3.1.5 空间向量的数量积
1．理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)
2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点)
3．理解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 空间向量的夹角
阅读教材P91～P92上半部分，完成下列问题．
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，?a，b?的范围是[0，π]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
如图3 1 25，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求向量与夹角的大小．
图3 1 25
【解】 ∵＝，
∴∠CAD1的大小就等于〈，〉．
∵△ACD1为正三角形，
∴∠CAD1＝，∴〈，〉＝.
∴向量与夹角的大小为.
教材整理2 空间向量的数量积
阅读教材P92例1以上的部分，完成下列问题．
1．数量积的定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．数量积的性质
(1)cos?a，b?＝(a，b是两个非零向量)．
(2)a⊥b a·b＝0(a，b是两个非零向量)．
(3)|a|2＝a·a＝a2.
3．数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；
(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(2)在△ABC中，〈，〉＝∠B.( )
(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )
(4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为________.
【导学号：09390075】
【解析】 cos〈a，b〉＝＝＝－，又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
【答案】
教材整理3 数量积的坐标表示
阅读教材P93～P94例3以上的部分，完成下列问题．
1．若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．
(3)|a|＝＝.
(4)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
2．空间两点间距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝.
1．若a＝(－1,0,2)，b＝(x，y,1)，且a⊥b，则x＝______.
【解析】 ∵a⊥b，∴a·b＝－x＋2＝0，解得x＝2.
【答案】 2
2．与向量a＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________．
【解析】 |a|＝＝3，故与a方向相同的单位向量是＝(1,2,2)＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求空间向量的数量积
已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·.
【精彩点拨】 法一(基向量法)：
与，与的夹角不易求，可考虑用向量，，表示向量，，，，再求结论即可．
法二(坐标法)：
建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．
【自主解答】
法一(基向量法)：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，
∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)，
(1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16.
(2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.
解决此类问题的常用方法
1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．
2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．
[再练一题]
1．在上述例1中，求·.
【解】 法一：·＝·＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0,2,2)，C1(2,4,2)，∴＝(－1,2,1)，＝(2,2,0)，
∴·＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.
利用数量积求夹角和距离
如图3 1 26所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.
(1)求AC′的长；
(2)求与的夹角的余弦值．
图3 1 26
【精彩点拨】 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．
【自主解答】 (1)∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
∴||＝.
(2)法一：设与的夹角为θ，
∵ABCD是矩形，∴||＝＝5.
由余弦定理可得
cos
θ＝＝＝.
法二：设＝a，＝b，＝c，
依题意得·＝(a＋b＋c)·(a＋b)
＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c
＝16＋0＋9＋4×5×cos
60°＋3×5×cos
60°
＝16＋9＋10＋＝，
∴cos
θ＝＝＝.
1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.
2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝.
利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为，故〈a，b〉∈时，它们相等；而当〈a，b〉∈时，它们互补．
[再练一题]
2．如图3 1 27，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c分别表示向量，；
(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值．
图3 1 27
【解】 (1)＝(＋)＝[(－)＋(－)]
＝[(a－c)＋(b－c)]＝(a＋b－2c)，
＝(＋)＝[(－)－]
＝[(a－b)－b]＝(a－2b)．
(2)设棱长为1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝，则||＝||＝.
又·＝(a＋b－2c)·(a－2b)
＝(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)
＝－，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
∴异面直线DM与CN所成角的余弦值为.
利用数量积解决平行和垂直问题
已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
【精彩点拨】 利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解．
【自主解答】 (1)由a∥b，得
(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴解得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1.
因此，a＝(0,1，－2)．
向量平行与垂直问题主要有两种题型
1．平行与垂直的判断
2．利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．
[再练一题]
3．如图3 1 28所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．求证：A1B⊥C1M.
图3 1 28
【证明】 如图所示，以，，为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz.
依题意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，，2)，B1(0,1,2)，则M，，2，于是＝(－1,1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，
∴⊥，故A1B⊥C1M.
[探究共研型]
空间向量数量积的运算特征
探究1 数量积运算是否满足消去律？
【提示】 对于三个不为0的实数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c.对于三个非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，不能得出b＝c，即向量不能约分．
如图，在三棱锥S ABC中，SC⊥平面ABC，则SC⊥AC，SC⊥BC.设＝a，＝b，＝c，则a·b＝a·c＝0，但b≠c.
探究2 数量积运算是否有除法？
【提示】 数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若a·b＝k，不能得到a＝，例如当非零向量a，b垂直时，a·b＝0，但a＝显然是没有意义的．
探究3 数量积运算满足结合律吗？
【提示】 由定义得(a·b)c＝(|a||b|cos〈a，b〉)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cos〈b，c〉)，即a(b·c)＝λ2a，因此，(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．
如图3 1 29，已知正四面体OABC的棱长为1.求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)；
(3)|＋＋|.
图3 1 29
【精彩点拨】 在正四面体OABC中，，，的模和夹角都已知，因此可以先把相关向量用，，线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可．
【自主解答】 在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1，
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.
(1)·＝||||·cos∠AOB
＝1×1×cos
60°＝.
(2)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝＋2·－2·＋2－2·
＝12＋2×－2×1×1×cos
60°＋12－2×1×1×cos
60°
＝1＋1－1＋1－1＝1.
(3)|＋＋|＝
＝＝.
[再练一题]
4．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
【导学号：09390076】
【解析】 由条件知，(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，
及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.
两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.
代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.
【答案】 60°
[构建·体系]
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．
【解析】 ∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝－20－5＋12＝－13.
【答案】 －13
2．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)．若a，b成120°的角，则k＝________.
【解析】 cos
〈a，b〉＝＝＝－，得k＝－.
【答案】 －
3．如图3 1 30，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3 1 30
【解析】 ＝＋，＝＋，设棱长为1.
又∵·＝(＋)(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－＋0＋0＋＝0，
∴cos〈，〉＝＝0，
∴⊥，
∴直线AB1与BM所成的角为90°.
【答案】 90°
4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
【解析】 ∵＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·(－)＝2－
·＋·－2＝4－0＋0－2＝2.
【答案】 2
5．如图3 1 31所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
图3 1 31
【解】 由题意知＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos
〈，〉－||||cos
〈，〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝24－16，
∴cos
〈，〉＝＝
＝，
∴OA与BC所成角的余弦值为.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
【解析】 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
【答案】 2
2．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于________.
【导学号：09390077】
【解析】 设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，
2＝a2＋b2＋c2＋2a·c＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5.
【答案】 5
3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．
【解析】 ＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.
【答案】 60°
4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.
【解析】 a·b＝2×3×cos
60°＝3，∴|2a－3b|＝＝＝.
【答案】
5．如图3 1 32,120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
图3 1 32
【解析】 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，
·＝0.
又∵二面角为120°，
∴〈，〉＝60°，
∴＝||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝164，
∴||＝2.
【答案】 2
6．如图3 1 33，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，则异面直线BF与ED所成角的大小是________．
图3 1 33
【解析】 分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.
则＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，
∴cos〈，〉＝＝＝－，
∴〈，〉＝120°.
所以异面直线BF与ED所成角的大小为180°－120°＝60°.
【答案】 60°
7．如图3 1 34所示，已知直线AB⊥平面α，BC α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，则A，D两点间的距离为________．
图3 1 34
【解析】 ∵＝＋＋，
∠DCF＝30°，DF⊥平面α，
∴∠CDF＝60°，
∴||2＝(＋＋)2
＝4＋4＋4＋2×2×2×cos
120°
＝8，
∴||＝2.
【答案】 2
8．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________.
【解析】 设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：
或
【答案】 或
二、解答题
9.如图3 1 35，已知正方体ABCD A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：
图3 1 35
(1)AO⊥CD′；
(2)AC′⊥平面B′CD′.
【证明】 (1)因为＝＋＝＋(＋)，
因为＝－，
所以·
＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.
(2)因为·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·，
可知·＝0，·＝0，
·＝0，·＝||2，
·＝－||2，·＝0，
所以·＝||2－||2＝0，
所以⊥，所以AC′⊥B′C.
同理可证，AC′⊥B′D′.
又B′C，B′D′ 平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.
10.如图3 1 36，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点．若AB＝a，SD＝b，
图3 1 36
(1)求||；
(2)求cos〈，〉．
【解】 如图，建立空间直角坐标系D xyz，则
A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G，
＝，＝，＝(－a,0,0)．
(1)||＝
＝
.
(2)cos〈，〉＝
＝＝.
[能力提升]
1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________.
【导学号：09390078】
【解析】 b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝，
∴当t＝时，|b－a|取得最小值.
【答案】
2．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为________．
【解析】 由题意可得，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝.
∴sin〈，〉＝，∴以，为边的平行四边形的面积S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.
【答案】 7
3．如图3 1 37所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________．
图3 1 37
【解析】 法一：因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos
60°＝144，
所以||＝12，即PC＝12.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,6)，C(0,6，0)，
∴PC＝＝12.
【答案】 12
4．如图3 1 38所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
图3 1 38
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长．
【解】 (1)证明：设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
∴＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos
60°＋a2cos
60°－a2)＝0.
∴MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.
(2)由(1)可知，＝(q＋r－p)，
∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]
＝＝×2a2＝，
∴||＝a，∴MN的长为a.2.6.3 曲线的交点
1．掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数．(重点)
2．领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题．(难点)
3．直线与圆锥曲线公共点个数的讨论．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 两条曲线的交点与相交弦长
阅读教材P65的部分，完成下列问题．
1．两条曲线的交点
对于曲线C1：f1(x，y)＝0和曲线C2：f2(x，y)＝0，
(1)P0(x0，y0)是C1与C2的公共点
(2)求两条曲线的交点，就是求方程组的实数解．
2．弦长公式
设直线l的方程为y＝kx＋b，l与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
3．代点法
设直线l与圆锥曲线C：f(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则可将A，B两点坐标代入方程f(x，y)＝0，得两式作差，变形，即可得到弦AB的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过椭圆上一点P的直线与该椭圆必有两个公共点．( )
(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条．( )
(3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切．( )
(4)当直线与圆锥曲线相交时，若交点坐标方便求出，也可用两点间距离公式求弦长．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2＝________.
【解析】 由得(1＋4m2)x2＋8mx＋3＝0.
由题意得Δ＝64m2－12(1＋4m2)＝0，解得m2＝.
【答案】
3．曲线x2＋2xy＋y2－2＝0与x轴的交点坐标为______．
【解析】 在曲线方程中，令y＝0，得x2－2＝0，解得x＝±，则曲线与x轴的交点坐标为(±，0)．
【答案】 (±，0)
4．直线y＝x＋1与曲线x2＝2y交于A，B两点，则AB＝________.
【导学号：09390061】
【解析】 由得x2－2x－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2，x1x2＝－2，
由弦长公式得
AB＝
＝·
＝2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
曲线公共点的个数问题
已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时：
(1)l与C无公共点；
(2)l与C有唯一公共点；
(3)l与C有两个不同的公共点．
【精彩点拨】 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值．
【自主解答】 将直线与双曲线方程联立消去y，得
(1－4k2)x2－16kx－20＝0.①
当1－4k2≠0时，
有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．
(1)当1－4k2≠0且Δ<0，即k<－或k>时，l与C无公共点．
(2)当1－4k2＝0，即k＝±时，显然方程①只有一解．
当1－4k2≠0，Δ＝0，即k＝±时，方程①只有一解．
故当k＝±或k＝±时，l与C有唯一公共点．
(3)当1－4k2≠0，且Δ>0时，即－
判定直线与圆锥曲线公共点个数的步骤
[再练一题]
1．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
图2 6 5
【解】 (1)当k＝0时，直线l与x轴平行，易知与抛物线只有一个交点．
(2)当k≠0时，联立
消去x，得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，
Δ＝16－4k×4(2k＋1)．
①当Δ＝0，即k＝－1或时，直线l与抛物线相切，只有一个公共点；
②当Δ>0，即－1③当Δ<0，即k<－1或k>时，直线l与抛物线相离，没有公共点．
综上，当k＝－1或或0时，
直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线没有公共点.
直线被圆锥曲线截得的弦长问题
已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
【精彩点拨】 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A，B坐标间的联系，进行整体运算．
【自主解答】 ∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2.
∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
法一：由方程组
得交点A(0，－2)，B.
则AB＝
＝＝＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组的公共解．
对方程组消去y，得3x2－5x＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴AB＝
＝
＝
＝＝.
法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
消去y，得3x2－5x＝0，
则x1，x2是方程3x2－5x＝0的两根．
∴x1＋x2＝.
由圆锥曲线的统一定义，得AF1＝×(5－x1)，
F1B＝×(5－x2)，
则AB＝AF1＋F1B＝×[10－(x1＋x2)]＝×＝.
弦长的求法
1．求弦长要分一般弦还是焦点弦，若是一般弦，利用一般弦长公式求解，若是焦点弦，可利用圆锥曲线的统一定义求解．
2．弦中点坐标与弦所在直线斜率间的互求一般利用点差法较为简捷．
[再练一题]
2．如图2 6 6，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
图2 6 6
【解】 由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，
∴c＝＝.
由c＝知F1(－，0)，F2(，0)，
又直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
∴直线l的方程为x－y＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由
法一：消去y，整理得
25x2＋32x－32＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴AB＝＝
＝
＝＝.
又点F2到直线l的距离d＝＝，
∴S△ABF2＝AB·d＝××＝.
法二：消去x，整理得
25y2－18y－81＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
∴|y1－y2|＝＝＝，
∴S△ABF2＝F1F2·|y1－y2|＝×2×＝.
直线与圆锥曲线的综合问题
(2016·济宁高二检测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，焦距为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线过D(－1,0)与椭圆交于E，F两点，若＝2，求直线EF的方程；
(3)是否存在实数k，直线y＝kx＋2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过D(－1,0)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【精彩点拨】 (1)根据直线的倾斜角求得a，b的关系式，又2c＝2，结合a2＝b2＋c2可得a2和b2，即得方程；(2)设出直线方程，利用＝2及韦达定理可求EF的方程；(3)假设存在，利用PD⊥QD建立方程推导．
【自主解答】 (1)由＝，a2－b2＝c2＝2，得a＝，b＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设EF：x＝my－1(m＞0)，代入＋y2＝1，
得(m2＋3)y2－2my－2＝0，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由＝2，得y1＝－2y2.
由y1＋y2＝－y2＝，
y1y2＝－2y＝，
得2＝，∴m＝1或m＝－1.
直线EF的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(3)将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0.(
)
记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，PQ为直径的圆过D(－1,0)，则PD⊥QD，即(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，得(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝＝0，
解得k＝，此时(
)方程Δ＞0，∴存在k＝满足题设条件．
存在性问题的一般方法
对于存在性问题，一般是假设存在，利用已知条件进行推导，如本例中的以PQ为直径的圆过点D，转化为PD⊥QD，若存在，则利用构建的方程可解出未知数；若不存在，则推出矛盾．
[再练一题]
3．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值.
【导学号：09390062】
【解】 (1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以
解得0又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>，且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，因为＝，
所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以x2＝－，x＝－，
消去x2，得－＝.由a>0，解得a＝.
[探究共研型]
直线与圆锥曲线的相交弦问题
探究 解决直线与圆锥曲线的相交弦问题要注意什么？
【提示】 (1)“设而不求”的方法，若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中有四个参数x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用根与系数关系等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法．
(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式AB＝|x1－x2|＝·|y1－y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．
(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．
已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．
【精彩点拨】 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y，得关于x的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．
【自主解答】 法一：设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是上面的方程的两个根，
所以x1＋x2＝，
因为P为弦AB的中点，
所以2＝＝，
解得k＝－，所以所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为P为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
又因为A，B在椭圆上，
所以x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
所以＝＝－，即kAB＝－.
所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
[再练一题]
4．过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长AB.
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①
显然x1≠x2，故由①得
kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②
把②代入①得kAB＝，故AB的直线方程是
y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
AB＝
＝
＝
＝·
＝·＝.
[构建·体系]
1．过点(0,1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有________条．
【解析】 点(0,1)在抛物线y2＝x的外部，过点(0,1)与抛物线相切的直线有两条．过点(0,1)平行于对称轴的直线有一条，因此，只有一个公共点的直线共有3条．
【答案】 3
2．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于________．
【解析】 由题意知a≠0.由消去y得ax2－x＋1＝0，
该方程的判别式Δ＝(－1)2－4×a×1＝1－4a，令Δ＝0，即1－4a＝0，解得a＝.
【答案】
3．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的交点个数为________．
【解析】 由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交，故有2个交点．
【答案】 2
4．若直线y＝2x＋b被曲线y2＝4x截得的弦AB的长为3，则实数b等于________.
【导学号：09390063】
【解析】 联立方程得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，(
)
设两个交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得
故AB＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝3.
化简得＝3，于是b＝－4，
当b＝－4时，方程(
)的判别式为
Δ＝(4b－4)2－16b2＝－32b＋16
＝－32×(－4)＋16＝144>0.
故直线与曲线有两个交点，于是所求的b的值为－4.
【答案】 －4
5．对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
【解】 由
消去y得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，
直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，
直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，
直线与椭圆相离．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．曲线x2＋y2＝9与曲线x2＝8y的交点坐标是________．
【解析】 由得y2＋8y－9＝0，
解得y＝1或y＝－9.
∵y≥0，∴y＝1，代入x2＝8y，
∴x2＝8，x＝±2，
∴交点坐标为(±2，1)．
【答案】 (±2，1)
2．抛物线x2＝－4y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB＝________.
【解析】 由直线AB过焦点且垂直于对称轴知，AB为通径，
所以AB＝2p＝4.
【答案】 4
3．直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，AB中点坐标为(3,2)，则直线l的方程是________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，
相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
又因为y1＋y2＝4，所以kAB＝＝1.
所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
【答案】 x－y－1＝0
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________.
【导学号：09390064】
【解析】 由题意，得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有__________条．
【解析】 设该抛物线焦点为F，则AB＝AF＋FB＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3＞2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．
【答案】 2
6．曲线y＝x2－x＋2和y＝x＋m有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是________．
【解析】 由消去y
，得x2－2x＋2－m＝0.若有两个不同的公共点，则Δ＝4－4(2－m)>0，∴m>1.
【答案】 (1，＋∞)
7．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若AB＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于________．
【解析】 直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
【答案】
8．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A，B两点，若AB＝5，则实数b等于________.
【导学号：09390065】
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.①
∵x1，x2是关于x的方程①的两根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1.
又AB＝，其中k＝2，代入则有AB＝·＝5，
∴b2＝4，则b＝±2.
故所求b的值为±2.
【答案】 ±2
二、解答题
9．如图2 6 7,
斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
图2 6 7
【解】 设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直线l的方程为y＝x－.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－8x＋8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以AB＝|x1－x2|
＝·
＝×＝.
10．直线l：y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1有两个不同的交点，
(1)求a的取值范围；
(2)设交点为A，B，是否存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，若存在，就求出直线l的方程；若不存在，则说明理由．
【解】 (1)由方程组可得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
由方程有两实数根，
则
解得－＜a＜且a≠±，
故所求a的取值范围是(－，－)∪(－，)∪(，)．
(2)设交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知，x1＋x2＝，x1x2＝，
由题意可得，
OA⊥OB(O是坐标原点),
则有x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1，
∴
(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
于是可得(a2＋1)＋a·＋1＝0，
解得a＝±1，且满足(1)的条件，
所以存在直线l使以AB为直径的圆恰过原点，直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
[能力提升]
1．过点P(4,1)的直线l与椭圆＋＝1有且只有一个公共点，则直线l的方程为________．
【解析】 若直线l不存在斜率，则方程为x＝4；把x＝4带入轨迹方程可得y＝±1，即直线l和椭圆有两个公共点，不合题意．∴设直线l的斜率为k，则方程为y＝kx－4k＋1，带入轨迹方程并整理得(1＋2k2)x2＋4k(1－4k)x＋16(2k2－k－1)＝0.
∵直线l与椭圆只有一个公共点，
∴Δ＝16k2(1－4k)2－64(1＋2k2)(2k2－k－1)＝0，解得k＝－2，
∴直线l的方程为y＝－2x＋9.
【答案】 y＝－2x＋9
2．双曲线x2－4y2＝λ(λ≠0)截直线x－y－3＝0所得弦长为，则双曲线方程为________．
【解析】 联立方程消去y得3x2－24x＋(36＋λ)＝0，
设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么
所以AB＝＝＝＝，
解得λ＝4，所求双曲线方程是－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．
【解析】 根据题意，设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，
得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，
∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.
【答案】 2
4．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
【解】 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，①
＋＝1，②
①－②得
＋＝0.
设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)，
又因为＝－1，所以a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，又因为直线x＋y－＝0过椭圆右焦点，∴c＝，
所以a2＝6，所以M的方程为＋＝1.
(2)因为CD⊥AB，直线AB的方程为x＋y－＝0，所以设直线CD的方程为y＝x＋m，将x＋y－＝0代入＋＝1，得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，
不妨令A(0，)，B，所以可得AB＝.
将y＝x＋m代入＋＝1，得3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3＋x4＝－，x3x4＝，
则CD＝·＝.
又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)＞0，即－3＜m＜3，所以当m＝0时，CD取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为AB·CD＝.章末分层突破
[自我校对]
①＋＝1(a＞b＞0)
②＋＝1(a＞b＞0)
③(±a,0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0)
④2a
⑤2b
⑥(－c,0)，(c,0)
⑦2c
⑧
⑨－＝1(a＞0，b＞0)
⑩y＝±x
y＝±x
y2＝±2px(p＞0)
x2＝±2py(p＞0)
y＝±
＝e
圆锥曲线定义的应用
“回归定义”解题的三点应用：
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x2＋25y2＝225上的动点，求MA＋MB的最大值与最小值．
【精彩点拨】 A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化．
【规范解答】 如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(－4,0)(左焦点)．
由椭圆的定义，得MA＋MA1＝2a，∴MA＝2a－MA1，
∴MA＋MB＝(2a－MA1)＋MB＝2a＋(MB－MA1)．
∵|MB－MA1|≤A1B＝2，即－2≤MB－MA1≤2，又2a＝10，∴MA＋MB的最大值是10＋2，最小值为10－2.
[再练一题]
1．双曲线16x2－9y2＝144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝64，求△PF1F2的面积．
【解】 双曲线方程16x2－9y2＝144化为－＝1，即a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，
解得a＝3，c＝5，所以F1(－5,0)，F2(5,0)．
设PF1＝m，PF2＝n，由双曲线的定义，
可知|m－n|＝2a＝6，
在△PF1F2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝＝＝＝，所以∠F1PF2＝60°.
所以S△PF1F2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝m·n·sin
60°＝16，所以△PF1F2的面积为16.
圆锥曲线的性质与标准方程
1.有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．
2．待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是：
(1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型；
(2)设方程：根据方程的类型，设出方程；
(3)求参数：利用已知条件，求出a，b或p的值；
(4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程．
求与椭圆＋＝1有相同焦点，且离心率为的椭圆的标准方程．
【精彩点拨】 设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解．
【规范解答】 因为c＝＝，所以所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为e＝＝，c＝，所以a＝5，
所以b2＝a2－c2＝20，
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
[再练一题]
2．设双曲线－＝1(b>a>0)的焦半距长为c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________.
【导学号：09390066】
【解析】 如图，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OE＝c，AB＝＝c.
由于AB·OE＝OA·OB，
∴c·c＝ab，∴(a2＋b2)＝ab，两边同时除以a2，得2－＋＝0，
∴＝或＝(舍去)．
∴e＝＝＝＝2.
【答案】 2
求动点的轨迹方程
求动点的轨迹方程的方法有直接法、定义法、代入法和参数法，首先看动点是否满足已知曲线的定义，若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法．
设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．
【精彩点拨】 画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解．
【规范解答】 法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，
由题意，得OB2＋BC2＝OC2，如图所示：
即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中点B的轨迹方程为2＋y2＝(去掉原点)．
法二(定义法)：设B点坐标为(x，y)，
由题意知，CB⊥OA，OC的中点记为M，
则MB＝OC＝，
故B点的轨迹方程为2＋y2＝(去掉原点)．
法三(代入法)：
设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，
由题意得即
又因为(x1－1)2＋y＝1，
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1.
即2＋y2＝(去掉原点)．
法四(交轨法)：
设直线OA的方程为y＝kx，
当k＝0时，B为(1,0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－(x－1)，
直线OA，BC的方程联立，消去k即得其交点轨迹方程y2＋x(x－1)＝0，即2＋y2＝(x≠0,1)，
显然B(1,0)满足2＋y2＝，
故2＋y2＝(去掉原点)即为所求．
[再练一题]
3．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，求点P与Q(0，－1)连线中点M的轨迹方程．
【解】 设P(x0，y0)，中点M(x，y)，
则∴
又P(x0，y0)在曲线y＝2x2＋1上，
∴2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.
∴点M的轨迹方程为y＝4x2.
直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0 直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0 直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0 直线与圆锥曲线无交点．
2．直线l截圆锥曲线所得的弦长AB＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．
如图2 1所示，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
图2 1
(1)写出直线l的方程；
(2)求x1x2与y1y2的值；
(3)求证：OM⊥ON.
【精彩点拨】 设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求解．
【规范解答】 (1)过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－2)．
(2)把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得
k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，
x1x2＝4，x1＋x2＝4＋，
∵M，N两点在抛物线上，∴y·y＝4x1x2＝16，
而y1y2<0，∴y1y2＝－4.
(3)∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
∴·＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0，
∴⊥，∴OM⊥ON.
[再练一题]
4．求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截线段的中点坐标．
【解】 过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线y＝(x－3)代入椭圆C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，
∴x1＋x2＝3，∴＝，
＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
圆锥曲线的最值问题
与圆锥曲线有关的最值问题的三种解决方法有：
(1)平面几何法：主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法：建立目标函数，解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值．
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【精彩点拨】 →→→→→→
【规范解答】 (1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
所以d＝
＝
＝
＝
＝，
所以当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
[再练一题]
5.如图2 2，已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若AF＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB长的最小值．
图2 2
【解】 (1)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，则由抛物线的定义，可知AF＝x1＋1＝4，
∴x1＝3，代入y2＝4x中，得y＝4×3，即y1＝±2，故A点的坐标为(3，±2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)，
与抛物线方程联立，得
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，AB＝x1＋x2＋p＝4＋＞4；
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时AB＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
函数与方程的思想
1.在解析几何中，已知某些点或直线在运动变化，这就会引出一些相互制约的量，它们之间可能构成函数关系，利用函数思想来处理这类问题是常用的方法，如解析几何中的最值问题、参数取值范围问题都可用函数思想来处理．
2．由于在解析几何中大多数题目都是以方程的形式给出直线和圆锥曲线，因此可用方程思想讨论直线与圆锥曲线的位置关系问题．一般是将直线方程代入圆锥曲线方程，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)进而去解决与“距离”“中点”有关的问题．
点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【精彩点拨】 (1)由PA⊥PF得P点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P点的坐标．
(2)由M到直线AP的距离等于MB，求出M点坐标，将距离d表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值．
【规范解答】 (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)．设点P(x，y)，则kAP·kPF＝－1.
由已知可得
消去y整理得2x2＋9x－18＝0，
解得x＝或x＝－6(舍去)．
所以x＝，由于y＞0，故y＝.
所以点P的坐标是.
(2)易知直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M(m,0)，
则M到直线AP的距离是.
于是＝|m－6|.
又－6≤m≤6，解得m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平方为
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝2＋15.
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取得最小值.
[再练一题]
6．已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，M为AB的中点，若|AB|＝2，直线OM的斜率为(O为坐标原点)，求椭圆的方程.
【导学号：09390067】
【解】 由
消去y，整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
又设AB的中点M(xM，yM)，
则xM＝＝，yM＝－xM＋2＝.
∵直线OM的斜率kOM＝＝，
∴＝，∴a2＝4b2，
从而x1＋x2＝＝4，x1x2＝＝8－2b2.
又∵AB＝2，∴·＝2，
即×＝2，解得b2＝4，∴a2＝4b2＝16，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
1．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
【解析】 由双曲线的标准方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，从而焦距2c＝2.
【答案】 2
2.
(2016·江苏高考)如图2 3，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是
________.
图2 3
【解析】 将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
【答案】
3．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．
【解析】 由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.
因为|AF|＝＝15为定值，
所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12.
【答案】 12
4．(2015·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，FM＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
【解】 (1)由已知，有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有2＋2＝2，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，
以上两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由FM＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立得
消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.
又由已知，得t＝>，解得－设直线OP的斜率为m，得m＝，
即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，
整理可得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)<0，因此m>0，于是m＝，得m∈.
②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，
于是m＝－，得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.2.2 椭
圆
2.2.1 椭圆的标准方程
1．了解椭圆标准方程的推导．(难点)
2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点)
3．椭圆的两种标准方程的区分．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 椭圆的标准方程
阅读教材P30～P31思考上面内容，完成下列问题.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1
(a＞b＞0)
图象
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称．( )
(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.( )
(3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)是椭圆的方程．( )
(4)椭圆＋＝1的焦点在x轴上．( )
(5)设椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，则PF1＋PF2＝2.( )
(6)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±2,0)．( )
【解析】 (1)(2)明显正确；
(3)＋＝1中，当m＝n>0时方程表示圆，故错误；
(4)方程y2的分母大于x2的分母，故椭圆的焦点在y轴上，故错误；
(5)方程＋y2＝1中，a＝2，所以PF1＋PF2＝4.所以错误；
(6)因为a2－b2＝12－8＝4，所以c＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
椭圆标准方程的求法
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的焦距为2，且过点P(－，0)；
(2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点P.
