1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝( )．
A．－
B．－4
C．4
D．
2．已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )．
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是( )．
A．(－，)
B．(－，)
C．[－，]
D．[－，]
4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )．
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )．
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y＝±x
6．若点P在双曲线x2－＝1上，则点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是__________．
7．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
8．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的标准方程是__________．
9．已知双曲线C：－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知点M的坐标(0,1)，P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ＝·，求λ的取值范围．
参考答案
1．A ∵曲线mx2＋y2＝1是双曲线，∴m＜0，排除选项C，D；将m＝－代入已知方程，变为y2－＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A.
2．B ∵a＞，∴＜1.
∴渐近线y＝x的倾斜角小于45°.
∴＝tan＝.
∴a＝，∴c＝＝2.
∴e＝＝＝.
3．C 由题意知，焦点F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.
4．B 由方程组
得a＝2，b＝2.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
5．C 由题意知：2b＝2,2c＝2，则可求得a＝，则双曲线方程为－y2＝1，故其渐近线方程为y＝±x.
6．(0，] 双曲线的一条渐近线方程是3x－y＝0，由渐近线的性质，知当P点是双曲线的一个顶点时，P点到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，
则P点到渐近线的距离的最大值为＝.
7． ∵双曲线的渐近线为y＝±x，且A(3,0)，F(5,0)，
∴直线BF的方程为y＝(x－5)
(由于两条渐近线关于x轴对称，因此设与任何一渐近线平行的直线均可)．
代入双曲线方程，得－×(x2－10x＋25)＝1.
解得x＝，∴y＝－.
又∵|AF|＝c－a＝2，
∴S△AFB＝|AF|·|y|＝×2×＝.
8．－＝1 ∵点A与圆心O的连线的斜率为－，
∴过点A的圆的切线的斜率为4.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.
设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)．
∵点A(4，－1)在双曲线上，
∴16－＝λ，∴λ＝.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
9．解：(1)由－y2＝0，得所求渐近线方程为y－x＝0，y＋x＝0.
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
则点Q的坐标为(－x0，－y0)．
所以λ＝·＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－x－y＋1＝－x＋2.
∵|x0|≥，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．1．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0的值是( )．
A．e2
B．e
C．
D．ln
2
2．函数f(x)＝的导数是( )．
A．(x＞0)
B．(x＞0)
C．(x＞0)
D．(x＞0)
3．下列求导运算，其中正确的有( )．
①(2x3－cos
x)′＝6x2＋sin
x；
②(2－)′＝；
③[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)；
④()′＝；
⑤()′＝；
⑥(tan
x)′＝.
A．①②③⑤
B．②④⑤⑥
C．①②⑤⑥
D．①②③④⑤⑥
4．已知函数f(x)＝x(x2＋1)(x3＋2)…(x2
010＋2
009)，则f′(0)＝( )．(注：1×2×3×…×n＝n！)
A．2
009!
B．2
010!
C．n!
D．x!
5．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为( )．
A．(2,15)
B．(－15,2)
C．(2，－15)
D．(－2,15)
6．线y＝f
(x)＝在原点处的切线的倾斜角是__________．
7．若曲线f(x)＝ax5＋ln
x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是__________．
8．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr，①
(1)①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：__________；②
(2)②式可用语言叙述为__________．
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
10．求经过原点与曲线y＝f(x)＝相切的切线方程．
参考答案
1．B ∵f′(x)＝(xln
x)′＝ln
x＋1，
∴f′(x0)＝ln
x0＋1＝2，∴x0＝e.
2．C ∵f(x)＝，
∴f′(x)＝
3．C ③中，[(3＋x2)(2－x3)]′＝2x(2－x3)－3x2(3＋x2)．④中，′＝，故③④错误，①②⑤⑥正确．
4．A 设g(x)＝(x2＋1)(x3＋2)…(x2
010＋2
009
)，
则g(0)＝1×2×3×…×2
009＝2
009！.
又∵f(x)＝xg(x)，∴f′(x)＝g(x)＋xg′(x)．
∴f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝2
009！！.
5．D ∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0＜0)，则点P处的切线斜率k＝3x02－10＝2，∴x0＝－2.
∴x0＝－2(x0＜0)．∴点P的坐标为(－2,15)．
6． f′(x)＝＝，
当x＝0时，f′(0)＝＝1.
∴tan
θ＝1，∴θ＝为所求的倾斜角．
7．(－∞，0) ∵f′(x)＝55ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由题意，知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解，
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，
∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．
8．′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 半径为R的球的体积为V＝πR3，表面积为S＝4πR2.因为V′＝′＝4πR2＝S，所以有′＝4πR2，用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
9．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.①
又y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为1，
所以4a＋2b＋c＝－1，②
4a＋b＝1.③
联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.
10．解：设切点为M(x1，y1)，则y1＝.
又y′＝′＝＝，
∴f′(x1)＝.
设所求切线方程为y＝kx，则y1＝kx1.
由得
解出x1＝－3或x1＝－15，得y1＝3或y1＝.
故切点为(－3,3)或(－15，)，斜率为－1或－，
所以所求切线方程为x＋y＝0或x＋25y＝0.1．f(x)＝5x2－2x的单调增区间为( )．
A．(，＋∞)
B．(－∞，)
C．(－，＋∞)
D．(－∞，－)
2．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为( )．
A．(－1,0)
B．(－1,11)
C．(0,11)
D．(－1,33)
3．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，下列判断正确的是( )．
A．函数y＝f
(x)在区间(－3，－)内单调递增
B．函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减
C．函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增
D．函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递减
4．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )．
5．设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且f(x)＋xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是( )．
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＞x
D．f(x)＜x
6．设函数f(x)＝(x＞0且x≠1)，则函数f(x)的单调增区间是__________，单调减区间是__________．
7．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝3x2－2ln
x.
8．
已知函数f
(x)＝(a＋1)ln
x＋ax2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设a≤－2，证明：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.
参考答案
1．A f′(x)＝10x－2.令f′(x)＞0，得x＞，故选A.
2．B f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)．
由(x－11)(x＋1)＜0，得单调减区间为(－1,11)．
3．C 由图可知在区间(－2,2)和(4,5)内，f′(x)＞0，故函数y＝f(x)在区间(－2,2)和(4,5)内递增；在区间(－3，－2)和(2,4)内，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(－3，－
2)和(2,4)内单调递减，故选C.
4．A 因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(x)在区间[a，b]上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A.注意选项C中，y′＝k为常数．
5．A 由题意，f(x)＋xf′(x)＞x2≥0，
∴G(x)＝xf(x)在R上为增函数，且G(0)＝0.
于是有x＞0时，G(x)＝xf(x)＞0，
∴f(x)＞0.当x＜0时，G(x)＝xf(x)＜0，
∴f(x)＞0.∴f(x)＞0在x∈R上恒成立．
6．(0，) (，1)和(1，＋∞) f′(x)＝()′＝.
令f′(x)＞0，即－＞0，得1＋ln
x＜0，即x＜.
令f′(x)＜0，即－＜0，得1＋ln
x＞0，即x＞.
又x＞0且x≠1，
∴函数的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，1)和(1，＋∞)．
7．解：(1)f′(x)＝1－3x2.
令1－3x2＞0，解得－＜x＜.
因此，函数f(x)的单调增区间为(－，)．
令1－3x2＜0，解得x＜－或x＞.
因此，函数f(x)的单调减区间为(－∞，－)，(，＋∞)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)＞0，即2·＞0，
解得－＜x＜0或x＞.
又∵x＞0，∴x＞.
