2.1.3 推理案例赏析
明目标、知重点 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．
1．数学活动与探索
数学活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．
2．合情推理和演绎推理的联系
在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．
[情境导学]
合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差别？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发展活动的？下面通过几个案例进一步来熟悉．
探究点一 运用归纳推理探求结论
思考1 在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？
答 (1)实验、观察：列举几个特别的例子，并推演出相应的结论．
(2)概括、推广：分析上述实验的共性，如位置关系、数量关系及变化规律，找出通性．
(3)猜测一般性结论：由上述概括出的通性，推广出一般情形下的结论，此结论就涵盖所有特例的结论．
思考2 归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？
答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．
例1 已知数列的前4项为，1，，，试写出这个数列的一个通项公式．
解 把已知4项改写为，，，，记此数列的第n项为an，则有a1＝；a2＝；a3＝，
a4＝，….
据此猜测an＝.
反思与感悟 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．
跟踪训练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________．
答案 n2
解析 前4个图中小三角形个数分别为1,4,9,16.
猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.
探究点二 运用类比推理探求结论
思考1 在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？
答 (1)观察、比较：对比两类对象，挖掘它们之间的相似(同)点和不同点．
(2)联想、类推：提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质．
(3)猜测新的结论：把猜测的某种结论用相关语言确切地表述出来．
思考2 类比推理的结论是否一定正确？
答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证．
例2 Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA.(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P—ABC(如图乙)中，可得到什么结论？
解
如图在三棱锥P—ABC中，作PO⊥平面ABC，
连结OB、OC猜想下列结论：
S＝S△OBC·S△ABC.
证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.
PA⊥PB，PA⊥PC PA⊥平面PBC.
∵PD 平面PBC，BC 平面PBC，
∴PA⊥PD，PA⊥BC.
∵PO⊥平面ABC，AD 平面ABC，BC 平面ABC，
∴PO⊥AD，PO⊥BC.∴BC⊥平面PAD.
∴BC⊥AD，BC⊥PD.
S＝2＝BC2·PD2
S△OBC·S△ABC＝BC·OD·BC·AD
＝BC2·OD·AD.
∵PD2＝OD·AD，∴S＝S△OBC·S△ABC.
反思与感悟 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．
跟踪训练2 如图，设△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，BC边上的高AD＝h.扇形A1B1C1中，＝l，半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：
(1)S＝ah；
(2)S＝bcsin∠BAC.
运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出其真假．
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________．
答案 (1)S＝lR 真命题
(2)S＝R2sin
A1 假命题
探究点三 运用演绎推理证明结论的正确性
思考1 合情推理与演绎推理有何异同之处？
答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．
演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．
合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．
思考2 应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？
答 在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提．
例3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)求证数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)求证不等式Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N
)．
(1)证明 由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
∴＝4
(n∈N
)．
∴数列{an－n}是以a1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列．
(2)解 由(1)可知an－n＝4n－1，∴an＝n＋4n－1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n＋4n－1)
＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4n－1)
＝＋·4n－.
(3)证明 由(2)知，Sn＋1－4Sn
＝＋·4n＋1－－
4
＝－2n(n＋1)＋1
＝－≤0，
∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N
)．
反思与感悟 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．
跟踪训练3 已知函数f(x)对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：f(x)是奇函数．
证明 ∵对任意x，y∈R，
有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
∴当x＝y＝0时，f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
又令y＝－x，则f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
1．一个数列的第2项到第4项分别是3，，，据此可以猜想这个数列的第一项是________．
答案
解析 ∵a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，∴猜想a1＝＝.
2．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________.
答案 球内接平行六面体一定是长方体
3．设xi>0
(i∈N
)，有下列不等式成立，x1＋x2≥2；x1＋x2＋x3≥3，…类比上述结论，对于n个正数x1，x2，…，xn，猜想有下述结论______________________．
答案 x1＋x2＋…＋xn≥n
4．已知a、b∈N
，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
答案 4
024
解析 令b＝1，则f(a＋1)＝f(a)f(1)，
∴＝f(1)＝2.
∴＋＋…＋＝2＋2＋…＋2
＝2×2
012＝4
024.
[呈重点、现规律]
1．数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．
2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.
一、基础过关
1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．
答案 31
解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a1＝6，d＝5，∴a6＝6＋(6－1)×5＝31.
2．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…
由此猜测第n个等式为______________________(n∈N
)．
答案 1＋＋＋…＋>
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋1.则此数列的前4项分别为a1＝________，a2＝________，a3＝________，a4＝________.据此猜测，数列{an}的通项公式为an＝_______.
答案 2 3 5 7
4．正方形ABCD中，对角线AC⊥BD.运用类比的方法，猜想正方体ABCD—A1B1C1D1中，相关结论：________________________.
答案 对角面AA1C1C⊥BB1D1D
5．如果函数f(x)是奇函数，那么f(0)＝0.因为函数f(x)＝是奇函数，所以f(0)＝0.这段演绎推理错误的原因是______________．
答案 大前提错误
6．已知△ABC中，AD⊥BC于D，三边是a，b，c，则有a＝ccos
B＋bcos
C；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P—ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角P—AB—C，P—BC—A，P—AC—B的度数分别是α，β，γ，则S＝____________________________________.
答案 S1cos
α＋S2cos
β＋S3cos
γ
7．已知等式：(tan
5°＋1)(tan
40°＋1)＝2；
(tan
15°＋1)(tan
30°＋1)＝2；
(tan
25°＋1)(tan
20°＋1)＝2；
据此可猜想出一个一般性命题：______________________________.
答案 (tan
α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2
二、能力提升
8．仔细观察下面○和●的排列规律：○
●
○○
●
○○○
●
○○○○
●
○○○○○
●
○○○○○○
●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．
答案 14
解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，
则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，
易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
9．设M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s>0，t>0，都有f(s)＋f(t)
①f1(x)∈M；②f1(x) M；③f2(x)∈M；④f2(x) M.
答案 ②③
解析 对于f1(x)＝log2x；log22＋log24>log2(2＋4)，
所以f1(x) M.
对于f2(x)＝2x－1：2s－1＋2t－1－(2s＋t－1)
＝－(2s－1)(2t－1)<0，f2(x)∈M.
10．已知命题：平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在椭圆＋＝1
(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.
将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________.
答案 平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线－＝1
(m，n>0，p＝)上，双曲线的离心率为e，则＝
11．已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N
)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝也是等差数列．
证明：设等差数列{an}的公差为d，则bn＝＝＝a1＋(n－1)，
所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列．
12．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．
解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．
证明如下：设P为正三棱锥A—BCD底面上任一点，点P到平面ABC、ACD、ABD的距离分别为h1、h2、h3，以侧面ABC为底时对应的高为h，则：
VP—ABC＋VP—ACD＋VP—ABD＝VD—ABC.
即：S△ABC·h1＋S△ACD·h2＋S△ABD·h3
＝S△ABC·h.
∵S△ABC＝S△ACD＝S△ABD
∴h1＋h2＋h3＝h，此即要证的结论．
三、探究与拓展
13．记Sn为数列{an}的前n项和，给出两个数列：
(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…
(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…
(1)对于数列(Ⅰ)，计算S1，S2，S4，S5；
对于数列(Ⅱ)，计算S1，S3，S5，S7；
(2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足ak＋ak＋1＝0的这一类等差数列{an}的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．
解 (1)对于数列(Ⅰ)，S1＝S5＝5，S2＝S4＝8；
对于数列(Ⅱ)，S1＝S7＝－14，S3＝S5＝－30.
(2)对于等差数列{an}，当ak＋ak＋1＝0时，
猜想Sn＝S2k－n(n≤2k，n，k∈N
)．
下面给出证明：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵ak＋ak＋1＝0，
∴a1＋(k－1)d＋a1＋kd＝0，
∴2a1＝(1－2k)d.
又S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋d－na1－d
＝[(k－n)(1－2k)＋－]d＝0.
∴S2k－n＝Sn，猜想正确．1.5.2 定积分
明目标、知重点 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义．
1．定积分的概念
一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx(Δx＝)，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn.作和
Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx，如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为：S＝ f(x)dx，
其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．
2．定积分的几何意义
一般地，定积分 f(x)dx的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和．(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)
探究点一 定积分的概念
思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近．
思考2 怎样正确认识定积分 f(x)dx
答 (1)定积分 f(x)dx是一个数值．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外 f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了定积分的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．
例1 利用定积分的定义，计算 x3dx的值．
解 令f(x)＝x3.
(1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)以直代曲、作和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
x3dx≈Sn＝f()·Δx
＝
()3·
＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.
(3)逼近
n→＋∞时，2→.
∴ x3dx＝.
反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、以直代曲、作和、逼近”这一过程，需要注意的是在本题中将以直代曲、作和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．
跟踪训练1 用定义计算 (1＋x)dx.
解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为
Δx＝.
(2)以直代曲、作和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋.
(3)逼近：n→＋∞时，Sn＝(ξi)Δx→2＋＝.
因此 (1＋x)dx＝.
探究点二 定积分的几何意义
思考1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么 f(x)dx表示什么？
答 当函数f(x)≥0时，定积分 f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a思考2
当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时， f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？
答 如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．
由于>0，f(ξi)≤0，故
f(ξi)≤0.从而定积分 f(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即 f(x)dx＝－S.
当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分 f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即 f(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例2 利用几何意义计算下列定积分：
(1) dx；(2) (3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，
其面积为S＝·π·32.
由定积分的几何意义知 dx＝π.
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴ (3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1) xdx；(2) cos
xdx；(3) |x|dx.
解 (1)如图(1)， xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图(2)， cos
xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴ |x|dx＝2A1＝2×＝1.
(其中A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
1．定积分 (－3)dx＝________.
答案 －6
2．定积分 f(x)dx的大小，以下说法正确的是________．
①与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
②与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
③与f(x)和ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
④与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案 ①
3．根据定积分的几何意义，用不等号连结下列式子：
① xdx________ x2dx；
② dx________ 2dx.
答案 ①> ②<
解析 ①当x∈[0,1]时，x>x2，
由定积分的几何意义知 xdx> x2dx；
②当 dx对应的面积为半圆，
小于 2dx对应的矩形的面积，
所以 dx< 2dx.
4．用定积分的几何意义求定积分 2(x－2)dx.
解 因 2(x－2)dx＝2 (x－2)dx，所以作出直线y＝x－2在区间[0,5]的图象，在区间[0,2]上图象在x轴下方，在区间[2,5]上图象在x轴上方，设线段在x轴下方和在x轴上方与坐标轴组成的面积分别为S1，S2，由定积分的几何意义，得 (x－2)dx＝S2－S1＝×32－×22＝，所以 2(x－2)dx＝5.
[呈重点、现规律]
1．定积分 f(x)dx是一个和式f(ξi)当n→＋∞时逼近的一个值，是一个常数．
2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.
一、基础过关
1．将曲边y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所围成的图形面积写成定积分的形式__________．
答案 exdx
2．定积分 3tdx(t为大于0的常数)的几何意义是____________________________________．
答案 由直线y＝3t，x＝2，x＝3，y＝0所围成的矩形的面积
3.由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是________．
答案 |x2－4|dx
4．设a＝ xdx，b＝ x2dx，c＝ x3dx，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a>b>c
解析 根据定积分的几何意义，易知 x3dx< x2dx< xdx，a>b>c.
5．计算定积分 dx＝________.
答案 π
解析 由于 dx＝2 dx表示单位圆的面积π，所以 dx＝π.
6．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：
(1)S1＝________(如图1)；
图1
(2)S2＝________(如图2)；
图2
答案 (1) πsin
xdx (2) dx
7．若 |56x|dx≤2
016，求正数a的最大值．
解 由 |56x|dx＝56 |x|dx≤2
016，得 |x|dx≤36，∴ |x|dx＝2 xdx＝a2≤36，即0二、能力提升
8. (2x－4)dx＝________.
答案 12
解析 如图A(0，－4)，B(6,8)
S△AOM＝×2×4＝4，
S△MBC＝×4×8＝16，
∴ (2x－4)dx＝16－4＝12.
9．由y＝sin
x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案 － sin
xdx
解析 由定积分的意义知，
由y＝sin
x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为
S＝－ sin
xdx.
10．计算 dx＝________.
答案 4π
解析 dx表示以原点为圆心，
4为半径的圆的面积，
∴ dx＝π·42＝4π.
11．用定积分的意义求下列各式的值：
(1) (2x＋1)dx；(2)
dx.
解 (1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线， (2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知 (2x＋1)dx＝12.
(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知
dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝×π×12－×1×1×sin
π＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|
＝2××＝，
∴dx＝－＋＝＋.
12．利用定积分的定义计算 (－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间[1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)以直代曲、作和
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝f(1＋)·Δx＝[－(1＋)2＋2(1＋)]·
＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－[－]＋·
＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋.
(3)逼近
当n→＋∞时，S＝ (－x2＋2x)dx
＝－＋＋3＋→，
(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
解 由定积分的几何意义，知
x3dx＝0， 2xdx＝＝π2－4，
cos
xdx＝0，
由定积分的性质得
f(x)dx＝ x3dx＋ 2xdx＋ cos
xdx
＝π2－4.2.1.1 合情推理(二)
明目标、知重点 1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断．
1．类比推理
(1)类比推理的定义
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．
(2)类比推理的思维过程
→→
2．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
[情境导学]
春秋时代鲁班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子，他的思维过程为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的，因此，它们形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．这就是类比推理．
探究点一 类比推理
阅读下面的推理，回答后面提出的思考：
1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：
(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；
(2)有大气层，在一年中也有季节变更；
(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．
由此科学家猜想：火星上也可能有生命存在．
2．对比圆和球，有类似特征：
(1)完美对称；
(2)都是到定点距离等于定长的点的集合；
(3)形状相近．
根据“圆的圆心到其切线的距离等于半径”，我们猜想“球的球心到其切面的距离等于半径”．
思考1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？
答 两个实例均是根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
思考2 猜想正确吗？
答 不一定正确．
思考3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
球的表面积
圆的面积
球的体积
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大
以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2
以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2
小结 在进行类比推理时要注意对应关系：平面图形中的“线”对应空间图形中的“面”；平面图形中的“面”对应空间图形中的“体”；平面图形中的“边长”对应空间图形中的“面积”；平面图形中的“面积”对应空间图形中的“体积”．
探究点二 平面图形与立体图形间的类比
例1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________．
答案 设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S＋S＋S＝S
解析 类比条件：
两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直．
结论：AB2＋AC2＝BC2S＋S＋S＝S.
反思与感悟 类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．
跟踪训练
1 (1)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos
C＋c·cos
B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
(2)已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确并给出理由．
解 (1)如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PB
C，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
(2)
类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．
如图所示，连结BE，并延长交CD于F，连结AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF 平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
探究点三 定义、定理或性质中的类比
例2 在等差数列{an}中，若a10＝0，证明等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N
)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________成立．
答案 b1
b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N
)
解析 在等差数列{an}中，由a10＝0，
得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.
相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，
可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n，(n≤17，n∈N
)．
反思与感悟 (1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题的关键．
(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)．
跟踪训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，
成等比数列．
答案
1．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号)
①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交；
②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直；
③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行；
④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
答案 ②
解析 推广到空间以后，对于①③④均有可能异面．
2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.
3．若数列{cn}是等差数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等差数列，类比上述性质，若数列{an}是各项均为正数的等比数列，则当bn＝________时，数列{bn}也是等比数列．
答案
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．
答案 中心
[呈重点、现规律]
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为
―→―→―→
一、基础过关
1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇＝________.
答案 lr
2．下列推理正确的是________．(填序号)
①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay；
②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y；
③把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay；
④把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
答案 ④
3．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
答案 ①②④
解析 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①、②、④是合情推理．
4．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________.
答案
解析 由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径.
5．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R＝________.
答案
解析 设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V四面体S—ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
6．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是________．
①b4＋b8>b5＋b7；
②b5＋b7>b4＋b8；
③b4＋b7>b5＋b8；
④b4＋b5>b7＋b8.
答案 ①
7．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB，得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cos
α＝sin∠PCO＝，cos
β＝，cos
γ＝.
∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝(PA·PBcos
α＋
PB·PCcos
β＋PC·PA
cos
γ)·h，
∴(＋＋)h＝1，即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
二、能力提升
8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号)
①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
答案 ①②③
解析 因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．
9．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)为顶点的四面体A—BCD的重心G(，，)的公式为________________．
答案
10．公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有__________________________．
答案 ，，也成等比数列，且公比为q100
11．如图(1)，在平面内有面积关系＝·，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．
解 类比＝·，
有＝··
证明：如图：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，故＝
＝＝.
12.
如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α、β，则cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝()2＋()2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图．
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝()2＋()2＋()2＝＝＝1.
三、探究与拓展
13.椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
(1)证明 设点P(x0，y0)，(x0≠±a)．
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)，
令x＝0，得yM＝.同理得yN＝－.
所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)．
所以yMyN＝＝b2.
因为＝{a，yN}，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)解 定值为－(a2＋b2)．习题课 综合法和分析法
明目标、知重点 加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．
1．综合法
综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．
综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知) P1 P2 … Pn(结论)
2．分析法
分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．
分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知) … Pn－2 Pn－1 Pn(结论)
分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆．
题型一 选择恰当的方法证明不等式
例
1 设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：3S≤I2<4S.
证明 I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
＝a2＋b2＋c2＋2S.
欲证3S≤I2<4S，
即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.
先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，
只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2≥0，显然成立；
再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，
只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，
即a(a－b－c)＋b(b－a－c)＋c(c－b－a)<0，
只需证a由于a、b、c为三角形的三边长，
上述三式显然成立，故有3S≤I2<4S.
反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
(1)a2≥0(a∈R)．
(2)(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，()2≥ab，a2＋b2≥.
(3)若a，b∈(0，＋∞)，则≥，特别地＋≥2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
跟踪训练1 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明 方法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
方法二 ∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)(＋)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
方法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”．
题型二 选择恰当的方法证明等式
例
2 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：＋＝.
证明 要证原式，只需证＋＝3，
即证＋＝1，即只需证＝1，
而由题意知A＋C＝2B，
∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac，
∴＝
＝＝1，
∴原等式成立，即＋＝.
反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
跟踪训练2 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.
证明 由已知条件得
b2＝ac，①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.②
要证＋＝2，
只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
题型三 立体几何中位置关系的证明
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，而AE 平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，
可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.而PD 平面PCD，
∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.
反思与感悟 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．
跟踪训练3 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 (1)如图，设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG 平面BDE，
AF 平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)连结FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，
且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，
所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，
所以CF⊥平面BDE.
1．已知p：ab>0；q：＋≥2，则p是q的________条件．
答案 充要
2．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的大小关系是________．
答案 x解析 y2＝()2＝a＋b＝>＝x2.
3．给出下列命题：①ab，c>d，abcd≠0 >；④a·b≠0 <1；⑤a>b>0，c>d>0 >.其中，真命题的序号是________．
答案 ①②⑤
4．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m>0，
求证：＋>.
证明 要证明＋>，
只需证明＋－>0即可，
∴＋－
＝，
∵a>0，b>0，c>0，m>0，
∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)>0，
∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)
＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2
＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2
＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2.
∵△ABC中任意两边之和大于第三边，
∴a＋b－c>0，∴(a＋b－c)m2>0，
∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2>0，
∴＋>.
[呈重点、现规律]
1．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
2．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
一、基础过关
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则下列结论正确的是________．
①a≤
②ab≥
③a2＋b2≥2
④a2＋b2≤3
答案 ③
解析 ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
2．下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有________个．
答案 3
解析 a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋ac＋bc，a(1－a)≤()2＝；(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2；当<0时，＋≥2不成立．
3．若实数a，b满足0①
②2ab
③a2＋b2
④a
答案 ③
解析 ∵a＋b＝1，a＋b>2，
∴2ab<，
由a2＋b2>＝，
又∵0∴a<，
∴a2＋b2最大．
4．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是________．
答案 a>b>c
解析 a＝，b＝，c＝.
∴a>b>c.
5.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为______)，只需证______，只需证AE⊥BC(因为________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
答案 EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC
解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．
6．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋>＋.
证明 方法一 用综合法
＋－－＝
＝＝>0，
∴＋>＋.
方法二 用分析法
要证＋>＋，
只要证＋＋2>a＋b＋2，
即要证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需证a2－ab＋b2>ab，
只需证(a－b)2>0，
因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，
所以＋>＋成立．
7．已知a>0，求证：
－≥a＋－2.
证明 要证
－≥a＋－2，
只要证
＋2≥a＋＋.
因为a>0，故只要证
2≥2，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋2＋＋2
＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．
二、能力提升
8．命题甲：()x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lg
x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的________条件．
答案 充要
解析 由()x、2－x、2x－4成等比数列可得：(2－x)2＝()x·2x－4，解得x＝4；由lg
x、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列得：2lg(x＋2)＝lg
x＋lg(2x＋1)，可解得x＝4(x＝－1舍去)，所以甲是乙的充要条件.
9．若x，y∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是________．
答案
解析 原不等式可化为a≥＝＝，
要使不等式恒成立，只需a不小于
的最大值即可．
∵
≤2，
当x＝y时取等号，∴a≥，
∴a的最小值为.
10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．(写出一个你认为正确的就可以)
答案 ①③ ②
解析 ∵αβ>0，|α|>2，|β|>2.
∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ>8＋8＋2×8＝32>25.
∴|α＋β|>5.
11．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)·(－1)≥8.
证明 方法一 (分析法)
要证(－1)(－1)(－1)≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证··≥8成立，
即证··≥8成立．
而··≥··＝8成立．
所以(－1)(－1)(－1)≥8成立．
方法二 (综合法)
(－1)(－1)(－1)
＝(－1)(－1)(－1)
＝··＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．
12.{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N
.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
(1)解 2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，
所以a2＝4.
(2)解 当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，
即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N
.
(3)证明 ＋＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋＋＋…＋
＝＋－＝－<，
所以对一切正整数n，有＋＋…＋<.
三、探究与拓展
13.，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.(你能用几种方法证明？)
证明 方法一 (用分析法)
①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，只需证
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.
即证2abcd≤b2c2＋a2d2即证0≤(bc－ad)2.
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，综合①②知，命题得证．
方法二 (用综合法)
(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
＝(a2c2＋2acbd＋b2d2)＋(b2c2－2bcad＋a2d2)
＝(ac＋bd)2＋(bc－ad)2≥(ac＋bd)2.
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法三 (用比较法)
∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝(bc－ad)2≥0，
∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
∴≥|ac＋bd|≥ac＋bd.
方法四 (用放缩法)
为了避免讨论，由ac＋bd≤|ac＋bd|，可以试证(ac＋bd)2≤
(a2＋b2)(c2＋d2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．
方法五 (构造向量法)
设m＝(a，b)，n＝(c，d)，∴m·n＝ac＋bd，
|m|＝，|n|＝.
∵m·n≤|m|·|n|＝·.
故ac＋bd≤.题型一 用导数求曲线的切线方程
利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
例1 已知函数f(x)＝x－aln
x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln
x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为
f(a)＝a－aln
a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln
a，无极大值．
跟踪训练
1 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
解 依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，
∵l与圆相切，∴＝ a＝，
∴a的值为.
题型二 用导数求函数的单调区间
求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，
∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．
(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.
①当a>0时，x1∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)和(a，＋∞)，
单调递减区间为(，a)．
②当a<0时，x1>x2，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(，＋∞)，
单调递减区间为(a，)．
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的．
综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)和(a，＋∞)，单调递减区间为(，a)；
a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)和(，＋∞)，单调递减区间为(a，)；
a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．
跟踪训练
2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝sin
x，x∈[0,2π]；
(2)y＝xlnx.
解 (1)函数的定义域是[0,2π]，
f′(x)＝cos
x，令cos
x>0，
解得2kπ－当x∈[0,2π]时，0令cos
x<0，解得因此，f(x)的单调递增区间是(0，)和(，2π)，单调递减区间是(，)．
(2)函数的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝ln
x＋1，令ln
x＋1>0得x>e－1，
因此，f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)，单调递减区间是(0，e－1)．
题型三 数形结合思想在导数中的应用
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极植与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；
特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一个点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
例
3 设解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，
得x1＝0，x2＝a.
f(0)＝b，f(a)＝－＋b，f(－1)＝－1－a＋b，
f(1)＝1－a＋b.