【精彩点拨】 求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在x轴上还是y轴上分类讨论．
【自主解答】 (1)①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c＝1，点P(－，0)在椭圆上，
∴解得故椭圆的标准方程为＋＝1.
②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
则有解得故椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.
(2)法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知
2a＝＋＝2，
∴a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法三：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>2)，
∵点在椭圆上，∴＋＝1，
整理得2a4－25a2＋50＝0，
解得a2＝(舍)，a2＝10，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为
[再练一题]
1．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
【解】 (1)法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：由椭圆的定义可知2a＝＋＝10，
∴a＝5，又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
椭圆标准方程的识别
已知方程x2·sin
α－y2·cos
α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．
(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围；
(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围．
【精彩点拨】 (1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．
(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．
【自主解答】 将椭圆方程x2·sin
α－y2·cos
α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝1(0≤α≤2π)．
(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，
则>－>0，即
所以π<α<π，即α的取值范围是.
(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则－>>0，即
所以<α<，即α的取值范围是.
1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”．
2．焦点在x轴上 标准方程中x2项的分母较大，焦点在y轴上 标准方程中y2项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
[再练一题]
2．(1)若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
(2)已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
【解析】 (1)据题意可知解得3＜k＜6，
所以实数k的取值范围是(3,6)．
(2)将曲线C的方程化为＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则k－3＞5－k＞0，即4＜k＜5，故“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．
【答案】 (1)(3,6) (2)必要不充分
[探究共研型]
焦点三角形问题
椭圆上的点与它的两个焦点构成三角形，这个三角形就是焦点三角形．
探究1 点P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，|PF1||PF2|的最大值是什么？
【提示】 因为|PF1|＋|PF2|＝2a(定值)，由基本不等式得|PF1||PF2|≤2＝2＝a2，这时PF1＝PF2，即P为y轴上的交点时，|PF1||PF2|取的最大值为a2.
探究2 若∠F1PF2＝θ，当θ取最大值时，cos
θ的最小值是多少？
【提示】 在△PF1F2中，令PF1＝r1，PF2＝r2则
r1＋r2＝2a，由F1F2＝2c，所以cos
θ＝＝＝＝－1≥－1＝－1，这时θ最大，
当且仅当r1＝r2时，cos
θ取得最小值－1.
探究3 当点P为y轴的交点时，若∠F1PF2为锐角，椭圆上是否存在点M，使∠F1MF2＝90°；若∠F1PF2为钝角呢？
【提示】 若∠F1PF2为锐角时，不存在点M，使∠F1MF2＝90°；若∠F1PF2为钝角时，根据椭圆的特点，会存在四个点M，使∠F1MF2＝90°.
如图2 2 1所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
图2 2 1
【精彩点拨】 根据椭圆的标准方程知PF1＋PF2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF1和PF2的关系求解．
【自主解答】 由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
F1F2＝2c＝2，在△PF1F2中，
由余弦定理，得
PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2cos
120°，
即PF＝PF＋4＋2PF1.①
由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，
即PF2＝4－PF1.②
②代入①解得PF1＝.
∴S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin
120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
在椭圆中，由三条线段PF1，PF2，F1F2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形.涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF1＋PF2＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.
[再练一题]
3．若椭圆＋＝1的焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．
【解析】 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|F1F2|＝2c＝12.由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
60°，即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
【答案】
[构建·体系]
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为________．
【解析】 ∵a2＝36，b2＝25，∴c＝＝，
故焦点坐标为(，0)，(－，0)．
【答案】 (，0)，(－，0)
2．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________.
【导学号：09390022】
【解析】 据题意有解得3＜k＜4.
【答案】 (3,4)
3．若a＝5，c＝2，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________．
【解析】 由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.因为焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
【解析】 由条件知PF1＋PF2＝2F1F2＝4，即a＝2.
∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故动点P的轨迹方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程．
【解】 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
因为点和点都在椭圆上，
所以
即
解得
所以所求的椭圆的标准方程为x2＋＝1.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·聊城高二检测)椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|
PF1|＝3，则PF2＝___________________________________________.
【解析】 方程＋＝1中，a＝4，则PF1＋PF2＝8，
∴PF2＝2a－PF1＝8－3＝5.
【答案】 5
2．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为________．
【解析】 ∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝3或5.
【答案】 3或5
3．(2016·无锡高二检测)设F1，F2是椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________.
【导学号：09390023】
【解析】 易知|F1F2|＝8＝2c，即c＝4，∴a2＝25＋16＝41，∴a＝，因为弦AB过点F1，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4.
【答案】 4
4．若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为＋＝1，∴有
解得0【答案】 (0,1)
5．设P是椭圆＋＝1上一点，点P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是________三角形(填“直角”“锐角”或“钝角”)
【解析】 不妨设PF1>PF2，由条件知PF1－PF2＝2，又PF1＋PF2＝2a＝8，解得PF1＝5，PF2＝3.
又∵F1F2＝2c＝2＝4，∴F1F＋PF＝PF，
故△PF1F2是直角三角形．
【答案】 直角
6．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 根据椭圆定义有
因此|PF1|＝4，|PF2|＝3.又因为|F1F2|＝5，因此△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝×3×4＝6.
【答案】 6
7．过点(，－)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
【解析】 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝
＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2，可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是________．
【解析】 设椭圆的另一焦点为F2，由条件可知PF2∥OM，∴PF2⊥x轴．设P点纵坐标为y，则由＋＝1，得y＝±，
∴点M的纵坐标为±.
【答案】 ±
二、解答题
9．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，求b的值．
【解】 如图所示，PF1⊥PF2，F1F2＝2c，
根据椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a，
在Rt△F1PF2中，PF＋PF＝4c2.
又S△PF1F2＝PF1·PF2＝9，即PF1·PF2＝18.
∴(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝4c2＋36＝4a2，
∴4a2－4c2＝36，即a2－c2＝9，即b2＝9，∴b＝3.
10．求符合下列条件的参数的值或取值范围．
(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围；
(2)若椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点为(0，)，求k的值．
【解】 (1)原方程可化为＋＝1.
∵其表示焦点在x轴上的椭圆，∴解得k>1.故k的取值范围是k>1.
(2)原方程可化为＋＝1.
由题意得
即
故k的值为－1或－.
[能力提升]
1．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________.
【导学号：09390024】
【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，且半焦距c＝＝＝4,2a＝10.
∴A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的左、右焦点．
∵点B在椭圆上，
∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，
∴＝
＝＝＝(R为△ABC外接圆的半径)．
【答案】
2．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与x轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为________．
【解析】 由题意知椭圆焦点在x轴上，设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得解得a＝4，c＝2，b2＝12.
故所求方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．(2016·漳州模拟)“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的________条件．
【解析】 由方程mx2＋ny2＝1，得＋＝1，所以要使方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，则即m>0，n>0且m≠n.所以，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，焦距为6，求实数m的值．
【解】 ①当椭圆焦点在x轴上时，
由2c＝6，得c＝3.
由椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，
得a2＝25，b2＝m2，
所以m2＝25－9＝16.
因为m>0，所以m＝4.
②当椭圆焦点在y轴上时，由2c＝6，得c＝3.
由椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，
得a2＝m2，b2＝25，
所以m2＝25＋9＝34.
因为m>0，所以m＝.
综上所述，实数m的值为4或.2.1 圆锥曲线
1．了解椭圆、双曲线和抛物线的定义和几何图形．(重点)
2．了解圆锥曲线特别是双曲线的形成过程．(难点)
3．椭圆定义与双曲线定义的区别．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 圆锥曲线
阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．
1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．
2．设P为相应曲线上任意一点，常数为2a(a>0).
定义(自然语言)
数学语言
椭圆
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
PF1＋PF2＝2a＞F1F2
双曲线
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
|PF1－PF2|＝2a＜F1F2
抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
PF＝d，其中d为点P到l的距离
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )
(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )
(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )
(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( )
【解析】 (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．
(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．
(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．
(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
椭圆的定义及应用
(1)在△ABC中，B，C是两个定点，sin
B＋sin
C＝2sin
A，试确定顶点A的轨迹；
(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长．
【精彩点拨】 (1)利用正弦定理转化为边之间的关系，结合椭圆的定义求解；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．
【自主解答】 (1)∵sin
B＋sin
C＝2sin
A，由正弦定理可得AC＋AB＝2BC＞BC，又∵B，C是两个定点，由椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(除去与B，C所在同一直线的两个定点)．
(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.
椭圆定义的应用方法
1．判定动点P的轨迹为椭圆，关键分析两点：(1)点P到两定点的距离之和是否为常数，(2)该常数是否大于两定点之间的距离．
2．判定点的轨迹时，应注意对个别点进行检验，如本例(1)中，因为△ABC三顶点不共线，所以应去掉直线BC与椭圆的两个交点．
3．若已知某点在椭圆上时，要应用椭圆的定义PF1＋PF2＝2a进行求解．
[再练一题]
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．
【解析】 根据椭圆的定义，应填必要不充分．
【答案】 必要不充分
双曲线的定义及应用
已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
(1)|－|＝6；
(2)－＝6.
【精彩点拨】 把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．
【自主解答】 (1)∵|－|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线．
(2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点P的轨迹是双曲线的右支．
在双曲线的定义中，注意三个关键点：①在平面内；②差的绝对值；③定值且定值小于两定点间距.在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线.
[再练一题]
2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.
【导学号：09390018】
【解析】 ∵|PA|－|PB|＝6<10时，
∴P的轨迹为双曲线的一支．
又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，
∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．
【答案】 双曲线的一支 一条射线
抛物线的定义及应用
已知动点M(x，y)满足|3x＋4y＋1|＝5，试判断动点M的轨迹．
【精彩点拨】 把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．
【自主解答】 选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝，MF＝.由题意知d＝MF，且F l，由抛物线定义知，M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
抛物线定义的应用方法
1．涉及点线距、两点间距离的轨迹问题，要充分联想抛物线的定义，判别动点的轨迹．
2．应用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定点与到定直线的距离是否相等，并且注意定点不在定直线上．
3．若已知某点在抛物线上，则该点到抛物线焦点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．
[再练一题]
3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．
【解析】 由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．
【答案】 抛物线
[探究共研型]
如何区分椭圆与双曲线
探究1 已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？
【提示】 若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．
探究2 抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？
【提示】 在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．
已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．
【精彩点拨】 根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．
【自主解答】 由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，
因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①
又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②
②－①得MC2－MC1＝2，且2所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．
设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式.注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又因为圆C1与圆C2相切于点 －1，0 ，所以M的轨迹不过点 －1，0 .
[再练一题]
4．已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内有一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆.
【导学号：09390019】
【证明】 设MB＝r.
∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距MA＝10－r，
即MA＋MB＝10(大于AB)，
∴圆心M的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
[构建·体系]
1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，动点P满足PF1＋PF2＝6，则点P的轨迹是________．
【解析】 ∵PF1＋PF2＝6＞F1F2，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
【答案】 以F1，F2为焦点的椭圆
2．已知抛物线上一点P到焦点F的距离为，则点P到抛物线准线的距离为________．
【解析】 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P到准线的距离为.
【答案】
3．以F1，F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1，F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝________.
【解析】 由椭圆的定义可知P2F1＋P2F2＝10.
又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.
【答案】 5
4．已知M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，则动点P的轨迹为________．
【解析】 ∵MN＝4，PM－PN＝3<4，
∴动点P的轨迹为双曲线的右支．
【答案】 双曲线的右支
5．动点P(x，y)的坐标满足－＝4，试确定点P的轨迹．
【解】 的几何意义是点P到定点A(5,0)的距离，的几何意义是点P到定点B(－5,0)的距离，因此原式可化为PA－PB＝4＜AB＝10，故点P的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．抛物线上一点P到焦点的距离与到准线的距离之和为8，则P到准线的距离为________．
【解析】 由抛物线的定义可知点P到焦点与准线的距离相等，又因为二者之和为8，故P到准线的距离为4.
【答案】 4
2．下列说法中正确的是________(填序号)．
①已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；
②已知F1(－6,0)，F2(6,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；
③到点F1(－6,0)，F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10,0)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；
④到点F1(－6,0)，F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
【解析】 根据椭圆的定义PF1＋PF2>F1F2可知选③.
【答案】 ③
3．已知A(1,0)，B(3,0)，动点P满足|PA－PB|＝a，且点P的轨迹是双曲线，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为AB＝2，且点P的轨迹是双曲线，则|PA－PB|＝a＜2，即0＜a＜2.
【答案】 (0,2)
4．已知双曲线的焦点为F1，F2，双曲线上一点P满足|PF1－PF2|＝2.若点M也在双曲线上，且MF1＝4，则MF2＝________.
【解析】 由双曲线的定义可知，|MF1－MF2|＝2.又MF1＝4，∴|4－MF2|＝2，解得MF2＝2或6.
【答案】 2或6
5．已知点A(－1,0)，B(1,0)．曲线C上任意一点P满足2－2＝4(||－||)≠0.则动点P的轨迹是________.
【导学号：09390020】
【解析】 由条件可化简为PA＋PB＝4，因为4>2＝AB，
所以曲线C是椭圆．
【答案】 椭圆
6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”)
【解析】 由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．
【答案】 抛物线
7．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：|MF1－MF2|＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．
【解析】 根据双曲线的定义，乙 甲，但甲D乙，只有当0<2a<|F1F2|时，其轨迹才是双曲线．故甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
8．△ABC的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sin
B－sin
A)＝3sin
C，则顶点C的轨迹是________．
【解析】 运用正弦定理，将4(sin
B－sin
A)＝3sin
C转化为边的关系，即4＝3×，则AC－BC＝AB＝6【答案】 以A，B为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)
二、解答题
9．已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．
【解】 方程可变形为＝1，
∵表示点M到点(1,1)的距离，
表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离．
又由＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．
由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．
10．一炮弹在某处爆炸，在F1(－5
000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5
000,0)处晚
s，已知坐标轴的单位长度为1
m，声速为340
m/s，爆炸点应在什么样的曲线上？
【解】 由声速为340
m/s，可知F1，F2两处与爆炸点的距离差为340×＝6
000(m)，且小于F1F2＝10
000(m)，
因此爆炸点在以F1，F2为焦点的双曲线上，
又因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支双曲线上．
[能力提升]
1．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±4，则动点P的轨迹是________．
【解析】 方程表示点到(1,1)和(－3，－3)两点的距离差，∵4<，∴点P的轨迹是双曲线．
【答案】 双曲线
2．已知椭圆上一点P到两焦点F1，F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为________.
【导学号：09390021】
【解析】 由条件知PF1＋PF2＝20，∴PF1·PF2≤2＝2＝100.当且仅当PF1＝PF2时取得等号．
【答案】 100
3．如图2 1 1，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．
图2 1 1
【解析】 连结FP，∵M，F关于直线CD对称，∴PF＝PM，∴PF＋PO＝OP＋PM＝OM(定值)．
∵OM>OF，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆．
【答案】 以F，O为焦点的椭圆
4．在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin
B，sin
A，sin
C成等差数列．
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
【解】 (1)由sin
B，sin
A，sin
C成等差数列，得sin
B＋sin
C＝2sin
A．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.
又因为BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
(2)椭圆的焦点为B，C，焦距为10.2.4.2 抛物线的几何性质
1．掌握抛物线的简单几何性质．(重点)
2．会用抛物线的几何性质处理简单问题．(难点)
3．直线与抛物线的公共点问题．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 抛物线的几何性质
阅读教材P52表格的部分，完成下列问题.
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线是中心对称图形．( )
(2)抛物线的范围是x∈R.( )
(3)抛物线是轴对称图形．( )
(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.( )
(5)抛物线x2＝2py(p＞0)上任意一点P(x0，y0)到其焦点的距离是x0＋.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．抛物线y＝2px2(p>0)的开口方向是________．
【解析】 法一：y＝2px2(p>0)可以看作是二次函数，2p>0，开口方向向上．
法二：抛物线y＝2px2(p>0)的标准方程是x2＝y，>0，开口方向向上．
【答案】 向上
教材整理2 抛物线的焦点弦、通径
阅读教材P52例1上面的部分，完成下列问题．
抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦．弦长公式为AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，A0B0＝2p，称为抛物线的通径．
1．过抛物线y2＝4x的焦点F做垂直于抛物线对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，则线段AB的长为________．
【解析】 易知线段AB为抛物线的通径，所以AB＝4.
【答案】 4
2．如图2 4 2，过抛物线x2＝－4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．
图2 4 2
【解析】 F(0，－1)，将y＝－1代入得xA＝2，∴AB＝4，
∴S△OAB＝×4×1＝2.
【答案】 2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
抛物线的几何性质
(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py
(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
(2)已知抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，若△OAB的面积等于4，则此抛物线的标准方程为________．
【自主解答】 (1)∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
(2)不妨设抛物线的方程为y2＝2px，如图所示，AB是抛物线的通径，∴AB＝2p，又OF＝p，∴S△OAB＝·AB·OF＝·2p·p＝p2＝4，故p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
【答案】 (1)x2＝16y (2)y2＝4x
利用抛物线几何性质可以解决的问题
1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
3．范围：解决与抛物线有关的最值问题．
4．焦点：解决焦点弦问题．
[再练一题]
1．(2016·全国卷Ⅱ改编)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝__________________________________________.
【解析】 ∵y2＝4x，∴F(1,0)．
又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．
将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.
【答案】 2
抛物线的最值问题
求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
【导学号：09390044】
【精彩点拨】 本题的解法有两种：法一，设P(t，－t2)为抛物线上一点，点P到直线的距离为d＝，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线4x＋3y＋m＝0与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线相切，求出m的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离．
【自主解答】 法一：设P(t，－t2)为抛物线上的点，
它到直线4x＋3y－8＝0的距离
d＝＝
＝
＝
＝2＋.
∴当t＝时，d有最小值.
法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由
消去y得3x2－4x－m＝0，
∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.
∴最小距离为＝＝.
抛物线中最值的求解策略
1．可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的范围．
2．当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要考虑抛物线的定义，注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化．
[再练一题]
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
【解析】 因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标F(1,0)，准线方程为x＝－1，所以设P到准线的距离为PB，则PB＝PF，P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离为PA，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD为焦点到直线4x－3y＋6＝0的距离，所以FD＝＝＝2，所以距离之和最小值是2.
【答案】 2
[探究共研型]
抛物线的几何性质
探究1 从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？
【提示】 (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线，它没有对称中心．
(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开口越来越趋于扁平．
探究2 如何认识抛物线的焦点弦？
【提示】 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.
(1)以AB为直径的圆必与准线l相切；
(2)AB＝2(焦点弦长与中点关系)；
(3)AB＝x1＋x2＋p；
(4)若直线AB的倾斜角为α，则AB＝；
如当α＝90°时，AB叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；
(5)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2；
(6)＋＝.
探究3 设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦半径PF、焦点弦AB，如何表示．
【提示】
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦半径PF
PF＝x0＋
PF＝－x0
PF＝y0＋
PF＝－y0
焦点弦AB
AB＝x1＋x2＋p
AB＝p－x1－x2
AB＝y1＋y2＋p
AB＝p－y1－y2
已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB＝p，求AB所在的直线方程．
【精彩点拨】 求AB所在直线的方程的关键是确定直线的斜率k，利用直线AB过焦点F，AB＝x1＋x2＋p＝p求解．
【自主解答】 由题意可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义，知AF＝dA＝x1＋，BF＝dB＝x2＋，
于是AB＝x1＋x2＋p＝p，∴x1＋x2＝p.
当x1＝x2＝时，AB＝2p故直线AB与x轴不垂直．
设直线AB的方程为y＝k.
由
得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，
∴x1＋x2＝，即＝p，解得k＝±2.
故直线AB的方程为y＝2或y＝－2.
[再练一题]
3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
【解】 由题意知抛物线焦点为F(1,0)，kAB＝1，所以AB的方程为y＝x－1，代入y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋2＝8，∴线段AB的长为8.
直线与抛物线的位置关系
探究1 直线与抛物线有几种位置关系？交点的个数怎样？直线与抛物线的交点个数能否用判别式来判断？
【提示】 三种位置关系，相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有公共点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时，才可使用判别式进行判断．
探究2 设直线l：y＝kx＋b，抛物线y2＝2px(p>0)，如何判断直线与抛物线的交点个数？
【提示】 直线与抛物线交点的个数等价于方程组的解的个数，也等价于方程ky2－2py＋2bp＝0的解的个数．
(1)若k≠0，
当Δ>0时，直线和抛物线相交，有两个公共点；
当Δ＝0时，直线和抛物线相切，有一个公共点；
当Δ<0时，直线和抛物线相离，无公共点．
(2)若k＝0，则直线l与抛物线y2＝2px(p>0)相交，有一个公共点．特别地，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝m，则当m>0时，l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，l与抛物线相切，有一个公共点；当m<0时，l与抛物线相离，无公共点．
(3)直线与抛物线只有一个公共点并不一定表示直线与抛物线相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．
求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【精彩点拨】 当直线和抛物线只有一个公共点时，应该有两种情况：一是直线和抛物线相切；二是直线与抛物线的对称轴平行，容易忽略的是第二种情况，还有第一种情况中应考虑斜率不存在的情形．
【自主解答】 若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.
由得
∴直线x＝0与抛物线只有一个公共点；
若直线的斜率存在，则由题意，设直线的方程为y＝kx＋1.
由消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，有即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，有Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝，
即方程为y＝x＋1的直线与抛物线只有一个公共点．
综上所述，所求直线的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
[再练一题]
4．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，则b＝________.
【导学号：09390045】
【解析】 由消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
由Δ>0，得－2b＋1>0，即b<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，∴1－2b＝9，即b＝－4.
【答案】 －4
[构建·体系]
1．经过抛物线y2＝2px(p>0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为________．
【解析】 通径长为2p.
【答案】 2p
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________.
【导学号：09390046】
【解析】 PQ＝x1＋x2＋2＝10.
【答案】 10
3．直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A，则实数b的值为________．
【解析】 由得x2－4x－4b＝0，
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
【答案】 －1
4．已知抛物线C：y＝x2，则过抛物线焦点F且斜率为的直线l被抛物线截得的线段长为________．
【解析】 由题意得l的方程为y＝x＋1，即x＝2(y－1)．代入抛物线方程，得y＝(y－1)2，即y2－3y＋1＝0.设线段端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段长度为y1＋y2＋p＝5.
【答案】 5
5．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，求△PAB的面积的最小值．
【解】 由题意，得p＝2，直线AB过抛物线的焦点(1,0)，所以直线AB的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，x1x2＝1，则AB＝＝＝＝＝8.
设P，则点P到直线AB的距离为d＝，∴△PAB的面积S＝AB·d＝＝≥2，即△PAB的面积的最小值是2.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．抛物线焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5，则该抛物线的方程是________．
【解析】 设抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，设A(m，－3)．
由抛物线定义得5＝AF＝，
又(－3)2＝2am，
∴a＝±1或a＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
【答案】 y2＝±2x或y2＝±18x
2．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB＝4，则焦点到弦AB的距离为________．
【解析】 由题意我们不妨设A(x,2)，则(2)2＝4x，∴x＝3，∴直线AB的方程为x＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB的距离为2.
【答案】 2
3．在抛物线y2＝16x内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是________.
【导学号：09390047】
【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k，则直线方程为y－1＝k(x－2)①，由消去x得ky2－16y＋16(1－2k)＝0，∴y1＋y2＝＝2(y1，y2分别是A，B的纵坐标)，∴k＝8，代入①得y＝8x－15.
【答案】 y＝8x－15
4．已知过抛物线Γ：x＝－的焦点F的直线交抛物线Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝－7，则AB的值为________．
【解析】 因为x＝－，所以y2＝－2x，所以抛物线Γ的准线方程为x＝，根据抛物线的定义知AF＝－x1，BF＝－x2，所以AB＝AF＋BF＝1－(x1＋x2)＝1－(－7)＝8.
【答案】 8
5．直线y＝k(x＋1)与抛物线y2＝8x有两个交点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 联立直线与抛物线方程，得所以ky2－8y＋8k＝0.
由题意得解得－＜k＜，且k≠0.
所以实数k的取值范围是(－，0)∪(0，)．
【答案】 (－，0)∪(0，)
6．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点．若＝，则直线PF的方程为________.
【导学号：09390048】
【解析】 抛物线E：y2＝4x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QF＝d.
∵＝，∴||＝||＝d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，
∴直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
【答案】 x＋y－1＝0或x－y－1＝0
7．如图2 4 3是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2
m，水面宽4
m．水位下降1
m后，水面宽_____________
m.
图2 4 3
【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2
m.
【答案】 2
8．设点A的坐标为(a,0)(a∈R)，则曲线y2＝2x上的点到A点的距离的最小值为________.
【导学号：09390049】
【解析】 设抛物线上的点到A点的距离为d，抛物线上任一点的坐标为(x，y)，则d2＝(x－a)2＋y2＝x2－(2a－2)x＋a2
＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)．
因为x∈[0，＋∞)，所以当a－1≥0，即a≥1时，d＝2a－1，dmin＝；
当a－1<0，即a<1时，当x＝0时，d＝a2，dmin＝|a|.
【答案】 (a≥1)或|a|(a<1)
二、解答题
9．已知抛物线y2＝2px
(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
【解】 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0(舍)或x＝，
∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，
由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
解方程组得k6＝64，即k2＝4.
则p2＝＝，又p>0，则p＝，
故所求抛物线方程为y2＝x.
10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解】 (1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.
(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
[能力提升]
1．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积为________．
【解析】 由条件，不妨设lOA为y＝x，解方程组得x＝2p，所以A(2p,2p)．故S△AOB＝·2·(2p)·(2p)＝4p2.
【答案】 4p2
2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m，n，则＋＝________.
【解析】 由焦点弦性质，知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a>0)，∴2p＝，p＝，
∴＋＝4a，即＋＝4a.
【答案】 4a
3．已知抛物线y＝x2与双曲线－x2＝1(a＞0)有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线，则·的最小值为________．
【解析】 抛物线y＝x2的焦点F为(0,2)，则双曲线－x2＝1中，c＝2，则a2＝3.
即双曲线方程为－x2＝1，设P(m，n)，则n2－3m2＝3，
则·＝(m，n)·(m，n－2)＝m2＋n2－2n＝－1＋n2－2n＝－2n－1＝2－，所以当n＝时，·的最小值为3－2.
【答案】 3－2
4．如图2 4 4，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
图2 4 4
【证明】 法一：设直线AB的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C.联立方程，得
消去x，得y2－－p2＝0，∴y1y2＝－p2，kOA＝，kOC＝＝.
又∵y＝2px1，∴kOC＝＝kOA，∴AC经过原点O.
当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA＝kOC，所以AC经过原点O.
法二：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，由于直线AB斜率不确定，所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，代入抛物线方程消去x得y2－2pmy－p2＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.
因为BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k＝＝＝，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.
法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则AD∥EF∥BC，
设AC与EF相交于点N，则＝＝，
＝.由抛物线的定义可知AF＝AD，BF＝BC，∴EN＝＝＝NF.
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.2.3.2 双曲线的几何性质
1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)
2．双曲线的渐近线和离心率的求法．(难点)
3．椭圆与双曲线几何性质的比较．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 双曲线的简单几何性质
阅读教材P43～P46例1以上部分，完成下列问题.
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
性质
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴
x轴，y轴
对称中心
原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形．( )
(2)在双曲线中，实轴长，虚轴长分别为a，b.( )
(3)双曲线的渐近线方程为y＝±x.( )
(4)离心率e越大，其渐近线斜率的绝对值越大．( )
(5)在双曲线－y2＝1中，x的范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．( )
【解析】 (1)正确．
(2)错误．因为实轴长为2a，虚轴长为2b.
(3)错误．当焦点在y轴上时，渐近线是y＝±x.
(4)错误．e＝，e越大，只能说明的绝对值越大．
(5)正确．
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
教材整理2 等轴双曲线
阅读教材P45倒数第八行以上内容，完成下列问题．
1．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
2．性质：(1)等轴双曲线的离心率e＝；
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直．
填空：
(1)双曲线x2－y2＝－2的渐近线为________．
(2)过点(2,3)的等轴双曲线方程为________．
(3)等轴双曲线x2－y2＝4的焦点坐标为________．
【解析】 (1)x2－y2＝－2为等轴双曲线，则渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.
(2)设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把(2,3)代入可得λ＝22－32＝－5，
∴方程为x2－y2＝－5，即－＝1.
(3)方程可化为－＝1，
∴c＝2，焦点为(±2，0)．
【答案】 (1)x±y＝0 (2)－＝1
(3)(±2，0)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
由双曲线的方程求其几何性质
求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
【精彩点拨】 本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b，c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴．
【自主解答】 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，
即－＝1，
∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
作草图：如图所示．
用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为：
1 将双曲线方程化为标准方程形式；
2 判断焦点的位置；
3 写出a2与b2的值；
4 写出双曲线的几何性质.