令f′(x)＜0，即2·＜0，
解得x＜－或0＜x＜.
又∵x＞0，∴0＜x＜.
∴f(x)的单调增区间为(，＋∞)，单调减区间为(0，)．
8．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调增加；
当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少；
当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，
则当x∈(0，)时，f′(x)＞0，
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(0，)上单调增加，在(，＋∞)上单调减少．
(2)证明：不妨假设x1≥x2.
由于a≤－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调减少．
所以|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|等价于f(x2)－f(x1)≥4x1－4x2，
即f(x2)＋4x2≥f(x1)＋4x1.
令g(x)＝f(x)＋4x，则g′(x)＝＋2ax＋4＝.
于是g′(x)≤＝≤0.
从而g(x)在(0，＋∞)上单调减少，
故g(x1)≤g(x2)，
即f(x1)＋4x1≤f(x2)＋4x2，
故对任意x1，x2∈(0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|.1．椭圆x2＋＝1的一个焦点是(0，)，那么k等于( )．
A．－6
B．6
C．＋1
D．1－
2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )．
A．(0，＋∞)
B．(0,2)
C．(1，＋∞)
D．
(0,1)
3．方程＋＝10化简的结果是( )．
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
4．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )．
A．(±4,0)
B．(0，±4)
C．(±3,0)
D．(0，±3)
5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )．
A．7倍
B．5倍
C．4倍
D．3倍
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________，∠F1PF2的大小为__________．
8．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹方程是__________．
9．已知A，B两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为m(m＜0)，求点M的轨迹方程并判断其轨迹的形状．
10．求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程．
参考答案
1．B 由焦点坐标为(0，)，知焦点在y轴上，∴k－1＝()2.
∴k＝6.
2．D ∵x2＋ky2＝2，∴＋＝1.
∵焦点在y轴上，∴∴0＜k＜1.
3．B 此题可从椭圆的定义入手．方程表示动点(x，y)到(2,0)与(－2,0)的距离之和等于10，且10大于两定点的距离4，故该动点(x，y)的轨迹为椭圆．∴2a＝10，即a＝5.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝21.∴方程为＋＝1.
4．D 根据椭圆的方程形式，知椭圆的焦点在y轴上，且c＝＝3.故焦点坐标为(0，±3)．
5．A 不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，P(x，y)，由题意，知＝0，即x＝3，代入椭圆方程，得y＝±，故P点坐标为(3，±)，即|PF2|＝.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|＝，即|PF1|＝7|PF2|.
6．8 由椭圆的定义知(|BF1|＋|BF2|)＋(|AF1|＋|AF2|)＝4a＝20.又∵|AB|＝|AF1|＋|BF1|，|F2A|＋|F2B|＝12，
∴|AB|＋12＝20.∴|AB|＝8.
7．2 120° 解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝
＝，
∴∠F1PF2＝120°.
8．＋＝1 设动圆M和定圆B内切于点C，动圆圆心M到定点A(－3,0)，定圆B的圆心B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径长，即
|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8.
所以动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，并且2a＝8,2c＝6，所以b＝＝.
所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
9．解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－1,0)，
所以直线AM的斜率为kAM＝(x≠－1)．
同理，直线BM的斜率为kBM＝(x≠1)．
由已知，有×＝m(x≠±1)，
化简得点M的轨迹方程为x2＋＝1(x≠±1)．
当m＝－1时，M的轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)，M的轨迹是单位圆去掉两个点(±1,0)．
当－1＜m＜0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点(±1,0)．
当m＜－1时，M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点(±1,0)．
10．解法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
解得
因为a＜b，所以方程无解．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
解法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．
依题意，有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.1．已知5＝|3x＋4y－12|是动点M所满足的坐标方程，则动点M的轨迹是( )．
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
2．在抛物线y2＝2px上，且横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( )．
A．0.5
B．1
C．2
D．4
3．抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为( )．
A．
B．
C．
D．0
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )．
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )．
A．
B．
C．
D．3
6．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．
7．抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，则抛物线的标准方程为__________．
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．
9．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两条直线，分别交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．
参考答案
1．C 由题意得＝，即动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离等于它到原点(0,0)的距离．由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
2．C 解析：由题意，得4＋＝5.
∴p＝2.
3．B 设点M(x，y)，把抛物线的方程化为x2＝y，
则有|MF|＝y＋＝y＋＝1，
∴y＝.
4．B y2＝ax的焦点坐标为(，0)，则过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－)，令x＝0，
得y＝－.
∴×·＝4，
∴a2＝64，
∴a＝±8.
5．A 设直线4x＋3y＋m＝0与抛物线y＝－x2相切，
则由消去y，得3x2－4x－m＝0，令Δ＝0，得m＝－.
∴直线4x＋3y－8＝0与直线4x＋3y＋m＝0间的距离d＝＝.
即所求的最小距离为.
6．y2＝16x 双曲线的右顶点为(4,0)，设抛物线方程为y2＝2px，(p＞0)，则＝4，
∴p＝8.故y2＝16x.
7．y2＝±2x或y2＝±18x 设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)．
∵A点在抛物线上，
∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm.
∴m＝±.①
又|AF|＝＋|m|＝5，②
把①代入②可得＋＝5，
即p2－10p＋9＝0.
∴p＝1或p＝9.
∴所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
8．＋＝1(y≠0) 设抛物线的焦点为F(x，y)，如图，A，B到准线的距离为|AA′|，|BB′|，点F在与切线垂直的直线上(过切点)，四边形AA′B′B为梯形，
∴|AA′|＋|BB′|＝2r＝4.又由抛物线的定义，得|FA|＝|AA′|，|FB|＝|BB′|，
则|FA|＋|FB|＝4，
故点F在以A，B为焦点的椭圆上，
且2a＝4，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝3，
故焦点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
9．解：(1)令y＝，则x＝.
又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
由抛物线的定义得，所求距离为－(－)＝.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.
由y＝2px1，y＝2px0，相减得
(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)．
∴kPA＝＝(x1≠x0)．
同理可得kPB＝(x2≠x0)．
由PA，PB的倾斜角互补，知kPA＝－kPB，
即＝－.
∴y1＋y2＝－2y0，
故＝－2.
证明：设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px1，y＝2px2，
相减可得kAB＝＝(x1≠x2)．
将y1＋y2＝－2y0(y0＞0)代入，
得kAB＝＝－(p＞0，y0＞0)．
∴kAB是非零常数，即直线AB的斜率是非零常数．1．甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示，现有四种说法：
①前三年该产品产量的增长速度越来越快；
②前三年该产品产量的增长速度越来越慢；
③第三年后该产品停止生产；
④第三年后该产品的产量保持不变．
其中说法正确的有( )．
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使其体积最大，则其高为( )．
A．cm
B．100
cm
C．20
cm
D．cm
3．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )．
A．
B．
C．
D．2
4．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是( )．
A．100
B．150
C．200
D．300
5．用总长14.8
m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5
m，那么高为多少时容器的容积最大？此时的高和它的最大容积分别是( )．
A．1.2
m,1.8
m3
B．1.1
m,1.8
m3
C．1.8
m,1.2
m3
D．1.2
m,2.1
m3
6．某厂生产某种商品x单位的利润是L(x)＝500＋x－0.001x2，生产__________单位这种商品时利润最大，最大利润是__________．
7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要求体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__________．
8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10
海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问：轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？此时的速度为__________，般行1海里所需的费用总和为__________．
参考答案
1．B
2．A 如图，设底面半径为r，高为h，则有
＝sin
θ，＝cos
θ，
∴V(θ)＝πr2·h＝8
000πsin2θcos
θ.
