF＋MF＝100＝F1F，
所以△
F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝MF1·MF2＝16.
【答案】 16
二、解答题
9.求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)经过点A(4，3)，且a＝4；
(2)经过点A、B(3，－2).
【导学号：24830037】
【解】 (1)若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则将a＝4代入，得－＝1，
又点A(4，3)在双曲线上，∴－＝1.解得b2＝9，则－＝1，
若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).同上，解得b2<0，不合题意，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵点A、B(3，－2)在双曲线上，
∴解之得
∴所求双曲线的方程为－＝1.
10.已知曲线C：＋＝1(t≠0，t＝±1).
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点.
【解】 (1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；
当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线.
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0).
当|t|<1时，双曲线C的方程为－＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0).综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点.
[能力提升]
1.已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为________.
【解析】 设△ABF1的周长为C，则C＝AF1＋BF1＋AB＝(AF1－AF2)＋(BF1－BF2)＋AF2＋BF2＋AB
＝(AF1－AF2)＋(BF1－BF2)＋2AB＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
【答案】 4a＋2m
2.已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.
【解析】 椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)、B(－，4)，由点A在双曲线上知，－＝1.
解方程组得∴所求曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3.方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能为圆；②若14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1【解析】 当4－k＝k－1时，k＝，这时4－k＝k－1>0，∴k＝时，方程表示圆，故①错误；当4－k>0，k－1>0且4－k≠k－1即14或k<1时，曲线表示双曲线，故③正确；若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，有4－k>k－1>0，即1【答案】 ③④
4.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
【解】 由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1PF2cos
60°，所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝64，∴S△F1PF2＝PF1·PF2·sin
∠F1PF2＝×64×＝16.学业分层测评(十七) 单调性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.在下列命题：
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)都有f′(x)＞0
②若在(a，b)内对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内是增函数
③若在(a，b)内f(x)为单调函数，则f′(x)也为单调函数
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)＜0，则在(a，b)内有f(x)＜0
其中正确的是________(填序号).
【解析】 由函数的单调性以及与其导数的关系知②正确.
【答案】 ②
2.函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是________.
【解析】 f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝x·ex，令f′(x)＞0，解得x＞0，
所以f(x)的单调递增区间是(0，＋∞).
【答案】 (0，＋∞)
3.函数f(x)＝ln(1＋x)－的单调递增区间是________.
【解析】 f′(x)＝·(1＋x)′－＝－＝.
在定义域(－1，＋∞)内，f′(x)＞0恒成立，所以函数的单调递增区间是(－1，＋∞).
【答案】 (－1，＋∞)
4.(2016·西安高二检测)
y＝＋x(k＞0)的单调减区间是________.
【导学号：24830082】
【解析】 因为y′＝－＋1＝，所以y′＜0 x∈(－k,0)或(0，k).
【答案】 (－k,0)，(0，k)
5.使y＝sin
x＋ax为R上的增函数的a的范围是________.
【解析】 y′＝cos
x＋a＞0，∴a＞－cos
x，∴a＞1.
【答案】 a∈(1，＋∞)
6.函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为________.
【解析】 令f′(x)＝1－2cos
x＞0，则cos
x＜，又x∈(0，π)，解得＜x＜π，
所以函数在(0，π)上的单调递增区间为.
【答案】
7.函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上都递增，且在区间(0,2)上递减，则a＝________.
【解析】 f′(x)＝6x2＋2ax.若函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，(0,2)上递减，
则f′(x)＞0的解集是(－∞，0)∪(2，＋∞)，f′(x)＜0的解集是(0,2)，
∴0,2是f′(x)＝0的两根，解得a＝－6.
【答案】 －6
8.已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图3 3 4，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________(填序号).
图3 3 4
【解析】 由图象可获得如下信息：(1)函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数在x＝x0处的导数相同，故两函数在x＝x0处的切线平行或重合.(2)通过导数的正负及大小可以知道函数y＝f(x)和y＝g(x)为增函数，且y＝f(x)增长的越来越慢，而y＝g(x)增长的越来越快.综合以上信息可以知道选④.
【答案】 ④
二、解答题
9.求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2＋ex－xex；(2)f(x)＝＋ln
x.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex).
若x<0，则1－ex>0，∴f′(x)<0；若x>0，则1－ex<0，∴f′(x)<0；若x＝0，则f′(x)＝0.
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)，无单调增区间.
(2)因为f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
单调递增
f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1).
10.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0(a≠1).
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间.
【导学号：24830083】
【解】 (1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f′(－1)＝1－2a＋b＝0，得b＝2a－1.
(2)由(1)得，f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x，故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a.
①当a＞1时，1－2a＜－1，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－2a)
(1－2a，－1)
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
?
?
?
由此可得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1).
②当a＜1时，1－2a＞－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a).
综上，当a＞1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)；
当a＜1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a).
[能力提升]
1.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则与的大小关系是________.
【解析】 设函数y＝，可得y′＝，
∵＜0，
∴函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，对任意正数a，b，若a＜b，必有：＞.
【答案】 ＞
2.(2016·泰州高二检测)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________.
【解析】 由题意可知，f′(x)＝－x＋＜0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
即b＜x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立，由于x≠－1，∴b≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
3.若函数f(x)的定义域为R，f′(x)＞2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)＞2x＋4解集为________.
【解析】 令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，要求f(x)＞2x＋4，就是求g(x)＞0，
g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以函数g(x)在R上单调递增，而g(－1)＝f(－1)－2＝0，
g(x)＞0＝g(－1)，即x＞－1，
即不等式的解集为(－1，＋∞).
【答案】 (－1，＋∞)
4.(2016·常州高二检测)设函数f(x)＝xekx(k≠0)，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围.
【解】 (1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)，
若k＞0，则当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若k＜0，则当x∈时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.
(2)由(1)知，若k＞0，则当且仅当－≤－1，
即k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增，
若k＜0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增.
综上可知，函数f(x)在(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1].学业分层测评(一) 四种命题
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.下列语句：①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②x，y都是无理数，则x＋y是无理数；③请完成第九题；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行.
其中是命题的是________.
【解析】 根据命题的定义逐个判断.①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，是假命题，例如－＋＝0，不是无理数；③不是命题，因为它不是陈述句；④是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交.
【答案】 ②④
2.(2016·桂林高二检测)已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：
(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；
其中所有正确叙述的序号是________.
【解析】 原命题的逆命题、否命题叙述正确.逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”.
【答案】 (1)(2)
3.给出下列几个命题：
(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
(2)若a＞b，则a2＞b2；
(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；
(4)若a，b是无理数，则a＋b是无理数.
其中的假命题有________个.
【解析】 根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；(4)中取a＝，b＝－，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题.
【答案】 3
4.(2016·浏阳高二检测)在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.其中逆命题为真命题的是________.
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题.
【答案】 ②
5.命题“若a2＋b2＝0，则a，b都为零”的逆否命题是________.
【解析】 因为原命题为：若a2＋b2＝0，则a，b都为零；所以逆否命题为：若a，b不都为零，则a2＋b2≠0.
【答案】 若a，b不都为零，则a2＋b2≠0
6.命题“若x≠1，则
x2－1≠0”的逆否命题的真假性为________(填“真”或“假”).
【解析】 逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，显然此命题是假命题.
【答案】 假
7.有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A B”的逆否命题.
其中的真命题是________.
【导学号：24830003】
【解析】 ①③是真命题，②④是假命题.
【答案】 ①③
8.(2016·六安高二检测)下列有关命题的说法：
①“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题；
②“若cos
β＝1，则sin
β＝0”的逆命题是真命题；
③“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题；
④命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0.
正确的是________
【解析】 ①中，∵2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故①不正确；②中，sin
β＝0时，cos
β＝±1，则逆命题为假命题，故②不正确；④中，由已知条件得a≥1，故④不正确.
【答案】 ③
二、解答题
9.把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：
(1)菱形的四条边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(3)空集是任何集合的真子集.
【解】 (1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等.真命题.
(2)若x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题.
(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集.假命题.
10.判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点.
【解】 (1)该命题为假命题.因为当c＝0时，有ac2＝bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)
(2)该命题为真命题.
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.(真)
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.(真)
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.(真)
(3)该命题为假命题.
当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点.
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点.(假)
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假)
[能力提升]
1.(2016·宿迁高二检测)命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】 因为ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
【答案】 [－3,0]
2.(2016·承德高二检测)命题“若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0”的否命题为________，是________(填“真”或“假”)命题.
【解析】 本题中“至少有一个为0”的否定是“都不为0”，故其否命题是“若abc≠0，则a，b，c都不为0.”由相关知识判断为真命题.
【答案】 若abc≠0，则a，b，c都不为0 真
3.命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为________，是________命题(填真、假).
【解析】 命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为“已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0”，是真命题.
【答案】 已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 真
4.证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋
f(b)≥f(－a)＋
f(－b)，则a＋b≥0.
【证明】 证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋
f(b)f(－b).”
若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<
f(－b)，f(b)<
f(－
a).
∴f(a)＋
f(b)f(－b)，
即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.
证法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<
f(－b)，f(b)<
f(－a)，
∴f(a)＋
f(b)f(－b).这与已知条件f(a)＋
f(b)≥f(－a)＋
f(－b)相矛盾.
因此假设不成立，故a＋b≥0.学业分层测评(十) 抛物线的标准方程
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.抛物线y2＝4x的准线方程为________.
【解析】 根据抛物线的几何性质得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.
【答案】 x＝－1
2.抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点恰好与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则p＝________.
【解析】 椭圆中a2＝9，b2＝5，∴c2＝a2－b2＝4，∴c＝±2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点F与F1重合，∴－＝－2，∴p＝4.
【答案】 4
3.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________.
【解析】 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
【答案】 6
4.抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________.
【解析】 抛物线y＝x2的标准形式为x2＝ay，故焦点在y轴上，坐标为.