[再练一题]
1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率.
【导学号：09390034】
【解】 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，
∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4，
∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.
求双曲线的标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
【精彩点拨】 利用待定系数法，当渐近线方程已知时，可利用双曲线设出方程进行求解．
【自主解答】 (1)设以直线y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线方程的求解方法
1．根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．
2．以y＝±x为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，以此求双曲线方程可避免分类讨论．
[再练一题]
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
【解】 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，
∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1.
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.
①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②联立，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.
③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
求双曲线的离心率及其取值
(1)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围．
【精彩点拨】 (1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有≥tan
60°.
【自主解答】 (1)由题意2c＝AB＝BC，
∴AC＝2×2c×sin
60°＝2c，
由双曲线的定义，
有2a＝AC－BC＝2c－2c a＝(－1)c，
∴e＝＝＝.
【答案】
(2)因为双曲线渐近线的斜率为k＝，
直线的斜率为k＝tan
60°＝，故有≥，
所以e＝＝≥＝2，
所以所求离心率的取值范围是e≥2.
1．求双曲线的离心率就是求a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a，b，c三者中两者的关系，进而利用c2＝a2＋b2进行转化．
2．求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成．(2)通过判别式Δ>0来构造．(3)利用点在双曲线内部形成不等关系．(4)利用解析式的特征，如c>a，或c>b.
[再练一题]
3．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率.
【导学号：09390035】
【解】 设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由PF2＝QF2，∠PF2Q＝90°，
知PF1＝F1F2，
∴＝2c，∴b2＝2ac，
∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
[探究共研型]
直线与双曲线的位置关系
探究1 直线与双曲线有几种位置关系？交点个数怎样？直线与双曲线的交点个数能否用判别式来判断？
【提示】 三种位置关系：相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有交点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断．
探究2 过双曲线上一点存在几条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点？解决这种问题应注意什么？
【提示】 过双曲线上一点存在三条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点，一条是切线，两条是分别与渐近线平行的直线．解决这种问题时，应注意直线与渐近线平行的情况．
探究3 在双曲线中，直线与双曲线相交会有几种情况，如何求弦长？
【提示】 直线与双曲线相交时，
两交点可能在两支上，也可能在同一支上．弦长公式为P1P2＝·|x1－x2|或|y1－y2|.
(2016·无锡高二检测)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围．
【精彩点拨】 把双曲线方程和直线方程联立，得到一元二次方程，利用Δ＞0可得a的范围，进而可求离心率的范围．
【自主解答】 由C与l相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①
所以解得0双曲线的离心率e＝＝，因为0所以e>且e≠.
即离心率e的取值范围为∪(，＋∞)．
1．把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ＞0时，直线与双曲线有两个不同的交点；
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；
(3)Δ＜0时，直线与双曲线没有公共点．
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
2．直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．
3．直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，可用直线的斜率与渐近线斜率比较．对于实轴在x轴上的双曲线，若|k|>，则交在同一支上；若|k|<，则交在两支上．若直线过焦点，则可考虑用双曲线的定义．
[再练一题]
4．已知双曲线x2－＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点．
【解】 ①当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点．
当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.
综上可知，当k＝或k＝±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点．
[构建·体系]
1．双曲线－＝1的渐近线方程是________．
【解析】 由双曲线的方程，易知a＝2，b＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为________．
【解析】 因为渐近线方程为y＝x，所以＝，
所以离心率e＝＝＝＝.
【答案】
3．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是________．
【解析】 双曲线的焦点在x轴上，则c＝，
＝3.
又∵a2＋b2＝c2，解得a2＝1，b2＝9，
∴方程为x2－＝1.
【答案】 x2－＝1
4．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为________.
【导学号：09390036】
【解析】 直线的斜率为，由得x2＋3x＋2＝0，
x1＋x2＝－3，x1x2＝2.
∴AB＝＝2.
【答案】 2
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．
【解】 (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1，由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
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[学业达标]
一、填空题
1．设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
【解析】 由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，
且c＝，a＝1，则b2＝c2－a2＝1，
所以双曲线C的方程为x2－y2＝1.
【答案】 x2－y2＝1
2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________．
【解析】 e＝＝，
当＝时，e＝；当＝时，e＝.
【答案】 或
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________．
【解析】 方程可化为y2－＝1.
由条件知2＝2×2，解得m＝－.
【答案】 －
4．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为________．
【解析】 由2a＋2c＝4b，得a＋c＝2b＝2，即a2＋2ac＋c2＝4c2－4a2，得5a2＋2ac－3c2＝0，(5a－3c)·(a＋c)＝0，即5a＝3c，e＝＝.
【答案】
5．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程是________．
【解析】 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是－＝1.
【答案】 －＝1
6．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________.
【导学号：09390037】
【解析】 由题意知e1＝，e2＝，
∴e1·e2＝·＝＝.
又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，
∴＝＝1－4，即1－4＝，
解得＝±，∴＝.
令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.
【答案】 x±y＝0
7．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于________．
【解析】 双曲线的一条渐近线方程为－＝0，即bx－ay＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为＝＝，故b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4.
【答案】 4
8．y＝kx＋2与双曲线－＝1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是________．
【解析】 由消去y得(1－4k2)x2－16kx－25＝0，
∴∴－【答案】
二、解答题
9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，过点P(3，－1)，一条渐近线与直线3x－y＝2平行，求双曲线的标准方程．
【解】 ①若双曲线的焦点在x轴上，则由渐近线方程y＝3x得＝3，∴b＝3a.故可设双曲线的标准方程为－＝1，又双曲线过点P(3，－1)，
∴－＝1，解得a2＝，∴b2＝80，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
②若双曲线的焦点在y轴上，则由渐近线方程y＝3x得＝3，∴a＝3b.故可设双曲线的标准方程为－＝1.
∵点P(3，－1)在双曲线上，∴－＝1，解得9b2＝－80，不合题意．
综上所述，所求双曲线的标准方程是－＝1.
10．直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程．
【解】 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(
)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5.
∵AB＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
由(
)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式，得Δ>0，
∴m的值为±.
∴所求l的方程为y＝2x±.
[能力提升]
1．如图2 3 2，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|长为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
【导学号：09390038】
图2 3 2
【解析】 连接AF1，
∵|F1F2|＝2c，且△AF2B为等边三角形，
又|OF1|＝|OA|＝|OF2|，∴△AF1F2为直角三角形，
又∵∠AF2F1＝×60°＝30°，
∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.
由双曲线的定义知c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1.
【答案】 ＋1
2．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________．
【解析】 由直线方程x＝a和渐近线方程y＝x联立解得A(a，b)．由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O，可得c＝4，即右焦点F(4,0)．由该圆过A点，可得|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2，所以8a＝16，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12.
故双曲线C的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．已知F1，F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为________．
【解析】 首先根据定义，得AF2＝AF1－2a.
∵AP＋AF2＝AP＋AF1－2a＝AP＋AF1－2，
∴要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值．由图可知，当F1，A，P三点共线时，AP＋AF1＝PF1取得最小值，最小值为，∴AP＋AF2的最小值为－2.
【答案】 －2
4．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【解】 (1)联立方程组
消去y并整理得，(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
则
解得－∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为
(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴AB＝|x1－x2|
＝·
＝.
又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，
∴S△AOB＝·AB·d＝＝，
即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.
∴实数k的值为±或0.
法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.又直线l过点D(0，－1)，
∴S△OAB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1|＋|x2|
＝|x1－x2|＝，
∴(x1－x2)2＝(2)2，即2＋＝8，
解得k＝0或k＝±.
由(1)知上述k的值符合题意，
∴实数k的值为0或±.3.1.3 空间向量基本定理
3.1.4 空间向量的坐标表示
1．了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)
2．理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则．(重点)
3．基向量的选取及应用．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 空间向量基本定理
阅读教材P87～P88例1以上的部分，完成下列问题．
1．空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
2．基底、基向量
在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．
3．正交基底、单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．
4．空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋＋z.
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有________个．
【解析】 如图所示，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
【答案】 3
教材整理2 空间向量的坐标运算
阅读教材P89～P90例1以上的部分，完成下列问题．
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量的加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量的减法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
向量平行
a∥b(a≠0) b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R
已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________.
【解析】 b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)．
【答案】 (2,1，－1)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
基底的判断
(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．
①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．
(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量＝2e1＋e2＋e3，＝e1－e2＋2e3，＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.
【精彩点拨】 (1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，，共面，利用共面向量定理求解．
【解析】 (1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
(2)因为，，不能作为空间向量的一组基底，故，，共面．
由共面向量定理可知，存在实数x，y，使＝x＋y，
即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．
故解得x＝，y＝－，k＝5.
【答案】 (1)③ (2)5
基底的判断
判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
用基底表示空间向量
如图3 1 13所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
图3 1 13
【精彩点拨】
→→
→
→→
【自主解答】 ＝－，∵＝，
∴＝×(＋)＝(b＋c)，
＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋×(＋)
＝a＋(b＋c)，
∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，
即＝－a.
用基底表示向量的技巧
1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果．
3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
[再练一题]
1．如图3 1 14所示，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2).
图3 1 14
【解】 如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，连结AC，AD1，
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.
空间向量的坐标运算
如图3 1 15，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
图3 1 15
【精彩点拨】 根据题意，以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，再用，，表示向量，即可得到结果．
【自主解答】 法一：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A xyz，如图所示．
∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋(＋＋)
＝＋＝e2＋e3，∴＝.
法二：∵P(0,0,1)，C(1,1,0)，
∴N.
又∵M，
∴＝.
1．本题的两个解法出发点不同，法一侧重于用基底表示，然后向坐标转化；法二则是直接利用向量的坐标运算，更简便．
2．运用坐标进行向量运算，实质就是将向量运算转化为数字运算，体现了转化思想的运用．
[再练一题]
2．已知ABCD A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图3 1 16所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．
图3 1 16
【解】 ∵D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，∴＝(2,2,2)，＝(2,2,1)，＝(0,1,0)．
空间向量平行的坐标表示
已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)是否存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【精彩点拨】 根据共线向量定理及空间向量平行的坐标表示可解．
【自主解答】 (1)由条件，易得＝(－2，－1,2)，因为c∥，
故设c＝λ＝λ(－2，－1,2)＝(－2λ，－λ，2λ)，又因为|c|＝3，
∴4λ2＋λ2＋4λ2＝9，解得λ＝±1，故c的坐标为(－2，－1,2)或(2,1，－2)．
(2)a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)．
ka－2b＝(k＋2，k，－4)，假设存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)，即存在实数λ，使ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k,2)＝λ(k＋2，k，－4)，
即
解得λ＝－，k＝0，
所以存在实数k＝0，使(ka＋b)∥(ka－2b)．
两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，②依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值.
[再练一题]
3．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行.
【导学号：09390072】
【解】 ∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，
∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，
5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．
∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，
∴＝＝，
∴λ＝0，μ∈R，
即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行．
[探究共研型]
空间向量的坐标运算
探究1 如何建立空间直角坐标系？
【提示】 (1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．
(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手系建系，如图所示．
探究2 如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？
【提示】 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：
(1)建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求出相关点的坐标；
(3)写出向量的坐标；
(4)结合公式进行论证、计算；
(5)转化为几何结论．
如图3 1 17，在长方体OAEB O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．
求证：PQ∥RS.
图3 1 17
【精彩点拨】 以O为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定，的坐标，利用向量共线证明．
【自主解答】 如图，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．
∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，
Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，
∴P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.
于是＝＝，∴∥.
∵R PQ，∴PQ∥RS.
[再练一题]
4．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．
【证明】 ∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，
∴＝＝，
∴与共线，即AB∥CD.
又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
∴≠≠，
∴与不平行．
∴四边形ABCD为梯形．
[构建·体系]
1．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝________.
【解析】 ka－b＝k(1,2,3)－(－2,2，－2)＝(k＋2,2k－2,3k＋2)，a＋b＝(－1,4,1)．∵(ka－b)∥(a＋b)，
∴＝＝3k＋2，解得k＝－1.
【答案】 －1
2．已知向量a＝(－1,2,1)，a＋b＝(0,1,2)，则b＝______.
【解析】 b＝a＋b－a＝(0,1,2)－(－1,2,1)＝(1，－1,1)．
【答案】 (1，－1,1)
3．已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝平行，则λ等于________.
【导学号：09390073】
【解析】 由题意知，存在实数k，使b＝ka，即＝k(2，－3,5)，即
解得k＝，λ＝－.
【答案】 －
4．在直三棱柱ABO A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3 1 18所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为________，________.
图3 1 18
【解析】 由题意得，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(0,2,4)，则D(2,1,4)，∴＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)．
【答案】 (－2，－1，－4) (－4,2，－4)
5．如图3 1 19所示，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1，＝－，＝.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3 1 19
【解】 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－(＋)＋＋(－)
＝－a－b＋c＋b－c
＝－a＋b＋c.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
【解析】 由{a，b，c}是空间的一个基底知，a，b，c不共面．
由空间向量基本定理得x＝y＝z＝0.
【答案】 x＝y＝z＝0
2．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.
【解析】 b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】 (2，－4,2)
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的________条件．
【解析】 设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，显然有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性．
【答案】 充分不必要
4．若{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则向量a，b，c中与m，n可以构成空间向量另一个基底的向量是________．
【解析】 显然a或b均与m，n共面，c与m，n不共面，故为c.
【答案】 c
5．如图3 1 20所示，设O为 ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＝_________，y＝________.
图3 1 20
【解析】 ∵＝－＝－＝(＋)－＝＋－＝＋(－)－＝＋－，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
6．已知a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a∥b，则x＝________，y＝________.
【解析】 ∵a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，又∵a∥b，显然y≠0，∴＝＝，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
7．底面为正方形的四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是BC和PD的中点，若PA＝AB＝2，则向量的坐标为________．
【解析】 建立空间直角坐标系，如图所示．
则E(2,1,0)，F(0,1,1)，∴＝(－2,0,1)．
【答案】 (－2,0,1)(答案不惟一)
8．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，点M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量为________．
图3 1 21
【解析】 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋(＋)－
＝＋＋.
【答案】 ＋＋
二、解答题
9．如图3 1 22所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．
图3 1 22
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．
【解】 (1)∵＋＝，
∴－－
＝－(＋)
＝－＝－＝.
(2)∵＝＋
＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－.
即x＝，y＝－，z＝－.
10．如图3 1 23，在长方体ABCD A1B1C1D1中，DA＝DC＝4，DD1＝3，点P是线段BD1上一动点，E是BC的中点，当点P在什么位置时，PE∥A1B
图3 1 23
【解】 以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,3)．
∵E为BC的中点，
∴E(2,4,0)．
∴＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，
＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．
设＝λ，则＝＋＝＋λ.
∵＝(2,0,0)，λ＝(－4λ，－4λ，3λ)，
∴＝(2－4λ，－4λ，3λ)．
由PE∥A1B，得∥，
∴
∴λ＝.
此时点P为BD1的中点．
故当点P为BD1的中点时，PE∥A1B.
[能力提升]
1．有以下命题：
①如果向量a，b与任何向量均不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；
③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底．
其中正确的命题是________.
【导学号：09390074】
【解析】 ①错误，当a，b共线时，才可与任何向量不能构成空间向量的一组基底；②由于，，不构成空间的一个基底，故，，共面，即O，A，B，C四点共面，即②正确；③如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a＋b＝，a－b＝，显然，，不共面，也是基底，③正确．
【答案】 ②③
2．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点坐标为________．
【解析】 设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
∵＝(－2，－6，－2)，
∴＝(－2，－6，－2)＝，
∴解得
【答案】
3．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
【解析】 设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，
则p＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又p＝a＋2b＋3c，
∴∴x＝，y＝－，z＝3.
∴p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为.
【答案】
4．如图3 1 24所示，M，N分别是四面体O ABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.
图3 1 24
【解】 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋×(＋)
＝＋＋.2.2.2 椭圆的几何性质
1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点)
2．掌握椭圆的离心率的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量．(难点)
3．会用椭圆及性质处理一些实际问题．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 椭圆的简单几何性质
阅读教材P34，完成下列问题.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
F1F2＝2c
对称轴
x轴，y轴
对称中心
(0,0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.( )
(3)椭圆的长轴，短轴就是x轴和y轴．( )
(4)椭圆＋y2＝1中，变量x的范围是[－2,2]．( )
【解析】 (1)＋＝1(a>b>0)的长轴长等于2a，故错误；
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，故正确；
(3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误；
(4)椭圆＋y2＝1中，a＝，故x的范围是[－，]，故错误．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
教材整理2 离心率
阅读教材P34～P35例1以上部分，完成下列问题．
1．定义：焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率．
2．范围：e＝∈(0,1)．
3．作用：
当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；
当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．
填空：
(1)椭圆＋＝1的离心率是________．
(2)两个椭圆＋y2＝1和＋＝1中，更接近于圆的是________．
(3)椭圆＋＝1(a>2)的离心率e＝，则实数a的值为________．
【解析】 (1)＋＝1中，a＝2，c＝＝1，所以离心率e＝.
(2)椭圆＋y2＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1>e2，所以椭圆＋＝1更接近于圆．
(3)因为a>2，所以e＝＝，解得a＝2.
【答案】 (1) (2)＋＝1 (3)2
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
由椭圆的方程求其几何性质
(1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________．
(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．
【精彩点拨】 分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．
【自主解答】 (1)把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得＋＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝，故2c＝2.
【答案】 2
(2)椭圆的方程可化为
x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，
∴c＝＝＝4，
∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.
∵椭圆的焦点在y轴上，
故其焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，
顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，
B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.
研究椭圆几何性质的方法
求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
[再练一题]
1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标.
【导学号：09390025】
【解】 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
因为m－＝>0，所以m>，所以焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得e＝＝＝，所以m＝1.
所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.
所以a＝1，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
由椭圆的几何性质求方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
【精彩点拨】 →→→
【自主解答】 (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，
∴a＝3.
又e＝＝，∴c＝2.
∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知焦点在x轴上，
故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
由椭圆的几何性质求方程的方法步骤
1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
[再练一题]
2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求该椭圆的标准方程．
【解】 法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，则设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
法二：设椭圆的标准方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意得或
解得或
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
求离心率
(1)(2016·安阳高二检测)如图2 2 2，已知F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，
P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，
OP∥AB(O为原点),
则该椭圆的离心率是______．
图2 2 2
(2)已知椭圆C的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B，∠OAB＝30°，则椭圆的离心率为________．
【精彩点拨】 (1)利用OP∥AB找到a，c或a，b的关系，可求离心率．
(2)在直角三角形OAB中，由∠OAB＝30°，可得a，b的关系，利用这个a，b的关系可求离心率．
【自主解答】 (1)由椭圆可知F(－c,0)，
故得P，
∴kOP＝－，又B(0，b)，A(a,0)，∴kAB＝－.
∵OP∥AB，∴－＝－，得b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，即e2＝＝，∴e＝.
(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x轴上，由条件得∠OAB＝30°，OA＝a，OB＝b，
∴＝tan
30°＝，
∴e2＝＝1－＝1－＝，
∴e＝.
【答案】 (1) (2)
求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
1 若已知a，c，则直接代入e＝求解；
2 若已知a，b，则由e＝求解；
3 若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可.
[再练一题]
3．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率.
【导学号：09390026】
【解】 如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥BF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c.
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，∴＝－1.
∴椭圆的离心率e＝－1.
[探究共研型]
直线与椭圆的位置关系
探究1 直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断吗？如何判断直线与椭圆的位置关系？
【提示】 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．
(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．
探究2 直线与椭圆相交时，若交点为A，B，则线段AB是椭圆的弦，如何计算弦AB的长呢？
【提示】 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．
设直线y＝kx＋m与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长公式为：
|AB|＝|x1－x2|
＝·，
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
探究3 与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆＋＝1(a>b>0)的弦AB的中点坐标为(x0，y0)，能否确定直线AB的斜率？
【提示】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以(x－x)＋(y－y)＝0，
变形得＝－·＝－·，
即kAB＝－.
这种方法叫平方差法，也叫点差法．
已知椭圆＋y2＝1.
(1)当m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点？
(2)当m＝2时，求直线y＝x＋m被椭圆截得的线段长．
【精彩点拨】 →→→→
【自主解答】 (1)联立消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0.(
)
∵Δ＝64m2－80(m2－1)>0，∴－∴当－(2)当m＝2时，方程(
)化为5x2＋16x＋12＝0，
设线段端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得
x1＋x2＝－，x1x2＝，又k＝1，
∴AB＝·＝.
直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式
1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断．
2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB＝|x1－x2|＝·进行求解，也可利用AB＝|y1－y2|＝·
进行求解．
[再练一题]
4.如图2 2 3，已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M(1,1)，求直线AB的方程．
图2 2 3
【解】 设通过点M(1,1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0.
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则＝＝1，解得k＝－.
故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，
即4x＋9y－13＝0.
[构建·体系]
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是________．
【解析】 6x2＋y2＝6可变形为＋x2＝1，长轴在y轴上，易知a＝，所以端点坐标为(0，±)．
【答案】 (0，±)
2．椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．
【解析】 由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．椭圆＋y2＝1被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为________.
【导学号：09390027】
【解析】 右焦点为(，0)，把x＝代入得＋y2＝1，解得y＝±，所以过焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长为×2＝1.
【答案】 1
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
【解析】 如图，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴∠PF2A＝60°，PF2＝F1F2＝2c，∴AF2＝c，
∴2c＝a，∴e＝.
【答案】
5．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
【解】 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，
即k＝－，∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若椭圆＋＝1(0＜a＜36)的焦距为4，则a＝________.
【解析】 ∵0＜a＜36，∴36－a＝22，∴a＝32.
【答案】 32
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________．
【解析】 方程可化为＋＝1，易知a＝5，b＝3，c＝4，
∴长轴长为10，短轴长为6，离心率为.
【答案】 10,6，
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则a2＝________，b2＝________.
【解析】 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
【答案】 25 9
4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
【解析】 由题意得2a＝12，＝，所以a＝6，c＝3，b＝3.
故椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．椭圆＋＝1的离心率为，则实数m的值为________.
【导学号：09390028】
【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，且m＞4，则e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝；
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，且0＜m＜4，
则e2＝＝1－＝1－＝，∴m＝3.
【答案】 3或
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(－a，0)，B(0，b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为________．
【解析】 由题意知直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.
左焦点为F(－c,0)，则＝.
∴(a－c)＝，
∴7(a－c)2＝a2＋b2＝a2＋a2－c2＝2a2－c2，即5a2－14ac＋8c2＝0，
∴8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝.
又∵0【答案】
7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5
h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1
700
km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200
km，月球的半径约是1
800
km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．
图2 2 4
【解析】 可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得
2a＝1
700＋2×1
800＋200，
∴a＝2
750.
又a＋2c＝1
700＋1
800，∴c＝375.
∴e＝＝＝.
【答案】
8．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，则弦长AB＝________.
【解析】 椭圆左焦点为(－，0)，
∴直线方程为y＝(x＋)，
由得5x2＋4x－8＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴弦长AB＝＝.
【答案】
二、解答题
9．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程．
【解】 令x＝－c，代入＋＝1(a>b>0)，
得y2＝b2＝，∴y＝±.
设P，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)．
∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－，
∴b＝c.而a2＝b2＋c2＝2c2，∴a＝c，∴e＝＝.
又∵a－c＝－，解得a＝，c＝，∴b＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
【解】 (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.
所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
所以y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
[能力提升]
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．
【解析】 根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以AF1＋AB＋BF1＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
2．若A为椭圆x2＋4y2＝4的右顶点，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________.
【导学号：09390029】
【解析】 由题意得，该三角形的两直角边关于x轴对称，且其中一边在过点A(2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y＝x－2，代入x2＋4y2＝4，得5x2－16x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝.把x＝代入椭圆方程，得y＝±，∴三角形的面积S＝××＝.
【答案】
3．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若【解析】 因为又因为b2＝a2－c2，所以＝＝＝＝1－e，所以<1－e<，解得【答案】
4．(2016·绍兴高二检测)如图2 2 5，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
图2 2 5
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
【解】 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，
所以e＝
.
(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)，
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B，
所以|AB|＝·＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，
解得a＝10，b＝5.
法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos
60°，可得t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5.1.1.2 充分条件和必要条件
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．(重点)
2．会判断某些简单命题的条件关系．(难点)
3．探求或证明命题的充要条件．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 符号 与D的含义
阅读教材P7上半部分，完成下列问题.
命题真假
“若p则q”为真
“若p则q”为假
表示方法
p q
pDq
读法
p推出q
p不能推出q
用“ ”、“D”填空：
(1)x>2________x≥1；
(2)a>b________ac>bc；
(3)ac2>bc2________a>b；
(4)a，b，c成等差数列________2b＝a＋c.
【解析】 (1)当x>2时，一定有x≥1，故填 ；
(2)当c≤0时，a>b不能推出ac>bc，故填D；
(3)因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故填 ；
(4)a，b，c成等差数列，则b－a＝c－b即2b＝a＋c，故填 .
【答案】 (1) (2)D (3) (4)
教材整理2 充分、必要条件的含义
阅读教材P7中间部分，完成下列问题.
条件关系
含义
p是q的充分条件(q是p的必要条件)
p q
p是q的充要条件
p q
p是q的充分不必要条件
p q，且qDp
p是q的必要不充分条件
pDq，且q p
p是q的既不充分又不必要条件
pDq，且qDp
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果p是q的充分条件，那么命题“若p则q”为真．( )
(2)命题“若p则q”为假，记作“q p”．( )
(3)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
(4)若“pDq”，则q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．
(1)“a2＋b2＝0”是“a＝b＝0”的________条件．
(2)(2016·武汉高二检测)两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．
(3)“a2>0”是“a>0”的________条件．
(4)“sin
α>sin
β”是“α>β”的________条件．
【解析】 (1)a2＋b2＝0成立时，当且仅当a＝b＝0.故应填“充要”．
(2)因为两个三角形全等 两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要”．
(3)因为a2＞0Da＞0，如(－2)2＞0，但－2＞0不成立；又a＞0 a2＞0，所以“a2＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．
(4)因为y＝sin
x在不同区间的单调性是不同的，故“sin
α>sin
β”是“α>β”的既不充分也不必要条件．
【答案】 (1)充要 (2)充分不必要 (3)必要不充分 (4)既不充分也不必要
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
充分、必要条件的判定
(1)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的________条件；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin
A≤sin
B”的________条件；
(3)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件；
(4)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的________条件．
【精彩点拨】 分清条件和结论，利用定义进行判断．
【自主解答】 (1)当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．
(2)设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，
∵sin
A≤sin
B，∴2Rsin
A≤2Rsin
B，∴a≤b.
同理也可以由a≤b推出sin
A≤sin
B．所以“a≤b”是“sin
A≤sin
B”的充要条件．
(3)若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为菱形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
(4)ln(x＋1)<0 0<1＋x<1 －1【答案】 (1)既不充分也不必要 (2)充要 (3)充分不必要 (4)必要不充分
1．判断充分条件和必要条件的一般步骤
(1)判定“若p则q”的真假；
(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
2．判断充分条件和必要条件常用的方法
(1)定义法：分清条件和结论，再根据定义；
(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．
[再练一题]
1．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________(填序号).
【导学号：09390005】
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．
【解析】 ①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根 f(x)＝ax2＋bx＋c有零点；
②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0；
③是错误的，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；
④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根 函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
【答案】 ①②④
充分、必要条件的探求
已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件，并证明．
【精彩点拨】 根据数列的前n项和Sn与数列通项an的关系，先求出数列的通项an，根据数列{an}为等比数列，探求q所满足的条件，同时要注意充分性的证明．
【自主解答】 a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
∵p≠0，p≠1，∴＝p.
若{an}为等比数列，则＝＝p，
∴＝p，
∵p≠0，∴p－1＝p＋q，
∴q＝－1.∴{an}为等比数列的必要条件是q＝－1.
下面证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件．
当q＝－1时，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，
∴a1＝S1＝p－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1)，
∴an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)，
＝＝p为常数，
∴q＝－1时，数列{an}为等比数列．即数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1.
1．充分、必要条件的探求方法
(1)探求条件时，一定要注意题目的问法，不要混淆充分条件与必要条件．
(2)“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是两个不同的命题，前者说明A B，后者说明B A，对于必要条件也要类似区分．
2．探求充要条件一般有两种方法
(1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．
(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．
[再练一题]
2．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的根的充要条件.
【导学号：09390006】
【解】 设方程的两根分别为x1，x2，则x1，x2都大于1的充要条件是
整理得
由根与系数的关系，得
解得k<－2.
所以所求的充要条件是k∈(－∞，－2)．
[探究共研型]
充分、必要条件的应用
探究1 若集合A?B，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？“x∈B”是“x∈A”的什么条件？
【提示】 因为A?B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．
探究2 对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？
【提示】 当AB且BA时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．
探究3 集合A＝{x|x≥a}，B＝{x≥2}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗？若集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？
【提示】 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝2；当A是B的充分不必要条件时，A?B，这时a的值不确定，实数a的范围是a>2.
已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】 先利用不等式的解法确定命题p，q成立的条件，再根据p是q的充分不必要条件确定a的不等式组，求a的范围．
【自主解答】 令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}．由已知p q且qDp，得M?N，
∴或
解得≤a<2或则实数a的取值范围是.