∴V′(θ)＝16
000πsin
θcos2θ－8
000πsin3θ.
令V′(θ)＝0，解得tan
θ＝，得唯一极值点．
∴cos
θ＝.∴h＝.
3．C 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋(x＞0)，
所以S′＝(x3－4V)．
令S′＝0，得唯一极值点x＝.
4．D 设总利润为y，则y＝f(x)＝
当x∈(400，＋∞)时，f′(x)＝－100≠0，此时y无最值．
当x∈[0,400]时，f′(x)＝－x＋300.
令f′(x)＝0，得x＝300.
由f′(x)在x＝300处由正变负，
故y在x＝300处有唯一极值点．
又f(0)＜0，f(400)＜0，∴f(300)为最大值．
5．A 设容器底面短边长为x
m，则另一边长为(x＋0.5)
m，高为＝3.2－2x.
由3.2－2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6.
设容器的容积为y
m3，则有y＝f(x)＝x(0.5＋x)·(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)．
∴f′(x)＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令f′(x)＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，
解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．
当x＝1时，y取最大值，y最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)．
∴当高为1.2
m时容器的容积最大为1.8
m3.
6．500 750 L′(x)＝1－0.002x.令L′(x)＝0，得x＝500，此时L(500)＝750.
由已知，L(x)在其定义域[0，＋∞)上只有一个极值点，所以生产500单位这种商品时利润最大，最大利润为750.
7．3 设底面半径为R，母线长为l，
则V＝πR2l＝27π.
∴l＝.要使用料最省，只需使圆柱的表面积最小．
∴S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，
∴由S表′＝2πR－＝0，得R＝3.因为S表有唯一极值点，故当R＝3时，S表最小．
8．20海里/小时 4.92元 设速度为每小时v海里时燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系，得p＝k·v3，其中k为比例常数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么因每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用
q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
所以q′＝0.012v－＝(v3－8
000)．
令q′＝0，解得v＝20.
又当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时q取得最小值，
即当速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用的总和最小，qmin＝0.006×20＋＝4.92(元)．1．命题“方程x2－1＝0的解是x＝±1”中使用的逻辑联结词的情况是( )．
A．没有使用逻辑联结词
B．使用逻辑联结词“且”
C．使用逻辑联结词“或”
D．使用逻辑联结词“非”
2．已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )．
A．(p)∨q
B．p∧q
C．(p)∨(q)
D．(p)∧(q)
3．已知命题p： {0}，q：0∈ ，由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“p”形式的命题中，真命题有( )．
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
4．已知命题p，q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的( )．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知命题p：函数f(x)＝sin(2x－)＋1，满足f(＋x)＝f(－x)，命题q：函数g(x)＝sin(2x＋θ)＋1可能是奇函数(θ为常数)，则命题“p∧q”、“p∨q”、“p”中，为真命题的个数为( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
6．已知命题p：不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”、“p∨q”、“p”形式的复合命题中的真命题为__________．
7．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．如果p和q有且只有一个正确，求a的取值范围．
8．已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．
9．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx在R上单调递减，命题q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R.如果命题p和命题q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围．
参考答案
1．C
2．C 不难判断命题p为真命题，q为假命题，根据真值表判断，只有选项C正确．
3．C 因为p为真，q为假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“p”为假，故选C.
4．B 命题“p或q”为真包括三种情况：p，q同真，p真q假，p假q真．当后两种情况之一成立时，有命题“p且q”为假；当命题“p且q”为真时，p，q同真，从而得命题“p或q”为真，故选B.
5．C 对命题p，y＝sin
x的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，令2x－＝kπ＋，得y＝sin(2x－)＋1的对称轴为x＝＋，k∈Z.取k＝0，故x＝适合，即f(＋x)＝f(－x)成立，所以p为真命题．
对命题q，若g(x)为奇函数，因为g(x)的定义域为R，则有g(0)＝0，即sin
θ＝－1，所以θ＝2kπ－，k∈Z，所以q为真命题．所以是真命题的为“p∧q”与“p∨q”，故选C.
6．p 因为命题p，q均为假命题，所以“p∨q”、“p∧q”均为假命题，只有“p”为真命题．
7．解：当0＜a＜1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；
当a＞1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两点等价于(2a－3)2－4＞0，即a＜或a＞.
(1)若p正确，q不正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴不交于两点，
则a∈(0,1)∩([，1)∪(1，])，
即a∈[，1)．
(2)若p不正确，q正确，即函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，
因此a∈(1，＋∞)∩((0，)∪(，＋∞))，
即a∈(，＋∞)．
综上，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
8．解：∵p且q为假，∴p，q至少有一个命题为假．
又“非q”为假，∴q为真，从而可知p为假．
由p为假且q为真，可得
即
∴∴
故x的取值为－1,0,1,2.
9．解：函数y＝cx在R上单调递减 0＜c＜1.
不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R 函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
因为x＋|x－2c|＝
所以函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c.
所以不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R 2c＞1 c＞.
若p为真，且q为假，则0＜c≤；
若p为假，且q为真，则c≥1.
所以c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．1．若f(x)＝3x，则f(x)在x＝1处的切线的斜率是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是( )．
A．1
B．
C．－
D．－1
3．过点P(2,5)的曲线y＝x2＋1的切线方程是( )．
A．x－4y－3＝0
B．4x－y－3＝0
C．3x－y－4＝0
D．x－y－3＝0
4．曲线y＝在点P(，2)处的切线方程是( )．
A．4x＋y＋4＝0
B．x＋4y＋4＝0
C．4x＋y－4＝0
D．x＋4y－4＝0
5．过点Q(3,5)，且与曲线y＝x2相切的直线方程是( )．
A．y＝2x－1或y＝10x－25
B．y＝2x－1
C．y＝10x－25
D．y＝2x＋1或y＝10x＋25
6．抛物线y＝f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k是__________．
7．曲线f(x)＝x3在点P(2,8)处的切线方程是__________．
8．P是抛物线y＝x2上一点，若过点P的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过P点的切线方程是__________．
9．已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：
(1)它们的交点；
(2)抛物线在交点处的切线方程．
参考答案
1．D
2．A 设f(x)＝ax2，则＝＝da＋2a.
当d趋于0时，da＋2a趋于2a.∴2a＝2.∴a＝1.
3．B ∵点P(2,5)在曲线y＝x2＋1上，
∴＝d＋4.
当d趋于0时，d＋4趋于4.
∴所求切线的方程是y－5＝4(x－2)，
即4x－y－3＝0.
4．C ∵点P(，2)在曲线y＝上，
∴＝.
当d趋于0时，趋于－4.
∴切线方程为y－2＝－4(x－)，即4x＋y－4＝0.
5．A ∵Q(3,5)不在曲线y＝x2上，
∴设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∴y0＝x02.又＝2x0＋d，
且当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0.
∴＝＝2x0.∴x0＝1或x0＝5.
∴切点为(1,1)或(5,25)，
∴所求切线的斜率为2或10.
∴所求切线的方程是y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即y＝2x－1或y＝10x－25.
6．7 ∵A(2,10)在抛物线f(x)＝x2＋3x上，
∴＝＝7＋d.
当d趋于0时，7＋d趋于7.∴k＝7.
7．y＝12x－16 ∵P(2,8)在曲线f(x)＝x3上，
∴＝＝12＋6d＋d2.
当d趋于0时，12＋6d＋d2趋于12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16.
8．y＝2x－1 设P(x0，x02)，则＝2x0＋d，
当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0.