【答案】
5.(2016·盐城高二检测)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________.
【解析】 由－＝1知a2＝4，b2＝5，∴c2＝a2＋b2＝9，双曲线右焦点为(3,0)，
依题意，抛物线的焦点F(3,0)，＝3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝12x.
【答案】 y2＝12x
6.焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为________.
【解析】 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，∵A(m,3)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，
∴p＝4，∴抛物线为x2＝8y.
【答案】 x2＝8y
7.已知开口向下的抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5，则该抛物线的标准方程为________.
【解析】 ∵Q(m，－3)到焦点的距离等于5.∴Q到准线的距离也等于5.
∴准线：y＝2，即＝2，∴p＝4.即：抛物线标准方程为：x2＝－8y.
【答案】 x2＝－8y
8.(2016·常州高二检测)抛物线y＝－x2上的动点M到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________.
【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为F(0，－1)，因为－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点E作EQ⊥l于点Q，过点M作MP⊥l于点P，所以MF＋ME＝MP＋ME≥EQ，又EQ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.
【答案】 4
二、解答题
9.设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，M为抛物线上任一点，若点M到直线l：3x＋4y－14＝0的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程.
【导学号：24830046】
【解】 设与l平行的切线方程为3x＋4y＋m＝0，由得2x2－3px－pm＝0.
∴Δ＝0即m＝－p.又d＝＝1，∴p＝8或p＝(舍)，
∴抛物线的标准方程为x2＝－16y.
10.(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试给出FP1，FP2，FP3之间的关系式；
(2)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，求||＋||＋||.
【解】 (1)由抛物线方程y2＝2px(p>0)得准线方程为x＝－，
则由抛物线的定义得FP1＝x1＋，FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，
则FP1＋FP3＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p，因为x1＋x3＝2x2，
所以FP1＋FP3＝2x2＋p＝2＝2FP2，
从而FP1，FP2，FP3之间的关系式为FP1＋FP3＝2FP2.
(2)设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由题意知2p＝4，p＝2，F(1,0)，
又＋＋＝0，则有xA－1＋xB－1＋xC－1＝0，即xA＋xB＋xC＝3.
由抛物线的定义可知，
||＋||＋||＝＋＋＝(xA＋xB＋xC)＋3×＝3＋3＝6.
[能力提升]
1.对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足.
【答案】 ②④
2.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－，那么PF＝________.
【解析】 由抛物线定义得PF＝PA，又由直线AF的斜率为－可知，∠PAF＝60°，
所以△PAF是等边三角形，
即PF＝AF＝＝8.
【答案】 8
3.(2016·驻马店高二检测)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________.
【导学号：24830047】
【解析】 因为抛物线方程为y2＝4x，则准线方程为x＝－1.设P点坐标为P(x0，y0)，
由图可知(图略)，PM＝x0＋1＝5.所以x0＝4，把x0＝4代入y2＝4x，解得y0＝±4，
所以△MPF的面积为PM×y0＝×5×4＝10.
【答案】 10
4.设P是曲线y2＝4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求PB＋PF的最小值.
【解】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为＝.
(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，P1Q＝P1F，
那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)
1.双曲线x2－4y2＝－1的渐进线方程为________.
【解析】 由x2－4y2＝0，可得双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程是x±2y＝0.
【答案】 x±2y＝0
2.已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为________.
【导学号：24830096】
【解析】 设点P(8，a)在抛物线y2＝4px(p＞0)准线上的射影为M，则M，
依题意，|PM|＝|PF|＝10，即8－＝10，∴p＝4.即点F到抛物线准线的距离等于4.
【答案】 4
3.下列说法：
①命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；
②命题“存在x∈R，使x2－x＞0”的否定是：“任意x∈R，使x2－x≤0”；
③命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
④已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；
⑤命题“如果x≥a2＋b2，那么x≥2ab”的逆否命题是“如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2”.
其中正确的是________(填序号).
【解析】 ①命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，m＝0时不成立；
②命题“存在x∈R，使x2－x＞0”的否定是：“任意x∈R，使x2－x≤0”，正确；
③“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”至少有一个为真命题，因此不正确；
④若x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，因此不正确.
⑤命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2＋b2，∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2＋b2，所以正确.
【答案】 ②⑤
4.(2016·东莞高二检测)焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是________.
【解析】 焦点在直线x＝1上，则焦点坐标为(1,0)，设抛物线的方程为y2＝2px，
∵＝1，∴p＝2，∴y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
5.设函数f(x)＝aln
x＋bx2，若函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线与y轴垂直，则实数a＋b＝________.
【解析】 函数f(x)＝aln
x＋bx2，若函数f(x)的图象过(1,1)，可得：b＝1，
f′(x)＝＋2x，函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线与y轴垂直，
可得a＋2＝0，所以a＝－2，则实数a＋b＝－2＋1＝－1.
【答案】 －1
6.若抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则a的值为________.
【解析】 椭圆＋＝1的左焦点是F(－2,0).∵抛物线y2＝ax的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，∴抛物线y2＝ax的焦点是F(－2,0)，∴a＝－8.
【答案】 －8
7.(2016·无锡高二检测)若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(－∞，＋∞)内递增的________条件.
【解析】 若f′(x)＞0在R上恒成立，∴f(x)在区间(－∞，＋∞)内递增，反之，
f′(x)＞0在R上恒成立，则当f′(x)≥0在区间(－∞，＋∞)内递增，
∴f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(－∞，＋∞)内递增的充分不必要条件.
【答案】 充分不必要
8.已知函数y＝f(x)在定义域[－4,6]内可导，其图象如图1，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________.
图1
【解析】 不等式f′(x)≤0的解集即为函数y＝f(x)的减区间，由题图知y＝f(x)的减区间为，，故f′(x)≤0的解集为∪.
【答案】
∪
9.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________.
【解析】 ∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大，∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值为－37.
【答案】 －37
10.(2016·淄博高二检测)已知双曲线－＝1(a＞b，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且经过点
(，1)，则该双曲线的方程为________.
【导学号：24830097】
【解析】 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴设双曲线的方程为(x＋y)(x－y)＝λ(λ≠0)，
即x2－y2＝λ，∵双曲线过点(，1).∴2－1＝λ，
∴λ＝1，∴x2－y2＝1.
【答案】 x2－y2＝1
11.已知a
＜0，函数f(x)＝ax3＋ln
x，且f′(1)的最小值是－12，则实数a的值为________.
【解析】 f′(x)＝3ax2＋，所以f′(1)＝3a＋≥－12，即a＋≥－4，又a＜0，有a＋≤－4，所以a＋＝－4，故a＝－2.
【答案】 －2
12.若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是________.
【解析】 f′(x)＝2x＋a－，因为函数f(x)在上是增函数，所以f′(x)≥0在上恒成立，即a≥－2x在恒成立，设g(x)＝－2x，则g′(x)＝－－2，令g′(x)＝－－2＝0，得x＝－1，当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在区间上单调递减，故g(x)＜g＝4－1＝3，所以a≥3.
【答案】 [3，＋∞)
13.(2016·长沙高二检测)过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2，线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于________.
【解析】 设直线l的方程为y＝k1(x＋2)，代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，所以x1＋x2＝－，而y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝，所以OP的斜率k2＝＝－，所以k1k2＝－.
【答案】 －
14.设双曲线C：－＝1(b＞a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为________.
【解析】 ∵P在双曲线的右支上，∴|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，∴|PF2|＝a≥c－a
∴e＝≤2，又∵b＞a，∴c2－a2＞a2，∴e＝＞，∴e∈(，2]
【答案】 (，2]
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)(2016·南京高二检测)设命题p： x∈[－1,1]，x＋m＞0，命题q：方程－＝1表示双曲线.
(1)写出命题p的否定；
(2)若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围.
【导学号：24830098】
【解】 (1)命题p的否定： x∈[－1,1]，x＋m≤0；
(2)由题意可知，p为真时，m＞－x≥－1，得m＞－1，
q为真时，(m－4)(m＋2)＞0，解得m＞－4或m＜－2，
因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p，q一真一假，
当p为真且q为假时，，解得－1＜m≤4；
当p为假且q为真时，解得m＜－2；
综上，实数m的取值范围是m＜－2或－1＜m≤4.
16.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋x2－1.
(1)求函数f(x)在点处的切线方程；
(2)若直线y＝m与f(x)的图象有三个不同的交点，求m的范围.
【解析】 (1)由已知得：f′(x)＝x2＋x，∴f′(1)＝2，
则切线方程为：y＋＝2(x－1)，即12x－6y－13＝0.
(2)令f′(x)＝x2＋x＝0解得：x＝－1，x＝0，
当
x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，当
x＞0时，f′(x)＞0.
∴f(x)的极大值是f(－1)＝－，f(x)的极小值是f(0)＝－1，
所以，要使直线y＝m与f(x)的图象有三个不同的交点则－1＜m＜－.
17.(本小题满分14分)(2016·咸阳高二检测)某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动.若厂家投放A，B型号电视机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，ln
q万元.已知厂家把总价值为10万元的A，B两种型号电视机投放市场，且A，B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值.(精确到0.1，参考数据：ln
4≈1.4)
【解】 设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9)农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为(10－x)万元，由题意得，y＝(10－x)＋ln
x＝ln
x－x＋1，y′＝－，由y′＝0 x＝4.当x∈[1,4)时，y′＞0；当x∈(4,9]时，y′＜0，
所以当x＝4时，y取最大值ymax＝ln
4－0.4＋1≈1.2.
即厂家分别投放A，B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到补贴最多，最多补贴为1.2万元.
18.(本小题满分16分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y＝x，求三条曲线的标准方程.
【解】 因为双曲线的焦点在x轴上，故其方程可设为－＝1(a＞0，b＞0).