因为故最大值为f(0)＝b＝1，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
故a＝，b＝1.
跟踪训练
3 已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有a________0，b________0.
答案 < <
解析 由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，
∴a<0.
又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，
∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，
∴b<0.
题型四 定积分及其应用
定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．
例4 如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.
解 由得或故A(1，－1)，B(4,2)，如图所示，
S＝2 dx＋ (－x＋2)dx
＝2×x|＋(x－x2＋2x)|
＝2×＋[(×4－×42＋2×4)－(－＋2)]＝.
跟踪训练
4 在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，
使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．
解 面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，
即S1＝t·t2－ x2dx＝t3.
面积S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，
即S2＝ x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S为
S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，
由S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0，
得t＝0，或t＝.
由于当0当0，
所以S(t)在0在所以当t＝时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．
[呈重点、现规律]
1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．
2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是________推理．
答案 归纳
2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为__________________．
答案 三角形的中位线平行于第三边
解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.
3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，反设为__________________．
答案 假设至少有两个钝角
4．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是________．
答案
解析 由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是＝.
5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N
)，猜想f(x)的表达式为________．
答案 f(x)＝
解析 当x＝1时，f(2)＝＝＝，
当x＝2时，f(3)＝＝＝；
当x＝3时，f(4)＝＝＝，
故可猜想f(x)＝.
6．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4页，则这个数列的一个通项公式为________．
答案 an＝3n－1(n∈N
，n≥1)
解析 a1＝1＝30，a2＝3＝31，a3＝9＝32，a4＝27＝33，…，
由此猜想an＝3n－1(n∈N
，n≥1)．
7．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为________．
答案 1
解析 若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．
8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个．
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．
答案 2
解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．
9．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2
013＝________.
答案 2
解析 ∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，
a5＝1－＝－1，a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N
，k∈N
)
∴a2
013＝a3＋3×670＝a3＝2.
10．用数学归纳法证明n3＋5n(n∈N
)能被6整除时，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为________．
答案 k3＋5k＋3k(k＋1)＋6
11．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为______________．
答案 (n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
解析 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n－1)．
12．已知对于任意实数α，我们有正弦恒等式sin
αsin(－α)·sin(＋α)＝sin
3α，也有余弦恒等式cos
αcos(－α)·cos(＋α)＝cos
3α，类比以上结论对于使正切有意义的α，可以推理得正切恒等式为________________．
答案 tan
αtan(－α)tan(＋α)＝tan
3α
13.已知Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，
…
可以推测，A－B＝________.
答案
解析 由S1，S2，S3，S4，S5的特征，推测A＝.又各项的系数和为1，
∴A＋＋＋B＝1，则B＝－.因此推测A－B＝＋＝.
14.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
答案 ＝
解析 CE平分∠ACB，而面CDE平分二面角A—CD—B.
∴可类比成，
故结论为＝.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
解 假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则
1＝－md,2＝＋nd，
m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.
∵m为有理数，(＋1)n为无理数，
∴m≠(＋1)n.
∴假设不成立．
即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
16．(14分)设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．
17.(14分)已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
证明 反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
18．(16分)设a，b，c为一个三角形的三条边，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，试证：s<2a.
证明 要证s<2a，由于s2＝2ab，所以只需证s<，即证b因为s＝(a＋b＋c)，所以只需证2b由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
19．(16分)数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝·an.
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．
解 (1)令n＝2，∵a1＝，∴S2＝a2，
即a1＋a2＝3a2.∴a2＝.
令n＝3，得S3＝a3，
即a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.
令n＝4，得S4＝a4，
即a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1时，a1＝＝，结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，Sk＝ak＝·＝，
Sk＋1＝ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝ak＋1.
∴＋ak＋1＝ak＋1.
∴ak＋1＝＝
＝.
当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N
都有an＝.
20.(16分)设f(n)＝1＋＋＋…＋，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]对于n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．
解 当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，
得g(2)＝＝＝2，
当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，
得g(3)＝＝＝3，
猜想g(n)＝n(n≥2)．
下面用数学归纳法证明：
当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．
①当n＝2时，由上面计算可知，等式成立．
②假设n＝k(k∈N
且k≥2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)成立，
那么当n＝k＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立，
故存在函数g(n)＝n，使等式成立．习题课 数学归纳法
明目标、知重点 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
1．归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n有关的数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．
题型一 用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n＝k到n＝k＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n＝k＋1时的结论．
例1 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N
，不等式··…·>都成立．
证明 由bn＝2n，得＝，
所以··…·
＝···…·.
下面用数学归纳法证明不等式··…·＝···…·>成立．
(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N
)时不等式成立，
即··…·＝···…·>成立．
则当n＝k＋1时，左边＝··…··＝···…··
>·＝
＝
>
＝
＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，
不等式也成立．
由(1)、(2)可得不等式··…·＝···…·>对任意的n∈N
都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．
跟踪训练1 用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N
)．
证明 当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝，
因为<，所以不等式成立．
假设n＝k(k≥2，k∈N
)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－
＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
题型二 利用数学归纳法证明整除问题
例
2 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N
.
证明 (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，
命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则
当n＝k＋1时，
ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1
＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.
由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，
故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N
，
命题成立．
反思与感悟 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．
跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N
)能被x＋y整除．
证明 (1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，命题成立，
即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．
那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1
＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．
∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，
y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，
∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．
由(1)，(2)可知原命题成立．
题型三 利用数学归纳法证明几何问题
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧．
例
3 平面内有n(n∈N
，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，
即平面内满足题设的任何k条直线交点个数
f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为
f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)
＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N
(n≥2)命题都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．
跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．
证明 (1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；
(2)假设n＝k(k∈N
)时，
被分成f(k)＝k2－k＋2部分；
那么当n＝k＋1时，依题意，
第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．
∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，
即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．
1．某个命题与正整数n有关，若n＝k
(k∈N
)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么下列说法正确的是________．
①n＝6时该命题不成立
②n＝6时该命题成立
③n＝4时该命题不成立
④n＝4时该命题成立
答案 ③
解析 ∵n＝k(k∈N
)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成________．
答案 假设n＝2k－1(k∈N
)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确
3．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N
)第一步应验证________．
答案 n＝3时是否成立
解析 n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．
4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是______________．
答案 (2k＋2)＋(2k＋3)
解析 当n＝k时，左边共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．
[呈重点、现规律]
1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．
2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.
一、基础过关
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝
(n∈N
)，验证n＝1时，左边应取的项是________．
答案 1＋2＋3＋4
解析 等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取________．
答案 5
解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．
答案 2k
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，则f(1)＝________.
答案
解析 相当于一个通项，把n＝1代入得＝.所以f(1)＝1＋＋＝.
5．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用归纳假设，应将5k＋1－2k＋1变形为______________．
答案 5(5k－2k)＋3×2k
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an
(n∈N
)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn＝________________.
答案
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
7．已知正数数列{an}(n∈N
)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
证明 (1)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋)，
∴a＝1(an>0)，
∴a1＝1，又－＝1，∴n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k∈N
)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝(ak＋1＋)－(ak＋)
＝(ak＋1＋)－(－＋)
＝(ak＋1＋)－.
∴a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，
∴n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N
都有an＝－.
二、能力提升
8．k(k≥3，k∈N
)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案 k－1
解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
9．对于不等式≤n＋1
(n∈N
)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k
(n∈N
)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证明说法正确的是________．
①过程全部正确；
②n＝1验证不正确；
③归纳假设不正确；
④从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．
答案 ④
解析 从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．
10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是______________________________________．
答案 ＋＋…＋＋＋>－
解析 观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N
)．
证明 (1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时命题成立，
即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋(＋＋－)>＋(＋＋－)>＋(3×－)＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N
均成立．
12.已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N
)．
用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
(2)假设n＝k(k∈N
)时猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－
＝－
＝－＝－.
即n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立．
三、探究与拓展
13.已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若不等式(1－)·(1－)·…·(1－)≤对任意n∈N
恒成立，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解 (1)设数列{an}公差为d(d>0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．所以an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；
而>，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N
恒成立．
下面用数学归纳法证明：
证明 (1)当n＝1时，≤＝，命题成立．
(2)假设当n＝k时，不等式，···…·≤成立，
当n＝k＋1时，···…··≤·，
只要证·≤
，
只要证≤，只要证≤2k＋2，
只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N
，不等式···…·≤恒成立.1.2.3 简单复合函数的导数
明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成
x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．
探究点一 复合函数的定义
思考1 观察函数y＝2xcos
x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos
x是由u＝2x及v＝cos
x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln
u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数．
思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？
答 A B.
小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．
例1 指出下列函数是怎样复合而成的：
(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；
(3)y＝cos
3x.
解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；
(3)y＝cos
3x是由函数y＝cos
u，u＝3x复合而成的．
反思与感悟 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：
(1)y＝ln
；(2)y＝esin
x；(3)y＝cos
(x＋1)．
解 (1)y＝ln
u，u＝；
(2)y＝eu，u＝sin
x；
(3)y＝cos
u，u＝x＋1.
探究点二 复合函数的导数
思考 如何求复合函数的导数？
答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．
例
2 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；
(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x＋3.
解 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3；
(2)y＝＝(1－2x)－可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－)u－·(－2)＝(1－2x)－＝；
(3)原函数可看作y＝sin
u，u＝－2x＋的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·(－2)＝－2cos(－2x＋)
＝－2cos(2x－)；
(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝10u·ln
10·2＝(ln
100)102x＋3.
反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．
复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋3)2；
(2)y＝e－0.05x＋1；
(3)y＝sin(πx＋φ)．
解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12.
(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu＝－0.05
e－0.05x＋1.
(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sin
u，u＝πx＋φ的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(sin
u)′·(πx＋φ)′＝cos
u·π
＝πcos(πx＋φ)．
探究点三 复合函数导数的应用
例
3 求曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程．
解 ∵y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴y′|x＝－＝2，
∴曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程为
y－1＝2(x＋)，
即2x－y＋2＝0.
反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．
跟踪训练3 曲线y＝esin
x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解 设u＝sin
x，则y′＝(esin
x)′＝(eu)′(sin
x)′.
＝cos
xesin
x.
y′|x＝0＝1.
则切线方程为y－1＝x－0，
即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝＝ c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
1．函数y＝(3x－2)2的导数y′＝________.
答案 18x－12
解析 y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．
2．若函数y＝sin2x，则y′＝________.
答案 sin
2x
解析 y′＝2sin
x·(sin
x)′
＝2sin
x·cos
x＝sin
2x.
3．若f(x)＝sin(3x＋)，则f′()＝________.
答案 －3
解析 f′(x)＝3cos(3x＋)，
∴f′()＝－3.
4．(1)设函数f(x)＝ex－e－x，证明：f(x)的导数f′(x)≥2；
(2)设函数f(x)＝x＋ln(x－5)，g(x)＝ln(x－1)，解不等式f′(x)>g′(x)．
(1)证明 f′(x)＝(ex－e－x)′＝ex＋e－x，因为ex>0，e－x>0，所以ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即e2x＝1，x＝0时，等号成立，所以f′(x)≥2.
(2)解 因为f′(x)＝1＋，g′(x)＝，
所以由f′(x)>g′(x)，得1＋>，
即>0，所以x>5或x<1.
又两个函数的定义域为，
即x>5，所以不等式f′(x)>g′(x)的解集为(5，＋∞)．
[呈重点、现规律]
求简单复合函数f(ax＋b)的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
一、基础过关
1．函数y＝的导数y′＝________.
答案 －
解析 y′＝[]′＝·(3x－1)′＝.
2．函数y＝x2cos
2x的导数y′＝________.
答案 2xcos
2x－2x2sin
2x
解析 y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′
＝2xcos
2x＋x2·(－2sin
2x)
＝2xcos
2x－2x2sin
2x.
3．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
答案
解析 ∵f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，
∴f′(2)＝.
4．函数y＝(2
015－8x)3的导数y′＝________.
答案 －24(2
015－8x)2
解析 y′＝3(2
015－8x)2×(2
015－8x)′＝3(2
015－8x)2×(－8)＝－24(2
015－8x)2.
5．曲线y＝cos(2x＋)在x＝处切线的斜率为______．
答案 －2
解析 ∵y′＝－2sin(2x＋)，
∴切线的斜率k＝－2sin(2×＋)＝－2.
6．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．
答案 1
解析 y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．
由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋2x2)8；(2)y＝；
(3)y＝sin
2x－cos
2x；(4)y＝cos
x2.
解 (1)设y＝u8，u＝1＋2x2，
∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x
＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.
(2)设y＝u－，u＝1－x2，
则y′＝(u－)′(1－x2)′＝(－u－)·(－2x)
＝x(1－x2)－.
(3)y′＝(sin
2x－cos
2x)′＝(sin
2x)′－(cos
2x)′
＝2cos
2x＋2sin
2x＝2sin(2x＋)．
(4)设y＝cos
u，u＝x2，则y′＝(cos
u)′·(x2)′
＝(－sin
u)·2x＝(－sin
x2)·2x＝－2xsin
x2.
二、能力提升
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________
答案 2
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝1，
即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，
∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
9．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案 e2
解析 ∵y′＝ex·，∴y′|x＝4＝e2.
∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)，
切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2,0)，
则切线与坐标轴围成的三角形面积
S＝|－e2||2|＝e2.
10．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝2(2x＋a)·2＝4(2x＋a)，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
11．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．
解 f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.
∴f′(x)＝2ax－2＋＝，
f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为S＝S(t)＝5－.求函数在t＝
s时的导数，并解释它的实际意义．
解 函数S＝5－可以看作函数S＝5－和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．
由导数公式表可得Sx′＝－x－，xt′＝－18t.
故由复合函数求导法则得St′＝Sx′·xt′
＝(－x－)·(－18t)＝，
将t＝代入S′(t)，得S′()＝0.875
(m/s)．
它表示当t＝
s时，梯子上端下滑的速度为0.875
m/s.
三、探究与拓展
13.曲线y＝e2x·cos
3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解 y′＝(e2x)′·cos
3x＋e2x·(cos
3x)′
＝2e2x·cos
3x－3e2x·sin
3x，
∴y′|x＝0＝2.
∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设直线的方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，
∴b＝6或－4.
∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.1
1.1.1 平均变化率
明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．
1．平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2．曲线陡峭程度
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
[情境导学]
某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹，这是什么原因呢？显然，原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化的快与慢呢？
探究点一 函数的平均变化率
思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？
答 如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．
如用比值近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．
思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？
答 如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解 从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为
＝1(千克/月)，
从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为
＝＝0.4(千克/月)．
反思与感悟 求函数f(x)的平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
答案 (1) (2)
解析 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，
f(x)＝.
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.
探究点二 求函数的平均变化率
例2 已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率；
(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．
解 (1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为
＝＝4；
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为
＝＝3；
(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为
＝＝2.1；
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为
＝＝2.001.
反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
跟踪训练2 分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．
解 自变量x从0变到1时，函数f(x)的平均变化率为
＝－3；
自变量x从m变到n(m≠n)时，函数f(x)的平均变化率为
＝－3.
思考 一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？
答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k，即一次函数的平均变化率是定值．
探究点三 平均变化率的应用
例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？
解 由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
则<，
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．
反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上变化越慢．
跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
解 甲赚钱的平均速度为＝＝(万元/月)，乙赚钱的平均速度为(万元/月)．
因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，
所以乙的经营成果比甲的好．
1．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．
答案 －9
解析 函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝＝－9.
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________．
答案 2
3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．
答案 乙
解析 在t0处，
虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
4．已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)
＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
[呈重点、现规律]
1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．
2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
(1)求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)计算平均变化率＝.
一、基础过关
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．
答案 －1
解析 ＝＝＝－1.
2．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的直线的斜率为________．
答案 1
3．函数y＝1在[2,5]上的平均变化率是________．
答案 0
解析 ＝＝0.
4．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．
答案 4.1
解析 ＝＝＝4.1.
5．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为________．
答案 2.1
解析 ＝＝＝2.1.
6．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作直线，当Δx＝0.1时，直线的斜率k＝________.
答案 2.1
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx，
∴直线斜率为2＋Δx，
当Δx＝0.1时，直线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
7．求函数y＝sin
x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．
解 函数在0到之间的平均变化率为
＝；
函数在到之间的平均变化率为
＝.
∵2－<1，∴>.
∴函数y＝sin
x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到之间的平均变化率较大．
二、能力提升
8．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快．
答案 乙
解析 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
9．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
答案 2
解析 ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝.∴m2＋m＋1＝7.
∴m＝2或m＝－3(舍)．∴m＝2.
10．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________．
答案 ③
解析 ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．
11．一正方形铁板在0℃时，边长为10
cm，加热后膨胀．当温度为t℃时，边长变为10(1＋at)
cm，a为常数，试求铁板面积在温度[t，t＋Δt]上的膨胀率．
解 铁板面积S的增量为
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2
＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，
因此＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
所以铁板面积对温度的膨胀率为
200(a＋a2t)＋100a2Δt.
12．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；
(2)比较体积V从0
L增加到1
L和从1
L增加到2
L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
解 (1)∵V＝πr3，∴r3＝，r＝
，
∴r(V)＝
.
(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为
＝
≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为
＝
－
≈0.16(dm/L)．
显然体积V从0
L增加到1
L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
三、探究与拓展
13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC这段曲线的陡峭程度吗？
解 山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
hBC＝＝＝，
∴hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B陡峭.1.3.2 极大值与极小值
明目标、知重点 1.了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.3.掌握用导数的方法求函数的极值．
1．极值的概念
(1)极大值
如图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b处附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(2)极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a处附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
2．极大值与导数的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)>0
f′(x)＝0
f′(x)<0
f(x)
增(↗)
极大值f(x1)
减(↘)
3.极小值与导数之间的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)<0
f′(x)＝0
f′(x)>0
f(x)
减(↗)
极小值f(x2)
增(↗)
[情境导学]
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．
探究点一 函数的极值与导数的关系
思考1 如图，表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，观察发现，t＝a时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是什么？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
答 函数h(t)在点t＝a处h′(a)＝0.在t＝a的附近，当t0；
当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0.
思考2 如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
答 以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
思考3 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．
思考4 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．
答 不一定．可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．
例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
例1 求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．
解 f′(x)＝x2－4.
解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.
由f′(x)>0，得x<－2或x>2；
由f′(x)<0，得－2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
单调递减?
－
单调递增?
由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；
当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
跟踪训练
1 求函数f(x)＝＋3ln
x的极值．
解 函数f(x)＝＋3ln
x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
3
单调递增?
因此，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.
探究点二 已知函数极值求参数的值
思考 已知函数的极值，如何求函数解析式中的参数？
答 解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
例
2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解之得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为“导数值等于零”不是“此点取得极值”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪训练2 设当x＝1与x＝2时，函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x取得极值．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断当x＝1，x＝2时函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由．
解 (1)∵f(x)＝aln
x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝－，b＝－.
(2)由(1)可知f(x)＝－ln
x－x2＋x，
且函数f(x)＝－ln
x－x2＋x的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以，x＝1时函数f(x)取得极小值，
x＝2时函数f(x)取得极大值．
探究点三 函数极值的综合应用
例
3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
跟踪训练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
解 f(x)＝2x3－6x＋k，
则f′(x)＝6x2－6，
令f′(x)＝0，
得x＝－1或x＝1，
可知f(x)在(－1,1)上是单调减函数，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．
f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，
f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.
要使函数f(x)只有一个零点，
只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)
或
即k<－4或k>4.
∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的________条件．
答案 必要不充分
解析 对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．
2．下列函数存在极值的是________．(填序号)
①y＝；②y＝x－ex；③y＝x3＋x2＋2x－3；④y＝x3.
答案 ②
解析 ①中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，
∴①中函数无极值．
②中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.
当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.
∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.
③中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.
∴y＝f(x)无极值．④也无极值．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．
答案 a<－3或a>6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
答案 －2解析 f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，
∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2[呈重点、现规律]
1．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
2．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
一、基础过关
1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有________个．
答案 1
解析 当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号)
①导数值为0的点一定是函数的极值点；
②函数的极小值一定小于它的极大值；
③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；
④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．
答案 ④
解析 由极值的概念可知只有④正确．
3．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
答案 9
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，
∵f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，
∴ab的最大值为9.
4．函数y＝x3－3x2－9x(－2答案 5
解析 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x<－1或x>3时，y′>0.当－15．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
答案 1 －3
解析 因为f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②
由①②解得a＝1，b＝－3.
6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案 1解析 y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0恒成立，
函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；
当a>0时，y′＝3x2－3a＝0 x＝±，不难分析，
当1<<2，即17．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2e－x.
解 (1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
(2＋∞)，
f′(x)
＋
0
－
＋
0
＋
f(x)
单调递增?
－
单调减递?
单调递增?
3
单调递增?
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f(－1)＝－，无极小值．
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·′
＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减?
0
单调递增?
4e－2
单调递减?
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.
二、能力提升
8．设函数f(x)的定义域为R，当x＝x0(x0≠0)时f(x)取得极大值，以下结论一定正确的是________．(填序号)
① x∈R，f(x)≤f(x0)；
②当x＝－x0时f(－x)取得极小值；
③当x＝－x0时－f(x)取得极小值；
④当x＝－x0时－f(－x)取得极小值．
答案 ④
解析 ①错，因为极大值未必是最大值．②错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，当x＝－x0时f(－x)取得极大值．③错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，当x＝x0时－f(x)取得极小值．④对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，当x＝－x0时y＝－f(－x)取得极小值．
9.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
10.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号)
答案 ③
解析 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，
同理f(x)在(2,4)上为减函数，
在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③.
由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，
所以当x＝2时，函数有极大值；
而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，
故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，
所以x＝－时函数无极值．排除④和⑤.
11．已知函数f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求m的值．
解 ∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m
m
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，
∴m＝1.
12.设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
解 (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞－)，
－
(－，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
∴f(x)的极大值是f(－)＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，∴a<－或a>1，
∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
三、探究与拓展
13.已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设x＝0时f(x)取得极值，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.
(1)解 f(x)＝ex－ln(x＋m) f′(x)＝ex－ f′(0)＝e0－＝0 m＝1，
定义域为{x|x>－1}，
f′(x)＝ex－＝，
显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 令g(x)＝ex－ln(x＋2)，
则g′(x)＝ex－(x>－2)．
h(x)＝g′(x)＝ex－(x>－2) h′(x)＝ex＋>0，
所以h(x)是单调递增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，
又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，
所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间内，
设g′(x)＝0的根为t，
则有g′(t)＝et－＝0，
所以，et＝ t＋2＝e－t，
当x∈(－2，t)时，g′(x)当x∈(t，＋∞)时，g′(x)>g′(t)＝0，g(x)单调递增；
所以g(x)min＝g(t)＝et－ln(t＋2)＝＋t＝>0，
当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，
所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)
＝g(x)≥g(x)min>0.1.5.3 微积分基本定理
明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．微积分基本定理
对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么
f(x)dx＝F(b)－F(a)，
即 F′(x)dx＝F(b)－F(a)．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则 f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则 f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则 f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则 f(x)dx＝0.
[情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算 x3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？
探究点一 微积分基本定理
思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是s＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
答 由物体的运动规律是s＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，
通过求定积分的几何意义，可得s＝ v(t)dt＝ y′(t)dt，
所以 v(t)dt＝ y′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．
小结 (1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F(b)－F(a)．
这个结论叫做微积分基本定理．
(2)运用微积分基本定理求定积分 f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．
思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
不影响，因为
f(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)．
例1 计算下列定积分：
(1) dx；(2) (2x－)dx；(3) (cos
x－ex)dx.
解 (1)因为(ln
x)′＝，
所以 dx＝ln
2－ln
1＝ln
2.
(2)因为(x2)′＝2x，()′＝－，
所以 (2x－)dx＝ 2xdx－ dx
＝x2|＋|
＝(9－1)＋(－1)＝.
(3)因为(sin
x)′＝cos
x，(ex)′＝ex，
所以 (cos
x－ex)dx＝ cos
xdx－ exdx
＝sin
x|－ex|＝－1.
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪训练1 若S1＝ x2dx，S2＝ dx，S3＝ exdx，则S1，S2，S3的大小关系为________．
答案 S2解析 S1＝ x2dx＝x3|＝，
S2＝ dx＝ln
x|＝ln
2<1，
S3＝ exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)>.