∵切线与直线y＝－x＋1垂直，
∴2x0×(－)＝－1.
∴x0＝1.∴切点为P(1,1)，k＝2.
∴过P点的切线方程是y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
9．解：(1)将x＝1代入y＝x3，得y＝1，
∴切点为P(1,1)．又＝3＋3d＋d2，
且当d趋于0时，3＋3d＋d2趋于3，∴k＝3.
∴过P点的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由得x1＝1，x2＝－2，
∴公共点为P1(1,1)，P2(－2，－8)，说明切线与曲线C的公共点除了切点P1(1,1)外，还有另外一个公共点P2(－2，－8)．
10．解：(1)由得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0.
∴x＝－2或x＝3.
代入直线的方程得y＝8或y＝13.
∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．
(2)设抛物线上任意一点M(x，x2＋4)，再另任取一点N(x＋d，(x＋d)2＋4)，d≠0，
则kMN＝＝2x＋d.
当d趋于0时，kMN趋于2x，即过点M(x，x2＋4)的切线斜率为2x.
∴在点(－2,8)处的切线的斜率为－4，在点(3,13)处的切线的斜率为6.
∴所求切线方程为y－8＝－4(x＋2)和y－13＝6(x－3)，即4x＋y＝0和6x－y－5＝0.1．下列各式中，正确的是( )．
A．(logax)′＝
B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x
D．(3x)′＝3xln
3
2．若f(x)＝2
009，则f′(2
009)等于( )．
A．2
009
B．2
008
C．0
D．1
3．若f(x)＝，且f′(x0)＝－1，则x0的值为( )．
A．－1
B．1
C．0
D．1或－1
4．已知f(x)＝，则f′(1)等于( )．
A．
B．
C．－
D．－
5．若f(x)＝logax，且f′(2)＝，则a等于( )．
A．2
B．3
C．4
D．6
6．设直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为__________．
7．曲线y＝f(x)＝lg
x在点(1,0)处的切线方程为__________．
8．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2
009(x)＝__________.
9．如图所示，质点P在半径为1
m的圆上，沿逆时针做匀角速运动，角速度为1
rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．
10．设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长．
参考答案
1．D 2.C
3．D ∵f′(x)＝－，
∴由f′(x0)＝－1，得－＝－1，∴x0＝±1.
4．C f′(x)＝(x－)′＝－x－，∴f′(1)＝－.
5．B f′(x)＝，则f′(2)＝＝，∴a＝3.
6．ln
2－1 ∵(ln
x)′＝＝，∴切点的横坐标为x＝2.
∴切点为(2，ln
2)，代入y＝x＋b中，得ln
2＝×2＋b.
∴b＝ln
2－1.
7．xlg
e－y－lg
e＝0 ∵f′(x)＝(lg
x)′＝，
∴f′(1)＝＝lg
e.
∴切线方程为y＝lg
e(x－1)，即xlg
e－y－lg
e＝0.
8．cos
x f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，
f4(x)＝f3′(x)＝(－cos
x)′＝sin
x，
f5(x)＝f4′(x)＝(sin
x)′＝cos
x.
由此继续求导下去，可发现从f1(x)开始，每4个循环一次，所以f2
009(x)＝f4×502＋1(x)＝f1(x)＝cos
x.
9．解：时刻t时，∠POA＝1·t＝t(rad)，
∴∠MPO＝∠POA＝t(rad)．
∴OM＝OPsin∠MPO＝1·sin
t＝sin
t．∴点M的运动方程为y＝sin
t．∴v＝(sin
t)′＝cos
t(m/s)，即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为cos
t
m/s.
10．解：设切点P(x0，y0)，交点Q(xQ，yQ)，k(xK，yk)，
令f(x)＝y＝，则f′(x)＝()′＝，
∴f′(x0)＝＝kl1.
由l1与l2垂直，得kl2＝－2.
于是直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)．
令y＝0，则－y0＝－2(x－x0)，
∴－＝－2(x－x0)，
∴x＝＋x0，即xQ＝＋x0.而xK＝x0，
于是|KQ|＝|xQ－xK|＝|＋x0－x0|＝.1．命题“存在x0∈R,≤0”的否定是( )．
A．不存在x0∈R,＞0
B．存在x0∈R,≥0
C．对任意的x∈R,2x≤0
D．对任意的x∈R,2x＞0
2．已知命题p： x∈R，sin
x≤1，则( )．
A．p： x∈R，sin
x≥1
B．p： x∈R，sin
x≥1
C．p： x∈R，sin
x＞1
D．p： x∈R，sin
x＞1
3．下列四个命题中，为真命题的是( )．
A． n∈R，n2≥n
B． n∈R， m∈R，m·n＝m
C． n∈R， m∈R，m2＜n
D． n∈R，n2＜n
4．下列命题中真命题的个数为( )．
①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
5．在下列命题中假命题的个数是( )．
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形．
A．0
B．1
C．2
D．3
6．下列命题：
① α∈R，在[α，α＋π]上，函数y＝sin
x都能取到最大值1；
②若 a∈R且a≠0，f(x＋a)＝－f(x)对 x∈R成立，则f(x)为周期函数；
③ x∈(－，－)，使sin
x＜cos
x.
其中真命题的序号为__________．
7．设命题p： x∈R，满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，命题q： x∈R，满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q的必要而不充分条件，则a的取值范围是__________．
8．函数f(x)对一切实数x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.
(1)f
(0)的值是__________；
(2)当f(x)＋2＜logax，x∈(0，)恒成立时，a的取值范围是__________．
9．判断下列命题的真假．
(1)每个指数函数都是单调函数；
(2)任何实数都有算术平方根；
(3) x∈Z,5x＋3是整数；
(4) x∈R，x2＋2x＋3＝0；
(5)存在两个相交平面垂直于同一条直线．
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：对所有的正实数m，为正数，且＜m；
(2)q：存在实数x，使得|x＋1|≤1或x2＞4.
参考答案
1．D 命题的否定是“对任意的x∈R,2x＞0”．
2．C
3．B 当0＜n＜1时，n2＜n，故选项A错．取m＝1，则n＞1，与 n∈R矛盾，故选项C错．当n＞1时，n2＞n，故选项D错． n＝1， m∈R，m·n＝m，故选B.
4．C 用偶数的定义判断①正确；用角平分线的性质判断②正确；用正四面体的概念及二面角的定义判断③正确．
5．A ①如π为实数，是无限不循环小数，故①是真命题，同理②③均为真命题．
6．② ①取α＝，在区间[，]上，函数y＝sin
x的最大值不是1，而是，故①为假命题．
②∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝－f(x＋a)＝f(x)，
∴f(x)的周期T＝2a(a≠0)，故②为真命题．
③在(－，－)上由三角函数线易知，有sin
x＞cos
x，故③为假命题．
7．(－∞，－4]∪[－，0) p：(x－3a)(x－a)＜0，
又a＜0，∴3a＜x＜a.
q：(x－3)(x＋2)≤0或(x＋4)(x－2)＞0，
∴x≥－2或x＜－4.
∵p是q的必要而不充分条件，
∴q是p的必要而不充分条件．
令A＝{x|3a＜x＜a}，B＝{x|x≥－2或x＜－4}，则AB.
∴a≤－4或3a≥－2，∴a≤－4或－≤a＜0.
8．(1)－2 (2)[，1) (1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x对 x，y∈R恒成立，
可令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，
所以f(0)＝－2.
(2)由(1)知f(0)＝－2，所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x.