又因为它的一条渐近线方程为y＝x，所以＝，所以e＝＝2，
因为c＝4，所以a＝2，b＝a＝2，所以双曲线方程为－＝1.
因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为，设椭圆方程为＋＝1(a1＞b1＞0)，则c＝4，a1＝8，b＝82－42＝48.
所以椭圆的方程为＋＝1，易知抛物线的方程为y2＝16x.
19.(本小题满分16分)已知圆G：x2＋y2－x－y＝0，经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m,0)(m＞a)倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围.
【解】 (1)∵圆G：x2＋y2－x－y＝0经过点F，B，
∴F(1,0)，B(0，)，∴c＝1，b＝，∴a2＝4.
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝－(x－m)(m＞2).
由消去y得7x2－8mx＋(4m2－12)＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，
x1x2＝，∴y1y2＝[－(x1－m)]·[－(x2－m)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2.
∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝，
∵点F在圆G的内部，∴·＜0，即＜0，解得＜m＜，由Δ＝64m2－28(4m2－12)＞0，解得－＜m＜.
又m＞2，∴2＜m＜.
20.(本小题满分16分)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.
【解】 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
令f′(x)＝0，得x1＝，
x2＝，且x1＜x2，
所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2).
当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；
当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.
故f(x)在和内单调递减，
在内单调递增.
(2)因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值.
②当0＜a＜4时，x2＜1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，
因此f(x)在x＝x2＝处取得最大值.又f(0)＝1，f(1)＝a，
所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；
当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；
当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值.学业分层测评(十二)圆锥曲线的共同性质
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.双曲线－y2＝1的右准线方程是________.
【解析】 由方程可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，即c＝.
故双曲线的右准线方程是x＝＝.
【答案】 x＝
2.已知椭圆的离心率为，准线方程为x＝±4，则椭圆的长轴长为________.
【解析】 由＝，＝4，得a＝×＝×4＝2，故长轴长为2a＝4.
【答案】 4
3.方程x－2y2＝0表示的曲线为________，焦点为________，准线方程为________.
【解析】 化方程为标准形式y2＝x，表示焦点在x正半轴上的抛物线，焦点坐标为，准线x＝－.
【答案】 抛物线 x＝－
4.已知椭圆的两条准线方程为y＝±9，离心率为，则此椭圆的标准方程为________.
【导学号：24830056】
【解析】 由题意得
从而b2＝a2－c2＝9－1＝8，
∵椭圆的焦点在y轴上，∴所求方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5.已知椭圆两准线间的距离为8，虚轴长为2，焦点在x轴上，则此椭圆标准方程为________.
【解析】 依题得：＝4，∴a2＝4c.
又∵2b＝2，∴b＝，b2＝3.
∴b2＋c2＝4c，∴c2－4c＋3＝0，(c－3)(c－1)＝0，
∴c＝3或c＝1.
当c＝3时，a2＝12.椭圆方程为＋＝1.
当c＝1时，a2＝4，椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
6.如果双曲线－＝1上的一点P到左焦点的距离是10，那么P到右准线的距离为________.
【解析】 由双曲线方程知a2＝16，b2＝9，故c2＝25，所以e＝，由双曲线定义知P到右焦点的距离为10±8＝2或18，
由圆锥曲线的统一定义知，P到右准线的距离为2×＝或18×＝.
【答案】 或
7.椭圆＋＝1上一点M，到焦点F(0，)的距离为2，则M到椭圆上方准线的距离是________.
【解析】 ∵a2＝16，a＝4，b2＝9，b＝3，∴c2＝7，c＝.
∴e＝＝，设所求距离为d，则＝，
∴d＝＝8.
【答案】 8
8.已知椭圆＋y2＝1(a＞0)的一条准线与抛物线y2＝－10x的准线重合，则椭圆的离心率为________.
【导学号：24830057】
【解析】 抛物线y2＝－10x的准线方程是x＝.由题意知，椭圆＋y2＝1的一条准线方程为x＝，即右准线方程为x＝，故＝，∴a2＝c，∵b＝1，∴c2＋1＝c，解得c1＝2，c2＝.
当c＝2时，a2＝c＝5，a＝，∴e＝；
当c＝时，a2＝c＝，a＝，∴e＝.
【答案】 或
二、解答题
9.已知椭圆＋＝1，P为椭圆上一点，F1、F2为左、右两个焦点，若PF1∶PF2＝2∶1，求点P的坐标.
【解】 设点P的坐标为(x，y).
∵椭圆＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.
∴e＝，准线方程为x＝±.
由圆锥曲线的统一定义知PF1＝ed1＝＝x＋5，
PF2＝ed2＝＝5－x.
∵PF1∶PF2＝2∶1，∴∶＝2∶1，
解得x＝，代入椭圆的方程得y＝±.
∴点P的坐标为或
10.求中心在原点，长轴在x轴上，一条准线方程得x＝3，离心率为的椭圆方程.
【解】 方法一：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0).
由题意得所以
∴b2＝a2－c2＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
方法二：设M为椭圆上任意一点，其坐标为(x，y).
由法一知，准线x＝3对应的焦点为F.
由圆锥曲线的统一定义得＝.
∴＝，化简得4x2＋9y2＝20.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
[能力提升]
1.已知点M(x，y)满足＝|x－3|，
则M点的轨迹是________.
【解析】 由题意得＝，所以M到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之比为定值，∴M的轨迹是椭圆.
【答案】 椭圆
2.设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________.
【解析】 由题意得2m＝3＋1，m＝2，故椭圆的方程是＋＝1，该椭圆的离心率是，设点P到右准线的距离等于d，由圆锥曲线的统一定义得＝，d＝2，即点P到右准线的距离等于2.
【答案】 2
3.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________.
【解析】 ∵A(1,2)在椭圆上，∴＋＝1，
∴b2＝，则中心到准线距离的平方为2＝＝＝＝.
令a2－5＝t＞0，
f(t)＝＝t＋＋9≥9＋4.
当且仅当t＝时取“＝”，
∴≥＝＋2，
∴min＝＋2.
【答案】 ＋2
4.已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点.
(1)求MA＋MB的最大值和最小值.
(2)求MB＋MA的最小值.
【解】 (1)由＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4.
∴点A(4,0)为椭圆的右焦点，则其左焦点为F(－4,0).
又∵MA＋MF＝2a＝10，
∴MA＋MB＝10－MF＋MB.
∵|MB－MF|≤BF＝＝2，
∴－2≤MB－MF≤2.
故10－2≤MA＋MB≤10＋2.
即MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.
(2)由题意椭圆的右准线为x＝，设M到右准线的距离为MN，由椭圆的统一定义知＝e＝，
∴MA＝MN，MB＋MA＝MB＋MN，易知
当B，M，N共线时，MB＋MN最小，最小值为－2＝，此时M的坐标为.模块综合测评(一)
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)
1.已知命题p： x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为________.
【解析】 根据全称命题的否定为存在性命题可知，綈p为 x0＞0，使得(x0＋1)ex0
≤1.
【答案】 x0＞0，使得(x0＋1)ex0
≤1
2.下列求导数的运算：
①′＝1＋；②(log2x)′＝；③(3x)′＝3xlog3x；④(x2cos
x)′＝－2xsin
x；⑤′＝.
其中正确的是________(填序号).
【解析】 ①′＝1－，故错误；②符合对数函数的求导公式，故正确；
③(3x)′＝3xln
3，故错误；④(x2cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x，故错误；
⑤′＝＝，
正确.
【答案】 ②⑤
3.(2016·常州高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是________.
【导学号：24830095】
【解析】 ∵函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，
∴f(1)＝1，f′(1)＝，∴f(1)＋2f′(1)＝2.
【答案】 2
4.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为________.
【解析】 双曲线的a2＝1，b2＝，c2＝，c＝，∴右焦点为.
【答案】
5.(2016·盐城高二检测)“a＞1”是“＜1”的________条件.
【解析】 由＜1得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立.
所以＜1 a＞1或a＜0，从而a＞1是＜1的充分不必要条件.
【答案】 充分不必要
6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同.则双曲线的方程为________.
【解析】 由双曲线渐近线方程可知＝，①
因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c＝4，②
又c2＝a2＋b2③，联立①②③，解得a2＝4，b2＝12，所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则函数f(x)的极大值是________，极小值是________.
图1
【解析】 由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
【答案】 f(－2) f(2)
8.函数y＝f(x)的图象如图2所示，则导函数y＝f′(x)的图象大致是________(填序号).
图2
【解析】 由f(x)的图象及f′(x)的意义知，在x＞0时，f′(x)为单调递增函数且f′(x)＜0；在x＜0时，f′(x)为单调递减函数且f′(x)＜0.故选④
【答案】 ④
9.函数y＝xlnx，x∈(0,1)的单调增区间是________.
【解析】 函数y＝xln
x的导数为
y′＝(x)′ln
x＋x·(ln
x)′＝ln
x＋1，(x＞0)
由ln
x＋1＞0，得x＞，故函数y＝xln
x
的增区间为.
【答案】
10.从边长为10
cm×16
cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________.
【解析】 设盒子容积为y
cm3，盒子的高为x
cm，则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0＜x＜5)，
∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3).
【答案】 144
cm3
11.(2016·聊城高二检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内只有极小值，则实数b的取值范围是________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－6b，由题意知，函数f′(x)图象如下.
∴，即，得0＜b＜.
【答案】
12.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为________.
【解析】 依题意可知点F(－c,0)，直线AB斜率为
＝－，直线BF的斜率为＝，∵∠FBA＝90°，∴·＝－＝－＝－1
整理得c2＋ac－a2＝0，即2＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝或－
∵0＜e＜1，∴e＝.
【答案】
13.设AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦，则AB的最小值为________.
【解析】 焦点F坐标，设直线L过F，则直线L方程为y＝k，
联立y2＝2px得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，由韦达定理得x1＋x2＝p＋.