所以S2探究点二 分段函数的定积分
例2 已知函数f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
解 图象如图．
f(x)dx＝＋＋ (x－1)dx
＝(－cos
x)＋(x2－x)|
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
跟踪训练2 设f(x)＝
求 f(x)dx.
解 f(x)dx＝ x2dx＋ (cos
x－1)dx
＝x3|＋(sin
x－x)|＝sin
1－.
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
sin
xdx， sin
xdx， sin
xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
解 因为(－cos
x)′＝sin
x，
所以 sin
xdx＝(－cos
x)|
＝(－cos
π)－(－cos
0)＝2；
sin
xdx＝(－cos
x)|
＝(－cos
2π)－(－cos
π)＝－2；
sin
xdx＝(－cos
x)|
＝(－cos
2π)－(－cos
0)＝0.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
反思与感悟 求平面图形面积的步骤
①画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标．
②将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积．
③确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．
跟踪训练3 求曲线y＝sin
x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
解 所求面积为
S＝
＝
＝1＋2＋(1－)＝4－.
1．＝________.
答案 π＋2
解析 ∵(x＋sin
x)′＝1＋cos
x，
∴＝(x＋sin
x)
＝＋sin－＝π＋2.
2．若 (2x＋)dx＝3＋ln
2，则a的值是________．
答案 2
解析 (2x＋)dx＝ 2xdx＋ dx
＝x2|＋ln
x|＝a2－1＋ln
a＝3＋ln
2，解得a＝2.
3． (x2－x)dx＝________.
答案
解析 (x2－x)dx＝ x2dx－ xdx
＝|－|＝－＝.
4．若 x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 x2dx＝x3＝×T3＝9.
∴T3＝27，∴T＝3.
5．已知f(x)＝计算 f(x)dx.
解
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin
x，则F2′(x)＝cos
x.
所以
＋sin
x＝－π2－1，即 f(x)dx＝－π2－1.
[呈重点、现规律]
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、基础过关
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是________．
①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)|；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段[a，b]内的位移是s＝ s′(t)dt.
答案 ①②③
2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式正确的是________．
①F(x)＝x3
②F(x)＝x3
③F(x)＝x3＋1
④F(x)＝x3＋c(c为常数)
答案 ①③④
3． (ex＋2x)dx＝________.
答案 e
解析 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
4．若 (2x＋k)dx＝2，则k＝________.
答案 1
解析 (2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2，所以k＝1.
5．由直线x＝1，x＝4，y＝0和曲线y＝＋1围成的曲边梯形的面积是________．
答案
解析 设所求面积为S，由定积分几何意义知，
S＝ (＋1)dx＝(x＋x)|＝(＋4)－(＋1)＝.
6．若 (2ax＋a＋1)dx＝5，则实数a＝________.
答案 1
解析 由 (2ax＋a＋1)dx＝5，
得[ax2＋(a＋1)x]|＝4a＋1＝5，
解得a＝1.
7．计算定积分 |x2－2x|dx.
解 令f(x)＝|x2－2x|，
即f(x)＝
则 f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx
＝ (x2－2x)dx＋ (2x－x2)dx
＝(x3－x2)|＋(x2－x3)|
＝(＋4)＋(4－)＝8.
二、能力提升
8．设f(x)＝，若f[f(1)]＝1，则a＝________.
答案 1
解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg
1＝0.
又x≤0时，f(x)＝x＋ 3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.
因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
9．设函数f(x)＝ax2＋c
(a≠0)，若 f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
答案
解析 (ax2＋c)dx＝ax＋c，
∴＝ax，
∵a≠0，∴x＝，
又0≤x0≤1，∴x0＝.
10.设f(x)是一次函数，且 f(x)dx＝5， xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝4x＋3
解析 因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
f(x)dx＝ (ax＋b)dx＝ axdx＋ bdx＝a＋b＝5， xf(x)dx＝ x(ax＋b)dx＝ (ax2)dx＋ bxdx＝a＋b＝.
由
得
11.
已知f(a)＝ (2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
解 ∵(ax3－a2x2)′＝2ax2－a2x，
∴ (2ax2－a2x)dx＝(ax3－a2x2)|
＝a－a2，
即f(a)＝a－a2＝－(a2－a＋)＋
＝－(a－)2＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
12.物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？
解 设a秒后物体A比B多运动5米，则
A从开始到a秒末所走的路程为
sA＝ vAdt＝ (3t2＋1)dt＝a3＋a；
B从开始到a秒末所走的路程为
sB＝ vBdt＝ 10tdt＝5a2.
由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.
此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．
故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米．
三、探究与拓展
13．求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
解 由
得或
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，
根据图形可得S＝ (－x＋2)dx－ (x2－4)dx
＝(2x－x2)|－(x3－4x)|
＝－(－)＝.1.2.1 常见函数的导数
明目标、知重点 1.能根据定义求函数y＝kx＋b，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．几个常用函数的导数
(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
(2)C′＝0(C为常数)；
(3)(x)′＝1；
(4)(x2)′＝2x；
(5)(x3)′＝3x2；
(6)()′＝－；
(7)()′＝.
2．基本初等函数的求导公式
(8)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(9)(ax)′＝axln
a(a>0，且a≠1)；
(10)(logax)′＝logae＝(a>0，且a≠1)；
(11)(ex)′＝ex；
(12)(ln
x)′＝；
(13)(sin
x)′＝cos
x；
(14)(cos
x)′＝－sin
x.
[情境导学]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．
探究点一 几个常用函数的导数
思考1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
答 (1)计算，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；
(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．
思考2 利用定义求下列常用函数的导数：
①y＝C，②y＝x，③y＝x2，
④y＝，⑤y＝.
答 ①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，
④＝＝，当Δx→0时，→－，所以y′＝－(其他类同)，
⑤y′＝.
思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(1)函数y＝f(x)＝C(常数)的导数的物理意义是什么？
(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？
答 (1)若y＝C表示路程关于时间的函数，
则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答
函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率．
(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．
函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．
思考5 画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．
答 函数y＝的图象如图所示，
结合函数图象及其导数y′＝－发现，当x<0时，随着x的增加，函数y＝减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢．
点(1,1)处切线的斜率就是导数y′|x＝1＝－＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2.
思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．
探究点二 基本初等函数的导数公式
思考 你能发现7个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？
答 公式11是公式9的特例，公式12是公式10的特例．
例
1 求下列函数的导数：
(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；
(5)y＝log3x.
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln
5；
(3)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝；
(5)y′＝(log3x)′＝.
反思与感悟 对于教材中出现的7个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式8求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝()x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝()xln
＝－()xln
2；
(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；
(4)y′＝＝－.
例2 判断下面计算是否正确．
求y＝cos
x在x＝处的导数，过程如下：
y′|x＝＝′＝－sin
＝－.
解 错误．应为y′＝－sin
x，
∴y′|x＝＝－sin
＝－.
反思与感悟 函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．
跟踪训练2 求函数f(x)＝ln
x在x＝1处的导数．
解 f′(x)＝(ln
x)′＝，
∴f′(1)＝1，
∴函数f(x)在x＝1处的导数为1.
探究点三 导数公式的综合应用
思考 基本初等函数的导数公式可以解决哪些问题？
答 (1)可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程．
(2)知切线斜率可求切点坐标．
例
3 已知直线l:
2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝
y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0
＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l:
2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以AB为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，
即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.
1．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若y＝，则y′＝－2x－3；
④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的序号是
．
答案 ①③④
解析 ①y＝＝x－3，
则y′＝－3x－4＝－；
②y＝＝x，则y′＝·x－≠；
③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3.
④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，
∴f′(1)＝3.
∴①③④正确．
2．函数f(x)＝，则f′(3)＝
.
答案
解析 ∵f′(x)＝()′＝，
∴f′(3)＝＝.
3．设正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
．
答案 [0，]∪[，π)
解析 ∵(sin
x)′＝cos
x，
∵kl＝cos
x，
∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，]∪[，π)．
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
．
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×|－e2|＝e2.
[呈重点、现规律]
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos
x，
所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
一、基础过关
1．下列结论中正确的个数为
．
①f(x)＝ln
2，则f′(x)＝；
②f(x)＝，则f′(3)＝－；
③f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln
2；
④f(x)＝log2x，则f′(x)＝.
答案 3
解析 ①f(x)＝ln
2为常数，所以y′＝0，①错．
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为
．
答案 或
解析 y′＝′＝－＝－4，x＝±，
P点坐标为(，2)或(－，－2)．
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值为
．
答案 4
解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.
4．函数f(x)＝x3的斜率为1的切线有
条．
答案 2
解析 ∵y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
5．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝
.
答案 64
解析 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.
6．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是
．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin
(1－2cos2)；(4)y＝log2x2－log2x.
解 (1)y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－
＝.
(2)y′＝()′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin
(1－2cos2)
＝2sin
(2cos2－1)＝2sin
cos
＝sin
x，
∴y′＝(sin
x)′＝cos
x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为
．
答案 e
解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴由方程组得ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
9．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x>0)的一条切线，则实数b＝
.
答案 ln
2－1
解析 设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴＝，
∴x0＝2，∴y0＝ln
2，ln
2＝×2＋b，∴b＝ln
2－1.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x7；(2)y＝；
(3)y＝ln
3；(4)y＝x(x>0)．
解 (1)y′＝7x6.
(2)y′＝(－x－5)′＝5x－6＝.
(3)y′＝(ln
3)′＝0.
(4)因为y＝x(x>0)，所以y＝x，
所以y′＝(x)′＝x－1＝x＝.
11．已知f(x)＝cos
x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解 ∵f(x)＝cos
x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin
x＋1≤0，
即sin
x≥1，但sin
x∈[－1,1]，
∴sin
x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
12.已知抛物线y＝x2和直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解 根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的直线作为抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离为
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
三、探究与拓展
13.设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，试求f2
014(x)．
解 ∵f1(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，
f3(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，
f4(x)＝(－cos
x)′＝sin
x，
f5(x)＝(sin
x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
∴fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2
014(x)＝f2(x)＝－sin
x.综合检测卷
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.
答案 －1＋3i
解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i－i2＝－1＋3i.
2．演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论错误的原因是________．
答案 大前提错误
解析 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当a>1时是增函数，当03．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为________．
答案 a，b都不能被3整除
解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．
4．i为虚数单位，复平面内表示复数z＝的点在第________象限．
答案 三
解析 因为z＝＝＝－－i，所以复平面内表示复数z＝的点在第三象限．
5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为________．
答案 P解析 要比较P与Q的大小，只需比较P2与Q2的大小，只需比较2a＋7＋2与2a＋7＋2的大小，只需比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P6．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且(x－1)f′(x)>0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
答案 c>a>b
解析 因为(x－1)f′(x)>0，所以当x>1，f′(x)>0，即函数y＝f(x)在(1，＋∞)上是增函数．又f(x)＝f(2－x)，所以a＝f(0)＝f(2)，b＝f()＝f()，所以c>a>b.
7．设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f(x)的单调递增区间为________．
答案 (2，＋∞)
解析 f(x)定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0，解得－12，所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
8．设x，y，z都是正数，则三个数x＋，y＋，z＋的值说法正确的是________．
①都小于2
②至少有一个不大于2
③至少有一个不小于2
④都大于2
答案 ③
解析 假设这三个数都小于2，
即x＋<2，y＋<2，z＋<2，
则(x＋)＋(y＋)＋(z＋)<6，
又由基本不等式x>0，y>0，z>0时，(x＋)＋(y＋)＋(z＋)≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选③.
9．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为________．
答案 (1,0)或(－1，－4)
解析 设点P的坐标为(a，b)，因为f′(x)＝3x2＋1，所以点P处的切线的斜率为f′(a)＝3a2＋1，又切线平行于直线y＝4x－1，所以3a2＋1＝4，解得a＝±1.
当a＝1时，由P(a，b)为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，
得b＝0；当a＝－1时，同理可得b＝－4，
所以点P的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
10．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R＝________.
答案
解析 设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V四面体S—ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.
11．若复数z＝cos
θ－sin
θi所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．
答案 一
解析 由已知得，
∴θ为第一象限角．
12．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2
s内所走过的路程为________m.
答案 2
解析 由1－t2≥0得－1≤t≤1，
所求路程为s＝v(t)dt－v(t)dt＝(1－t2)dt－(1－t2)dt＝－＝2(m)．
13.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [－，]
解析 依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
14．设函数f(x)＝(a∈R，e为自然对数的底数)，若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，则a的取值范围是________．
答案 [1，e]
解析 若存在b∈[0,1]使f(f(b))＝b成立，
则A(b，f(b))，A′(f(b)，b)都在y＝f(x)的图象上．
又f(x)＝在[0,1]上单调递增，
∴(xA′－xA)(yA′－yA)≥0，
即(f(b)－b)(b－f(b))≥0，
∴(f(b)－b)2≤0，∴f(b)＝b.
∴f(x)＝x在x∈[0,1]上有解，
即＝x在[0,1]上有解，
∴a＝ex＋x－x2，x∈[0,1]．
令φ(x)＝ex＋x－x2，x∈[0,1]
则φ′(x)＝ex＋1－2x≥0，x∈[0,1]，
∴φ(x)在[0,1]上单调递增，又φ(0)＝1，φ(1)＝e，
∴φ(x)∈[1，e]，即a∈[1，e]．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求复数ω；
(2)如果＝1－i，求实数a，b的值．
解 (1)由z＝1＋i，
得ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3－4
＝2i＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)由z＝1＋i，有
＝
＝＝(a＋2)－(a＋b)i.
由题设条件知(a＋2)－(a＋b)i＝1－i.
根据复数相等的定义，得
解得
16.(14分)已知a>5，求证：－<－.
证明 要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－5＋2<2a－5＋2，
只需证<，
只需证a2－5a只需证0<6.
因为0<6恒成立，
所以－<－成立．
17．(14分)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求a2、a3、a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
解 a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时猜想成立，
即ak＝.则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝＝，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N
，an＝都成立．
18.(16分)已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论．
(2)求证：B不可能是钝角．
(1)解 大小关系为<，
证明如下：要证<，
只需证<，
由题意知a、b、c>0，
只需证b2∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，
∴b2≤ac，
又a、b、c任意两边均不相等，
∴b2故所得大小关系正确．
(2)证明 假设B是钝角，则cos
B<0，
而cos
B＝>>>0.
这与cos
B<0矛盾，故假设不成立．
∴B不可能是钝角．
19.(16分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln
2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln
2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln
2－3＝0.
(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f′(x)＝－.
所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；
在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，
单调递减区间是(0，＋∞)．
当0得x1＝0，x2＝>0.
所以，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f′(x)>0；
在区间(0，)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(，＋∞)，
单调递减区间是(0，)．
当k＝1时，f′(x)＝.
故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k>1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝∈(－1,0)，x2＝0.
所以，在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；
在区间(，0)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，)和(0，＋∞)，
单调递减区间是(，0)．
20．(16分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln
x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln
2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln
3.习题课 导数的应用
明目标、知重点 1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．
1．函数f(x)＝x3－x2－x的单调减区间是________．
答案 (－，1)
解析 由f′(x)＝3x2－2x－1<0得，－所以函数f(x)在区间(－，1)内单调递减．
2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．
答案 －
解析 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)．
又g＝，g(0)＝0，g(1)＝0.
所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.
3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为________．(填序号)
答案 ④
解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
4．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是________．
答案 [2,6]
解析 由两条直线垂直的充要条件，得m＝f′(x0)，由于0≤x0≤3，
f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，
所以f′(x0)∈[2,6]，
又切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．
5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．
答案 充分不必要
解析 对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(x)≤0.
题型一 与导数几何意义有关的问题
例
1 对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{}的前n项和的公式是Sn＝________.
答案 2n＋1－2
解析 由k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切线方程为y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，
令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2n，所以＝2n，
则数列{}的前n项和Sn＝＝2n＋1－2.
反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键．
跟踪训练
1 如图，曲线y＝f(x)上任一点P(x，y)的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为，则y与y′的关系是________．
答案 y2＝y′
解析 S△PTQ＝×y×QT＝，∴QT＝，Q(x－，0)，根据导数的几何意义，
kPQ＝＝y′∴y2＝y′.
题型二 与函数图象有关的问题
例2 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是________．(填序号)
答案 ③
解析 当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，
排除图象①②.当10，
∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，
因此排除图象④.
反思与感悟 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
跟踪训练2 已知R上可导的函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为________．
答案 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
题型三 函数的单调性、极值、最值问题
例3 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值；
(3)当x∈[1,5]时，求函数f(x)的最值．
解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
得－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b
＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，∴
解得a＝1，b＝0；
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，
令f′(x)<0，得－4令f′(x)>0，得x<－4或x>4.
∴函数f(x)的递减区间为(－4,4)，
递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大＝f(－4)＝128，f(x)极小＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，
又f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，
所以函数f(x)的最大值为－47，最小值为－128.
反思与感悟 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f′(x)>0得增区间，解f′(x)<0得减区间．
(2)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练3 已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求a，b的值；
(2)求函数的极小值；
(3)求函数在[－1,1]的最值．
解 (1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′|x＝1＝3a＋2b＝0，
y|x＝1＝a＋b＝3，
即解得a＝－6，b＝9.
(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，
令y′＝0，得x＝0，或x＝1，
∴y极小值＝y|x＝0＝0.
(3)由(1)知，函数y＝f(x)＝－6x3＋9x2，
又f(－1)＝15，f(0)＝0，f(1)＝3，
所以函数的最大值为15，最小值为0.
题型四 导数的综合问题
例
4 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
解 (1)f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意，
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．
反思与感悟 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)能恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定．
跟踪训练4 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln
2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
(1)解 ∵f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
∴f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln
2.于是当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln
2)
ln
2
(ln
2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
2(1－ln
2＋a)
单调递增?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln
2)，单调递增区间是(ln
2，＋∞)，f(x)在x＝ln
2处取得极小值，极小值为f(ln
2)＝eln
2－2ln
2＋2a＝2(1－ln
2＋a)，无极大值．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln
2－1时，
g′(x)取最小值为g′(ln
2)＝2(1－ln
2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln
2－1时，
对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，只需y′＝3x2＋2x＋m≥0在R上恒成立，即Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是________．
答案 ④
解析 若函数在给定区间上是增函数，则y＝f′(x)>0，若函数在给定区间上是减函数，则y＝f′(x)<0.
因此④不正确．
3．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a①f(x)g(x)>f(b)g(b)；②f(x)g(a)>f(a)g(x)；
③f(x)g(b)>f(b)g(x)；④f(x)g(x)>f(a)g(a)．
答案 ③
解析 由条件，得′＝<0.
∴在(a，b)上是减函数．
∴<<，∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．
4．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)答案 (7，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，
得x＝－或x＝1.可判断求得f(x)max＝f(2)＝7.
∴f(x)7.
[呈重点、现规律]
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.
一、基础过关
1．函数f(x)＝ex(sin
x＋cos
x)在区间上的值域为________．
答案
解析 f′(x)＝excos
x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f，
即≤f(x)≤e.
2．使y＝sin
x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为__________．
答案 [1，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝cos
x＋a≥0，∴a≥－cos
x，
又－1≤cos
x≤1，∴a≥1.
3．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.
答案 －2
解析 由于f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，则m2－4＝0，m＝±2.
由于g′(x)＝－3x2＋4x＋m<0在(－∞，＋∞)内恒成立，
则Δ＝16＋4×3m<0，解得m<－，故m＝－2.
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________．(填序号)
答案 ④
解析 由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，
说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除①③.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，
说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除②.故填④.
5．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．
答案 3
解析 由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3.
6．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2,1]上的最大值为，则m＝________.
答案 2
解析 y′＝′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)．
由y′＝0，得x＝0或x＝－1.
∴f(0)＝m，f(－1)＝m＋.
又∵f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，
∴f(1)＝m＋最大，∴m＋＝，∴m＝2.
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋6，若x＝3是f(x)的一个极值点，求f(x)在[0，a]上的最值．
解 f′(x)＝3x2－2ax＋3，由已知得f′(3)＝0，
∴3×9－6a＋3＝0.∴a＝5，∴f(x)＝x3－5x2＋3x＋6.
令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x1＝，x2＝3.
则当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表.
x
0
3
(3,5)
5
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
6
递增?
6
递减?
－3
递增
?
21
∴f(x)在[0,5]上的最大值为f(5)＝21，
最小值为f(3)＝－3.
二、能力提升
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
答案 －13
解析 对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
9．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有f′(x)________0，g′(x)________0.
答案 > <
解析 由已知得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.
10．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．
答案
解析 ∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立，
∴f(x)在R上是增函数．
又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．
由f(mx－2)＋f(x)<0，
得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，
∴mx－2<－x，
即mx－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立．
记g(m)＝xm－2＋x，
则即解得－211．设函数f(x)＝x＋ax2＋bln
x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
(1)解 f′(x)＝1＋2ax＋.
由已知条件得即
解得
(2)证明 因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知f(x)＝x－x2＋3ln
x.
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln
x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
当00，当x>1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.
12．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－x2＋2)ex.当f′(x)>0时，(－x2＋2)ex>0，
注意到ex>0，
所以－x2＋2>0，解得－所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．
同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，
在(－1,1)上恒成立，注意到ex>0，
因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，
也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y<1＋1－＝，故a≥.
三、探究与拓展
13．已知f(x)＝ex－x，g(x)＝asin
x＋b，g(x)在(，g())处的切线方程为6x－12y＋18－π＝0.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求g(x)的解析式；
(3)当x≥0时，g(x)≤mex恒成立，求m的取值范围．
解 (1)令f′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，
∴当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0.
∴f(x)的增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0)，f(x)极小＝f(0)＝1，无极大值．
(2)g′(x)＝acos
x，g′()＝a＝，∴a＝1.
又g()＝＋b，
∴6·－12(＋b)＋18－π＝0，∴b＝1，
∴g(x)＝sin
x＋1.
(3)当x≥0时，sin
x＋1≤mex，
令h(x)＝sin
x＋1－mex，
当m<1时，h(0)＝1－m>0与已知条件矛盾，
首先证明sin
x≤x在[0，＋∞)恒成立．
令r(x)＝sin
x－x，则r′(x)＝cos
x－1≤0恒成立，
∴r(x)为[0，＋∞)上的减函数，
r(x)≤r(0)＝0，∴sin
x≤x，
由(1)可知ex≥x＋1，∴当m≥1时，
h(x)＝sin
x＋1－mex≤x＋1－mex≤ex－mex
＝(1－m)ex≤0，
综上可得m≥1.明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
1．数学归纳法
(1)如果当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N
，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
2．应用数学归纳法时应注意几点
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的数学命题．
(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
(3)
步骤②的证明必须以
“假设当n＝k(k≥n0，k∈N
)时结论成立”为条件．
[情境导学]
多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；
而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？
探究点一 数学归纳法的原理
思考1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？
答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．
所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．
思考2 对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？
答 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，
猜想an＝(n∈N
)．
以下为证明过程：
(1)当n＝1时，a1＝1＝，所以结论成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时ak＋1＝(已知)
＝(代入假设)
＝(变形)
＝(目标)，
即当n＝k＋1时，结论也成立．
由(1)(2)可得，对任意的正整数n都有an＝成立．
思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？
答 一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．
证明：(1)n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．
(2)假设n＝k时等式成立，
即1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，
则当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．
由(1)和(2)可知对任何n∈N
等式都成立．
答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n＝k＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．
探究点二 用数学归纳法证明等式
例
1 用数学归纳法证明
12＋22＋…＋n2＝(n∈N
)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝＝1，
等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即
12＋22＋…＋k2＝，
那么，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2
＝＋(k＋1)2
＝
＝
＝
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N
都成立．
反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
跟踪训练1 求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N
)．
证明 当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，
所以等式成立．
假设n＝k(k∈N
)时，
1－＋－＋…＋－
＝＋＋…＋成立．
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋[－]
＝＋＋…＋＋，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，对于任何n∈N
，等式都成立．
探究点三 用数学归纳法证明数列问题
例
2 已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解 S1＝＝；
S2＝＋＝；
S3＝＋＝；
S4＝＋＝.
