1．如图，a，b是两个空间向量，则与是__________向量，与是__________向量．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简向量表达式＋＋＋的结果为__________．
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝__________，y＝__________.
4．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ，m，n使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为__________．
5．在空间四边形ABCD中，连结AC，BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为__________．
6．在三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，若＝λ(＋＋)，则λ＝__________.
7．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
8．如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量；
(3)试写出与相等的所有向量；
(4)试写出的相反向量．
9．如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，
H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.求证四边形EFGH是梯形．
参考答案
1.
答案：相等 相反
2.
答案：0 解析：原式＝＋＋＋＝0.
3.
答案：1 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，对比系数可得x＝1，.
4.
答案：0 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在惟一实数k使＝k，即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0.
又λ＋m＋n＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.
5.
答案：0 解析：取BC的中点F，则＝，
∴＋－－＝＋＋－＝＋＝0.
6.
答案： 解析：依题意知(＋)＋(＋)＋(＋)
＝3＋(＋＋)，
由于G为△ABC的重心，
所以＋＋＝0，从而3＝＋＋，
所以＝(＋＋).
7.
答案：②③④ 解析：①错，由∥可知，A，B，C，
D四点共线或AB∥CD；②③④都是正确的.
8.
答案：解：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量有8个.
(2)由于这个长方体的左右两侧的矩形BCC1B1和ADD1A1的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，，共8个.
(3)与向量相等的向量有，及，共3个.
(4)向量的相反向量为，，，，共4个.
9.
答案：证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－
＝(－)＝
＝(－)＝＝＝，∴∥，且||＝||≠||.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
PAGE1．椭圆3x2＋4y2＝12的两个焦点之间的距离为__________．
2．设α∈，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α的取值范围是__________．
3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k＝__________.
4．已知椭圆C的焦点坐标为F1(－2,0)，F2(2,0)，且椭圆C上有一点P，满足PF1＋PF2＝8，则椭圆的标准方程为__________．
5．椭圆＋y2＝1的左右两个焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2＝______.
6．直线2x＋my＋3＝0过椭圆x2＋＝1的一个焦点，则m的值为__________．
7．焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程为__________．
8．椭圆上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则ON＝______.
9．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝PD.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
10．已知椭圆的方程为标准方程，点P在此椭圆上，点P到两个焦点的距离分别为10和6，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
参考答案
1.
答案：2 解析：将方程化为标准方程为，
∴a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝1，∴焦距2c＝2.
2.
答案： 解析：由于椭圆的焦点在x轴上，
∴sin
α＞cos
α＞0.
又∵α∈，故α∈.
3.
答案：1 解析：方程化为标准方程为x2＋＝1，
则由焦点为(0,2)，
∴，b2＝1，
∴c2＝a2－b2＝－1＝4，
∴k＝1.
4.
答案： 解析：由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a＝8，
∴2a＝8，a＝4.
又∵焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴椭圆的焦点在x轴上，且c＝2.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
∴椭圆的方程为.
5.
答案： 解析：由已知可得，F1，F2的坐标分别为(，0)，(，0)，
即P点的横坐标为xP＝，代入椭圆方程得yP＝或yP＝，
∴PF1＝.
∵PF1＋PF2＝4，
∴PF2＝4－PF1＝4－＝.
6.
答案：±1 解析：由椭圆x2＋＝1，可得焦点坐标为(0,3)，(0，－3).代入直线2x＋my＋3＝0得m＝±1.
7.
答案：＋x2＝1 解析：∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为(a＞b＞0).
∵椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
8.
答案：2 解析：设右焦点为F2，连结F2M，
则O为F1F2的中点，
∴ON＝MF2.
又∵MF1＋MF2＝2a＝10，
MF1＝6，
∴MF2＝4，∴ON＝2.
9.
答案：解：设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，
由已知易得
∵P在圆上，
∴x2＋＝25，即轨迹C的方程为.
10.
答案：解：设焦点为F1，F2，且PF1＝10，PF2＝6，
由椭圆定义知2a＝PF1＋PF2＝10＋6＝16，
∴a＝8.
∵PF1＞PF2，由题意知△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1＝90°，
∴F1F22＝PF12－PF22＝64，
∴4c2＝64，c2＝16.
∴b2＝a2－c2＝64－16＝48.
又∵焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
∴椭圆的方程为或.
PAGE1．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足MA－MB＝2，则点M的轨迹方程为__________．
2．若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程为__________．
3．平面内有定点A(1,1)，B(3,3)，则|＋|＝8时，点P的轨迹方程是__________．
4．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足PA＝3PO，则P的轨迹方程是__________．
5．已知点A(0，－1)，当点B在曲线x2－y2＝1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是__________．
6．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且PA＝1，则动点P的轨迹方程是__________．
7．已知抛物线的准线为x＝－1，且经过点(2,0)，则抛物线焦点的轨迹方程为__________．
8．已知点F，直线l：，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是__________．
9．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
10．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
参考答案
1.
答案：y＝0(x≤－1) 解析：由已知得MA－MB＝AB＝2，∴点M的轨迹是射线，且方程为y＝0(x≤－1).
2.
答案：x＋2y＝4 解析：由已知可得＝(x，y)，＝(1,2)，∴·＝x＋2y＝4，∴P的轨迹方程为x＋2y＝4.
3.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝16 解析：设A，B中点为M，则＋＝2，∴||＝4，又∵A(1,1)，B(3,3)，
∴A，B中点M的坐标为(2,2).∴点P的轨迹是以M(2,2)为圆心，半径为4的圆，方程为(x－2)2＋(y－2)2＝16.
4.
答案：8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 解析：设P的坐标为(x，y)，则
，
化简得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.
5.
答案：4x2－
(2y－1)
2＝1 解析：设点M(x，y)，B(x0，y0)，则
∴∵x02－y02＝1，
∴点M的轨迹方程为4x2－(2y－1)2＝1.
6.
答案：(x－1)2＋y2＝2 解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，则PB2＝PA2＋r2.
∴PB2＝2.
∴P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.
7.
答案：(x－2)2＋y2＝9 解析：设焦点的坐标为(x，y)，则，
∴焦点的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝9.
8.
答案：y2＝x 解析：由已知可得MF＝MB.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴点M的轨迹方程为y2＝x.
9.
答案：解：设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为
(x1，y1)，由重心坐标公式得
∴
代入y1＝3x12－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程.
10.
答案：解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y).
∴||＝4，||＝，
·＝4(x－2).
根据已知条件得＝4(2－x)，
整理得y2＝－8x.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
PAGE1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1与l2的关系是__________．
2．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝__________，y＝__________.
3．若空间中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的关系是______．
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量可作为平面ABC的法向量的是__________．
(1)(1,1，－1)；(2)(1，－1,1)；
(3)(－1,1,1)；(4)(－1，－1，－1)．
5．已知直线l的方向向量u＝(2，－1,3)，且l经过点A(0，y,3)和B(－1,2，z)，则y，z的值分别为__________，__________.
6．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD平面ABC，则实数x的值是__________．
7．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)且⊥平面ABC，等于__________．
8．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a和b的公垂线的一个方向向量是__________．
9．(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件分别判断l1与l2的位置关系：
①a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；②a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
(2)若u＝a，v＝b，u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据上述条件分别判断α，β的位置关系．
(3)若u＝a是平面α的法向量，b是直线l的方向向量，根据上述条件分别判断α和l的位置关系．
10．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，分别求平面SCD与平面SAB的一个法向量．
参考答案
1.答案：垂直 解析：∵a·b＝0，∴l1⊥l2.
2.答案：6 解析：∵l1∥l2，∴a∥b，∴，∴x＝6，y＝.
3.答案：平行 解析：＝(－2，－2,2)，＝(1,1，－1).
故＝－2.
所以∥.
又AB与CD不重合，所以AB与CD平行.
4.答案：(4) 解析：＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1).