根据充分条件或必要条件求参数范围
1．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}．
2．若p是q的充分不必要条件，则M?N，
若p是q的必要不充分条件，则N?M，
若p是q的充要条件，则M＝N.
3．根据集合的关系列不等式(组)．
4．求参数范围．
[再练一题]
3．已知(x＋1)(2－x)≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1＜0的解为条件q.
若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围.
【解】 设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1＜x＜m＋1}，
若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，
所以
m≥1.
[构建·体系]
1．用“ ”、“D”、“ ”填空．
(1)x>1________x>0；
(2)a>b________a2>b2；
(3)a2＋b2＝2ab________a＝b.
【解析】 (1)x>1>0，故填“ ”；
(2)因为2>－3 4<9，故填“D”；
(3)a2＋b2＝2ab (a－b)2＝0 a－b＝0 a＝b，故填“ ”．
【答案】 (1) (2)D (3)
2．(2016·冀州高二检测)p：|x|＞2是q：x＜－2的________条件．
【解析】 解不等式|x|＞2，得x＞2或x＜－2，故pDq，且q p，所以p是q的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．
【解析】 由(2x－1)x＝0，得x＝或0，所以应填“必要不充分”．
【答案】 必要不充分
4．不等式ax2＋2x＋a＞0恒成立的充要条件是________．
【解析】 据题意有解得a＞1，所以不等式ax2＋2x＋a＞0恒成立的充要条件是a＞1.
【答案】 a＞1
5．指出下列各题中，命题p是命题q的什么条件．(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种)
(1)p：|x＋1|≤4，q：x2＜5x－6；
(2)p：直线l上不同的两点A，B到平面α的距离相等，q:
l∥α；
(3)已知平面α，直线l，直线m∥α，p：l∥α，q：l∥m.
【解】 (1)解不等式|x＋1|≤4，得－5≤x≤3，解不等式x2＜5x－6，得2＜x＜3，所以pDq，且q p，故p是q的必要不充分条件．
(2)当直线l与平面α相交时，直线l存在两个不重合的点A，B到平面α的距离相等，所以pDq，且q p，故p是q的必要不充分条件．
(3)若l∥α，m∥α，直线l与m可能异面；若l∥m，m∥α，可能有l α，所以pDq，且qDp，故p是q的既不充分也不必要条件．
我还有这些不足：
(1)
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我的课下提升方案：
(1)
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的________________条件．
【解析】 φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin
2x过点(0,0)．而当y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ＝kπ(k∈Z)．故填充分不必要．
【答案】 充分不必要
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的________条件．
【解析】 a＝3时，A＝{1,3} {1,2,3}，反之不成立．故“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
3．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①c＝0时，ac＝bcDa＝b，错；②2>－3时，22<(－3)2，故a>bDa2>b2，错；③x<3<5，故a<3 a<5，对；④a＋5是无理数 a是无理数，对．
【答案】 ③④
4．已知α，β是不同的两个平面，直线a α，直线b β，a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的________条件．
【解析】 α∥β a，b无公共点，反之不成立．故p是q的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
5．(2016·吉林高二检测)数列{an}中，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的________条件．
【解析】 因为“a1＜a2＜a3”D
“数列{an}是递增数列”，且“数列{an}是递增数列” “a1＜a2＜a3”，故“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分条件
6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________(填序号).
【导学号：09390007】
①b≥0；②b＞0；③b＜0；④b≤0.
【解析】 ∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴根据二次函数的性质得出：－≤0，b≥0，∴函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是b≥0，故填①.
【答案】 ①
7．如果x，y是实数，那么“x≠y是“cos
x≠cos
y”的________条件．
【解析】 设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos
x≠cos
y}，则集合A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，集合B的补集D＝{(x，y)|cos
x＝cos
y}．显然C?D，所以B?A，于是“x≠y”是“cos
x≠cos
y”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
8．若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意可知p：－2≤x≤2，q：x≤a.p是q的充分不必要条件，∴a≥2.
【答案】 a≥2
二、解答题
9．若方程x2－mx＋2m＝0有两根，求其中一根大于3，一根小于3的充要条件．
【解】 方程x2－mx＋2m＝0对应的二次函数f(x)＝x2－mx＋2m，
则方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3，一根小于3的充要条件是f(3)<0，即32－3m＋2m<0，
解得m>9.
故其中一根大于3，一根小于3的充要条件是(9，＋∞)．
10．已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】 解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，解不等式|x－3|(a>0)，得－a＋34.所以实数a的取值范围是(4，＋∞)．
[能力提升]
1．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．
【解析】 (1)∵a＝0，∴l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，∴l1∥l2，即a＝0 l1∥l2.
(2)若l1∥l2，当a≠0时，l1：y＝x－，l2：y＝x－.
令＝，方程无解．当a＝0时，l1：x－1＝0，l2：2x－1＝0，显然l1∥l2.∴l1∥l2 a＝0.
【答案】 充要
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件.
【导学号：09390008】
【解析】 若函数f(x)在[0,1]上是增函数，则根据f(x)是偶函数可知f(x)在[－1,0]上是减函数，结合f(x)的周期为2可知f(x)在[3,4]上是减函数．反过来，若函数f(x)为[3,4]上的减函数，则根据f(x)的周期为2，可知f(x)为[－1,0]上的减函数．因此“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．
【答案】 充要
3．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件．
【解析】 ①当k>4，b<5时，一次函数y＝(k－4)x＋b－5的大致图象如图．
②若一次函数y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，当x＝0时，y＝b－5<0，∴b<5.
当y＝0时，x＝>0.∵b<5，∴k>4.
故“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋(b－5)的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件．
【答案】 充要
4．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
【证明】 必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0，故a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
1．掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点)
2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点)
3．抛物线标准方程、准线、焦点的应用．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 抛物线的标准方程
阅读教材P51例1以上的部分，完成下列问题.
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
F
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝
x2＝2py(p>0)
F
y＝－
x2＝－2py(p>0)
F
y＝
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )
(3)抛物线的方程都是二次函数．( )
(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负决定．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．若抛物线的方程为x＝2ay2(a＞0)，则焦点到准线的距离p＝________.
【导学号：09390039】
【解析】 把抛物线方程化为标准形式：y2＝x，故p＝.
【答案】
3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．
【解析】 ∵＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.
【答案】 x2＝－12y
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求抛物线的焦点及准线
(1)抛物线2y2－3x＝0的焦点坐标是__________________________，
准线方程是________．
(2)若抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________．
【自主解答】 (1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝x，
∴2p＝，p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是x＝－.
(2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝y，
当a>0时，则2p＝，解得p＝，＝，∴焦点坐标是，准线方程是y＝－.
当a<0时，则2p＝－，＝－.
∴焦点坐标是，准线方程是y＝－，
综上，焦点坐标是，准线方程是y＝－.
【答案】 (1) x＝－
(2) y＝－
求抛物线的焦点及准线步骤
1．把解析式化为抛物线标准方程形式．
2．明确抛物线开口方向．
3．求出抛物线标准方程中p的值．
4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．
[再练一题]
1．求抛物线y＝－mx2(m>0)的焦点坐标和准线方程．
【解】 抛物线y＝－mx2(m>0)的标准方程是x2＝－y.
∵m>0，∴2p＝，＝，焦点坐标是，准线方程是y＝.
求抛物线的标准方程
根据下列条件确定抛物线的标准方程．
(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；
(2)过点(4，－8)；
(3)焦点在x－2y－4＝0上．
【精彩点拨】 (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．
【自主解答】 (1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点，所以1＝m·(－3)，即m＝－，所以所求抛物线方程为x2＝－y.
(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8)
的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.
法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
(3)由得由得
所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.
求抛物线的标准方程
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程．
(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程．
(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值．
①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2px(p>0)，或y2＝－2px(p>0)，或x2＝2py(p>0)，或x2＝－2py(p>0)，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程．
②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠0)；
当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠0)，再根据条件求a.
[再练一题]
2．以双曲线16x2－9y2＝144的左顶点为焦点的抛物线方程是________.
【导学号：09390040】
【解析】 双曲线16x2－9y2＝144的标准方程是－＝1，
左顶点是(－3,0)，由题意设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
∴－＝－3，∴p＝6，抛物线的标准方程是y2＝－12x.
【答案】 y2＝－12x
抛物线的标准方程及定义的应用
(1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．
(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．
【精彩点拨】 (1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PB＋PF≥BF求解．(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解．
【自主解答】 (1)∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝＝.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为，即PA＋PF的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
抛物线定义在求最值中的应用
1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．
[再练一题]
3．已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值．
【解】 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN＝(AC＋BD)．
由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，
∴MN＝(AF＋BF)≥AB＝.
设点M的横坐标为x，
MN＝x＋，则x≥－＝.
当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为.
[探究共研型]
抛物线的标准方程
探究1 四种形式的标准方程的异同点是什么？
【提示】 对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点有：(1)过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于顶点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝(p>0)；(4)焦点到准线的距离均为p.
不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．
探究2 通过抛物线的标准方程，如何判断焦点位置及开口方向？
【提示】 在抛物线的标准方程中，一次项起了关键作用．
(1)如果一次项含有x，则说明抛物线的焦点在x轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左；
(2)如果一次项含有y，则说明抛物线的焦点在y轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下．
探究3 我们知道，二次函数y＝ax2的图象是抛物线，如何确定它的焦点和准线？
【提示】 焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝2py，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．
【精彩点拨】 设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，或根据点M，F在y轴的同侧或异侧分类讨论．
【自主解答】 法一：设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，
＝|x|＋2，化简得y2＝4x＋4|x|＝
∴动点M的轨迹方程是y＝0(x<0)或y2＝8x(x≥0)．
法二：(1)当x≥0时，∵动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，
∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝4，
∴抛物线的方程为y2＝8x(x≥0)．
(2)当x<0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴距离比它到(2,0)的距离小于2，∴动点M的轨迹方程y＝0(x<0)．
综上，动点M的轨迹方程为y＝0(x<0)和y2＝8x(x≥0)．
[构建·体系]
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是________．
【解析】 由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________.
【导学号：09390041】
【解析】 抛物线的标准方程为x2＝y.
则a＜0且2＝－，
得a＝－.
【答案】 －
3．若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
【解析】 椭圆的右焦点为(2,0)，故p＝.
【答案】
4．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离为________．
【解析】 ∵点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，∴点P到焦点F的距离等于点P到准线x＝－1的距离．∵点P到准线x＝－1的距离为3，∴点P到焦点F的距离为3.
【答案】 3
5．已知抛物线的方程为y2＝－8x.
(1)求它的焦点坐标和准线方程；
(2)若该抛物线上一点到y轴的距离为5，求它到抛物线的焦点的距离；
(3)该抛物线上的点M到焦点的距离为4，求点M的坐标．
【解】 (1)焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
(2)设M(x0，y0)是抛物线y2＝－8x上一点，F是它的焦点，由抛物线定义知，|MF|＝x0＋＝5＋2＝7.
∴它到抛物线焦点的距离为7.
(3)∵M到焦点的距离为4，
∴M到准线的距离为4，即M到y轴的距离为2，M的横坐标为－2.∴M的坐标为(－2，±4)．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是________．
【解析】 ∵抛物线y＝2x2的标准方程是x2＝y，∴2p＝，p＝，＝，
∴焦点坐标是.
【答案】
2．抛物线y2＝10x的焦点到准线的距离是________．
【解析】 ∵2p＝10，p＝5，∴焦点到准线的距离为5.
【答案】 5
3．以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且准线经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．
【解析】 若抛物线的准线为x＝－2，则抛物线的方程为y2＝8x；若抛物线的准线为y＝－4，则抛物线的方程为x2＝16y.
【答案】 y2＝8x或x2＝16y
4．已知抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的坐标是________.
【导学号：09390042】
【解析】 设M(x0，y0)，把抛物线y＝4x2化为标准方程，得x2＝y.
则其准线方程为y＝－，由抛物线的定义，可知y0－＝1，得y0＝，代入抛物线的方程，得x＝×＝，解得x0＝±，则M的坐标为.
【答案】
5．抛物线x2＝2y上的点M到其焦点F的距离MF＝，则点M的坐标是________．
【解析】 设点M(x，y)，抛物线准线为y＝－，由抛物线定义，
y－＝，y＝2，所以x2＝2y＝4，x＝±2，所以点M的坐标为(±2,2)．
【答案】 (±2,2)
6．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
【解析】 如图，由抛物线的定义知，AM＋BN＝AF＋BF＝3，CD＝，所以中点C的横坐标为－＝，即C到y轴的距离为.
【答案】
7．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
【解析】 设动圆半径为r，动圆圆心O′(x，y)到点(2,0)的距离为r＋1.O′到直线x＝－1的距离为r，∴O′到(2,0)的距离与O′到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
【解析】 由题意可求出线段OA的垂直平分线交x轴于点，此点为抛物线的焦点，故准线方程为x＝－.
【答案】 x＝－
二、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．
【解】 法一：由题意可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，
因为点M在抛物线上，且MF＝5，所以有
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m的值为±2.
法二：由题可设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点为F，准线方程为x＝，
根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离为5，
则3＋＝5，
∴p＝4，
∴抛物线方程为y2＝－8x.
又点M(－3，m)在抛物线上，
∴m2＝24，∴m＝±2.
10．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】 由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
[能力提升]
1．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.
【导学号：09390043】
【解析】 圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知，只要FM>4即可．
根据抛物线定义，FM＝y0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2.故y0的取值范围是(2，＋∞)．
【答案】 (2，＋∞)
2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．
【解析】 因为抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为，所以直线l的方程为y＝2，它与y轴的交点为A，则△OAF的面积为·＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
【答案】 y2＝8x或y2＝－8x
3．已知点P是抛物线y2＝4x上的点，设点P到抛物线准线的距离为d1，到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．
【解析】 由抛物线的定义得P到抛物线准线的距离为d1＝PF，d1＋d2的最小值即为抛物线的焦点F(1,0)到圆(x＋3)2＋(y－3)2＝1上的一动点Q的距离的最小值，最小值为F与圆心的距离减半径，即为4，故填4.
【答案】 4
4．如图2 4 1所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
图2 4 1
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？(精确到0.1米)
【解】 如图所示：
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以p＝.
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.1米.1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
1．了解全称量词与存在量词的意义，能用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)
2．能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)
3．了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 全称量词和全称命题
阅读教材P14内容，完成下列问题．
全称量词
“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词
符号表示
全称命题
含有全称量词的命题称为全称命题
符号表示
x∈M，p(x)
把下列命题中是全称命题的序号填写在横线上________．
①指数函数都是单调函数；
② x∈R，log2x>0；
③负数的平方是正数；
④平行四边形的对边互相平行．
【解析】 ①中含有“都”；②中含有“ ”；③④中省略了全称量词“都”，所以都是全称命题．
【答案】 ①②③④
教材整理2 存在量词和存在性命题
阅读教材P14内容，完成下列问题．
存在量词
“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词
符号表示
存在性命题
含有存在量词的命题称为存在性命题
符号表示
x∈M，p(x)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
(2)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( )
(3)命题“正方形的四条边相等”中没有全称量词，因此不是全称命题．( )
(4)“至少有一个偶数是质数”是存在性命题．( )
【解析】 根据定义可知(1)是正确的，(2)是错误的，(3)中省略全称量词“所有的”，所以是全称命题，(4)是正确的．
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
教材整理3 全称命题和存在性命题的否定
阅读教材P16例1以上部分，完成下列问题．
把下列命题进行否定，并写在横线上．
(1)p：有些三角形是直角三角形．_____________________________________
(2)q：所有的质数都是奇数．________________________________________
(3)r：所有的人都睡觉．_____________________________________________
(4)s：有些实数的相反数比本身大．___________________________________
【解析】 全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
【答案】 (1)所有的三角形都不是直角三角形
(2)有些质数不是奇数
(3)有的人不睡觉
(4)所有实数的相反数都不比本身大
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
全称命题和存在性命题的辨析
判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)有一个实数α，使得tan
α无意义；
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交；
(3)直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)在y轴上有截距；
(4)棱锥的底面多边形中有正多边形；
(5)直线x＝2的斜率不存在．
【精彩点拨】 利用全称命题和存在性命题的定义进行判断．
【自主解答】 (1)命题中含有存在量词“有一个”，因此是存在性命题．
(2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称命题．
(3)由于直线y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)表示的是一系列直线，因此该命题是全称命题．
(4)命题用量词表示为：存在一些棱锥，它们的底面多边形是正多边形，因此是存在性命题．
(5)“直线x＝2的斜率不存在”表明存在一直线x＝2斜率不存在，因此是存在性命题．
1．判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词，如例(1)和(2)．
2．有些全称命题中并不含有全称量词，存在性命题中并不存在存在量词，这时我们要根据命题涉及的定义去判断．
[再练一题]
1．判断下列命题是全称命题还是存在性命题．
(1)若a>0且a≠1，则对任意x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1x1x2；
(3)存在实数T，使得|sin
(x＋T)|＝|sin
x|；
(4)存在实数x，使得x2＋1<0.
【解】 (1)、(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)、(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．
全称命题和存在性命题真假的判断
判断下列命题的真假．
(1)有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0；
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)对任意m∈Z且m为偶数，则2m＋为偶数．
【精彩点拨】 先判断出是全称命题还是存在性命题，再利用逻辑分析或举例子作出真假判断．
【自主解答】 (1)由于 x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在性命题“有一个实数x0，使x＋2x0＋3＝0”是假命题．
(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．
(3)是真命题．因为m∈Z且m为偶数，所以(－1)m＝1，所以2m＋＝2m，为偶数．
全称命题、存在性命题真假性的判断方法
1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
2．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，能找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题．
[再练一题]
2．判断以下命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假.
【导学号：09390012】
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一解；
(4)存在实数x，使＝2.
【解】 (1)存在性命题，因为sin2α＋cos2α＝1，所以是假命题．
(2)全称命题，因为垂直于x轴的直线没有斜率，所以是假命题．
(3)全称命题，因为当a＝b＝0时有无穷解，当a＝0且b≠0时无解，故为假命题．
(4)存在性命题，∵＝≤，
∴＝2无解，故为假命题．
含有一个量词的命题的否定
(1)判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
①对任意x∈R，x3－x2＋1≤0；
②所有能被5整除的整数都是奇数；
③对任意x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
(2)写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
①有些实数的绝对值是正数；
②某些平行四边形是菱形；
③ x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.
【精彩点拨】 根据(1)(2)题目要求，顺序不同．
(1)→→→
(2)→→→
【自主解答】 (1)①当x＝2时，23－22＋1＝5>0，故①是假命题．
命题的否定：存在x∈R，x3－x2＋1>0.
②10能被5整除，10是偶数，故②是假命题．
命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．
③有理数经过加、减、乘法运算后仍是有理数，故③是真命题．
命题的否定：存在x∈Q，x2＋x＋1不是有理数．
(2)①命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”．
由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
②命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
③命题的否定是：“ x，y∈Z，x＋y≠3”．
因为当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
1．对全称命题否定的步骤
第一步改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
第二步否定性质：原命题中的“p(x)成立”改为“非p(x)成立”．
2．对存在性命题否定的步骤
第一步改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
第二步否定性质：原命题中的“p(x)成立”改为“非p(x)成立”．
3．常见词语的否定
原词
否定词
原词
否定词
原词
否定词
等于
不等于
是
不是
至少一个
一个也没有
大于
不大于
都是
不都是
任意
某个
小于
不小于
至多一个
至少两个
所有的
某些
[再练一题]
3．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：所有的方程都有实数解；
(2)q： x∈R,4x2－4x＋1≥0；
(3)r： x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(4)s：某些平行四边形是菱形．
【解】 (1)非p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．
(2)非q： x0∈R，使4x－4x0＋1<0，假命题．
这里由于 x∈R,4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，
所以非q是假命题．
(3)非r： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
(4)非s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．
[探究共研型]
含参数的全称命题和存在性命题
探究1 如何理解全称命题“对 x∈R，ax2＋2ax＋1>0”是真命题，怎样解决？参数a有范围吗？
【提示】 意思是ax2＋2ax＋1>0恒成立，可转化为a>0且Δ<0来解决．即或a＝0，解得0≤a<4.故参数a的取值范围是[0,4)．
探究2 有关全称命题的问题中常出现恒成立字眼，怎么解决这种问题？
【提示】 在恒成立的不等式中，常经过变形分离出参数，转化为函数的最值问题．若f(x)>a恒成立，则只需a<[f(x)]min；若a>f(x)恒成立，只需a>[f(x)]max.有时转化为一元二次不等式在区间上恒成立时，一般用判别式及根的分布解决．
探究3 存在性问题为真命题或假命题，如何处理？
【提示】 因为存在性命题的否定是全称命题，因此当存在性命题为真命题时，可转化为它的否定是假命题处理，当存在性命题为假命题时，可转化为它的否定为真命题处理．
若全称命题“对任意x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】 由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题．
【自主解答】 法一：由题意，对任意x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立．
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立，即对任意x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
所以实数a的取值范围是[－3,1]．
法二：由x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0.
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立．
所以Δ≤0，或
即－2≤a≤1，或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
对任意x∈[－1，＋∞ ，f x ≥a，只需f x min≥a.也可等价转化为对任意x∈[－1，＋∞ ，x2－2ax＋2－a≥0恒成立，结合一元二次不等式的解集与二次函数图象间的关系求解.
[再练一题]
4．对于任意实数x，不等式sin
x＋cos
x>m恒成立，求实数m的取值范围.
【导学号：09390013】
【解】 令y＝sin
x＋cos
x，x∈R，
则y＝sin
x＋cos
x＝sin
≥－.
又∵ x∈R，sin
x＋cos
x>m恒成立，
∴只要m<－即可，
故实数m的取值范围是(－∞，－)．
[构建·体系]
1．命题“ x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是________．
【解析】 全称命题的否定是存在性命题，故所求命题的否定为： x∈R，x2＋2x＋3≤0.
【答案】 x∈R，x2＋2x＋3≤0
2．设命题p： x∈R，x＋≥2，则非p是________命题(填“真”或“假”)．
【解析】 令x＝2，可知x＋≥2成立，即p是真命题，所以非p是假命题．
【答案】 假
3．命题p： x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题非p：________，它是________命题(填“真”或“假”)．
【解析】 含“ ”，是存在性命题，其否定为全称命题，因为Δ＝4－20<0，∴x2＋2x＋5>0恒成立，故为假命题，其否定为真命题．
【答案】 存在性命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0 真
4．命题“ x属于正实数，2x＋>a成立”是真命题，则a的取值范围是________.
【导学号：09390014】
【解析】 ∵x∈R＋时，2x＋≥2，∴a<2.
【答案】 (－∞，2)
5．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1) x∈R，都有x2－x＋1>；
(2) α，β，使cos(α－β)＝cos
α－cos
β；
(3) x，y∈N，都有(x－y)∈N；
(4) x，y∈Z，使x＋y＝3.
【解】 (1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝2＋≥>，所以该命题是真命题．
法二：x2－x＋1> x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－1<0，
所以不等式x2－x＋1>的解集是R，所以该命题是真命题．
(2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝cos＝cos
＝，cos
α－cos
β＝cos
－cos
＝－0＝，此时cos(α－β)＝cos
α－cos
β，所以该命题是真命题．
(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2 N，所以该命题是假命题．
(4)当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，即 x，y∈Z，使x＋y＝3，所以该命题是真命题．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列命题：
①所有的菱形都是平行四边形；
②每一个三角形的内角和都是180°；
③有些偶数不能被5整除；
④一切平行四边形的对边都平行且相等；
⑤至少有一个x，使得2x＞1.
其中是存在性命题的为________(填序号)．
【解析】 ①②④是全称命题，③⑤是存在性命题．
【答案】 ③⑤
2．下列全称命题中真命题的个数为________个．
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④ x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
【解析】 容易判断①②③正确，④中，当x＝y＝0时不成立．
【答案】 ①②③
3．用符号“ ”或“ ”表示下面含有量词的命题．
(1)实数的平方大于或等于0：_______________________________________；
(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立：_____________________________.
【答案】 (1) x∈R，x2≥0 (2) x0，y0∈R,3x0－2y0＋1≥0
4．(2016·扬州高二检测)命题“ x＞0，x2＋x＞0”的否定是________．
【解析】 因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“ x＞0，x2＋x＞0”的否定是“ x＞0，x2＋x≤0”．
【答案】 x＞0，x2＋x≤0
5．(2016·威海高二检测)已知命题p： x∈R，x＞sin
x，则p的否定形式为________．
【解析】 因为存在性命题的否定是全称命题，所以命题p： x∈R，x＞sin
x的否定形式为： x∈R，x≤sin
x.
【答案】 x∈R，x≤sin
x
6．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为x>3时，x>a恒成立，所以a≤3.
【答案】 (－∞，3]
7．若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________.
【导学号：09390015】
【解析】 由条件知，“ x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，即(a－1)2－4<0，解得－1【答案】 －18．对下列命题的否定说法错误的是________．
①p：能被2整除的数是偶数，非p：存在一个能被2整除的数不是偶数；
②p：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；
③p：有的三角形为正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；
④p： x∈R，x2＋x＋2≤0，非p： x∈R，x2＋x＋2>0.
【解析】 根据含有一个量词的命题的否定知③错误．
【答案】 ③
二、解答题
9．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
(2)p：每一个非负数的平方都是正数；
(3)p：存在一个三角形，它的内角和不等于180°；
(4)p：有的四边形没有外接圆；
(5)p：某些梯形的对角线互相平分．
【解】 (1)非p：存在一个末位数字是0或5的整数不能被5整除，假命题．
(2)非p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题．
(3)非p：任意三角形的内角和都等于180°，真命题．
(4)非p：所有的四边形都有外接圆，假命题．
(5)非p：所有梯形的对角线都不互相平分，真命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
【解】 法一 由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0或4＋4a＋2－a＞0.
整理得a＞－3或a＞－2，
即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二 非p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即解得a≤－3.
故命题p中，a＞－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升]
1．已知命题p：“a＝1”是“ x>0，x＋≥2”的充要条件，命题q： x∈R，x2＋x－1>0.则下列结论中正确的是________．
①命题“且q”是真命题；②命题“且非q”是真命题；③命题“非且q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题．
【解析】 当a＝1时，x>0有x＋≥2成立，取a＝2时x>0有x＋≥2>2，故p是假命题；q是真命题，故①错误，②错误，③正确，④错误．
【答案】 ③
2．(2015·山东高考)若“ x∈，tan
x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
【解析】 由题意，原命题等价于tan
x≤m在区间上恒成立，即y＝tan
x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan
x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
【答案】 1
3．给出下列三个结论：
①若命题p为真命题，命题非q为真命题，则命题“p且q”为真命题；
②命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；
③命题“ x∈R,2x＞0”的否定是“ x∈R,2x≤0”．
则以上结论正确的命题为________(填序号)．
【解析】 非q为真，则q为假，所以p且q为假命题，所以①错误；“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，所以②错误；③正确．
【答案】 ③
4．(2016·武汉高二检测)设命题p： x∈R，x2＋x＞a；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，如果命题p真且命题q假，求a的取值范围．
【解】 ∵命题p为真命题，
∴ x∈R，x2＋x＞a；
∵(x2＋x)min＝－，∴a＜－.
∵命题q为假命题，∴ x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，
∴Δ＝4a2－4×(2－a)＜0 a2＋a－2＜0 －2＜a＜1.
综上，a的取值范围是.3.2.3 空间的角的计算
1．理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)
2．二面角的求法．(难点)
3．空间三种角的范围．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 空间角的向量求法
阅读教材P106～P108的部分，完成下列问题．
1．两条异面直线所成角的向量求法
若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为θ，则cos
θ＝|cos?a，b?|.
2．直线和平面所成角的向量求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为θ1，l与α所成的角为θ2，则sin
θ2＝|cos_θ1|＝.
(1) (2)
3．二面角的向量求法
设二面角α l β的大小为θ，α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos
θ|＝|cos?n1，n2?|＝，θ取锐角还是钝角由图形确定．
图3 2 19
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.( )
(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．
【解析】 由题意得，直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
【答案】 30°
3．异面直线l与m的方向向量分别为a＝(－3,2,1)，b＝(1,2,0)，则直线l与m所成的角的余弦值为__________．
【解析】 ∵a·b＝－3＋4＝1，|a|＝＝，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
【答案】
4．已知二面角α l β，α的法向量为n＝(1,2，－1)，β的法向量为m＝(1，－3,1)，若二面角α l β为锐角，则其余弦值为________．
【解析】 cos〈n，m〉＝＝＝－.
又因二面角为锐角，所以余弦值为.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求两条异面直线所成的角
(1)如图3 2 20，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，若M，N分别是BB1，CC1的中点，则异面直线AM与A1N所成角的大小为________.
【导学号：09390086】
图3 2 20
(2)在三棱锥D ABC中，DA⊥平面ABC，DA＝4，AB＝AC＝2，AB⊥AC，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为________．
【精彩点拨】 (1)思路一：以，，为基向量，表示，，求cos〈，〉的余弦值；思路二：以，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用坐标求cos〈，〉．(2)题思路如(1)题．
【自主解答】 (1)法一：＝－，
＝＋＝－－，
∴·＝·＝－×16＋4＝0，∴⊥，即异面直线AM与A1N所成的角为90°.