AB＝x1＋x2＋p＝2p＋＝2p，
因为k＝tan
a，所以1＋＝1＋＝.
所以AB＝，当a＝90°时，即AB垂直于x轴时，AB取得最小值，最小值是AB＝2p.
【答案】 2p
14.(2016·芜湖高二检测)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞1－f(x)，f(0)＝6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)＞ex＋5(其中e为自然对数的底数)的解集为________.
【解析】 设g(x)＝exf(x)－ex，(x∈R)，
则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，
∵f′(x)＞1－f(x)，∴f(x)＋f′(x)－1＞0，∴g′(x)＞0，∴y＝g(x)在定义域上单调递增，∵exf(x)＞ex＋5，∴g(x)＞5，又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝6－1＝5，
∴g(x)＞g(0)，∴x＞0，∴不等式的解集为(0，＋∞)
【答案】 (0，＋∞)
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)已知条件p： m∈[－1,1]使不等式a2－5a＋5≥m＋2成立；
条件q：x2＋ax＋2＝0有两个负数根，若p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围.
【解】 ∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q一真一假.
由题设知，对于条件p，∵m∈[－1,1]，∴m＋2∈[1,3]，∵不等式a2－5a＋5≥1成立，
∴a2－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4.对于条件q，
∵a2＋a＋2＝0有两个负数解，
∴，∴a≥2，若p真q假，则a≤1；若p假q真，则2≤a＜4，
∴a的取值范围是：a≤1或2≤a＜4.
16.(本小题满分14分)过椭圆＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程.
【导学号：24830096】
【解】 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵M(2,1)为AB的中点
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵又A、B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16,
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴＝－＝－＝－，即kAB＝－，
故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
17.(本小题满分14分)(2016·义乌高二检测)已知a＜2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex
(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)的极大值是6·e－2，求a的值.
【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，∴f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex，
由f′(x)≥0，得x≤－2或x≥－1，∴f(x)的增区间为(－∞，－2]，[－1，＋∞).
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－a，
列表讨论，得：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－a)
－a
(－a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
∴x＝－2时，f(x)取得极大值，又f(－2)＝(4－a)·e－2，f(x)的极大值是6·e－2，
∴(4－a)·e－2＝6·e－2，解得a＝－2.
∴a的值为－2.
18.(本小题满分16分)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值.
【解】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝.
解得b＝.
19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝2ln
x－x2.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)＋x2－x－2－a＝0在区间[1,3]内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.
【解】 (1)f′(x)＝，∵x＞0，x∈(0,1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1).
(2)将f(x)代入方程f(x)＋x2－x－2－a＝0得2ln
x－x－2－a＝0，
令g(x)＝2ln
x－x－2－a则g′(x)＝；∴当2≤x≤3时，g′(x)＜0；
∴g(2)是g(x)的极大值，也是g(x)在上的最大值；
∵关于x的方程f(x)＋x2－x－2－a＝0在区间内恰有两个相异实根；
∴函数g(x)在区间[1,3]内有两个零点；则有：g(2)＞0，g(1)＜0，g(3)＜0，
所以有：解得：2ln
3－5＜a＜2ln
2－4，
所以a的取值范围是(2ln
3－5,2ln
2－4).
20.(本小题满分16分)(2016·贵阳高二检测)已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2).
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积.
【解】 (1)由已知得，c＝2，＝，解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB的中点为E(x0，y0)，
则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝3，此时，点P(－3,2)到直线AB：y＝x＋2距离d＝＝，所以△PAB的面积S＝|AB|d＝.学业分层测评(十四) 瞬时变化率—导数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若f′(x0)＝1，则当k→0时，趋于常数________.
【解析】 由题意，当k→0时，→1，
所以＝－·→－.
【答案】 －
2.已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________.
【导学号：24830068】
【解析】 由题意知k＝1，∴f′(2)等于1.
【答案】 1
3.函数y＝3x＋2在x＝－1处的导数为________.
【解析】 ＝＝3.
当Δx→0时，→3.
【答案】 3
4.函数y＝在x＝x0处的导数为________.
【解析】 ∵Δy＝－＝－，∴＝－4×，
当Δx→0时，→－，即函数y＝在x＝x0处的导数为－.
【答案】 －
5.一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(s，单位：m，t，单位：s)，则这辆车在t＝3
s时的瞬时速度为________.
【解析】 这辆汽车从3
s到(3＋Δt)s这段时间内的位移增量为Δs＝3(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt.
＝＝3Δt＋18，当Δt→0时，3Δt＋18→18.
∴t＝3
s时瞬时速度为18
m/s.
【答案】 18
m/s
6.如果某物体的运动的速度为v(t)＝2(1－t2)，那么其在1.2
s末的加速度为________.
【解析】 ＝
＝
＝－4.8－2Δt，当Δt→0时，→－4.8.
【答案】 －4.8
7.(2016·宜春高二检测)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________.
【解析】 Δy＝[(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
则＝＝2＋3Δx＋(Δx)2，当Δx→0时，→2，即k＝2.
故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
【答案】 2x－y＋1＝0
8.设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________.
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)
∵＝＝2x0＋Δx.
当Δx→0时，k＝f′(x0)＝2x0＝3.
∴x0＝，将x0＝代入y＝x2得y0＝，
∴P的坐标为.
【答案】
二、解答题
9.若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度.
【导学号：24830069】
【解】 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为：
＝＝24(m/s).
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∵物体在t＝0附近的平均变化率为：
＝
＝
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为：
li
＝li
(3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度为－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率.
∵物体在t＝1附近的平均变化率为：
＝
＝
＝3Δt－12.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为
li
＝li
(3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.
10.求函数f(x)＝x＋在x＝处的导数.
【解】 ＝＝1－，
当Δx→0时得f′(x0)＝1－，
∴f′＝1－＝1－＝＝.
∴f(x)在x＝处的导数为.
[能力提升]
1.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________.
【解析】 ∵点(－1,1)在曲线y＝上，∴先求y＝f(x)＝在x＝－1处的导数，＝＝＝，
当Δx→0时，→2，故所求切线的斜率为k＝2.
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
【答案】 y＝2x＋1
2.已知曲线y＝上有一点A(1,3)，则曲线在点A处的切线的斜率为________.
【导学号：24830070】
【解析】 ∵＝＝
＝，
当Δx→0时，得f′(1)＝＝－，
即所求切线的斜率k＝f′(1)＝－.
【答案】 －
3.函数f(x)的图象如图3 1 2所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，的大小关系为________.
图3 1 2
【解析】 设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示.
则＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ【答案】 04.已知点P在曲线y＝x2＋1上，若曲线y＝x2＋1在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
【解】 设点P(x0，y0)，易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线的斜率存在，设为k，
＝＝2x0＋Δx，当Δx→0时，→2x0，即k＝2x0，所以切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，由题意知此直线与曲线y＝－2x2－1相切.
由，
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，令Δ＝4x－8(2－x)＝0，解得x0＝±，此时y0＝，
所以点P的坐标为或.学业分层测评(十九) 最大值与最小值
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.已知函数f(x)＝x3－3x，|x|≤1，f(x)的最小值为________.
【解析】 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1,1]上是单调递减函数，f(x)的最小值为f(1)＝－2.
【答案】 －2
2.(2016·徐州高二检测)函数y＝在[0,2]上的最大值是________.
【解析】 由f(x)＝得f′(x)＝，当x∈[0,1]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1,2]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，∴当x＝1时，函数取得最大值f(1)＝.
【答案】
3.函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是________.
【解析】 因为y′＝1－cos
x，当x∈时，y′＞0，则函数y在区间上为增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin
π＝π.
【答案】 π
4.(2016·无锡高二检测)函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为________.
【解析】 f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)＞0恒成立，
即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.
故函数f(x)的值域为.
【答案】
5.已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于________.
【解析】 当a≤－1时，最大值为4，不合题意，当－1＜a＜2时，f(x)在[a,2]上是减函数，
f(a)最大，－a2－2a＋3＝，解得a＝－或a＝－(舍去).
【答案】 －
6.函数f(x)＝x2－ln
x的最小值为________.
【解析】 f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1;
令f′(x)<0，得01＝.
【答案】
7.下列结论：
①在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值；
②在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值；
③在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b时达到；
④在区间[a，b]上的连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值.
其中正确的是________(填序号).
【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以①②③都不正确，而连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，所以④正确.
【答案】 ④
8.(2016·马鞍山高二检测)已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由f(x)＝＋2ln
x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0，
令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.
故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln
a＋1.
要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.
【答案】 [e，＋∞)
二、解答题
9.求函数f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，]的最大值和最小值.
【解】 f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
?
－2
?
2
?
0
由上表可知：当x＝1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(1)＝2.
当x＝－1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(－1)＝－2.
10.已知函数f(x)＝＋kln
x，k≤0，求函数f(x)在上的最大值和最小值.
【解】 因f(x)＝＋kln
x，f′(x)＝＋＝.
①若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减.∴f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1.
②若k<0，f′(x)＝＝，则在上恒有<0，
∴f(x)在上单调递减，∴f(x)min＝f(e)＝＋kln
e＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，当k＝0时，f(x)min＝，f(x)max＝e－1；
当k<0时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1.
[能力提升]
1.(2016·淄博高二检测)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a).若f′(－1)＝0，函数f(x)在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________.
【解析】 由原式可得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4.由f′(－1)＝0得a＝，此时f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
又f(－1)＝，f
＝－，f(－2)＝f(2)＝0，
所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
【答案】 －
2.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图3 3 9所示
x
－1
0
2
4
5
f(x)
1
2
1.5
2
1
图3 3 9
下列关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)的值域为[1,2]；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点.
其中正确命题的序号是________.
【解析】 由导函数的图象可知，当－1＜x＜0或2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
当0＜x＜2和4＜x＜5时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x＝0和x＝4时，函数f(x)取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝1.5，又f(－1)＝f(5)＝1，
所以函数f(x)的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确，②正确；要使x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；
因为函数f(x)的极小值为f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2.