因为x∈(0，)，所以f(x)＋2∈(0，)．
要使x∈(0，)时，f(x)＋2＜logax恒成立，显然当a＞1时不成立(因为x∈(0，)，a∈(1，＋∞)时，logax＜0)，
所以解得≤a＜1.
9．解：(1)形如y＝ax(a＞0且a≠1)的函数是指数函数．a＞1时，y＝ax是增函数，0＜a＜1时，y＝ax是减函数，所以命题“每个指数函数都是单调函数”是真命题；
(2)－2是实数，但－2没有算术平方根，所以命题“任何实数都有算术平方根”是假命题．
(3) x∈Z,5x＋3都是整数，所以命题“ x∈Z,5x＋3是整数”是真命题．
(4)由于 x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以命题“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”为假命题．
(5)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题．
10．解：(1)p：存在正实数m，≤0或≥m.由于该命题不易判断真假，所以先判断原命题的真假，显然原命题是假命题．如m＝，则＝，＞，即＞m，故该命题为真命题．
(2)q：对 x∈R，都有|x＋1|＞1且x2≤4.由于x＝－1∈R，但|－1＋1|＝0＜1，所以q是假命题．1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )．
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
2．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；
④“若ab是无理数，则a，b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
3．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( )．
A．若x2≠1，则x≠1
B．若x2＝1，则x≠1
C．若x2≠1，则x＝1
D．若x≠1，则x2≠1
4．有下列四个命题，其中真命题是( )．
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似的两个三角形的周长相等”的否命题；
③“对实数a，b，若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；
④“若x＞2，则x＞1”的逆命题．
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
5．已知命题“若p则q”为真，则下列命题中一定为真的是( )．
A．若p则q
B．若q则p
C．若q则p
D．若q则p
6．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________．(把符合要求的命题序号都填上)
7．下列命题中的真命题为__________．
①“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．
8．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于__________对称，则函数g(x)＝__________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可)
9．把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)对顶角相等．
10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
参考答案
1．A 由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
2．B ①逆命题“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；
②因为原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题；
③否命题“若x＞－3，则x2＋x－6≤0”，取x＝5，但x2＋x－6＝24＞0，所以原命题的否命题为假命题；
④逆命题“若a，b是无理数，则ab是无理数”，若a＝()，b＝，则ab＝2是有理数，所以原命题的逆命题为假命题．
3．A 选项B为命题的否定，选项D为逆否命题，故选A.
4．C ①的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然为真．②的否命题为“不相似的两个三角形的周长不相等”，为假．③中的原命题为真，故其逆否命题也为真．④的逆命题为“若x＞1，则x＞2”，为假，因为当x＝时，x＞1，但x＜2.故只有①③为真．
5．B 互为逆否命题的两个命题的真假性相同．互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假性不相关．选项B和已知命题互为逆否命题，均为真命题，故选B.
6．② ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确．
②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题．
7．①③ ①中的否命题为：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，为真命题．②中的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，为假命题，因为等腰梯形的对角线也相等．③中的否命题为“若xy≠0，则x，y都不为0”，为真命题．
8．y轴 3＋log2(－x)(x＜0) 该题将函数的图象和性质与命题综合在一起，要综合利用知识．可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．答案不唯一．
9．解：(1)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0.
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0.
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．
10．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f
(－b)，则a＋b≥0.它为真命题，可证明原命题的否命题为真命题来证明它．
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
故原命题的否命题为真命题．
因为否命题与逆命题互为逆否命题，
所以原命题的逆命题为真命题．
(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真命题，可证明原命题为真命题来证明它．
因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真命题．
所以原命题的逆否命题为真命题．1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )．
A．椭圆
B．线段
C．双曲线
D．两条射线
2．双曲线－＝1的焦距为( )．
A．3
B．4
C．3
D．4
3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中为双曲线的是( )．
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
4．已知方程－＝1的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )．
A．k＞5
B．k＞5，或－2＜k＜2
C．k＞2，或k＜－2
D．－2＜k＜2
5．设P为双曲线x2－＝1上一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )．
A．6
B．12
C．12
D．24
6．如图，从双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为__________．
7．在△ABC中，已知B(4,0)，C(－4,0)，点A运动时满足sin
B－sin
C＝sin
A，则A点的轨迹方程是__________．
8．中心在原点，两对称轴都在坐标轴上，并且经过P(3，)和Q(，5)两点的双曲线方程是______．
9．设点P到点M(－1,0)，N(1,0)的距离之差为2m(m≠0)，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
10．如图，M(－2,0)和N(2,0)是平面上的两点，动点P满足||PM|－|PN||＝2.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设d为点P到直线l：x＝的距离，若|PM|＝2|PN|2，求的值．
参考答案
1．D ∵||MF1|－|MF2||＝6，而F1(－3,0)、F2(3,0)之间的距离为6，即|F1F2|＝6，
故||MF1|－|MF2||＝|F1F2|.
∴M点的轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线．
2．B 由c2＝a2＋b2＝10＋2＝12，得2c＝4.
3．A 由题意，知|F1F2|＝4，根据双曲线的定义，有||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，观察各选项，只有选项A符合双曲线的定义．
4．B ∵方程的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)＞0.
即或
解得k＞5，或－2＜k＜2.故选B.
5．B 由已知，得解得
∵|F1F2|＝2c＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
∴△PF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形，
∴＝|PF1|·|PF2|＝12.
6．|MO|－|MT|＝b－a 设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，OT.
在Rt△OTF中，|FO|＝c，|OT|＝a，∴|TF|＝b.
由三角形中位线定理及双曲线的定义，知|MO|－|MT|＝|PF′|－(|PF|－b)＝b－(|PF|－|PF′|)＝b－a.
7．－＝1(x＞2) ∵sin
B－sin
C＝sin
A，
∴由正弦定理，得b－c＝a，即|AC|－|AB|＝|BC|，
∴|AC|－|AB|＝4.
∴点A的轨迹是以C，B为焦点的双曲线的右支(除去点(2,0))，其方程为－＝1(x＞2)．
8．－＝1 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
∵点P，Q在双曲线上，∴
解得
∴所求双曲线方程为－＝1.
9．解：设点P的坐标为(x，y)．
依题设，得＝2，即y＝±2x
(x≠0)．①
因此，点P(x，y)，M(－1,0)，N(1,0)三点不共线，知||PM|－|PN||＜|MN|＝2.
∵||PM|－|PN||＝2|m|＞0，
∴0＜|m|＜1.
因此，点P在以M，N为焦点的双曲线上，
故－＝1.②
将①代入②式，得x2＝.
∵1－m2＞0，∴1－5m2＞0.解得0＜|m|＜，即m的取值范围为(－，0)∪(0，)．
10．解：(1)由双曲线的定义，知点P的轨迹是以M，N为焦点，2a＝2的双曲线．
因此c＝2，a＝1，从而b2＝c2－a2＝3.
所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设P(x，y)，由|PN|≥1，知|PM|＝2|PN|2≥2|PN|＞|PN|，故点P在双曲线的右支上，所以x≥a＝1.
由双曲线方程，有y2＝3x2－3.
因此|PM|＝＝＝＝2x＋1.
|PN|＝＝＝.
从而由|PM|＝2|PN|2，得2x＋1＝2(4x2－4x＋1)，即8x2－10x＋1＝0.
