第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．
2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．
3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．
4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．
5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．
一、填空题
1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)
①著名的科学家；
②留长发的女生；
③2010年广州亚运会比赛项目；
④视力差的男生．
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)
①0∈A；②a A；③a∈A；④a＝A.
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)
①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)
①1；②－2；③6；④2.
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．
6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有________个元素．
7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“ ”填空
－______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.
二、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A
(a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
知识梳理
1．集合 元素 元 2.大写拉丁字母A，B，C… 小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于 ∈ 属于 不属于 不属于
4．确定性 互异性 无序性 5.R Q Z N N
N＋
作业设计
1．③
解析 ①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．
2．③
解析 由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．
3．④
解析 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．
4．③
解析 因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③.
5．3
解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．
6．2
解析 因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
7．①④
解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈ ∈
10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．
11．解 由－3∈A，
可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，
∴A不可能为单元素集．第2课时 用二分法求方程的近似解
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到题目要求；否则重复(2)～(4)．
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
2．下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．(填序号)
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2
007)<0，f(2
008)<0，f(2
009)>0，则下列叙述正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在(2
007,2
008)内不存在零点；
②函数f(x)在(2
008,2
009)内不存在零点；
③函数f(x)在(2
008,2
009)内存在零点，并且仅有一个；
④函数f(x)在(2
007,2
008)内可能存在零点．
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．
5．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上的零点有____个．
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则下列各式中正确的是________．(填序号)
①f(x1)<0，f(x2)<0；②f(x1)<0，f(x2)>0；
③f(x1)>0，f(x2)<0；④f(x1)>0，f(x2)>0.
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；
⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.70)>0，f(0.687
5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确到为0.1)．
二、解答题
10．确定函数f(x)＝x＋x－4的零点所在的区间．
11．设函数g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.
(1)证明：g(x)在区间(－1,0)内有一个零点；
(2)求出函数g(x)在(－1,0)内的零点(精确到0.1)．
能力提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为________．
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
1．函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数；
从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
2．关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：
(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f(a)·f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．
2．5.2 用二分法求方程的近似解
作业设计
1．0.625
解析 由题意知f(x0)＝f()＝f(1.5)，代入解析式易计算得0.625.
2．②③④
解析 由①中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即①中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．
3．④
4．(1.25,1.5)
解析 ∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
5．1
解析 f(x)＝(x－1)2(x＋1)＝0，
x1＝1，x2＝－1，
故f(x)在[0,2]上有一个零点．
6．②
解析 ∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，
＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1
又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.7
解析 因为0.70与0.6875精确到0.1的近似值都为0.7.
10．解 (答案不唯一)
设y1＝x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．(1)证明 g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.
∵g(－1)＝2>0，g(0)＝－3<0，
∴g(x)在区间(－1,0)内有一个零点．
(2)解 g(－0.5)>0，g(0)<0 x∈(－0.5,0)；
g(－0.5)>0，g(－0.25)<0 x∈(－0.5，－0.25)；
g(－0.5)>0，g(－0.375)<0 x∈(－0.5，－0.375)；
g(－0.437
5)>0，g(－0.375)<0
x∈(－0.437
5，－0.375)．
因此，x≈－0.4为所求函数g(x)的零点．
12．0
解析 ∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，
∴④也错误．
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．§3.4 函数的应用
3.4.1
函数与方程
第1课时 函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
与x轴交
点个数
方程的根
无解
2.函数的零点
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______．
3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的______．
4．方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有______
函数y＝f(x)有______．
函数零点的存在性的判断方法
若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
一、填空题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)
①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．
5．函数f(x)＝零点的个数为________．
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是________．
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝ln
x－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
二、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是_______________________．
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
§2.5 函数与方程
2．5.1 函数的零点
知识梳理
1．2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根 横坐标
4．交点 零点
作业设计
1．2个
解析 方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．
2．①②④
解析 对于①，可能存在根；
对于②，必存在但不一定唯一；
④显然不成立．
3．0，－
解析 ∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
4．4
解析 由图象可知，当x>0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个．
5．2
解析 x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln
x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∴f(1)f(e3)<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．
6．(－∞，0)
解析 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2) b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝ln
x与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ln
x与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝ln
x－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－12．3
解析 由已知得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．
13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
∴对数（二）
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝________；
(2)loga＝___________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
2．对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、填空题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号)
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②(logax)n＝nlogax；
③＝loga；
④＝logax－logay.
2．计算：log916·log881的值为__________．
3．若log5·log36·log6x＝2，则x＝________.
4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A＝________.
5．已知log89＝a，log25＝b，则lg
3＝________(用a、b表示)．
6．若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值为________．
7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝______________.
8．(lg
5)2＋lg
2·lg
50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lg
E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
二、解答题
10．(1)计算：lg－lg＋lg
12.5－log89·log34；
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
11．若a、b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组号
一
二
三
四
五
六
七
x
0.301
03
0.477
11
0.698
97
0.778
15
0.903
09
1.000
00
1.079
18
10x
2
3
5
6
8
10
12
假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)
1．在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
由对数换底公式又可得到两个重要结论：
(1)logab·logba＝1；
(2)＝logab.
3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg
5＋lg
2＝1”来解题．
第2课时 对数运算
知识梳理
1．(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM 2.1
作业设计
1．③
2.
解析 log916·log881＝·＝·＝.
3.
解析 由换底公式，得··＝2，
lg
x＝－2lg
5，x＝5－2＝.
4.
解析 ∵3a＝5b＝A>0，
∴a＝log3A，b＝log5A.
由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，
得A2＝15，A＝.
5.
解析 ∵log89＝a，∴＝a.
∴log23＝a.
lg
3＝＝＝.
6．2
解析 由根与系数的关系可知lg
a＋lg
b＝2，
lg
alg
b＝.
于是(lg)2＝(lg
a－lg
b)2
＝(lg
a＋lg
b)2－4lg
alg
b＝22－4×＝2.
7.－3
解析 原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋
＝2＋－5＝－3.
8．1
解析 (lg
5)2＋lg
2·lg
50＝(lg
5)2＋lg
2(lg
5＋lg
10)
＝(lg
5)2＋lg
2·lg
5＋lg
2＝lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2
＝lg
5＋lg
2＝1.
9．1
000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝(lg
E2－lg
E1)，即lg＝3.
∴＝103＝1
000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1
000颗广岛原子弹．
10．解 (1)方法一 lg－lg＋lg
12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
方法二 lg－lg＋lg
12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg
2－lg
5＋3lg
2＋(2lg
5－lg
2)－·
＝(lg
2＋lg
5)－＝1－＝－.
(2)方法一 由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
方法二 因为3a＝4b＝36，所以＝3,＝4，
所以()2·＝32×4，
即＝36，故＋＝1.
11．解 原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0.
设t＝lg
x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg
a，t2＝lg
b，
即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg
a＋lg
b)·(＋)
＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
12．二
解析 由指数式与对数式的互化可知，
10x＝N x＝lg
N，
将已知表格转化为下表：
组号
一
二
三
四
五
六
七
N
2
3
5
6
8
10
12
lg
N
0.301
03
0.477
11
0.698
97
0.778
15
0.903
09
1.000
00
1.079
18
∵lg
2＋lg
5＝0.301
03＋0.698
97＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg
8＝3lg
2＝3×0.301
03＝0.903
09，
∴第五组对应值正确．
∵lg
12＝lg
2＋lg
6＝0.301
03＋0.778
15＝1.079
18，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．
13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得＝0.75x，即x＝
＝＝
＝≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.第1章 集 合(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列各组对象中能构成集合的是________．(填序号)
①北京尼赏文化传播有限公司的全体员工；
②2010年全国经济百强县；
③2010年全国“五一”劳动奖章获得者；
④美国NBA的篮球明星．
2．设全集U＝R，集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|x<－2或x>5}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为________．
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|x>1}，则集合A∩ UB＝________.
4．已知f(x)、g(x)为实数函数，且M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，则方程[f(x)]2＋[g(x)]2＝0的解集是________．(用M、N表示)．
5．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A B，则实数k的取值范围为________．
6．定义两个数集A，B之间的距离是|x－y|min(其中x∈A，y∈B)．若A＝{y|y＝x2－1，
x∈Z}，B＝{y|y＝5x，x∈Z}，则数集A，B之间的距离为________．
7．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________．
8．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B A，则实数m的取值范围为____________．
9．若集合A、B、C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是________．
10．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合运算：P
Q＝{z|z＝ab(a＋b)，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1}，Q＝{2,3}，则P
Q中元素之和为________．
11．集合M由正整数的平方组成，即M＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M对下列运算封闭的是________．
①加法 ②减法 ③乘法 ④除法
12．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则 U(M∪N)＝________.
13．若集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x14．设集合A＝{x|x2＋x－1＝0}，B＝{x|ax＋1＝0}，若BA，则实数a的不同取值个数为________个．
三、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及 UA.
16．(14分)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，( UM)∩N，( UM)∪( UN)．
17．(14分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．
(1)若m＝4，求A∪B；
(2)若B A，求实数m的取值范围．
18．(16分)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；
(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
19．(16分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B A，求实数a的取值范围．
20．(16分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a，a，a，a}，其中a1第1章 集 合(B)
1．④
解析 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为①、②、③中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而④中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否是篮球明星，故不能构成集合．
2．[－2,3]
解析 化简集合A，得A＝{x|－3≤x≤3}，集合B＝{x|x<－2或x>5}，所以A∩B＝{x|－3≤x<－2}，阴影部分为 A(A∩B)，即为{x|－2≤x≤3}．
3．{x|0解析 由x2－2x<0，得0所以A∩ UB＝{x|04．M∩N
解析 若[f(x)]2＋[g(x)]2＝0，则f(x)＝0且g(x)＝0，
故[f(x)]2＋[g(x)]2＝0的解集是M∩N.
5．[－1，]
解析 由题意，得解得：
∴实数k的取值范围为[－1，]．
6．0
解析 集合A表示函数y＝x2－1的值域，由于x∈Z，所以y的值为－1,0,3,8,15,24，….集合B表示函数y＝5x的值域，由于x∈Z，所以y的值为0,5,10,15，….因此15∈A∩B.
所以|x－y|min＝|15－15|＝0.
7．{－3,2}
解析 ∵2∈M，∴3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2，解得x＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3和2符合集合中元素的互异性，故所求的集合为{－3,2}．
8．[－1，＋∞)
解析 ∵B A，当B＝ 时，
得2m－1>m＋1，∴m>2，
当B≠ 时，得
解得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为m≥－1.
9．A C
解析 ∵A∩B＝A，∴A B，
∵B∪C＝C，∴B C，∴A C.
