(共7张PPT)
探究一
作一个圆，并在圆中画出两个圆周角，根据你画出的角，
（1）说出圆周角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？
（2）说出圆周角与圆心角的异同点？
探究二
1、拿出课前准备好的圆形纸片，先在上面任意画一个圆周角∠BAC，然后画出同弧所对的圆心角∠BOC，再分别量出∠BAC和
∠BOC的度数，比较一下，你有什么发现？小组交流一下，能得出什么共同结论？
2、为了进一步探究上面的发现，请同学们将刚才的圆形纸片沿圆周角的顶点A和圆心O对折，小组交流、归纳，看看这时折痕和圆周角∠BAC的位置可能有哪几种关系？分别一一画出来.
24.1.4
圆周角.gsp
A
A
B
O
C
B
图c
图b
图a
B
O
D
O
C
D
A
3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的
∠BOC=2∠BAC.
4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？
5、利用上面的结论，完成下列问题：
如图，在⊙O中，
（1）∠C与∠D相等吗 为什么？
（2）若AB是直径，则∠C=
，∠D=
（3）若∠C=90°，则弦AB是⊙O的直径吗？
（4）若圆周角∠ACB与∠DAB相等，则它们所对的弧相等吗？为什么？
通过以上4个小题的解答，你又能得到什么结论？归纳一下.
总结：圆周角定理的证明就是反复的利用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和来证的
A
C
D
B
.O
总结：直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径
探究三
1、什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？
2、画一个圆内接四边形ABCD，它有什么性质，你是如何得到的？与同学交流一下
探究三2.gsp
尝试运用
2、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=110°，则∠BAD=
，∠BCD=
.
B
D
A
C
.O
55
°
125
°
4、足球场上正在进行激烈的比赛，队员甲、队员乙正准备射门，是队员甲直接射门好，还是传给队员乙让队员乙射门好，为什么？
尝试应用4.gsp
甲.
D
.乙
1、如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°,点D在圆上,则
∠ADC等于(
)
.
A.
30°
B.40°
C.50°
D.60°
补偿提高1.gsp
2、求证：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.24.1.4
圆周角当堂达标题
一、选择题
1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（
）．
A．140°
B．110°
C．120°
D．130°
(1)
(2)
(3)
2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（
）．
A．∠4<∠1<∠2<∠3
B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2
D．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（
）．
A．3
B．3+
C．5-
D．5
二、填空题
1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．
(4)
(5)
3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．
三、综合提高题
1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．
2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
24.1.4
圆周角当堂达标题答案
一、1．D
2．B
3．D
二、1．120°或60°
2．90°
3．
三、1．
2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=
3．（1）略
（2）4，（-2，2）24.1.4
圆周角教案
一、【教材分析】
教学目标
知识技能
1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明.
过程方法
1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”，体验分类讨论的数学思想方法.
情感态度
敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.
教学重点
圆周角定理及定理的三个推论的应用．
教学难点
圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.