所以x＝(舍去x＝)．
所以|PM|＝2x＋1＝，d＝x－＝.故＝×＝1＋.1．下列四个函数①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，在x＝0处取得极小值的函数是( )．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
2．(2011·福建高考)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )．
A．2
B．3
C．6
D．9
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的( )．
A．极大值为0，极小值为－
B．极大值为，极小值为0
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
4．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围为__________．
5．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__________．
6．
将边长为1的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是__________．
7．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln
x)，a＞0，讨论f(x)的单调性．
8．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
1．B ①与④在R上是增函数，取不到极值，由极值定义，结合图象知②③在x＝0处取得极小值．
2．D 由题意，得f′(x)＝12x2－2ax－2b.
∵函数f(x)在x＝1处有极值，
∴f′(1)＝0.∴12－2a－2b＝0，即a＋b＝6.
又∵a＞0，b＞0，由基本不等式得a＋b≥2，
∴ab≤()2＝()2＝9，故ab的最大值是9.
3．B ∵f(x)与x轴切于点(1,0)，
f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0.
又f(1)＝1－p－q＝0，∴p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x.
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝1，x2＝.
当x＜时，f′(x)＞0；
当＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
故x＝时，取得极大值；x＝1时，取得极小值0.
4．(0，) f(x)在(0,1)上存在极值点转换为f′(x)＝3x2－6b＝0在(0,1)上有解，即b＝，x∈(0,1)有解，转化为函数y＝，x∈(0,1)上的值域问题，所以b∈(0，)．
5．(－∞，－1)∪(2，＋∞) f(x)为三次函数，f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)为二次函数，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)＝0有两个不相等的实数根，化简f′(x)＝0有x2＋2ax＋(a＋2)＝0，从而有Δ＝(2a)2－4(a＋2)＞0，解得a＜－1或a＞2.即a∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
6． 设剪成的另一块正三角形的边长为x.
则S＝＝·(0＜x＜1)，
所以S′＝·
＝－·.
令S′＝0，得x＝或3(舍去)．
∴x＝是S的极小值点且是最小值点．
∴Smin＝·＝.
7．解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
当Δ＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.
此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
当Δ＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.
此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
当Δ＞0，即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根
x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递减
此时f(x)在(0，上单调递增，在上单调递减，在，＋∞)上单调递增．
8．解：(1)f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝.
因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以f
(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，所以当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．
因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．
令g
(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)＞g(1)＝－3.所以k的取值范围是k≤－3.1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )．
A．4
B．8
C．8
D．16
2．若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为( )．
A．1
B．2
C．4
D．
6
3．抛物线上一点(－5,2)到焦点F(x,0)的距离为6，则抛物线的标准方程是( )．
A．y2＝－2x，y2＝－18x
B．y2＝－4x，y2＝－36x
C．y2＝－4x
D．y2＝－36x
4．边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )．
A．y2＝x
B．y2＝－x
C．y2＝±x
D．y2＝±x
5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )．
A．
B．1
C．
D．
6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )．
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
7．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．
8．已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点，求r的取值范围．
参考答案
1．B 直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6,4)．
由抛物线的性质可以知道|PF|＝6＋2＝8.
2．C 依题意，得＋6＝8，∴p＝4，∴焦点到准线的距离为p＝4.
3．C 由已知，得＝6，
∴x2＋10x＋9＝0，∴x＝－1或－9.
∴焦点为F(－1,0)或F(－9,0)．
∴p＝2或18.∴抛物线的方程为y2＝－4x或y2＝－36x.显然，若抛物线的方程为y2＝－36x，则它的准线为x＝9.
而点A(－5,2)到x＝9的距离为14，由抛物线的定义可知与题意不符，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
4．C ∵△AOB为边长等于1的正三角形，
∴O到AB的距离为，A，B到x轴的距离均为.
当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵抛物线过点(，)，
∴()2＝2p·.∴2p＝.
∴抛物线的方程为y2＝x.
当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，
设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)．
∵抛物线过点(－，)，
∴()2＝－2p·(－)．∴2p＝.
∴抛物线的方程为y2＝－x.
5．C 如图，由抛物线的定义，知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3.
设点C为线段AB的中点，
所以|CD|＝(|AM|＋|BN|)＝，
所以中点C的横坐标为－＝，
即线段AB的中点到y轴的距离为.
6．B 抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为(，0)，则直线l的方程为y＝2(x－)，它与y轴的交点为A(0，－)，所以△OAF的面积为|OA|·|OF|＝||·||＝4，解得a＝±8.所以抛物线的方程为y2＝±8x.
7．②⑤ 本题主要考查抛物线的基础知识，考查分析和探索问题的能力．
由抛物线方程y2＝10x知它的焦点在x轴上，所以②适合．
又∵它的焦点坐标为F(，0)，原点O(0,0)，
设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，
∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．
∴应填序号为②⑤.
8．解：将抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)的方程联立，消去y2，整理得x2－7x＋16－r2＝0.(
)
抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B，C，D四个点的充要条件是：方程(
)有两个不相等的正根．
所以由解得r∈(，4)．
即r的取值范围是(，4)．1．一物体的运动方程为s(t)＝2t，则当t＝0时物体的运动速度为( )．
A．0
B．1
C．2
D．4
2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )．
A．2
B．1
C．
D．
3．物体的运动规律是s(t)＝t2＋6，则在t＝1时，物体的运动速度是( )．
A．2
B．6
C．3
D．4
4．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )．
A．3
B．4
C．4.1
D．0.41
5．一辆汽车按规律s＝at2＋1作直线运动行驶，s的单位为m，若这辆汽车在t＝3
s时的瞬时速度为18
m/s，则a的值是( )．
A．3
B．4
C．6
D．8
6．已知f(x)＝，则当x趋于0时，f(x)的极限是__________．
7．当x趋于1时，的极限值是__________．
8．物体的运动方程是s＝6＋5t2，求
(1)物体在3
s到4
s内的平均速度；
(2)物体在t＝3
s这一时刻的瞬时速度．(其中s的单位是m，t的单位是s)
9．若一物体的运动方程满足s＝求物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度．
参考答案
1．C
2．C ＝
＝＝d＋.
当d趋于0时，d＋趋于，
∴t＝2时，瞬时速度为.
3．A 物体在[1,1＋d]上的平均速度为
＝＝2＋d.
d趋于0时，2＋d趋于2，
所以物体在t＝1时的运动速度为2.
4．C
5．A 由瞬时速度的定义及计算方法可得该汽车在t时刻的瞬时速度为2at
m/s，当t＝3
s时，瞬时速度为18
m/s，所以6a＝18，所以a＝3.故选A.
6．2 当x趋于0时，x＋1趋于1，则趋于2.
∴当x趋于0时，f(x)的极限为2.
7．1 ＝＝x2(x≠1)，当x趋于1时，x2趋于1，即所求的极限值为1.
8．解：(1)物体在3
s到4
s的平均速度为＝35(m/s)．
(2)v(3，d)＝
＝＝30＋5d.
d趋于0时，30＋5d趋于30，所以物体在t＝3
s这一时刻的瞬时速度为30
m/s.
9．解：(1)当t＝1时，s＝3t2＋2，平均速度：＝＝3d＋6.
当d趋于0时，3d＋6趋于6，故物体在t＝1时的瞬时速度为6.
(2)当t＝3时，s＝29＋3
(t－3)2，
平均速度：
＝＝3d，
当d趋于0时，3d趋于0，故物体在t＝3时的瞬时速度为0.1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“x＞0”是“x≠0”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的( )．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且p是q的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是__________．
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，则使方程有两个大于1的实根的充要条件是__________．
8．使函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充分不必要条件为__________．
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(a≠0，q≠0，q≠1)，求证：数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是a＋b＝0.