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
于是可以猜想Sn＝.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，
右边＝＝＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时猜想成立，即
＋＋＋…＋＝，
那么，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N
都成立．
反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．
跟踪训练2 数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明．
解 由a1＝2－a1，
得a1＝1；
由a1＋a2＝2×2－a2，
得a2＝；
由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，
得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，
得a4＝.
猜想an＝.
下面证明猜想正确：
(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．
(2)假设当n＝k时猜想成立，
则有ak＝，
当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
∴ak＋1＝[2(k＋1)－Sk]
＝k＋1－(2k－)
＝，
所以，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，an＝对任意正整数n都成立．
1．若命题A(n)(n∈N
)在n＝k(k∈N
)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N
)时命题成立，则下列说法正确的是________．
①命题对所有正整数都成立；
②命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立；
③命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立．
答案 ③
解析 由已知得n＝n0(n0∈N
)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知③正确．
2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为________．
答案 1＋a＋a2＋a3
3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．
上述证明的错误是________．
答案 未用归纳假设
解析 本题在由n＝k成立，
证n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上假设条件，
这与数学归纳法的要求不符．
4．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋)(1＋)·…·(1＋)>均成立．
证明 (1)当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N
)时不等式成立，即
(1＋)(1＋)·…·(1＋)>.
则当n＝k＋1时，
(1＋)(1＋)·…·(1＋)[1＋]>·＝
＝>
＝＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
[呈重点、现规律]
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
一、基础过关
1．用数学归纳法证明：
1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是________________________________________________________________________．
答案
2．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则下列说法正确的是________．
①该命题对于n>2的自然数n都成立；
②该命题对于所有的正偶数都成立；
③该命题何时成立与k取值无关．
答案 ②
解析 由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n＝________.
答案 3
解析 因为是证凸n边形，所以应先验证三角形．
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，则n＝1时f(n)是________．
答案 1＋＋
5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(n)共有________项，且f(2)＝________.
答案 n2－n＋1 ＋＋
解析 观察分母的首项为n，
最后一项为n2，公差为1，
∴项数为n2－n＋1.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N
)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出{an}的通项an＝________.
答案
解析 a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，
可推测an＝.
7．用数学归纳法证明
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N
)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时等式成立，即
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，
当n＝k＋1时，
(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)
＝(1－)＝＝，
所以当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对于任意n∈N
等式都成立．
二、能力提升
8．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N
)，从k到k＋1左端需要增乘的代数式为________．
答案 2(2k＋1)
解析 n＝k＋1时，
左端为(k＋2)(k＋3)…[(k＋1)＋(k－1)]·[(k＋1)＋k]·(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·(2k＋1)·2，
∴应增乘2(2k＋1)．
9.已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N
)，则f(k＋1)＝______________________.
答案 f(k)＋＋＋－
10．证明：假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N
等式都成立．
以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N
)”的过程中的错误为________________________________________________________________________．
答案 缺少步骤归纳奠基
11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，
右边＝(－1)1－1×＝1，
结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·，
那么当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k·(k＋1)·
＝(－1)k·.
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．
12.已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N
)，Sn为数列{an}的前n项和．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式．
(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝.
(2)证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N
)时成立，
即ak＝5×2k－2，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2.
＝5＋＝5×2k－1.
故n＝k＋1时公式也成立．
由①②可知，对n≥2，n∈N
，有an＝5×2n－2.
所以数列{an}的通项公式为
an＝.
三、探究与拓展
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N
)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解 (1)计算得a1＝；a2＝；a3＝；a4＝.
(2)猜想：an＝.
下面用数学归纳法证明
①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设n＝k(k∈N
)时，猜想成立，即ak＝.
那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
从而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．题型一 分类讨论思想的应用
例1 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；
(2)是虚数；
(3)是纯虚数．
解 (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．
(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．
反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．
跟踪训练1 实数x取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
解 ①当x2－2x－15＝0，即x＝－3或x＝5时，复数z为实数；
②当x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数；
③当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2时，复数z是纯虚数；
④当x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3时，复数z为零．
题型二 数形结合思想的应用
例
2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解 设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或.
∵|OA|≠|BC|，
∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.
反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．
跟踪训练
2 已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.
(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.
题型三 转化与化归思想的应用
例
3 已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.
又＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，
∴x＝4.∴z＝4－2i，
又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．
∴，解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
反思与感悟 在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．
跟踪训练
3 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴
∴或或或
∴或或或
题型四 类比思想的应用
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有
(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；
(2)(1±i)2＝±2i；
(3)设ω＝－±i，则ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(ω∈N
)等；
(4)(±i)3＝－1；
(5)作复数除法运算时，有如下技巧：
＝＝＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．
例
4 计算：
(1)(1－i)(－＋i)(1＋i)；
(2)＋()2
006.
解 (1)方法一 (1－i)(－＋i)(1＋i)
＝(－＋i＋i－i2)(1＋i)
＝(＋i)(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
方法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)
＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i.
(2)＋()2
006＝＋＝－＝i－＝i－i＝0.
反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法．
跟踪训练4 计算：＋－.
解 ＋－
＝＋－
＝＋－
＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.
[呈重点、现规律]
1．复数的概念是考查复数的基础，需准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．
2．复数四则运算要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
3．复数几何意义在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．章末检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．物体运动的方程为s＝t4－3，则t＝5时的瞬时速度为________．
答案 125
解析 v＝s′＝t3，
∴t＝5时的瞬时速度为125.
2．函数y＝3x－x3的单调增区间是________．
答案 (－1,1)
解析 y′＝3－3x2>0 x∈(－1,1)．
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
答案 2
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，
单调减区间为(0,2)，
∴f(x)在x＝2处取得极小值．
4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
答案 2
解析 点P在切线上，
∴f(5)＝－5＋8＝3，
f′(5)＝k＝－1，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
5．若函数y＝a(x3－x)的增区间是，，则a的取值范围是________．
答案 a>0
解析 依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为，，∴a>0.
6.函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如右图所示的一条直线，则y＝f(x)图象的顶点在第________象限．
答案 一
解析 显然y＝f(x)为二次函数，设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则y＝f′(x)＝2ax＋b.
由图象知a<0，b>0.又由已知函数的图象过原点，
∴c＝0，顶点为，
因而y＝f(x)的顶点在第一象限．
7.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [－，]
解析 依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
8．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为________．
答案 4x－y－2＝0
解析 y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.
又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－，
∴k＝4x0＝4，x0＝1，
y0＝2x＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.
故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.
9．曲线y＝sin
x，y＝cos
x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为________．(用定积分表示)
答案 2 0(cos
x－sin
x)dx
解析
如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于010．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为________．
答案 a<且a≠0
解析 f′(x)＝3ax2－2x＋1，
函数f(x)在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，
等价于f′(x)＝0有两个不等实根，
即解得a<且a≠0.
11．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为________．
答案 1
解析 令f(x)＝2x3－6x2＋7，
∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f′(x)>0得x>2或x<0；由f′(x)<0得00，f(2)＝－1<0，
∴方程在(0,2)内只有一个实根．
12．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥3
解析 由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2在(－1,1)恒成立，故a≥3.
13．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________
答案 (－2,15)
解析 y′＝3x2－10＝2 x＝±2，又点P在第二象限内，∴x＝－2，得点P的坐标为(－2,15)．
14.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，在x＝1时有极值10，那么a，b的值分别为________．
答案 4，－11
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝2a＋b＋3＝0，f(1)＝a2＋a＋b＋1＝10，
解得或
经检验，当a＝－3时，x＝1不是极值点，
所以a，b的值分别为4，－11.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．
解 (1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，
f′(1)＝6－24＋18＝0，
∴切线方程为y＝16.
16.(14分)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a、b，使f(x)同时满足下列两个条件：(1)f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．
解 设g(x)＝，
∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，
∴∴解得
经检验，a＝1，b＝1时，f(x)满足题设的两个条件．
即存在实数a＝1，b＝1，使f(x)同时满足题设的两个条件．
17．(14分)设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
所以f(x)的单调递增区间为(0，)，
单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
18.（16分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．
解 (1)由于年销售量为Q(x)＝，则＝500，
所以k＝500e40，则年销售量为Q(x)＝万件，
则年利润L(x)＝(x－a－30)
＝500e40·(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500e40·.
①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，
当35≤x≤41时，L′(x)≤0；
所以x＝35时，L(x)取最大值为500(5－a)e5.
②当4令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知x＝a＋31时，L(x)取最大值为500e9－a.
综上所述，当2≤a≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当419．(16分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln
x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；
当2由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln
2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln
3.
20.
(16分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－
x2＋1，f(2)＝3.
f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.
(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
以下分两种情况讨论：
①若0当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x
(－，0)
0
(0，)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
当x∈[－
，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得－5②若a>2，则0<<.
当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x
(－，0)
0
(0，)
(，)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
当x∈[－，]时，
f(x)>0等价于即
解不等式组得因此2综合①②，可知a的取值范围为0明目标、知重点 1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发展中的作用．
1．归纳推理
从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
2．归纳推理的特点
(1)归纳推理是从特殊到一般的推理；
(2)由归纳推理得到的结论不一定正确；
(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．
[情境导学]
佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果，打发他的仆人到果园去买，并告诉他：“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说：“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个，这样最可靠．”仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去，富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．
想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？学习了下面的知识，你将清楚是何道理．
探究点一 归纳推理
思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？
答 根据一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
思考2 观察下面两个推理，回答后面的两个问题：
(1)哥德巴赫猜想：
4＝2＋2
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝5＋5
12＝5＋7
14＝7＋7
16＝5＋11
……
1
000＝29＋971
1
002＝139＋863
……
猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和．
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
问题： ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？
②其结论一定正确吗？
答 ①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理)
②其结论不一定正确．
小结 从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
探究点二 归纳推理在数列中的应用
例
1 已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
解 当n＝1时，a1＝1；
当n＝2时，a2＝＝；
当n＝3时，a3＝＝；
当n＝4时，a4＝＝.
通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出an＝.
反思与感悟 (1)归纳推理的思想：对于集合{
a、b、c、d、e、f
}，若a、b、c、d∈A，则a、b、c、d、e、f∈A.
(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
(3)归纳推理的意义：归纳推理在数列中应用广泛，我们可以从数列的前几项具有的规律，归纳数列的通项公式或探求数列的前n项和公式，其正确性有待证明，但为证明正确性提供了方向．
跟踪训练1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解 (1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N
)．
探究点三 归纳推理在图形变化中的应用
例
2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．
答案 10
解析 观察图形可知：f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上(n－1)个式子相加可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝[n(n＋1)(2n＋1)＋]
＝.
反思与感悟 解例2的关键在于寻找递推关系式：f(n)＝f(n－1)＋，然后用“叠加法”求通项，而第一层的变化规律，结合图利用不完全归纳法可得，即为正整数前n项和的变化规律．
跟踪训练2 在平面内观察：
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，
凸六边形有9条对角线，
…
由此猜想凸n(n≥4且n∈N
)边形有几条对角线？
解 凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，
凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，
……
于是猜想凸n边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4且n∈N
)．
探究点四 归纳推理在算式问题中的应用
例3 观察下面等式，并从中归纳出一般法则．
1＝12，
1＋3＝22，
1＋3＋5＝32，
1＋3＋5＋7＝42，
1＋3＋5＋7＋9＝52，
……
解 对于等式，等号左端是整数，且是从1开始的n项的和，等号的右端是项数的平方．
∴猜想结论：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N)．
反思与感悟 对于运算式的猜测和推广，这一类问题需要观察的方面很多：首先是式子的共同结构特点，其次是式子中出现的字母之间的关系，还有化简或运算的结果等等．另外要注意对较为复杂的运算式，不要化简，这样便于观察运算规律和结构上的共同点．
跟踪训练3 在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中有怎样的不等式成立？
答案 ＋＋…＋≥(n≥3且n∈N
)．
1．已知
＝2，＝3，＝4，…，若
＝6(a、b均为实数)．请推测a＝________，b＝________.
答案 6 35
解析 由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测
中，a＝6，b＝62－1＝35.
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应是________．
答案 白色
解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．
3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
答案
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
4．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．
答案 ①
解析 观察图中每一行，每一列的规律，从形状和颜色入手．每一行，每一列中三种图形都有，故填长方形．又每一行每一列中的图形的颜色应有二黑一白．
[呈重点、现规律]
归纳推理的一般步骤：
(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想．注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.
一、基础过关
1．数列5,9,17,33，x，…中的x＝________
答案 65
解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．根据给出的数塔猜测123
456×9＋7＝________.
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1
111
1
234×9＋5＝11
111
12
345×9＋6＝111
111
…
答案 1
111
111
解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1
111
111.
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos
x)′＝－sin
x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.
答案 －g(x)
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．
4．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有____________．
答案 f(2n)>(n≥2)
解析 观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)
不等式右侧分别为，k＝1,2，…，
∴f(2n)>(n≥2)．
5．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.
通过观察上述两等式的规律，请写出一个一般性的命题：_______________________________________.
答案 sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为__________________________．
答案 n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．已知正项数列{an}满足Sn＝(an＋)，求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
解 a1＝S1＝(a1＋)，
又因为a1>0，所以a1＝1.
当n≥2时，Sn＝(an＋)，Sn－1＝(an－1＋)，
两式相减得：an＝(an＋)－(an－1＋)，
即an－＝－(an－1＋)．
所以a2－＝－2，又因为a2>0，所以a2＝－1.
a3－＝－2，又因为a3>0，所以a3＝－.
a4－＝－2，又因为a4>0，所以a4＝2－.
将上面4个式子写成统一的形式：a1＝－，
a2＝－，a3＝－，a4＝－，
由此可以归纳推测：an＝－.
二、能力提升
8．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数
N(n,3)＝n2＋n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝n2－n，
六边形数
N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
答案 1
000
解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1
100－100＝1
000.
9．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
(1)b2
012是数列{an}中的第______项；
(2)b2k－1＝________.(用k表示)
答案 (1)5
030 (2)
解析 由以上规律可知三角形数1,3,6,10，…的一个通项公式为an＝，写出其若干项有1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120，发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15.从而由上述规律可猜想：b2k＝a5k＝(k为正整数)，b2k－1＝a5k－1＝(5k－1)×＝，故b2
012＝b2×1
006＝a5×1
006＝a5
030，即b2
012是数列{an}中的第5
030项．
10．观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…
照此规律，第n个等式可为______________________________________．
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1·
解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.
11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝a，an＋1＝；
(2)对一切的n∈N
，an>0，且2＝an＋1.
解 (1)由已知可得a1＝a，
a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝.
猜想an＝(n∈N
)．
(2)∵2＝an＋1，
∴2＝a1＋1，即2＝a1＋1，
∴a1＝1.又2＝a2＋1，
∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0，
∵对一切的n∈N
，an>0，∴a2＝3.
同理可求得a3＝5，a4＝7，
猜想出an＝2n－1(n∈N
)．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
解 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
∴S2＝－；当n＝3时，＝－2－S2＝－，
∴S3＝－；当n＝4时，＝－2－S3＝－，
∴S4＝－.猜想：Sn＝－(n∈N
)．
三、探究与拓展
13．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，并归纳出计算公式．
解 b1＝＝(r＋p)；b2＝＝[()2r＋p＋p]；
b3＝＝[()3r＋p＋p＋p]．归纳得bn＝[()nr＋p＋p＋…＋p].2.2.1 直接证明
明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
1．直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2．综合法
从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．
3．分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法．
[情境导学]
证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．
探究点一 综合法
思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明 因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
小结 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．
思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，其推理过程为条件1→结论1(条件2)→结论2(条件3)→结论3(条件4)→结论．因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．
例1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明 由于A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①
由于A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝，③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－ac，
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
从而a＝c，所以A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，
所以△ABC为等边三角形．
反思与感悟 综合法的证明步骤如下：
条件1→结论1(条件2)→结论2(条件3)→结论3(条件4)→结论，其关键是做好两个方面．
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
跟踪训练1 在△ABC中，＝，证明：B＝C.
证明 在△ABC中，由正弦定理及已知条件得＝.
于是sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，
即sin(B－C)＝0，因为－π从而B－C＝0，所以B＝C.
探究点二 分析法
思考1 回顾一下：基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答 要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
思考2 上述证明过程有何特点？
答 从结论出发开始证明，寻找使结论成立所需条件，最终把结论成立所需条件变成一个显然成立的条件，即：结论←条件1←条件2←条件3←已知条件(显而成立)．
小结 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法．
思考3 综合法和分析法的区别是什么？
答 综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．
例2 求证：＋<2.
证明 因为＋和2都是正数，
所以要证＋<2，只需证(＋)2<(2)2，
展开得10＋2<20，只需证<5，只需证21<25，
因为21<25成立，所以＋<2成立．
反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法．
跟踪训练2 求证：＋>2＋.
证明 要证＋>2＋，
只需证(＋)2>(2＋)2，
即证13＋>13＋，
只需证>，
只需证42>40，
显然成立，
所以＋>2＋.
探究点三 综合法和分析法的综合应用
思考 在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？
答 对思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q；再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P Q，则结论得证．一般分两步进行分析，即：
(1)结论←条件1←条件2，锁定目标为证明条件2成立．(分析法)
(2)条件→结论1(条件1)→结论2(条件2)，完成条件2的证明．(综合法)
在证明过程中，可以根据情况改变这两步的顺序．
例3 已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且
sin
θ＋cos
θ＝2sin
α， ①
sin
θcos
θ＝sin2β.
②
求证：＝.
证明 因为(sin
θ＋cos
θ)2－2sin
θcos
θ＝1，
所以将①②代入，可得
4sin2α－2sin2β＝1.
③
另一方面，要证＝，
即证＝，
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1.
由于上式与③相同，于是问题得证．
反思与感悟 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：
→→…→Pn P′
Q′ Qm←…←←
跟踪训练3 设向量a＝(4cos
α，sin
α)，b＝(sin
β，4cos
β)，若tan
αtan
β＝16，求证：a∥b.
证明 方法一 (分析法)要证明a∥b，
而a＝(4cos
α，sin
α)，b＝(sin
β，4cos
β)；
∴即要证明(4cos
α)·(4cos
β)＝sin
αsin
β，
即要证sin
αsin
β＝16cos
αcos
β，
即要证·＝16，即要证tan
αtan
β＝16，
而tan
αtan
β＝16已知，所以结论正确．
方法二 (综合法)∵tan
αtan
β＝16，∴·＝16，
即sin
αsin
β＝16cos
αcos
β，
∴(4cos
α)·(4cos
β)＝sin
αsin
β，
即a＝(4cos
α，sin
α)与b＝(sin
β，4cos
β)共线，∴a∥b.
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有________个．
答案 4
解析 ①②③⑤正确．
2．设a，b是两个正实数，且a①a>>>b；②b>>>a；
③b>>>a；④b>a>>.
答案 ③
3．求证：＋＋<2.
证明 因为＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360所以＋＋<2.
4．已知＝1，求证：cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)．
证明 要证cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)，
只需证＝3，
只需证＝3，
只需证1－tan
α＝3(1＋tan
α)，
只需证tan
α＝－，
∵＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，
即2tan
α＝－1.
∴tan
α＝－显然成立，∴结论得证．
[呈重点、现规律]
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.
一、基础过关
1．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案 分析法
2．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是________．
①若a>b，则ac2>bc2；
②若>，则a>b；
③若a3>b3且ab<0，则>；
④若a2>b2且ab>0，则<.
答案 ③
解析 对于①：若c＝0，则①不成立，故①错；对于②：若c<0，则②不成立，故②错；对于③：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故③对；对于④：若，则④不成立．
3．A、B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的________条件．
答案 充要
解析 由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sin
A>0，sin
B>0，∴sin
A>sin
B 2Rsin
A>2Rsin
B a>b A>B.
4．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是________．
答案 2
解析 若l⊥α，m β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
5．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则下列不等式成立的是________．(填序号)
①1≤ab≤；
②ab<1<；
③ab<<1;
④答案 ②
解析 因为a≠b，故>ab.
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，
即>1>ab.
6．已知a，b为非零实数，则下列四个条件中使不等式：＋≤－2成立的一个充分不必要条件是________．
①ab>0
②ab<0
③a>0，b<0
④a>0，b>0
答案 ③
解析 ∵与同号，由＋≤－2，知<0，<0，
即ab<0.
又若ab<0，则<0，<0.
∴＋＝－
≤－2＝－2，
综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，
∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．
7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明 方法一 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)
＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，
从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
方法二 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，
只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，
只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，
所以上式成立．
二、能力提升
8．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>c>b
解析 ∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴a>c.∵＝＝>1，∴c>b.
9.已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p、q的大小关系为________．
答案 p>q
解析 p＝a－2＋＋2≥2·＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
答案 对角线互相垂直
解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
11．若－1证明 要证明()2<1，只需证明(x－y)2<(1－xy)2，即x2＋y2－2xy<1－2xy＋x2y2，只需证明x2＋y2－1－x2y2<0，只需证明(y2－1)(1－x2)<0，即(1－y2)(1－x2)>0.(
)
因为－1所以x2<1，y2<1.从而(
)式显然成立，
所以()2<1.
12．求证：抛物线y2＝2px(p>0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
证明
(如图)作AA′、BB′垂直于准线，取AB的中点M，作MM′垂直于准线．
只需证MM′＝AB.
由抛物线的定义：
AA′＝AF，BB′＝BF，
所以AB＝AA′＋BB′.
因此只需证MM′＝(AA′＋BB′)，
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
三、探究与拓展
13.已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx证明 要证logx＋logx＋logx只需证logx(··)由已知0abc.
由公式≥>0，≥>0，
≥>0.又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．
2．反证法
从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．
3．反证法步骤
反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真．
4．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
[情境导学]
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．
探究点一 反证法
思考1 通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？
答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．
思考2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？
答 (1)与原题中的条件矛盾；
(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；
(3)与假设矛盾．
思考3 反证法主要适用于什么情形？
答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
例1 已知直线a，b和平面α，如果a α，b α，且a∥b，求证：a∥α.
证明 因为a∥b，
所以经过直线a，b确定一个平面β.
因为a α，而a β，所以α与β是两个不同的平面．
因为b α，且b β，所以α∩β＝b.
下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．
假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，
则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，
这与a∥b矛盾．所以a∥α.
反思与感悟 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法．
跟踪训练
1如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.
求证：直线b与平面α必相交．
证明 假设b与平面α不相交，即b α或b∥α.
①若b α，因为b∥a，a α，所以a∥α，
这与a∩α＝A相矛盾；
②如图所示，如果b∥α，
则a，b确定平面β.
显然α与β相交，
设α∩β＝c，因为b∥α，
所以b∥c.又a∥b，
从而a∥c，且a α，c α，
则a∥α，这与a∩α＝A相矛盾．
由①②知，假设不成立，
故直线b与平面α必相交．
探究点二 用反证法证明否定性命题
例2 求证：不是有理数．
证明 假设是有理数．于是，
存在互质的正整数m，n，
使得＝，从而有m＝n，因此m2＝2n2，
所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有
4k2＝2n2，即n2＝2k2，
所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．
由上述矛盾可知假设错误，从而不是有理数．
反思与感悟 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．
跟踪训练2 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明 假设，，成等差数列，则
＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0.即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
探究点三 含至多、至少、唯一型命题的证明
例
3
函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β
，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)反思与感悟 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．
跟踪训练3 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c中至少有一个大于0.
证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝(x2－2y＋)＋(y2－2z＋)＋(z2－2x＋)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
故a、b、c中至少有一个大于0.
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设__________________．
答案 三角形中至少有两个直角或钝角
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中________________．
答案 每一个内角都小于60°
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设________．
答案 a与b相交
4．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
证明 (反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
[呈重点、现规律]
1．反证法证明的3个步骤
(1)
反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
(2)
归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
(3)
存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
2．反证法与逆否命题区别
反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的.
一、基础过关
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是________(填序号)．
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
答案 ①②③④
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为______________________．
答案 a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c”中都是奇数或至少有两个偶数．
3．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a②“x＝y”的反面是“x>y或x③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
其中正确的叙述有________．
答案 ②
解析 ①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．
答案 a，b都不能被5整除
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为__________________．
答案 a，b，c都不是偶数
解析 a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是______________________.