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故一个法向量是(－1，－1，－1).
5.答案： 解析：＝(－1,2－y，z－3)，由于l经过A，B两点，
所以u∥，故，
解得，.
6.答案：0 解析：易求得平面ABC的法向量u＝(0,0,1)，
而＝(1,1，x)，
∴当AD平面ABC时，·u＝0.
∴1×0＋1×0＋x＝0.∴x＝0.
7.答案： 解析：由条件知即
解得，，z＝4.
8.答案：(1,4，－5) 解析：设a＝(1,1,1)，b＝(2，－3，－2)，
两直线公垂线的一个方向向量n＝(x，y，z)，
由题意有
即∴
令x＝1得n＝(1,4，－5).
9.答案：解：(1)①∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
②∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3).
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面.
(2)u＝a，v＝b.
①∵a⊥b，∴u⊥v，∴α⊥β.
②∵a与b不共线，也不垂直，
∴u与v不共线，也不垂直.
∴α与β相交，但不垂直.
(3)由u＝a得：
①∵a⊥b，∴u⊥b，∴lα或l∥α；
②∵a与b不共线，也不垂直，
∴u与b不共线，也不垂直，∴l与平面α斜交.
10.答案：解：∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，
∴以A为原点，以，，为正交基底建立空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，＝是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的一个法向量n＝(1，λ，u)，则n·＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0，
∴.
n·＝(1，λ，u)·＝＋u＝0，∴u＝，∴n＝.
PAGE1．已知向量a＝(0,0,1)，则a2等于__________．
2．已知a·b＝|a||b|，则〈a，b〉＝__________.
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为__________．
4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________．
5．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝__________.
6．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状为______．
7．已知a，b是空间两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是__________．
8．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体．
①(＋＋)2＝3；
②·(－)＝0；
③向量与向量的夹角为60°；
④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的命题是__________．
9．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值．
10．已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
参考答案
1.答案：1 解析：a2＝|a|2＝12＝1.
2.答案：135° 解析：cos〈a，b〉＝，
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝135°.
3.答案：a2 解析：·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.
4.答案： 解析：建系如图，则C1(0,1,2)，D(1,0,1)，A1(0,0,2)，C(0,1,0).
∴＝(1，－1，－1)，＝(0,1，－2).
∴cos〈，〉＝.
5.答案：5 解析：由于＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋32＋2＝25，
故||＝5.
6.答案：锐角三角形 解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋＝＞0，
同理，可证·＞0，·＞0.
所以△BCD的每个内角均为锐角，故△BCD是锐角三角形.
7.答案： 解析：将原式展开得a·b－a·c－c·b＋|c|2＝0，
∵a·b＝0，∴|c|2＝c(a＋b)，
∴|c|4＝|c|2(|a|2＋|b|2＋2a·b).
由|a|2＝|b|2＝1，
可得|c|＝0或|c|＝，故|c|max＝.
8.答案：①② 解析：设正方体的棱长为1.
①中，(＋＋)2＝||2＝3,3||2＝3，故①正确.②中，－＝，而AB1⊥A1C，故②正确.③中，A1B与AD1两异面直线所成的角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确.④中，|··|＝0，故④不正确.
9.答案：解：(1)因为a∥b，所以，
解得x＝2，y＝－4，
这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，
又因为b⊥c，所以b·c＝0，
即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2).
(2)由(1)得，
(a＋c)＝(5,2,3)，(b＋c)＝(1，－6,1)，
因此(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值.
10.答案：证明：如图，连结ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，
＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2cos
θ－|a|2cos
θ＋|a|2cos
θ－|a|2＋|a|2－|a|2cos
θ)＝0.
∴OG⊥BC.
PAGE1．抛物线y2＝－8x的焦点到准线的距离为__________．
2．以双曲线的右顶点为焦点的抛物线方程为__________．
3．在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为__________．
4．抛物线y＝ax2的准线方程为，则a＝__________.
5．已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p的值为__________．
6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是__________．
7．设P是抛物线x2＝2y上的一点，若点P到此抛物线的准线的距离为8.5，则P点的坐标是______．
8．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是__________．
9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，求点A的坐标．
10．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直，又抛物线与双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．
参考答案
1.
答案：4 解析：由已知可得p＝4，∴焦点到准线的距离为4.
2.
答案：y2＝4x 解析：∵双曲线的右顶点为(1,0)，即抛物线的焦点坐标为(1,0)，
∴抛物线方程为y2＝4x.
3.
答案：2 解析：显然p＞0，∴4＋＝5，∴p＝2.
4.
答案： 解析：把方程y＝ax2化为标准方程得x2＝y，得准线方程为，∴，.
5.
答案：4 解析：∵抛物线的焦点坐标为F，
∴＋9＝25，∴p＝4.
6.
答案：2 解析：如图所示，动点P到l2：x=－1的距离可转化为PF的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离.
7.
答案：(±4,8) 解析：设点P的坐标为(x0，y0)，∵抛物线x2＝2y的准线为，∴y0＋＝8.5，∴y0＝8，代入x2＝2y得x02＝16，∴x0＝±4.∴P点的坐标为(±4,8).
8.
答案：＋(y±1)2＝1 解析：由题设可知，圆与x轴的切点为抛物线的焦点，
∴圆心为，半径为1.
∴圆的方程为＋(y±1)2＝1.
9.
答案：解：设A(x0，y0)，F(1,0)，＝(x0，y0)，
＝(1－x0，－y0)，·＝x0(1－x0)－y02＝－4.∵y02＝4x0，
∴x0－x02－4x0＋4＝0x02＋3x0－4＝0.
∴x0＝1或－4.又x0＞0，
∴x0＝1，y0＝±2，即A点坐标为(1，±2).
10.
答案：解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，根据点在抛物线上可得.
解之，得p＝2.
故所求抛物线方程为y2＝4x，抛物线的准线方程为x＝－1.又双曲线的左焦点在抛物线的准线上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1.
故双曲线方程为.
又点在双曲线上，∴，
解得a2＝.同时b2＝，
因此所求双曲线的方程为.
PAGE1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是__________．
2．若m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线为__________．
3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于__________．
4．已知双曲线C：的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为__________．
5．已知双曲线(a＞0，
b＞0)和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__________．
6．若双曲线的两个焦点为F1，F2，P为此双曲线上一点，满足PF1∶F1F2∶PF2＝4∶3∶2，则此双曲线的离心率为__________．
7．已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．
8．已知双曲线(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为__________．
9．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求·的取值范围．
10．设双曲线的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，求△AFB的面积．
参考答案
1.
答案：4 解析：将已知方程化为标准方程为，∴a2＝4,2a＝4.∴实轴长为4.
2.
答案： 解析：由已知得c＝5，∴m＋9＝25，即得m＝16.
∴双曲线方程为.
∴渐近线为.
3.
答案： 解析：双曲线mx2＋y2＝1化为标准方程为y2－＝1且m＜0，则a2＝1，.由已知b2＝4a2，∴.∴.
4.
答案： 解析：由2c＝10，得c＝5，
∵点P(2,1)在直线上，
∴.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.
故C的方程为.
5.
答案： 解析：由题意知a2＋b2＝16－9，即a2＋b2＝7.①
又，即，②
由①②得a2＝4，b2＝3.
∴双曲线方程为.
6.
答案： 解析：由已知可设PF1＝4k，F1F2＝3k，PF2＝2k，则2a＝PF1－PF2＝2k,2c＝F1F2＝3k.
所以离心离.
7.
答案：(－4,0)，(4,0) 解析：∵椭圆的焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，即得双曲线的半焦距c＝4.
又∵离心率e＝2，即，∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝12.∴渐近线方程为y＝±x＝±x.
8.
答案： 解析：由题意得，(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为，即bx±ay＝0，
又圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0).
∴a2＋b2＝32＝9，且，
解得a2＝5，b2＝4.