10．18
解析 ∵P＝{0,1}，Q＝{2,3}，a∈P，b∈Q，故对a，b的取值分类讨论．当a＝0时，z＝0；当a＝1，b＝2时，z＝6；当a＝1，b＝3时，z＝12.综上可知：P
Q＝{0,6,12}，元素之和为18.
11．③
解析 设a、b表示任意两个正整数，则a2、b2的和不一定属于M，如12＋22＝5 M；a2、b2的差也不一定属于M，如12－22＝－3 M；a2、b2的商也不一定属于M，如＝ M；因为a、b表示任意两个正整数，a2·b2＝(ab)2，ab为正整数，所以(ab)2属于M，即a2、b2的积属于M.
12．{(2,3)}
解析 集合M表示直线y＝x＋1上除点(2,3)外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N表示直线y＝x＋1外的点，所以M∪N表示直线y＝x＋1外的点及两条射线， U(M∪N)中的元素就是点(2,3)．
13．3
14．3
解析 注意B＝ 的情况不要漏了．
15．解 设方程x2－5x＋q＝0的两根为x1、x2，
∵x∈U，x1＋x2＝5，
∴q＝x1x2＝1×4＝4或q＝x1·x2＝2×3＝6.
当q＝4时，A＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，
∴ UA＝{2,3,5}；
当q＝6时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
∴ UA＝{1,4,5}．
16．解 由题意得M∪N＝{x|x≤3}， UM＝{x|x>3}， UN＝{x|x≥1}，
则( UM)∩N＝{x|x>3}∩{x|x<1}＝ ，
( UM)∪( UN)＝{x|x>3}∪{x|x≥1}
＝{x|x≥1}．
17．解 (1)当m＝4时，A＝{x∈R|2x－8＝0}＝{4}，B＝{x∈R|x2－10x＋16＝0}＝{2,8}，
∴A∪B＝{2,4,8}．
(2)若B A，则B＝ 或B＝A.
当B＝ 时，有Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(2m＋1)<0，得m<－；
当B＝A时，有Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(2m＋1)＝0，
且－＝4，解得m不存在．
故实数m的取值范围为(－∞，－)．
18．解 A中元素x即为方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，x∈R)的解．
(1)∵A中只有一个元素，
∴ax2＋2x＋1＝0只有一解．
当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－符合题意；
当a≠0且Δ＝4－4a＝0即a＝1时，方程的解x1＝x2＝－1，此时A中也只有一元素
－1.
综上可得：当a＝0时，A中的元素为－；当a＝1时，A中的元素为－1.
(2)若A中只有一个元素，由(1)知a＝0或a＝1，
若A中没有元素，即方程ax2＋2x＋1＝0无解，
∴，解得a>1，
综上可得：a>1或a＝0或a＝1.
19．解 A＝{x|x2＋4x＝0}＝{x|x＝0或x＝－4}＝{0，－4}．
∵B A，∴B＝ 或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
当B＝ 时，即x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实根，
由Δ<0，即4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1；
当B＝{0}时，由根与系数的关系：0＋0＝－2(a＋1)，
0×0＝a2－1 a＝－1；
当B＝{－4}时，由根与系数的关系：－4－4＝－2(a＋1)，
(－4)×(－4)＝a2－1 无解；
当B＝{0，－4}时，由根与系数的关系：0－4＝－2(a＋1)，
0×(－4)＝a2－1 a＝1.
综上所述，a＝0或a≤－1.
20．解 ∵1≤a1∴a∵A∩B＝{a1，a4}，
∴只可能有a1＝a a1＝1.
而a1＋a4＝10，∴a4＝9，∴a≠a4.
(1)若a＝a4，则a2＝3，
∴A∪B＝{1,3，a3,9，a，81}，
∴a3＋a＋94＝124 a3＝5；
(2)若a＝a4，则a3＝3，同样可得a2＝5>a3，与条件矛盾，不合题意．
综上所述，A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}．§1.3 交集、并集
课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．交集
(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝__________.
(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：
(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩ ＝____，A∩B＝A ______.
2．并集
(1)定义：一般地，________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝______________.
(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为图中的阴影部分：
(4)性质：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪ ＝____，A∪B＝A ______，A____A∪B，A∩B____A∪B.
一、填空题
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.
3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是________．
①A B；②B C；③A∩B＝C；④B∪C＝A.
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.
5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于________．
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则下列关系正确的是________．
①N∈M；②M∪N＝M；③M∩N＝M；④M>N.
7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1二、解答题
10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝ .求p，q的值．
11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
能力提升
12．定义集合运算：A
B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A
B的所有元素之和为________．
13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．
1．对并集、交集概念全方面的感悟
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．
“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
拓展 交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A B A∪B＝B，A B A∩B＝A.这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．
§1.3 交集、并集
知识梳理
1．(1)所有属于集合A且属于集合B的 A∩B (2){x|x∈A，且x∈B} (4)B∩A A A B 2.(1)由所有属于集合A或属于集合B A∪B (2){x|x∈A，或x∈B} (4)B∪A A A B A
作业设计
1．{0,1,2,3,4}
2．{x|－1≤x<1}
解析 由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．
3．④
解析 参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.
4．{(3，－1)}
解析 M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解得
5．3
解析 依题意，由A∩B＝{2}知2a＝2，
所以，a＝1，b＝2，a＋b＝3.
6．②
解析 ∵NM，∴M∪N＝M.
7．0或1
解析 由A∪B＝A知B A，
∴t2－t＋1＝－3①
或t2－t＋1＝0②
或t2－t＋1＝1③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
8．1
解析 ∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1 2
解析 ∵B∪C＝{x|－3(B∪C)，
∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10．解 由A∩C＝A，A∩B＝ ，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.
∴，∴.
11．解 ∵A∩B＝B，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，此时a≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
12．6
解析 x的取值为1,2，y的取值为0,2，
∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6.
13．解 符合条件的理想配集有
①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共3个．3.4.2
习题课
课时目标 1.进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2.掌握几种初等函数的应用.3.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法．
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为________．(填序号)
2．能使不等式log2x3．四人赛跑，假设其跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是___________________________________________．
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100
km，票价是0.5元/km，如果超过100
km，超过100
km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________．
5．如图所示，要在一个边长为150
m的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到70%，则道路的宽为______m(精确到0.01
m)．
一、填空题
1．下面对函数f(x)＝x与g(x)＝()x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快；
②f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢；
③f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢；
④f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快．
2．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是________．(填序号)
①y＝ex；②y＝100ln
x；③y＝x100；④y＝100·2x.
3．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为________．
4．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法中正确的是________．(填序号)
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3
小包盈利多．
5．某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是________．
6．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是________．(填序号)
①y＝0.2x；②y＝(x2＋2x)；③y＝；④y＝0.2＋log16x.
7．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡．
8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是________．
9．已知甲、乙两地相距150
km，某人开汽车以60
km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50
km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为________．
二、解答题
10．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正常数．
(1)说明该函数是增函数还是减函数；
(2)把t表示成原子数N的函数；
(3)求当N＝时，t的值．
11．我县某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)．
能力提升
12．某乡镇现在人均一年占有粮食360
kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y
kg粮食，求出函数y关于x的解析式．
13．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a>2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？
解决实际问题的解题过程：
(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学中，我们建立的函数模型一般都是基本初等函数；
(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模
型的解，并还原为实际问题的解．
这些步骤用框图表示：
习题课
双基演练
1．④
解析 设某地区的原有荒漠化土地面积为a，则x年后的面积为a(1＋10.4%)x，由题意y＝＝1.104x，知④正确．
2．(0,2)∪(4，＋∞)
解析 由题意知x的范围为x>0，由y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象可知，当x>0时，log2x3．f4(x)＝2x
解析 由于指数函数的增长特点是越来越大，故为f4(x)＝2x.
4．y＝
5．24.50
解析 设道路宽为x，则×100%＝30%，
解得x1≈24.50，x2≈275.50(舍去)．
作业设计
1．③
2．①
解析 对于指数函数，当底数大于1时，函数值随x的增大而增长的速度快，又∵e>2，故①的增长速度最快．
3．y＝20－2x(5解析 ∵20＝y＋2x，∴y＝20－2x，
又y＝20－2x>0且2x>y＝20－2x，∴54．②④
解析 买小包装时每克费用为元，买大包装每克费用为＝元，而>，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3>2.1，卖1大包盈利多，故②④正确．
5．少赚约6元
解析 设A、B两种商品的原价为a、b，
则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23 a＝，b＝，a＋b－46≈6(元)．
6．③
解析 将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x＝1,2,3时，
选项①、②、③、④中得到的y值做比较，
y＝的y值比较接近．
7．4
解析 设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，可供4人洗澡．
8．y＝
解析 设每经过1年，剩留量为原来的a倍，则y＝ax，
且0.957
6＝，从而a＝，因此y＝.
9．s＝
解析 当0≤t≤2.5时s＝60t，
当2.5当3.5≤t≤6.5时s＝150－50(t－3.5)＝325－50t，
综上所述，s＝
10．解 (1)由于N0>0，λ>0，函数N＝N0e－λt是属于指数函数y＝e－x类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少．
(2)将N＝N0e－λt写成e－λt＝，
根据对数的定义有－λt＝ln，
所以t＝－(ln
N－ln
N0)＝(ln
N0－ln
N)．
(3)把N＝代入t＝(ln
N0－ln
N)，
得t＝(ln
N0－ln)＝ln
2.
11．解 (1)投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
由图知f(1)＝，∴k1＝，又g(4)＝，∴k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业的利润为y万元，
y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，
令＝t，
则y＝＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝，ymax≈4，
此时x＝10－＝3.75,10－x＝6.25.
所以投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，能使企业获得最大利润，且最大利润约为4万元．
12．解 设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食为；经过2年后，人均占有粮食为；…；经过x年后，人均占有粮食为y＝，即所求函数解析式为y＝360()x.
13．解 (1)S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DGH＝(a－x)(2－x)．
∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)
＝－2x2＋(a＋2)x.
由，得0(2)当<2，即a<6时，
则x＝时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，
在(0,2]上是增函数，则x＝2时，ymax＝2a－4.
综上所述：当a<6，AE＝时，
绿地面积取最大值；
当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.第2课时 集合的表示
课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．列举法
将集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．两个集合相等
如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等．
3．描述法
将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
4．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集．
(2)无限集：含有________元素的集合称为无限集．
(3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．
一、填空题
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为___________________________________．
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示________．(填序号)
①方程y＝2x－1；
②点(x，y)；
③平面直角坐标系中的所有点组成的集合；
④函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．
3．将集合表示成列举法为______________．
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为________．
5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有________．(填序号)
①－1∈A；②0∈A；③∈A；④2∈A.