法二：如图所示，建立空间直角坐标系：
则A1(2,0,0)，N(0,0,2)，A(2,0,4)，M(0,2,2)，
∴＝(－2,0,2)，＝(－2,2，－2)，
∴·＝4＋0－4＝0，
即⊥，故异面直线A1N与AM所成的角为90°.
(2)法一：如图所示，＝(＋)，＝－＝＋－.
·＝·
＝－×4＋×4＝－1，
又易知||＝，
||2＝×16＋×4＋4＝9，∴||＝3.
∴cos〈，〉＝＝－，
则异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(1,1,0)，B(2,0,0)，F(0,1,2)，
∴＝(1,1,0)，＝(－2,1,2)，
∴·＝－2＋1＝－1.
∵||＝，||＝3，
∴cos〈，〉＝＝＝－.
所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.
【答案】 (1)90° (2)
1．利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角．
2．向量法求异面直线所成角的步骤
(1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)；
(2)求〈a，b〉；
(3)利用cos
θ＝|cos〈a，b〉|，求θ.
[再练一题]
1．如图3 2 21所示，三棱柱OAB O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
图3 2 21
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝－
＝(－，1，－)，
＝－＝(，－1，－)．
∴cos〈，〉＝
＝
＝－.
异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
求线面角
如图3 2 22，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
图3 2 22
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
【精彩点拨】 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
(1)求出和，证明·＝0；
(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量．
【自主解答】
(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
则即
令x＝1，则n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sin
θ＝|cos
〈n，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：
1 根据题设条件、图形特征建立适当的空间直角坐标系；
2 得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；
3 利用公式cos〈a，b〉＝，进行计算，其中向量a是直线的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；
4 将〈a，b〉转化为所求的线面角.向量夹角为锐角或直角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角或平角时，线面角等于这个夹角减去90°.
[再练一题]
2．如图3 2 23所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
图3 2 23
【解】 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝－θ，
故有sin
θ＝cos
β＝＝＝.
∵θ∈，
∴cos
θ＝＝.
求二面角
如图3 2 24，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
图3 2 24
【精彩点拨】 (1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；
(2)求出平面ADC1与平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值．
【自主解答】 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)
，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4).
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos
θ|＝＝＝，得sin
θ＝.
因此平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
求二面角的步骤如下：
1 建立空间直角坐标系，确定两平面的法向量；
2 求两法向量的夹角；
3 确定二面角与面面角的关系，要通过观察图形来确定二面角.
[再练一题]
3．如图3 2 25，在直三棱柱ABC A1B1C1(侧棱和底面垂直的棱柱)中，AB⊥BC，AB＝BC＝AA1＝3，线段AC，A1B上分别有一点E，F，且满足2AE＝EC,2BF＝FA1.
图3 2 25
(1)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1；
(2)求二面角F BE C的平面角的余弦值．
【解】 (1)证明：∵BC⊥AB，BC⊥AA1，∴BC⊥平面A1ABB1.又∵BC 平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.
(2)由(1)知，以点B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∴B(0,0,0),
A(0,3,0),
C(3,0,0),
A1(0,3,3)．
又∵线段AC，A1B上分别有一点E，F，
满足2AE＝EC,2BF＝FA1，
∴E(1,2,0),
F(0,1,1),
∴＝(1,2,0)，＝(0,1,1)．
∴平面BEF的法向量n＝(2，－1,1)，
此时，平面BEC的法向量n＝(0,0，－1)，设所求二面角的平面角为θ，则cos
θ＝－.
[探究共研型]
夹角的向量求法
探究1 利用向量法求异面直线所成的角时，需要注意什么？
【提示】 (1)异面直线所成的角与这两直线的方向向量的夹角范围不同，其中异面直线所成的角的范围是，向量夹角的范围[0，π]．
(2)应用向量法求两异面的夹角时，若求得余弦值为正数，夹角即为所求；若求得余弦值为负数，则夹角为其补角．
探究2 利用向量法求直线与平面所成的角时，需要注意什么？
【提示】 (1)直线与平面所成角θ的范围是，斜线和平面所成角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角．
(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线l与平面α所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有：
①当φ为锐角时，θ＝－φ，sin
θ＝cos
φ，cos
θ＝sin
φ；
②当φ为钝角时，θ＝φ－，sin
θ＝－cos
φ，cos
θ＝sin
φ.
综上所述，sin
θ＝|cos
φ|或cos
θ＝sin
φ.
探究3 两平面的夹角与二面角的平面角有什么不同？
【提示】 (1)两平面的夹角是两平面相交所成的角中较小的一个，范围是0≤θ≤，二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，这可以用其平面角θ的大小来定义，范围是0≤θ≤π.
(2)用向量法求二面角的大小时，要注意〈n1，n2〉与二面角的平面角的关系是相等的还是互补的，在求出〈n1，n2〉后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与〈n1，n2〉相等的还是互补的．一般地，当n1，n2的方向一进一出时，θ＝〈n1，n2〉；当n1，n2同进同出时，θ＝π－〈n1，n2〉．
如图3 2 26所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角A BD1 C的大小为________．
图3 2 26
【解析】 连结DA1，DC1，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)是平面ABD1的一个
法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量，所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°，
又二面角A BD1 C为钝角，
所以二面角A BD1 C的大小为120°.
【答案】 120°
[构建·体系]
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．
【解析】 设l与α所成的角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，
∴sin
θ＝|cos〈m，n〉|＝.
又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
【答案】 30°
2.
若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为________.
【导学号：09390087】
【解析】 ∵n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3，|a|＝＝，
∴cos〈n，a〉＝＝＝－.
又l与α所成角记为θ，即sin
θ＝|cos〈n，a〉|＝.
【答案】
3．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．
【解析】 以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，
∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)，
∴cos〈，〉＝＝.
【答案】
4．将正方形ABCD沿对角线折成直二面角，则二面角A BC D的平面角的余弦值是________．
【解析】 取BD中点O，连结AO，CO，则AO⊥平面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形边长为2，则O(0,0,0)，A(0,0，)，B(，0,0)，C(0，，0)，
所以＝(，0，－)，＝(－，，0)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则n·＝x－z＝0，n·＝－x＋y＝0，
所以x＝z，且x＝y，取n＝(1,1,1)，
又平面BCD的一个法向量为m＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.
故二面角A BC D的平面角的余弦值是.
【答案】
5．如图3 2 27，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，点F是AE的中点．求AB与平面BDF所成角的正弦值．
图3 2 27
【解】 以点B为原点，BA，BC，BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，
∴＝(0,2,1)，＝(1，－2,0)，＝(2,0,0)．
设平面BDF的一个法向量为n＝(2，a，b)．∵n⊥，n⊥，
∴即
解得a＝1，b＝－2，
∴n＝(2,1，－2)．
又设AB与平面BDF所成的角为θ，
则sin
θ＝＝＝，
即AB与平面BDF所成角的正弦值为.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________．
【解析】 ∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
【答案】
2．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________.
【导学号：09390088】
【解析】 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
【答案】
3．已知点E，F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos
α＝，sin
α＝，所以tan
α＝.
【答案】
4．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
【解析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
【答案】
5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．
【解析】 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)．
所以＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则
取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，
∴cos〈n，u〉＝.
【答案】
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sin〈C，〉＝________.
【解析】 建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知C＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈C，〉＝－，
∴sin〈C，〉＝.
【答案】
7.
如图3 2 28，在四面体A BCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A BC D的大小为________．
图3 2 28
【解析】 二面角A BC D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋，而2＝2＋2＋2－2||·||·cos
〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A BC D的大小为.
【答案】
8．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
【解析】 ∵·＝·(－)＝·－·
＝||·||cos
－||·||·cos
＝||(||－||)＝0.
∴cos〈，〉＝＝0.
【答案】 0
二、解答题
9．如图3 2 29，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F.
图3 2 29
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【解】 (1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，
所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，
故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，
从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，
所以∠FED＝∠FEA，
故EF⊥AD，AF＝FD.
因为PG＝GD，所以FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD，
所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.
(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.
设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，
则
解得
即n1＝.
设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，
则
解得
即n2＝.
从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为
cos
θ＝＝＝.
10．如图3 2 30，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中点，EA＝DA＝AB＝2CB.
图3 2 30
(1)求证：DM⊥EB；
(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；
(3)求二面角M BD A的余弦值．
【解】 以直线AE，AB，AD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A xyz，设CB＝a，
则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，
所以M，
(1)证明：＝，＝(－2a,2a,0)，
∴·＝a·(－2a)＋a·2a＋0＝0，
∴⊥，即DM⊥EB.
(2)＝(0,2a,0)，＝(2a，－2a，－a)，
设异面直线AB与CE所成的角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.
(3)∵DA⊥平面EAB，AD 平面DAB，
∴平面DAB⊥平面EAB.
∵EA 平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB，
EA⊥AB.
∴EA⊥平面DAB.
∴＝(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量．
设平面MBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
＝，＝(0，－2a,2a)，
则即
令z＝a，则n＝，
设二面角M BD A的平面角为α，
则cos
α＝＝＝.
即二面角M BD A的余弦值为.
[能力提升]
1．如图3 2 31，在三棱锥V ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，则异面直线AC与VD所成角的余弦值是________．
图3 2 31
【解析】 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
【答案】
2．如图3 2 32，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________.
【导学号：09390089】
图3 2 32
【解析】 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.
可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝>0.
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
【答案】
3．在三棱锥O ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1，1,0)，＝(－1,0,1)，＝.
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
令x＝1，得n＝(1,1,1)．
故cos〈n，〉＝＝，
所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.
【答案】
4．如图3 2 33，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角A PB C的余弦值．
图3 2 33
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz，取PB的中点D，连结DC，则DC⊥PB，作AE⊥PB于E.
则向量与的夹角的大小为二面角A PB C的大小．
∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，又D为PB的中点，
∴D.
在Rt△PAB中，＝＝，
∴E，
∴＝，
＝，
∴·＝.
又||＝，||＝1，
∴cos〈·〉＝＝＝，
即二面角A PB C的余弦值为.1.2 简单的逻辑联结词
1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表示相关的数学内容．(重点)
2．“p或q”、“p且q”、“非p”命题的真假判断．(难点)
3．非p与否命题的区别．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 逻辑联结词
阅读教材P10例1以上部分，完成下列问题．
1．逻辑联结词
命题中的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词．
2．命题构成的形式
记法
含义
读法
p∨q
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来得到的一个新命题
p或q
p∧q
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来得到的一个新命题
p且q
綈p
对命题p进行否定得到的一个新命题
非p
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)联结词“且”表示同时具有的意思．( )
(2)“p或q”有两层含义：要么是p不是q，要么是q不是p.( )
(3)联结词“非”与日常用语中的“不是”、“否定”、“全盘否定”、“问题的反面”等词语等价．( )
(4)由“p且q为假命题”可得“p为假命题”．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
教材整理2 含逻辑联结词命题的真假判断
阅读教材P10～P11思考以上部分，完成下列问题．
一般地，“p或q”、“p且q”与“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表来表示：
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
命题p：{2}∈{2,3}，q：{2} {2,3}，则下列对命题的判断，正确的是________(填上所有正确的序号)．
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．
【解析】 p假，q真，故p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假．
【答案】 ①④⑤⑥
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
用逻辑联结词构造新命题
(1)分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题．
①p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．
②p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
(2)指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．
①方程2x2＋1＝0没有实数根；
②12能被3或4整除．
【精彩点拨】 弄清含逻辑联结词的命题的形式，构造新命题或分解新命题为简单命题．
【自主解答】 (1)①p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
非p：梯形没有一组对边平行．
②p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
非p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
(2)①是“非p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
②是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．
用联结词构造新命题的注意点
1．利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成新命题，关键是正确理解这三个逻辑联结词的含义．
2．构成新命题时，在不引起歧义的前提下，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词，如李明是班长兼体育委员，就省略了“且”．
[再练一题]
1．分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题．
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：正三角形ABC三内角都相等，q：正三角形ABC有一个内角是直角．
【解】 (1)p或q：π是无理数或e不是无理数．p且q：π是无理数且e不是无理数．非p：π不是无理数．
(2)p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．
p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．
非p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．
(3)p或q：正三角形ABC三内角都相等或有一个内角是直角；
p且q：正三角形ABC三内角都相等且有一个内角是直角；
非p：正三角形ABC三个内角不都相等．
含逻辑联结词命题的真假判断
分别指出下列各组命题构成的“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(3)p：函数y＝cos
x是周期函数，q：函数y＝cos
x是奇函数．
【精彩点拨】 先判断命题p，q的真假，再判断“p且q”、“p或q”、“非p”的真假．
【自主解答】 (1)∵p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
(2)∵p为真命题，q为真命题，
∴p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题．
(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题．
判断含逻辑联结词命题真假的步骤
1．确定复合命题的构成形式，是“p且q”、“p或q”还是“非q”形式．
2．判断其中简单命题p，q的真假．
3．根据真值表判断含逻辑联结词命题的真假．
[再练一题]
2．写出由下列命题构成的“p且q”、“p或q”形式的新命题，并指出其真假.
【导学号：09390009】
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}．
【解】 (1)p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，假．
p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，真．
(2)p且q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．p或q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－42}．∵不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4∴p且q为假，p或q为真．
[探究共研型]
含逻辑联结词命题真假性的应用
探究1 在含逻辑联结词的命题中，若“p或q”为真，“p且q”为假，那么命题p和q的真假性如何？
【提示】 “p或q”为真，说明命题p和q中至少有一个为真；“p且q”为假，说明命题p和q中至少有一个为假，所以p真时q假，p假时q真，即命题p，q一真一假．
探究2 逻辑联结词与日常生活中的意义有什么区别？试作出分析．
【提示】 逻辑联结词“且”、“或”、“非”与日常生活中的意义有所不同．如日常生活中的“且”有时与“及”、“和”相当；日常生活中的“或”是不可兼顾的．日常生活中的否定常用词有“不是”，是全盘否定，而逻辑中的“且”可以从命题的真假去理解，逻辑中的“或”可以兼顾，逻辑中的“否定”有时否定全部，有时否定一部分．
已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．
若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
【精彩点拨】 这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．我们可以先利用命题的知识判断p，q的真假，再求m的值，也可以先化简p，q的取值范围，再利用命题的知识求解．
【自主解答】 p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1∵p或q为真，p且q为假，
∴p为真，q为假或p为假，q为真，
即或
解得m≥3或1故m的取值范围为{m|m≥3或1解决此类问题的方法一般是先化简p，q中的取值范围，然后利用命题的知识来判断p，q的真假，最后确定m的取值范围.当p，q中m的取值范围不易求出时，也可以利用非p与p，非q与q不能同真同假的特点，先求非p，非q中m的取值范围.
[再练一题]
3．(2016·临沂高二检测)已知命题p：关于x的不等式
x2＋(a－1)x＋1≤0的解集为空集 ；命题q：函数y＝(a－1)x为增函数，若命题p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围．
【解】 若命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋1≤0的解集为空集 ，
则(a－1)2－4＜0，即a2－2a－3＜0，所以－1＜a＜3，
则当p为假命题时，a≤－1或a≥3；
若命题q：函数y＝(a－1)x为增函数，为真，得a－1＞1，即a＞2，则当q为假命题时，a≤2；
因为命题p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q中一真一假，若p真q假，则－1＜a≤2；若p假q真，则a≥3，
所以实数a的取值范围为－1＜a≤2或a≥3.
[构建·体系]
1．命题“3≥0”中，使用逻辑联结词的情况，下列说法正确的是________．
①是简单命题，没有使用逻辑联结词；②使用了逻辑联结词，是“p或q”形式的命题；③使用了逻辑联结词，是“p且q”形式的命题；④使用了逻辑联结词，是“非p”形式的命题．
【解析】 命题“3≥0”是“3＞0或3＝0”，
即该命题使用了逻辑联结词，是“p或q”形式的命题．
【答案】 ②
2．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么下列判断正确的有________．
①命题p不一定是假命题；
②命题q一定是真命题；
③命题q不一定是真命题；
④命题p与命题q的真假相同．
【解析】 p或q为真说明p，q至少有一个为真，
又∵非p为真，∴p假，故q为真，故填②.
【答案】 ②
3．设p：若a＞2，则a＞1，非p是________．
【解析】 命题p的否定只否定结论，条件不变．
【答案】 若a＞2，则a≤1
4．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空．
(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；
(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；
(3)命题“非空集 UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．
【解析】 (1)“也”是“且”的意思，∴为p且q命题．(2)是p或q命题．(3)为非p命题形式．
【答案】 (1)p且q (2)p或q (3)非p
5．设命题p：x2－4≥0，命题q：x2＋2x－3≤0，若p且q为真，求x的取值范围．
【解】 解不等式x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，
解不等式x2＋2x－3≤0，得－3≤x≤1，
因为p且q为真，
则p与q都真，
所以x的取值范围是－3≤x≤－2.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知命题p：x∈A∩B，则非p是________．
【解析】 根据数集的定义知，非p是x A或x B.
【答案】 x A或x B
2．若p是真命题，q是假命题，则下列说法正确的是________．
①p且q是真命题；②p或q是假命题；③非p是真命题；④非q是真命题．
【解析】 ∵p真q假，∴非q为真命题．
【答案】 ④
3．命题p：已知x，y为实数，若x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：
①p且q；②p或q；③非p；④非q.
其中，真命题是________．(填所有真命题的序号)
【解析】 p真q假，所以p或q为真，非q为真．
【答案】 ②④
4．由命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，构成的
(1)“p或q”形式的命题是_________________________________________；
(2)“p且q”形式的命题是_________________________________________；
(3)“非p”形式的命题是__________________________________________．
【答案】 (1)6是12或24的约数
(2)6是12的约数且是24的约数
(3)6不是12的约数
5．(2016·沈阳高二检测)设命题p：若a＞b，则＜；命题q：＜0 ab＜0.给出下列四个复合命题：①p；②q；③p或q；④p且q.其中真命题的个数有________个.
【导学号：09390010】
【解析】 令a＝1，b＝－2，则＞，所以命题p是假命题；命题q显然是真命题，所以命题p或q是真命题，命题p且q是假命题，所以真命题的个数为2.
【答案】 2
6．若命题“p且(非q)”为真，则在命题“p且q”、“p或q”、“q”、“非p”中，真命题的个数有________个．
【解析】 ∵“p且(非q)”为真，∴p真q假．
∴p或q为真．
【答案】 1
7．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图象关于直线x＝对称，则下列判断：
①p为真；②非q为假；
③p且q为假；④p或q为真．
其中正确的是________(填序号)．
【解析】 由题意得命题p是假命题，命题q是假命题，因此只有③正确．
【答案】 ③
8．设有两个命题：p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数y＝－(5－2a)x在R上是减函数，若“且q”为真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 对于p：Δ＝4a2－16<0，即－21，即a<2.因为且q为真命题，所以实数a的取值范围是－2【答案】 －2二、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p且q”、“p或q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)p：一次函数是单调函数，q：一次函数是奇函数；
(2)p：9是素数，q：9是奇数；
(3)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1≥0恒成立；
(4)p：四条边相等的四边形是正方形，q：有一个角是直角的四边形是正方形．
【解】 (1)∵p是真命题，q为假命题．
∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题．
(2)∵p是假命题，q是真命题．
∴p且q是假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题．
∴p且q与p或q都是真命题，非p是假命题．
(4)∵p是假命题，q是假命题．
∴p且q与p或q都是假命题，非p是真命题．
10．(2016·哈尔滨高二检测)设p：2∈{x||x－a|＞1}；q：曲线
y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．
【解】 ∵2∈{x||x－a|＞1}，∴|2－a|＞1，
∴p：a＞3或a＜1，
∵q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
∴Δ＞0，即(2a－3)2－4＞0，
∴q：a＜或a＞，
由p或q为真命题，p且q为假命题，知p，q一真一假，若p真q假，则≤a＜1；若p假q真，则＜a≤3.
∴实数a的取值范围是.
[能力提升]
1．(2016·杭州高二检测)命题p：直线y＝2x与直线x＋2y＝0垂直；命题q：异面直线在同一个平面上的射影可能为两条平行直线，则命题p且q为________命题(填“真”或“假”)．
【解析】 直线y＝2x与直线x＋2y＝0的斜率分别为k1＝2，k2＝－，所以k1k2＝－1，即两直线垂直，所以命题p为真命题；正方体ABCD A1B1C1D1中直线AD1和B1C是异面直线，在平面ABCD上的射影分别为AD，BC，且AD∥BC，所以命题q为真命题，所以命题p且q为真命题．
【答案】 真
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可用符号表示为________．
【解析】 依题意得非p：甲没有降落在指定范围，非q：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q)．
【答案】 (非p)或(非q)(或填非(p且q))
3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x－2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(非p1)或p2和q4：p1且
(非p2)中，真命题有________．
【解析】 ∵y＝2x在R上为增函数，y＝2－x在R上为减函数，∴y＝2x－2－x在R上为增函数，∴p1为真命题，p2为假命题，故q1：p1或p2为真命题，q2：p1且
p2为假命题，q3：(非p1)或p2为假命题，q4：p1且
(非p2)为真命题．故真命题是q1，q4.
【答案】 q1，q4
4．已知p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若“p或q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围.
【导学号：09390011】
【解】 p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
解得a≤－1.
q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或
由于
解得0因为“p或q”与“非q”同时为真命题，
即p真且q假，所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程
1．了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)
2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)
3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理 双曲线的标准方程
阅读教材P39～P40例1以上部分，完成下列问题.
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c之间的关系
c2＝a2＋b2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( )
(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2(c,0)满足a2＝b2＋c2.( )
(3)双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上．( )
(4)在双曲线－＝1中，焦点坐标为(±5,0)．( )
【解析】 (1)方程－＝1中，a>0，b>0.
a＝b时也是双曲线，故不正确；
(2)在双曲线标准方程中，都有a2＋b2＝c2.故不正确．
(3)根据标准方程特点，正确．
(4)在－＝1中，c＝＝，所以焦点坐标为(0，±)．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求双曲线标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
【精彩点拨】 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法．
【自主解答】 (1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴点P和Q在双曲线上，
∴
解得(舍去)
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
法二：设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．
∵P，Q两点在双曲线上，
∴
解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[再练一题]
1．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)，求双曲线的方程.
【导学号：09390030】
【解】 椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为－＝1.
双曲线标准方程的讨论
(1)如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．
(2)
“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)．
(3)若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．
【精彩点拨】 根据双曲线标准方程的特征常列不等式组求解．
【自主解答】 (1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1)．
(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件．
【答案】 (1)(－2，－1) (2)必要不充分
(3)由方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得解得m>5.
所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
1．对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线．进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线．
2．对于方程－＝1，则当mn＞0时表示双曲线．且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线．
3．已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
[再练一题]
2．讨论＋＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？
【解】 由于k≠9，k≠25，则k的取值范围为k<9,925，分别进行讨论．
(1)当k<9时，25－k>0,9－k>0，所给方程表示椭圆，此时，a2＝25－k，b2＝9－k，a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(2)当90,9－k<0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．
(3)当k>25时，所给方程没有轨迹．
[探究共研型]
双曲线中的焦点三角形
探究1 双曲线上一点M与双曲线的两个焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中MF1，MF2，F1F2为三角形的三边，在焦点三角形中，常用的关系式有哪些？
【提示】 焦点三角形中，常用的关系式有：
(1)MF1－MF2＝±2a；
(2)S△F1MF2＝MF1·MF2·sin∠F1MF2；
(3)F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2·cos∠F1MF2.
探究2 在双曲线的焦点三角形中，如何确定它的面积？随着∠F1PF2的变化，△F1PF2的面积将怎样变化？
【提示】 由公式S△PF1F2＝PF1·PF2sin∠F1PF2，
cos∠F1PF2
＝
＝
＝
＝
＝＋1，
∴PF1·PF2＝.
从而得S△PF1F2＝(θ＝∠F1PF2)．
∵0<θ<π，∴0<<，
在内，是单调递减的，
∴当θ增大时，S△F1MF2＝减小．
设F1，F2为双曲线－＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的周长及△F1PF2的面积．
【精彩点拨】 由双曲线定义、勾股定理建立方程组，求出PF1与PF2的长，或利用整体代入法先求PF1＋PF2与PF1·PF2，再求周长与面积．
【自主解答】 法一：∵点P在双曲线－＝1上，
∴|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4.
又∵∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2为直角三角形，
∴PF＋PF＝F1F＝32.
列方程组
解得或
∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，
△F1PF2的面积为PF1·PF2＝(2＋2)(2－2)＝4.
法二：同解法一得
|PF1－PF2|＝4，F1F2＝4，PF＋PF＝32.
∴(|PF1－PF2)2＝PF＋PF－2PF1·PF2，
即16＝32－2PF1·PF2，∴PF1·PF2＝8.
∴(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝32＋16＝48，
∴PF1＋PF2＝4.
∴△F1PF2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，
△F1PF2的面积为PF1·PF2＝
×8＝4.
在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合MF1－MF2＝±2a，运用平方的方法，建立它与MF1·MF2的联系，体现了数学中的一种整体思想.
[再练一题]
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.
【解析】 由双曲线方程得a＝，b＝，则c＝＝2.因为PF1－PF2＝2，且PF1＝2PF2，所以PF1＝4，PF2＝2，而F1F2＝4，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.
【答案】
[构建·体系]
1．若k∈R，方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
【解析】 据题意知(k＋3)(k＋2)＜0，
解得－3＜k＜－2.
【答案】 (－3，－2)
2．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1－PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是________．
【解析】 由条件可知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，c＝5，则b2＝c2－a2＝16，∴动点P的轨迹方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.
【导学号：09390031】
【解析】 由条件可得4－a2＝a＋2，解得a＝1.
【答案】 1
4．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为________．
【解析】 方程可化为－＝1.由条件可知－－＝9，解得k＝－1.
【答案】 －1
5．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；
(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)．
【解】 (1)依题意，双曲线的焦点在x轴上且a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝5.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法一：∵c2＝16＋4＝20，∴c＝2，
∴F(±2，0)，
∴2a＝|－|
＝4，∴a2＝12，
∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线方程为－＝1.
法二：设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，
∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线方程为－＝1.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．(2016·徐州高二检测)双曲线－＝1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是________．
【解析】 据题意知|PF1－PF2|＝|PF1－10|＝8，∴PF1＝18或2.
【答案】 18或2
2．双曲线－＝1的焦距是________．
【解析】 由题意，得c＝＝4，∴焦距为2c＝8.
【答案】 8
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|.
又|FN|＝＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．焦点分别是(0，－2)，(0,2)，且经过点P(－3,2)的双曲线的标准方程是________．
【解析】 由题意，焦点在y轴上，且c＝2，可设双曲线方程为－＝1(0因此所求双曲线标准方程为y2－＝1.
【答案】 y2－＝1
5．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________．
【解析】 不妨设P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝PF＋PF，又因为|PF1－PF2|＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则(PF1＋PF2)2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.
【答案】 2
6．已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为5，则点M到左焦点的距离是________.
【导学号：09390032】
【解析】 由于双曲线－＝1的右焦点为F(5,0)，将xM＝5代入双曲线可得|yM|＝，即双曲线上一点M到右焦点的距离为，故利用双曲线的定义可求得点M到左焦点的距离为2a＋|yM|＝6＋＝.
【答案】
7．(2016·江西九江模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若OM＝1，则PF1的值为________．
【解析】 因为M是PF1的中点，所以PF2＝2OM＝2，又由双曲线的定义知：PF1－PF2＝2a＝8，所以PF1＝10.
【答案】 10
8．(2016·云南玉溪模拟)若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为________.
【导学号：09390033】
【解析】 解方程组得或
∵圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，
∴A(0，－3)，B(0,3)，且a＝3,2c＝18，
∴b2＝2－32＝72，
∴双曲线方程为－＝1.
【答案】 －＝1
二、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
【解】 (1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．
【解】 双曲线的标准方程为－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.由双曲线的定义，
得|PF2－PF1|＝2a＝6，将此式两边平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.
[能力提升]
1．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 由题意知PF1－PF2＝2a＝2，
∴PF2－PF2＝2，
∴PF2＝6，PF1＝8.
又F1F2＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
∴S△PF1F2＝×6×8＝24.
【答案】 24
2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_____．
【解析】 对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，
又离心率e1＝＝，∴c1＝5.
由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，
∴c2＝5.
又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝＝3，又焦点在x轴上，
故曲线C2的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程为________．
【解析】 由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.
根据勾股定理得
PF＋PF＝(2c)2，即PF＋PF＝20.
根据双曲线定义，有PF1－PF2＝±2a.
两边平方并代入PF1·PF2＝2，得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1.
故双曲线的标准方程是－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图2 3 1所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100
km，PB＝150
km，BC＝60
km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
图2 3 1
【解】 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近．依题意，界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50(定值)，
∴界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为－＝1(a>0，b>0)，∵a＝25,2c＝|AB|
＝＝50，
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3
750，
故双曲线的标准方程为－＝1.