所以当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点，所以④正确.
【答案】 ①②④
3.(2016·南京高二检测)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________.
【解析】 因为x∈(0,1]，所以f(x)≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.当0＜x＜时，g′(x)＞0；当＜x≤1时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，它也是最大值，故a≥4.
【答案】 [4，＋∞)
4.已知函数f(x)＝ex＋ax2－e2x，若x>0时，总有f(x)>－e2x，求实数a的取值范围.
【解析】 由f(x)>－e2x得：a>－，设g(x)＝－，x>0，则g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝2.
∴当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)在(0,2)上单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减.
当x＝2时，y(x)取最大值为－，
∴g(x)≤g(2)＝－，因此，a的取值范围为.学业分层测评(十八) 极大值与极小值
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.函数y＝2－x2－x3的极大值为________；极小值为________.
【解析】 ∵y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－.函数在，(0，＋∞)上都递减，在上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极小值为f＝.
【答案】 2
2.(2016·浏阳高二检测)函数f(x)＝＋ln
x(x＞0)的极小值为________.
【解析】 ∵f(x)＝＋ln
x(x＞0)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.
当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数.
∴x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝＋ln
x的极小值为f(2)＝1＋ln
2.
【答案】 1＋ln
2
3.(2016·宿迁高二检测)若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
【导学号：24830086】
【解析】 f′(x)＝(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0，解得a＝3.
【答案】 3
4.(2016·浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图3 3 6所示，则x＋x等于________.
图3 3 6
【解析】 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】
5.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极大值为______.
【解析】 y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值.
【答案】 5
6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图3 3 7所示，则函数f(x)的极小值是________.
图3 3 7
【解析】 由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.
【答案】 c
7.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
【解析】 令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，画出y＝3x－x3的图象即可解决.结合下图，可知－2＜a＜2.
【答案】 －2＜a＜2
8.(2016·南通高二检测)如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3 3 8所示，给出下列判断：
图3 3 8
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是________(填序号).
【解析】 从图象知，当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，
所以函数y＝f(x)在内不单调，同理，函数y＝f(x)在内也不单调，
故①②均不正确；当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，
所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均有f′(x)＞0，
所以x＝－不是函数y＝f(x)的极值点，即④⑤均不正确.故填③.
【答案】 ③
二、解答题
9.求函数f(x)＝－2的极值.
【解】 函数的定义域为R.f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1.
10.已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y的极小值.
【导学号：24830087】
【解】 (1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又因为y＝a＋b＝3，
即解得
(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.
∴当x＝0时，函数y取得极小值0.
[能力提升]
1.若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.
【解析】 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，
即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
2.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.
其中正确结论的序号是________.
【解析】 ∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，
故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，
∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③正确.
【答案】 ②③
3.(2016·淮安高二检测)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________.
【解析】 f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意.所以实数b的取值范围是0＜b＜1.
【答案】 0＜b＜1
4.设函数
f(x)＝ln
x＋，m
∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)当m≤0时，确定函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.
【解】 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln
x＋，
则f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln
e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0).
设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
∴φ(x)的极大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，因为m≤0，所以函数g(x)有且只有一个零点.学业分层测评(十五) 常见函数的导数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若f(x)＝，则f′(1)＝________.
【解析】
∴f′(1)＝.
【答案】
2.下列命题中，正确命题的个数为________.
①若f(x)＝，则f′(0)＝0；
②(logax)′＝xln
a；
③加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；
④曲线y＝x2在(0,0)处没有切线.
【解析】 ①因为f(x)＝，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；②(logax)′＝，故错误；③瞬时速度是位移S(t)对时间t的导数，故错误；④y＝x2在(0,0)处的切线为y＝0，故错误.
【答案】 0
3.曲线y＝sin
x在点处切线的斜率为________.
【导学号：24830074】
【解析】 ∵y′＝cos
x，∴曲线y＝sin
x在点处切线的斜率为cos＝.
【答案】
4.设f(x)＝x4，若f′(x0)＝4，则x0＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝4x3，∴f′(x0)＝4x＝4，∴x＝1，则x0＝1.
【答案】 1
5.已知函数f(x)＝log2x，则f′(log2e)＝________.
【解析】 f′(x)＝，∴f′(log2e)＝＝1.
【答案】 1
6.曲线f(x)＝在处切线的方程为________.
【解析】 ∵f′(x)＝－，∴k＝f′(2)＝－，则切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
【答案】 x＋4y－4＝0
7.若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
【答案】 64
8.设直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________.
【解析】 设切点为(x0，y0)，
则y′＝，∴＝，∴x0＝2，
∴y0＝ln
2，∴切点为(2，ln
2)，
∵切点在切线上，∴ln
2＝×2＋b，∴b＝ln
2－1.
【答案】 ln
2－1
二、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝sin；(4)y＝e2.
【导学号：24830074】
【解】 (1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln
4.
(3)∵y＝sin＝cos
x，
∴y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
(4)y′＝(e2)′＝0.
10.求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
【解】 方法一：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点为(x0，x)，
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝eq
\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),)＝.
方法二：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|＝2＋，
当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.
[能力提升]
1.设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于________.
【解析】 y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1).
令y＝0得xn＝.
【答案】
2.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
【解析】 y′＝2x，切线斜率k＝2ak，切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，
令y＝0，－a＝2ak·x－2a，∴ak＋1＝ak，
若a1＝16，∴a3＝4，a5＝1，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
【答案】 21
3.抛物线y＝x2上到直线x＋2y＋4＝0距离最短的点的坐标为________.
【解析】 当切线平行于直线x＋2y＋4＝0时，切点为所求，
令y′＝2x＝－，得x＝－，所以距离最短的点的坐标为.
【答案】
4.已知两条曲线y＝sin
x，y＝cos
x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
【解】 不存在.理由如下：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos
x0，k2＝－sin
x0.
若使两条切线互相垂直，必须有cos
x0·(－sin
x0)＝－1，即cos
x0·sin
x0＝1，也就是sin
2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)
1.双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________.
【解析】 由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
2.(2015·上海高考)已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.
【解析】 由题意知c＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝3，所以b＝.
【答案】
3.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围为________.
【解析】 由题意可知解得3＜k＜5且k≠4.
【答案】 (3,4)∪(4,5)
4.以y＝3为准线的抛物线的标准方程为________.
【解析】 设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，则－＝3，p＝－6，则抛物线方程为x2＝－12y.
【答案】 x2＝－12y
5.(2015·上海高考)抛物线y2＝2px(p＞0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
【解析】 依题意，点Q为坐标原点，所以＝1，即p＝2.
【答案】 2
6.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则PF2＝______，∠F1PF2的大小为______.
【解析】 由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a＝2×3＝6，因为PF1＝4，所以PF2＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
【答案】 2 120°
7.已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是________.
【解析】 ∵2c＝AB＝2，∴c＝1，∴CA＋CB＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线).因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2).
【答案】 ＋＝1(y≠±2)
8.(2015·天津高考改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________.
【导学号：24830061】
【解析】 由双曲线的渐近线bx－ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切得＝，
由c＝＝2，解得a＝1，b＝.
【答案】 x2－＝1
9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是________.
【解析】 ∵F1(－，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，∴P的坐标为(，4).
又∵双曲线的一个焦点为F1(－，0)，∴另一个焦点为F2(，0).
∴2a＝|PF1－PF2|＝－＝2.∴a＝1.
又∵c＝，∴b2＝c2－a2＝4.∴双曲线方程为x2－＝1.
【答案】 x2－＝1
10.已知抛物线C：x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是________.
【解析】 显然t≠0，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程得2tx2－4x＋t＝0.
由题意Δ＝16－8t2<0，解得t<－或t>.
【答案】 (－∞，－)∪(，＋∞)
11.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________.
【解析】 椭圆的左焦点F为(－1,0)，设P(x，y)，
·＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.
【答案】 6
12.一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.
【解析】 x2＋y2＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则 PA－PO＝1＜AO＝3，
符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.
【答案】 双曲线的一支
13.(2015·山东高考)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.
【解析】 先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c).因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋.
【答案】 2＋
14.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA＝2FB，则k＝________.
【解析】 过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，
由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2FB＝FA，∴AA1＝2BB1，即B为AC的中点.从而yA＝2yB，联立方程组 消去x得y2－y＋16＝0，
∴ ，消去yB得k＝.
【答案】
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M.
(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标；
(2)求双曲线C2的方程及离心率e.
【解】 设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，因为图象过点M，
则有2＝2p×，所以p＝2，则抛物线C1的方程为y2＝4x，焦点F的坐标为(1,0).
(2)由双曲线C2过点M以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知
2a＝－＝，所以a＝，b2＝
，
所以双曲线C2的方程为9x2－y2＝1，离心率e＝3.
16.(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程.
【解】 ①焦点在x轴上，椭圆为＋＝1(a>b>0)，且c＝.
设双曲线为－
＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的焦半距为，所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
17.(本小题满分14分)如图1所示，已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.
图1
【解】 设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直线l的方程为y＝x－.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－8x＋8＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以AB＝|x1－x2|
＝·＝×＝.
18.(本小题满分16分)如图2，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
图2
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k2＝1.
【解】
(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，＝，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＋＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为－＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，
所以x－y＝4.
因此k1k2＝·＝＝1，即k1k2＝1.
19.(本小题满分16分)已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，M为AB的中点，若AB＝2，直线OM的斜率为(O为坐标原点)，求椭圆的方程.
【解】 由消去y，整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
又设AB的中点M(xM，yM)，则xM＝＝，yM＝－xM＋2＝.
∵直线OM的斜率kOM＝＝，∴＝，∴a2＝4b2，
从而x1＋x2＝＝4，x1x2＝＝8－2b2.