∴该双曲线的方程为.
9.
答案：解：由a2＋1＝4，得，
则双曲线方程为－y2＝1.
设点P(x0，y0)，则－y02＝1，即y02＝－1.
·＝x0(x0＋2)＋y02＝x02＋2x0＋－1＝，
∵，
故·的取值范围是[，＋∞).
10.
答案：解：双曲线的右顶点为A(3,0)，右焦点为F(5,0)，渐近线方程为.不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程得16x2－＝144，化简得160x＝544，即，代入直线FB的方程得.
故S△AFB＝AF·|y|＝.
PAGE1．椭圆的一个顶点坐标为(，0)，则椭圆的焦点坐标为__________．
2．已知椭圆()上一点M到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为__________．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为的椭圆方程是__________．
4．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是__________．
5．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．
6．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且正方形边长为，则椭圆的方程为__________．
7．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，原点与线段MN中点的连线的斜率为，则的值是__________．
8．点P是椭圆上一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于4，则P点的纵坐标为______．
9．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
参考答案
1.
答案：(－3,0)和(3,0) 解析：由已知a2＝()2＝12，∴c2＝a2－b2＝9.
又由a2＝12＞3，∴椭圆焦点在x轴上.
∴焦点坐标为(－3,0)和(3,0).
2.
答案： 解析：∵，∴m2＞m2－7＞0，c2＝m2－(m2－7)＝7.
∴.
又∵点M到两焦点的距离为5和3，
∴由椭圆定义得2a＝5＋3＝8.∴a＝4.
∴离心率.
3.
答案： 解析：方程9x2＋4y2＝36可化为，则此椭圆的焦点为(0，)和(0，).
设所求椭圆为(a＞b＞0)，∴c2＝5.
又∵，∴b2＝20.
∴a2＝25.∴所求椭圆方程为.
4.
答案：2 解析：由向量加法的几何意义得|＋|＝2||，
∴当|＋|取最小值时，即椭圆上一点P到椭圆中心的距离||最小，而||min＝b.
又∵x2＋2y2＝2可化为＋y2＝1，∴b＝1.
∴|＋|＝2||＝2b＝2.
5.
答案： 解析：如图，
Rt△F1F2P中，
令PF2=1，
则F1F2=1，.
由椭圆定义知，
PF1+PF2=+1=2a，
.
6.
答案：＋y2＝1 解析：由已知可设椭圆方程为(a＞b＞0).
根据题意，得解得
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
7.
答案： 解析：由y＝1－x代入mx2＋ny2＝1消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
∴线段MN的中点坐标为，依题意，有.
8.
答案：±1 解析：F1F2＝＝8.设P(x0，y0)，
则S＝F1F2·|y0|＝4，
∴|y0|＝1，∴y0＝±1.
9.
答案：解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为(a＞2)，
其离心率为，故，则a＝4，
故椭圆C2的方程为.
(2)方法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，
O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以.
将y＝kx代入中，得(4＋k2)x2＝16，
所以.
又由＝2，得，即，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
方法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以.
由＝2，得，，
将，代入中，得，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
PAGE1．已知正方体OABC－O′A′B′C′的棱长为1，若以，，为基底，则向量的坐标是__________．
2．已知A(1,2，－1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则＝__________.
3．下列向量中与m＝(0,2，－4)共线的向量是__________．
(1)(2,0，－4)；(2)(3,6，－12)；
(3)；(4)(0，－2,4)．
4．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为__________．
又C(0,1,0)，所以＝，故M到C的距离为CM＝||＝.
5．已知＝(2,4,1)，＝(3,7,5)，＝(k,10，k＋5)，若A，B，C三点共线，则k的值为__________．
6．若四边形ABCD为平行四边形，且点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为__________．
7．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,3，－1)，则p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为__________．
8．如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，原点O是BC的中点，点A的坐标是，D点在平面yOz上，BC＝2，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标；
(2)求向量的坐标．
9．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.设E是DC的中点，求证：
D1E∥平面A1BD.
参考答案
1.答案：(1,1,1) 解析：由于＝＋＋，所以＝(1,1,1).
2.答案：(0，－4，－2) 解析：B(1,2,1)，C(1，－2，－1)，＝(1，－2，－1)－(1,2,1)＝(0，－4，－2).
3.答案：(3)(4) 解析：∵＝(0,2，－4)，(0，－2,4)＝－(0,2,4)，∴填(3)(
4).
4.答案： 解析：AB中点M，
5.答案：4 解析：＝－＝(1,3,4)，
＝－＝(k－2,6，k＋4)，
∵A，B，C共线，且≠0，∴＝λ.
∴k－2＝λ，6＝3λ，k＋4＝4λ，
∴λ＝2，k＝4.
6.答案：(5,13，－3) 解析：设D(x，y，z).由＝，
得(2－4，－5－1,1－3)＝(3－x,7－y，－5－z).
∴x＝5，y＝13，z＝－3.
7.答案：(－1,4，－1) 解析：由已知可知p＝2a＋3b－c，
设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc.
由向量分解的惟一性，
有解得
∴p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1,4，－1).
8.答案：解：(1)如图，在平面yOz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H，在△DBC中，
由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，
可知BD＝BC＝1，
DH＝BDsin∠DBH＝.
∴BH＝BD＝，OH＝.
∴D点坐标为，
则＝.
(2)由＝，＝，
∴＝－＝.
9.答案：证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设DA＝a，由题意知D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0,2a,0)，C1(0,2a,2a)，A1(a,0,2a)，D1(0,0,2a)，E(0，a,0)．
∴＝(0，a，－2a)，＝(0，a，－2a)，
∴＝，∴D1E∥A1B.
∵A1B平面A1BD，D1E平面A1BD，
∴D1E∥平面A1BD.
PAGE1．若抛物线的通径长为8，则抛物线的焦点到准线的距离为__________．
2．已知，过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦AB，抛物线的准线交x轴于点M，则∠AMB＝__________.
3．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则__________.
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则FP1，FP2，FP3之间的等量关系是__________．
5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若，则焦点到AB的距离为__________．
6．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60
cm，灯深40
cm，则光源到反射镜顶点的距离是__________．
7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p＝________.
8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若AF＝3，则△AOB的面积为__________．
9．过点(0,4)，斜率为－1的直线与抛物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，如果OA⊥OB(O为原点)，求p的值及抛物线的焦点坐标．
10．如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：
x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
参考答案
1.
答案：4 解析：∵通径长为8，∴2p＝8.∴焦点到准线的距离为p＝4.
2.
答案：
90° 解析：不妨设如图情况.
由题意可得
AF=FM，BF=FM.
∴∠AMF=∠BMF=45°，即∠AMB=90°.
3.
答案：4a 解析：抛物线方程为x2＝y.取直线平行于x轴，则p＝q＝.
∴.
4.
答案：FP1＋FP3＝2FP2 解析：由抛物线的定义得FP1＝x1＋，
同理FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，两式左右两边分别相加，得FP1＋FP3＝x1＋x3＋2·＝2x2＋2·＝＝2FP2.
5.
答案：2 解析：不妨设A(x,)，则.
∴x＝3.
∴直线AB的方程为x＝3.
∵抛物线的焦点为(1,0)，
∴焦点到AB的距离为2.
6.
答案： 解析：如图建立直角坐标系，则点A坐标为(40,30).设抛物线方程为y2=2px，将A(40,30)代入得，所以.
7.
答案：2 解析：过点B作BE垂直准线l于E.
∵＝，∴M为AB的中点，∴BM＝AB.
又∵直线l的斜率为，∴∠BAE＝30°.
∴BE＝AB，∴BM＝BE，
∴点M为抛物线的焦点，∴p＝2.
8.
答案： 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2，)，则直线AB的斜率.∴直线AB的方程为y＝(x－1)，即为，则点O到该直线的距离为.由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，.∴BF＝x2＋1＝，∴AB＝3＋＝.