6．方程组的解集不可表示为________．
①{(x，y)|}；②{(x，y)|}；
③{1,2}；④{(1,2)}．
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________________________.
8．下列各组集合中，满足P＝Q的为________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141
59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1④M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}．
二、解答题
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1
000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
能力提升
12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．
①{x|x＝1}；②{y|(y－1)2＝0}；③{x＝1}；④{1}．
13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是____________________________________________________．
1．在用列举法表示集合时应注意：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2课时 集合的表示
知识梳理
1．一一列举 2.完全相同 3.性质 条件
4．(1)有限个 (2)无限个 (3)
作业设计
1．{1,2,3,4}
解析 {x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．
2．④
解析 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．
3．{(2,3)}
解析 解方程组得
所以答案为{(2,3)}．
4．{1}
解析 方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．
5．②
6．③
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合．
7．{5,4,2，－2}
解析 ∵x∈Z，∈N，
∴6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．
8．②
解析 ①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析 只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
10．解 ①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1
000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，
满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，
所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．③
解析 由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}
＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合．
13．x0∈N
解析 M＝{x|x＝，k∈Z}，
N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N.3.4.1习题课
课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．
1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则下列正确命题的个数为________．
①f(0)>0，f(2)<0；
②f(0)·f(2)<0；
③在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0.
2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是________．
3．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________．
5．函数y＝()x与函数y＝lg
x的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1)
6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有________个．
一、填空题
1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，每一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是________．(填你认为正确的一个区间即可)
3．函数f(x)＝的零点是________．
4．已知二次函数y＝f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是______________．
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a6．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值________．(填“大于0”，“小于0”，“等于0”或“无法判断”)
7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．
8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为______________．
9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．
二、解答题
10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)．
11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，
(1)有两个负根；
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3)有两个实根，且都比1大．
能力提升
12．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
1．函数与方程存在着内在的联系，如函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构造方程来研究函数的相关问题．利用函数与方程的相互转化去解决问题，这是一种重要的数学思想方法．
2．对于二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0根的问题，从函数角度解决有时比较简洁．一般地，这类问题可从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴x＝－与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负．
习题课
双基演练
1．0
解析 函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故①、②、③都是错误的．
2．1或2
解析 当f(x)的图象和x轴相切与y轴相交时，函数f(x)的零点个数为1，当f(x)的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时，函数f(x)有2个零点．
3．(log32,1)
解析 f(x)＝log3(1＋)－a在(1,2)上是减函数，
由题设有f(1)>0，f(2)<0，解得a∈(log32,1)．
4．2
解析 作出函数y＝2x及y＝x＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．
5．1.9
解析 令f(x)＝()x－lg
x，则f(1)＝>0，f(3)＝－lg
3<0，∴f(x)＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.
6．2
解析 设f(x)＝4x2－6x－1，由f(－1)>0，f(2)>0，且f(0)<0，知方程4x2－6x－1＝0在
(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．
作业设计
1．(0,0.5)，f(0.25)
解析 ∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，
故f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法，
则第二次计算应为f()＝f(0.25)．
2．[1,2](答案不唯一)
解析 因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，
所以存在一个零点x∈[1,2]．
3．1
解析 由f(x)＝0，即＝0，得x＝1，即函数f(x)的零点为1.
4．1
解析 二次函数y＝f(x)＝x2＋x＋a可化为y＝f(x)＝(x＋)2＋a－，则二次函数对称轴为x＝－，其图象如图．
∵f(m)<0，由图象知f(m＋1)>0，
∴f(m)·f(m＋1)<0，∴f(x)在(m，m＋1)上有1个零点．
5．a<α<β解析 函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b.
由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β6．无法判断
解析 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．故填“无法判断”．
7．0
解析 不妨设它的两个正零点分别为x1，x2.
由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，于是x1＋x2－x1－x2＝0.
8．(－1,0)
解析 设f(x)＝x2－2x＋p＋1，根据题意得f(0)＝p＋1>0，
且f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－19．a<0
解析 对ax2＋2x＋1＝0，当a＝0时，x＝－，不符题意；
当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，得x＝－1(舍去)．
当a≠0时，由Δ＝4－4a>0，得a<1，
又当x＝0时，f(0)＝1，即f(x)的图象过(0,1)点，
f(x)图象的对称轴方程为x＝－＝－，
当－>0，即a<0时，
方程f(x)＝0有一正根(结合f(x)的图象)；
当－<0，即a>0时，由f(x)的图象知f(x)＝0有两负根，
不符题意．故a<0.
10．解 ∵f(1.375)·f(1.437
5)<0，
且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4，
故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4.
11．解 (1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，
则有两个负根的条件是
解得－1方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点均在y轴左侧，结合函数的图象，有
解得－1(2)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，则令y1＝x1－2>0，y2＝x2－2<0，问题转化为求方程(y＋2)2＋2(y＋2)＋m＋1＝0，即方程y2＋6y＋m＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y1y2＝m＋9<0，解得m<－9.
方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，有f(2)＝m＋9<0，解得m<－9.
(3)由题意知，(方程思想)，
或(函数思想)，
因为两方程组无解，故解集为空集．
12．解 (1)f(x)＝x|x－4|＝
图象如图所示．
(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由图象可知，当0方程f(x)＝a有三个解．
13．解 ①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴，即，解得③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为3.2.1 对数（一）
课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．
1．对数的概念
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即________，那么就称b是以a为底N的对数，记作__________．其中a叫做__________，N叫做______．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做________，以e为底的对数叫做________，log10N可简记为________，logeN简记为________．
3．对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N logaN＝____.
对数恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为____；
(2)底的对数为____；
(3)零和负数________．
一、填空题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为________．
2．有以下四个结论：①lg(lg
10)＝0；②ln(ln
e)＝0；③若10＝lg
x，则x＝100；④若
e＝ln
x，则x＝e2.其中正确的是________．(填序号)
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是_____________________________．
4．方程＝的解集是________．
5．若loga＝c，则下列关系式中正确的是________．
①b＝a5c；②b5＝ac；③b＝5ac；④b＝c5a.
6．的值为________．
7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
9．已知lg
a＝2.431
0，lg
b＝1.431
0，则＝________.
二、解答题
10．(1)将下列指数式写成对数式：
①10－3＝；②0.53＝0.125；③(－1)－1＝＋1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log26＝2.585
0；②log30.8＝－0.203
1；
③lg
3＝0.477
1.
11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．
能力提升
12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是________．
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：
①log68；②log62；③log26.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运
算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
§2.3 对数函数
2．3.1 对 数
第1课时 对数的概念
知识梳理
1．ab＝N logaN＝b 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数
lg
N ln
N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数
作业设计
1．3
解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．①②
解析 ∵lg
10＝1，∴lg(lg
10)＝0，故①正确；
∵ln
e＝1，∴ln(ln
e)＝0，故②正确；
由lg
x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln
x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．
3．2解析 由对数的定义知
24．{x|x＝}
解析 ∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
5．①
解析 由loga＝c，得ac＝，
∴b＝(ac)5＝a5c.
6．8
解析 ＝()－1·＝2×4＝8.
7.
解析 由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴＝＝＝＝.
8．3
解析 由题意得：logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，
又∵x>0，∴x＝3.
9.
解析 依据ax＝N logaN＝x(a>0且a≠1)，
有a＝102.431
0，b＝101.431
0，
∴＝＝101.431
0－2.431
0＝10－1＝.
10．解 (1)①lg＝－3；②log0.50.125＝3；
③log－1(＋1)＝－1.
(2)①22.585
0＝6；②3－0.203
1＝0.8；③100.477
1＝3.
11．解 A＝·＝.
又∵x＝a4，y＝a5，∴A＝＝1.
12．45
解析 由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
13．解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝＝.
②因为logx3＝－，所以x－＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
③由＝2得＝6，所以log26＝.3.2.2 对数函数(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax
(a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
值域
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点______，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______
x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______
对称性
函数y＝logax与y＝x的图象关于______对称
3.反函数
对数函数y＝logax
(a>0且a≠1)和指数函数______________互为反函数．
一、填空题
1．函数y＝的定义域是________．
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N＝________.
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝_____________________________.
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是________．(填序号)
5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是________．
6．若loga<1，则a的取值范围是________．
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数f(x)＝，则f(log23)＝________.
二、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是__________．
13．若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．
当02．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
2．3.2 对数函数(一)
知识梳理
1．函数y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞)
2．(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
3．y＝ax
(a>0且a≠1)
作业设计
1．[4，＋∞)
解析 由题意得：解得x≥4.
2．(－∞，1]
解析 M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．
3．1
解析 由题意知α＋1＝2，故α＝1.
4．①
解析 y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．
5．g(x)＝3x
解析 由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.
6．(0，)∪(1，＋∞)
解析 由loga<1得：loga当a>1时，有a>，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．
7．(1,2)
解析 由题意，得或解得18．(4，－1)
解析 y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析 ∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)＝＝＝
＝.
10．解 (1)由x－2>0，得x>2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
11．解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当012．a3解析 作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.
解 由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝.
∴≤，即≤m.又0∴≤m<1，
即实数m的取值范围是[，1)．第1章 集 合(A)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝________.
2．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________.
3．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
4．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A＝________.
5．已知集合A＝{x|x2＋x＋1＝0，m≥0}，若A∩R＝ ，则m的取值范围是________．
6．设U为全集，M、N是U的两个子集，用适当的符号填空：
(1)若M N，则 UM________ UN；
(2)若 UM＝N，则M________ UN.
7．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩( UM)＝________.
8．已知全集U＝{x|－2
008≤x≤2
008}，A＝{x|09．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩ UB)∪(B∩ UA)等于________．
10．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|511．已知集合A＝{－2，－1,1,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________.
12．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
13．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_____________________．
二、解答题(本大题共6小题，满分90分)
15．(14分)已知集合A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值．
16．(14分)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b－a的值．
17．(14分)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( UA)∩B＝{2}，A∩( UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
18．(16分)设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A＝B，求a的值；
(2)若 A∩B，且A∩C＝ ，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠ ，求a的值．
19．(16分)已知集合A＝{x|020．(16分)向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
第1章 集 合(A)
1．{2,4,8}
解析 因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}．
2．{x|0≤x≤1}
解析 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，
解得A∩B＝{x|0≤x≤1}．
3．5
解析 若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．
4．.{3,9}
解析 借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为( UB)∩A＝{9}，所以9∈A.