又∵AB＝2，∴
·＝2，即×＝2，
解得b2＝4，∴a2＝4b2＝16，故所求椭圆的方程为＋＝1.
20.(本小题满分16分)(2016·盐城高二检测)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点
为A，上顶点为B.已知AB＝F1F2.
(1)求椭圆的离心率.
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF2＝2.求椭圆的方程.
【解】 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由AB＝F1F2，可得a2＋b2＝3c2，
又b2＝a2－c2，则＝.所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1.
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)，
由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
因为点P在椭圆上，故＋＝1.②
由①和②可得3x＋4cx0＝0，而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－，代入①得y0＝，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝c.由已知，有TF＝MF＋r2，又MF2＝2，
故有2＋2＝8＋c2.解得c2＝3.所以所求椭圆的方程为＋＝1.学业分层测评(十六)
函数的和、差、积、商的导数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.设f(x)＝ln
a2x(a>0且a≠1)，则f′(1)＝________.
【解析】 ∵f(x)＝ln
a2x＝2xln
a，∴f′(x)＝(2xln
a)′＝(2x)′ln
a＋2x(ln
a)′＝2ln
a，故f′(1)＝2ln
a.
【答案】 2ln
a
2.函数y＝(2＋x3)2的导数为________.
【导学号：24830077】
【解析】 ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.
【答案】 6x5＋12x2
3.(2016·宿迁高二检测)函数y＝的导数是________.
【解析】 y′＝′＝＝.
【答案】
4.设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0的值为________.
【解析】 f′(x)＝ln
x＋x·＝ln
x＋1，因为f′(x0)＝2，所以ln
x0＋1＝2，ln
x0＝1，x0＝e.
【答案】 e
5.函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________.
【解析】 f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.
【答案】 4
6.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为________.
【解析】 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
【答案】 －4
7.(2016·扬州高二检测)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln
2，此时y0＝2，所以点P的坐标为(－ln
2,2).
【答案】 (－ln
2,2)
8.设f(x)＝ax2－bsin
x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝2ax－bcos
x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′＝πa＋＝，得a＝0.
【答案】 0 －1
二、解答题
9.求下列函数的导数：
(1)y＝ex·ln
x;
(2)y＝x.
(3)f(x)＝.
【解】 (1)y′＝(ex·ln
x)′＝exln
x＋ex·＝ex.
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
(3)f′(x)＝ex·
10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
【解】 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－2)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
[能力提升]
1.一质点做直线运动，由始点起经过t
s后的距离为s＝t4－4t3＋16t2，则速度为零的时刻是________.
【导学号：24830078】
【解析】 v＝s′＝t3－12t2＋32t.令v＝0，则t＝0,4,8.
【答案】 0
s,4
s,8
s
2.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________.
【解析】 y′＝′＝＝，－1≤＜0，
即－1≤tan
α＜0，由正切函数图象得α∈.
【答案】
3.设f(x)＝(ax＋b)sin
x＋(cx＋d)cos
x，若已知f′(x)＝xcos
x，则f(x)＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝[(ax＋b)sin
x]′＋[(cx＋d)cos
x]′
＝(ax＋b)′sin
x＋(ax＋b)(sin
x)′＋(cx＋d)′cos
x＋(cx＋d)(cos
x)′＝asin
x＋(ax＋b)cos
x＋ccos
x－(cx＋d)sin
x
＝(a－d－cx)sin
x＋(ax＋b＋c)cos
x.
为使f′(x)＝xcos
x，应满足解方程组，得
从而可知，f(x)＝xsin
x＋cos
x.
【答案】 xsin
x＋cos
x
4.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
【解】
(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞).
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).学业分层测评(二) 充分条件和必要条件
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
2α＝”的________条件.
【解析】 “α＝＋2kπ(k∈Z)” “cos
2α＝”，“cos
2α＝”“α＝＋2kπ”(k∈Z).因为α还可以等于2kπ－(k∈Z)，∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos
2α＝”的充分而不必要条件.
【答案】 充分而不必要
2.(2016·聊城高二检测)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件.
【解析】 当a>0且b>0时，
a＋b>0且ab>0；当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，
∴a>0且b>0.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充分必要条件.
【答案】 充分必要
3.“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的________条件.
【解析】 由ln(x＋1)<0得x＋1>0，即x>－1，又ln(x＋1)<0，所以－1x＜0”是“ln(x＋1)＜0”必要而不充分条件.
【答案】 必要而不充分
4.对任意的a，b，c∈R，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充要条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的个数是________.
【导学号：24830007】
【解析】 命题②、④是真命题.
【答案】 2
5.(2016·徐州高二检测)已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是________.
【解析】 ∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A?B，∴a＜5.
因此实数a的取值的集合是{
a|a＜5
}.
【答案】 {
a|a＜5
}
6.给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件.
【解析】 “直线l与平面α内两条相交直线都垂直” “直线l与平面α垂直”.
【答案】 充要
7.不等式ax2＋ax＋a＋3>0对一切实数x恒成立的充要条件是________.
【解析】 ①当a＝0时，原不等式为3>0，恒成立；
②当a≠0时，用数形结合的方法则有 a>0.∴由①②得a≥0.
【答案】 a≥0
8.(2016·宿州高二检测)α，β是两个不重合的平面，在下列条件中：
①α，β都平行于直线l，m；
②α内有三个不共线的点到β的距离相等；
③l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β；
④l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
“α∥β”的充分条件是________.
【解析】 ①、③中l与m可能平行，②中三点位于两平面交线的两侧时，如图.
AB∥l，α∩β＝l，A与C到l的距离相等时，A，B，C到β的距离相等.
【答案】 ④
二、解答题
9.指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).
(1)对于函数y＝f(x)，x∈R，
p:
y＝|f(x)|的图象关于y轴对称；q：y＝f(x)是奇函数.
(2)p：x＋y≠3；q：x≠1或y≠2.
【解】 (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必推出y＝f(x)为奇函数，故y＝|f(x)|的图象关于y轴对称是y＝f(x)是奇函数的必要不充分条件.
(2)原命题等价其逆否形式，即判断“x＝1且y＝2是x＋y＝3的必要不充分条件”，故x＋y≠3是x≠1或y≠2的充分不必要条件.
10.已知p：－2≤x≤10；q：x2－2x＋1≤m2(m＞0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【解】 由q可得(x－1)2≤m2(m＞0)，
所以1－m≤x≤1＋m.
即綈p：x＞10或x＜－2，綈q：x＞1＋m或x＜1－m.
因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以綈q 綈p.
故只需要满足，∴m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞).
[能力提升]
1.下列命题：
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；
②△ABC中，·<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
③2b＝a＋c是数列a，b，c为等差数列的充要条件；
④△ABC中，tan
Atan
B>1是△ABC为锐角三角形的充要条件.
其中的真命题有________.
【导学号：24830008】
【解析】 两直线平行不一定有斜率，①假.由·<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，·的符号也不能确定，因为A，B，C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真.由tan
Atan
B>1，知A，B为锐角，∴sin
Asin
B>cos
Acos
B，
∴cos(A＋B)<0，即cos
C>0.∴角C为锐角，
∴△ABC为锐角三角形.
反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，∴cos(A＋B)<0，∴cos
Acos
BAsin
B，
∵cos
A>0，cos
B>0，∴tan
Atan
B>1，故④真.
【答案】 ③④
2.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件.
【解析】 因为甲是乙的充分而不必要条件，所以甲 乙，但乙甲；又∵乙是丙的充要条件，即乙 丙；又∵丙是丁的必要不充分条件，即丁 丙，但丙丁，故丁甲，甲乙，即丁是甲的既不充分又不必要条件.
【答案】 既不充分又不必要
3.(2016·无锡高二检测)已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，则使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝________.
【解析】 依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<，或x>1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有解得a≥.
令a＝1，则p：x<0，或x>2，
此时必有x<，或x>1.即p q，反之不成立.
【答案】 1
4.求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件.
【解】 ①当a＝0时，原方程化为2x＋1＝0，此时根为x＝－，满足条件.
②设f(x)＝ax2＋2x＋1，当a≠0时，因为方程的常数项为1不为0，方程没有零根.
(i)若方程有两异号的实根，x1，x2，则x1x2＝<0，即a<0；
(ii)若方程有两个负的实根x1，x2，则需满足
即解得0＜a≤1.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根.
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0，至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.章末综合测评(三) 导数及其应用
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.)
1.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，质点的平均速度等于________.
【解析】 平均速度为＝＝6＋Δt.
【答案】 6＋Δt
2.若f′(x0)＝－3，则当h→0时，趋于常数________.
【解析】 ＝4×.
∵f′(x0)＝－3，∴当h→0时，趋于－3，故当h→0时，趋于－12.
【答案】 12
3.(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axln
x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.
【解析】 f′(x)＝a＝a(1＋ln
x).
由于f′(1)＝a(1＋ln
1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
【答案】 3
4.已知曲线f(x)＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是________.
【解析】 ∵f′(x)＝2x＋2，由f′(x)＝0得x＝－1，又f(－1)＝1－2－2＝－3，∴点M的坐标为(－1，－3).
【答案】 (－1，－3)
5.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为__________.
【解析】 由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.
【答案】 y＝－
6.下列结论①(sin
x)′＝－cos
x；②′＝；③(log3x)′＝；④(x2)′＝；⑤′＝，其中正确的有________(填序号).
【解析】 由于(sin
x)′＝cos
x，故①错误；由于′＝－，故②错误；
由于(log3x)′＝，故③错误；由于x2＝2x，故④错误；由于′＝－＝，所以⑤正确.
【答案】 ⑤
7.函数y＝xsin
x＋cos
x在(π，3π)内的单调增区间是________.