答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
证明 设f(x)＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c.①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．
二、能力提升
8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为__________________．
答案 a，b不全为0
解析 “a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
9．设a，b，c都是正数，则下面关于三个数a＋，b＋，c＋的说法正确的是________．
①都大于2
②至少有一个大于2
③至少有一个不小于2
④至少有一个不大于2
答案 ③
解析 假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.
又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________________．
答案 a≤－2或a≥－1
解析 若两方程均无实根，则
Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，
∴a<－1或a>.
Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，
∴－2若两个方程至少有一个方程有实根，
则a≤－2或a≥－1.
11．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)<(a2＋b2).
证明 因为a，b∈(0，＋∞)，所以要证原不等式成立，
只需证[(a3＋b3)]6<[(a2＋b2)]6，
即证(a3＋b3)2<(a2＋b2)3，
即证a6＋2a3b3＋b6只需证2a3b3<3a4b2＋3a2b4.
因为a，b∈(0，＋∞)，
所以即证2ab<3(a2＋b2)．
而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab>2ab成立，
以上步骤步步可逆，
所以(a3＋b3)<(a2＋b2).
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
证明 假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
三、探究与拓展
13.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：
(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.
证明 (1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
又因为f(x)是R上的增函数，
所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，
由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．
(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
因为f(x)是R上的增函数，
所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，
这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立．习题课 复 数
明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．
1．复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)
(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
(4)除法：＝＋i(z2≠0)；
(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；
(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；
(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
2．共轭复数与复数的模
(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．
(2)复数z＝a＋bi的模，|z|＝，
且z·＝|z|2＝a2＋b2.
3．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(2)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连结向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．
题型一 复数的四则运算
例1 (1)计算：＋2
012＋
；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
解 (1)原式＝＋1
006＋
＝i＋(－i)1
006＋0＝－1＋i.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
跟踪训练1 (1)已知＝2＋i，则复数z＝________.
答案 1－3i
解析 方法一 ∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
方法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴＝a－bi，
∴＝2＋i，∴，z＝1－3i.
(2)i为虚数单位，则2
011等于________．
答案 －i
解析 因为＝＝i，所以2
011＝i2
011＝i4×502＋3＝i3＝－i.
题型二 复数的几何意义
例2 已知点集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．
解 点集D的图象为以点C(－1，
－)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则||＝|z|.
由图知，当OP过圆心C(－1，－)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－1＝2－1＝1，即
|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，
即|z|max＝3.
反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
跟踪训练2 已知复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝，求|z1＋z2|的值．
解 如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以，为邻边作 OACB，则对应的复数为z1＋z2.这里||＝3，||＝5，||＝.
∴cos
∠AOB＝
＝＝.
∴cos
∠OBC＝－.又||＝||＝3，
∴|z1＋z2|＝||
＝＝.
题型三 两个复数相等
例3 设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
因为4z＋2＝3＋i，
所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.
2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，
得2z＋4a＝3＋i.
所以z＝＋.
根据复数相等的充要条件，得
解得所以z＝＋.
反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．
跟踪训练3 关于x的方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0有非零实根，求实数a的值及方程的实数根．
解 设方程的实数根为b(b≠0)，代入方程x2＋(3＋2i)x＋3ai＝0，化为b2＋3b＋(2b＋3a)i＝0.
所以已知b≠0，解得b＝－3，a＝2.
故实数a的值及方程的实数根分别为2和－3.
1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为________．
答案 2
解析 设＝bi(b∈R且b≠0)，
则1＋ai＝bi(2－i)＝b＋2bi，
所以b＝1，a＝2.
2．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||＝________.
答案
解析 设D点对应复数为z，∵＝，
∴1－i＝－z＋(4＋2i)，∴z＝3＋3i，
∴对应的复数为2＋3i，∴||＝.
3．已知复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝________.
答案
解析 z＝＋i，∴|z|＝.
4．设复数z满足关系：z＋||＝2＋i，那么z＝________.
答案 ＋i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知a＋bi＋＝2＋i，
由复数相等可得∴
故z＝＋i.
5．设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解 z＝＝＝
＝＝1－i.
因为z2＋a·z＋b＝1＋i，
所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.
所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.
所以解得a＝－3，b＝4.
即实数a，b的值分别是－3,4.
[呈重点、现规律]
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.
一、基础过关
1．复数＋的虚部是________．
答案
解析 ＋＝＋＝－＋i.
2．复数的共轭复数是________．
答案 －i
3．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．
答案 0
解析 由，得m＝0.
4．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝________.
答案 －i
解析 z＝1＋i，则z－z－1
＝2－(1＋i)－1＝－i.
5．已知(a－i)2＝2i，那么实数a＝________.
答案 －1
解析 由题意，得a2－1－2ai＝2i.
由复数相等的充要条件，得
解得a＝－1.
6．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是________．
答案 4
解析 复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2，－1)的距离．从图形上可得|z＋2＋i|的最大值是4.
7．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？
解 由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴复数z的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi
(x、y∈R)，
则
消去a2－2a得：y＝－x＋2
(x≥3)．
∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，
方程为y＝－x＋2
(x≥3)．
二、能力提升
8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第________象限．
答案 四
解析 (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．
9．设i是虚数单位.是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝________.
答案 1＋i
解析 设z＝a＋bi，a，b∈R，
代入z·i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
则解得因此z＝1＋i.
10．已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
答案
解析 |z|＝＝＝＝.
11．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z.
(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.
解 (1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.
因为(1＋3i)·z为纯虚数，
所以3－3b＝0，且9＋b≠0，
所以b＝1，所以z＝3＋i.
(2)ω＝＝
＝＝－i，
所以|ω|＝
＝.
12.在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数．
解 (1)设所求向量对应的复数为z1＝a＋bi(a，b∈R)，则点B的坐标为(a，b)．
已知A(2,1)，由对称性可知a＝2，b＝－1.
所以对应的复数为z1＝2－i.
(2)设所求点C对应的复数为z2＝c＋di(c，d∈R)，
则C(c，d)．
由(1)，得B(2，－1)．由对称性可知，c＝－2，d＝－1.
故点C对应的复数为z2＝－2－i.
三、探究与拓展
13.是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai.如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.
由复数相等的充要条件，得
消去x，得y2＋2y＋－3＝0.所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，即－4≤a≤4时，复数z存在．
故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为－4≤a≤4.题型一 合情推理与演绎推理
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式．另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
例
1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N
)与组的编号数n的关系式为________．
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？
(1)答案 f(n)＝n3
解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.
反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．
跟踪训练1 下列推理是归纳推理的是________，是类比推理的是________．
①A、B为定点，若动点P满足PA＋PB＝2a>AB，则点P的轨迹是椭圆；
②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的通项an和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝1的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
答案 ② ③④
题型二 综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．
例
2 用综合法和分析法证明．
已知α∈(0，π)，求证：2sin
2α≤.
证明 (分析法)
要证明2sin
2α≤成立．
只要证明4sin
αcos
α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin
α>0.
只要证明4cos
α≤.
上式可变形为
4≤＋4(1－cos
α)．
∵1－cos
α>0，
∴＋4(1－cos
α)≥2＝4，
当且仅当cos
α＝，即α＝时取等号．
∴4≤＋4(1－cos
α)成立．
∴不等式2sin
2α≤成立．
(综合法)
∵＋4(1－cos
α)≥4，
(1－cos
α>0，当且仅当cos
α＝，即α＝时取等号)
∴4cos
α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin
α>0.
∴4sin
αcos
α≤.
∴2sin
2α≤.
跟踪训练
2 求证：－2cos(α＋β)＝.
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α－2cos(α＋β)sin
α
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin
β，
两边同除以sin
α得
－2cos(α＋β)＝.
题型三 反证法
反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则綈q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则綈q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的．
例
3 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立．
证明 假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故<2与<2至少有一个成立．
反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．
跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d)．
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．
证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．
题型四 数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．
例4 用数学归纳法证明当n∈N
时，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)·(n＋2)．
证明 (1)当n＝1时，1＝·1·2·3，结论成立．
(2)假设n＝k时结论成立，
即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－2)·3＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)．
当n＝k＋1时，则1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1
＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)]
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)，
即当n＝k＋1时结论也成立．
综合上述，可知结论对一切n∈N
都成立．
跟踪训练4 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋1.
(1)写出a2，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式并加以证明．
解 (1)因为a1＝1，an＋1＝an＋1，所以a2＝a1＋1＝＋1＝.
a3＝a2＋1＝·＋1＝.
a4＝a3＋1＝·＋1＝.
(2)猜想an＝.下面用数学归纳法证明，
(1)当n＝1时，a1＝＝1，满足上式，显然成立；
(2)假设当n＝k时ak＝成立，那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝ak＋1＝·＋1＝＋1＝＝满足上式，
即当n＝k＋1时猜想也成立，
由(1)(2)可知，对于n∈N
都有an＝.
[呈重点、现规律]
1．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
2．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
导数的运算法则：
设两个函数分别为f(x)和g(x)
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)，
(4)[]′＝(g(x)≠0)．
[情境导学]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连结的两个或两个以上基本初等函数的导数的求解，也是本节要研究的问题．
探究点一 导数的运算法则
思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
答 利用导数的运算法则．
思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及′＝的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x3－2x＋3；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝3x－lg
x.
解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)函数y＝3x－lg
x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg
x的差．由导数公式表分别得出
f′(x)＝3xln
3，g′(x)＝，
利用函数差的求导法则可得
(3x－lg
x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln
3－.
反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形，转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)f(x)＝2－2sin2.
解 (1)∵y＝＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
(2)∵f(x)＝2－2sin2＝1＋cos
x，
∴f′(x)＝1′＋(cos
x)′＝－sin
x.
例
2 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x·tan
x；
(2)f(x)＝.
解 (1)f′(x)＝(x·tan
x)′＝()′
＝
＝＝.
(2)∵f(x)＝＝＝1－，
∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
跟踪训练2 求f(x)＝的导数．
解 ∵f(x)＝，
∴f′(x)＝
＝.
探究点二 导数的应用
例3 (1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．
答案 3x－y＋1＝0
解析 y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．
答案 (－2,15)
解析 设P(x0，y0)(x0<0)，
由题意知，y′|x＝x0＝3x－10＝2，
∴x＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.
∴P点的坐标为(－2,15)．
(3)已知某运动着的物体的运动方程为S(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3
s时物体的瞬时速度．
解 ∵S(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴S′(t)＝－＋2·＋4t，
∴S′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3
s时的瞬时速度为
m/s.
反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝y′|x＝x0＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数S(t)对于时间t的导数，即v＝S′|t＝t0.
跟踪训练3 (1)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为________．
答案
解析 ∵y′＝
＝，
故y′|x＝＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
(2)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．
解 由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0.
由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知
即c＝1.
综上所述，b＝0，c＝1.
1．设y＝－2exsin
x，则y′＝________________.
答案 －2ex(sin
x＋cos
x)
解析 y′＝－2(exsin
x＋excos
x)＝－2ex(sin
x＋cos
x)．
2．函数y＝的导数是________________．
答案
解析 y′＝′＝
＝.
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是________．
答案
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
4．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 由于f′(0)是一个常数，
所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
解 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
因为y′＝2ax＋b，
所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)，
所以4a＋2b＋c＝－1.
由解得
所以a、b、c的值分别为3、－11、9.
[呈重点、现规律]
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、基础过关
1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln
3，则f′(x)＝__________.
答案 3x2＋3x·ln
3
解析 (ln
3)′＝0，注意避免出现(ln
3)′＝的错误．
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
答案 －2
解析 由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，由f′(1)＝2，
即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 －2
解析 ∵y＝＝1＋，
∴y′＝－.
∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
4．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.
答案
解析 ∵f(x)＝(x2－4)(x－a)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
又∵f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝.
5．设f(x)＝(2x－1)(3－x)，则f′(0)＝________.
答案 7
解析 因为f′(x)＝(2x－1)′(3－x)＋(2x－1)(3－x)′
＝2(3－x)＋(2x－1)(－1)＝7－4x，
所以f′(0)＝7.
6．若某物体做S＝(1－t)2的直线运动(位移单位：m)，则其在t＝1.2
s时的瞬时速度为________．
答案 0.4
m/s
解析 ∵S＝t2－2t＋1，
∴S′＝2t－2，
∴v＝S′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝(－2)2；
(3)y＝x－sin
cos
.
解 (1)方法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′
＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)
＝18x2－4x＋9.
方法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)
＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′
＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，
∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4·＝1－2.
(3)∵y＝x－sin
cos
＝x－sin
x，
∴y′＝x′－(sin
x)′＝1－cos
x.
二、能力提升
8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
答案 4
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
9．曲线y＝x(x－1)(x－2)…(x－6)在原点处的切线方程为__________．
答案 y＝720x
解析 y′＝(x－1)(x－2)…(x－6)＋x[(x－1)(x－2)…(x－6)]′，所以在原点处的切线斜率k＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.故切线方程为y＝720x.
10．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
答案 2
解析 设ex＝t，则x＝ln
t(t>0)，
∴f(t)＝ln
t＋t，
∴f′(t)＝＋1，
∴f′(1)＝2.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，
则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12.已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
解 设切点为(x0，y0)，
则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，也在曲线f(x)上，
∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴曲线的切线方程为9x－y＋16＝0.
三、探究与拓展
13.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解 (1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解之得
故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1.5.1 曲边梯形的面积
明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
1．曲边梯形的概念
由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
2．求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
3．求曲边梯形面积的步骤：①分割，②以直代曲，③作和，④逼近．
4．求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、以直代曲、作和、逼近的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
[情境导学]
任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？为此，我们需要学习新的数学知识——定积分．
探究点一 求曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
问题 如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S
思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
答 (如下图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．
S＝Si≈()2·Δx
＝()2·(i＝1,2，…，n)
＝0·＋()2·＋…＋()2·
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
所以，当n→＋∞时，→.
求曲边梯形的面积可以通过分割、以直代曲、作和、逼近四个步骤完成．
思考4 在“以直代曲”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？
答 都能求出S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．
解 (1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间：
[0，]，[，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各区间端点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)以直代曲
在区间[，](i＝1,2，…，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度Δx＝作为底边，小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即
ΔSi≈()2·.
(3)作和
曲边梯形的面积近似值为
S＝Si≈()2·
＝0·＋()2·＋()2·＋…＋()2·
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(4)逼近
当n→＋∞时，→，
所以，曲边梯形的面积为.
反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近；(3)关键：以直代曲；(4)结果：分割越细，面积越精确．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
解 ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由
得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]
n等分，
则Δx＝，
取ξi＝.
(2)以直代曲、作和
S＝]2·
＝[02＋12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(3)逼近
当n→＋∞时，→.
∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积为.
探究点二 求曲边梯形面积方法的实际应用
思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
答 物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．
例
2 汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间行驶的路程是多少？
解 (1)分割
将时间区间[0,1]分成n个小区间，[0，]，[，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，
则第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)．
(2)以直代曲
第i个小矩形的高为v[－()]，
∴ΔSi≈v[－()]·＝[－()2＋2]·.
(3)作和
S＝－()2＋2]
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋2
＝－＋2＝－(1－)(1－)＋2.
(4)逼近
当n→＋∞时，－＋2→.
∴这段时间行驶的路程为
km.
反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、以直代曲、作和、逼近四步解决．
(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v(t)＝－t2＋2在t＝0，t＝1，v(t)＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．
跟踪训练2 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)＝kx
(k为常数，x为伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
解 将物体用常力F沿着x的方向移动距离x，则所做的功为W＝Fx.
本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数F(x)＝kx.将[0，b]区间n等分，记Δx＝，分点依次为x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝b.
当n很大时，在分段[xi，xi＋1]所用的力约为kxi，所做的功为ΔW＝kxi·Δx＝kxi·，则从0到b所做的总功W近似地等于ΔWi≈kxi·Δx＝k··＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝.
当n→＋∞时，W→kb2.
答 弹簧从平衡位置拉长b所做的功为kb2.
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为________．
答案
解析 区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．若1
N的力能使弹簧伸长2
cm，则使弹簧伸长12
cm时，克服弹力所做的功为________．
答案 0.36
J
3．在“以直代曲”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值可以是________．
答案 该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
4．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为[1，]，[，]，[，]，[，]，[，2]，
于是所求平面图形的面积近似等于
(1＋＋＋＋)＝×＝1.02.
[呈重点、现规律]
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)以直代曲：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)作和：(ξi)·；
(4)逼近：“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．变速运动的路程，变力做功问题等可转化为曲边梯形面积问题．
一、基础过关
1.
＝________.
答案
解析
＝(1＋2＋…＋n)＝·＝.
2．在区间[0,8]上插入9个等分点之后，则所分的小区间长度Δx＝________，第5个小区间是____________．
答案 0.8 [3.2,4]
3．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t
(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为____________．
答案
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为________．
答案
解析 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是________．
答案
解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：[0，]，[，]，[，]，[，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S＝()3×＋()3×＋()3×＋13×＝.
6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为________．
答案 3
解析 将区间[0，a]n等分，记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则
()2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得当n→＋∞时，(1＋)(1＋)→9，∴＝9，解得a＝3.
7．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．
解 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)以直代曲、作和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
S＝f()·Δx＝
()2·＝i2
＝(12＋22＋…＋n2)＝·
＝(2＋＋)．
(3)逼近
当n→＋∞，(2＋＋)→，
即所求曲边梯形的面积为.
二、能力提升
8．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
答案 3.92 5.52
解析 分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．
S1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92；
S2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.
9．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．
答案 [，]
10．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
答案 55
解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
11．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为[t，](i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段
Δt＝－t＝，
在各个小区间物体下落的距离记作ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)以直代曲：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在[t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，
可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，
因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为
ΔSi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．
(3)作和：
S＝ΔSi＝g·t·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2(1－)．
(4)逼近：当n→＋∞时，S→gt2.
即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为gt2.
12．求直线x＝0，x＝2，y＝0与二次函数曲线f(x)＝x2＋2x＋1所围成的曲边梯形的面积．
解 (1)分割
将[0,2]n等分，则(i＝1,2，…，n)的区间长度Δx＝，原曲边梯形分割成n个小曲边梯形，如图所示．
(2)以直代曲
用f作为第i个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近似替代相应小曲边梯形面积．
(3)作和
n个小矩形面积之和S
＝Δx
＝
＝＋[1＋2＋…＋(n－1)]＋n·
＝·n(n－1)(2n－1)＋·n(n－1)＋2
＝＋4＋2
(4)逼近
当n→＋∞时，→0，所以S→.
所以，由直线x＝0，x＝2，y＝0与二次函数曲线f(x)＝x2＋2x＋1所围成的曲边梯形的面积为.
三、探究与拓展
13.某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝，求物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.
解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n个小区间[1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，区间长度为Δt＝，每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，
则sn≈si.
(2)以直代曲：ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v(1＋)·Δt＝6·()2·
＝(i＝1,2，…，n)．
(3)作和：
sn＝≈
＝6n(－＋－＋…＋－)
＝6n(－)＝3.
(4)逼近：
当n→＋∞时，s→3.
所以物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程为3.1.1.2 瞬时变化率——导数(二)
明目标、知重点 1.理解导数的定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导函数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
[情境导学]
如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．
探究点一 函数的导数
思考1 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？
答 函数f(x)在点x0附近的平均变化率＝，当Δx→0时，→A，A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
思考2 导数f′(x0)有什么几何意义？
答 f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率.
例1 利用定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx.
∴＝－Δx－1，
当Δx→0时，→－1，
∴f′(2)＝－1.
反思与感悟 求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数步骤如下：①求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率＝；③求导数，当Δx→0时，→A，则f′(x0)＝A.
跟踪训练1 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∴＝＝3Δx＋4，
当Δx→0时，→4，
∴f′(1)＝4.
探究点二 导数概念的应用
思考1 导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？
答 函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
思考2 f′(x0)与f′(x)的区别是什么？
答 f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关．
思考3 导数有哪些主要应用？
答 在物理上，导数可以解决一些瞬时速度、瞬时加速度问题；在函数图象上，利用导数可求曲线在某点处切线的斜率；在实际问题中，导数可以表示事物变化的快慢，解决膨胀率，降雨强度，边际函数等问题．
例2 已知曲线y＝在点(1,4)处的切线与直线l平行，且与l的距离等于，求直线l的方程．
解 ∵Δy＝－＝－，
∴＝－.
当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于－4.
∴曲线在点(1,4)处的切线的斜率为－4.
故切线方程为y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.
设直线l的方程为4x＋y＋c＝0，
由题意有＝.
∴c1＝9，c2＝－25，
所以直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
反思与感悟 利用导数的几何意义来求曲线切线的斜率，注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切线斜率，否则要先求切点．
跟踪训练2 已知函数y＝f(x)在点(，3)处的切线方程为y＝kx－1，则f′()＝________.
答案 2
解析 由点(，3)在直线y＝kx－1上得3＝k×－1，
∴k＝2.
根据导数的几何意义f′()＝2.
思考4 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
答 不一定．
曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
思考5 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？
答 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
例3 试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
解 ＝＝2x＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x，
所以f′(x)＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
因为A在曲线y＝x2上，所以y0＝x，
又因为A是切点，所以过点A的切线的斜率k＝2x0.
因为所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
所以斜率可以表示为＝.
故＝2x0，解得x0＝1或5.
从而切点的坐标为A(1,1)或A(5,25)．
当切点的坐标为A(1,1)时，
切线的斜率为k＝2x0＝2；
当切点的坐标为A(5,25)时，
切线的斜率为k＝2x0＝10.
所以所求的切线有两条，
方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
反思与感悟 (1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．
跟踪训练3 已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．
解 ＝
＝4x＋2Δx.
∴Δx→0时，→4x.
(1)设切点为(x0，y0)，
则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，
得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
1．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率为________．
答案 －3
解析 ∵＝＝－Δx－3，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－3.
2．函数y＝x＋在x＝1处的导数为________．
答案 0
解析 ＝
＝
＝＝，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于0.
3．质点按S(t)＝3t－t2作直线运动，当其瞬时速度为0时，t＝______.
答案
解析 根据导数的定义可求得S′(t)＝3－2t.
令S′(t)＝3－2t＝0，得t＝.
4．求函数f(x)＝x－的导函数．
解 ∵Δy＝(x＋Δx)－－(x－)
＝Δx＋，
∴＝1＋，
∴当Δx→0时，1＋→1＋，
∴函数f(x)的导函数为1＋.
[呈重点、现规律]
1．导数就是瞬时变化率，是平均变化率当Δx→0时的无限趋近值．
2．函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
一、基础过关
1．下列说法正确的是________(填序号)．
①若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线；
②若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在；
③若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在；
④若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在．
答案 ③
解析 k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．
答案 f′(xA)解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)3．已知f(x)＝，则当Δx→0时，无限趋近于________．
答案 －
解析 ∵f(2＋Δx)－f(2)＝－＝，
∴＝－.
当Δx→0时，→－.
4．曲线y＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则此切线方程为____________．
答案 4x－y－4＝0或4x－y＝0
解析 设P(x0，y0)，由导数定义可得y＝x3＋x－2在点x＝x0处的导数为3x＋1，令3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴切点P的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故切线方程为4x－y－4＝0或4x－y＝0.
5．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.(已知(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
答案 1
解析 ∵
＝
＝[a(Δx)2－3aΔx＋3a]．
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于3a，
即3a＝3，∴a＝1.
6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t
s时速度为v(t)＝8t2＋1，若在t＝t0时的加速度为6
m/s2，则t0＝________
s.
答案
7．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(x)＝－
＝
＝，
∴＝，
∴当Δx无限趋近于0时，
无限趋近于－，
∴f′(1)＝－.
二、能力提升
8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
答案 3
解析 由在M点的切线方程y＝x＋2
得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝.
∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
9．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________．(填序号)
答案 ①
解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个图象，只有①满足．
10．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
答案 3
解析 设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，
∴x0＝1，即切点坐标为(1,1)．
∴2－4＋P＝1，即P＝3.
11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
解 (1)由
解得或.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．
(2)∵y＝x2＋4，
＝
＝＝Δx＋2x，
∴Δx→0时，→2x.
∴y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，
即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6.
∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；
在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
12．航天飞机升空后一段时间内，第t
s时的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？
(2)求第2
s内的平均速度；
(3)求第2
s末的瞬时速度；
(4)经过多长时间，航天飞机的速度达到75
m/s
解 (1)h(0)表示航天飞机发射前的高度；h(1)表示航天飞机发射后1
s的高度；h(2)表示航天飞机发射后2
s的高度；
(2)第2
s内的平均速度＝＝170
(m/s)；
(3)＝＝5Δt2＋60Δt＋225，
当Δt趋向于0时，趋向于225，
因此，第2
s末的瞬时速度为225
m/s；
(4)设经过时间t，飞机的速度达到75
m/s.
＝
＝15t2＋60t＋45＋(15t＋30)Δt＋5(Δt)2，
∴当Δt→0时，→15t2＋60t＋45，
故经过时间t，飞机的瞬时速度为15t2＋60t＋45.
令15t2＋60t＋45＝75，∴t≈0.449
s.
即经过0.449
s，航天飞机的速度达到75
m/s.
三、探究与拓展
13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x
h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2
h和第6
h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解 在第2
h和第6
h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．
根据导数的定义，＝
＝
＝＝Δx－3，
当Δx→0时，Δx－3→－3，即f′(2)＝－3.
同理可得，f′(6)＝5.
在第2
h和第6
h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2
h附近，原油温度大约以3
℃/h的速率下降；在第6
h附近，原油温度大约以5
℃/h的速率上升．1.3.1 单调性
明目标、知重点
1．结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
导数与函数单调性的关系
(1)在区间(a，b)内，由导数的正、负判断函数的单调性
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
(2)在区间(a，b)内，由函数的单调性判断导数的符号
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)
≥0
单调递减
f′(x)≤0
常数函数
f′(x)＝0
[情境导学]
以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
答 (1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.
思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．
小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
答 不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．
思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
答 (1)不能用“∪”连结，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
例1 已知导函数f′(x)的下列信息：
当10；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．
解 当10，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．
解 f′(x)图象的大致形状如下图：
注：图象形状不唯一．
例
2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝sin
x－x(0(3)f(x)＝3x2－2ln
x；
(4)f(x)＝3tx－x3.
解 (1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0解得x<－3，或x>2，
由f′(x)<0解得－3故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2)．
(2)f′(x)＝cos
x－1≤0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间．
(3)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或0又∵x>0，∴0∴函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
(4)f′(x)＝3t－3x2.
令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，
∴当t≤0时，无解；
当t>0时，函数f(x)的单调递增区间是[－，]．
令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，
当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，
函数f(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
当t>0时，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．
综上所述，当t≤0时，函数f(x)的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；
当t>0时，函数f(x)的单调增区间是[－，]，单调减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．
反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤：
(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln
x；(2)f(x)＝x3－x2－x.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
由f′(x)>0得－，
又∵x>0，∴x>，
∴函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得x<－或0又∵x>0，∴0∴函数f(x)的单调递减区间为.
(2)f′(x)＝3x2－2x－1
＝(3x＋1)(x－1)．
由f′(x)>0得x<－或x>1；
由f′(x)<0得－故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－，1)．
探究点二 函数的变化快慢与导数的关系
思考 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”．
例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.
反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦可行．
跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．(填图象对应的序号)
答案 ④
解析 从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓．所以④比较符合．
1．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是________．(填图象对应的序号)
答案 ④
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知④正确．
2．函数f(x)＝ln
x－ax(a>0)的单调增区间为________．
答案
解析 f(x)的定义域为{x|x>0}，
由f′(x)＝－a>0，
得03．函数f(x)＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1)
解析 f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或4．函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
答案 (2，＋∞) (－∞，2)
解析 y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；
令y′<0，得x<2，
所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，2)．
[呈重点、现规律]
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、基础过关
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的________条件．
答案 充分不必要
解析 f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．函数y＝x2－ln
x的单调递减区间是________．
答案 (0,1)
解析 ∵y＝x2－ln
x的定义域为(0，＋∞)，
∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，
解得0又∵x>0，∴03．已知函数f(x)＝＋ln
x，则f(2)、f(e)、f(3)的大小关系为________________．
答案 f(2)解析 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是________．
①y＝sin
x；②y＝xe2；
③y＝x3－x；④y＝ln
x－x.
答案 ②
解析 显然y＝sin
x在(0，＋∞)上既有增又有减；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于③，y′＝3x2－1＝3(x＋)(x－)，
故函数在(－∞，－)，(，＋∞)上为增函数，
在(－，)上为减函数；
对于④，y′＝－1
(x>0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，
在(0,1)上为增函数．
故只有②符合．
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
答案 ∪[2,3)
6．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 f′(x)＝3ax2＋1，∵f(x)在R上为增函数，
∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.
7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．
解 由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：
当x<－2或x>2时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；
当－20，函数f(x)为增函数；
f′(－2)＝0，f′(2)＝0.
故原函数y＝f(x)的图象大致如图：
二、能力提升
8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是________．(填序号)
答案 ①
解析 由f(x)与f′(x)关系可知①符合．
9．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1，2]，则b＝________，c＝________.
答案 － －6
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
∵函数f(x)的单调减区间为[－1,2]
∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]．
∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根．
∴由根与系数的关系，得
∴b＝－，c＝－6.
10．若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
答案 [3，＋∞)
解析 由题意知f′(x)≥0对任意的x∈恒成立，
又f′(x)＝2x＋a－，
所以2x＋a－≥0对任意的x∈恒成立，
分离参数得a≥－2x，
若满足题意，需a≥max.
令h(x)＝－2x，x∈.
因为h′(x)＝－－2，
所以当x∈时，恒有h′(x)＜0，
即h(x)在上单调递减，
所以h(x)＜h＝3，故a≥3.
11．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln
x； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′>0，得x>1；由y′<0，得0∴函数y＝x－ln
x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为(－，＋∞)．
∵y＝ln(2x＋3)＋x2，
∴y′＝＋2x＝＝.
当y′>0，即－－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；
当y′<0，即－1函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．
故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为(－，－1)和(－，＋∞)，单调递减区间为(－1，－)．
12.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴即
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
三、探究与拓展
13.已知函数f(x)＝mx3＋nx2
(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，
当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m<0时，解得0综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．1 怎样学好复数
复数系是高中阶段对原有的实数系的一次大扩充，为了帮助同学们更好地把握复数的概念、复数的运算及其几何意义，现从以下几方面加以总结．
一、一个核心
复数问题实数化是解决复数问题的基本原则，即最终都统一到a＋bi(a，b∈R)这一代数形式上来．
二、三个热点
1．注意扩充后的实数系与其他数系的联系
正整数、自然数、整数、有理数、实数、复数之间用集合关系可表示为N
?N?Z?Q?R?C，且还有R∪{虚数}＝C，R∩{虚数}＝ ，Q∪{无理数}＝R，Q∩{无理数}＝ .
2．注意复数相等的条件
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要方法，注意前提条件是a，b，c，d∈R.若忽略这一条件，则不能成立．
3．注意复数的几何应用
复数z＝a＋bi(a，b∈R)与平面上的点Z(a，b)形成一一对应关系，从而与向量一一对应(其中O为原点)；在解决有关复数问题时，可以利用复数加减的几何意义和向量的几何表示在复平面上结合图形进行解决．
三、四个策略
1．复数相等策略：主要用于解复数方程，一般都是求其中的实系数(参数)值，在应用时，首先要看参数是否为实数．
2．分母实数化策略：在进行复数除法或解答与复数商有关的问题时，一般采用此策略，通过分母实数化，把求商的值或商形式的复数的实部和虚部分离开来，复数分式的分母实数化类似于无理分式的分母有理化．
3．点、向量策略：复数与复平面内的点一一对称，复数的实部和虚部分别是点的横、纵坐标，因此，我们可通过复数实部和虚部的符号来判定复数对应的点所在的象限．我们又可以把复数视为向量，利用它们的几何意义和向量知识解答问题，利用这个策略可化数为形，从而使待解问题直观化．
4．整体策略：要学会从整体出发去分析问题．
如果遇到复数就设z＝a＋bi(a，b∈R)，有时会给问题的解答带来运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍.
2 化虚为实——复数相等的妙用
在汉语中，两个或两个以上才有“复”的内涵，这样我们才有理由称由实数确定的含虚数单位i的数z＝a＋bi(a，b∈R)为复数．那么复数集C的理论体系与实数集R的理论体系之间存在着怎样的联系和差异呢？
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果b＝0，则z就是我们过去熟知的实数．因此，学习复数，后续理论的一个基本点是“b≠0”．
2．解决复数问题的一条主线是化虚为实．其实质就是复数相等的充要条件，即实部与虚部分别相等．
利用复数相等的的充要条件可以解决求根、求模及求参数等问题，现精选几个典例，供大家赏析．
一、求参数
例1 已知x，y∈R，x2＋2x＋(2y＋x)i＝3x＋(y＋1)i，求复数z＝x＋yi.
解 由复数相等的充要条件，得
解得或所以z＝i，或z＝1.
点评 复数相等的充要条件是复数实数化的桥梁，是解复数问题的重要手段．
二、求模
例2 若复数z满足z－2＝i－|z|，求|z|.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由题意得，
a＋bi－2＝i－，即(a－2)＋bi＝－＋i，
由复数相等的充要条件得，
解得
所以z＝＋i，所以|z|＝.
三、求方程的根
例3 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求实数根x0及k的值．
分析 设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解．
解 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件得，
解得或.
所以x0的值为±，相应的k的值为 2.
易错警示 求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2或k≤－2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.
3 复数有了“形”才完美
因为有了复平面，使得复数与复平面内点的坐标、平面向量三者之间有了一一对应关系，复数的有关问题借助平面向量或几何意义能使问题的解决更加快捷和直观．下面用实例来说明．
一、复数与点坐标
例1 若i为虚数单位，图中复数平面内的点Z表示复数z，则表示复数z(1＋i)的点是______．
解析 因为点Z的坐标为(2，－1)，所以z＝2－i.所以z(1＋i)＝(2－i)·(1＋i)＝3＋i，即该复数对应的点的坐标为(3,1)．
答案 H
点评 本题主要考查复数的几何意义，体现了数形结合的思想．复数的几何表示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应．这种以点的坐标形式给出复数的题目打破了原来的出题方式，给人耳目一新的感觉．
二、复数与平面向量
例2 设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝4，|z1＋z2|＝4，求|z1－z2|.
分析 设复数z1和z2在复平面内表示向量与，则复数z1＋z2表示向量与的和，画出复数所对应的向量，用余弦定理可求解．
解 复数z1和z2在复平面内表示向量与，画出如图所示的平行四边形，
依题意，有||＝4，||＝4，
||＝4.
cos∠OBC＝
＝－.
因为∠AOB＋∠OBC＝180°，
所以cos∠AOB＝.
所以AB2＝42＋42－2×4×4cos∠AOB＝16，得AB＝4，
即|z1－z2|＝4.
点评 解决此类问题是要根据已知条件画出图形，通过图形得到数量关系，由复数与向量的一一对应关系，把复数问题转化为向量问题．
三、复数方程的几何意义
例3 已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，求的最大值与最小值．
分析 利用复数的几何意义可知，|z－2|＝的轨迹为一个圆，就是圆上的点与原点连线的斜率．
解 复数z在复平面上对应的点Z(x，y)在以C(2,0)为圆心、为半径的圆上，而的几何意义是点Z(x，y)与原点连线的斜率，当连线与圆C相切时，连线的斜率分别取到最大值，最小值－.
点评 |z－(a＋bi)|＝r的几何意义为复平面上以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆，清楚常见的轨迹方程的复数形式，就不用再转化为普通方程了．
4 复数四则运算的方法与技巧
对于复数的运算问题，若能总结其变化规律，掌握解答复数题的方法和技巧，定能快速、简捷地解题．现举例说明．
1．灵活运用一些结论
利用结论：i2＝－1，i4＝1，(1±i)2＝±2i，3＝1，可以使一些复数问题得到简捷、快速的解决．
例1 计算：()7－()7.
分析 本题考查复数的运算法则，运用1＋i＝i(1－i)，1＋i＝i(－i)对式子进行化简．
解 原式＝7－7
＝7＋7＝27
＝27
＝2[(1＋i)2]3(1＋i)(－i)77
＝2(－8i)·(1＋i)·i·
＝－8－8＋(－8＋8)i.
点评 先化为同类项，再凑成n形式．注意3＝1的应用．
2．挖掘隐含条件
所谓隐含条件，就是隐藏在题目之中但又没有明确说明的条件．挖掘出这些隐含条件，往往能使解题变得事半功倍．
例2 计算：.
分析 本题直接运用复数除法运算，比较繁琐，注意到分子、分母中实部和虚部的关系，可将分子、分母同乘以i来处理．
解 ＝＝＝i.
3．差异分析
通过分析条件和结论之间的差异，促使两者向统一的方向发展，往往能使问题简捷获解．
例3 已知z7＝1(z∈C，且z≠1)，求1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6的值．
分析 整体思考1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6，乘以z即可解决问题．
解 因为z·(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)
＝z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＋z7
＝1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6，
所以z·(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)－(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝0.
所以(z－1)(1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝0.
又z≠1，
所以1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0.
5 复数中的易错点
一、对概念理解不清致误
例1 给出下列命题：
(1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1；
(2)1＋i2是虚数；
(3)在复平面中，实轴上的点均表示实数，虚轴上的点均表示纯虚数．
其中真命题的个数为________．
错解 (1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则a2－1＝0，解得a＝±1，故正确；
(2)因为1＋i2中含有i，所以正确；
(3)虚轴上所有点的横坐标都为0，故正确．
所以真命题的个数为3.
错因分析 1 对复数z＝a＋bi a，b∈R 为纯虚数的条件把握不准；, 2 复数未化简到最简形式就判断类型；, 3 未注意原点在虚轴上.
正解 (1)若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则a2－1＝0且a2＋3a＋2≠0，解得a＝1，所以错误；
(2)1＋i2＝1－1＝0是实数，所以错误；
(3)除原点外虚轴上的点均表示纯虚数，原点对应的复数为0，所以错误．故答案为0.
点评 将复数化为标准代数形式，并正确理解复数是实数、虚数和纯虚数的条件，以及复数的几何意义是避免此类错误的关键．
二、忽视题中的隐含条件致误
例2 m取何值时，复数z＝＋(m2－6m－7)i(m∈R)是实数？
错解 要使z为实数，需m2－6m－7＝0，
解得m＝－1或m＝7，
即m＝－1或m＝7时，z是实数．
正解 要使z为实数，需
解得m＝－1.即m＝－1时，z是实数．
点评 研究一个复数在什么情况下是实数、虚数时，要注意复数的实部、虚部有意义这一隐含条件．
三、忽视复数相等的前提条件致误
例3 已知x∈C，x2－4x＋3＋(x－1)i＝0，求x.
错解 由复数相等的定义，得
解得x＝1.
错因分析 未注意x∈C，误把x2－4x＋3＋ x－1 i看成a＋bi a，b∈R 的标准形式，错用复数相等的前提条件.
正解 原方程可化为(x－1)(x－3)＋(x－1)i＝0，
即(x－1)(x－3＋i)＝0，
故x－1＝0或x－3＋i＝0，解得x＝1或x＝3－i.
点评 复数相等的充要条件的用途非常广泛，是复数问题实数化的主要途径，但应用其解题时，需审清题意，注意复数相等的前提条件，并将复数化为标准代数形式．
四、忽视复数不一定能比较大小致误
例4 求使不等式m2－(m2－3m)i<10＋(m2－4m＋3)i成立的实数m满足的条件．
错解 由
解得－错因分析 不全是实数的两个复数不能比较大小，只有相等与不相等之说.故a＋bi>c＋di a，b，c，d∈R D /a>c，且b>d.
正解 因为不等式两边必须都是实数，
所以有解得m＝3.
点评 虚数不能比较大小，两个复数能比较大小的前提条件是它们均是实数．在解决这类问题时，要注意挖掘表达式中的隐含条件．
五、误用实数中的运算律
例5 式子()5的化简结果是________．
错解1 5＝＝(－1)＝±i.
错解2 5＝＝1＝1.
错因分析 实数中的幂的运算法则 ar s＝ars是在条件“a>0，r，s∈R”限制下进行的，在复数集中 ar s＝ars是在条件“r，s∈N
”限制下进行的，所以不能盲目推广.
正解 5＝4·＝(－i)4·(－i)＝－i.
点评 实数中的有些运算律和常用结论在复数范围内要慎用．
六、误用实系数方程Δ>0
例6 已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)有实数根，求点(x，y)的轨迹方程．
错解 ∵方程有实根，
∴Δ＝(2＋i)2－4×1×[2xy＋(x－y)i]≥0，
∴4＋4i－1－4(2xy＋xi－yi)≥0，
∴3－8xy＋(4－4x＋4y)i≥0.
∴
∴x－y＝1且xy≤.
∴点(x，y)的轨迹为直线的一部分．
正解 (1)设实根为t，则t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0，即(t2＋2t＋2xy)＋(t＋x－y)i＝0，
根据复数相等的充要条件
得
由②得t＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2， ③
∴所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，轨迹是以(1，－1)为圆心，为半径的圆．
点评 对于复系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为复数)，讨论其根的个数时，需先设x＝m＋ni(m，n∈R)，将上述方程利用复数相等的充要条件转化为实系数方程后再处理．
6 复数中的数学思想
数学思想是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，掌握以下两种数学思想方法，有利于复数问题的解决．
1．化归与转化思想
复数集是由实数集扩充而来的，因此实数集内的一些性质在复数集内仍然成立．利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题方法．
例1 设a，b，c，d∈R，若为实数，则下列式子成立的是________．
①bc＋ad≠0
②bc－ad≠0
③bc－ad＝0
④bc＋ad＝0
解析 由已知，得＝＋i.
因为为实数，
所以虚部＝0，
即bc－ad＝0.
答案 ③
点评 这里先把分母“实数化”，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，这是解决复数问题的常见思路．
2．数形结合思想
由于复数既可以用代数形式也可以用几何形式表示，因此解复数题常以形助数，数形结合．
例2 求满足条件|z|＝1，且＝的复数z的集合．
解
因为|z|＝1，所以z在复平面内对应的点在单位圆上．
又＝，所以z在复平面内对应的点在直线x＝上，如图所示．由图形可知只有点A，B所表示的复数满足条件．易得点A，B的坐标分别为，.
所以点A，B所对应的复数分别为＋i和－i.
故复数z的集合是.
点评 本题充分挖掘出复数所隐含的几何因素，通过构造图形，借助几何计算，有效地实现了“复数问题实数化”． 1 合情推理的妙用
合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．
一、归纳推理的考查
1．数字规律周期性归纳
例1 观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…，则52
013的末四位数字为________．
解析 ∵55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，
58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,512末四位数字为0625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，
∴52
013＝54×502＋5末四位数字为3125.
答案 3125
点评 对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．
2．代数式形式归纳
例2 设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析 依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.
答案
点评 对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．
3．图表信息归纳
例3 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
图(1)
图(2)
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是________．
①289
②1
024
③1
225
④1
378
分析 将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数列的公共项．
解析 设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，
其解法如下：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.
故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝.
而图(2)中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1
225满足a49＝＝b35＝352＝1
225.
答案 ③
点评 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．
二、类比推理的考查
1．类比定义
在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．
例1 等和数列的定义是：若数列{an}从第二项起，以后每一项与前一项的和都是同一常数，则此数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．如果数列{an}是等和数列，且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的一个通项公式是________．
解析 由定义，知公和为4，且an＋an－1＝4，那么
an－2＝－(an－1－2)，于是an－2＝(－1)n－1(a1－2)．
因为a1＝1，得an＝2＋(－1)n即为数列的一个通项公式．
答案 an＝2＋(－1)n
点评 解题的前提是正确理解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解．
2．类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．
例2 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①____________________________；
充要条件②________________________________________.
解析 类比平行四边形的两组对边分别平行可得，两组相对侧面互相平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的两组对边分别相等可得，两组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的一组对边平行且相等可得，一组相对侧面平行且全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的对角线互相平分可得，主对角线互相平分
是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
类比平行四边形的对角线互相平分可得，对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件．
点评 由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性．
3．类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
例3 已知数列{an}的前n项的乘积Tn＝3n＋1，则其通项公式an＝________.
解析 类比数列前n项和Sn与通项an的关系an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到数列前n(n≥2)项的乘积Tn与通项an的关系．注意对n＝1的情况单独研究．
当n＝1时，a1＝T1＝31＋1＝4.当n≥2时，an＝＝，a1不适合上式，
所以通项公式an＝.
答案 .
2 各有特长的综合法与分析法
做任何事情都要讲究方法，方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半．解答数学问题，关键在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案．证明数学问题的方法很多，其中综合法与分析法是最常见、使用频率最高的方法．综合法是从已知条件出发，一步步地推导结果，最后推出要证明的结果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；分析法则是从待证结论出发，一步步地寻求使其成立的条件，直至寻求到已知条件或公理、定义、定理等，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找它的充分条件．综合法表现为“由因导果”，分析法表现为“执果索因”，它们的应用十分广泛．
要证明一个命题正确，我们可以从已知条件出发，通过一系列已确立的命题(如定义、定理等)，逐步向后推演，最后推得要证明的结果，这种思维方法就叫做综合法，可简单地概括为“由因导果”，即“由原因去推导结果”．
要证明一个命题正确，为了寻找正确的证题方法或途径，我们可以先设想它的结论是正确的，然后追究它成立的原因，再就这些原因分别研究，看它们成立又各需具备什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这种思维方法就叫做分析法，可简单地概括为“执果索因”，即“拿着结果去寻找原因”．
例1 已知a>b>c，求证：＋＋≥0.
分析 首先使用分析法寻找证明思路．
证法一 (分析法)要证原不等式成立，
只需证＋≥.
通分，得≥，即证≥.
因为a>b>c，
所以a－b>0，b－c>0，a－c>0.
只需证(a－c)2≥4(a－b)(b－c)成立．
由上面思路可得如下证题过程．
证法二 (综合法)∵a>b>c，
∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∴4(a－b)(b－c)≤[(a－b)＋(b－c)]2＝(a－c)2.
∴≥，
即－≥0.
∴＋＋≥0.
从例题不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法“执果索因”，常常根底渐近，有希望成功；综合法“由因导果”，往往枝节横生，不容易奏效．从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰．也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．因此，在实际解题时，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的，两者结合，互相弥补才是应该提倡的；先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程．
最后，提醒一下，对于一些较复杂的问题，不论是从“已知”推向“未知”，还是由“未知”靠拢“已知”，都是一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标的“两头凑”的方法去寻求证明途径：先从已知条件出发，看可以得出什么结果，再从要证明的结论开始寻求，看它成立需具备哪些条件，最后看它们的差距在哪里，从而找出正确的证明途径．
例2 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．求证：f(x＋)为偶函数．
证明 方法一 要证f(x＋)为偶函数，只需证f(x＋)的对称轴为x＝0，
只需证－－＝0，只需证a＝－b.
因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，
所以－－1＝－，
所以a＝－b，
所以f(x＋)为偶函数．
方法二 要证f(x＋)是偶函数，
只需证f(－x＋)＝f(x＋)．
因为f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
而f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，
所以f(－x)＝f(x＋1)，
f(－x＋)＝f(－(x－))＝f((x－)＋1)
＝f(x＋)，
所以f(x＋)是偶函数．
点评 本题前半部分是用分析法证明，但寻找的充分条件不是显然成立的，可再用综合法证明，这种处理方法在推理证明中是常用的.
3 体验反证法的独到之处
反证法作为一种证明方法，在高考中，虽然很少单独命题，但是有时运用反证法的证明思路判断、分析命题有独到之处．下面举例分析用反证法证明问题的几个类型：
1．证明否定性问题
例1 平面内有四个点，任意三点不共线．证明：以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
分析 假设以四点中任意三点为顶点的三角形都是锐角三角形，先固定三点组成一个三角形，则第四点要么在此三角形内，要么在此三角形外，且各个三角形的内角都是锐角，选取若干个角的和与一些已知结论对照即得矛盾．
解 假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，四个点为A，B，C，D.