5．0≤m<4
解析 ∵A∩R＝ ，∴A＝ ，∴方程x2＋x＋1＝0无解，
即Δ＝m－4<0.∴m<4.又m≥0，∴0≤m<4.
6．(1) (2)＝
解析 (1)由题意，如图所示，
可知 UM UN.
(2)由 UM＝N，如图所示，
可知M＝ UN.
7．{3,5}
解析 UM＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，
则N∩( UM)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．
8．0008
解析 由全集定义知A U，从而a≤2
008，
又 UA≠U，∴A≠ ，从而a>0，综上可知0008.
9．{x|x>0或x≤－1}
解析 ∵ UB＝{x|x>－1}，∴A∩ UB＝{x|x>0}．
又∵ UA＝{x|x≤0}，∴B∩ UA＝{x|x≤－1}．
∴(A∩ UB)∪(B∩ UA)＝{x|x>0或x≤－1}．
10．－4
解析 如图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
11．{1,4,9,16}
解析 B＝{x|x＝t2，t∈A}＝{1,4,9,16}．
12．②
解析 ①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
13．6
解析 (1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；
(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或 .
14．12
解析 设全集U为某班30人，集合A为喜爱篮球运动的15人，集合B为喜爱乒乓球运动的10人，如图．
设所求人数为x，则x＋10＝30－8 x＝12.
15．解 ∵3∈A，∴a＋2＝3或2a2＋a＝3.
当a＋2＝3时，解得a＝1.
当a＝1时，2a2＋a＝3.
∴a＝1(舍去)．
当2a2＋a＝3时，解得a＝－或a＝1(舍去)．
当a＝－时，a＋2＝≠3，∴a＝－符合题意．∴a＝－.
16．解 由{1，a＋b，a}＝{0，，b}可知a≠0，
则只能a＋b＝0，是有以下对应法则：
①
或②
由①得符合题意；②无解．
所以b－a＝2.
17．解 ∵( UA)∩B＝{2}，
∴2∈B，但2 A.
∵A∩( UB)＝{4}，∴4∈A，但4 B.∴，
∴a＝，b＝－.
18．解 B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}．
(1)若A＝B，由根与系数的关系可得a＝5和a2－19＝6同时成立，即a＝5.
(2)由于 A∩B，且A∩C＝ ，故只可能3∈A.
此时a2－3a－10＝0，也即a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝B＝{2,3}，A∩C≠ ，舍去；
当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意，故a＝－2.
(3)当A∩B＝A∩C≠ 时，只可能2∈A，
有a2－2a－15＝0，
也即a＝5或a＝－3，经检验知a＝－3.
19.
解 当a＝0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图，
则
∴∴－当a>0时，如图，若B A，
则
∴∴020．解 赞成A的人数为50×＝30，
赞成B的人数为30＋3＝33，
记50名学生组成的集合为U，
赞成事件A的学生全体为集合M；
赞成事件B的学生全体为集合N.
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
则Venn图如图所示：
依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋(＋1)＝50，解得x＝21.
所以对A，B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．模块综合检测(C)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是______________．
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
3．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)的大小关系是________．
4．某企业去年销售收入1
000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则p＝________.
5．设f(x)＝则f(f(2))的值为________．
6．定义运算：如1
2=1，则函数f(x)的值域为________.
7．若2lg(x－2y)＝lg
x＋lg
y，则log2＝________.
8．设函数f(x)＝，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．
9．在下列四图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可为________．
10．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.
x
1.5
3
5
6
8
9
lg
x
4a－2b＋c
2a－b
a＋c
1＋a－b－c
3[1－(a＋c)]
2(2a－b)
其中错误的对数值是________．
11．已知loga>0，若≤，则实数x的取值范围为______________．
12．直线y＝1与曲线y＝x2－＋a有四个交点，则a的取值范围为________________．
13．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln
x，则f()、f(2)、f()的大小关系为________．
14．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是________．
三、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知函数f(x)＝[()x－1]，
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的增减性．
16．(14分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
17．(14分)设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．
18．(16分)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
19．(16分)
据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650
km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
20．(16分)已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式f(2x2－1)<2.
模块综合检测(C)
1．{x|1解析 题图中阴影部分可表示为( UM)∩N，集合M＝{x|x>2或x<－2}，集合N＝{x|12.
解析 由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝.
3．f(－1)>f(2)
解析 由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．
又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．
4．25
解析 利润300万元，纳税300·p%万元，
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200－1
000×2%＝180(万元)，
纳税180·p%万元，
共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，∴p%＝25%.
5．2
解析 ∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
6．(0,1]
解析 由题意可知f(x)＝作出f(x)的图象(实线部分)如右图所示；
由图可知f(x)的值域为(0,1]．
7．2
解析 方法一 排除法．
由题意可知x>0，y>0，x－2y>0，
∴x>2y，>2，∴log2>1.
方法二 直接法．
依题意，(x－2y)2＝xy，∴x2－5xy＋4y2＝0，
∴(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y，
∵x－2y>0，x>0，y>0，∴x>2y，
∴x＝y(舍去)，∴＝4，∴log2＝2.
8．3
解析 当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当x>1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，∴函数h(x)共有3个零点．
9．③
解析 ∵>0，∴a，b同号．
若a，b为正，则从①、②中选．
又由y＝ax2＋bx知对称轴x＝－<0，∴②错，
但又∵y＝ax2＋bx过原点，∴①、④错．
若a，b为负，则③正确．
10．lg
1.5
解析 ∵lg
9＝2lg
3，适合，故二者不可能错误，同理：lg
8＝3lg
2＝3(1－lg
5)，∴lg
8，lg
5正确．
lg
6＝lg
2＋lg
3＝(1－lg
5)＋lg
3＝1－(a＋c)＋(2a－b)＝1＋a－b－c，故lg
6也正确．
11．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由loga>0得0由≤得≤a－1，
∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.
12．1＜a＜
解析 y＝
作出图象，如图所示．
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，
∴1＜a＜.
13．f()解析 由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln
x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>|－1|>|－1|，
∴f()14．②
解析 据题意由f(4)g(－4)＝a2×loga4<0，得00时，y＝loga|x|＝logax是减函数．
15．解 (1)()x－1>0，即x<0，所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．
(2)∵y＝()x－1是减函数，f(x)＝x是减函数，
∴f(x)＝[()x－1]在(－∞，0)上是增函数．
16．解 (1)要使A为空集，方程应无实根，应满足，解得a>.
(2)当a＝0时，方程为一次方程，有一解x＝；
当a≠0，方程为一元二次方程，使集合A只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a＝，
x＝.
∴a＝0时，A＝{}；a＝时，A＝{}．
(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，
∴a＝0或a≥.
17．解 f(x)＝＝＝a－，
设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
(1)当a＝1时，f(x)＝1－，设0≤x1则f(x1)－f(x2)＝，
又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在[0,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝1－＝，
f(x)min＝f(0)＝1－＝－1.
(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
只要f(x1)－f(x2)<0，
而f(x1)－f(x2)＝，
∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．
18．解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]．
f(0)＝1>0，
(1)当2是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解时，
则4＋2(m－1)＋1＝0，∴m＝－.
(2)当2不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解时，
①方程f(x)＝0在(0,2)上有一个解时，则f(2)<0，
∴4＋2(m－1)＋1<0.∴m<－.
②方程f(x)＝0在(0,2)上有两个解时，则
∴
∴－综合(1)(2)，得m≤－1.
∴实数m的取值范围是(－∞，－1]．
19．解 (1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，
当10当20综上可知s＝
(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650.
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650.
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40，∵20所以沙尘暴发生30
h后将侵袭到N城．
20．(1)证明 令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明 设x2>x1>0，
则f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)
＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()，
∵x2>x1>0，∴>1.
∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 ∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
又∵f(x)是偶函数，
∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x2－1|<4.
解得－即不等式的解集为(－，)．3.1.2 指数函数(二)
课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响．
1．下列一定是指数函数的是________．
①y＝－3x；②y＝xx(x>0，且x≠1)；③y＝(a－2)x(a>3)；④y＝(1－)x.
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则0，a，b,1的大小关系为________．
3．函数y＝πx的值域是________．
4．已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|<2x＋1<4，x∈Z}，则M∩N＝________.
5．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是______________．
6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为________．
一、填空题
1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则P、Q的关系为________．
2．函数y＝的值域是________．
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是________．
4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(x)与g(x)均为偶函数；
②f(x)为偶函数，g(x)为奇函数；
③f(x)与g(x)均为奇函数；
④f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，则f(x)的解析式为________．
6．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是________．
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
9．函数y＝的单调递增区间是________．
二、解答题
10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；
(2)求函数y＝的单调区间．
11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－，]．
(1)设t＝2x，求t的取值范围；
(2)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．函数y＝2x－x2的图象大致是________．(填序号)
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：01．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．了解由y＝f(u)及u＝φ(x)的单调性探求y＝f[φ(x)]的单调性的一般方法．
2．2.2 指数函数(二)
双基演练
1．③
2．03．(0，＋∞)
4．{－1}
解析 解指数不等式<2x＋1<4，得－1所以－2所以M∩N＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．
5．(，＋∞)
解析 ∵函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.
6．－1作业设计
1．QP
解析 因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以QP.
2．[0,4)
解析 ∵4x>0，∴0≤16－4x<16，
∴∈[0,4)．
3．3
解析 函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
4．②
解析 f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，
g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．
5．f(x)＝－e－x－2
解析 ∵y＝f(x)的图象与g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，
∴f(x)＝－g(－x)＝－(e－x＋2)＝－e－x－2.
6．c解析 ∵y＝()x是减函数，－>－，
∴b>a>1.又07．19
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
8．(－∞，－1)
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，()x>，得x∈ ；
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
9．[1，＋∞)
解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．
令u＝－x2＋2x，则y＝()u在u∈R上为减函数，问题转化为求u＝－x2＋2x的单调递减区间，即为x∈[1，＋∞)．
10．解 (1)设x1又由y＝2u的增减性得<，即f(x1)所以f(x)为R上的增函数．
(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
则u在区间[1，＋∞)上为增函数．
根据(1)可知y＝在[1，＋∞)上为增函数．
同理可得函数y在(－∞，1]上为单调减函数．
即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
11．解 (1)∵t＝2x在x∈[－，]上单调递增，
∴t∈[，]．
(2)函数可化为：f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3，
g(t)在[，1]上递减，在[1，]上递增，
比较得g()∴f(x)min＝g(1)＝2，
f(x)max＝g()＝5－2.
∴函数的值域为[2,5－2]．
12．①
解析 当x→－∞时，2x→0，所以y＝2x－x2→－∞，
所以排除③、④.