注意到点C的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，故界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，y>0)．章末分层突破
[自我校对]
①逆否命题
②必要条件
③p q
④且q
⑤或
⑥全称命题
⑦存在量词
四种命题及其相互关系
四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.
原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．
已知a，b，c∈R，写出命题“若ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
【精彩点拨】 按照四种命题的定义写出命题，只需判定原命题及逆命题的真假，利用互为逆否命题的命题是等价命题，可知否命题与逆否命题的真假．
【规范解答】 逆命题：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不相等的实数根，则ac＜0”，是假命题．
如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2＞0.
否命题：“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根”，是假命题．
这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．
逆否命题：“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，是真命题．
因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．
[再练一题]
1．给出下列命题：
①已知a＝(3,4)，b＝(0，－1)，则a在b方向上的投影为－4.
②函数y＝tan的图象关于点成中心对称．
③命题“如果a·b＝0，则a⊥b”的否命题和逆命题都是真命题．
④若a≠0，则a·b＝a·c是b＝c成立的必要不充分条件．
其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上)
【解析】 ①∵|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－4，∴cos〈a，b〉＝－，
∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝－4，①正确．
②当x＝时，tan无意义，
由正切函数y＝tan
x的图象的性质知，②正确．
③∵原命题的逆命题为“若a⊥b，则a·b＝0”为真，
∴其否命题也为真．∴③正确．
④当a≠0，b＝c时，a·b＝a·c成立．
(当a≠0，a·b＝a·c时不一定有b＝c)
∴④正确．
【答案】 ①②③④
充分条件与必要条件的判断
关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定；
若“p q”，且“pDq”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；
若“p q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；
若“pDq”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．
设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【精彩点拨】 非p是非q的必要不充分条件也就是p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)．利用集合之间关系列不等式组求解．
【规范解答】 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵非p是非q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴A?B，
∴或
解得－≤a<0或a≤－4.
[再练一题]
2.是的什么条件？请说明理由．
【解】 当x>2且y>2时，有x＋y>4，xy>4，
即
反之，当x＝1<2，y＝5时，有x＋y＝6>4，xy＝5>4，
即D
∴是的必要不充分条件.
含逻辑联结词的命题
1.“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p或q”、“p且q”、“非p”三种形式．
2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p或q”中有真为真，“p且q”有假为假，非p与p真假相反．
给出两个命题：p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点，q：若<1，则x>1，那么在下列四个命题中，真命题是________.
【导学号：09390016】
①(非p)或q；②且q；③(非p)且
(非q)；
④(非p)或(非q)．
【精彩点拨】 →→
【规范解答】 ∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p真．
∵x<0时，<0<1但x>1不成立，∴q假，
∴非q真，∴①②③均为假命题，④为真命题．
【答案】 ④
[再练一题]
3．(2016·山东潍坊高三模拟)已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝s＋r是am＋an＝as＋ar的充分不必要条件(m，n，s，r∈N
)．则下面选择项中的真命题是________．
①(非p)且(非q)；②(非p)或(非q)；
③p或(非q)；④且q.
【解析】 当a＝1.1，x＝2时，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.12＝2，此时，ax由等差数列的性质知，当m＋n＝s＋r时，am＋an＝as＋ar成立，当公差d＝0时，由am＋an＝as＋ar不能推出m＋n＝s＋r，故q是真命题．所以非p是真命题，非q是假命题．
【答案】 ②
全称命题和存在性命题
1.全称命题“ x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，
(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
(2)要判断它是假命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可．
2．存在性命题“ x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此，
(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；
(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．
判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．
(1)对角互补的四边形都内接于一个圆；
(2)对于定义在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若f(a)f(b)＜0，则函数f(x)在开区间(a，b)上至少有一个零点；
(3) x∈，tan
x＞sin
x；
(4) x∈R，log2(3x＋1)≤0；
【精彩点拨】 →→→
【规范解答】 (1)全称命题，是真命题．
(2)存在性命题，是真命题．
(3)全称命题，∵tan
x＝，x∈，
∴0＜cos
x＜1，sin
x＞0，
∴＞1，＞sin
x，即tan
x＞sin
x，
∴是真命题．
(4)存在性命题，∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，∴是假命题．
[再练一题]
4．(2016·河南洛阳高三模拟)下列命题中假命题是________．
① x∈R,2x－1>0；② x∈N
，(x－1)2>0；
③ x0∈R，lg
x0<1；④ x0∈R，tan
x0＝2.
【解析】 对于①，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数的性质得2x－1>0，故①正确；
对于②，∵x∈N
，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾，故②错误；
对于③，当x＝时，lg
＝－1<1，故③正确；
对于④，当x∈R，tan
x∈R，∴ x0∈R，tan
x0＝2，故④正确．
【答案】 ②
含一个量词的命题的否定
1.全称命题的否定一定是存在性命题．
p： x∈M，p(x)成立；
非p： x∈M，非p(x)成立．
2．存在性命题的否定一定是全称命题．
p： x∈M，p(x)成立；
非p： x∈M，非p(x)成立．
3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．
写出下列命题的否定，并判断它们的真假．
(1)p： x∈R，x2＋x＋≥0；
(2)q： x是质数，x不是奇数；
(3)r：至少有一个实数x，使x>
；
(4)s：所有的周期函数都有最小正周期．
【精彩点拨】 →→→
【规范解答】 (1)非p： x∈R，使x2＋x＋<0.由于对任意的实数x，x2＋x＋＝2≥0，故p是真命题，非p是假命题．
(2)非q： x是质数，x是奇数．
由于2是质数，且2不是奇数，故q是真命题，非q是假命题．
(3)非r： x∈R，x≤.
由于对任意的实数x，x≤|x|＝<，故r是假命题，非r是真命题．
(4)非s：有的周期函数没有最小正周期．
由于f(x)＝0(x∈R)是周期函数但没有最小正周期，
故s是假命题，非s是真命题．
[再练一题]
5．(2016·哈尔滨高二检测)命题“ x∈R，x2＋2x＋3≥0”的否定为________．
【解析】 由于全称命题的否定是存在性命题，所以命题“ x∈R，x2＋2x＋3≥0”的否定为： x∈R，x2＋2x＋3＜0.
【答案】 x∈R，x2＋2x＋3＜0
1．(2015·山东高考改编)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．
【解析】 “若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”．
【答案】 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2．(2015·湖北高考改编)命题“ x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是________．
【解析】 存在性命题“ x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“ x∈M，非p(x)”．
【答案】 x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
3．(2015·北京高考改编)设a，b是非零向量，“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的________条件．
【解析】 因为a，b是非零向量，当a·b＝|a||b|时，a与b共线且同向，但当a∥b时，a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.
则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
4．(2016·四川高考)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．
【解析】 ①设A(2,1)，则其伴随点为A′，而A′的伴随点为(－2，－1)，故①错．
②设P(x，y)，其中x2＋y2＝1，则其伴随点为(y，－x)，该点也在圆x2＋y2＝1上，故②正确．
③设A(x，y)，B(x，－y)，则它们的伴随点分别为A′，B′，A′与B′关于y轴对称，故③正确．
④设共线的三点A(－1,0)，B(0,1)，C(1,2)，则它们的伴随点分别为A′(0,1)，B′(1,0)，C′，此三点不共线，故④错．
【答案】 ②③
5．(2014·重庆高考改编)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是________．
①p且(非q)
；②(非p)且q；③(非p)且(非q)；
④p且q.
【解析】 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故非p是假命题，非q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知且(非q)是真命题．
【答案】 ①3.2.2 空间线面关系的判定
1．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)
2．向量法证明空间平行与垂直．(重点、难点)
3．向量法证明线面平行．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 向量法判定线面关系
阅读教材P101例1以上的部分，完成下列问题．
设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：
平行
垂直
l1与l2
e1∥e2
e1⊥e2
l1与α1
e1⊥n1
e1∥n1
α1与α2
n1∥n2
n1⊥n2
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )
(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(4)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与l2的位置关系是________．
【解析】 ∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
【答案】 垂直
3．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________．
【解析】 ∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.
【答案】 垂直
4．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝，n2＝，则平面α与β的位置关系是________.
【导学号：09390083】
【解析】 ∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.
【答案】 平行
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
向量法证明平行问题
在正方体ABCD A1B1C1D1中(如图3 2 7)，设O，O1分别为AC，A1C1的中点，求证：
图3 2 7
(1)BO1∥OD1；
(2)BO1∥平面ACD1；
(3)平面A1BC1∥平面ACD1.
【精彩点拨】 →→→→→
【自主解答】 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则有：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)．
(1)由上可知＝(－1，－1,2)，＝(－1，－1,2)，
∴＝，∴∥，
又直线BO1与OD1无公共点，∴BO1∥OD1.
(2)法一：由上可知，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,2)，
∴＝－＋，
∴，，共面，
∴∥平面ACD1，又BO1 平面ACD1，
∴BO1∥平面ACD1.
法二：设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y,1)，由得∴
∴n＝(1,1,1)．
∴·n＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝0，
∴⊥n.又∵BO1 平面ACD1，
∴BO1∥平面ACD1.
(3)法一：∵＝(－2,0,2)，＝(－2,0,2)，
∴∥，又BC1与AD1不重合，
∴BC1∥AD1，又BC1 平面ACD1，
∴BC1∥平面ACD1.
又由(1)知，BO1∥平面ACD1.
∵BC1，BO1 平面A1BC1，且BC1∩BO1＝B，
∴平面A1BC1∥平面ACD1.
法二：设平面A1BC1的一个法向量为n′＝(x，y,1)，由可求得n′＝(1,1,1)，∴n′＝n，
∴平面ACD1∥平面A1BC1.
1．证明线面平行常用的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面．
(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行．
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
2．证明面面平行常用的方法
(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面．
(2)证明两个平面的法向量平行．
(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
[再练一题]
1．如图3 2 8所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
图3 2 8
【证明】 法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
∴＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则从而可得
令x＝1，得y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
∴·n＝0，∴⊥n.
∵MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法二：∵＝－＝－＝(－)＝，∴∥.∵MN 平面A1BD，A1D 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
法三：∵＝－＝－＝(＋)－(＋)＝＋－－＝＋＋(－)＝＋＋＝＋0·，∴可用与线性表示，故与和是共面向量，
∵MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
向量法证明垂直问题
如图3 2 9所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝
图3 2 9
AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)AE⊥CD；
(2)PD⊥平面ABE.
【精彩点拨】 →→→→
【自主解答】 AB，AD，AP两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，
则P(0,0,1)．
(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，
∴C，
E.
设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，
即y＝，则D，
∴＝.
又＝，∴·＝－×＋×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
(2)法一：∵P(0,0,1)，∴＝.
又·＝×＋×(－1)＝0，
∴⊥，即PD⊥AE.
∵＝(1,0,0)，∴·＝0.
∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
法二：＝(1,0,0)，＝，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．
∵＝，显然＝n.
∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.
1．证明线线垂直常用的方法
证明这两条直线的方向向量互相垂直．
2．证明线面垂直常用的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
(2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．
3．证明面面垂直常用的方法
(1)转化为线线垂直、线面垂直处理；
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
[再练一题]
2．在例2中，平面ABE与平面PDC是否垂直，若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．
【解】 由例2，可知＝，＝，设平面PDC的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝，则x＝1，z＝2，即m＝(1，，2)，
由例2知，平面ABE的法向量为n＝(0,2，－)，
∴m·n＝0＋2－2＝0，∴m⊥n.
所以平面ABE⊥平面PDC.
[探究共研型]
利用向量法证明平行、垂直关系
探究1 向量法判定线面关系与传统法比较，向量法有何优点？
【提示】 向量法判定线面关系与传统法比较起来，优点在于：以算代证，用定量计算代替了定性分析，避免了繁琐的逻辑论证过程，对视图能力、空间想象能力要求稍低，降低了解决问题的难度．
探究2 用向量方法证明平行、垂直问题的一般步骤是什么？
【提示】 (1)建立空间图形与空间向量的联系；
(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题．
探究3 向量方法如何解决与平行、垂直有关的探究问题？
【提示】 在立体几何中，经常会遇到点、线、面处在什么位置时结论成立，或某一结论成立时需要具备什么条件，或某一结论在某一条件下，某个元素在某个位置时是否成立等类似的问题．这些问题都属探索性问题，解决这些问题仅凭几何手段有时会十分困难，我们借助向量将“形”转化为“数”，把点、线、面的位置数量化，通过对代数式的运算就可得出相应的结论．这样可以把许多几何问题进行类化，公式化，使问题的解决变得有“法”可依，有路可寻．
如图3 2 10所示，四棱锥S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
图3 2 10
(1)求证：AC⊥SD.
(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
【精彩点拨】 根据条件建立空间直角坐标系，把空间线面的位置关系问题转化为向量间的关系问题，通过向量的计算得出结论．
【自主解答】 (1)证明：连结BD，设AC交BD于O，则AC⊥BD.
由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设底面边长为a，则高SO＝a，
于是S，D，B，C，＝，＝，则·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD.
(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：
由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝，设＝t，则＝＋＝＋t＝，
而·＝0，
∴－a2＋a2t＝0，∴t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
[再练一题]
3．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
图3 2 11
【解】 假设在线段AB上存在一点M，使直线DE∥平面A1MC，建立如图所示的空间直角坐标系．设AC＝a，BC＝b，AA1＝c，则D，E，A(a,0,0)，A1(a,0，c)，B(0，b,0)．
设M(x0，y0,0)，且0≤x0≤a,0≤y0≤b，
则＝，＝(a,0，c)，＝(x0，y0,0)，
设平面A1MC的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，则z＝－，y＝－，
∴n＝.
若DE∥平面A1MC，则n·＝－＝0，即bx0－ay0＝0.①
又＝λ，即(x0－a，y0,0)＝λ(－x0，b－y0,0)，
∴解得bx0＋ay0－ab＝0.②
由①②解得x0＝，y0＝，即M，
所以存在点M为线段AB的中点时，使DE∥平面A1MC.
[构建·体系]
1．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________(填序号)．
①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)；②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)；③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)；④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)．
【解析】 两个平面垂直时，其法向量也垂直，只有①中的两个向量垂直．
【答案】 ①
2．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________.
【解析】 由题意，知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
【答案】 (－64，－26，－17)
3．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是________．
【解析】 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2，又l1与l2不重合，∴l1∥l2.
【答案】 平行
4．下列命题中，正确的是________(填序号)．
①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2 α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β
n1·n2＝0；
③若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
【解析】 ②③④一定正确，①中两平面有可能重合．
【答案】 ②③④
5．如图3 2 12,
在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
图3 2 12
【证明】 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，＝，＝，设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0.
又∵PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有
∴
取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)，∴＝－n2.
∴∥n2，∴PB⊥平面EFD.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若两平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,4)，ν＝，则α与β的位置关系是________．
【解析】 ∵u＝－3ν，∴u∥ν，∴α∥β.
【答案】 平行
2．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
【解析】 ∵α⊥β，∴－x－2－8＝0，∴x＝－10.
【答案】 －10
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，则B1C与平面ODC1的关系是________.
【导学号：09390084】
【解析】 ∵＝＋＝＋＋＋＝＋，∴，，共面．又∵B1C不在平面ODC1内，∴B1C∥平面ODC1.
【答案】 平行
4．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
【解析】 ∵＝λ＋μ(λ，μ∈R)，∴与，共面，∴AB∥平面CDE或AB 平面CDE.
【答案】 AB∥平面CDE或AB 平面CDE
5．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于________．
【解析】 ·＝3＋5－2z＝0，故z＝4.·＝x－1＋5y＋6＝0，且·＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.
【答案】
6．如图3 2 13，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1B1上任意一点，则DP与BC1始终________(填“垂直”或“平行”)．
图3 2 13
【解析】 因为·＝(＋)·＝(＋)·＝·＋·＝·＝·(＋)＝·＋·＝0，
所以⊥，即DP与BC1始终垂直．
【答案】 垂直
7．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________三角形．
【解析】 求得＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)，因为·＝0，所以⊥，所以△ABC是直角三角形．
【答案】 直角
8．如图3 2 14所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为________．
图3 2 14
【解析】 以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．
∴＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，∴·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即⊥，∴AM⊥PM.
【答案】 垂直
二、解答题
9．已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，
图3 2 15
且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
【解】 (1)证明：因为PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.
所以以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz(如图所示)．
由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，所以＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，因为DC⊥平面PAD，所以是平面PAD的法向量，又因为·＝0，且BM 平面PAD，所以BM∥平面PAD.
(2)设N(x,0，z)是平面PAD内一点，则＝(x，－1，z－1)，＝(0,0,2)，＝(2,1,0)，若MN⊥平面PBD，则即所以在平面PAD内存在点N，使MN⊥平面PBD.
10．如图3 2 16所示，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
图3 2 16
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
【证明】 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝，
(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
则
即
∴
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥，又CM 平面PAD，∴CM∥平面PAD.
法二：∵＝(0,1，－2)，＝(2，4，－2)，
令＝x＋y，
则方程组有解为
∴＝－＋，由共面向量定理知与，共面．又∵CM 平面PAD，∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E，连结BE，则E(，2,1)，
＝(－，2,1)，
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，
∴BE⊥平面PAD.又∵BE 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.
[能力提升]
1．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是________________．
【导学号：09390085】
【解析】 由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线．又与没有公共点．∴AB∥CD.
【答案】 平行
2.如图3 2 17，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
图3 2 17
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)．∵＝－n，∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
【答案】 垂直
3．已知空间两点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，直线l的方向向量为a，若|a|＝3，且直线l与直线AB平行，则a＝________.
【解析】 设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,2)，且l与AB平行，∴a∥，
∴＝＝，∴x＝2y，z＝－2y.
又∵|a|＝3，∴|a|2＝x2＋y2＋z2＝4y2＋y2＋4y2＝9，∴y＝±1，∴a＝(2,1，－2)或(－2，－1,2)．
【答案】 (2,1，－2)或(－2，－1,2)
4．如图3 2 18所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上．当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．
图3 2 18
【解】 法一：当EM＝a时，AM∥平面BDF，以点C为原点，CA，CB，CF所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，B(0，a,0)，A(a,0,0)，D，F(0,0，a)，E(a,0，a)，因为AM 平面BDF，所以AM∥平面BDF 与，共面，所以存在实数m，n，使＝m＋n，设＝t.因为＝(－a,0,0)，＝(－at,0,0)，所以＝＋＝(－at,0，a)，
又＝，＝(0，a，－a)，从而(－at,0，a)＝m(0，a，－a)＋n
成立，
需
解得t＝，
所以当EM＝a时，AM∥平面BDF.
法二：当EM＝a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，
设AC∩BD＝N，连结FN，
则CN∶NA＝1∶2，
因为EM＝a，
而EF＝AC＝a，
所以EM∶MF＝1∶2，
所以MF綊AN，所以四边形ANFM是平行四边形，所以AM∥NF，又因为NF 平面BDF，AM 平面BDF，所以AM∥平面BDF.2.5 圆锥曲线的统一定义
1．了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点)
2．理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理 圆锥曲线的统一定义
阅读教材P56“思考”以上的部分，完成下列问题．
1．平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
当0当e>1时，它表示双曲线；
当e＝1时，它表示抛物线．
其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．
2．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的准线方程为x＝±，＋＝1(a＞b＞0)的准线方程为y＝±.
双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为x＝±，
双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的准线方程为y＝±.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线．( )
(2)椭圆＋y2＝1的准线方程是x＝±.( )
(3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．( )
(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．双曲线－y2＝1的准线方程为________．
【解析】 易知a2＝15，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝16，即c＝4，则双曲线的准线方程为x＝±.
【答案】 x＝±
3．焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，则准线方程为x＝±的椭圆的标准方程为______.
【导学号：09390050】
【解析】 由题意知c＝2，则＝＝，故a2＝5，所以b2＝a2－c2＝1，则椭圆的方程为＋y2＝1.
【答案】 ＋y2＝1
4．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右准线为x＝，则右焦点的坐标为________．
【解析】 据题意知解得a＝1，c＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．
【答案】 (2,0)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
已知焦点和准线求圆锥曲线的方程
已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：
(1)e＝；
(2)e＝1；
(3)e＝.
【精彩点拨】
【自主解答】 (1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝，所求方程为＋＝1.
(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，＝1，可得y2＝－4x.
(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝.
所求方程为－＝1.
1．本例中，由于要求的是圆锥曲线的“标准”方程，其准线有固定公式，因而可直接列出基本量满足的关系式．
2．已知焦点、准线及离心率，也可直接由＝e求出M点的轨迹方程．
[再练一题]
1．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，设A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋2＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，
8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
用圆锥曲线的统一定义求轨迹
已知动点P(x，y)到点A(0,3)与到定直线y＝9的距离之比为，求动点P的轨迹．
【精彩点拨】 此题解法有两种：一是定义法，二是直译法．
【自主解答】 法一：由圆锥曲线的统一定义知，P点的轨迹是椭圆，c＝3，＝9，则a2＝27，a＝3，
∴e＝＝，与已知条件相符．
∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y＝±9.
b2＝18，其方程为＋＝1.
法二：由题意得＝.
整理得＋＝1.
P点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y＝±9为准线的椭圆．
解决此类题目有两种方法：
1 是直接列方程，代入后化简整理即得方程.
2 是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.
[再练一题]
2．方程＝|x＋y－1|对应点P(x，y)的轨迹为________.
【导学号：09390051】
【解析】 由＝|x＋y－1|，
得＝.
可看作动点P(x，y)到定点(－1,0)的距离与到定直线x＋y－1＝0的距离比为>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．
【答案】 双曲线
圆锥曲线统一定义的应用
已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
(1)求MA＋MB的最大值和最小值；
(2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标．
【精彩点拨】 (1)利用椭圆的定义进行转化求解．
(2)注意e＝，则MA＝＝d(d为点M到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求解．
【自主解答】 (1)如图所示，由＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.
所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4，0)为椭圆的左焦点．
因为MA＋MF＝2a＝10，
所以MA＋MB＝10－MF＋MB.
因为|MB－MF|≤BF＝＝2，
所以－2≤MB－MF≤2.
故10－2≤MA＋MB≤10＋2，
即MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.
(2)由题意得，椭圆的右准线l的方程为x＝.由图可知，点M到右准线的距离为MM′，
由圆锥曲线的统一定义，得＝e＝，所以MA＝MM′.
所以MB＋MA＝MB＋MM′.
由图可知，当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′最小，
即BM′＝－2＝.
当y＝2时，有＋＝1，解得x＝(舍去负值)，
即点M的坐标为.
故MB＋MA的最小值为，此时点M的坐标为.
1．解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义．
2．圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程．
[再练一题]
3．已知双曲线－＝1和点A(4,1)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求PA＋PF的最小值．
【解】 由双曲线的方程，知a＝2，b＝2，∴c＝4，离心率e＝＝2，右准线的方程为x＝1，设点P到右准线的距离为d，由圆锥曲线的定义，有＝2，即PF＝d，如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D，则PA＋PF＝PA＋d＝PA＋PD，所以当P，A，D三点共线时，PA＋PD的值最小，为4－1＝3.
[探究共研型]
圆锥曲线的统一定义
探究1 圆锥曲线的统一定义又称第二定义，那么第一定义与第二定义有哪些区别？
【提示】 椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．
探究2 在圆锥曲线的统一定义中，定点F和直线l是如何对应的？
【提示】 在统一定义中，圆锥曲线是椭圆或双曲线时，若定点是左焦点，则定直线是左准线，若定点是右焦点，则定直线是右准线．而抛物线只有一个焦点对应一条准线．也就是说，定点F和定直线是“相对应”的．
探究3 利用圆锥曲线的统一定义，如何表示焦半径？
【提示】 根据定义＝e，则PF＝ed(e为离心率)．
(1)椭圆的焦半径
设P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1＝a＋ex0，PF2＝a－ex0.
(2)双曲线的焦半径
设P(x0，y0)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的一点，且F1是左焦点，F2是右焦点，则PF1＝|ex0＋a|，PF2＝|ex0－a|.
(3)抛物线的焦半径
设P(x0，y0)是抛物线y2＝2px的一点，F是焦点，则PF＝x0＋.
椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线为x＝8，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长．
【精彩点拨】 (1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求解．
【自主解答】 (1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得＝，
两边同时平方，得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，
化简得＋＝1.
(2)设椭圆的另一个焦点为F2(－2,0)，过F2且倾斜角为45°的直线方程为y＝x＋2，
与椭圆＋＝1联立消去y，得7x2＋16x－32＝0.
设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2
＝2a＋e(x1＋x2)＝2×4＋(x1＋x2)＝.
[再练一题]
4．过双曲线－＝1的右焦点F，且倾斜角为45°的直线与双曲线交于A，B两点，求线段AB的长．
【解】 易知F(5,0)，则直线的方程y＝x－5.
由得7x2－160x＋544＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
由圆锥曲线的统一定义，知AF＝e·d＝e＝x1－a，同理BF＝x2－a，
∴AB＝AF＋BF＝－2a＝×－8＝.
即AB的长为.
[构建·体系]
1．已知A(－2,0)，B(2,0)，点P(x，y)满足＝，则PA＋PB＝________.
【解析】 ∵点P到A(－2,0)的距离与它到直线x＝－3的距离之比为，∴点P的轨迹是椭圆，且＝，c＝2，∴a＝，故PA＋PB＝2a＝2.
【答案】 2
2．已知椭圆＋y2＝1，则以椭圆的左准线为准线的抛物线方程为________．
【解析】 由椭圆的方程，知a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，即c＝，故椭圆的左准线方程为x＝－，故所求抛物线的方程为y2＝x.
【答案】 y2＝x
3．到点F(2,0)与直线x＝的距离的比等于2的曲线方程为________.
【导学号：09390052】
【解析】 由圆锥曲线的统一定义可知，曲线为焦点在x轴上的双曲线，且c＝2，＝，即a2＝1，故b2＝3，则双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】 x2－＝1
4．椭圆＋＝1上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到左准线的距离为________．
【解析】 由＋＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，
∴e＝.根据椭圆的第二定义得＝e.
又∵PF1＝3，
∴d＝＝3×＝5，
∴点P到左准线的距离为5.
【答案】 5
5．过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，求△ABF2的周长(F2为双曲线的右焦点)．
【解】 根据题意，得F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴直线AB的方程为y＝x＋2.
令A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得2x2－4x－7＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－.
∴AB＝
＝×＝6.
由x1x2＝－<0知，弦AB与双曲线左、右两支均相交，
由焦半径公式，得AF2＝a－ex1＝1－2x1，BF2＝ex2－a＝2x2－1，
∴AF2＋BF2＝1－2x1＋2x2－1＝2(x2－x1)
＝2＝6.
∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝6＋6.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线ax－y＋1＝0过焦点，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
【答案】 －1
2．已知椭圆的准线方程为y＝±4，离心率为，则椭圆的标准方程为________.
【导学号：09390053】
【解析】 由题意＝＝4，∴a＝4e＝2.
∵e＝＝，
∴c＝1，b2＝a2－c2＝3.
由准线方程是y＝±4可知，
椭圆的焦点在y轴上，标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．已知抛物线y2＝2px的准线与双曲线x2－y2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．
【解析】 双曲线的左准线为x＝－1，
抛物线的准线为x＝－，所以＝1，所以p＝2.
故抛物线的焦点坐标为(1,0)．
【答案】 (1,0)
4．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
【解析】 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，
∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.
【答案】 6
5．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则双曲线的离心率为________．
【解析】 由题意知，＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，
∴e2－3e＋1＝0，解得e＝.
【答案】
6．设双曲线－＝1的右焦点为F(3,0)，P(4，2)是双曲线上一点，若双曲线的右准线为x＝m，则实数m的值是________．
【解析】 法一：由题意可知解得b2＝，a2＝，
故右准线x＝＝，即m＝.
法二：由题意PF＝＝3，
根据椭圆的第二定义得＝＝e.
又m＝，
∴＝＝.
∵c＝3，
∴e2＝，
∴2＝，
∴m2－11m＋16＝0，
∴m＝，
∵m∴m＝.
【答案】
7．已知椭圆＋＝1上有一点P，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P到两准线的距离分别为________．
【解析】 设P(x，y)，左、右焦点分别为F1，F2，由椭圆方程，可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝＝，则PF1＋PF2＝2a＝20.
又3PF1＝PF2，∴PF1＝5，PF2＝15.
设点P到两准线的距离分别为d1，d2，可得d1＝＝，d2＝＝.故点P到两准线的距离分别为，.
【答案】 ，
8．已知点P在双曲线－＝1上，并且P到双曲线的右准线的距离恰是P到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是________．
【解析】 记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为a，b，c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a＝4，b＝3，c＝5，e＝＝，右准线l的方程为x＝＝.如果P在双曲线右支上，则PF1＝PF2＋2a＝ed＋2a.从而，PF1＋PF2＝(ed＋2a)＋ed＝2ed＋2a>2d，这不可能；故P在双曲线的左支上，则PF2－PF1＝2a，PF1＋PF2＝2d.两式相加得2PF2＝2a＋2d.
又PF2＝ed，从而ed＝a＋d.故d＝＝＝16.因此，P的横坐标为－16＝－.