考虑△ABC，则点D有两种情况：在△ABC内部和外部．
(1)如果点D在△ABC内部(如图(1))，根据假设知围绕点D的三个角∠ADB，∠ADC，∠BDC都小于90°，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．
(2)如果点D在△ABC外部(如图(2))，根据假设知∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC都小于90°，即四边形ABCD的内角和小于360°，这与四边形内角和等于360°矛盾．
综上所述，可知假设错误，题中结论成立．
点评 结论本身是否定形式、唯一性或存在性命题时，常用反证法．
2．证明“至多”“至少”“唯一”“仅仅”等问题
例2 A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数φ(x)组成的集合：
①对任意的x∈[1,2]，都有φ(2x)∈(1,2)；
②存在常数L(0设φ(x)∈A，试证：如果存在x0∈(1,2)，使得x0＝φ(2x0)，那么这样的x0是唯一的．
证明 假设存在两个x0，x′0∈(1,2)，x0≠x′0，
使得x0＝φ(2x0)，x′0＝φ(2x′0)，
则由|φ(2x0)－φ(2x′0)|得|x0－x′0|所以L>1.这与题设中0所以原假设不成立．故得证．
点评 若直接证明，往往思路不明确，而运用反证法则能迅速找到解题思路，从而简便得证．
3．证明较复杂的问题
例3 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则________．
①△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
②△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
③△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
④△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
解析 因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cos
A1＝sin
A2，则cos
A1＝cos(90°－A2)．所以A1＝90°－A2.
同理设cos
B1＝sin
B2，cos
C1＝sin
C2，则有B1＝90°－B2，C1＝90°－C2.
又A1＋B1＋C1＝180°，
∴(90°－A2)＋(90°－B2)＋(90°－C2)＝180°，即A2＋B2＋C2＝90°.这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立，故选④.
答案 ④
例4 已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.
分析 若从正面证明，比较复杂，需要考虑的方面比较多，故采用反证法来证明．
证明 假设a<0，由abc>0，知bc<0.
由a＋b＋c>0，知b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0.这与已知矛盾．又若a＝0，则abc＝0，与abc>0矛盾．故a>0.
同理可证b>0，c>0.
小结 至于什么情况下用反证法，应依问题的具体情况而定，切忌滥用反证法．一般说来，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．
运用反证法证题时，还应注意以下三点：
1．必须周密考察原结论，防止否定有所遗漏；
2．推理过程必须完全正确，否则，不能肯定非命题是错误的；
3．在推理过程中，可以使用已知条件，推出的矛盾必须很明确，毫不含糊．
另外，反证法证题的首要环节就是对所证结论进行反设，因此大家必须掌握一些常见关键词的否定形式.
关键词
否定
是
不是
都是
不都是
等于(＝)
不等于(≠)
大于(>)
不大于(≤)
小于(<)
不小于(≥)
能
不能
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
至多有n个
至少有n＋1个
任意
存在
存在
任意
4 数学归纳法中如何用假设
数学归纳法是高中数学重要的证明方法之一，它对证明与正整数有关的命题十分有效，解决这类问题的基础是第一步，关键是第二步．不管何类题目，只要利用数学归纳法证明，其假设条件必须用上，下面我们结合实例说明数学归纳法的假设条件如何运用．
1．直接运用
例1 用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n是正整数)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝1＋＝，中间＝1＋＝，右边＝＋1＝，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，不等式成立，
即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k.
那么，当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋，
1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)．
这就是说，当n＝k＋1时不等式成立．
根据(1)和(2)，知对任意正整数n，不等式均成立．
2．配凑后运用
例2 已知f(n)＝1＋＋＋…＋，求证：n＋f(1)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n≥2，且n是正整数)．
证明 (1)当n＝2时，
左边＝2＋f(1)＝2＋1＝3，
右边＝2f(2)＝2×＝3，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，等式成立，
即k＋f(1)＋…＋f(k－1)＝kf(k)．
那么，当n＝k＋1时，
(k＋1)＋f(1)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝1＋f(k)＋kf(k)
＝(k＋1)f(k)＋1＝(k＋1)
＝(k＋1)f(k＋1)．
这就是说，当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)和(2)，知等式对从2开始的所有正整数n都成立．点评 解决此题的关键是盯住结论(k＋1)f(k＋1)，凑出系数k＋1.
3．增减项后运用
例3 证明：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(2n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n是正整数)．
证明 (1)当n＝1时，左边＝2，右边＝21·1＝2，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(2k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．
那么，当n＝k＋1时，
左边＝(k＋2)(k＋3)(k＋4)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)，
设法凑出假设：乘以(k＋1)，再除以(k＋1)，即左边＝(k＋1)·(k＋2)(k＋3)…(2k)(2k＋1)(2k＋2)·＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)，这就是说，当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)和(2)，知等式对任意正整数n都成立．
点评 对n＝k＋1时，等式的左边乘一项，除一项(或加一项，减一项)，设法凑出假设条件的形式，从而证明n＝k＋1时等式成立，这说明解题时要有目标意识.
5 用数学归纳法解题的常见误区
数学归纳法一般用于证明与正整数有关的问题，用数学归纳法证明时要分两个步骤，且缺一不可．本文举例剖析用数学归纳法解题的几类常见误区．
误区一、未注意初始值
例1 判断2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1对大于1的自然数n是否都成立，若成立，请给出证明．
错证 假设n＝k(k>1，k∈N
)时，结论成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，则2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
因此，对大于1的自然数n,2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1都成立．
剖析 错解中忽略了当n＝2时，左边是6，右边是7.左右两边不相等，即2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1对大于1的自然数n不是都成立的．这种第一步简单可省略是错误的，数学归纳法的两个步骤缺一不可．
误区二、未用归纳假设
例2 用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N
)．
错证 (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k(k>2，k∈N
)时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N
都成立．
剖析 错证中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
正证 (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k(k>2，k∈N
)时，结论成立，
即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N
都成立．
误区三、未注意从n＝k到n＝k＋1应增加的项
例3 求证：1＋2＋4＋…＋2n－1＝(4n－1＋2n－1)(n∈N
)．
错证 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(41－1＋21－1)＝1，等式成立；
(2)假设n＝k(k∈N
)时，结论成立，
即1＋2＋4＋…＋2k－1＝(4k－1＋2k－1)，
那么1＋2＋4＋…＋2k－1＋2k＝(4k－1＋2k－1)＋2k
＝(4k＋2k)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)，知等式对任意n∈N
都成立．
剖析 错证中有两个问题：第一未注意从n＝k到n＝k＋1应增加的项，实际上，并非仅增加了2k一项，而是增加了2k－1项；第二“(4k－1＋2k－1)＋2k＝(4k＋2k)”是错误的，这是通过结论直接写出，实际上，这是使用数学归纳法的大忌．
正证 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(41－1＋21－1)＝1，等式成立；
(2)假设n＝k(k∈N
)时，结论成立，
即1＋2＋3＋…＋2k－1＝(4k－1＋2k－1)，
那么1＋2＋3＋…＋2k－1＋(2k－1＋1)＋(2k－1＋2)＋…＋2k＝1＋2＋3＋…＋2k－1＋(2k－1＋1)＋(2k－1＋2)＋…＋(2k－1＋2k－1)＝(1＋2＋3＋…＋2k－1)＋(1＋2＋3＋…＋2k－1)＋2k－1·2k－1＝(4k－1＋2k－1)＋2k－1·2k－1＝2×4k－1＋2k－1＝(4k＋2k)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)，知等式对任意n∈N
都成立．1.1.2 瞬时变化率——导数(一)
明目标、知重点 1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．
1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率
如图，设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为
kPQ＝＝.
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
2．瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度
(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．
[情境导学]
平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均速度反映了物体在某段时间内运动的快慢程度，那么，如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢？本节内容将解决这一问题．
探究点一 曲线上一点处的切线斜率
思考1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
答 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线．
思考2 怎样求切线的斜率？
答 可以用逼近的方法来计算切线的斜率，
设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，
则kPQ＝，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于曲线f(x)在点P(x，f(x))处切线的斜率．
例1 已知曲线y＝x3上一点P，求：
(1)点P处的切线斜率；
(2)点P处的切线方程．
(提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
解 (1)∵y＝x3，
∴＝
＝×
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x2，
∴点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)．
即12x－3y－16＝0.
反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．
跟踪训练1 已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解 ＝＝＝4＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4，
∴曲线y＝2x2在点(1,2)处切线的斜率为4.
∴所求直线的斜率为k＝－.
∴y－2＝－(x－1)，即x＋4y－9＝0.
探究点二 瞬时速度与瞬时加速度
思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
易知h()＝h(0)，＝＝0，
而运动员依然是运动状态．
思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．
思考3 瞬时速度与瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？
答 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．
例2 一质点按规律S＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动．求：
(1)该质点在前3
s内的平均速度；
(2)该质点在2
s到3
s内的平均速度；
(3)该质点在3
s时的瞬时速度．
解 (1)＝＝＝8
(m/s)．
∴该质点在前3
s内的平均速度为8
m/s.
(2)＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12
(m/s)．
∴该质点在2
s到3s内的平均速度为12
m/s.
(3)∵
＝
＝2Δt＋14.
当Δt无限趋近于0时，Δt＋14无限趋近于14.
∴该质点在3
s时的瞬时速度为14
m/s.
反思与感悟 平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值．
跟踪训练2 一辆汽车按规律S＝3t2＋1作直线运动，求这辆车在t＝3
s时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
解 设这辆车从3
s到(3＋Δt)s这段时间内位移的增量为ΔS，则ΔS＝3(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt，
又＝3Δt＋18，
∴当Δt无限趋近于0时，3Δt＋18无限趋近于18，
∴这辆车在t＝3
s时的瞬时速度为18
m/s.
1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．
答案 8
解析 ∵＝＝8＋2Δx，
当Δx无限趋近于0时，8＋2Δx无限趋近于8，
∴曲线f(x)在点A处的切线斜率为8.
2．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．
答案 (3,30)
解析 设点P(x0,2x＋4x0)，
当Δx无限趋近于0时，
＝
＝4x0＋4＋2Δx，无限趋近于4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30)．
3．任一作直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案 3
解析 ＝＝＝3－Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于3.
4．一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v＝t2＋t＋2
(速度单位：m/s，时间单位：s)，求质点在t＝2
s时的瞬时加速度．
解 ∵
＝＝Δt＋5，
∴当Δt无限趋近于0时，Δt＋5无限趋近于5，即质点在t＝2
s时的瞬时加速度为5
m/s2.
[呈重点、现规律]
1．曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．
2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢.
一、基础过关
1．一质点运动的方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt](Δt>0)内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是________．
答案 －6
2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率的值为________．(已知(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
答案 6
解析 ＝＝6＋6Δx＋2(Δx)2，
∴Δx无限趋近于0时，无限趋近于6，
∴所求切线斜率为6.
3．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为________．
答案 45°
解析 ＝
＝x＋Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于x，
∴曲线在点P处切线斜率为1，倾斜角为45°.
4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程为______________．(已知(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
答案 x－y－2＝0
解析 ＝
＝4－(Δx)2－3x2－3x(Δx)，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于4－3x2，
x＝－1时，无限趋近于1，
所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k＝1，
所以切线方程是x－y－2＝0.
5．一物体的运动方程为S＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
答案
解析 ＝
＝7Δt＋14t，
∴Δt无限趋近于0时，无限趋近于14t.
∵14t＝1，∴t＝.
6．一物体的运动方程是S＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度为________．
答案 at0
解析 ＝＝aΔt＋at0，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于at0.
7．求曲线f(x)＝3x2－2x在点(1,1)处切线的斜率．
解 ∵＝
＝
＝＝3Δx＋4.
∵当Δx无限趋近于0时，3Δx＋4无限趋近于4，
∴曲线f(x)＝3x2－2x在点(1,1)处切线的斜率为4.
二、能力提升
8．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
答案 4＋Δt 4
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于4.
9．已知直线x－y－1＝0与曲线y＝ax2相切，则a＝________.
答案
解析 ＝＝2ax＋aΔx，
当Δx无限趋近于0时，2ax＋aΔx无限趋近于2ax，
设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，
且y0＝x0－1＝ax，解得x0＝2，a＝.
10．有一作直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度是________．
答案 －1
解析 物体在t＝2到t＝2＋Δt时间内，位移的改变量
ΔS＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2.
∴该时间段内的平均速度＝＝－1－Δt，
∴Δt无限趋近于0时，无限趋近于－1，
∴此物体在t＝2时的瞬时速度为－1.
11．以初速度v0
(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为S(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．
解 ∵ΔS＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于v0－gt0.
故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.
12．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝
s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解 令t0＝，Δt为增量．
则＝
＝
＝－4.9＋6.5，
∴Δt无限趋近于0时，无限趋近于0.
即运动员在t0＝
s时的瞬时速度为0
m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处．
三、探究与拓展
13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
S＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为
＝＝24
(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18，
∵当Δt无限趋近于0时，
＝3Δt－18无限趋近于－18，
∴物体的初速度v0为－18
m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度，即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12.
当Δt无限趋近于0时，＝3Δt－12无限趋近于－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s.明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(2)复数集
①定义：全体复数所组成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.
[情境导学]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一 复数的概念
思考1 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
思考2 如何理解虚数单位i
答 (1)i2＝－1.
(2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．
(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立．
(4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.
思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？
答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部．
思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？
答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
思考5 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？
答 不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部．
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
反思与感悟 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－的虚数；
(2)虚部为－的虚数；
(3)虚部为－的纯虚数；
(4)实部为－的纯虚数．
解 (1)存在且有无数个，如－＋i等；(2)存在且不唯一，如1－i等；(3)存在且唯一，即－i；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
例
2 当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)当，即m＝2时，复数z是实数；
(2)当
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
探究点二 两个复数相等
思考1 两个复数能否比较大小？
答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．
思考2 两个复数相等的充要条件是什么？
答 复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
例3 已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.
解 由复数相等的充要条件得
解得
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练
3 已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．
解 由复数相等的定义得
解得：x＝3，
所以x＝3为所求．
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
答案 ±，5
解析 令，得a＝±，b＝5.
2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是________．
答案 ±i
3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为________．
答案 0
解析 由题意知，∴m＝0.
4．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确命题的个数为________．
答案 4
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
[呈重点、现规律]
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.
一、基础过关
1．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的________条件．
答案 充分不必要
解析 若a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0.
∴“a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的充分不必要条件．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
答案 2－2i
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为________．
答案 1
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.
∴2x＋y＝20＝1.
4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
答案 －1
解析 由复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数得解得x＝－1.
5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
答案 2 ±2
解析 由z1＝z2得，
解得.
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析 m＝－2.
7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴解得
所以实数x，y的值分别为，2.
二、能力提升
8．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是________．
答案 1
解析 由题意，得解得x＝1.
9．若sin
2θ－1＋i(cos
θ＋1)是纯虚数，则θ的值为____________．
答案 2kπ＋(k∈Z)
解析 由题意，得，
解得(k∈Z)，
∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
10．给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
则其中正确命题的个数为________．
答案 1
解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．故答案为1.
11.设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1解 由于z1∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z112.已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，求的最大值．
解 ∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.
三、探究与拓展
13．实数m为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．明目标、知重点 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算．
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
3．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
4.共轭复数
把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi.
5．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
[情境导学]
我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？
探究点一 复数加减法的运算
思考1 我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
答 仍然是个复数，且是一个确定的复数．
思考2 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
思考3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．
答 满足，对任意的z1，z2，z3∈C，
有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.
结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，
显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
思考4 类比复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．
答 (a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
思考5 若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2
答 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
例1 计算：
(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)
＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.
反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．
跟踪训练1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．
解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
探究点二 复数乘除法的运算
思考1 怎样进行复数的乘法？
答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.
例
2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
(3)(1＋i)2.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
跟踪训练2 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
思考3 如何理解复数的除法运算法则？
答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
例3 计算：
(1)(1＋2i)÷(3－4i)；
(2)6＋.
解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝
＝＝
＝－＋i.
(2)原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
反思感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
跟踪训练3 计算：(1)；(2)
解 (1)＝＝＝1－i.
(2)＝＝＝－1－3i.
探究点三 共轭复数及其应用
思考1 像3＋4i和3－4i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？
答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
思考2 复数a＋bi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？
答 复数a＋bi的共轭复数可表示为a－bi，由于
(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2
∈R，所以两个共轭复数之积为实数．
思考3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？
答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝ z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．
思考4 z·与|z|2和||2有什么关系？
答 z·＝|z|2＝||2.
例
4 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．
跟踪训练4 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴，解得，
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2＝__________.
答案 －i
解析 z1＋z2＝(2＋)－(＋2)i＝－i.
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z＝________.
答案 1＋3i
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
3．复数z＝＝________.
答案 i
解析 ＝＝＝i.
4．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝________.
答案 －2
解析 由题意可知：＝＝
＝－i＝－＋i，
因此＝－，
化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，则a＝±2，
由－＝可知a<0，
仅有a＝－2满足，故a＝－2.
[呈重点、现规律]
1．复数的四则运算
(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、基础过关
1．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是__________．
答案 ＋i
解析 设这个复数为x＋yi(x，y∈R)，
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴，∴，
∴x＋yi＝＋i.
2．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
答案 －2i
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，
则＝＝
＝＝＋i是实数，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
3.的值为__________．
答案 2＋3i
4．8＋6i的平方根是________．
答案 ±(3＋i)
解析 方法一 设8＋6i的平方根是x＋yi
(x、y∈R)，
则(x＋yi)2＝8＋6i，即x2－y2＋2xyi＝8＋6i.
由复数相等，得
∴或
方法二 ∵8＋6i＝9＋6i＋i2＝(3＋i)2，
∴8＋6i的平方根是±(3＋i)．
5．已知复数z1＝2＋i，z2＝1－i，则复数z1·z2的虚部是________．
答案 －1
解析 z1·z2＝(2＋i)·(1－i)＝3－i，
故虚部为－1.
6．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)；
(3)＋.
解 (1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)
＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)
＝＋i＋2－i－＋i
＝(＋2－)＋(－1＋)i＝1＋i.
(3)＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝－29＋1＝－511.
7.设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解 ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
二、能力提升
8．复数的虚部是________．
答案 －
解析 原式＝＝＝－i，
∴虚部为－.
9．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________.
答案 －1＋i
解析 由已知得z＝＝＝－1＋i.
10．若复数z满足z(1＋i)＝1－i
(i是虚数单位)，则其共轭复数＝________.
答案 i
解析 z＝＝＝＝－i，
则＝i.
11．已知虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋<0，求z.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，
所以x2＋y2＝1，
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
因为z2＋2z＋<0且y≠0，
所以
又x2＋y2＝1，
解得
故z＝－±i.
12．已知复数z，满足z2＝5－12i，求.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x2－y2＋2xyi.
又z2＝5－12i，所以x2－y2＋2xyi＝5－12i.
所以解得或
所以z＝3－2i或z＝－3＋2i.
所以＝＝＋i或＝＝－－i.
∴＝＋i或＝－－i.
三、探究与拓展
13.已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
解 (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得.
∴b、c的值为b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．1.3.3 最大值与最小值
明目标、知重点 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
1．函数在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在闭区间[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
2．在闭区间求函数最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值，
(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
3．函数在开区间(a，b)内的最值
在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．
4．极值与最值的意义
(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；
(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．
[情境导学]
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．
探究点一 求函数的最值
思考1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．
思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
答 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
小结 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．
思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较取得极值附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．
小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：
1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．
2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．
3．比较大小，确定结论．
例
1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin
x，x∈[0,2π]．
解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos
x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝π或x＝π.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝＋，
f(π)＝π－.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．
跟踪训练1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
解 (1)∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，－2D∈/[0,3]，
∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例
2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练2 在例2中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？
解 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a，
①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；
②当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，
从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；
③当－1f(x)在上单调递增；
在上单调递减，
则f(x)max＝f＝－a3.
综上所述：f(x)max＝
探究点三 函数最值的应用
思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．
如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可．
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．
例
3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，
∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
跟踪训练3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1 (x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
单调递增
1－m
单调递减
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
∵h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，
∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)
1．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是________．
答案 π
解析 因为y′＝1－cos
x，当x∈时，y′>0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin
π＝π.
2．若函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则在区间[a，b]上f(x)与g(x)的大小关系为________．
答案 f(x)≥g(x)
解析 ∵f′(x)>g′(x)，
∴f(x)－g(x)单调递增．
∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)，
即f(x)－g(x)≥0，即f(x)≥g(x)．
3．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
4．函数f(x)＝exsin
x在区间上的值域为________．
答案 [0，e]
解析 f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)．
∵x∈，f′(x)>0.
∴f(x)在上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f()＝e.
[呈重点、现规律]
1．求函数的最值时，应注意以下几点：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、基础过关
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________.
答案 10 2
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上单调递减，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)，
f(3)＝10，f(5)＝2.
2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是________．
答案
解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，
令y′＝0，∴x＝1，
∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，
∴f(1)＝为最大值．
3．函数y＝的最大值是________．
答案
解析 令y′＝＝＝0.
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x0.
y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极大值，
所以ymax＝.
4．函数y＝的值域为________．
答案 [－2,2]
解析 令y′＝＝＝0，
得x＝±1.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
＋
0
－
y
?
极小值
?
极大值
?
∵x>0时y>0，x<0时，y<0.
结合表可知，x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2.
5．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案 [－4，－2]
解析 f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．
6．函数y＝x＋2cos
x在区间上的最大值是______．
答案 ＋
解析 令y′＝1－2sin
x＝0，得x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝y＝＋.
7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．
解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
?
极大值a
?
－8＋a
∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.
当x＝0时，f(x)最大值为3.
二、能力提升
8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为________．
答案
解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出MN＝y＝t2－ln
t(t>0)．
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在此区间内单调递增．
故当t＝时，MN有最小值．
9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln
2－2]
解析 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln
2)上递增，在(ln
2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln
2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln
2－2即可．
10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．
答案 －
解析 f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.
∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，
∴f(x)max＝a＝2.
∴f(x)min＝－＋a＝－.
11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴由根与系数的关系，得∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，得x＝3，x＝－1.
当x变化时，f′(x)和f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值c＋5
单调递减?
极小值c－27
单调递增?
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
∴参数c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
∴f(2)＞f(－2)．
于是有22＋a＝20，∴a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∵在(－1,3)上f′(x)＞0，
∴f(x)在[－1,2]上单调递增．
又∵f(x)在[－2，－1]上单调递减，
∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即f(x)的最小值为－7.
三、探究与拓展
13.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
解 (1)因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，
所以b＝d＝2；
因为f′(x)＝2x＋a，
故f′(0)＝a＝4；g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)＝kex(2x＋2)－x2－4x－2，
则F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)，
由题设可得F(0)≥0，故k≥1，
令F′(x)＝0得x1＝－ln
k，x2＝－2，
①若1≤k从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)<0，
当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，
即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
②若k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)≥0在[－2，＋∞)上恒成立，
故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，
因为F(x)min＝F(－2)＝0，所以F(x)≥F(－2)＝0，
所以f(x)≤kg(x)恒成立；
③若k>e2，则F(x)min＝F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，此时kg(x)从而当x∈[－2，＋∞)时，
f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述，k的取值范围为[1，e2]．明目标、知重点
1．了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路
→
←
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
[情境导学]
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．
探究点一 面积、体积的最值问题
思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？
答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．
(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．
(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例
1
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128
dm2，上、下两边各空2
dm，左、右两边各空1
dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解 设版心的高为x
dm，则版心的宽为
dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128
＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得
S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.
当x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16使函数S(x)取得极小值，也是最小值．
所以，当版心高为16
dm，宽为8
dm时，能使海报四周空白面积最小．
答 当版心高为16
dm，宽为8
dm时，海报四周空白面积最小．
反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
答案 32米，16米
解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，
∴新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．
探究点二 利润最大问题
例
2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1
mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6
cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解 由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2
＝0.8π，0令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.
当r＝2时，f′(r)＝0.
当r∈(0,2)时，f′(r)<0；
当r∈(2,6)时，f′(r)>0.
因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．
所以，半径为6
cm时，利润最大．
半径为2
cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值42
单调递减?
由上表可得，x＝4使函数f(x)在区间(3,6)内取得极大值，也是最大值．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
探究点三 费用(用材)最省问题
例
3 已知A、B两地相距200
km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8
km/h，船在静水中的速度为v
km/h(8km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？
解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，由题意，得
y＝y1·＝，
∴y′＝
＝.