当x＝3时，y＝－1，所以排除②.
13．(1)解 ∵f(0)＝＝0，
∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)证明 设x1，x2∈R且x1则>>0,－>0，
∴f(x2)－f(x1)＝
＝>0，
即f(x1)(3)解 由0又f(x)在R上是增函数，∴0即2课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．
1．子集
如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A A.
2．如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．
3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．
4．补集
设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即 SA＝{x|x∈S，且x A}．
5．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.
集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为
一、填空题
1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是________．
2．满足条件{1,2}M {1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．
3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则 UA＝________.
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则 UM＝________.
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．
6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则 UA＝________， UB＝______， BA＝________.
9．已知全集U，AB，则 UA与 UB的关系是____________________．
二、解答题
10．设全集U＝{x∈N
|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．
(1)求 U(A∪B)， U(A∩B)；
(2)求( UA)∪( UB)，( UA)∩( UB)；
(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求 UB.
能力提升
12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}， UA＝{5}，求实数a，b的值．
13．已知集合A＝{x|11．子集概念的多角度理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝ 时，A B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A B.
2． UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U；其次是定义 UA＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系．
3．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
§1.2 子集、全集、补集
知识梳理
1．任意一个 子集 A B B A 子集 2.真子集 AB BA
3．空集 空集 4.补集 SA 5.全集
作业设计
1．PQ
解析 ∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，
∴PQ.
2．7
解析 M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．
3．{3,9}
解析 在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成 UA.
4．{x|x<－2或x>2}
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴ UM＝{x|x<－2或x>2}．
5．②
解析 由N＝{－1,0}，知NM.
6．SP＝M
解析 运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．
7．－3
解析 ∵ UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}
解析 由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得 UA＝{0,1,3,5,7,8}， UB＝{7,8}， BA＝{0,1,3,5}．
9． UB UA
解析 画Venn图，观察可知 UB UA.
10．解 (1)∵U＝{x∈N
|x<8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，A∩B＝{5}，∴ U(A∪B)＝{6}， U(A∩B)＝{1,2,3,4,67}．
(2)∵ UA＝{2,4,6}， UB＝{1,3,6,7}，∴( UA)∪( UB)＝{1,2,3,4,6,7}，( UA)∩( UB)＝{6}．
(3) U(A∪B)＝( UA)∩( UB)(如左下图)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)(如右下图)．
11．解 因为B A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，则x＝±.
当x＝时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，此时 UB＝{}；
当x＝－时，A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－}，此时 UB＝{－}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.
当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而 UB＝{3}．
综上所述， UB＝{}或{－}或{3}．
12．解 ∵ UA＝{5}，∴5∈U且5 A.
又b∈A，∴b∈U，由此得
解得或经检验都符合题意．
13．解 (1)当a＝0时，A＝ ，满足A B.
(2)当a>0时，A＝{x|又∵B＝{x|－1(3)当a<0时，A＝{x|∵A B，∴∴a≤－2.
综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.3.1
习题课
课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．
1．下列函数中，指数函数的个数是________．
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.
3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是________．
4．将化成指数式为________．
5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝()－0.5，则a，b，c的大小顺序为________．
6．已知＋＝3，求x＋的值．
一、填空题
1．的值为________．
2．化简＋的结果是________．
3．若04．若函数f(x)＝则f(－3)的值为________．
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是________．(填序号)
①a>1，b>0；
②a>1，b<0；
③00；
④06．函数f(x)＝的图象关于________对称．
7．计算－(－)0＋160.75＋＝____________________________.
8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.
9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．
二、解答题
10．比较下列各组中两个数的大小：
(1)0.63.5和0.63.7；
(2)()－1.2和()－1.4；
(3)和；
(4)π－2和()－1.3.
11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
能力提升
12．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．
13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？
1．(1)根式的运算中，有开方和乘方并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a≥0时，＝()m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．
(2)分数指数幂不能对指数随意约分．
(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．
2．指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y＝ax＋k(a>0且a≠
1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a－x(a>0且a≠1)，因为它可以化为y＝()x，其中>0，且≠1.
3．学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，对于a>1与0习题课
双基演练
1．1
解析 只有③中y＝3x是指数函数．
2．－3
解析 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即1＋b＝0，b＝－1.
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.
3．1
解析 当x≤0时，f(x)＝2x；
当x>0时，f(x)＝－x＋1.
显然，其最大值是1.
4．
解析 ＝×＝×＝.
5．b解析 a＝20.4，b＝20.3，c＝20.5.
又指数函数y＝2x在R上是增函数，
∴b6．解 由＋＝3得(＋)2＝9，
即x＋2＋x－1＝9，
则x＋x－1＝7，即x＋＝7.
作业设计
1.
解析 原式＝＝＝.
2．b或2a－3b
解析 原式＝(a－b)＋|a－2b|＝
3．0.2x<()x<2x
解析 当01，()x<1，
对于()x,0.2x不妨令x＝，
则有>，
再根据指数函数f(x)＝0.5x，g(x)＝0.2x的图象判断可知0.2x<()x.
4.
解析 f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.
5．④
解析 f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以06．y轴
解析 ∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
7.
解析 原式＝－1＋＋
＝0.4－1－1＋23＋0.1＝－1＋8＋＝.
8.
解析 因为10m＝4,10n＝9，所以＝＝＝＝.
9．[－8，]
解析 因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈
[－9，－]，所以y＝1－3x∈[－8，]．
10．解 (1)考察函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.
(2)考察函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以()－1.2>()－1.4.
(3)考察函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为<，所以<.
(4)∵π－2＝()2<1，()－1.3＝31.3>1，
∴π－2<()－1.3.
11．解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a＝，
即a＝或a＝0(舍去)．
(2)若0∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，所求a的值为或.
12．解 ∵f(x)＝(ax－)，
∴函数定义域为R，
设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1f(x1)－f(x2)＝(－－＋)
＝(－＋－)
＝(－＋)
＝(－)(1＋)
∵1＋>0，
∴当a>1时，<，>0
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)当0，<0
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)综上，f(x)在R上为增函数．
13.
解 函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．
函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：
当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；
当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；
当0(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝______，y＝________.
2．已知f(x－1)＝2x＋3，f(m)＝6，则m＝_______________________.
3．函数y＝＋lg(2－x)的定义域是________．
4．函数f(x)＝x3＋x的图象关于________对称．
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是______．(填序号)
①幂函数；②对数函数；③指数函数；④一次函数．
6．若0①2m>2n；②()m<()n；③log2m>log2n；④m>n.
7．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是________．
8．用列举法表示集合：M＝{m|∈Z，m∈Z}＝________.
9．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为________．
10．函数y＝|lg(x＋1)|的图象是________．(填序号)
11．若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，则a＋b＝________.
12．已知f(x5)＝lg
x，则f(2)＝________.
13．函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝x3＋2x－1，则x>0时函数的解析式f(x)＝________.
14．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)(1)计算：＋(lg
5)0＋；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
16．(14分)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？
17．(14分)已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
18．(16分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．
(1)函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；
(2)若函数f(x)＝kx＋b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件．
19．(16分)已知奇函数f(x)是定义域[－2,2]上的减函数，若f(2a＋1)＋f(4a－3)>0，求实数a的取值范围．
20．(16分)已知函数f(x)＝.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
模块综合检测(A)
1．2 5
解析 由集合相等的定义知，或，
解得或，又x，y是整数，所以x＝2，y＝5.
2．－
解析 令x－1＝t，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2×(2t＋2)＋3＝4t＋7.
令4m＋7＝6，得m＝－.
3．[1,2)
解析 由题意得：，解得1≤x<2.
4．原点
解析 ∵f(x)＝x3＋x是奇函数，
∴图象关于坐标原点对称．
5．③
解析 本题考查幂的运算性质．
f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y)．
6．①②③
解析 由指数函数与对数函数的单调性知只有④正确．
7．b>c>a
解析 因为a＝＝0.30.5<0.30.2＝c<0.30＝1，
而b＝20.3>20＝1，所以b>c>a.
8．{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
解析 由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
9．2
解析 依题意，函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，
因此a＋a2＋loga2＝loga2＋6，解得a＝2.
10．①
解析 将y＝lg
x的图象向左平移一个单位，然后把x轴下方的部分关于x轴对称到上方，就得到y＝|lg(x＋1)|的图象．
11.
解析 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即lg(10－x＋1)－ax＝lg－ax＝lg(10x＋1)－(a＋1)x
＝lg(10x＋1)＋ax，
∴a＝－(a＋1)，∴a＝－，又g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即2－x－＝－2x＋，∴b＝1，∴a＋b＝.
12.lg
2
解析 令x5＝t，则x＝.∴f(t)＝lg
t，∴f(2)＝lg
2.
13．x3－2－x＋1
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2－x－1]＝x3－2－x＋1.
14．f(x)＝
解析 设f(x)＝xn，则有3n＝，即3n＝，∴n＝，
即f(x)＝.
15．解 (1)原式＝＋(lg
5)0＋
＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得
6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解．
16．解 设最佳售价为(50＋x)元，最大利润为y元，
y＝(50＋x)(50－x)－(50－x)×40＝－x2＋40x＋500.
当x＝20时，y取得最大值，所以应定价为70元．
故此商品的最佳售价应为70元．
17．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0，
可解得m<；Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，可解得m>.
故m<时，函数有两个零点；m＝时，函数有一个零点；
m>时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，∴m＝1.
18．解 (1)D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)＝∈M，则存在非零实数x0，使得＝＋1，即x＋x0＋1＝0，
因为此方程无实数解，所以函数f(x)＝ M.
(2)D＝R，由f(x)＝kx＋b∈M，存在实数x0，使得
k(x0＋1)＋b＝kx0＋b＋k＋b，解得b＝0，
所以，实数k和b的约束条件是k∈R，b＝0.
19．解 由f(2a＋1)＋f(4a－3)>0得f(2a＋1)>－f(4a－3)，
又f(x)为奇函数，得－f(4a－3)＝f(3－4a)，
∴f(2a＋1)>f(3－4a)，
又f(x)是定义域[－2,2]上的减函数，
∴2≥3－4a>2a＋1≥－2，
即，∴，
∴实数a的取值范围为[，)．
20．解 (1)当a＝1时，由x－＝0，x2＋2x＝0，
得零点为，0，－2.
(2)显然，函数g(x)＝x－在[，＋∞)上递增，
且g()＝－；
函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在[－1，]上也递增，
且h()＝a＋.
故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，
则a＋≤－，∴a≤－.
故a的取值范围为(－∞，－]．3.2.2 对数函数(二)
课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．
1．设g(x)＝，则g(g())＝________.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
①y＝和y＝()2；
②|y|＝|x|和y3＝x3；
③y＝logax2和y＝2logax；
④y＝x和y＝logaax.