二、【教学流程】
教学环节
问题设计
师生活动
二次备课
情景创设
观察与思考：（教师边演示自制教具边介绍，其中底面圆片上标注好有关的字母、线条）假设这是一个圆柱形的房子，同学们可以站在房中通过圆弧形玻璃窗AB向外观看外面的风景，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和
∠ACB）有什么关系？同学丙、丁分别站在其它靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
创设问题情境，开展学习活动，引起学生学习的兴趣
自主探究
探究一作一个圆，并在圆中画出两个圆周角，根据你画出的角，（1）说出圆周角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？（2）说出圆周角与圆心角的异同点？一是角的顶点必须在圆周上，二是角的两边必须和圆相交.圆周角与圆心角的异同点：顶点的位置不同，角的两边都和圆相交.探究二1、拿出课前准备好的圆形纸片，先在上面任意画一个圆周角∠BAC，然后画出同弧所对的圆心角∠BOC，再分别量出∠BAC和
∠BOC的度数，比较一下，你有什么发现？小组交流一下，能得出什么共同结论？同弧所对的圆周角的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.2、为了进一步探究上面的发现，请同学们将刚才的圆形纸片沿圆周角的顶点A和圆心O对折，小组交流、归纳，看看这时折痕和圆周角∠BAC的位置可能有哪几种关系？分别一一画出来.3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的
∠BOC=2∠BAC.4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；（3）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；5、利用上面的结论，完成下列问题：如图，在⊙O中，（1）∠C与∠D相等吗 为什么？（2）若AB是直径，则∠C=
，∠D=
（3）若∠C=90°，则弦AB是⊙O的直径吗？（4）若圆周角∠ACB与∠DAB相等，则它们所对的弧相等吗？为什么？
通过以上4个小题的解答，你又能得到什么结论？归纳一下.圆内接四边形的对角互补.探究三1、什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？2、画一个圆内接四边形ABCD，它有什么性质，你是如何得到的？与同学交流一下.
让学生动手画圆，观察、思考、交流，归纳得出圆周角的两个特征.
学生按照教师的要求画图、测量、思考，回答教师提出的问题.让学生交流、讨论并归纳，指导帮助学生，鼓励学生大胆猜想.学生折纸、观察、交流，教师参与小组活动，归纳出：⑴在圆周角的一条边上(如图a)；⑵在圆周角的内部(如图b)；⑶在圆周角的外部（如图c）.学生自己独立完成图a的证明.对于图b、图c两种情况的证明，我们可以先尝试让学生小组交流，寻找证题方法，教师可以参与小组讨论，及时给予引导、点拨，然后板书展示证明过程，最后全班进行点评，引导学生体会“转换化归”在解决从特殊到一般问题时的应用思路和方法.
以小组为单位讨论、探索，教师参与其中，指导帮助学生完成问题的解答.最后归纳得出圆周角定理的推论：先让学生自己看课本，认识圆的内接多边形、多边形的外接圆的概念，再运用学过的知识探索圆内接四边形的性质：
培养学生动手画图、动脑和动口相结合探究问题的能力通过学生自己画图、测量、归纳，展示同弧所对的圆周角与圆心角的度数关系，引导学生理解，同时为下面定理的证明作好准备.通过制作演示折纸，培养学生动手操作的能力，促进学生参与教学的意识的形成.学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键通过观察、交流、归纳，锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方法运用已经学会的知识解决新问题，培养学生解决问题的能力，养成探究习惯.
尝试应用
1、教材第88页练习1、22、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=110°，则∠BAD=
∠BCD=
3、教材第87页例44、足球场上正在进行激烈的比赛，队员甲、队员乙正准备射门，是队员甲直接射门好，还是传给队员乙让队员乙射门好，为什么？
教师出示题目，学生独立思考、解答学生解答完毕后，小组交流后以小组为单位展示小组的成果.教师巡视，帮助学习有困难的学生，并适时指导、点拨，不断提升、总结学生交流，师生互动，
通过问题的训练，加深学生对圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质的理解与应用.
补偿提高
1、如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°,点D在圆上,则∠ADC等于(
)A.
30°
B.40°
C.50°
D.60°2、求证：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
教师出示题目，学生练习时，教师巡视、辅导，进一步了解学生的掌握情况.教师帮助学生完成并总结，要求学生熟记第2题的结论，以后可以直接应用.
学有余力的学生选做，达到培优的目的.
小结与作业
小结：通过这节课的学习，你有什么收获？作业：1.必做题：教材第88页练习3，习题24.1第89页5，6题选做题如图，点A,B,D,E在⊙O上，弦AE,BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.（1）试判断AB与AC之间的大小关系，并给出证明；（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出结论）
教师提出问题，学生独立回答，教师在学生总结后进行补充，并根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.教师布置作业，动员分层要求.学生按要求课外完成，通过课后作业巩固本节知识.供学生课后探讨、研究
使学生能够回顾、总结、梳理所学知识.