【答案】 －
二、解答题
9．已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是，求椭圆的方程．
【解】 设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，
由统一定义＝e，得＝e，
整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①
∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的方程为y－1＝(x－3)，②
①②联立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝，
∴AB＝e(x1＋x2)＝e·＝，∴e＝，
∴椭圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝x2，
即＋＝1.
10．已知定点A(－2，)，点F为椭圆＋＝1的右焦点，点M在椭圆上运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．
【解】 ∵a＝4，b＝2，∴c＝＝2，
∴离心率e＝.
A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，
则＝e，即MF＝ed＝d，右准线l：x＝8，
∴AM＋2MF＝AM＋d.
∵A点在椭圆内，
∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.
则A，M，K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.
故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(2，)．
[能力提升]
1．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|1＋2|的最小值是________.
【导学号：09390054】
【解析】 椭圆x2＋2y2＝2的标准方程是＋y2＝1，
∴a＝，b＝1.
∵1＋2＝2，
∴|＋|＝2||.
∵b≤||≤a，
∴1≤||≤，
∴|1＋2|的最小值是2.
【答案】 2
2．过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．
【解析】 设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距离分别为d1，d2和d，圆的半径为R，d＝，R＝＝＝.由题意知R>d，则e>1，圆锥曲线为双曲线．
【答案】 双曲线
3．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________．
【解析】 ∵A(1,2)在椭圆上，∴＋＝1，
∴b2＝，则椭圆中心到准线距离的平方为2＝＝＝＝.
令a2－5＝t>0，
f(t)＝＝t＋＋9≥9＋4.
当且仅当t＝时取“＝”，
∴≥
＝＋2，
∴min＝＋2.
【答案】 ＋2
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若|PF|＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．
【解】 (1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，又F(c,0)，
∴kPF＝＝－.
又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.
∴PF⊥l.
(2)∵|PF|的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，
∴＝3，即b＝3，又e＝＝，
∴＝，∴a＝4.故双曲线方程为－＝1.3.2 空间向量的应用
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)
2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点)
3．平面法向量的设法．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 直线的方向向量
阅读教材P99上半部分，完成下列问题．
我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．
已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.
【解析】 ＝(－1,0,1)，由题意知，a∥，则存在实数λ，使a＝λ，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即∴λ＝－2，x＝－2.
【答案】 －2
教材整理2 平面的法向量
阅读教材P99中间部分，完成下列问题．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________.
【解析】 易知a·n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1.
【答案】 1
2．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________.
【导学号：09390079】
【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝0，
即n＝(1,1,0)，
则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．
【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．
【精彩点拨】 (1)利用两直线的方向向量共线求解；
(2)即是直线AB的一个方向向量，利用＝求点P的坐标．
【解析】 (1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以＝＝，解得x＝－14，y＝6.
(2)＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．
由AP∶PB＝3∶2，得＝.
设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6,2)，
即x－2＝0，y＝，z－1＝2·，
解得x＝2，y＝，z＝，
所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为.
【答案】 (1)－14 6 (2)(0,6,2)
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．
求平面的法向量
如图3 2 1，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SBA与平面SCD的法向量．
图3 2 1
【精彩点拨】 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解．
【自主解答】 ∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，＝是平面SBA的法向量，
设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥，n⊥，则n·＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0，∴λ＝－.
n·＝(1，λ，u)·＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝.
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.
[再练一题]
1．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．
【解】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M，N.
∴＝，＝.
设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴
令y＝2，∴x＝－3，z＝－4，∴n＝(－3,2，－4).
证明平面的法向量
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
图3 2 2
求证：是平面ADE的法向量．
【精彩点拨】 要证明是平面ADE的法向量，只需证明D1F⊥平面ADE即可．
【自主解答】 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则
D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E，F，
所以＝(－1,0,0)，＝，＝，所以·＝(－1,0,0)·＝0，
·＝·＝0，
所以⊥，⊥，又AD∩AE＝A，
所以⊥平面ADE，
从而是平面ADE的法向量．
用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.
[再练一题]
2．如图3 2 3所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
图3 2 3
(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量；
(2)若∠PDA＝45°，求证：为平面PCD的一个法向量．
【解】 (1)取PD的中点E，连结NE，AE，
因为N是PC的中点，
所以NE∥DC，NE＝DC.
又DC∥AB，DC＝AB，AM＝AB，
所以AM∥CD，AM＝CD.
所以NE∥AM，NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE.
所以为直线MN的一个以A为起点的方向向量．
(2)证明：在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，
所以AP＝AD，所以AE⊥PD，
又因为MN∥AE，所以MN⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为MN∥AE，所以CD⊥MN，又因为CD∩PD＝D，
所以MN⊥平面PCD.
所以为平面PCD的一个法向量．
[探究共研型]
方向向量与法向量的特征
探究1 如何正确地判断直线的方向向量？
【提示】 (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线．
(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
探究2 过空间任意一定点P，能否作出平面α的法向量？能作几条？
【提示】 由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．
由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面α的法向量也有无数个．
探究3 求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
【提示】 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
探究4 依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？
【提示】 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．
探究5 利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？
【提示】 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．
(1)平面α，β的法向量分别是u＝(－1,1，－2)，ν＝；
(2)直线l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝.
【精彩点拨】 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．
【自主解答】 (1)∵u＝(－1,1，－2)，ν＝，
∴u·ν＝(－1,1，－2)·＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥ν，故α⊥β.
(2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，
∴u⊥a，故l α或l∥α.
[再练一题]
3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．
【解】 (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，
∴a⊥b，即l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9,0)，
∴ν＝－3u，
∴ν∥u，即α∥β.
[构建·体系]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是l的一个方向向量．( )
(2)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．( )
(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )
(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( )
(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．若点A(0,1,2)，B(－1,0,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为________.
【导学号：09390080】
【解析】 ＝(－1，－1,0)，即为l的一个方向向量．
【答案】 (－1，－1,0)
3．若向量a＝(x,2,1)，b＝(1，y,3)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________.
【解析】 据题意可知，a∥b，故存在实数λ，使a＝λb，即(x,2,1)＝λ(1，y,3)，即x＝λ，2＝λy,1＝3λ，解得λ＝，y＝6，x＝，x＋y＝＋6＝.
【答案】
4．若直线l⊥α，且l的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为，则m为________．
【解析】 ∵(m,2,4)＝λ，
∴
∴m＝1.
【答案】 1
5．如图3 2 4，直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，求平面ABC1的一个法向量．
图3 2 4
【解】 法一：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y,1)．∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，∴＝(0,1,0)，＝(1,0,1)，
则解得x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．
法二：设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，
∴＝(0,1,0)，＝(1,0,1)，
则令z＝1，则x＝－1，y＝0，∴n＝(－1,0,1)．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知a＝(1,4,3)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________，y＝________.
【解析】 由l1∥l2，得＝＝，解得x＝12，y＝9.
【答案】 12 9
2．设直线l1的方向向量为a＝(2，－1,2)，直线l2的方向向量为b＝(1,1，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
【解析】 ∵l1⊥l2，∴2－1＋2m＝0，∴m＝－.
【答案】 －
3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.
【答案】 －10
4．设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．
【解析】 ·n＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．
【答案】 过点A且与向量n垂直的平面
5．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是________．
【解析】 因为|a|＝6，所以4＋16＋x2＝36，即x＝±4，当x＝4时，a＝(2,4,4)，由a·b＝0，得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此时x＋y＝4－3＝1；当x＝－4时，a＝(2,4，－4)，由a·b＝0，得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此时x＋y＝－4＋1＝－3.
综上，得x＋y＝－3或x＋y＝1.
【答案】 －3或1
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________.
【导学号：09390081】
【解析】 设单位法向量n0＝(x，y，z)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
由n0·＝0，且n0·＝0得解得或
【答案】 或
7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．
【解析】 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
∴＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
依题意，应有n·＝0，n·＝0，
即解得
令y＝1，则x＝2.
∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
【答案】 (2,1,0)
8．已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
【解析】 ∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，
∴＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)．
∵⊥，⊥，
∴·＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0，
·＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0，
∴
∴
∴点P的坐标为.
【答案】
二、解答题
9．在正方体ABCD A1B1C1D1中，证明：是平面A1BC1的法向量．
【证明】 建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是＝(1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，由于·＝－1＋1＝0，·＝－1＋1＝0.
∴⊥，⊥，∵BA1∩BC1＝B，∴DB1⊥平面A1BC1，即是平面A1BC1的法向量．
10．已知ABCD A1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系如图3 2 5.AB＝3，BC＝4，AA1
＝2，
图3 2 5
(1)求平面B1CD1的一个法向量；
(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式．
【解】 (1)在题图所示的空间直角坐标系A xyz中各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，
由此得＝(0,4，－2)，＝(－3,0,2)，
设平面B1CD1的一个法向量为a＝(x，y，z)，
则a⊥，a⊥，从而a·＝0，a·＝0，
所以0·x＋4·y－2·z＝0，－3·x＋0·y＋2·z＝0，
解方程组
得
不妨取z＝6，则y＝3，x＝4.
所以a＝(4,3,6)就是平面B1CD1的一个法向量．
(2)由题意可得，＝(x－3，y，z－2)，
因为a＝(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，
所以a⊥，从而a·＝0，
即4(x－3)＋3y＋6(z－2)＝0,4x＋3y＋6z＝24，
所以满足题意的关系式是4x＋3y＋6z＝24.
[能力提升]
1．若不重合的两个平面的法向量分别是a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．
【解析】 ∵a＝(3，－3，－3)，b＝(－1,1,1)，
∴a＝－3b，a∥b.
∴这两个平面平行．
【答案】 平行
2．已知平面α内有一个点A(－1,1,0)，α的一个法向量为n＝(－1,1,1)，则下列各点中，在平面α内的是________(填序号)．
①(1,3,2)；②(0,0,2)；③(1,2,1)；④.
【解析】 设平面α内任意点P(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z)，故n·＝－x－1＋y－1＋z＝0，即x－y－z＋2＝0，把各点坐标代入检验，可知②③符合．
【答案】 ②③
3．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量；④∥.其中正确的结论是________.
【导学号：09390082】
【解析】 ·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，即AP⊥AB；
·＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则⊥，即AP⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，
∴≠≠，所以与不平行．
【答案】 ①②③
4．如图3 2 6，四棱锥P ABCD中，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，F在PB上，问F在何位置时，为平面DEF的一个法向量？
图3 2 6
【解】 建系如图，设DA＝2，
则D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)．
∴E(0,1,1)，∵B(2,2,0)，
∴＝(2,2，－2)．
设F(x，y，z)，＝λ，
∴(x，y，z－2)＝λ(2,2，－2)，
∴
∴F(2λ，2λ，2－2λ)，
∴＝(2λ，2λ，2－2λ)．
∵·＝0，∴4λ＋4λ－2(2－2λ)＝0，∴λ＝，
∴F为PB的一个三等分点(靠近P点)．2.6.2 求曲线的方程
1．了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)
2．掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)
3．对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 求曲线的方程
阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．
1．求曲线方程的一般步骤
求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：
↓
↓
↓
↓
求曲线方程的流程图可以简记为：
→→→→
2．求曲线方程的常用方法
求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．( )
(2)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．( )
(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )
(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．
【解析】 由圆的定义知，点M的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝4.
【答案】 x2＋y2＝4
3．设P为曲线＋y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是________．
【解析】 设M(x，y)，P(x0，y0)，
则x0＝2x，y0＝2y，
∵＋y＝1，∴x2＋4y2＝1.
【答案】 x2＋4y2＝1
4．到A(－3,0)，B(5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.
【导学号：09390058】
【解析】 设P(x，y)，PA＝PB，即＝，即(x＋3)2＋y2＝(x－5)2＋(y＋1)2，化简得16x－2y－17＝0.
【答案】 16x－2y－17＝0
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
直接法求轨迹方程
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差数列，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．
【精彩点拨】 由a，c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．
【自主解答】 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C点坐标为(x，y)，由已知得AC＋BC＝2AB.
即＋＝4，
整理化简得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.
又∵a>c>b，∴x<0且x≠－2.
所以顶点C的轨迹方程为
＋＝1(x<0且x≠－2)．
直接法求动点轨迹的关键及方法
1．关键
(1)建立恰当的平面直角坐标系；
(2)找出所求动点满足的几何条件．
2．方法
求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：①建系、设点；②根据动点满足的几何条件列方程；③对所求的方程化简、说明．
[再练一题]
1．若将本例已知条件“a>c>b且a，c，b成等差数列”改为“△ABC的周长为6且AB＝2”，求顶点C的轨迹方程．
【解】 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，
由已知得AC＋BC＋AB＝6.
即＋＝4.
化简整理得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.
∵A，B，C三点不能共线，
∴x≠±2.
综上，点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2).
定义法求曲线方程
已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
【精彩点拨】 利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解．
【自主解答】 如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1，
所以AP＝PQ，
故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，
A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．
∴＝2，∴p＝4，
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.
[再练一题]
2．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【解】 设d是点P到直线x＝8的距离，根据题意，得＝.
由圆锥曲线的统一定义可知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x＝8为准线的椭圆，则
解得
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
故点P的轨迹方程为＋＝1.
代入法求动点的轨迹方程
已知P在抛物线y＝x2上运动，另有一点Q(4,2)，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【精彩点拨】 设M(x，y)，由M为线段PQ的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程．
【自主解答】 设M(x，y)，P(x0，y0)．
由M为线段PQ的中点，
得＝x，＝y，
则x0＝2x－4，y0＝2y－2.
因为P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，
即y0＝x，得2y－2＝(2x－4)2，
化简得y＝2x2－8x＋9.
即线段PQ的中点M的轨迹方程为y＝2x2－8x＋9.
1．动点满足的条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法．
2．代入法求动点轨迹，要设从动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)，用x，y表示x0，y0，不要弄反代入而导致错误．
[再练一题]
3．在例3中，若点M满足＝3，则点M的轨迹方程是什么？
【解】 设P(x0，y0)，则y0＝x，设M(x，y)，则＝(4－x0,2－y0)，＝(4－x,2－y)，由＝3，得即又y0＝x，∴3y－4＝(3x－8)2，化简得y＝3x2－16x＋，即点M的轨迹方程为y＝3x2－16x＋.
[探究共研型]
曲线方程的特征
探究1 在解决曲线的方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？
【提示】 建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．所以要遵循垂直性和对称性的原则建系．一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．
探究2 “轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？
【提示】 (1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．
探究3 在求动点的轨迹方程时
，如何确定变量的取值范围？
【提示】 在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围．
探究4 如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？
【提示】 (1)当动点坐标x，y满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x，y的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．在具体问题中，往往以直线的斜率k，倾斜角α，截矩b，时间t等作为参数．
(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围．同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数．例如代入法、加减法、恒等式法等．
设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，当直线l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．
【精彩点拨】 设出直线的方程，其斜率为k，运用所给条件，用k表示点P的纵、横坐标，消去k，得x，y的关系式，即动点P的轨迹方程．
【自主解答】 直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A，B满足方程组
消去y，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
P(x，y)是AB的中点，则由
消去k，得4x2＋y2－y＝0；
当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，
故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.
[再练一题]
4．过原点作直线l和抛物线y＝x2－4x＋9交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【解】 由已知，直线l的斜率一定存在，设l的方程为y＝kx，把它代入抛物线方程中，得
x2－(4＋k)x＋9＝0.由Δ＝(4＋k)2－36>0，得k>2或k<－10.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由根与系数的关系得
x1＋x2＝4＋k，则x＝＝，y＝kx＝，
由消去参数k，得y＝2x2－4x.
由k>2或k<－10，知x>3或x<－3，
即所求的轨迹方程为y＝2x2－4x(x>3或x<－3)．
[构建·体系]
1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是________．
【解析】 设P(x，y)到两坐标轴的距离相等，则|x|＝|y|，即y＝±x.
【答案】 y＝±x
2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是________．
【解析】 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.
【答案】 2x－y＋5＝0
3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________.
【导学号：09390059】
【解析】 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得＝2，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，
即轨迹所包围的面积等于4π.
【答案】 4π
4．过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是________．
【解析】 设MN的中点P(x，y)，则点M(x,2y)在椭圆上，∴＋
＝1，即＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积为－，求顶点C的轨迹方程．
【解】 设顶点C的坐标为(x，y)，
则kCA＝(x≠－3)，kBC＝(x≠3)．
∵kCA·kBC＝－，∴·＝－.
化简得＋＝1(x≠±3)．
当x＝±3时，A，B，C三点共线，则不能构成三角形，故x≠±3.
∴所求顶点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 ＝(3－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
∴·＝(3－x)·(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x.
【答案】 y2＝x
2．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”的__________条件．
【解析】 “方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
” “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，反之不成立．
【答案】 必要不充分
3．平面内有两定点A，B，且AB＝4，动点P满足|＋|＝4，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设A(－2,0)，B(2,0)．∵|＋|＝|2|＝4，
∴||＝2.
设P(x，y)，∴＝2，即x2＋y2＝4，
∴点P的轨迹方程是x2＋y2＝4.
【答案】 x2＋y2＝4
4．已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是__________________．
【解析】 由于||＝||，则P为MN的中点．设N(x，y)，则M(－x,0)，P，由·＝0，得·＝0，所以(－x)·1＋·＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.
【答案】 y2＝4x
5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是________．
【解析】 由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，AB＝＝5.设C点的坐标为(x，y)，则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
【答案】 4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
6．(2016·沈阳高二检测)已知AB＝3，A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是________.
【导学号：09390060】
【解析】 设P(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)．∵AB＝3，∴x＋y＝9，＝(x，y)＝＋＝(x0,0)＋(0，y0)＝.
所以即又x＋y＝9，所以x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.
【答案】 ＋y2＝1
7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，
所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
【答案】 －＝1(x>3)
8．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若＝，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 ∵＝，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，则由＝，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，则即x1＝2－x，y1＝－y，将其代入直线y＝2x－4中，得y＝2x，∴点P的轨迹方程为y＝2x.
【答案】 y＝2x
二、解答题
9．已知点Q在椭圆C：＋＝1上，点P满足＝(＋)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，求点P的轨迹方程．
【解】 因为点P满足＝(＋)，所以P是线段
QF1的中点，设P(x，y)，由于F1为椭圆C：＋＝1的左焦点，则F1(－，0)，故Q，由点Q在椭圆C：＋＝1上，则点P的轨迹方程为＋＝1，故点P的轨迹方程为＋＝1.
10．如图2 6 4，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
图2 6 4
【解】 法一：设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝(x≠1)，kPB＝，∴·＝－1(x≠1)．
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM.
∵l1⊥l2，∴2PM＝AB.
而PM＝，
AB＝，
∴2＝，
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
法三：∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M，
∴MP＝MO，∴点M的轨迹为线段OP的垂直平分线．
∵kOP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，
∴点M的轨迹方程是y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
[能力提升]
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．
【解析】 设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，
∴MP2＋NP2＝MN2，
∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，
∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．
【答案】 x2＋y2＝4(x≠±2)
2．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝1＋2，则动点Q的轨迹方程是________．
【解析】 由＝1＋2，又1＋2＝＝2＝－2，
设Q(x，y)，则＝－
＝－(x，y)＝，
即P点坐标为，又P在椭圆上，
则有＋＝1，即＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足·＝1的点，则点P的轨迹方程是________．
【解析】 如图，设P点的坐标为(x，y)，则由方程x2＋2y2＝4得2y2＝4－x2，
∴y＝±，
∴A，B两点的坐标分别为
，.
又·＝1，
∴·＝1，
即y2－＝1，
∴＋＝1.
又直线l与椭圆交于两点，∴－2∴点P的轨迹方程为＋＝1(－2【答案】 ＋＝1(－24．过点A(2,1)的直线l与椭圆＋y2＝1相交，求l被截得的弦的中点的轨迹方程．
【解】 法一：设直线l的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x－2)，设弦两端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为M(x，y)，则把l方程代入椭圆方程消去y，得
(1＋2k2)x2＋4k(1－2k)x＋2(1－2k)2－2＝0，
Δ＝16k2(1－2k)2－8(1＋2k2)[(1－2k)2－1]>0，得－2k2＋4k>0，
∴0∵中点满足消去k得轨迹方程x2＋2y2－2x－2y＝0，
所以弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0(椭圆内部)．
法二：设弦两端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点为M(x，y)，
由得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴＝－×，又∵kPQ＝kAM，∴＝－×，∴2y(y－1)＝－x(x－2)，即x2＋2y2－2x－2y＝0，所以弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0(椭圆内部)．3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其线性运算
3.1.2 共面向量定理
1．了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)
2．体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理证明线面平行问题．(难点)
3．掌握向量共线与共面和直线共线与共面的区别与联系．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 空间向量及其线性运算
阅读教材P81的部分，完成下列问题．
1．空间向量
在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．
2．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
定义(或法则)
加法
设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则．平行四边形OACB的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b
减法
与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量
空间向量的数乘
空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：大小：|λa|＝|λ||a|.方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．( )
(2)空间向量的数乘运算中，λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( )
(3)将空间的所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点构成一个圆．( )
(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.( )
(5)已知四边形ABCD，O是空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是平行四边形．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果是________．
【解析】 如图所示，－＋＝＋(＋)＝＋＝.
【答案】
教材整理2 共线向量
阅读教材P82例1上面的部分，完成下列问题．
1．共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
2．共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
教材整理3 共面向量
阅读教材P84的部分，完成下列问题．
1．共面向量
能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
有下列命题：
①平行于同一直线的向量是共线向量；
②平行于同一平面的向量是共面向量；
③平行向量一定是共面向量；
④共面向量一定是平行向量．
其中正确的命题有________．
【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．
【答案】 ①②③
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
空间向量及有关概念
下列四个命题：
(1)所有的单位向量都相等；
(2)方向相反的两个向量是相反向量；
(3)若a，b满足|a|>|b|，且a，b同向，则a>b；
(4)零向量没有方向．
其中不正确的命题的序号为________．
【精彩点拨】 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．
【自主解答】 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．
【答案】 (1)(2)(3)(4)
1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．
2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题．
[再练一题]
1．下列命题中正确的个数是________．
(1)如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
(2)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
(3)同向且等长的有向线段表示同一向量；
(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
【解析】 (1)(3)(4)正确，(2)不正确．
【答案】 3
空间向量的线性运算
化简：(－)－(－)．
【精彩点拨】 根据算式中的字母规律，可转化为加法运算，也可转化为减法运算．
【自主解答】 法一：将减法转化为加法进行化简．
∵－＝＋，
∴(－)－(－)＝＋－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋
＝＋＝0.
法二：利用－＝，－＝化简．
(－)－(－)＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
法三：∵＝－，＝－，
＝－，＝－，
∴(－)－(－)
＝(－－＋)－(－－＋)
＝－－＋－＋＋－＝0.
1．计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．
2．计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：
(1)三角形法则和平行四边形法则；
(2)正确使用运算律；
(3)有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即表示这有限个向量的和向量．
[再练一题]
2．如图3 1 1所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，若＝a，＝b，＝c，则＝________(用向量a，b，c表示)．
图3 1 1
【解析】 ＝－＝＋－＝－＋－－＝a－b＋c－b＋b＝a－b＋c.
【答案】 a－b＋c
共线向量定理及其应用
(2016·石家庄高二检测)如图3 1 2，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
图3 1 2
【精彩点拨】 要证明B，G，N三点共线，可证明∥，即证明存在实数λ，使＝λ.
【自主解答】 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)
＝－a＋b＋c，＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B，G，N三点共线．
判定或证明三点 如P，A，B 是否共线：
1 考察是否存在实数λ，使＝λ；
2 考察对空间任意一点O，是否有＝＋t；
3 考察对空间任意一点O，是否有＝x＋y x＋y＝1 .
[再练一题]
3．在例3中，若把条件“GM∶GA＝1∶3”换为“GM∶GA＝1∶1”．把“N是面ACD的重心”换为“＝λ”，增加条件“B，G，N三点共线”，其余不变，试求λ的值．
【解】 设＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)．
∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c.
＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝－a＋λb＋λc.
∵B，G，N三点共线，故存在实数k，使＝k，
即－a＋b＋c＝k，
故
解得k＝，λ＝.
共面向量定理及其应用
如图3 1 3所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)用向量法证明BD∥平面EFGH.
图3 1 3
【精彩点拨】 (1)要证E，F，G，H四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x，y，使＝x＋y即可．
(2)要证BD∥平面EFGH，只需证向量与向量，共面即可．
【自主解答】
(1)如图所示，连结BG，EG，则
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝＋.
由共面向量定理知E，F，G，H四点共面．
(2)设＝a，＝b，＝c，
则＝－＝c－a.
＝＋＝－＋(c＋b)＝－a＋b＋c，
＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c.
假设存在x，y，使＝x＋y.
即c－a
＝x＋y
＝a＋b＋c.
∵a，b，c不共线．
∴解得
∴＝－.
∴，，是共面向量，
∵BD不在平面EFGH内．
∴BD∥平面EFGH.
1．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在实数对x，y，使＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
2．用共面向量定理证明线面平行的关键
(1)在直线上取一向量；
(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量；
(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．
[再练一题]
4．对于空间某一点O，空间四个点A，B，C，D(无三点共线)分别对应着向量a＝，b＝，c＝，d＝，且存在非零实数α，β，γ，δ，使αa＋βb＋γc＋δd＝0(α＋β＋γ＋δ＝0)．求证：A，B，C，D四点共面．
【证明】 因为存在非零实数α，β，γ，δ使αa＋βb＋γc＋δd＝0(α＋β＋γ＋δ＝0)成立，则δ＝－(α＋β＋γ)，代入得αa＋βb＋γc－(α＋β＋γ)d＝0，即α(a－d)＋β(b－d)＋γ(c－d)＝0，
即α＋β＋γ＝0，∴＝－－，
∴与，共面，即A，B，C，D四点共面．
[探究共研型]
共线、共面向量的特征
探究1 如何理解共线向量及共线向量定理？
【提示】 (1)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，如果应用共线向量定理判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．
(2)用共线向量定理证明三点共线也是常用方法，在利用该定理证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使＝λ或＝λ即可．
(3)对于空间任意一点O，若有＝λ＋(1－λ)成立，则A，B，C三点共线．
探究2 如何理解共面向量定理？
【提示】 (1)共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．
(2)共面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据．
探究3 若两向量共线或共面，则这两向量所在的直线有何位置关系？
【提示】 两向量共线，这两向量所在的直线重合或平行，两向量共面，这两向量所在的直线共面或异面．
如图3 1 4所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：与，共面．
图3 1 4
【精彩点拨】 由共面向量定理，只要用，线性表示出即可．
【自主解答】 ∵＝＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝＋＋＋
＝＋，
∴与，共面．
[再练一题]
5．如图3 1 5，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．
图3 1 5
【证明】 法一：＝＋＋
＝－＋
＝(＋)－
＝－.
由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．
法二：连结A1D，BD，取A1D中点G，连结FG，BG，则有FG綊DD1，
BE綊DD1，
∴FG綊BE，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG.
BG 平面A1BD，EF 平面A1BD，
∴EF∥共面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，
∴，，都与平面A1BD平行．
∴，，是共面向量．
[构建·体系]
1．已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，则＋＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
【答案】 0
2．已知正方体ABCD A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝________(用a，b，c表示)．
【解析】 由条件AF＝EF知，EF＝2AF，所以＝＝
＝＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
【答案】 a＋b＋c
3．a＝λb(λ是实数)是a与b共线的______条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．
【解析】 a＝λb a∥b，但当b＝0，a≠0时，
则a∥b，a≠λb.
【答案】 充分不必要
4．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值是________.
【导学号：09390070】
【解析】 ∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
∵e1，e2是空间两个不共线的向量，
∴
∴k＝－8.
【答案】 －8
5．已知 ABCD，从平面AC外一点O，引向量＝k，＝k，＝k，＝k.
图3 1 6
求证：(1)四点E，F，G，H共面；
(2)平面AC∥平面EG.
【证明】 (1)四边形ABCD是平行四边形，∴＝＋.
∵＝－＝k·－k·＝k(－)
＝k＝k(＋)
＝k(－＋－)
＝－＋－
＝＋，∴E，F，G，H共面．
(2)∵＝－＝k(－)＝k·，又∵＝k·，∴EF∥AB，EG∥AC，所以平面AC∥平面EG.
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[学业达标]
一、填空题
1．下列命题中，假命题是________(填序号)．
①若与共线，则A，B，C，D不一定在同一直线上；
②只有零向量的模等于0；
③共线的单位向量都相等．
【解析】 ①②正确．共线的单位向量方向不一定相同，③错误．
【答案】 ③
2．下列结论中，正确的是________(填序号)．
①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；
③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc.
【解析】 要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提；b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．
【答案】 ②③
3．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，那么λ＝________.
【解析】 ∵P与A，B，C共面，∴＝α＋β，
∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝.
【答案】
4．如图3 1 7，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________(用向量a，b，c表示)．
图3 1 7
【解析】 设G为BC的中点，连结EG，FG，则＝＋＝＋
＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c.
【答案】 3a＋3b－5c
5．如图3 1 8，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
图3 1 8
【解析】 ＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋，∴x＝－1，y＝1，z＝，∴x＋y＋z＝.
【答案】
6．如图3 1 9，在三棱锥A BCD中，若△BCD是正三角形，E为其重心，则＋－－化简的结果为________.