3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.
6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________．
一、填空题
1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则a，b，c的大小关系为________．
2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．
3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则下列不等关系判断正确的为________．(填序号)
①f(2)>f(－2)；②f(1)>f(2)；③f(－3)>f(－2)；
④f(－3)>f(－4)．
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
5．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.
6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是________．
7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．
8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．
9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．
二、解答题
10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．
11．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)能力提升
12．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则实数a的取值范围是________．
13．已知logm41．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响
无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．
2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
2．3.2 对数函数(二)
双基演练
1.
解析 ∵g()＝ln<0，
∴g(ln)＝＝，
∴g(g())＝.
2．④
解析 y＝logaax＝xlogaa＝x，
即y＝x，两函数的定义域、值域都相同．
3．[，]
解析 由题意得：2≤x≤4，所以()2≥x≥()4，
即≤x≤.
4．(0，＋∞)
解析 ∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.
5．2
解析 由已知得loga(b－1)＝0且logab＝1，
∴a＝b＝2.从而f(2)＝log2(2＋2)＝2.
6．(3,1)
解析 若x－2＝1，则不论a为何值，
只要a>0且a≠1，都有y＝1.
作业设计
1．b解析 因为0所以b2．[，4]
解析 ∵－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为[，2]
即≤log2x≤2，∴≤x≤4.
3．③
解析 ∵loga8＝3，解得a＝2，因为函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f(－3)>f(－2)．
4.
解析 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.
5．－b
解析 f(－x)＝lg＝lg()－1＝－lg
＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.
6．y＝log3x(≤x<1)
解析 由y＝3x(－1≤x<0)得反函数是y＝log3x(≤x<1)．
7．b≤1
解析 由题意，x≥1时，2x－b≥1.又2x≥2，∴b≤1.
8．[，1)∪(1,2]
解析 ∵|y|>1，即y>1或y<－1，
∴logax>1或logax<－1，
变形为logax>logaa或logax当x＝2时，令|y|＝1，
则有loga2＝1或loga2＝－1，
∴a＝2或a＝.
要使x>2时，|y|>1.
如图所示，a的范围为19．(0,1)∪(，＋∞)
解析 loga2<2＝logaa2.若01，由于y＝logax是增函数，则a2>2，得a>.综上得0.
10．解 由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.
又u＝3－ax在[0,2]上应满足u>0，
故3－2a>0，即a<.
综上可得，a的取值范围是111．解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
(2)f(x)＋
(x－1)＝＋(x－1)
＝(1＋x)，
当x>1时，(1＋x)<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)∴m≥－1.
12．(1，)
解析 已知函数f(x)有最小值，令y＝x2－ax＋，由于y的值可以趋于＋∞，所以a>1，
否则，如果013．解
数形结合可得0课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．
1．指数函数的概念
一般地，______________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点
过点______，即x＝____时，y＝____
函数值
的变化
当x>0时，______；
当x<0时，________
当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性
是R上的________
是R上的________
一、填空题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)
①y＝(－4)x；②y＝πx；③y＝－4x；④y＝ax＋2(a>0且a≠1)．
2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a的值为________．
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是________．(填序号)
4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)＝________.
5．如图是指数函数
①y＝ax；
②y＝bx；
③y＝cx；
④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是________．
6．函数y＝()x－2的图象必过第________象限．
7．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为____．
8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则a，b需满足的条件为________．
9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
二、解答题
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2)和；
(3)2－1.5和30.2.
11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50
000
m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，并回答下列问题.
周期数n
体积V(m3)
0
50
000×20
1
50
000×2
2
50
000×22
…
…
n
50
000×2n
(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？
(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？
(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？
(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n轴)．
(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？
能力提升
12．定义运算a b＝，则函数f(x)＝1 2x的图象是________．(填序号)
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f()>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．
1．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y＝f(x－a)的图象可由函数y＝f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到．
2．2.2 指数函数(一)
知识梳理
1．函数y＝ax(a>0，且a≠1) R 2.(0,1) 0 1 y>1
01 增函数 减函数
作业设计
1．②
解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y＝a2·ax，ax的系数不是1，故也不是指数函数．
2．2
解析 由题意得
解得a＝2.
3．②
解析 该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．
4．－
解析 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝3－x，
即－f(x)＝()x，
∴f(x)＝－()x.
因此有f(2)＝－()2＝－.
5．b解析 作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系．
6．二、三、四
解析 函数y＝()x的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y＝()x－2的图象，所以观察y＝()x－2的图象可知．
7.
解析 由题意a2＝4，∴a＝2.f(－3)＝2－3＝.
8．a>1，b≥2
解析 函数y＝ax－(b－1)的图象可以看作由函数y＝ax的图象沿y轴平移|b－1|个单位得到．若01时，由于y＝ax的图象必过定点(0,1)，当y＝ax的图象沿y轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b－1≥1，得b≥2.因此，a，b必满足条件a>1，b≥2.
9．[0,8)
解析 y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·()x
＝8[1－()x]．
∵x≥0，∴0<()x≤1，∴－1≤－()x<0，
从而有0≤1－()x<1，因此0≤y<8.
10．解 (1)考察函数y＝0.2x.
因为0<0.2<1，
所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考察函数y＝()x.因为0<<1，
所以函数y＝()x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以>1.
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，
即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50
000×28＝12
800
000(m3)．
(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50
000×2－1＝25
000(m3)．
(3)如果n＝－2，这时的n表示6年前，V表示6年前垃圾的体积．
(4)n与V的函数关系式是V＝50
000×2n，图象如图所示．
(5)因为对任意的整数n,2n>0，所以V＝50
000×2n>0，因此曲线不可能与横轴相交．
12．①
解析 由题意f(x)＝1 2x＝
13．解 (1)令x＝1，y＝2，可知f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)设0且s>t，又f()>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[()s]－f[()t]
＝sf()－tf()＝(s－t)f()>0，
∴f(x1)>f(x2)．
故f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
又∵f(ax)>0，x>0，f(1)＝0，
∴0当a＝0时，x∈ ，
当a>0时，0当a<0时，综上：a≤0时，x∈ ；
a>0时，不等式解集为{x|0指数函数、对数函数和幂函数
§3.1
指数函数
3.1.1
分数指数幂
课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
1．如果一个实数x满足________________，那么称x为a的n次实数方根．
2．式子叫做______，这里n叫做________，a叫做__________．
3．(1)n∈N
时，()n＝____.
(2)n为正奇数时，＝____；n为正偶数时，＝______.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝__________(a>0，
m、n∈N
，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝____________(a>0，m、n∈N
，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝______(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝______(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．
一、填空题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是________(填序号)．
2．若23．在(－)－1、、、2－1中，最大的是______________________________．
4．化简的结果是________．
5．下列各式成立的是________．(填序号)
①＝；②()2＝；③＝；④＝.
6．下列结论中，正确的个数为________．
①当a<0时，＝a3；
②＝|a|(n>0)；
③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
7.
－＋的值为________．
8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.
二、解答题
10．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)；
(2)计算：＋＋－·.
11．设－3能力提升
12．化简：÷(1－2)×.
13．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
1.与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|.
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a.
2．有理指数幂运算的一般思路
化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．
3．有关指数幂的几个结论
(1)a>0时，ab>0；
(2)a≠0时，a0＝1；
(3)若ar＝as，则r＝s；
(4)a±2＋b＝(±)2(a>0，b>0)；
(5)(＋)(－)＝a－b(a>0，b>0)．
§2.2 指数函数
2．2.1 分数指数幂
知识梳理
1．xn＝a(n>1，n∈N
) 2.根式 根指数 被开方数 3.(1)a (2)a |a| 4.(1)
(2) (3)0 没有意义 5.(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
作业设计
1．③④
解析 ①错，∵(±2)4＝16，
∴16的4次方根是±2；
②错，＝2，而±＝±2.
2．1
解析 原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．
解析 ∵(－)－1＝－2,
＝，＝，2－1＝，
且>>>－2，
∴>>2－1>(－)－1.
4．
解析 原式＝＝＝.
5．④
解析 ①被开方数是和的形式，运算错误；()2＝，②错；>0，<0，③错．
6．1
解析 ①中，当a<0时，
＝[]3＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
②中，若a＝－2，n＝3，
则＝－2≠|－2|，∴②不正确；
③中，有即x≥2且x≠，
故定义域为[2，)∪(，＋∞)，∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即102a＋b＝10.
∴2a＋b＝1，④正确．
7.
解析 原式＝－＋
＝－＋＝.
8．9
解析 ＝(ax)2·＝32·＝9.
9．－23
解析 原式＝4－33－4＋4＝－23.
10．解 (1)原式＝··(xy)－1
＝···
＝·＝.
(2)原式＝＋＋＋1－22
＝2－3.
11．解 原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
12．解 原式＝÷×
＝··
＝＝＝a.
13．解 ∵x－－2y＝0，x>0，y>0，
∴()2－－2()2＝0，
∴(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
∴－2＝0，∴x＝4y，
∴＝＝.第2、3章
章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．设函数f(x)＝，已知f(x0)＝8，则x0＝________.
2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
3．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
4．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1①f(0)＝0；②f()＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)，则f()＋f()＝________.
5．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为______．
6．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
7．函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为______________．
8．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
9．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为________．
10．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数为____________．
11．已知函数f(x)＝，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______________．
12．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3
m，长与宽的和为20
m，则仓库容积的最大值为________．
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．
14．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
15．(14分)讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
16．(14分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
17．(14分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
18．(16分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．
19．(16分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．
20．(16分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量(立方米)
水费(元)
一
4
17
二
5
23
三
2.5
11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
第2、3章
章末检测(B)
1.
解析 ∵当x≥2时，f(x)≥f(2)＝6，
当x<2时，f(x)∴x＋2＝8(x0≥2)，解得x0＝.
2．－2
解析 ∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
3．(－∞，1]
解析 由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．
4.
解析 由题意得f(1)＝1－f(0)＝1，
f()＝f(1)＝，f()＝1－f()，
即f()＝，
由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当≤x≤时，f(x)＝，则f()＝，
又f(×)＝f()＝，
即f()＝.
因此f()＋f()＝.
5.
解析 ∵log23∈(1,2)，∴3<2＋log23<4，
则f(2＋log23)＝f(3＋log23)
＝＝()3·＝×＝.
6．－3
解析 ∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
7．(－∞，1)
解析 函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，
令u＝x2－3x＋2，则y＝u是减函数，
所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝(x2－3x＋2)的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，
所以(－∞，1)为函数y的递增区间．
8.
