24.1.2
垂直于弦的直径学案
【学习目标】
1.使学生理解圆的轴对称性
.
2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.
【重点难点】
重点：垂径定理、推论及它们的应用.
难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.
【课堂探究】
一、自主探究
问题一
用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
问题二
1、观察、思考并回答：
（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？
（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？
(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？
（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？
2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.
例1
看下列图形，是否能使用垂径定理？
问题三
命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？
二、尝试运用
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.
2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.
求证：AC＝BD.
变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.
变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD （写出答案，不证明）.
3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问题.
三、补偿提高
1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.
2、见教材第90页习题24.1第9题.
四、小结与作业
学生小结：
1、必做题
教材第83页练习1，2题
选做题
教材第90页习题24.1第10题24.1.2
垂直于弦的直径教案
一、【教材分析】
教学目标
知识技能
1.使学生理解圆的轴对称性
.2.掌握垂径定理及其推论，学会运用垂径定理及其推论解决有关的证明、计算问题.
过程方法
1.
经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.2.
在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法，锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活.
情感态度
让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现.
教学重点
垂径定理、推论及它们的应用.
教学难点
对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.
二、【教学流程】
教学环节
问题设计
师生活动
二次备课
情景创设
请大家观察教材上的图片并思考问题：你知道赵州桥吗？你能给大家介绍一下有关它的历史及构造吗？
创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣
了解我国古代人民的勤劳与智慧.
自主探究
问题一用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？问题二1、观察、思考并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.例1
看下列图形，是否能使用垂径定理？平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.问题三命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？
让学生动手操作，观察、思考、交流，归纳得出圆的特性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在（或过圆心）的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条.教师提出问题，学生画图、思考，并回答提出的问题.教师参与小组活动，指导帮助学生，鼓励学生大胆试验、猜想，并共同给出验证过程.小组交流，根据直径的特征，容易给出直径的名字——垂直于弦的直径，师生共同归纳出特殊直径的性质，并给出教师出示图形，学生独立思考、解答，说出哪些图形能使用垂径定理 教师出示题目，学生画图探究说明命题不正确，通过交流、修改，进一步得出垂径定理的推论.
培养学生动手、动脑、动口探究问题的能力让学生积极参与探究知识的整个过程，更有利于对知识点的理解与掌握.给学生足够的发挥空间，利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解.强化结论的使用条件：平分非直径弦的直径.
尝试应用
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径. 2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.求证：AC＝BD.变式1：隐去（图1）中的大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD （写出答案，不证明）3、请用所学知识解决求赵州桥拱半径的问题.
教师出示题目，学生独立思考、解答学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结.学生交流，师生互动.对于第2题的解答，要求学生一题多解:法1：连接OA、OB、OC、OD，证△OAC≌△OBD法2：作OE⊥CD，垂足为E，利用垂径定理证明.要求：（1）正确画出图形，连接半径，构造直角三角形；（2）利用垂径定理的知识解决问题.
通过问题的训练，加深学生对垂径定理的理解及应用，同时强调辅助线的作法的重要性.经过一题多解、变式训练，锻炼学生发散思维及举一反三、触类旁通解决问题的能力.
补偿提高
1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.2、见教材第90页习题24.1第9题
教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.
学有余力的学生选做，达到培优的目的.
小结与作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获？作业：1、必做题教材第83页练习1，2题2、选做题教材第90页习题24.1第10题
教师提出问题，学生独立回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.供学生课后探讨、研究.
使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.
三、【板书设计】
24.1.2
垂直于弦的直径
四、【教后反思】
本节课从介绍赵州桥的历史及构造入手，引起学生的学习兴趣和本课主题.再结合折纸、观察圆的对称性、利用对称性质验证一系列的过程，形象直观地抓住了定理，降低了单纯介绍定理的难度，同时让学生经历观察、思考、探索、交流、归纳的全过程，感受成功的喜悦.然后让学生通过对命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”的判断与修改，进一步得出垂径定理的推论，并强化结论的使用条件，为推论的正确理解和应用打好基础，锻炼了学生的思维的严密性和逻辑思维能力.最后让学生就赵州桥的半径计算问题，建立数学模型，添加辅助线构造直角三角形，利用垂径定理进行计算，真正让学生体会到学会数学的重要性.24.1.2垂直于弦的直径当堂达标题
一、选择题．
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（
）．
A．CE=DE
B．
C．∠BAC=∠BAD
D．AC>AD
(1)
(2)
(3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（
）．
A．4
B．6
C．7
D．8
3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（
）．
A．AB⊥CD
B．∠AOB=4∠ACD
C．
D．PO=PD
二、填空题
4．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．
(4)
(5)
5．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
6．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
三、解答题
7．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．
8．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
9．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．
24.1.2垂直于弦的直径当堂达标题答案
一、1．D
2．D
3．D
二、1．8
2．8
10
3．AB=CD
三、1．AN=BM
理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM．
∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，
∴AN=BM．
2．过O作OF⊥CD于F，如右图所示
∵AE=2，EB=6，∴OE=2，
∴EF=，OF=1，连结OD，
在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=，∴CD=2．
3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:
∵AB=16，AC=8，AD=8，
∴AC=（AB），∴∠CAB=60°，
同理可得∠DAB=30°，
∴∠DAC=30°．
（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．
_
B
_
A
_
C
_
O
_
D(共8张PPT)
问题一
用纸剪一个圆，将圆对折、打开，再重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
折叠.gsp
折叠圆.gsp
问题二
1、观察、思考并回答：
（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系怎样？
（2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？
(3)猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？
（4）思考：直径CD两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？
弧相等演示.gsp
2、你能给上题中这条特殊的直径命名吗？这条特殊的直径有哪些性质？请用一句话概括出来.
例1
看下列图形，是否能使用垂径定理？
问题三
命题“平分弦的直径一定垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.”这个命题正确吗？画图说明.如果不正确，错在哪里？你认为应该怎样修改？
反例.gsp
尝试运用
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘
米，求⊙O的半径.
1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘
米，求⊙O的半径.
∵OD⊥AB,
∴AD=BD=4
在直角三角形AOD中，OA=5(勾股定理)
2、已知：若以O为圆心作一个⊙O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点.
求证：AC＝BD.
2.gsp
变式1：隐去大圆，连接OA，OB，设OA=OB，求证：AC＝BD.
变式2：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD （写出答案，不证明）.
补偿提高
1、已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.
补偿提高1题.gsp