∴.
9.
答案：解：直线方程为y＝－x＋4.
由消去y得x2－2(p＋4)x＋16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，Δ＝4(p＋4)2－64＞0.
所以y1y2＝(－x1＋4)(－x2＋4)＝－8p.
由已知OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，从而16－8p＝0，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x，焦点坐标为F(1,0).
10.
答案：解：(1)由得x2－4x－4b＝0.(
)
因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(
)即为
x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.
故点A
(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，
即r＝|1－(－1)|＝2.
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
PAGE1．已知平面α，β的法向量分别是u1＝(2,3，－1)，u2＝(1，－1，－1)，则平面α，β的位置关系是__________．
2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是__________．
3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝__________.
4．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是____．
5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是________．
6．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是__________．
(1)a⊥c，b⊥c；(2)a∥b，a⊥c；(3)a∥c，a⊥b.
7．如图，PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为__________．
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：
①AP⊥AB；
②AP⊥AD；
③是平面ABCD的法向量；
④∥.
其中正确的是__________．
参考答案
1.答案：垂直 解析：∵u1＝(2,3，－1)，u2＝(1，－1，－1)，u1·u2＝0，
∴u1⊥u2，∴平面α，β相互垂直.
2.答案：AB∥α或ABα 解析：＝(－1,0,1).
于是n·＝－1＋0＋1＝0，
所以⊥n，因此AB∥α或ABα.
3.答案：3 解析：由已知平面α的法向量为u＝(1,3，z).
而又∵v与面α平行，
∴u·v＝1×3＋3×(－2)＋z×1＝0.
解得z＝3.
4.答案：1或－3 解析：依题意，得
解得或∴x＋y＝1或－3.
5.答案：垂直 解析：以D为坐标原点，
DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为2，则＝(－2,2,2)，＝(1，－1,2).
∵·＝0，∴⊥，即AC1与CE垂直.
6.答案：(3) 解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，
∴a∥c.
又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
7.答案：1∶1 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a).
设点F坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
∵BF⊥PE，
∴·＝0.解得，即F坐标为.
∴F为AD中点.∴AF∶FD＝1∶1.
8.答案：①②③ 解析：∵·＝0，·＝0，
∴①②正确.
由①②⊥面ABCD，∴③正确.
由③⊥，∴④错误.
PAGE1．下列语句是命题的是__________(填序号)．
①方程x2－x＋1＝0有实根吗？②3＞2；③∈R；④a2＞b2；⑤把函数y＝2x的图象向左平移一个单位．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是__________．
3．下列命题是假命题的是__________．(填序号)
①直线y＝－x＋1的倾斜角是45°；
②函数y＝x2＋1为偶函数；
③若a＝1，则ax2－2x－3＝0有两个不等的实根．
4．命题“若等比数列{an}的公比q＞1，则数列{an}为递增数列”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是__________．
5．命题“若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a，b都是1”的逆否命题是__________．
6．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
7．下列四个命题，其中真命题是__________(填序号)．
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则AB”的逆否命题．
8．命题“函数y＝ax2－2x＋1在[1，＋∞)上为减函数”为真命题时a的取值范围是__________．
9．写出命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们是真命题，还是假命题．
10．证明：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．
参考答案
1.答案：②③ 解析：①是疑问句不是命题.②③判断为真，是命题.④不能判断真假，不是命题.⑤是祈使句，不是命题.
2.答案：若|a|＝|b|，则a＝－b
3.答案：① 解析：对①，直线y＝－x＋1的斜率是－1，
∴倾斜角为135°.∴①为假命题.
②③易知是真命题.
4.答案：4 解析：若a1＝－1，q＝2时，数列{an}为递减数列，
∴原命题是假命题，逆否命题是假命题.
数列{an}为递增数列时，有可能是a1＜0,0＜q＜1，
∴逆命题、否命题是假命题.
5.答案：若a，b不都是1，则(a－1)2＋(b－1)2≠0
6.1≤m≤2 解析：由已知，逆命题“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋1”为真命题.
∴∴1≤m≤2.
7.答案：①③ 解析：①易知是真命题，②是假命题.
③∵方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根，
∴Δ＝4b2－4b2－4b≥0，即b≤0.
∴当b≤－1时，满足b≤0.
∴原命题为真命题.
∴逆否命题为真命题.
④∵A∪B＝B，∴AB.
∴原命题为假命题.
∴逆否命题是假命题.
8.答案：a≤0 解析：当a＝0时，y＝－2x＋1满足在[1，＋∞)上为减函数，
当a≠0时，由已知可得可得a＜0.
∴当命题为真时，a的取值范围是a≤0.
9.答案：解：逆命题：若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，真命题.
否命题：若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数，则loga2≥0，是真命题.
逆否命题：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数，是真命题.
10.答案：证明：若a，b，c都是奇数，
设a＝2m－1，b＝2n－1，c＝2p－1(m，n，p∈Z)，
则a2＋b2＝(2m－1)2＋(2n－1)2
＝2(2m2＋2n2－2m－2n＋1)，为偶数.
而c2＝(2p－1)2
＝4p2－4p＋1＝4(p2－p)＋1，为奇数，
∴a2＋b2≠c2.
∴原命题的逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2”为真命题.
∴原命题为真命题.
即“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”成立．1．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为__________．
2．从空间一点P向二面角α－l－β的两个半平面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角α－l－β的大小为60°，则〈，〉的大小为__________．
3．已知A∈α，Pα，＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为__________．
4．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到△ABC的重心G的距离为__________．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD中点，则〈，〉＝__________.
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为__________．
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到平面EFD1B1的距离为________．
8．如下图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是__________．
参考答案
1.答案： 解析：设l与α所成的角为θ，则所求正弦值为sin
θ＝|cos?n，a?|＝.
2.答案：120° 解析：令PE，PF确定的平面交l于M，则∠EMF＝60°.
∵∠EMF＋∠EPF＝180°，
∴∠EPF＝120°，即〈，〉＝120°.
3.答案：60° 解析：设直线PA与平面α所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
∴θ＝60°.
4.答案： 解析：建立如图的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，
则G，
∴||＝
＝.
5.答案：150° 解析：建系如图，设正方体棱长为2，
则C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，
∴＝(2,0,2)，＝(－2，－
1，－1).
∴cos〈，〉＝.
∴〈，〉＝150°.
6.答案： 解析：建系如图，则＝(0,0,1).
∵平面ACD1的一个法向量与DB1共线，
∴可取n＝(1,1,1).
∴.
∴cos
θ＝.
7.答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D1(0,0,0)，F，E，B1(1,1,0)，D(0,0,1)，∴＝，
＝(1,1,0)，
则可求得面EFD1B1的法向量为n＝.
又＝(0,0,1)，∴.
8.答案：45° 解析：以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，
则＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1).
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则有可取n＝(1,0,1).
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos〈n，〉＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
PAGE1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”的构成形式是__________．
2．已知命题p：“圆内接四边形对角互补”，则p是__________．
3．已知命题p：5＞3，q：4是奇数，则“p∨q”“p∧q”“p”中是真命题的为__________．
4．已知命题p：直线y＝x＋1的图象不过第四象限，命题q：直线y＝x＋1与直线y＝－x垂直，则命题“p或q”是__________．
5．若命题“p∨(q)”是假命题，则“(p)∨q”是__________(真或假)命题．
6．已知p：x≤－1或x≥3，q：x∈Z，p∧q与q都是假命题，则x值组成的集合为__________．
7．已知命题p：{1}∈{1,2,3}；q：{3}{1,2,3}，则在命题：①p∧q；②p∨q；③p；④q中，真命题的个数是__________．
8．已知命题p：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，命题q：y＝2x－2－x在R上为奇函数．则在命题①p∨q；②p∧q；③(p)∧q；④(p)∨(q)中真命题是__________(填序号)．
9．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“p”形式的命题的真假．
(1)p：正多边形有一个内切圆；q：正多边形有一个外接圆．
(2)p：角平分线上的点到角的两边的距离不相等；q：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．
(3)p：2∈{2,3,4}；q：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．
(4)p：正六边形的对角线都相等；q：凡是偶数都是4的倍数．
10．已知a≠0，命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
参考答案
1.答案：
p且q
2.答案：圆内接四边形对角不互补
3.答案：p∨q 解析：p是真命题，q是假命题，
∴“p∨q”为真命题，“p∧q”“p”是假命题.