解析 y＝－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
9．[0,8]
解析 当x＝0时，ymin＝30－1＝0，
当x＝2时，ymax＝32－1＝8，
故值域为[0,8]．
10．3
解析 分别作出y＝2x与y＝x2的图象．
知有一个x<0的交点，另外，x＝2，x＝4时也相交．
11．(1，＋∞)
解析 由f(x)＋x－a＝0，
得f(x)＝a－x，
令y＝f(x)，y＝a－x，如图，
当a>1时，y＝f(x)与y＝a－x有且只有一个交点，
∴a>1.
12．300
m3
解析 设长为x
m，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，
则V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,0由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V的最大值．
∴x＝10时，V最大＝300(m3)．
13．(0,1)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，
该函数的图象与直线y＝m有三个交点时m∈(0,1)，此时函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
14．[－1,1]
解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件为b∈[－1,1]．
15．解 任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·.
当0∴x1x2－a<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在(0，)上是减函数．
当≤x1a，∴x1x2－a>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x)在[，＋∞)上是增函数．
∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，－]上是增函数，在[－，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数，在[－，0)，(0，]上为减函数．
16．解 (1)令x＝y≠0，则f(1)＝0.
(2)令x＝36，y＝6，
则f()＝f(36)－f(6)，f(36)＝2f(6)＝2，
故原不等式为f(x＋3)－f()即f[x(x＋3)]又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故原不等式等价于
017．解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]，
故y＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，
故值域为[－，0]．
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2ax2－x－1＝0在(0，＋∞)上有解．
记g(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时，解为x＝－1<0，不成立；
当a<0时，开口向下，对称轴x＝<0，
过点(0，－1)，不成立；
当a>0时，开口向上，对称轴x＝>0，
过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．
故a的取值范围为(0，＋∞)．
18．解 (1)∵t＝log2x，≤x≤4，
∴log2≤t≤log24，
即－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)
＝(log2x)2＋3log2x＋2，
∴令t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，
∴当t＝－即log2x＝－，x＝2－时，
f(x)min＝－.
当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.
19．解 当a＝0时，函数为f(x)＝2x－3，其零点x＝不在区间[－1,1]上．
当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种情况：
①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：
或，
解得1≤a≤5或a＝.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时
，即.
解得a≥5或a<.
综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为(－∞，]∪[1，＋∞)．
20．解 (1)依题意，得y＝
其中0(2)∵0由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．
将和分别代入②，
得
③－④，得n＝6.
代入17＝9＋n(4－m)＋a，得a＝6m－16.
又三月份用水量为2.5立方米，
若m<2.5，将代入②，得a＝6m－13，
这与a＝6m－16矛盾．
∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．
将代入①，得11＝9＋a，
由解得
∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m＝3，n＝6，a＝2.3.4.2 函数模型及其应用
课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型
(1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0)
(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(3)指数函数：y＝ax(a>0且a≠1)
(4)对数函数：y＝logax(a>0且a≠1)
(5)幂函数：y＝xα(α∈R)
(6)指数型函数：y＝pqx＋r
(7)分段函数
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)用函数模型解释实际问题．
一、填空题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1
200
2
400
据此表可推测实验开始前2
h的细菌数为________．
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)
5．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
二、解答题
10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10
kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
能力提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美
的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
§2.6 函数模型及其应用
作业设计
1．75
解析 由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z)．当x＝－2时，
y＝300×2－2＝＝75.
2．300
解析 由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1
300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.
3．减少7.84%
解析 设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921
6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921
6－1)a＝－0.078
4a，即减少7.84%.
4．①
解析 由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．
5．2
cm2
解析 设一段长为x
cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2(当且仅当x＝6时，取“＝”)．
6．15,12
解析 由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
7．2
250
解析 设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2
250(元)．
8．400
解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.
9．2ln
2 1
024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln
2，
∴y＝e2tln
2，当t＝5时，
∴y＝e10ln
2＝210＝1
024.
10．解 设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为
100－10n(n∈N且n<10)
租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)
＝20[－(n－)2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；
若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；
综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择
10＋2×3＝16(元)．
11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10
kg)．
12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________________．
2．设函数f(x)＝，则f()的值为________．
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
4．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是________．
5．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间[2,16)内无零点；
④函数f(x)在区间(1,16)内无零点．
6．已知07．函数f(x)＝x2－2ax＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a的取值范围是________．
8．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设
备的价值为________万元．
9．下列4个函数中：
①y＝2
008x－1；
②y＝loga(a>0且a≠1)；
③y＝；
④y＝x(＋)(a>0且a≠1)．
其中既不是奇函数，又不是偶函数的是________．(填序号)
10．设函数的集合P＝{f(x)＝log2(x＋a)＋b|a＝－，0，，1；b＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x，y)|x＝－，0，，1；y＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是________．
11．计算：0.25×(－)－4＋lg
8＋3lg
5＝________.
12．若规定＝|ad－bc|，则不等式log<0的解集是________．
13．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝－1的值域为集合B，且A∪B＝B，求实数m的取值范围．
16．(14分)已知f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论．
17．(14分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1；
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为减函数；
(3)当f(4)＝时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤.
18．(16分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
19．(16分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：
①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b]D(其中a(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f(x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)
20．(16分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1模块综合检测(B)
1．4
解析 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又∵A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴即a＝4.否则有矛盾．
2.
解析 ∵f(3)＝32＋3×3－2＝16，∴＝，
∴f()＝f()＝1－2×()2＝1－＝.
3．[0,1)
解析 由题意得：，∴0≤x<1.
4．b解析 20.3>20＝1＝0.30>0.32>0＝log21>log20.3.
5．③
解析 函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函数f(x)在区间[2,16)内无零点．
6．2
解析 分别画出函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.
7．1解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋1，∴f(x)的图象是开口向上的抛物线．
由题意得：即解得18．a(1－b%)n
解析 第一年后这批设备的价值为a(1－b%)；
第二年后这批设备的价值为a(1－b%)－a(1－b%)·b%＝a(1－b%)2；故第n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.
9．①③
解析 其中①不过原点，不可能为奇函数，也可能为偶函数；③中定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，又不是偶函数．
10．6
解析 当a＝－，f(x)＝log2(x－)＋b，
∵x>，
∴此时至多经过Q中的一个点；
当a＝0时，f(x)＝log2x经过(，－1)，(1,0)，
f(x)＝log2x＋1经过(，0)，(1,1)；
当a＝1时，f(x)＝log2(x＋1)＋1经过(－，0)，(0,1)，
f(x)＝log2(x＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；
当a＝时，f(x)＝log2(x＋)经过(0，－1)，(，0)，
f(x)＝log2(x＋)＋1经过(0,0)，(，1)．
11．7
解析 原式＝0.25×24＋lg
8＋lg
53＝(0.5×2)2×22＋lg(8×53)＝4＋lg
1
000＝7.
12．(0,1)∪(1,2)
解析 ＝|x－1|，
由log|x－1|<0，得0<|x－1|<1，
即013．(1,2)
解析 依题意，a>0且a≠1，
∴2－ax在[0,1]上是减函数，
即当x＝1时，2－ax的值最小，又∵2－ax为真数，
∴，解得114．(－∞，－1)
解析 当x>0时，由1－2－x<－，
()x>，显然不成立．
当x<0时，－x>0.
因为该函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x－1.
由2x－1<－，即2x<2－1，得x<－1.
又因为f(0)＝0<－不成立，
所以不等式的解集是(－∞，－1)．
15．解 由题意得A＝{x|1由A∪B＝B，得A B，即－1＋31＋m≥2，即31＋m≥3，
所以m≥0.
16．解 ∵f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴a＝0.
又∵f(－1)＝－f(1)，∴＝－，
∴b＝0，∴f(x)＝.
∴函数f(x)在[－1,1]上为增函数．
证明如下：
任取－1≤x1∴x1－x2<0，－1∴1－x1x2>0.
∴f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝<0，
∴f(x1)∴f(x)为[－1,1]上的增函数．
17．(1)证明 f(x)＝f(＋)＝f2()≥0，
又∵f(x)≠0，∴f(x)>0.
(2)证明 设x1又∵f(x)为非零函数，
∴f(x1－x2)＝＝
＝>1，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数．
(3)解 由f(4)＝f2(2)＝，f(x)>0，得f(2)＝.
原不等式转化为f(x2＋x－3＋5－x2)≤f(2)，结合(2)得：
x＋2≥2，∴x≥0，
故不等式的解集为{x|x≥0}．
18．解 (1)f(x)＝5x,15≤x≤40；
g(x)＝.
(2)①当15≤x≤30时，5x＝90，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)；
当18g(x)．
②当30g(x)，
∴当15≤x<18时，选甲家比较合算；
当x＝18时，两家一样合算；
当1819．解 (1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；
设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则，解得a＝－1，b＝1，
所以存在区间[－1,1]满足②，
所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．
(2)f(x)＝k＋是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f(x)＝k＋是闭函数，存在区间[a，b]满足②
即：.
即a，b是方程k＋＝x的两根，化简得，
a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根．
且a≥k，b>k.
令f(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2，得，
解得－所以实数k的取值范围为(－，－2]．
20．解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∵f(－x)＝a－x－1，
∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴所求的解析式为f(x)＝.
(3)不等式等价于
或，
即或.
当a>1时，有或，注意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理可得，当0综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若a<，则化简的结果是________．
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是________．
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为__________________________________．
4．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________________________________．
5．已知函数f(x)＝ax2＋(a3－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是________．
6．设f(x)＝，则f(5)的值是________．
7．函数y＝1＋的零点是________．
8．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)．
9．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为________．
10．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．
11．函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．
12．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________.
13．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
14．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)计算：log49－log212＋.
16．(14分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x<0时，函数的解析式．
17．(14分)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
18．(16分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．
19．(16分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)．(注：利润与投资量单位：万元)
(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式．
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
20．(16分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(ax－bx)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg
2，求a、b的值．
第2、3章
章末检测(A)
1.
解析 ∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.
2．[1，)
解析 由函数的解析式得：即
所以1≤x<.
3．[4，＋∞)
解析 ∵x≥1，∴x2＋3≥4，∴log2(x2＋3)≥2，则有y≥4.
4．7
解析 由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，
则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，
A2＝98.又A>0，故A＝＝7.
5．[－，0)
解析 由题意知a<0，－≥－1，－＋≥－1，即a2≤3.
∴－≤a<0.
6．24
解析 f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
7．－1
解析 由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.