10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
参考答案
1．A 当x＝1时，必有x3＝x，但当x3＝x时，x∈{0,1，－1}．故选A.
2．B 由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要而不充分条件．
3．A 由“x＞0”可知“x≠0”，故为充分条件；但“x≠0”时可以有x＞0或x＜0，故为不必要条件，故选A.
4．
C 根据数量积的运算律，有a·b＝a·c a·b－a·c＝0 a·(b－c)＝0 a⊥(b－c)，故选C.
5．D 方法一：a2＞b2 (a＋b)(a－b)＞0，a＞b a－b＞0，
所以a2＞b2a＞b，且a＞ba2＞b2，故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．
方法二：(特值法)取a＝－1，b＝0满足a2＞b2，但a＜b，又取a＝0，b＝－1，满足a＞b，但a2＜b2，故“a2＞b2”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．故选D.
6．
(0,3] 解不等式|1－|≤2，得{x|－2≤x≤10}．
解不等式x2－2x＋1－m2≤0，
得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
即条件p：A＝{x|－2≤x≤10}，条件q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
“p是q的充分而不必要条件”等价于“q是p的充分而不必要条件”，
∴BA.∴1－m≥－2，且1＋m≤10(注意：两式不能同时取等号)，解得m≤3.
又m＞0，所以所求的m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
7．k＜－2 设方程的两实根为x1，x2，使x1，x2都大于1的充要条件是
即
由韦达定理，得
解得k＜－2.
所以所求的充要条件为k＜－2.
8．a≤0 由函数f(x)＝|x－a|的图象知，函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数的充要条件为a≤1，所以使“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a≤1”成立的充分不必要条件，即填写形如a≤p，且p＜1即可．答案不唯一．
9．证明：充分性：即证a＋b＝0 数列{an}是公比为q的等比数列．
∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a.
∴an＝Sn－Sn－1＝(aqn－a)－(aqn－1－a)＝a(q－1)qn－1(n＞1)．
∴＝＝q(n＞1)．
又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，
∴＝＝q.
∴数列{an}是公比为q的等比数列．
必要性：即证数列{an}是公比为q的等比数列 a＋b＝0.
∵数列{an}是公比为q的等比数列，
∴Sn＝＝－qn.
又∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－，b＝.∴a＋b＝0.
综上可得，数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是a＋b＝0.
10．解：(1)a＝0时适合．
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足解得0＜a≤1.
综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.1．质点的运动规律为s＝2t2＋1，其中s表示路程，t表示时间，则在某时间段[1,1＋d]中，质点运动的路程s对时间t的平均变化率为( )．
A．4
B．d
C．4＋d
D．4＋2d
2．函数y＝f(x)＝＋1在x＝1处的导数是( )．
A．
B．1
C．
D．4
3．函数y＝f(x)＝x2的导函数是( )．
A．x
B．2x
C．x2
D．2x2
4．曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点P(1,4)处的切线方程是( )．
A．5x－y＋1＝0
B．x－5y－1＝0
C．5x－y－1＝0
D．x－5y＋1＝0
5．函数f(x)＝x3＋4x＋1，则f′(x)＝( )．
A．3x2＋4
B．4x2＋3
C．x3＋4x
D．x2＋4
6．对于函数y＝x2，在x＝__________处的导数值等于其函数值．
7．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为__________．
8．曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝__________.
9．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求a的值及切点的坐标．
10．已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积．
参考答案
1．D 平均变化率为＝
＝4＋2d.
2．A ＝
＝＝，
当d趋于0时，趋于.∴f′(1)＝.
3．B ＝
＝2x＋d，
当d趋于0时，2x＋d趋于2x，∴f′(x)＝2x.
4．C 因为P(1,4)在曲线上，所以在曲线上取另一点Q(1＋d，f(1＋d))，计算PQ的斜率为
k(1，d)＝
＝
＝＝d2＋3d＋5.
当d趋于0时，d2＋3d＋5趋于5，所以所求切线的斜率为5，
∴切线方程为y－4＝5(x－1)，即5x－y－1＝0.
5．A
＝
＝3x2＋4＋3xd＋d2.
当d趋于0时，3x2＋4＋3xd＋d2趋于3x2＋4，
∴f′(x)＝3x2＋4.
6．0或2 设x＝x0，则
＝＝d＋2x0.
当d趋于0时，d＋2x0趋于2x0.
由题意得：2x0＝x02.∴x0＝0或x0＝2.
7．x＋y－2＝0 ＝
＝－1－3d－d2.
当d趋于0时，－1－3d－d2趋于－1，
∴f′(1)＝－1，即所求切线的斜率为－1.
∴所求切线的方程为y－1＝－1×(x－1)，
即x＋y－2＝0.
8．±1 ＝＝3a2＋3ad＋d2，当d趋于0时，3a2＋3ad＋d2趋于3a2.
∴曲线在点(a，a3)处的切线的斜率为3a2.
∴曲线在点(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．
∴切线与x轴的交点为(a,0)．
∴|a－a|·|a3|＝，解得a＝±1.
9．解：设直线l和曲线C相切于点P(x0，y0)．
令f(x)＝x3－x2＋1，则
＝
＝d2＋3x0d＋3x02－2x0－d.
当d趋于0时，有f′(x0)＝3x02－2x0.
由题意知3x02－2x0＝1，解得x0＝－或1.
于是切点坐标为(－，)或(1,1)．
当切点为(－，)时，＝－＋a，∴a＝.
当切点为(1,1)时，1＝1＋a，∴a＝0(舍去)．
∴a的值为，切点坐标为(－，)．
10．解：(1)由导数的概念，得k1＝f′(1)＝3，
∴直线l1的方程为y＝3x－3.
设直线l2与曲线y＝x2＋x－2的切点为B(b，b2＋b－2)，则k2＝f′(b)＝2b＋1，
∵l1⊥l2，∴(2b＋1)×3＝－1，解得b＝－.
∴直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
∴直线l1与l2的交点坐标为(，－)．
又∵l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(－，0)，
∴所求三角形的面积S＝××|－|＝.1．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到．其中正确命题的序号是( )．
A．①④
B．②④
C．①②
D．③④
2．函数f(x)＝x3＋x在区间[－1,1]上( )．
A．最小值为－1，最大值为2
B．最小值为－2，最大值为2
C．最小值为－1，最大值为1
D．最小值为0，最大值为1
3．函数f(x)＝2－x2－x3的极值情况是( )．
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值，也无极小值
D．既有极大值又有极小值
4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )．
A．－2
B．0
C．2
D．4
5．若f(x)＝x3＋mx2＋5x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．
6．函数f(x)＝9＋3x－x3的极小值为__________．
7．函数f(x)＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最大值和最小值分别为__________，__________.
8．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)设a＝1，求函数f
(x)的极值；
(2)若a＞，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．
参考答案
1．B
2．B ∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴f(x)为增函数．
∴f(x)的最小值为f(－1)＝－2，f(x)的最大值为f(1)＝2.
3．D f′(x)＝－3x2－2x＝－3x(x＋)．
令f′(x)＝0，则x＝0或－.
当x∈(－∞，－)时，f′(x)＜0；
当x∈(－，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0.
∴f(x)在x＝－处取得极小值，
f(x)在x＝0处取得极大值．
4．C f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0，得x＝0或2(舍去)．
∵f(0)＝2，f(1)＝0，f(－1)＝－2，
∴f(x)最大值＝2.
5．[－，] f′(x)＝3x2＋2mx＋5.
由题意，知(2m)2－4×3×5≤0，得－≤m≤.