4.答案：直线y＝x＋1的图象不过第四象限或与直线y＝－x垂直
5.答案：真 解析：∵p∨(q)是假命题，
∴p是假命题，q是假命题.
∴p是真命题，q是真命题.
∴(p)∨q是真命题.
6.答案：{0,1,2} 解析：由已知p假，q真，
∴∴x＝0,1,2.
∴x值组成的集合为{0,1,2}.
7.答案：2 解析：由已知p为假命题，q为真命题，
∴p∨q为真，p为真.
∴真命题的个数为2.
8.答案：①② 解析：由已知得p是真命题，q是真命题，
∴p∨q为真，p∧q为真.
9.答案：解：(1)因为p真q真，所以“p∧q”真，“p∨q”真，“p”假.
(2)因为p假q真，所以“p∧q”假，“p∨q”真，“p”真.
(3)因为p真q真，所以“p∧q”真，“p∨q”真，“p”假.
(4)因为p假q假，所以“p∧q”假，“p∨q”假，“p”真.
10.答案：解：由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，
∵a≠0，∴或.∵x∈，故||≤1或||≤1，∴|a|≥1.
“只有一个实数满足x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0.∴a＝0或2.
∵命题“p或q”是假命题，∴p，q都是假命题.∴|a|＜1且a≠0且a≠2.
故a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)
PAGE1．已知点M在平面ABC内，并且对于空间任意一点O，＝x＋＋，则x的值为__________．
2．下面关于空间向量的说法正确的是__________．
(1)若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行；
(2)若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面；
(3)若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面．
3．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C满足7＝2＋3＋2，则下列命题正确的是__________．
(1)四点O，A，B，C共面；(2)四点P，
A，B，C共面；
(3)四点O，P，B，C共面；(4)五点O，P，A，B，C共面．
4．若向量，，的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O为空间任一点)，则能使向量，，成为共面向量的是__________．
(1)＝＋＋；
(2)＝＋＋；
(3)≠＋；
(4)≠2－.
5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是__________．
(1)＝2－－；
(2)＝＋＋；
(3)＋＋＝0；
(4)＋＋＋＝0.
6．下列命题中错误的是__________．
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.
7．已知a，b，c是空间不共面的三个向量，若存在λ，μ，v∈R，使λa＋μb＋vc＝0，则以下四个式子中恒成立的是__________．
①λμv＝0；②λ＋μ＋v＝0；
③λμ＋μv＋vλ＝0；④λ2＋μ2＋v2＝0.
8．如图所示，在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ND，AR＝2RE，则平面MNR分对角线AG所得的线段AP与PG的比为__________．
9．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)AC∥EG；
(3)＝k.
10．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，AB＝2EF，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.
参考答案
1.
答案： 解析：由，得.
2.
答案：(3) 解析：可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故(2)不正确，注意向量平行与直线平行的区别，可知(1)不正确，可用反证法证明(3)是正确的.
3.
答案：(2) 解析：由7＝2＋3＋2，
知＝＋＋，
∵，
∴P，A，B，C共面，故(2)正确.
4.
答案：(1) 解析：由＝＋＋，，得向量，，为共面向量.
5.
答案：(3) 解析：当M，A，B，C共面时，＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1，或写成＝x＋y的形式，从而判断(3)正确.
6.
答案：①②③ 解析：①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；
②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面即可，故②错误；
③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在.
7.
答案：④ 解析：④恒成立，即λ＝μ＝v＝0.
若λ≠0，则，与a，b，c不共面矛盾，
∴λ＝0.同理，μ＝v＝0.
8.
答案： 解析：设＝m，
由＝＋＋＝2＋＋3，
得＝2m＋m＋3m.
由于P，M，R，N共面，所以2m＋m＋3m＝1，
从而有，则.
9.
答案：证明：(1)由＝＋m，＝＋m知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面.
(2)∵＝＋m
＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴AC∥EG.
(3)由(2)知
＝－＝k－k＝k(－)＝k.
∴＝k.
10.
答案：证明：因为H为BC的中点，
所以＝(＋)＝(＋＋＋＋)＝(2＋＋＋).
因为EF∥AB，CDAB，且AB＝2EF，
所以2＋＝0.
所以＝(＋)＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面.
由于FH不在平面EDB内，所以FH∥平面EDB.
PAGE1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且a＝＋＋，b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是__________．
(1)；(2)；(3)；(4)或.
2．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在线段OA上且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于__________．
3．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝__________.
4．在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，则用向量a，b，c表示和的结果是__________，__________.
5．在以下三个命题中，真命题是__________．
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
6．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线交点，则＝________.
7．已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝__________.
8．在空间平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连结对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量＋的结果是__________．
9．设{a，b，c}是空间的一个基底．
(1)若p＝a＋2b－c，q＝－4a－8b＋4c，求证：向量p与q共线；
(2)若m＝2a－b，n＝b＋c，s＝4a－5b－3c，求证：向量m，n，
s共面．
参考答案
1.
答案：(3) 解析：本题考查三个向量能否构成空间的一个基底，关键是要看它们是否共面.
由a＝＋＋，b＝＋－，
得2＝a－b，∴＝a－b.
∴与a，b共面.
∴与a，b不能构成空间基底.
2.
答案： 解析：如图，＝－
＝(＋)－
＝.
3.
答案：0 解析：＝(＋)＝(－＋－)＝－＋＋.
4.
答案：＝(a＋b＋c) ＝a 解析：设BC的中点为D.
∵＝＋，
而＝，＝－，＝(＋)，
∴＝(a＋b＋c).
＝－，＝＝(＋)，
∴＝a.
5.
答案：①② 解析：①正确.基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a，b，c共面，故只有①②正确.
6.
答案：a－b＋c 解析：＝＋＝－＋(＋)＝－＋＝a－b＋c.
7.
答案：3a＋3b－5c 解析：取BC的中点G，连结EG，FG，
则＝－＝－
＝＋＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)
＝3a＋3b－5c.
8.
答案：a＋b＋c 解析：如图，＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋＝b＋(a＋b)＋(a＋c)＝a＋b＋c.
9.
答案：证明：(1)q＝－4(a＋2b－c)＝－4p，由向量共线的充要条件知，向量p与q共线.
(2)假设s＝xm＋yn，
则4a－5b－3c＝x(2a－b)＋y(b＋c)＝2xa＋(y－x)b＋yc.
∴解得
故s＝2m－3n.
由向量共面的充要条件知向量m，n，s共面.
PAGE1．方程x2－y2＝0表示的曲线是__________．
2．如果方程ax2＋by2＝4的曲线过点A(0，－2)，B，则a＝________，b＝________.
3．“点M在曲线y＝x2(x≥0)上”是“点M的坐标满足方程y＝x2”的__________条件．
4．方程表示的曲线与x轴围成的图形面积为__________．
5．方程(3x－4y－12)＝0的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C(4,0)，D，E(2,7)中的__________个．
6．到直线x－y＝0的距离等于的点的轨迹方程为__________．
7．下列方程中能表示如图所示的直线的是__________．(填序号)
①；②|x|－y=0；③x－|y|=0；④2x－2y=0；⑤.
8．下列各组方程中能表示相同曲线的是__________．(填序号)
①与y＝x；②y＝|x|与③y＝log3x2与y＝2log3x；④与y3－x＝0.