【解析】 ∵y＝xsin
x＋cos
x，∴y′＝xcos
x，令y′＝xcos
x＞0，且x∈(π，3π)，∴cos
x＞0，
且x∈(π，3π)，∴x∈，
∴函数y＝xsin
x＋cos
x在(π，3π)内的单调增区间是.
【答案】
8.(2016·徐州高二检测)函数f(x)＝ex(sin
x＋cos
x)在区间上的值域为________.
【解析】 f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)＋ex(cos
x－sin
x)＝excos
x，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)故上单调递增.
∴f(x)的最大值在x＝处取得，f＝e，
f(x)的最小值在x＝0处取得，f(0)＝.∴函数值域为.
【答案】
9.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________.
【解析】 由题意可知f′(x)＝－x＋＜0，在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
即b＜x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立，由于y＝x(x＋2)在(－1，＋∞)上是增函数且y(－1)＝－1，所以b≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
10.如图1，是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：
①f(x)在(－2，－1)上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(－1,2)上是增函数；
④x＝2是f(x)的极小值点.
以上说法正确的序号是________(填序号).
图1
【解析】 由函数的图象可知：f′(－2)＜0，f′(－1)＝0，f(x)在(－2，－1)上是减函数，①不正确；x＝－1时f′(1)＝0，函数在(－3，－1)递减，在(－1,2)单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点，所以②正确；f(x)在(－1,2)上f′(x)＞0，所以函数在(－1,2)上是增函数，所以③正确；函数在(－1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x＝2是f(x)的极大值点，所以④不正确.
【答案】 ②，③
11.已知f(x)＝x3－3x2＋2x＋a，若f(x)在R上的极值点分别为m，n，则m＋n的值为________.
【解析】 ∵f(x)＝x3－3x2＋2x＋a，∴f′(x)＝3x2－6x＋2，∵f(x)在R上的极值点分别为m，n，则m，n为f′(x)＝0的两个根，根据韦达定理可得，m＋n＝－＝2，∴m＋n的值为2.
【答案】 2
12.若a＞2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点.
【解析】 ∵f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a，又a＞2，∴2a＞4.当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，又f(0)＝1，f(2)＝－4a＋1＝－4a，由a＞2知f(2)＜0，∴函数f(x)在(0,2)上只有1个零点.
【答案】 1
13.(2016·郴州高二检测)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则f(0)＋f(2)与2f(1)的大小关系为________.
【解析】 依题意，当x≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
当x＜1时，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故当x＝1时，f(x)取得极小值也为最小值，即有f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，∴f(0)＋f(2)≥2f(1).
【答案】 f(0)＋f(2)≥2f(1)
14.已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是________.
【解析】 f′(x)＝x2＋x－2.令f′(x)＝0，解得x＝－2或1，则f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴x＝1是极小值点.∵f(x)的图象不经过第四象限，即当x＞0时，f(x)≥0.∴f(1)＝＋－2＋m≥0，∴m≥.
【答案】 m≥
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y的极小值.
【解】 (1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，y|x＝1＝a＋b＝3，
即，解得：a＝－6，b＝9.
(2)由(1)得y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0，或x＝1
当x＞1或x＜0时，y′＜0，函数在(－∞，0)，(1，＋∞)内单调递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数在(0,1)单调递增.
∴y极小值＝y|x＝0＝0.
16.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－1,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).
(2)f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a.
因为f(x)在区间[－1,2]上f′(x)＞0，所以f(x)在区间[－1,2]上单调递增，
因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－1,2]上的最小值为－7.
17.(本小题满分14分)设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a＞0).
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值.
【解】 函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)
所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2).
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a＞0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
18.(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20
km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100
km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
【解】 设火车的速度为x
km/h，甲、乙两城距离为a
km.由题意，令40＝k·203，∴k＝，
则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a＝a(0＜x≤100).
由f′(x)＝＝0，得x＝20.
当0＜x＜20时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当20＜x≤100时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
∴当x＝20时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为20
km/h时，总费用最少.
19.(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)＝(x－a).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值，试写出g(a)的表达式.
【解】 (1)由题意知函数的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝＋＝(x＞0)
①若a≤0，则f
′(x)＞0，故f(x)有单调递增区间[0，＋∞)；
②若a＞0，令f
′(x)＝0，得x＝.当0＜x＜时，f
′(x)＜0，当x＞时，f
′(x)＞0.
故f(x)有单调递减区间，单调递增区间.
由于函数在某一点处没有增减性，
故函数的单调区间的情况为：
若a≤0，f(x)有单调递增区间[0，＋∞)；
若a＞0，f(x)有单调递减区间，单调递增区间.
(2)①若a≤0，f(x)在[0,2]上单调递增，所以g(a)＝
f(0)＝0.
②若0＜a＜6，f(x)在[0，
]上单调递减，在上单调递增，
所以g(a)＝f＝－.
③若a≥6，f(x)在[0,2]上单调递减，
所以g(a)＝f(2)＝(2－a).
综上所述，g(a)＝
20.(本小题满分16分)(2016·洛阳高二检测)设函数f(x)＝a(x＋1)2ln(x＋1)＋bx(x＞－1)，曲线y＝f(x)过点(e－1，e2－e＋1)，且在点(0,0)处的切线方程为y＝0.
(1)求a，b的值；
(2)证明：当x≥0时，f(x)≥x2；
(3)若当x≥0时，f(x)≥mx2恒成立，求实数m的取值范围.
【解】 (1)f′(x)＝2a(x＋1)ln(x＋1)＋a(x＋1)＋b，
∵f′(0)＝a＋b＝0，f(e－1)＝ae2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)＝e2－e＋1，∴a＝1，b＝－1.
(2)f(x)＝(x＋1)2ln(x＋1)－x，
设g(x)＝(x＋1)2ln(x＋1)－x－x2，(x≥0)，g′(x)＝2(x＋1)ln(x＋1)－x，
(g′(x))′＝2ln(x＋1)＋1＞0，∴g′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g′(x)≥g′(0)＝0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)≥g(0)＝0.∴f(x)≥x2.
(3)设h(x)＝(x＋1)2ln(x＋1)－x－mx2，h′(x)＝2(x＋1)ln(x＋1)＋x－2mx，
由(2)中知(x＋1)2ln(x＋1)≥x2＋x＝x(x＋1)，
∴(x＋1)ln(x＋1)≥x，
∴h′(x)≥3x－2mx，
①当3－2m≥0即m≤时，h′(x)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)单调递增，
∴h(x)≥h(0)＝0，成立.
②当3－2m＜0即m＞时，h′(x)＝2(x＋1)ln(x＋1)＋(1－2m)x，
h′′(x)＝2ln(x＋1)＋3－2m，
令h′′(x)＝0，得x0＝e－1＞0，
当x∈[0，x0)时，h′(x)＜h′(0)＝0，∴h(x)在[0，x0)上单调递减，
∴h(x)＜h(0)＝0，不成立.
综上，m≤.学业分层测评(四) 量词 含有一个量词的全题的否定
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.下列命题：①任何实数都有平方根；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.其中全称命题是________(填序号).
【解析】 命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题.
【答案】 ①②④
2.命题p： x0∈R，x＋2x0＋4<0的否定綈p：________.
【解析】 存在性命题“ x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“ x∈M,
綈p(x)”.故填 x∈R,
x2＋2x＋4≥0.
【答案】 x∈R，x2＋2x＋4≥0
3.下列命题中，________是全称命题；________是存在性命题.
①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.
【解析】 ①②③为全称命题，④为存在性命题.
【答案】 ①②③ ④
4.(2016·保定高二检测)命题“零向量与任意向量共线”的否定为________.
【导学号：24830016】
【解析】 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”.
【答案】 有的向量与零向量不共线
5.下列4个命题：
p1： x∈(0，＋∞)，x＜x
；
p2： x∈(0,1)，logx＞logx.
p3： x∈(0，＋∞)，x＞logx；p4：
x∈，x＜logx.
其中的真命题是________.
【解析】 当x∈(0，＋∞)时，x＞x，故p1错误；取x＝，则logx＝1，logx＝log32＜1，故p2正确；取x＝，则0＜x＜1，logx＝log＝3，即x＜logx，故p3错误；当x∈时，x＜1，而logx＞1，所以x＜logx，故p4正确.
【答案】 p2、p4
6.(2016·洛阳高二检测)已知命题：“ x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】 当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】 [－8，＋∞)
7.(2016·泰州高二检测)已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“ x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________.
【解析】 由条件知∴m<－2.
【答案】 (－∞，－2)
8.(2016·义乌高二检测)在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y).若对任意x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由x⊙y＝x(1－y)，得(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)
＝－(x－a)[x－(1－a)]<1，整理得x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，解得－【答案】
二、解答题
9.判断下列命题的真假：
(1) x0∈(－∞，0)，使3x0＜4x0；
(2) x∈，使tan
x＞x；
(3) x∈R，使sin2x＋cos2x＝1；
(4) x∈R，使x－2＞log
x.
【解】 (1)由指数函数的图象可知，当x∈(－∞，0)时，3x＞4x恒成立，故(1)为假命题.
(2)当x∈时，tan
x＞x恒成立，命题(2)是真命题.
(3)由同角三角函数的基本关系可知(3)为真命题.
(4)结合图象分析可知， x∈R，使得x－2＞lg
x，故该命题是真命题.
10.判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；
(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解.
【解】 (1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题.它的否定为：对任意实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立.
(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.
(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解.
[能力提升]
1.(2016·咸阳高二检测)四个命题：① x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.
【解析】 x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对 x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.
【答案】 0
2.已知命题p： x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q： x∈，cos
x＜1，则下列命题：①p∧q；②p∨(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)；⑤(綈p)∨q.
其中的真命题是________.
【导学号：24830017】
【解析】 当x0＜0时，2x0＞3x0，∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然 x∈，恒有cos
x＜1，∴命题q为真，∴(綈p)∧q和(綈p)∨q是真命题.