三、【板书设计】
24.1.4
圆周角
四、【教后反思】
本节课首先设计了一个问题情境，展示了圆心角与圆周角的位置关系，引出圆周角的概念.然后通过测量、猜想，得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的结论.接着通过让学生折纸，观察与思考，利用分类讨论的思想方法，分三种情况给出系统的证明及思维过程.至此我们利用迁移、转化的思想方法化未知为已知，将圆周角的问题转化为圆心角来求解.其后为进一步探索圆周角的其他性质，我们又以设置的问题为导线，将学生带入到教学活动中，同时再次通过交流、讨论、合作、归纳出圆周角定理的三个推论，并运用它们进行解题，实现从认识到应用的转化.
A
A
B
O
C
B
图c
图b
图a
B
O
D
O
C
D
A
C
A
C
D
B
.O
B
D
A
C
.O
甲.
D
.乙
A
C
D
B
.O
A
C
.O
B
D
A
A
B
O
C
B
图c
图b
图a
B
O
D
O
C
D
A24.1.4
圆周角学案
【学习目标】
1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
2、掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明.
【重点难点】
重点：圆周角定理及定理的三个推论的应用．
难点：圆周角定理的证明，三个推论的灵活应用.
【课堂探究】
一、自主探究
探究一
作一个圆，并在圆中画出两个圆周角，根据你画出的角，
（1）说出圆周角的顶点的位置，两边与圆的关系是什么？
（2）说出圆周角与圆心角的异同点？
探究二
1、拿出课前准备好的圆形纸片，先在上面任意画一个圆周角∠BAC，然后画出同弧所对的圆心角∠BOC，再分别量出∠BAC和
∠BOC的度数，比较一下，你有什么发现？小组交流一下，能得出什么共同结论？
2、为了进一步探究上面的发现，请同学们将刚才的圆形纸片沿圆周角的顶点A和圆心O对折，小组交流、归纳，看看这时折痕和圆周角∠BAC的位置可能有哪几种关系？分别一一画出来.
3、利用第2题的图形，分别证明图a、图b、图c中的
∠BOC=2∠BAC.
4、用自己的语言说出圆周角定理的内容是什么？
5、利用上面的结论，完成下列问题：
如图，在⊙O中，
（1）∠C与∠D相等吗 为什么？
（2）若AB是直径，则∠C=
，∠D=
（3）若∠C=90°，则弦AB是⊙O的直径吗？
（4）若圆周角∠ACB与∠DAB相等，则它们所对的弧相等吗？为什么？
通过以上4个小题的解答，你又能得到什么结论？归纳一下.
探究三
1、什么是圆的内接多边形？什么是多边形的外接圆？
2、画一个圆内接四边形ABCD，它有什么性质，你是如何得到的？与同学交流一下.
二、尝试运用
1、教材第88页练习1、2
2、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=110°，
则∠BAD=
，∠BCD=
.
3、教材第87页例2
4、足球场上正在进行激烈的比赛，队员甲、队员乙正准备射门，是队员甲直接射门好，还是传给队员乙让队员乙射门好，为什么？
三、补偿提高
1、如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°,点D在圆上,则∠ADC等于(
)
.
A.
30°
B.40°
C.50°
D.60°
2、求证：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
四、小结与作业
学生小结：
1、必做题：
教材第88页练习3，习题24.1第89页5，6题
选做题
如图，点A,B,D,E在⊙O上，弦AE,BD的延长线相交于点C，若AB是⊙O的直径，D是BC的中点.
（1）试判断AB与AC之间的大小关系，并给出证明；
（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点？（直接写出结论）
A
A
B
O
C
B
图c
图b
图a
B
O
D
O
C
D
A
C
A
C
D
B
.O
B
D
A
C
.O
甲.
D
.乙
A
C
D
B
.O
A
C
.O
B
D