9．已知0≤α＜2π，点P(cos
α，sin
α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，求α的值．
10．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0，过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．
参考答案
1.
答案：两条直线 解析：∵x2－y2＝0可化为(x＋y)(x－y)＝0，∴x＋y＝0或x－y＝0.
∴该方程所表示的曲线是两条直线.
2.
答案：4 1 解析：由已知得
3.
答案：充分不必要 解析：点M在曲线y＝x2(x≥0)上，则一定有点M的坐标满足方程y＝x2成立.当点M的坐标使得方程y＝x2成立时，不一定有x≥0，∴是充分不必要条件.
4.
答案：2π 解析：方程可化为x2＋y2＝4(y≥0)，∴方程表示的曲线为以(0,0)为圆心，以2为半径的上半圆.∴与x轴围成的图形面积为×π×22＝2π.
5.
答案：4 解析：将A，B，C，D，E五点代入，检验知曲线过点A，B，C，D四点.
6.
答案：x－y±2＝0 解析：由题意知所求轨迹为与x－y＝0平行的两条直线，设所求直线为x－y＋m＝0.
则，∴m＝±2.
∴所求轨迹为x－y±2＝0.
7.
答案：④ 解析：①可化为y＝x(x≥0)；②可化为y＝|x|(y≥0)；③可化为x＝|y|(x≥0)；④可化为x＝y；⑤可化为x＝y(x≠0).∴能表示如图所示直线的是④.
8.
答案：②④ 解析：①中x范围不一样，③中x范围不一样，②，④相同.
9.
答案：解：由已知得(cos
α－2)2＋sin2α＝3.
∴cos2α－4cos
α＋4＋sin2α＝3.
∴4cos
α＝2，cos
α＝.
又∵0≤α＜2π，
∴或.
10.
答案：解：由已知得a2＋a2＋2a＋k＝0，∴k＝－2a2－2a＝.∴.即k的取值范围是.
PAGE1．双曲线y2－2x2＝6的准线方程为__________．
2．若椭圆(a2＞10)的准线与圆x2＋y2＝25相切，则椭圆的焦点坐标为__________．
3．设椭圆(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是__________．
4．如果双曲线上一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离为__________．
5．点P与定点A(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则点P的轨迹方程为________．
6．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率，过F作直线l交椭圆于A，B两点，已知线段AB的中点到左准线的距离是6，则AB等于__________．
7．圆锥曲线C经过定点P(3,)，它的一个焦点为F(1,0)，对应的准线为x＝－1，则C的轨迹方程为__________．
8．如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于点D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是__________．
9．已知双曲线(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF⊥l；
(2)若PF＝3，且双曲线的离心率，求该双曲线方程．
参考答案
1.
答案：y＝±2 解析：将原方程化为标准方程为，焦点在y轴上，且a2＝6，b2＝3，∴c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3.∴准线方程为y＝＝±2.
2.
答案：(±3,0) 解析：由题意知椭圆的焦点在x轴上，而由准线与圆x2＋y2＝25相切，得准线方程为x＝±5，∴.
解得a2＝15或a2＝10(舍去).
∴c2＝a2－b2＝15－6＝9，解得c＝3.
∴焦点坐标为(±3,0).
3.
答案： 解析：由已知可得，∴，即.
4.
答案： 解析：∵a＝5，b＝12，∴c＝13.
∵2a＝10＞9，故P在双曲线左支上.设左、右焦点分别为F1，F2，∴PF2－PF1＝10.
∵PF1＝9，∴PF2＝19.
设P到右准线l：的距离为d，
则.∴.
5.
答案： 解析：设P(x，y)，则
.化简，得.
∴点P的轨迹方程为.
6.
答案：4 解析：如图，分别过点M，A，B作左准线的垂线，交左准线于点M1，A1，B1，则，
∴AA1+BB1=12.
∵，，∴AB=AF+BF=e(AA1+BB1)=×12=4.
7.
答案：y2＝4x 解析：设d为点P到准线x＝－1的距离，则，圆锥曲线C为抛物线且点F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线.∴C的轨迹方程为y2＝4x.
8.
答案：5 解析：由圆锥曲线的统一定义得①②正确，又点A(－a,0)，F(－c,0)，B，
∴.
故③正确.，故④正确.
，故⑤正确.
9.答案：(1)证明：右准线为l2：，由对称性不妨设渐近线l为，
则P，又F(c,0)，∴.
又∵，∴kPF·kl＝＝－1.∴PF⊥l.
(2)解：∵PF的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，∴，即b＝3.又，∴.∴a＝4.
故双曲线方程为.
PAGE1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的__________条件．
2．已知向量a＝(x,1)，b＝(－x,4)，其中x∈R，则“a⊥b”是“x＝2”的__________条件．
3．(2012山东高考，理3改编)设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的__________条件．
4．“α是锐角”是“”的__________条件．
5．对于函数y＝f(x)，x∈R，p：y＝|f(x)|的图象关于y轴对称是q：y＝f(x)是奇函数的__________条件．
6．函数f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是单调减函数的一个必要不充分条件是__________．
7．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的__________条件．
8．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的__________条件是c＝0.
9．已知p是q的充要条件，r是q的必要不充分条件，则非p是非r的__________条件．
10．下列命题中是真命题的是__________．(填序号)
①若“x＜3”是“x＜m”的充分不必要条件，则m≥3；
②函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋(k∈Z)；
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；
④已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．
11．求证：y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)的充要条件是a＋b＋c＝0.
12．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．
参考答案
1.答案：充分不必要 解析：当m＝2时，A＝{1,4}，满足A∩B＝{4}，但当A∩B＝{4}时，只需m2＝4，所以m＝±2.故m＝2是A∩B＝{4}的充分不必要条件.
2.答案：必要不充分 解析：当a⊥b时，－x2＋4＝0，即x＝±2，
∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件.
3.答案：充分不必要 解析：由函数f(x)＝ax在R上是减函数可得0＜a＜1，由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得a＜2，因为0＜a＜1a＜2，a＜20＜a＜1，所以题干中前者为后者的充分不必要条件.
4.答案：充分不必要 解析：由成立，可得cos
α≥0，
∴2kπ－≤α≤2kπ＋，k∈Z.
从而“α是锐角”是“”的充分不必要条件.
5.答案：必要不充分 解析：若y＝f(x)是奇函数，则y＝f(x)的图象关于原点对称，y＝|f(x)|的图象关于y轴对称.若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则y＝f(x)可以是偶函数，
∴p是q的必要不充分条件.
6.答案：a≥0(答案不惟一) 解析：f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上递减的充要条件是a≥2，记A＝{a|a≥2}，寻求的条件B满足AB即可.
7.答案：充分不必要 解析：φ＝0时，f(x)＝cos
x，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，∴cos
φ＝±1，∴φ＝kπ(k∈Z).∴是充分不必要条件.
8.答案：充要 解析：若函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点，则f(0)＝0，即c＝0.
若c＝0，则f(0)＝0，∴y＝f(x)的图象过原点.
∴c＝0是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件.
9.答案：必要不充分 解析：由已知p q，qr，rq，
∴pr，rp.
∴r是p的必要不充分条件.
∴非p是非r的必要不充分条件.
10.答案：②④ 解析：①记A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜m}.由已知AB，
∴m＞3.
∴①为假命题，②是真命题.
③易知x2＝1是x＝1的必要不充分条件，
∴x≠1是x2≠1的必要不充分条件.
∴③是假命题，④由不等式性质知是真命题.
11.答案：证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入y＝ax2＋bx＋c中得y＝ax2＋bx－a－b＝(x－1)(ax＋a＋b)，
∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0).
必要性：当y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)时，
将x＝1，y＝0代入得a×12＋b×1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.∴原命题成立.
12.答案：解：由得交点P.