【答案】 ③⑤
3.(2016·成都高二检测)设命题p：c20，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是________.
【解析】 p：0若p假q真，则得－综上：≤c<1或－【答案】 －4.已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.
【解】 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题.
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立.∴a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.学业分层测评(二十)
导数在实际生活中的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为24的时刻是________秒末.
【解析】 由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝24，解得t＝3(t＝－2舍去).
【答案】 3
2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件.
【解析】 令y′＝－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去).f(x)在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在x＝9处取最大值.
【答案】 9
3.已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米.
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＞0)，
所以y′＝2，令y′＝0，
解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.
当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米.
【答案】 800
4.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm.要使其体积最大，则高为________.
【解析】 设圆锥的高为h
cm(0＜h＜20)，则圆锥的底面半径r＝
＝(cm)，
V＝V(h)＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，
令V′＝π(400－3h2)＝0，
解得h＝.
由题意知V一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点.
【答案】 cm
5.要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72
cm3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小.
【解析】 设底面的长为2x
cm，宽为x
cm，
则高为
cm，表面积S＝2×2x·x＋2×x·＋2×2x·＝4x2＋(x＞0)，
S′＝8x－，由S′＝0，得x＝3，x∈(0,3)时，S′＜0，x∈(3，＋∞)时，S′＞0，
∴x＝3时，S最小.此时，长为6
cm，宽为3
cm，高为4
cm.
【答案】 6
cm 3
cm 4
cm
6.(2016·四川高考改编)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是________.
【导学号：24830092】
【解析】
由图象易知P1，P2位于f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1，－ln
x1)(0x2)(x2>1)，
则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为y＋ln
x1＝－(x－x1)，
即y＝－＋1－ln
x1.①
则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为y－ln
x2＝(x－x2)，即y＝－1＋ln
x2.②
由l1⊥l2，得－×＝－1，
∴x1x2＝1.
由切线方程可求得A(0,1－ln
x1)，B(0，ln
x2－1)，
由①②知l1与l2交点的横坐标xP＝＝.
∴S△PAB＝×(1－ln
x1－ln
x2＋1)×
＝＝.
又∵x1∈(0,1)，∴x1＋>2，
∴0<<1，
即0【答案】 (0,1)
7.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________.
【解析】 设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为，
则圆柱的体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3，∴V′＝2πR2－6πh2.
令V′＝0，解得h＝R.∵h∈时，V单调递增，h∈时，V单调递减，
故当h＝R时，即2h＝R时，圆柱体的体积最大.
【答案】 R
8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________.
【解析】 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或
p＝－130(舍去).
因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)＝23
000.
即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元.
【答案】 23
000元
二、解答题
9.设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则如何设计可使总造价最少？
【解】 设圆柱体的高为h，底面半径为r，设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，
则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh).由V＝πr2h，得h＝，∴y＝4mπr2＋(r＞0)，
∴y′＝8mπr－.令y′＝0，得r＝.此时h＝＝4.
该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为零的点，问题中总造价的最小值显然存在.∴当r＝时，y有最小值，即h∶r＝4∶1时，总造价最少.
10.(2016·南京高二检测)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
【解】 (1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)[20(1＋x)－15]元，所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1).
(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝或x2＝－(舍)，当0＜x＜时，y′＞0；
当＜x＜1时，y′＜0，所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝处取得最大值.
故改进工艺后，产品的销售价为20＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
[能力提升]
1.用边长为48
cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________.
【解析】 设四角截去的正方形边长为x.∴铁盒容积V＝4(24－x)2x，所以
V′＝4(24－x)2－8(24－x)x＝4(24－x)(24－3x)，令V′＝0，得x＝8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8
cm.
【答案】 8
cm
2.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0).已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为________.
【解析】 依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486).所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0＜x＜0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去).
当0＜x＜0.0324时，y′＞0；当0.0324＜x＜0.0486时，y′＜0.
所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.
【答案】 0.0324
3.如图3 4 2，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积最大值是________.
图3 4 2
【解析】 设CD＝x，则点C的坐标为，点B的坐标为.
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x(x∈(0,2)).
由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，∴当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】
4.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足的函数关系是x＝2000，乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).
(1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
【解】 (1)由题意，得W＝2000－st＝－s2＋(t＞0)，
∴当＝，即t＝时，W取得最大值，为，
∴乙方获得最大利润时的年产量为吨.
(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V元.
∵t＝，∴V＝st－0.002t2＝－.
V′＝－＋，
令V′＝0，得s＝20，当s＞20时，V′＜0，
∴V在(20，＋∞)上单调递减；当S＜20时，V′＞0，
∴V在(0,20)上单调递增.
∴当s＝20时，V取得极大值，也就是最大值，
∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是20元.学业分层测评(三) 简单的逻辑联结词
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.命题“三角形ABC是等腰直角三角形”是________形式的命题.(填“p∧q”“p∨q”“綈p”)
【解析】 “三角形ABC是等腰直角三角形”的意思是三角形ABC是等腰三角形并且是直角三角形，所以该命题是“p∧q”形式的命题.
【答案】 p∧q
2.给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1].在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题的个数为________.
【解析】 p为真命题.对于q，∵f(x)对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f(x)的值域为{1，－1}，∴q为假命题，∴p∧q假，p∨q真，綈p假，所以只有一个真命题.
【答案】 1
3.(2016·榆林高二检测)已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________.
【解析】 p：x<3；q：－1∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
【答案】 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
4.命题p：函数y＝2sin(x∈R)的最大值为2，命题q：函数y＝2sin(ω>0)的最小正周期为2.若p∧q是真命题，则ω＝________.
【解析】 p∧q为真命题，p为真命题，q也为真命题，∴＝2，∴ω＝π.
【答案】 π
5.(2016·扬州高二检测)给定四个结论：
(1)一个命题的逆命题为真，其否命题一定为真.
(2)若p∨q为假命题，则p，q均为假命题
.
(3)x>1的一个充分不必要条件是x>2.
(4)若命题p为“A中的队员都是北京人”，则綈p为“A中的队员都不是北京人”.
其中正确命题的序号是________.
【解析】 (1)一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，真假相同，正确.
(2)若p∨q为
假命题，则p，q均为假命题，正确.
(3)由于x>2 x>1，其逆命题为假，故x>1的一个充分不必要条件是x>2，正确.
(4)“都是”的否定为“不都是”，若命题p为“A中的队员都是北京人”，则綈p为“A中的队员不都是北京人”，错误.
【答案】 (1)(2)(3)
6.已知全集为R，命题p：0∈N，q：{0} RQ，则下述判断：①p∧q为真；②p∨q为真；③綈p为真；④綈q为假，其中正确的序号为________.
【解析】 由于N表示自然数集， RQ表示无理数集，于是p：0∈N为真，q：{0} RQ为假，所以p∧q为假，①错误；p∨q为真，②正确；綈p为假，③错误；綈q为真，④错误.
【答案】 ②
7.(2016·泰州高二检测)已知p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数.由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有________个.
【解析】 命题p是真命题.y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题.∴p且q为假，p或q为真，綈p为假.
【答案】 1
8.已知命题p：x2－x＋6≤0或x2－x－6≥0，q：x∈Z，若“綈q”与“p∧q”都是假命题，则x＝________.
【解析】 ∵“綈q”为假，∴q为真，又“p∧q”为假，从而知p为假命题.
故有解得∴x的值为－1,0,1,2.
【答案】 －1,0,1,2
二、解答题
9.用“且”、“或”改写下列命题并判断真假：
(1)1不是质数也不是合数；
(2)2既是偶数又是质数；
(3)5和7都是质数；
(4)2≤3.
【解】 (1)p：1不是质数；q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数.(真)
(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数.(真)
(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数.(真)
(4)2≤3 2＜3或2＝3.(真)
10.设命题p：方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1＜1＜x2，命题q：函数y＝log2(ax－1)在区间[1,2]内单调递增.
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由.
【解】 (1)令f(x)＝2x2＋x＋a，则f(1)＜0，∴3＋a＜0.∴a＜－3.
(2)若q为真命题，则a＞0且a－1＞0，∴a＞1.
∵a＜－3与a＞1不可能同时成立，∴p∧q不可能为真命题.
[能力提升]
1.在下列结论：
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.
其中正确的结论为________.
【解析】 对于①，当p∧q为真时，p与q均为真，p∨q为真，但当p∨q为真时，p与q至少有一个为真，但p∧q不一定为真，故是充分不必要条件.
对于②，p∧q为假，即p与q中至少有一个为假，则p∨q真假不确定，而当p∨q为真时，即p与q中至少有一个为真，则p∧q真假不确定，故既不是充分条件也不是必要条件.
对于③，p∨q为真，则p与q至少有一个为真，但綈p真假不确定，但当綈p为假，即p为真时，p∨q一定为真，故是必要不充分条件.
对于④綈p为真，即p为假，则p∧q为假，但当p∧q为假，即p与q至少有一个为假时，綈p真假不确定，故是充分不必要条件.
【答案】 ①③
2.(2016·济南高二检测)命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】 命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0，即a≤1，则“綈p”为真时，a>1；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>
0，即a<0或a>1，则“綈q”为真命题时，0≤a≤1.
由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，得p，q一真一假：
若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.
【答案】 a≥0
3.已知命题p：x2－4x＋3<0与q：x2－6x＋8<0；若“p且q”是不等式2x2－9x＋a<0成立的充分条件，则实数a的取值范围是________.
【解析】 由x2－4x＋3<0可得p：1 a≤9
【答案】 (－∞，9]
4.(2016·东莞高二检测)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围.
【导学号：24830012】
【解】 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2，
∴命题p中a应满足－2＜a＜2.
函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，
则有5－2a＞1，即a＜2.∴命题q中a应满足a＜2.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假.
(1)若p真q假，则此不等式组无解.
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上，实数a的取值范围是a≤－2.