6．7 f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，
当x＜－1时，f′(x)＜0，
当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，
当x＞1时，f′(x)＜0，
∴f(x)在x＝－1处取得极小值，f(－1)＝9－3＋1＝7.
7．0 －64 令f′(x)＝12x2－16x＝0，∴x＝0或x＝.
当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，)时，f′(x)＜0；
当x∈(，2)时，f′(x)＞0.
故f(x)在x＝0时取得极大值，在x＝时取得极小值．
又∵f(0)＝0，f(－2)＝－64，f(2)＝0，
f()＝－，
∴函数的最大值为0，最小值为－64.
8．解：(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得
f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表讨论f(x)，f′(x)的变化情况：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值6
极小值－26
所以，f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.
(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝a对称．
若＜a≤1，则f′(x)在[1,4a]上是增函数，
从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2.
由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.
由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1，
由f′(4a)≤12a，得0≤a≤.
所以a∈(，1]∩[－，1]∩[0，]，即a∈(，]．
若a＞1，则|f′(a)|＝12a2＞12a.
故当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立．
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是(，]．
9．解：(1)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，f′(x)＝3x2＋2ax＋1，
当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12≤0，即－≤a≤时，f′(x)≥0恒成立，
此时f(x)为单调递增函数，单调区间为(－∞，＋∞)．
当Δ＝(2a)2－3×4＝4a2－12＞0，即a＞或a＜－时，函数f′(x)存在零解，
此时，当x＜时，f′(x)＞0，
当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．
综上，若－≤a≤，则函数f(x)在x∈R时，单调递增；若a＞或a＜－，当x＜或x＞时，函数f(x)单调递增；当＜x＜时，函数f(x)单调递减．
(2)若函数在区间(－，－)内是减函数，则说明f′(x)＝3x2＋2ax＋1＝0的两根在区间(－，－)外，因此f′(－)≤0，且f′(－)≤0，由此可以解得a≥2.
因此a的取值范围是[2，＋∞)．1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )．
A．5,3,0.8
B．10,6,0.8
C．5,3,0.6
D．10,6,0.6
2．(2010·广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )．
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是( )．
A．
B．
C．
D．
4．已知椭圆C：＋＝1与椭圆＋＝1有相同的离心率，则椭圆C可能是( )．
A．＋＝m2(m≠0)
B．＋＝1
C．＋＝1
D．以上都不可能
5．
若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )．
A．2
B．3
C．6
D．8
6．曲线＋＝xy关于__________对称．
7．已知椭圆C：＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆C的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则a2＝________，b2＝________.
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
9．如图所示，已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
参考答案
1．B
2．B 因为2a,2b,2c成等差数列，
所以2b＝a＋c.
又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝4(a2－c2)．
所以a＝c.
所以e＝＝.
3．D 解析：如图，设点B的坐标为(x，y)．
由于BF⊥x轴，故x＝－c，，
设P(0，t)，∵＝2，
∴(－a，t)＝2(－c，－t)．
∴a＝2c，∴.
当点B在第三象限时，
同理可得.
4．A 椭圆＋＝1的离心率为.
把＋＝m2(m≠0)写成＋＝1，
则a2＝8m2，b2＝4m2，∴c2＝4m2.
∴＝＝.∴e＝.
而＋＝1的离心率为，
＋＝1的离心率为.
5．C 由题意，得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，
则y＝3(1－)(－2≤x0≤2)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3(1－)＝(x0＋2)2＋2.
所以当x0＝2时，·取得最大值为6.
6．原点 同时以－x代x，以－y代y，方程不变，所以曲线关于原点对称．
7．25 9 ∵椭圆＋＝1的长轴长为10，椭圆＋＝1的短轴长为6，∴a2＝25，b2＝9.
8．(0，) ∵·＝0，
∴点M(x，y)的轨迹是以点O为圆心，F1F2为直径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝c2.
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部．
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|＞c恒成立．
由椭圆的性质，知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长．
∴b＞c.∴c2＜b2＝a2－c2.
∴a2＞2c2.∴()2＜.
∴e＝＜.又0＜e＜1，
∴0＜e＜.
9．解：设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程，知a2＝4，b2＝1，则c2＝3，
所以有F(，0)，
所以直线l的方程为y＝x－.
将其代入＋y2＝1，化简整理，得5x2－8x＋8＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AB|＝|x1－x2|＝·
＝×＝.1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )．
A．2
B．6
C．4
D．12
2．P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值是( )．
A．33
B．16
C．10
D．8
3．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60
cm，灯深是40
cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )．
A．11.25
cm
B．5.625
cm
C．20
cm
D．10
cm
4．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y(0≤y≤20)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为( )．
A．0＜r≤1
B．0＜r＜1
C．0＜r≤2
D．0＜r＜2
5．如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2
km处，B地在A地东偏北30°方向2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地的距离相等，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( )．
A．(2＋)a万元
B．2(＋1)a万元
C．5a万元
D．6a万元
6．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1
m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2
m，P距抛物线的对称轴1
m，则水池的直径至少应设计为__________m．(精确到1
m)
7．如图，已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,
5)，则点P到椭圆的最大距离及最小距离的和是__________．
参考答案
1．C (数形结合)由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a＝4，所以选C.
2．A 在双曲线－＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.
由P是双曲线上一点，
得||PF1|－|PF2||＝16.
∴|PF2|＝1，或|PF2|＝33.
由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，得|PF2|＝33.
3．B 建立如图所示的坐标系，设y2＝2px(p＞0)，由题意，得点A(40,30)在抛物线上，代入，得p＝11.25.
故|OF|＝＝5.625(cm)，故光源到反光镜顶点的距离即为5.625(cm)．
4．A 设玻璃球的球心O′(0，r)，O(x，y)为抛物线上一点，
则|OO′|＝＝＝.
∵y≥0，∴当y＝0时，|OO′|为最小，
故r－1≤0，∴0＜r≤1.
5．C 建立如图所示的直角坐标系，连接AB，分别过点M，B，A作直线MM′⊥l，BB′⊥l，AA′⊥l，垂足分别为M′，B′，A′，过点B作BB1⊥AA′，垂足为B1.
由已知，可得
|AB1|＝|AB|·cos
30°
＝＝3(km)．
又|AA′|＝2
km，可得|BB′|＝3＋2＝5(km)．
由抛物线的定义，可得|AM|＝|MM′|.
∴修路费用为(|AM|＋|MB|)a＝(|MM′|＋|MB|)a≥|BB′|a＝5a(万元)，故选C.
6．5 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，依题意，有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝，故得抛物线的方程为x2＝－y.
又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线的方程，得x＝，
即|AB|＝，则水池的半径应为|AB|＋1＝＋1.
因此所求水池的直径为2(1＋)，约为5
m，即水池的直径至少应设计为5
m.
7．2(1＋) 解析一：∵02＋2×52＜98，
∴点P(0,5)在椭圆内部．
设以P(0,5)为圆心和椭圆相切的圆的方程为
x2＋(y－5)2＝r2.①
把椭圆方程x2＋2y2＝98代入①，得r2＝－(y＋5)2＋148(－7≤y≤7)．
∴当y＝－5时，rmax2＝148，即rmax＝2，
当y＝7时，r
min2＝4，即rmin＝2.故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.
∴其和为2(1＋)．
解析二：设点M(x，y)为椭圆上任一点，则x2＋2y2＝98，
可得|PM|＝＝＝＝.
又∵－7≤y≤7，∴y＝－5时，有|PM|max＝＝2，
y＝7时，有|PM|min＝＝2.
故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.其和为2(1＋)．