若直线l：ax－y＋b＝0经过点P，
则a×－＋b＝0.∴
17a＋4b＝11.
设a，b满足17a＋4b＝11，则，
代入方程ax－y＋b＝0，得ax－y＋＝0，
整理，得.
∴直线l：ax－y＋b＝0恒过点，此点即为l1与l2的交点.
∴综上，直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件为17a＋4b＝11.
PAGE1．下列命题中含有存在量词的个数为__________．
①方程x2－2x＋1＝0的根为x＝1；
②存在函数f(x)，使f(x)的图象过第二、第三象限；
③全等的三角形都相似；
④有一个三棱锥的各个面为直角三角形．
2．下列命题是全称命题的是__________(填序号)．
①有一个实数a，使无意义；
②空间中任意两条不相交的直线平行；
③存在实数x0，y0，使x02＋y02－4x0＋6y0＝0成立；
④对所有实数α，都有sin(π－α)＝sin
α成立．
3．下列命题是存在性命题的个数为__________．
①某些梯形的对角线互相平分；
②对每一个无理数x，x2也是无理数；
③所有的整数都有平方根；
④存在一个四边形没有外接圆；
⑤存在整数x，y，使2x＋4y＝3成立．
4．给出以下存在性命题：
①x∈R,；
②存在两个相交平面垂直于同一条直线；
③有些整数只有两个正约数．
其中的真命题是__________．
5．给出以下全称命题：
①任意两个相似三角形的面积比都等于对应边长的比；
②x∈Q，(x－)2＞0；
③x∈N，y∈N，都有x－y∈N.
其中假命题的个数是__________．
6．下列命题中是全称命题且是假命题的是__________(填序号)．
①每一个向量都有大小；
②存在一个二次函数没有最大值或最小值；
③两个无理数的和必是无理数；
④x≤0，x3≤0；
⑤任意体积相等的两个长方体，表面积相等．
7．下列命题是存在性命题且是真命题的个数是__________．
①有一个负数x，使；
②x0∈R,2x＜；
③与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
④有一个奇数不能被3整除．
8．用符号“”和“”表示下列命题，并判断真假．
(1)对任意实数x，都有x3＞x2.
(2)存在正数φ，使函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数成立．
9．已知命题“任意x∈R，都有ax2－2ax－3≤0”是真命题，求实数a的取值范围．
辅导教案
1.答案：2 解析：①中不含量词，②④含有存在量词，③可写成所有全等三角形都相似，含有全称量词.
2.答案：②④ 解析：①③含有存在量词，是存在性命题，②④含有全称量词，是全称命题.
3.答案：3 解析：①④⑤含有存在量词，是存在性命题，②③是全称命题.
4.答案：①③ 解析：当x＝3时，＝26＝64＞4成立，∴①为真命题.②∵垂直于同一直线的两平面平行，∴不存在两个相交平面垂直于同一条直线；②为假命题，③如3,5,7的正约数就只有两个，∴③是真命题.
5.答案：2 解析：①∵相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，∴①为假命题；②为真命题；③当x＝1，y＝3时，x－y＝－2不是自然数，∴③为假命题.
6.答案：③⑤ 解析：①是全称命题，真命题；②是存在性命题；③是全称命题，当两个无理数互为相反数时，和是有理数零，故为假命题；④是全称命题，真命题；⑤是全称命题，假命题.
7.答案：2 解析：①是存在性命题，假命题；②是存在性命题，当时，，＝3＞2，∴是真命题；③是全称命题；④是存在性命题，如5是奇数，不能被3整除，是真命题
8.答案：解：(1)x∈R，x3＞x2，假命题.
(2)φ＞0，y＝cos(2x＋φ)是奇函数，真命题.
9.答案：解：∵任意x∈R，都有ax2－2ax－3≤0恒成立，
∴或
解得a＝0或－3≤a＜0，即－3≤a≤0，
故实数a的取值范围是－3≤a≤0.
PAGE1．命题“对任意正实数x，都有≤x”的否定是__________．
2．命题“x0∈RQ，x03∈Q”的否定是__________．
3．命题“存在递增的等差数列，使公差d≤0”的否定是__________．
4．已知命题p：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是__________．
5．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是__________(填序号)．
①x∈R，f(x)≤f(x0)
②x∈R，f(x)≥f(x0)
③x∈R，f(x)≤f(x0)
④x∈R，f(x)≥f(x0)
6．已知命题p：x∈，x2－4x＞m，若p是真命题，则m的取值范围为__________．
7．已知命题p：命题“x∈N,2n＞1
000”的否定是“x∈N,2n＜1
000”，命题q：命题“x∈R，x2－2x＋8＞0”的否定是“x∈R，x2－2x＋8≤0”，则命题(p)∨q为__________(真或假)命题．
8．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是___________________，
否命题是___________________________________________________________________．
9．下列说法正确的个数为__________．
①命题“存在正数x，＞x－1”是真命题；
②命题“对任意非零实数x，都有x＋≥2”是真命题；
③命题“存在一条直线与x轴垂直”的否定是“任何直线都不与x轴垂直”；
④命题“每一个函数f(x)，都有最大值”的否定是“存在一个函数f(x)无最大值”．
10．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)不论m取何值，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)x∈R，x＞sin
x；
(3)α0，β0，使cos(α0－β0)＝cos
α0－cos
β0.
11．已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
参考答案
1.答案：存在正实数x，使＞x
2.答案：x∈RQ，x3 Q
3.答案：对任何递增的等差数列，都有公差d＞0
4.答案：x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
5.答案：③ 解析：当a＞0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则为抛物线顶点的横坐标，
f(x)min＝f(x0)，故对于x∈R，f(x)≥f(x0)成立，
∴③为假命题，易知①②④为真命题.
6.答案：m≥0 解析：由p为x∈，x2－4x≤m是真命题.设y＝x2－4x，则y＝(x－2)2－4，当x∈时，ymax＝0，∴m≥0.
7.答案：真 解析：易知p为假命题，q为假命题，
∴(p)∨q是真命题.
8.答案：存在末位数字是0或5的整数，不能被5整除
末位数字不是0且不是5的整数，不能被5整除
9.答案：3 解析：①∵x＝0时＞x－1成立，∴命题是真命题，①正确.②当x＜0时，＋x≥2不成立，∴②错误；③④显然正确.∴正确的个数为3.
10.答案：解：(1)否定为：存在m的值，使x2＋x－m＝0无实根，真命题；
(2)否定为：x∈R，x≤sin
x，真命题；
(3)α，β，cos(α－β)≠cos
α－cos
β，假命题.
11.答案：解：由已知得命题“x∈R，x2＋ax＋1＜0”是真命题.
设y＝x2＋ax＋1，
则该函数的最小值小于0即可.
∴Δ＝a2－4＞0.∴a＜－2或a＞2.
∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
PAGE1．已知△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，且△ABC周长为12，则点A在______上．
2．已知定点A(3,
0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆与圆C相外切，并过点A，则动圆圆心P在______上．
3．已知动点M(x，y)满足方程，则点M的轨迹是__________．
4．平面上到一定点F和到一定直线l的距离相等的点的轨迹是________________．
5．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹为__________．
6．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，
命题乙：点P的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________________条件．
7．若动点P(x，y)满足，则点P的轨迹为__________．
8．已知点F1(－5,0)和点F2(5,0)，则动点P满足PF1－PF2＝2a，当a＝3时，点P的轨迹是__________．
9．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，判断动圆圆心M的轨迹形状．
10．若一个动点P到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，试讨论点P的轨迹．
参考答案
1.
答案：椭圆 解析：B，C为定点且BC＝4.由题设可得AB＋AC＝8＞BC，故可知点A在椭圆上.
2.
答案：双曲线 解析：由已知条件可知PC＝4＋PA，PA为动圆的半径长，
∴PC－PA＝4，即动点P到两定点A(3,
0)，C(－3,0)距离之差为常数4，而AC＝6＞4.