8．2
解析 设窗框的宽为x，高为h，则2h＋4x＝6，
即h＋2x＝3，∴h＝3－2x，
∴矩形窗框围成的面积S＝x(3－2x)＝－2x2＋3x(0当x＝－＝＝0.75时，S有最大值．
∴h＝3－2x＝1.5，∴高与宽之比为2.
9.－1
解析 设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝－1.
10．m≤2
解析 由函数单调性可知，由f(m＋3)≤f(5)有m＋3≤5，故m≤2.
11．－1
解析 f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∵1∈[－2,3]，
∴f(x)max＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，
f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)min＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.
12．－1
解析 由题意知，f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，
∴a＋1＝0，a＝－1.
13．(0,1]
解析 设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有，即.解得014．f(b－2)解析 ∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)15．解 (1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22·3＝12.
(2)原式＝log23－(log23＋log24)＋
＝log23－log23－2＋＝－.
16．(1)证明 设0f(x1)－f(x2)＝(－1)－(－1)＝，
∵00，x2－x1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1，
又f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝－－1，即f(x)＝－－1(x<0)．
17．解 (1)要使此函数有意义，则有或，
解得x>1或x<－1，此函数的定义域为
(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当018．解 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)
＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)任取x10，∴f(x2－x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
即f(x2)∴f(x)在R上是减函数．
(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，
∴f(12)最小，f(－12)最大．
又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)
＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，
∴f(－12)＝－f(12)＝8.
∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.
19．解 (1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
由题意，得f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由题图可知f(1)＝，∴k1＝.
又g(4)＝1.6，∴k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，该企业利润为y万元．
y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，
令＝t，则x＝10－t2，
于是y＝＋t＝－(t－2)2＋(0≤t≤)．
当t＝2时，ymax＝＝2.8，
此时x＝10－4＝6，
即当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为2.8万元．
20．(1)解 ∵ax－bx>0，∴ax>bx，∴()x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴y＝()x在R上递增．
∵()x>()0，∴x>0.
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)证明 设x1>x2>0，∵a>1>b>0，
∴ax1>ax2>1,0∴－bx1>－bx2>－1.∴ax1－bx1>ax2－bx2>0.
又∵y＝lg
x在(0，＋∞)上是增函数，
∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在定义域内是增函数．
(3)解 由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，
又恰在(1，＋∞)内取正值，
∴f(1)＝0.又f(2)＝lg
2，
∴∴解得§3.3 幂函数
课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，把形如________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点__________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、填空题
1．下列函数是幂函数的是________．(填序号)
①y＝；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x－1.
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为________．
3．下列是y＝的图象的是________．(填序号)
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________．
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．函数y＝＋x－1的定义域是________．
9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
二、解答题
10．比较、、的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N
，m、
n互质)时，有：
n
m
y＝的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0，＋∞)
偶数
奇数
偶函数
(－∞，＋∞)
奇数
奇数
奇函数
(－∞，＋∞)
3.幂函数y＝的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．
§2.4 幂函数
知识梳理
1．y＝xα 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
作业设计
1．①②④
解析 根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，③中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数．
2.
解析 设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.
3．②
解析 y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．
4．2，，－，－2
解析 作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．
5．a>c>b
解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.
6．2
解析 因为x∈(－1,0)∪(0,1)，
所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．
7．④
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8．(0，＋∞)
解析 y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m<－
解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
10．解 考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵>，∴>.
再考查函数y＝，∵>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵1.4>1.1，∴>，
∴>>.
11．解 由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
12．解 (1)若f(x)为正比例函数，则 m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则 m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
13．解 设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1f(x)课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于________．
2．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
3．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么下列关系正确的是________．
①aA；②a A；③{a} A；④{a}A.
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么( IM)∩( IN)＝________.
5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为________．
6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：
(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩( A(B∪C))．
一、填空题
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则集合P、Q的关系为________．
2．符合条件{a}P {a，b，c}的集合P的个数是________________________．
3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N
}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N
}，则M与P的关系是________．
4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是________．
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|36．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1D∈/A，x＋1 A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．
8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，则a＝________.
9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则( UM)∪( UN)＝________.
二、解答题
10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
能力提升
12．对于k∈A，如果k－1 A且k＋1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．
2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．
3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．
4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．
习题课
双基演练
1．{x|－1解析 ∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，
∴A∩B＝{x|－12．{x|x<－5或x>－3}
解析 画出数轴，将不等式－35在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
3．④
4．
解析 ∵ IM＝{d，e}， IN＝{a，c}，
∴( IM)∩( IN)＝{d，e}∩{a，c}＝ .
5．A＝B
解析 4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.
6．解 ∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}
(1)又∵B∩C＝{3}，
∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，
∴ A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
∴A∩( A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．
作业设计
1．QP
2．3
解析 集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．
3．MP
解析 ∵a∈N
，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….
∵b∈N
，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….
∴MP.
4．(M∩S)∩( SP)
解析 阴影部分是M∩S的部分再去掉属于集合P的一小部分，因此为(M∩S)∩( SP)．
5．{a|3≤a≤4}
解析 根据题意可画出下图．
∵a＋2>a－1，∴A≠ .有解得3≤a≤4.
6．a≤2
解析 如图中的数轴所示，
要使A∪B＝R，a≤2.
7．1
解析 当x＝1时，x－1＝0 A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4 A；
当x＝5时，x－1＝4 A，x＋1＝6 A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．4
解析 ∵A∪( UA)＝U，由 UA＝{5}知，a2－2a－3＝5，
∴a＝－2，或a＝4.
当a＝－2时，|a－7|＝9,9 U，∴a≠－2.
a＝4经验证，符合题意．
9．{x|x<1或x≥5}
解析 UM＝{x|x<1}， UN＝{x|x<0或x≥5}，
故( UM)∪( UN)＝{x|x<1或x≥5}
或由M∩N＝{x|1≤x<5}，( UM)∪( UN)＝ U(M∩N)
＝{x|x<1或x≥5}．
10．解 (1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C B C，
∴－<2，∴a>－4.
11.
解 由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．
12．解 依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．
13．解 在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝.综上，M∩N的长度的最小值为.3.2习题课
课时目标 1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能力．
1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是________．
2．已知03．函数y＝＋的定义域是________．
4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．(填序号)
5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．
6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.
一、填空题
1．下列不等号连接正确的是________．(填序号)
①log0.52.7>log0.52.8；
②log34>log65；
③log34>log56；
④logπe>logeπ.
2．若log37·log29·log49m＝log4，则m＝________.
3．设函数f(x)＝若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b＝________.
4．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调增区间为_____________________________．
5．若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
7．已知loga(ab)＝，则logab＝________.
8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.
9．设函数f(x)＝若f(a)＝，则f(a＋6)＝________.
二、解答题
10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg
2≈0.301
0)
能力提升
12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．
13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.
(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；
(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)对任意x1>0，x2>0恒成立．
1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：
(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；
(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．
2．指数函数与对数函数的区别与联系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．
习题课
双基演练
1．p解析 01，p<0，故p2．1解析 ∵0由logamn>1.
3．(1,2)
解析 由题意得：解得：14．②③
解析 ①y＝在(0,1)上为单调递增函数，
∴①不符合题意，②，③符合，
④y＝2x＋1在(0,1)上也是单调递增函数．
5．f(a＋1)>f(2)
解析 当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上递增，
又∵a＋1>2，∴f(a＋1)>f(2)；
当0又∵a＋1<2，∴f(a＋1)>f(2)．
综上可知，f(a＋1)>f(2)．
6．a－2
解析 log38－2log36＝log323－2(1＋log32)
＝3a－2－2a＝a－2.
作业设计
1．①②③
解析 对①，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对②，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对③，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对④，由π>e>1可知，logeπ>1>logπe错误．
2.
解析 左边＝··＝，
右边＝＝－，
∴lg
m＝lg
＝lg，
∴m＝.
3．0
解析 ∵f(3)＝2，∴loga(3＋1)＝2，
解得a＝2，又f(－2)＝0，∴4－4＋b＝0，b＝0.
4．(－∞，－)
解析 令y＝2x2＋x，其图象的对称轴x＝－<0，
所以(0，)为y的增区间，所以00，所以0f(x)的定义域为2x2＋x>0的解集，即x>0或x<－，
由x＝－>－得，(－∞，－)为y＝2x2＋x的递减区间，
又由05．(－1,0)∪(1，＋∞)
解析 ①若a>0，则f(a)＝log2a，f(－a)＝a，
∴log2a>a＝log2，
∴a>，∴a>1.
②若a<0，则f(a)＝(－a)，
f(－a)＝log2(－a)，
∴(－a)>log2(－a)＝(－)，
∴－a<－，
∴－1由①②可知，－11.
6．(，1)∪(2，＋∞)
解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，
在(0，＋∞)上f(x)<0 f(x)同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－)＝0，得x>2.
综上所述，x∈(，1)∪(2，＋∞)．
7．2p－1
解析 ∵logaba＝p，logabb＝logab＝1－p，
∴logab＝logaba－logabb
＝p－(1－p)＝2p－1.
8.a＋b－2
解析 因为log236＝a，log210＝b，
所以2＋2log23＝a,1＋log25＝b.
即log23＝(a－2)，log25＝b－1，
所以log215＝log23＋log25＝(a－2)＋b－1＝a＋b－2.
9．－3
解析 (1)当a≤4时，2a－4＝，
解得a＝1，此时f(a＋6)＝f(7)＝－3；
(2)当a>4时，－log2(a＋1)＝，无解．
10．解 由log4(x＋a)<1，得0解得－a即B＝{x|－a∵A∩B＝ ，∴解得1≤a≤2，
即实数a的取值范围是[1,2]．
11．解 设至少抽n次才符合条件，则
a·(1－60%)n<0.1%·a(设原来容器中的空气体积为a)．
即0.4n<0.001，两边取常用对数，得
n·lg
0.40.001，
所以n>.
所以n>≈7.5.
故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
12．解 设u(x)＝x2－2x＋3，则u(x)在定义域内有最小值．
由于f(x)在定义域内有最小值，所以a>1.
所以loga(x－1)>0 x－1>1 x>2，
所以不等式loga(x－1)>0的解集为{x|x>2}．
13．解 (1)∵[f(0)＋f(1)]＝(loga1＋loga2)＝loga，
又∵f()＝loga，且>，由a>1知
函数y＝logax为增函数，所以loga即[f(0)＋f(1)](2)由(1)知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．
接下来探索不等号左右两边的关系：
[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝loga，
f(－1)＝loga，
因为x1>0，x2>0，
所以－＝≥0，
即≥.又a>1，
所以loga≥loga，
即[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)．
综上可知，不等式对任意x1>0，x2>0恒成立．