令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，
即v＝16
km/h时全程燃料费最省，ymin＝32
000(元)；
当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，
即y在(8，v0]上为减函数，
∴当v＝v0时，ymin＝(元)．
综上，当v0≥16时，v＝16
km/h全程燃料费最省，
为32
000元；
当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．
反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．
跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解 (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0(2)由(1)知，y′＝－＋300，令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，
所以函数在定义域内没有极值点．
又当0所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
∴当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．
答案 4
解析 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，
∴h＝＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048
6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048
6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为________．
答案 0.032
4
解析 依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048
6kx2，其中x∈(0,0.048
6)．
所以银行的收益是y＝0.048
6kx2－kx3(06)，则y′＝0.097
2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032
4或x＝0(舍去)．
当04时，y′>0；
当0.032
46时，y′<0.
所以当x＝0.032
4时，y取得最大值，
即当存款利率为0.032
4时，银行获得最大收益．
3．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为________．
答案
解析 设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)．
∴S′＝(x3－4V)．
令S′＝0，得x＝.
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0解 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝×
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数，
x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
[呈重点、现规律]
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
一、基础过关
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是________．
答案 －1
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．从边长为10
cm×16
cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________
cm3.
答案 144
解析 设盒子容积为y
cm3，盒子的高为x
cm.
则y＝(10－2x)(16－2x)x
(0＝4x3－52x2＋160x，
∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为________．
答案 3π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝可以使V取得极大值，也是最大值．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120
cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为________
cm3.
答案 128
000
解析 设水箱底边长为x
cm(0h＝60－(cm)．
水箱容积
V＝V(x)＝x2h＝60x2－(cm3)，
V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得x＝80
(cm)时，V取最大值为128
000
cm3.
5．某公司生产一种产品，
固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是________．
答案 300
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300.
6．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则其高为________
cm.
答案
解析 设高为h
cm，体积为V
cm3，底面半径为r
cm，
则r2＝202－h2＝400－h2，
∴V＝πr2h＝(400h－h3)，
V′＝(400－3h2)，
令V′＝0，得h＝或h＝－(舍)．
7.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为x
cm，y
cm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.
两栏面积之和为2(x－20)·＝18
000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x.
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0得x>140，
令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上单调递增，
在(20,140)上单调递减，
∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S取得最小值为24
500，
故当广告的高为140
cm，宽为175
cm时，可使广告的面积最小．
二、能力提升
8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
答案 5
解析 依题意可设每月土地占用费y1＝(k1>0)，每月库存货物的运费y2＝k2x(k2>0)，其中x是仓库到车站的距离，于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋.
令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，可使y取得最小值．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
答案 3
解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，得S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，
则当R＝3时，S表最小．
10.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
答案 6 3
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．
依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝(0于是y＝＝＝.
令y′＝＝0，
得a＝6或a＝－10(舍去)．
∵本题只有一个极值，∴此极值即为最值．
当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n个桥墩，
则(n＋1)x＝m，即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－
＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
12.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20
km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100
km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解 设速度为x
km/h，甲、乙两城距离为a
km.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，
∴f(x)＝a(x2＋)．
令f′(x)＝＝0，
得x＝10.
当0当100.
∴当x＝10时，f(x)有最小值，
即速度为10
km/h时，总费用最少．
答 火车以103
km/h的速度行驶，才能使从甲城开往乙城的总费用最少．
三、探究与拓展
13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解 (1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，
故l＝＝－r＝(－r)．
由于l≥2r，因此0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c
＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，
因此y＝4π(c－2)r2＋，0(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－
＝(r3－)，0由于c>3，所以c－2>0.
当r3－＝0时，r＝
.
令
＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0时，
令y′＝0，得r＝m.
当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m,2]时，y′>0，
所以r＝m使函数y取得极小值，也是最小值．
②当m≥2，即3当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，
所以r＝2使函数y取得最小值．
综上所述，当3建造费用最小时r＝2；
当c>时，建造费用最小时r＝
.明目标、知重点 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
1．复数的几何意义
任何一个复数z＝a＋bi和复平面内Z(a，b)一一对应，和以原点为起点，以Z(a，b)为终点的向量一一对应．
2．复数的模
设z＝a＋bi，则|z|＝.
3．复平面中两点的距离
两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
[情境导学]
我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？
探究点一 复数与复平面内的点
思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
答 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．
小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
思考2 判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．
答 根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z＝a＋bi，由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．
例
1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
解 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得，
∴，
∴－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，
故m＝2.
反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)对应的点在x轴上方；
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
解 (1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，
所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，
复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
探究点二 复数与向量
思考1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？
答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．
思考2 怎样定义复数z的模？它有什么意义？
答 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量＝(a，b)的模，记作|z|或|a＋bi|.
|z|＝|a＋bi|＝可以表示点Z(a，b)到原点的距离．
例
2已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．
跟踪训练2 求复数z1＝3＋4i，z2＝－－i的模，并比较它们的大小．
解 |z1|＝＝5，|z2|＝＝.
∵5>，∴|z1|>|z2|.
探究点三 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
答 如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有＝(a，b)，＝(c，d)，由向量加法的几何意义＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)表示的复数；
(2)对角线表示的复数；
(3)对角线表示的复数．
解 (1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．
跟踪训练
3已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解 方法一 设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.②
由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
方法二 设O为坐标原点，
z1、z2、z1＋z2对应的复数分别为A、B、C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
方法三 ∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)
∴|z1＋z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)－|z1－z2|2
＝2(12＋12)－12＝3.
∴|z1＋z2|＝.
1．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
答案 9
解析 ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解之得m＝9.
2．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是__________．
答案 ∪(1,2)
解析 ∵复数对应的点在第二象限，
∴ 即
∴k的取值范围为∪(1,2)．
3．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是________．
答案 3＋i
解析 ∵P(－1,0)，Q(2,1)，∴＝(3,1)，
∴对应的复数为3＋i.
4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
答案 1
解析 由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．
|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.
[呈重点、现规律]
1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．
2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.
一、基础过关
1．复数z＝＋i3对应的点在复平面第________象限．
答案 四
解析 z＝＋i3＝－i，
∴z对应点Z(，－1)在第四象限．
2．当0答案 四
解析 ∵00，－1故对应的点在第四象限内．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
答案 2＋4i
解析 A(6,5)，B(－2,3)，∵C为AB的中点，∴C(2,4)，
∴点C对应的复数为2＋4i.
4．复数|z－2－i|＝1代表的曲线为________________________________________________．
答案 以(2,1)为圆心，1为半径的圆
5．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z＝__________.
答案 －1＋i
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，
解得a＝±1，故a＝－1，
所以z＝－1＋i.
6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．
答案 2解析 ∵z位于第三象限，
∴
∴27．(1)已知向量与实轴正向的夹角为45°，向量对应的复数z的模为1，求z.
(2)若z＋|z|＝2，求复数z.
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵与x轴正向的夹角为45°，|z|＝1，
∴或，
∴或.
∴z＝＋i或z＝－i.
(2)∵z＋|z|＝2，∴z＝2－|z|∈R，
∴当z≥0时，|z|＝z，∴z＝1，
当z<0时，无解，∴z＝1.
二、能力提升
8．已知|z1|＝，|z2|＝，|z1＋z2|＝2，则|z1－z2|＝________.
答案
解析 ∵|z1＋z2|＝2，
即|＋|＝2.
∴2＋2·＋＝8.
∴2·＝8－3－2＝3.
∴|z1－z2|2＝2－2·＋2
＝3－3＋2＝2.
∴|z1－z2|＝.
9．复数1＋cos
α＋isin
α(π<α<2π)的模为________．
答案 －2cos
解析 |1＋cos
α＋isin
α|＝
＝＝＝2|cos
|，
∵π<α<2π，∴<<π，
∴cos
<0，
∴|1＋cos
α＋isin
α|＝－2cos
.
10．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是________．
答案
解析 根据模的定义得<，
∴5x2－6x－8<0，
∴(5x＋4)(x－2)<0，
∴－11.实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须，
∴，∴－7(2)要使点位于x轴负半轴上，须
，∴，∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
12.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.
解 根据题意可画图形如图所示：
设点Z的坐标为(a，b)，
∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，
∴a＝－1，b＝，
即点Z的坐标为(－1，)，
∴z＝－1＋i.
三、探究与拓展
13．试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为
a2－b2－5＋6＋2abi＝0
或或
即x＝±2或x＝±3或x＝±i.
故方程在复数集上的解共有6个． 1 变化率与导数
1．变化率
函数的平均变化率为＝＝，它是用来刻画函数值在区间[x0，x1]上变化快慢的量．式中Δx，Δy的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，Δy的值为0，但Δx不能为0.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
2．导数的概念及其几何意义
函数y＝f(x)在x0点的导数即为函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率，即当Δx趋于0时，函数值y关于x的平均变化率＝的极限值；Δx趋于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．
函数y＝f(x)在x0点处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k＝tan
α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．
例1 如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________；
f′(1)＝________.(用数字作答)
解析 由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2)．
同理线段BC的方程为f(x)＝x－2(2所以f(x)＝
所以f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2，
f′(1)＝－2.
答案 2 －2
例2
函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是________．
①0②0③0④0解析
根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2))及A(3，f(3))处的切线的斜率．
由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0另一方面，这两点的平均变化率为＝f(3)－f(2)，其几何意义为割线AB的斜率．
由图，可知0答案 ③
点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查．
通过上述事例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连结初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫.
2 导数计算中的策略
1．活用定义
例1 已知函数f(x)＝3x4－2x3＋5，则当Δx无限趋近于0时，无限趋近于________．
分析 在导数定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种增量形式，相应的Δy也应选择对应的形式，本题中Δy中x的增量为2Δx，则分母也应为2Δx.
解析 因为f′(x)＝12x3－6x2，
所以原式＝·2，则当Δx→0时，
即求2f′(1)＝12.
答案 12
2．整体构造
例2 若函数f(x)＝(x－1)·(x－2)·(x－3)·…·(x－2
013)，求f′(2
013)的值．
分析 本题的待求值让人有点“无所适从”，造成这种情况的主要原因是没有找到解决问题的入手点．若仔细观察分析，把前面的(x－1)·(x－2)·(x－3)·…·(x－2
012)看成一个整体，然后利用积的求导法则，则问题便可迎刃而解．
解 令φ(x)＝(x－1)·(x－2)·(x－3)·…·(x－2
012)，则f(x)＝(x－2
013)φ(x)，
故f′(x)＝φ(x)＋(x－2
013)φ′(x)，于是有
f′(2
013)＝φ(2
013)＝1×2×3×…×2
012.
3．化繁为简
例3 求f(x)＝(1－)·的导函数．
分析 对此题，若直接求导，则需要按照乘积的求导运算法则来求导，计算量显然较大．如果求解此题时将求导的多项式展开，再利用公式求导，那么此题的求解就会非常简单．
解 因为f(x)＝(1－)＝1－＋－1
＝－＋，
所以f′(x)＝′＝－x－－x－.
点评 在导数的运算中，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运算失误.
3 函数单调性的应用
1．根据函数的单调性求解参数问题
例1 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f′＝，求a，b，c的值．
解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由于f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f′(0)＝f′(1)＝0.
又f′＝，
所以解得
点评 由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点，通常情况下单调区间的端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答．
例2 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解 f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是a≤16.
点评 已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f′(x)＝0是否有有限个解．
2．利用函数的单调性证明不等式
欲证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x))成立，可以构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，利用导数进行证明．
例3 已知x>0，求证：ex>1＋x.
证明 设函数f(x)＝ex－(1＋x)，
则f′(x)＝ex－1.
当x>0时，ex>e0＝1，所以f′(x)＝ex－1>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
所以当x>0时，f(x)>f(0)．
又f(0)＝e0－(1＋0)＝0，
所以f(x)>0，即ex－(1＋x)>0.
故ex>1＋x.
点评 若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明．
3．利用函数的单调性判断方程根的个数
若f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]上有唯一实数根；若f(a)f(b)与零的大小无法确定，则f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实数根．
例4 试判断函数f(x)＝x－ln
x(x>0)在区间和区间(1，e)内有无零点．
分析 可通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数．
解 因为f′(x)＝－.
所以当x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)是增函数；
当x∈(0,3)时，y＝f(x)是减函数．
而0<<1又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.
4 导数问题易错点剖析
一、剖析导数运算中的常见错误
1．对f′(x0)与f′(x)理解有误
例1 已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为________．
错解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.
所以f′(0)＝0.
错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′ 1 是常数.
正解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1)．
所以f′(1)＝2×1＋2f′(1)．所以f′(1)＝－2.
从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.
2．切点位置的确定有误
例2 求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程．
错解 由题意知点P(1,0)在曲线上．
因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
错因分析 点P 1，0 虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P 1，0 当作切点显然是错误的.求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”： 1 曲线在点P处的切线方程 一定是以点P为切点 ； 2 曲线过点P的切线方程 无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点 .
正解 设切点为(x0，x－x0)，
则过该点的切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)．
由切线过点P(1,0)得：
0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，整理得2x－3x＋1＝0.
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.
所以切线方程为2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
3．对切线定义的理解有误
例3 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y＝4x－4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．
错解 由于直线y＝4x－4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点．
错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立．
正解 由消去y整理得：
x3－12x＋16＝0，即(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
所以(x－2)2(x＋4)＝0，解得x＝2或x＝－4.
所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，
所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)．
二、剖析导数应用中的常见错误
1．将函数单调性的充分条件误认为是充要条件
例4 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围．
错解 f′(x)＝3ax2＋6x－1.因为f(x)在R上是减函数，
所以f′(x)＝3ax2＋6x－1<0.
所以解得a<－3.
故实数a的取值范围为(－∞，－3)．
错因分析 “f′ x <0 x∈ a，b ”是“f x 在 a，b 内单调递减”的充分条件而不是充要条件，如f x ＝－x3在R上单调递减，但f′ x ＝－3x2≤0.
正解 f′(x)＝3ax2＋6x－1.
(1)当f′(x)<0时，f(x)是减函数，
所以f′(x)＝3ax2＋6x－1<0.
所以解得a<－3.
(2)当a＝－3时，f′(x)＝－9x2＋6x－1
＝－(3x－1)2≤0，
当且仅当x＝时，f′(x)＝0.
易知此时函数f(x)在R上也是减函数．
综上，知实数a的取值范围为(－∞，－3]．
点评 解决此类问题既要注意其充分性，又要注意其必要性．
2．将函数取极值的必要条件误认为是充要条件
例5 求函数f(x)＝x6－3x4＋3x2的极值．
错解 f′(x)＝6x5－12x3＋6x＝6x(x4－2x2＋1)＝6x(x2－1)2.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x＝±1时，函数f(x)取极大值1；当x＝0时，函数f(x)取极小值0.
错因分析 “f′ x0 ＝0”是“可导函数y＝f x 在x0处有极值”的必要条件而不是充要条件，即导数为零的点不一定是极值点.防止出现这类错误的方法是验证可导函数f x 在x0左右两侧的导数值的符号，若x0两侧的导数值异号，则x0是函数f x 的极值点.
正解 f′(x)＝6x(x2－1)2.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号如下表所示：
x
(－∞，－1)
(－1,0)
(0,1)
(1，＋∞)
f′(x)
－
－
＋
＋
因此函数f(x)无极大值，当x＝0时，函数f(x)取极小值0.
点评 函数y＝f(x)在x0处可导，则“f′(x0)＝0”是“f(x)在x0处取得极值”的必要条件，但不是充要条件．一般地，函数f(x)在x0的附近可导且f′(x0)＝0，如果f′(x)在x0两侧的符号相反，则f(x)在x0处取极值；如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则f(x)在x0处无极值.
5 导数应用中的数学思想
1．方程思想
例1 已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＝________，n＝________.
分析 根据题意利用f′(－1)＝0与f(－1)＝0建立方程组求解．
解析 f′(x)＝3x2＋6mx＋n.
由题意，得
解得或
但当m＝1，n＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，即x＝－1不是f(x)的极值点，应舍去．故分别填2,9.
答案 2 9
点评 本题的解答充分体现了方程思想的应用，通过已知的极值求得函数解析式中的参数，但要注意对所求值的验证．
2．函数思想
例2 设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x>－1时，f(x)≥.
分析 由于f(x)＝1－e－x＝1－，＝1－，因此要证f(x)≥，只需证明ex≥1＋x.所以我们构造新函数，利用函数的极值进行证明．
证明 令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.
解方程ex－1＝0，得x＝0.
当x变化时，g′(x)，g(x)变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
?
0
?
从表上看出，当x＝0时，函数有极小值，且g(0)＝0.
因而当x∈R时，有g(x)≥g(0)＝0，即ex≥1＋x.
所以当x>－1时，有f(x)＝1－e－x＝1－≥1－＝，即f(x)≥.
点评 本题通过构造函数，使问题的解决变得简捷．
3．数形结合思想
例3 已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围．
分析 先用导数求出函数的单调区间和极值，再根据单调性画出大致图象，利用数形结合思想求解．
解 f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.
画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．
所以a＋27<0或a－5>0.解得a<－27或a>5.
故实数a的取值范围为a<－27或a>5.
点评 数形结合思想是中学数学的一种重要思想．画出图象可以加强直观性，便于对问题的理解．
4．分类讨论思想
例4 求函数f(x)＝ax3－3x2＋1－的单调区间．
分析 利用导数求函数的单调区间，一般先确定函数的定义域，再求导函数，最后根据导数大于0或小于0得单调增区间或单调减区间．如果函数中含有参数，则应分类讨论．
解 f′(x)＝3ax2－6x.由题意，得a≠0.
当a>0时，由3ax2－6x>0，解得x<0或x>；
由3ax2－6x<0，解得0所以f(x)的单调增区间为(－∞，0)和，单调减区间为.
当a<0时，由3ax2－6x>0，解得由3ax2－6x<0，解得x<或x>0.
所以f(x)的单调增区间为，单调减区间为和(0，＋∞)．
点评 注意本题中隐含了a≠0的条件．a在导函数的二次项系数中，a的正负决定了不等式的解集，因此要对a分大于0和小于0两种情况进行讨论.
6 研析三次函数的单调性与极值
我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以用判别式Δ＝b2－4ac来判断，那么一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0(a≠0)的根的情况又是怎样的呢？
要解决这个问题，只要能够画出函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的大致图象，通过图象与x轴的交点的情况便可得到方程的根的情况．而要画出函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的大致图象，就要研究该函数的单调性和极值情况，因此可以利用导数来研究．
三次函数求导后变为二次函数，所以三次函数的许多性质可以借助二次函数来解决．
对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其导函数为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，有以下结论：
(1)①当a>0时，若x→＋∞，则f(x)→＋∞；
若x→－∞，则f(x)→－∞；
②当a<0时，若x→＋∞，则f(x)→－∞；
若x→－∞，则f(x)→＋∞.
(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点，则x1，x2是方程f′(x)＝0的两根，从而x1＋x2＝－，x1x2＝.
(3)方程f′(x)＝0的判别式Δ＝4b2－12ac，则有
①当Δ≤0时，若a>0，则f(x)在R上是增函数；若a<0，则f(x)在R上是减函数．
②当Δ>0时，设f′(x)＝0的两根x10时，f(x)的递增区间有两个，为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，递减区间有一个，为(x1，x2)，x＝x1是极大值点，x＝x2是极小值点；
当a<0时，f(x)的递减区间有两个，为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，递增区间有一个，为(x1，x2)，x＝x1是极小值点，x＝x2是极大值点．
(4)函数f(x)的大致图象如下：
Δ>0
Δ≤0
a>0
a<0
7 帮你识记“原函数”
微积分基本定理告诉我们要求积分值，找到被积函数的一个原函数是关键，为方便大家使用，下面探求了一些常见函数的原函数．
(1)常数函数c的一个原函数为cx；
(2)xn的一个原函数为(n≠－1，n∈Q
)；
(3)cos
x的一个原函数为sin
x；
(4)sin
x的一个原函数为－cos
x；
(5)ax的一个原函数为(a>0且a≠1)；
(6)ex的一个原函数为ex；
(7)的一个原函数为ln
x(x>0)．
温馨提示 一个被积函数的原函数不是唯一的，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用 f(x)dx＝F(b)－F(a)求值，只需找一个最简单的原函数即可．
8 怎样求解定积分？
用微积分基本定理求定积分 f(x)dx时，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的F(x)，但在求解函数F(x)时经常会遇到计算上的复杂，或者找不到函数F(x)等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法．
1．几何法
例1 求定积分 (－x)dx的值．
分析 本题用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦．由 (－x)dx联想到圆(x－1)2＋y2＝1的一部分与直线y＝x，用定积分的几何意义进行求解则比较简捷．
解 (－x)dx表示圆(x－1)2＋y2＝1的一部分与直线y＝x所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积，因此 (－x)dx＝－×1×1＝－.
点评 数形结合思想在这里得到了充分的体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力．
2．函数性质法
例2 求
lgdx的值．
解 记f(x)＝lg，易知定义域为(－1,1)，
因为f(－x)＝lg＝lg()－1＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，因此有lgdx＝0.
点评 从定积分的定义(或几何意义)可知：偶函数f(x)有 f(x)dx＝2 f(x)dx；奇函数f(x)有 f(x)dx＝0.
3．转化法
例3 计算定积分sin2dx的值．
解 sin2dx＝dx
＝dx－cos
xdx＝x－sin
x
＝－·0－sin＋sin
0＝－.
点评 较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分．
4．分段法
例4 求定积分－1x|x|dx的值．
解 因为f(x)＝x|x|＝
所以－1x|x|dx＝－1(－x2)dx＋x2dx
＝－＋＝－＋＝.
点评 这类积分不能直接求解，需要变换被积函数从而去掉绝对值．
5．换元法
例5 求抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积．
解 方法一 选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和．
解，
得
所以交点为A(2，－2)，B(8,4)．
选取x为积分变量，
则0≤x≤8.
因此S＝2dx＋(－x＋4)dx
＝＋＝18.
方法二 选取纵坐标y为积分变量，则－2≤y≤4，所求图中阴影部分的面积为S＝－2dy＝＝18.
点评 从上述两种解法中可以看出，对y积分比对x积分计算简捷．因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要．但同时也要注意对y积分时，积分函数应是x＝φ(y)，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x＝，x＝y＋4的形式，然后求面积．
9 利用定积分求面积
1．巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便．
例1 求直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围成的图形的面积．
分析 解此类题的一般步骤是：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上、下限；④计算．
解 画出图象如图所示，
解方程组
得A(－1,1)，B(3,9)．
故所求图形的面积为
－1(2x＋3－x2)dx
＝＝.
点评 本题若选纵坐标y为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变．
2．妙用对称
在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段．
例2 求由两条曲线y＝x2,4y＝x2和直线y＝1所围成的图形的面积．
分析 先画图象，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解．
解 如图，因为y＝x2,4y＝x2是偶函数，根据对称性，只需算出y轴右边的图形的面积再乘以2即可．
解方程组和
得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．
所以S＝2
＝2＝.
点评 巧用对称性能简化解题．
3．恰到好处的分割
例3 求两曲线y＝sin
x与y＝sin
2x在[0，π]上围成的图形的面积．
分析 先画图象，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积．
解 如图，令sin
x＝sin
2x，得交点的横坐标为x＝0，x＝，x＝π.
由图形分割，得
S＝∫0(sin
2x－sin
x)dx＋
(sin
x－sin
2x)dx＝.
点评 类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法．
4．进行适当转换
例4 求正弦曲线y＝sin
x，x∈[0，]和直线x＝及x轴围成的平面图形的面积．
解
由图可知，当x∈[0，π]时，曲线y＝sin
x位于x轴的上方，当x∈[π，]时，曲线y＝sin
x位于x轴的下方．
因此所求面积应为两部分面积的和，即
S＝∫0|sin
x|dx＝sin
xdx－∫πsin
xdx
＝－cos
x＋π＝2＋1＝3.
点评 对于y＝f(x)和x＝a，x＝b(a(1)若f(x)>0，则f(x)dx>0，S＝f(x)dx；
(2)若f(x)<0，则＝
－f(x)dx；
(3)若a0，则f(x)dx<0，f(x)dx>0，所以S＝－f(x)dx＋∫f(x)dx.