故动圆圆心P在以A，C为焦点的双曲线上
3.
答案：椭圆 解析：设F1(3,0)，F2(－3,0)，
由已知得MF1＋MF2＝10＞F1F2＝6，
∴点M的轨迹是以点(3,0)与点(－3,0)为焦点的椭圆.
4.
答案：抛物线或一条直线 解析：若F不在l上，则符合抛物线定义；若F在l上时，则为过F与l垂直的直线.
5.
答案：两条射线 解析：由已知|MF1－MF2|＝6＝F1F2，
∴M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线
6.
答案：必要不充分 解析：若点P的轨迹是椭圆，则一定有PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，所以甲是乙的必要条件.反过来，若PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，不能推出点P的轨迹是椭圆.这是因为仅当2a＞AB时，点P的轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，点P的轨迹是线段AB；当2a＜AB时，点P无轨迹.所以甲不是乙的充分条件.
7.
答案：抛物线 解析：记点F(3,0)，直线l：x－y－1＝0，则F不在直线l上.
由题意知点P到直线l的距离与到点F的距离相等.
所以点P的轨迹为抛物线.
8.
答案：双曲线的一支 解析：∵由已知F1F2＝10，
∴PF1－PF2＝2a＝6＜F1F2，
∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的一支.
9.
答案：解：动圆M的半径为AM，
由圆B与圆M相内切可知MB＝8－AM，∴MA＋MB＝8.
而A，B为两定点且AB＝6＜8.
故可知动圆圆心M的轨迹是以A，B为两焦点的椭圆.
10.
答案：解：∵F1F2＝2，且|PF1－PF2|＝a(a≥0)，
∴(1)当a＝2时，点P的轨迹是两条射线y＝0(x≥1)或y＝0(x≤－1)；
(2)当a＝0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线，即y轴；
(3)当0＜a＜2时，轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线；
(4)当a＞2时，轨迹不存在
PAGE1．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中是双曲线的为__________．(填序号)
①|PF1－PF2|＝4；②|PF1－PF2|＝3；③PF1－PF2＝3；④PF1－PF2＝±1.
2．双曲线2x2－3y2＝12的右焦点坐标为__________．
3．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝__________.
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上的一点，且PF2＝F1F2，则△PF1F2的面积等于__________．
5．在平面直角坐标系中，双曲线上一点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是______．
6．下列说法正确的个数为__________．
①双曲线的焦点为(－5,0)和(5,0)；
②方程表示焦点在x轴上的双曲线；
③若双曲线与椭圆的焦点相同，则a＝1.
7．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于__________．
8．如果表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是__________．
9．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
参考答案
1.
答案：②④ 解析：①中轨迹是两条射线；②④由双曲线定义得轨迹是双曲线；③中轨迹是双曲线的一支.
2.
答案：(，0) 解析：方程2x2－3y2＝12化为标准方程为.
∴a2＝6，b2＝4.
∴c2＝a2＋b2＝10，解得.
∴右焦点坐标为(，0).
3.
答案： 解析：方程化为标准方程为x2－＝1.由焦点为(3,0)，得1＋＝9.∴，∴.
4.
答案：48 解析：依题意得PF2＝F1F2＝10，由双曲线的定义，得PF1－PF2＝6，
∴PF1＝16.
∴.
5.
答案：4 解析：把x＝3代入，得y2＝15，∴M点坐标为(3，).而右焦点F的坐标为(4,0)，∴.
6.
答案：1 解析：①中双曲线方程化为，焦点在y轴上，故①错误；
②中当m＝4时，方程为－x2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故②错误；
③由已知得a＋2＝6－3，∴a＝1.故③正确.
7.
答案： 解析：∵·＝0，
∴△F1PF2为直角三角形.
∴||＝||＝.
∴|＋|＝2||＝.
8.
答案：c＞1 解析：根据题意，双曲线的标准形式为.
∴k＞2.
又c2＝k－1＋|k|－2＝2k－3＞1，∴c＞1.
9.
答案：解法一：由椭圆方程，得椭圆的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3).因为椭圆与双曲线在第一象限的交点A的纵坐标为4，所以这个交点为A(，4).
设双曲线方程为(a＞0，b＞0)，由题意得解得
故所求双曲线方程为.
解法二：由椭圆方程得F1(0，－3)，F2(0,3)，A(，4).
∴2a＝|PF1－PF2|
＝
＝4.
∴a＝2，b2＝c2－a2＝5.
故所求双曲线方程为.
10.
答案：解：(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程变为，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程变为，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程变为，表示焦点在y轴上的椭圆.
PAGE1．曲线4x2＋3y2－6y－9＝0与y轴的交点坐标为________．
2．若直线y＝kx＋1与曲线x2＋y2＝9的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于________．
3．已知点A(2,16)，B(4,16)，则曲线y＝ax(a＞0且a≠1)与线段AB有公共点时，a的取值范围是________．
4．曲线x2＋y2＝4与曲线y2＝2x＋1有______个交点．
5．曲线y＝x2＋2x与曲线y＝－x2－2x＋b有两个公共点时，b的范围是________．
6．直线y＝x＋2被曲线y＝x2截得线段长为______．
7．已知曲线x2＋y2＝1与曲线(x－3)2＋y2＝4的交点为F，则以点F为焦点的抛物线的标准方程为____________．
8．已知抛物线y2＝－12x，焦点为F，过点F作x轴的垂线交抛物线于A，B两点，则以线段AB为直径的圆方程为____________．
9．已知直线y＝x＋b与曲线x2＝2y交于A，B两点(A，B点不与原点O重合)，且OA⊥OB，求b的值．
10．已知直线y＝x＋1与曲线相交于A，B点，求A，B的中点坐标．
参考答案
1.
答案：(0,3)和(0，－1) 解析：令x＝0，得3y2－6y－9＝0，即y2－2y－3＝0.解得y＝3或－1.∴该曲线与y轴的交点坐标为(0,3)和(0，－1).
2.
答案：0 解析：由已知可得直线y＝kx＋1平行于x轴，∴k＝0.
3.
答案： 解析：由指数图象性质得，当y＝ax过点A时，a取最大值，此时a2＝16，∴a＝4.当过点B时，a取最小值，此时a4＝16，∴a＝2.∴a的取值范围是.
4.
答案：2 解析：联立方程得消去y2得x2＋2x－3＝0.解得x1＝－3或x2＝1.当x＝－3时，y2＝－5＜0(舍)；当x＝1时，y2＝3，即.∴两曲线的交点为(1，)，交点个数为2.
5.
答案：(2，＋∞) 解析：曲线y＝x2＋2x为抛物线，对称轴为x＝－1，ymin＝－1.
曲线y＝－x2－2x＋b为抛物线，对称轴为x＝－1，ymax＝b－3.
当两曲线有两个公共点时，b－3＞－1，∴b＞2.
6.
答案： 解析：由方程组解得或
∴截得线段长为.
7.
答案：y2＝4x 解析：由方程组解得F的坐标(1,0)，则以F为焦点的抛物线的标准方程为y2＝4x.
8.
答案：(x＋3)2＋y2＝36 解析：由已知可得F(－3,0)，则A(－3,6)，B(－3，－6).∴以AB为直径的圆是(x＋3)2＋y2＝36.
9.
答案：解：由方程组消去y得x2－2x－2b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝－2b.∵OA⊥OB，∴⊥，则·＝0.
∴x1x2＋y1y2＝0.∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，－4b＋2b＋b2＝0，∴b2－2b＝0，b＝0或b＝2.当b＝0时，A或B与原点O重合，不合题意，舍去.
∴b的值为2.
10.
答案：解：联立方程消去y得3x2＋4x－2＝0.
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，
∴x1＋x2＝，，y0＝x0＋1＝.
∴所求中点的坐标为.
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