【导学号：09390071】
图3 1 9
【解析】 ∵E为△BCD的重心，
∴DE＝DF，＝.
∴＋－－＝＋－－
＝－－＝－＝0.
【答案】 0
7．i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则λ的值为________．
【解析】 若A，B，C，D四点共面，则向量，，共面，故存在不全为零的实数a，b，c，
使得a＋b＋c＝0，
即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0，
∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0.
∵i，j，k不共面，
∴
∴
【答案】 1
8．有四个命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；
④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中真命题是________(填序号)．
【解析】 由共面向量定理知，①正确；若p与a，b共面，当a与b共线且p与a和b不共线时，就不存在实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立，故②错误；同理③正确，④错误．
【答案】 ①③
二、解答题
9．如图3 1 10所示，ABCD A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若＝，＝2，若＝b，＝c，＝a，试用a，b，c表示.
图3 1 10
【解】 如图，连结AF，则＝＋.由已知ABCD是平行四边形，
故＝＋＝b＋c，＝＋＝－a＋c.
由已知，＝2，∴＝＋＝－＝－＝c－(c－a)＝(a＋2c)，
又＝－＝－(b＋c)，∴＝＋
＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．
10．如图3 1 11所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
图3 1 11
【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－
＝－＝
＝(－)＝
＝(－)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
[能力提升]
1．平面α内有点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y＝________.
【解析】 由点A，B，C，D共面得x＋y＝，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，联立方程组解得x＝，y＝，所以x＋3y＝.
【答案】
2．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若＋＋＝λ，则λ＝________.
【解析】 如图，取AB的中点D，
＝＋
＝＋
＝＋·(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋.
∴＋＋＝3.
【答案】 3
3．(2016·贵港高二检测)在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是______．
【解析】 a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确．综上可知，四个命题中正确的个数为0.
【答案】 0
4．如图3 1 12，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.
图3 1 12
【证明】 因为H为BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋)．
因为EF∥AB，CD∥AB，且AB＝2EF，所以2＋＝0，所以＝(＋)＝＋.
因为与不共线，由共面向量定理知，，，共面．
因为FH 平面EDB，
所以FH∥平面EDB.1.1 命题及其关系
1.1.1 四种命题
1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义．(重点)
2．会分析四种命题的相互关系．(难点)
3．会写出四种命题和进行真假性的判断．(易错点)
[基础·初探]
教材整理1 命题
阅读教材P5上半部分，完成下列问题．
1．定义：能够判断真假的语句叫做命题．
2．真假命题：命题中正确的语句叫做真命题，错误的语句叫做假命题．
3．命题的一般形式为“若p则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“2100是个大数”是真命题．( )
(2)“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的条件是x＝1.( )
(3)求证“四边形ABCD是平行四边形”是命题．( )
【解析】 (1)×.因为不能判断真假．
(2)√.在命题“若p则q”中，p是条件，q是结论．
(3)×.该语句不是陈述句且不能判断真假．
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 四种命题及其结构
阅读教材P5中间部分，完成下列问题．
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，
(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们称这两个命题为互逆命题．
(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么称这两个命题为互否命题．
(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题称为互为逆否命题．
以上定义中，把第一个命题叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．四种命题的结构
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“若非p则q”的否命题为“若非p则非q”．( )
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )
【答案】 (1)× (2)√
2．命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为________．
【解析】 由命题“若p则q”的否命题为“若非p则非q”，可知命题“若x＞3，则x＞2”的否命题为“若x≤3，则x≤2”．
【答案】 若x≤3，则x≤2
3．命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为________.
【导学号：09390000】
【解析】 由命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行”．
【答案】 若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行
教材整理3 四种命题的关系
阅读教材P5以下部分，完成下列问题．
1．四种命题之间的关系
2．四种命题的真假
一般地，互为逆否命题的两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．
给出下列命题：
(1)若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；(2)若一个四边形对角互补，则它内接于圆；(3)正方形的四条边相等；(4)圆内接四边形对角互补；(5)对角不互补的四边形不内接于圆；(6)若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
【解析】 命题(3)可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题(4)可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题(5)可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．因此互为逆命题的有(3)和(6)，(2)和(4)；互为否命题的有(1)和(6)，(2)和(5)；互为逆否命题的有(1)和(3)，(4)和(5)．
【答案】 (3)和(6)，(2)和(4) (1)和(6)，(2)和(5) (1)和(3)，(4)和(5)
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
[小组合作型]
命题及真假判定
判断下列语句是否为命题，若是命题，则判断其真假．
(1)是无限循环小数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(5)当x＝4时，2x＋1>0；
(6)把门关上．
【精彩点拨】 首先判断是不是命题，如果是，然后再判断它是真命题还是假命题．
【自主解答】 (1)能判断真假，是命题，是假命题．
(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．
(3)不能判断真假，不是命题．
(4)是命题，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．
(5)能判断真假，是命题，是真命题．
(6)因为没有作出判断，所以不是命题．
1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．
2．判定一个命题是真命题时，一般需要经过严格的推理论证，论证要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断；而判定一个命题为假命题时，只需举出一个反例即可．
[再练一题]
1．判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．
(1)求证2是质数．
(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
(3)你是高一学生吗？
(4)一个正整数不是质数就是合数．
(5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数．
(6)2x>5.
【解】 (1)祈使句，不是命题．
(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．
(5)是假命题，如x＝，y＝－.
(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．
四种命题的概念
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)当x＞3时，x2－4x＋3＞0；
(3)正方形的对角线互相平分．
【精彩点拨】 先要找出条件和结论，写成若p则q，写出逆命题、否命题和逆否命题时要清晰它们的定义．
【自主解答】 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；
否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；
逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x＞3，则x2－4x＋3＞0；
逆命题：若x2－4x＋3＞0，则x＞3；
否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；
逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；
逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；
逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
1．由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
[再练一题]
2．设“若x2＋y2≠0，则x，y至少有一个不为0”是命题A的逆否命题，请写出命题A，并写出命题A的逆命题，否命题.
【导学号：09390001】
【解】 命题A：若x＝0且y＝0，则x2＋y2＝0.
命题A的逆命题：若x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0.
命题A的否命题：若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0.
四种命题真假的判断
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．
【精彩点拨】 依据写出的命题进行真假判定或用等价命题进行判定．
【自主解答】 (1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1.是真命题．
否命题：若q>1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根．是真命题．
逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1.是真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.是真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.是真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.是真命题．
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.是真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零．是真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0.是真命题．
判断命题真假的方法
1．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以印证．
2．原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可．
[再练一题]
3．判断下列四个命题的真假，并说明理由．
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)若“x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
【解】 (1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x＞y，但x2＜y2，所以“若x＞y，则x2＞y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x＞3，但x2－x－6＝6＞0，不满足x2－x－6≤0，故该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
[探究共研型]
四种命题的关系
探究1 给出一个原命题时，如何写出它的逆命题和否命题？当原命题真假确定时，它的逆命题和否命题真假确定吗？
【提示】 先把原命题写成“若p则q”的形式，它的逆命题就是“若q则p”，它的否命题就是“若非p则非q”；
当原命题的真假确定时，它的逆命题和否命题真假不确定，但逆命题和否命题同真同假．如真命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”的逆命题和否命题均为假；又如真命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的逆命题和否命题均为真命题．
探究2 四种命题的真假性，有且只有哪几种情况？能对这几种情况归纳成结论吗？
【提示】 有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
结论：①原命题和它的逆否命题同真同假；②一个命题的逆命题和否命题同真同假；③原命题和它的逆命题、否命题真假不一定相同．
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【精彩点拨】 根据原命题与逆否命题的等价性，先证逆否命题即可．
【自主解答】 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)证明如下：
若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
[再练一题]
4．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假.
【导学号：09390002】
【解】 法一 原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
真假判断如下：
∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)·x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
若a<1，则4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
法二 先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
所以a≥1.所以原命题成立．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．
[构建·体系]
1．下列语句不是命题的个数有________个．
①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
【解析】 ①③④是命题，含未知数的不等式不是命题．
【答案】 1
2．命题“若α＝，则tan
α＝1”的逆命题是
________.
【解析】 根据逆命题的定义可知，命题“若α＝，
则tan
α＝1”的逆命题是：若tan
α＝1，则α＝.
【答案】 若tan
α＝1，则α＝
3．命题“对于正数a，若a>1，则lg
a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________个.
【导学号：09390003】
【解析】 原命题是真命题，逆命题“对于正数a，若lg
a>0，则a>1”也是真命题．根据四种命题的真假关系，其否命题和逆否命题也是真命题．
【答案】 4
4．与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”的等价命题为________．
【解析】 与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是它的逆否命题：若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除．
【答案】 若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除
5．将命题“当a＞0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式，写出其否命题和逆否命题，并判断真假．
【解】 命题“当a＞0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线”写成“若p则q”的形式为：若a＞0，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是开口向上的抛物线，是真命题；
否命题：若a≤0，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象不是开口向上的抛物线，是真命题；
逆否命题：若函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象不是开口向上的抛物线，则a≤0，是真命题．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．给出下列语句：
①空集是任何集合的真子集；
②三角函数是周期函数吗？
③一个数不是正数就是负数；
④老师写的粉笔字真漂亮！
⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0.
其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
【答案】 ①③⑤ ⑤
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
【解析】 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
【答案】 若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
3．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的________命题．
【解析】 不妨设p：若A则B；则q：若B则A；那么q的否命题r为：若非B则非A.故p是r的逆否命题．
【答案】 逆否
4．命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题的个数有________个．
【解析】 由x2－8x＋15＝0，得x＝3或5.所以原命题正确，而逆命题和否命题不正确，逆否命题是正确的，故真命题有1个．
【答案】 1
5．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
6．命题“若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题是________，是________命题．(填“真”或“假”)
【解析】 “若p则q”的逆命题是“若q则p”．
【答案】 若b2＝ac，则实数a，b，c成等比数列 假
7．(2016·聊城高二检测)原命题为“若＜an，n∈N
，则{an}为递减数列”，其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________个.
【导学号：09390004】
【解析】 由【答案】 3
8．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三边形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
【解析】 ①否命题为“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”，是真命题；
②逆命题为“若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA”，是真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；
④逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，是假命题．
【答案】 ①②③
二、解答题
9．写出命题“若xy＝0，则x＝0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
【解】 (1)逆命题：若x＝0，则xy＝0，显然是真命题；
(2)否命题：若xy≠0，则x≠0，因为逆命题和否命题互为逆否命题，逆命题为真命题，所以否命题也是真命题；
(3)逆否命题：若x≠0，则xy≠0，为假命题，例如x＝2，y＝0，满足x≠0，但xy＝0，所以逆否命题为假命题．
10．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
【解】 ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．
[能力提升]
1．(2016·上海高三模拟)原命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数共有________个．
【解析】 若c＝0，则原命题不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真．由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．
【答案】 2
2．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 因为命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，则解得0≤m≤1，则实数m的取值范围是[0,1]．
【答案】 [0,1]
3．下列四个命题：
①“如果x2－x－6≥0，则x＞2”的否命题；
②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为真命题；
③命题“若x＝y，则sin
x＝sin
y”的逆否命题为假命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】 对于①，命题的否命题为“如果x2＋x－6＜0，则x≤2”，由x2＋x－6＜0，得－3＜x＜2，能得到x≤2，是真命题；对于②，“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”为假命题，例如a＝2≥1，b＝－1，则a＋b＝1＜2，故②是假命题；对于③，命题“若x＝y，则sin
x＝sin
y”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故③错误．
【答案】 ①
4．已知命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点；命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点．若命题p和q只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【解】 ∵命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点，
∴方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，
∴解得m>2.
又∵命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点，
∴方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0没有实数根，
∴Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1若命题p为真，命题q为假，则m≥3.
若命题p为假，命题q为真，则1综上可知，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞).2.6 曲线与方程
2.6.1 曲线与方程
1．了解曲线与方程的对应关系，理解“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念．(重点、难点)
2．理解数形结合思想，会处理一些简单的曲线与方程问题．(难点)
3．曲线与方程的对应关系．(易错点)
[基础·初探]
教材整理 曲线的方程 方程的曲线
阅读教材P60例1以上的部分，完成下列问题．
1．方程与曲线的定义
在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足以下关系：
如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
2．方程与曲线的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程f(x，y)＝0就是曲线的方程．( )
(2)如果f(x，y)＝0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )
(3)若曲线C上的点满足方程f(x，y)＝0，则坐标不满足方程f(x，y)＝0的点不在曲线C上．( )
(4)方程x＋y－2＝0是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程．( )
(5)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．点A在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，则m＝________.
【解析】 据题意，有m2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或－.
【答案】 2或－
3．方程|y|＝|2x|表示的曲线是________．
【解析】 ∵|y|＝|2x|，∴y＝±2x，表示两条直线．
【答案】 两条直线
4．已知曲线C的方程为x2－xy＋2y－7＝0，则下列四点中，在曲线C上的点有________(填序号)．
①(－1,2)；②(1，－2)；③(2，－3)；④(3,6)．
【解析】 把各点的坐标代入检验知，只有(－1,2)满足方程．
【答案】 ①
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
曲线与方程概念的理解
(1)判断点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值．
【精彩点拨】 由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲线的方程．
【自主解答】 (1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点B(－3，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点C(，2)的坐标代入x2＋y2＝25，得()2＋(2)2＝25，满足方程，但因为横坐标不满足x≤0的条件，所以点C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M(m，)，N在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，×＝n2(n2－1)，解得m＝±，n＝±或±.
1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．
(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；
(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数．
2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．
[再练一题]
1．若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是________(填序号)．
①方程f(x，y)＝0的曲线是C；
②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；
③f(x，y)＝0是曲线C的方程；
④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
【解析】 只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知①③④错误．
【答案】 ②
由方程确定曲线
方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
【精彩点拨】 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图象，可由方程的特点入手分析．
【自主解答】 方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，
而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴2(x－1)2＝0，(y＋1)2＝0，
∴x－1＝0且y＋1＝0，即x＝1，y＝－1.
∴方程表示点(1，－1)．
曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性.
[再练一题]
2．方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？
【解】 方程(x＋y－1)＝0等价于或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
故方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1).
点与曲线的关系及应用
(1)点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值是________．
(2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，则实数k的取值范围是________．
【精彩点拨】 (1)利用点在曲线上，则点的坐标满足方程，代入解方程可得；(2)点(a，－a)在曲线上，则点(a，－a)适合方程，把k用a表示出来，利用求值域的方法得k的范围．
【自主解答】 (1)因为点P(a＋1，a＋4)在曲线y＝x2＋5x＋3上，
所以a＋4＝(a＋1)2＋5(a＋1)＋3，即a2＋6a＋5＝0，解得a＝－1或－5.
(2)∵曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，
∴a2＝－a2＋2a＋k，
∴k＝2a2－2a＝22－，
∴k≥－，
∴k的取值范围是.
【答案】 (1)－1或－5 (2)
判断点与曲线位置关系的方法
如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标为(x0，y0)．
(1)点P(x0，y0)在曲线C：f(x，y)＝0上 f(x0，y0)＝0.
(2)点P(x0，y0)不在曲线C：f(x，y)＝0上 f(x0，y0)≠0.
[再练一题]
3．若点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，则m的值为________.
【导学号：09390055】
【解析】 ∵点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，∴m－m2＝0，
解得m＝0或m＝1.
【答案】 0或1
[探究共研型]
曲线与方程的关系
探究1 怎样理解曲线与方程的概念？
【提示】 定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．
探究2 理解曲线的方程与方程的曲线的概念时应注意什么？
【提示】 (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．
方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D(8,0)中的________个点．
【精彩点拨】 方程表示两条直线x－4y－12＝0和x＋2y－8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x＋2y>0.
【自主解答】 由对数的真数大于0，得x＋2y>0.
∴A(0，－3)，C不符合要求；
将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(8,0)代入方程检验，符合要求．
【答案】 2
点与实数解建立了如下关系：C上的点 x0，y0 ??f x，y ＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可.
[再练一题]
4．已知直线l：x＋y＋3＝0，曲线C：(x－1)2＋(y＋3)2＝4，若P(1，－1)，则点P与l，C的关系是________．
【解析】 由1－1＋3≠0，∴P不在l上，即P l；
又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4，
∴点P在曲线C上，即P∈C.
【答案】 P l，P∈C
[构建·体系]
1．设方程F(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下面命题中正确的是________(填序号)．
①坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
②曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0；
③坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；
④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.
【解析】 因为命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，所以其否定：存在不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0，是正确的，即④正确．
【答案】 ④
2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的________条件.
【导学号：09390056】
【解析】 ∵f(x0，y0)＝0，可知点P(x0，y0)
在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0，
∴f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．
【答案】 充要
3．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为_______________________．
【解析】 ∵P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，∴4－9a＝1，解得a＝.
【答案】
4．如图2 6 1中，方程表示图中曲线的是________．
图2 6 1
【解析】 ∵x2＋y2＝1表示单位圆，故①错；x2－y2＝0表示两条直线y＝x和y＝－x，故②错；lg
x＋lg
y＝0可化为xy＝1(x>0，y>0)，故④错；只有③正确．
【答案】 ③
5．方程(x＋y－2)·＝0表示什么曲线？
【解】 (x＋y－2)·＝0变形为
x2＋y2－9＝0或
表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线．
我还有这些不足：
(1)
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一、填空题
1．如图2 6 2所示，方程y＝表示的曲线是________．
图2 6 2
【解析】 y＝＝所以图②满足题意．
【答案】 ②
2．方程(x＋y－1)＝0表示的曲线是________．
【解析】 方程(x＋y－1)＝0等价于或x－y－3＝0.
即x＋y－1＝0(x≥2)或x－y－3＝0，故方程(x＋y－1)＝0表示射线x＋y－1＝0(x≥2)和直线x－y－3＝0.
【答案】 射线x＋y－1＝0(x≥2)和直线x－y－3＝0
3．条件甲“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，条件乙“曲线C是方程f(x，y)＝0的图形”，则甲是乙的________条件．
【解析】 在曲线的方程和方程的曲线定义中，下面两个条件缺一不可：(1)曲线上点的坐标都是方程的解，(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上．很显然，条件甲满足(1)而不一定满足(2)．所以甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．在平面直角坐标系中，方程|x2－4|＋|y2－4|＝0表示的图形是________．
【解析】 易知|x2－4|≥0，|y2－4|≥0，由|x2－4|＋|y2－4|＝0，得解得表示的图形为(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点．
【答案】 (2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)四个点
5．下列命题正确的是________(填序号)．
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；
②△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0；
③到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
④曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.
【解析】 对照曲线和方程的概念，①中的方程需满足y≠2；②中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而③中动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有④是正确的．
【答案】 ④
6．下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是________________(填序号).
【导学号：09390057】
①y＝与y2＝x；②y＝x与＝1；
③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg
x2与y＝2lg
x.
【解析】 ①中y＝时，y≥0，x≥0，而y2＝x时，x≥0，y∈R，故不表示同一曲线；②中＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．
【答案】 ③
7．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
【解析】 由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.
【答案】 5
8．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线是________(填序号)．
①过点P且垂直于l的直线；
②过点P且平行于l的直线；
③不过点P但垂直于l的直线；
④不过点P但平行于l的直线．
【解析】 点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．
【答案】 ②
二、解答题
9．分析下列曲线上的点与方程的关系．
(1)求第一、三象限两轴夹角平分线上点的坐标满足的关系；
(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与方程y＝x2的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．
【解】 (1)第一、三象限两轴夹角平分线l上点的横坐标x与纵坐标y相等，即y＝x.
①l上点的坐标都是方程x－y＝0的解；
②以方程x－y＝0的解为坐标的点都在l上．
(2)函数y＝x2的图象如图所示是一条抛物线，这条抛物线上的点的坐标都满足方程y＝x2，即方程y＝x2对应的曲线是如图所示的抛物线，抛物线的方程是y＝x2.
(3)如图所示，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，然而坐标满足方程|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程．
10．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－2，2)是否在这个圆上．
【解】 ①设M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点M到原点的距离等于5，所以＝5，也就是x＋y＝25，即(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解．
②设(x0，y0)是方程x2＋y2＝25的解，那么x＋y＝25，两边开方取算术平方根，得＝5，即点M(x0，y0)到原点的距离等于5，点M(x0，y0)是这个圆上的点．
由①②可知，x2＋y2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．
把点M1(3，－4)代入方程x2＋y2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M1在这个圆上；把点M2(－2，2)代入方程x2＋y2＝25，左右两边不相等，(－2，2)不是方程的解，所以点M2不在这个圆上．
[能力提升]
1．已知0≤α<2π，点P(cos
α，sin
α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．
【解析】 由(cos
α－2)2＋sin2α＝3，得cos
α＝.又0≤α<2π，∴α＝或.
【答案】 或
2．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是____________(填序号)．
图2 6 3
【解析】 由题意可得x＋y＋1＝0或
它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．
【答案】 ③
3．由方程(|x|＋|y|－1)(x2＋4)＝0表示的曲线所围成的封闭图形的面积是________．
【解析】 表示的曲线为|x|＋|y|＝1，其图形如图所示，为一正方形，S＝()2＝2.
【答案】 2
4．已知点P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
【证明】 因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，P在曲线g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ0＝0，故点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上.章末分层突破
①数乘运算
②空间向量的数量积
③垂直
④夹角
⑤数乘结合律
⑥线面关系
⑦点面距
空间向量及其运算
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，这是用向量法求解立体几何问题的基础．
沿着正四面体OABC的三条棱，，的方向有大小等于1,2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦值．
【精彩点拨】 用向量表示f1，f2，f3，再根据模与夹角的向量运算公式求解．
【规范解答】 如图所示，用a，b，c分别代表棱，，上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos
60°＋6cos
60°＋12cos
60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝＝＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
[再练一题]
1．如图3 1，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④·＝·；⑤·＝0.
其中正确结论的序号是________．
图3 1
【解析】 容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
【答案】 ③④
空间平行与垂直的证明
向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．利用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下：
(1)线线平面
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b a·b＝0.
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明平面内一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理证明，即用平面内两不共线向量线性表示直线的方向向量．
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
图3 2
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.
【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，(1)利用向量，可用平面BCE内的两个不共线向量表示证明；(2)题可利用(1)的结论证明．
【规范解答】 依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．
∵F为CD的中点，
∴F.
(1)易知，＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)．
∵＝(＋)，AF 平面BCE，
∴AF∥平面BCE.
(2)∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)，
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，
即AF⊥CD，AF⊥ED.
又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
[再练一题]
2．正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°，求证：EF⊥平面BCE.
【证明】 因为△ABE为等腰直角三角形，所以AB＝AE，
AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE 平面ABEF，
平面ABEF∩平面ABCD＝AB，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD，
因此AD，AB，AE两两垂直．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)．
因为FA＝FE，∠AEF＝45°，
所以∠AFE＝90°，
从而F，
所以＝，＝(0，－1,1)，＝(1,0,0)．
·＝0＋－＝0，·＝0，
所以EF⊥BE，EF⊥BC.
因为BE 平面BCE，BC 平面BCE，BC∩BE＝B，
所以EF⊥平面BCE.
利用空间向量求空间角
利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解；
(2)直线与平面所成的角：
要求直线l与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线l的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉；
(3)二面角：如图3 3，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．
图3 3
如图3 4，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小；
(3)求二面角A EB C的大小．
图3 4
【精彩点拨】 (1)根据判定定理求解；(2)由(1)知是平面EBC的一个法向量，先求〈，〉，直线AB与平面EBC所成的角为90°－〈，〉；(3)求出平面AEB的法向量n，计算cos〈n，〉，再确定二面角A EB C的大小．
【规范解答】 (1)证明：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A xyz.
设EA＝AC＝BC＝2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)．
∴＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0，∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量．
∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
(3)设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥且n⊥，∴n·＝0且n·＝0.
∴即
取y＝－1，∴x＝1，∴n＝(1，－1,0)．
又∵为平面EBC的一个法向量，且＝(0,1,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－.
设二面角A EB C的平面角为θ，由图可知θ为锐角，
则cos
θ＝|cos〈n，〉|＝，
∴θ＝60°.
∴二面角A EB C等于60°.
[再练一题]
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.
【导学号：09390090】
【解】 不妨设正方体的棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，则＝(－1,0,2)，＝(1，－1,2)，∴||＝，||＝，·＝－1＋0＋4＝3.
又·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝，∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.
用空间向量解决空间中的探索性问题
用空间向量研究立体几何中的探索性(或存在性)问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式，处理空间平行、垂直等位置关系问题，可避开传统的“作—证—算”中的难点，具有较强的可操作性．
提醒：利用空间几何体的位置关系转化为向量运算的关系式，建立方程是动点存在性问题得以解决的关键．
在四棱锥P ABCD中，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在PC上是否存在点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．
【精彩点拨】 易知PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，由BF∥平面AEC得＝λ1＋λ2，确定，，的坐标及系数λ1，λ2即可．
【规范解答】 以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y轴，z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图所示．由题设条件可得，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B，C，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E，所以＝，＝，＝(0,0，a)，＝，＝，
设点F是棱PC上的点，＝λ＝，其中0<λ<1，
则＝＋＝＋＝.
令＝λ1＋λ2，
得
即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，
即λ＝，＝－＋，
所以当F是PC的中点时，，，共面．
又BF 平面AEC，所以BF∥平面AEC.
[再练一题]
4．如图3 5，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
图3 5
【解】 假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连结AQ.∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，
∴·＝0，即·＋·＝0.
又由·＝0，∴·＝0，∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意．
综上所述，当a≥2时，存在点Q；当0数形结合的思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．
如图3 6(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图(2))，连结BC，BD.求平面ABE与平面BCD的夹角．
(1) (2)
图3 6
【精彩点拨】 在图1中易知△ABE和△ADE都是等边三角形，取AE中点M，连结BM，DM，由平面BAE⊥平面AEC知，BM⊥平面AEC，以M为原点建立空间直角坐标系，用平面的法向量的夹角计算．
【规范解答】 取AE中点M，连结BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，所以△ABE与△ADE都是等边三角形，所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系M xyz，如图，则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD的夹角为45°.
[再练一题]
5．在直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC夹角的余弦值．
【解】 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC夹角的余弦值为.
转化与化归的思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．
如图3 7所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求平面BAC与平面ACD夹角的余弦值．
图3 7
【精彩点拨】 求两平面的夹角，可以作出垂直于棱的两个向量，转化为求这两个向量的夹角，但应注意两向量的始点应在二面角的棱上．
【规范解答】 如图所示，作DG⊥AC于G，BH⊥AC于H，在Rt△ADC中，AC＝＝5，cos∠DAC＝＝.
在Rt△ADG中，
AG＝ADcos∠DAC＝3×＝，
DG＝＝，
同理cos∠BCA＝，CH＝，BH＝.
∵·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－×＋×3×＋3××＋0＝，
又||·||＝，∴cos〈，〉＝，
即所求平面BAC与平面ACD夹角的余弦值为.
[再练一题]
6．在棱长为a的正方体OABC O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
【证明】 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)，
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a)．
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
函数与方程思想
共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理都是由几个向量间的等式关系组成的，因此解决相关问题时，常用到方程思想．而利用空间向量的坐标运算解决已知夹角、距离的问题时，常需要建立方程求解，或者利用函数求最值．
如图3 8，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0图3 8
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小；
(3)当MN最小时，求平面MNA与平面MNB所成二面角α的余弦值．
【精彩点拨】 →
→→→
【规范解答】 (1)以B为坐标原点，分别以BA，BE，BC为x，y，z轴建立空间直角坐标系B xyz，
由CM＝BN＝a，M，N，
∴＝，
∴||＝
＝(0(2)由(1)，
得||＝，
所以当a＝时，||min＝，
即M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.
(3)取MN的中点P，连结AP，BP，因为AM＝AN，BM＝BN，
所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角．
MN的长最小时，M，N.
由中点坐标公式，得P，
又A(1,0,0)，B(0,0,0)．
∴＝，＝.
∴cos∠APB＝
＝＝－.
∴平面MNA与平面MNB所成二面角α的余弦值为－.
[再练一题]
7．已知空间的一组基底{a，b，c}，p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．
【解】 显然m与n不共线，设p＝xm＋yn，则3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
1．(2015·四川高考)如图3 9，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos
θ的最大值为________．
图3 9
【解析】 以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0≤y≤2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，∴＝(－1，y,2)，||＝，＝(2,1,0)，||＝，
∴cos
θ＝＝＝.
令t＝2－y，要使cos
θ最大，显然0∴cos
θ＝×＝×≤×＝×＝.
当且仅当t＝2，即点M与点Q重合时，cos
θ取得最大值.
【答案】
2．(2015·全国卷Ⅱ)如图3 10，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
图3 10
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．
【解】 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，所以AH＝10.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，＝(10,0,0)，＝(0，－6,8)．
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n＝(0,4,3)．
又＝(－10,4,8)，
故|cos〈n，〉|＝＝.
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.
3．(2016·全国卷Ⅲ)如图3 11，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
图3 11
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，
＝(0,2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
4．(2015·全国卷Ⅰ)如图3 12，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
图3 12
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
【解】 (1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.
从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.
因为EG 平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz.
由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)，
所以＝(1，，)，＝.
故cos〈，〉＝＝－.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.